soluciones mates 3 eso

1

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDADPg. 1

Pgina 38 PRACTICA Fracciones y decimales

1 a) Agrupa, entre las siguientes fracciones, las que sean equivalentes:10 5 1 5 2 2 15 15 7 3 15 3 6 21 b) Representa sobre rectngulos cada una de esas fracciones. a) 10 = 2 ; 15 3 b) 5 = 15 ; 7 21 1 = 5 = 2 3 15 6 10 15 2 3 15 21 5 7 1 3 5 15 2 6

2 Simplifica:a) 30 42 a) 30 = 5 42 7 d) 60 = 2 210 7 b) 18 72 c) 75 125 b) 18 = 1 72 4 e) 2 000 = 1 4 000 2 d) 60 210 e) 2 000 4 000 c) 75 = 3 125 5

3 Escribe la fraccin que representa la parte coloreada en cada una de estas figurasy ordnalas.

Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


1 =4 2 8 1 < 3 < 1 < 5 4 8 2 8

1 =2 4 8

3 8

5 8

4 Escribe una fraccin equivalente a 2/5 y otra equivalente a 7/6, pero quetengan el mismo denominador. m.c.m. (5, 6) = 30 2 = 12 ; 7 = 35 5 30 6 30

5 Transforma en decimal estas fracciones:2 4 8 3 3 10 25 8 Efectuamos la divisin en cada caso: 19 16 1 7 8 9 5 3

) 2 = 0,6; 3 ) 8 = 0,8; 9

4 = 0,4; 8 = 0,32; 3 = 0,375; 19 = 1,1875; 1 = 0,142857; 10 25 8 16 7 ) 5 = 1,6 3

)

6 Clasifica los siguientes nmeros racionales en decimales exactos y decimalesperidicos. (Intenta dar la respuesta antes de efectuar la divisin). 1 2 3 5 7 23 13 4 3 5 4 8 6 10 5 9 Todas las fracciones propuestas son irreducibles. Darn lugar a decimales exactos cuando en el denominador solo estn como factores primos el 2 y el 5. En otro caso, darn lugar a decimales peridicos. Por tanto: Decimales exactos 2 , 3 , 5 , 23 , 13 . 5 4 8 10 5 Decimales peridicos 1 , 7 , 4 . 3 6 9

7 Expresa en forma de fraccin y mediante un decimal la parte coloreada deestas figuras: a) b) c)

a) 8 = 0,32 25Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

b) 9 = 0,18 50

c) 17 = 0,68 25

1


8 Expresa en forma de fraccin: )a) 25,8 b) 4, 25 a) 25,8 = 258 = 129 10 5 b) 100N = 425,2525 N = 4,2525

c) 4,25

d) 3,047

)

e) 0,152

)

99N = 421 c) 4,25 = 425 = 17 100 4

N = 421 99

d) 1 000N = 3 047,777 100N = 304,777 900N = 2 743 N = 2 743 900

e) 1 000N = 152,152152 N = 0,152152 N = 152 999

999N = 152

9 Escribe tres nmeros que estn comprendidos entre cada par de decimales:a) 0,6 y 0,8 d) 0,99 y 1 b) 0,7 y 0,8 e) 2,43 y 2,44 c) 0,9 y 1 f) 2,436 y 2,437

Hay infinitos nmeros comprendidos entre cada par de decimales. Por ejemplo, podemos poner: a) 0,61; 0,62; 0,63 c) 0,91; 0,92; 0,93 e) 2,431; 2,432; 2,433 20 25 b) 0,71; 0,72; 0,73 d) 0,991; 0,992; 0,993 f ) 2,4361; 2,4362; 2,4363 10

10 Ordena las fracciones 13 , 14 y 7 .a 1- forma: Expresamos las fracciones en forma decimal:

13 = 0,65 14 = 0,56 7 = 0,70 20 25 10 Por tanto: 14 < 13 < 7 25 20 10 a forma: Reducimos a comn denominador: 213 = 65 ; 14 = 56 ; 7 = 70 20 100 25 100 10 100Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

Por tanto: 14 < 13 < 7 25 20 10

1


) ) ) 11 Ordena de menor a mayor estos nmeros: 2,47; 2,47; 2,4 ; 2, 472,47 ) ) ) 2,47 = 2,4777 ) 2,4 < 2,47 < 2,47 < 2,47 2, 4 = 2,4444 ) 2, 47 = 2,4747

12 Cules de estos nmeros pueden expresarse como fracciones? ) )0,25 3, 58 0,00 1 3,030030003 Escribe la fraccin que representa a cada uno en los casos que sea posible. 0,25 = 25 = 1 100 4 100N = 358,5858 N = 3,5858 N = 355 99

99N = 355 1 000N = 1,111 100N = 0,111 900N = 1

N= 1 900

3,030030003 no se puede expresar como fraccin; no es un nmero decimal exacto ni peridico. Es un nmero irracional. Clculo mental

13 Calcula mentalmente:a) 7 2 + 4 d) 7 + 2 4 g) 11 + 3 (5 2) a) 7 2 + 4 = 9 d) 7 + 2 4 = 9 g) 11 + 3 (5 2) = 20 b) 7 (2 + 4) e) 11 + 3 5 2 h) (7 + 3) (5 2) b) 7 (2 + 4) = 1 e) 11 + 3 5 2 = 24 h) (7 + 3) (5 2) = 30 c) 7 (2 4) = 9 f ) (7 + 3) 5 2 = 48 c) 7 (2 4) f) (7 + 3) 5 2

14 Calcula mentalmente:a) La cuarta parte de 100, 200, 600 y 1 000. b) Los cuadrados de los nmeros del 1 al 12. c) Los cubos de los nmeros del 1 al 5. d) Las potencias de base 2 hasta 210.Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


a) 25, 50, 150 y 250, respectivamente. b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 y 144, respectivamente. c) 1, 8, 27, 64 y 125, respectivamente. d) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 y 1 024, respectivamente.

15 Calcula mentalmente el nmero decimal equivalente a cada fraccin:1 1 2 3 4 5 5 5 1 = 0,5; 3 = 0,75; 1 = 0,25; 1 = 0,2; 2 = 0,4; 3 = 0,6 2 4 4 5 5 5 1 2 3 4

16 Calcula mentalmente:a) (2)5 a) (2) 5 = 32 Pgina 39 b) (2)8 b) (2) 8 = 256 c) (1)10 c) (1) 10 = 1 d) (1)23 d) (1) 23 = 1

17 Calcula mentalmente:a) 20 (350) d) 1 640 4 a) 20 (350) = 7 000 d) 1 640 4 = 6 560 b) 50 60 20 e) 2 486 50 b) 50 60 = 150 20 e) 2 486 50 = 124 300 c) 2 75 (2) f) 120 25 c) 2 75 (2) = 300 f ) 120 25 = 3 000

18 Calcula mentalmente:a) 2 de 60 3 d) La mitad de 2 . 3 e) La tercera parte de 12 . 7 f) La mitad de la quinta parte de 6. a) 40 b) 75 c) 3 d) 1 3 e) 4 7 f ) 3 5 b) 3 de 100 4 c) 3 de 500 500

19 Calcula mentalmente:a) Los tres cuartos de un nmero valen 12. Cul es el nmero? b) Los dos tercios de un nmero valen 20. De qu nmero se trata? c) Los 3/5 de una cantidad son 15. Cul es esa cantidad?Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


a) 3 de x = 12 x = 16 4 b) 2 de x = 20 x = 30 3 c) 3 de x = 15 x = 25 5

20 Calcula y simplifica:a) 3 2 5 3 d) 1 4 3 5 a) 3 2 = 5 3 d) 1 4 = 3 5 b) 6 3 4 e) 8 : 2 3 3 b) 6 3 = 18 = 9 4 4 2 e) 8 : 2 = 24 = 4 3 3 6 c) 5 : 3 4 f) 2 : 4 7 c) 5 : 3 = 4 f) 2 : 4 = 7

2 5 4 15

20 3 2 = 1 28 14

21 Calcula mentalmente:a) 1 + 1 2 4 d) 1 1 2 4 a) 1 + 1 = 2 4 d) 1 1 = 2 4 b) 1 + 1 2 e) 1 + 1 3 b) 1 + 1 = 2 e) 1 + 1 = 3 c) 2 1 4 f) 1 1 2 3 c) 2 1 = 7 4 4 f) 1 1 = 1 2 3 6

3 4 1 4

3 2 4 3

Operaciones con nmeros racionales

22 Calcula:a) 1 1 + 1 2 3 5 c) 1 1 30 45 a) 1 1 + 1 = 15 10 + 6 = 11 2 3 5 30 30 30 30 b) 5 + 1 + 3 = 30 + 4 + 27 = 61 6 9 4 36 36 36 36 c) 1 1 = 3 2 = 1 30 45 90 90 90 d) 11 3 7 = 44 9 14 = 21 = 7 30 40 60 120 120 120 120 40Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

b) 5 + 1 + 3 6 9 4 d) 11 3 7 30 40 60

1


23 Calcula:a) 3 1 + 2 6 3 c) 3 2 + 1 2 3

(

) )

b) 2 2 + 5 7 3 2 d) 5 1 2 3

a) 3 1 + 2 = 3 1 2 = 18 1 4 = 13 6 3 1 6 3 6 6 6 6 b) 2 2 + 5 7 = 4 + 3 = 8 + 9 = 17 3 2 3 2 6 6 6 c) 3 2 + 1 = 9 12 + 2 = 1 2 3 6 6 6 6 d) 5 1 2 = 5 5 = 5 + 5 = 20 3 3 3 3

(

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

24 Calcula:a) 5 de 224 32 a) 5 de 224 = 5 224 = 5 7 = 35 32 32 b) 17 de 120 = 17 120 = 17 15 = 255 8 8 b) 17 de 120 8

25 Separa en cada fraccin la parte entera, como en el ejemplo: 3 = 1 + 12 2 a) 5 3 a) 5 = 1 + 2 3 3 d) 17 = 3 2 5 5 b) 7 3 c) 45 7 b) 7 = 2 1 3 3 e) 23 = 2 + 3 10 10 d) 17 5 e) 23 10

c) 45 = 6 + 3 7 7

26 El valor medio entre el 0 y el 1 es 1 . Calcula el valor medio comprendido2 entre cada pareja de nmeros: a) 1 y 2 2 b) 2 y 3 3 4 c) 1 y 3 5


1


1 5 +2 2 a) = 2 = 5 4 2 2 2 3 17 + b) 3 4 = 12 = 17 24 2 2 3 2 1 + 5 = 5 = 1 c) 5 2 2

27

( E S T R E S U E LTO E N E L L I B RO ) .

28 Reduce a una sola fraccin las expresiones:a) 1 1 1 1 2 4 8 16 b) 3 1 + 2 3 2 + 1 5 4 4 5

c) 1 + 1 3 + 1 1 1 3 4 2 3 4

d) 3 + 1 1 3 1 + 2 3 5 3 4 2 3 20

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ] ) ( ) ( ) ( )

a) 1 1 1 1 = 1 1 1 = 16 1 2 = 13 2 4 8 16 2 32 16 32 32 32 32 b) 3 1 + 2 3 2 + 1 = 12 5 + 40 15 8 + 20 = 5 4 4 5 20 20 20 20 20 20 = 47 27 = 20 = 1 20 20 20 c) 1 + 1 3 + 1 1 1 = 4 5 1 = 4 5 = 64 5 = 59 3 4 2 3 4 3 4 12 3 48 48 48 48 d) 3 + 1 1 3 1 + 2 3 = 5 3 4 2 3 20

(

( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ] ( ) [ ]= 14 76 = 14 19 = 5 = 1 15 60 15 15 15 3

= 9 + 5 60 45 + 30 + 40 9 = 15 15 60 60 60 60 60


1


Pgina 40

29 Reduce:

a) 2 3 1 1 5 1 3 4 2 6 6 3

a) 2 3 1 1 5 1 = 2 1 1 3 = 2 1 1 1 = 3 4 2 6 6 3 3 4 6 6 3 4 6 2 = 2 1 = 1 12 12 12 b) 5 : 2 + 1 3 : 1 1 = 5 : 3 3 : 1 = 10 12 = 10 36 = 26 4 2 4 2 4 3 1 3 3 3

( (

) )

( (

) )

b) 5 : 2 + 1 3 : 1 1 4 2 4

( ) (

)

( ) (

)

30 Reduce a una fraccin:1 1+ 2 a) 1 1 2 1 3 1+ 2 = 2 =3 a) 1 1 1 2 2 1 3 5 7 12 c) 4 5 = 20 20 = 20 = 7 7 3 14 15 1 10 4 20 20 20 5 3 3 b) 5 3+ 3 1 3 c) 4 5 7 3 10 4 5 4 3 3 = 3 = 4 = 2 b) 5 3 + 14 14 7 3 3

31 Comprueba que el resultado de estas operaciones es un nmero entero:a) 1 1 3 2 1 1 6 5 3 2

c) 3 1 3 17 1 1 3 8 5 20 3 d) 2 1 + 13 2 1 3 9 32

a) 1 1 3 2 1 1 = 5 13 1 = 13 + 1 = 12 = 2 6 5 3 2 6 5 6 6 6 6 b) 2 : 1 + 1 3 : 1 + 1 = 2 : 4 3 : 3 = 3 2 = 1 6 2 2 6 2

( )( [ [( ) ( )( ( )

( ) ( )] ( )] ( ) ) ( ) ( ): 1 1 3

) (

)

b) 2 : 1 + 1 3 : 1 + 1 6 2 2

(

) ( )

( )


1


c) 3 1 3 17 1 1 3 = 3 2 3 8 = 8 5 20 3 8 5 20 3 = 3 2 8 = 3 2 2 = 0 8 5 20 8 5 5

[

d) 2 1 + 13 2 1 3 9 3

[(

[ ( )( ) [ ] [ ) ( )] ( ) [ ]( )2

(

) ( )]

]

: 1 1 = 5 + 13 1 : 2 = 18 : 2 = 3 9 9 3 9 3 = 2 : 2 = 6 = 3 3 2

32 Calcula las siguientes potencias:a) (2)4 d) 2 3 a) (2) 4 = 16 d) 2 3 = 1/8 b) (2)3 e) (2)2 b) (2) 3 = 8 e) (2) 2 = 1 = 1 (2) 2 4 c) 22 f) (2)3 c) 2 2 = 4 f ) (2) 3 = 1 = 1 8 (2) 3

33 A qu nmero entero es igual cada una de estas potencias?a) 137 d) 1 2 b) (1) 74

c) 1 2 f) 4 5 c) 1 2 f) 4 5

( )

e) 1 3

( )

4

a) 1 37 = 1 d) 1 2

b) (1) 7 = 1 e) 1 3

( )

4

= (2) 4 = 16

( )

4

= (3) 4 = 81

( ( ( (

) ) ) )

2

0

2

= 22 = 4

0

=1

34 Escribe en forma de potencia de base 2 3:a) 128 a) 128 = 2 7 d) 1 = 13 = 3 3 27 3 b) 729 c) 1 64 b) 729 = 3 6 e) 1 = 3 1 3 d) 1 27 e) 1 3 c) 1 = 16 = 2 6 64 2

35 Expresa con potencias de base 10:a) 1 000 000 d) una milsima a) 10 6 b) 10 9 b) mil millones e) 0,000000001 c) 10 5 d) 10 3 c) 0,00001 f) una millonsima e) 10 9 f ) 10 6


1


36 Expresa como potencia nica:a) 2 5

() ()2

: 2 5

1

b) 1 2

() ()3

: 1 2

5

5 37 c) 3 2 3 5 2 2 f) 2 3 4 13 2 9 5

d) (22 23) 4 a) 2 5

() () ()2

4 42 e) 2 2 8

: 2 5

1

= 2 5

1

= 2 5

b) 1 2

() () ()3

: 1 2

= 1 2

2

= 22 = 4

5 37 c) 3 2 = 3 4 = 14 = 1 81 3 3

d) (2 2 2 3) 4 = (2 1) 4 = 2 4 = 16

4 42 4 2 4 e) 2 2 = 2 6 = 16 = 2 6 = 1 64 2 8 2 5 2 2 5 4 2 4 f ) 2 3 4 13 = 2 3 2 23 = 2 4 3 4 = 34 = 3 2 2 9 2 3 2

()

4

= 81 16

37 Reduce:2 a) 3 2 (3) 2 2 d) 3 (3) 2 4 63 9 2 2 a) 3 2 = 3 = 1 2 (3) 3

b) 2 5 e) 1 3

() () () ()2

: 2 5

3

c) 2 3 f)

3

: 1 4

2

() ( ) [( ) ]2

3 2

4

1 2

3 2

b) 2 5 c) 2 3

() () () () ( )2

: 2 5

3

= 2 5

1

= 5 2

2

3 2

4

2 4 2 = 22 3 4 = 32 = 9 4 3 2 2

2 2 2 4 d) 3 (3) 2 4 = 33 3 3 2 4 = 24 = 2 81 3 63 9 2 3 3

e) 1 3 f)

() () [( ) ] ( )3

: 1 4

2

= 1 : 1 = 16 27 16 276

1 2

3 2

= 1 2

= 16 = 1 64 2

38 Simplifica:3 2 2 a) 2 (3) 2 4 63 9Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

4 2 1 b) 2 5 4 3 92 2 893

1


3 2 2 3 2 4 4 a) 2 (3) 2 4 = 23 3 3 2 4 = 2 5 = 16 243 63 9 2 3 3 3 4 2 1 4 4 2 2 b) 2 5 4 3 9 2 = 25 2 3 3 2 3 2 = 2 5 = 4 243 2 893 2 2 3 3 3

39 Calcula:a) a) b)

c) 3 3 2 4

[( ) ] [( ) ] ( ) ( [( ) ] ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( )1 1 23 2

b)

1 2 6 3

1 5

c) 3 3 2 4

2

1 7 3 9

)

1

1 1 2

3 2

= 1 2

6

= 16 = 1 64 25

1 2 6 3

1 5

= 3 6

= 1 2

5

= 1 32

2

1 7 3 9

1

= 3 4

2

4 9

1

= 4 3

2

9 = 16 9 = 4 4 9 4

40 Calcula pasando a fraccin: ) ) )a) 0, 4 + 0, 3 + 0, 2

b) 3,0 7 1,6 7

)

)

c) 0, 7 + 1, 23

)

)

d) 0,3 6 1, 2

)

)

) ) ) c) 0,7 1,23 = 7 + 122 = 77 + 122 = 199 = 2,01 9 99 99 99 99

) ) b) 3,07 1,67 = 277 151 = 126 = 7 = 1,4 90 90 90 5

) ) ) a) 0,4 + 0,3 + 0,2 = 4 + 3 + 2 = 9 = 1 9 9 9 9

) ) ) d) 0,36 1,2 = 33 11 = 33 110 = 77 = 0,85 90 9 90 90 90 ) a) 4 (0,75 + 0, 6 ) + 13 3 12 ) a) 4 (0,75 + 0,6) + 13 = 4 3 12 3 = 16 12 ) ) b) 5 + 0,1 6 4 65 0, 6 + 0,2 1 6 3 8 3

41 Calcula:

(

(

) ) b) 5 + 0,16 4 65 0, 6 + 0,2 1 = 6 3 8 3= 5 + 1 4 65 2 + 1 1 = 4 65 1 + 1 = 6 6 3 8 3 5 3 3 8 3 5 = 4 65 5 + 3 = 4 65 8 = 4 65 = 4 13 = 17 3 8 15 15 3 8 15 3 15 3 3 3Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

(

(

)( ) ( )( ) ( ( )

3 + 2 + 13 = 16 9 + 8 + 13 = 4 3 12 12 12 12 12 17 + 13 = 12 = 1 12 12 12

)

)( )

(

(

)

)

) )

(

)

1


Races

42 Calcula cuando sea posible:a) 64 d) 8 a) 64 = 2 6 = 2 d) 8 no existe6 6 6

b) 8 e) 625/16 b) 8 = (2) 3 = 24 4 e) 625/16 = 5 4/2 4 = 5 2 3 3 4

3

c) 625 f) 1 c) 625 = 5 4 = 5 f ) 1 = 15 4 4 5

4

Pgina 41

43 Indica cules de las siguientes races son racionales y cules irracionales:a) 64 d) 100 a) 64 = 8 racional c) 64 = 2 63 5 5

b) 64 e) 1003 3 3

3

c) 64 f) 1/4 b) 64 = 2 6 = 4 racional d) 100 = 10 racional f ) 1/4 = 1 racional 2

5

irracional

e) 100 irracional Calculadora

44 Con ayuda de la calculadora, busca el dgito que hay que poner en cada cuadrado para que se verifique la igualdad: a) 4 I 5 + 85 I = 1 I 13; b) 34 I I 6 = 8 970; c) 425 + 23 I = 5 I 6 a) 455 + 858 = 1 313 b) 345 26 = 8 970 c) 425 + 23 7 = 586

45 Sustituye los cuadrados por el signo de la operacin adecuada para que estasigualdades sean verdaderas: a) 12 I 34 I 9 = 318 a) 12 + 34 9 = 318 b) (25 I 16) I 45 I 5 = 400 b) (25 16) 45 5 = 400

46 Con los dgitos 3, 4, 5 y 6, forma dos nmeros de dos cifras de modo que almultiplicarlos obtengas el mayor producto posible. Tomamos los dos dgitos mayores como decenas de los dos nmeros que buscamos, y nos quedan dos opciones: 53 64 = 3 392 El producto mayor es 54 63. 54 63 = 3 402 Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


47 Pon los parntesis necesarios para que cada expresin d el resultado que indica la flecha: a) 6 + 3 5 + 8 53 c) 7 + 3 5 1 19 a) (6 + 3) 5 + 8 = 53 c) 7 + 3 (5 1) = 19 b) 6 + 3 5 + 8 45 d) 7 + 3 5 1 40 b) 6 + 3 (5 + 8) = 45 d) (7 + 3) (5 1) = 40

48 Si en tu calculadora no funcionase la tecla del 0, cmo podras conseguirque apareciese en la pantalla cada uno de estos nmeros? a) 180 a) 180 = 5 36 8 c) 1 080 = 135 b) 108 c) 1 080 b) 108 = 3 36 4 162 d) 104 050 = 25 d) 104 050

49 Si en la pantalla de tu calculadora est el nmero 56 327, qu operacin haras para transformar el 3 en un 0? Y para que en lugar del 6 hubiera un 8? Para transformar el 3 en un cero, basta con restar 300: 56 327 300 = 56 027 Para transformar el 6 en un 8, basta con sumar 2 000: 56 327 + 2 000 = 58 327

50 Qu pantallas irs obteniendo al introducir la siguiente secuencia de teclas?0.5 200? ? ? ? ?

Qu aparecer en pantalla si introduces 80 0.5 200

?

Si introducimos 80

aparecer

. (Se multiplica 0,5 80).

51 Qu resultado crees que obtendrs con la siguiente secuencia?2 4 096Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


52 Para dividir 2 530 : 396 (halla cociente y resto), efecta la siguiente secuencia:396 2 530 Ve observando los nmeros que van apareciendo en la pantalla y prate cuando el resultado sea menor que 396. Ese es el resto de la divisin. El cociente es el nmero de veces que has pulsado la tecla Razona el porqu del proceso anterior. Al introducir la secuencia: 396 2 530 1442443 6 veces obtenemos .

Por tanto, el cociente de la divisin 2 530 : 396 es 6 y el resto 154. 2 530 , vamos restando 396 (en priCuando introducimos 396 mer lugar de 2 530) cada vez que pulsamos . Si lo pulsamos 6 veces, hemos efectuado: 2 530 6 396, y hemos obtenido 154; es decir, 2 530 = 6 396 + 154.

53 Predice y comprueba con la mquina la pantalla resultante de las siguientesentradas, partiendo en cada caso de la pantalla y la memoria a cero. a) 9 b) 8 c) 8 d) 19 a) 8 6 7 5 14 5 b) 2 2 7 c) 26 d) 0,5 7 9

54 Utiliza los parntesis necesarios para efectuar las siguientes operaciones conla calculadora. Estima previamente el resultado. a) 30 7 + 18 42 62 c) 25 4,5 4 2,5 5

b) 18 3,5 (2 16,5 30) 0,53 d) 344 5 4 25 5 143 3

(

)

a)

30

7

18

4

6

Por tanto: 30 7 + 18 = 22,8 42 6 b) 18 3.5 .5 2 16.5 30 Por tanto: 18 3,5 (2 16,5 30) = 3 0,5Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


c)

25

4.5

4

2.5

5

2 Por tanto: 25 4,5 = 0,95 4 2,5 5 344 5 4 3 d) 3 Por tanto: 344 5 4 25 = 6 35 143

3

5

143

25

(

)

Pgina 42 P I E N S A Y R E S U E LV E

55 E J E RC I C I O R E S U E LTODe un bidn de aceite se saca primero la mitad y despus la quinta parte, quedando an 3 litros. Cul es la capacidad del bidn? Resolucin1 2 1 2

Sacamos la mitad. Dividimos la otra mitad en 5 partes. Sacamos 1 de la mitad, que es 1 , y nos quedan 4 , 5 10 10

que son 3 litros. La capacidad es de 30 = 7,5 litros.4

Comprueba la solucin. Comprobamos que la capacidad es de 7,5 litros: Sacamos la mitad 7,5 : 2 = 3,75 litros sacamos 3,75 litros quedan. Despus la quinta parte 3,75 : 5 = 0,75 litros sacamos 3 litros quedan. En efecto, quedan 3 litros.

56 En un depsito lleno de agua haba 3 000 litros. Un da se gast 1/6 del depsito, y otro, 1 250 litros. Qu fraccin queda? 1 de 3 000 = 3 000 = 500 litros se gastaron primero. 6 6 1 250 + 500 = 1 750 litros se han gastado en total. 3 000 1 750 = 1 250 litros quedan. 1 250 litros de 3 000 que haba representan la fraccin: 1 250 = 5 del depsito quedan. 3 000 12Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


De otra forma: 1 250 = 5 del depsito se gastan en segundo lugar. 3 000 12 1 + 5 = 7 del depsito se gastan en total. 6 12 12 Por tanto, quedan 5 del depsito. 12

57 De un solar se vendieron los 2/3 de su superficie, y despus, los 2/3 de lo quequedaba. El Ayuntamiento expropi los 3 200 m2 restantes para un parque pblico. Cul era su superficie? Se venden 2 queda 1 3 3 Despus, 2 de 1 = 2 se venden. En total se han vendido: 3 3 9 2 + 2 = 6 + 2 = 8 Queda 1 , que son 3 200 m 2 3 9 9 9 9 9 Por tanto, la superficie era de: 3 200 9 = 28 800 m 2.

58 En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de un dacorresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la venta de fruta, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a 89 , qu caja ha hecho el establecimiento? La fraccin del total correspondiente a las naranjas es: 3 de 5 = 3 5 = 5 , que son 89 . 8 6 8 6 16 Por tanto, el total es: 89 16 = 284,8 5

59 Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. El primero aporta 1/3 del capital, el segundo 2/5 y el tercero el resto. Al cabo de tres meses, reparten unos beneficios de 150 000 . Cunto corresponde a cada uno? Al primero le corresponder 1 de 150 000 = 50 000 . 3 Al segundo, 2 de 150 000 = 60 000 . 5 Y, al tercero, el resto: 150 000 (50 000 + 60 000) = 40 000


1


60 Una pelota pierde en cada bote 2/5 de la altura a la que lleg en el bote anterior. Qu fraccin de la altura inicial, desde la que cay, alcanza despus de cuatro botes? Despus de 1 bote alcanza 2 de la altura inicial. 5 Despus de 2 botes alcanza 2 de 2 = 2 5 5 5 Despus de 3 botes alcanza 2 de 2 5 5 Despus de 4 botes alcanza 2 de 2 5 52

() () () () ()2

de la altura inicial.3

= 2 5 = 2 5

de la altura inicial. = 16 de la altura inicial. 625

3

4

61 Se adquieren 10 kg de ciruelas para hacer mermelada. Al deshuesarlas, se reduceen 1/5 su peso. Lo que queda se cuece con una cantidad igual de azcar, perdindose en la coccin 1/4 de su peso. Cuntos kilos de mermelada se obtienen? Al deshuesarlas se reduce 1 el peso quedan 4 de 10 kg = 8 kg. 5 5 Se cuecen los 8 kg de ciruelas con 8 kg de azcar; es decir, 16 kg de mezcla. Se pierde en la coccin 1 del peso se obtienen: 4 3 de 16 = 12 kg de mermelada 4

62 Un campo rectangular de 120 m de largo se pone a la venta en dos parcelas a

razn de 50 el metro cuadrado. La primera parcela, que supone los 7/12 del campo, sale por 140 000 . Cunto mide la anchura del campo?

7 del total = 140 000 Total = 240 000 12 A 50 /m 2 240 000 : 50 = 4 800 m 2 tiene el campo en total. 4 800 : 120 = 40 m mide la anchura del campo.

63 Compro a plazos un equipo de msica que vale 500 . Hago un pago de 60 ,despus los 2/3 de lo que me queda por pagar, y luego 1/5 de lo que an debo. a) Cunto he devuelto cada vez? b) Qu parte de la deuda he pagado? c) Cunto me queda por pagar? a) 1er pago 60 me quedan por pagar: 500 60 = 440 o 2- pago 2 de 440 = 293,33 me quedan por pagar: 3 440 293,33 = 146,67 Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


3er pago 1 de 146,67 = 29,33 me quedan por pagar: 5 146,67 29,33 = 117,34 a a a La 1- vez he devuelto 60 , la 2- vez 293,33 , y la 3- vez, 29,33 .

b) 1er pago

60 = 3 del total me faltan 22 . 500 25 25 o 2- pago 2 de 22 = 44 en total llevo pagado 3 + 44 = 53 . 3 25 75 25 75 75 Me faltan 22 . 75 3er pago 1 de 22 = 22 en total he pagado 53 + 22 = 287 . 5 75 375 75 375 375 La parte de deuda que he pagado son 287 del total. 375 c) Me quedan por pagar 88 del total, que son 117,34 . 375

64 Un ciclista, yendo a una velocidad de 24 km/h, tarda 1 h 30 min en recorrerlos 3/5 de la distancia entre dos ciudades, A y B. a) Qu distancia hay entre esas ciudades? b) Si sali de A a las 10 h, a qu hora llegar a B? a) En 1,5 horas recorre 24 1,5 = 36 km. Si llamamos x a la distancia entre A y B, tenemos que: 3 de x = 36 x = 60 km hay entre A y B 5 b) A 24 km/h tarda en recorrer 60 km: 60 : 24 = 2,5 horas Por tanto, si sali de A a las 10 h, llegar a B a las doce y media, es decir, a las 12 h 30 min.

65 Al lavar una tela, su longitud se reduce en 1/10 y su anchura, 1/15. Qu longitud debe comprarse de una pieza de 0,90 m de ancho para tener, despus de lavada, 10,5 m 2 de tela?Despus de lavar 14 de 0,90 = 0,84 m 15

0,90 m x

10,5 m2 9 de x = 0,9 x 10

La superficie de tela, despus de lavada, es: 0,9x 0,84 = 10,5 m 2Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


Hallamos la anchura inicial, x: 0,756x = 10,5 x = 10,5 0,756 13,89 m

66 Un taxista cambia el aceite de un vehculo cada 3 500 km y le hace una revisin general cada 8 000 km. Cada cuntos kilmetros coinciden las dos operaciones? m.c.m. (3 500, 8 000) = 56 000 Entonces cada 56 000 km coinciden las dos operaciones.

67 En una cooperativa tienen 420 litros de un tipo de aceite y 225 litros de otro.Quieren envasarlo con el menor nmero posible de garrafas iguales. Qu capacidad tendr cada garrafa? M.C.D. (420, 225) = 15 Cada garrafa ha de tener 15 litros.

68 Se desea cubrir con baldosas cuadradas una habitacin de 330 cm de anchopor 390 cm de largo. Qu tamao deben tener las baldosas si deben ser lo ms grandes posible y no se quiere cortar ninguna? M.C.D. (330, 390) = 30 Las baldosas han de ser de 30 cm 30 cm. Pgina 43 REFLEXIONA SOBRE LA TEORA

69 Representa cada nmero en su lugar:a) 3,045 b) 3,453,4 3,04 3,004 3,0004

c) 3,000453,45 3,045 3,0045 3,00045 3,5 3,05

d) 3,0045

3,005 3,0005

) 70 Demuestra que 3,69 y 3,7 se expresan mediante la misma fraccin.Expresamos en forma de fraccin cada uno de los dos nmeros: N = 3,69

)

100N = 369,999 10N = 36,999 90N = 333 N = 333 = 37 90 10


1


) ) 71 Demuestra que 0,3 + 0,6 = 1. Busca otros dos decimales peridicos cuya suma sea un decimal exacto. Expresamos 0,3 y 0,6 en forma de fraccin: 10N = 3,333 N = 0,333 N=3 =1 9 3 ) ) 1 2 3 Por tanto: 0,3 + 0,6 = + = = 1 3 3 3 9N = 3 Otro ejemplo sera: 0,45 + 0,54. Vemoslo: 100N = 45,4545 N = 0,4545 99N = 45 100M = 54,5454 M = 0,5454 99M = 54 M = 54 = 6 99 11 N = 45 = 5 99 11 10M = 6,666 M = 0,666 9M = 6 M= 6 = 2 9 3

) 3,69 = 37 10 Se expresan mediante la misma fraccin. 37 3,7 = 10 ) )

)

)

) ) Por tanto: 0,45 + 0,54 = 5 + 6 = 11 = 1 11 11 11Esto ocurre siempre que la suma de los periodos est formada solo por nueves.

72 Comprueba que si multiplicas los dos miembros de una desigualdad por unnmero positivo, esta sigue siendo verdadera. Hazlo con estas desigualdades: 3 1 2

73 Pon ejemplos, reflexiona, responde y opina:a) Qu condicin debe cumplir n para que n/11 sea peridico? b) Cul es el mximo nmero de cifras del periodo de ese nmero? a) n no debe ser mltiplo de 11. b) El mximo nmero de cifras del periodo es 10, ya que los restos al dividir entre 11, si la divisin no es exacta, pueden variar entre 1 y 10.

74 Sabiendo que a > b > c > 0, compara los siguientes pares de fracciones:a y b c c a > b; a < a; b < b c c b c a c a y a b c b y b a c

75 a) Calcula en forma decimal el valor de la siguiente expresin:3 + 3 + 3 + 10 100 1 000 b) Escribe el resultado en forma de fraccin.

) a) 3 + 3 + 3 + = 0,3 + 0,03 + 0,003 + = 0,3 10 100 1 000 ) b) 0,3 = 1 3 76 Divide por 3 varios nmeros menores que 10 y observa los resultados. Qupuede ocurrir cuando dividimos por 3? Puedes predecir las cifras decimales de los cocientes 30 La parte decimal del cociente a : 3 es Cul ser la parte decimal de (a + 1) : 3 y de (a + 2) : 3? 3, 31 3, 32 3?


Cambia la desigualdad.

1


) 1 = 0,3 3 ) 4 = 1,3 3 ) 7 = 2,3 3 30 31 32

) 2 = 0,6 3 ) 5 = 1,6 3 ) 8 = 2,6 3

3 =1 3 6 =2 3 9 =3 3

Hay tres posibilidades: Decimal peridico de periodo 3. Decimal peridico de periodo 6. Decimal exacto.

3 = 10 3 3

Exacto (pues 30 es mltiplo de 3)

) Peridico de periodo 3 31 = 10 + 1 = 10,3 3 3 Peridico de periodo 6 32 = 10 + 2 = 10,6 3 3

( (

) ) )

(a + 1) : 3 ser una divisin exacta. La parte decimal de (a + 2) : 3 ser peridica de periodo 3.

77 Si divides 1 entre 2, da 0,5. Utiliza tu calculadora para obtener decimales mayores y menores que 0,5. Qu caracterstica deben tener las fracciones que dan decimales mayores que 0,5? Y las que dan decimales menores que 0,5? Las fracciones cuyo numerador sea mayor que la mitad del denominador darn decimales mayores que 0,5. Las fracciones cuyo numerador sea menor que la mitad del denominador, darn decimales menores que 0,5. PROFUNDIZA

78 Divide por 7 los nmeros del 1 al 10 y anota los resultados.Cuntos decimales distintos pueden salir? Tiene eso que ver con el hecho de que estemos dividiendo entre 7? Puedes predecir el resultado de 27 : 7 y de 45 : 7? Cul ser el nmero a si a : 7 = 10,285714? 1 = 0,142857 7 4 = 0,571428 7 7 =1 7

) )

2 = 0,285714 7 5 = 0,714285 7

) )

3 = 0,428571 7 6 = 0,857142 7

) )10 = 1,428571 7

8 = 1,142857 7

)

9 = 1,285714 7

)

)


1


Pueden salir 6 decimales distintos. (Pues al dividir entre 7, si la divisin no es exacta, podemos obtener 6 restos distintos: 1, 2, 3, 4, 5, 6). 27 = 3 + 6 = 3,857142 7 7 45 = 6 + 3 = 6,428571 7 7

)

) )

a = 10,285714 = 10 + 0,285714 = 10 + 2 = 72 a = 72 7 7 7

)

79 Investiga. Alicia ha tratado de investigar el periodo obtenido al dividir por17. Despus de dividir por 17 los nmeros 1, 2, 3, 4 y 5, cree que tiene ya el periodo completo, que supone que tiene 16 cifras. Comprubalo usando la calculadora hasta donde te sea necesario. a) Podras escribir el resultado de dividir 36 entre 17 con veinte cifras decimales? b) De la misma manera, halla el resultado de dividir 401 entre 43 con veinte cifras decimales. 1 = 0,0588235294117647 17 3 = 0,1764705882352941 17 5 = 0,2941176470588235 17 2 = 0,1176470588235294 17 4 = 0,2352941176470588 17

a) 36 = 2 + 2 = 2,1176470588235294 17 17 Con veinte cifras decimales sera: 2,11764705882352941176 b) 401 = 9,325581395348837209302 43 Con veinte cifras decimales sera: 9,32558139534883720930

80 Investiga en qu cifra termina el nmero 355. Observa antes en qu cifra terminan las sucesivas potencias de 3 y busca una regla que te permita saber la ltima cifra de cualquier potencia de base 3. En qu nmero termina la potencia de exponente 100 y bases 2, 3, 4 y 7? Potencias de 3 31 = 3 3 5 = 243 32 = 9 3 6 = 729 3 3 = 27 3 7 = 2 187 3 4 = 81 3 8 = 6 561


1


Si dividimos el exponente entre 4 y el resto es: 0 la potencia acaba en 1 1 la potencia acaba en 3 2 la potencia acaba en 9 3 la potencia acaba en 7 Como 55 44 15 13 3 ( Potencias de 2 21 = 2 2 5 = 32 Como 100 44 20 25 0 ( Potencias de 3 Por lo dicho anteriormente, 3 100 acaba en 1. Potencias de 4 41 = 4 4 3 = 64 4 2 = 16 4 4 = 256 Exponente impar acaba en 4 Exponente par acaba en 6 Resto = 0 2 100 acaba en 6 22 = 4 2 6 = 64 23 = 8 2 7 = 128 2 4 = 16 2 8 = 256 el resto es 3, entonces 3 55 acaba en 7.

4 100 acaba en 6. Potencias de 7 71 = 7 7 5 = 16 807 7100 acaba en 1 7 2 = 49 7 6 = 117 649 7 3 = 343 7 7 = 823 543 7 4 = 2 401 7 8 = 5 764 801


1


Pgina 38 PRACTICA Fracciones y decimales

1 a) Agrupa, entre las siguientes fracciones, las que sean equivalentes:10 5 1 5 2 2 15 15 7 3 15 3 6 21 b) Representa sobre rectngulos cada una de esas fracciones. a) 10 = 2 ; 15 3 b) 5 = 15 ; 7 21 1 = 5 = 2 3 15 6 10 15 2 3 15 21 5 7 1 3 5 15 2 6

2 Simplifica:a) 30 42 a) 30 = 5 42 7 d) 60 = 2 210 7 b) 18 72 c) 75 125 b) 18 = 1 72 4 e) 2 000 = 1 4 000 2 d) 60 210 e) 2 000 4 000 c) 75 = 3 125 5

3 Escribe la fraccin que representa la parte coloreada en cada una de estas figurasy ordnalas.


1


1 =4 2 8 1 < 3 < 1 < 5 4 8 2 8

1 =2 4 8

3 8

5 8

4 Escribe una fraccin equivalente a 2/5 y otra equivalente a 7/6, pero quetengan el mismo denominador. m.c.m. (5, 6) = 30 2 = 12 ; 7 = 35 5 30 6 30

5 Transforma en decimal estas fracciones:2 4 8 3 3 10 25 8 Efectuamos la divisin en cada caso: 19 16 1 7 8 9 5 3

) 2 = 0,6; 3 ) 8 = 0,8; 9

4 = 0,4; 8 = 0,32; 3 = 0,375; 19 = 1,1875; 1 = 0,142857; 10 25 8 16 7 ) 5 = 1,6 3

)

6 Clasifica los siguientes nmeros racionales en decimales exactos y decimalesperidicos. (Intenta dar la respuesta antes de efectuar la divisin). 1 2 3 5 7 23 13 4 3 5 4 8 6 10 5 9 Todas las fracciones propuestas son irreducibles. Darn lugar a decimales exactos cuando en el denominador solo estn como factores primos el 2 y el 5. En otro caso, darn lugar a decimales peridicos. Por tanto: Decimales exactos 2 , 3 , 5 , 23 , 13 . 5 4 8 10 5 Decimales peridicos 1 , 7 , 4 . 3 6 9

7 Expresa en forma de fraccin y mediante un decimal la parte coloreada deestas figuras: a) b) c)

a) 8 = 0,32 25Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

b) 9 = 0,18 50

c) 17 = 0,68 25

1


8 Expresa en forma de fraccin: )a) 25,8 b) 4, 25 a) 25,8 = 258 = 129 10 5 b) 100N = 425,2525 N = 4,2525

c) 4,25

d) 3,047

)

e) 0,152

)

99N = 421 c) 4,25 = 425 = 17 100 4

N = 421 99

d) 1 000N = 3 047,777 100N = 304,777 900N = 2 743 N = 2 743 900

e) 1 000N = 152,152152 N = 0,152152 N = 152 999

999N = 152

9 Escribe tres nmeros que estn comprendidos entre cada par de decimales:a) 0,6 y 0,8 d) 0,99 y 1 b) 0,7 y 0,8 e) 2,43 y 2,44 c) 0,9 y 1 f) 2,436 y 2,437

Hay infinitos nmeros comprendidos entre cada par de decimales. Por ejemplo, podemos poner: a) 0,61; 0,62; 0,63 c) 0,91; 0,92; 0,93 e) 2,431; 2,432; 2,433 20 25 b) 0,71; 0,72; 0,73 d) 0,991; 0,992; 0,993 f ) 2,4361; 2,4362; 2,4363 10

10 Ordena las fracciones 13 , 14 y 7 .a 1- forma: Expresamos las fracciones en forma decimal:

13 = 0,65 14 = 0,56 7 = 0,70 20 25 10 Por tanto: 14 < 13 < 7 25 20 10 a forma: Reducimos a comn denominador: 213 = 65 ; 14 = 56 ; 7 = 70 20 100 25 100 10 100Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

Por tanto: 14 < 13 < 7 25 20 10

1


) ) ) 11 Ordena de menor a mayor estos nmeros: 2,47; 2,47; 2,4 ; 2, 472,47 ) ) ) 2,47 = 2,4777 ) 2,4 < 2,47 < 2,47 < 2,47 2, 4 = 2,4444 ) 2, 47 = 2,4747

12 Cules de estos nmeros pueden expresarse como fracciones? ) )0,25 3, 58 0,00 1 3,030030003 Escribe la fraccin que representa a cada uno en los casos que sea posible. 0,25 = 25 = 1 100 4 100N = 358,5858 N = 3,5858 N = 355 99

99N = 355 1 000N = 1,111 100N = 0,111 900N = 1

N= 1 900

3,030030003 no se puede expresar como fraccin; no es un nmero decimal exacto ni peridico. Es un nmero irracional. Clculo mental

13 Calcula mentalmente:a) 7 2 + 4 d) 7 + 2 4 g) 11 + 3 (5 2) a) 7 2 + 4 = 9 d) 7 + 2 4 = 9 g) 11 + 3 (5 2) = 20 b) 7 (2 + 4) e) 11 + 3 5 2 h) (7 + 3) (5 2) b) 7 (2 + 4) = 1 e) 11 + 3 5 2 = 24 h) (7 + 3) (5 2) = 30 c) 7 (2 4) = 9 f ) (7 + 3) 5 2 = 48 c) 7 (2 4) f) (7 + 3) 5 2

14 Calcula mentalmente:a) La cuarta parte de 100, 200, 600 y 1 000. b) Los cuadrados de los nmeros del 1 al 12. c) Los cubos de los nmeros del 1 al 5. d) Las potencias de base 2 hasta 210.Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


a) 25, 50, 150 y 250, respectivamente. b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 y 144, respectivamente. c) 1, 8, 27, 64 y 125, respectivamente. d) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 y 1 024, respectivamente.

15 Calcula mentalmente el nmero decimal equivalente a cada fraccin:1 1 2 3 4 5 5 5 1 = 0,5; 3 = 0,75; 1 = 0,25; 1 = 0,2; 2 = 0,4; 3 = 0,6 2 4 4 5 5 5 1 2 3 4

16 Calcula mentalmente:a) (2)5 a) (2) 5 = 32 Pgina 39 b) (2)8 b) (2) 8 = 256 c) (1)10 c) (1) 10 = 1 d) (1)23 d) (1) 23 = 1

17 Calcula mentalmente:a) 20 (350) d) 1 640 4 a) 20 (350) = 7 000 d) 1 640 4 = 6 560 b) 50 60 20 e) 2 486 50 b) 50 60 = 150 20 e) 2 486 50 = 124 300 c) 2 75 (2) f) 120 25 c) 2 75 (2) = 300 f ) 120 25 = 3 000

18 Calcula mentalmente:a) 2 de 60 3 d) La mitad de 2 . 3 e) La tercera parte de 12 . 7 f) La mitad de la quinta parte de 6. a) 40 b) 75 c) 3 d) 1 3 e) 4 7 f ) 3 5 b) 3 de 100 4 c) 3 de 500 500

19 Calcula mentalmente:a) Los tres cuartos de un nmero valen 12. Cul es el nmero? b) Los dos tercios de un nmero valen 20. De qu nmero se trata? c) Los 3/5 de una cantidad son 15. Cul es esa cantidad?Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


a) 3 de x = 12 x = 16 4 b) 2 de x = 20 x = 30 3 c) 3 de x = 15 x = 25 5

20 Calcula y simplifica:a) 3 2 5 3 d) 1 4 3 5 a) 3 2 = 5 3 d) 1 4 = 3 5 b) 6 3 4 e) 8 : 2 3 3 b) 6 3 = 18 = 9 4 4 2 e) 8 : 2 = 24 = 4 3 3 6 c) 5 : 3 4 f) 2 : 4 7 c) 5 : 3 = 4 f) 2 : 4 = 7

2 5 4 15

20 3 2 = 1 28 14

21 Calcula mentalmente:a) 1 + 1 2 4 d) 1 1 2 4 a) 1 + 1 = 2 4 d) 1 1 = 2 4 b) 1 + 1 2 e) 1 + 1 3 b) 1 + 1 = 2 e) 1 + 1 = 3 c) 2 1 4 f) 1 1 2 3 c) 2 1 = 7 4 4 f) 1 1 = 1 2 3 6

3 4 1 4

3 2 4 3

Operaciones con nmeros racionales

22 Calcula:a) 1 1 + 1 2 3 5 c) 1 1 30 45 a) 1 1 + 1 = 15 10 + 6 = 11 2 3 5 30 30 30 30 b) 5 + 1 + 3 = 30 + 4 + 27 = 61 6 9 4 36 36 36 36 c) 1 1 = 3 2 = 1 30 45 90 90 90 d) 11 3 7 = 44 9 14 = 21 = 7 30 40 60 120 120 120 120 40Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

b) 5 + 1 + 3 6 9 4 d) 11 3 7 30 40 60

1


23 Calcula:a) 3 1 + 2 6 3 c) 3 2 + 1 2 3

(

) )

b) 2 2 + 5 7 3 2 d) 5 1 2 3

a) 3 1 + 2 = 3 1 2 = 18 1 4 = 13 6 3 1 6 3 6 6 6 6 b) 2 2 + 5 7 = 4 + 3 = 8 + 9 = 17 3 2 3 2 6 6 6 c) 3 2 + 1 = 9 12 + 2 = 1 2 3 6 6 6 6 d) 5 1 2 = 5 5 = 5 + 5 = 20 3 3 3 3

(

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )

24 Calcula:a) 5 de 224 32 a) 5 de 224 = 5 224 = 5 7 = 35 32 32 b) 17 de 120 = 17 120 = 17 15 = 255 8 8 b) 17 de 120 8

25 Separa en cada fraccin la parte entera, como en el ejemplo: 3 = 1 + 12 2 a) 5 3 a) 5 = 1 + 2 3 3 d) 17 = 3 2 5 5 b) 7 3 c) 45 7 b) 7 = 2 1 3 3 e) 23 = 2 + 3 10 10 d) 17 5 e) 23 10

c) 45 = 6 + 3 7 7

26 El valor medio entre el 0 y el 1 es 1 . Calcula el valor medio comprendido2 entre cada pareja de nmeros: a) 1 y 2 2 b) 2 y 3 3 4 c) 1 y 3 5


1


1 5 +2 2 a) = 2 = 5 4 2 2 2 3 17 + b) 3 4 = 12 = 17 24 2 2 3 2 1 + 5 = 5 = 1 c) 5 2 2

27

( E S T R E S U E LTO E N E L L I B RO ) .

28 Reduce a una sola fraccin las expresiones:a) 1 1 1 1 2 4 8 16 b) 3 1 + 2 3 2 + 1 5 4 4 5

c) 1 + 1 3 + 1 1 1 3 4 2 3 4

d) 3 + 1 1 3 1 + 2 3 5 3 4 2 3 20

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ] ) ( ) ( ) ( )

a) 1 1 1 1 = 1 1 1 = 16 1 2 = 13 2 4 8 16 2 32 16 32 32 32 32 b) 3 1 + 2 3 2 + 1 = 12 5 + 40 15 8 + 20 = 5 4 4 5 20 20 20 20 20 20 = 47 27 = 20 = 1 20 20 20 c) 1 + 1 3 + 1 1 1 = 4 5 1 = 4 5 = 64 5 = 59 3 4 2 3 4 3 4 12 3 48 48 48 48 d) 3 + 1 1 3 1 + 2 3 = 5 3 4 2 3 20

(

( ) ( )( ) ( ) [ ( ) ] ( ) [ ]= 14 76 = 14 19 = 5 = 1 15 60 15 15 15 3

= 9 + 5 60 45 + 30 + 40 9 = 15 15 60 60 60 60 60


1


Pgina 40

29 Reduce:

a) 2 3 1 1 5 1 3 4 2 6 6 3

a) 2 3 1 1 5 1 = 2 1 1 3 = 2 1 1 1 = 3 4 2 6 6 3 3 4 6 6 3 4 6 2 = 2 1 = 1 12 12 12 b) 5 : 2 + 1 3 : 1 1 = 5 : 3 3 : 1 = 10 12 = 10 36 = 26 4 2 4 2 4 3 1 3 3 3

( (

) )

( (

) )

b) 5 : 2 + 1 3 : 1 1 4 2 4

( ) (

)

( ) (

)

30 Reduce a una fraccin:1 1+ 2 a) 1 1 2 1 3 1+ 2 = 2 =3 a) 1 1 1 2 2 1 3 5 7 12 c) 4 5 = 20 20 = 20 = 7 7 3 14 15 1 10 4 20 20 20 5 3 3 b) 5 3+ 3 1 3 c) 4 5 7 3 10 4 5 4 3 3 = 3 = 4 = 2 b) 5 3 + 14 14 7 3 3

31 Comprueba que el resultado de estas operaciones es un nmero entero:a) 1 1 3 2 1 1 6 5 3 2

c) 3 1 3 17 1 1 3 8 5 20 3 d) 2 1 + 13 2 1 3 9 32

a) 1 1 3 2 1 1 = 5 13 1 = 13 + 1 = 12 = 2 6 5 3 2 6 5 6 6 6 6 b) 2 : 1 + 1 3 : 1 + 1 = 2 : 4 3 : 3 = 3 2 = 1 6 2 2 6 2

( )( [ [( ) ( )( ( )

( ) ( )] ( )] ( ) ) ( ) ( ): 1 1 3

) (

)

b) 2 : 1 + 1 3 : 1 + 1 6 2 2

(

) ( )

( )


1


c) 3 1 3 17 1 1 3 = 3 2 3 8 = 8 5 20 3 8 5 20 3 = 3 2 8 = 3 2 2 = 0 8 5 20 8 5 5

[

d) 2 1 + 13 2 1 3 9 3

[(

[ ( )( ) [ ] [ ) ( )] ( ) [ ]( )2

(

) ( )]

]

: 1 1 = 5 + 13 1 : 2 = 18 : 2 = 3 9 9 3 9 3 = 2 : 2 = 6 = 3 3 2

32 Calcula las siguientes potencias:a) (2)4 d) 2 3 a) (2) 4 = 16 d) 2 3 = 1/8 b) (2)3 e) (2)2 b) (2) 3 = 8 e) (2) 2 = 1 = 1 (2) 2 4 c) 22 f) (2)3 c) 2 2 = 4 f ) (2) 3 = 1 = 1 8 (2) 3

33 A qu nmero entero es igual cada una de estas potencias?a) 137 d) 1 2 b) (1) 74

c) 1 2 f) 4 5 c) 1 2 f) 4 5

( )

e) 1 3

( )

4

a) 1 37 = 1 d) 1 2

b) (1) 7 = 1 e) 1 3

( )

4

= (2) 4 = 16

( )

4

= (3) 4 = 81

( ( ( (

) ) ) )

2

0

2

= 22 = 4

0

=1

34 Escribe en forma de potencia de base 2 3:a) 128 a) 128 = 2 7 d) 1 = 13 = 3 3 27 3 b) 729 c) 1 64 b) 729 = 3 6 e) 1 = 3 1 3 d) 1 27 e) 1 3 c) 1 = 16 = 2 6 64 2

35 Expresa con potencias de base 10:a) 1 000 000 d) una milsima a) 10 6 b) 10 9 b) mil millones e) 0,000000001 c) 10 5 d) 10 3 c) 0,00001 f) una millonsima e) 10 9 f ) 10 6


1


36 Expresa como potencia nica:a) 2 5

() ()2

: 2 5

1

b) 1 2

() ()3

: 1 2

5

5 37 c) 3 2 3 5 2 2 f) 2 3 4 13 2 9 5

d) (22 23) 4 a) 2 5

() () ()2

4 42 e) 2 2 8

: 2 5

1

= 2 5

1

= 2 5

b) 1 2

() () ()3

: 1 2

= 1 2

2

= 22 = 4

5 37 c) 3 2 = 3 4 = 14 = 1 81 3 3

d) (2 2 2 3) 4 = (2 1) 4 = 2 4 = 16

4 42 4 2 4 e) 2 2 = 2 6 = 16 = 2 6 = 1 64 2 8 2 5 2 2 5 4 2 4 f ) 2 3 4 13 = 2 3 2 23 = 2 4 3 4 = 34 = 3 2 2 9 2 3 2

()

4

= 81 16

37 Reduce:2 a) 3 2 (3) 2 2 d) 3 (3) 2 4 63 9 2 2 a) 3 2 = 3 = 1 2 (3) 3

b) 2 5 e) 1 3

() () () ()2

: 2 5

3

c) 2 3 f)

3

: 1 4

2

() ( ) [( ) ]2

3 2

4

1 2

3 2

b) 2 5 c) 2 3

() () () () ( )2

: 2 5

3

= 2 5

1

= 5 2

2

3 2

4

2 4 2 = 22 3 4 = 32 = 9 4 3 2 2

2 2 2 4 d) 3 (3) 2 4 = 33 3 3 2 4 = 24 = 2 81 3 63 9 2 3 3

e) 1 3 f)

() () [( ) ] ( )3

: 1 4

2

= 1 : 1 = 16 27 16 276

1 2

3 2

= 1 2

= 16 = 1 64 2

38 Simplifica:3 2 2 a) 2 (3) 2 4 63 9Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

4 2 1 b) 2 5 4 3 92 2 893

1


3 2 2 3 2 4 4 a) 2 (3) 2 4 = 23 3 3 2 4 = 2 5 = 16 243 63 9 2 3 3 3 4 2 1 4 4 2 2 b) 2 5 4 3 9 2 = 25 2 3 3 2 3 2 = 2 5 = 4 243 2 893 2 2 3 3 3

39 Calcula:a) a) b)

c) 3 3 2 4

[( ) ] [( ) ] ( ) ( [( ) ] ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( )1 1 23 2

b)

1 2 6 3

1 5

c) 3 3 2 4

2

1 7 3 9

)

1

1 1 2

3 2

= 1 2

6

= 16 = 1 64 25

1 2 6 3

1 5

= 3 6

= 1 2

5

= 1 32

2

1 7 3 9

1

= 3 4

2

4 9

1

= 4 3

2

9 = 16 9 = 4 4 9 4

40 Calcula pasando a fraccin: ) ) )a) 0, 4 + 0, 3 + 0, 2

b) 3,0 7 1,6 7

)

)

c) 0, 7 + 1, 23

)

)

d) 0,3 6 1, 2

)

)

) ) ) c) 0,7 1,23 = 7 + 122 = 77 + 122 = 199 = 2,01 9 99 99 99 99

) ) b) 3,07 1,67 = 277 151 = 126 = 7 = 1,4 90 90 90 5

) ) ) a) 0,4 + 0,3 + 0,2 = 4 + 3 + 2 = 9 = 1 9 9 9 9

) ) ) d) 0,36 1,2 = 33 11 = 33 110 = 77 = 0,85 90 9 90 90 90 ) a) 4 (0,75 + 0, 6 ) + 13 3 12 ) a) 4 (0,75 + 0,6) + 13 = 4 3 12 3 = 16 12 ) ) b) 5 + 0,1 6 4 65 0, 6 + 0,2 1 6 3 8 3

41 Calcula:

(

(

) ) b) 5 + 0,16 4 65 0, 6 + 0,2 1 = 6 3 8 3= 5 + 1 4 65 2 + 1 1 = 4 65 1 + 1 = 6 6 3 8 3 5 3 3 8 3 5 = 4 65 5 + 3 = 4 65 8 = 4 65 = 4 13 = 17 3 8 15 15 3 8 15 3 15 3 3 3Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

(

(

)( ) ( )( ) ( ( )

3 + 2 + 13 = 16 9 + 8 + 13 = 4 3 12 12 12 12 12 17 + 13 = 12 = 1 12 12 12

)

)( )

(

(

)

)

) )

(

)

1


Races

42 Calcula cuando sea posible:a) 64 d) 8 a) 64 = 2 6 = 2 d) 8 no existe6 6 6

b) 8 e) 625/16 b) 8 = (2) 3 = 24 4 e) 625/16 = 5 4/2 4 = 5 2 3 3 4

3

c) 625 f) 1 c) 625 = 5 4 = 5 f ) 1 = 15 4 4 5

4

Pgina 41

43 Indica cules de las siguientes races son racionales y cules irracionales:a) 64 d) 100 a) 64 = 8 racional c) 64 = 2 63 5 5

b) 64 e) 1003 3 3

3

c) 64 f) 1/4 b) 64 = 2 6 = 4 racional d) 100 = 10 racional f ) 1/4 = 1 racional 2

5

irracional

e) 100 irracional Calculadora

44 Con ayuda de la calculadora, busca el dgito que hay que poner en cada cuadrado para que se verifique la igualdad: a) 4 I 5 + 85 I = 1 I 13; b) 34 I I 6 = 8 970; c) 425 + 23 I = 5 I 6 a) 455 + 858 = 1 313 b) 345 26 = 8 970 c) 425 + 23 7 = 586

45 Sustituye los cuadrados por el signo de la operacin adecuada para que estasigualdades sean verdaderas: a) 12 I 34 I 9 = 318 a) 12 + 34 9 = 318 b) (25 I 16) I 45 I 5 = 400 b) (25 16) 45 5 = 400

46 Con los dgitos 3, 4, 5 y 6, forma dos nmeros de dos cifras de modo que almultiplicarlos obtengas el mayor producto posible. Tomamos los dos dgitos mayores como decenas de los dos nmeros que buscamos, y nos quedan dos opciones: 53 64 = 3 392 El producto mayor es 54 63. 54 63 = 3 402 Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


47 Pon los parntesis necesarios para que cada expresin d el resultado que indica la flecha: a) 6 + 3 5 + 8 53 c) 7 + 3 5 1 19 a) (6 + 3) 5 + 8 = 53 c) 7 + 3 (5 1) = 19 b) 6 + 3 5 + 8 45 d) 7 + 3 5 1 40 b) 6 + 3 (5 + 8) = 45 d) (7 + 3) (5 1) = 40

48 Si en tu calculadora no funcionase la tecla del 0, cmo podras conseguirque apareciese en la pantalla cada uno de estos nmeros? a) 180 a) 180 = 5 36 8 c) 1 080 = 135 b) 108 c) 1 080 b) 108 = 3 36 4 162 d) 104 050 = 25 d) 104 050

49 Si en la pantalla de tu calculadora est el nmero 56 327, qu operacin haras para transformar el 3 en un 0? Y para que en lugar del 6 hubiera un 8? Para transformar el 3 en un cero, basta con restar 300: 56 327 300 = 56 027 Para transformar el 6 en un 8, basta con sumar 2 000: 56 327 + 2 000 = 58 327

50 Qu pantallas irs obteniendo al introducir la siguiente secuencia de teclas?0.5 200? ? ? ? ?

Qu aparecer en pantalla si introduces 80 0.5 200

?

Si introducimos 80

aparecer

. (Se multiplica 0,5 80).

51 Qu resultado crees que obtendrs con la siguiente secuencia?2 4 096Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


52 Para dividir 2 530 : 396 (halla cociente y resto), efecta la siguiente secuencia:396 2 530 Ve observando los nmeros que van apareciendo en la pantalla y prate cuando el resultado sea menor que 396. Ese es el resto de la divisin. El cociente es el nmero de veces que has pulsado la tecla Razona el porqu del proceso anterior. Al introducir la secuencia: 396 2 530 1442443 6 veces obtenemos .

Por tanto, el cociente de la divisin 2 530 : 396 es 6 y el resto 154. 2 530 , vamos restando 396 (en priCuando introducimos 396 mer lugar de 2 530) cada vez que pulsamos . Si lo pulsamos 6 veces, hemos efectuado: 2 530 6 396, y hemos obtenido 154; es decir, 2 530 = 6 396 + 154.

53 Predice y comprueba con la mquina la pantalla resultante de las siguientesentradas, partiendo en cada caso de la pantalla y la memoria a cero. a) 9 b) 8 c) 8 d) 19 a) 8 6 7 5 14 5 b) 2 2 7 c) 26 d) 0,5 7 9

54 Utiliza los parntesis necesarios para efectuar las siguientes operaciones conla calculadora. Estima previamente el resultado. a) 30 7 + 18 42 62 c) 25 4,5 4 2,5 5

b) 18 3,5 (2 16,5 30) 0,53 d) 344 5 4 25 5 143 3

(

)

a)

30

7

18

4

6

Por tanto: 30 7 + 18 = 22,8 42 6 b) 18 3.5 .5 2 16.5 30 Por tanto: 18 3,5 (2 16,5 30) = 3 0,5Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


c)

25

4.5

4

2.5

5

2 Por tanto: 25 4,5 = 0,95 4 2,5 5 344 5 4 3 d) 3 Por tanto: 344 5 4 25 = 6 35 143

3

5

143

25

(

)

Pgina 42 P I E N S A Y R E S U E LV E

55 E J E RC I C I O R E S U E LTODe un bidn de aceite se saca primero la mitad y despus la quinta parte, quedando an 3 litros. Cul es la capacidad del bidn? Resolucin1 2 1 2

Sacamos la mitad. Dividimos la otra mitad en 5 partes. Sacamos 1 de la mitad, que es 1 , y nos quedan 4 , 5 10 10

que son 3 litros. La capacidad es de 30 = 7,5 litros.4

Comprueba la solucin. Comprobamos que la capacidad es de 7,5 litros: Sacamos la mitad 7,5 : 2 = 3,75 litros sacamos 3,75 litros quedan. Despus la quinta parte 3,75 : 5 = 0,75 litros sacamos 3 litros quedan. En efecto, quedan 3 litros.

56 En un depsito lleno de agua haba 3 000 litros. Un da se gast 1/6 del depsito, y otro, 1 250 litros. Qu fraccin queda? 1 de 3 000 = 3 000 = 500 litros se gastaron primero. 6 6 1 250 + 500 = 1 750 litros se han gastado en total. 3 000 1 750 = 1 250 litros quedan. 1 250 litros de 3 000 que haba representan la fraccin: 1 250 = 5 del depsito quedan. 3 000 12Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


De otra forma: 1 250 = 5 del depsito se gastan en segundo lugar. 3 000 12 1 + 5 = 7 del depsito se gastan en total. 6 12 12 Por tanto, quedan 5 del depsito. 12

57 De un solar se vendieron los 2/3 de su superficie, y despus, los 2/3 de lo quequedaba. El Ayuntamiento expropi los 3 200 m2 restantes para un parque pblico. Cul era su superficie? Se venden 2 queda 1 3 3 Despus, 2 de 1 = 2 se venden. En total se han vendido: 3 3 9 2 + 2 = 6 + 2 = 8 Queda 1 , que son 3 200 m 2 3 9 9 9 9 9 Por tanto, la superficie era de: 3 200 9 = 28 800 m 2.

58 En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de un dacorresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la venta de fruta, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a 89 , qu caja ha hecho el establecimiento? La fraccin del total correspondiente a las naranjas es: 3 de 5 = 3 5 = 5 , que son 89 . 8 6 8 6 16 Por tanto, el total es: 89 16 = 284,8 5

59 Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. El primero aporta 1/3 del capital, el segundo 2/5 y el tercero el resto. Al cabo de tres meses, reparten unos beneficios de 150 000 . Cunto corresponde a cada uno? Al primero le corresponder 1 de 150 000 = 50 000 . 3 Al segundo, 2 de 150 000 = 60 000 . 5 Y, al tercero, el resto: 150 000 (50 000 + 60 000) = 40 000


1


60 Una pelota pierde en cada bote 2/5 de la altura a la que lleg en el bote anterior. Qu fraccin de la altura inicial, desde la que cay, alcanza despus de cuatro botes? Despus de 1 bote alcanza 2 de la altura inicial. 5 Despus de 2 botes alcanza 2 de 2 = 2 5 5 5 Despus de 3 botes alcanza 2 de 2 5 5 Despus de 4 botes alcanza 2 de 2 5 52

() () () () ()2

de la altura inicial.3

= 2 5 = 2 5

de la altura inicial. = 16 de la altura inicial. 625

3

4

61 Se adquieren 10 kg de ciruelas para hacer mermelada. Al deshuesarlas, se reduceen 1/5 su peso. Lo que queda se cuece con una cantidad igual de azcar, perdindose en la coccin 1/4 de su peso. Cuntos kilos de mermelada se obtienen? Al deshuesarlas se reduce 1 el peso quedan 4 de 10 kg = 8 kg. 5 5 Se cuecen los 8 kg de ciruelas con 8 kg de azcar; es decir, 16 kg de mezcla. Se pierde en la coccin 1 del peso se obtienen: 4 3 de 16 = 12 kg de mermelada 4

62 Un campo rectangular de 120 m de largo se pone a la venta en dos parcelas a

razn de 50 el metro cuadrado. La primera parcela, que supone los 7/12 del campo, sale por 140 000 . Cunto mide la anchura del campo?

7 del total = 140 000 Total = 240 000 12 A 50 /m 2 240 000 : 50 = 4 800 m 2 tiene el campo en total. 4 800 : 120 = 40 m mide la anchura del campo.

63 Compro a plazos un equipo de msica que vale 500 . Hago un pago de 60 ,despus los 2/3 de lo que me queda por pagar, y luego 1/5 de lo que an debo. a) Cunto he devuelto cada vez? b) Qu parte de la deuda he pagado? c) Cunto me queda por pagar? a) 1er pago 60 me quedan por pagar: 500 60 = 440 o 2- pago 2 de 440 = 293,33 me quedan por pagar: 3 440 293,33 = 146,67 Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


3er pago 1 de 146,67 = 29,33 me quedan por pagar: 5 146,67 29,33 = 117,34 a a a La 1- vez he devuelto 60 , la 2- vez 293,33 , y la 3- vez, 29,33 .

b) 1er pago

60 = 3 del total me faltan 22 . 500 25 25 o 2- pago 2 de 22 = 44 en total llevo pagado 3 + 44 = 53 . 3 25 75 25 75 75 Me faltan 22 . 75 3er pago 1 de 22 = 22 en total he pagado 53 + 22 = 287 . 5 75 375 75 375 375 La parte de deuda que he pagado son 287 del total. 375 c) Me quedan por pagar 88 del total, que son 117,34 . 375

64 Un ciclista, yendo a una velocidad de 24 km/h, tarda 1 h 30 min en recorrerlos 3/5 de la distancia entre dos ciudades, A y B. a) Qu distancia hay entre esas ciudades? b) Si sali de A a las 10 h, a qu hora llegar a B? a) En 1,5 horas recorre 24 1,5 = 36 km. Si llamamos x a la distancia entre A y B, tenemos que: 3 de x = 36 x = 60 km hay entre A y B 5 b) A 24 km/h tarda en recorrer 60 km: 60 : 24 = 2,5 horas Por tanto, si sali de A a las 10 h, llegar a B a las doce y media, es decir, a las 12 h 30 min.

65 Al lavar una tela, su longitud se reduce en 1/10 y su anchura, 1/15. Qu longitud debe comprarse de una pieza de 0,90 m de ancho para tener, despus de lavada, 10,5 m 2 de tela?Despus de lavar 14 de 0,90 = 0,84 m 15

0,90 m x

10,5 m2 9 de x = 0,9 x 10

La superficie de tela, despus de lavada, es: 0,9x 0,84 = 10,5 m 2Unidad 1. Los nmeros y sus utilidades

1


Hallamos la anchura inicial, x: 0,756x = 10,5 x = 10,5 0,756 13,89 m

66 Un taxista cambia el aceite de un vehculo cada 3 500 km y le hace una revisin general cada 8 000 km. Cada cuntos kilmetros coinciden las dos operaciones? m.c.m. (3 500, 8 000) = 56 000 Entonces cada 56 000 km coinciden las dos operaciones.

67 En una cooperativa tienen 420 litros de un tipo de aceite y 225 litros de otro.Quieren envasarlo con el menor nmero posible de garrafas iguales. Qu capacidad tendr cada garrafa? M.C.D. (420, 225) = 15 Cada garrafa ha de tener 15 litros.

68 Se desea cubrir con baldosas cuadradas una habitacin de 330 cm de anchopor 390 cm de largo. Qu tamao deben tener las baldosas si deben ser lo ms grandes posible y no se quiere cortar ninguna? M.C.D. (330, 390) = 30 Las baldosas han de ser de 30 cm 30 cm. Pgina 43 REFLEXIONA SOBRE LA TEORA

69 Representa cada nmero en su lugar:a) 3,045 b) 3,453,4 3,04 3,004 3,0004

c) 3,000453,45 3,045 3,0045 3,00045 3,5 3,05

d) 3,0045

3,005 3,0005

) 70 Demuestra que 3,69 y 3,7 se expresan mediante la misma fraccin.Expresamos en forma de fraccin cada uno de los dos nmeros: N = 3,69

)

100N = 369,999 10N = 36,999 90N = 333 N = 333 = 37 90 10


1


) ) 71 Demuestra que 0,3 + 0,6 = 1. Busca otros dos decimales peridicos cuya suma sea un decimal exacto. Expresamos 0,3 y 0,6 en forma de fraccin: 10N = 3,333 N = 0,333 N=3 =1 9 3 ) ) 1 2 3 Por tanto: 0,3 + 0,6 = + = = 1 3 3 3 9N = 3 Otro ejemplo sera: 0,45 + 0,54. Vemoslo: 100N = 45,4545 N = 0,4545 99N = 45 100M = 54,5454 M = 0,5454 99M = 54 M = 54 = 6 99 11 N = 45 = 5 99 11 10M = 6,666 M = 0,666 9M = 6 M= 6 = 2 9 3

) 3,69 = 37 10 Se expresan mediante la misma fraccin. 37 3,7 = 10 ) )

)

)

) ) Por tanto: 0,45 + 0,54 = 5 + 6 = 11 = 1 11 11 11Esto ocurre siempre que la suma de los periodos est formada solo por nueves.

72 Comprueba que si multiplicas los dos miembros de una desigualdad por unnmero positivo, esta sigue siendo verdadera. Hazlo con estas desigualdades: 3 1 2

73 Pon ejemplos, reflexiona, responde y opina:a) Qu condicin debe cumplir n para que n/11 sea peridico? b) Cul es el mximo nmero de cifras del periodo de ese nmero? a) n no debe ser mltiplo de 11. b) El mximo nmero de cifras del periodo es 10, ya que los restos al dividir entre 11, si la divisin no es exacta, pueden variar entre 1 y 10.

74 Sabiendo que a > b > c > 0, compara los siguientes pares de fracciones:a y b c c a > b; a < a; b < b c c b c a c a y a b c b y b a c

75 a) Calcula en forma decimal el valor de la siguiente expresin:3 + 3 + 3 + 10 100 1 000 b) Escribe el resultado en forma de fraccin.

) a) 3 + 3 + 3 + = 0,3 + 0,03 + 0,003 + = 0,3 10 100 1 000 ) b) 0,3 = 1 3 76 Divide por 3 varios nmeros menores que 10 y observa los resultados. Qupuede ocurrir cuando dividimos por 3? Puedes predecir las cifras decimales de los cocientes 30 La parte decimal del cociente a : 3 es Cul ser la parte decimal de (a + 1) : 3 y de (a + 2) : 3? 3, 31 3, 32 3?


Cambia la desigualdad.

1


) 1 = 0,3 3 ) 4 = 1,3 3 ) 7 = 2,3 3 30 31 32

) 2 = 0,6 3 ) 5 = 1,6 3 ) 8 = 2,6 3

3 =1 3 6 =2 3 9 =3 3

Hay tres posibilidades: Decimal peridico de periodo 3. Decimal peridico de periodo 6. Decimal exacto.

3 = 10 3 3

Exacto (pues 30 es mltiplo de 3)

) Peridico de periodo 3 31 = 10 + 1 = 10,3 3 3 Peridico de periodo 6 32 = 10 + 2 = 10,6 3 3

( (

) ) )

(a + 1) : 3 ser una divisin exacta. La parte decimal de (a + 2) : 3 ser peridica de periodo 3.

77 Si divides 1 entre 2, da 0,5. Utiliza tu calculadora para obtener decimales mayores y menores que 0,5. Qu caracterstica deben tener las fracciones que dan decimales mayores que 0,5? Y las que dan decimales menores que 0,5? Las fracciones cuyo numerador sea mayor que la mitad del denominador darn decimales mayores que 0,5. Las fracciones cuyo numerador sea menor que la mitad del denominador, darn decimales menores que 0,5. PROFUNDIZA

78 Divide por 7 los nmeros del 1 al 10 y anota los resultados.Cuntos decimales distintos pueden salir? Tiene eso que ver con el hecho de que estemos dividiendo entre 7? Puedes predecir el resultado de 27 : 7 y de 45 : 7? Cul ser el nmero a si a : 7 = 10,285714? 1 = 0,142857 7 4 = 0,571428 7 7 =1 7

) )

2 = 0,285714 7 5 = 0,714285 7

) )

3 = 0,428571 7 6 = 0,857142 7

) )10 = 1,428571 7

8 = 1,142857 7

)

9 = 1,285714 7

)

)


1


Pueden salir 6 decimales distintos. (Pues al dividir entre 7, si la divisin no es exacta, podemos obtener 6 restos distintos: 1, 2, 3, 4, 5, 6). 27 = 3 + 6 = 3,857142 7 7 45 = 6 + 3 = 6,428571 7 7

)

) )

a = 10,285714 = 10 + 0,285714 = 10 + 2 = 72 a = 72 7 7 7

)

79 Investiga. Alicia ha tratado de investigar el periodo obtenido al dividir por17. Despus de dividir por 17 los nmeros 1, 2, 3, 4 y 5, cree que tiene ya el periodo completo, que supone que tiene 16 cifras. Comprubalo usando la calculadora hasta donde te sea necesario. a) Podras escribir el resultado de dividir 36 entre 17 con veinte cifras decimales? b) De la misma manera, halla el resultado de dividir 401 entre 43 con veinte cifras decimales. 1 = 0,0588235294117647 17 3 = 0,1764705882352941 17 5 = 0,2941176470588235 17 2 = 0,1176470588235294 17 4 = 0,2352941176470588 17

a) 36 = 2 + 2 = 2,1176470588235294 17 17 Con veinte cifras decimales sera: 2,11764705882352941176 b) 401 = 9,325581395348837209302 43 Con veinte cifras decimales sera: 9,32558139534883720930

80 Investiga en qu cifra termina el nmero 355. Observa antes en qu cifra terminan las sucesivas potencias de 3 y busca una regla que te permita saber la ltima cifra de cualquier potencia de base 3. En qu nmero termina la potencia de exponente 100 y bases 2, 3, 4 y 7? Potencias de 3 31 = 3 3 5 = 243 32 = 9 3 6 = 729 3 3 = 27 3 7 = 2 187 3 4 = 81 3 8 = 6 561


1


Si dividimos el exponente entre 4 y el resto es: 0 la potencia acaba en 1 1 la potencia acaba en 3 2 la potencia acaba en 9 3 la potencia acaba en 7 Como 55 44 15 13 3 ( Potencias de 2 21 = 2 2 5 = 32 Como 100 44 20 25 0 ( Potencias de 3 Por lo dicho anteriormente, 3 100 acaba en 1. Potencias de 4 41 = 4 4 3 = 64 4 2 = 16 4 4 = 256 Exponente impar acaba en 4 Exponente par acaba en 6 Resto = 0 2 100 acaba en 6 22 = 4 2 6 = 64 23 = 8 2 7 = 128 2 4 = 16 2 8 = 256 el resto es 3, entonces 3 55 acaba en 7.

4 100 acaba en 6. Potencias de 7 71 = 7 7 5 = 16 807 7100 acaba en 1 7 2 = 49 7 6 = 117 649 7 3 = 343 7 7 = 823 543 7 4 = 2 401 7 8 = 5 764 801


2 1


Pgina 60 PRACTICA

1 Calcula mentalmente:a) 25% de 400 d) 125% de 80 g) 20% de 2 000 a) 100 b) 500 c) 20 b) 125% de 400 e) 75% de 400 h) 120% de 2 000 d) 100 e) 300 f ) 1 050 g) 400 h) 2 400 c) 25% de 80 f) 175% de 600

2 Halla:a) 30% de 1 670 d) 16% de 25 g) 0,3% de 5 000 b) 12% de 3 075 e) 115% de 1 640 h) 1,2% de 2 000 c) 43% de 4 600 f) 165% de 7 800

a) 30% de 1 670 = 1 670 0,3 = 501 b) 12% de 3 075 = 3 075 0,12 = 369 c) 43% de 4 600 = 4 600 0,43 = 1 978 d) 16% de 25 = 25 0,16 = 4 e) 115% de 1 640 = 1 640 1,15 = 1 886 f ) 165% de 7 800 = 7 800 1,65 = 12 870 g) 0,3% de 5 000 = 5 000 0,003 = 15 h) 1,2% de 2 000 = 2 000 0,012 = 24

3 Completa la tabla que hace corresponder cada porcentaje con un nmero decimal:30% 61% 0,30 30% 61% 0,30 0,61 0,03 120% 180% 240% 1,80 2,70

3% 120% 180% 240% 270% 0,03 1,20 1,80 2,40 2,70

4 Completa la tabla como en el ejemplo:TOTAL

%PARTE TOTAL

400 15% 60 400 15% 60

640 35%

850 136 12% 87 725 12% 87

1 280 64 1 280 5% 64

%PARTE

640 35% 224

850 16% 136

Unidad 2. Problemas de proporcionalidad

2 1


5 Calcula x en cada proporcin:a) 20 = 440 x 30 c) 12 = 14 x 63 a) 20 = 400 30 x b) 72 = x 135 45 c) 12 = 14 x 63 d) x = 143 17 187 b) 72 = x 135 45 d) x = 143 17 187 x = 30 440 = 660 20 x = 45 72 = 24 135 x = 12 63 = 54 14 x = 17 143 = 13 187

6 Completa la tabla sabiendo que las magnitudes A y B son directamenteproporcionales.A B A B 1 5 10 24 10 24 15 45 83

1 2,4

5 12

15 36

45 83 108 199,2

7 Completa la tabla sabiendo que las magnitudes M y N son inversamenteproporcionales.M N M N 1 2 3 4 18 4 18 6 9

1 72

2 36

3 24

6 12

9 8

P I E N S A Y R E S U E LV E Proporcionalidad directa e inversa

8 El dueo de un papelera ha abonado una factura de 670 por un pedido de25 cajas de folios. A cunto ascender la factura de un segundo pedido de 17 cajas? Cuntas cajas recibir en un tercer pedido que genera una factura de 938 ? Directamente proporcionales: 25 cajas 670 17 670 17 cajas x x = = 455,6 costarn 17 cajas 25 Directamente proporcionales: 670 25 cajas 938 25 938 y y = = 35 cajas recibir en el tercer pedido 670Unidad 2. Problemas de proporcionalidad

2 1


Otra forma: 670 : 25 = 26,8 cuesta 1 caja. 26,8 17 = 455,6 costarn 17 cajas. 938 : 26,8 = 35 cajas recibir en el tercer pedido.

9 Cinco carpinteros necesita 21 das para entarimar un suelo. Cuntos carpinteros sern necesarios si se desea hacer el trabajo en 15 das? Inversamente proporcionales: 21 das 5 carpinteros 21 5 15 das x x = = 7 carpinteros 15 Otra forma: 21 5 = 105 carpinteros seran necesarios para tardar 1 da. 105 : 15 = 7 carpinteros seran necesarios para tardar 15 das.

10 Los vecinos de una urbanizacin abonan 390 mensuales por las 130 farolasque alumbran sus calles. Cuntas farolas han de suprimir si desean reducir la factura mensual a 240 ? Directamente proporcionales: 390 130 farolas 240 130 240 x x = = 80 farolas quedarn 390 130 80 = 50 farolas han de suprimir. Otra forma: 390 : 130 = 3 pagan por cada farola. 240 : 3 = 80 farolas quedarn. 130 80 = 50 farolas han de suprimir.

11 Un campamento de refugiados que alberga a 4 600 personas tiene vveres para 24 semanas. En cunto se reducir ese tiempo con la llegada de 200 nuevos refugiados? 4 600 + 200 = 4 800 refugiados habr con los nuevos. Inversamente proporcionales: 4 600 personas 24 semanas 4 600 24 x = = 23 semanas durarn 4 800 personas x 4 800 los viveres Se reducir en 1 semana. Otra forma: 4 600 24 = 110 400 semanas duraran los vveres para 1 persona. 110 400 : 4 800 = 23 semanas durarn los vveres para 4 800 refugiados. 24 23 = 1 semana se reducir el tiempo.Unidad 2. Problemas de proporcionalidad

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12 Una finca tiene una valla antigua sostenida por 650 postes que estn colocados a intervalos de 1,20 m. Cuntos postes se necesitarn para la nueva valla en la que los postes se colocarn a intervalos de 1,30 m? Inversamente proporcionales: 1,20 m 650 postes 1,20 650 1,30 m x x = = 600 postes 1,30 Otra forma: 1,20 650 = 780 postes necesitaramos con 1 m de distancia entre ellos. 780 : 1,30 = 600 postes se necesitarn con 1,30 m de distancia entre ellos.

13 Un manantial tarda cinco horas y veinte minutos en llenar un piln de 7 800litros. Cuntos litros aporta el manantial a la semana? 5 h 20 min = 320 minutos; 1 semana = 7 24 60 = 10 080 minutos. Directamente proporcionales: 320 min 7 800 litros 10 080 7 800 x = = 245 700 litros en una 10 080 min x 320 semana Otra forma: 7 800 : 320 = 24,375 litros aporta en 1 minuto. 10 080 24,375 = 245 700 litros aporta en una semana.

14 Un peregrino del Camino de Santiago ha invertido 5 das y 2 horas en cubriruna distancia de 128 kilmetros. Sabiendo que en cada jornada camina durante seis horas, qu distancia recorre al da? 5 das 6 horas/da = 30 horas 30 horas + 2 horas = 32 horas ha tardado en recorrer 128 km. 128 : 32 = 4 km recorre en 1 hora. 4 6 = 24 km recorre al da. Otra forma: Directamente proporcionales: 32 horas 128 km 6 128 6 horas x x = = 24 km recorre al da. 32

15 Una locomotora, a 85 km/h, tarda tres horas y dieciocho minutos en realizarel viaje de ida entre dos ciudades. Cunto tardar en el viaje de vuelta si aumenta su velocidad a 110 km/h? 3 horas 18 minutos = 198 minutos Inversamente proporcionales: 85 km/h 198 min 85 198 110 km/h x x = = 153 min = 2 horas 33 min 110Unidad 2. Problemas de proporcionalidad

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Otra forma: 3 horas 18 min = 3,3 horas 85 km/h 3,3 h = 280,5 km recorre en total. 280,5 : 110 = 2,55 horas tarda en la vuelta = 2 horas 33 minutos. Proporcionalidad

16 Cuatro mineros abren una galera de 15 metros de longitud en 9 das. Cuntos metros de galera abrirn 6 mineros en 15 das?PROPORCIONALIDAD DIRECTA

PROP. DIRECTA N DE MINEROS N DE DAS

LONGITUD

(m)

4 1 6

9 1 15

15 15 = 5 4 9 12 5 6 15 = 37,5 12

Abrirn 37,5 metros Otra forma: 15 : 4 = 3,75 m abrir 1 minero en 9 das. 3,75 : 9 = 5 m abrir 1 minero en 1 da. 12 5 6 = 2,5 m abrirn 6 mineros en 1 da. 12 2,5 15 = 37,5 m abrirn 6 mineros en 15 das. Pgina 61

17 Cinco obreros, trabajando 6 horas diarias, han necesitado 12 das para levantar un muro. Cuntos obreros necitamos para construir ese muro en 9 das, trabajando jornadas de 10 horas?PROPORCIONALIDAD INVERSA

PROP. INVERSA N DE HORAS DIARIAS N DE DAS

N DE OBREROS

6 1 10

12 1 9

5 5 6 12 = 360 360 = 4 10 9


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Habran sido necesarios 4 obreros. Otra forma: 5 12 = 60 das tardara 1 obrero trabajando 6 horas diarias. 60 6 = 360 horas tardara 1 obrero en hacer todo el trabajo. 360 : 10 = 36 das tardara 1 obrero trabajando 10 horas diarias. 36 : 9 = 4 obreros seran necesarios para acabar enn 9 das a 10 horas diarias.

18 En una cadena de montaje, 17 operarios, trabajando 8 horas al da, ensamblan 850 aparatos de radio a la semana. Cuntas horas diarias deben trabajar la prxima semana, para atender un pedido de 1 000 aparatos, teniendo en cuenta que se aadir un refuerzo de tres trabajadores?PROPORCIONALIDAD INVERSA

PROP. DIRECTA N DE OPERARIOS N DE APARATOS

N DE HORAS DIARIAS

17 1 20

850 1 1 000

8 8 17 = 0,16 850 0,16 1 000 = 8 20

Debern trabajar 8 horas diarias. Otra forma: 8 17 = 136 horas necesitara 1 operario para ensamblar 850 aparatos. 136 : 850 = 0,16 horas necesitara 1 operario para ensamblar 1 aparato. 0,16 1 000 = 160 horas necesitara 1 operario para ensamblar 1 000 aparatos. 160 : 20 = 8 horas diarias deben trabajar 20 operarios para ensamblar 1 000 aparatos.

19 En un campo de 200 m de largo y 80 m de anchura, se ha recogido una cosechade 4 800 kg de trigo. Qu cosecha podemos esperar de otro campo que mide 190 m de largo y 90 m de ancho?PROPORCIONALIDAD DIRECTA

PROP. DIRECTA LONGITUD

(m)

ANCHURA

(m)

COSECHA

(kg)

200 1 190

80 1 90

4 800 4 800 = 0,3 200 80 0,3 190 90 = 5 130


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Se puede esperar una cosecha de 5 130 kg de trigo. Otra forma: 4 800 : 200 = 24 kg se esperan en un campo de 1 m de largo y 80 m de ancho. 24 : 80 = 0,3 kg se esperan en un campo de 1 m de largo y 1 m de ancho. 0,3 190 = 57 kg se esperan en un campo de 190 m de largo y 1 m de ancho. 57 90 = 5 130 kg se esperan en un campo de 190 m de largo y 90 m de ancho. Repar tos proporcionales

20 Dos albailes cobran 340 por un trabajo realizado conjuntamente. Si elprimero trabaj tres jornadas y media y el segundo cinco jornadas, cunto cobrar cada uno? 340 : 8,5 jornadas = 40 cobrar por 1 jornada. 1er albail 3,5 jornadas 3,5 40 = 140 cobrar 2 albail

5 jornadas 5 40 = 200 cobrar

21 Tres hermanos se reparten una herencia de 2 820 de forma que por cadacinco euros que reciba el mayor, el mediano recibir cuatro, y el pequeo, tres. Qu cantidad se lleva cada uno? Mayor 5x 5 235 = 1 175 se llevar. Mediano 4x 4 235 = 940 se llevar. Pequeo 3x 3 235 = 705 se llevar. Total = 12x = 2 820 x = 2 820 : 12 = 235

22 Se han abonado 6 888 por la limpieza de un bosque realizada por dos brigadas de trabajadores. La primera brigada est formada por 12 operarios y ha trabajado durante 8 das. La segunda brigada tiene 15 hombres y ha trabajado 10 das. Cunto corresponde a cada brigada? 1 brigada 12 8 = 96 das deben pagar a la 1 brigada. 2 brigada 15 10 = 150 das deben pagar a la 2 brigada. Suma = 246 das 6 888 96 = 2 688 deben pagar a la 1 brigada. 246 6 888 150 = 4 200 deben pagar a la 2 brigada. 246

23 Tres socios han obtenido en su negocio un beneficio de 12 900 . Qu parte corresponde a cada uno si el primero aport inicialmente 18 000 , el segundo, 15 000 , y el tercero, 10 000 ?


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12 900 : 43 000 = 0,3 corresponden por cada euro invertido. 1er socio 18 000 0,3 18 000 = 5 400 le corresponden. 2 socio 15 000 0,3 15 000 = 4 500 le corresponden. 3er socio 10 000 0,3 10 000 = 3 000 le corresponden.

Suma = 43 000 aportan entre los tres. Mezclas

24 En una bodega se mezclan 6 hl de vino de alta calidad que cuesta a 300 el

hectlitro, con 10 hl de vino de calidad inferior a 220 /hl. A cmo sale el litro del vino resultante?CANTIDAD ALTA CALIDAD BAJA CALIDAD MEZCLA

(hl)

PRECIO

(hl)

6 10 16

300 220

6 300 = 1 800 10 220 = 2 200 4 000COSTE

Coste total = 4 000 = 250 cuesta 1 hl de mezcla. Cantidad total 16 250 : 100 = 2,5 cuesta 1 l de mezcla. Precio de la mezcla =

25 Se han vertido 3 litros de agua, a 15 C, en una olla que contena 6 litros deagua a 60 C. A qu temperatura est ahora el agua de la olla?CANTIDAD

(l)

TEMPERATURA

(C) 3 15 = 45 6 60 = 360 405

1 CANTIDAD 2 CANTIDAD CANTIDAD 3

3 6 9

15 60

Temperatura mezcla = 405 = 45 C 9

26 Se ha fundido un lingote de oro de 3 kg de peso y 80% de pureza, junto conotro lingote de 1 kg y 64% de pureza. Cul es la pureza del lingote resultante?CANTIDAD 1er LINGOTE 2 LINGOTE MEZCLA

(kg)

PUREZA

(%)

CANTIDAD DE ORO (kg)

3 1 4

80% 64%

3 0,8 = 2,4 1 0,64 = 0,64 3,04

Proporcin de oro en la mezcla = 3,04 = 0,76 76% de pureza. 4 Es decir, hay un 76% de oro en el lingote resultante.Unidad 2. Problemas de proporcionalidad

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27 Se funden 3 kg de oro puro con 7 kg de oro de 20 quilates. Cul es la ley dellingote resultante? El oro puro tiene una ley de 24 quilates que significa una pureza del 100%. Una ley de 20 quilates significa que de 24 partes del peso del lingote, 20 son de oro.CANTIDAD 1er LINGOTE 2 LINGOTE

(kg)

PROPORCIN DE ORO CANTIDAD DE ORO (kg)

3 7 10

1 20 = 5 24 6

31=3 5 7 = 35 6 6 3 + 35 = 53 6 6

MEZCLA

Proporcin de oro en la mezcla = 53/6 = 53 0,88 (88% de oro). 10 60 Para hallar a cuntos quilates corresponde hacemos: 53 = x x = 53 24 = 21,2 quilates 60 24 60 Mviles

28 Dos ciudades A y B distan 350 km. De A sale hacia B un coche a 110km/h. Simultneamente sale de B hacia A un camin a 90 km/h. Calcula el tiempo que tardarn en encontrarse y la distancia que recorre cada uno.A 110 km/h 350 km 90 km/h B

Se aproximan a una velocidad de: 110 + 90 = 200 km/h Tiempo que tardan en encontrarse: t = d = 350 = 1,75 horas = 1 hora 45 minutos v 200 Distancia que recorre cada uno: 110 1,75 = 192,5 km recorre el que sale de A. 350 192,5 = 157,5 km recorre el que sale de B.

29 Un autobs sale de A a 105 km/h. Simultneamente sale de B un coche a120 km/h. La distancia entre A y B es de 300 km. Calcula la distancia que recorre cada uno hasta que se cruzan.A 105 km/h 300 km B 120 km/h

Se aproximan a una velocidad de: 105 + 120 = 225 km/hUnidad 2. Problemas de proporcionalidad

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Tiempo que tardan en encontrarse: ) t = d = 300 = 1,3 horas = 1 h 20 min v 225 Distancia que recorre cada uno: ) Autobs: d = t v = 1,3 105 = 140 km ) Coche: d = t v = 1,3 120 = 160 km

30 Un camin sale de cierta poblacin a una velocidad de 90 km/h. Cinco minutos ms tarde sale en su persecucin una moto a 120 km/h. Cunto tiempo tarda la moto en alcanzar al camin? Al cabo de los 5 minutos, el camin ha recorrido: 5 90 = 7,5 km le lleva de ventaja. 60A 120 km/h 7,5 km B 90 km/h

Se aproximan a una velocidad de: 120 90 = 30 km/h Tiempo que tarda en alcanzarlo: t = d = 7,5 = 0,25 horas = 15 minutos v 30 Porcentajes

31 El 64% de los 875 alumnos y alumnas de un colegio estn matriculadosen Educacin Secundaria. Cuntos de ellos no son de Secundaria? 64% de 875 = 0,64 875 = 560 son de Secundaria. 875 560 = 315 no son de Secundaria. Otra forma: 64% son de secundaria 100% 64% = 36% no son de Secundaria. 36% de 875 = 0,36 875 = 315 no son de Secundaria.

32 Un pantano contena en enero un milln de metros cbicos de agua y estaballeno. Sus reservas se redujeron en abril al 80% de la capacidad, y en agosto, al 30%. Cuntos metros cbicos de agua contena en abril? Y en agosto? Abril: 1 000 000 0,8 = 800 000 m3 de agua Agosto: 1 000 000 0,3 = 300 000 m3 de agua


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Pgina 62

33 El precio de un artculo sin IVA es de 725 . Si he pagado 841 , qu porcentaje de IVA me han cargado? 725 x = 841 x = 841 = 1,16 725 El porcentaje de IVA es del 16%.

34 Se han pagado 45 por una entrada para un partido adquirida en la reventa.Si el revendedor ha cobrado el 180% del precio original, cunto costaba la entrada en taquilla? x 1,8 = 45 x = 45 = 25 1,8

35 Un litro de gasolina costaba en enero 0,88 , pero ha sufrido dos subidas enlos ltimos meses, la primera de un 5% y la segunda, un 4%. Cunto cuesta ahora un litro de combustible? Primera subida: 0,88 1,05 = 0,924 Segunda subida: 0,924 1,04 = 0,96096 0,96 Un litro de combustible cuesta unos 0,96 .

36 El precio del aluminio que se emplea en las ventanas ha subido dos veces eneste ao. La primera un 15% y la segunda un 8%. Pero en el ltimo trimestre ha bajado un 6%. Cul ha sido el porcentaje de subida al cabo del ao? 1 + 0,15 = 1,15 primera subida 1 + 0,08 = 1,08 segunda subida 1 0,06 = 0,94 bajada 1,15 1,08 0,94 = 1,16748 Ha habido un subida del 16,748%.

37 De los 240 viajeros que ocupan un avin, el 30% son asiticos, el 15% africanos, el 25% americanos y el resto europeos. Cunto europeos viajan en el avin? 30% + 15% + 25% = 70% no son europeos. 100% 70% = 30% son europeos. 30% de 240 = 0,30 240 = 72 viajeros son europeos.

38 Un cine tiene 520 butacas ocupadas, lo que supone el 65% del total. Cul esla capacidad del cine? 65% de x = 520 x = 520 : 0,65 = 800 butacas hay en total.Unidad 2. Problemas de proporcionalidad

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39 Los resultados en tiros de tres puntos obtenidos por tres jugadores de baloncesto han sido:JUGADOR TIROS CONSEGUIDOS

%

A 15 48,3

B 20 45,5

C 14 35

Cuntos intentos ha hecho cada uno? Jugador A 48,3% de x = 15 x = 15 : 0,483 Jugador B 45,5% de y = 20 y = 20 : 0,455 31 intentos 44 intentos

Jugador C 35% de z = 14 z = 14 : 0,35 = 40 intentos

40 Calcula el coste final detodos estos artculos, teniendo en cuenta la rebaja que se anuncia.

REBAJAS 15%

Rebaja del 15% Pagamos 100% 15% = 85% Los precios ya rebajados sern: Pantaln Guantes Zapatos 85% de 54 = 0,85 54 = 45,9 85% de 22,4 = 0,85 22,4 = 19,04 3,64 85% de 62 = 0,85 62 = 52,7 Chaqueta 85% de 108 = 0,85 108 = 91,8 Calcetines 85% de 4,28 = 0,85 4,28 = 3,638

41 He pagado 16,28 por una camisa que estaba rebajada un 12%. Cuntocostaba la camisa sin rebaja? Rebaja del 12% He pagado 100% 12% = 88% 88% de x = 16,28 x = 16,28 : 0,88 = 18,5 costaba sin rebaja.

42 Un panadero vende el pan de un kilo a 2,10 y la barra de cuarto de kilo a0,4 . Si ha decidido subir sus productos en 12%, cules sern los nuevos precios? Subida del 12% Pagamos 100% + 12% = 112% Pan de 1 kg 112% de 2,10 = 1,12 2,10 = 2,352 Barra de 1 kg 112% de 0,4 = 1,12 0,4 = 0,448 4Unidad 2. Problemas de proporcionalidad

2,35 0,45

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43 A Mara, en su factura del agua, le aplican un recargo del 10% sobre el costetotal por exceso de consumo, un descuento del 15%, tambin sobre el total, por ser empleada de la compaia suministradora, y a la cantidad resultante se le aplica un 16% de IVA. Cunto tendr que pagar finalmente si, segn el contador, la cuota era de 120 ? 120 1,10 0,85 1,16 = 130,152 130,15 tendr que pagar. Inters simple

44 Calcular el beneficio obtenido de un capital de 5 000 colocado al 2,5%anual durante 7 meses. 5 000 0,025 = 125 de beneficio por un ao. 125 7 12 72,92 de beneficio por 7 meses.

45 Un agricultor compra una finca de 24 ha a 1,2 el metro cuadrado, acordando saldar su deuda tres aos ms tarde con un inters del 3% anual. Qu cantidad deber abonar al cabo de tres aos? 24 ha = 24 hm2 = 240 000 m2 240 000 1,2 = 288 000 costaba la finca. 288 000 0,03 = 8 640 de inters anual ha de pagar. 8 640 3 = 25 920 de inters debe pagar por los 3 aos. 288 000 + 25 920 = 313 920 deber abonar al cabo de los 3 aos.

46 Qu beneficio obtiene un prestamista que cede un capital de 2 500 , al12% anual, durante 45 das? 2 500 0,12 = 300 de beneficio obtendra por 1 ao. 300 45 = 36,99 de beneficio obtiene por 45 das. 365

47 Un banco cobra un inters del 19% anual por los descubiertos en las cuentas.Qu coste tiene para un cliente haber dejado su cuenta con un dficit de 75 durante 15 das? 75 0,19 = 14,25 le cobraran por un ao. 14,25 15 365 0,59 le cuesta por 15 das.

48 Qu renta mensual obtiene un inversionista que coloca un capital de18 500 , al 6,25%, durante 30 das? 1 156,25 : 12 18 500 0,0625 = 1 156,25 obtendra de beneficio por 1 ao. 96,35 obtiene de beneficio por un mes.


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Inters compuesto

49 En cunto se convertir un capital de 80 000 , colocado al 4% anual, si semantiene en el banco durante tres aos sin retirar los intereses? 80 000 1,043 = 89 989,12 Pgina 63

50 Calcula el beneficio conseguido por un capital de 2 000 colocados durante2 aos al 5% de inters compuesto anual. 2 000 1,052 = 2 205 habr al cabo de dos aos. 2 205 2 000 = 205 de beneficio.

51 Se colocan en el banco 3 400 , al 25% de inters compuesto anual, durante 3 aos. Qu cantidad se retirar al final del perodo? 3 400 1,0253 3 661,43

REFLEXIONA SOBRE LA TEORA

52 Justifica por qu al repartir una cantidad en partes proporcionales a 2, 3 y 5,se obtiene el mismo resultado que si se reparte en partes proporcionales a 4, 6 y 10. 2 + 3 + 5 = 10. El reparto es 2 , 3 , 5 de la cantidad. 10 10 10 4 + 6 + 10 = 20. El reparto es 4 , 6 , 10 de la cantidad. 20 20 20 Y es: 2 = 4 , 3 = 6 , 5 = 10 . 10 20 10 20 10 20

53 Dos coches salen a la misma hora de dos poblaciones A y B, uno al encuentro del otro.A K M H B

Cul debe ser la razn de sus velocidades para que se encuentren en el punto medio, M? Y para que se encuentren en el punto K? Y para que se encuentren en el punto H? Para que se encuentren en M, sus velocidades han de ser iguales (distancias recorridas iguales). Para que se encuentren en K, (la distancia que recorre el que sale de A es 1 4 de la distancia que recorre el que sale de B) la velocidad de B ha de ser 4 veces la de A; o la de A, 1 de la de B. 4Unidad 2. Problemas de proporcionalidad

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Para que se encuentren en H, la razn de sus velocidades ser: vA 9 v = o B = 1 vB 1 vA 9

54 Se quiere repartir una cantidad C en partes proporcionales a m, n y p. Escribe las frmulas que expresan las partes Pm, Pn y Pp, en que quedar dividida dicha cantidad. Cp Pm = C m ; Pn = C n ; Pp = m+n+p m+n+p m+n+p

55 Una cantidad C se ha repartido en partes proporcionales a tres nmeros, a,b y c. Las partes obtenidas han sido C/2, C/3 y C/6. Cules son los nmeros a, b y c? 1 parte C = 2 2 parte C = 3 3 parte C 6 3C a = 3 6 2C b = 2 6 c=1

56 Una cantidad, A, rebajada un 15%, se ha convertido en otra cantidad B deforma que A k = B Cul es el valor de k ? k = 0,85

57 Una cantidad, M, aumentada en un 5% se ha convertido en otra cantidad H,de forma que M k = H. Cul es el valor de k? k = 1,05

58 Qu porcentaje es?a) El 50% del 50% d) El 80% del 20% a) 50% del 50% b) 10% del 10% c) 20% del 25% d) 80% del 20% b) El 10% del 10% e) El 20% del 120% 0,5 0,5 = 0,25 25% 0,1 0,1 = 0,01 1% 0,2 0,25 = 0,05 5% 0,8 0,2 = 0,16 16% =1 100% c) El 20% del 25% f) El 50% del 200%

e) 20% del 120% 0,2 1,2 = 0,24 24% f ) 50% del 200% 0,5 2


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59 Cul es el beneficio, I, obtenido al colocar en el banco un capital, C, durante 5 meses, con un inters del 4% anual? I = C 0,04 5 = 0,0167C El 1,67% de C 12

60 Cul es el beneficio obtenido al colocar en el banco un capital, C, durante85 das, con un inters del 4% anual? I = C 0,04 85 = 0,009315C El 0,93% de C 365 PROFUNDIZA

61 Cinco camiones, haciendo 6 viajes al da, consiguen evacuar 600 m3 de tierraen 4 das. Cuntos das tardarn 7 camiones en mover 3 500 m3 de tierra si desescombran en un vertedero ms prximo, lo que permite a cada camin realizar 10 viajes al da?PROPORCIONALIDAD INVERSA

PROP. INVERSA PROP. DIRECTA N DE CAMIONES N DE VIAJES AL DA

m3 DE TIERRA 600 1 3 500

4

N DE DAS

5 1 7

6 1 10

4 5 6 = 0,2 600 0,2 3 500 = 10 7 10

Tardarn 10 das Otra forma: 5 6 = 30 viajes para 600 m3 un camin en 4 das. 30 4 = 120 viajes para 600 m3 un camin en 1 da. 600 : 120 = 5 m3 en un viaje en camin. 5 7 = 35 m3 en un viaje 7 camiones. 35 10 = 350 m3 en 10 viajes 7 camiones. 3 500 : 350 = 10 das tardarn 7 camiones, con 10 viajes al da, en desescombrar 3 500 m3 de tierra.


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62 Un albail tarda 6 horas en enfoscar un muro. Un segundo albail es capazde realizar ese mismo trabajo en 4 horas. Cunto tiempo tardaran en hacerlo trabajando juntos? 1er albail Tarda 6 horas Hace 1 en 1 hora. 6 2 albail Tarda 4 horas Hace 1 en 1 hora. 4 Entre los dos hacen en 1 hora:

1 + 1 = 2 + 3 = 5 del total 6 4 12 12 12 Por tanto, trabajando juntos tardarn: 12 hora = 2 horas 24 minutos 5

63 Un coche realiza el viaje desde la ciudad A hasta la ciudad B en 5 horas, yun camin realiza el recorrido contrario, de B a A en 7 horas. Si ambos parten simultneamente, cunto tardarn en cruzarse? Coche Tarda 5 horas 1 del camino en 1 hora. 5 Camin Tarda 7 horas 1 del camino en 1 hora. 7 Entre los dos recorren en 1 hora: 1 + 1 = 7 + 5 = 12 del camino 5 7 35 35 35 Por tanto, tardarn en encontrarse: 35 horas = 2 horas 55 minutos 12

64 Una piscina tiene un grifo que la llena en 9 horas y un desage que la vacaen 12 horas. Cunto tardara en llenarse si por un descuido nos dejramos abierto el desage? Grifo La llena en 9 horas Llena 1 de piscina en 1 hora. 9 Desage La vaca en 12 horas Vaca 1 de piscina en 1 hora. 12 Si abrimos el grifo y el desage, en 1 hora se llena: 1 1 = 4 3 = 1 de piscina. 9 12 36 36 36 Por tanto, tardara 36 horas en llenarse.


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65 Se depositan en un banco 72 000 a un 8% anual y el banco descuenta un15% de los beneficios como retencin fiscal. a) Cul ser el porcentaje neto de rendimiento de ese capital? b) Si los intereses se acumulan trimestralmente al capital, cul ser el beneficio obtenido al cabo de dos aos? a) 0,08 0,85 = 0,068 6,8% anual b) 6,8 : 4 = 1,7% trimestral 72 000 1,0178 = 82 394,85 tendremos al cabo de los dos aos. 82 394,85 72 000 = 10 394,85 de beneficio.

66 Calcula cuntos litros de una disolucin de cido sulfrico al 80% hay queaadir a 5 litros de una disolucin de ese mismo cido, al 15%, para subir la concentracin al 20%.CANTIDAD 1 DISOLUCIN 2 DISOLUCIN MEZCLA

(l )

% 80% 15% 20%

CANTIDAD DE CIDO SULFRICO (l )

x 5 x+5

0,8x 0,15 5 = 0,75 0,2(x + 5) = 0,8x + 0,75

0,2 (x + 5) = 0,8x + 0,75 0,2x + 1 = 0,8x + 0,75 0,25 = 0,6x x = 0,25 0,6 0,417 litros


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Pgina 97 PRACTICA Tr a d u c c i n a l e n g u a j e a l g e b r a i c o

1 Asocia a cada uno de los siguientes enunciados una de las expresiones algebraicas: a) A un nmero se le quita 7. b) El doble de un nmero ms su cuadrado. c) Un mltiplo de 3 menos 1. d) El 20% de un nmero. e) Cuatro veces un nmero menos sus dos tercios. f) El precio de un pantaln aumentado en un 10%. g) Un nmero impar. a) x 7 e) 4x 2x 3 b) 2x + x 2 f ) 1,1x c) 3x 1 g) 2x + 1 0,2x 2x + 1 2x + x 2 1,1x 4x 2x 3 3x 1 x7 d) 0,2x

2 Llama x al ancho de lapizarra y expresa su altura en cada caso: a) La altura es la mitad del ancho. b) La altura es 20 cm menos que el ancho. c) La altura es los tres cuartos del ancho. d) La altura es un 20% menor de su ancho. a) x 2 b) x 20 c) 3x 4 d) 0,8x

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