libro mates 1º eso avanza

7/29/2019 Libro mates 1º ESO Avanza

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1

Matemáticas 1 ESO

El libro Matemáticas para 1.º de ESO es una obra colectivaconcebida, diseñada y creada en el departamentode Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L.,dirigido por Enrique Juan Redal.

En su realización ha participado el siguiente equipo:M.ª Dolores ÁlvarezJoaquín HernándezAna Yolanda MirandaM.ª Rosario MorenoSusana ParraManuela RedondoRaquel RedondoM.ª Teresa SánchezTeresa SantosEsteban Serrano

EDICIÓN

Angélica EscoredoCarlos Pérez

DIRECCIÓN DEL PROYECTODomingo Sánchez Figueroa

AVANZA



Índice

1. Números naturales ....................................................... 6

Antes de empezar la unidad ........................................................... 7

1. Números naturales. Sistemas de numeración .......................... 8

2. Multiplicación de números naturales ...................................... 11

3. División de números naturales ................................................ 12

4. Potencias de números naturales .............................................. 13

5. Operaciones con potencias ...................................................... 14

6. Raíces cuadradas ..................................................................... 16

7. Jerarquía de las operaciones .................................................... 17

Lo esencial .................................................................................... 18

Actividades ................................................................................... 20

2. Divisibilidad.................................................................... 24


3. Múltiplos de un número .......................................................... 26

4. Divisores de un número .......................................................... 27

5. Números primos y compuestos ............................................... 28

6. Factorización de un número .................................................... 29

7. Máximo común divisor ........................................................... 32

8. Mínimo común múltiplo ......................................................... 33

Lo esencial .................................................................................... 34

Actividades ................................................................................... 36

3. Fracciones ....................................................................... 40

Antes de empezar la unidad ........................................................... 411. Números fraccionarios ............................................................ 42

2. Fracciones propias e impropias ............................................... 43

3. Fracciones equivalentes ........................................................... 44

4. Comparación de fracciones ..................................................... 47

5. Suma y resta de fracciones ....................................................... 49

6. Multiplicación de fracciones .................................................... 50

7. División de fracciones .............................................................. 50

8. Jerarquía de las operaciones con fracciones ............................. 51

Lo esencial .................................................................................... 52

Actividades ................................................................................... 54

4. Números decimales ..................................................... 58


1. Números decimales ................................................................. 60

2. Suma y resta de números decimales ........................................ 62

3. Multiplicación de números decimales ..................................... 63

4. División de números decimales ............................................... 64

5. Números decimales y fracciones .............................................. 66Lo esencial .................................................................................... 68

Actividades ................................................................................... 70

5. Números enteros........................................................... 74


1. Números enteros ..................................................................... 76

2. Comparación de números enteros ........................................... 77

3. Suma y resta de dos números enteros ...................................... 78

4. Suma y resta de varios números enteros .................................. 80

6. Multiplicación y división de números enteros ...................... 82

7. Operaciones combinadas con números enteros .................... 83

Lo esencial ................................................................................. 84 Actividades ................................................................................ 86

6. Iniciación al Álgebra .................................................... 90 Antes de empezar la unidad ........................................................... 91

1. Lenguaje algebraico .............................................................. 92

2. Expresiones algebraicas ........................................................ 93

3. Monomios ............................................................................ 94

4. Ecuaciones ............................................................................ 95

5. Elementos de una ecuación .................................................. 95

7. Resolución de ecuaciones de primer grado ........................... 96

8. Resolución de problemas ...................................................... 97

Lo esencial ................................................................................. 98

Actividades ................................................................................ 100



7. Sistema Métrico Decimal........................................... 104

Antes de empezar la unidad ........................................................... 1051. Magnitudes y unidades ............................................................ 106

2. Unidades de longitud .............................................................. 1073. Unidades de capacidad ............................................................ 110

4. Unidades de masa ................................................................... 1115. Unidades de superficie ............................................................ 112

6. Unidades de volumen .............................................................. 114Lo esencial .................................................................................... 116

Actividades ................................................................................... 118

8. Proporcionalidad numérica....................................... 122

Antes de empezar la unidad ........................................................... 1231. Razón y proporción ................................................................. 124

2. Relación de proporcionalidad entre dos magnitudes ............... 1253. Porcentajes .............................................................................. 129Lo esencial .................................................................................... 132

Actividades ................................................................................... 134

9. Rectas y ángulos ........................................................... 138


1. Rectas, semirrectas y segmentos .............................................. 1402. Ángulos ................................................................................... 142

3. Operaciones con ángulos ......................................................... 1444. Sistema sexagesimal ................................................................. 146Lo esencial .................................................................................... 148

Actividades ................................................................................ 150

10. Polígonos y circunferencia ...................................... 154

Antes de empezar la unidad ........................................................... 1551. Polígonos ................................................................................. 1562. Triángulos ............................................................................... 158

4. Teorema de Pitágoras .............................................................. 1595. Cuadriláteros ........................................................................... 160

6. Propiedades de los paralelogramos .......................................... 1617. Circunferencias ........................................................................ 162

8. Posiciones relativas en el plano ................................................ 1639. Polígonos regulares e inscritos ................................................. 163

Lo esencial .................................................................................... 164 Actividades ................................................................................... 166

11. Perímetros y áreas ...................................................... 170

Antes de empezar la unidad ........................................................... 1711. Perímetro de un polígono ........................................................ 172

2. Longitud de la circunferencia .................................................. 1733. Área de los paralelogramos ...................................................... 174

4. Área de un triángulo ................................................................ 1765. Área de un trapecio ................................................................. 177

6. Área de un polígono regular .................................................... 1787. Área del círculo ....................................................................... 178

8. Área de una figura plana .......................................................... 179Lo esencial .................................................................................... 180

Actividades ................................................................................... 182

12. Poliedros y cuerpos de revolución ........................ 186

Antes de empezar la unidad ........................................................... 1872. Poliedros ................................................................................. 188

3. Prismas .................................................................................... 1894. Pirámides ................................................................................. 190

5. Poliedros regulares .................................................................. 191

6. Cuerpos de revolución ............................................................ 192Lo esencial .................................................................................... 194

Actividades ................................................................................... 196

13. Funciones y gráficas .................................................. 200


1. Rectas numéricas ..................................................................... 2022. Coordenadas cartesianas ......................................................... 2033. Funciones ................................................................................ 207

4. Interpretación de gráficas ........................................................ 208Lo esencial .................................................................................... 210

Actividades ................................................................................... 212

14. Estadística y Probabilidad ....................................... 216

Antes de empezar la unidad ........................................................... 2172. Tipos de variables .................................................................... 218

3. Frecuencias. Tablas de frecuencias ........................................... 2194. Gráficos estadísticos ................................................................ 220

6. Sucesos. Espacio muestral ....................................................... 2228. Regla de Laplace ...................................................................... 223Lo esencial .................................................................................... 224

Actividades ................................................................................... 226



Esquema de unidad

Lectura inicial: Muestra laimportancia de lo quevas a estudiara través de episodiosrelacionados con lahistoria de lasMatemáticas.Se proponenactividades quete invitan a investigarsobre el personaje de

la lecturay la importancia desus aportaciones.

Antes de empezarla unidad… Aparece el bloquede contenidosprevios necesariospara comprenderlo que vas a estudiar.Además, mediantela evaluación inicial,podrás afianzarlos contenidosrepasados.

Páginas de contenidos: En ellasencontrarás los contenidos

y procedimientos básicos apoyadosen gran cantidad de ejemplos resueltos.

En la mayoría de las páginas se incluyela sección ANTES DEBES SABER… donde se repasan contenidoso procedimientos que debes conoceral enfrentarte a los nuevos contenidos.Esta sección también se refuerzacon ejemplos resueltos.

Al final de cada página se proponenejercicios que debes saber resolvera partir de los contenidos aprendidos.

La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya quese trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales,de los ejemplos resueltos y de los ejercicios propuestos.

3

1. AunqueLeonardo

daVinci esmás

conocidopor

su pintura,

su contribución alas

matemáticastambién

esimportante.

Averiguaalgunade

susaportaciones.

2. Buscainformación

sobreLuca Pacioli

ylostrabajosque

realizócon Leonardo

daVinci.

3. Investigasobrelas

aportacionesalas

matemáticasdeLuca

Pacioli ysu relación

con lasfracciones.

DESCUBRELAHISTORIA...

Entre la proporción divinay la humana

Da Vinci entró en la sala donde estaba Luca Pacioliexaminando las ilustraciones de su libro.

–Vuestro trabajo me parece fantástico, Leonardo–dijo el fraile ordenando los dibujos geométricos.

–Gracias, padre Pacioli –respondió Da Vincie hizo una leve inclinación–. Vuestra obra,La divina proporción, lo merecía.

–Acerté al encargaros las ilustracionesdel libro, pues sabía que el temade las proporciones os apasionaríadesde el momento en que meenseñasteis el boceto del HombredeVitruvio –remarcó Pacioli.

–Las proporciones humanas que Vitruvio recoge en su tratadose ajustan a los cánones debelleza del arte actual –explicóDa Vinci–. ¿Sabéis quela distancia del codo alextremo de la mano es unquinto de la altura de un hombre,que la distancia del codo a la axilaes un octavo o que la longitudde la mano es un décimo?

Fracciones

Antes de empezar la unidad...

Enesta unidad

aprenderása…

• Manejarlasdistintas

interpretaciones

deunafracción.

• Identificar yhallar

fracciones

equivalentes

auna fraccióndada.

• Compararyordenar

fracciones.

• Realizaroperaciones

confracciones.

PLANDETRABAJO

LECTURADE FRACCIONES

Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador.

7

5

Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresael denominador como se indica en la siguiente tabla:

Denominador 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Se lee m edi os t erci os cuart os quint os sext os sépt i mos octavos novenos déci m os

Si el denominador es mayor que 10, se lee el númeroañadiendo la terminación -avos.

7

5se lee cinco séptimos

5

2se lee dos quintos

Cuando el denominador es mayor que 10:

11

3se lee tres onceavos

F Denominador

Numerador F

F

F

F

F

F

F

Las fracciones seutilizanpara expresar cantidadesincompletas dela unidad.

EVALUACIÓNINICIAL

1 Indicacómoseleen lassiguientesfracciones.

a)4

9c)

2

3e)

12

8

b)13

5d)

5

1f)

15

11

2 Escribecómoselee.

a) Unafraccióncon numerador3 ydenominador5.

b)Una fracciónconnumerador2 ydenominador7.

c) Unafraccióncon denominador9y numerador4.

d)Una fraccióncondenominador6y numerador17.

1. Escribeenformade fracción.

a) S ie te no veno s. c ) Diez do ce avo s.

b) Dos décimos. d) Trece sextos.

41

301 _Unid d03.indd 40 41 05/0 /11 08:1

Lamedidade un ángulose

expresaen gradosy semide

con el transportador.

RECUERDA

Triángulos

Según sean sus lados y sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

Equilátero: tiene los treslados y los tres ángulosiguales.

a= b= c

AT= BU= C Uab

c A

C

B

Isósceles:tiene doslados y dos ángulosiguales.

a= b

AT= BUab

c A

C

B

Escaleno: tiene lostres lados y los tresángulos desiguales.

ab

c A

C

B

Acutángulo: tiene los tresángulos agudos.

ab

c A

C

B

Rectángulo: tieneunángulo recto.

ab

c A

C

B

Obtusángulo: tieneunángulo obtuso.

ab

c A

C

B

Relacionesentreloslados ylosángulos

ANTES, DEBESSABER…

Cómosedespejaen unaecuación

• S i untérminoestá sumando en

unmiembro, pasarestandoalotro.

Ysiestá restando, pasasumando.

• S i untérminoestámultiplicando

enunmiembro, pasadividiendoalotro.

Ysiestá dividiendo, pasamultiplicando.

Dado un triángulo ABC &

, siempre se cumple que:

• La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180°.

EJEMPLO

3 Calcula elánguloquefalta.

AU + BV + CV = 180°

35°+ 45°+ CV = 180°

CV = 180°- 80°= 100°

2

3 Calcula elánguloquefalta.

LOQUEDEBESSABERRESOLVER

2 Clasifica estetriángulo

segúnsus lados

ysus ángulos.

Teorema de Pitágoras

Un triángulo rectángulo es el que tiene un

ángulo recto (90°). Los lados que forman elángulo recto se llaman catetos, y el lado ma-yor, hipotenusa .

a es la hipotenusa, b y c son los catetos.


En un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusaes igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 = b2 + c2

ANTES, DEBESSABER…

Quées laraíz cuadradadeun número

La raízcuadrada deunnúmeroesotronúmeroqueelevadoalcuadrado

es igualalprimero.

4 2= ,porque22= 4 62= 36,entonces 36 6=

EJEMPLOS

5 Sabiendoque,enuntriángulorectángulo,loscatetosmiden

3y 4 cm,respectivamente,¿cuántomidelahipotenusa?

Aplicandoel teoremade Pitágoras:

a a a a3 4 9 16 25 25 5 cm2 2 2 2

= + = + = = =" " "

6 Enuntriángulorectángulo,uncatetomide6 cm yla hipotenusa10cm.

¿Cuántomideelotrocateto?

Supongamosque el catetoconocidoes b:

a2 = b

2 + c2

a = 10,b=6-----" 102 = 62 + c

2 " 102 - 62 = c2 "c

2 = 64

" c 64 8 cm= =

El otrocatetomide8cm.

7 Compruebasiuntriángulocuyosladosmiden6,9 y 1 1cm,

respectivamente,puedeseruntriángulorectángulo.

Si esun triángulorectángulo, sedebecumplir el teoremadePitágoras:

1 1 1 21

6 9 11711 6 9

2

2 2

2 2 2!

=

+ =+" "2 Nose cumpleel teoremade Pitágoras.

Noexisteun triángulorectángulocuyosladosmidan 6, 9y 11cm.

4

B

C

A

a

c

b

G

Pasa restando

Eltriángulorectánguloes elúnicotriánguloque cumple

elteoremadePitágoras.

DATE CUENTA

Conociendola medida

deun catetoyla hipotenusa,

podemoshallar el otro

cateto:

b

a

c

b a c b a c

c a b c a b

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

= - = -

= - = -

"

"

18 Enestetriángulo

rectángulo,¿cuánto

mideelotrocateto?

25cm7cm

LOQUEDEBESSABERRESOLVER

17 Enuntriángulorectángulo,loscatetos

miden5y12 cm,respectivamente.

¿Cuántomedirálahipotenusa?

x+2= 7 " x= 7-2= 5 G

Pasa restando

2x=10 " x=2

105=

G

Pasa dividiendo

AV = 70°

30°110°

45°

35°

CV

CV

158 159

301 _Unid d_10.indd 158 15 05/0 /11 08:1



Lo esencial: Esta doble páginaes de resumen y autoevaluación.

COMPRENDE ESTAS PALABRAS.Es el vocabulario matemáticotrabajado en esa unidad.

HAZLO DE ESTA MANERA. Son losprocedimientos básicos de la unidad.Cada procedimiento se introducemediante la resolución de una actividaden la que se muestra, paso a paso,un método general de resolución.

Y AHORA… PRACTICA. Son actividadesque te permitirán comprobar si dominaslos contenidos esenciales de esa unidad.

Lo esencial

COMPRENDEESTASPALABRAS

Sistema de numeración decimal

D. millarU. millar Centena Decena Unidad

3 5 1 4 2

30000 5000 100 40 2

Sistema de numeración romano

I= 1 V= 5 X= 10 L= 50

C= 100 D= 500 M= 1000

Multiplicación 34 ? 2 = 68

F ac tor es Pr od uc to

División

Potencia ? ? ? ?14 14 1 4 14 1 4 14

5

5veces

=1 2 3 4444 4444

Raízcuadrada 9 3= , porque32 = 9

9 3=Símbolo F

deraíz

F Raíz

Radicando

F

25 3

1 8

Dividendo F

Resto F

F Divisor

F Cociente

HAZLODEESTA MANERA

1. LEERNÚMEROS ROMANOS

Escribe en el sistemanumérico decimal

lossiguientes númerosromanos.

a)XXVII b) IVCXCVI

PRIMERO. Transformamoscadaletraen

su equivalenciaen el sistemanumérico

decimal, teniendoen cuentaquecada letra

en laqueapareceunarayitaencima,

semultiplicapor1000.

a) X10

X10

V5

I1

I1

b) I1 ? 1000

V5 ? 1000

C100

X10

C100

V5

I1

SEGUNDO. Examinamoslos números,

si un númeroes mayorque su número

anterior, lerestamosaestenúmeroel anterior.

a) X10

X10

V5

I1

I1

b) I1 ? 1000

V5 ? 1000

C100

X10

C100

V5

I1

TERCERO. Sumamoslos númerosresultantes.

a) X10

X10

V5

I1

I1

" 10+ 10+ 5+ 1+ 1= 27

b) I1 ? 1000

V5 ? 1000

C100

X10

C100

V5

I1

4000+ 100+ 90+ 5+ 1= 4196

144 4 2 4 443

5000- 10001 4 2 4 3

100-10

144 4 2 4 4434000

1 4 2 4 390

2. CALCULARUN PRODUCTOOCOCIENTE DEPOTENCIAS

Expresa, si se puede, con unasola potencia.

a) 6 7 ? 6

5 c) 67 ? 2

7 e) 6 7 ? 2

5

b) 67 : 65 d) 6 7 : 27 f) 67 : 25

PRIMERO. Estudiamossi son igualeslasbases

olosexponentesdelaspotencias.

a) yb) 67 y6 5 " Labasedelas dospotencias

eslamisma,6.

c)yd ) 67 y2 7 " Lasbases son distintas, pero

losexponentes iguales, 7.

e)yf) 67 y2 5 " Noson igualeslasbases

ni losexponen tes.

SEGUNDO.

• Si lasbases son iguales, sumamos

orestamoslosexponentes.

a) 6 7 ? 6

5 = 67+5 = 612

b) 67 : 65 = 67-5 = 62

• Si lasbasesno son iguales, perolos

exponentessí, multiplicamoso dividimos

lasbases.

c) 6 7 ? 27 = (6 ? 2)7 = 127

d) 6 7 : 27 = (6: 2)7 = 37

• Si noson igualeslasbasesni

losexponentes, nosepuedeexpresar

comounasolapotencia.

e) 6 7 ? 2

5 = 67 ? 25

f) 67 : 25 = 67 : 25

Base Exponente

FF

Comprendeestas palabras

1. Escribeun númerodecuatrocifrasquetenga

lasmismasunidadesdemillarquedecenas

yunaunidad másquecentenas.

2. Completalasexpresionesparaquesean

ciertas.

a) 8 ? 4= 88 b) 3 ? 4= 42

3. En unadivisión, el dividendoes1 436, el divisor

es27y el cocientees53. Calculael resto.

4. Expresaen formade potencia, si sepuede.

a) 17 ? 17 ? 17 ? 17 ? 17 b) 13 ? 13 ? 13 ? 12

Leernúmerosromanos

1. Transformaestosnúmerosromanosen

númerosdel sistemadecimal.

a) CXXVI b) CMLIX c) IIICDLXXIV

Calcularun productoo cocientede potencias

6. Expresa, si sepuede, con unasola potencia.

a) 85 : 45 c ) 1 46 ? 23 e) 183 : 36

b) 74 ? 73 d) 214 ? 24 f) 12311 : 1235

Realizaroperacionescombinadasconpotencias

2. Expresamedianteunasolapotencia

lassiguientes operacionesentre potencias.

a ) ( 35)2 : (36 : 34) b )(98 ? 93 : 95) ?9: (92)3

Realizaroperacionescombinadas

10. Resuelveestas operaciones.

a) 7 ? (8- 3) : 5 + 12

b) 27: (9- 6)- 3 ? 4: 6

c) (12 ? 2- 18) ? 3: 6 + (8- 4) : 2- 1

YAHORA…PRACTICA

4. REALIZAROPERACIONESCOMBINADAS

Resuelve: PRIMERO.Resolvemoslos paréntesis.

SEGUNDO. Efectuamoslas multiplicaciones

ydivisi onesen el orden en el queaparecen.

TERCERO.Resolvemoslassumasyrestas.

100 ? (36-26) : 5- 10 : (16 - 6)=

= 100 ? 10 : 5- 10: 10=

= 1000 : 5- 1 =

= 200 - 1= 199

F F

F F F F

F

F

F F

2. REALIZAROPERACIONESCOMBINADASCON POTENCIAS

Expresamediante unasolapotencialassiguientesoperacionesentre potencias.

a) 7 5 ?(72)3

b) 48 : (42 ? 45)

PRIMERO. Resolvemoslasoperacionesquehayentreparéntesis.

a) 7 5 ? (72)3 = 75 ? 72?3 = 75 ?76

b) 48 : (42 ? 45)= 48 : 42+5 = 48 : 47

SEGUNDO. Serealizan lasmultiplicaciones ydivisiones depotencias en el orden en queaparecen,

deizquierda aderecha.

a) 7 5 ?76 = 75+6 = 711

b) 48 : 47 = 48-7 = 41 = 4

18 19

1 _Unidad 1.indd 1 -1 11 11:

Actividades

NÚMEROS DECIMALES

43. ● Descompón en unidadeslos siguientes

númerosdecimales.

44. ● Escribecómose leecadanúmero.

a) 6,125 b) 1,014 c) 34,046 d) 0,019

45. ● Completa.

a) En 3unidadeshay4décimas.

b) En 12decenashay4 centésimas.

c) En 5unidadeshay4milésimas.

d) En 8decenashay4diezmilésimas.

46. ● Escribelosnúmerosdecimalesque

correspondanencadacaso.

a ) 2 C 7 D 9 U 3 d

b ) 1 D 2 U 4 m

c ) 7 U 4 c

d ) 8 C 9 U 6 d

e ) 7 UM 6 D 7 c

f ) 4 CM 7 U 8 d 3 m

7. ● Realiza ladescomposición en unidades

de lossiguientes númerosdecimales.

a) 9,23 d) 4,065

b) 12,856 e) 8,004

c) 3,892 f) 65,903

47. ● Escribeconcifras.

a) Nuevedécimas.

b) Cuatrounidades quincecen tésimas.

c) Nueveunidadescientoochomilésimas.

d) Dosunidades mil diezmilésimas.

48. ● Escribelosnúmerosqueseanuna centésima

menor.a) 0,99 c) 0,01 e) 4,9

b) 1,4 d) 5,98 f) 1,099

49. ● Representaenlarectanuméricalosnúmeros9,3;12,12y4,133.

50. ● ¿Quénúmeroestárepresentadoen cadacaso?

a)3 4

9,71 9,72

b)

8. ● Indicaqué númerosestán representados

en estasr ectas.

a)6,2 6,3

9,83 9,84

b)

51. ● Completaco n el signo< o >, según

corresponda.

a) 0,2314 0,235 c) 3,874 3,85

b) 0,7104 0,83 d) 5,124 3,12

52. ● Ordena, de menor amayor: 5,23; 5,203; 5,233; 5,2.

53. ● Ordena, de mayor amenor: 9,05; 9,45; 9,53; 9,07.

9. ● Ordenade menor amayor.

a) 3,9; 3,899; 3,099; 3,901; 3,90001; 3,91

b) 7,999; 8,01; 7,898; 8,101; 8,2

c) 2,7; 2,703; 2,73; 2,7029; 2,70199

10. ● Copiaycompletacon númerosparaque

lasdes igualdadessean ciertas.

a) 6,145< 6,11

b) 0,734< 0,736

c) 0,407< 0,45

11. ●● Hallatodoslosnúmerosdecimalesque

cumplen lacondición que se indicaen cadacaso.

Después, ordénalosde mayor amenor.

a) 8,

Lasumadeestas

doscifrases9.

b) 0,El productodeestas

doscifrases24.

OPERACIONES CON NÚMEROSDECIMALES

12. ● Sumaestosnúmerosdecimales.

a) 7,45+ 9,03 c) 8,002+ 12,4

b) 0,834+ 12,8 d) 7+ 9,902

56. ● Calcula.

a) 32,35- 0,89 c) 87,65- 9,47

b) 81,002- 45,09 d) 4- 2,956

57. ● Efectúalas operaciones.

a) 4,53+ 0,089+ 3,4

b) 7,8+ 0,067+ 2,09+ 0,7

c) 123+ 23,09- 45,7- 0,28

d) 78,098- 43,68- 0,008

13. ● Efectúalassiguientesoperaciones.

a) 0,974+ 1 25 ,8 6 c ) 8 2, 46+ 99,6- 70,07

b) 29- 3,756 d) 103,5- 89,98+ 23,378

HAZLOASÍ

¿CÓMOSE CALCULAEL TÉRMINODESCONOCIDO EN

UNASUMAOUNARESTADE NÚMEROSDECIMALES?

14. Hallael término que faltapara que el resultado

seacorrecto.

a) 12,99+ 4 = 98,3

b) 7,45- 4 = 3,99

c)4 - 7,774= 987,9

PRIMERO. Seidentifica el términodesconocido.

a) Esuno delossumandosdeuna suma.

b) Es el sustraendodeunaresta.

c) Es el minuendodeunaresta.

SEGUNDO. Si el términoes:

• Un sumando, seobtiene restandoal resultado

el otrosumando.

• El sustraendo, seobtienerestando al minuendo

el resultado.

• Elminuendo, seobtiene sumandoal resultado

el sustraendo.

a) 4 = 98,3- 12,99= 85,31

b)4 = 7,45- 3,99= 3,46

c) 4 = 987,9+ 7,774= 995,674

15. ●● Determina el término que faltaen cada

operación. Explicacómo lo haces.

a) 39,25+ 4= 125,86

b)17,129-4= 7,464

c) 99,542-4= 66,413

d)4- 303,987= 259,137

e) 4 - 25,06= 427,07

f) 4 + 33,98= 59,01

58. ●● Completa.

a) 3,313+ 4= 6,348

b)4+ 1,47= 5,8921

c) 4,56- 4 = 0,936

d)4- 2,431= 1,003

59. ●● Resuelve.

a) Suma4 centésimasa4,157.

b) Resta3décimasa1,892.

c) Suma7 milésimasa5,794.

d) Resta23centésimasa 3,299.

e) Suma3 milésimasa1,777.

16. ●● Efectúa estas operaciones.

a) Suma8décimasy7 centésimasa56,07.

b) Suma3 unidadesy6 milésimasa24,36.

c) Resta8unidadesy5 décimasa 76,008.

d) Resta3décimasy8 milésimasa0,892.

e) Suma5decenasy4 décimasa 25,456.

f) Resta6decenasy 5décimasa82.

60. ● Calcula.

a) 3,45 ?0,018 g) 0,045 ? 1000

b) 8,956 ?14 h) 0,65 ? 10000

c) 3,4 ?0,92 i) 3,78 ? 0,1

d) 123,4 ?76 j) 794,2 ? 0,01

e) 0,35 ?10 k) 24,85 ? 0,001

f) 1,4 ?100 l) 56 ? 0,0001

61. ● Resuelve.

a) 5 : 0,06 g) 30 : 10

b) 8 : 1,125 h) 636 : 100

c) 17,93 : 7 i) 1296 : 10 000

d) 7 : 25 j) 55,2 : 0,1

e) 7,24 : 1,1 k) 202,2 : 0,01

f ) 8 ,3 7 : 4 ,2 03 l ) 13 8, 24 : 0 ,0 00 1

43,897

135,903

29,876

Parte entera

C D U d c m

Parte decimal

70 71

1 _Unidad_ .indd - 1 11 :

Actividades de la unidad: Ejercicios y problemas organizados

por contenidos. Todos los enunciadosvan precedidos por un icono queindica su grado de dificultad.

HAZLO ASÍ. Son ejercicios resueltosque puedes tomar como modelopara afianzar procedimientostrabajados en la unidad.



El profeta de los números

Ramanujan se levantó, dio tres pasos que le colocaron

en el centro del despacho de Hardy, en el Trinity Collegede Cambridge, y continuó el relato de su viaje.

En un alarde de equilibrio, el barco, un vapor que hacela ruta entre la India e Inglaterra, continuaba su caminosobre una imaginaria línea recta que el temporal parecíaquerer quebrar.

Yo pasé la tormenta en el camarote, petrificado,sin poder hacer otro movimiento que los provocados por el vaivén del barco, apretando contrami pecho el cuaderno de los descubrimientosmientras pensaba que, tal vez, todose perdería en el fondo del mar.

La noche avanzaba y el sueño se fueapoderando de mi consciencia, al despertar las nubes habían dejado paso al sol y los negros presagios de mi mente habíansido sustituidos por estas revelaciones.

En ese momento, el joven indio le enseñódos páginas del ajado cuadernoa su interlocutor.

El relato del viaje es apasionante perono se puede comparar con estossorprendentes resultados,si una inspiración divinate los ha revelado,en verdad se puededecir que eres«el profetade los números».

1. Busca información

sobre los personajes

que aparecen

en el texto: Harold

Hardy y Srinivasa

Ramanujan.

2. ¿A qué episodio

de la vida de estos dos

personajes crees que

corresponde el relato?

¿A qué viaje se refiere

el joven Ramanujan?

3. Investiga sobre

las aportaciones de

Srinivasa Ramanujan

al estudio de los

números naturales.

DESCUBRELA HISTORIA...

1Númerosnaturales




En esta unidad

aprenderás a…

• Escribir números

romanos en el sistema

de numeración

decimal.

• Calcular potencias

de números naturales.

• Realizar operaciones

con potencias.

• Realizar operaciones

combinadas con

números naturales.

PLAN DE TRABAJO

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

Propiedad conmutativa de la suma

El orden de los sumandos no altera la suma.

43+ 28= 28+ 43= 71Sumandos Suma

Propiedad asociativa de la suma

El orden en el que agrupamos los sumandos no altera la suma.

Sumandos

( 21+ 37 )+ 42= 21+ (37+ 42)

58+ 42= 21+ 79

100= 100

Suma

5 8 0 61 2 4 7 9

8 2 8 5

Resta

9 4 2 32 7 5 6 1

1 8 6 2

Multiplicación

2 4 5 73 6 0 37 3 7 1

.1 4 7 4 2 01 4 8 1 5 7 1

4 6 9 5 7 4 33 9 5 1 0 9 2

0 8 70 1

División

Para restar númerosnaturales, el minuendotiene que ser mayorque el sustraendo.

F Sumando F Minuendo

F Sumando F Sustraendo

F Suma o total F Diferencia

F Factor F Factor

F Producto

F Divisor F Cociente

Dividendo F

Resto F

EVALUACIÓN INICIAL

1 Realiza las siguientes operaciones.

a) 759+ 3 824 f) 782 ? 450

b) 8 329+ 4 516+ 738 g) 695 ? 908

c) 4 261- 569 h) 5 928 : 38

d) 20 347- 865 i) 22 863 : 56

e) 316 ? 273 j) 64 456 : 179

2 Aplica la propiedad conmutativa y opera: 25+ 53

3 Aplica la propiedad asociativa y opera: (11+ 38)+ 41

4 Calcula el término que falta.

a) 62 734+ X = 68 251 c) 584 ? X = 179 288

b)X - 5 397= 8 406 d) X : 143= 572

7



Para expresarnúmeros naturalessolemos utilizar

el sistema de numeracióndecimal.

Números naturales.Sistemas de numeración

Los números naturales surgieron debido a la necesidad que siente el serhumano de contar lo que le rodea.

EJEMPLO

1 ¿Cuántos días hay desde el 8 de septiembre hasta el 27 de septiembre?

Del 8 al 27 de septiembre hay 19 días.

El conjunto de los números naturales es ilimitado, es decir, no tiene fin,porque dado un número cualquiera, siempre es posible obtener el siguiente

sumándole una unidad a ese número.Para escribir números naturales se utilizan los sistemas de numeración.

1.1 Sistema de numeración decimal

En el sistema de numeración decimal se utilizan diez cifras distintaspara representar una cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

ANTES, DEBES SABER…

Cuáles son los órdenes de unidades del sistema

de numeración decimal y sus equivalenciasCentena

de millón

Decena

de millón

Unidad

de millón

Centena

de millar

Decena

de millar

Unidad

de millarCentena Decena Unidad

En el sistema de numeración decimal cada 10 unidades de un orden forman

una unidad del orden inmediato superior.

1 D= 10 U

1 C= 10 D= 100 U

1 UM= 10 C= 1 000 U

1 DM= 10 UM= 10 000 U

1 CM= 10 DM= 100 000 U

1 U. de millón= 10 CM= 1 000 000 U

1 D. de millón= 10 U. de millón= 10 000 000 U

1 C. de millón= 10 D. de millón= 100 000 000 U

1

SE PT I EMBRE L M Mi J V S D

LO QUE DEBES SABER RESOLVER

1 Contesta.

a) ¿Cuántas decenas hay en 1 unidad de millar?

b) ¿Cuántas centenas hay en 1 decena de millar?

c) ¿Cuántas centenas hay en 1 unidad de millón?

2 Copia y completa estas igualdades.

a) 3 UM= X C d) 7 DM= X C

b) 8 CM= XD e) 6 UM= XD

c) 3 U. de millón= X DM f) 5 C= XD

8




Cómo se descompone un número en sus órdenes de unidades

En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número

le corresponde un orden de unidades.

EJEMPLO

1 Descompón estos números en sus órdenes de unidades.

a) 14= 1 D+ 4 U

b) 256= 2 C + 5 D+ 6 U

c) 1 807= 1 UM+ 8 C + 7 U

d) 103 410 = 1 CM + 3 UM+ 4 C +1 D

e) 3 020 070 = 3 U. de millón+ 2 DM+ 7 D

f) 906 025 000 = 9 C. de millón+ 6 U. de millón+ 2 DM+ 5 UM

El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor de

cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número.

EJEMPLO

2 Calcula el valor posicional de las cifras del número 129 098 105.

Centena

de millón

Decena

de millón

Unidad

de millón

Centena

de millar

Decena

de millar

Unidad


1 2 9 0 9 8 1 0 5

1 2 9 0 9 8 1 0 5

5 Unidades

0 Decenas1 Centena= 100 unidades

8 Unidades de millar= 8 000 unidades

9 Decenas de millar= 90 000 unidades

0 Centenas de millar

9 Unidades de millón= 9 000 000 unidades

2 Decenas de millón= 20 000 000 unidades

1 Centena de millón= 100 000 000 unidades

F

F

F

F

F

F

F

F

F

1 Señala el valor de la cifra 5 en estos números.a) 15 890 900 b) 509 123 780 c) 163 145 900

2 Escribe tres números que tengan 4 unidades

de millar, 7 decenas y 4 unidades.

4 Escribe cinco números cuya cifra de las centenas

de millón sea 7 y otros cinco cuya cifra

de las centenas de millar sea 9.


3 Indica cómo se leen los números representadosen estos ábaco.

UMDM C D U

a)

UMDM C D U

b)

El valor de cada cifradepende de su posición

en el número.

9



Multiplicaciónde números naturales

La multiplicación es la expresión abreviada de una suma de varios su-mandos iguales.

Los términos de la multiplicación se denominan factores. El resultado

final se llama producto.

EJEMPLOS

4 Expresa como un producto.

a) 3 + 3 + 3 + 3 = 3 ? 4= 12 b) 12 + 12 = 12 ? 2= 24

5 Colocamos en una báscula 5 sacos de patatas que pesan 75 kg cada uno.

¿Qué peso marcará la báscula?

75+ 75+ 75+ 75+ 75= 75 ? 5 = 375 . La báscula marcará 375 kg.

Factores Producto

La multiplicación cumple las siguientes propiedades:

• Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto.

5 ? 7= 7 ? 535= 35

• Asociativa. El orden en el que agrupamos los factores no altera elproducto.

(4 ? 7) ? 5= 4 ? (7 ? 5)28 ? 5= 4 ? 35

140= 140

• Elemento neutro o unidad. Es el 1, ya que cualquier número mul-tiplicado por 1 es igual al mismo número.

13 ? 1= 13

• Distributiva. El producto de un número por una suma o resta esigual a la suma o resta de los productos del número por cada término.

3 ? (2+ 5)= 3 ? 2+ 3 ? 5 4 ? (8- 3)= 4 ? 8- 4 ? 33 ? 7= 6+ 15 4 ? 5= 32- 12

21= 21 20= 20

2

11 Mario ha comprado 5 cajas de pinturas.

Si en cada caja hay 18 pinturas,

¿cuántas pinturas tiene en total?

5 Una docena de huevos son 12 huevos.

¿Cuántos huevos hay en 2 docenas de huevos?

¿Y en 8 docenas de huevos? ¿Y en 32 docenas?

LO QUE DEBES SABER RESOLVER9 Expresa como un producto.

a) 6+ 6+ 6+ 6+ 6+ 6

b) 11+ 11+ 11+ 11+ 11

c) 13+ 13+ 13

10 Aplica la propiedad distributiva.

a) 7 ? (4+ 10) b) 18 ? (7- 2)

El producto de dosnúmeros se indica por

un punto (·), aunque también

se puede representarpor el signo x.

12 · 7 = 12 x 7

11



Divisiónde números naturales

Dividir es repartir una cantidad en partes iguales.

Los términos de la división se llaman dividendo, divisor, cociente y resto.

EJEMPLO

6 Un padre quiere repartir 630€ entre sus tres hijos en partes iguales.

¿Qué cantidad recibirá cada uno?

630 3

03 210 F Cada hijo recibirá 210 €.

000

• Cuando el resto es cero, la división es exacta.

D d0 c

• Si el resto no es cero, la división es no exacta.

En ambos casos se cumple que: Dividendo= divisor ? cociente+ resto

A esta igualdad se le llama prueba de la división.

EJEMPLO

7 Se quieren repartir 43 caramelos entre 14 niños. ¿Cuántos caramelos

recibirá cada niño? ¿Sobra alguno?

43 14

01 3 F Cada niño recibirá 3 caramelos y sobra 1 caramelo.

Para comprobar que la división es correcta, primero vemos que el resto es

menor que el divisor, 1 < 14, y después realizamos la prueba de la división:

D = d ? c + r " 43= 14 ? 3+ 1

43= 42+ 1

43= 43

Esto significa que hemos realizado bien la división.

3

D dr c

7 Un barco lleva 56 contenedores en los que

se ha metido el mismo peso en cada uno.

Si el peso de la carga total es 85 288 kg,

¿cuál es el peso de cada contenedor?

14 Calcula el dividendo de una división exacta

si el cociente es 13 y el divisor es 6.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER13 Halla el cociente y el resto de la división

6 712 : 23. Haz la prueba.

6 Determina cuáles de estas divisiones son

exactas y calcula el cociente de cada una

de ellas.

a) 1 416 : 18 c) 3 182 : 37 e) 8 205 : 13

b) 2 470 : 26 d) 1 445 : 85 f) 4 002 : 22

En una división, el restosiempre tiene que sermenor que el divisor.

F

Divisor

F Divisor

F Cociente

F Cociente

Dividendo F

Dividendo F

Resto F

Resto F

12



Potenciasde números naturales

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación defactores iguales:

an = …? ? ? ?a a a a

n veces

1 2 3 4 44 4 44

a es la base, el factor que se repite.

n es el exponente, el número de veces que se repite la base.

2 ? 2= 22 " Se lee «2 elevado a 2» o «2 al cuadrado».

4 ? 4 ? 4= 43 " Se lee «4 elevado a 3» o «4 al cubo».

3 ? 3 ? 3 ? 3= 34 " Se lee «3 elevado a 4» o «3 a la cuarta».

EJEMPLOS

8 Escribe en forma de potencia las siguientes multiplicaciones:

5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5

14 ? 14 ? 14

56

143

«5 elevado a 6» o «5 a la sexta»

«14 elevado a 3» o «14 al cubo»

Multiplicación Potencia Se lee

9 Halla el valor de estas potencias.

a) 23 = ? ?2 2 2 8=

3 veces\

b) 92 = ?9 9 81=

2 vecesY c) 34 = ? ? ?3 3 3 3 81=

4 veces1 2 3 44 44

Potencias de base 10

Una potencia de base 10 y exponente un número natural es iguala la unidad seguida de tantos ceros como indique su exponente.

EJEMPLO

10 Halla el valor de las siguientes potencias de base 10.

a) 103 = ? ?10 10 10 1 000=

3 3veces ceros1 2 3 44 44 X b) 105 = ? ? ? ?10 10 10 10 10 100 000=

5 5veces ceros1 2 3 4 4 44 4 4 44 \

4

F F F

18 Escribe en forma de potencia y calcula su valor.

a) 10 ? 10 ? 10 b) 6 ? 6 ? 6 ? 6 ? 6

8 Escribe como producto estas potencias

y calcula su valor.

a) 74 c) 85 e) 26

b) 53 d) 58 f) 62

LO QUE DEBES SABER RESOLVER16 Escribe y calcula.

a) Siete al cubo. c) Diez a la cuarta.

b) Cuatro a la quinta. d) Diez a la octava.

17 Indica la base y el exponente de estas

potencias. Escribe cómo se leen.

a) 36 b) 102 c) 54 d) 45

CALCULADORA

Para hallar potencias con

la calculadora utilizamos

la tecla x y .

56 " 5 x y 6 = 15625

212 " 2 x y 12 = 4096

F

F

34

base

exponente

13



Para que se puedan aplicarlas propiedades del producto y el cociente, las potenciashan de tener la misma base.

53 • 74 " No se puedeexpresar como una sola

potencia.

Operacionescon potencias

Las potencias cumplen una serie de propiedades, independientemente decuál sea el valor de la base y del exponente.


Cómo se expresa un número como una potencia con exponente 1

Cualquier número es igual a una potencia con base ese número

y exponente 1.

2= 21 5= 51 16= 161

5.1 Producto de potencias de la misma base

Para multiplicar dos o más potencias de la misma base, se mantienela misma base y se suman los exponentes.

am ? an = am+n

EJEMPLO

4 Escribe estos productos de potencias como una sola potencia.

a) 25 ? 23 = 25+3 = 28 d) 25 ? 23 ? 26 = 25+3+6 = 214

b) 57 ? 52 = 57+2 = 59 e) 57 ? 52 ? 5= 57+2+1 = 510

c) 43 ? 4= 43+1 = 44 f) 43 ? 4 ? 4= 43+1+1 = 45

5.2 Cociente de potencias de la misma base

Para dividir dos potencias con la misma base, se mantiene la misma basey se restan los exponentes.am : an = am-n

EJEMPLO

5 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia.

a) 25 : 23 = 25-3 = 22 d) 29 : 23 = 29-3 = 26

b) 57 : 52 = 57-2 = 55 e) 67 : 63 = 67-3 = 64

c) 43 : 4= 43-1 = 42 f) 45 : 42 = 45-2 = 43

5

24 Halla el resultado de estos cocientes

de potencias.

a) 78 : 75 c) 97 : 95

b) 206 : 204 d) 127 : 125

26 Calcula.

a) (34 : 32) ? 33 b) (56 ? 52) : 54


20 Escribe como una sola potencia.

a) 74 ? 75 c) 93 ? 95 ? 94

b) 53 ? 53 d) 42 ? 43 ? 44

21 Halla el valor de estos productos

de potencias.

a) 104 ? 105 b) 103 ? 10 ? 102

14



5.3 Potencias de exponente 1 y 0

• Una potencia de exponente 1 es igual a la base " a1= a.

• Una potencia de exponente 0 es igual a 1 " a0= 1.

EJEMPLO6 Calcula estas potencias.

a) 20 = 1 c) 70 = 1 e) 240 = 1

b) 21 = 2 d) 71 = 7 f) 241 = 24

5.4 Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la misma basey se multiplican los exponentes.

(am)n = am?n

EJEMPLO

7 Calcula estas potencias.

a) (23)4 = 23?4 = 212 b) (54)6 = 54?6 = 524

5.5 Potencia de una multiplicación y una división

• La potencia de una multiplicación es igual al producto de las po-tencias de sus factores.

(a ? b)n

= an

? bn

• La potencia de una división es igual al cociente de las potencias deldividendo y el divisor.

(a : b)n = an : bn

EJEMPLO

8 Escribe estos cocientes de potencias como una sola potencia.

a) (4 ? 2)3 = 43 ? 23 = 64 ? 8= 512

b) (10 : 5)3 = 103 : 53 = 1 000 : 125= 8

30 Expresa como producto o cociente de potencias.

a) (3 ? 2)4 ? (3 ? 2)5 b) (14 ? 5)7 : (14 ? 5)4

9 Calcula el valor de estas potencias.

a) (74)2 ? 73 c) (2 ? 6)7 ? 123

b) (53)7 : 58 d) (6 ? 3)9 : 185


25 Calcula el valor de las potencias.

a) 151 b) 140

28 Calcula.

a) (24)3 c) (14 ? 16)5

b) (63)5 d) (216 : 24)3

Utilizando esta propiedaden sentido inverso se pueden

simplificar los cálculos.

54 ·24 = (5·2)4 = 104

63

: 23

=

(6 : 2)3

=

33

15



Raícescuadradas

6.1 Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada exacta de un número a es otro número b tal que,al elevarlo al cuadrado, obtenemos el número a.

a = b, cuando b2 = a

Llamamos radicando al número a,

es el símbolo de la raíz y decimosque b es la raíz cuadrada de a.

a b=Símbolode raíz

Radicando

RaízF F

F

A los números cuya raíz cuadrada es exacta se les denomina cuadradosperfectos.

EJEMPLOS

18 Halla las raíces de los siguientes cuadrados perfectos.

a) 1 = 1 porque 12= 1 h) 64 = 08 porque 82

= 64

b) 4 = 2 porque 22 = 4 i) 81 = 09 porque 92= 81

c) 9 = 3 porque 32 = 9 j) 100 = 10 porque 102 = 100

d) 16 = 4 porque 42 = 16 k) 121 = 11 porque 112 = 121

e) 25 = 5 porque 52 = 25 l) 144 = 12 porque 122 = 144

f) 36 = 6 porque 62= 36 m) 169 = 13 porque 132 = 169

g) 49 = 7 porque 72= 49 n) 196 = 14 porque 142 = 196

19 El área de un cuadrado es 49 cm2. ¿Cuánto mide el lado?

Á

Á

l l ll l

4949 49 7

rea

rea cm

2

22

$= =

== = =" "4

El lado mide 7 cm.

6

49 cm2

l

l

CALCULADORA

Para hallar una raíz

cuadrada con la calculadora

utilizamos la tecla .

361 " 361 19

1296 " 1 296 36

Como 4 = 2 porque22 = 4, decimos

que la raíz cuadradaes la operación inversade elevar al cuadrado.

32 Comprueba si estas raíces cuadradas estánbien resueltas.

a) 225 = 15 c) 1 000 = 100

b) 255 = 16 d) 40000 = 200

33 Halla con tu calculadora.

a) 289 c) 15625

b) 10000 d) 135 424

34 Calcula el lado de un cuadrado de 400 cm2

de área.

10 Calcula el radicando de estas raíces sabiendo

que son raíces cuadradas exactas. Comprueba

que el radicando al cuadrado es igual a la raíz.

a) 3=d c) 10=d

b) 7=d d) 14=d


16



Jerarquíade las operaciones


Cómo se realizan operaciones combinadas de suma y resta

• Paracalcularunaseriede

sumas y restas sin paréntesis, se hacenlas operaciones en el orden en el que aparecen, de izquierda a derecha.

• Paracalcularunaseriedesumas y restas con paréntesis, se hacen

primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis.

EJEMPLO

9 Resuelve estas operaciones.

b) (95 - 32) - (39 - 16) - 21 =

= 63 - 23 - 21=

= 40 - 21=

= 19

F F F F

FF

FF

a) 15 + 23 - 2 - 12 + 8 =

= 38 - 2- 12+ 8=

= 36 - 12+ 8=

= 24 + 8=

= 32

F F

F F

FF

FF

Cuando en una expresión aparecen operaciones combinadas, el orden enel que se realizan las operaciones es el siguiente:

1.º Las operaciones que hay entre paréntesis.

2.º Las potencias y las raíces.

3.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.

4.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

EJEMPLO

22 Calcula las siguientes expresiones.

a) 10 + 3 ? 7 - 14 : 7 = c) : :( ) ( )? ?5 16 9 3 4 2 2- + =

= 10+ 21 - 2 = = 5 ? 7 + 3 ? 2 : 2=

= 31 - 2 = = 35 + 6 : 2=

= 29 = 35 + 3 = 38

7

F F

F F

F F

F F

F

F F

F F

F F

F F

F


41 Calcula.

a) 7 ? 4- 12+ 3 ? 6- 2

b) (11- 7) ? 4+ 2 ? (8+ 2)

c) 3 ? (14+ 12- 20) : 9+ 2

11 Resuelve estas operaciones.

a) 17- 8- 2+ 6+ 5- 10

b) 17- (8- 2)+ 6+ 5- 10

c) 17- (8- 2+ 6)+ 5- 10

17



Lo esencialCOMPRENDE ESTAS PALABRAS

Sistema de numeración decimal

D. millar U. millar Centena Decena Unidad3 5 1 4 2

30 000 5 000 100 40 2

Sistema de numeración romano

I= 1 V= 5 X= 10 L= 50

C= 100 D= 500 M= 1 000

Multiplicación 34 ? 2 = 68

Factores Producto

División

Potencia ? ? ? ?14 14 14 14 14 14

5

5 veces

=1 2 3 4 4 44 4 4 44

Raíz cuadrada 9 3= , porque 32 = 9

9 3=Símbolo F

de raíz

F Raíz

Radicando

F

25 3

1 8

Dividendo F

Resto F

F Divisor

F Cociente

HAZLO DE ESTA MANERA

1. LEER NÚMEROS ROMANOS

Escribe en el sistema numérico decimal

los siguientes números romanos.

a) XXVII b) IVCXCVI

PRIMERO. Transformamos cada letra en

su equivalencia en el sistema numérico

decimal, teniendo en cuenta que cada letra

en la que aparece una rayita encima,

se multiplica por 1 000.

a) X10

X10

V5

I1

I1

b) I1 ? 1 000

V5 ? 1 000

C100

X10

C100

V5

I1

SEGUNDO. Examinamos los números,

si un número es mayor que su número

anterior, le restamos a este número el anterior.

a) X10

X10

V5

I1

I1

b) I

1 ? 1 000

V

5 ? 1 000

C

100

X

10

C

100

V

5

I

1

TERCERO. Sumamos los números resultantes.

a) X10

X10

V5

I1

I1

" 10+ 10+ 5+ 1+ 1= 27

b) I1 ? 1 000

V5 ? 1 000

C100

X10

C100

V5

I1

4 000+ 100+ 90+ 5+ 1= 4 196

144 4 2 4 443

5 000- 1 0001 4 2 4 3

100- 10

144 4 2 4 443

4 0001 4 2 4 3

90

2. CALCULAR UN PRODUCTOO COCIENTE DE POTENCIAS

Expresa, si se puede, con una sola potencia.

a) 67 ? 65 c) 67

? 27 e) 67 ? 25

b) 67 : 65 d) 67 : 27 f) 67 : 25

PRIMERO. Estudiamos si son iguales las bases

o los exponentes de las potencias.

a) y b) 67 y 65 " La base de las dos potencias

es la misma, 6.

c) y d) 67 y 27 " Las bases son distintas, pero

los exponentes iguales, 7.

e) y f) 67 y 25 " No son iguales las bases

ni los exponentes.

SEGUNDO.

• Si las bases son iguales, sumamos

o restamos los exponentes.

a) 67 ? 65 = 67+5 = 612

b) 67 : 65 = 67-5 = 62

• Si las bases no son iguales, pero los

exponentes sí, multiplicamos o dividimoslas bases.

c) 67 ? 27 = (6 ? 2)7 = 127

d) 67 : 27 = (6 : 2)7 = 37

• Si no son iguales las bases ni

los exponentes, no se puede expresar

como una sola potencia.

e) 67 ? 25 = 67 ? 25

f) 67 : 25 = 67 : 25

Base Exponente

FF

18



Comprende estas palabras

1. Escribe un número de cuatro cifras que tenga

las mismas unidades de millar que decenas

y una unidad más que centenas.

2. Completa las expresiones para que sean

ciertas.

a) 8 ? 4 = 88 b) 3 ? 4 = 42

3. En una división, el dividendo es 1 436, el divisor

es 27 y el cociente es 53. Calcula el resto.

4. Expresa en forma de potencia, si se puede.

a) 17 ? 17 ? 17 ? 17 ? 17 b) 13 ? 13 ? 13 ? 12

Leer números romanos

1. Transforma estos números romanos en

números del sistema decimal.

a) CXXVI b) CMLIX c) IIICDLXXIV

Calcular un producto o cociente de potencias

6. Expresa, si se puede, con una sola potencia.

a) 85 : 45 c) 146 ? 23 e) 183 : 36

b) 74 ? 73 d) 214 ? 24 f) 12311 : 1235

Realizar operaciones combinadascon potencias

2. Expresa mediante una sola potencia

las siguientes operaciones entre potencias.a) (35)2 : (36 : 34) b) (98 ? 93 : 95) ? 9 : (92)3

Realizar operaciones combinadas

10. Resuelve estas operaciones.

a) 7 ? (8- 3) : 5+ 12

b) 27 : (9- 6)- 3 ? 4 : 6

c) (12 ? 2- 18) ? 3 : 6+ (8- 4) : 2- 1

Y AHORA… PRACTICA

4. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS

Resuelve: PRIMERO. Resolvemos los paréntesis.

SEGUNDO. Efectuamos las multiplicaciones

y divisiones en el orden en el que aparecen.

TERCERO. Resolvemos las sumas y restas.

100 ? (36- 26) : 5- 10 : (16 - 6)=

= 100 ? 10 : 5- 10 : 10=

= 1 000 : 5- 1 =

= 200 - 1= 199

F F

F F F F

F F

F F

2. REALIZAR OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS

Expresa mediante una sola potencia las siguientes operaciones entre potencias.

a) 75 ? (72)3

b) 48 : (42 ? 45)

PRIMERO. Resolvemos las operaciones que hay entre paréntesis.

a) 75 ? (72)3 = 75 ? 72?3 = 75 ? 76

b) 48 : (42 ? 45)= 48 : 42+5 = 48 : 47

SEGUNDO. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de potencias en el orden en que aparecen,

de izquierda a derecha.

a) 75 ? 76 = 75+6 = 711

b) 48 : 47 = 48-7 = 41 = 4

19



ActividadesSISTEMAS DE NUMERACIÓN

12. ● Señala el valor de la cifra 5 en cada uno

de los siguientes números.

a) 15 890 900 c) 509 123 780 e) 163 145 900

b) 54 786 008 d) 64 320 510 f) 986 403 005

48. ● Indica el valor posicional que tiene la cifra 1

en estos números.

a) 122 578 c) 1 432 000

b) 438 231 d) 32 181 120

e) 1 010 101

f) 3 107 251

49. ●● Indica el valor posicional de todas las cifras

de estos números.

a) 987 654 c) 887 787 e) 8 080 008

b) 656 565 d) 3 004 005 f) 2 222 222

13. ● Escribe:

• Cinco números mayores que 20 000 cuya cifra

de las unidades de millar sea 8.

• Cinco números menores que 100 000 cuya cifra

de las decenas de millar sea 3.

• Cinco números mayores que 29 000 y menores

que 29 100 con la cifra de las decenas igual

a la cifra de las unidades.

Ordena los números en cada caso, de menor

a mayor, utilizando el signo correspondiente.

54. ● Expresa en el sistema de numeración decimal

estos números romanos.

a) XXVI c) MCCXXV

b) DCXLVI d) DXXX

55. ●● Expresa los siguientes números romanos

en el sistema de numeración decimal.

a) XIX c) MMCCIX

b) CDXL d) CMXC

56. ● Expresa en el sistema de numeración decimal.

a) XLVI f) IVCDXXX

b) CXCII g) DCCXCIII

c) CMXXXIV h) MMCCII

d) XXXIV i) XCXL

e) MMMDLXXX j) MXXIX

14. ● Escribe en números romanos.

a) 7 b) 22 c) 74 d) 143 e) 3 002

OPERACIONES CON NÚMEROSNATURALES

57. ● Aplica la propiedad distributiva y calcula.

a) 6 ? (11+ 4) d) 15 ? (20- 7- 8)

b) 25 ? (37- 12) e) (20+ 14- 15) ? 17

c) 8 ? (17+ 12+ 10) f) (18+ 3- 2) ? 5

58. ● Completa la tabla.

Dividendo

173

267

1 329

3

4

9

Divisor Cociente Resto

59. ● Halla el cociente y el resto de 45 456 : 22.

Realiza la prueba de la división.

15. ● Resuelve estas divisiones y realiza la prueba.

a) 327 : 22 c) 9 255 : 37 e) 29 001 : 132

b) 4 623 : 18 d) 12 501 : 59 f) 36 102 : 205

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UN TÉRMINODE LA DIVISIÓN CONOCIENDO LOS DEMÁS?

60. Sin realizar la división, halla el resto

de 453 : 23, si el cociente es 19.

PRIMERO. Se sustituye cada letra por su valor

en la prueba de la división.

D = d ? c + r

453= 23 ? 19+ r " 453= 437+ r

SEGUNDO. El resto es un número tal que,

al sumarlo a 437, da 453.

r = 453- 437= 16. El resto de la división es 16.

61. ●● El dividendo de una división es 1 512,el divisor es 8 y el cociente es 189. Halla el resto

sin efectuar la división.

62. ●● Sin realizar la división, indica cuáles

de estas divisiones son exactas.

a) D = 6 099 d = 19 c = 321 r = ?

b) D = 986 d = 17 c = 58 r = ?

16. ● ¿Qué resto puede tener una división de divisor 7?

20



POTENCIAS

65. ● Escribe como producto de factores.

a) 43 b) 104 c) 272 d) 1025

66. ● Expresa estas multiplicaciones en forma

de potencia, si se puede.

a) 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3

b) 37 ? 37

c) 4 ? 14 ? 4 ? 14 ? 4 ? 14 ? 4

d) 25

67. ● Indica cuál es la base y el exponente.

a) 28 Base= 4 Exponente= 4

b) 312 Base= 4 Exponente= 4

68. ● Expresa con números.

a) Once a la quinta. b) Nueve a la cuarta.

69. ● Escribe cómo se leen estas potencias.

a) 123 b) 74 c) 212 d) 1412

71. ● Completa la tabla.

Al cuadrado Al cubo A la cuarta

9

11

OPERACIONES CON POTENCIAS

73. ● Expresa como una sola potencia.

a) 72 ? 73 b) 114 ? 84 c) 83 ? 53 d) 45 ? 4

74. ● Escribe como una sola potencia.

a) 32 ? 34 ? 33 c) 63 ? 62 ? 65

b) 54 ? 5 ? 56 d) 43 ? 53 ? 63

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UN EXPONENTE DESCONOCIDO

EN UN PRODUCTO DE POTENCIAS?

17. Copia y completa: 32 ? 3X = 38

PRIMERO. Se aplican las propiedades de las potencias.

32 ? 3X = 38 " 32+X = 38

SEGUNDO. Se igualan los exponentes.

2+ 4 = 8

El número que sumado a 2 da 8 es 6. El exponente

buscado es 6.


a) 92 ? 94 = 96 c) 54 ? 53 = 58

b) 24 ? 23 = 29 d) 34 ? 39 = 311


a) 74 ? 74 ? 7= 77 c) 13 ? 136 ? 134 = 139

b) 54 ? 5 ? 53 = 58 d) 83 ? 85 ? 84 = 812

79. ● Expresa como una sola potencia.

a) 68 : 63 b) 215 : 27 c) 65 : 35 d) 46 : 26

80. ● Expresa como una potencia.

a) (27 : 24) : 22 c) 115 : (116 : 113)

b) (79 : 73) : 74 d) 43 : (45 : 42)


a) 47 : 53 = 54 c) 95 : 94 = 93

b) 124 : 126 =129 d) 38 : 34 = 32

84. ● Expresa como una potencia.

a) (54)2 b) (73)3 c) (65)2 d) (82)6

91. ●● Calcula.

a) (35 ? 32) : 33 c) (85 : 83) ? 82

b) 43 ? (47 : 44) d) 75 : (72 ? 72)


a) (35)2 ? (32)4 c) (95)3 ? (94)3

b) (73)3 ? (72)4 d) (116)2 ? (113)4

93. ●● Indica como una sola potencia.

a) (62)5 : (63)3 c) (108)3 : (104)5

b) (87)2 : (83)4 d) (29)2 : (23)5

94. ●● Calcula las siguientes expresiones.

a) 39 : ((32)5 : 37) ? 33 b) (72)3 ? (75 : 72) : (72)4

RAÍCES CUADRADAS

95. ● Completa.

a) 352 = 1 225, entonces 1225 =4

b) 9 025 = 95, entonces 952 = 4

96. ● Calcula las raíces cuadradas de estos números.

a) 64 b) 100 c) 169 d) 196

97. ● Completa.

a) 4 = 5 c) 4 = 15

b) 4 = 9 d) 4 = 20

21



JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

18. ● Realiza las siguientes operaciones.

a) 31- 20+ 15- 4

b) 12+ 7- 8- 5+ 14

c) 17- 9- 5+ 24

d) 49+ 7- 54- 2+ 25

e) 59+ 45- 76- 12+ 51

f) 123+ 12-17- 23- 9+ 12

19. ● Calcula.

a) (34+ 12- 9)- (34- 19)

b) 123- (67+ 34- 21)

c) (29+ 78- 54- 32)- (9+ 5)

d) (89+ 23- 76)- (41+ 12- 32)

e) 345- (90- 76- 8+ 43)

f) 567- (23+ 65- 12- 45)

20. ● Calcula y relaciona las operaciones que dan

el mismo resultado.

a) 24-8+18-6 i) (24+6)-(8+16)

b) 34+78-12-17 ii) (24+18)-(8+6)

c) 34+78+7-65-12 iii) (34+78+7)-(65+12)

d) 24-8-16+6 iv) (34+78)-(12+17)

102. ● Resuelve estas operaciones.

a) 9 ? (15+ 4- 7)

b) 12+ 4 ? (3+ 19)

c) 55- 3 ? (27- 9)

d) 33+ 6 ? 5+ 21

103. ● Calcula.

a) 15+ (12+ 6) : 3

b) 31- (13+ 8) : 7

c) 4+ 15 : 5+ 17

d) 42- (3+ (32 : 4) : 2)

104. ● Realiza estas operaciones.

a) 8 ? 3+ 36 : 9+ 5b) 144 : (24 : 6)+ 4 ? 7

c) 48- 5 ? 7+ 9 ? 3- 19

d) 14- 21 : 7+ 105 : 5

105. ● Resuelve.

a) 42 ? 3- 124 : 4- (180 : 9) : 5

b) (241- 100+ 44) : 5+ 20 ? 7

c) 7+ 8 ? (17- 5)- 28 : 2

d) (12+ 3 ? 5) : 9+ 8

106. ● Calcula el valor de estas expresiones.

a) 3 ? (100- 90)+ 12 ? (5+ 2)

b) 7 ? (26 : 2)- (6 : 3) ? 6+ 4

c) 66 : (15- 9)+ 7 ? (6 : 2)- 12 : 2

d) 7 ? (4+ 8- 5) : (12- 5)+ 7 ? (8- 6+ 1)

e) 3 ? (15 : 3- 2)+ (8+ 20) : 4- 1

f) 38- (30 : 6+ 5) ? 2- 6 ? 3 : 2

g) 8 ? (28- 14 : 7 ? 4) : (22+ 5 ? 5- 31)

h) [200- 3 ? (12 : 4- 3)]- 6+ 37- 35 : 7

107. ● Calcula mentalmente el número que falta.

a) 3 ? 5+ 3 ? 4 = 60

b) 13 ? 40- 13 ? 4 = 260

c) 15 ? 4 + 7 ? 4 - 15 ? 6= 150

PROBLEMAS CON NÚMEROS

NATURALES

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVE UN PROBLEMA

EN EL QUE LOS DATOS ESTÁN RELACIONADOS?

116. La factura telefónica del mes pasado fue

de 34 €, la de este mes ha sido 5 €más cara

y la de hace dos meses fue 4 €menos.

¿A cuánto ha ascendido el gasto en teléfono

en los últimos tres meses?

PRIMERO. Se toma el dato conocido del problema.

«El mes pasado» " 34 €

SEGUNDO. Se calculan los demás datos del problema.

«Este mes 5 € más» " 34+ 5= 39 €

«Hace dos meses 4 €menos» " 34- 4= 30 €

TERCERO. Se resuelve el problema.

34+ 39+ 30= 103€

El gasto en teléfono ha sido de 103 €.

117. ●● En un partido

de baloncesto, los

máximos anotadoreshan sido Juan, Jorge

y Mario. Juan ha

logrado 19 puntos,

Jorge 5 puntos más

que Juan y Mario

7 puntos menos

que Jorge.

¿Cuántos puntos

han obtenido entre

los tres?

22



118. ●● Si ganase 56€más al mes podría gastar:

420€ en el alquiler de la casa, 102€ en gasolina

para el coche, 60€ en la manutención

y 96€ en gastos generales, y ahorraría 32€.

¿Cuánto gano al mes?

119. ●●● Mario tiene 11 años y es 4 años menor que

su hermana. Entre los dos tienen 19 años menos

que su madre. ¿Cuántos años tiene la madre?

120. ●● Se ha enseñado a un grupo de jóvenes

a sembrar trigo. El primer día sembraron

125 kilos y el segundo día sembraron

el doble de kilos que el primero.

a) ¿Cuántos kilos sembraron el segundo día?

b) ¿Y entre los dos días?

121. ●● Observa estos precios.

a) ¿Se pueden adquirir los tres art ículos

con 900 €?

b) ¿Cuál es la cantidad mínima necesaria paracomprar los tres artículos?

c) ¿Cuánto sobra, con seguridad, si se dispone

de 2 000 € para comprar los tres artículos?

122. ●● Un generador eléctrico consume 9 litros de

gasolina a la hora y una bomba de agua 7 veces

más. ¿Cuántos litros consumen entre los dos

al cabo de 4 horas?

123. ●● Cada fin de semana Luis recibe 6 € y se

gasta 4 €. ¿Cuántas semanas han de pasar

hasta que ahorre 18€?

124. ●● Pedro tiene 79€ para comprar sillas.

Sabiendo que cada una cuesta 7 €, ¿cuántas

sillas puede comprar? ¿Cuánto le sobra?

125. ●● Una botella de 1 litro de aceite cuesta 3 €.

Si la garrafa de 6 litros cuesta 12€, ¿cuánto

dinero nos ahorramos comprando garrafas?

126. ●●● Un coche va a 110 km/h y otro a 97 km/h.

¿Cuántos kilómetros le llevará de ventaja

el primer coche al segundo al cabo de 9 horas?

127. ●● Vamos a repartir 720€ entre tres personas

y se sabe que la primera recibirá 280€.

¿Cuánto recibirán las otras dos si el resto

se reparte en partes iguales?

128. ●● Nacho y Ana están preparando una fiesta

y compran 12 botellas de 2 litros de naranja,12 de limón y 12 de cola.

a) ¿Cuántos litros han comprado?

b) Si cada botella de 2 litros cuesta 2€,

¿cuánto dinero se han gastado?

130. ●●● En España cada persona recicla, por

término medio, 14 kg de vidrio cada año.

a) Si en España hay 40 millones de personas,

¿cuántos kilos de vidrio se reciclan al año?

b) Para reciclar 680 000 000 000 kg, ¿cuántos kilos

más debería reciclar cada persona?

131. ●● El tablero del ajedrez es un cuadrado

formado por 8 filas, con 8 cuadraditos en cada

fila. ¿Cuántos cuadraditos hay en total?132. ●● Marta quiere saber cuántos

melocotones hay en el almacén. Para ello hace

5 montones con 5 cajas en cada montón, y en

cada caja, 5 filas con 5 melocotones en cada fila.

¿Cuántos melocotones hay?

133. ●● Luis acaba de recibir cuatro cajas cuadradas

llenas de vasos que debe colocar.

La caja tiene cuatro filas y hay cuatro vasos

en cada fila. ¿Cuántos vasos tiene que colocar?

134. ●● ¿Cuántos azulejos

necesita Jorge para cubrir

una pared cuadrada,

si en la primera fila

ha colocado 5 azulejos?

Desde 400 € hasta 600 €



23



2

1. Busca informaciónsobre ChristopherClavius y su relacióncon el papaGregorio XIII.

2. Investiga quécalendario se utilizabahasta que seestablecióel calendario actualy por qué se produjola diferencia de10 días al cambiarlo.

3. Explica el criteriode divisibilidadque estableceel calendariogregoriano paralos años bisiestos.


Después del jueves…, otro jueves

En la Navidad de 1582, Gregorio XIII atendía

distante a un jesuita que estaba visiblementealterado.

–Ruego a Su Santidad –interpeló el jesuita,Christopher Clavius– que me conceda la autorizaciónpara justificar el cambio de calendario.¡Las críticas han llegado al extremo deacusarnos de robarle 10 días al calendario!

Gregorio XIII levantó la cabezay respondió:

–Eso no es más que un ataque de herejes

e ignorantes. La Comisión de Sabiosdeterminó que nuestros cálculosde la duración del año eran erróneosy que nuestro calendario estabaatrasado en 10 días.

El Papa continuó:

–Al 4 de octubre de 1582 le siguióel 15 de octubre, pero no robamos10 días al calendario, sino querecuperamos lo que el calendarioanterior tomó sin corresponderle.De haber seguido así, habríamosterminado por celebrarla Navidad en verano.

Divisibilidad




En esta unidad

aprenderás a…

• Calcularlosdivisores

y múltiplos de

un número.

• Distinguirentre

números primos

y compuestos.

• Factorizarnúmeros

naturales.

• Hallarelmáximo

común divisor

y el mínimo común

múltiplo de dos

omásnúmeros

naturales.

PLAN DE TRABAJO

DIVISIÓN ENTRE NÚMEROS NATURALES

Los términos de la división se llaman

dividendo, divisor, cociente y resto.

Prueba de la división

Una división está bien resuelta si se cumplen estas dos condiciones:

• El resto de la división es menor que el divisor.

Resto < Divisor " 5 < 23

• El dividendo es igual al divisor multiplicado por el cociente más el resto.

Dividendo= Divisor?

Cociente+ Resto58 034= 23 ? 2 523+ 5

58 034= 58 029+ 5

58 034= 58 034

Por tanto, la división está bien resuelta.

5 8 0 3 4 23

1 2 0 25235 3

7 45

Dividir es repartiruna cantidad en partes

iguales.

F Divisor

F

Cociente

Dividendo F

Resto F

EVALUACIÓN INICIAL

1 Haz la prueba de cada división y averigua cuáles están mal realizadas.

2 Halla el dividendo de estas divisiones.

a) Divisor = 3, cociente= 8, resto= 0

b) Divisor = 8, cociente= 15, resto= 6

c) Divisor = 12, cociente= 7, resto= 3

d) Divisor = 21, cociente= 12, resto= 1

3 Calcula y completa la tabla en tu cuaderno.

Dividendo Divisor Cociente Resto

2 346 4

3 672 6

8 425 7

9 252 9

e) 1042 11

052 95

03

f) 2475 12

0075 206

03

c) 68 6

08 11

3

d) 85 7

15 12

1

a) 47 2

07 23

1

b) 54 3

24 15

9

25



Múltiplosde un número


Cuándo una división es exacta

• Unadivisión es exacta si su resto es cero. 54 6Si una división es exacta se cumple que: 0 9

Dividendo=Divisor ? Cociente

• Unadivisión no es exacta cuando su resto 56 6

es distinto de cero. En este caso se cumple que: 2 9

Dividendo=Divisor ? Cociente+ Resto

Un número b es múltiplo de otro número a si la división de b entre a es exacta.

EJEMPLO

4 ¿Es 28 múltiplo de 4? ¿Y de 5?

28 4La división 28 : 4 es exacta" 28 es múltiplo de 4.

10 7

28 5La división 28 : 5 no es exacta " 28 no es múltiplo de 5.

13 5

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número porlos sucesivos números naturales.

EJEMPLOS

5 Calcula los múltiplos de 3.

Múltiplos de 3 " 3 ? 1, 3 ? 2, 3 ? 3, 3 ? 4, 3 ? 5, 3 ? 6, 3 ? 7…

3•

= {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21…}

Los múltiplos de 3 son un conjunto ilimitado de números.

1 Halla los seis primeros múltiplos de 12.

Múltiplos de 12 " 12 ? 1, 12 ? 2, 12 ? 3, 12 ? 4, 12 ? 5, 12 ? 6

Los seis primeros múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60 y 72.

3


10 ¿Es 35 múltiplo de 5? Razona la respuesta.

11 ¿Es 48 múltiplo de 6? Razona la respuesta.

1 Calcula los diez primeros múltiplos de 8.

2 Halla los diez primeros múltiplos de 16.

SE ESCRIBE ASÍ

3•

" Todos los múltiplosde 3.

12•

" Todos los múltiplosde 12.

Dividendo (D ) divisor (d )

resto (r ) cociente (c )

26



16 Calcula todos los divisores de:

a) 30 c) 45 e) 100 g) 90

b) 27 d) 55 f) 89 h) 79

17 Di si es cierto o no.

a) 12 es divisor de 3. b) 12 es múltiplo de 3.



a) 8 es divisor de 56. b) 12 es divisor de 95.

15 ¿Cuáles son divisores de 36?

2 7 12 36 15 20 1 4 40 9

Divisoresde un número

Un número a es divisor de otro número b si la división de b entre a es exacta.

EJEMPLO

7 Comprueba si 8 y 9 son divisores de 48.

48 8La división 48 : 8 es exacta"

8 es divisor de 48.0 6

48 9La división 48 : 9 no es exacta"

9 no es divisor de 48.3 5

Los divisores de un número se obtienen dividiendo dicho número entrelos sucesivos números naturales, hasta que el cociente de la división sea

menor que el divisor.

EJEMPLOS

9 Calcula todos los divisores de 8.

8 1 8 2 8 3

0 8 0 4 2 2 " El cociente, 2, es menor que el divisor, 3.Por tanto, no seguimos dividiendo.

Decadadivisiónexactaextraemosdosdivisores:eldivisoryelcociente.

8 : 1= 8" Es una división exacta " 1 y 8 son divisores de 8.


Losdivisoresde8son1,2,4y8.Seescribeasí:Div(8)= {1, 2, 4, 8}.

2 Calcula todos los divisores de 10.

10 1 10 2 10 3 10 4

0 10 0 5 1 3 2 2 " El cociente, 2, es menor que el divisor, 4.Por tanto, no seguimos dividiendo.

Extraemos el divisor y el cociente de cada división exacta:


10 : 2= 5 " Es una división exacta " 2 y 5 son divisores de 10.

Los divisores de 10 son 1, 2, 5 y 10 " Div(10)= {1, 2, 5, 10}

4

SE ESCRIBE ASÍ

Div(8) " Todos losdivisores de 8.

Div(12)" Todos losdivisores de 12.

8 es divisor de 48.

48 es múltiplo de 8.

F F

27



5 Escribe todos los números primos menoresque 20.

6 Indica todos los números primos comprendidos

entre 100 y 110.

7 Escribe cinco números primos mayores que 50

y otros cinco menores que 40.

8 Escribe los números compuestos menores que 20.


4 Determina si los siguientes números son primoso compuestos.

a) 11 e) 29 i) 58

b) 13 f) 42 j) 65

c) 18 g) 46 k) 70

d) 24 h) 54 l) 80

19 ¿Es 101 un número primo? ¿Por qué?

Números primosy compuestos

• Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y launidad.

• Si un número tiene más de dos divisores, decimos que es un número

compuesto.

EJEMPLO

10 Averigua si 17 y 27 son números primos o compuestos.

Calculamos todos los divisores de 17:

17 1 17 2 17 3 17 4

7 17 1 8 2 5 1 4

0 17 5

2 3 " El cociente, 3, es menor que el divisor, 5.

Por tanto, no seguimos dividiendo.

La única división exacta es 17 : 1 = 17, extraemos el divisor y el cociente.

Div(17)= {1, 17} 17 solo tiene dos divisores.

17 es un número primo.

Calculamos todos los divisores de 27:

27 1 27 2 27 3 27 4 27 5

7 27 7 13 0 9 3 6 2 5

0 1 27 6

3 4 " Como 4 es menor que 6,

no seguimos dividiendo.

Extraemos el divisor y el cociente de las divisiones exactas:

27 : 1= 27 " 1 y 27 son divisores de 27.

27 : 3= 9 " 3 y 9 son divisores de 27.

Div(27)= {1, 3, 9, 27}" 27tienemásdedosdivisores.

27 es un número compuesto.

5

Números primos hasta 100

28



Factorizaciónde un número


Cuándo la división de un número entre 2, 3 o 5 es exacta

• Ladivisióndeunnúmeroentre2esexactasielnúmeroterminaen0 o en una cifra par.

EJEMPLO

3 Determina si estas divisiones son exactas.

a) 18 : 2 " Divisiónexacta,porque18terminaennúmeropar.

b) 7 514 : 2 " Divisiónexacta,porque7514terminaennúmeropar.

c) 14 930 : 2 " Divisiónexacta,porque14930terminaen0.

d) 173 : 2 " Divisiónnoexacta,porque173terminaen3,

que no es par.

e) 81 : 2 " Divisiónnoexacta,porque81terminaen1,

que no es par.

• Ladivisióndeunnúmeroentre3esexactasi,alsumarlascifras

deesenúmero,obtenemosunmúltiplode3.

EJEMPLO


a) 81 : 3 " Divisiónexacta,porque:8+ 1= 9y 9 : 3 es división exacta

b) 123 : 3 " Divisiónexacta,porque:1+ 2+ 3= 6y 6 : 3 es división exacta

c) 876 : 3 " Divisiónexacta,porque:8+ 7+ 6= 21y 21 : 3 es división exacta

d) 173 : 3 " Divisiónnoexacta,porque:1+ 7+ 3= 11y 11 : 3 es división no exacta

• Ladivisióndeunnúmeroentre5esexactasielnúmeroterminaen0

o en 5.

EJEMPLO


a) 65 : 5 "

Divisiónexacta,porque65terminaen5.b) 120 : 5 " Divisiónexacta,porque120terminaen0.

c) 246 : 5 " Divisiónnoexacta,porque246noterminaen0nien5.

6

Los números pares son:2, 4, 6, 8, 10, 12, …


9 Estudia si estas divisiones son exactas.

a) 15 : 3 c) 59 : 3 e) 103 : 3

b) 26 : 3 d) 70 : 3 f) 3 104 : 3

10 Estudia si estas divisiones son exactas.

a) 37 : 2 c) 81 : 5 e) 22 305 : 5

b) 48 : 3 d) 92 : 2 f) 145 236 : 3

29



Factorizar un número es descomponerlo en factores primos, es decir,expresarlo como producto de sus divisores primos.

Para factorizar un número se divide entre la serie de números primos(2, 3, 5, 7, …), tantas veces como se pueda, hasta obtener como cociente launidad. Se empieza dividiendo entre 2; si no es exacto, entre 3; si tampoco

es exacto, entre 5; si no entre 7, entre 11…

EJEMPLO

6 Factoriza el número 30.

Tomamos el número y lo dividimos entre el primer número primoque haga la división exacta.

30 : 2"Divisiónexacta,porque30terminaen0.

30 : 2= 15

Factorización" 30= 2 ? 15

Tomamos el cociente que hemos obtenido en la división exacta;en este caso 15, y volvemos a dividir este número entre el primer númeroprimo que haga la división exacta.

15 : 2"Divisiónnoexacta,porque5noespar

15 : 3"Divisiónexacta,porque:1+ 5= 6

y 6 : 3 es división exacta

15 : 3= 5

Factorización" 30= 2 ? 15= 2 ? 3 ? 5

Repetimos el proceso hasta obtener como cociente 1.

5 : 2"Divisiónnoexacta,porque5noespar.

5 : 3"Divisiónnoexacta.

5 : 5"Divisiónexacta.

5 : 5= 1

Cuandoobtenemoscomocociente1,lafactorizaciónestáterminada.

Factorización" 30= 2 ? 3 ? 5

Este proceso se suele escribir, indicando solo las divisiones exactas,de la siguiente manera:

30 230 : 2 " 15 315 : 3 " 5 55 : 5 " 1

Los números que aparecen en la columna de la derecha son los factores.

Factorización" 30= 2 ? 3 ? 5

Los primerosnúmeros primos son:2, 3, 5, 7, 11, 13, …


11 Factoriza los siguientes números.

a) 10 d) 21 g) 70

b) 14 e) 35 h) 105

c) 15 f) 42 i) 210

12 Di a qué número corresponde cada una de estas

factorizaciones.

a) 3 ? 5 ? 11 c) 5 ? 7 ? 11

b) 2 ? 11 d) 3 ? 7 ? 11

30




Cómo se expresa un producto de factores iguales medianteuna potencia

Unapotencia es un producto de factores iguales.

3 ? 3 ? 3 ? 3= 34 2 ? 2 ? 2= 23

4 veces 3 veces

56 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 72 = 7 ? 7

6 veces 2 veces

EJEMPLO

12 Descompón el número 420 como producto de factores primos.

Cocientes parciales Factorización

2 es divisor de 420 420 : 2 = 210 420= 2 ? 210

2 es divisor de 210 210 : 2 = 105 420= 2 ? 2 ? 105

2 no es divisor de 105

3 es divisor de 105105 : 3 = 35 420= 2 ? 2 ? 3 ? 35

2 no es divisor de 35

ni3,perosí5 35 : 5 = 7 420= 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7

7esunnúmeroprimo,

es divisor de él mismo7 : 7 = 1 420= 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1

Por tanto, podemos expresar el número 420 como:

420= 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ? 1" 420= 22 ? 3 ? 5 ? 7

En la factorización de un número, siempre que se pueda, utilizaremospotencias.

Para realizar la descomposición de un número en factores primos

lo escribimos, normalmente, del siguiente modo:COCIENTES FACTORES

PARCIALES PRIMOS

420 2420 : 2 " 210 2 420= 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? 7210 : 2 " 105 3 420= 22 ? 3 ? 5 ? 7105 : 3 " 35 535 : 5 " 7 77 : 7 " 1

14 4 2 4 43 1 4 2 4 3

1444 4 2 4 4443 123

23 Descompónenproductodefactoresprimos,

y escribe cómo son estos números.

a) 13 c) 29

b) 61 d) 97

24 Completa para que se cumplan las igualdades.

a) 23 ? 32 ? 4 = 360

b) 42 ? 72 ? 11= 4 851


22 Descompón en producto de factores

primos los siguientes números.

a) 36 c) 24 e) 180

b) 100 d) 98 f) 120

13 Descompón en factores primos.

a) 8 c) 27 e) 125

b) 32 d) 81 f) 625

F F

F F

31



Máximocomún divisor

El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de susdivisores comunes.

Para calcular, de forma rápida, el máximo común divisor de varios núme-ros seguimos estos pasos:

1.º Descomponemos los números en factores primos.

2.º Escogemos los factores primos comunes, elevados al menor expo-nente.

3.º El producto de esos factores es el m.c.d. de los números.

EJEMPLOS

7 Obtén el máximo común divisor de 12 y 40.

Primero, descomponemos 12 y 40 en factores primos.12 2 40 2

6 2 20 2

3 3 12= 2 ? 2 ? 3= 22 ? 3 10 2 40= 2 ? 2 ? 2 ? 5= 23 ? 5

1 5 5

1

El único factor primo común es 2.

Alelevarloalmenorexponente:22

Así,resultaque:m.c.d.(12,40)= 22 = 4

14 Calcula el máximo común divisor de 40 y 100.

Primero, descomponemos 40 y 100 en factores primos.

40 2 100 2

20 2 50 2

10 2 40= 23 ? 5 25 5 100= 22 ? 52

5 5 5 5

1 1 5

Los factores primos comunes son 2 y 5.

Alelevarlosalmenorexponente:22 y 5

Así,resultaque:m.c.d.(40,100)= 22 ? 5= 4 ? 5= 20

7

El máximo común divisorde dos números puede ser 1.Por ejemplo:

4 = 22 9 = 32

No hay factores comunes.

m.c.d. (4, 9) = 1

14 Obtén el máximo común divisor.

a) 105 y 128 c) 324 y 628

b) 180 y 240 d) 1 024 y 2 862

27 Hallaelmáximocomúndivisorde18,30y54.


26 Calcula el máximo común divisor de cada

pareja de números.

a) 42 y 21 d) 12 y 35

b) 24 y 102 e) 60 y 24

c) 13 y 90 f) 72 y 11

32



Mínimocomún múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor de losmúltiplos comunes.

Para calcular, de forma rápida, el mínimo común múltiplo de varios núme-ros seguimos estos pasos:

1.º Descomponemos los números en factores primos.

2.º Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevadosal mayor exponente.

3.º El producto de esos factores es el m.c.m. de los números.

EJEMPLOS

8 Obténelmínimocomúnmúltiplode4y6.

Primero, descomponemos 4 y 6 en factores primos.4 2 6 22 2 3 31 1

4= 2 ? 2= 22 6= 2 ? 3

El factor primo común es 2, y el no común, 3.

Alelevarlosalmayorexponente:2 2 y 3

Así,resultaque:m.c.m.(4,6)= 22 ? 3= 4 ? 3= 12

16 Calculaelmínimocomúnmúltiplode18y60.

Primero, descomponemos 18 y 60 en factores primos.18 2 60 2

9 3 30 2

3 3 18= 2 ? 32 15 3 60= 22 ? 3 ? 5

1 5 5

1 5

Los factores primos comunes son 2 y 3, y los no comunes, 5.

Alelevarlosalmayorexponente:22, 32 y 5

Así,resultaque:m.c.m.(18,60)= 22 ? 32 ? 5= 4 ? 9 ? 5= 180

8

15 Calculaelmínimocomúnmúltiplo.

a) 24 y 48 c) 16 y 80

b) 18 y 54 d) 22 y 52

31 Hallaelmínimocomúnmúltiplode15,25y9.


30 Determinaelmínimocomúnmúltiplodeestas

parejas de números.

a) 5 y 12

b) 6 y 14

c) 3 y 21

d) 4 y 18

e) 14 y 27

f) 12 y 20

33



COMPRENDE ESTAS PALABRAS


1. FACTORIZAR UN NÚMERO

Descompón estos números en factores primos.

a) 84 b) 77

PRIMERO.Dividimoselnúmeroentreelprimernúmeroprimoquehagaladivisiónexacta.

• Ladivisióndeunnúmeroentre2esexactasi el númeroterminaen0oenunacifrapar.

• Ladivisióndeunnúmeroentre3esexactasi, al sumarlascifrasdeesenúmero,obtenemos un múltiplo de 3.

• Ladivisióndeunnúmeroentre5esexactasi el númeroterminaen0oen5.

Para el resto de números primos: 7, 11, 13, 17, … es mejor realizar la división.

a) 84 : 2"Divisiónexacta,porque4espar.84 2

84 : 2 " 42

b) 77 : 2"Divisiónnoexacta,porque7esimpar.

77 : 3"Divisiónnoexacta,porque:7+ 7= 14 y 14 : 3 es división no exacta.

77 : 5"Divisiónnoexacta,porque77noterminaen 0nien5.

77 7 77 77 11 77 : 7 " 110 " Divisiónexacta

SEGUNDO. Repetimos el mismo proceso con los cocientes resultantes hasta obtener la unidad.

a) 84 2 b) 77 784 : 2 " 42 2 42 termina en par, 42 : 2"Divisiónexacta. 77:7 " 11 11 11 es primo.42 : 2 " 21 3 21 no termina en par, 2+ 1= 3, múltiplo de 3. 11 : 11 " 121 : 3 " 7 7 7 es primo.7 : 7 " 1

TERCERO. Escribimos el número como el producto de todos los factores primos de la columnade la derecha y, si hay factores repetidos, los expresamos como una potencia.

a) 84= 2 ? 2 ? 3 ? 7= 22 ? 3 ? 7 b) 77= 7 ? 1122

123

Lo esencial

Múltiplos y divisores

8 : 2 es una división exacta

8 es múltiplo de 2 2 es divisor de 8

Número primo

Div(7)= {1, 7}

Div(11)= {1, 11}

Número compuesto

Div(10)= {1, 2, 5, 10}

Div(12)= {1, 2, 3, 4, 6, 12}

F

F F

F

F

F

34



4. CALCULAR EL MÁXIMO COMÚNDIVISOR DE VARIOS NÚMEROS

Obténelmáximocomúndivisorde24,132

y 84.

PRIMERO.Descomponemoslosnúmerosen

factores primos.

24 2 132 2 84 2

12 2 66 2 42 2

6 2 33 3 21 3

3 3 11 11 7 7

1 3 1 1 3

24= 23 ? 3 132= 22 ? 3 ? 11 84= 22 ? 3 ? 7

SEGUNDO. Escogemos los factores comuneselevados al menor exponente.

Factorescomunes" 2 y 3

Con menor exponente " 22 y 3

TERCERO. El producto de esos factoreses el m.c.d. de los números.

m.c.d.(24,132,84)= 22 ? 3= 12

Elmáximocomúndivisorde24,132y84es12.


1. ¿Es 24 múltiplo de 2? ¿Y de 3?

2. ¿Es 7 divisor de 63? ¿Y de 77?

1. Escribe tres múltiplos de estos números.

a) 8 c) 18

b) 12 d) 24

2. Escribe tres divisores de los números.

a) 24 c) 100

b) 96 d) 39

3. ¿Cuántosdivisorestieneelnúmero17?

¿Qué se puede decir de él?

5. Averiguacuáldelossiguientesnúmeros

es primo.

a) 21 b) 82 c) 31 d) 33

Factorizar un número

7. Descompónenfactoresprimoselnúmero88.

8. ¿Cuáleslafactorizaciónde120?¿Yde240?

¿Y de 480?

9. ¿Cuáleselnúmerocuyafactorización

es 23 ? 3 ? 52?

Calcular el máximo común divisor de variosnúmeros

10. ¿Cuáleselm.c.d.de32y48?

11. Hallaelm.c.d.de24,35y46.

Calcular el mínimo común múltiplo de variosnúmeros

12. ¿Cuáleselm.c.m.de10y8?

13. Calcula el m.c.m. de 16, 40 y 80.

Y AHORA… PRACTICA

5. CALCULAR EL MÍNIMO COMÚNMÚLTIPLO DE VARIOS NÚMEROS

Obténelmínimocomúnmúltiplode135,315

y 175.

PRIMERO.Descomponemoslosnúmerosen

factores primos.

135 3 315 3 175 5

45 3 105 3 35 5

15 3 35 5 7 7

5 5 7 7 1

1 3 1 3

135=

3

3

?

5 315=

3

2

?

5?

7 175=

5

2

?

7SEGUNDO. Escogemos los factores comunesy no comunes elevados al mayor exponente.

Factorescomunesynocomunes " 3, 5 y 7

Con mayor exponente " 33, 52 y 7

TERCERO. El producto de esos factoreses el m.c.m. de los números.

m.c.m.(135,315,175)= 33 ? 52 ? 7= 4 725

El mínimo común múltiplo de 135, 315 y 175es 4 725.

35



ActividadesMÚLTIPLOS DE UN NÚMERO

52. ● Halla con la calculadora los diez primeros

múltiplos de 11 y los ocho primeros múltiplosde 12.

53. ● Contestasiesverdaderoofalso,yrazona

las respuestas.

a) 35 es múltiplo de 5.

b) 49 es múltiplo de 6.

c) 56 es múltiplo de 8.

d) 72 es múltiplo de 9.

54. ● ¿Cuál de estas series está formada por

múltiplos de 4? ¿Y por múltiplos de 5?

a) 1, 4, 9, 16, 25, …b) 5, 10, 15, 20, …

c) 8, 10, 12, 14, 16, …

d) 4, 8, 16, 24, 32, 40, …

e) 1, 5, 10, 20, 30, …

f) 20, 40, 60, 80, …

55. ● Halla los múltiplos de 4 menores que 50.

56. ● ¿Cuáles son los múltiplos comunes de 5 y 8

menores que 50?

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UN MÚLTIPLO DE UN NÚMEROCOMPRENDIDO ENTRE OTROS DOS NÚMEROS?

57. Encuentra un múltiplo de 26 que esté

comprendido entre 660 y 700.

PRIMERO. Se divide el menor de los dos números,660, entre el número del que se quiere hallarel múltiplo, 26.

660 26

010 25

SEGUNDO. Se aumenta en una unidad el cociente,y se multiplica por el número del que se quiereobtener el múltiplo.

MÚLTIPLO =(25+ 1) ? 26= 676

Se comprueba que el número obtenido cumplela condición pedida: el número 676 es múltiplode 26y estácomprendidoentre660y700.

58. ● Determina un número entre 235 y 289 que sea

múltiplo de 29.

59. ● Halla los múltiplos de 11 comprendidos entre

40 y 100.

60. ● Calcula cuatro números que sean múltiplos

de 7 y que estén comprendidos entre 60 y 110.

61. ● Escribe el primer múltiplo de 32 que sea mayor

que 2 000.

DIVISORES DE UN NÚMERO

66. ● Contestasiesverdaderoofalso,yrazona

las respuestas.

a) 12 es divisor de 48.b) 15 es divisor de 3.c) 9 es divisor de 720.

d) 7 es divisor de 777.e) 44 es divisor de 44.f) 100 es divisor de 10.g) 123 es divisor de 123.h) 1 es divisor de 17.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULAN TODOS LOS DIVISORESDE UN NÚMERO?

16. Calcula todos los divisores de 63.

PRIMERO. Se divide el número entre 1, 2, 3, … hastaque el cociente sea menor que el divisor.

63 1 63 2 63 3 63 4 63 5 0 63 1 31 0 21 3 15 3 12

63 6 63 7 63 83 10 0 9 7 7 " El cociente, 7, es menor

que el divisor, 8.

SEGUNDO.Decadadivisiónexactaseextraen

dos divisores: el divisor y el cociente.

63 : 1= 63 " 1 y 63 son divisores de 63.63 : 3= 21 " 3 y 21 son divisores de 63.63 : 7= 9 " 7 y 9 son divisores de 63.

El resto de divisiones no son exactas.

Los divisores de 63 son:

Div(63)= {1, 3, 7, 9, 21, 63}

67. ● Completalosdivisoresde24,16,36y54.

Div(24)= {1, 2,4, 4,4, 8,4,4}

Div(16)= {1, 2,4,4, 16}

Div(36)= {1, 2,4, 4,4,4,4,4, 36}Div(54)= {1, 2,4,4,4,4,4, 54}

36



68. ● Halla todos los divisores de 42.

¿Cuántos divisores tiene 42?

69. ● Calcula todos los divisores de:

a) 28 c) 54

b) 64 d) 96

70. ● Si63esmúltiplode9,¿cuálesdelassiguientes

afirmaciones son ciertas?

a) 63 es divisor de 9.

b) 9 es divisor de 63.

c) 9 es múltiplo de 63.

72. ● Alhacerladivisión57:5,vemosquenoes

exacta. Decide si es verdadero o falso.

a) 5 no es divisor de 57.

b) 57 es múltiplo de 5.

c) 57 no es divisible por 5.

17. ● Observalassiguientesdivisionesexactas,

y completa las frases que aparecen.

a) 24 : 8= 3

24 es …… de 8

24 es …… de 3

8 es …… de 243 es …… de 24

b) 192 : 16= 12

196 es …… de 16

196 es …… de 12

16 es …… de 196

12 es …… de 196

73. ● Si 175= 5 ?35,¿cuálesdelasafirmaciones

son ciertas?

a) 175 es divisible por 5.b) 175 es múltiplo de 35.

c) 5 es divisor de 175.

74. ● Dada la relación 104= 4 ?26,¿qué

afirmaciones son verdaderas?

a) 104 es múltiplo de 4.

b) 26 es divisor de 104.

c) 104 es divisible por 26.

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE DETERMINA SI UN NÚMERO ES PRIMOO COMPUESTO?

18. Averigua si 61 es primo o compuesto.

PRIMERO. Se calculan los divisores del número.

61 1 61 2 61 3 61 4 61 5 0 61 1 30 1 20 1 15 1 12

61 6 61 7 61 81 10 5 8 5 7 " El cociente, 7, es menor que

el divisor, 8.

Como solo existe una división exacta:

Div(61)= {1, 61}SEGUNDO. Se decide si el número es primoo compuesto.

• Sielnúmerodedivisoresesdos, el número es primo.

• Sielnúmerodedivisoresesmayorquedos,

el número es compuesto.

Como 61 tiene dos divisores, es un número primo.

77. ● Completa la siguiente tabla:

Compuesto

Números

33

61

79

72

39

1, 3, 11, 33

Divisores Primo/Compuesto

78. ● ¿Cuáles de estos números son primos?

¿Y cuáles son compuestos?

a) 46 b) 31 c) 17 d) 43

79. ● Escribe los números primos mayores que 30

y menores que 100.

80. ● Sabiendo que un número de dos cifras tiene

divisiónexactacon3,¿sepuededecir

que es primo? Pon un ejemplo.

81. ●● Escribe estos números como suma de dos

números primos.

a) 12 b) 20 c) 36 d) 52

37



FACTORIZACIÓN DE UN NÚMERO

19. ● Escribe y comprueba.

a) Escribe diez múltiplos de 2. ¿Son pares todoslos números que obtienes?

b) Escribe diez múltiplos de 3. Suma las cifrasde cada número. ¿Es siempre la sumaun múltiplo de 3?

c) Escribe diez múltiplos de 5. ¿Terminan todoslos números en 0 o en 5?

20. ● Observa los siguientes números y contesta.

45 52 70 81 94 125 231

a) ¿Qué números son múltiplos de 2?

b) ¿Qué números son divisibles por 3?

c) ¿Dequénúmeroses 5 un divisor?

21. ● Escribelosdoceprimerosmúltiplosde10,

y subraya la última cifra de cada uno.

¿Cómo puedes saber si un número es múltiplo

de 10?

82. ● Descompón estos números en producto

de factores primos.

a) 56 f) 77 k) 138

b) 100 g) 98 l) 102

c) 187 h) 47 m) 325

d) 151 i) 99 n) 226

e) 155 j) 79 ñ) 402

22. ● Lafactorización23 ? 3 ? 52,¿acuál

de los siguientes números corresponde?

a) 30 c) 120 e) 300

b) 60 d) 150 f) 600

83. ● ¿A qué números corresponden estas

descomposiciones en factores primos?

a) 23 ? 3 ? 5 e) 23 ? 52 ? 7

b) 2 ? 32 ? 7 f) 32 ? 5 ? 72

c) 5 ? 72 ? 11 g) 3 ? 53 ? 72

d) 2 ? 3 ? 5 ? 72 h) 23 ? 32 ? 5 ? 73

84. ● ¿Cuál es la descomposición en factores primos

de un número primo? Pon un ejemplo.

MÁXIMO COMÚN DIVISORY MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

89. ● Halla el máximo común divisor

de los siguientes pares de números.

a) 16 y 24 c) 12 y 36 e) 28 y 49b) 45 y 72 d) 18 y 27 f) 18 y 28

90. ● Calcula el máximo común divisor de estos

pares de números.

a) 4 y 15 c) 3 y 17 e) 21 y 2

b) 9 y 13 d) 12 y 7 f) 18 y 47

91. ●● Obtén el máximo común divisor


a) 8, 12 y 18 d) 45, 54 y 81

b) 16, 20 y 28 e) 75, 90 y 105

c) 8, 20 y 28 f) 40, 45 y 55

94. ●Calculaelmínimocomúnmúltiplode:

a) 12 y 24 c) 27 y 54

b) 16 y 18 d) 21 y 49

95. ●Hallaelmínimocomúnmúltiplode:

a) 5 y 12 c) 12 y 25

b) 7 y 14 d) 8 y 15

96. ●● Determinaelmínimocomúnmúltiplode:

a) 12, 15 y 18 c) 6, 30 y 42b) 10, 20 y 30 d) 9, 14 y 21

PROBLEMAS DE DIVISIBILIDAD

97. ● José está haciendo una colección de cromos.

Loscromossevendenensobrescon5cromos

cada uno. ¿Puede comprar 15 cromos? ¿Y 17?

23. ● Rafa ha hecho 40 croquetas.

a) ¿Puede repartirlas en partes iguales en 8 platossin que le sobre ninguna?

b) ¿Y en 9 platos?

38



98. ●● Ana tiene un álbum de 180 cromos.

Loscromossevendenensobresde5cromos

cada uno. Suponiendo que no se repita

ningúncromo,¿cuántossobrestiene

quecomprarcomomínimo?

99. ●●Luisquierepegarlas49fotosde

sus vacaciones en filas de 3 fotos cada una.

¿Cuántasfilasenterasobtendrá?¿Lesobra

alguna foto? Razona la respuesta.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE DIVIDE UNA CANTIDAD EN GRUPOSIGUALES?

24. Necesitamosenvasar10rosquillasencajas

que tengan el mismo número de rosquillas cada

una. ¿De cuántas formas se pueden envasar?

PRIMERO. Se calculan todos los divisores de la cantidad.

10 1 10 2 10 3 10 40 10 0 5 1 3 2 2

El cociente, 2, es menor que el divisor, 4. Por tanto,no seguimos dividiendo.

10 : 1= 10"Divisiónexacta"Divisores:1y10

10 : 2= 5 "Divisiónexacta"Divisores:2y5

SEGUNDO. Los divisores son las formas en que sepuede agrupar la cantidad.

Divisores:1y10Se pueden envasar en 1 caja de 10 rosquillaso en 10 cajas de 1 rosquilla.

Divisores:2y5

Se pueden envasar en 2 cajas de 5 rosquillaso en 5 cajas de 2 rosquillas.

100. ●● Cristina tiene 24 coches de juguete y quiere

colocarlosenfila,demodoqueencadafilahaya

la misma cantidad de coches.

¿De cuántas maneras puede hacerlo?

101. ●●● Carmen cuenta sus 24 coches de juguete

de 3 en 3 y Alberto lo hace de 4 en 4. ¿Coinciden

en algún número? ¿Qué tienen en común

dichos números?

102. ●● Eduardo trabaja en una tienda de animales.

Hay8canariosyquiereponerlosenjaulas,

conelmismonúmerodecanariosencadauna,

sin que sobre ninguno. ¿De cuántas formas

puede colocar los canarios en las jaulas?

103. ●● Marta tiene 15 piñas y desea repartirlas en

cestos,conelmismonúmerodepiñasencada

uno,sinquelesobreninguna.¿Decuántas

maneras distintas puede repartirlas?

104. ●● Maríahahecho45pastelesylosquiere

guardar en cajas. ¿De cuántas maneras los

puede guardar para que no sobre ninguno?

105. ●● Paco tiene 20 láminas de madera y tiene que

ponerlasenmontones,conelmismonúmero

deláminasencadauno,sinquelesobreninguna. ¿Cuántas láminas puede poner en

cada montón?

106. ●● Ana tiene 7 macetas de geranios y las quiere

colocarengrupos,demaneraquecadagrupo

tenga el mismo número de macetas y no sobre

ninguna. ¿Cuántas macetas puede poner

en cada grupo?

25. ●● Maite ha regado hoy los geranios y los cactus

de laterraza.Riegalosgeranioscada3días

y los cactuscada9días.¿Cuántosdíastienen

quepasarcomomínimohastaqueMaitevuelva

a regarlasdosplantaselmismodía?

26. ●● Fran y Raquel van

a patinar a la mismapista. Fran va cada

4 díasyRaquel,

cada 5 días.

Hoy han ido los dos.

¿Dentro de cuántos

díasvolverán

a coincidir por

primera vez en la

pista de patinaje?

39



3

1. Aunque Leonardo

da Vinci es más

conocido por

su pintura,

su contribución a las

matemáticas también

es importante.

Averigua alguna de

sus aportaciones.


sobre Luca Pacioliy los trabajos que

realizó con Leonardo

da Vinci.

3. Investiga sobre las

aportaciones a las

matemáticas de Luca

Pacioli y su relación

con las fracciones.


Entre la proporción divinay la humana

Da Vinci entró en la sala donde estaba Luca Pacioliexaminando las ilustraciones de su libro.

–Vuestro trabajo me parece fantástico, Leonardo–dijo el fraile ordenando los dibujos geométricos.

–Gracias, padre Pacioli –respondió Da Vincie hizo una leve inclinación–. Vuestra obra,La divina proporción, lo merecía.

–Acerté al encargaros las ilustracionesdel libro, pues sabía que el temade las proporciones os apasionaríadesde el momento en que meenseñasteis el boceto del Hombrede Vitruvio –remarcó Pacioli.

–Las proporciones humanas que Vitruvio recoge en su tratadose ajustan a los cánones debelleza del arte actual –explicóDa Vinci–. ¿Sabéis quela distancia del codo alextremo de la mano es unquinto de la altura de un hombre,que la distancia del codo a la axila

es un octavo o que la longitudde la mano es un décimo?

Fracciones




En esta unidad

aprenderás a…

• Manejar las distintas

interpretaciones

de una fracción.

• Identificaryhallarfracciones

equivalentes

a una fracción dada.

• Compararyordenarfracciones.

• Realizaroperacionescon fracciones.

PLAN DE TRABAJO

LECTURA DE FRACCIONES

Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador.

7

5

Para leer fracciones se lee primero el número del numerador y, después, se expresael denominador como se indica en la siguiente tabla:

Denominador 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Se lee medios tercios cuartos quintos sextos séptimos octavos novenos décimos

Si el denominador es mayor que 10, se lee el númeroañadiendo la terminación -avos.

7

5se lee cinco séptimos

5

2se lee dos quintos

Cuando el denominador es mayor que 10:

11

3se lee tres onceavos

F Denominador

Numerador F

F

F

F

F

F

F

Las fracciones se utilizanpara expresar cantidadesincompletas de la unidad.

EVALUACIÓN INICIAL

1 Indica cómo se leen las siguientes fracciones.

a)4

9c)

2

3e)

12

8

b)13

5d)

5

1f)

15

11

2 Escribe cómo se lee.a) Una fracción con numerador 3 y denominador 5.

b) Una fracción con numerador 2 y denominador 7.

c) Una fracción con denominador 9 y numerador 4.

d) Una fracción con denominador 6 y numerador 17.

1. Escribe en forma de fracción.

a) Siete novenos. c) Diez doceavos.

b) Dos décimos. d) Trece sextos.

41



Númerosfraccionarios1

Una fracción es una expresiónb

a, donde a y b son números naturales

llamados numerador y denominador, respectivamente.

Una fracciónb

apuede expresar un valor respecto a un total que llamamos

unidad. En este caso:

• Su denominador, b, representa el número de partes iguales en quese divide la unidad.

• Su numerador, a, representa el número de partes que se toman.


Cómo se representa geométricamente una fracción

Para representar una fracción, se suelen utilizar figuras geométricasque consideramos como la unidad.

• Dividimoslaunidadentantas

partes como indica el denominador.

• Coloreamostantaspartescomo

indica el numerador.

EJEMPLO

1 Escribe como fracción la parte coloreada de cada figura, e indica

el numerador y el denominador.

a) b)

9

5G Numerador

G Denominador

18

13G Numerador

G Denominador

EJEMPLO

1 Expresa como fracción esta situación:

Deunbizcochodividido en 7 partes, nos comemos 4.

Tomamos 4 partes " Numerador

Dividido en 7 partes " Denominador 7

4

"2

La fracción representa una parte de la unidad.

1 Representa estas fracciones.

a)4

3b)

7

5c)

12

4


1 Indica cuál es el numerador y el denominador.

a)4

9b)

11

6c)

22

1

G

10

3

4

7

7

4

G

G

G

G

42



Fracciones propiase impropias2

• Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el deno-minador. Representa un número menor que la unidad.

• Una fracción es impropia si tiene el numerador mayor que el de-nominador. Representa un número mayor que la unidad.

Si el numerador y el denominador

son iguales, la fracciónes igual a la unidad.

66

= 1 "

EJEMPLO

4 Determina cuáles de las siguientes fracciones son propias o impropias.

a)6

2 b)6

8

a)6

2 "

Numerador < Denominador

2 < 62 Fracción propia

Representaunnúmeromenorquelaunidad.

b)6

8 "

Numerador > Denominador

8 > 62

Fracción

impropia

Representaunnúmeromayorquelaunidad.


Cómo se comparan las fracciones con la unidad

• Unafracciónesmenor que la unidad si el numerador es menor

que el denominador.

• Unafracciónesmayor que la unidad si el numerador es mayor

que el denominador.

EJEMPLO

2 Escribe la fracción coloreada y compárala con la unidad.

a) b)

7

3 < 1, porque 3 < 7

6

11 > 1, porque 11 > 6

5 Indica si estas fracciones son propias,

impropias o iguales a la unidad.

a)35

17b)

42

43c)

5

5d)

18

13

6 Representa gráficamente las fracciones, y di

si son menores, iguales o mayores que la unidad.

a)5

7b)

7

4c)

16

16d)

3

9


2 Escribe la fracción representada y compárala

con la unidad.

a)

b)

43



13 Obténtresfraccionesequivalentes

por amplificación.

a)2

11b)

7

9

14 Obtén, si es posible, dos fracciones

equivalentesporsimplificación.

a)75

125b)

60

48


3 Representa cada una de las siguientes fracciones

ydecidesisonequivalentes.

a)8

6

4

3y b)

7

5

3

2y

9 Compruebasilasfr accionessonequivalentes.

a)4

3

20

15y b)

8

6

10

4y

Fraccionesequivalentes3

Dos fracciones,b

ay

d

c, son equivalentes, y se escribe

b

a

d

c= , cuando

representan la misma cantidad. Sib

a

d

c= , se cumple que a ? d = b ? c.

EJEMPLO

6 ¿Sonequivalenteslas fracciones5

2

20

8y ? ¿Y las fracciones

5

3

30

6y ?

5

2

20

8= si se cumple que: y

? ?2 20 5 8

40 40 5

2

20

8=

="2 son equivalentes.

5

3

30

6= si se cumple que: y

? ?3 30 5 6

90 30 5

3

30

6

!

="2 no son equivalentes.

25

y8

20son equivalentes,

porque representanla misma cantidad.

2

5 "

820

"

SE ESCRIBE ASÍ

Amplificación

18

12

?

?

18

12

2

2=

Simplificación

:

:

18 318

12 12 3=

3.2 Cómo obtener fracciones equivalentes

• Amplificación: consiste en obtener una fracción equivalente multipli-cando el numerador y el denominador por el mismo número.

• Simplificación: consiste en obtener una fracción equivalente dividiendoel numerador y el denominador entre un divisor común de ambos.

EJEMPLO

8 Halladosfraccionesequivalentes a18

12, una por amplificación y otra

por simplificación.AMPLIFICACIÓN

?

?

18

12

18 2

12 2

36

24= =

SIMPLIFICACIÓN

:

:

18

12

18 3

12 3

6

4= =

•Como12? 36 = 18 ? 24:

18

12

36

24y son equivalentes.

•Como12? 6 = 18 ? 4:

18

12

6


44



6 ¿Tienendivisorescomunesestosnúmeros?Indica cuáles son.

a) 25 y 75 c) 13 y 25

b) 12 y 36 d) 7 y 12


a) 5esdivisorcomúnde15y25.

b) 3noesdivisorcomúnde12y15.

c) 2noesdivisorcomúnde12y25.



a) 4 es divisor de 18.

b) 9 no es divisor de 95.

c) 12 no es divisor de 72.

5 Decidesi2,3o5sondivisoresdelossiguientes

números.

a) 18 c) 25

b) 32 d) 70

3.3 Fracción irreducible


Cuándo un número es divisor de otro

Unnúmeroa es divisordeotronúmerobsiladivisióndeb entre a

es exacta.

EJEMPLO

3 Compruebasi2y5sondivisoresde12.

12 2 La división 12 : 2 es exacta" 2 es divisor de 12.

0 6

12 5 La división 12 : 5 no es exacta" 5 no es divisor de 12.

2 2

Cuándo 2, 3 o 5 son divisores de un número

• 2esdivisordeunnúmerosielnúmeroterminaen0oenunacifrapar.

• 3esdivisordeunnúmerosilasumadesuscifrasesunmúltiplode3.

• 5esdivisordeunnúmerosielnúmeroterminaen0oen5.

EJEMPLO

4 Decidesi2,3o5sondivisoresdeestosnúmeros.

a) 12 b) 15

¿Tienenalgúndivisorcomún?

a) 2 es divisor de 12, ya que termina en cifra par.

3 es divisor de 12, pues 1 + 2 =3esmúltiplode3.5 no es divisor de 12, porque no termina en 0 o en 5.

b) 2 no es divisor de 15, ya que no termina en 0 o en cifra par.

3 es divisor de 15, pues 1 + 5 =6esmúltiplode3.

5 es divisor de 15, porque termina en 5.

Como3esdivisordeambos,esundivisorcomúnde12y15.

Dos números tienenun divisor común

si es divisor de ambos.

Una división es exacta

si su resto es cero.

D d D = d ? c

0 6

12 2 12 = 2 ? 6

0 6

RECUERDA

45



15 ¿Son irreducibles estas fracciones? En caso

de que no lo sean, obtén su fracción irreducible.

a)60

40b)

90

72

9 ¿Es45

20la fracción irreducible de

0

90

4?

Indica por qué.


8 Halla la fracción irreducible de cada una

de las siguientes fracciones.

a)100

50d)

75

15

b)90

42e)

1 0

100

5

c)2

45

7f)

00

75

2

Decimos que una fracción es irreducible si no se puede simplificar.

Si una fracción es irreducible, su numerador y su denominador no pue-den tener divisores comunes.

EJEMPLO

9 Calculalafracciónirreducible de18

12.

Simplificamos la fracción dividiendo entre los sucesivos divisores comunesdel numerador y el denominador.

2 es divisor de 12 y 18 " :

:

18

12

18 2

12 2

9

6= =

3 es divisor de 6 y 9 " :

:

9

6

9 3

6 3

3

2= =

2 y 3 no tienen divisores comunes " 3

2es la fracción irreducible de

18

12.

EJEMPLO

5 Halla la fracción irreducible de105

75.

• 2noesdivisorde75,yaquenoterminaen0oencifrapar.

3 es divisor de 75, pues 7 + 5 =12esmúltiplode3,ytambiénesdivisorde 105, porque 1 + 0 + 5 =6esmúltiplode3.

Como3esdivisorde75y105" :

:

105

75 75

35

25

105 3

3= =

• 2noesdivisorde25,yaquenoterminaen0oencifrapar.

3 no es divisor de 25, porque 2 + 5 =7noesmúltiplode3.

5 es divisor de 25 y de 35, porque ambos terminan en 5.

Como5esdivisorde25y35" ::

5

5

35 5

5 5

3

2 2

7

5= =

• 5esunnúmeroprimo.

7esunnúmeroprimo.

5 y 7 no tienen divisores comunes" 7

5es la fracción irreducible de

105

75.

c)18

70d)

7

25

Unnúmeroesprimosisolotiene dos divisores: él mismo

y la unidad.

RECUERDA

46



11 Ordena estas fracciones, de menor a mayor.

a) ,15

8

7

8

3

8y b) ,

13 1

4

17

4 4y

12 Copiaycompletaparaquelascomparaciones

sean ciertas.

a)15

4

15<4

b)5

6 6>4


17 Comparaestasfracciones.

a)6

5

6

4y b)

7

3

5

3y

10 Ordena las siguientes fracciones, de mayor

a menor.

a) ,5

7

5

3

5

1y b) ,

7

59

7

13

7y

Comparaciónde fracciones

Dadas dos fracciones, siempre habrá una de ellas que sea menor, igual omayor que la otra.

4.1 Fracciones con el mismo denominador

Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la quetiene mayor numerador.

EJEMPLO

10 Comparalasfracciones5

3y5

2.

Como5

3

5

2y tienen el mismo denominador y 3 > 2

5

3

5

2>" .

5

3"

5

2"

4.2 Fracciones con el mismo numerador

Cuando dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tienemenor denominador.

EJEMPLO

11 Comparalasfracciones4

1

2

1y .

Como4

1

2

1y tienen el mismo numerador y 2 < 4

2

1

4

1>" .

4

1"

2

1"

4

47



4.3 Fracciones con distinto denominador y numerador


Cómo se calcula el mínimo común múltiplo

Paracalcularelmínimocomúnmúltiplodevariosnúmeros:

1.° Descomponemoslosnúmerosenfactoresprimos.

2.º Escogemos los factores primos comunes y no comunes,

elevadosal mayorexponente.

3.º Elproductodeesosfactoreseselm.c.m.delosnúmeros.

Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en ob-tener otras fracciones equivalentes a ellas con el mismo denominador.

EJEMPLO

12 Reduceacomúndenominador las fracciones9

5

12

7y .

Primerocalculamoselmínimocomúnmúltiplodelosdenominadores.

?

9 3

12 2 3

2

2

=

="3 m.c.m. (9, 12) = 22 ? 32 = 4 ? 9 = 36

Eldenominadorcomúndelasnuevasfraccioneseselm.c.m.

Para calcular el numerador de cada nueva fracción, dividimos el m.c.m.

entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador.

9

536 : 9 ? 5

F

=F

m.c.m. (9, 12) = 3636

20

12

736 : 12 ? 7

F

=F

m.c.m. (9, 12) = 3636

21

Cuando dos fracciones tienen distinto denominador y numerador, sereducen a común denominador y se comparan los numeradores.

EJEMPLO

13 Comparalasfracciones 9

5

12

7y .

9

5

36

20=

12

7

36

21=

36

20

36

21

9

5

12

7< <"F

20 < 21

22 Comparaestasfracciones.

a)6

5

4

3y b)

4

7

9

3y


21 Reduceacomúndenominador.

a) , ,3

2

4

1

6

5b) , ,

5

4

10

1

4

3

Descomponernúmerosenfactores primos es

expresarlo como producto de

sus divisores primos.

12 2

6 2 12 = 22 ? 3

3 3

1

RECUERDA

El m.c.m. de dos

o más números esel menor de susmúltiplos comunes.

48



13 Expresalosnúmeroscomofracciónyopera.

a) 327

11+ b) 17

12

7-


25 Calcula.

a)3

4

6

5- b)

8

9

3

1+

Suma y restade fracciones

5.1 Fracciones con el mismo denominador

Para sumar (o restar) fracciones con igual denominador, se suman(o se restan) los numeradores y se mantiene el mismo denominador.

EJEMPLO

14 Calcula.

a)8

5

8

7+ =

8

5 7

8

12

2

3+= = b)

6

9

6

1- =

6

9 1

6

8

3

4-

= =

Simplificamos

F

Simplificamos

F

5.2 Fracciones con distinto denominador


Cómo se expresa un número natural como fracción

Cualquiernúmeronaturalsepuedeescribirenformadefracción

condenominador1. 7

1

7=

115

15=

Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador:

1.º Obtenemos fracciones equivalentes que tengan el mismo deno-minador, reduciendo a común denominador.

2.º Se suman (o se restan) los numeradores, manteniendo el mismodenominador.

EJEMPLO

6 Calcula. a)5

3

4

7+ b) 15

9

2-

a) 5 = 5 4 = 22 m.c.m. (5, 4) =5 ? 22 = 20

: :

5

3

4

7

20

20 5 3

20

20 4 7

20

12

20

35

20

47? ?

+ = + = + =

b) 15 - 9

2

1

15

9

2

9

9 15

9

2

9

135

9

2

9

133?

= - = - = - =

5

Los resultados debensimplificarse siempre.

La fracción finaldebe ser irreducible.

49



35 Efectúalasdivisiones.

a) :10

9

4

3

b) :15

48

3

2d) :

5

12

7

8

14 Realizaestasdivisionesysimplifica.

a) :155

2b) :

4

182


Multiplicaciónde fracciones

El producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene pornumerador el producto de los numeradores, y por denominador, elproducto de los denominadores.

?

?

?

ba

dc

b da c=

EJEMPLOS

16 Halla el producto de estas fracciones.

a) ?

2

3

7

5

?

?

2 7

3 5

14

15= =

b) ?

11

6

4

5

?

?

11 4

6 5

44

30

22

15= = =

F

Fracción irreducible

F

Simplificamos

17 Obténelproductodeestosnúmeros por una fracción.

a) ?34

7 ?

?

?

1

3

4

7

1 4

3 7

4

21= = = b) ?

6

58 ?

?

?

6

5

1

8

6 1

5 8

6

40

3

20= = = =

F

Simplificamos

Divisiónde fracciones

Al dividir dos fracciones obtenemos otra fracción que es el resultadode multiplicar los términos de ambas fracciones de manera cruzada.

:b

a

d

c

b c

a d

?

?

=F F

EJEMPLO

20 Efectúalassiguientesdivisiones .

a) :3

2

2

5 ?

?

?

3

2

5

2

3 5

2 2

15

4= = =

b) :

7

63 ::

7

6 3

1:

?

?

7 3

6 1

21

6

7

2= = =

6

7

c) :2

9

7

5

Cualquier númeronatural se puedeconsiderar como

una fraccióncon denominador 1.

3 = 31

29 Calculaysimplifica.

a) ?

8

3

9

11 c) ?

15

2

5

7

b) ?

5

4

12

7d) ?

6

7

6

15

30 Resuelveysimplifica.

a) ?105

4 b) ?15

6

7

50



39 Opera.

a) ?

5

14

7

3

12

5

3

11- +e o

b) : ?

7

9

8

17

5

3

2

3

9

1- +e o


38 Calcula,indicandolospasosquesigues.

b) ?

5

4

2

3

2

7

3

1+ -

a) :3

7

2

1

4

5+

Jerarquía de las operacionescon fracciones


Cómo se realizan operaciones combinadas con números naturales

Aloperarconnúmerosnaturalesresolvemos:1.ºLasoperacionesquehayentreparéntesis.

2.ºLasmultiplicacionesylasdivisiones,deizquierdaaderecha.

3.ºLassumasylasrestas,deizquierdaaderecha.

EJEMPLO

7 Resuelveestaoperación:

25- (4 ? 3- 2)+14:(3+ 4) =

= 25 - (12 - 2) + 14 : 7 =

= 25 - 10 + 14 : 7 =

= 25 - 10 + 2 =

= 17

Al realizar operaciones combinadas con fracciones, el orden que se siguees el mismo que en las operaciones con números naturales.

1.º Las operaciones que hay entre paréntesis.

2.º Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.

3.º Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

EJEMPLO

8 Calcula. :5

3

5

6

2

1

5

4=+ +d n

: :5

3

5

6

10

5

10

8

5

3

5

6

10

13

5

3

5 13

6 10

5

3

65

60

65

39

65

60

65

99

?

?

= + + = + =

= + = + =

= + =

d n

8

Es importanterespetar el ordende las operaciones

para obtenerel resultadocorrecto.

FSumas y restas

FMultiplicaciones y divisiones

FParéntesis

Sumas y restas

Multiplicaciones y divisiones

F

F

F

Paréntesis

51





1. COMPROBAR SI DOS FRACCIONES SON EQUIVALENTES

Compruebasiestasfraccionessonequivalentes. a)3

2

6

4y b)

3

5

4

3y

PRIMERO. Multiplicamos el numerador

de la primera por el denominador de la segunda,

y el denominador de la primera fracción

por el numerador de la segunda.

a) 2 ? 9 = 18 3 ? 6 = 18

b) 5 ? 4 = 20 3 ? 3 = 9

SEGUNDO.Comprobamossiambosproductossoniguales. En ese caso, las fracciones son equivalentes.

a) 18 = 18" 3

2

6


b) 20! 9" 3

5

4

3y no son equivalentes.

FracciónNumerador

Denominador 5

4

Fracción propia

Numerador < Denominador7

5

Fracción impropia

Numerador > Denominador5

7

FMenor

FMayor

F

F

Fracciones equivalentes

5

2

"

20

8

"

5

2y20

8son equivalentes.


5

4es irreducible, porque 4 y 5 no tienen

divisores comunes.

1. CALCULAR LA FRACCIÓN IRREDUCIBLE

Halla la fracción irreducible de90

72.

PRIMERO.Calculamoselm.c.d.delnumeradory el denominador.

18=( , ) ?72 90 2 3m.c.d. =?

? ?

72 2 3

90 2 3 5

3 2

2

2"

=

=3

SEGUNDO. Dividimos el numerador

y el denominador entre su m.c.d.

:

:90

72

90 18

72 18

5

4= =

F


2. REDUCIR FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR

Reduceacomúndenominadorestasfracciones:15

7y9

8

PRIMERO. Hallamos el m.c.m. de los denominadores.

SEGUNDO. El m.c.m. de

los denominadores es el nuevo

denominador de las fracciones.

Para obtener el nuevo numerador,

dividimos el m.c.m. entre el denominador, y el resultado lo multiplicamos por el numerador.

(15, 9) 3 5 45?m.c.m. = =15 3 5 9 3?2 2"= =

15

745 : 15 ? 7

F

=F

m.c.m. (15, 9) = 4545

21

9

845 : 9 ? 8

F

=F

m.c.m. (15, 9) = 4545

40

52



3. COMPARAR FRACCIONES

Comparalasfracciones15

7y9

8.

PRIMERO. Si tienen

distinto denominador,

reducimosacomúndenominador.

SEGUNDO. Si tienen

el mismo denominador,

es mayor la fracción que

tiene mayor numerador.

15

7

45

21=

9

8

45

40=

21 4045

21

45

40

15

7

9

8

< <

<

"

"

4. SUMAR Y RESTAR FRACCIONES

Calculalasiguientesumadefracciones:4

7

10

3+

PRIMERO.Silasfraccionesnotienenelmismodenominador,lasreducimosacomúndenominador.

$( , )4 10 2 5 20m.c.m. = =$

"4 2

10 2 5

22=

=3

SEGUNDO. Si las fracciones tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores, y simplificamos,

si se puede.

4

7

10

3

20

35

20

6

20

41+ = + =

4

720 : 4 ? 7

F

=F

m.c.m. (4, 10) = 2020

35

10

320 : 10 ? 3

F

=F

m.c.m. (4, 10) = 2020

6


1. Halla dos fracciones equivalentes a5

3.

1. Representalasfracciones3

2

6

4y , y decide

si son equivalentes.

Comprobar si dos fraccionesson equivalentes

2. ¿Son equivalentes las fracciones12

4

6

2y ?

¿Y las fracciones67

5 7y ?

Calcular la fracción irreducible

3. Halla la fracción irreducible de16

44.

Reducir fracciones a común denominador

4. Reduceacomúndenominador123

y 16

6

.

Comparar fracciones

5. Ordena, de mayor a menor: , ,33

25

24

83

24

44

Sumar y restar fracciones

6. ¿Cuáleslasoluciónde5

3

2

3

4

3+ - ?

Y AHORA… PRACTICA

53



ActividadesNÚMEROS FRACCIONARIOS

15.●

Indica cuál es el numerador y el denominador.

a)14

11c)

12

3e)

9

1

b)43

25d)

45

13f)

1

92

1

16. ●Representa estas fracciones, e indica cuál

es el numerador y el denominador.

a)10

6c)

7

4e)

5

3

b)8

3d)

15

9f)

7

1

17. ● Expresa como fracción las siguientes

situaciones.

a) Deunjardíncon12plantas,semarchitantres.

b) Deunautobúscon16personas,sebajansiete.

c) De una librería con 27 novelas, me venden cinco.

44. ●● Indica qué fracción determina cada una

de las afirmaciones.

a) Quinceminutosdeunahora.

b) Siete meses en un año.

c) Treshuevosdeunadocena.d) Trece letras del abecedario.

48. ● Dadas las siguientes fracciones, indica cuál

es mayor, igual o menor que la unidad.

a)3

8b)

6

5c)

1

1d)

2

7

18. ● Indica si estas fracciones son propias,

impropias o iguales a la unidad.

a)5

1c)

45

23e)

29

21

b)6

15d)

8

8f)

55

51

19. ●● Representa las fracciones y decide si son

propias o impropias.

a)8

3c)

10

2e)

9

12

b)7

25d)

18

8f)

15

11

FRACCIONES EQUIVALENTES

50. ● Dadas las siguientes figuras, indica cuáles

representanfraccionesequivalentes.

a) c)

b) d)

51. ● Determinasilasfraccionessonequivalentes.

a)7

13

21

52y b)

4

3

11

8y c)

6

15

36

105y

53. ● Calculadosfraccionesequivalentespor

amplificación y otras dos por simplificación.

a)42

14b)

36

24c)

75

50d)

20

8

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDOPARA QUE DOS FRACCIONES SEAN EQUIVALENTES?

20. Calculaelnúmeroquefaltaparaquelas

fracciones 4

3

y 8

4

seanequivalentes.

PRIMERO. Se aplica la propiedad que cumplen

dos fracciones equivalentes.

3 8 4? ?

4

3

8

44= ="

SEGUNDO. Se calcula el producto de los dos términos

conocidos.

3 ? 8 = 24

TERCERO.Sebuscaelnúmeroque,almultiplicarloporel tercer término conocido, resulta el mismo producto.

Para que resulte 24 multiplicamos 4 ? 6, y así:4 = 6

52. ●● Completalasfraccionesparaquesean

equivalentes.

a)5

9 18

4= b)

3

8 24

4= c)

2

13

4=4

54. ●● Completalassiguientesfraccionespara

queseanequivalentes.

a)7

4

14

64= =

4 b)5

4

15

8

4= =4

54



55. ● Calculalafracciónirreducible.

a)20

12b)

36

52c)

18

81d)

48

12

56. ●● Determina las fracciones irreducibles.

a)12

3b)

33

70c)

32

45d)

35

49e)

27

54

COMPARACIÓN DE FRACCIONES

58. ● Comparalasfraccionescolocandoelsigno< o >.

a) ,3

2

3

4c) ,

27

7

17

4e) ,

14

8

16

9

b) ,17

3

18

4d) ,

23

9

17

9f) ,

34

5

18

7

59. ● Ordena, de menor a mayor.

a) , , ,7

3

7

4

7

1

7

6 c) , ,8

3

12

5

6

7 e) , ,26

33

101

108

3

2

b) , , ,7

3

2

3

5

3

4

3 d) , ,33

26

108

101

2

3f) , ,

3

8

5

12

7

6

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE COMPARAN UN NÚMEROY UNA FRACCIÓN?

60. ¿Es 3 menor que27 ?

PRIMERO.Seexpresaelnúmerocomounafraccióncon el mismo denominador que la fracción dada.

?

32

3 2

2

6= =

SEGUNDO. Se comparan las fracciones.

2

6

2

73

2

7< <"

61. ● ¿Es 4 mayor que3

14? ¿Es 5 mayor que

4

19?

OPERACIONES CON FRACCIONES

63. ● Calculaysimplificaelresultado

de las siguientes operaciones.

a)9

4

9

5

9

8+ + c)

15

4

15

2

15

5+ +

b)8

7

8

5

8

3- + d)

12

9

12

5

12

3+ +

21. ● Calculaysimplifica.

a)5

1

2

7+ c)

45

23

5

1-

b)8

12

6

15+ d)

8

18

3

2-

64. ● Resuelveestasoperacionesysimplifica.

a)4

3

6

5

3

2+ - c)

5

2

30

7

3

1+ -

b)12

7

8

3

6

5- + d)

9

4

4

1

12

1- -

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE OPERA CON NÚMEROS Y FRACCIONES?65. Calcula:

3

42

6

1+ -

PRIMERO.Seexpresaelnúmeroenformade fracción, poniendo como denominador 1.

21

2=

SEGUNDO. Se realiza la operación.

3

42

6

1

3

4

1

2

6

1

6

8

6

12

6

1

6

19+ - = + - = + - =

F

m.c.m. (1, 3, 6) = 6

42. ● Escribeestosnúmeroscomofracción.

a) 9 b) 10 c) 23 d) 14

66. ● Resuelveysimplificaelresultado.

a)3

24

9

1+ - c) 3

4

1

8

5- -

b)16

5

4

72+ - d)

5

11

10

7

4

53- - +

67. ●● Calculaysimplifica.

a)7

2

7

3+ g)

7

2

7

3

7

9+ +

b)18

37

8

11- h)

6

25

6

7

18

4- -

c)8

6

7

6+ i) 3

5

1

35

2+ +

d)6

11

8

11- j) 5

9

4

45

37- -

e)3

2

27

3+ k) 1

9

2

30

7+ +

f)18

37

9

14- l) 4

9

14

27

17- -

55



68. ● Efectúalossiguientesproductos.

a) ?

3

2

5

7c) $

7

4

8

6

b) ?

5

6

2

1d) ?

5

3

9

4

69. ● Calcula.

a) ?45

3c) ?2

4

9

b) $57

6d) ?

6

5

70. ● Resuelve.

a) ? ?

4

1

5

3

6

5c) ? ?

8

9

3

7

6

5

b) ? ?

12

7

5

4

2

9d) ? ?

5

6

3

10

2

7

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UN NÚMERO?

22. Calcula.

a)5

3de30.

b)Lacuartapartede24.

PRIMERO. Se identifica la fracción que representa

la partedelnúmeroquesequierecalcular.

a)5

3

b)Cuartaparte4

1"

SEGUNDO. Se multiplica la fracción que representa

la parteporelnúmero.

a)5

3de 30 =

3?

?

5

330

5

3018= =

b)4

1de 24 = ?

?

64

124

4

1 24= =

43. ● Calcula.

a)2

1de 50 c)

4

3de 4

b)2

3de 100 ) 180

9

7d de

73. ●● Calcula.

a) La tercera parte de 75.

b) La quinta parte de 80.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DE UNA FRACCIÓN?

23. Calcula.

a) 6

2

de 5

3

.

b)Latercerapartede5

3.

PRIMERO. Se identifica la fracción que representa

la parte de la fracción que se quiere calcular.

a)6

2

b) Tercera parte3

1"

SEGUNDO. Se multiplican las fracciones.

a)

6

2de

5

3 =

6

2

5

3

6 5

2 3

30

6?

?

?

= =

b)3

1de

5

3 =

3

1

5

3

3 5

1 3

15

3?

?

?

= =

71. ●Calculaysimplifica.

a)2

1

3

8de c)

4

3

5

12de

b)7

5

15

2de d)

6

1

3

4de

24. ●● Calcula.

a) La sexta parte de4

3 .

b) La mitad de8

5.

c) La cuarta parte de5

12.

79. ●Escribelainversadecadafracción.

a)3

7b)

5

6c)

4

9d)

7

8

81. ●Efectúalassiguientesdivisiones.

a) :5

3

3

2c) :

6

5

3

4

b) :4

7

2

9d) :

9

4

3

8

82. ●Resuelve.

a) :45

2c) :3

2

7

b) :4

155 d) :

4

36

56



83. ●● Realiza estas operaciones.

a)7

12

5

1

4

3- +

b) :?

5

3

5

7

5

6

7

1+

c) :2

13

3

1

5

16

4

7- +

d) :5

132

3

7

5

42

2

1- +

e) : ?

7

6

15

3

5

7

4

1-

f) : :2

3

5

17

5

6

2

1+


a) 9

5

6

7

3

2

- -e o d) : :3

8

7

6

2

3

e o b)

5

7

10

3

3

1- +e o e) : :

3

5

2

15

4

3e o

c)12

5

8

3

3

2+ -e o f) :

5

3

10

1

2

7+e o

85. ●● Calcula.

a)4

112

5

2- +e o d) :?

5

9

3

2

5

3e o

b) :?

4

3

6

5

2

7

e oe) :

4

9

8

3

4

5-

e oc) : ?

7

6

5

4

2

7e o f) : :8

7

2

5

2

3e o

PROBLEMAS CON FRACCIONES

87. ●● Pedro ha dedicado3

1parte de su t iempo

averlatelevisión,4

1a jugar y

12

5a estudiar.

¿Aquéactividadhadedicadomástiempo?

90. ●● En el parque hanplantado árboles:

3

1son chopos,

15

7son cipreses

y5

1son encinas.

¿De qué tipo de árbol

se ha plantado más?

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA UNA PARTE DEL TOTAL?

93. En una fiesta se colocaron bombillas

de colores. Al terminar solo funcionaba un

cuarto de ellas. ¿Qué parte de las bombillasse fundió?

PRIMERO. Se expresan numéricamente el total

y la parte.

TOTAL: Todas las bombillas " 1

PARTE: Bombillas que funcionaban " 4

1

SEGUNDO. Se restan para calcular la otra parte.

14

1

4

4

4

14

4

1

4

3- = - = - =

Se fundieron las tres cuartas partes de lasbombillas.

94. ●●Ana está pintando una pared. Si ya ha

pintado la sexta parte, ¿qué fracción le queda

por pintar?

95. ●● En un partido de baloncesto, Pedro ha

encestado la sexta parte de los puntos,

CarloslamitadyJuanelresto.

a) ¿QuéfraccióndelospuntoshahechoJuan?

b) ¿Quiénhaencestadomáspuntos?

96. ●● En una merienda, las8

3partes son bebida,

6

1son patatas fritas y

3

1frutos secos, siendo

el resto bocadillos. ¿Qué fracción representan

los bocadillos?

97. ●● En el pueblo de Rocío, las tres cuartas

partes de las fincas están sembradas de trigo,

un quinto de maíz, y el resto no está sembrado.

a) ¿Qué fracción de las fincas está sembrada?

b) ¿Qué fracción de las fincas no lo está?

57



Problemas contables

Esa mañana de invierno era particularmente

clara, lo que en Escocia no es habitual. Junto a la ventana, un hombre entradoen años repasaba mentalmente su vidamientras se dejaba acariciar por los rayosdel sol.

Se vio en la sala despidiéndose de su madrepara ir a la universidad y recordó su consejo.

–Honra a tu familia y que tu nombre, JohnNapier, sea sinónimo de rectitud y nobleza–.

Aquella fue la última frase que escuchóde ella y la última vez que la vio.

De sus pensamientos le sacaron dos niñosque jugaban con unas tablillas: eranunas tablas que él había ideado y que servíanpara efectuar multiplicaciones.

Después de mirar a los niños, volvióal quehacer diario de repasar los libroscontables de su propiedad, dondese podían apreciar sus gastos.

John Napier fue quien popularizó el usode la coma como separador decimal.

1. ¿Quién fue John

Napier? Busca

información sobre

su vida y sus

aportaciones

al mundo de

las matemáticas

y otras ciencias.

2. ¿A qué etapa de

la vida de Napier crees

que corresponde el

episodio que se narra

en este texto?

¿Podrías situarlo

en un año concreto?

3. Investiga sobre

las aportaciones

de John Napier

al estudio de los

números decimales.


4Númerosdecimales



EVALUACIÓN INICIAL


En esta unidad

aprenderás a…

• Identificar y leer

números decimales.

• Comparar números

decimales.

• Operar con números

decimales.

PLAN DE TRABAJO

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número le corresponde un orden

de unidades.

Centena

de millón

Decena

de millón

Unidad

de millón

Centena

de millar

Decena

de millar

Unidad


6 3 0 0 5 2 1 5 8

630 052 158= 6 C. de millón+ 3 D. de millón+ 5 DM+ 2 UM+ 1 C+ 5 D+ 8 U=

= 600 000 000+ 30 000 000+ 50 000+ 2 000+100+ 50+ 8

630 052 158 se lee «seiscientostreinta millones cincuenta y dos milciento cincuenta y ocho».

El sistema de numeración decimales posicional, es decir, el valorde cada cifra depende del lugaro posición que ocupa en el número.

5 decenas= 50 unidades F

630 052 158 F

5 decenas de millar= 50 000 unidades

1 Descompón los siguientes números en sus diferentes órdenes

de unidades.

a) 53 478 d) 23 002

b) 3 408 924 e) 1 003

c) 700 401 f) 67 003 984

2 Descompón estos números y escribe cómo se leen.

a) 45 009 c) 3 689b) 1 568 002 d) 56 005

3 Indica el valor de la cifra 3 en estos números.

a) 23 778 d) 13 003

b) 3 008 204 e) 1 303

c) 730 001 f) 37 003 934

1. Indica el valor de las cifras de estos números: 10 926 y 253 418.

En el sistema decimal,10 unidades de un orden

forman una unidad del ordeninmediato superior.

59



Númerosdecimales


Qué son las unidades decimales

1 unidad → 1 U

1 U= 10 d

1 d= 0,1 U

1 décima → 1 d

1 U= 100 c

1 c= 0,01 U

1 centésima → 1 c

1 U= 1 000 m

1 m= 0,001 U

1 milésima → 1 m

F F

F

Para expresar cantidades que representan partes de la unidad utilizamoslas unidades decimales: décimas (d), centésimas (c), milésimas (m)…

Un número decimal es un número que se compone de:• Parte entera: cifras situadas a la izquierda de la coma; esta parte del

número es mayor que la unidad: unidades, decenas, centenas…

• Parte decimal: cifras situadas a la derecha de la coma; esta partedel número es menor que la unidad: décimas, centésimas, milési-mas, diezmilésimas…

Para leer un número decimal, primero se lee la parte entera y, después, laparte decimal seguida del orden de unidades que ocupa la última cifradecimal.

EJEMPLO

2 Descompón en sus órdenes de unidades el número 16,027.

Parte entera Parte decimal

Decenas Unidades Décimas Centésimas Milésimas

1 6 0 2 7

16,027= 1 ? 10+ 6+ 0 ? 0,1+ 2 ? 0,01+ 7 ? 0,001

El número 16,027 se lee: «16 unidades 27 milésimas».

1


1 Escribe con cifras.

a) Treinta y siete milésimas.

b) Nueve unidades cuatro décimas.

c) Cuatro unidades trescientas milésimas.

2 Escribe cómo se lee cada número.

a) 1,033 b) 0,09 c) 21,0021

3 Indica la parte entera y decimal.

a) 112,45 c) 42,1 e) 25,07

b) 0,25 d) 7,25 f) 0,003

4 Descompón en unidades estos números.

a) 5,439 c) 0,88 e) 0,028

b) 17,903 d) 75,043 f) 7,009

El número 3,4 se puedeleer de estas maneras:

• 3 unidades 4 décimas

• 3 unidades 40 centésimas

• 3 coma 4

• 3 con 4

...

60



1.1 Representación de números decimales


Cómo se representan números naturales

Los números naturales se pueden representar ordenados en una recta.

1 2 3 4 5 6 7

Si dividimos una unidad decimal en 10 partes iguales, cada una de esaspartes es una unidad de orden inmediatamente inferior.

EJEMPLO

3 Representa en la recta numérica 2,6 y 2,66.

El número 2,6 está comprendido entre 2 y 3.

1.2 Comparación de números decimales

Para comparar números decimales comparamos cada unidad decimal:

1.º Parte entera. Es mayor el número que tiene mayor parte entera.

2.º Parte decimal. Si la parte entera es igual, se comparan las décimas,

las centésimas, las milésimas…, siendo mayor el número con ma-yor parte decimal, comparada cifra a cifra.

EJEMPLO

4 Compara estos números: 7,1 y 7,101.

Expresamos 7,1 como 7,100.

Vemos que 7,100 y 7,101 tienen igual la parte entera e iguales también

las cifras de las décimas y las centésimas, pero la cifra de las milésimas

en 7,101 es mayor que en 7,1 → 7,1< 7,101.

7 Representa, en una recta numérica,

estos números: 2,3; 2,34; 2,37; 2,32.

8 Completa con el signo que corresponda.

a) 3,24 3,08

b) 0,086 4 0,087


1 Escribe los números representados.

a)7 8

b)8,3 8,4

c)9,8 9,9

Al añadir ceros a laderecha de un decimal,el número sigue siendo

el mismo.1,35

1,350

1,3500

1,35000

• 5> 2

5 es mayor que 2

• 2< 5

2 es menor que 5

SE ESCRIBE ASÍ

Dividimos la unidad correspondiente en

10 partes iguales, que son las décimas.

Dividimos cada décima en 10 partes

iguales, que son las centésimas.

El número 2,66 está comprendido entre 2,6 y 2,7.

2 2,6 3

2,6 2,66 2,7

61



Suma y restade números decimales

Para sumar o restar números decimales:

1.º Colocamos los números, de forma que las comas decimales esténen la misma columna, y se añaden los ceros necesarios para que

todos tengan el mismo número de decimales.2.º Sumamos o restamos como si fueran números naturales, mante-

niendo la coma en su lugar correspondiente.

EJEMPLOS

5 Efectúa 124,6+ 45,802+ 4,18.

Colocamos los números, de forma que las comas

decimales estén alineadas, y añadimos los ceros

necesarios para que todos tengan el mismo número

de decimales.

6 Calcula 3,4- 0,987.

13,4 0 0

- 0,9 8 7

2,4 1 3


Cómo se realizan sumas y restas combinadas

Primero resolvemos los paréntesis, si los hay, y después las sumas

y restas de izquierda a derecha.

Sin paréntesis Con paréntesis

14- 5+ 3= 9+ 3= 12 14- (5+ 3)= 14- 8= 6

EJEMPLO

7 Resuelve esta operación: 75,06- 32,005+ 2,45

7 5,0 6 0

- 3 2,0 0 5

4 3,0 5 5

4 3,0 5 5

+3 2,4 5 0

4 5,5 0 5

F

2

1 2 4,6 0 0

4 5,8 0 2

+ 0 24,1 8 0

1 7 4,5 8 2

Solo podemos sumaro restar unidades

con unidades, décimas condécimas, centésimas

con centésimas...


11 Calcula.

a) 32,98+ 45,006 d) 0,56- 0,249

b) 7+ 8,003 e) 8,42- 5,3+ 0,77

c) 3,456- 0,098 f) 4,001+ 2,11- 0,723

2 Realiza estas operaciones.

a) 345,98+ (56,008- 22,98)

b) 54,009- 2,87+ (7,8- 5,6)

c) 19,79- (34,57+ 97,28)

62



Multiplicaciónde números decimales

Para multiplicar dos números decimales:

1.º Los multiplicamos como si fueran números naturales.

2.º Colocamos la coma en el resultado, separando tantas cifras como

decimales sumen entre los dos factores, contando de derecha aizquierda.

EJEMPLO

9 Calcula.

a) 34,5 ? 0,17 b) 6,815 ? 3,08

1 cifra decimal+

2 cifras decimales

3 cifras decimales

3 4,5

# 0,1 7

2,4,1 5

3 4,5 0

5,8 6 5

G

G

G

3 cifras decimales+

2 cifras decimales

5 cifras decimales

6,8 1 5

# 3,0 8

5 4 5,2 0 2,0 4 4 50 0

2 0,9 9 0 2 0

G

G

G


Cómo se multiplica un número natural por la unidadseguida de ceros

Para multiplicar un número natural por la unidad seguida de ceros,

se le añaden al número tantos ceros como tenga la unidad.

12 ? 10= 120 12 ? 100= 1 200 12 ? 1 000= 12 000

• Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros,desplazamos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tengala unidad.

• Para multiplicar un número decimal por 0,1; 0,01; 0,001…, despla-zamos la coma del número decimal hacia la izquierda tantos lugarescomo ceros tenga el factor 0,1; 0,01; 0,001…

EJEMPLO

10 Calcula.

a) 102,35 ? 10 = 1 023,5F

La coma se desplaza a la derecha un lugar.

b) 59,87 ? 1 000 = 59 870F

La coma se desplaza a la derecha tres lugares.

c) 12,39 ? 0,1 = 1,239F

La coma se desplaza a la izquierda un lugar.

d) 8,17 ? 0,01 = 0,0817F

La coma se desplaza a la izquierda dos lugares.

3

G G G

16 Realiza estas multiplicaciones.

a) 42,6 ? 10 b) 123,77 ? 0,001 c) 765,3 ? 100


15 Calcula.

a) 42,6 ? 5,9 b) 24,8 ? 0,05 c) 765,3 ? 3,8

DATE CUENTA

Al multiplicar un número

decimal por la unidad

seguida de ceros o por 0,1;

0,01; 0,001…, si no hay

suficientes decimales,

añadimos ceros.

63



División de númerosdecimales


Cuáles son los términos de la división

DividendoF

25 2 F

Divisor05 12 F Cociente

Resto F 1

4.1 Un número decimal entre un número natural

Para dividir un número decimal entre un número natural:

1.º Realizamos la división como si fueran números naturales.

2.º Al bajar la primera cifra decimal, ponemos una coma en el co-ciente.

3.º Continuamos la división.

EJEMPLO

11 Calcula 11,35 : 5.

1 1,3 5 5

1 3 2,2 7

3 5

0

Al bajar la primera cifra decimal, 3, ponemos

una coma en el cociente y continuamos la división.

4.2 Un número natural entre un número decimal

Para dividir un número natural entre un número decimal:

1.º Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida detantos ceros como cifras decimales haya en el divisor.

2.º Realizamos la división como si fueran números naturales.

EJEMPLO

12 Calcula 1 914 : 1,5.

1 914 : 1,5 F 1,5 10 15

?

?

1914 10 19 140=

= F 1 9 1 4 0 15

0 4 1 1 2 7 6

1 1 40 9 0

0

4

19 Calcula.

a) 42,6 : 3 b) 399,5 : 17 c) 23,4 : 9


3 Realiza estas operaciones.

a) 34,5 : 2 b) 14,06 : 7 c) 3,108 : 5

Propiedadde la división

Al multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo

número, el cocienteno varía.

64



4.3 Un número decimal entre un número decimal

Para dividir un número decimal entre un número decimal:

1.º Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida detantos ceros como cifras decimales haya en el divisor.

2.º Si en el dividendo siguen apareciendo decimales, resolvemosla división como en el caso de la división de un número deci-mal entre uno natural.

EJEMPLO

13 Calcula 7,2 : 0,16.

7,2 : 0,16 F ,

,

?

?

07 2 100 720

0 16 100 16

=

= F 7 2 0 1 6

0 8 0 4 5

0


Cómo se dividen decenas, centenas y millares por la unidadseguida de ceros

Se suprimen tantos ceros en el dividendo como ceros tenga la unidad.

2 300 : 10= 230 2 700 : 100= 27 12 000 : 1 000= 12

• Para dividir un número decimal entre la unidad seguida de ceros, des-plazamos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga launidad.

• Para dividir un número decimal entre 0,1; 0,01; 0,001…, desplaza-mos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga 0,1;0,01; 0,001…

EJEMPLO

14 Calcula.

a) 56,87 : 10 = 5,687 d) 56,87 : 0,1 = 568,7

b) 4,6 : 100 = 0,046 e) 4,6 : 0,01 = 460

c) 13 735 : 1 000 = 13,735 f) 13 735 : 0,001 = 13 735 000

G G G

25 Resuelve.

a) 9 268 : 1 000 c) 3,85 : 0,01 e) 1,8 : 100

b) 3,24 : 100 d) 46,97 : 10 f) 61,2 : 0,1


23 Calcula.

a) 129,6 : 3,6 c) 16,32 : 0,34

b) 19,1 : 3,82 d) 19,8 : 1,65

Si en el dividendo quedandecimales:

5,67 : 3,4 F )5,67 · 10 = 56,73,4 · 10 = 34

5,67 3,4 F 56,7 3422,7 1,622,3

DATE CUENTA

• Multiplicar por 0,1

es lo mismo que dividir

entre 10.

7,4?

0,1= 7,4 : 10• Dividir entre 0,1 es lo

mismo que multiplicar

por 10.

7,4 : 0,1= 7,4 ? 10

65



Números decimalesy fracciones


Cuál es la prueba de la división

Si una división está bien hecha, se cumple:

26 6

2 42< 6

26= 6 ? 4+ 2

• Resto< divisor

• Dividendo= divisor ? cociente+ resto

5.1 Obtención de decimales en un cociente

Si la división no es exacta, podemos obtener en el cociente tantas cifrasdecimales como queramos. Para ello añadimos una coma en el dividendoy tantos ceros como decimales queremos obtener.

EJEMPLO

15 Divide 17 entre 6 y escribe en cada caso el cociente y el resto.a) Cociente sin cifras decimales.

1 7 6

5 2

Dividendo= 17?

6

517 6 2 5

Divisor

Resto

=

== +"2Cociente= 2

b) Cociente con una cifra decimal.

1 7,0 6

5 0 2,8

2

Si el cociente debe tener una cifra decimal,

hay que añadir al dividendo una coma y un cero.

Dividendo= 17

,, ,?

6

0 217 6 2 8 0 2

Divisor

Resto

=

== +"2Cociente= 2,8

c) Cociente con dos cifras decimales. 1 7,0 0 6

5 0 2,83

2 0

2

Si el cociente debe tener dos cifras decimales,

hay que añadir al dividendo una coma

y dos ceros.

Dividendo= 17

,, ,?

6

0 0217 6 2 83 0 02

Divisor

Resto

=

== +"2Cociente= 2,83

d) Cociente con tres cifras decimales.

1 7,0 0 0 6

5 0 2,833

2 0

2 02

Si el cociente debe tener tres cifras decimales,

hay que añadir al dividendo una coma

y tres ceros.

Dividendo= 17

,, ,?

6

0 00217 6 2 833 0 002

Divisor

Resto

=

== +"2Cociente= 2,833

5

4 Divide 517 entre 4.

a) Sin cifras decimales. b) Con una cifra decimal.

28 Calcula los cocientes con dos cifras decimales.

a) 23 : 3 b) 47 : 12 c) 102 : 7 d) 143 : 22


66



5.2 Expresión de una fracción como número decimal


Qué son las fracciones decimalesLas fracciones decimales son las fracciones que tienen por denominador

la unidad seguida de ceros: 10, 100, 1 000…

, ,10

25

100

34

1000

75 "Son fracciones decimales.

Cómo se expresa una fracción decimal como número decimal

Para escribir una fracción decimal en forma de número decimal, se escribe

el numerador de la fracción y se separan con una coma, a partir de

la derecha, tantas cifras decimales como ceros tiene el denominador.

EJEMPLO

1 Escribe estas fracciones como números decimales.

a) 10

25

b) 100

34

c) 1000

75

,10

252 5= ,

100

340 34= ,

1 000

750 075=

Para expresar una fracción como número decimal se divide el nume-rador entre el denominador.

EJEMPLO

16 Expresa estas fracciones como número decimal.

a) : ,4 5 0 85

4=" b)

6

35 " 35 : 6= 5,83…

35 6

50 5,83

20

2

40 5

0 0,8

G G G

Si es necesario,al escribir una fracción

decimal como número decimal

se añaden ceros.34

1 000 = 0,034

3 ceros" 3 cifras decimales

5 Decide si estas fracciones son fracciones

decimales.

a)10

3b)

20

12c)

1 000

233

6 Escribe estas fracciones como números

decimales.

a)10

172b)

100

47c)

1 000

2

32 Expresa estas fracciones como número decimal.

a)100

39c)

10

77

b)6

3d)

12

9

34 Expresa como números decimales.

a)3

13b)

11

3c)

12

7d)

13

3


67




Unidades decimales

17,208

Número decimal

17,208

2. SUMAR Y RESTAR NÚMEROS DECIMALES

Calcula. a) 123,456+ 34,06 b) 12,71- 9,327

PRIMERO. Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén en la misma columna,

y añadimos los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de cifras decimales.

a) 1 2 3,4 5 6

+ 3 4,0 6 0

b) 1 2,7 1 0

- 9,3 2 7

SEGUNDO. Sumamos o restamos como si fueran números naturales, manteniendo la coma en el lugar

correspondiente.

a) 1 2 3,4 5 6

+ 3 4,0 6 0

1 5 7,5 1 6

b) 1 2,7 1 0

- 9,3 2 7

3,3 8 3

Décimas

Centésimas

Milésimas

F

F

F

Parte decimalParte enteraF

F


1. COMPARAR NÚMEROS DECIMALES

PRIMERO. Comparamos la parte entera de los distintos

números. Es mayor el número que tiene mayor parte

entera.

El número menor es 11,901.

SEGUNDO. Si la parte entera es igual, comparamos

su parte decimal.

Para ello, añadimos ceros hasta tener las mismas

cifras decimales en ambos números. Después,

comparamos las cifras que representanlas décimas; si son iguales, pasamos a las centésimas,

milésimas…, hasta que las cifras sean diferentes.

Es mayor el número con mayor parte decimal,

comparado cifra a cifra. 11,901< 12,9< 12,901

Ordena, de menor a mayor: 12,9; 12,901; 11,901.

12,9 12,901 11,901

= >

12,900 12,901

12,9< 12,901

=

=

<

68




1. Descompón estos números.a) 27,45 b) 3,786 c) 1 203,003

1. Indica la parte entera y la parte decimal de estos

números decimales.

a) 13,24 b) 3,86 c) 0,007

Comparar números decimales

3. Ordena, de menor a mayor, estos números:

7,009 7 7,9 7,09

Sumar y restar números decimales

4. Calcula: 4,339+ 0,589- 2,365

Multiplicar números decimales

5. Realiza las siguientes multiplicaciones.

a) 6,59 ? 4,3 b) 65,9 ? 4,3 c) 0,659 ? 43

Dividir números decimales

6. Efectúa estas divisiones.

a) 13 824 : 3,2 b) 13,824 : 3,2 c) 13,824 : 32

Y AHORA… PRACTICA

4. DIVIDIR NÚMEROS DECIMALES

• División de un número decimal entre un número natural

PRIMERO. Dividimos como si fueran números naturales.

SEGUNDO. Al bajar la primera cifra decimal, ponemos una coma

en el cociente.

• División de un número natura l entre

un número decimal

PRIMERO. Multiplicamos el dividendo y el

divisor por la unidad seguida de tantos ceros

como cifras decimales haya en el divisor.

b) : ,,

?

?

1306 0 41 306 10 13 060

0 4 10 4

=

=

"

)SEGUNDO. Realizamos

la división como

si fueran números

naturales.

• División de un número decimal entre

un número decimal

PRIMERO. Multiplicamos el dividendo y el

divisor por la unidad seguida de tantos ceros

como cifras decimales haya en el divisor.

c) :13,06 0,413,06 10 130,6

0,4 10 4

?

?

=

=

"

)SEGUNDO. Si en

el dividendo siguen

apareciendo decimales,

resolvemos la división

como en el primer caso.

3. MULTIPLICAR NÚMEROS DECIMALES

Calcula 13,076?

14,02.

PRIMERO. Multiplicamos los decimales como si fueran

números naturales.

SEGUNDO. Colocamos la coma en el resultado, separando

tantas cifras como decimales sumen entre los dos factores,

contando de derecha a izquierda.

Calcula. a) 13,06 : 4 b) 1 306 : 0,4 c) 13,06 : 0,4

1 3,0 7 6

# 1 4,0 2

2 6 1 5 2

5 2 3 0 4

1 3 0 7 6

1 8 3,3 2 5 5 2

3 cifras decimales

2 cifras decimales

5 cifras decimales

F

F

F

a) 1 3,0 6 4

1 0 3,2 6

2 6

2

1 3 0 6 0 4

1 0 3 2 6 5

2 6

2 0

0

1 3 0,6 4

1 0 3 2,6

2 6

2

69



ActividadesNÚMEROS DECIMALES

43. ● Descompón en unidades los siguientes

números decimales.

44. ● Escribe cómo se lee cada número.

a) 6,125 b) 1,014 c) 34,046 d) 0,019

45. ● Completa.

a) En 3 unidades hay4 décimas.

b) En 12 decenas hay4 centésimas.

c) En 5 unidades hay4milésimas.

d) En 8 decenas hay4 diezmilésimas.

46. ● Escribe los números decimales que

correspondan en cada caso.

a) 2 C 7 D 9 U 3 d

b) 1 D 2 U 4 m

c) 7 U 4 c

d) 8 C 9 U 6 d

e) 7 UM 6 D 7 c

f) 4 CM 7 U 8 d 3 m

7. ● Realiza la descomposición en unidades

de los siguientes números decimales.

a) 9,23 d) 4,065

b) 12,856 e) 8,004

c) 3,892 f) 65,903

47. ● Escribe con cifras.

a) Nueve décimas.

b) Cuatro unidades quince centésimas.

c) Nueve unidades ciento ocho milésimas.

d) Dos unidades mil diezmilésimas.

48. ● Escribe los números que sean una centésima

menor.

a) 0,99 c) 0,01 e) 4,9

b) 1,4 d) 5,98 f) 1,099

49. ● Representa en la recta numérica los números

9,3; 12,12 y 4,133.

50. ● ¿Qué número está representado en cada caso?a)

3 4

9,71 9,72b)

8. ● Indica qué números están representados

en estas rectas.

a)6,2 6,3

9,83 9,84

b)

51. ● Completa con el signo < o >, según

corresponda.

a) 0,2314 0,235 c) 3,874 3,85

b) 0,710 4 0,83 d) 5,124 3,12

52. ● Ordena, de menor a mayor: 5,23; 5,203; 5,233; 5,2.

53. ● Ordena, de mayor a menor: 9,05; 9,45; 9,53; 9,07.

9. ● Ordena de menor a mayor.

a) 3,9; 3,899; 3,099; 3,901; 3,90001; 3,91

b) 7,999; 8,01; 7,898; 8,101; 8,2

c) 2,7; 2,703; 2,73; 2,7029; 2,70199

10. ● Copia y completa con números para que

las desigualdades sean ciertas.

a) 6,145< 6,11

b) 0,734 < 0,736

c) 0,407< 0,45

11. ●● Halla todos los números decimales que

cumplen la condición que se indica en cada caso.

Después, ordénalos de mayor a menor.

a) 8,

La suma de estas

dos cifras es 9.

b) 0,

El producto de estas

dos cifras es 24.

43,897

135,903

29,876

Parte entera

C D U d c m

Parte decimal

70



OPERACIONES CON NÚMEROSDECIMALES

12. ● Suma estos números decimales.

a) 7,45+ 9,03 c) 8,002+ 12,4

b) 0,834+ 12,8 d) 7+ 9,902

56. ● Calcula.

a) 32,35- 0,89 c) 87,65- 9,47

b) 81,002- 45,09 d) 4- 2,956

57. ● Efectúa las operaciones.

a) 4,53+ 0,089+ 3,4

b) 7,8+

0,067+

2,09+

0,7c) 123+ 23,09- 45,7- 0,28

d) 78,098- 43,68- 0,008

13. ● Efectúa las siguientes operaciones.

a) 0,974+ 125,86 c) 82,46+ 99,6- 70,07

b) 29- 3,756 d) 103,5- 89,98+ 23,378

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL TÉRMINO DESCONOCIDO ENUNA SUMA O UNA RESTA DE NÚMEROS DECIMALES?

14. Halla el término que falta para que el resultado

sea correcto.

a) 12,99+ 4 = 98,3

b) 7,45- 4 = 3,99

c) 4 - 7,774= 987,9

PRIMERO. Se identifica el término desconocido.

a) Es uno de los sumandos de una suma.

b) Es el sustraendo de una resta.

c) Es el minuendo de una resta.

SEGUNDO. Si el término es:

• Un sumando, se obtiene restando al resultado

el otro sumando.

• El sustraendo, se obtiene restando al minuendo

el resultado.

• El minuendo, se obtiene sumando al resultado

el sustraendo.

a) 4 = 98,3- 12,99= 85,31

b) 4 = 7,45- 3,99= 3,46

c) 4 = 987,9+ 7,774= 995,674

15. ●● Determina el término que falta en cada

operación. Explica cómo lo haces.

a) 39,25+

4

=

125,86b) 17,129- 4 = 7,464

c) 99,542- 4 = 66,413

d) 4 - 303,987= 259,137

e) 4 - 25,06= 427,07

f) 4 + 33,98= 59,01


a) 3,313+ 4 = 6,348

b) 4 + 1,47= 5,8921

c) 4,56- 4 = 0,936

d) 4 - 2,431= 1,003


a) Suma 4 centésimas a 4,157.

b) Resta 3 décimas a 1,892.

c) Suma 7 milésimas a 5,794.

d) Resta 23 centésimas a 3,299.

e) Suma 3 milésimas a 1,777.

16. ●● Efectúa estas operaciones.

a) Suma 8 décimas y 7 centésimas a 56,07.

b) Suma 3 unidades y 6 milésimas a 24,36.c) Resta 8 unidades y 5 décimas a 76,008.

d) Resta 3 décimas y 8 milésimas a 0,892.

e) Suma 5 decenas y 4 décimas a 25,456.

f) Resta 6 decenas y 5 décimas a 82.

60. ● Calcula.

a) 3,45 ? 0,018 g) 0,045 ? 1 000

b) 8,956 ? 14 h) 0,65 ? 10 000

c) 3,4 ? 0,92 i) 3,78 ? 0,1

d) 123,4 ? 76 j) 794,2 ? 0,01

e) 0,35 ? 10 k) 24,85 ? 0,001f) 1,4 ? 100 l) 56 ? 0,0001

61. ● Resuelve.

a) 5 : 0,06 g) 30 : 10

b) 8 : 1,125 h) 636 : 100

c) 17,93 : 7 i) 1 296 : 10 000

d) 7 : 25 j) 55,2 : 0,1

e) 7,24 : 1,1 k) 202,2 : 0,01

f) 8,37 : 4,203 l) 138,24 : 0,0001

71



HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONESCOMBINADAS CON NÚMEROS DECIMALES?

62. Calcula 4,56 : 2+ 3 ? (7,92- 5,65).

PRIMERO. Se realizan las operaciones entre

paréntesis.

4,56 : 2+ 3 ? (7,92- 5,65)= 4,56 : 2+ 3 ? 2,27

SEGUNDO. Se resuelven las multiplicaciones

y divisiones de izquierda a derecha, y por último,

las sumas y restas en el mismo orden.

4,56 : 2+ 3 ? 2,27= 2,28+ 6,81= 9,09

63. ●● Opera, respetando la jerarquía

de las operaciones.

a) 134,5 : 2,5+

12,125b) 2,75 ? (4,605- 3,5)+ 1,37

c) 5,7+ 6,225 : 7,5- 0,39

d) (4,987+ 0,875) : 1,5+ 3,094

e) 12,3 : 8,2 ? 2,5- 3,29

f) 9,6 ? 2,4- 8,5 ? 1,27

g) 0,05+ (11,3- 3,2) : 0,09

h) 44,4 : 0,002 ? 1,7- 2,9 ? 3,1

NÚMEROS DECIMALESY FRACCIONES

17. ● Divide 238 entre 5 y escribe en cada caso

el cociente y el resto.

a) Sin cifras decimales.

b) Con una cifra decimal.

18. ● Calcula cada uno de estos cocientes con tres

cifras decimales.

a) 54 : 7 c) 29 : 7 e) 105 : 11

b) 87 : 9 d) 76 : 13 f) 245 : 32

19.●

Decide si son fracciones decimales.

a)10

156b)

45

17c)

62

37d)

100

8

20. ● Expresa como número decimal estas fracciones

decimales.

a)10

35c)

100

23e)

100

47

b)1 000

234d)

1 000

3f)

100

5

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE ESCRIBEN ALGUNOS NÚMEROSDECIMALES COMO FRACCIÓN DECIMAL?

21. Expresa como fracción decimal estos números

decimales.a) 24,03 b) 0,147

PRIMERO. Se escribe como numerador de la fracción

el número decimal sin coma.

a) Numerador " 2 403

b) Numerador " 147

SEGUNDO. Se escribe como denominador de

la fracción la unidad seguida de tantos ceros

como cifras decimales tiene el número.

a) ,24 03100

2 403=

2 cifras decimales " 2 ceros

b) ,0 1471 000

147=

3 cifras decimales " 3 ceros

22. ● Escribe en forma de fracción decimal estos

números decimales.

a) 89,003 d) 12,044

b) 45,02 e) 0,097

c) 0,009 f) 9,3

23. ● Expresa como fracción decimal.

a) 9,87 d) 1,2345

b) 1,023 e) 8,00064

c) 0,0099 f) 6,7321

72. ●● Escribe en forma de fracción. Simplifica

siempre que sea posible.

a) 7 décimas.

b) 13 centésimas.

c) 4 milésimas.d) 11 diezmilésimas.

e) 35 décimas.

f) 9 centésimas.


a) ,9 696

=4

c) ,1 23123

=4

b) ,12 38912 389

=4

d) ,0 331331

=4

G

G

72



PROBLEMAS CON NÚMEROSDECIMALES

80. ● En un pueblo hay cuatro líneas de autobuses.

Observa en la tabla la distancia que recorre

cada uno de ellos. ¿Cuál recorre mayor distancia?¿Y menor?

Línea 1 Línea 2 Línea 3 Línea 4

8,409 km 8,5 km 8,45 km 9,05 km

81. ●● La suma de dos números decimales

es 52,63. Si uno de los sumandos es 28,557,calcula el otro sumando.

82. ●● Cierto día, la temperatura a las 8

de la mañana era de 10,5 °C, y a las 12 del

mediodía era de 17,3 °C. ¿Cuántos grados hay

de diferencia?

83. ●● Las alturas de tres amigos suman 5 m.

María mide 1,61 m y Luis mide 1,67 m.

Halla cuánto mide Alberto.

84. ●● En un ascensor se cargan 5 bolsas

de 12,745 kg cada una. Suben dos personas quepesan 65 kg y 85,7 kg. El ascensor admite 350 kg

de carga máxima. ¿Puede subir otra persona más

que pese 86,7 kg?

85. ●● Jaime va a la compra y lleva una cesta que

pesa 1,5 kg. Compra dos bolsas de naranjas

que pesan 3,4 kg cada una. ¿Cuántos kilos pesa

en total la compra?

86. ●● En una fábrica de refrescos se preparan

4 138,2 litros de refresco de naranja y se

envasan en botes de 0,33 litros. ¿Cuántos botes

necesitan?

87. ●● Andrés corta un listón de madera de 3,22 m

en trozos de 0,23 m. ¿Cuántos trozos obtiene?

88. ●● Laura ha hecho 43,5 kg

de pasta y la quiere

empaquetar en cajas

de 0,250 kg. ¿Cuántas

cajas necesita?

89. ●● En un río de 7,2 km de largo se han puesto

carteles de «Coto de pesca» cada 0,16 km.

¿Cuántos carteles se han puesto?

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA LA FRACCIÓN

DE UN DECIMAL?90. Se dispone de 24,88 kg de mezcla de café

de distinta procedencia. Si las tres cuartas

partes son de origen africano, ¿qué cantidad

de café africano hay?

PRIMERO. Se multiplica por el numerador

de la fracción. 3 ? 24,88= 74,64

SEGUNDO. Se divide el resultado entre

el denominador. 74,64 : 4= 18,66

En la mezcla hay 18,66 kg de café africano.

91. ●● La mitad del peso de un bote de mermelada

de 500 g corresponde a fruta.

a) ¿Cuál es el peso de la fruta en kilos?

b) ¿Cuántos botes se necesitan para que el total

de fruta sea 6,75 kg?

92. ●● Una camisa cuesta 20,95 €. Por estar rebajada

nos descuentan la quinta parte de su valor,

y por pagar en efectivo, la veinteava parte.

¿Cuál es su precio final?

93. ●● María ha ido al banco a cambiar 45,50 €

en dólares. Por cada euro le han dado

0,96 dólares. ¿Cuántos dólares tiene en total?

73



5


sobre las matemáticas

en la antigua China.

2. Investiga sobre

la dinastía Tangy el funcionamiento de

la sociedad china en

esa época.

3. Averigua cuáles

fueron los orígenes de

los números negativos

y su utilización en

las distintas culturas.


Los números rojos

Fu Chang estaba seguro de que el comité

reconocería su valía tanto en redacción, literaturay poesía como en matemáticas. El acceso al puestode funcionario durante la Dinastía Tang(618-907) era muy difícil, pero merecíala pena por sus beneficios económicosy sociales.

–Cuando den su aprobación –pensabaFu–, seré funcionario imperial.

El aspirante a mandarín se veía a símismo vestido con maravillosas prendasde seda bordada, con criados que

lo transportaban en un palanquínfinamente adornado.

La escalera que nacía entre los dosdragones lo condujo al recinto dondeel tribunal esperaba para notificarlelos resultados.

El más anciano de los sabiosle dijo:

–Tu forma de diferenciarlas deudas y las cantidades

que tenemos mediante los coloresrojo y negro, respectivamente,representa una innovacióny merece ser premiadacon el puesto.

En la actualidad nadie recuerdaa Fu Chang; sin embargo,las deudas bancarias se siguendenominando números rojosen lugar de números negativos.

Númerosenteros




En esta unidad

aprenderás a…

• Conocer y representarnúmeros enteros.

• Hallar el valor

absoluto y el opuesto

de un número entero.

• Comparar números

enteros.

• Operar con números

enteros.

PLAN DE TRABAJO

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

Operaciones de suma y resta

Se resuelven las operaciones de izquierda a derecha.

10 - 7 + 8 - 3 - 2 = 3 + 8 - 3 - 2 = 11 - 3 - 2 = 9 - 2 = 7

Operaciones de suma y resta con paréntesis

Se resuelven primero las operaciones que hay dentro de los paréntesis, y después las sumasy las restas, de izquierda a derecha.

10 + 5 - (7-3 + 2) - 1 = 10 + 5 - (4+ 2) - 1 = 10 +5 - 6 - 1 = 15 -6 - 1 = 9 - 1 =8

Operaciones de suma, resta, multiplicación y divisiónPrimero se calculan las multiplicaciones y las divisiones, de izquierdaa derecha, y después las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

4 + 3 ? 2 - 15 : 3 = 4 + 6 - 15 : 3 = 4 + 6 - 5 = 10 - 5 = 5

Operaciones de suma, resta, multiplicación y división con paréntesis

El orden en el que se realizanlas operaciones es el siguiente: 10 + (5 - 3) ? 4 - 6 : 2 =

1.º Las operaciones que hay entre

paréntesis. = 10 + 2?

4 - 6 : 2 =2.º Las multiplicaciones y las divisiones,

de izquierda a derecha. = 10 + 8 - 3 =

3.º Las sumas y las restas, de izquierdaa derecha. = 18 - 3 = 15

Si hay paréntesisdebemos eliminarlosresolviendo primero

las operacionesde su interior.

F F

F

F F

F F

F F

F

F

F

F

Paréntesis

Multiplicaciones y divisiones

Sumas y restas

EVALUACIÓN INICIAL

1 Realiza estas operaciones de suma y resta.

a) 4 + 7 – 5 + 3 – 6 b) 12 - 5 + 6 - 7

2 Resuelve estas operaciones con paréntesis.

a) 15 - (4 + 7) + (5 - 3 + 1) b) 9 + (5 - 3 + 4) - (4 - 3)

3 Halla el resultado de estas operaciones.

a) 4 + 3 · 2 - 7 + 10 : 2 b) 12 + 18 : 2 - 3 · 2 + 1

4 Calcula.

a) 2 + (7 + 4) · 3 - 12 : (5 + 1) b) 5 - ( 6 - 4) : 2 + ( 4 + 3) · 2

75



Númerosenteros

Hay expresiones cotidianas que no pueden indicarse con números natura-les. Necesitamos otro tipo de números, los números enteros.


Para qué se utilizan los números enteros

Hay situaciones en las que es necesario utilizar números negativos:

• 4 grados bajo cero " -4 °C

• Debemos 100€ " -100€

• El garaje está en el tercer sótano " -3

Los números enteros son números precedidos del signo + o -, depen-diendo de si la cantidad expresada está por encima o por debajo de cero.

En el conjunto de los números enteros podemos diferenciar:

• Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4…, que son losnúmeros naturales.

• El número 0.

• Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4…

1.1 Representación en la recta numérica


Cómo se representan los números naturales en una recta

• Fijamos el 1, y a su derecha, el 2. Tomamos la dist ancia entre estos dos

números como unidad.

• Desplazamos dicha unidad hacia la derecha del 2 para representar

el resto de números.

1 2 3 4 5

Los números enteros se representan ordenados en la recta numérica:

• El cero, 0, divide a la recta en dos partes iguales.

• Fijamos el 1 y elegimos como unidad su distancia al origen.

• Desplazamos dicha unidad a la derecha del cero, para representarlos enteros positivos, y a la izquierda, para representar los negativos.

1

El 0 es el único númeroentero que no es positivo

ni negativo.

SE ESCRIBE ASÍ

Los números positivos

se escriben habitualmente

sin el signo+ que

los precede:+7= 7 +23= 23

Números enteros negativos Números enteros positivos

0-8… …-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8

2 Completa los números que faltan.

a)


1 Expresa con un número.

a) Debo cuatro euros a mi amigo.

b) Estamos a cinco grados bajo cero. -9 -7 -5 -2 04 4 4 4 4

76



NO OLVIDES

El valor absoluto de cero

es cero.

0 0; ;=

1.2 Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero se escribe entre dos barras,; ;, yes igual al número sin su signo:

b b; ;+ = a a; ;- =

EJEMPLO

2 Calcula el valor absoluto de-3 y+6.

3 3; ;- = 6 6;+ =

1.3 Opuesto de un número entero

Para calcular el opuesto de un número se le cambia de signo.

Op (+a) = -a Op (-a) = +a

EJEMPLO

3 Halla el opuesto. a) -4 b) +5

a) Op (-4) = +4 b) Op (+5) = -5

Comparaciónde números enteros

De dos números enteros es mayor el que está situado más a la derechaen la recta numérica.

EJEMPLO

4 Compara estos números. a) +5 y+2 b) -4 y-7 c) +6 y-3

a) +2 < +5

0-5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6

b) -7 < -4

0-5-7 -6 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5

c) -3 < +6

0-5 -4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

2

14 Ordena, de menor a mayor.

-6, +5, +7, 0, -11, -4, +9, +13, -16


6 Calcula.

a) 7; ;+ b) 1;- c) 22; ;+ d) 41; ;-

El cero es mayor quecualquier número negativo y menor que cualquiera

positivo.

77



Suma y restade dos números enteros

3.1 Suma de dos números con el mismo signo

Para sumar dos números enteros del mismo signo:

1.º Se suman sus valores absolutos.2.º Al resultado se le añade el mismo signo de los números.

EJEMPLO

6 Resuelve estas sumas de números enteros.

a) (+3)+ (+4) = +7

3 3

4 43 4 7

; ;

; ;

+ =

+ =+ ="4

b) (-2)+ (-7) = -9

2 2

7 72 7 9

; ;; ;

- =

- =+ ="4

c) (+8)+ (+4) = +12

4

4 128 8

48

; ;

; ;

+ =

==

++"4

d) (-5)+ (-3) = -8

5 5

335 3 8

; ;; ;

- =

- ==+"4

3.2 Suma de dos números con distinto signo

Para sumar dos números enteros de distinto signo:

1.º Se restan sus valores absolutos (el menor del mayor).

2.º Al resultado se le añade el signo del número con mayor valorabsoluto.

EJEMPLO

6 Resuelve estas sumas de números enteros.

a) (-7)+ (+5) = -2

27 7

5 57 5

; ;

; ;

+ =

+ ==-"4

b) (-5)+ (+9) = +4

5 5

9 99 5 4

; ;

; ;

- =

==

+-"4

c) (+5)+ (-4) = +1

5 5

4 45 4 1

; ;

; ;

+ =

- =- ="4

d) (+8)+ (-11) = -3

8 8

11 1111 8 3

; ;

; ;

+ =

- =- ="4

3

Al sumar 0 a cualquiernúmero entero, se obtiene

el mismo número.

(+5) + 0 = +5

0 + (–7) = –7

18 Calcula.

a) (+4) + (+12) b) (+4) + (-12)

20 Indica, sin realizar la operación, qué signo

tendrá el resultado.

b) (-7) + (+5) c) (-7) + (-5)


1 Calcula.

a) (+5) + (+7) b) (-5) + (-7)

2 Calcula.

a) (+5) + (-7) c) (+6) + (-3)

b) (-5) + (+7) d) (-6) + (+3)

78



3 Calcula.

a) (+9) - (-15) e) (-12) - (+8)

b) (+9) - (-15) f) (+12) - (+8)

c) (-9) - (+15) g) (-12) - (-8)

d) (-9) - (+15) h) (+12) – (-8)


19 Resuelve.

a) (+5) - (-6) e) (-3) - (+9)

b) (+5) - (+6) f) (-3) - (-9)

c) (-5) - (-6) g) (+3) - (+9)

d) (-5) - (+6) h) (+3) - (-9)

3.3 Resta de dos números

Para restar dos números enteros se le suma al primero el opuesto delsegundo.

EJEMPLO

7 Resuelve estas restas de números enteros.

a) (+3)- (+4) = (+3) + Op (+4) = (+3) + (-4) = -1

3 3

4 44 3 1

; ;

; ;

=

- =

+- ="4

b) (+8)- (-11) = (+8) + Op (-11) = (+8) + (+11) = +19

8 8

11 11 8 11 19

; ;

; ;

+ =

+ = + ="4c) (-3)- (-7) = (-3) + Op (-7) = (-3) + (+7) = +4

3 3

7 77 3 4

; ;

; ;

=

+ =

-- ="4

d) (+11)- (-8) = (+11) + Op (-8) = (+11) + (+8) = +19

F

1 11 1

8 8

11 8 19; ;

; ;

+ =

- =

+ ="

4e) (-6)- (+5) = (-6) + Op (+5) = (-6) + (-5) = -11

F

6 6

5 56 5 11

; ;

; ;

- =

=-+ ="4

f) (-5)- (+6) = (-5) + Op (+6) = (-5) + (-6) = -11

F

5 5

6 65 6 11

; ;

; ;

- =

- =+ ="4

F

F

F

79



Suma y restade varios números enteros

En las operaciones de sumas y restas seguimos estas reglas:

REGLA 1. Al primer sumando se le eliminan los paréntesis, y si su sig-no es positivo, se escribe sin signo.

(+5) + (-4) = 5 + (-4) (-5) + (-4) = -5 + (-4) REGLA 2. Al quitar los paréntesis precedidos del signo +, el signo quese mantiene es el del número.

(-7) + (+2) = -7 + 2 (-7) + (-2) = -7 - 2

REGLA 3. Al quitar los paréntesis precedidos del signo -, el signo quese escribe es el de su opuesto.

(-4) - (+3) = (-4) + (-3) = -4 - 3

Tras aplicar estas reglas, la expresión queda escrita en forma abreviada.

EJEMPLOS

1 Escribe de forma abreviada la siguiente expresión.

FRegla 1. Eliminamos paréntesis del primer sumando.

(-7)- (+3 )+ (-9 )- (-4) = -7 - (+3) + (-9 ) - (-4) =

F

Regla 2. Quitamos paréntesis precedidos de +.

+ (+a) = +a + (-a) = -a

= -7 - (+3) - 9 - (-4) =

F

Regla 3. Quitamos paréntesis precedidos de -.

- (+a) = -a - (-a) = +a

= -7 - 3 - 9 + 4

8 Escribe de forma abreviada esta expresión.

FRegla 1

(+4)+ (-5)- (+7)- (-3) = 4 + (-5) - (+7) - (-3) =

= 4 - 5 - (+7) - (-3) = 4 - 5 - 7 + 3 F

Regla 2

F

Regla 3

4

En la práctica:

+(+a) = +a –(+a) = –a

+(–

a)=

–

a–

(–

a)=

+a

22 Escribe de forma abreviada.

a) (-5) + (+8) - (-13) - (+9)

b) (+23) - (-14) - (+35) + (-53)

c) (-1) + (+5) + (+2) - (-12)

d) (+3) - (+11) + (-6) + (+12)

e) (-22) - (+11) - (-4) - (-1)


4 Escribe de forma abreviada.

a) (-5) - (+3) + (-7)

b) (+5) - (+3) - (-7)

c) (-5) - (-3) - (-7)

d) (+5) + (+3) - (+7)

e) (-5) - (+3) - (+7)

80



Para resolver sumas y restas de varios números enteros:

1.º Escribimos dicha operación de forma abreviada.

2.º Sumamos los números que llevan signo +.

3.º Sumamos los números que llevan signo -.

4.º Restamos al primer resultado el segundo.

EJEMPLOS

2 Resuelve las siguientes operaciones expresadas en forma abreviada.

a) -4- 2+ 8- 1+ 3 = 11 - 7 = 4

F F

8 + 3 = 11 4 + 2 + 1 = 7

Números

con signo +

Números

con signo +

b) 5- 7+ 4- 10+ 6 = 15 - 17 = - 2

F F

5 + 4 + 6 = 15 7 + 10 = 17

Números

con signo +

Números

con signo +

9 Calcula:

F

Forma abreviada

(+4)+ (-5)- (+7)- (-3) = 4 - 5 - 7 + 3 = 7 - 12 = -5

F F

4 + 3 = 7 5 + 7 = 12

Números

con signo +

Números

con signo +

3 Halla el resultado de esta operación escribiéndola primero en forma

abreviada.

FForma abreviada

(-2)+ (+5)+ (-6 )- (-8) = - 2 + 5 - 6 + 8 = 13 - 8 = 5

F F

5 + 8 = 13 2 + 6 = 8

Números

con signo +

Números

con signo +

23 Calcula.

a) -5 - 8 - 4 + 15 - 18

b) 10 + 12 - 11 + 9

d) 4 - 7 - 9 + 5

e) 2 + 7 - 15 - 9

f) -1 + 12 - 5 - 7c) 4 - 10 + 17 - 8 + 2


5 Calcula.

a) 5 + 7 d) -3 - 9

b) -3 + 8 e) 7 - 9

c) 9 - 6 f) -8 + 2

81



Multiplicación y divisiónde números enteros

6.1 Multiplicación de números enteros

Para multiplicar dos números enteros:

1.º Multiplicamos sus valores absolutos.

2.º Al resultado le añadimos el signo + si ambos números son deigual signo, o el signo - si son de signos diferentes.

EJEMPLO

13 Resuelve estos productos.

a) (-8) ? (-3) = +24 c) (+8) ? (-3) = -24

b) (+8) ? (+3) = +24 d) (-8) ? (+3) = -24

6.2 División de números enteros

Para dividir dos números enteros:

1.º Dividimos sus valores absolutos.

2.º Al resultado le añadimos el signo + si ambos números son deigual signo, o el signo - si son de signos diferentes.

EJEMPLO

14 Resuelve estas divisiones.

a) (-18) : (-3) = +6 c) (+18) : (-3) = -6

b) (+18) : (+3) = +6 d) (-18) : (+3) = -6

6

F

Mismo signo

F

Mismo signo

F

Mismo signo

F

Distinto signo

F

Distinto signo

F

Distinto signo

F

Distinto signo

Regla de los signos

+ ? +

- ? -

+ ? -

- ? +

+

+

-

-

F

Mismo signo

+ ? + = + – ? – = + + ? – = –

–

?

+ =

–

+ : + = +– : – = ++ : – = –

–

: + =

–

6 Calcula.

a) (+5) ? (-7) d) (-18) : (+6)

b) (-9) ? (+5) e) (+21) : (-7)

c) (-3) ? (-6) f) (-25) : (-5)

30 Indica qué signo tendrá el resultado.

a) (-7) ? (+6) b) (-42) : (-6)


28 Calcula.

a) (+17) ? (+5) c) (-13) ? (+9)

b) (+21) ? (-8) d) (-14) ? (-7)

29 Resuelve estas divisiones.

a) (+35) : (+5) c) (-45) : (+9)

b) (+24) : (-6) d) (-42) : (-7)

82



33 Calcula.

[(-4) ? (+5) + (-6) ? (-4)] : (6 - 4)

34 Resuelve:

[(-4) ? (-3)] - [(+10) : (-2)]


7 Calcula.

a) (+5) + (-3) ? (+4)

b) (+7) ? (-5) - (+16) : (-2)

c) (-3) +[ (-4) + (+5)] ? (-3)

d) [(-4) + (-7)] - (+5) ? (+3)

Operaciones combinadascon números enteros

Al igual que con los números naturales, las operaciones combinadas denúmeros enteros hay que efectuarlas siguiendo este orden:

1.º Se resuelven las operaciones que hay dentro de los corchetes y los

paréntesis.2.º Se realizan las multiplicaciones y las divisiones en el orden en el

que aparecen, de izquierda a derecha.

3.º Se efectúan las sumas y las restas en el mismo orden.

EJEMPLOS

11 Resuelve esta operación: 4+ (-5- 7+ 3)- (-9+ 2) F

F

4 + (-5 - 7 + 3) - (-9 + 2) = 4 + (-12 + 3) - (-7) =

= 4 + (-9) + 7 = 4 - 9 + 7 = 11 - 9 = 2

12 Resuelve esta operación: (-8)- [(-3)+ (+6)- (-5)]- (+4)

(-8) - [(-3) + (+6) - (-5)] - (+4) = (-8) - [-3 + 6 + 5] - (+4) =

= (-8) - [+3 + 5] - (+4) =

= (-8) - (+8) - (+4) =

= -8 - 8 - 4 = -16 - 4 = -20

4 Calcula.

a) (-6) ? (+3) + (-10) : (-2) =


=

(-

18)+

(+

5)=

FSumas y restas

=-18 + 5 = -13

b) (-5) ? [(-3) - (-7)] + (+6)] : (-2) =

FCorchetes y paréntesis

= (-5) ? [-3 + 7] + (+6) : (-2) =

= (-5) ? (+4) + (+6) : (-2) =


= (-20) + (-3) =

FSumas y restas

= -20 - 3 = -23

7

F

Es importanterespetar el orden

de las operaciones paraobtener el resultado

correcto.

83




Números enteros

• Números enteros positivos:

+1, +2, +3, +4, +5, +6, +7…

• El número 0.

• Números enteros negativos:

-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7…

Valor absoluto

a a; ;+ = a a; ;- = 0 0; ;=

Opuesto de un número

Op (+a) = -a Op (-a) = +a

Op (0) = 0

Regla de los signos

(+) ? (+) = + (+) : (+) = +

(-) ? (-) = + (-) : (-) = +

(+) ? (-) = - (+) : (-) = -

(-) ? (+) = - (-) : (+) = -

2. SUMAR DOS NÚMEROS ENTEROS

Calcula.

a) (+7)+ (+5) c) (-7)+ (+5)

b) (-7)+ (-5) d) (+7)+ (-5)

• Si los sumandos tienen el mismo signo.

PRIMERO. Sumamos sus valores absolutos.

SEGUNDO. Añadimos el mismo signo de los

sumandos.a)

7 7

5 57 5 12

; ;

; ;

=

=+ =

+

+"4

(+7) + (+5) = +12

b)

7 7

5 57 5 12

; ;

; ;

- =

- =+ ="4

(-7) + (-5) = -12

• Si los sumandos tienen distinto signo.

PRIMERO. Restamos sus valores absolutos,

al mayor el menor.

SEGUNDO. Añadimos el signo del sumandocon mayor valor absoluto.

c)

7 7

5 57 5 2

; ;

; ;

- =

+ =- ="4

(-7) + (+5) = -2

d)

7 7

5 57 5 2

; ;

; ;

+ =

- =- ="4

(+7) + (-5) = +2

1. RESTAR DOS NÚMEROS ENTEROS

Calcula.

a) (+8)- (+12) c) (-8)- (+12)

b) (-8)- (-12) d) (+8)- (-12)

PRIMERO. Hallamos el opuesto del número

que restamos.

Op (-12) = +12 Op (+12) = -12

SEGUNDO. Sumamos al primer númeroel opuesto que hemos hallado.

a) (+8) - (+12) = (+8) + Op (+12) =

= (+8) + (-12) = -4

8 8

12 1212 8 4

; ;

; ;

=

- ==

+-"4

b) (-8) - (-12) = (-8) + Op (-12) =

= (-8) + (+12) = +4

8 8

12 1212 8 4

; ;

;

=

=- =

-

+"4

c) (-8) - (+12) = (-8) + Op (+12) =

= (-8) + (-12) = -20

8 8

12 128 12 20

; ;

;

=

- ==

-+"4

d) (+8) - (-12) = (+8) + Op (-12) =

= (+8) + (+12) = +20

8 8

12 128 12 20

; ;

;

+ =

==

++"4


F

F

F

F

84




1. ¿Cuál es el valor absoluto de -7? ¿Y de +3?

2. ¿Cuál es el opuesto de -7? ¿Y de +3?

Sumar dos números enteros

4. Halla: (-6) + (-12)

1. Halla: (+3) - (-5)

Restar dos números enteros

5. Resuelve: (-6) - (-12)

2. Halla: (+5) - (+9)

Sumar y restar varios números enteros

6. Calcula:

(-7) + (-5) - (-2) - (+4) + (+5)

Multiplicar y dividir números enteros

7. Halla: (-12) ? (-3)

Realizar operaciones combinadascon números enteros

8. Calcula (-4) + (-3) ? (-5) - (+8).

Y AHORA… PRACTICA

4. SUMAR Y RESTAR VARIOS NÚMEROS ENTEROS

Calcula: (+5)+ (-5)- (-7)- (+4)+ (+9)

PRIMERO. Eliminamos los paréntesis del primer sumando,

y si es positivo, se escribe sin signo.

SEGUNDO. Quitamos los paréntesis precedidos del signo +,

manteniendo los signos de los sumandos.

TERCERO. Eliminamos los paréntesis precedidos del signo -,

transformando los signos de los sumandos en sus opuestos.

CUARTO. Sumamos los números que llevan signo +

y los números que llevan signo -.

QUINTO. Restamos al primer resultado el segundo.

5 + (-5) - (-7) - (+4) + (+9) =

= 5 - 5 - (-7) - (+4) + 9 =

= 5 - 5 + 7 - 4 + 9 =

= 21 - 9 =

= 12

5. MULTIPLICAR Y DIVIDIR NÚMEROSENTEROS

Calcula. a) (-5) ? (-4) b) (+20) : (-4)

PRIMERO. Multiplicamos o dividimos

sus valores absolutos.

a) ? ?5 4 5 4 20; ; ; ;- - = =

b) : :20 4 20 4 5; ; ; ;+ - = =

SEGUNDO. Al resultado le añadimos el signo +

si ambos números tienen el mismo signo,

o el signo-

si son de signo distinto.a) (-5) ? (-4) = +20 b) (+20) : (-4) = -5

6. REALIZAR OPERACIONES COMBINADASCON NÚMEROS ENTEROS

Resuelve.

PRIMERO.

Resolvemos

los corchetes

y paréntesis.

SEGUNDO.

Realizamos las

multiplicaciones

y divisiones.

TERCERO.

Resolvemos las

sumas y restas.

F

Mismo signo

F

Distinto signo

= (-10) ? (-3) - (+2) =

(-10) ? [(+6) : (-2)]- (+2)=

= +30 - (+2) =

= +28

F

F

F F

F

F

85



ActividadesNÚMEROS ENTEROS

36. ● Utiliza los números enteros para expresar

el valor numérico de estas afirmaciones.a) El avión vuela a 2 700 m de altura.

b) Luis trabaja en el segundo sótano.

c) Marisa está en la planta baja.

d) Estamos a 4 grados bajo cero.

e) Ocurrió en el año 540 a.C.

f) Debo 15 euros a mi madre.

37. ● Invéntate situaciones que correspondan

a estos números.

a) +3 b) -3 c) +15 d) -330

38. ● Completa la siguiente recta:

-3 14 4 4 4 4

39. ● Representa estos números enteros en la recta

numérica.

1 -3 5 -2 7 -6

40. ●● Indica el número entero que corresponde

a cada punto marcado en la recta numérica.

a) A B C D

0 1

b) A B C D

0 1

41. ● Escribe todos los números enteros.

a) Mayores que -4 y menores que +2.

b) Menores que +3 y mayores que -5.

c) Menores que +1 y mayores que -2.

d) Mayores que -5 y menores que +6.

42. ● Escribe los números enteros comprendidos

entre-10 y+5.

43. ● ¿Cuántos números enteros hay entre-3 y 3?

44. ●● ¿Cuántos números enteros están

comprendidos entre-256 y 123?

45. ● De los siguientes números, ¿cuáles son

enteros?

-5 45 32,12 -1 4032

7

46. ● Halla el valor absoluto de estos números.

a) -3 b) -22 c) 15 d) 21

47. ● Calcula.

a) ;+3; d) ;-4;

b) ;-3; e) ;+5;

c) ;-7; f) ;-9;

48. ● ¿Qué valores puede tomar a en cada caso?

a) ;a; = 3 b) ;a; = 12

50. ● Escribe el opuesto de-3, 7,-12 y 5.

51. ● Indica cuántos números enteros están

comprendidos entre:

a) +5 y su opuesto.

b) -7 y su opuesto.

c) Los opuestos de -3 y +2.

d) El opuesto de -4 y el opuesto de +5.

COMPARACIÓN DE NÚMEROSENTEROS

52. ● Escribe el signo< o>, según corresponda.

a) -7 4 -12 c) -3 4 0

b) -2 4 2 d) -5 4 -3

53. ● Escribe el número anterior y posterior


a) 4 < 3 < 4 c) 4 < 12 < 4

b) 4 < -3 < 4 d) 4 < -8 < 4

54. ● Halla un número entero que esté comprendido

entre estos números.

a) -3 < 4 < 0 c) -8 < 4 < -5

b) 7 < 4 < 10 d) -4 < 4 < 1

55. ● Completa.

-8 < 4 < 4 < 4 < 4 < -3

56. ● Ordena, de menor a mayor, los siguientesnúmeros:

-4 0 -6 7 -11 21 -3 12 -7 9

57. ● Escribe dos números enteros.

a) Menores que +4 y mayores que -2.

b) Menores que -3.

c) Mayores que -5.

d) Mayores que -3 y menores que 1.

86



SUMA Y RESTA DE NÚMEROSENTEROS

58. ● Efectúa estas sumas.

a) (+12) + (+5)

b) (-21) + (-11)

c) (-14) + (+2)

d) (+32) + (-17)


a

-5

-8

-6

+4

+3

-2

+7

+9

b a + b b + a

60. ● Calcula.

a) 15 - (+4) c) 9 - (-7)

b) 17 - (-3) d) 21 - (+9)

61. ● Resuelve.

a) -4 - (+7)

b) -21 - (-13)

c) -19 - (+8)

d) -11 - (-6)


a

-5

-8

-6

+4

-3

-2

+7

+9

b a - b b - a

63. ● Opera.

a) (+7) + (+5) + (-4) + (-4)

b) (-8) + (+13) + (+21) + (-7)c) (+4) + (-9) + (+17) + (-6)

d) (-16) + (+30) + (+5) + (-12)

8. ● Calcula.

a) (-8) + (-5) + (+7)

b) (+ 6) + (+11) + (-2) + (+5)

c) (-9) + (-8) + (+5) + (+4)

d) (+ 12) + (-4) + (-7)

67. ● Calcula.

a) -7 - (-12) - (+3)

b) +34 - (+11) - (+13)

c) -9 - (-6) - (+12)d) -5 - (+11) - (-20)

68. ● Realiza las operaciones.

a) (+8) - (+9) + (-7)

b) (-12) - (-3) + (+5)

c) (+9) + (-13) - (-21)

d) (-17) + (+5) - (+20)

69. ● Calcula.

a) -3 + (-2) + 7 - (-4)

b) 9 - (+4) - (-6) - (-2)

c) 5 - (-12) - (+9) + 8d) -4 + (-7) - (+9) - (-5)

72. ● Calcula.

a) 8 - 7 + 4 - 3 - 2

b) -7 - 5 + 3 - 9 - 1 + 11

c) -4 - 2 + 5 - 1 - 4 + 1

d) 6 - 3 + 3 - 10 - 4 + 13

e) -9 - 14 + 4 - 56 - 16 + 1

f) 9 + 14 - 6 - 93 + 19

g) 3 + 5 - 9 - 7 - 5 - 7

h) 2 - 2 - 2 - 2 + 4 - 1

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓNDE NÚMEROS ENTEROS

9. ● Calcula.

a) (+ 3) ? (+4) c) (+ 3) ? (-4)

b) (-3) ? (+4) d) (-3) ? (-4)

77. ● Calcula.

a) (+

4)?

(-

5) c) (-

3)?

(-

8)b) (+7) ? (+6) d) (-9) ? (+9)


a

-3

+5

-8

+9

+6

-7

-4

+2

b a ? b b ? a

87



HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE MULTIPLICAN VARIOS NÚMEROSENTEROS A LA VEZ?

84. Resuelve: (-7) ? (-2) ? (+10)

PRIMERO. Se calcula el signo del resultado.

(-) ? (-) ? (+)

(+) ? (+) = +

SEGUNDO. Se multiplica el valor absoluto de

los números y se añade el signo del resultado.

(-7) ? (-2) ? (+10) = +(7 ? 2 ? 10) = +140

85. ● Calcula.

a) (-2) ? (-3) ? (+5) c) (+7) ? (-2) ? (+3)

b) (-4) ? (+3) ? (-2) d) (-9) ? (-5) ? (-2)

86. ● Halla estas divisiones.

a) (+35) : (+5) e) (+105) : (-3)

b) (+45) : (-5) f) (+48) : (+12)

c) (-42) : (+7) g) (-49) : (-7)

d) (-54) : (-9) h) (-63) : (+3)

87. ● Resuelve.

a) (+290) : (+10) c) (-40) : (-10)

b) (+1 500) : (-100) d) (-70) : (-10)

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE DIVIDEN VARIOS NÚMEROS ENTEROSA LA VEZ?

90. Resuelve: (-8) : (-2) : (+4)

PRIMERO. Se calcula el signo del resultado

de la operación.

(-) : (-) : (+)

(+) : (+) = +

SEGUNDO. Se dividen los valores absolutos delos números y se añade el signo del resultado.

(-8) : (-2) : (+4) = +(8 : 2 : 4) = +1

91. ●● Calcula.

a) (+35) : (-7) : (-5)

b) (-21) : (-7) : (-1)

c) (-10) : (-5) : (+2)

d) (+32) : (-8) : (-2)

OPERACIONES COMBINADAS

10. ●● Calcula.

a) (+ 5) - (-3) + [(+ 2) - (+7)] - (+3)

b) (+7) + [(-8) - (+5)] - (-7)

c) (- 2) - [(+ 3) + (-5) - (+7)] + (-5)

d) [(-5) - (-8)] + (+5) - [ (+4) + (-3)]

70. ● Resuelve.

a) [-3 + 7] - [9 - (-2)]

b) [-5 - (-9) - (+4)] + (-2)

c) -14 - [-6 + (-11)]

d) [12 - (+5)] + [-4 - (-6)]

71. ● Opera.

a) -5 - [3 + (-7) - (-6)]

b) 19 + [-8 + (-5) + 3]

c) [-6 + (-8)] - [9 - (+4)]

d) 6 + [3 - 5 + (-9) - (-2)]

73. ● Realiza estas operaciones.

a) 6 + (-4 + 2) - (-3 - 1)

b) 7 - (4 - 3) + (-1 - 2)

c) 3 + (2 - 3) - (1 - 5 - 7)

d) -8 + (1 + 4) + (-7 - 9)

e) 10 - (8 - 7) + (-9 - 3)

f) 7 - (4 + 3) + (-1 + 2)

g) -1 - (-1 + 2 - 5 + 4)

h) 3 + (5 - 9) - (7 - 5 - 7)

11. ● Calcula.

a) (+ 5) - (-3) ? (+2)

b) (-7) + (-8) : (+4)

c) (+ 3) + (-5) - (+7) ? (-2)

d) (-4) - (-8) : (+2) - (-3)

12.●●

Calcula.a) (+ 4) - [(-3) + (-5)] ? (-2)

b) [(-6) + (-7) + (+8)] ? (-3) + (+1)

c) [(-3) + (-9)] ? (+2) + (-5)

d) (-8) ? (+2) -[(+ 5) - (+4)] + (-7)

13. ●● Calcula.

a) (+ 5) - [(-8) + (-4) : (-2)] + (+5)

b) [(-6) + (-3) ? (-2)] + (-4)

88



92. ●● Calcula.

a) (-12) : 3 - [13 + 6 - (-2)]

b) 21 : 3 - 4 ? (-3)

c) 36 : (-4) + 5 ? (-2)

d) (-3) ? 2 - (4 - 10 : 2)

93. ●● Realiza las operaciones.

a) (-4) - (-6) : (+3)

b) (+5) : (-5) - (-7) ? (+2)

c) (-11) - (+3) ? (-4) : (-6) - (-9)

d) (-18) - [(+4) + (-6)] : (+2) + (+5)


a) 8 + 7 - 6 + 5 - 11 + 2

b) (-12) ? 7 : 3

c) 9 - 12 : 4

d) 100 - 22 ? 5

e) (-26) : 2 - 6 : 3 + 4

PROBLEMAS CON NÚMEROSENTEROS

96. ● ¿Cuántos metros separan a un avión, que

vuela a una altura de 8 500 m, de un submarino

que está a 350 m bajo el nivel del mar?

97. ● El congelador de un frigorífico tenía

una temperatura de-12 °C y, después, subió

5 grados. ¿Qué temperatura marca ahora?

98. ● En el indicador de un coche leemos que

la temperatura interior es de 16 °C, y la exterior

de-3 °C. ¿Cuál es la diferencia de temperatura

entre el interior y el exterior?

99. ●● En una ciudad, a las seis de la mañana,

el termómetro marcaba-10 °C, y a las 12 horas

indicaba 4 °C. ¿Cuál fue la variación de la

temperatura en grados?

100. ● Sara aparca el coche en el tercer sótano

y sube a la quinta planta. ¿Cuántas plantas

sube Sara?

101. ●● María trabaja en la planta 15 de un edificio

y aparca su coche 19 plantas más abajo.

¿En qué planta lo aparca?

102. ●● Cristina vive en el 3.er piso. Baja 4 plantas

en ascensor para ir al trastero y luego sube

6 plantas para visitar a una amiga.

¿En qué piso vive su amiga?

103. ●● El matemático griego Tales de Mileto nació en

el año 624 a.C. y vivió 78 años. ¿En qué año murió?

104. ●● Euclides, famoso geómetra, murió en el año

265 a.C. y vivió 60 años. ¿En qué año nació?

105. ●● Cierto día, en una ciudad hubo 9 °C

de temperatura máxima y-4 °C de mínima.

a) ¿Cuál fue la variación de temperatura

(amplitud térmica) en grados ese día?

b) ¿En algún momento del día, la temperatura

pudo ser de 5 °C? ¿Por qué?

c) ¿Y de -7 °C? ¿Por qué?

106. ●● En un laboratorio de biología están

estudiando la resistencia de un microorganismo

a los cambios de temperatura. Tienen

una muestra a 3 °C bajo cero, suben

su temperatura 40 °C, después la bajan 50 °C

y la vuelven a subir 12 °C. ¿Cuál es

la temperatura final de la muestra?

89




En esta unidadaprenderás a…

• Reconocer

las expresionesalgebraicas.

• Hallar el valor

numérico de unaexpresión algebraica.

• Sumar y restarmonomios.

• Resolver ecuaciones

sencillas de primergrado.

• Resolver problemas

planteando ecuacionessencillas de primergrado.

PLAN DE TRABAJO

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

Valor absoluto

|+7| = 7 |0| = 0 |-7| = 7

Suma resta de números enteros

Los númerospositivos se escriben

habitualmentesin el signo + que

los precede:

+3 = 3 +7 = 7

• Mismo signo

Sumamos los valores absolutosy dejamos el mismo signo.

3 + 7 = 10 -3 - 7 = - 10

9 + 4 = 13 -9 - 4 = - 13

• Mismo signo

Multiplicamos o dividimoslos valores absolutos y dejamosel signo positivo.

3 ? 4 = 122

105=

(-3) ? (-4) = 122

105

-

-

=

• Distinto signo

Restamos al mayor el menory dejamos el signo del mayor

-3 + 7 = 4 3 - 7 = - 4

9 - 4 = 5 -9 + 4 = - 5

• Distinto signo

Multiplicamos o dividimoslos valores absolutos y dejamosel signo negativo.

(-3) ? 4 = -122

105

-

=-

3 ? (-4) = -122

105

-

=-

Multiplicación división de números enteros

EVALUACIÓN INICIAL

1 Realiza estas operaciones con números enteros.

a) 3 + 4 c) 5 - 7 e) -7 + 8

b) 6 - 2 d) -3 - 7 f) -9 + 5

2 Calcula.

a) 3 - 4 + 5 d) -7 + 5 - 6

b) -9 + 2 + 4 e) -4 - 6 - 8

c) 12 - 3 - 9 f) 9 + 3 + 4

3 Obtén el resultado de estas multiplicaciones.

a) 3 ? 5 c) (-7) ? 3

b) 4 ? (-3) d) (-3) ? (-6)

4 Calcula estas divisiones.

a)2

8c)

4

12

-

b)3

9-d)

2

4

-

-

91



Lenuajealebraico

El lenguaje numérico expresa la información matemática solo mediantenúmeros.

EJEMPLO

1 Expresa en lenguaje numérico.

Lenguaje usual Lenguaje numérico

La suma de cuatro más tres 4 + 3 0Diez menos ocho 10 - 8 0El cuadrado de tres es nueve 32 = 90El triple de cinco es quince 3 ? 5 = 15


Cuándo se utilizan letras para sustituir a números

• Paraexpresarlasrelacionesentrelostérminosdeunadivisiónsesuelen

utilizar letras que representan cada uno de ellos.

D d Pruebadeladivisión " D = d ? c + r

r c

• Paraexpresar,deformageneral,cómosecalculaeláreadealgunas

figurasgeométricasseutilizanletrasquerepresentansusmedidas.

A = b ? a

b

ah

b

?

Ab h

2=

El lenguaje algebraico expresa la información matemática con númerosy letras.

EJEMPLO

2 Expresa en lenguaje algebraico.

Lenguaje usual Lenguaje algebraico

La suma de dos números a + b

Un número aumentado en 3 unidades y + 3

El cuadrado de un número x2

El triple de un número 3 ? x

La mitad de un número es igual a 3 c2

3=

1

Las letras másutilizadas en el lenguaje

algebraico para representarcualquier número son:x , y , z , a , b , c , d …

2 Expresa en lenguaje algebraico.

a) El doble de un número.

b) La tercera parte de un número.

c) El triple de un número menos su cuadrado.


1 Expresa en lenguaje numérico.

a) El doble de cinco.

b) La tercera parte de ochenta y siete.

c) La mitad de ocho más tres.

92



Epresionesalebraicas

Al igual que para expresarnos en el lenguaje usual utilizamos expresionesescritas, para expresarnos en el lenguaje algebraico utilizaremos expresio-nes algebraicas.

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que secombinan con los signos de las operaciones matemáticas.

EJEMPLO

1 Traduce estos enunciados a expresiones algebraicas.

Expresiónescrita Expresiónalgebraica

Un número menos 2 unidades x - 2

El triple de un número menos 2 3 ? (x - 2)

La mitad de un número más 1x

21+

Valor numrico


Cómo se calculan potencias

Unapotenciaesunaformaabreviadadeescribirunamultiplicación

de factoresiguales.

52 = 5 ? 5 = 25 (-5)3 = (-5) ? (-5) ? (-5) = -125

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resul-ta de sustituir las letras por sus valores correspondientes y realizar lasoperaciones que se indican.

EJEMPLO

5 Calcula el valor numérico de estas expresiones algebraicas para los valoresque se indican.

a) 2 ? x + 3,parax = 1.

2 ? x + 3x = 1

---" 2 ? 1 + 3 = 2 + 3 = 5

b) x2 - 3 ? x,parax = -1 y para x = 2.

x2 - 3 ? x x = -1-----" (-1)2 - 3 ? (-1) = 1 + 3 = 4

x2 - 3 ? x x = 2

-----" 22 - 3 ? 2 = 4 - 6 = -2

2

El valor numéricode una expresiónalgebraica varía

en función de los valoresque toman las letras.

7 Hallalosvaloresnuméricosdelaexpresión

algebraica x ? (x + 1) ? (x - 1) + 3 para:

a) x = 1 b) x = -1 c) x = 3


1 Calcula el valor numérico de las siguientesexpresiones algebraicas para x = 2.

a) 3 ? x - 5 b) x2 + 3 ? x

93



Monomios

Los monomios son las expresiones algebraicas más sencillas. Están for-mados por productos de letras y números de manera que:

• El número (incluido su signo) se llama coeficiente.

• La letra o las letras que lo acompañan se denominan parte literal.

EJEMPLO

6 Completa la tabla.


Cómo se suman o restan objetos• Objetosiguales

• Objetosdiferentes

Suma resta de monomiosDos o más monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.

La suma o resta de dos o más monomios semejantes es otro monomioque tiene por coeficiente la suma o resta de los coeficientes (números) delos sumandos, y mantiene la misma parte literal. Si los monomios no sonsemejantes, la suma o resta se deja indicada.

EJEMPLO

7 Realiza estas operaciones entre monomios.

a) 3x + 2x = 5x

Semejantes

3 + 2

Fc)

3

8x + 7a

No semejantes

La suma se deja

indicada.F

SE ESCRIBE ASÍ

• En los monomios

suprimimos el signodel producto.

3 ? x " 3x

• Cuando una letra no tiene

exponente, su exponente

es 1.7x " 7x1

• Cuando un monomio está

formado solo por letras,su coeficiente es 1.

x 3 " coeficiente 1

12 Efectúa.

a) x + x + x

b) 5a - 4a + 10a - a d) -2x2 + x2 + x2


2 Indicaelcoeficienteylaparteliteral.

a) 2x3 c) 3zb) y 4 d) 8t3

+ = +

- =

c) 2t + 5r

Monomio Coeficiente Parteliteral

3 ? x 3 x

-5 ? a2 ? b3 -5 a2 ? b3

-2 ? a ? b -2 a ? b

94



Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que noes cierta para todos los valores de las letras.

EJEMPLO

2 Comprueba que 10 + x =16esunaecuación.

Si x = 1 " 10 + 1 = 11 " 11! 16. No se cumple la igualdad.

Si x = 6 " 10 + 6 = 16 " 16 = 16. Se cumple la igualdad.

La igualdad solo se cumple para algunos valores de x " Es una ecuación.

Elementosde una ecuación

• Los miembros de una ecuación son las expresiones algebraicas quehay a cada lado de la igualdad.

• Los términos de una ecuación son los sumandos que forman losmiembros.

• Las incógnitas de una ecuación son las letras que aparecen en lostérminos, cuyos valores son desconocidos.

EJEMPLO

10 Indicalosmiembros,lostérminos ylasincógnitas deestaecuación.

a) 6x + 5 = 23 "6x + 5 = 23

Primer miembro Segundo miembro

Incógnita: xTérminos

La solución de una ecuación son los valores numéricos de las incógnitasque hacen cierta la igualdad.

EJEMPLO

3 Comprueba si x = 3 y x = -2sonsolucióndelaecuación6 x + 5 = 23.

6x + 5

x = 3"

6?

3 + 5 = 23"

23 = 23"

x = 3 es solución.6x + 5 x = -2

" 6 ? (-2) + 5 = -7 " -7! 23 " x = -2 no es solución.

4

5

El símbolo =/ se lee«distinto de».

6 =/ 9

«6 es distinto de 9»

18 Decidedequéecuacionesessoluciónx = 2.

a) x + 3 = 4

b) x + 7 = 9


17 Indica,enlassiguientesecuaciones,

susmiembros,términoseincógnitas.

a) x + 5 = 8 c) x2 - 4 = -x3 + 6

95



Resolución de ecuacionesde primer rado

Resolver una ecuación es encontrar su solución, si esta existe.

Para resolver una ecuación agrupamos en un miembro todos los términos

con la incógnita, utilizando estas reglas:• Si un término está sumando en un miembro, pasa restando al otro.

Y si está restando, pasa sumando.• Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al

otro. Y si está dividiendo, pasa multiplicando.

Cuando la x queda sola en un miembro, y en el otro miembro solo haynúmeros, diremos que hemos despejado la x. Su valor numérico es la so-lución de la ecuación.

EJEMPLO

14 Resuelve las siguientes ecuaciones.a) x + 2 = 4

Agrupamos los términos con x en el primer miembro y los númerosen el segundo. El 2, que está sumando en el primer miembro, pasa restando al segundo:

x + 2 = 4 " x = 4 - 2

" x = 2Pasa restando

F

b) 2x = 4

Para despejar la x, pasamos el 2 que está multiplicando en el primermiembro, al segundo miembro, dividiendo:

Pasa dividiendo F

2 4 2x x x2

4= = =" "

b) 3x - 1 = x + 3

Pasamos el 1 del primer miembro al segundo, y la x del segundoal primer miembro.

3x - 1 = x + 3 " 3x = x + 3 + 1 " 3x = x + 4 " 3x - x = 4 " 2x = 4

Para despejar la x, pasamos el 2 del primer miembro dividiendoal segundo:

2x =

4"

x=

2

4

"

x=

2

7

Las ecuaciones2x = 4 y 4 = 2x tienen

la misma solución:

x = 42

= 2

24 Hallalasolucióndelasecuaciones.

a) -2x + 4 = x +1 d) 2x - 1 = x - 1b) x - 8 = 2x - 6 e) 4x - 5 = 2x + 7

c) 8x - 2 = 10x f) 5x - 1 = x + 7


23 Resuelve estas ecuaciones.

a) x + 4 = 15 d) 3x = 6

b) x - 8 = 9 e) 5x = -20

c) x - 4 = -6 f) 6x = 18

96



Resoluciónde problemas

Para resolver problemas mediante ecuaciones seguimos estos pasos:1.º Identificamos la incógnita.2.º Planteamos la ecuación.

3.º Resolvemos la ecuación.4.º Comprobamos e interpretamos la solución.

EJEMPLOS

4 El doble de una cantidad más 15 es igual a 27. ¿Cuál es la cantidad?

• Identificamos la incógnita. Llamamos x a la cantidad desconocida.

• Planteamos la ecuación.

Una cantidad x

El doble de esa cantidad 2x

El doble de la cantidad más 15 2x + 15

El doble más 15 es igual a 27 2x + 15 = 27

• Resolvemos la ecuación.

2x + 15 = 27 " 2x = 27 - 15 " 2x = 12 " x = 2

12 " x = 6

• Comprobamos e interpretamos la solución.

La cantidad es 6.El doble de 6 es 12.Si le sumamos 15: 12 + 15 = 27 " La solución es válida.

5 El triple de un número menos 2 es igual al mismo número más 8.¿Cuál es ese número?

• Identificamos la incógnita. Llamamos x al número que buscamos.

• Planteamos la ecuación.

Un número x

El triple de ese número 3x

El triple del número menos 2 3x - 2

El triple del número menos 2es igual al mismo número más 8 3x - 2 = x + 8

• Resolvemos la ecuación.

3x - 2 = x + 8 " 3x - x = 8 + 2 " 2x = 10 " x = 2

10 " x = 5

• Comprobamos e interpretamos la solución.

El número es 5.

El triple menos 2: 3 ? 5 - 2 = 15 - 2 = 13"3 La solución es válida.

El número más 8: 5 + 8 = 13

8

5 El doble de un número más su triple es iguala 25. ¿De qué número se trata?

6 Un número es igual a su triple menos 8.¿Cuál es el número?


3 El triple de una cantidad menos 5 es igual a 7.Averigua la cantidad.

4 Una cantidad menos 15 es igual al doble dela cantidad menos 18. ¿De qué cantidad se trata?

97



Lo esencial

1. CALCULAR EL VALOR NUMéRICO DE UNA ExPRESIÓN ALgEBRAICA

Hallaelvalornuméricodelaexpresiónalgebraica x2 - 3x +2,parax = -2.

PRIMERO. Sustituimos las incógnitas por el valor numérico que nos dan.

x2 - 3x + 2x = -2

---$ (-2)2 - 3 ? (-2) + 2

SEGUNDO. Realizamos las operaciones.

(-2)2 - 3 ? (-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12

El valor numérico de la expresión x2 - 3x + 2, para x = -2, es 12.



Lenuaje numrico

Tres menos dos es uno " 3 - 2 = 1

Lenuaje alebraico

El doble de un número "

más uno

2x + 1

Expresión algebraica

Parte literal

Coeficiente

F

F

Segundo miembro

Términos

Primer miembro

2. SUMAR y RESTAR MONOMIOS

PRIMERO. Analizamos si los monomios quequeremos sumar o restar son o no semejantes.

a) 3x2 + 5x2 → Misma parte literal, x2.

Son semejantes.

b) 3x2 - 5x2 → Misma parte literal, x2.Son semejantes.

c) 3a + 5b → Distinta parte literal, a y b.No son semejantes.

d) 3a - 5b → Distinta parte literal, a y b.No son semejantes.

SEGUNDO. Operamos, si es posible.

• Si los monomios son semejantes: se sumano restan sus coeficientes y se mantiene

la misma parte literal.a) 3x2 + 5x2 = (3 + 5)x2 = 8x2

b) 3x2 - 5x2 = (3 - 5)x2 = -2x2

• Si los monomios no son semejantes: la sumao la resta no se puede realizar, y se deja

indicada.

c) 3a + 5b " No se puede realizar.

d) 3a - 5b " No se puede realizar.

Calcula.

a) 3x2 + 5x2 c) 3a + 5b

b) 3x2 - 5x2 d) 3a - 5b

Monomio

4x3

Ecuación

3x + 4 = 12 " Incógnita: x

98




1. Expresa en lenguaje algebraico.

a) El triple de un número menos seis.

b) La quinta parte de un número es 12.2. Determina si las siguientes expresiones

algebraicas son una ecuación o una identidad.

a) 6x - 2x = 12 b) 3x + x = 4x

Calcular el valor numrico de una epresiónalebraica

1. Halla el valor numérico de la expresión

3x - 4x2, para x = 1.

y AHORA… PRACTICA

Sumar restar monomios

5. Calcula: x + 4x - 10x + 5x

Resolver una ecuación de primer rado

2. Resuelve estas ecuaciones.

a) x - 5 = 7 b) 3x = 9

3. Resuelve.

a) 5x - 5 = 4x + 7 b) 4x - x = 27

Resolver un problema mediante ecuaciones

4. El doble de un número menos 3 es igual a 7.¿Cuál es ese número?

1. RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER gRADO

Resuelvelaecuación:10 x + 7 = 6x - 5

PRIMERO. Agrupamos los términos con x en un miembro y los números en el otro.

10x + 7 = 6x - 5 10x - 6x = -5 - 7

SEGUNDO. Sumamos y rest amos los términos semejantes.

4x = -12

TERCERO. Despejamos la incógnita.

x = 4

12-" x = - 3

2. RESOLVER UN PROBLEMA MEDIANTE ECUACIONES

Un número más su doble es igual a 27. ¿Cuál es el número?

PRIMERO. Identificamos la incógnita. Llamamos x al número que buscamos.

SEGUNDO. Planteamos la ecuación.

Un número x

El doble de ese número 2x

El número más su doble x + 2x

El número más su doble es igual a 27 x + 2x = 27

TERCERO. Resolvemos la ecuación.

x + 2x = 27 " 3x = 27" x = 3

27 " x = 9

CUARTO. Comprobamos e interpretamos la solución.

El número 9 más su doble es: 9 + 2 ? 9 = 9 + 18 = 27 " La solución es válida.

99



ActividadesExPRESIONES ALgEBRAICAS

36. ● Relacionacadaenunciadoconlaexpresión

algebraica correspondiente.a) Perímetro de un triángulo equilátero.

b) Al triple de un número le sumamos 2 unidades.

c) El doble de la suma de dos números.

d) El producto de un número y su consecutivo.

1) 3a + 2 3) 3x2) x(x + 1) 4) 2(x + y)

37. ● Escribe en lenguaje algebraico las siguientesexpresiones.

a) El cuadrado de un número.

b) Un número menos tres.

c) El doble de un número más tres.

d) La mitad de un número menos cinco.

e) El triple de un número más el doble del mismonúmero.

f) La cuarta parte de la suma de un númeromenos tres.

g) La quinta parte de un número menos el triplede dicho número.

h) La suma de dos números cualesquiera.

i) El triple de la suma de dos númeroscualesquiera.

j) La sexta parte de un número más seis.

38. ●● Si xesunnúmerocualquiera,expresa

en el lenguaje usual cada una de las expresionesalgebraicas.

a) x - 2 e) x3 - 5

b) x + 5 f) 3x - x4

c) 2x g) 2x + 2x2 + 2x3

d)x

2h) x

40. ● Calcula el valor numérico de 6x - 3 para:

a) x = 1 c) x = -1b) x = 2 d) x = -3

41. ● Determinaelvalornuméricodelaexpresión

algebraica 7x - 4 para los siguientes valores:x = -2,x = 1,x = -3.

42. ● Halla los valores numéricos de estasexpresiones algebraicas para a = 3.

a) 2a - 5 c) a(a - 1)(a + 2)b) 3a2 + 2a - 1 d) (-a - 2)(-2a)

44. ● Halla el valor de las expresiones cuando tomanel valor indicado.

Valor de x 3x - 4 x2 + 1

x = 1

x = 2

x = -1

x = 0

x = -2

x = -4

x = 7

x = -5

MONOMIOS


Expresiónalgebraica Coeficiente Parteliteral

6x3

-4x

xy

-2a2b

7. ● Escribe un monomio que tenga:

a) Coeficiente 7 y parte literal x.b) Coeficiente -2 y parte literal x3.c) Coeficiente 1 y parte literal x3.

8. ● Escribe dos monomios que tengan los mismoscoeficientesydistintaparteliteral.¿Son

semejantes esos monomios?

50. ● Indica las parejas de monomiosque son semejantes y escribe sus opuestos.

a) 2x 3 y 2x c) 12a 2 y -3a 2 b) 3x y -2x d) a 3 y 3a

51. ● Escribe dos monomios semejantes para cadauno de estos monomios.

a) 12a b) -5x 2 c) 13 y 3

52. ● Efectúalassumasyrestasdemonomios.

a) 2x + 3x j) -4a + 2ac) 17x 2 - 4x 2 k) -5x 2 - (-x 2)f) 7a + 5a + 3a l) 4a 2 + 6ag) 5x 4 - 2x 2 - 3x 2 m) 2x + 4x - 8xi) 2x 2 - 4x 2 + 5x 2 n) 2 y + 2 y2

100



53. ● Suma y resta estos monomios.

a) 3x 2 y -9x2 d) -36x3 y 45x3 b) 4x y 12x e) 12a y -8a

c) 4x y 3x2 f) 12x y -4

ECUACIONES


EcuaciónPrimer

miembroSegundomiembro

Términos Incógnita

7 + s = 2

18 = 2t

5x = 1 + x

0 = 8 - y

10r = 3

57. ● Comprueba si estas igualdades son ciertaspara los valores de la variable que se indican.

a) 4x - 7 = 2, para x = 3.

b) 10 - x = 13, para x = -3.

c) 15 + x = 11, para x = -4.

d) 3(x - 2) = 6, para x = 4.

e) (8 - x)4 = 8, para x = 2.

f) (9 - x)(6x + 2) = 16, para x = 8.

g) x2

16= , para x = 8.

h)x

35 8+ = , para x = 9.

i)x

2

51 6

++ = , para x = 5.

j)x x

3 25+ = , para x = 6.

k) ( )x

x3

82 1 3

++ - = , para x = 1.

58. ● Indica cuáles de estas ecuaciones tienen como

solución x = -2.a) x + 2 = 0 c) 3x - 1 = 5

b) 2x + 4 = -8 d) 5x + 8 = -2

59. ● Di si el valor de xessolucióndelaecuación

y,sinoesasí,hállalo.

a) 2x - 5 = 7, para x = 5.

b) 3x - 6 = 2x - 5, para x = 3.

c) x + 1 + 5 = 2x + 2, para x = 4.

d) 3(x + 2) - 5 = 4x + (x - 1), para x = 1.

60. ●● Escribe tres ecuaciones de primer grado conunaincógnitaquetengancomosoluciónx = 2.

61. ●● Indica,sinoperar,paraquévalorde x

se cumplen estas igualdades.

a) x + 3 = 4 g) 7 - x = 5

b) 2x = 16 h) 4x - 3 = 1

c) 6 - x = 1 i) 4 + x = 6

d) 9x = 36 j) 2x + 1 = 5

e)x

55= k)

x

279=

f) 4 = -x l) 9 = 3x

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

62. ● Calculaelvalordelaincógnita.

a) x + 3 = 7 e) x - 3 = 7

b) 9 + x = 12 f) x + 5 = 6

c) x - 5 = 9 g) 15 + x = 9

d) 7 + x = 18 h) x - 3 = -5

63. ● Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 4x = 16 e) -5x = -25

b) -7x = 49 f) 2x = -238

c) -5x = -125 g) -3x = 36

d) 27x = -81 h) -9x = 81

64. ● Hallalasolucióndelasecuaciones.

a) 4x = 5 + 3x e) 10 - 3x = -2x

b) 6x = 12 + 4x f) 6 + 2x = x

c) x - 8 = 3x g) 14x + 6x = 40

d) 20 + 6x = 8 h) 30 + 8x = -7x

65. ●● ¿Sehanresueltocorrectamente

lasecuaciones?Sinoesasí,resuélvelas.

a) 3x - 1 = 0 d) 4x = 10

3x = 0 x = 10 - 4

x = 0 x = 6

b) 2x + 3 = 5 e) 4x + 2 = 6

2x = -2 4x = 6 + 2

x = -1 x = 1

c) 7x = 8 f) 2x + 1 = 8

x = 8 - 7 2x = 8 + 1

x = 2 x = 4,5

101




a) 25 - 2x = 3x - 35 i) 100 - 3x = 5x - 28

b) 4x + 17 = 3x + 24 j) 10x - 17 = 4x + 85

c) 7x - 3 = 21x - 9 k) 3x + 1 = 7x - 11

d) 1 + 8x = -64x + 46 l) 11x - 100 = 2x - 1

e) 5x - 11 = 15x - 33 m) 25 - 2x = 3x - 80

f) 2x + 17 = 3x + 2 n) 19 + 8x = 12x + 14

g) 70 - 3x = 14 + x ñ) 21 y - 3 = 10 y + 195

h) 60 - 5x = x - 12 o) 2 - 6 y = 36 y - 5


a) 3x = 5x + 2 - 3x

b) 5x - 3x = 2 + x

c) 4x + 2 = x + 3 - 2x

d) 7x + 1 - 2x = 3x - 1

e) 7x - 4 + 3x = 5 - 2x + 2f) 5x - 12 - 4x = 8 + 7x - 3

c) x + 8 - 6x = 12 - 10x + 5

g) 3x - 4 + 6x = 1 + 4x - 8

h) 4 - 4x + 5 = 7x - 4 + 5x

i) 12 - x - 8 = 6x - 3 + 2x

j) 4 + 10x - 8 = 5x - 3 + 4x

k) 3 - 4x + 9 = 23 - 4x + 5

¿CÓMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓNCON UN SOLO DENOMINADOR?

71. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a)x

3

48= b)

x

3

53 7- =

PRIMERO. Se multiplica cada uno de los términos

de la ecuación por el denominador.

a) ? ?

x

x

33

43 8

4 24

=

=

b) ? ? ?x

x

33

53 3 3 7

5 9 21

- =

- =

SEGUNDO. Se resuelve la ecuación sin

denominadores que resulta.

a) 4x = 24 " x4

24= " x = 6

b) 5x - 9 = 21 " 5x = 30 " x5

30= " x = 6

HAZLO ASÍ

72. ●● Hallalasolucióndelasecuaciones.

a)x

3

24= c)

x

3

42 6+ =

b)x

7

62 4- = d)

x

3

816

-

=


a)x

7

6 44

+= c)

x

7

161

-

=

b)x

2

3 52

-

= d)x

3

45

+=


a)x3

23=

b)x

2

33= -

c)x

2

33

-

=

d)x

2

52 3- =

e)x

2

52 7+ =

f)x

2

52 3+ = -

g)x

2

52 7- = -

74.●●

Calculalasolucióndelasecuaciones.

a)x

107

28 4+ = + c) x

x4 38

5

3 2- =

+

b)x

x x3

2 1 2+ = + d)x

3

224=

76. ●● Resuelve,simplificandotodoloquepuedas.

a) xx

42

1

2

3 4+ =

-

b)x x

3

4 4

2

6+=

+

c) ( ) ( )x

x

x3 2 2

2

4 3- - = +

d) ( )( )

xx

3 13

6 25+ -

-=

e)( ) ( )x x

x3

3 1

5

10 12

4

1-+

+= +

f)( ) ( ) ( )x x x

x2

2 1

3

3 1

4

8 25 1

++

-+

+= -

g)( ) ( )x x

x5

2 3

7

2 25 1

--

+- = +

102



PROBLEMAS CON ECUACIONES

78. ● Expresa,utilizandoellenguajealgebraico,

estos enunciados.

a) Un número cualquiera.

b) La suma de dos números.c) El doble de la suma de dos números.

d) El doble de un número más otro.

79. ● Expresa los siguientes enunciados medianteel lenguaje algebraico.

a) La cuarta parte de una cantidad más 3 unidades.

b) A cinco veces una cantidad le sumamos8 unidades.

c) La mitad de una cantidad más la mitadde la mitad de dicha cantidad.

d) El cuarto de una cantidad más la mitaddel cuarto de dicha cantidad.

80. ● Si llamamos xalabase,

e yalaalturadeunrectángulo,

completa la siguiente tabla:

Área

Perímetro

Doble del área

Mitaddelperímetro

81. ● CompletalatablasabiendoquePedrotieneeldobledeedadqueAndrés,Martatiene6años

másquePedro,yRosatiene10añosmenos quePedro.

Marta Andrés Rosa Pedro

Si la edad actual deAndrésfuese10años

10

Si desconocemosla edad de Andrés x

85. ●● Expresa,enformadeecuación,lossiguientes

enunciadosyobténsusolución.a) ¿Qué número sumado con 3 da 8?

b) ¿Qué número multiplicado por 5 da 60?

c) ¿Qué número dividido entre 12 da 84?

86. ●● Escribelaecuaciónqueresultade

laexpresión:«Eltripledeunnúmeromáscinco

es igual a veintiséis». ¿De qué número se trata?

87. ●● Si«eldobledeunnúmeromenoscincoes

igualaonce»,escribelaecuaciónyresuélvela.

x

y

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS gEOMéTRICOSCON ECUACIONES?

11. Elperímetrodelrectángulodelafiguraes66cm.

Calcula sus dimensiones.

3x cm

(x + 1) cm

PRIMERO. Se expresa el perímetro de este rectángulo.

Perímetro = 3x + 3x + (x + 1) + (x + 1)

SEGUNDO. Se plantea la ecuación.

Como sabemos que el perímetro es igual a 66:

3x + 3x + (x + 1) + (x + 1) = 66

TERCERO. Se resuelve la ecuación.

8x + 2 = 668x = 64

x = 8 cm

CUARTO. Se comprueba la solución.

Tenemos un rectángulo de lados x + 1 = 9 cmy 3x = 24 cm. Su perímetro será:

Perímetro = 9 + 9 + 24 + 24 = 66 cm

12. ●● Calculaellargoyelanchodeunrectángulo

de lados x yx

3,ycuyoperímetroes136dm.

13. ●● Elperímetrodeunrectánguloes106m.

¿Cuál es la medida de sus lados sabiendoqueellargoeseldobledelanchomás5m?

14. ●● Untriánguloisóscelestienecomoperímetro

35 cm.Sicadaunodelosladosigualesmide10 cm,

¿cuáleslaecuaciónparahallarelotrolado?

a) x + x + 10 = 35 c) 2x + 35 = 10

b) 10 + 10 + x = 35 d) x + 35 = 20

93. ●● En un bolsillo tengo una cantidadde dinero y en el otro tengo el doble.Entotalhay6€. ¿Cuánto dinerohayencadabolsillo?

103



Libertad, igualdady fraternidad

Tres mujeres esperaban para comprar pañoen un puesto que anunciaba manufacturasde Flandes.

La mayor de ellas pidió tres varas de longitudde un grueso tejido de color verde. Mientrasel comerciante, con la vara más corta, medíay comenzaba a cortar el paño, ella se quejaba:

–Tienes dos varas de medir, larga paracomprar y corta para vender. ¡Eres un ladrón!

La más joven dijo:

–He oído decir que la Academia de lasCiencias ha inventado una nueva mediday que sustituirá a todas las que existen.

La tercera mujer tomó entonces la palabra:–Mi padre trabaja en la Academia y es cierto;la medida se llama metro, y están fabricandoel modelo patrón.

La mayor se dirigió al comerciante:–François, tus timos se acaban. –Y pagandola pieza se alejaron las tres en dirección al río.

Diez millones de metros mide la cuarta partede un meridiano. La estimación de esta mediday la construcción del metro patrón finalizaronen 1799.

Sistema MétricoDecimal7


sobre cómo y por qué

se creó el Sistema

Métrico Decimal.

2. Investiga sobre si esta

fue la primera vez que

se planteó unificar

el sistema demedidas, o si hubo

propuestas anteriores.

3. Explica cómo se

definen las unidades

de medida más

importantes según

el Sistema Métrico

Decimal.





En esta unidad

aprenderás a…

• Reconocer magnitudes.

• Aplicar las

equivalencias entre

unidades de longitud,

capacidad, masa,

superficie y volumen.

• Pasar de forma

compleja a incompleja,

y viceversa.

PLAN DE TRABAJO


En el sistema de numeración decimal, a cada cifra de un número le corresponde un orden deunidades.

Centena

de millón

Decena

de millón

Unidad

de millón

Centena

de millar

Decena

de millar

Unidad

de millarCentena Decena Unidad Décima Centésima Milésima

1 0 0 2 5 6 7 8 9 0 5 2

100 256 789,052= 1 C. de millón+ 2 CM+ 5 DM+ 6 UM+ 7 C+ 8 D+ 9 U+ 5 c+ 2 m=

= 100 000 000+ 200 000+ 50 000+ 6 000+ 700+ 80+ 9+ 0,05+ 0,002

El sistema de numeración decimales posicional, es decir, el valorde cada cifra depende del lugar

o posición que ocupa en el número.2 CM= 200 000 unidades

2 m= 0,002 unidades

100 256 789,052

5 c= 0,05 unidades

5 DM= 50 000 unidades

F

F

F

F

En el sistema decimal,10 unidades de un orden

forman una unidad del ordeninmediato superior.

EVALUACIÓN INICIAL

1 Descompón los siguientes números en sus distintas unidades.

a) 23 453 c) 4 334

b) 234 d) 324 501

2 Escribe en cada caso un número:

a) Que tenga el valor de la cifra 3 igual a 300 unidades.

b) Que tenga el valor de la cifra 7 igual a 7 000 unidades.c) Que tenga el valor de la cifra 8 igual a 80 000 unidades.

3 Copia y completa las siguientes igualdades.

a) 10 DM=4U c) 50 CM= 4U

b) 20 CM= 4U d) 70 CM= 4U

4 Copia y completa las siguientes igualdades.

a) 20 U= 4D= 4C c) 5 000 U= 4UM= 4D

b) 300 U= 4C= 4UM d) 70 000 U= 4CM= 4 C

105



Magnitudesy unidades

Una magnitud es cualquier cualidad que se puede medir, y su valorpuede ser expresado mediante un número.

Para medir una cantidad de una magnitud, la comparamos con otra

cantidad que es fija, a la que llamamos unidad de medida.

EJEMPLO

1 Escribe ejemplos de magnitudes y de unidades de medida.

Magnitudes son:

• La longitud de una carretera.

• La temperatura del agua de una piscina.

• El peso de un remolque.

• La capacidad de una garrafa.

Unidades de medida son:

• Los kilómetros de una carretera.

• Los grados centígrados del agua de una piscina.

• Los kilogramos que pesa un remolque.

• Los litros que caben en una garrafa.


Cómo se calculan las potencias de 10

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros

como indica el exponente.

10

3

=

1 000 10

5

=

100 000

Sistema Métrico Decimal

En la actualidad, y exceptuando algunos países anglosajones, para medirmagnitudes se utiliza el mismo sistema de medida, llamado Sistema Mé-trico Decimal.

El Sistema Métrico Decimal se compone de las unidades de medida delongitud, superficie, volumen, capacidad y masa.

Decimos que es un sistema decimal porque sus unidades se relacionan

entre sí mediante potencias de 10.

1

3 cerosF

5 cerosF

2 Escribe la unidad que utilizarías para medir

las magnitudes del ejercicio anterior.

1 ¿Qué ocurriría si midiésemos la distancia entre

dos poblaciones en milímetros? ¿Y si midiésemos

el grosor de una hoja de papel en kilómetros?


1 Indica si son magnitudes o no.

a) La capacidad de un bidón.

b) La simpatía.

c) La distancia entre dos ciudades.

d) El amor.

e) La altura de un árbol.

106



4 Expresa en kilómetros.

a) 275 m c) 3,7 hm

b) 5 dam d) 24,3 dam

5 Expresa en hectómetros.

a) 0,85 dam c) 56 dam

b) 3,12 km d) 325 m


Unidadesde longitud

Los múltiplos y submúltiplos del metro son unidades mayores y meno-res, respectivamente. Los múltiplos y submúltiplos del metro son:

Múltiplos del metro Submúltiplos del metro

kilómetro

(km)

1 000 m

hectómetro

(hm)

100 m

decámetro

(dam)

10 m

metro(m)

decímetro

(dm)

0,1 m

centímetro

(cm)

0,01 m

milímetro

(mm)

0,001 m

En las unidades de longitud, cada unidad es 10 veces mayor que la inme-diata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior.


Cómo se multiplica por la unidad seguida de ceros

• Si el número es natural, le añadimos tantos ceros como tenga la unidad.

82?

100=

8 200 23?

10 000=

230 000• Si el número es decimal, desplazamos la coma a la derecha tantos

lugares como ceros siguen a la unidad. Si no hay suficientes decimales,

añadimos ceros.

3,4073 ? 1 000= 3 407,3 23,4 ? 100= 2 340

Cómo se divide por la unidad seguida de ceros

Desplazamos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga

la unidad. Si no hay suficientes decimales se añaden ceros.

3 452 : 1 000= 3,452 5,4 : 100= 0,054

Para transformar una unidad de longitud en otra, se multiplica o se divide

sucesivamente por 10.

km hm

F

F

? 10

: 10

dam

F

F

? 10

: 10

m

F

F

? 10

: 10

dm

F

F

? 10

: 10

cm

F

F

? 10

: 10

mm

F

F

? 10

: 10

EJEMPLO

2 Expresa en decámetros.

a) 265,83 m -" 265,83 : 10= 26,583 dam

b) 5,04 hm --" 5,04 ? 10= 50,4 dam

c) 16 dm ---" 16 : 100= 0,16 dam

d) 4,567 km -" 4,567 ? 100= 456,7 dam

e) 225,73 cm " 225,73 : 1 000= 0,22573 dam

2

Para transformar

unidades de longitud,multiplicamoso dividimos por

potencias de 10.

107



2.1 Forma compleja e incompleja

Una medida está escrita en forma incompleja cuando para expresarlautilizamos una única unidad de medida.Si utilizamos más de una unidad, diremos que está en forma compleja.

EJEMPLOS

3 Determina si las siguientes medidas están expresadas en forma compleja

o incompleja.

a) 23 cm--" Incompleja c) 2 m 6 cm-----------" Compleja

b) 3,45 hm" Incompleja d) 4 km 5 dm 27 m" Compleja

4 Expresa 2 m 8 dm 6 cm en forma incompleja.

Usamos el cuadro de unidades, colocando cada unidad en su lugar.

2 8 6

m dm cmForma incompleja

286 cm

Forma compleja

2 m 8 dm 6 cmF

F

5 Escribe en decámetros estas medidas expresadas en forma compleja.

a) 5 hm 3 dam 4 m

Para expresar una medida en forma compleja en una unidad concreta,

transformamos todas las unidades en la unidad que se pide.

5 hm 3 dam 4 m= (5 ? 10) dam+ 3 dam+ (4 : 10) dam= 53,4 dam

b) 1 hm 3 m 9 cm = (1?10) dam+ (3 : 10) dam+ (9 : 1 000) dam= 10,309 dam

6 Expresa en forma compleja estas medidas.

a) 3,06 hm

3 0 6

hm dam mForma incompleja

3,06 hm

Forma compleja

3 hm 6 mF F

b) 102,005 dam

1 0 2 0 0 5

km hm dam m dm cmForma incompleja

102,005 dam

Forma compleja

1 km 2 dam 5 cmFF

Para escribir una medidacompleja en el cuadro

de unidades, se completancon ceros las unidades

que no aparecen.

3 0 2 0

m dm cm mm

3 m 2 cm F


9 Expresa en metros.

a) 2 km 17 dam 8 m

b) 3 m 52 dm 13 cm

c) 5 dam 17 m 13 dm 1 cm

d) 8 hm 7 m 4 mm

10 Expresa en forma compleja las siguientes

medidas.

a) 2 284 cm c) 8 793 dam

b) 0,045 km d) 13 274 hm

11 El circuito de la carrera de atletismo mide

3 km 4 hm 2 dam. ¿Cuántos metros mide

el circuito?

2 Paula ha comprado 2 hm 6 dm 4 cm de tela para

confeccionar un traje de carnaval. Calcula

los metros de tela que ha comprado.

3 Según el plano se necesitan 27 dam 8 m de cable

para realizar la instalación de luz de toda

la casa. Calcula los metros de cable necesarios

para la instalación.

108



2.2 Operaciones con medidas de longitud


Cómo se suman o restan números decimales

1.º Colocamos los números, de forma que las comas decimales estén

en la misma columna, y añadimos los ceros necesarios para que todostengan el mismo número de decimales.

2.º Sumamos o restamos como si fueran números naturales, manteniendo

la coma en su lugar correspondiente.

21,340

21,34+ 3,271 F + 3,271

24,611

15,237

15,237- 9,35 F - 9,350

5,887

Cómo se multiplican números decimales

1.º Los multiplicamos como si fueran números naturales.

2.º Colocamos la coma en el resultado, separando

tantas cifras como decimales sumen entre

los dos factores, contando de derecha a izquierda.

Para realizar operaciones de suma, resta y multiplicación con medidas delongitud utilizamos el cuadro de unidades. Es importante colocar cada uni-dad en su lugar correspondiente.

EJEMPLO

7 Calcula y expresa en decímetros.

a) 34,72 m+ 8 569 mm c) (2 m 9 cm) ? 14

b) 6 km 4 dam 1 m- 49 845,2 dm

a)dam m dm cm mm

+

3 4

8

7

5

2

6

0

9

4 3 2 8 9

F 432,89 dm

b) km hm dam m dm cm

-

6

4

0

9

4

8

1

4

0

5

0

2

1 0 5 6 4 8

F 10 564,8 dm

5,108

# 0,4

2,0432

G 3 cifras +G 1 cifra

G 4 cifras


13 Realiza las siguientes operaciones, y expresa

el resultado en metros.

a) 4 322 cm+ 57 dm

b) 34,78 dam- 3,57 dm

e) 12,432 cm ? 5

4 Realiza estas operaciones, y expresa

el resultado en decámetros.

a) 234 m+ 3,29 hm

b) 4 km 6 hm 8 m- 32,53 m

c) (43 hm 4 dm 8 m) ? 23

c)dam m dm cm

#

2 0

1

9

4

2

8

0

3

9

6

2 9 2 6

F 292,6 dm

109



Unidadesde capacidad

El litro es la unidad principal de capacidad. Se escribe ¬ .

Algunos múltiplos y submúltiplos del litro son:Múltiplos del litro Submúltiplos del litro

kilolitro(kl)

1 000 ¬

hectolitro(hl)

100 ¬

decalitro(dal)10 ¬

litro

( ¬ )

decilitro(dl)0,1 ¬

centilitro(cl)

0,01 ¬

mililitro(ml)

0,001 ¬

En las unidades de capacidad, cada unidad es 10 veces mayor que la in-mediata inferior y 10 veces menor que la inmediata superior.

Para transformar una unidad de capacidad en otra, se multiplica o se dividesucesivamente por 10.

kl F

hl

F ? 10

: 10

dal

F

F

? 10

: 10

¬

F

F

? 10

: 10

dl

F

F

? 10

: 10

cl

F

F

? 10

: 10

ml

F

F

? 10

: 10

EJEMPLO

9 Expresa en decalitros.

a) 265,83 ¬ ---" 265,83 : 10= 26,583 dal

b) 4,567 kl ---" 4,567 ? 100= 456,7 dal

c) 225,73 cl ---" 225,73 : 1 000= 0,22573 dal

d) 1 hl 3 ¬ 9 cl " (1 ? 10)+ (3 : 10)+ (9 : 1 000)= 10,309 dal

1 0 3 0 9

hl dal ¬ dl clForma compleja

1 hl 3 ¬ 9 cl

Forma incompleja

10,309 dalF F

3

Para transformarunidades de capacidad,

multiplicamos o dividimospor potencias de 10.


18 Transforma en litros.

a) 7,5 kl c) 0,4 dal

b) 593 cl d) 6 300 ml

19 Expresa en litros.

a) 1 kl 4 hl 25 dl

b) 7 hl 1 dl 16 cl

c) 1 kl 4 dal 3 dl 12 ml

d) 4 hl 12 dal 1 dl 1 cl

5 Transforma la cantidad 1 kl 23 dl 4 ¬ 54 dl.

a) En decilitros.

b) En kilolitros.

20 Un tonel tiene una capacidad de

30 hl 5 dal 500 ¬ . ¿Cuántos litros son?

21 Un depósito de agua tiene una capacidad

de 3 kl 50 dal 5 000 ¬ . ¿Cuál es su capacidad

en decalitros?

110



Unidadesde masa

El kilogramo es la unidad principal de masa. Se escribe kg.

Aunque la unidad principal de masa es el kilogramo, vamos a utilizar el

gramo por similitud con el resto de unidades de medida. Algunos múltiplos y submúltiplos del gramo son:

Múltiplos del gramo Submúltiplos del gramo

kilogramo(kg)

1 000 g

hectogramo

(hg)100 g

decagramo(dag)10 g

gramo

(g)

decigramo(dg)0,1 g

centigramo(cg)

0,01 g

miligramo(mg)

0,001 g

En las unidades de masa, cada unidad es 10 veces mayor que la inmediatainferior y 10 veces menor que la inmediata superior.

Para transformar una unidad de masa en otra, se multiplica o se divide


kg hgF

F

? 10

: 10

dagF

F

? 10

: 10

gF

F

? 10

: 10

dgF

F

? 10

: 10

cgF

F

? 10

: 10

mg

F

F

? 10

: 10

EJEMPLO

1 Expresa en hectogramos.

a) 32,25 g" 32,25 : 100= 0,3225 hg

b) 3,12 kl"

3,12?

10=

31,12 hgd) 1 kl 3 g 5 dg" (1 ? 10)+ (3 : 100)+ (5 : 1 000)= 10,035 hg

d) 5 kg 24 hg 2 g 45 cg" (5 ? 10)+ 24+ (2 : 100)+ (45 : 10 000)= 74,0245 hg

Para medir grandes masas se utilizan la tonelada métrica, el quintal métri-co y el miriagramo, cuyas equivalencias con el kilogramo y el gramo son:

Unidades Símbolo kg g

Tonelada métrica t 1 000 kg 1 000 000 g

Quintal métrico q 100 kg 100 000 g

Miriagramo mag 10 kg 10 000 g

4

En el lenguaje cotidianoa la masa se le llama peso.


6 Expresa en gramos.

a) 4,27 hg

b) 523,46 mg

c) 3 hg 23 dg 34 mg

d) 3 dg 41 g 3 cg 37 dg

23 Expresa en gramos y ordena, de menor a mayor.

31 dg 1,02 kg 8,34 cg 0,4 t 0,09 q

24 Realiza las siguientes operaciones.

a) 123 hg 35 g+ 3 kg 15 dag

b) 30 t 20 q- 250 dag 120 kg 200 hg

111



Unidadesde superficie


Cómo se miden superficies

Para medir la superficie de una figura, se elige

una unidad de medida y se cuenta el número

de unidades que ocupa esa figura.

Qué es un metro cuadrado

Un metro cuadrado es la superficie

que ocupa un cuadrado de lado

un metro.

La unidad principal de medida de superficie es el metro cuadrado.Se escribe m2.

Los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado son:

Múltiplos del metro cuadrado Submúltiplos del metro cuadrado

kilómetrocuadrado

(km2)

1 000 000 m2

hectómetrocuadrado

(hm2)

10 000 m2

decámetrocuadrado

(dam2)

100 m2

metrocuadrado

(m2)

decímetrocuadrado

(dm2)

0,01 m2

centímetrocuadrado

(cm2)

0,0001 m2

milímetrocuadrado

(mm2)

0,000001 m2

En las unidades de superficie, cada unidad es 100 veces mayor que la in-mediata inferior y 100 veces menor que la inmediata superior.

Para transformar una unidad de superficie en otra, se multiplica o se divide


km2 hm2

F

F

? 100

: 100

dam2

F

F

? 100

: 100

m2

F

F

? 100

: 100

dm2

F

F

? 100

: 100

cm2

F

F

? 100

: 100

mm2

F

F

? 100

: 100

EJEMPLO

11 Expresa en decámetros cuadrados.

a) 265,83 m2 -" 265,83 : 100= 2,6583 dam2

b) 5,04 hm

2

---"

5,04?

100=

504 dam

2

c) 16 dm2 ---" 16 : 10 000= 0,0016 dam2

5

Unidad F

1 m

1 m2

1 m

Para transformarunidades de superficie,

multiplicamos o dividimospor potencias de 100.


26 Transforma en m2 las siguientes medidas.

a) 32 dam2 c) 1,0005 km2

b) 3,6 dam2 d) 1,16 hm2

7 Transforma en dm2 las siguientes medidas.

a) 3,007 dam2 c) 0,00001 km2

b) 0,008 km2 d) 0,0035 hm2

Superficie: 8

112




Las medidas de superficie también se pueden expresar de forma complejae incompleja, teniendo en cuenta que las unidades van de 100 en 100 yque a cada unidad le corresponden dos cifras.

EJEMPLOS

12 Expresa en forma compleja 41 327,25 m2.

4

hm2

13

dam2

27

m2

25 4 hm2 13 dam2 27 m2 25 dm2

dm2

F

13 Expresa 3 hm2 8 dam2 4 cm2 en m2.

3 hm2 = 3 ? 10 000= 30 000,0004 m2

8 dam2 = 8 ? 100=35.800,0004 m2

4 cm2 = 4 : 10 000= 5.820,0004 m2

30 800,0004 m2

2 Expresa 23 km2 231 hm2 5 m2 62 dm2 en dam2.

23 km2 = 23 ? 10 000= 230 000 dam2

231 hm2 = 231 ? 100= 23 100 dam2

5 m2 = 5 : 100= 0,05 dam2

62 dm2 = 62 : 10 000= 0,0062 dam2

253 100,0562 dam2

5.2 Unidades agrarias

Para expresar medidas de superficie que se refieren a extensiones de fin-cas, campos, terrenos, etc., utilizamos las unidades agrarias.

Las equivalencias de las unidades agrarias con las unidades de superficie son:Unidades Símbolo Equivalencia Equivalencia en m2

Hectárea ha 1 hm2 10 000 m2

Área a 1 dam2 100 m2

Centiárea ca 1 m2

EJEMPLO

3 Expresa cada medida en la unidad indicada.

a) 0,25 ha en m2 " 0,25 ? 10 000= 2 500 m2

b) 1,23 dam2

en ca"

1,23?

100= 123 m2

= 123 cac) 24 000 ca en ha" 24 000 : 10 000= 2,4 ha


29 Expresa en m2: 2 km2 17 hm2 2 dam2

30 Reduce a dm2:

45 dam2 23 m2 945 cm2

31 Transforma en hm2: 1 km2 69 dam2

32 ¿A cuántos dam2 equivalen 6 hectáreas?

¿Cuántas hectáreas son 2 km2?

En una medidacompleja de longitud,

capacidad o masa, a cadaunidad le corresponde

una cifra. En una medidacompleja de superficie,

a cada unidadle corresponden

dos cifras.

113



Los cuerpos tienentres dimensiones: largo,

ancho y alto.

Unidadesde volumen

6.1 Volumen de un cuerpo


Cómo se miden volúmenesPara hallar el volumen de un cuerpo geométrico se elige una unidad

de medida y se cuenta el número de unidades que caben en ese cuerpo.

Unidad F

3

42

Hay 4# 2# 3= 24 cubitos.

Volumen: 24

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa.

EJEMPLO

16 Si cada cubo ocupa 1 cm3, halla el volumen

de esta figura:

La figura tiene 14 cubos de 1 cm3.

V figura = 14 cm3

6.2 Unidades de volumen


Qué es un metro cúbico1 m

1 m

1 m

Un metro cúbico es el volumen que

ocupa un cubo de lado un metro.

El metro cúbico es la unidad principal de medida de volumen.Se escribe m3.

Los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico son:

Múltiplos del metro cúbico Submúltiplos del metro cúbico

kilómetrocúbico

(km3)

1 000 000 000 m3

hectómetrocúbico

(hm3)

1 000 000 m3

decámetrocúbico

(dam3)

1 000 m3

metro

cúbico(m3)

decímetrocúbico

(dm3)

0,001 m3

centímetrocúbico

(cm3)

0,000001 m3

milímetrocúbico

(mm3)

0,000000001 m3

6


35 Si cada cubo ocupa 1 cm3,

indica el volumen

de la figura.

8 Copia y completa.

a) 4 m3 = 4 dm3 c) 8 dm3 = 4 cm3

b) 8 m3 = 4 dm3 d) 3,5 dm3 = 4 cm3

114



6.3 Transformación de unidades

En las unidades de volumen, cada unidad es 1 000 veces mayor que lainmediata inferior y 1 000 veces menor que la inmediata superior.

Para transformar una unidad de volumen en otra, se multiplica o se dividesucesivamente por 1 000.

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3

F

F

? 1 000

: 1 000

mm3

F

F

? 1 000

: 1 000

F

F

? 1 000

: 1 000

F

F

? 1 000

: 1 000

F

F

? 1 000

: 1 000

F

F

? 1 000

: 1 000

EJEMPLO

17 Expresa en decámetros cúbicos.

a) 265,83 m3 --" 265,83 : 1 000= 0,26583 dam3

b) 5,04 hm3 --" 5,04 ? 1 000= 5 040 dam3

c) 16 dm3 ---" 16 : 1 000 000= 0,000016 dam3

d) 4,567 km3

-"

4,567?

1 000 000= 4 567 000 dam3

e) 225,73 cm3 " 225,73 : 1 000 000 000= 0,00000022573 dam3


Las medidas de volumen se pueden expresar de forma compleja e incom-pleja, teniendo en cuenta que las unidades van de 1 000 en 1 000 y que acada unidad le corresponden tres cifras.

EJEMPLOS

18 Expresa en forma compleja 41 327,25 m3.

41

dam3

327

m3

250 41 dam3 327 m3 250 dm3

dm3

F

19 Expresa 3 hm3 8 dam3 4 cm3 en m3.

3 hm3 = 3 ? 1 000 000= 3 000 000,000004 m3

8 dam3 = 8 ? 1 000= 35 08 000,000004 m3

4 cm3 = 4 : 1 000 000= 35 08.200,000004 m3

3 008 000,000004 m3

Para transformarunidades de volumen,

multiplicamos o dividimospor potencias de 1 000.

LO QUE DEBES SABER RESOLVER38 Expresa en metros cúbicos estas medidas.

a) 83 dam3 c) 1 233,33 cm3 e) 0,049 km3

b) 231 hm3 d) 123,44 mm3 f) 0,034 dm3

9 Ordena de mayor a menor.

a) 5 m3 7 000 dm3 8,2 m3 8 250 m3

b) 3 500 cm3 2,9 dm3 3,01 dm3 3 499 cm3

39 El volumen de un bote es de 30 dm3 5 cm3

500 mm3. ¿Qué volumen ocupa en mm3?

40 El volumen de una lata es de 3 dm3 50 cm3 5 000 mm3.

¿Qué volumen ocupa en m3?

41 Calcula.

a) 17 hm3 + 340 dm3

b) 1 km3 + 100 hm3 - 1 m3

115




Lo esencial

Magnitud" Longitud, capacidad, masa, superficie, volumen…

Unidades de medida

Medidas expresadas en forma incompleja" 45 ml 34,6 kg 0,876 m2

Medidas expresadas en forma compleja--" 4 kg 6 dag 44 g 34 dam2 6 m2 120 m 34 dm 8 mm

2. TRANSFORMAR UNIDADES

DE MEDIDA DE SUPERFICIE

Expresa. a) 34 dam2 en m2.

b) 8,2 dm2 en dam2.

PRIMERO. Contamos los saltos que hay desde

la unidad que nos dan hasta la unidad

en la que tenemos que expresarlo.

a) 1 salto hacia la derecha.

b) 2 saltos hacia la izquierda.

SEGUNDO. Analizamos el sentido del salto.

• Si el salto es hacia la derecha,

multiplicamos la medida por la unidad

seguida del doble de ceros que de saltos.

• Si es hacia la izquierda, dividimos.

a) 34 ? 100= 3 400 m2

b) 8,2 : 10 000= 0,00082 dam2

3. TRANSFORMAR UNIDADES

DE MEDIDA DE VOLUMEN

Expresa. a) 34 dam3 en m3.

b) 8,2 dm3 en dam3.



en la que tenemos que expresarlo.





multiplicamos la medida por la unidad

seguida del triple de ceros que de saltos.


a) 34 ? 1 000= 34 000 m3

b) 8,2 : 1 000 000= 0,0000082 dam3

1. TRANSFORMAR UNIDADES DE MEDIDA DE LONGITUD, MASA Y CAPACIDAD

Expresa. a) 34 dam en m. b) 8,2 dl en dal.



en la que tenemos que expresar la medida.




• Si el saltoes hacia la derecha, multiplicamos por

la unidad seguida de tantos ceros como saltos.


a) 34 ? 10= 340 m b) 8,2 : 100= 0,082 dal


kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro

kilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kilogramo hectogramo decagramo gramo decigramo centigramo miligramo

kilómetro

cuadrado

hectómetro

cuadrado

decámetro

cuadrado

metrocuadrado

decímetro

cuadrado

centímetro

cuadrado

milímetro

cuadrado

kilómetro

cúbico

hectómetro

cúbico

decámetro

cúbico

metrocúbico

decímetro

cúbico

centímetro

cúbico

milímetro

cúbico

Longitud

Capacidad

Masa

Superficie

Volumen

116



5. PASAR MEDIDAS DE FORMA

COMPLEJA A INCOMPLEJA

Expresa:

a) 3 km2 1 dam2 5 m2 6 dm2 en dam2.

b) 3 km3 1 dam3 en dam3.

PRIMERO. Expresamos todas las cantidades de

la medida compleja en la unidad que se pide.

Para ello multiplicamos o dividimos por la

unidad seguida de tantos ceros como

corresponda.

a) Expresamos todas las cantidades en dam2.

3 km2 = 3 ? 10 000= 30 000 dam2

1 dam2

=

1 dam2

5 m2 = 5 : 100= 0,05 dam2

6 dm2 = 6 : 10 000= 0,0006 dam2

b) Expresamos todas las cantidades en dam3.

3 km3 = 3 ? 1 000 000= 3 000 000 dam3

1 dam3 = 1 dam3

SEGUNDO. Sumamos los resultados.

a) 3 km2 1 dam2 5 m2 6 dm2 =

= 30 000+ 1+ 0,05+ 0,0006=

= 30 001,0506 dam2

b) 3 km3 1 dam3 en dam3 =

=3 000 000

+1=

= 3 000 001 dam3

dm3

4. PASAR MEDIDAS DE FORMA

INCOMPLEJA A COMPLEJA

Expresa de forma compleja.

a) 301,56 dal. b) 301,56 dam2.

PRIMERO. Colocamos cada una de las cifras en

el cuadro de unidades, teniendo en cuenta que:

• Si la medida es de longitud, capacidad

o masa, en cada casilla solo va una cifra.

• Si es de superficie, van dos cifras por casilla.

• Y si es de volumen, van tres cifras por casilla.

a) kl hl dal ¬ dl

3 0 1 5 6

b) hm2 dam2 m2

3 01 56

SEGUNDO. El número anterior a la coma

representa la unidad en la que está

expresada la medida.

a) Forma

incompleja

301,56 dal

kl hl dal ¬ dl Forma

compleja

3 kl 1 dal 5 ¬ 6 dl3 0 1 5 6

b) Forma

incompleja

301,56 dam2

hm2 dam2 m2 Forma

compleja

3 hm2 1 dam2 56 m23 01 56


1. ¿Es el hectolitro una unidad de capacidad?

Transformar unidades de medida de longitud,

masa y capacidad

2. ¿Cuántos kg son 32 547,8 g?

3. ¿Cuántos dl son 3,72 hl?

Transformar unidades de medida de superficie

4. ¿Cuántos m2 son 15 ha?

5. ¿Cuántos hm2 son 0,34 dam2?

Transformar unidades de medida de volumen

6. ¿Cuántos dm3 son 1 002,5 cm3?

1. ¿Cuántos dam3 son 345,27 km3?

Pasar medidas de forma incompleja

a compleja

7. ¿Cuál es la expresión compleja de 3 056,3 cm2?

8. Expresa en forma compleja 3,241 hl.

Pasar medidas de forma compleja

a incompleja 9. ¿Cuántos metros son 4 hm 1 dam?

10. Expresa 1 hg 3 g 2 mg en g.

2. Expresa en forma incompleja.

a) 5 km 34 hm 9 m 25 dm

b) 23 dal 4 ¬ 25 cl 37 ml

3. Expresa 3 km2 2 hm2 8 dam2 en m2.

4. Expresa 3 dam3 4 m3 34 dm3 en m3.

Y AHORA… PRACTICA

117



ActividadesUNIDADES DE LONGITUD

52. ● Expresa en kilómetros.

a) 3 500 m d) 9 759 m

b) 450 m e) 755 mm

c) 12 450 m f) 200 dam

53. ● Escribe en centímetros.

a) 3 m 5 dm d) 6 m 3 dm

b) 3 m 4 dm e) 7 m 4 dm

c) 6 m 8 dm f) 7 m 2 dm

54. ● Expresa en metros.

a) 4 km 3 hm d) 3 km 6 hm

b) 5 km 2 hm e) 9 km 5 hm

c) 8 km 6 hm f) 4 km 4 dam

55. ● Transforma en decámetros.

a) 32,5 m d) 137,6 cm

b) 2 389 mm e) 0,003 km

c) 2,34 hm f) 398 dm

56. ● Expresa en decímetros.

a) 0,34 m d) 0,00003 km

b) 325 mm e) 38,2 dam

c) 2,4 cm f) 0,27 hm

57. ● Completa esta tabla de equivalencias:

km

13,5

hm

135

0,72

dam

45

m

4 130

dm

12 345

58. ● Completa las siguientes igualdades

con las unidades adecuadas.a) 425 dm= 42,5 m= 4,254

b) 72,4 m= 7244 = 0,7244

c) 512,4 dam= 5,1244 = 5 1244

d) 13,18 hm= 1 3184 = 131,84

59. ● Transforma en metros estas medidas

de longitud.

a) 3 km 5 dam 7 dm c) 14 dam 8 m 2 dm

b) 8 hm 9 m 16 cm d) 5 km 19 dam 12 m 8 mm

60. ● Transforma estas medidas en centímetros.

a) 3 m 8 dm 5 cm

b) 8 hm 16 mm

c) 24 dam 18 m 2 mm

d) 5 km 12 m

10. ● Transforma en kilómetros.

a) 3 km 54 dam 4 m

b) 32 m 431 cm 5 mm

c) 7 hm 26 m 45 dm

d) 5 km 231 m

11. ● Expresa en forma compleja.

a) 234 m

b) 435 hm

c) 3 459 mm

d) 4 703 dam


a) 245,2 dam

b) 87,002 m

c) 1 458,025 cm

d) 0,3402 km

12. ●● Calcula.a) 32,3 m+ 4,5 dm+ 321,2 cm

b) 45,3 hm+ 2 m+ 234 dm

c) 436 cm+ 5 dm+ 325 m

13. ●● Calcula.

a) 34,56 m- 2,3 dm+ 723 cm

b) 45,67 hm+ 3,42 km- 732,27 m

c) 345 dam- 23,4 m- 435 dm

62. ●● Calcula.

a) 342 dam+ 17 m

b) 76,69 m+ 23 cm

c) 92,4598 hm+ 0,025 km

d) 3 hm 4 dam 21 dm+ 34 dam 7 m 9 cm

e) 25,34 m- 146 cm

f) 8,02 km- 1 324,2 m

g) 35 dam 23 dm 9 mm- 36,75 m

h) 17 dam ? 3

i) 32,24 cm ? 12

118



UNIDADES DE CAPACIDAD Y MASA

14.●

Escribe en litros.a) 43,23 kl c) 457 mm

b) 2,345 dl d) 452 hl

63. ● Expresa en litros.

a) 25 kl 27 hl 81 dl

b) 13 dal 21 ¬ 7 dl

c) 43 hl 13 dal 15 ¬

64. ●● Completa las igualdades con las unidades

adecuadas.

a) 45,18 dal= 0,45184 = 451,84b) 542,37 hl= 54,2374 = 54 2374

c) 125,42 ¬ = 0,125424 = 125 4204

15. ● Escribe en gramos.

a) 37,4 kg c) 361 mg

b) 3,47 dg d) 352 hg

65. ● Expresa en kilogramos.

a) 18 372 g c) 32 t 15 q 17 kg

b) 17,42 t d) 82 hg 3 dag 16 g

66. ●● Completa las igualdades con las unidades

adecuadas.

a) 5 025 g= 50,254 = 5,0254

b) 18 hg= 1,84 = 1 8004

c) 542,5 kg= 5,4254 = 542 5004

d) 12,5 q= 1,254 = 12 5004 = 125 0004


a) 432,35 dal

b) 34,56 clc) 2 364 dg

d) 45,3 hg

17. ● Expresa en forma incompleja.

a) 32 hg 4 dag 34 g 4 dg

b) 3 kg 5 hg 55 g 23 cg

c) 34 dal 4 ¬ 56 dl

d) 35 hl 4 dal 45 ¬ 3 dl

67. ●● Calcula en gramos.

a) 12 kg 38 dg+ 4 dag 15 cg

b) 3 hg 17 dag- 1 hg 12 mg

c) 3 t 4 q+ 31 kg 15 dg

d) 42 t 17 q- 32 t 27 kg

e) 32 dag 8 g 25 dg- 145 dg

f) (25 hg 10 dag 16 cg) ? 20

¿CÓMO SE OPERA CON MEDIDAS COMPLEJAS?

68. Expresa en gramos.

(8 kg 15 dag 10 g) : 50

PRIMERO. Se transforman las medidas complejas

en incomplejas.

8 kg 15 dag 10 g= 8 ? 1 000+ 15 ? 10+ 10= 8 160 g

SEGUNDO. Se realiza la operación.

8 160 : 50= 163,2 g

HAZLO ASÍ

69. ●● Realiza estas operaciones.

a) 12 hl 58 ¬ + 283 dal 15 ¬

b) 20 000 dal- 1 000 ¬ 25 000 dl

c) 15 kl 28 hl 7 dal+

235 hl 17 ¬ d) (32 hl 45 dal 17 dl) ? 200

e) (4 kl 12 hl 135 dal) : 25

70. ●● Completa estas igualdades con la medida

necesaria.

a) 16 hm 8 dam 5 cm+ 4 = 3 km 9 hm 6 mm

b) 85 dal 25 cl 32 ml- 4 = 32 ¬ 4 dl

c) 4 ? 3= 12 hg 6 dag 9 g 27 cg

d) (25 km 15 m 40 cm) :4 = 5 hm 3 dm 8 mm

UNIDADES DE SUPERFICIE

71. ● Expresa en metros cuadrados.

a) 3,6 dam2 c) 9,4 km2

b) 3,63 dam2 d) 9,45 km2

72. ● Escribe en hectómetros cuadrados.

a) 5,1 km2 c) 8 976 m2

b) 35,78 km2 d) 125 763 dm2

119



73. ● Expresa en centímetros cuadrados.

a) 4,3 dm2 c) 223 mm2

b) 34,79 m2 d) 4 mm2

74. ● Transforma en metros cuadrados.

a) 18 km2 b) 5 hm2 13 dam2 15 m2

75. ● Expresa en decímetros cuadrados.

a) 18 m2

b) 45 dam2

c) 14 hm2 32 dam2 38 m2

d) 12 dam2 32 m2 19 dm2

76. ● Escribe en forma compleja.

a) 4 321,5 m2 c) 9 823,152 m2

b) 34 587,52 dam

2

d) 1 234,56 dm

2

77. ● Expresa en áreas.

a) 18 ha 15 a 19 ca c) 15 ha 18 a 52 ca

b) 3 ha 4 a 6 ca d) 12 ha 4 a 32 ca

¿CÓMO SE EXPRESA EL RESULTADO DEUNA OPERACIÓN EN UNA UNIDAD CONCRETA?

78. Expresa en m2.

48 hm2 + 2,5 dam2 + 20 000 cm2

PRIMERO. Se transforman las unidades en la unidad

que se pide.

48 hm2 = 48 ? 10 000= 480 000 m2

2,5 dam2 = 2,5 ? 100= 250 m2

20 000 cm2 = 20 000 : 10 000= 2 m2

SEGUNDO. Se opera con los resultados obtenidos.

480 000+ 250+ 2= 480 252 m2

HAZLO ASÍ

79. ●● Transforma en metros cuadrados.

6 hm2 + 12 dam2 + 55 dm2

80. ● Expresa en hm2 las siguientes sumas.

a) 0,0075 km2 + 7 000 m2

b) 0,5 km2 + 45 dam2

c) 7 879 m2 + 87 622 dm2

d) 676 dm2 + 78 m2 + 654 cm2

e) 47 km2 + 0,56 hm2 + 125 dam2

f) 1 389 456 cm2 + 123 m2

UNIDADES DE VOLUMEN

81. ● Expresa en decímetros cúbicos.

a) 0,18 hm3

b) 17 dam3 82 m3

e) 0,4 dam3

f) 5 dam3 2 dm3

g) 0,5 hm3 4 m3

h) 1 km3 0,2 dm3

c) 5 km3

d) 14 m3 8 dm3

18. ● Expresa en kilómetros cúbicos.

a) 0,425 hm3

b) 42 dam3 125 dm3

c) 12 hm3 25 dam3 45 m3

d) 32 dam3 158 m3 325 cm3

82. ● Escribe en hectómetros cúbicos.

a) 18 dam3

b) 43 215 m3

c) 25 418,75 dm3

d) 812,75 km3

e) 7,4 km3

f) 45 002,547 m3

g) 7 000 000 001 mm3

h) 0,425 dam3

19. ● Copia en tu cuaderno y completa los huecos.

km3 hm3 dam3 m3

3 425 953 864 = 4 hm3

23 250 530 640 = 4 km3

123 500 300 400 = 4m3

12 405 903 804 = 4 dam3

84. ● Completa con las unidades adecuadas.

a) 18 dam3 = 0,0184 = 18 0004

b) 0,42 hm3 = 420 0004 = 420 000 0004

c) 12,5 dm3 = 0,01254 = 12 5004

d) 427,68 m3 = 0,427684 = 427 680 0004

85. ●● Calcula las siguientes operaciones, y expresa

el resultado en metros cúbicos.

a) 1 hm3 2 dam3 3 m3 + 45 hm3 18 dam3

b) 34 256 dam3 - 8 hm3 15 dam3

c) 135 dam3 458 m3 - 75 000 m3

d) 125 m3 67 dm3 89 cm3 + 16 m3 45 dm3 9 cm3

e) (4 hm3 15 dam3 7 m3) ? 50

f) (123 hm3 456 dam3) : 100

20. ●● Calcula las siguientes operaciones.

a) 123 m3 - 0,12 dam3

b) 35 hm3 + 1,2 km3

120



PROBLEMAS CON MEDIDAS

87. ● Nos hemos sumergido a 20 pies de

profundidad. ¿Cuántos metros son?

88. ● Estamos a 300 millas marítimas de la costa.

¿Cuántos kilómetros son?

89. ●● Quiero hacer dos vestidos con un trozo de

tela que mide 8 m 14 dm 80 cm. ¿Qué cantidadde tela tengo que utilizar para cada vestido?

90. ●● Una carretera de 8 km 2 hm 20 dam 50 m

de largo tiene, en ambos lados, árboles

separados entre sí por 10 m. ¿Cuántos árboles

hay en la carretera?

91. ●● Observa el plano de este parque de

atracciones, y expresa en metros cada una

de las distancias que se indican.

6 hm 4 dam94 dam 5 m

3 hm 1 dam 5 m

42 dam 53 dm 9 hm 3 dam

a) ¿Cuántos decámetros hay desde la Noria

a la Montaña rusa?

b) ¿Cuántos kilómetros hay desde los Coches

de choque a la Montaña rusa?

c) ¿Cuántos kilómetros habrá desde la Montaña

rusa al Tiovivo, pasando por los Coches

de choque?

d) ¿Cuántos metros recorremos desde los Coches

de choque a la Noria, pasando por el Tiovivo

y la Barca?

e) Si recorremos todas las atracciones del parque,

¿cuántos decámetros andamos?

92. ●● La torre del ayuntamiento de

mi pueblo tiene una altura de 20 m

y 35 dm.

a) ¿A cuántos centímetros se

encuentra el punto más alto?

b) ¿A cuántos metros?c) ¿Y a cuántos decímetros?

94. ●● Con un rollo de plástico de 20 m de largo se

envuelven bocadillos, cada uno de los cuales

necesita 20 cm de plástico. ¿Cuántos bocadillos

podemos envolver con los metros que tenemos?

96. ●● Un camión contiene una carga de

4 toneladas y 3 quintales. Expresa dicha carga

en kilogramos.

97. ●● Un tren lleva un vagón con 18 toneladas y

15 quintales de carga. Exprésalo en kilogramos.

98. ●● ¿Cuántas botellas de vino de un litro de

capacidad se pueden llenar con un tonel

de un hectolitro?

99. ●● ¿Cuántas botellas de litro y medio

se precisan para vaciar un depósito

de 2,6 kl 8,9 hl 56 dal?

100. ●● El precio de un frasco de colonia de 100 ml

es de 18,60 €. ¿Cuánto cuesta un litro y medio?

102. ●● Una caja de cerillas tiene un volumen

de 40 cm3. ¿Cuántas cajas se podrían colocar

en otra caja cuyo volumen es 1,8 dm3 ?

103. ●● Se han fabricado 25 628 piezas de jabón.

Cada pieza tiene 750 cm3 de volumen.

¿Cuántos m3 de jabón se han fabricado?

104. ●● Si 1 dm3 de mercurio pesa 13,6 kilos,

¿cuánto pesarán 375 cm3 de mercurio?

121



8 Proporcionalidadnumérica

1. Cristóbal Colón

fue un navegante

que vivió entre

los siglos xv y xvi.

Investiga sobre los

avances de la ciencia

durante estos siglos.

2. ¿Qué fueron las

capitulaciones de

Santa Fe? ¿Cuáles son

los acuerdos

más importantes

a los que se llegó?

3. Investiga sobre los

avances matemáticos

de la época que

hicieron posible

el viaje de Colón hasta

América.


La parte del almirante

El 17 de abril de 1492, en Santa Fe (Granada)comenzaba una de las gestas más importantesde la historia.

Isabel de Castilla y Fernando de Aragón,los Reyes Católicos, y un desconocido marinollamado Cristóbal Colón habían llegadoa un acuerdo. Juan de Coloma leía los términosdel mismo:

–Y de lo que quedare limpio tome la décimaparte para sí, quedando el resto para Vuestras

Altezas…En ese punto la imaginación de Colónse disparó, alzó los ojos y dijo para sí:

–El primer paso está dado y si el destinonos acompaña seré Grande de España.

Así nació el descubrimientode América. Cuando Colónregresó, los reyes loesperaban en Barcelona,donde se presentó llevando,entre otras mercaderías,papagayos de vivoscolores y las primerasmuestras de oro americano.La parte del oro que lecorrespondió a él,aproximadamente400 gramos, la donóa la catedral deBarcelona.





• Averiguar si dos

razones forman

una proporción.

• Reconocer

magnitudes directae inversamente

proporcionales.

• Calcular valores

de magnitudes directa

e inversamente

proporcionales.

• Calcular porcentajes.

PLAN DE TRABAJO

FRACCIONES

Una fracción es una expresión del tipob

a, donde a y b son números naturales y b es distinto de 0.

El número a se llama numerador y b es el denominador.

Las fracciones se utilizan para expresar cantidades incompletas o partes de una unidad.

F

F

F

Partes que setoman de la unidad

Partes iguales en quese divide la unidad

6

Fracciones equivalentes

Dos fraccionesb

ay

d

cson equivalentes, y se escribe

b

a

d

c= ,

si a ? d = b ? c.

3

2

6

4= , ya que: 2 ? 6= 3 ? 4= 12

Amplificación y simplificación de fracciones

• Amplificación: multiplicamos el numerador y el denominadorpor un mismo número distinto de cero.

?

?

3 3 5 15= =

7 ?

?

7 12 84= =

• Simplificación: dividimos el numerador y el denominador entreun mismo número distinto de cero.

:

:

12 12 4 3= =

:

:

39 39 3 13= =

La amplificación y la simplificación se utilizan

para calcular fracciones

equivalentes a una fracción.

EVALUACIÓN INICIAL

1 Escribe la fracción que representa la parte coloreada de cada figura,e indica su numerador y su denominador.

a) b)

1. Indica si estas parejas de fracciones son equivalentes o no.

a)2

1y

4

5b)

16

12y

7

6c)

3

4y

60

80

2. Calcula una fracción equivalente a6

50que cumpla:

a) Tiene como denominador un número mayor que 50.

b) Tiene como numerador un número menor que 30.

c) Tiene como denominador 36.

123



Razóny proporción

1.1 Razón

Una razón entre dos números, a y b, es el cociente indicadob

a.

EJEMPLO

1 En un centro escolar hay 9 profesoras y 12 profesores. ¿Qué relaciónnumérica existe entre el número de profesoras y profesores?

La relación entre las profesoras y los profesores es de 9 a 12.

Esta relación la podemos expresar mediante la razón12

9

.

1.2 Proporción

Una proporción es la igualdad entre dos razones.

Si la razón entre a y b esb

ay entre c y d es

d

c , y se cumple que

b

a

d

c= ,

decimos que a, b, c y d forman una proporción.

EJEMPLOS

2 Para hacer una tarta de 6 raciones se necesitan 3 huevos,y para 8 raciones, 4 huevos. ¿Forman una proporción en esta recetalos huevos y las raciones?

Las razones entre el número de huevos y el de raciones son iguales.

6

3

8

4

6 raciones

3 huevos

8 raciones

4 huevos= =" porque 3 ? 8= 6 ? 4

El número de huevos y el número de raciones forman una proporción.

1 En 2 primeros minutos han pasado 15 coches por la calle, y cuandohabían pasado 5 minutos llevaba contados 20 coches. ¿Guardanproporción el número de coches y el tiempo transcurrido?

Las razones entre el número de coches y el tiempo no son iguales.

15

2 5

20 15

2

20

5

coches

minutos minutos

coches! !" porque 2 ? 20 ! 5 ? 15

El tiempo transcurrido y el número de coches que pasan no forman

proporción.

1

En una fraccióna

b ,

los números a y b son enteros.En una razón no es necesario.

132

" Es una razón y una

fracción.3,52

"Es una razón, perono es una fracción.

2 En el comedor del colegio ponen 3 barrasde pan por cada 8 alumnos. Si hoy hemoscomido 124 alumnos y han puesto 50 barras,¿se ha mantenido la proporción?


1 Expresa mediante una razón.

a) De las 55 preguntas del test he acertado 36.

b) Teníamos 68 huevos y se han roto 12.

c) En un frutero hay 7 tomates y 3 fresas.

124



Relación de proporcionalidadentre dos magnitudes

2.1 Magnitudes directamente proporcionales


Cómo se dividen dos números decimales

Si el divisor es un número decimal, se multiplican dividendo y divisor porla unidad seguida de tantos ceros como decimales tiene el divisor.

3,5 21 5 1,75

100

32 : 2,5 ? 10$ 320 25

070 12,2050

00

18,24 : 5,7 ? 10$ 182,4 57

114 3,200

Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multipli-car (o dividir) una de ellas por un número, la otra queda multiplicada(o dividida) por el mismo número.

Consideramos dos magnitudes, A y B, con los valores:

Magnitud A a1 a2 a3 … m

Magnitud B b1 b2 b3 … n

Si al formar razones con los valores correspondientes de ambas magnitu-des, la constante de proporcionalidad es la misma:

…b

a

b

a

b

a

n

mk

1

1

2

2

3

3

= = = = =

diremos que las magnitudes A y B son directamente proporcionales.

EJEMPLO

6 Un coche gasta de media 10 litros de gasolina por cada 125 km.La siguiente tabla muestra el consumo de gasolina relacionadocon la distancia recorrida. ¿Son directamente proporcionales?

Distancia (kilómetros) 125 250 500 1 000

Consumo (litros) 10 20 40 80

? 2

? 2

? 2

? 2

? 2

? 2

F

F

F

F

F

F

Magnitudes: distancia y consumo de gasolina. Al doble de distancia,

doble de consumo. Al cuádruple de distancia, cuádruple de consumo...

Además: ,10

125

20

250

40

500

80

1000

12 5= = = =

El resultado es el mismo, por tanto, son directamente proporcionales.

2

Hay magnitudesque están relacionadas,

pero no son directamenteproporcionales.

Peso (kg) 4,5 5 6

Meses 1 2 3

Al aumentar el tiempo

aumenta el peso, perono proporcionalmente.

4,51

=

52

1 Un libro de 200 páginas cuesta 16,50€, y otrode 35 páginas cuesta 32 €. Indica silas magnitudes número de páginas y precio sondirectamente proporcionales.


9 Comprueba si lasmagnitudes A y B

son directamenteproporcionales.

Magnitud A 2 6 8 10

Magnitud B 8 24 32 40

125




Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de fracciones

• Si la incógnita está en el numerador.

Se multiplica por el denominador de la otra f racción.

Fx

18 3

2=

"

x ?

3=

18?

2"

18 2?

x 312= =

FPasa dividiendo

• Si la incógnita est á en el denominador.

Se multiplica por el numerador de la otra fracción.

F

x24

18 45= "18 ? x = 24 ? 45 "

24 45?

x18

60= =

FPasa dividiendo

EJEMPLOS

2 Los datos de la tabla corresponden a diferentes pesos de pintura

y su precio. Determina los valores que faltan.Pintura (kg) 1 2 3 b

Precio (€) 8 16 a 48

Las magnitudes cantidad de pintura y precio son directamente

proporcionales porque:

,8

1

16

20 125= =

Para calcular los valores desconocidos establecemos las proporciones.

a8

1 3= "1 ? a = 8 ? 3" a = 24

b

8

1

48

= " 1 ? 48= 8 ? b " b = 8

48 = 6

3 Si un coche tiene un consumo de 6,2 ¬ de gasolina por cada 100 km,¿cuántos litros de gasolina gastará en un viaje de 350 kilómetros?

Las magnitudes kilómetros recorridos y litros consumidos son

directamente proporcionales ya que:

• Si la distancia recorrida fuese el doble, el consumo de gasolina

se multiplicaría por 2.

• Si el trayecto fuese la mitad, el consumo se reduciría a la mitad.

Si llamamos x a la cantidad de gasolina que se gastará en un viaje

de 350 km y establecemos las proporciones:

, x

100

6 2

350

= " 6,2 ? 350= 100 ? x " x= 6,2 350

,?

100

21 7= ¬

2 Ayer en la frutería me cobraron 4 eurospor 5 kilos de patatas. Si hoy no ha cambiadoel precio, cuánto me cobrarán por 7 kilosde patatas.


10 Completa la tabla sabiendo que A y B

son directamente proporcionales.

Magnitud A 2 4 80

Magnitud B 10 20 50 60

126



2.2 Magnitudes inversamente proporcionales

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si, al multiplicar(o dividir) una de ellas por un número, la otra queda dividida (o multi-plicada) por el mismo número.

EJEMPLO

7 Un tren, a una velocidad de 30 km/h, tarda 42 minutos en recorrerun trayecto. Si fuera a 60 km/h tardaría 21 minutos, y si fuera a 90 km/htardaría 14 minutos. La velocidad y el tiempo, ¿son inversamenteproporcionales?

Las magnitudes son velocidad y tiempo. Su tabla de valores será:

F

F

F

F

? 3

: 3

? 2

: 2

Velocidad (km/h) 30 60 90

Tiempo (minutos) 42 21 14

Al doble de velocidad, mitad de tiempo. Al triple de velocidad, la tercera

parte del t iempo… Son inversamente proporcionales.

Consideramos dos magnitudes, A y B, con los valores:

Magnitud A a1 a2 a3 … m

Magnitud B b1 b2 b3 … n

Si al formar productos con los valores de ambas magnitudes, la constantede proporcionalidad es la misma:

a1 ?

b1 = a2 ?

b2 = a3 ?

b3 =… = m ?

n= kdiremos que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales.

EJEMPLO

4 Comprueba que estas magnitudes son inversamente proporcionales.

Magnitud A 6 9 12 2

Magnitud B 6 4 3 18

Al formar los productos con los valores correspondientes:

6 ? 6= 9 ? 4= 12 ? 3= 2 ? 18= 36

Las magnitudes son inversamente proporcionales y la constante

de proporcionalidad es 36.

42 min

30 km/h

3 Con un solo grifo tardo 6 minutos en llenaruna garrafa. Si util izo dos grifos tardaría3 minutos. ¿Son el número de grifos y el tiempoinversamente proporcionales?


13 Comprueba que A y B son inversamenteproporcionales.

Magnitud A 12 24 6

Magnitud B 4 2 8

127




Cómo se despeja una incógnita en una igualdad de productos

Si un término está multiplicando en un miembro, pasa dividiendo al otro.

3 ? 4 = 6 ? x " x = 3 ?

6

4

6

12= = 2

F

Pasa dividiendo

EJEMPLOS

5 La tabla muestra el tiempo empleado en recorrer una distanciaen relación con la velocidad. Determina los valores que faltan.

Velocidad (km/h) 1 2 4 b

Tiempo (min) 24 12 a 8

Las magnitudes velocidad y tiempo son inversamente proporcionales

ya que:

1 ? 24= 2 ? 12= 24

Para calcular los valores desconocidos aplicamos la relación

de proporcionalidad inversa.

1 ? 24= 4 ? a " 24= 4a " a = 4

24 = 6

1 ? 24= b ? 8 " 24= 8b " b = 24

8 = 3

6 Los alumnos de 1.º de ESO quieren hacer un viaje de fin de curso.Necesitan alquilar un autobús y el precio depende del númerode alumnos que realicen el viaje. La empresa les entrega la siguientetabla con el precio que tiene que pagar cada alumno.

N.º de alumnos 10 20 30 40 50

Precio por alumno (€) 96 48 32 24 19,20

Si el viaje lo realizan 32 alumnos, ¿cuánto tiene que pagar cada uno?

Comprobamos si las magnitudes son inversamente proporcionales.

10 ? 96= 20 ? 48= 30 ? 32= 40 ? 24= 50 ? 19,20= 960

El número de alumnos y el precio que tiene que pagar cada alumno son

magnitudes inversamente proporcionales.

El valor que desconocemos es el precio por alumno si realizan el viaje

32 alumnos. Aplicamos la relación de proporcionalidad inversa:

10 ? 96= 32 ? x " x = 10 ?

32

96 = 30 €

16 Con un consumo de 4 horas diarias,un depósito de gas dura 24 días.¿Son magnitudes inversamente proporcionales?¿Cuánto duraría el depósito con un consumode 6 horas al día?


14 Completa la tabla para que sean magnitudesinversamente proporcionales.

1

72

3

24

6

12

9 12

4

Magnitud A

Magnitud B

128



CALCULADORA

Para hallar un tanto por

ciento en la calculadora:

45% de 860

8 6 0 #

4 5 % 387

4 Expresa las siguientes cantidades en formade fracción y número decimal.

a) 17% c) 31%

b) 92% d) 43%


17 Escribe en forma de porcentaje y de fracción.

a) Tres por ciento.

b) Quince por ciento.

c) Setenta por ciento.

Porcentajes


Cómo se expresan algunos números decimales como fracción

Para escribir como fracción un número decimal con un número limitado

de cifras decimales, escribimos como numerador de la fracción el númerodecimal sin coma, y como denominador la unidad seguida de tantos ceroscomo cifras decimales t iene el número.

,3 210

32= ,12 27

100

1227= ,0 307

1000

307=

Un tanto por ciento o porcentaje, cuyo símbolo es %, es una razóncuyo consecuente es 100.

%aa

100=

Un porcentaje también se puede expresar mediante una fracción o un nú-mero decimal.

, %4

30 75

100

7575= = "

EJEMPLO

8 Completa la tabla.

ExpresiónTanto por

cientoSe lee Significa Fracción

Númerodecimal

El 55% dela población

son mujeres

55 %

Cincuenta

y cinco

por ciento

De cada

100 habitantes,

55 son mujeres100

550,55

El 30% delos alumnosson rubios

30 %Treinta

por ciento

De cada

100 alumnos,

30 son rubios100

300,3

Rebajas del 40% 40 %Cuarenta

por ciento

De cada 100€

de compra se

descuentan 40€100

400,4

Efectividaddel 9% en tirosde tres puntos

9 %Nueve

por ciento

De cada

100 tiros

lanzados se

encestan 9

100

90,09

El 16% de IVA 16 %

Dieciséis

por ciento

De cada 100 €

se pagan 16 € de IVA

100

16

0,16

3

129



Cálculo de porcentajes


Cómo se divide por la unidad seguida de ceros

Para dividir un número entre la unidad seguida de ceros, desplazamosla coma tantos lugares hacia la izquierda como ceros tenga la unidad.

435 : 10 = 43,5 23,04 : 100 = 0,2304

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, multiplicamos esacantidad por el tanto por ciento y lo dividimos entre 100.

%?

t C t C

100de =

EJEMPLOS

7 Calcula los siguientes porcentajes.

a) El 20 % de 300.

% ?

?

20100

20

100

20300

100

20 30060de 300 de 300= = = =

b) El 2 % de 300.

2 % de 300= 100

2de 300=

100

2 ? 300=

2 ?

100

300 = 6

c) El 120 % de 300.

120 % de 300= 100

120de 300=

100

120 ? 300=

120 ?

100

300 = 360

8 Calcula: 3,2 % de 80

3,2 % de 80=

3,2 ?

100

80

=

2,56

10 Calcula estos porcentajes expresándolos primero en forma de fracción.

Porcentaje Fracción Equivalencia Resultado

50% de 650 %50100

50

2

1= =

Es lo mismo que

dividir entre 2650 : 2= 325

25% de 600 %25100

25

4

1= =

Es lo mismo que

dividir entre 4600 : 4= 150

20% de 300 %20100

20

5

1= =

Es lo mismo que

dividir entre 5 300 : 5=

60

5 Calcula mentalmente y di cómo lo haces.

a) El 50 % de 100. c) El 25 % de 1 000.

b) El 20 % de 500. d) El 10 % de 800.


21 Calcula.

a) El 65 % de 3 200. c) El 75 % de 1 000.

b) El 60 % de 60. d) El 5,5% de 200.

Podemoscalcular mentalmentealgunos porcentajes.

10 % = 10

100 =

110

Es lo mismo quedividir entre 10.

130



t % de C = t ? C 100

= A

Los porcentajes se utilizan para resolver numerosos problemas de lavida cotidiana.

EJEMPLOS

11 ¿Cuánto habrá que pagar por un coche, cuyo precio de fábrica

es de 15 000€, si hay que sumarle el 16% de IVA?

Calculamos el aumento del precio de fábrica:

�%?

16100

16 15 0 002 400de 15 000 = =

Luego el precio final del coche será:

15 000+ 2 400= 17 400 €

9 En una tienda de muebles han rebajado un 12 % los precios. ¿Cuántotendré que pagar por una mesa cuyo precio sin descuento es de 450 €?

Calculamos el descuento que nos hacen:

12 % de 450=

12 ?

100

450

= 54 €

Luego el precio final de la mesa será:

450- 54= 396€

12 El 85 % de las camas de un hospital están ocupadas. Si hay 300 camasen total, ¿cuántas camas suponen ese porcentaje?

Calculamos el 85 % de las 300 camas.

85 % de 300= 300 085

25530?

?

100

85

100

85

100

300de = = =

Hay 255 camas ocupadas.

13 El 60 % de los alumnos de mi clase son chicas. Si somos 30 alumnosen total, ¿cuántas chicas habrá? ¿Y chicos?

Calculamos el 60 % de los 30 alumnos de la clase.

60 % de 30= ?

?

10030

10030

100

3018

60 60 60de = = =

En la clase hay 18 chicas.

Como hay 18 chicas, el número de chicos es: 30 - 18= 12

En la clase hay 18 chicas y 12 chicos.

26 El prensado de 1 500 kg de aceitunaprodujo el 36 % de su peso en aceite.Calcula la cantidad de aceite obtenida.

27 Si hoy han faltado a clase por enfermedadel 20 % de los 30 alumnos, ¿cuántos alumnoshemos asistido? ¿Cuántos han faltado?


22 El precio de una reparación es 600 € sin IVA. ¿Cuánto costará conel 16 % de IVA?

23 Unos pantalones vaqueros costaban 50 €,pero me hacen una rebaja del 12 %.¿Cuánto tengo que pagar?

131




Lo esencial

Razón

b

a

6

1

12

2

24

4

36

6= = =

1 ? 24= 2 ? 12= 4 ? 6= 6 ? 4

Proporción

b

a

d

c=

a es a b como c es a d .

Porcentajes

%

?

t C

t C

100de=

1. AVERIGUAR SI DOS RAZONES FORMAN UNA PROPORCIÓN

2. AVERIGUAR SI DOS MAGNITUDES SONDIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Averigua si5

3y15

9forman una proporción.

PRIMERO. Realizamos los productos cruzados.

5

3

15

9= "

?

?

3 15 45

5 9 45

=

=

(SEGUNDO. Comparamos los resultados.

Si son iguales, forman una proporción.

En este caso decimos que3

5y15

9forman

una proporción.

En un supermercado, cada bolsa de naranjascuesta 2,50 €. ¿Existe relación deproporcionalidad directa entre el número debolsas compradas y el precio total?

PRIMERO. Construimos una tabla donde

relacionamos los valores de las magnitudes.

N.º de bolsas 1 2 3 4 ...

Precio (€) 2,50 5 7,50 10 ...

SEGUNDO. Calculamos el cociente de los datos

correspondientes. Si el cociente es constante,

las magnitudes son directamente

proporcionales.

, ,0,4

2 50

1

5

2

7 50

3

10

4…= = = = =

3. AVERIGUAR SI DOS MAGNITUDES SONINVERSAMENTE PROPORCIONALES

Una fotocopiadora tarda 12 minutosen realizar un trabajo. Si tuviéramos2 fotocopiadoras, tardaríamos 6 minutos...¿Existe relación de proporcionalidad inversa?

PRIMERO. Construimos una tabla donde

relacionamos los valores de las magnitudes.

Fotocopiadoras 1 2 4 ...

Tiempo (min) 12 6 3 ...

SEGUNDO. Calculamos el producto de los datos

correspondientes. Si el producto es constante,

las magnitudes son inversamente

proporcionales.

1 ? 12= 2 ? 6= 4 ? 3=…= 12


G FG

F

Magnitudes directamenteproporcionales

1

6

2

12

4

24

6

36

Magnitud A

Magnitud B

? 3

? 3

: 2

: 2

F F

F F

Magnitudes inversamenteproporcionales

1

24

2

12

4

6

6

4

Magnitud A

Magnitud B

? 3

: 3

: 2

? 2

F F

F F

132



5. CALCULAR EL TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD

1. AVERIGUAR CANTIDADES DEMAGNITUDES DIRECTAMENTE

PROPORCIONALES

Calcula el 18 % de 550.

PRIMERO. Expresamos el tanto por ciento

como una razón.

18 %= 100

18

SEGUNDO. Multiplicamos la cantidad

por esa razón.

18 % de 550= 18

?

?

100

18 550550

100= = 99

Los datos de la tabla correspondena diferentes cantidades de aceite y su precio.

N.º de litros 1 2 7

Precio (€) 2,50 5 a

Completa los valores que faltan.

PRIMERO. Comprobamos que las magnitudes

son directamente proporcionales.

,2 50

1

5

2= = 0,4

SEGUNDO. Establecemos proporciones

en las que solo hay un dato desconocido.

, a2 50

1 7= " 1 ? a = 7 ? 2,50" a = 17,50

2. AVERIGUAR CANTIDADESDE MAGNITUDES INVERSAMENTE

PROPORCIONALES

Los datos de la tabla corresponden a diferentestiempos empleados en llenar una piscina enrelación con el número de grifos utilizados.

Número de grifos 2 4 a

Tiempo (horas) 18 9 2

Completa los valores que faltan.

PRIMERO. Comprobamos que las magnitudes

son inversamente proporcionales.

2 ? 18= 4 ? 9= 36

SEGUNDO. Establecemos la relación de

la proporcionalidad inversa con los valores

desconocidos.

2 ? 18= a ? 2" 36= 2a " a = 2

36 = 18


1. ¿Cuántas razones se necesitan para formar

una proporción?

Averiguar si dos razones formanuna proporción

3. ¿Forman una proporción4

7y

,

2

3 2?

Averiguar si dos magnitudes son directao inversamente proporcionales

5. Un pastelero tarda 2 horas en hacer una tarta,

y 3 horas y media en hacer dos tartas.

¿Es directamente proporcional el número de

tartas que realiza con el t iempo que tarda?

6. En un establo de 15 vacas hay comida para

9 días. Si tuviéramos 20 vacas, habría para

6 días. ¿Es inversamente proporcional el

número de vacas y la duración de la comida?

Averiguar cantidades de magnitudesdirectamente o inversamente proporcionales

1. Si A y B son directamente proporcionales,

y C y D inversamente proporcionales, calcula

x e y.

a) A 2,1 x 3,6

B 7 15 y

b) C 8 x 10

D 5 20 y

Calcular el tanto por ciento de una cantidad

7. Calcula el 25% de 24.

Y AHORA… PRACTICA

133



ActividadesRAZÓN Y PROPORCIÓN

6.●

Expresa mediante una razón.a) De las 55 preguntas del test he acertado 36.

b) Teníamos 68 huevos y se nos han roto 12.

c) En el primer turno de comida comen

94 alumnos; en el segundo, 65.

d) Un frutero tiene 7 cajas de tomates

y 3 de pimientos.

34. ●● Si mi habitación tiene las siguientes medidas:6 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de altura, halla:

a) La razón entre el largo y el ancho.

b) La razón entre el largo y la altura.

35. ●● Marta encesta 6 de cada 10 tiros libres.Encuentra la razón entre el número de tirosy el de aciertos. ¿Es la misma que entreel número de aciertos y el de tiros? Averiguaqué relación hay entre ambas razones.

36. ●● Escribe dos números cuya razón sea 3.

37. ● De los siguientes pares de razones, indicacuáles forman proporción.

a)4

16y

5

20c)

30

1y

21

7

b)5

4y

100

80d)

17

3y

34

6

7. ● Identifica las razones que formanuna proporción.

a) ; ;;1

2

2

8

3

6

5

9c) ; ; ;

,

3 4

7 5

6

4

2

3 10

b) ; ; ;8

30

52

10

10

50 20d) ; ; ;

7

5

2 4

8

9

7 14

44. ● Forma diferentes proporciones

con los números 3, 4, 9 y 12.

46. ●● Averigua si los números 2 y 3 mantienenproporción con 8 y 12, respectivamente.

48. ●● Forma una razón con estos datos: «5 litros deaceite valen 15,25 €». Establece proporcionesde esta razón con los siguientes datos, y calculasu constante de proporcionalidad.

a) 20 litros c) 76,25€

b) 25 litros d) 61€

MAGNITUDES PROPORCIONALES

49. ● En dos puestos, A y B, se venden manzanas,

con los siguientes precios:

Puesto A

1 kg

0,53€

2 kg

1,06 €

3 kg

1,59 €

Puesto B

1 kg

0,60€

2 kg

1 €

3 kg

1,50 €

¿En cuál de estos puestos son directamenteproporcionales las magnitudes peso y precio?

50. ●● De los siguientes pares de magnitudes,indica cuáles son directamente proporcionales.

a) Longitud del lado de un cuadrado

y su perímetro.

b) Número de grifos y tiempo de llenado

de un depósito.

c) Número de ovejas y pienso que comen.

d) Velocidad de una motocicleta y tiempo

empleado en recorrer una distancia.

52. ● Completa las tablas, sabiendo que ambasmagnitudes son directamente proporcionales.

26

15

6

12

2

4

12 14Magnitud A

Magnitud B

105

20

7

14

21 8

16

42Magnitud A

Magnitud B

15 0,15

0,2

0,3

0,5 1,4 1

1,5

Magnitud A

Magnitud B

54. ● Completa estas tablas comprobandoque ambas magnitudes son inversamente

proporcionales.

6

90

2

270

5 30

54

A

B

9 45

10

10 15

30

25 A

B

2 10

30

6 15 4

75

A

B

134



PROBLEMAS DEPROPORCIONALIDAD

55. ●● En un puesto aparecen estas tablasde precios para dos tipos de melocotones.

kg 1 2 5

€ 0,90 1,80 4,50

TIPO A TIPO B

kg 1 2 5

€ 0,95 1,85 4,25

a) ¿En cuál de las tablas son directamenteproporcionales las magnitudes peso y precio?

b) En este puesto, ¿cuánto costarán 12 kg

de melocotones del tipo A?

56. ●● Los siguientes datos de la tabla son medidasde espacios y del tiempo que se tarda enrecorrerlos.

120

9

30

2,25

60

a

b

6

Espacio (m)

Tiempo (s)

a) ¿Son magnitudes directamente proporcionales?

b) Encuentra la constante de proporcionalidad

entre el espacio y el tiempo.

c) Averigua los valores que faltan.

57. ●● El agua de un pozo se saca en 210 vecesutilizando un cubo de 15 ¬ de capacidad.Si empleamos un cubo de 25 ¬ , ¿cuántas vecesnecesitaremos introducir el cubo en el pozopara sacar la misma cantidad de agua?

58. ●● Un coche tarda 6 horas en recorrerun trayecto a una velocidad de 90 km/h.¿Cuánto tardaría en recorrer ese mismo trayectosi circula a una velocidad de 60 km/h?

59. ●● Enrique ayuda a unos familiares en su tiendaen Navidad. Por cada cinco días de trabajo le dan160 �. ¿Cuánto le darán por diecisiete días?

60. ●● En un frasco de legumbres de 500 g hay2,5 g de grasa, y en otro frasco de 400 gde legumbres hay 2,1 g.

a) ¿Están en proporción estos datos?

b) Si no están en proporción, ¿en cuál de

los dos hay más grasa proporcionalmente?

61. ●● En la carnicería, las salchichas cuestan5,25€/kg. También tienen paquetes de salchichasde 0,5 kg que cuestan 2,10 €.¿Qué salchichas son más baratas?

62.●●

Con un consumo de 3 horas diarias, undepósito de gas dura 20 días. ¿Cuánto duraríacon un consumo de 6 horas diarias?

63. ●● Un ganadero tiene pacas de paja paraalimentar a 20 vacas durante 60 días. Si compra10 vacas más, ¿para cuántos días tiene alimento?

64. ●● En una botella de zumo aparece esta tabla.

Valores medios 100 ml

Carbohidratos (g) 10,6

Kilocalorías 43

Proteínas (g) 0,2

a) ¿Cuántas kilocalorías aportará una botella

de zumo de un litro? ¿Y proteínas?

65. ●● Los ingredientes necesarios para realizarun bizcocho son directamente proporcionalesal tamaño del bizcocho. Para hacer un bizcochopara 4 personas, se precisan 2 huevos,6 cucharadas de azúcar y un cuarto de litrode leche, entre otros ingredientes.

Calcula la cantidad necesaria de estosingredientes para hacer un bizcochopara 2, 6 y 8 personas.

135



PORCENTAJES

66. ● Expresa estos porcentajes como fraccióny como número decimal.

a) 25% c) 37%

b) 110% d) 16%

67. ● Escribe los números decimales en formade porcentaje.

a) 0,34 c) 0,723

b) 0,45 d) 1,23

68. ● Expresa en porcentaje las siguientes fracciones.

a)8

3c)

5

11

b)2

5d)

4

7

69. ● Halla el 22 % de:

a) 144 b) 236 c) 1 256 d) 5 006

70. ● Calcula mentalmente.

a) El 10 % de 40. c) El 50 % de 2 000.

b) El 20 % de 500. d) El 30 % de 40.

71. ● Calcula mentalmente.

a) El 15 % de 30. c) El 60 % de 200.

b) El 40 % de 60. d) El 25 % de 8 000.

73. ● Halla estos porcentajes utilizandola calculadora.

a) El 51 % de 30. c) El 21 % de 60.

b) El 76 % de 100. d) El 8 % de 951.

PROBLEMAS CON PORCENTAJES

76. ● Por ingresar un cheque de 644 € me han cobrado un 2% de comisión.¿Qué cantidad he tenido que pagar al banco?

77. ● El 60 % del cuerpo humano es agua.¿Qué cantidad de agua hay en una personade 75 kg?

78. ● Una viga de hierro de 25 metros de longitud,debido al calor, se dilata un 1,5%. ¿Cuál serásu medida después de calentarla?

79. ●● ¿Cuánto tendrá quepagar el dueño de unrestaurante por lacompra de 492 vasosa 3,25 € la docena,si pagando alcontado le hacenun 8% dedescuento?

80. ● Al tirar un dado trucado 30 veces, ha salido12 veces el número 5. Si decido apostaral número 5, ¿qué porcentaje de aciertos tendré?

81. ●● Un agente inmobiliario cobra un porcentaje

de un 2 % del valor de la finca vendida:una tercera parte del comprador, y el resto,del vendedor. Si acaba de vender un pisopor 150 000 €:

a) ¿Cuál será su comisión?

b) ¿Cuánto le pagará el vendedor del piso?

c) ¿Y el comprador?

8. ● «LA POBLACIÓN DE ORIGEN POLACOEN ESPAÑA HA DESCENDIDO UN 8 % ENEL ÚLTIMO AÑO.»

Si el año pasado había 270 000 polacosresidiendo en España, ¿cuántos ciudadanospolacos viven en España en la actualidad?

¿CÓMO SE RESUELVE UN PORCENTAJECON LA CALCULADORA?

72. Halla con la calculadora el 12 % de 310.

PRIMERO. Se teclea el porcentaje y se divide entre 100.

12 ' 100 = 0.12

SEGUNDO. Se multiplica el resultado por la cantidad

de la que se quiere hallar el porcentaje.

0,12 # 310 = 37,2

También se puede calcular este porcentaje

utilizando las teclas específicas de la calculadora.

12 % 310 = 37,2

HAZLO ASÍ

136



82. ●● Para calcular la cantidad de carne que tieneun cerdo, a su peso hay que quitarle un 40%de vísceras y huesos, y un 15% de grasa.Si un cerdo pesa 184 kg, ¿qué cantidad de carnetiene?

83. ●● Un CD de música cuesta 16 €, peroal comprar tres hacen un 10 % de descuento.¿Cuánto costarán 6 CD de música teniendoen cuenta el descuento?

HAZLO ASÍ¿CÓMO SE CALCULA EL PORCENTAJE CONOCIDOSEL TOTAL Y LA PARTE?

9. De 120 entrevistas realizadas a los alumnosde un instituto, 876 contestan que se cepillanlos dientes a diario. ¿Qué porcentajede alumnos se cepillan los dientes cada día?

PRIMERO. Se establece la proporción.

Si de 1 200 alumnos " 876 se cepillan 3de 100 alumnos " x se cepillan

" x100

1200 876

=

SEGUNDO. Despejamos el valor de x.

x100

1200 876= " 1 200 ? x = 100 ? 876

" x= 100 ?

1200

876 = 73

El 73 % de los alumnos se cepillan los dientes cada día.

74. ● ¿Qué tanto por ciento de pérdida representala venta de un objeto que ha costado 450 € por 423 €?

10. ● Se ha hecho una encuesta en la que seha entrevistado a 250 personas. De las personasencuestadas, 137 eran mujeres. Calculael porcentaje de hombres a los quese ha entrevistado.

11. ● Cada comprimido de 650 mg de un determinadoantibiótico contiene 500 mg de amoxicilina.¿Cuál es el porcentaje de amoxicilina contenidoen una cápsula de este antibiótico?

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL TOTAL CONOCIDOSEL PORCENTAJE Y LA PARTE?

12. En una empresa 540 empleados donan sangre.

Si estos suponen el 20 % del total de la plantilla,¿cuántas personas trabajan en la empresa?

PRIMERO. Se establece la proporción.

Si de 100 trabajadores " 20 donan sangre 3de x trabajadores " 540 donan sangre

" x

100

540

20=

SEGUNDO. Despejamos el valor de x.

x

100

540

20= " 100 ? 540= x ? 20

" x= ?

20

100 540 = 2 700

Trabajan 2 700 personas en la empresa.

75. ● Si 324 casas, que representan el 25% de todaslas viviendas de un pueblo, tienen dosdormitorios, ¿cuántas casas hay en el pueblo?

88. ●● En un instituto de 1 100 alumnos,se comprobó que 350 son rubios, 200 tienenlos ojos azules y a 750 les gusta el fútbol.Expresa estas cantidades en porcentajes.

89. ● El 24 % de los alumnos de una clase

de Matemáticas aprueban con notableo sobresaliente. Si en la clase hay 25 alumnos,averigua cuántos obtienen una calificaciónmenor que notable.

90. ● En mi buzón de correos había cartas de amigosy cartas del banco. Si había en total 40 cartas y el25 % es de cartas del banco, averigua el númerode cartas de amigos.

92. ●● Decidimos hacer una excursión escolar.El 20 % de los alumnos de la clase quiere iral Museo de la Ciencia, mientras que el 60 % quiereir al Planetario. Si 15 alumnos deciden ir alPlanetario, ¿cuántos alumnos han elegido la otraexcursión? ¿Cuántos alumnos habrá en la clase?

137



El nacimiento de un signo

Desde que María Tudor había subido al trono, Robert

Recorde vivía atemorizado de que alguna denuncialo llevara a la cárcel, cuando no a la hoguera.

Robert Recorde había desempeñado importantescargos cuando reinó Eduardo, el hermanastrode María, y aunque continuaba teniendoun buen cargo, sentía que sus enemigoseran ahora muy poderosos.

Sus cavilaciones cesaron cuando abrió la puertade la imprenta donde trabajaban en su últimacreación: La piedra de afilar el ingenio. El artesanoque imprimía el libro se levantó para saludarlo:

–Buenos días, señor Recorde. Su trabajo no estátodavía terminado, y además quería consultaros algo.

–Preguntad –lo invitó Recorde.

–He de señalaros que he encontrado un símboloen el manuscrito para el que no tengo matriz –dijoel impresor señalando el símbolo=.

–Tenéis razón, he inventado el símbolo para denotarla igualdad entre los dos miembros de una ecuación–contestó Recorde viendo la extrañeza del impresor–.Escogí este símbolo porque nada hay más igual

que dos rayas de igual longitud y paralelas.Corría el año de 1557 y era la primera vezque se utilizaba el signo=. Sin embargo,su uso se popularizó dos siglos más tardeacortando los segmentos.

Rectasy ángulos

1. Robert Recorde nació

en Gales en el seno

de una familia

acomodada. Busca

información sobre

su vida y su relación

con la corte.

2. ¿Qué símbolo utiliza

Recorde para expresar

la igualdad? ¿Por qué

eligió este signo?

3. ¿Cuál se considera

la principal

contribución

de Robert Recorde

al estudio de las

matemáticas?


9




En esta unidad

aprenderás a…

• Reconocer rectas,

semirrectas y

segmentos.

• Distinguir

las posiciones de dos

rectas en el plano.

• Diferenciar

los distintos tipos

de ángulos.

• Manejar el sistema

sexagesimal.

PLAN DE TRABAJO


En el sistema de numeración decimal se utilizan diez cifras distintas para representar

una cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.En este sistema, cada 10 unidades de un orden forman una unidad de un orden inmediatamentesuperior.

F F F F F F F

DM UM C D U d c m

?10 ?10 ?10 ?10 ?10 ?10 ?10

F F F F F F F

: 10 :10 :10 :10 :10 :10 : 10

5 C" 5 ? 100= 500 U 5 C" 5 : 10= 0,5 UM

El sistema de numeración decimal es posicional, es decir, el valor

de cada cifra depende del lugar o posición que ocupa en el número.

Unidad

de millón

Centena

de millar

Decena

de millar

Unidad


4 7 0 2 5 7 1

4 7 0 2 5 7 1

1 Unidades

7 Decenas= 70 unidades

5 Centenas= 500 unidades

2 Unidades de millar= 2 000 unidades

0 Decenas de millar= 0 unidades

7 Centenas de millar= 700 000 unidades

4 Unidades de millón= 1 000 000 de unidades

F

F

F

F

F

F

F

EVALUACIÓN INICIAL

2. Completa las siguientes igualdades con las unidades adecuadas.

a) 512,4 D= 5,124d = 5 124d

b) 13,18 C= 0,1318d = 131,8d

c) 4,351 U= 43,51d = 4 351d

1 Copia y completa las siguientes igualdades con los números adecuados.

a) 325 C= dD c) 436 m= dD

b) 43,24 d= dU d) 56 D= d d

2 Indica el valor de la cifra 3 en los siguientes números.

a) 43 009 c) 532,21

b) 70,031 d) 5,39

Un sistema es decimal

cuando sus unidadesse relacionan entre sí

mediante potenciasde 10.

139



Rectas, semirrectasy segmentos

1.1 Línea recta

Una recta es una línea sin principio ni final formada por infinitos puntos.

Como la recta no tiene principio ni final, no podemos dibujarla entera,y por eso representamos solo una parte de ella.

• Por un punto pasan infinitasrectas.

• Por dos puntos pasauna sola recta.

A

B

C

1.2 Semirrecta y segmento

Una semirrecta es una recta que tiene principio pero no final.

Un punto cualquiera de una recta es origen de dos semirrectas.

sr A

Un segmento es la parte de una recta delimitada por dos puntos.El segmento tiene principio y final.

A y B se llaman extremos A B

del segmento.

A un segmento se le nom-bra por sus extremos, AB.

1

A B

s A

Semirrecta s

r

Semirrecta r

A

SE ESCRIBE ASÍ

Las rectas se nombranmediante una letra

minúscula: a, b, c, r, s, t…

Los puntos se indican

mediante letras mayúsculas:

A, B, C, P, Q, R…

1 Marca en tu cuaderno cuatro puntos situados de

esta manera y dibuja:

a) Dos rectas que pasen por A.

b) Dos semirrectas cuyo origen sea B.

c) Un segmento cuyos extremos seanC y D.


1 Dibuja un punto en tu cuaderno y traza

tres líneas rectas que lo contengan.

2 Traza una recta en tu cuaderno,

sitúa un punto sobre ella y nombra

las dos semirrectas que resultan.

3 Dibuja un segmento de 5 cm de longitud

y nómbralo señalando sus extremos.

C• •D

A• B•

140



7 Clasifica las siguientes rectas.

a) r y s

b) r y t

c) u y t

d) r y u

2 Dibuja dos rectas secantes que no sean

perpendiculares y traza una recta perpendicular

a cada una de ellas.

t sr

u


6 Estudia la posición relativa de las rectas

que se determinan en estos casos.

a) Las vías del tren.

b) Las tres calles que convergen

en una rotonda.

c) Los bordes de los peldaños de una escalera.

d) El largo y el ancho de una ventana.

e) Los radios de la rueda de una bicicleta.

f) Las huellas de un trineo en la nieve.

1.3 Posiciones relativas de dos rectas en el plano

Dos rectas se denominan:

• Secantes: cuando se cortan en un punto. Si además dividen elplano en cuatro partes iguales decimos que son perpendiculares.

• Paralelas: si no tienen ningún punto en común.

• Coincidentes: cuando todos sus puntos son comunes.

EJEMPLOS

1 Traza rectas paralelas y perpendiculares utilizando la escuadra y la regla.

Para trazar rectas paralelas

deslizamos el borde de la

escuadra sobre una regla.

Para trazar rectas perpendiculares

utilizamos los bordes

perpendiculares de la escuadra.

2 Dibuja una recta paralela a la recta r y que pase por el punto P.

Apoyamos uno de los bordes perpendiculares

de la escuadra sobre la recta r. Después,

colocamos la regla pegada al otro borde.

Deslizamos la escuadra sobre la regla, hasta

que el borde coincida con el punto P.

La recta s es paralela a la recta r y pasa por P.

3 Traza una recta perpendicular a la recta r y que pase por el punto P.

Apoyamos uno de los bordes perpendiculares

de la escuadra sobre la recta r.

Deslizamos la escuadra sobre la recta r,

hasta que el otro borde coincida con el punto P.

La recta s es perpendicular a la recta r y pasa por P.

Pr

s

s

P

r

La escuadraes un instrumento

con dos bordesde igual medida queson perpendiculares.

Rectas secantes

Rectas paralelas

Rectas coincidentes

Rectas perpendiculares

141



SE ESCRIBE ASÍ

Este ángulo lo podemos

representar de dos formas:

• Con el símbolo U sobre

la letra F (vértice

del ángulo): F U.

• Con el símbolo U sobre las

tres letras que determinan

el ángulo: FG%

, de manera

que quede en el centro

la letra que determina

el vértice, en este caso F .

Ángulos

Llamamos ángulo a la abertura for-mada por dos semirrectas que partende un mismo punto.

A cada semirrecta se le denominalado y el punto se llama vértice.

Lado

L a d o

Vértice

EJEMPLO

4 Determina los elementos de este ángulo:

C

A B

• Los lados son AB y AC.

• El vértice es el punto A.

• El ángulo se denota BAC%

o AU.

2.1 Clasificación de ángulos

Atendiendo a la posición de sus lados

• Ángulo nulo. Sus lados son dos semirrec-tas coincidentes.

• Ángulo recto. Sus lados son perpendicu-lares.

• Ángulo llano. Sus lados están sobre la mis-

ma recta y no son coincidentes.

Atendiendo a su abertura

• Ángulo agudo. Su abertura es inferior a la de unángulo recto.

• Ángulo obtuso. Su abertura es superior a la de unángulo recto.

2

F H

G

10 Indica en esta figura cuálesson los ángulos agudos,

rectos y obtusos.

3 Escribe el tipo al que corresponde cada ángulo.


9 Señala el nombre de los ángulos queforman las piernas de los gimnastas.

C

D

E

B

G

A

F

AUBU

CU

142



13 Observa los siguientes

ángulos y contesta.

¿Son adyacentes AU y BV? AU

BU

¿Y suplementarios?

4 Dibuja en tu cuaderno dos rectas secantes.

Clasifica todos los tipos de ángulos

que veas.


12 Observa la figura.

BU

CUDU EU

AU

a) Indica qué ángulos son opuestos

por los vértices.

b) Señala los ángulos adyacentes.

2.2 Posición relativa de dos ángulos

• Ángulos opuestos por el vértice. Son ángulos que tienen en común elvértice y sus lados están sobre las mismas rectas.

AOB%

y COD%

son ángulosopuestos porel vértice.

A D

O

B C

• Ángulos consecutivos. Son ángulos que tienen en común el vértice yun lado.

AOB%

y BOC %

son ángulosconsecutivos.

A B

C

O

• Ángulos adyacentes. Son ángulos que tienen un lado común y formanentre los dos un ángulo llano.

AOB%

y BOC %

son ángulosadyacentes.

A

B

C

O

• Ángulos complementarios. Son dos ángulos que, al hacerlos consecu-tivos, forman un ángulo recto.

AU AUBUBU

F AU y BU soncomplementarios.

• Ángulos suplementarios. Son dos ángulos que, al hacerlos consecuti-vos, forman un ángulo llano.

AU AUBU BU

F

AU y BU sonsuplementarios.

Los ángulos adyacentesson suplementarios.

Los ángulos suplementariosson adyacentes si tienen

un lado común.

143



Operacionescon ángulos


Qué es un arco en una circunferencia

Un arco es la parte de la circunferencia

comprendida entre dos puntos.

EJEMPLO

5 Utiliza el compás para construir un ángulo como este.

Dibujamos un arco sobre el ángulo

dado, con centro en el vértice.

Sobre una recta marcamos un punto

que será el vértice del nuevo ángulo.

Y con la misma

amplitud, trazamos

otro arco en el ángulo

en construcción.

Medimos con el

compás la amplitud

de ese arco sobre

el ángulo dado.

Trasladamos esa amplitud

al ángulo en construcción,

y unimos su extremo con

el nuevo vértice.

3.1 Suma de ángulos

Para sumar ángulos los dibujamos de forma que sean consecutivos.

El ángulo suma es el comprendido entre los lados no comunes.

EJEMPLO

6 Suma estos ángulos:

AUBU

BU AU

AU + BU

F1

Utilizando el compás construimos un ángulo igual a AV. A continuación

del ángulo AV construimos un ángulo igual a BV, de modo que ambos sean

consecutivos.

El ángulo suma, AV + BV, es el comprendido entre los lados no comunes.

3

A

B

16 Suma en tu cuaderno los ángulos.

AU BU CU


15 Suma estos ángulos:

AUBU

144



5 Dibuja en tu cuaderno estos ángulos

y halla.

AUBU

CU

a) BV - CV

b) AV - CV

c) 2 ? CV


18 Dibuja estos ángulos en tu cuaderno, y realiza

las operaciones que se indican.

BU AU

a) AV - BV

b) 2 ? AV

c) BV- AV

3.2 Resta de ángulos

Para restar dos ángulos los dibujamos, uno sobre el otro, de modo quecoincidan los vértices y uno de sus lados.

El ángulo diferencia es el comprendido entre los lados no comunes.

EJEMPLO

7 Dados estos ángulos, calcula AU - BV.

AU

BU

AU

AU - BU

BUF2

Primero construimos, utilizando el compás, un ángulo igual a AV.

Sobre el ángulo AV construimos un ángulo igual a BV, tal y como se ve

en la figura.

El ángulo diferencia, AV - BV, es la parte de AVque no ocupa BV.

3.3 Producto de un ángulo por un número natural

Para multiplicar un ángulo por un número natural sumamos el mismoángulo tantas veces como nos indique el número.

EJEMPLO

8 Calcula 3 ? BV.

BU

BU

BU

BU

F

Primero construimos, utilizando el compás, un ángulo igual a BV.

De manera consecutiva al ángulo BVconstruimos tantos ángulos

iguales a BVcomo nos indique el número que multiplica.

El ángulo 3 ? BVes el ángulo comprendido entre los lados no comunes

del primer y del último ángulo.

En la resta deángulos, para construir

el ángulo diferencia,AU – B V, es necesario

que el ángulo AU

seamayor que B V.

145



Sistemasexagesimal

El sistema sexagesimal lo utilizamos para medir amplitudes de ángulosy medidas de tiempo menores que el día. Se denomina sexagesimal porquecada unidad es 60 veces mayor que la unidad del orden inmediato inferior.

4.1 Unidades de medida de ángulosEl grado se representa °, y es la unidad principal de medida de ángulos.

Para medir ángulos con más preci-sión, se utilizan unidades menoresque el grado: el minuto y el segundo.

1 grado= 60 minutos

1°= 60'

1 minuto= 60 segundos

1' = 60"

EJEMPLO

9 Expresa estas medidas de ángulos en las unidades que se indican.

a) 34° en minutos --" 34°= 34 ? 60= 2 040'

c) 340" en grados --" 340" = 340 : 3 600= 0,094°

Una medida está escrita en forma incompleja cuando está expresada conuna única unidad de medida. Si utilizamos más de una unidad, diremosque está en forma compleja.


Cómo se transforman unidades complejas en incomplejasEn un cuadrado de unidades, colocamos cada unidad en su lugar.

1 0 2 0 0 5

km hm dam m dm cmForma incompleja102,005 dam

Forma compleja1 km 2 dam 5 cmF

F

EJEMPLO

10 Un ángulo mide 2° 4' 55" . ¿Cuántos segundos son?

Transformamos cada una de las unidades en segundos.

2°"

2?

3 600=

7 200"

4' " 4 ? 60 = 240"

55"

7 495" " 2° 4' 55" equivalen a 7 495 segundos.

4

F

F

: 3 600

? 3 600

? 60

: 60

? 60

: 60

grado minuto segundo

F

F

F

F

Una magnitud es cualquier

cualidad que se puede medir.Magnitudes son: la longitud,

la masa, la capacidad...

Unidades de medida son:el kilómetro, el kilogramo,

el litro…

23 Expresa en forma compleja.

a) 14 824" b) 832' c) 18,5° d) 24,8'


21 Expresa en minutos.

a) 90° b) 45° c) 150° d) 75°

146



4.2 Medidas de ángulos

Un ángulo recto mide 90°.

90º

Un ángulo llano mide 180°.

180º

•

Un ángulo agudomide menos de 90°.

Un ángulo obtusomide más de 90°.

Un ángulo completo mide 360º.

360º•

Para medir un ángulo utilizamos el transportador.

60º

35º 120º

O

B

A

O

D

C

O

F

E

EJEMPLOS

11 Dibuja un ángulo de 60°.

Colocamos el transportador sobre

una recta, haciendo coincidir el vértice

del transportador con un punto

marcado en la recta y, a continuación,

hacemos una marca en 60°.

Finalmente, utilizando una regla, unimos

el vértice del ángulo con la marca efectuada.

12 Dibuja el ángulo AU.

AU

BU

Medimos con el transportador el ángulo BV.

BV = 135°

Calculamos la medida del angulo AV.

AV = 360°- BV = 360°- 135°= 225°

AU

El vértice del transportador

debe estar siempre situadoen el vértice del ángulo.

Vértice del transportador

27 Dibuja.

a) Un ángulo agudo mayor de 80°.

b) Un ángulo obtuso menor de 100°.

6 Dibuja en tu cuaderno un ángulo agudo.

Después utiliza el transportador para medirlo.

Haz lo mismo con un ángulo obtuso.


25 Mide con tu transportador estos ángulos.

a) b) d)c)

26 Dibuja estos ángulos.

a) 30° b) 45° c) 160° d) 180°

147




Líneas

Posiciones relativas de dos rectas

Ángulo

Tipos de ángulos

1. OPERAR GRÁFICAMENTECON ÁNGULOS

Dados los ángulos AU y BV:

calcula AU + BV y AU - BV.

• Suma de ángulos

PRIMERO. Construimos con el

compás un ángulo igual a AV.

SEGUNDO. Construimos, a

continuación del ángulo AV,

un ángulo igual a BV, de modo

que sean consecutivos.

El ángulo AV + BV es el ángulo

rojo.

• Resta de ángulos

PRIMERO. Construimos un

ángulo igual a AV.

SEGUNDO. Llevamos sobre

el ángulo AV un ángulo igual

a BV, tal y como se indica en

la figura. El ángulo AV - BV es

el ángulo rojo.

AU

AU + BU

BU

AUBU

AU - BU

AU

BU

sr

P A B

Recto

Semirrecta

Recta Segmento

r s

Paralelas

rs

Secantes

r

s

Coincidentes

r

s

Perpendiculares

Llano Agudo

Posiciones relativas de dos ángulos

Opuestos por

el vértice

Consecutivos Adyacentes

Complementarios Suplementarios

Obtuso

A B

C


1. CONSTRUIR UN ÁNGULO UTILIZANDOEL COMPÁS

Utiliza el compás para

construir un ángulo

como el dibujado.

PRIMERO. Trazamos una semirrecta, que será

uno de los lados del ángulo que vamos

a construir, con origen en un punto,

que será el vértice del ángulo.

SEGUNDO. Dibujamos un arco sobre el ángulo

dado con centro en su vértice y, con el mismo

radio, otro arco en el ángulo en construcción.

TERCERO. Medimos con el compás la amplitud

de ese arco sobre el ángulo dado y lo

trasladamos al ángulo en construcción.

148



Expresa.

a) 34° en minutos. b) 82" en grados.

PRIMERO. Contamos los saltos que hay

hasta la unidad en la que tenemos

que expresar la medida.

a) Un salto hacia la derecha.

b) Dos saltos hacia la izquierda.



multiplicamos la medida por 60 si es

un salto, o por 3 600 si son dos saltos.

• Si es hacia la izquierda, dividimos

la medida entre 60 si es un salto, o entre

3 600 si son dos saltos.

a) 34 ? 60= 2 040' b) 82 : 3 600= 0,023°

F

F

F

F

? 60 ? 60

: 60 : 60

grados minutos segundos

2. CONSTRUIR UN ÁNGULO UTILIZANDOUN TRANSPORTADOR

Utiliza la regla y el transportador para dibujar

un ángulo de 70º.

PRIMERO. Utilizamos

la regla para dibujar una

semirrecta con origen

en un punto A.

SEGUNDO. Situamos el

centro del transportador

sobre el punto A

y hacemos que la

semirrecta pase por

el 0º del transportador.

TERCERO. Hacemos

una marca sobre

la medida del ángulo

que queremos dibujar.

CUARTO. Unimos

el punto A con

la marca que

acabamos de hacer.

A

AV

70º

A

A


1. ¿Puedes hallar la longitud de una línea recta?

¿Y de una semirrecta? ¿Y de un segmento?

2. ¿Cuántas perpendiculares a una recta que

pasen por un punto exterior a ella puedes

trazar? ¿Y cuántas paralelas?

3. Señala en la figura un par de ángulos

consecutivos y un par de ángulos adyacentes.

AU

EU

BUCU

DU

4. Dada la siguiente figura,

AU

BUCU

¿cómo son entre sí las

parejas de ángulos que

se pueden formar?

Construir ángulos utilizando el compás

1. Construye, con ayuda

del compás, un ángulo

como este.

Operar gráficamente con ángulos

2. Dados los ángulos AV y BV, representa AV + BV

y AV - BV.

AU

BU

Transformar unidades de medida de ángulos

6. Transforma en segundos estas medidas.

a) 10' b) 5° c) 14,5' d) 60,6°

Construir ángulos utilizando el transportador

3. Construye con ayuda del transportador

un ángulo de 55º.

Y AHORA… PRACTICA

2. TRANSFORMAR UNIDADESDE MEDIDA DE ÁNGULOS

149



ActividadesRECTAS, SEMIRRECTASY SEGMENTOS

37. ● Dibuja una línea recta en tu cuaderno,

marca de rojo una semirrecta y de verde

un segmento de longitud 2 cm.

38. ● Fíjate en el dibujo, y realiza las siguientes

actividades.

A B EF

G

C D

a) Nombra las semirrectas.b) Señala el nombre de los segmentos.

c) ¿Qué segmentos tienen en común

el extremo D?

39. ● Observa el plano y contesta.

c/ Verde

c/ Añil

c/ Roja

c / B l a n

c o

c / A

z u l

c / A m a r i l l o

c / A r c

o I r i s

Si consideras las calles como líneas rectas:

a) ¿Qué calles son paralelas a la calle Arco Iris?

b) ¿Qué calles son perpendiculares a la calle

Arco Iris?

c) ¿Cuáles son secantes a la calle Arco Iris?

d) ¿Cómo son entre sí las calles Añil y Verde?

e) ¿Cómo son entre sí las calles Roja y Añil?

40. ● Dibuja en tu cuaderno la recta m y marca

un punto P.

m• P

Dibuja tres rectas: una paralela, una secante

y otra perpendicular a la recta m, y haz que pasen

por el punto P.

Clasifica, dos a dos, las rectas que has dibujado.

41. ●● ¿Cuántos puntos se necesitan, como mínimo,

para definir una recta? ¿Y como máximo?

¿CÓMO SE TRAZA LA MEDIATRIZDE UN SEGMENTO?

42. Dibuja un segmento AB de 8 cm y traza

con regla y compás su mediatriz.

La mediatriz de un segmento es la recta que pasa

por su punto medio y es perpendicular al mismo.

Para construirla se siguen estos pasos:

PRIMERO. Se pincha

el compás en cada uno

de los extremos, y conamplitud el segmento,

se dibuja una circunferencia.

SEGUNDO. Se unen con

una recta los puntos

de intersección de las

circunferencias.

Esta recta es la mediatriz del segmento AB.

HAZLO ASÍ

A B

7. ● Dibuja en tu cuaderno un segmento AB de 7 cm

de longitud, y traza con regla y compás su mediatriz.

8. ● Las rectas rojas, ¿son mediatrices de los

segmentos? Justifica la respuesta.

a)

A B

b)

C D

9. ● Dibuja en tu cuaderno triángulos como estos

y traza la mediatriz de sus lados. ¿Se cortan

en un solo punto?

150



10. ●Dibuja en tu cuaderno la recta r y los puntos A yB.

B•

A•

r

a) Dibuja el segmento AB.

b) Dibuja la mediatriz del segmento AB.

c) Estudia la posición relativa de la mediatriz

y la recta r.

11. ● Los segmentos AB y AC se encuentran en rectas

perpendiculares.

A

B

C

Dibuja la mediatriz del segmento AB y la del

segmentoBC. ¿Cuál es la posición relativa

de las dos mediatrices que has calculado?

12. ●Dibuja una recta en tu cuaderno. Con la regla

y la escuadra, traza una recta paralela y otra

perpendicular a la recta que has trazado.

¿Qué posiciones relativas tienen la recta paralela

y la perpendicular que has dibujado?

43. ●● Dibuja dos segmentos, AB yCD, paralelos

entre sí, de 8 cm y 10 cm, y traza con la escuadra sus

mediatrices. ¿Cómo son entre sí las mediatrices?

ÁNGULOS

44. ● Escribe estas letras en tu cuaderno, y señala

de color rojo los ángulos agudos, de azul

los rectos y de amarillo los obtusos.

13. ●Dibuja en tu cuaderno dos rectas r y s que se

corten como las de la figura. Mide con el

transportador los cuatro ángulos que forman.

a) ¿Cuánto suman los cuatro ángulos?

b) ¿Hay algunos ángulos iguales?

c) ¿Siempre se da este resultado?

45. ● Contesta si es verdadero o falso.

a) Dos ángulos adyacentes son siempre

consecutivos.

b) Dos ángulos consecutivos son siempreadyacentes.

c) Dos ángulos complementarios son siempre

agudos.

d) Dos ángulos complementarios son siempre

obtusos.

e) Dos ángulos de lados perpendiculares

son iguales.

f) Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.

46. ● Observa la siguiente figura y señala.

a) Los pares de ángulos opuestos por el vértice.b) Los pares de ángulos adyacentes.

AUBU

DUCU

EUF U

GU

HV

IU

LU JU

KU

47. ● Observa este plano de una zona de la ciudad

de Castelldefels y dibuja los ángulos que forman.

ParcMontanyetaPlaça de

la Lluna

A v i n

g u d a

3 1 2

A v i n

g u d a

3 1 1

A v i n

g u d a

3 1 0

A v i n

g u d a

3 0 9

A v i n g

u d a

D i a g o n

a l

A v i n

g u d a

3 0 6

D . A r c a d i B a l a

g u e r

A v i n

g u d a

3 1 3

A v i n g u d a 3 0 0

A v i n g u d a 3 0 1

A v i n g u d a 3 0 2

A v i n g u d a 3 0 3

Plaça deSant Jaume

A v i n

g u d a

3 0 8

D o c t o r

F l e m i n g

a) La Avinguda Diagonal con la Avinguda 309.

b) La Avinguda Diagonal con la Avinguda 310.

c) La Avinguda Diagonal con la Avinguda 302.

¿Cómo son entre sí las Avingudas 309 y 310 ?

¿Y las Avingudas 302 y 309?

48. ● Dado el ángulo de la figura,

AU

dibújalo en tu cuaderno y construye

sus ángulos adyacentes

y el ángulo opuesto por el vértice.

r

s

151



49. ●● Dibuja en tu

cuaderno dos ángulos

como estos. AU

BU

Utiliza el compás para

representar las operaciones.

a) AV

+ BV

b) BV

- AV

c) 3 ? AV

d) 2 ? BV

14. ●Dibuja en tu cuaderno tres ángulos como

estos.

Utiliza el compás para representar las siguientes

operaciones.

a) AV + CV c) 2 ? AV

b) AV - BV d) AV + BV + CV

50. ●● Traza en tu cuaderno un ángulo AV que sea

menor que un ángulo recto, y un ángulo BV

que sea menor que uno llano y mayor que uno

recto. Dibuja los ángulos indicados.

a) AV + BV c) 3 ? AV

b) BV - AV d) 2 ? BV

SISTEMA SEXAGESIMAL

51. ● Expresa en minutos las medidas de ángulos.

a) 3° b) 10° c) 5° d) 20°

52. ● Transforma en segundos estas medidas

de ángulos.

a) 12' b) 20' c) 1° 15' d) 10° 10'

53. ● Expresa en grados las siguientes medidas.

a) 120' c) 240' e) 420'

b) 180' d) 360' f) 600'

15. ● Expresa en minutos estas medidas de ángulos.

a) 135" d) 300"

b) 156" e) 288"

c) 198" f) 468"

54. ● Indica en segundos.

a) 35° 54' 55" d) 4° 27' 56"

b) 65° 53' 12" e) 7° 33' 49"

c) 18° 23' 4" f) 11° 3' 2"

16. ● Expresa en minutos.

a) 4º 52' 30" c) 15º 42' 15"

b) 32º 12' 45" d) 42º 38' 10"

55. ● Con la ayuda del transportador, dibuja los

ángulos AV = 45°, BV = 120° y CV = 135°.

Después, dibuja y mide los ángulos.

a) AV + CV c) 3 ? BV

b) CV - AV d) 8 ? CV

17. ●Con la ayuda del transportador, dibuja

los ángulos AV = 147º y BV = 72º.

Después, dibuja y mide los ángulos.

a) AV + BV c) 2 ? AV

b) AV - BV d) 3 ? BV

18. ●Mide estos ángulos y clasifícalos.

19. ●Recuerda cuánto miden los ángulos

de una escuadra y de un cartabón.

Dibuja los siguientes ángulos, repasando dos lados

de una escuadra o un cartabón.

a) 30° c) 60°

b) 45° d) 90°

20. ●● Utiliza la suma de dos ángulos de la escuadra

o del cartabón para dibujar estos ángulos.

a) 75°= 45°+ d

b) 105°= 60°+ d

c) 120°= 90°+ d

d) 135°= d + d

e) 150°= d + d

AUBU

CU

90º90º

45º 45º 30º

60º

152



21. ●Copia un ángulo como

el de la figura y traza

las perpendiculares

a las rectas r y s.

¿Qué ángulo forman?

22. ●Dibuja el ángulo AV.

Traza la perpendicular t

a la recta r desdeB.

¿Cuánto medirán los cuatro ángulos que forma

la recta t con la recta s?

¿CÓMO SE CONSTRUYE LA BISECTRIZDE UN ÁNGULO?

56. Traza la bisectriz de este ángulo.

La bisectriz de un ángulo

es la recta que pasa por

su vértice y divide el ángulo

en dos partes iguales.

PRIMERO. Con centro

en el vértice O y cualquier

abertura, se traza un arco.

SEGUNDO. Con la misma

amplitud se trazan dos arcos,

uno con centro en A y otro

con centro en B.

TERCERO. Los arcos se cortaránen un punto P. La recta

que pasa por O y P

es la bisectriz del ángulo.

HAZLO ASÍ

O

O

O

B

A

O

B

A

P

23. ●Dibuja un ángulo como este. Traza su bisectriz.

57. ●● Dibuja un ángulo de 60° con el transportador.

Traza su adyacente. ¿Cuánto mide?

Dibuja las bisectrices de los dos ángulos.

¿Qué ángulos forman?

64. ● Mide con el transportador el ángulo AU.

¿Cuánto mide el ángulo BV?

AUBU

r

s

s

rB

AU

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE SUMAN ÁNGULOS EXPRESADOSEN FORMA COMPLEJA?

24. Calcula esta suma de ángulos:

6º 24' 28" + 52' 47"

PRIMERO. Se colocan los sumandos agrupados

por unidades y se realiza la suma.

6° 24' 28"

+ 52' 47"

6° 76' 75"

SEGUNDO. Si en el resultado de la suma, los segundos

sobrepasan 60, se transforman en minutos.

6° 24' 28" + 52' 47" = 6° 76' 75"

6° 77'

15"

TERCERO. Si en el resultado de la suma, los minutos

sobrepasan 60, se transforman en grados.

6° 24' 28" + 52' 47" = 6° 77' 15"

7° 17' 15"

58. ● Realiza las siguientes sumas de ángulos.

a) 23° 45' 10" + 54° 7' 32"

b) 21° 45' 19" + 54° 7' 42"

c) 23° 45'

10"

+

54° 37'

52"

PROBLEMAS CON MEDIDASDE ÁNGULOS

73. ●● Los rayos del sol entran por la mañana en

la habitación de Luis y dan en la pared con una

determinada inclinación. A las 7 de la mañana de

un día de verano, ese ángulo es de 22° 14' . Cada

hora que pasa, el ángulo de inclinación aumenta

en 2° 10' 20" .

a) ¿Qué ángulo tendrá a las 8 de la mañana?

b) ¿Y a las 9 de la mañana?

74. ●● Tres amigos, Marcos, Roberto y Ricardo,

se están comiendo un pastel circular:

• Marcos se ha comido un trozo equivalente a 35° 10' .

• Roberto se ha comido un trozo de 40° 30' .

• Ricardo se ha comido un trozo de 50° 40' .

a) ¿Cuánto mide el trozo de pastel que se han

comido entre los tres?

b) ¿Cuánto mide el trozo que queda?

F F75" = 1' + 15"

F F77' = 1°+ 17'

153



0Historias de sobremesa

Cada vez que Farkas Bolyai y su hijo se

juntaban, el tema predilecto de conversacióneran las matemáticas, y siempre salía a relucirel nombre de Gauss.

–Janos –le decía a su hijo–, el 29 de marzode 1796 debería instaurarse como festivopara todos los matemáticos del mundo.

¡Otra vez la vieja historia del heptadecágono! Janos miró a su padre con una sonrisa.

–Gauss tiene suerte de contar con amigoscomo tú.

El padre, sin prestar atención, continuó conla historia:

–Él mismo me lo contó, después de unode nuestros paseos por los alrededores deGöttingen.

Hizo una pausa y en voz baja continuó:

–El día 29, después de encontrar la formade construir el polígono regular de 17 ladossolamente con ayuda de la regla y elcompás, tomó la decisión de estudiar

matemáticas en detrimento de la filosofía.Este descubrimiento fue tan importantepara Gauss que el epitafio de su sepulturacontiene un heptadecágono regular.

Polígonosy circunferencia

1. ¿Quiénes fueronFarkas Bolyai y JanosBolyai? ¿Qué relacióntienen con Gauss?¿Cuáles sonlas circunstanciasque les llevarona enemistarse?

2. ¿Por qué Farkas Bolyai

piensa que el29 de marzo deberíaser festivo paralos matemáticos?

3. Busca informaciónsobre Friedrich Gaussy sus importantesaportacionesa la geometría.





En esta unidad

aprenderás a…

• Clasificar polígonos

según sus ladosy ángulos.

• Utilizar el teoremade Pitágoras.

• Identificar

los elementos deuna circunferencia.

• Determinar posiciones

relativas en el plano.

PLAN DE TRABAJO

RECTAS Y ÁNGULOS

Posiciones relativas de dos rectas

Paralelas Secantes

No se cortan. Se cortan en un punto.

Ángulos

Llamamos ángulo a la abertura formadapor dos semirrectas que parten

de un mismo punto.Los ángulos pueden ser:

Agudo Recto Obtuso Llano

Mide menos de 90°. Mide 90°. Mide más de 90°

y menos de 180°.

Mide 180°.

EVALUACIÓN INICIAL

Cuando dos rectassecantes forman cuatro ángulosrectos, decimos que son rectas

perpendiculares.

1 Escribe cuál es la posición relativa de estas rectas. ¿Algunas

de ellas son perpendiculares?

2 Clasifica estos ángulos.

Vértice Lado

155



Polígonos

1.1 Elementos de un polígono


Qué es un segmentoUn segmento es la parte de una recta delimitada por dos puntos.

Tiene principio y final.

A y B son los extremos del segmento.

Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos.

EJEMPLO

1 Decide si son polígonos. a) b)

a) Es un polígono.b) No está cerrada,

no es un polígono.

Los elementos de un polígono son:

• Lados: segmentos que delimitan el polígono.

• Vértices: puntos donde se unen dos lados.

• Diagonales: segmentos que unen dos vérti-ces no consecutivos.

• Ángulo interior: ángulo formado por loslados del polígono.

1.3 Clasificación de polígonos según sus lados y ángulos

Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales.En caso contrario, si tiene algún lado o ángulo distinto, el polígono esirregular.

Polígonoirregular

Polígonoregular

1

Vértice

D i a g o

n a l

Lado

Ángulointerior

2 Determina cuáles de estos polígonos son

regulares o irregulares.

a) b) c)


1 Dibuja este polígono en tu

cuaderno. Señala sus lados,

vértices, ángulos interiores

y diagonales. ¿Cuántas

diagonales tiene?

156



1.4 Clasificación de polígonos según su número de lados

N.o de lados Nombre Regular Irregular

3 Triángulo

4 Cuadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono

10 Decágono

11 Endecágono

12 Dodecágono

EJEMPLO

2 Cuenta el número de lados y clasifica estos polígonos.

a) b) c)

a) 5 lados " Es un pentágono.

b) 8 lados " Es un octógono.

c) 6 lados " Es un hexágono.

A partir de 12 lados,los polígonos se nombran:polígono de 13, 14… lados.

1 ¿Cuántos lados tienen estos polígonos?

Decide si son regulares o irregulares.

a) b)


4 Cuenta el número de lados e indica el nombre

de estos polígonos.

a) b)

157



La medida de un ángulo seexpresa en grados y se midecon el transportador.

RECUERDA

Triángulos

Según sean sus lados y sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

Equilátero: tiene los treslados y los tres ángulosiguales.

a = b = c

AT = BU = C Uab

c A

C

B

Isósceles: tiene doslados y dos ángulosiguales.

a = b

AT = BUab

c A

C

B

Escaleno: tiene lostres lados y los tresángulos desiguales.

ab

c A

C

B

Acutángulo: tiene los tresángulos agudos.

ab

c A

C

B

Rectángulo: tieneun ángulo recto.

ab

c A

C

B

Obtusángulo: tieneun ángulo obtuso.

ab

c A

C

B

Relaciones entre los lados y los ángulos


Cómo se despeja en una ecuación

• Siuntérminoestásumandoen

un miembro, pasa restando al otro.

Y si está restando, pasa sumando.

• Siuntérminoestámultiplicando

en un miembro, pasa dividiendo al otro.Y si está dividiendo, pasa multiplicando.

Dado un triángulo ABC &, siempre se cumple que:

• La suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a 180°.

EJEMPLO

3 Calcula el ángulo que falta.

AU + BV + CV = 180°

35° + 45° + CV

= 180°CV = 180° - 80° = 100°

2



2 Clasifica este triángulo

según sus lados

y sus ángulos.

x + 2= 7 " x = 7- 2= 5 G

Pasa restando

2x = 10 " x =

2

105=

G

Pasa dividiendo

AV = 70°

30°110°

45°

35°

CV

CV

158




Un triángulo rectángulo es el que tiene unángulo recto (90°). Los lados que forman elángulo recto se llaman catetos, y el lado ma-yor, hipotenusa.

a es la hipotenusa, b y c son los catetos.


En un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusaes igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 = b2 + c2


Qué es la raíz cuadrada de un número

La raíz cuadrada de un número es otro número que elevado al cuadradoes igual al primero.

4 2= , porque 22 = 4 62 = 36, entonces 36 6=

EJEMPLOS

5 Sabiendo que, en un triángulo rectángulo, los catetos miden

3 y 4 cm, respectivamente, ¿cuánto mide la hipotenusa?

Aplicando el teorema de Pitágoras:

a a a a3 4 9 16 25 25 5 cm2 2 2 2

= + = + = = =" " "

6 En un triángulo rectángulo, un cateto mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm.¿Cuánto mide el otro cateto?

Supongamos que el cateto conocido es b:

a2 = b2 + c2

a = 10, b = 6-----" 102 = 62 + c2 " 102 - 62 = c2 " c2 = 64

" c 64 8 cm= =

El otro cateto mide 8 cm.

7 Comprueba si un triángulo cuyos lados miden 6, 9 y 11 cm,

respectivamente, puede ser un triángulo rectángulo.

Si es un triángulo rectángulo, se debe cumplir el teorema de Pitágoras:

11 121

6 9 11711 6 9

2

2 2

2 2 2!

=

+ =+

" "2 No se cumple el teorema de Pitágoras.No existe un triángulo rectángulo cuyos lados midan 6, 9 y 11 cm.

4

B

C

A

a

c

b

G

Pasa restando

El triángulorectángulo es el únicotriángulo que cumple

el teoremade Pitágoras.

DATE CUENTA

Conociendo la medidade un cateto y la hipotenusa,podemos hallar el otrocateto:

b

a

c

b a c b a c

c a b c a b

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

= - = -

= - = -

"

"

18 En este triángulo

rectángulo, ¿cuánto

mide el otro cateto?

25 cm7 cm


17 En un triángulo rectángulo, los catetos

miden 5 y 12 cm, respectivamente.

¿Cuánto medirá la hipotenusa?

159



Cuadriláteros

Los cuadriláteros son los polígonos de cuatro lados. Se clasifican en:

• Paralelogramos: cuadriláteros que tienen los lados paralelos, dosa dos.

• Trapecios: cuadriláteros que tienen solo dos lados paralelos.• Trapezoides: cuadriláteros que no tienen lados paralelos.

5.1 Paralelogramos

Los paralelogramos se clasifican en:

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

• Cuadrado: tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos.• Rectángulo: tiene los cuatro ángulos rectos.• Rombo: tiene los cuatro lados iguales.• Romboide: tiene los lados y los ángulos iguales, dos a dos, y no

tiene ángulos rectos.

5.2 Trapecios

Los trapecios pueden ser:

Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapecio escaleno

• Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos rectos.• Trapecio isósceles: tiene dos lados iguales.• Trapecio escaleno: no tiene lados iguales ni ángulos rectos.

5

Un paralelogramotiene iguales sus ladosopuestos y sus ángulos

opuestos.

Trapezoide

Trapecio

Paralelogramo

4 Dibuja un cuadrado y un rombo sabiendo

que la longitud de sus lados es de 2 cm.

a) ¿Qué características tienen en común?

b) ¿En qué se diferencian?

5 ¿Qué diferencias hay entre un cuadrado,

un rectángulo y un rombo? Dibuja las tres

figuras y compáralas.

6 Dibuja dos trapecios diferentes y explica cuáles

son sus diferencias.


21 Clasifica estos cuadriláteros, e indica si son

regulares o irregulares.

a)c)

e)

b) d)

160



Propiedadesde los paralelogramos

Cualquier paralelogramo cumple las siguientes propiedades:

• La suma de los ángulos de un paralelogramo es 360°.

AT + BU + C V + DV = 360°

• Un paralelogramo tiene dos diagona-les que lo dividen en dos triángulosiguales y que se cortan en el puntomedio de ambas.

EJEMPLOS


AU + BV + CV + DV = 360°

95° + 90° + 45° + DV = 360°

DV = 360° - 230° = 130°

8 Halla la medida de la diagonal de un cuadrado si el lado mide 4 cm.

La diagonal divide el cuadrado en dos triángulosrectángulos iguales, en los que los catetos son los lados,y la hipotenusa, la diagonal.Aplicando el teorema de Pitágoras:

d 2 = l2 + l2

d 2 = 42 + 42 " d

2 = 16 + 16" d 2 = 32" d 32 5,66 cm.=

9 Determina la diagonal menor (d ) de un rombo

8 c m

5 cmc

b

de lado 5 cm y cuya diagonal mayor ( D) mide 8 cm.

El rombo queda dividido, por sus dos diagonales,

en cuatro triángulos rectángulos iguales cuya hipotenusaes el lado (l), y los catetos, la mitad de sus diagonales (b y c).

cD

2 2

84 cm= = =

Aplicando el teorema de Pitágoras:

l2 = b2 + c2 " 52 = 42 + b2 " b2 = 52 - 42 = 9" b 9 3 cm= =

bd

2= " d = b ? 2 = 3 ? 2 = 6 cm

La diagonal menor del rombo mide 6 cm.

6

4 cmd

4 cm

G

Pasa restando

G

Pasa multiplicando

Al trazar las diagonalesen un cuadrado, un

rectángulo o un rombose forman triángulosrectángulos iguales.

A B

M

D C

MA MC MB MD= =

45° 90°

95°DV

25 Halla la diagonal de un rectángulo de lados

3 cm y 4 cm.

26 Calcula la diagonal mayor de un rombo de lado

50 cm y diagonal menor 28 cm.



a) b)

DV120°

120°60°

DV

130°130°

50°

161



Circunferencias

7.1 Elementos de la circunferencia

La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están si-

tuados a la misma distancia de otro punto llamado centro,O

.Los elementos de una circunferencia son:

• Centro de la circunferencia: es el punto queestá a la misma distancia de todos los puntosque la forman.

• Radio: es un segmento que une el centro conun punto cualquiera de la circunferencia.

• Cuerda: es un segmento que une dos puntos dela circunferencia.

• Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro

de la circunferencia.• Arco: es la parte de la circunferencia compren-

dida entre dos puntos de ella.

A cada cuerda le corresponden dos arcos.Si la cuerda coincide con el diámetro, laslongitudes de los dos arcos son iguales, ycada arco se llama semicircunferencia.

EJEMPLOS

5 Si el radio de una circunferencia mide 7 cm, ¿cuánto mide su diámetro?

d = 2 ? r = 2 ? 7 = 14 cm

6 ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia si su diámetro mide 18 cm?

d = 2 ? r " 9r2

18cm= =

7

R a d i o

Diámetro

C u e r d a

Arco

O

B

A

31 Dibuja una circunferencia de radio 4 cm, y señalasobre ella un diámetro, un radio, un arco

y una cuerda. ¿Cuánto mide el diámetro?

8 Dibuja una circunferencia cuyo diámetro

mida 7 cm.

a) Traza el diámetro y marca en la circunferencialas dos semicircunferencias que se forman.

b) ¿Cuánto mide el radio?


29 Indica el nombre de cada uno de los elementosde la siguiente circunferencia:

30 Dibuja una circunferencia de radio 5 cm.

Semicircunferencia

Semicircunferencia

El diámetro deuna circunferencia mide

el doble que su radio.

DATE CUENTA

Diámetro

Radio 6 4 4 4 4

4 7 4 4 4

4 8

6 4 4 7

4 4 8

162



Posicionesrelativas en el plano

8.2 Posiciones relativas de una recta y una circunferencia

Una recta, s, puede situarse en tres posiciones respecto de una circunfe-rencia:

A

OSecante

B

OExterior

OP

Tangente

• Si corta a la circunferencia en dos puntos, A y B: la recta s essecante a la circunferencia.

• Si la recta y la circunferencia tienen un único punto, P, en común:la recta s es tangente a la circunferencia.

• Si la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común: la

recta s es exterior a la circunferencia.

Polígonos regularese inscritos

Un polígono inscrito en una circunferencia es un polígono que tienetodos sus vértices situados en la circunferencia.

Cualquier polígono regular está inscrito:

• El centro de la circunferencia, O, se llama centro delpolígono y su radio, r , se denomina radio del polígono.

• El segmento trazado desde el centro de la circunferen-cia al punto medio de un lado, a, es la apotema delpolígono regular.

8

9

O

a

r

9 Decide si están inscritos estos polígonos.

a) b)

39 Traza un hexágono regular inscrito en

una circunferencia. Después, traza los tres

diámetros que unen sus vértices opuestos.

¿En cuántos triángulos queda descompuesto

el hexágono?


33 Indica cuál es la posición relativa de cada una

de las rectas respecto de la siguiente

circunferencia:

r

v

s

t

w

O

u

Cuadrilátero inscritoen una circunferencia

163




Lo esencial

Polígono

Triángulos

CuadriláterosVértice

Paralelogramos

Trapezoides

Trapecios

Rectángulo Isósceles Escaleno

Romboides Rombos Cuadrados Rectángulos

Equilátero Isósceles

Acutángulo

Escaleno

Rectángulo Obtusángulo

Ángulo

interior

D i a g

o n a l

Lado

C u e r d a

Polígono regular Circunferencia

Apotema

O

R a d i o

Arco

Diámetro

O R a d i o

F

G

B

A


1. CALCULAR UN ÁNGULO DESCONOCIDO DE UN TRIÁNGULO O UN CUADRILÁTERO

Calcula la medida del ángulo que falta en cada uno de estos polígonos.

a) b)

PRIMERO. Identificamos los ángulos conocidos de cada figura teniendo en cuenta que:

• Suman 180° si es un triángulo.

• Suman 360° si es un cuadrilátero.

a) AU = 35° BV = 50° b) AU = 115° BV = 65° CV = 65°

Triángulo " 35° + 50° + CV = 180° Cuadrilátero " 115° + 65° + 65° + DV = 360°

SEGUNDO. Despejamos el ángulo desconocido.

a) CV = 180° - 85° = 95° b) DV = 360° - 245° = 115°

65°

65°

115°

DV50°

35°

CV

164



4. CALCULAR LA DIAGONAL DE UN CUADRADO O UN RECTÁNGULO

Halla la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 5 cm y 7 cm.

PRIMERO. La diagonal es la hipotenusa

de un triángulo rectángulo cuyos catetosson los lados de la figura.

b = 5 cmc = 7 cm

SEGUNDO. Aplicamos el teorema de Pitágoras.

d 2 = b2 + c2 b = 5, c = 7------

" d 2 = 52 + 72 = 74 " d = 74 . 8,6 cm

La diagonal mide aproximadamente 8,6 cm.

2. HALLAR UNO DE LOS LADOSDE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Determina el lado que falta en estos

triángulos rectángulos.a) b)

PRIMERO. Sustituimos, en el teoremade Pitágoras, cada letra por su valor.La letra a representa la hipotenusa, y b y c sonlos catetos.

a) a2 = b2 + c2

b = 8, c = 6------" a

2 = 82 + 62

b) a2 = b2 + c2

a = 10, c = 6------" 102 = b2 + 62

SEGUNDO. Despejamos la letra desconocidaen la ecuación resultante.

a) a2 = 82 + 62 " a2 = 100" a = 100 = 10 cm

b) 102 = b2 + 62 " b2 = 102 - 62 = 64

" b2 = 64" b = 64 = 8 cm

3. DETERMINAR SI UN TRIÁNGULOES RECTÁNGULO

Determina si el triángulo cuyos lados miden

5, 12 y 13 cm, respectivamente, es rectángulo.

PRIMERO. Asignamos la medida mayora la hipotenusa y las otras dos a los catetos.

a = 13 b = 5 c = 12

SEGUNDO. Comprobamos si se cumpleel teorema de Pitágoras.

• Si se cumple el teorema de Pitágoras,

el triángulo es rectángulo.

• En caso contrario, no es un triángulo

rectángulo.

a2 = b2 + c2 a = 13, b = 5, c = 12-----------" 132 = 52 + 122

"169 = 25 + 144"169 = 169

En este caso se cumple la igualdad,y el triángulo es rectángulo.


1. Di cuál de estos polígonos es regular.

a) Un triángulo equilátero. c) Un rectángulo.

b) Un cuadrado. d) Un rombo.

2. ¿Puede haber un triángulo isóscelesy rectángulo a la vez?

Calcular un ángulo desconocidode un triángulo o un cuadrilátero

1. Dos ángulos iguales de un triángulo miden 60°.

¿Cuánto mide el otro ángulo?

Hallar uno de los lados de un triángulorectángulo

5. Calcula la hipotenusa de un triángulo

rectángulo cuyos catetos miden 21 cm y 28 cm.Determinar si un triángulo es rectángulo

6. Un triángulo tiene dos lados que miden 15 cm

y 12 cm. ¿Cuánto tiene que medir el tercer ladopara que sea un triángulo rectángulo?

Calcular la diagonal de un cuadradoo un rectángulo

7. Determina la diagonal de un cuadrado de 4 cm

de lado.

Y AHORA… PRACTICA

6 cm 6 cm10 cm

8 cm

5 cmd

7 cm

?

?

165



ActividadesPOLÍGONOS

42. ● Indica el nombre de cada uno de los elementos

del polígono.

a) Señala sus vértices.

b) ¿Cuántos lados tiene?

c) ¿Cuántas diagonales puedes dibujar?

d) ¿Cuántos ángulos tiene?

e) ¿Cómo se llama este polígono?f) ¿Es regular? ¿Por qué?

g) ¿Es cóncavo o convexo?

43. ● Indica el nombre de estos polígonos según

su número de lados.

10. ● Dibuja dos polígonos que sean regulares

y otros dos irregulares.

45. ● Dibuja la siguiente figura en tu cuaderno.

a) ¿Cuántos lados tiene?

b) Por su número de lados, ¿qué nombre recibe?

c) Dibuja sus diagonales. ¿Cuántas tiene?

d) Señala sus ángulos. ¿Cuántos tiene?

11. ● Dibuja un pentágono regular y un octógono

irregular.

TRIÁNGULOS

¿CÓMO SE DIBUJA UN TRIÁNGULO CONOCIENDOLA MEDIDA DE SUS LADOS?

50. Construye un triángulo con lados a = 5 cm,

b= 4 cm y c = 3 cm.

PRIMERO. Se traza unsegmento igual a unlado, a. Los extremosson los vértices C y B.

B

A

C

A'

4 c m

5 cm

3 c m

SEGUNDO. Se construyendos arcos, uno con centro en C

y radio b, y otro con centro en B y radio c.

TERCERO. Se unen B y C con los dos puntosde intersección de los arcos. Se obtienen dostriángulos, siendo ambos solución.

HAZLO ASÍ

51. ● Construye un triángulo rectángulo e isósceles

cuyos catetos midan 3 cm.

52. ● Clasifica estos triángulos según sus lados

y ángulos.

a)b)

c)

d)

Determina el número de ángulos agudos, rectos

y obtusos que tiene cada uno.

53. ● En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 45°.

¿Cuánto miden los otros ángulos?

54. ● En un triángulo, dos de sus ángulos miden 20°

y 70°, respectivamente. ¿Cuánto mide el tercer

ángulo? ¿Cómo se llama el triángulo?

12. ● Calcula el ángulo que falta.

a) b)

56. ● Un triángulo isósceles tiene el ángulo desigual

de 50°. ¿Cuánto miden los ángulos iguales?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

CV

35°

80°CV

110°

30°

166



TEOREMA DE PITÁGORAS

13.●

Calcula la medida del lado que falta en estostriángulos rectángulos.

a) b)

65. ● En un triángulo rectángulo, los catetos miden

12 y 16 cm, respectivamente. Calcula

la hipotenusa.

66. ● En un triángulo rectángulo, un cateto mide

21 cm y la hipotenusa 75 cm. Halla el otro cateto.

67. ● En un triángulo rectángulo isósceles,

los catetos miden 12 cm. Determina el valor

de la hipotenusa.

68. ● En un triángulo rectángulo, los catetos miden

25 y 60 cm, respectivamente. Calcula

la hipotenusa.

69. ● Indica si los siguientes triángulos

son rectángulos o no. Si no lo son, calcula

el valor de la hipotenusa para que lo sean.

a) Lados: 12, 16 y 20 cm.

b) Lados: 5, 6 y 13 cm.

c) Lados: 18, 24 y 32 cm.

14. ● ¿Cuánto mide la diagonal de este rectángulo?

70. ● Calcula la diagonal de un cuadrado sabiendo

que el lado mide 8 cm.

71. ● Determina el lado de un cuadrado si

la diagonal mide 7 cm.

72. ●● Calcula la altura de un triángulo equilátero

cuyo lado mide 10 cm.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL LADO DE UN ROMBO

CONOCIDAS SUS DIAGONALES?15. ¿Cuánto mide el lado de un rombo

si sus diagonales miden 10 y 24 cm?

PRIMERO. Se dibuja el rombo y se

trazan sus diagonales paraidentificar un triángulo rectángulo.

SEGUNDO. Se divide por 2 cada una de las diagonalespara obtener la medida de los catetos del triángulo.

2

105 cm=

2

2412 cm=

TERCERO. Se aplica el teorema de Pitágoras.5 12l

2 2 2= + " l 169

2= " l 169 13 cm= =

16. ● Las diagonales de un rombo miden 6 y 8 cm.

¿Cuánto mide el lado?

CUADRILÁTEROS

73. ● Dibuja un cuadrilátero, señala las diagonales,

los vértices, los ángulos y los lados.

74. ● Clasifica los siguientes cuadriláteros en función

del paralelismo de sus lados. Di si son regulares

o irregulares.

a) c)

b) d)

75. ● Clasifica estos cuadriláteros en función

de sus ángulos y del paralelismo de sus lados.

a) d)

c)

b) e)

1 2 c m

1 3 c m

9 c m

4 0 c m

x

7 cm

4 cm

167



76. ● Calcula el ángulo que falta en cada uno

de los cuadriláteros.

105°

105°75°

DUc)a)

128°

XU

XU

b)100°

100°

42°

d)115°

50°

90°

¿CÓMO SE CALCULAN LOS ÁNGULOSDE UN PARALELOGRAMO?

77. Halla el valor de todos los ángulos

de este paralelogramo.

A B

C

110°

D

PRIMERO. Los ángulos contiguos sonsuplementarios.

AT + BV = 180°" AT = 180° - 110° = 70°

SEGUNDO. Los ángulos opuestos son iguales.DV = BV = 110°

CV = AT = 70°

HAZLO ASÍ

78. ●● Halla los ángulos de cada paralelogramo.

a) b)

A54°

B

D C

143°

A B

D C

79. ● Un ángulo de un rombo vale 35°. Determina

el valor del resto de ángulos.

80. ●● Un trapecio isósceles tiene dos ángulos

de 45°. ¿Cuánto valen los otros ángulos?

81. ●● Calcula el valor

del ángulo CV del

cuadrilátero.

80°

45° A B

D

C

82. ●● Indica si las afirmaciones son verdaderas

o falsas.

a) Si un paralelogramo tiene un ángulo recto,todos sus ángulos son rectos.

b) Si un cuadrilátero tiene un ángulo recto,

tiene al menos otro ángulo recto.c) Si un cuadrilátero tiene dos diagonales iguales,

es un paralelogramo.

d) Hay cuadriláteros que no son paralelogramosy que tienen las diagonales iguales.

e) Un cuadrilátero que no sea paralelogramo

puede tener dos ángulos rectos.

f) Un cuadrilátero que no sea paralelogramo

puede tener tres ángulos rectos.

CIRCUNFERENCIAS

83. ● Dibuja una circunferencia con un compás.

Después, traza una cuerda y señala con colores

diferentes los dos arcos que determina.

84. ● Dibuja una circunferencia de radio 4 cm,

y señala en ella un radio, un diámetro y una

cuerda.

85. ● En la circunferencia D

CO

A

B

de la figura se han trazado

varios segmentos. Indica

el nombre de cada uno

de ellos.

86. ● Observa la circunferencia de la figura.

Completa y responde.

a) El segmento AB es una…

b) El segmento AC es un…

c) Si los segmentos cortana dos puntos dela circunferencia,

¿por qué no recibenel mismo nombre?

17. ● Determina la posición

de las rectas

respecto de

la circunferencia.

A

B

O

C

168



87. ● Dibuja una circunferencia y señala dos puntos

interiores en rojo, tres puntos de la

circunferencia en verde y cuatro puntos

exteriores a la circunferencia en azul.

88. ● Dibuja una circunferencia y señala una recta

secante que no pase por el centro de rojo, unarecta exterior de verde y dos rectas tangentes

a la circunferencia de azul.

89. ● En la siguiente circunferencia se han trazado

una recta exterior, otra recta secante

y una tangente. También se han dibujado

los segmentos perpendiculares

a las rectas indicadas

desde el centro, O,

de la circunferencia.B

AO

C

Compara los segmentos OA, OB y OC con

el radio, r , y escribe el signo <, > o=, según

corresponda.

a) OA d r b) OB d r c) OC d r

POLÍGONOS REGULARESE INSCRITOS

94. ●● Halla el centro del siguientepolígono regular, y explica cómo

lo haces.

95. ●● ¿Puedes dibujar la circunferencia

circunscrita a este triángulo? Indica el proceso.

A

B

C

96. ● ¿Puedes

circunscribir

una circunferencia

a este cuadrilátero?

¿Por qué?

A

D

CB

97. ●● ¿Puede inscribirse cualquier polígono en una

circunferencia? ¿Y todos los polígonos regulares?

PROBLEMAS CON POLÍGONOS

¿CÓMO SE RESUELVEN PROBLEMAS MEDIANTEEL TEOREMA DE PITÁGORAS?

100. Calcula la longitud de una

escalera si está apoyada

en la pared a una distancia

de 1,8 m y sube hasta una

altura de 7 m.

PRIMERO. Se hace un gráficoque aclare la situación.

Si se considera que el ánguloque forman la pared y el sueloes un ángulo recto, será un triángulo rectánguloen el que se conocen sus dos catetos.

SEGUNDO. Se aplica el teorema de Pitágoras.l2 = (1,8)2 + 72 = 52,24

,l 52 24 7,23 m= =

La escalera mide 7,23 m.

HAZLO ASÍ

101. ●● Una escalera de 5 m apoyada en la pared

tiene su pie a 1,5 m de la base de la pared.

¿A qué altura llegará la escalera?

102. ● Calcula la longitud de la diagonal de una

parcela rectangular de un terreno si sus

dimensiones son 150 y 60 m, respectivamente.

103. ●● En un jardín rectangular de 8# 5 m,

determina cuántos metros recorre un niño

que lo cruza siguiendo la diagonal.

104. ●● Halla la altura de un triángulo isósceles con

dos lados iguales de 12 cm y un lado desigual

de 16 cm.

105. ●● Calcula la dimensión

de todos los lados de

un triángulo como

el de la figura.

C

A B

D

4,5 cm

4 cm

1,5 cmF

169



1

1. Busca informaciónsobre la vidade Eratóstenes,geógrafo, matemáticoy astrónomo griego.

2. Eratóstenes esfamoso por haberllevado a cabola primera mediciónde la circunferencia dela Tierra. Invest igacómo lo hizo.

3. Averigua qué otrostrabajos realizóEratóstenesrelacionados conla geometría.


La visión del ciego

El soldado miraba con lástima al anciano ciego

que, apoyado en su bastón, tomaba el solmientras sus ojos extintos intuían la posicióndel astro en el horizonte.

Ahmés, su compañero de guardiaa la entrada de la biblioteca de Alejandría,interrumpió sus pensamientosdiciéndole:

–Es Eratóstenes, el cual no hace muchotiempo dirigía la biblioteca.

–¡Es una pena que sea ciego!

–No siempre fue así, y lo único que ahoralamenta es no poder leer el pensamientodel mundo encerrado en estas paredes –dijo

Ahmés, y continuó con su explicación–:Pero el maestro todavía es capaz de vermás lejos que tú, que tienestus ojos sanos.

–¡Eso es imposible!

Ahmés, con una sonrisa, intentóexplicárselo:

–Tú y yo, con nuestros ojos, vemosla Tierra plana como la palma de nuestramano; sin embargo él, que ahora estáciego, la ve con forma de bola y dicenque incluso ha calculado su tamaño.

Eratóstenes, utilizando ángulosy proporcionalidad, cifró la circunferenciapolar de la Tierra en 252 000 estadiosegipcios (1 estadio= 157,2 m).

Perímetrosy áreas




FIGURAS PLANAS

Clasificación de polígonos

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono

3 lados

4 lados

5 lados

6 lados

Clasificación de cuadriláteros

• Paralelogramos

Cuadrado Rectángulo

4 lados iguales

4 ángulos rectos 4 ángulos rectos

Rombo Romboide

4 lados iguales Lados y ángulos igualesdos a dosNo tiene ángulos rectos.

• Trapecios

Rectángulo Isósceles Escaleno

2 ángulos rectos 2 lados iguales No tiene ladosni ángulos iguales.

• Trapezoides

No tienen lados paralelos.

Un paralelogramo tiene

iguales sus lados opuestos y sus ángulos opuestos.

En esta unidad

aprenderás a…

• Hallar perímetros

de polígonos.

• Calcular la longitud

de la circunferencia.

• Determinar el área de:

– Paralelogramos.

– Triángulos.

– Trapecios.

– Polígonos regulares.

– Círculos.

PLAN DE TRABAJOEVALUACIÓN INICIAL

1 Clasifica estos polígonos.

2 Clasifica estos cuadriláteros.

3 Dibuja un polígono de cuatro lados iguales dos a dos. ¿Cómo son

sus ángulos? ¿De qué polígono se trata?

171



Perímetro de un polígono


Cuáles son las unidades de longitud

kilómetro

(km)

hectómetro

(hm)

decámetro

(dam)

metro

(m)

decímetro

(dm)

centímetro

(cm)

milímetro

(mm)

? 10

: 10

? 10 ? 10 ? 10 ? 10 ? 10

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10

Cuando el polígono es regular podemos utilizar una fórmula que facilita elcálculo del perímetro.

1

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados.

Si el lado de un polígono regular de n lados es l, entonces su perímetroserá: P = n ? l

1 Calcula el perímetro de este pentágono

irregular:

Sumamos las medidas de sus lados:

P = AB + BC + CD + DE + EA = = 4+ 0,5+ 3+ 2+ 1,5= 11 cm

El perímetro de esta figura es 11 cm.

EJEMPLO

2 cm

3 cm

0,5 cm

4 cm

1,5 cm

A

E

D

C

B

2 Llamando l al lado de estos polígonos regulares, busca fórmulas para

expresar su perímetro.

EJEMPLO

P = 3 ? l P = 4 ? l P = 6 ? l

ll

l

SE ESCRIBE ASÍ

El perímetro de un polígonose suele representar

con la letra P.

l

DATE CUENTA

En algunos polígonosirregulares podemosutilizar fórmulas paracalcular su perímetro,por ejemplo:

P= 2 ? a+ 2 ? b

P= 4 ? l

a

b

Rectángulo

Rombo

1 Determina el perímetro de un cuadrado cuyo

lado mide 3 cm.

2 ¿Cuánto mide cada uno de los lados de un

pentágono regular si su perímetro es 25 cm?


1 Halla el perímetro de:

a) Un rombo cuyo lado mide 10 cm.

b) Un trapecio isósceles con bases de 4 cmy 8 cm, y los otros lados de 5 cm.

172



Longitudde la circunferencia


Elementos de la circunferencia

La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos

puntos están situados a la misma distancia de otro

punto llamado centro.

• Radio: segmento que une el centro con un punto

cualquiera de la circunferencia.

• Diámetro: mide el doble que el radio.

La longituddeunacircunferencia, L , se puede calcular mediante laexpresión L = r ? d, o bien L = 2 ? r ? r , donde d es el diámetro y r esel radio.

ANTES, DEBES SABER…Cómo se despeja en una ecuación

• Siuntérminoestásumandoenunmiembro, pasa restando al otro.

Y si está restando, pasa sumando.

x - 3= 7 " x = 7+ 3= 10

• Siuntérminoestámultiplicandoenunmiembro, pasa dividiendo al otro.

Y si está dividiendo, pasa multiplicando.

3x = 15 " x = 3

155=

EJEMPLOS

3 Halla la longitud de una circunferencia de radio 2 cm.

L = 2rr = 2 ? r ? 2= 4 ? r = 4 ? 3,14= 12,56 cm

1 La longitud de una circunferencia mide 31,4 cm. ¿Cuánto mide su radio?

L = 2rr " 31,4= 2 ? 3,14 ? r " 2 ,

,5

?

r3 14

31 4cm= =

2

G

Pasa sumando

G

Pasa dividiendo

G

Pasa dividiendo

Aunque el número πes igual a 3,141592…;

para resolver problemasse suele tomar un valor

aproximado:π = 3,14

7 Silalongituddelacircunferenciaes25cm,

¿cuánto mide su radio?

3 La longitud de una circunferencia mide 40,82 cm.

¿Cuánto mide su diámetro?


5 ¿Cuánto mide la longitud de una circunferencia

de 6 cm de diámetro?

2 Calcula la longitud de una circunferencia cuyo

radio mide 4 cm.

Centro R a

d i o

D i á m

e t r o

173



Área de losparalelogramos


Cuáles son las unidades de superficie

kilómetro

cuadrado

(km2)

hectómetro

cuadrado

(hm2)

decámetro

cuadrado

(dam2)

metro

cuadrado

(m2)

decímetro

cuadrado

(dm2)

centímetro

cuadrado

(cm2)

milímetro

cuadrado

(mm2)

?

100

: 100

?

100?

100?

100?

100?

100

: 100 : 100 : 100 : 100 : 100

3.1 Área del rectángulo

3.2 Área del cuadrado

3

4 cm # 2 cm = 8 cm2

G

F

G

F

G F1 cm

G F1 cm

G F1 cm

G F1 cm

1 cm

1 cmEl áreadeunrectángulo de base b yaltura a es:

A=

a?

b

El áreadeuncuadrado de lado l es:

A= l 2

a

b

l

Como un cuadrado esun rectángulo con los lados

iguales: A = l · l = l 2 EJEMPLOS

5 Halla el área de un rectángulo de 30 cm de base y 12 cm de altura.

Para calcular el área aplicamos la fórmula:

A = a ? b a = 12, b = 30-------" A = 12 ? 30= 360 cm2

2 El área de un rectángulo mide 24 cm2.Sisubasemide6cm,

¿cuánto mide su altura?

A = a ? b " 24= a ? 6 " 46

24cm= =

30 cm

12 cm

G

Pasa dividiendo

4 Silaalturadeunrectángulomide8cm

y su área, 104 cm2, ¿cuánto mide la base?

5 Calcula el lado de un cuadrado sabiendo

que su área mide 256 cm2.


9 Obtén el área y el perímetro del suelo de una

habitación rectangular de lados 3 m y 7 m.

10 Determina el área de una finca cuadrada

de lado 1 200 m.

174



3.3 Área del rombo

El áreadeunrombo de diagonal menor d y diagonal mayor D es:

2

?

AD d

=

El área de un rombo con diagonal menor d y diagonal mayor D es la mitad del área deun rectángulo cuya base es d y altura D.

Las dos diagonalesde un rombo

son perpendiculares y se cortan ensu punto medio.

3.4 Área del romboide


Qué son la base y la altura de un romboide

• Labase de un romboide es cualquiera de sus lados.• Laaltura es un segmento perpendicular

a una base, trazado desde el vértice opuesto.

Altura

Base

El área de un romboide de base b yaltura h es igual al área de un rec-tángulo con base b y altura h.

El áreadeunromboide de base b y altura h es: A= b ? h

7 Halla el área de un rombo de diagonales 6 y 8 cm,

respectivamente.

Para calcular el área aplicamos la fórmula:

2?

AD d

= D = 8, d = 6-------"

2

8 624

?

A cm2

= =

8 Calcula el área de este romboide:

Para obtener el área aplicamos la fórmula:

A = b ? h b = 6, h = 4-------" A = 6 ? 4= 24 cm2

EJEMPLOS

8 cm

6 cm

b b

h hF

6 cm

4 cm

15 Determina el área de un romboide de base

8 cm y altura 5 cm.


14 Halla el área de un rombo de diagonal mayor

24 cm y diagonal menor 18 cm.

6 Calcula el área de un romboide cuya base

mide 7 cm y su altura, 3 cm.

8 cm

5 cm

d

d

DDF

175



Áreade un triángulo


Qué son la base y la altura de un triángulo

• Labase de un triángulo es cualquierade sus lados.

• Laaltura es un segmento perpendicular

a una base o a su prolongación, trazado

desde el vértice opuesto.

4

h

b

El área de un triángulo de base b y altura h es:

2

?

Ab h

=

En un triángulorectángulo podemosconsiderar uno de

los catetos como la basedel triángulo y el otro

como su altura.

El área de un triángulo de base b

y altura h es la mitad del área de unromboide de base b y altura h.

7 El área de un triángulo mide 48 cm2.Sisualtura

mide 8 cm, ¿cuánto mide su base?

8 El área de un triángulo mide 30 cm2, y la base

mide 12 cm. ¿Cuánto mide la altura?


18 Determina el área de un triángulo de base

4 cm y altura 7 cm.

19 Calcula el área de un triángulo rectángulo

de catetos 6 cm y 7 cm.

Altura

9 Obtén el área de un triángulo con altura 3 cm y base 4 cm.

Aplicando la fórmula del área del triángulo:

2 2

4 36

? ?

Ab h

cm2

= = =

El triángulo tiene un área de 6 cm2.

3 Calcula el área de un triángulo rectángulo cuyos

catetos miden 3 cm y 4 cm, respectivamente.

2 2

3 46

? ?

Ab h

cm2

= = =

4 El área de un triángulo mide 10 cm2.Sisubasemide4cm,

¿cuánto mide su altura?

? ?

? ?

?

Ab h h

h h2

102

410 2 4

4

10 25 cm= = = = =" " "

G

Pasa dividiendo

EJEMPLOS

4 cm

3 cm

3 cm

4 cm

GG

176



Áreade un trapecio


Cuáles son los elementos de un trapecio

• Labase mayor y la base menor deun trapecio son sus dos lados paralelos.

• Laaltura es un segmento perpendicular

a la base mayor, trazado desde el vértice

opuesto.

Si unimos dos trapecios iguales de base mayorB, base menor

by altura

h,obtenemos un romboide de base (B+ b) y altura h.

5

El áreadeuntrapecio de base mayor B, base menor b y altura h, es:

( ) ?

AB b h

2=

+

b b

B B

h h h

b B

B+ b

F

9 El área de un trapecio mide 92 cm2.Sisusbases

miden 13 cm y 10 cm, ¿cuánto mide su altura?

10 El área de un trapecio mide 38 cm2.Sisusbases

miden 12 cm y 7 cm, ¿cuánto mide su altura?


23 Calcula el área de un trapecio de altura

7 cm, y bases de 3 cm y 5 cm.

24 En un trapecio rectángulo, las bases miden

4 cm y 7 cm, y la altura 4 cm. Determina el valor

del otro lado y su área.

EJEMPLOS

5 Calcula el área de este trapecio.

2( )

2(5 8) 4 26

? ?

A B b h cm2= + = + =

6 El área de un trapecio isósceles mide 55 cm2.Sisusbasesmiden8cm

y 14 cm, respectivamente, ¿cuánto mide su altura?

( ) ( )

( )

? ?

? ?

?

AB b h h

h h

255

2

8 14

55 2 8 148 14

55 25 cm

=+

=+

= + =+

=

"

" "

Base menor

Altura

Base mayor

5 cm

4 cm

8 cm

En un trapeciorectángulo la alturacoincide con uno de

los lados del trapecio.

Altura

177



Áreade un polígono regular


Qué es un polígono regular

Un polígono es regular si tiene todos sus ladosy todos sus ángulos iguales.

• Elsegmentotrazadodesdeelcentroalpunto

medio de un lado es la apotema del polígono regular.

6

13 Calcula el área de este pentágono regular:

Hallamos el perímetro del pentágono:

Perímetro = 5 ? lado = 5 ? 6 = 30 cm

Sustituyendo en la expresión general:

Áí ,

,? ?

2 230 4 1

61 5reaper metro apotema

cm2= = =

EJEMPLO

6 cm

4,1 cm

El áreadeunpolígonoregular de perímetro P y apotema a es:

?

AP a

2=

Área

del círculoANTES, DEBES SABER…

Qué es un círculo

Un círculo es la parte del plano limitada

por una circunferencia.

7

15 Calcula el área de un círculo de radio 3 cm.

Aplicamos la fórmula y sustituimos: A = rr2 = r ? 32 = 3,14 ? 9= 28,26 cm2

EJEMPLO

El áreadelcírculo de radio r es: A= rr 2

D i á

m e t r o

R a d i o

11 ¿Cuánto mide el área de un círculo cuyo radio

mide 6,5 cm?


26 Obtén el área de un heptágono regular

de lado 6 cm y apotema 6,2 cm.

Apotema

G

178



38 Obtén el área

de la zona verde.

12 El área de un triángulo mide 14 cm2.

Siseleañadeuncuadradodelado4cm,

¿cuánto mide el área de la nueva figura?

4 cm


37 Calcula el área de estas figuras.

a)

b)

Áreade una figura plana8

17 Calcula el área del polígono.

Esta figura se puede descomponer en dos

polígonos: el triángulo ABC y el trapecio CDEF .

Área del triángulo ABC ( )

,?

2

12 9 994 5 cm2

=+

=

Área del trapecio CDEF 2

(8 12) 440

?

cm2=

+=

Área total del polígono= 94,5+ 40= 134,5 cm2

18 Determina el área de la figura de la derecha con los datos que se indican.

Descomponemos la figura en:

– Cuerpo, la parte de abajo: un trapecio al que habrá que restar

el área del círculo que hay en su interior.

– Mástil: un rectángulo.

– Clavijero, la parte de arriba: otro trapecio.

( ) ( )

? ?

AB b h

2 2

40 10 38950 cm2

Cuerpo =+

=+

=

ACírculo = rr2 = r ? 62 = 113,04 cm2

AMástil = b ? h = 65 ? 10= 650 cm2

2

( )

2

(20 10) 18270

? ?

AB b h

cm2Clavijero =

+=

+=

El área total será la suma de las áreas menos el área del círculode la figura:

ATotal = 950- 113,04+ 650+ 270= 1 983,04 cm2

EJEMPLOS

A

B

C D

E

F

9 cm

9 cm

4 cm

8 cm 1 2 c m

40 cm

20 cm

18 cm

10 cm

38 cm

65 cm

12 cm

F

F

El área de una figura plana cualquiera se puede hallar descomponiendo lafigura en otras figuras cuyas áreas sepamos calcular.

4 cm 5 cm

2 cm 6 cm

8 cm 14 cm

17 cm9 cm4 cm

179



2. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR EL LADO DE UN POLÍGONO

Halla el lado

de estos polígonos.

a) b) c)

PRIMERO. Identificamos el triángulo rectángulo y sus medidas.



Lo esencial

Perímetro Área

A = r ? r 2

A = a ? b A = l2 A = b ? h

1. UTILIZAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA CALCULAR ALTURAS

Halla la altura de estos polígonos.

a) b) c)

PRIMERO. Identificamos el triángulo rectángulo y sus medidas.


a) 52 = 32 + h2 b) 102 = 82 + h2 c) 82 = 42 + h2

h2 = 52 - 32 h

2 = 102 - 82 h2 = 82 - 42

h2 = 16 " 16 4h cm= = h

2 = 36 " 36 6h cm= = h2 = 48 " 48 6,93h cm= =


a) 372 = 122 + b2

b2 = 372 - 122

b2 = 1225 35b 1225 cm= ="

b) l2 = 152 + 82

l2 = 289

l 289 17 cm= =

c) , ,l l

13 10 52 2

58 752 2

2 2

= + ="e e o o , 7,66 15,3

ll

258 75 cm= = ="

O

a

r

e

d

c

b

a

b

h

b

h h

b

b

d D

l

B

a

r

l

h

3 cm

5 cm h

16 cm

10 cm h

22 cm4 cm

14 cm

8 cm

l

1 3 c m

1 0 , 5

c m

b

12 cm 3 7 c m

P = a + b + c + d + e

L = 2 ? r ? r

l

16 cm

30 cm

G

G

2?

AD d

=

2?

Ab h

=2

( ) ?

AB b h

=+

2?

AP a

=

180



3. CALCULAR EL ÁREA DE UNA FIGURA PLANA


1. ¿Cuánto vale el área de un rectángulo cuyos

lados miden 3 cm y 5 cm?

2. ¿Cuál es el área de un círculo de radio 3 cm?

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcularalturas

3. Halla la altura de un triángulo equilátero

de lado 8 cm.

4. Calcula el área de un trapecio rectángulocuyas bases miden 5 cm y 8 cm, y el ladooblicuo 5 cm.

Utilizar el teorema de Pitágoras para calcularel lado de un polígono

5. Si las diagonales de un rombo miden 40y 42 cm, respectivamente, ¿cuánto midesu lado?

6. Si la diagonal de un cuadrado mide 10 cm,¿cuánto mide su área?

Calcular el área de una figura plana

7. Calcula el área de esta figura:

8. Halla el área de la zona coloreada.

Y AHORA… PRACTICA

20 m

20 m

10 m

10 m

10 m5 m

5 m

Halla el área de esta figura.

PRIMERO. Descomponemos la figura en otras figuras

cuyas áreas sepamos calcular.

Esta figura está formada por:

• Un triángulo de base 4 cm y altura 3 cm.

• Un cuadrado cuyo lado mide 4 cm, y al que le quitamos

un círculo cuyo diámetro mide 4 cm.

ATotal = ATriángulo + ACuadrado - ACírculo

SEGUNDO. Calculamos cada una de las áreas.

ATriángulo = 2 2

4 3 6? ?b h cm2= =

ACuadrado= l2 = 42 = 16 cm2 ACírculo= r ? r2 = 3,14 ? 22 = 12,56 cm2

TERCERO. Sumamos y restamos para obtener el área total.

ATotal = ATriángulo + ACuadrado - ACírculo = 6+ 16- 12,56= 9,44 cm2

4 cm3 cm

181



ActividadesPERÍMETRO

40. ● Dibuja cinco figuras planas que tengan 30 cm

de perímetro. Indica los datos que las definen.

41. ● Sobreunacuadrícula,dibujacincofigurasdistintas que se puedan formar con 5 cuadraditos.

Estasfigurassedenominanpentaminos.Sepide:

a) Obtén el perímetro de cada figura.

b) ¿Tienen todas la misma área?

42. ● ¿Cuánto mide cada uno de los lados de un

octógono regular si su perímetro es de 32 cm?

44. ●● Halla el perímetro de un rombo cuyas

diagonales son 12 y 16 cm, respectivamente.

45. ●● ¿Cuánto mide el perímetro y la diagonal

de un rectángulo de lados 12 cm y 16 cm?

46. ●● Calcula la diagonal

y el perímetro de un cuadrado

de lado 5 cm.

47. ●● Halla el lado y la diagonal de un cuadrado

de perímetro 40 cm.

48. ●● Silosladosdelrectángulomiden12cmy 8 cm, y los puntos E, F , G y H son los puntos

medios de los lados del rectángulo, calcula

el perímetro del rombo de la figura.

49. ● Obtén la longitud de las siguientes

circunferencias.

a) De 12 cm de radio.

b) De 10 cm de diámetro.

c) Si la tercera parte del radio es 5 cm.

50. ● La diagonal de un cuadrado inscrito en una

circunferencia mide 4 cm. Halla la longitud

de la circunferencia.

51. ●● Calcula el perímetro del cuadrado inscrito

en una circunferencia de radio 5 cm.

52. ●● Dado un cuadrado de 10 cm de lado, obtén:

a) La longitud de la circunferencia inscritaen el cuadrado.

b) La longitud de la circunferencia circunscritaen el cuadrado.

53. ● En una circunferencia de radio 12 cm, calcula

la longitud de los siguientes arcos.

a) 30° c) 90°

b) 60° d) 120°

54. ●● En una circunferencia, la longitud de un arco

de 270° es 628 cm. ¿Cuál será la longitud de

la circunferencia?

¿CÓMO SE CALCULA EL PERÍMETRODE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULOSI NO SE CONOCE UN LADO?

43. ¿Cuánto mide el perímetro de un triángulo

rectángulo cuyos catetos son 3 cm y 4 cm?

PRIMERO. Se calculacuánto mide el ladodesconocido aplicandoel teorema de Pitágoras.

a2 = 33 + 42

9 16 25 5a cm= + = =

SEGUNDO. Se halla el perímetro.

P= 3+ 4+ 5= 12 cm

HAZLO ASÍ

3 cm

4 cm

5 cm

E

G

F H

4 cm

1 0 c m

182



ÁREA DE PARALELOGRAMOS

55. ● Calcula el área de las siguientes figuras.

a) c)

b) d)

56. ●● Un cuadrado tiene una superficie de 3 600 m2.

¿Cuánto mide cada uno de sus lados?

57. ●● En un rectángulo de 320 cm2 de superficie,

uno de sus lados mide 20 cm. ¿Cuánto mide

el otro?

58. ●● Un rombo tiene un área de 400 cm2 y una

de sus diagonales mide 40 cm. ¿Cuánto medirá

la otra diagonal?

59. ●●Siunromboidetieneunáreade66cm2

y su altura mide 6 cm, ¿cuánto mide su base?

61. ● Obtén el área de las siguientes figuras.

a) c)

b) d)

13. ●● Calcula el área y el perímetro

de un rectángulo si su altura mide 8 cm

y su diagonal, 10 cm.

14. ●● ¿Cuánto mide el área y el perímetro de

un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 9 cm?

ÁREA DE UN TRIÁNGULO

64. ● Obtén el área de los siguientes triángulos.

a) Base= 5 cm y altura= 12 cm

b) Base= 8 dm y altura= 13 cm

c) Base= 5 dm y altura= 15 cm

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN TRIÁNGULOEQUILÁTERO CONOCIDO SU LADO?

15. Determina el área de un triángulo equilátero

cuyo lado mide 8 cm.

PRIMERO. Se identifica un triángulo rectángulo.

8 cm

SEGUNDO. Se calcula la altura del triángulo aplicandoel teorema de Pitágoras.

h2 = 82 - 42

h2 = 48 " 48 6,93h cm= =

TERCERO. Se calcula el área.

2 2

8 6,9327,72

? ?

Ab h

cm2= = =

¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN ROMBOCONOCIENDO SU LADO Y UNA DE SUSDIAGONALES?

60. Halla el área de un rombo

en el que una de las

diagonales mide 12 cm

y el lado 10 cm.

PRIMERO. Se calcula la diagonal desconocidaaplicando el teorema de Pitágoras.

OC= 12 : 2= 6 cm CD= 10 cm

CD2 = OC2 + OD2

10 6 64 8OD cm2 2

= - = =

Diagonal mayor= 2 ? 8= 16 cm

SEGUNDO. Se halla el área.

Área del rombo2 2

16 1296

? ?D d cm

2= = =

HAZLO ASÍ

12 cm

1 0 c m

O

D

B

C A

6 cm

1 0 c m

CO

D

10 cm

4 cm

6 cm

20 cm 2 0 c m

4 6 c m

18 cm

1 0 c m

7 cm

4 cm3 cm

6 cm

5 cm

8 cm

12 cmG

G

183



16. ● Halla el área de un triángulo equilátero cuyo

lado mide 6 cm.

17. ● Calcula el área de un triángulo rectángulo

sabiendo que su hipotenusa mide 17 cm y uno

de sus catetos, 15 cm.

65. ● En este triángulo

isósceles, calcula.

a) El perímetro del triángulo.

b) La altura del triángulo.

c) El área del triángulo.

66. ● En un triángulo isósceles, los lados iguales

AC y BC miden 20 cm, y la base AB tiene 24 cm

de longitud. Calcula su perímetro, su altura

y su área.

67. ● Halla el área de un triángulo equilátero

de perímetro 60 cm.

68. ●● Un triángulo isósceles tiene de perímetro

32 cm y la medida del lado desigual es 12 cm.

a) ¿Cuánto mide su altura?

b) ¿Cuál es su área?

70. ● Calcula la altura de un triángulo cuya

base mide 18 cm y su área 9 dm2.

71. ● Halla la altura de un triángulo de 2 cm de base

y 1 dm2 de área.

72. ● Determina la altura de un triángulo de 8 cm

de base y 64 cm2 de área. ¿Cómo es el triángulo?

73. ●● En un triángulo rectángulo isósceles,

el área mide 50 m2. Calcula la base y la altura.

ÁREA DE UN TRAPECIO

74. ● Las bases de un trapecio miden 0,8 dm y 7 cm.

¿Qué superficie tendrá, si la altura es 4 cm?

75. ● Las bases de un trapecio rectángulo miden

10 m y 15 m, y su altura 8 m. Calcula su área.

76. ● Halla el área de un trapecio rectángulo

de bases 8 cm y 12 cm, y de lado perpendicular

a las bases 5 cm.

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE UN TRAPECIOSI SU ALTURA ES DESCONOCIDA?

18. Calcula el área de este trapecio:

PRIMERO. Se identificaun triángulo rectángulo.

SEGUNDO. Se calcula la alturadel trapecio aplicandoel teorema de Pitágoras.

h2 = 102 - 62 " h2 = 64" 64 8h cm= =

TERCERO. Se calcula el área.

( ) (24 12) 8144

? ?

AB b h

2 2cm2

=+

=+

=

19. ● Calcula el área de un trapecio isósceles

sabiendo que sus bases miden 16 cm y 10 cm

y el otro lado, 5 cm.

ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES

82. ● Calcula el área de un pentágono regular

cuyo lado mide 20 cm y su apotema 13,76 cm.

83. ● Obtén el área de un hexágono regular cuyo

lado mide 25 cm y su apotema 21,65 cm.

84. ●● Halla el lado de un hexágono regular

de apotema 6 cm y área 124,7 cm2.

85. ●● Determina el perímetro de un heptágono

regular de área 215,75 dm2 y apotema 8 dm.

86. ●● Calcula la apotema de un octógono regular

de lado 56 cm y radio 73,17 cm.

87. ●● Halla el área de un decágono regular de lado

22,87 cm y radio 37 cm.

1 3 , 7

6 c m

20 cm

10 cm

12 cm

10 cm

C

A B

12 cm

24 cm

10 cm

6 cm

h

10 cmh

10 cm

184



ÁREA DEL CÍRCULO

20. ● Calcula el área de un círculo cuyo radio

mide 13 cm.

21. ●

¿Cuánto mide el área de un círculo cuyodiámetro mide 20 cm?

89. ●● Dada una circunferencia de 6 cm de diámetro:

a) Calcula su radio.

b) Dibuja la circunferencia y señala el círculo.

c) Halla el área del círculo.

90. ●● Considerando un círculo de 46 cm2 de área:

a) Calcula el radio y el diámetro.

b) Dibuja la circunferencia y señala el círculo.

c) Obtén la longitud de la circunferencia.

91. ● Determina el área de un círculo, sabiendo

que la longitud de la circunferencia que

lo delimita es 25,12 cm.

ÁREA DE UNA FIGURA PLANA

99. ●● Obtén el área de las zonas coloreadas.

a) b)

100. ●● Calcula

el área de

esta figura:

101. ●● Determina el área y el perímetro de las

siguientes figuras, y explica cómo lo haces.

a)

b)

PROBLEMAS DE ÁREAS

104. ● ¿Cuál es el área de

un tablero de ajedrez

si cada casilla tiene 25 mm

de lado?

105. ●● ¿Cuántas baldosas hay en un salón

cuadrado de 6 m de longitud si cada baldosa

es cuadrada y mide 20 cm de lado?

106. ●● Calcula cuánto medirá el lado

de una baldosa cuadrada que tiene de

superficie 324 cm2.

107. ●● ¿Cuánto costará empapelar una pared

cuadrada de 3,5 m de lado con un papel

que cuesta 4€/m2?

108. ●● Una habitación cuadrada tiene una

superficie de 25 m2.Sevaaponerunacenefa

alrededor que cuesta 2 €/m. ¿Cuánto valdrá?

109. ●● Plantamos árboles en un jardín cuadrado

de 256 m2deárea.Sicada4mseponeunárbol,

¿cuántos árboles se plantarán?

110. ●● ¿Cuántos árboles podremos plantar en un

terreno con forma de paralelogramo de 30 m

de largo y 32 m de ancho, si cada árbol necesita

una superficie de 4 m2?

111. ●● ¿Cuánto costará cubrir de plástico un

terreno en forma de rombo, con diagonales

de 68,65 m y 43,8 m si cuesta 30 €/m2?

112. ●●Sevaasembrarde césped un campo

de golf que tiene

forma de trapecio.

Susbasesmiden:

4 hm, 9 dam y 5 m,

y1hmy5m.Sisu

altura es de 80 m,

¿cuánto costará, si

sembrar un metro

cuadrado vale 2 €?

A B

10 cm

8 cm

A B

D C

16 cm

7 c m

8 cm

6 , 9 c

m

2 cm

3 cm

1 cm

185



2Poliedros y cuerposde revolución

1. ¿Quién fue Leonhard

Euler? ¿Cuáles fueron

sus aportaciones más

importantes al estudio

de las matemáticas?

2. ¿A qué episodio

de la vida de Euler

se refiere el texto?

¿Por qué Federico

el Grande lo apodó

cíclope matemático?

3. El texto hace

referencia

a la relación de Euler,

¿qué otros

descubrimientos

matemáticos

se le atribuyen a Euler

en el campo

de la geometría?


El cíclope matemático

La tensión se apreciaba en el rostro de

los presentes. La operación de cataratasparecía un éxito, pero la luz se fue apagandoy Euler se quedó ciego.

Euler, que a sus 59 años derrochaba vitalidad,era el menos afectado de todos y bromeabacontando anécdotas de su vida.

–Si Federico el Grande de Prusia me viera ahorano sabría cómo llamarme –decía Euler, puesel monarca lo llamaba el cíclope matemático,porque había perdido un ojo en su juventud.

Euler continuaba con sus bromas y afirmaba:–¡Ahora me llamaría Polifemo! –pero solo él rióun chiste que a los demás les pareció inoportuno.

Recuperando la seriedad, Euler se dirigióa su familia:

–No os preocupéis, la vista no lo es todo; de hechoahora evitaré distracciones y me concentraré más.Lo que sí lamento es no poder escribir o dibujar.

–No te preocupes por eso –le dijo su hijo–.Tú solo piensa y dicta, que yo estaré aquí paraescribir y dibujar lo que tú imaginas.

Esto ocurría en 1766 en San Petersburgo. Varios años antes, durante su estancia en Prusia,Euler publicó uno de sus trabajos más conocidos:la relación de Euler, que afirma que,en cualquier poliedro simple, el númerode caras más el de vértices es igualal número de aristasmás 2.




POLÍGONOS

Un polígono es una figura plana y cerrada limitada por segmentos. Sus elementos son:

• Lados: segmentos que delimitan el polígono.• Vértices: puntos donde se unen dos lados.• Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos.• Ángulo interior: ángulo formado por los lados del polígono.

Clasificación de polígonos

N.o de lados Nombre Regular Irregular

3 Triángulo

4 Cuadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono

10 Decágono

11 Endecágono

12 Dodecágono

Vértice

D i a g o

n a l

Lado

Ángulointerior

En esta unidad

aprenderás a…

• Distinguir los elementos

de los poliedros y los

cuerpos de revolución.

• Calcular el número

de caras, aristas

y vértices de poliedros.

• Determinar cuerpos de

revolución a partir

de una figura plana.

PLAN DE TRABAJO

Para comprobarsi un polígono es regular

o irregular nosfijamos en sus lados

y sus ángulos.

EVALUACIÓN INICIAL

1 Dibuja un polígono de siete lados e identifica sus elementos.

2 Clasifica estos polígonos según su número de lados.

187



Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por caras en forma depolígonos.

Poliedros2

2.1 Elementos de un poliedro

Los elementos de un poliedro son:

• Caras: son los polígonos que limitan el po-liedro.

• Aristas: son los lados de las caras.

• Vértices: son los puntos comunes de las aristas.

• Diagonal: es el segmento que une dos vérticesno consecutivos del poliedro. Puede trazarse en

una misma cara o entre distintas caras.

2.2 Desarrollo plano de un poliedro

El desarrollo plano de un poliedro es la superficie que resulta al exten-derlo sobre un plano.

D i a g o n a l

D i a g o n a l

A r i s t a

F

F

Vértices

EJEMPLO

1 Determina los elementos

de este poliedro.

F

Cara

AristaVértice

F

F

F

5 Cuenta el número

de vértices, caras

y aristas del poliedro.

1 Dibuja un poliedro cuyas caras sean todas

rectángulos.


4 Nombra y dibuja los elementos

de estos poliedros.

a) b)

BG

H E

C D

A F

188



9 Dibuja el desarrollo plano

de un prisma de base

cuadrada.


8 Calcula el número de vértices,

aristas y caras de un prisma

cuya base es un hexágono.

Prismas


Qué son los paralelogramos y cómo se clasifican

Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus lados paralelos dosa dos. Se clasifican en:

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

4 lados iguales 4 ángulos rectos 4 lados iguales Lados y ángulos 4 ángulos rectos iguales dos a dos

No tiene ángulos rectos.

Un prisma es un poliedro con dos caras iguales y paralelas entre sí ycuyas caras restantes son paralelogramos.

3.1 Elementos de un prisma

Los elementos de un prisma son:

• Bases o caras básicas: son dos polígonos igualessituados en planos paralelos.

• Caras laterales: son paralelogramos.

• Aristas básicas: son los lados de los polígonos delas bases.

• Aristas laterales: son los lados de las caras late-rales.

• Vértices: son los puntos en los que se cortan lasaristas.

• Altura de un prisma: es la distancia entre las bases.

3.2 Tipos de prismas

Para clasificar los prismas nos fijamos en los polígonos de las bases.

Prismatriangular

Prismacuadrangular

Prismapentagonal

3

Base

Altura

Vértice

Aristabásica

Aristalateral

G

G

Caralateral

G

G

G G

Desarrollo planode un prisma hexagonal

189



Desarrollo planode una pirámide hexagonal

Pirámides


Cómo se clasifican los triángulos

Según la longitud de sus lados, los triángulos pueden ser:Equilátero

Tiene los tres ladosy los tres ángulosiguales.

Isósceles

Tiene dos ladosy dos ángulosiguales.

Escaleno

Tiene los tres ladosy los tres ángulosdesiguales.

Una pirámide es un poliedro en el que una de sus caras es un polígono

cualquiera y el resto son triángulos que concurren en un punto.

4.1 Elementos de una pirámide

Los elementos de una pirámide son:

• Base: es un polígono cualquiera.

• Caras laterales: son triángulos que concurrenen un punto llamado vértice de la pirámide.

• Aristas básicas y aristas laterales: son las aris-tas de la base y de las caras laterales, respecti-vamente.

• Altura de la pirámide: es el segmento perpendi-cular trazado desde el vértice a la base.

4.2 Tipos de pirámides

Como en los prismas, para clasificar las pirámides nos fijamos en el polí-gono de la base.

Pirámidetriangular

Pirámidepentagonal

Pirámidehexagonal

4

Base

Vértice

Altura

Caralateral

G

G

G

G

3 Dibuja el desarrollo plano de las pirámides

del ejercicio anterior. ¿Cuántas aristas, vértices

y caras tienen?


2 Dibuja una pirámide hexagonal y otra de base

triangular. ¿Tienen alguna característica

común?

190



Poliedrosregulares


Qué es un polígono regular

Un polígono es regular si tiene todos sus ladosy todos sus ángulos iguales.

Un poliedro es regular cuando cumple las siguientes condiciones:

• Todas sus caras son polígonos regulares, iguales en forma y tamaño.• En cada vértice concurre el mismo número de aristas.

5.1 Tipos de poliedros regulares

Solo existen cinco poliedros regulares.

5

TetraedroTiene 4 caras, que sontriángulos equiláteros.

Cubo

Tiene 6 caras, que soncuadrados.

OctaedroTiene 8 caras, que sontriángulos equiláteros.

Dodecaedro

Tiene 12 caras, que sonpentágonos regulares.

Icosaedro

Tiene 20 caras, que sontriángulos equiláteros.

F

F

F

F

F

El triángulo equiláteroes el único polígono regular

de tres lados, y el cuadrado,

el único polígono regularde cuatro lados.

5 Dibuja un cubo cuyas aristas miden 4 cm

y su desarrollo plano.


4 Dibuja en tu cuaderno un tetraedro

y su desarrollo plano.

191



6.2 Cono

Un cono es un cuerpo geométrico engendrado por el giro de un trián-gulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

Elementos del cono

• Eje: es la recta determinada por el cateto sobre el que gira el triángulo.

• Altura: es la longitud del cateto sobre el que gira el triángulo.

• Generatriz: es la hipotenusa del triángulo.

• Base: es el círculo que se genera al girar el cateto perpendicular al eje.

• Radio: es el radio de la base, es decir, la longitud del cateto perpendicularal eje.

Desarrollo plano del cono


Qué es un sector circularUn sector circular es la parte del círculo limitada

por dos radios y un arco.

El desarrollo de un cono está formado por un sector circular y un círculo:

• El radio del sector circular es la generatriz.

6.3 Esfera


Qué es un semicírculoUn semicírculo es la mitad de un círculo.

Está limitado por un diámetro.

Una esfera es un cuerpo de revolución engendrado por un semicírculoque gira sobre su diámetro.

Elementos de la esfera

• Eje: es la recta determinada por el diá-metro sobre el que gira el semicírculo.

• Centro: es el centro del semicírculo.

• Radio: es el radio del semicírculo.

La esfera no tienedesarrollo plano.

Radio

G e n e

r a t r i z

A l t u r a

Ejede giro

Base

F

F

F

F

Radio

Centro

Ejede giro

F F

GG F

r

g

Desarrollo planode un cono

8 Dibuja un semicírculo y la esfera que genera

al girar.


7 Dibuja un triángulo rectángulo y el cono que

genera al girar.

193




Prisma

Triangular Cuadrangular Pentagonal

Pirámide

Triangular Cuadrangular Pentagonal

Poliedros regulares

Tetraedro Octaedro Icosaedro Cubo Dodecaedro

Cilindro

Generatriz

Eje

Radio

F F

G

G

Cono

Generatriz

Eje

Radio

F F

G

F

EsferaEje F

G G F

Radio

Centro

F


1. IDENTIFICAR POLIEDROS

Identifica cuáles de estos cuerpos

geométricos son poliedros.

a) b) c)

PRIMERO. Decidimos si las caras son

polígonos. Si no lo son, no es un poliedro.

a) Rectángulos" Es un poliedro.

b) Triángulos" Es un poliedro.

c) Superficie curva"No es un poliedro.

SEGUNDO. Si es un poliedro, contamos

el número de bases:

• Si tiene dos bases es un prisma.

• Si tiene una base es una pirámide.

a) Dos bases" Es un prisma.

b) Una base" Es una pirámide.

2. IDENTIFICAR CUERPOS

DE REVOLUCIÓNIdentifica cuáles de estos cuerpos

geométricos son cuerpos de revolución.

a) b) c)

PRIMERO. Decidimos si las caras no son

planas. Si es así, es un cuerpo de revolución.

a) y b) Caras no planas" Es un cuerpo

de revolución.c) Rectángulos"No es un cuerpo

de revolución.

SEGUNDO. Si es un cuerpo de revolución,

contamos el número de bases:

• Si tiene dos bases es un cilindro.

• Si tiene una base es un cono.

a) Dos bases" Es un cilindro.

b) Una base" Es un cono.

194



2. DETERMINAR EL CUERPO DE REVOLUCIÓN QUE GENERA UNA FIGURA PLANA

Halla el cuerpo de revolución que genera esta figura

al girar alrededor de su eje.

PRIMERO. Dibujamos una figura simétrica respecto del eje.

SEGUNDO. Damos volumen a esa figura, teniendo en cuenta

que en la superficie lateral de la figura no hay polígonos.


1. Dibuja un prisma triangular y un cono.

Identificar cuerpos geométricos

2. Identifica los siguientes cuerpos geométricos.

Calcular el número de caras, aristas y vértices

de prismas y pirámides2. Determina el número de caras,

aristas y vértices de este

poliedro:

Determinar el cuerpo de revoluciónque genera una figura plana

3. Dibuja el cuerpo de revolución

que determina esta figura

al girar sobre su eje.

Y AHORA… PRACTICA

1. CALCULAR EL NÚMERO DE CARAS, ARISTASY VÉRTICES DE PRISMAS Y PIRÁMIDES

Calcula el número de caras, aristas y vértices de estos poliedros.

PRIMERO. Contamos las caras, aristas y vértices de las bases del poliedro.

a) Bases: dos pentágonos"

é

?

?

2

2 5 10

2 5 10

caras

aristas

v rtices

=

=

*

b) Base: un hexágono

é

1

6

6

cara

aristas

v rtices

*SEGUNDO. El número de caras laterales es igual que el de lados de la base.

El número de aristas es el mismo que el de vértices de la base, y solo en el caso

de la pirámide hay que añadir un vértice más, el vértice de la pirámide.

a)5

5Prismapentagonal

caras

aristas" ( b) á

é

6

6

1

ir mide hexagonal

caras

aristas

v rtice" *

TERCERO. Sumamos el número de caras, aristas y vértices obtenido en los pasos anteriores.

a) Caras = 2+ 5= 7 b) Caras = 1+ 6= 7

Aristas = 10+ 5= 15 Aristas = 6+ 6= 12

Vértices= 10 Vértices= 6+ 1= 7

a) b)

195



ActividadesPOLIEDROS

31. ● Determina cuáles de estos cuerpos

geométricos son poliedros.

a)

c)

e)

g)

b)

d)

f)

h)

32. ● Dibuja un poliedro que tenga una base que sea

un pentágono.

33. ● Un cuerpo geométrico cuya base sea

un círculo, ¿puede ser un poliedro?

34. ●● Observa la figura.

a) ¿Cuántos vértices, aristas y caras existen?

35. ●● Justifica si es verdadero o falso.

a) Un poliedro puede tener el mismo número

de vértices y de aristas.

b) Un poliedro puede tener igual número

de caras que de aristas.c) Un poliedro puede tener el mismo número

de caras y de vértices.

36. ●● Dibuja un poliedro con hexágonos

y rectángulos. ¿Cuántas caras se unen

en un vértice?

37. ●● ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene

un poliedro formado por dos triángulos

y tres rectángulos?

PRISMAS

38. ● Determina cuáles de estos poliedros

son prismas.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

39. ● Dibuja un prisma de base triangular.

HAZLO ASÍ

¿Cómo se obtiene el desarrollo plano de un prisma con base un polígono regular?

9. Dibuja el desarrollo plano de este prisma.

PRIMERO. Se identifica el polígono que forma las bases

del prisma.

En este caso, las bases son cuadrados.

SEGUNDO. Se dibuja una de las bases y sobre ella

se traza uno de los paralelogramos que forman

las caras laterales.

TERCERO. A continuación, se añade la otra base y

se dibuja el resto de paralelogramos de las caras,

iguales al que ya se ha dibujado.

196



40. ● Dibuja el desarrollo de un prisma triangular

cuya base es un triángulo equilátero

de lado 4 cm.

41. ● Dibuja el desarrollo plano de un cubo

de lado 3 cm.

10. ● Dibuja el desarrollo plano de un prisma cuyas

bases sean cuadrados de 2 cm de lado, y su

altura mida 3 cm.

11. ● Dibuja el desarrollo plano de un prisma de

bases pentagonales y cuya altura mida 4 cm.

12. ● Dibuja el desarrollo plano de un prisma de

bases hexagonales y altura 5 cm.

42. ● Calcula el número de vértices, aristas y caras

de un prisma cuyas bases son octógonos.

13. ●● Si el número de aristas de un prisma es 21,¿qué polígonos forman las bases?

14. ●● El número de vértices de un prisma es 20.

¿Qué polígonos forman sus bases?

15. ●● El número total de caras de un prisma es 18.

¿Qué polígonos forman sus bases?

45. ● Sabiendo que el número de vértices

de un prisma es 20, ¿cuántas caras tiene?

46. ● Un prisma tiene 10 vértices. ¿Puedes indicar

cómo son los polígonos de las bases?

Si es posible, hazlo.

47. ●● Calcula

la superficie de metal

necesario para

construir esta caja

con forma de prisma

regular hexagonal.

PIRÁMIDES

48. ● Determina cuáles de estos poliedros son

pirámides.

a) c) e)

b) d) f)

49. ● Dibuja una pirámide de base cuadrangular.

16. ● Dibuja una pirámide cuya base sea un

pentágono e identifica todos sus elementos.

17. ● Dibuja una pirámide con cinco caras que sean

triángulos isósceles. ¿Qué polígono forma

su base?

6 cm12 cm

G

¿CÓMO SE DETERMINAN LOS POLÍGONOS QUEFORMAN LAS BASES DE UN PRISMA, SABIENDOSU NÚMERO DE CARAS, ARISTAS O VÉRTICES?

43. Determina, en cada caso, los polígonos

que forman la base de los siguientes prismas.

a) Número de vértices= 10

b) Número de caras= 9

c) Número de aristas= 18

PRIMERO. Se analiza el número de vértices, caras

y aristas.

• El número total de vértices es el de las dos bases.

a) Cada base tiene:2

105= vértices

• El número total de caras corresponde

a las caras laterales más las dos bases.

b) Número de caras laterales: 9- 2= 7

• El número total de aristas es el de las dos bases

más el de las caras laterales, que es igual

al de las bases.

c) La base tiene:3

186= aristas

SEGUNDO. Se estudia el resultado.

N.º de vértices de la base=N.º de caras laterales=

=N.º de aristas de la base

a) N.º de vértices de la base= 5 " Pentágono

b) N.º de caras laterales= 7 ---" Heptágono

c) N.º de aristas de la base= 6 -" Hexágono

HAZLO ASÍ

197



52. ●● Averigua el polígono que forma la base

de una pirámide en los siguientes casos.

a) 12 aristas y 7 vértices.

b) 8 caras laterales.

c) 8 aristas y 5 vértices.

d) 9 caras laterales y 10 vértices.

e) 20 aristas.

f) 13 vértices.

g) 10 caras laterales.

h) 13 caras en total y 24 aristas.

53. ●● Una pirámide tiene 7 vértices. ¿Cuántos lados

tendrá el polígono de la base?

54. ●● Entre los poliedros regulares, ¿hay alguna

pirámide?

55. ●● Sabiendo que el número de vértices de una

pirámide es 11 y el número de aristas es 20,

¿cuántas caras tiene en total?

56. ●● ¿Cuál es el mínimo número de aristas

de una pirámide?

57. ●● ¿Cuál de estas afirmaciones es falsa?

a) En una pirámide, todas sus caras laterales

y su base son triángulos equiláteros.

b) La base de una pirámide puede ser un polígono

cualquiera.

58. ●● Dibuja el desarrollo de una pirámide

cuya base sea un triángulo isósceles. Describe

la relación entre sus caras laterales.

59. ●● ¿Existe alguna pirámide cuyas caras laterales

sean todas triángulos rectángulos?

60. ●● ¿Cuál es el mínimo número de vértices

y de caras de una pirámide?

POLIEDROS REGULARES

61. ● En el siguiente dibujo hay

un cubo y, en su interior, un

octaedro cuyos vértices están

situados en el punto medio

de cada cara del cubo.

Completa la tabla.

Caras

Aristas

Vértices

Cubo Octaedro

18. ● Dibuja el desarrollo plano de un octaedro.

19. ● ¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene un

tetraedro? ¿Y un dodecaedro? Dibuja sus

desarrollos planos.

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

65. ● Determina cuáles son cuerpos de revolución.

a) c) e)

b) d) f)

¿CÓMO SE DETERMINA EL POLÍGONOQUE FORMA LA BASE DE UNA PIRÁMIDE, SABIENDOSU NÚMERO DE CARAS, ARISTAS O VÉRTICES?

51. Determina, en cada caso, el polígono queforma la base de las siguientes pirámides.

a) Número de vértices= 10

b) Número de caras= 9

c) Número de aristas= 18

PRIMERO. Se analiza el número de vértices, caras

y aristas.

• El número total de vértices es el de la base más

uno.

a) Número de vértices de la base: 10- 1= 9

• El número total de caras es el de las caras

laterales más uno.b) Número de caras laterales: 9- 1= 8

• El número total de aristas es el de la base más

el de las caras laterales, que es el mismo.

c) La base tiene:2

189= aristas

SEGUNDO. Se estudia el resultado.

N.º de vértices de la base=N.º de caras laterales=

=N.º de aristas de la base

a) N.º de vértices de la base= 9 " Eneágono

b) N.º de caras laterales= 8 "Octógono

c) N.º de aristas de la base=

9"

Eneágono

HAZLO ASÍ

198



66. ● Dibuja los cuerpos que se generan al girar

las siguientes figuras en torno a los ejes

indicados.

a) b) c)

67. ●● Dibuja los polígonos y el eje de estas figuras

de revolución.

a) b)

HAZLO ASÍ

¿Cómo se obtiene el desarrollo plano de un cilindro?

20. Dibuja el desarrollo plano de este cilindro.

PRIMERO. Se calcula la longitud de la circunferenciade la base.

L = 2rr = 2 ? 3,14 ? 3= 18,84 cm

SEGUNDO. Se dibuja un rectángulo cuya altura es

la generatriz del cilindro y la base es la longitud

de la circunferencia de la base.

TERCERO. Se añaden los dos círculos que forman

las bases, unidos por un punto, cada uno,

al rectángulo.

21. ● Dibuja el desarrollo plano de un cilindro

cuya altura sea 4 cm.

22. ● Dibuja el desarrollo plano de un cilindro si

su altura mide 6 cm y el radio de su base, 3 cm.

23. ● Dibuja el desarrollo plano de un cilindro

sabiendo que su generatriz mide 5 cm y el radio

de su base, 2 cm.

71. ●● Dibuja el desarrollo de un cilindro cuya altura

mide 12 cm y el radio de la base 6 cm.

72. ●● Dibuja el desarrollo de un cono con radio de

la base 4 cm y altura 8 cm.

73. ●● ¿Cuánto vale la altura de un cono cuyo radio

de la base mide 8 cm y la generatriz 10 cm?

PROBLEMAS CON CUERPOSGEOMÉTRICOS

74. ●● El cilindro de cartón de un rollo de papel tiene

un radio de 2,3 cm y un ancho de 24 cm.

¿Qué dimensiones tiene el cartón?

G

F

2,3 cm

G

2 4 c m

75. ●● Un orfebre ha realizado un brazalete cilíndrico

cuyo exterior quiere cubrir de plata. El radio

del brazalete es de 3 cm y su altura de 4 cm.

¿Qué área tiene que cubrir de plata?

76. ●● Lola pinta joyeros de madera. Hoy ha pintado

dos joyeros como el de la figura. ¿Qué área

ha pintado en total?

6 cm

6 cm

10 cmG

6 cm

77. ●●● Delia trabaja en una fábrica donde hacen

latas cilíndricas de conservas. Si las latas tienen

un área de 500 cm2 y un radio de 5 cm,

¿cuál es su altura?

199



13


sobre la vida de María

Gaetana Agnesi,

matemática que vivió

en el siglo XVIII.

2. María Agnesi

estudió con detalle

una curva llamada,

debido a una malatraducción, la bruja

de Agnesi. Investiga

cómo se genera dicha

curva y describe sus

propiedades.

3. Averigua qué otros

trabajos realizó María

Agnesi relacionados

con las matemáticas.


La bruja de Agnesi

Los ágiles dedos acariciaban las cuerdasy arrancaban dulces sonidos al arpa.María Agnesi se relajó por un momento.Oír a su hermana Teresa tocar el arpahacía que se olvidara de todo, y que soloexistieran notas y compases.

Después de concluir la pieza, Teresale preguntó a su hermana por su enfadoy esta le contestó:

–Esta mañana ha vuelto a suceder: unode mis alumnos de la universidad ha vueltoa llamarla la bruja de Agnesi.

–María –le cortó su hermana–, olvidaya esa historia. Nadie tiene la intenciónde ofenderte al nombrar la gráfica así.

–¡Pero lo hacen! –dijo María–. La culpala tiene el traductor que al traducir mi libroal inglés llamó a la curva la bruja de Agnesi,y han terminado llamándomelo a mí.

Actualmentea esta gráfica

se le sigue llamandola bruja de Agnesi,en honor de MaríaGaetana Agnesi,que fue la primeramujer en impartirclases en unauniversidad.

1

2

1

X

Y

Funcionesy gráficas





• Usar las coordenadas

cartesianas para

representar puntos.

• Hallar las coordenadas

de un punto del plano.

• Interpretar gráficas

de funciones.

PLAN DE TRABAJO

COMPARACIÓN DE NÚMEROS

Números enteros

De dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.Comparamos -5 y -8:

8 8

| |

| |

5 55 8 5 8< >

- =

- =- -" "3

Números decimales

• Paracompararnúmerosdecimalespositivosloscomparamosunidadaunidad.Es mayor el número que tiene mayor parte entera. Si esta es igual, es mayor el número con mayor partedecimal, comparada cifra a cifra.

Comparamos 6,25 y 6,28:

6,25 6,28 " 5 < 8 " 6,28 > 6,25=

=<

•Silosnúmerosdecimalessonnegativos,comparamossus valores absolutos. Es mayor el que tiene menor valor absoluto.

Comparamos -6,25 y -6,28:

, ,, , , ,

| |6 25 6 256 25 6 28 6 25 6 28< >

- =- -" "

6,28 6,28| |- =3

Fracciones

Para comparar fracciones las expresamos como números decimales.

Comparamos4

3-y

2

1-:

, ,4

30 75

2

10 5

-

=-

-

=-

| , | ,, , , ,

0 75 0 750 5 0 75 0 5 0 75

2

1

4

3< > >

- =- -

- -" " "

| , | ,0 5 0 5- =2

El mayor de dosnúmeros es el que está

situado más a la derechaen la recta numérica.

-10 -8 -5 0

6,28 6,36,256,2

-6,25 -6,2-6,28-6,3

0-1

4

3-

2

1-

EVALUACIÓN INICIAL

1 Ordena estos números enteros de mayor a menor.

5 -5 7 13 -7 8 -13 -8 6 -6

2 Ordena estos números decimales de mayor a menor.

7,25 -7,48 -7,09 8,48 -7,7 8,84

3 Ordena estos números de mayor a menor.

0,52

1-4 1,25 -3

4

3 -2

201



3 El punto A está situado a la derecha de cero.

¿Qué afirmación es correcta?

a) A es positivo.

b) A es negativo.


1 Representa los siguientes números en una recta

horizontal:-1, 5, 7 y -4.

2 Representa estos números en una recta vertical:

-8, 5, 7 y-4.

Rectasnuméricas1

Para representar un número en una recta numérica se marca un punto dereferencia, al que llamamos origen y al cual le hacemos corresponder elnúmero 0. A continuación, se elige una unidad y se desplaza.

• Sidibujamoslarectadeformahorizontal,losnúmerosconsignopositivo se colocan ordenados a la derecha del cero y los negativosa la izquierda.

• Siladibujamosdeformavertical,losnúmerospositivossecolocanpor encima del cero y los negativos por debajo, respetando siempreel orden natural.


Qué son fracciones propias e impropias

Una fracción es propia cuando el numerador

es menor que el denominador, y es impropia 5

3"Propia

5

7"Impropia

cuando el numerador es mayor.

EJEMPLO

1 Representa los números -2, 4 y4

9en una recta horizontal.

Para representar -2, partiendo del 0, contamos 2 unidades

a la izquierda, por ser un número negativo. Para representar 4, partiendo

del 0, contamos 4 unidades a la derecha, por ser un número positivo.

0-2 -1-3-4 1 2 3 4

Para representar4

9, como es una fracción impropia, la descomponemos

como suma de un número natural más una fracción propia.

9 4

1 2 "

4

92

4

1= +

Dividimos la unidad comprendida entre 2 y 3 en tantas partes como indica

el denominador de la fracción propia, 4, y tomamos tantas partes como

indica el numerador, 1.

0-2 -1-3-4 1 2 3 44

9

876543210-1-2-3-4-5-6-7-81444444424444444314444444244444443

Números enteros negativos Números enteros positivos

Las rectas numéricasse pueden representarde forma horizontal

o vertical.

202



7 Señala cinco puntos con:

a) Abscisa -2. c) Igual abscisa y ordenada.

b) Ordenada -2.


6 Dibuja unos ejes de coordenadas, y colorea

de azul el eje de abscisas, y de rojo,

el de ordenadas.

Coordenadascartesianas2


Qué son rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si al cortarseforman cuatro ángulos rectos.

Para representar puntos en el plano se utilizan dos rectas numéricas per-pendiculares, denominadas ejes de coordenadas.

Un sistema de coordenadas cartesianas está formado por:

• Eje de abscisas, que es la rectahorizontal y se representa por X .

• Eje de ordenadas, que es la rectavertical y se representa por Y .

• Origen de coordenadas, que esel punto de corte de los ejes yse representapor O. El origen decoordenadas coincide con el 0de ambasrectasnuméricas.

Un punto P del plano queda determinado por un par de números, (a, b),llamados coordenadas cartesianas del punto P, y se escribe P(a, b).

• El número a es la abscisa del punto P y se mide en el eje horizontal.

• El número b es la ordenada del punto P y se mide en el eje vertical.

• El punto O representa el punto (0, 0).

Los ejes de coordenadas dividen el plano encuatro partes, cada una de las cuales se llamacuadrante.

EJEMPLO

1 Escribe las coordenadas

de este punto.

Abscisa: 5 a la izquierda del origen

Ordenada: 3 por encima del origen

Por tanto, A(-5, 3).

Segundo

cuadrante

Primer

cuadrante

Tercer

cuadrante

Cuarto

cuadrante

Y

P(a, b)b

aO X

Eje de

ordenadas

Eje de

abscisas

Origen de

coordenadas

F

• Si la abscisa es positiva,

el punto está a la derecha

del origen de coordenadas,

y si es negativa, a la

izquierda.

• Si la ordenada es positiva,

el punto está por encimadel origen de coordenadas,

y si es negativa, por debajo.

DATE CUENTA

X

Y

1

1

A

203



2.1 Puntos del primer cuadrante

Un punto P(a, b) del primer cuadrante tiene la abscisa, a, positiva y laordenada, b, positiva.

EJEMPLO

2 Representa el punto A(2, 3).

• La primera coordenada x = 2

es positiva: nos desplazamos

2 unidades a la derecha.

• La segunda coordenada y = 3

también es positiva:

nos desplazamos 3 unidades hacia

arriba, desde la abscisa anterior.

2.2 Puntos del segundo cuadrante

Un punto P(a, b) del segundo cuadrante tiene la abscisa, a, negativa y laordenada, b, positiva.

EJEMPLO

3 Representa el punto B(-2, 3).

• La primera coordenada x = -2

es negativa: nos desplazamos

2 unidades a la izquierda.• La segunda coordenada y = 3


3 unidades hacia arriba, desde

la abscisa anterior.

Y

XO

A(2, 3)

2

3

Y

X

3

-2 O

B(-2, 3)

Al representar puntosque están escritos

en coordenadascomenzamos siempre

a contar desdeel origen.

13 Indica las

coordenadas

cartesianas

de estos puntos:

¿Qué característica común tienen los puntos

del primer y segundo cuadrantes?


10 Representa los siguientes puntos e indica

en qué cuadrante se encuentran.

A(-2, 5) B (3, 5) C(7, 2) D(-4, 5)

11 Representa los puntos y señala su cuadrante.

A(-3, 1) B (5, 3) C(-1, 3) D(5, 4)

12 Indica, sin representarlos, el cuadrante

en el que se sitúa cada punto.

A(-8, 3) B (5, 10) C(-7, 2) D(4, 6)

Y

AB

C

D

O X

1

1

204



2.3 Puntos del tercer cuadrante

Un punto P(a, b) del tercer cuadrante tiene la abscisa, a, negativa y laordenada, b, negativa.

EJEMPLO

4 Representa el punto A(-2,-3).

• La primera coordenada x = -2


2 unidades a la izquierda.

• La segunda coordenada y = -3

también es negativa:

nos desplazamos 3 unidades hacia

abajo, desde la abscisa anterior.

2.4 Puntos del cuarto cuadrante

Un punto P(a, b) del cuarto cuadrante tiene la abscisa, a, positiva y laordenada, b, negativa.

EJEMPLO

5 Representa el punto B(2,-3).

• La primera coordenada x = 2


2 unidades a la derecha.• La segunda coordenada y = -3


3 unidades hacia abajo, desde

la abscisa anterior.

17 Indica las

coordenadas

de los puntos.

¿Qué característica común tienen los puntos

del tercer y cuarto cuadrantes?


14 Representa los siguientes puntos en el plano,

e indica en qué cuadrante se encuentran.

A(-1, 5) B(-2, 5) C(-7, -2) D(4, -5)

15 Representa los puntos en el plano y señala

su cuadrante.

A(-3, -1) B(5, -10) C(-3, -3) D(-6, 4)

16 Indica, sin representarlos, el cuadrante

en el que se sitúa cada punto.

A(-8, 3) B(8, -2) C(-7, -3) D(4, 6)

-2

-3

O

A(-2, -3)

Y

X

El ordende las coordenadas

es importante. No es igualel punto (-4, 3)

que el punto (3, -4).

Y

A

B C

DO X

1

1

2

-3

Y

XO

B(2, -3)

205



2.5 Puntos sobre los ejes de coordenadas

Los puntos que están situados sobre eleje X son de la forma (a, 0), es decir,su ordenada es 0.

Si la coordenada a es positiva, están a

la derecha del origen de coordenadas,y si es negativa, a la izquierda.

Los puntos que están situados sobre eleje Y son de la forma (0, b), es decir,su abscisa es 0.

Si la coordenada b es positiva, estánpor encima del origen de coordenadas,y si es negativa, por debajo.

EJEMPLO

6 Representa los puntos A(2, 0), B(-4, 0), C(0, 2) y D(0, -3).

A(2, 0) " Nos desplazamos 2 unidades

a la derecha, x = 2.

La ordenada es cero, y = 0.

El punto A se sitúa

en el mismo eje de abscisas.

B(-4, 0) " Nos desplazamos 4 unidades

a la izquierda, x = -4.

La ordenada es cero, y = 0.

El punto B se sitúa en el mismo

eje de abscisas.

C(0, 2) " La abscisa es cero, x = 0.

Nos desplazamos 2 unidades

hacia arriba, y = 2.

El punto C se sitúa en el mismo

eje de ordenadas.

D(0, -3) " La abscisa es cero, x = 0.

Nos desplazamos 3 unidades

hacia abajo, y = -3.

El punto D se sitúa en el mismo

eje de ordenadas.

izquierda derecha

O (+, 0)(-, 0)

Y

X

arriba

abajoO

(0, -)

(0, +)Y

X

C(0, 2)

D(0, -3)

O X

Y

Y

O X

B(-4, 0) A(2, 0)

2-4

20 Indica, sin representarlos, sobre qué eje

se encuentra cada punto.

A(0, 2) C(0, -1)

B (-1, 0) D(-7, 0)

21 ¿Existe algún punto que se sitúe en los dos ejes

simultáneamente? ¿Qué punto es?


18 Representa los siguientes puntos en el plano:

A(-1, 0) C(7, 0) E(0, -1) G(0, 3)

B(0, 5) D(0, -3) F (5, 0) H(-10, 0)

19 Escribe tres puntos situados en el eje X

de abscisa positiva, y otros tres en el eje Y de

ordenada negativa.

206



Funciones3

3.1 Concepto de función

Se denomina función a la relación que asocia a cada valor de una mag-nitud un único valor de otra magnitud.

Si representamos los pares de valores que obtenemos en un sistema decoordenadas obtenemos la representación gráfica de una función.

3.4 Expresión de una función mediante una gráfica

La gráfica de una función es la representación del conjunto de puntosque define a esa función.


Cómo se construye una tabla numérica

A partir de unos datos obtenemos otros que cumplen una condición.

Número 1 2 3 4

Su triple 1 ? 3 = 3 2 ? 3 = 6 3 ? 3 = 9 4 ? 3 = 12

Para representar una función se forma una tabla con algunos de sus valo-res. Después, tomando esos pares de valores como puntos se representanen unos ejes de coordenadas.

En ocasiones, también tiene sentido unir los puntos obtenidos.

EJEMPLO

16 Cristina está enferma. Su madre le ha tomado la temperatura cada dos

horas y ha anotado los resultados en una tabla.

Variable x (hora)

Variable y (temperatura en °C)

10

37

12

39

14

38

16

38

18

36

20

38

Representa los resultados en una gráfica.

Los puntos a partir de la tabla son:

(10, 37), (12, 39), (14, 38), (16, 38),

(18, 36) y (20, 38)

Representamos estos puntos en un

sistema de coordenadas y los unimosmediante rectas. En este caso tiene

sentido unirlos porque a cada momento del

día (hora) le corresponde una temperatura.

Cuando los valores quetoma una de las magnitudesde la tabla son demasiado

grandes, para representarsus puntos sobre los ejesse hace de esta forma:

Esto significa que enel eje Y , por debajo de 40,

hay una parte de eje dela que hemos prescindido.

Y

X

40

Y

X

39

38

37

36

10 12 14 16 2018

T

e m p e r a t u r a ( ° C )

Hora

Una magnitud es cualquiercaracterística que se puede

medir y expresar mediante

una cantidad o un número.

RECUERDA

22 Asocia a cada número natural del 1 al 9

su doble, y halla los pares de coordenadas

que resultan. Construye una gráfica con ellos.


1 Construye una tabla que relacione cada número

del 1 al 10 con su mitad, y escribe los puntos

que se obtienen.

207



41 La gráfica muestra los asistentes a una obra de

teatro los siete primeros días desde el estreno.

b) ¿Qué día hubo más asistentes? ¿Y menos?

42 Construye una gráfica con la temperatura

de tu ciudad durante una semana e interprétala.


40 Esta gráfica representa el número

de barras de pan que se han vendido en una

panadería durante los primeros nueve meses

del año.

Realiza una interpretación de esta gráfica.

Interpretación de gráficas4

Observandouna gráfica podemosextraer rápidamente

información sobrelas magnitudesque representa.

Interpretar una gráfica es extraer información de ella a través de suestudio, de izquierda a derecha.

EJEMPLOS

17 Interpreta esta gráfica, que representa el tiempo empleado por dos

autobuses en realizar una vez su trayecto.

Los autobuses A y B están a la misma

distancia del eje vertical, y tardan

lo mismo en realizar su trayecto,

20 minutos. Sin embargo, el autobús A

está más alejado del eje horizontal

que el autobús B.

Es decir, el autobús A recorre

más distancia, 15 km, que

el autobús B, que recorre 5 km.

18 Interpreta esta gráfica, que representa las reservas de agua

de un pantano durante el último año.

Las reservas de agua del pantano

crecen durante el invierno y alcanzan

su punto máximo en la primavera,

en el mes de mayo.

Las reservas decrecen durante

el verano, desde mayo hasta septiembre,

llegando a su punto mínimo durante

el mes de septiembre. A partir de estepunto, las reservas del pantano vuelven

a crecer hasta situarse en diciembre a un

nivel similar con el que comenzó el año.

Y

X

80

60

40

20

E F M A M J J A S O N D

R e s e r v a s ( % )

Meses

Y

X

20

15

10

5

5 10 15 20 25 30

D i s t a n c i a ( k m )

A u t o b ú

s A

A u t o b ú s

B

Tiempo (min)

5

4

3

2

1

Meses

N . º

d e b a r r a s ( e n m i l e s )

FE M A M Jn Jl A S X

Y

Y

250

200

150

100

50

X1 2 3 4 5 6 7

208



44 Representa el texto mediante una gráfica.

Tomás salió a pasear a las 18:00 h.

A las 18:30 h se encontró con Juan y se detuvo media hora.

Luego siguió andando hasta que a las 19:30 h

llegó a una ermita. Allí decidió pararse

a descansar durante una hora. Después,

regresó a su casa: tardó una hora en llegar

y no hizo ninguna parada en el camino.

45 Realiza una gráfica que represente el trayecto

que realizas para ir al instituto.


43 Representa este enunciado mediante

una gráfica.

Cuatro amigos van de excursión.

• El primero de ellos recorre 6 kilómetros

en 75 minutos.

• El segundo recorre 4 kilómetros y tarda

60 minutos.

• El tercero tarda lo mismo que el primero,

y el cuarto tarda lo mismo que el segundo.

Razona si tiene sentido unir los puntos

que obtienes.

Al representar mediante gráficas la información extraída de un enunciado,debemos tener en cuenta los puntos que pertenecen a dicha gráfica y siestos se pueden unir o no.

EJEMPLOS

19 Representa este enunciado mediante una gráfica, y decide si es posible

unir los puntos que obtienes o no.

El número de clientes de un restaurante durante la semana ha sido: el primer

día 20 clientes, el segundo y el tercero 30 clientes cada día, el cuarto

el mismo número de clientes que el primero. El quinto día cerraron

por descanso, y el f in de semana solo hubo 10 clientes cada día.

No tiene sentido unir los puntos, ya que

no podemos afirmar que en cierto

momento hubo 10,5 clientes

o 12,33 clientes.

20 Representa este enunciado mediante una gráfica.

El domingo fuimos a la casa

de mis abuelos, que está situada

a 150 km.

Partimos a las 9:00 h y a las 10:30 h

paramos a desayunar durante media hora.

A las 12:00 h entramos en la ciudad,

y nos detuvimos a hablar conun amigo. Llegamos finalmente

a la casa de mis abuelos a las 12:30 h.

En este caso hay que unir los puntos porque se puede determinar,

por ejemplo, a qué distancia se encontraban a las 11:30 h.

No siemprese pueden unir los puntos

de una gráfica.

Y

X9 10 11 12


Hora del día

150

125

100

75

50

25

Y

30

20

10

X1 2 3 4 65 7

N . º

d e c l i e n t e s

Día de la semana

209




2. CALCULAR LAS COORDENADAS DE UN PUNTO REPRESENTADOEN UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

PRIMERO. Trazamos una recta

perpendicular al eje X que pase

por el punto. El punto de corte

de esta recta con el eje X es

la primera coordenada del punto.

SEGUNDO. Trazamos una recta

perpendicular al eje Y que pase

por el punto. El punto de corte

de esta recta con el eje Y es

la segunda coordenada del punto.

Los puntos representados son:

A(3, 2), B(-1, 3) y C(-4, -2).

Determina las coordenadas de estos puntos.

PuntoPrimera

coordenada

AB

C

3-1

-4

PuntoSegunda

coordenada

A

B

C

2

3

-2

Sistema de coordenadas cartesianas

B A

C

X

Y

O

1

1

A (a, b)

O

Eje de

ordenadas

Origen de

coordenadas

Eje de

abscisas

Abscisa Ordenada

B(c, d )

X

Y

F

F F

a c

b

d

Funciones

Peso (kg)

P r e c i o ( € )

14

12

10

8

6

4

2

1 2 3 4 5 6 7 X

Y


1. REPRESENTAR PUNTOS EN UN SISTEMADE COORDENADAS CARTESIANAS

Representa los puntos: (-1, 3), (3,-1), (2, 2) y (-4,-5).

PRIMERO. En el eje horizontal, y partiendo del origen

de coordenadas, nos desplazamos tantas unidades como nos

indique la primera coordenada del punto. Hacia la derecha,

si es positiva, o hacia la izquierda, si es negativa.

SEGUNDO. Desde ese punto, nos desplazamos tantas unidadescomo nos indique la segunda coordenada del punto.

Hacia arriba, si es positiva, o hacia abajo, si es negativa.

1

1 X

Y

(2, 2)(-1, 3)

(-4, -5)

(3, -1)

210



1. REPRESENTAR UNA GRÁFICAA PARTIR DE UNA TABLA

La tabla relaciona cada número con su doble.

Número 1 2 3 4

Su doble 2 4 6 8

Representa los datos en una gráfica.

PRIMERO. A partir de la tabla obtenemos

los puntos que definen la función.

Los puntos que obtenemos a partir de la tabla son:

(1, 2) (2, 4) (3, 6) (4, 8)

SEGUNDO. Representamos estos puntos

en un sistema de coordenadas y decidimos

si los podemos unir.

En este caso los podemos unir ya que

a cualquier número le podemos hacer

corresponder su doble.

2. INTERPRETAR GRÁFICAS

Interpreta esta gráfica que muestra el gastode agua por trimestres de una familia.

PRIMERO. Analizamos cómo se modifican

los datos en los distintos tramos de la gráfica.

Durante el primer trimestre del año la familia

llega a consumir 30 000 litros de agua. Y sigue

aumentando su consumo hasta el tercer

trimestre. Durante el último trimestre

el consumo disminuye.

SEGUNDO. Identificamos los datos donde

se producen los mayores o menores

resultados.

En el paso del tercer al cuarto trimestre

se produce el punto de máximo consumo

de agua, 50 000 litros. El consumo ha ido

aumentando hasta que en ese punto comienza

a disminuir.


1. Dibuja unos ejes de coordenadas y representa

el punto (3, 5).

Representar puntos

2. Decide en qué cuadrante se encuentra

el punto (2, -1).

Calcular las coordenadasde un punto

3. ¿Cuáles son los puntos

representados?

Determinar las coordenadas de un puntoque pertenece a una función

4. Determina el valor de y = x + 4 para x = 2.

Representar una gráfica a partir de una tabla

1. Esta tabla relaciona cada número con su triple

más 1.

Número 1 2 3 4

Su triple+ 1 4 7 10 13

Representa los datos en una gráfica.

Interpretar gráficas

2. Interpreta esta

gráfica que

muestra

el gasto de luz

de una familia

durante un año

por trimestres.

1

1

Y

X

Y

X1

2

Y

X

Trimestre

G a s t o ( € )

1 2 3 4

10 000

Y

X

Trimestre

G a s t o ( k W h )

10

250

2 3 4

Y AHORA… PRACTICA

211



ActividadesCOORDENADAS CARTESIANAS

46. ● Representa los siguientes números

sobre una recta numérica horizontal.-15 -7 -10 1

47. ● Representa estos números sobre una recta

numérica vertical.

-15 -7 10 1

48. ● Representa los números.

-4 7 -11 0

a) En una recta numérica horizontal.

b) En una recta numérica vertical.

49. ● Sitúa cada punto en el cuadranteque corresponda.

(2, 4) (5, -8) (3, 1)

(-9, 0) (-6, -4) (0, -3)

50. ● Representa en tu cuaderno los puntos y únelos

ordenadamente.

P1(4, 5) P7(1, -1) P13(10, 2)

P2(3, 4) P8(-2, -4) P14(11, 0)

P3(2, 4) P9(-2, -7) P15(9, -1)

P4(1, 5) P10(8, -7) P16(3, -1)

P5(-

1, 3) P11(12,-

3) P17(6, 1)P6(-1, 1) P12(12, 1) P18(6, 3)

51. ● Representa en tu cuaderno estos puntos

y únelos ordenadamente.

P1(14, 14) P7(0, -10) P13(-12, 2)

P2(15, 9) P8(-2, -8) P14(-7, 6)

P3(11, 5) P9(6, -7) P15(-8, -2)

P4(7, 5) P10(2, -12) P16(-10, 0)

P5(-6, -8) P11(-7, -12) P17(-10, -4)

P6(-4, -10) P12(-12, -7) P18(-8, -6)

52. ● Un punto tiene abscisa 7 y ordenada 8.Representa dicho punto e indica en qué

cuadrante se encuentra.

53. ● Un punto tiene abscisa 4 y ordenada-12.

Represéntalo y señala el cuadrante en el que

se sitúa.

54. ● Un punto tiene abscisa-11

y ordenada-8. Represéntalo e indica

en qué cuadrante se localiza.

2. ● ¿Cuáles son las coordenadas de estos puntos?

55. ● Indica las coordenadas cartesianas

de los siguientes puntos:

A

B

C

D

1

1E

F G

H

Y

X

56. ● Dados los puntos de la gráfica, señala cuáles

son sus coordenadas.

AB

C

DE

F G

Y

X1

1

3. ●● Dibuja un sistema de coordenadas.

A continuación, dibuja un punto en el primer

cuadrante y escribe sus coordenadas.

4. ●● Dibuja un punto en cada cuadrante y escribe

sus coordenadas.

Y

1

A

B

C

DX1

212



57. ●● El punto de la figura es uno de los vértices

de un cuadrado con los lados verticales

y horizontales, y 6 unidades de lado. Determina

las coordenadas de todos los vértices.

Y

X

1

1

HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE DIBUJAN LOS EJES DE COORDENADASCONOCIDAS LAS COORDENADAS DE UN PUNTO?

5. Dibuja los ejes de coordenadas para que el punto

sea A(2,-4).

PRIMERO. Se dibuja el eje X teniendo en cuenta

la segunda coordenada del punto:

• Si es positiva, se traza por debajo del punto a tantasunidades como indica.

• Si es negativa, se traza por encima del punto

a tantas unidades como indica.

SEGUNDO. Se dibuja el eje Y teniendo en cuenta

la primera coordenada del punto:

• Si es positiva, se traza a la derecha del punto


• Si es negativa, se traza a la izquierda del punto


58. ●● Dibuja los ejes de coordenadas para que

el punto sea A(-2,-1).

A


el punto sea A(3, 5).


el punto sea A(-4, 3).

8. ●● Dibuja unos ejes de coordenadas para que las

coordenadas del punto A sean A(4, 3). ¿Coinciden

estos ejes con los que se deben trazar para que

las coordenadas de B sean B(-3, 1)?

FUNCIONES

59. ● Dados los números 3, 5, 7 y 9, halla los números

que les corresponden si a cada uno le asociamos:

a) Su doble más 1. c) Su cuádruple.

b) Su mitad. d) Su cuadrado.

A

X

Y

F

2

A

A

A

B

X F

4

A

A

213



66. ●● Una relación entre números enteros

se expresa de la siguiente manera: «A cada

número entero lo relacionamos con su doble más

una unidad». Escribe la expresión de la función

y completa la tabla.

x

y

-2 -1 0

3

3 7 10

69. ●● La gráfica muestra las precipitaciones en una

localidad durante un año. En el eje de abscisas

están representados los meses del año, y en

el de ordenadas, las precipitaciones, en ¬ /m2.

FE M A M J J A S O N D

Meses

P r e c i p i t a c i o n e s ( ¬ / m 2 )

X

Y

600

400

200

a) ¿Cuál fue el mes más lluvioso?

b) ¿Y el más seco?

c) ¿Qué mes tuvo unas precipitaciones de 300 ¬ /m2?

d) ¿Cuáles fueron las precipitaciones en enero?

e) ¿En qué estación se produjeron más

precipitaciones?

f) ¿En qué meses se produjeron menos

de 200 ¬ /m2

? ¿Y en cuáles más de 400 ¬ /m2

?

PROBLEMAS CON FUNCIONES

80. ● Un automóvil circula por una autopista

a una velocidad constante de 120 km/h.

a) Haz una tabla de valores donde se relacionen

el tiempo y la distancia recorrida.

71. ●● La tabla refleja el número de asistentes en un

cine durante los días laborables de una semana.

Día

Asistentes

1

150

2

280

3

140

4

420

5

750

Representa los datos en un sistema

de coordenadas cartesianas.

70. ●● El precio de una bebida es 1,75 €/ ¬ .

a) Construye una tabla que relacione el número

de litros con el precio.

c) Representa los datos gráficamente.

72. ●● Un globo sonda mide la temperatura de laatmósfera a distintas alturas. Se comprueba

que, cada 200 m de ascensión, la temperatura

disminuye 1 ºC.

a) Construye una tabla de valores para la función

que determina este experimento.

c) ¿Qué temperatura habrá si ascendemos

a 1 000 m?

73. ●● El precio de una carrera de taxi es 1,20€

de bajada de bandera y medio céntimo

por cada segundo.

a) Construye una tabla con diferentes valorespara la relación Tiempo–Precio.

b) Representa los valores en una gráfica.

74. ●● Dos ciclistas salen en la misma dirección.

Uno parte de una ciudad con una velocidad

media de 20 km/h. El otro sale de una ciudad

situada a 10 km de distancia de la primera,

al mismo tiempo y con igual velocidad.

a) Realiza una tabla para cada uno

de los ciclistas, y representa los datos

en dos gráficas distintas.

b) Representa ambas gráficas en los mismos ejes

de coordenadas.

c) ¿Qué relación hay entre las funciones?

75. ●● Un río tiene riesgo de desbordarse e inundar

un pueblo si el agua alcanza 270 cm de altura.

En la tabla aparecen las medidas del nivel

del río, tomadas entre las 6:00 horas

y las 18:00 horas.

Tiempo (h)

Altura (cm)

6

180

8

210

10

240

12

245

14

255

16

265

18

250

a) Haz una gráfica que refleje la crecida del río.

c) ¿Ha sido inundado el pueblo?

d) ¿A qué hora se ha tenido más riesgo

de inundación?

214



HAZLO ASÍ

¿CÓMO SE REPRESENTA E INTERPRETA UNAGRÁFICA CUYOS PUNTOS NO SE PUEDEN UNIR?

9. La tabla muestra el número de asistentes

a las distintas sesiones de una película el díadel estreno.

Sesiones 16:00 18:00 20:00 22:00

Asistentes 20 50 100 75

Representa los datos en una gráfica e interpreta

el resultado.

PRIMERO. A partir de la tabla se obtienen los puntos que

definen la función.

Los puntos que obtenemos son:

(16, 20) (18, 50) (20, 100) (22, 75)

SEGUNDO. Se representan estos puntos en un sistema

de coordenadas y se decide si se pueden unir.

En este caso no los podemos unir, ya que a cada sesión

asiste un número de personas y no hay sesiones a

cualquier hora.

TERCERO. Se analiza cómo varían los datos y en qué

momento se producen mayores o menores resultados.

A la primera sesión asiste el menor número

de personas, 20. Después, el número de asistentes

sube y es en la sesión de las 20:00 donde el número

es mayor, 100. En la última sesión vuelve a disminuir

el número de asistentes.

76. ●● En un partido de baloncesto se elabora una

tabla con los puntos marcados por cada equipo.

Antes de llegar al final del 2.º cuarto tenemosla siguiente tabla:

Minuto

Equipo A

Equipo B

4

10

6

6

12

8

8

15

14

10

18

18

12

20

18

14

22

24

16

24

26

a) Haz las gráficas de ambos equipos (la del

equipo A en azul y la del equipo B en rojo).

b) Realiza un resumen del partido a la vista

de la gráfica.

77. ●● Observa la gráfica que representa el paseo

que ha dado Julio: ha salido de casa,

ha ido a comprar y ha regresado.

6

5

4

3

2

1

1 2

Tiempo (h)


3 4

Y

X

a) ¿Qué magnitud se representa en el eje X?

¿Y en el eje Y ?

b) ¿Cuánto tiempo ha durado el paseo?

c) ¿Cuál es la distancia más lejana a la que ha ido?

d) ¿Cuándo ha caminado más rápido, a la ida

o a la vuelta?

e) ¿Qué crees que significan los tramos

horizontales?

78. ●● La siguiente gráfica expresa la relación

entre los minutos y los kilómetros que José

ha recorrido durante una hora, caminando

y montando en bicicleta en línea recta.

10

8

6

4

2

Tiempo (min)


10 20 30 40 50 60 70

Y

X

a) ¿Cuántos kilómetros ha caminado?

b) ¿Y cuántos ha hecho en bicicleta?

c) ¿Cuánto tiempo ha caminado?

d) ¿Y cuánto ha montado en bicicleta?

e) ¿Qué distancia ha recorrido cuando lleva 50

minutos?

f) ¿Cuánto tiempo ha tardado en recorrer los dos

primeros kilómetros?

g) ¿Ha hecho algún descanso en el recorrido? ¿Cómo

se representan esos tiempos de descanso?

Y

X

20

16 18 20 22

60

80

215



En esta unidad

aprenderás a…

• Reconocer variables

cualitativas

y cuantitativas.

• Realizar tablas

de frecuencias.

• Interpretar

y representar datos

mediante gráficos.

• Hallar la probabilidad

de un suceso.

PLAN DE TRABAJO

Una fracción es una expresiónb

a, donde a y b son números naturales llamados numerador

y denominador, respectivamente.

Comparación de fracciones

• Sitienenelmismodenominador,esmayorlaquetienemayornumerador.

Comparamos7

3

7

1y :

3 > 1 " 7

3

7

1>

• Sitienendistintonumeradorydenominador,reducimos a común denominador, y comparamos los numeradores.

Comparamos ,3

2

5

4

6

5y :

m.c.m. (3, 5, 6) = 30

3

2

30

20

5

4

30

24

6

5

30

25

3

2

5

4

6

5< <= = = "

Transformación de fracciones en números decimales

Para expresar una fracción como números decimales se divideel numerador entre el denominador.

6

35

"35 6 6

35

= 5,83…50 5,83…202

Si una fracción es decimal,se escribe el numerador y se separancon una coma, a partir de la derecha,tantas cifras decimales como ceros

tiene el denominador.

EVALUACIÓN INICIAL

1 Ordena estas fracciones de mayor a menor.

a) ,

6

5

6

2

6

4y b) ,

8

7

8

1

8

3y c) ,

12

4

12

9

12

5y d) ,

17

11

17

15

17

13y

3. Ordena, de menor a mayor, estas fracciones.

a) , ,4

3

5

12

6

4b) , ,

3

4

20

14

5

7

2 Expresa estas fracciones como números decimales.

a)6

43b)

7

32c)

12

64d)

17

11


FRACCIONES

217



Tiposde variables

Al realizar un estudio estadístico, una variable estadística es cualquiercualidad que estudiamos.

Según sean sus valores, las variables estadísticas pueden ser:Tipos Propiedades Ejemplos

CualitativasLos valores de la variableno son números, sinocualidades.

• Géneroliterario(novela,teatro…).

• Sexo(mujer , hombre).

CuantitativasLos valores que tomala variable son números.

• N.o de páginas de un libro.

• Altura.

EJEMPLOS

1 Se va realizar un estudio estadístico en un instituto. Pon ejemplosde variables estadísticas.

Al realizar un estudio estadístico podemos estudiar cualidades

como el peso, la altura o la edad de los alumnos del instituto.

Estas cualidades son variables estadísticas.

2 Clasifica estas variables estadísticas y pon ejemplos de los valores

que pueden tomar.

a) Raza de un perro

Cualitativa: no toma valores numéricos.

Raza = {Pequinés, cocker…}

b) Peso al nacer

Cuantitativa: toma valores numéricos.

Peso al nacer = {2 kg; 3 kg; 3,22 kg…}

c) Lugar que se ocupa en una fila

Cuantitativa: toma valores numéricos.

Lugar en una fila = {1, 2 , 3, 4…}

2

A los valores delas variables cualitativas

se les puede llamarmodalidades.

4 Clasifica las siguientes variables estadísticas.

a) Marca de un teléfono. f) Nombre.

b) Color de ojos. g) Talla.

c) Deporte favorito. h) N.º de hermanos.

d) Altura. i) Gustos musicales.

e) Edad. j) N.º de aprobados.

5 Escribe tres variables cualitativas, y otras

tres cuantitativas.

6 Para clasificar los perros abandonados,

los empleados de la perrera rellenan una ficha

con los siguientes datos.

a) Raza. e) Sexo.

b) Edad. f) Color de pelo.

c) Alzada (cm). g) Nivel de adiestramiento.

d) Peso (kg). h) Nivel de peligrosidad.

Clasifica las variables.


218



Frecuencias.Tablas de frecuencias

3.2 Frecuencia absoluta y frecuencia relativa

• Lafrecuencia absoluta de un dato estadístico es el número de vecesque se repite. Se representa por f i.La suma de las frecuencias absolutas de un conjunto de datos esta-dísticos es el número total de datos.

• La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y elnúmero total de datos. Se representa por hi.La suma de las frecuencias relativas de un conjunto de datos estadís-ticos es igual a la unidad.

Los datos y las frecuencias se pueden organizar en una tabla de frecuen-cias colocando los datos en la primera columna y las frecuencias en lassiguientes columnas.


Cómo se suman números decimales

Colocamos los números, de forma que las comas decimales

estén alineadas, y añadimos los ceros necesarios

para que tengan el mismo número de decimales.

EJEMPLO

5 Con estos datos, realiza el recuento y construye la tabla de frecuencias.

F

Datoxi

Frecuenciaabsoluta f i

Frecuenciarelativa hi

0 06 ,50

60 12=

1 16 ,50

160 32=

2 15 ,50

150 3=

3 10 ,50

100 2=

4 03 ,50

30 06=

N = 50 Total = 1

Recuento

0 //// /

1 //// //// //// /

2 //// //// ////

3 //// ////

4 ///

N.º de hermanos

1 3 1 4 2 1 2 1 3 2

2 1 3 1 0 2 3 2 1 1

3 2 0 4 2 1 0 1 2 3

1 1 4 2 1 3 1 2 3 2

0 1 0 2 3 2 1 0 3 2

3

1 2 4,6 0 0

4 5,8 0 2

+ 4,1 8 0

1 7 4,5 8 2

7 Realiza un recuento de las siguientes

calificaciones:

3 2 7 1 9 5 3 4 5 6

7 4 5 7 3 6 8 9 7 5 7

7 8 4 5 6 6

8 Después de lanzar 20 veces una moneda,

los resultados (C= cara,+ = cruz) han sido:

C C + C + + + + + C

C + C C + C C + C +

Efectúa un recuento y organiza los datos.


La recogida de datosse suele realizar medianteencuestas o cuestionarios.

Después de recoger

los datos hay quecontarlos y agruparlos.

• f i es la frecuencia absoluta

del valor xi .

• hi es la f recuencia relativadel valor xi .

DATE CUENTA

219



Gráficosestadísticos


Cómo se representan puntos en el plano

Para representar puntosen el plano se utilizan dos rectas

numéricas perpendiculares,

llamadas ejes de coordenadas.

Un punto del plano queda

determinado por un par

de números, (a, b), llamados

coordenadas cartesianas.

Además de las tablas de frecuencias, otra forma de organizar los datos esmediante las representaciones gráficas. Los gráficos estadísticos nos per-miten captar de inmediato las características más relevantes de un estudio

estadístico.

4.1 Diagrama de barras

Se utiliza cuando queremos representar frecuencias de variables que tomenpocos valores.

• Enelejehorizontalrepresentamoslosvaloresdelavariable.

• Enelejevertical,lasfrecuencias.

La frecuencia que corresponde a cada dato se representa por una barra.Las alturas de las barras son proporcionales a las correspondientes fre-cuencias.

EJEMPLO

6 Representa mediante un diagrama de barras los valores que hemos

recogido en la siguiente tabla:

Deportes

Fútbol

Baloncesto

Tenis

Atletismo

Balonmano

Frecuencia f i

8

12

6

10

4

f i

10

12

Fútbol B aloncesto Atletismo BalonmanoTenis

8

6

4

2

4

G

Eje de

ordenadas

Eje de

abscisas

Origen de

coordenadas

Y

XO

b

a

P(a, b)

14 Realiza un diagrama de barras con el número

de macetas que tienen 100 viviendas.

N.º de macetas 0 1 2 3 4

N.º de viviendas 10 14 18 25 33

15 El color de pelo de 30 personas es:

M=moreno R= rubio P= pelirrojo

M R P M M M M R R P P M M M M

M M P R R R P M M M M R M M M

Organiza los datos en un diagrama de barras.


220



17 Haz un diagrama de sectores

con estos datos:

Color Rojo Verde Blanco

N.º de coches 150 84 126

18 Dibuja un diagrama de sectores

con estos datos:

Música Clásica Pop Rock

N.º de CD 125 78 52


4.2 Diagrama de sectores


Qué es un sector circular

Un sector circular es la parte del círculo

limitada por dos radios y un arco.

El diagrama de sectores se puede utilizar para cualquier tipo de variable.

• Losdatosserepresentanenuncírculo,divididoensectores.Cadasector representa un valor de la variable.

• Laamplituddeunsector,suángulo,esproporcionalalafrecuen-cia del dato que representa:

Ángulo del sector circular ° °? ?

N

f h360 360

i

i= =

EJEMPLO

7 Realiza un diagrama de sectores con los siguientes datos:

Deportes Fútbol Baloncesto Tenis Atletismo Balonmano

Frecuencia f i 8 12 6 10 4

Completamos la tabla con hi, el porcentaje y la amplitud de cada sector.

Deportes f i

Fútbol

Baloncesto

Tenis

Atletismo

Balonmano

8

12

6

10

4

N = 40

hi %

0,2

0,3

0,15

0,25

0,1

Amplitud (°)

0,2 ? 360° = 72°

0,3 ? 360° = 108°

0,15 ? 360° = 54°

0,25 ? 360° = 90°

0,1 ? 360° = 36°

20 %

30 %

15 %

25 %

10 %

Balonmano

10 %

Atletismo25 %

Tenis

15 %

Baloncesto

Fútbol

20 %

30 %

36°

90°

54°

72°

108°

En los diagramas de

sectores, ademásdel valor de la variable,

se suele escribir el tantopor ciento que representa.

Para dibujar ángulos

utilizamos el t ransportador.

RECUERDA

221



23 En los siguientes experimentos aleatorios,

determina su espacio muestral, sus sucesos

elementales y dos sucesos compuestos.

a) Extraer una bola de una urna

que contiene 3 bolas rojas, 2 bolas

verdes y 1 bola azul.

b) Extraer una carta de una baraja.

c) Lanzar dos dados y anotar la suma

de sus puntuaciones.

d) Extraer una bola de una urna que contiene

5 bolas numeradas del 1 al 5.

24 Referidos a la extracción de una carta

de la baraja española, clasifica los siguientes

sucesos en elementales o compuestos.

a) A = «Sacar el rey de oros»

b) B = «Sacar una carta de copas»

c) C = «No sacar un as»

d) D = «Sacar un caballo»

25 Pon un ejemplo de experimento aleatorio

cuyo espacio muestral tenga tres sucesos

elementales.


Sucesos.Espacio muestral

En los experimentos aleatorios no podemos predecir el resultado, esdecir, hay más de un resultado posible al realizar el experimento.

Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio es unsuceso elemental.El conjunto de todos los sucesos elementales se llama espacio muestral,y se representa con la letra E.Un suceso es un suceso compuesto cuando contiene dos o más suce-sos elementales.

EJEMPLO

9 Define el espacio muestral, sus sucesos elementales y varios sucesos

compuestos en los siguientes experimentos aleatorios.

a) Lanzar un dado y anotar su resultado.Los resultados que podemos obtener al tirar un dado son

las puntuaciones: 1, 2, 3, 4, 5 o 6.

Espacio muestral --" E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Sucesos elementales " {1}, {2}, {3}, {4}, {5} y {6}

Sucesos compuestos " «Obtener número par» = {2, 4, 6}

«Obtener número mayor que 3» = {4, 5, 6}

«Obtener divisor de 6» = {1, 2, 3, 6}

b) Lanzar dos monedas y anotar el número de caras.

Si lanzamos dos monedas al aire podemos obtener cara

en las dos monedas, cara en una de ellas o ninguna cara.

Espacio muestral --" E = {2 caras, 1 cara, 0 caras}

Sucesos elementales " {2 caras}, {1 cara} y {0 caras}

Sucesos compuestos " «Sacar alguna cara» = {2 caras, 1 cara}

«Sacar alguna cruz» = {1 cara, 0 caras}

«Sacar más de 1 cara» = {2 caras}

6

Para describir un sucesocompuesto hay que indicarqué sucesos elementales

contiene.

222



Regla de Laplace

La probabilidad, P, de un suceso es un número comprendido entre0 y 1 que indica la posibilidad de que ocurra dicho suceso. A mayorprobabilidad, mayor será la posibilidad de que ocurra.

Un experimento es regular cuando todos sus sucesos elementales tienenla misma probabilidad, es decir, son sucesos equiprobables.

La regla de Laplace es una forma sencilla de calcular probabilidades dedistintos sucesos si el experimento aleatorio es regular.

Regla de Laplace

La probabilidad de un suceso es igual al número de casos elementalesque contiene el suceso dividido entre el número total de sucesos ele-mentales.

Para recordarla se suele utilizar esta expresión:

º

º( )P A

A

n. de casos posibles

n. e casos favora es en=

EJEMPLO

11 Lanzamos un dado de parchís y anotamos el resultado.

Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.

a) A = «Sacar un número menor que 3»

b) B = «Sacar un divisor de 6»

El experimento aleatorio es regular porque todas las caras de un dado,no trucado, tienen las mismas posibilidades de salir.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}"N.º de casos posibles = 6

a) A = «Sacar número menor que 3» = {1, 2}"N.º de casos favorables = 2

P (Sacar número menor que 3)= P( A)6

20,33= =

b) B = «Sacar divisor de 6» = {1, 2, 3, 6}"N.º de casos favorables = 4

P (Sacar divisor de 6) = P(B)6

40,67= =

8

29 Calcula la probabilidad de los siguientes

sucesos en el experimento aleatorio que

consiste en tirar un dado y anotar el número de

su cara superior. ¿Es un experimento regular?

a) A = «Salir número par»

b) B = «Salir múltiplo de 3»

c) C = «Salir número mayor que 10»

30 Un dado de quinielas tiene

tres 1, dos X y un 2. ¿Cuál es

la probabilidad de que

salga una X? ¿Y un 2?

31 Lanzamos dos monedas simultáneamente.

¿Cuál es la probabilidad de que salgan

dos caras? ¿Y una cara y una cruz?


Antes de aplicarla regla de Laplace hayque comprobar que el

experimento es regular.

DATE CUENTA

El experimento consistente

en tirar una chincheta

y observar la posición enla que cae no es regular.

Es más posible que

la chincheta caiga

con el pico hacia arriba

que hacia abajo.

223




Lo esencial


1. CONSTRUIR TABLAS DE FRECUENCIAS

Realiza una tabla de frecuencias para organizar los siguientes datos:

8 8 7 5 6 9 6 7 6 8 7 7 9 7 5 5

PRIMERO. Colocamos, en la primera columna, los posibles

valores de la variable.

5 6 7 8 9

SEGUNDO. Contamos el número de veces que aparece

cada dato para calcular las frecuencias absolutas,

y completamos la segunda columna de la tabla.

5" /// 6" /// 7" //// 8" /// 9" ///

TERCERO. Dividimos las frecuencias absolutas entre el número

total de datos, para hallar las frecuencias relativas,

y lo anotamos en otra columna.

2. CONSTRUIR UN DIAGRAMA DE BARRAS

Representa estos datos en un diagrama de barras.

PRIMERO. Dibujamos unos ejes de coordenadas, poniendo

en el eje de abscisas los valores o modalidades de

la variable, y en el eje de ordenadas, las frecuencias.

SEGUNDO. Sobre cada valor levantamos una columna

con altura igual a la frecuencia.

TERCERO. Cuando la variable es cuantitativa, podemos unir

los extremos superiores de las barras para obtener

el polígono de frecuencias.

Estadística

• Variable cualitativa

Los valores de la variable son cualidades.

Por ejemplo: sexo

• Variable cuantitativa

Los valores de la variable son números.

Por ejemplo: n.º de hermanos,

Estatura

f i

6

5

4

3

2

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Probabilidad

Espacio muestral

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suceso elemental

{6}

Suceso elemental

{5}

Suceso elemental

{4}

F

F F

Dato

xi

Frecuencia

absoluta

f i

Frecuencia

relativa

hi

5 3 0,1875

6 3 0,1875

7 5 0,3125

8 3 0,1875

9 2 0,125

N = 16 Total= 1

Dato xi

Frecuencia f i

2

1

3

1

4

2

5

3

6

2

7

5

8

3

9

2

10

1

xi

224




2. Pon ejemplos de los diferentes tipos de

variables estadísticas.

3. En el experimento que consiste en lanzar dos

monedas al aire:

a) Determina el espacio muestral.

b) Pon ejemplos de diferentes sucesos.

Construir tablas de frecuencias

4. ¿Cuál es la frecuencia relativa de 2?

2 3 1 0 2 4 2 2 3 1

3 3 2 1 1 1 2 3 2 4

Construir un diagrama de barras

5. Construye el diagrama de barras de los datos

anteriores.

Construir un diagrama de sectores

6. ¿Qué diagrama de sectores corresponde

a los datos del ejercicio 4?

a)

b)

Calcular probabilidades mediante la reglade Laplace

7. Al extraer al azar una carta de una baraja

española, ¿cuál es la probabilidad de sacar un as?

Y AHORA… PRACTICA

3. CONSTRUIR UN DIAGRAMA DE SECTORES

Representa, en un diagrama de sectores, los datos relativos a las opinionessobre las instalaciones deportivas de un centro de enseñanza.

PRIMERO. Calculamos la amplitud

del sector de cada valor de

la variable multiplicando

su frecuencia relativa por 360°.

SEGUNDO. Dibujamos en un círculo

los sectores, y ponemos cada dato

en su lugar correspondiente.

4.CALCULAR PROBABILIDADES MEDIANTE LA REGLA DE LAPLACEHalla la probabilidad del suceso A = «Que salga número impar» en el experimento aleatorio

que consiste en lanzar un dado.

PRIMERO. Determinamos el espacio muestral y los distintos sucesos.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}"N.º de casos posibles = 6

A = {1, 3, 5}"N.º de casos favorables = 3

SEGUNDO. Comprobamos si el experimento es regular. El experimento es regular porque todas las caras

de un dado, no trucado, tienen las mismas posibilidades de salir.

TERCERO. Aplicamos la regla de Laplace.

( ) ,P AA

6

30 5

n. de casos posibles

n. de casos favorables eno

o

= = =

Malas

Regulares

Buenas

Valoración hi Amplitud (°)

Buenas 0,5 0,5 ? 360° = 180°

Regulares 0,28 0,28 ? 360° = 100,8°

Malas 0,22 0,22 ? 360° = 79,2°

225



ActividadesVARIABLES ESTADÍSTICAS

34. ● Indica el tipo de variable: cualitativa

o cuantitativa.a) Número de hermanos. d) Número de calzado.

b) Sexo. e) Edad.

c) Nacionalidad.

TABLAS DE FRECUENCIAS

36. ● Una variable estadística toma estos valores:

3 5 4 2 6 1 2 3

a) Realiza un recuento.

b) Calcula las frecuencias absolutas.

c) Halla las frecuencias relativas.d) Organiza los datos en una tabla de frecuencias.

37. ● Las notas que se obtienen en un examen,

de 0 a 5, son las siguientes:

0 1 0 5 4 5 4 2 5 3

a) Realiza un recuento.

b) Calcula las frecuencias absolutas y relativas.

c) Organiza los datos en una tabla de frecuencias.

38. ● Las temperaturas máximas, en °C,

que se han registrado en los últimos quince días

del mes de agosto han sido:40 39 41 39 40 38 37 40

40 41 42 39 40 39 39

a) Realiza un recuento de estas temperaturas.



39. ● Luis lanza 10 veces un dado, con cuatro

caras numeradas del 1 al 4, y anota los resultados

en su cuaderno.

a) ¿Cuántas veces se han repetido los resultados?

Realiza un recuento.



HAZLO ASÍ

¿Cómo se construye una tabla de frecuencias

si la variable es cualitativa?1. Se pregunta a 30 alumnos sobre su deporte

favorito, fútbol (F), baloncesto (B) o atletismo

(A), y se obtienen estos resultados:

F F F B B B A B B A

F F B B A B B F F A

A A A A A B B A F B

Realiza el recuento y construye la tabla

de frecuencias.

PRIMERO. Se escribe cada modalidad y se anota

el número de veces que aparece cada una de ellas

para realizar el recuento.

Fútbol //// ///

Baloncesto //// //// //

Atletismo //// ////

SEGUNDO. Se construye la tabla de frecuencias

indicando en la primera columna los datos

y en la siguiente las frecuencias absolutas.

Dato f i Las frecuencias absolutas

coinciden con los datos

obtenidos en el recuento.Fútbol 8

Baloncesto 12

Atletismo 10

TERCERO. Se completa la tabla añadiendo

las frecuencias relativas, dividiendo las frecuencias

absolutas por el número total de datos.

Dato f i hi

Fútbol 8 30

0,27=

Baloncesto 12 ,30

0 4=

Atletismo 10 ,30 0 33=

30 1

40. ● Estos son los nombres de 10 alumnos

de una clase de 1.º ESO.

Carlos Rosa Eduardo Fernando Julia

Lola Fátima Consuelo Paco Isabel

Considerando la variable sexo del alumno

(chico/chica), realiza una tabla de frecuencias.

226



43. ● Los siguientes datos corresponden al número

de empleados de una cadena de tiendas.

4 7 5 2 4 5 6 4 7 3 7 4 3 4 4

3 4 3 2 4 4 1 1 2 5 3 2 2 5 33 8 2 3 2 2 5 4 1 5 8 6 6 1 3

a) Indica cuál es la variable y de qué tipo es.

b) Efectúa el recuento de datos y realiza una tabla

de frecuencias.

44. ● Lanzamos un dado 48 veces, obteniéndose

estos resultados:

3 4 5 1 6 2 2 3 4 2 6 5

1 4 2 3 1 4 5 3 2 1 4 6

4 4 3 2 1 6 2 5 6 2 3 1

5 4 1 6 3 2 4 6 6 2 1 2

Efectúa el recuento de datos, y obtén una tabla

con todas las frecuencias.

45. ●● Se ha preguntado a 50 alumnos por

su deporte favorito: 16 han escogido fútbol,

12 baloncesto, 6 balonmano, 10 equitación

y 6 ciclismo. Considerando estos datos:

a) Calcula las frecuencias absolutas.

b) ¿Qué frecuencia absoluta representa el 20 %?

c) Obtén las frecuencias relativas.

d) ¿Qué frecuencia relativa representa el 32 %?

46. ●● Completa los datos de la siguiente tabla

de frecuencias:

DatoFrecuencia

absolutaFrecuencia

relativa

2 4 0,2

4 0,15

6

8 0,1

10 6

47. ●● Completa la tabla, sabiendo que hay el doble

de suspensos que de notables.

NotasFrecuencia

absolutaFrecuencia

relativa

Suspenso

Aprobado 0,3

Notable

Sobresaliente 5 0,1

48. ●● Las edades de los socios de un club son:

19 21 24 24 24 25 24 21 26 19

20 22 29 23 28 27 22 23 24 19

a) Construye una tabla de frecuenciasen la que figuren sus porcentajes.

b) ¿Qué porcentaje de socios tiene más de 25 años?

49. ●● Para estudiar cómo influye trasnochar

en el rendimiento académico, se ha preguntado

a los alumnos de un centro universitario cuántos

días salen de fiesta por semana, obteniéndose

los siguientes resultados:

0 2 3 2 1 1 1 4 0 1

1 2 2 1 3 1 3 0 1 2

Efectúa el recuento de datos y obtén la tabla

de frecuencias.

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

50. ● En una clase de 1.º ESO se pregunta

a los alumnos por sus refrescos preferidos.

Refrescos

Cola

Naranja

Limón

Piña

N.º de alumnos

10

4

6

3


51. ● La música preferida por los alumnos de 1.º ESO,

según una encuesta realizada, es:

Música

Rock

Pop

Bacalao

Clásica

Dance

N.º de alumnos

18

12

24

10

6


227



52. ● Los resultados obtenidos al lanzar una moneda

25 veces son 11 caras y 14 cruces. Represéntalos

en un diagrama de sectores.

53. ● En un edificio de 24 viviendas, el número

de personas que habitan en cada una es:

3 4 2 5 6 4 2 0 1 2 3 46 8 4 3 5 4 6 2 8 4 1 3

a) Construye una tabla de frecuencias.

b) Representa los datos con un diagrama

de barras y un diagrama de sectores.

54. ●● Una familia gasta mensualmente 1 800 �.

El siguiente gráfico muestra lo que destina

a cada concepto.

Gastos generales

Hipoteca60 %30 %

10%

Otros

¿Cuánto dinero gasta en cada concepto?

55. ●● Se ha preguntado a los alumnos de una clase

sobre su deporte favorito, y este ha sido el

resultado.

Fútbol: 32 Baloncesto: 16

Tenis: 9 Otros: 17

Atletismo: 5 Ninguno: 3

Representa, en un diagrama de sectores, estos

resultados, e indica el porcentaje de cada sector.

56. ●● En una encuesta realizada a 2 500 personas,sobre el funcionamiento de los autobuses

urbanos, se han obtenido los siguientes datos:

Muy bien: 30,7% Mal: 1 %

Bien: 48 % Muy mal: 0,4%

Regular: 10,9 % NS/NC: 9 %

a) Construye una tabla de frecuencias.

b) ¿Cuántas personas responden Bien o Muy bien?

c) Representa los datos en un diagrama de sectores.

SUCESOS. ESPACIO MUESTRAL

61. ● En el experimento aleatorio que consiste en

lanzar un dado y anotar el resultado, distingue los

sucesos elementales de los sucesos compuestos.

a) «Salir número par»

b) «Salir número primo»

c) «Salir número mayor o igual que 5»

d) «Salir múltiplo de 4»

En los sucesos que consideres compuestos,

indica cuántos sucesos elementales contienen.

63. ● Escribe el espacio muestral en cada caso.

a) Se extrae una moneda de una hucha

que contiene monedas de 5, 10, 20

y 50 céntimos.

b) Se coge una papeleta de una urna que contiene

papeletas numeradas del 1 al 10.c) Se extrae una carta de la baraja y se anota

si es figura o no.

64. ● En el experimento

aleatorio que

consiste en extraer

una carta de

la baraja

española,

define

el espacio

muestraly estos sucesos.

a) Sacar un rey.

b) Sacar una carta con un número par.

c) Sacar espadas.

d) No sacar oros.

e) Sacar una figura.

REGLA DE LAPLACE

65. ● En una bolsa tenemos 4 bolas azules, 3 rojas,

2 verdes y 1 blanca. Se saca una bola al azar.

a) ¿Qué es más probable, que salga azul

o blanca?

b) ¿Es más probable que salga roja o verde?

c) Calcula las probabilidades de cada resultado

(azul, roja, verde o blanca). ¿Cuánto vale

la suma de estas probabilidades?

66. ● En una bolsa hay 5 bolas rojas, 6 azules,

4 verdes y 3 naranjas.

a) ¿Cuántas bolas hemos de sacar para estar

seguros de obtener una bola azul?

b) ¿Qué color es más probable al sacar una bola

de la bolsa?

228



67. ●● Una bolsa A tiene 3 bolas rojas y 2 verdes,

y otra bolsa B, 1 bola roja y 2 verdes. Se elige

una bolsa, se saca una bola y gana quien saca

bola verde. Para ganar habrá que elegir:

a) La bolsa A.

b) Cualquier bolsa.c) La bolsa B.

d) No se puede saber.

68. ●● Define un suceso seguro y otro imposible

para cada uno de los siguientes experimentos.

a) Lanzar un dado con las caras numeradas

del 1 al 6.

b) Lanzar dos monedas.

c) Extraer una bola de una bolsa que contiene

bolas numeradas del 1 al 4.

d) Lanzar dos dados y sumar los puntos obtenidos.

69. ●● ¿Son equiprobables los sucesos elementales

de estos experimentos?

a) Extraer una carta de la baraja española y anotar

si es figura o no.

b) Lanzar dos monedas.

c) Extraer una pieza de fruta de un frutero

que contiene cinco manzanas, tres naranjas

y cuatro ciruelas.

70. ● Se lanza un dado con las caras numeradas

del 1 al 6 y se anota el resultado de la cara

superior. Calcula la probabilidad de que sea:a) Número par.

b) Número impar.

c) Número mayor que 2.

d) Número menor que 1.

e) Número mayor o igual que 6.

f) Múltiplo de 3.

g) Múltiplo de 4.

71. ● En una baraja española de 40 cartas se extrae

una carta. Calcula la probabilidad de que:

a) Sea de oros.b) Sea el rey de copas.

c) Sea un rey.

d) No sea el as de espadas.

e) Sea de copas.

f) Sea de bastos.

g) Sea de copas o de bastos.

h) No sea un as.

i) Sea una figura.

j) No sea una figura.

72. ● En un monedero hay seis monedas

de 20 céntimos, cuatro de 50 céntimos

y tres de 1 euro. Se extrae una moneda al azar.

Calcula la probabilidad de que sea:

a) Una moneda de 20 céntimos.

b) Una moneda de 50 céntimos.

c) Una moneda de 1 euro.

73. ● En una bolsa hay 5 bolas azules, 4 bolas

blancas y 3 bolas rojas. Se extrae una bola

al azar. Calcula la probabilidad de obtener:

a) Una bola azul. c) Una bola blanca.

b) Una bola roja.

PROBLEMAS DE ESTADÍSTICAY PROBABILIDAD

79. ●● Un frutero tiene sacos de cebollas de 2 kg,

5 kg y 10 kg. Durante un día ha vendido 10 sacos

de 2 kg, 5 sacos de 5 kg y 2 sacos de 10 kg.

a) Organiza estos datos mediante una tabla

de frecuencias.

b) Representa, en un diagrama de barras,

las frecuencias absolutas.

c) Dibuja un diagrama de barras donde

representes las frecuencias relativas.

80. ●● Las edades, en años, de los

10 primeros visitantes al parque

de atracciones de una ciudad son

las siguientes:

12 10 14 12 14

10 11 12 12 12

Dibuja un diagrama de barras

con las frecuencias absolutas

y otro con las frecuencias

relativas.

229



230

Y ahora... practica (Soluciones)UNIDAD 1

1. Respuesta abierta. Por ejemplo: 3 435, 6 162

2. a) d = 11 b) d = 14

3. r = 5

4. a) 175 b) No se puede.

1. a) 126 b) 959 c) 3 474

6. a) 25 d) 424

b) 7 e) No se puede.

c) No se puede. f) 1236

2. a) 38 b) 9

10. a) 19 b) 7 c) 4

UNIDAD 2

1. 24 es múltiplo de 2. 24 es múltiplo de 3.

2. 63 es múltiplo de 7. 77 es múltiplo de 7.

1. Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) 16, 24, 32 c) 36, 54, 72b) 24, 36, 48 d) 48, 72, 96

2. Respuesta abierta. Por ejemplo:

a) 12, 6, 3 c) 2, 5, 10

b) 2, 3, 32 d) 1, 3, 13

3. Solo dos, 1 y 17.

Es primo.

5. Es primo 31.

7. 88 = 23 ? 11

8. 120 = 23 ? 3 ? 5

240 = 24 ? 3 ? 5

480 = 25 ? 3 ? 5

9. 600

10. m.c.d. (32, 48) = 24

= 1611. m.c.d. (24, 35 y 46) = 1

12. m.c.m. (10, 8) = 2

13. m.c.d. (16, 40 y 80) = 23 = 8

UNIDAD 3

1. Respuesta abierta.

Por ejemplo:10

,50

30

1.

Son equivalentes.

2. 12

4

6


67

5 7y no son equivalentes.

4.12

3

48

12

16

6

48

18= =

5.33

25

24

44

24

83< <

6.20

27

UNIDAD 4

1. a) 2 ? 10 + 7 + 4 ? 0,1 + 5 ? 0,02

b) 3 + 7 ? 0,1 + 8 ? 0,01 + 6 ? 0,001

c) 1 ? 103 + 2 ? 102 + 3 + 3 ? 0,001

1. a) Parte entera: 13 Parte decimal: 24

b) Parte entera: 3 Parte decimal: 86c) Parte entera: 0 Parte decimal: 007

3. 7 < 7,009 < 7,09 < 7,9

4. 2,563

5. a) 28,337 b) 283,37 c) 28,337

6. a) 4 320 b) 4,32 c) 0,432

UNIDAD 5

1. |-7| = 7 |+3| = 3

2. Op (-7) = +7 Op (+3) = -3

3. Es cierta la expresión b).

4. -18

1. 8

5. +6

2. -4

6. -9

7. +36

8. +3

UNIDAD 6

1. a) 3x - 6 b)x

512=

2. a) Ecuación b) Identidad

1. -1

5. 0

2. a) x

=12 b) x

=3

3. a) x = 12 b) x = 9

4. 2x - 3 = 7" x = 5

UNIDAD 7

1. Sí 4. 150 000 m2

2. 32,5478 kg 5. 0,0034 hm2

3. 3 720 dl 6. 1,0025 dm3

1. 345 270 000 dam3

7. 30 dm2 56 cm2 30 mm2 9. 410 m

8. 3 hl 2 dal 4 ¬ 1 dl 10. 103,002 g

2. a) 8 411,5 m b) 234,287 ¬

3. 3 020 800 m

2

4. 3 004,034 m3

UNIDAD 8

1. Se necesitan dos razones.

3. No forman proporción.

5. No es directamente proporcional.

6. No es inversamente proporcional.

1. a) x = 4,5 y = 12

b) x = 2 y = 4

7. 0,25 ? 24 = 6



231

UNIDAD 9

1. No se puede hallar la longitud de una línea rectani de una semirrecta.

Sí se puede hallar la longitud de un segmento.

2. Solo se puede trazar una perpendicular. Solo se puede trazaruna paralela.

3. Consecutivos:BV y CV

Adyacentes:DV y EV

4. Los ángulos AV y BV son complementarios.

Los ángulos BV y CV son consecutivos.

Los ángulos AV y CV son iguales.

1. Trazamos una semirrecta y dibujamos un arco sobre el ángulodado. Con el mismo radio trazamos otro arco en el ánguloque estamos construyendo, y con el compás trasladamosla amplitud del arco sobre este ángulo.

2. a)

AV + BV

AV

BV

b)

AV - BV

AV

BV

6. a) 600m c) 870l

b) 18 000m d) 218 160m

3. Dibujamos una semirrecta que pase por el 0° del transportador.Marcamos el 55° del transportador y dibujamos el ángulo.

UNIDAD 10

1. a) Sí c) No

b) Sí d) No

2. Sí

1. 60º

5. Mide 35 cm.

6. Tiene que medir 9 cm.

7. Mide 5,66 cm.

UNIDAD 11

1. Mide 15 cm2.

2. Mide 28,26 cm2.

3. Mide 6,93 cm.

4. Mide 31,005 cm2.

5. Mide 29 cm.

6. Mide 50 cm2.

7. Mide 175 m2.

8. Mide 243 m2.

UNIDAD 12

1.

2. Cubo Cono Pirámide de base cuadrada

2. Caras: 10 Vértices: 16 Aristas: 24

3.

UNIDAD 13

1.

1

1 X

Y

2. Se encuentra en el cuarto cuadrante.

3. Son los puntos (1, 2) y (-2, 1).

4. y = 6

1.

2

1 X

Y

2. En el primer trimestre la familia consume 1 000 kWh,en el segundo baja el consumo a los 500 kWh, mínimo anual.Aumenta hasta 1 500 kWh, el máximo anual, para bajaren el último trimestre hasta los 750 kWh.

UNIDAD 14

2. Respuesta abierta. Por ejemplo: Edad, color favorito,peso, n.° de libros que se leen…

3. E = {2 caras, cruz y cara, 2 cruces}

Respuesta abierta. Por ejemplo: Sacar menos de 2 caras, sacarcara y cruz, sacar 2 cruces…

4. 0,355. f i

Datos

7

5

3

1

0 1 2 3 4

6. El gráfico a).

7. 0,1



Dirección de arte: José Crespo

Proyecto gráfico:Portada: Pep CarrióInteriores: Rosa María Barriga, Manuel García

Ilustración: Jorge Arranz, José María Valera

Fotografía de cubierta: Antonio Fernández

Jefa de proyecto: Rosa MarínCoordinación de ilustración: Carlos AguileraJefe de desarrollo de proyecto: Javier TejedaDesarrollo gráfico: José Luis García, Raúl de Andrés

Dirección técnica: Ángel García Encinar

libro mates 1º eso avanza

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