mates 3 eso casa

El llibre Matemàtiques per a 3r d’ESOés una obra col·lectiva concebuda, dissenyada i creadaal departament d’Edicions Educatives de Grup Promotor /Santillana, dirigit per Enric Juan Redali M. Àngels Andrés Casamiquela.

En la realització han intervingut:

M. D. ÁlvarezJ. HernándezM. MarquésA. Y. MirandaM. R. MorenoS. ParraM. RedondoR. RedondoM. T. SánchezT. SantosE. Serrano

EDICIÓ

M. BelsaP. GarcíaC. PérezC. Renom

DIRECCIÓ DEL PROJECTE

D. Sánchez Figueroa

Matemàtiques 3 ESO

Grup PromotorSantillana

831084 _ 0001-0006.qxd 10/5/07 11:45 Página 1

2

Índex

0. Repàs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Divisibilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Màxim comú divisor i mínim comú múltiple . . . . . . . . . . 9Nombres enters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Operacions amb nombres enters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Operacions combinades amb nombres enters . . . . . . . . . . 12Raó i proporció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Polígons i circumferència . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Triangles i quadrilàters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Coordenades cartesianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1. Nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Fraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Operacions amb fraccions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Nombres decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Fraccions i nombres decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2. Nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Potències de nombres racionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Propietats de les potències . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Notació científica. Operacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Aproximació de nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Representació de nombres reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3. Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Monomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Operacions amb monomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Operacions amb polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Factor comú . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Igualtats notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Fraccions algebraiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4. Equacions de primer i segon grau . . . . . . . . . . . . . 75Identitats i equacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Elements d’una equació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Equacions de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Equacions de segon grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Resolució de problemes amb equacions . . . . . . . . . . . . . . 84L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5. Sistemes d’equacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Sistemes d’equacions lineals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Mètodes de resolució de sistemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Resolució de problemes amb sistemes . . . . . . . . . . . . . . . 103L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6. Proporcionalitat numèrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Proporcionalitat directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Proporcionalitat inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Regla de tres simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Repartiments proporcionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Proporcionalitat composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Problemes amb percentatges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Interès simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7. Progressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133Successions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Progressions aritmètiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Progressions geomètriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Interès compost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

��

��

��

831084 _ 0001-0006.qxd 13/4/07 17:36 Página 2

3

8. Llocs geomètrics. Figures planes . . . . . . . . . . . . . 153Llocs geomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154Rectes i punts notables en el triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Teorema de Pitàgores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Aplicacions el teorema de Pitàgores . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Àrea de figures planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

9. Cossos geomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Poliedres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Classificació de poliedres. Àrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Cossos de revolució. Àrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Volum de cossos geomètrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178L’esfera terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10. Moviments i semblances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192Moviments en el pla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Translacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Girs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Simetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Homotècies i semblances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Aplicacions del teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Escales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

11. Funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Concepte de funció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212Formes d’expressar una funció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Característiques d’una funció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

12. Funcions de proporcionalitat . . . . . . . . . . . . . . . . 229Funció lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230Funció afí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Equacions i gràfiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Equació de la recta que passa per dos punts . . . . . . . . . . . 233Rectes secants i paral·leles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Funcions de proporcionalitat inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 236Aplicacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

13. Estadística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247Conceptes bàsics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Freqüències i taules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250Gràfics estadístics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253Mesures de centralització . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Mesures de posició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Mesures de dispersió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258Utilització de la calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

14. Probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267Experiments aleatoris. Esdeveniments . . . . . . . . . . . . . . . 268Operacions amb esdeveniments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Probabilitat d’un esdeveniment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272Regla de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Freqüència i probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274Propietats de la probabilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275Experiments aleatoris compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276L’essencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278Activitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280A la vida quotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Matemàtiques amb l’ordinador . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

I ara ... practica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

831084 _ 0001-0006.qxd 10/5/07 11:45 Página 3

Esquema de la unitat

Pàgina inicial: Mostra la importància del queestudiaràs a través d’episodisrelacionats amb la història de les matemàtiques.

S’acaba amb una activitat onposaràs a prova els teusconeixements previs.

Pàgines de continguts: Hi trobaràsels continguts i els procediments bàsicsamb el suport de molts exemplesresolts. Al final de cada pàginaproposem exercicis classificats en tres nivells:

PRACTICA. Són activitats perquèrepeteixis de manera pràcticamentexacta el procediment que has estudiat.

APLICA. Són activitats en què hauràsd’aplicar aquest procediment.

REFLEXIONA. Un cop ja ets capaç de repetir-lo i aplicar-lo, et proposemque en facis una reflexió.

L’estructura de les unitats didàctiques és molt senzilla, ja que es tracta de facilitar la localització dels continguts fonamental, dels exemples resolts i dels exercicis proposats.

Una classe improvisadaEstar convidat a la Festa de la Primavera, que cada any se celebrava al palau del maharajà, era un honor reservatnomés als personatges més influents.

Quan pujava a l’elefant, el savi Brahmagupta i el seu jove ajudant, Serhane, van coincidir a reconèixer que el maharajà era molt generós d’enviar el seu seguici per portar-los al palau.

El jove ajudant es va passar mig camí queixant-se de les disciplines que havia d’estudiar:

–Mestre, per què he d’estudiar àlgebra? No té cap utilitat; si tinc cinc monedes són cinc monedes, no pas cinc incògnites... I que la incògnita pugui ser qualsevol cosa és antinatural.

Brahmagupta va prendre la paraula i durant l’altre meitat del camí que els faltava li va explicar al seu deixeble la utilitat de l’àlgebra:

–En aquest món tot té el seu significat: l’estel al front de l’elefant no és tan sols un estel, sinó que vol dir que pertany al maharajà, i la creu coronada per quatre cercles no és només un dibuix, és el símbol de la ciutat. En matemàtiques, el més senzill és treure-li el significat a les coses, operar amb nombres i, després, interpretar-ne el resultat.

Després d’aquestes paraules, mestre i deixeble es van quedar en silenci durant el quilòmetre que faltava per arribar a palau.

Amb l’ajuda d’una equació, calcula la distància que tots dos van recórrer dalt de l’elefant.

Sistemes d’equacions5

En aquesta unitataprendràs a...

• Reconèixer sistemesd’equacions i classificar-los en funció de lessolucions.

• Obtenir solucionsd’un sistemamitjançant taules i a partir de la sevarepresentació gràfica.

• Calcular les solucionsd’un sistema amb els mètodes de substitució,igualació i reducció.

• Plantejar i resoldreproblemes ambsistemes d’equacionslineals.

PLA DE TREBALL

APLICA

Indica el poliedre regular que es pot formar amb:

a) Triangles equilàters. b) Quadrats.

Quantes cares coincideixen en cada vèrtex?

REFLEXIONA

Podries formar un poliedre regular fent servirnomés hexàgons regulars? I fent servirpolígons regulars de més de sis costats?

6

5

EXERCICIS

PRACTICA

Aquest poliedre és un cub truncat (cada vèrtex del cub ha estat tallat formant un triangle equilàter).

El poliedre és còncau o convex? Comprova si es compleix la fórmula d’Euler.

4

Poliedres1 Classificació dels poliedres.Àrees

En funció de la forma, els poliedres poden ser còncaus o convexos.

En tots els poliedres convexos es compleix la relació d’Euler:

C + V = A + 2Nre. de cares Nre. de vèrtexs Nre. d’arestes

Només hi ha cinc poliedres regulars:

Tetraedre Cub Octaedre Dodecaedre Icosaedre

2

APLICA

Fes el desenvolupament pla dels poliedres de l’exercici anterior. Indica els passos que segueixes.

REFLEXIONA

Dibuixa dos heptaedres que tinguin un nombre d’arestes i de vèrtexs diferent. (Fixa’t en els exemples anteriors.)

3

2

EXERCICIS

PRACTICA

Determina el nom dels poliedres i el nombre de cares i arestes que tenen.

a) b)

1

172

Els poliedres són cossos geomètrics tancats limitats per cares planes deforma poligonal.

Un poliedre és regular quan totes les seves cares són polígons regularsiguals i, a més, en cada vèrtex s’uneix el mateix nombre de cares.

Anomenem desenvolupament pla d’un poliedre la figura que obtenimquan l’estenem sobre un pla, a partir del qual podem construir el poliedre.

Cara

Cada polígon quelimita el poliedre.

Aresta

Costat de cada cara.

Diagonal

Segment que uneix dos vèrtexs

no consecutius.

Vèrtex

On concorren tres o méscares. Coincideixen ambels vèrtexs de les cares.

Els poliedres els anomenem en funciódel nombre de cares::4 cares Tetraedre5 cares Pentaedre6 cares Hexaedre7 cares Heptaedre...

F

F

F

F

Determina el nom dels poliedres següents. Quantes cares tenen? I quantes arestes?

En tots dos casos, el nombre de cares és 5; per tant, són pentaedres.

Tot i això, el primer té 8 arestes i el segon, 9.

1

EXEMPLE

Classifica els poliedres i comprova si es verifica la relació d’Euler.

a) És un poliedre convex. C = 7, A = 15, V = 10 → 7 + 10 = 15 + 2

b) És un poliedre còncau. C = 7, A = 15, V = 10 → 7 + 10 = 15 + 2

2

Convex

Cap cara, quan la prolonguem, talla el poliedre.

EXEMPLE

2.1 Poliedres regulars

Còncau

Alguna cara, quan la prolonguem,talla el poliedre.

173

F

F

G

G

F

Els principals poliedresconvexos són els poliedres

regulars, els prismes i les piràmides.

a) b)

831084 _ 0001-0006.qxd 10/5/07 11:45 Página 4

L’essencial: Aquesta pàgina dobleés de resum i autoavaluació.

COMPRÈN AQUESTES PARAULES. És el vocabulari matemàtic que hemtreballat en aquesta unitat.

FES-HO AIXÍ. Són els procedimentsbàsics de la unitat. Cadaprocediment l’introduïm amb la resolució d’una activitat en quèmostrem, pas a pas, un mètodegeneral de resolució.

I ARA... PRACTICA. És unaautoavaluació les solucions de la qual apareixen al final del llibre.

Activitats de la unitat:Exercicis iproblemesorganitzats per continguts.Tots els enunciatsvan precedits per una icona que n’indica el grau de dificultat.

Investiga:Activitats en quèhauràs d’aplicartot el teu enginyper descobrirregularitats i propietats dels contingutsque acabesd’estudiar.

A la vida quotidiana:L’última pàgina de la unitat la dediquem a la proposta de problemes amb dadesreals.

Quan els solucionisdescobriràs la utilitat pràcticade tot el que has après, que et pot ajudar en la vidaquotidiana.

182

COMPRÈN AQUESTES PARAULES

L’essencial

Prismes

Piràmides

Cilindres

183

FES-HO AIXÍ

1. APLICACIÓ DEL TEOREMA

DE PITÀGORES EN COSSOS GEOMÈTRICS

Calcula la dada desconeguda en aquests cossos geomètrics.

PRIMER. Determinem el triangle rectangle que relaciona les dades conegudes i la dada desconeguda, i apliquem el teorema de Pitàgores.

a) b) c)

SEGON. Resolem l’equació que en resulta.

a) g2 = 32 + 42 b) 52 = (a')2 + 32 → (a')2 = 52 − 32 c) a2 = 32 + 42

a = + =3 4 52 2 cma' = − =5 3 42 2 cmg = + =3 4 52 2 cm

2. CÀLCUL DE L’ÀREA

D’UN POLIEDRE

Calcula l’àrea d’aquest poliedre.

3. CÀLCUL DE L’ÀREA D’UN COS

DE REVOLUCIÓ

Calcula l’àrea d’aquests cossos de revolució.

4. CÀLCUL DEL VOLUM D’UN COS GEOMÈTRIC

Calcula el volum d’aquests cossos geomètrics.

SEGON. Apliquem la fórmula.

a) V = ABase ⋅ h = 19,28 ⋅ 4 = 77,12 cm3 b) V r h= = ⋅ ⋅ =13

13

3 4 37 682 2π π , cm3

Aplicació del teorema de Pitàgores

en cossos geomètrics

1. L’altura d’un con de 5 cm de radi de la base i 12 cm de generatriu és:

a) 10,91 cm b) 13 cm c) 7 cm

Càlcul de l’àrea d’un poliedre

2. L’àrea d’un prisma triangular regular de 3 cmd’aresta bàsica i 2 cm d’aresta lateral és:

a) 18 cm2 b) 25,8 cm2 c) 22,3 cm2

Càlcul de l’àrea d’un cos de revolució

3. L’àrea d’un con de 4 cm de radi i 3 cm d’altura és:

a) 87,96 cm2 b) 113,04 cm2 c) 96,7 cm2

Càlcul del volum d’un cos geomètric

4. Quin és el volum d’un tetraedre de 2 cmd’aresta de la base i 1,63 cm d’altura?

a) 2,82 cm3 b) 0,94 cm3 c) 6,52 cm3

I ARA... PRACTICA

Cons

Esferes

hh

r2πr

h

r

h

PBA = PBase ⋅ h + 2ABase

V = ABase ⋅ h

A = 2πr(h + r)V = πr2h

A = πr(g + r)

V r h=13

2π

A = 4πr2

V r=43

3π

a a

a'

A AP a

V A h

= +⋅

= ⋅

BaseBase

Base

213

h

r

r

g2πr

g

r

a) b) c)

g

4 cm

3 cma'

3 cm

5 cm

a

4 cm

6 cm

g

4 cm

3 cm a'

3 cm

5 cm a

4 cm

62

3cm

cm=

a

5 cm

6 cm

4 cm

3 cm

4 cm

3 cm

PRIMER. Determinem el tipus de poliedre i les dades necessàries per calcular-ne l’àrea.Piràmide quadrangular regular:

n = 4 → PBase = 4 ⋅ 6 = 24 cmEn calculem l’apotema:

a2 = 52 − 32 →ABase → Àrea d’un quadratABase = 62 = 36 cm2


A AP a

= +⋅= +

⋅=Base

Base cm2

3624 4

284 2

a = − =5 3 42 2 cm

PRIMER. Determinem el tipus de cos derevolució i les dades per calcular-ne l’àrea.a) Cilindre: r = 3 cm h = 4 cmb) Con: r = 3 cm

En calculem la generatriu:

SEGON. Apliquem la fórmula.a) A = 2πr(h + r) = 2π ⋅ 3 ⋅ (4 + 3) =

= 131,88 cm2

b) A = πr(g + r) = π ⋅ 3 ⋅ (5 + 3) = 75,36 cm2

g g2 2 2 2 24 3 4 3 5= + = + =→ cm

PRIMER. Determinem el tipus de cos geomètric i les dades necessàries per calcular-ne el volum.a) Prisma octogonal regular:

h = 4 cm

b) Con: r = 3 cm h = 4 cm

AP a

Base,

, cm=⋅=

⋅ ⋅=

28 2 2 41

219 28 2( )

a) b)

G

4 cm

2,41 cm 2 cm

4 cm

3 cmF

g2 = 32 + 42 52 = (a')2 + 32 a2 = 32 + 42

30

ActivitatsFRACCIONS

36. � Expressa aquests enunciats amb una fracció.a) Han dividit una pizza en 8 parts i en Joan se

n’ha menjat 2.b) D’una classe de 20 alumnes, 15 han anat

d’excursió.c) D’un grup de 7 amigues, 3 són pèl-roges.d) Una de cada 5 persones té problemes

d’esquena.

37. � Escriu la fracció que representa la part pintadade cada figura.a) c)

b) d)

38. � Representa les fraccions següents fent servirfigures geomètriques:

a) c)

b) d)

39. � Pinta els de la figura.

40. � Calcula:

a) de 180 d) de 540

b) de 420 e) de 320

c) de 40 f) de 1.342−311

−25

58

56

49

12

23

49

52

76

37

42. � Representa aquests nombres racionals:

a) b) c) d)

43. � Quina fracció representa cada recta?

a)

b)

c)

−−

288

−75

133

29

COM ES REPRESENTEN FRACCIONS IMPRÒPIES A LA RECTA NUMÈRICA?

41. Representa a la recta numèrica la fracció .

PRIMER. Expressem la fracció com un nombre enter més una fracció pròpia.

→ →

La fracció està compresa entre 5 i 6.

SEGON. Dividim el tros de recta comprès entre 5 i 6 en tantes parts com indica eldenominador, 3, i agafem les que assenyala el numerador, 1.Per dividir el tros de recta tracem una semirecta,amb la inclinació que vulguem, amb origen a 5 i dibuixem tres segments iguals.

Unim l’extrem de l’últim segment amb el punt que representa 6 i tracem paral·leles a aquestarecta des de les altres dues divisions.

163

513

= +163

163

FES-HO AIXÍ

16 3

1 5

5 6

5 6

5 163

6

A

B

C

−3 −2 −1

1 2

6 7

94. �� Uns amics fan una excursió a la muntanya.El primer dia recorren un quart del que tenienprogramat i el segon dia, un terç. La resta, quesón 25 km, ho deixen per al tercer dia. Quina fracció representen els quilòmetresrecorreguts el tercer dia? Quants quilòmetreshan fet en total?

INVESTIGA

95. �� Calcula les diferències següents:

a) Amb els resultats, fes aquesta suma.

b) En vista del resultat anterior, quin creus queserà el resultat d’aquesta suma?

96. �� Si buidem aquests dos recipients en unagerra, quina serà la proporció d’aigua i de vinagreque hi haurà?

97. �� Aquesta figura conté nou quadrats, tots de costat 1. Els punts assenyalats verifiquen:

P�Q� = Q�R� = R�S� = S�T� =Una recta uneix Xamb un d’aquests punts i divideix la figura en dues regions amb la mateixa àrea. Quina és aquesta recta?

14

12

16

112

120

130

142

11 001 000

+ + + + + +…+. .

12

16

112

120

130

+ + + +

35

90. �� Tenim una peça de filferro de 90 m.

En venem parts a 3 €/m, de la resta

a 4 €/m i els metres que falten a 2 €/m.Quant hi hem guanyat, si havíem comprat el metrede filferro a 2 €?

91. �� Tres amics es reparteixen 90 € que hanguanyat a la travessa de la manera següent: el primer se’n queda una cinquena part; el segon,la tercera part del que rep el primer, i el tercer, lameitat del que rep el segon.

a) Quina fracció representa el que obté cadascú?

b) Quants diners es queda cada amic?c) Quants en deixen de pot?

93. �� D’un escalfador, primer se’n gasta la meitatde l’aigua i, després, la quarta part de la quequedava. Si encara en queden 12 litres, quina ésla capacitat de l’escalfador?

1

6

2

3

COM CALCULEM EL TOTAL SI EN SABEM

UNA PART?

92. Una piscina està plena fins als de la seva

capacitat. Encara fan falta 880 litres perquè quedi totalment plena. Quina capacitat té la piscina?

PRIMER. Calculem la fracció que representa la partbuida de la piscina.

SEGON. Designem amb x la capacitat total de la piscina.

Aïllem x:

La piscina té 3.960 litres de capacitat.

x = =⋅= =880

29

880 92

7 9202

3 960:.

.

29

29

880de x x= ⋅ =

179

99

79

29

− = − =

7

9

FES-HO AIXÍ

X

T S RQP

BARREJA

2 parts d’aigua

1 part de vinagre

BARREJA

3 parts d’aigua

1 part de vinagre

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

− − −

− −

2 2 3 3 4

4 5 5 6

94

A la vida quotidiana99. �� A la Mariam li falten pocs

dies per donar a llum. A la seva feina tenen el costum de fer un regal als nounats. En Robert i la Pilar, companys seus, s’han encarregat de recollir els diners.

La Mariam és molt popular a l’empresa, gairebé tothom la coneix. Per això la majoria dels seus companys han participat en el regal.

Ahir, en Robert i la Pilar van ser en uns grans magatzems i han proposat comprar el cotxet de nadó que està d’oferta, pel qual haurien de posar uns 8 €cadascun.

Com que tothom hi estava d’acord, el van anar a comprar, però va resultar que l’oferta s’havia acabat i els faltaven 4 €.

Finalment, en Robert i la Pilar m’han dit que, dels 14 companys, hi ha una persona que no haposat els diners per al regal de la Mariam.

Creus que és cert, el que diuen?

100. �� En Marcel·lí és ferrer i s’ha trobat ambforça problemes al llarg de la seva trajectòriaprofessional. Molt sovint li fan encàrrecs quesón difícils de portar a terme.

A vegades, no només és difícil fer la feina, sinó també interpretar què és el que vol el client.

Per això, quan algú li planteja un problema comaquest, en Marcel·lí l’ha de traduir a les tasquesque ell ha de fer a la seva ferreria.

Com haurà de doblegar la barra, en Marcel·lí?

A la terrassa, hi tinc un tros de paret que fa 1,30 m. Vull col·locar, sobre

els extrems de la paret, una barra de ferroque formi un angle recte per instal·lar-hi

un tendal que faci 1,70 m de longitud.

El que vostè necessita és una barra de ferro que faci 1,70 m.

Aquesta barra, l’hem de doblegar fins que faci un angle recte

de manera que la distància entre els extrems sigui d’1,30 m.

El que podem fer és posar-hicadascun 9 € i amb els 8 €

que sobren comprem unasamarreta per al nen.

831084 _ 0001-0006.qxd 10/5/07 11:46 Página 5

831084 _ 0001-0006.qxd 13/4/07 17:36 Página 6

En aquesta unitat repassarem alguns continguts que ja has estu-diat en cursos anteriors i que ens serviran com a punt de partidaper entendre els conceptes nous que estudiaràs en aquest curs de3r d’ESO.

Encara que et sembli senzill, convé que hi dediquis una mica detemps i atenció, ja que la majoria dels continguts que estudiaràsen aquest curs es basen en altres que ja has estudiat.

0Repàs

PLA DE TREBALL

En aquesta unitatrepassaràs...

• Els múltiples i els divisors d’unnombre.

• El càlcul del màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de diversosnombres.

• Els nombres enters i les sevesoperacions.

• La raó i la proporció entre nombres.

• Els elements d’un polígon i les sevesclassificacions.

• La representació de punts en un sistema d’eixos de coordenades.

831084 _ 0007-0016.qxd 10/5/07 11:50 Página 7

Troba sis múltiples de cada nombre:

a) 5 b) 10 c) 50 d) 72 e) 100 f) 450 g) 600 h) 723

Troba dos divisors dels nombres següents:

a) 25 b) 15 c) 150 d) 190 e) 320 f) 450 g) 600 h) 725

Completa els buits amb la paraula adequada (múltiple o divisor):

a) 24 és … de 6 b) 12 és … de 24 c) 125 és … de 25 d) 51 és … de 17

Esbrina quins d’aquests nombres són primers o compostos: 79, 93, 117, 239, 313, 585, 1.001 i 6.723.

Busca els nombres primers compresos entre 100 i 120.

Completa els buits:

a) Div (30) = {1, 2, 3, �, �, �, 15, �} c) Div (97) = {�, 97}b) Div (100) = {1, 2, �, �, 10, �, 25, �, 100} d) Div (48) = {�, 2, 3, 4, 6, �, �, �, �, �}

6

5

4

3

2

1

8

Nombres

• Un nombre b és múltiple d’un nombre a si la divisió de b entre a ésexacta.

• Un nombre a és divisor d’un nombre b si la divisió de b entre a ésexacta.

12 : 4 és una divisió exacta

12 és divisible per 4

12 és múltiple de 4 4 és divisor de 12

Nombres primers i compostos

• Un nombre a és primer si només té dos divisors, ell mateix i la unitat.

Div (7) = {1, 7} → 7 és un nombre primer.

• Si un nombre té més de dos divisors, direm que és un nombrecompost.

Div (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} → 12 és un nombre compost.

Criteris de divisibilitat

F

F

F

DIVISIBILITAT

Divisible per… Criteri de divisibilitat

2 Si l’última xifra és 0 o parella.

3 Si la suma de les xifres és múltiple de 3.

5 Si l’última xifra és 0 o 5.

El nombre 1 només té undivisor, ell mateix. No elconsiderem un nombreprimer, però tampoc un nombre compost.

831084 _ 0007-0016.qxd 16/4/07 11:03 Página 8

9

• Per calcular el màxim comú divisor de diversos nombres:1r Descomponem els nombres en factors primers.2n Elegim els factors comuns elevats a l’exponent més petit.3r El producte d’aquests factors és el m.c.d. dels nombres.

12 2 30 26 2 12 = 22 ⋅ 3 15 3 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 53 3 5 51 1

m.c.d. (12, 30) = 2 ⋅ 3 = 6

• Per calcular el mínim comú múltiple de diversos nombres:1r Descomponem els nombres en factors primers.2n Elegim els factors comuns i no comuns elevats a l’exponent més

gran.3r El producte d’aquests factors és el m.c.m. dels nombres.

20 2 18 210 2 20 = 22 ⋅ 5 9 3 18 = 2 ⋅ 32

5 5 3 31 1

m.c.m. (20, 18) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180

Nombres

MÀXIM COMÚ DIVISOR I MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE

Calcula el m.c.d. de cada parella de nombres:

a) 6 i 14 c) 5 i 15 e) 76 i 85 g) 160 i 180b) 9 i 10 d) 42 i 4 f) 102 i 104 h) 281 i 354

Calcula el m.c.m. d’aquests nombres:

a) 7 i 14 c) 9 i 16 e) 61 i 49 g) 150 i 415b) 12 i 7 d) 8 i 25 f) 280 i 416 h) 296 i 432

Calcula el m.c.d. i el m.c.m. de cada grup de nombres:

a) 25, 50 i 100 c) 40, 42 i 48 e) 8, 10, 12 i 14b) 6, 7 i 8 d) 12, 18 i 20 f) 2, 4, 6, 8 i 10

Dos vaixells mercants surten d’un port el dia 1 de gener. El primer triga 26 dies a tornar, i el segon, 30 dies. Tots dos van i vénen constantment. Quants dies triguen els vaixells a coincidir de nou al port?

Tenim dos rotllos de corda que tenen 144 i 120 m de longitud, respectivament. Quin és el nombre de trossos iguals, de mida màxima, que es pot fer amb els rotllos de corda?

11

10

9

8

7

Si a i b no tenen divisors comuns:

m.c.d. (a, b) = 1m.c.m. (a, b) = a · b

831084 _ 0007-0016.qxd 10/5/07 11:50 Página 9

Nombres

10

NOMBRES ENTERS

Els nombres enters són nombres precedits del signe + o −, en funció de si la quantitat expressada és més gran o més petita que zero.

El conjunt dels nombres enters, que designem amb Z, està format per:

– Nombres enters positius: +1, +2, +3, +4 …– El nombre 0.– Nombres enters negatius: −1, −2, −3, −4 …

Valor absolut d’un nombre

El valor absolut d’un nombre enter és igual al nombre sense el seu signe.

⏐+b⏐ = b ⏐−a⏐ = a

Oposat d’un nombre

L’oposat d’un nombre enter és aquest mateix nombre amb el signecanviat.

Op (+a) = −a Op (−a) = +a

Escriu tots els nombres enters:

a) Més grans que −4 i més petits que +2. c) Més petits que +1 i més grans que −2.b) Més petits que +3 i més grans que −5. d) Més grans que −5 i més petits que +6.

Representa a la recta numèrica els nombres següents: −6, 0, −8, +3, −5 i +4.

Indica el nombre enter que correspon a cada punt marcat a la recta numèrica.

a) b)

Completa amb nombres enters:

a) −3 < � < � < +1 c) −9 < � < � < −6b) +3 > � > � > −1 d) −15 < � < � < −10

Pots col·locar més d’un nombre a cada buit?

Calcula:

a) ⏐+3⏐ b) ⏐−3⏐ c) ⏐−7⏐ d) ⏐−4⏐ e) ⏐+5⏐ f) ⏐−9⏐

Troba els oposats d’aquests nombres:

a) −5 b) +8 c) −15 d) −40 e) +125 f) −134

17

16

15

14

13

12

El 0 és l’únic nombre enter que no és positiu

ni negatiu.El valor absolut

de 0 és 0.

… −5

Nombres enters negatius

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 …��

Nombres enters positius

�� A B

0

C D A B

0

C D

831084 _ 0007-0016.qxd 16/4/07 11:03 Página 10

Nombres

11

OPERACIONS AMB NOMBRES ENTERSSuma de nombres enters

• Per sumar dos nombres enters del mateix signe, en sumem els valorsabsoluts i posem el signe que tenen els sumands.

(+2) + (+3) = +5 ⏐+2⏐ + ⏐+3⏐ = 5(−1) + (−5) = −6 ⏐−1⏐ + ⏐−5⏐ = 6

• Per sumar dos enters de signe diferent, en restem els valors absoluts (el petit del gran) i posem el signe que té el sumand de valor absolut més gran.

(+5) + (−3) = +2 5 > 3 → 5 − 3 = 2

Resta de nombres enters

Per restar dos nombres enters, sumem al primer sumand l’oposat del segon.

(−5) − (+3) = (−5) + op (+3) = (−5) + (−3) = −8

Multiplicació i divisió de nombres enters

Per multiplicar o dividir dos nombres enters, en multipliquem o dividim els valors absoluts i afegim al resultat el signe +si els dos factors tenen el mateix signe i el signe − si tenen signe diferent.

(−5) ⋅ (+3) = −15 (−15) : (+3) = −5

⎯→⎯→⏐+5⏐ = 5⏐−3⏐ = 3

Recorda la regla dels signes.

(+) · (+) = +(-) · (-) = +(+) · (-) = -(-) · (+) = -

(+) : (+) = +(-) : (-) = +(+) : (-) = -(-) : (+) = -

Calcula:

a) (−11) + (+4) b) (+13) + (+12) c) (−20) + (−12) d) (+11) + (−15)

Fes les restes:

a) (−5) − (+5) b) (+3) − (−7) c) (−15) − (−17) d) (+8) − (+7)

Calcula:

a) (−4) + (+5) − (−18) c) (+20) − (−5) − (+5)b) (+30) − (+7) + (−18) d) (−12) − (+3) − (−7)

Completa els buits perquè les igualtats siguin certes:

a) (+13) + � = (+12) b) � + (−20) = (−12) c) (−15) − � = (+9) d) � − (+8) = (+7)

Calcula:

a) (+4) ⋅ (−5) b) (−40) ⋅ (+8) c) (−40) ⋅ (−10) d) (+2) ⋅ (+15)

Fes aquestes divisions:

a) (+35) : (−7) b) (−21) : (+3) c) (−18) : (−2) d) (+40) : (−10)

Completa els buits perquè les igualtats siguin certes:

a) (+13) ⋅ � = (+39) b) � ⋅ (−6) = (−42) c) (−15) : � = (+5) d) � : (+8) = (+2)

24

23

22

21

20

19

18

831084 _ 0007-0016.qxd 16/4/07 11:03 Página 11

12

Nombres

OPERACIONS COMBINADES AMB NOMBRES ENTERSSumes i restes amb parèntesis

• Si el parèntesi està precedit pel signe +, el suprimim i mantenim els sumands de l’interior amb els signes.

• Si el parèntesi està precedit pel signe −, quan el suprimim transformemel signe dels sumands de l’interior en els oposats.

−4 − (5 − 7) + (−2 + 3) = −4 − 5 + 7 − 2 + 3 = −11 + 10 = −1

Jerarquia de les operacions

1r Resolem els claudàtors i els parèntesis.

2n Fem les multiplicacions i les divisions en l’ordre en quèapareixen.

3r Fem les sumes i les restes en elmateix ordre.

Fes aquestes operacions:

a) 6 + (−4 + 2) − (−3 − 1) e) 10 − (8 − 7) + (−9 − 3)b) 7 − (4 − 3) + (−1 − 2) f) 1 − (2 − 3) + (−4 − 5)c) 3 + (2 − 3) − (1 − 5 − 7) g) −1 − (−1 + 2 − 5 + 4)d) −8 + (1 + 4) + (−7 − 9) h) 3 + (5 − 9) − (7 − 5 − 7)

Calcula el valor d’aquestes expressions:

a) 8 + 7 − 6 + 5 − 11 + 2 c) 9 − 12 : 4 e) (−26) : 2 − 6 : 3 + 4b) (−12) ⋅ 7 : 3 d) 100 − 22 ⋅ 5 f) 15 ⋅ (−9) − 7 ⋅ (−6) : 2


a) (−4) − (−6) : (+3) d) (−18) − [(+4) + (−6)] : (+2) + (+5)b) (+5) : (−5) − (−7) ⋅ (+2) e) (−5) − (−9) − (+4) ⋅ (−3) : (−2) : (−6)c) (−11) − (+3) ⋅ (−4) : (−6) − (−9) f) (+3) − (+6) : (+2) ⋅ (−3) : [(−2) + (−1)]

Calcula:

a) (3 + 2) ⋅ (3 − 1 + 4) − 2 ⋅ (2 ⋅ 3) c) 2 ⋅ [−2 − 2 − (2 − 2 − 2)]b) [(15 − 16 + 2) ⋅ (−1) + 9] ⋅ 7 d) [2 + 3 − (6 + 5)] − [(4 ⋅ 2) ⋅ (−3 ⋅ 6) + 1]

Completa els buits perquè es compleixin les igualtats:

a) (−6) ⋅ [(−1) + �] = −18 c) 3 − [� ⋅ 5] = 18b) 8 ⋅ [4 − �] = 32 d) 1 + [3 : �] = −2

29

28

27

26

25

[(−5) ⋅ 3] : [10 : (−2)] + (−6)

−15 : (−5) + (−6)

3 + (−6)

−3

F

F

F

F

Signe − → Signes oposats

Signe + → Mateixos signes

F F F F

F F

F F

A la pràctica:

+ (+a) = +a+ (-a) = -a- (+a) = -a- (-a) = +a

831084 _ 0007-0016.qxd 16/4/07 11:03 Página 12

13

Nombres

RAÓ I PROPORCIÓ

Una raó entre dos nombres a i b és el quocient .

Una proporció és la igualtat entre dues raons.

La raó entre a i b és Si → a, b, c i d formen una proporció.

La raó entre c i d és

Si amb 5 kg de pintura pintem 4 m2 de paret, podrem pintar 6 m2

de paret amb 7,5 kg?

Sí, perquè es compleix que .

La igualtat entre les raons i forma una proporció.

Percentatge

Per calcular el tant per cent, o percentatge, d’una quantitat, multipliquem aquesta quantitat pel tant per cent dividit entre 100.

12 % de 150 = 120 % de 150 = 150120

100180⋅ =150

12

10018⋅ =

a b ba

% de = ⋅100

7 5

6

,5

4

5

4

7 5

6=

,

c

d

a

b

c

d=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

a

b

a

b

La proporció =

la llegim: «5 és a 4 com 7,5 és a 6.»

7 56,5

4

Expressa amb una raó.

a) De les 55 preguntes del test, n’he encertades 36.b) Teníem 68 ous i se n’han trencat 12.c) En el primer torn de menjar mengen 94 alumnes, i en el segon, 65.d) Una fruiteria té 7 caixes de tomàquets i 3 de pebrots.

Al menjador de l’escola posen 3 barres de pa per cada 8 alumnes. Avui hi hem menjat 124 alumnes i han posat 50 barres. S’ha mantingut la proporció?

Identifica les raons que formen una proporció.

a) b) c)

«LA POBLA DE MONTALBÍ: NOMÉS EL 8 % DELS ENQUESTATS CRITICA LA TASCA MUNICIPAL.»

Si la Pobla de Montalbí té 7.000 habitants, aproximadament quants aproven la tasca de l’alcalde?

A la dreta veus la composició d’un iogurt.

Calcula el pes dels seus components si pesa 125 g.

34

33

7 53

46

32

104

,, , ,

102

5010

308

205

, , ,21

82

63

95

, , ,

32

31

30

VALOR NUTRITIUProteïnes: 3,5%

Carbohidrats: 13,4%Greixos: 1,9%

831084 _ 0007-0016.qxd 16/4/07 11:03 Página 13

Nom Nre. de costats Regular Irregular

Triangle 3

Quadrilàter 4

Pentàgon 5

Hexàgon 6

Nom Nre. de costats Regular Irregular

Heptàgon 7

Octàgon 8

Enneàgon 9

Decàgon 10

Dibuixa aquest polígon a la llibreta i assenyala’n els costats, els vèrtexs i els angles. Traça’n les diagonals. Quantes en té?

Dibuixa un octàgon, un enneàgon i un decàgon que no siguin regulars i traça’n les diagonals.

Contesta si és cert o és fals:

a) Un polígon pot tenir més vèrtexs que costats.b) Un polígon pot tenir més vèrtexs que angles.c) Un polígon pot tenir més vèrtexs que diagonals.

Dibuixa una circumferència amb un compàs. Després traça una corda i els dos arcs que determina.

En aquesta circumferència, assenyala els segments que són cordes, radis i diàmetres.

39

38

37

36

35

14

Geometria

POLÍGONS

Un polígon és una figura plana limitada per segments.

El nom dels polígons està relacionat amb el nombre de costats que té.

Els costats són els segmentsque limiten el polígon.

La suma de les longituds delscostats n’és el perímetre.

Els angles són les regionsque formen els costats quan

es tallen. Ho escrivim així: E$.

Els vèrtexs són els punts on estallen els costats. Els anomenemamb una lletra majúscula.

Les diagonals són els segmentsque uneixen dos vèrtexs noconsecutius.

CIRCUMFERÈNCIA

Longitud de la circumferència:L = 2πr

AB

C

D

E

O

Arc

CordaRadi

Diàmetre

A

B

F

F

F

F

F

F

F

G

G

Un polígon regular és el que té tots els

costats i angles iguals.

Octàgon regular8 costats igualsi 8 angles iguals

831084 _ 0007-0016.qxd 16/4/07 11:03 Página 14

Geometria

TRIANGLES

QUADRILÀTERS

En funció dels costats i dels angles, els triangles es classifiquen en:

En funció dels costats i dels angles, els quadrilàters es classifiquen en:

TRAPEZIS

Dos costats paral·lels.

PARAL·LELOGRAMS

Costats paral·lels dos a dos.

TRAPEZOIDES

No tenen costats paral·lels.

Contesta aquestes preguntes:

a) Un triangle rectangle pot ser equilàter?b) Quin és el valor dels angles d’un triangle rectangle isòsceles?c) Quant fan els angles d’un triangle rectangle amb un angle agut

que fa el triple que l’altre triangle agut?

Un triangle isòsceles té l’angle desigual de 50°. Quant fan els angles iguals?

Si dibuixem un triangle rectangle, un d’isòsceles i un d’escalè, i els tallen per una recta paral·lela a la base, quins polígons obtenim en cada cas?

Calcula la mida de C$

en aquest trapezi rectangle si saps que B$ = 45°.

43

42

41

40

15

EquilàterCostats i angles

iguals.

IsòscelesDos costats i dos

angles iguals.

EscalèCostats i angles

desiguals.

Quadrat Rectangle Rombe Romboide

Trapezi isòsceles Trapezi escalèTrapezi rectangle

AcutangleAngles aguts.

ObtusangleUn angle

obtús.

RectangleUn angle

recte.

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

A B

C

D C

A

A

B

B

La suma dels angles d’un triangle és 180° i la d’un quadrilàter

és 360°.

831084 _ 0007-0016.qxd 16/4/07 11:03 Página 15

Indica les coordenades de cada punt.

Donats els punts següents: A(4, −1), B(3, 4), C(−3, 2) i D(−2, −3):

a) Representa’ls en el pla.b) Uneix-los en ordre alfabètic i uneix també A i D. Quina figura obtens?

Fes el mateix amb el punts: A(5, 0), B(3, 4), C(−3, 4), D(−5, 0) i E(0, −4).

Representa els punts següents: A(−5, 2), B(4, 0), C(−5, −1), D(8, 2) i E(−1, 2).

a) Indica els punts que tenen la mateixa ordenada.b) Quants punts tenen la mateixa abscissa? Quins són?

Dibuixa els eixos de coordenades perquè el punt sigui A(2, −1).

48

47

46

45

44

Funcions

COORDENADES CARTESIANES

Per representar punts en el pla fem servir dues rectes numèriquesperpendiculars denominades eixos de coordenades.

En aquest sistema de coordenades, anomenem:– Eix d’abscisses la recta horitzontal,

que representem amb X.– Eix d’ordenades la recta vertical,

que representem amb Y.– Origen de coordenades el punt

d’intersecció dels eixos, que representem amb O.

Els punts del pla els representem amb dos números entre parèntesis que indiquen cadascuna de les coordenades: la primera la representem gràficament en l’eix X i la segona, en l’eix Y.

16

A

Eixd’ordenades

Eixd’abscisses

Origen

O

Y

X

B(−3, 3)

A(2, −3)

1

3

−3

−3

1 3

Y

X

B

G

AB

C

D EF

Y

X

A

A

B

C

D

E

F

1

11

1

G

Y

X

Els eixos decoordenades divideixenel pla en quatre parts,

que anomenemquadrants.

Segonquadrant

Primerquadrant

Y

XTercer

quadrantQuart

quadrant

831084 _ 0007-0016.qxd 10/5/07 11:50 Página 16

1En aquesta unitataprendràs a...

• Identificar i calcularfraccions equivalents.

• Fer operacions ambfraccions.

• Expressar fraccionsamb nombresdecimals i nombresdecimals en formafraccionària.

• Identificar nombresracionals.

PLA DE TREBALL

La sendera dels recordsLa sala del tron papal li semblava enorme i buida, a Silvestre II. El que fou el poderós pontífex romà havia perdut tot el poder polític, però per a qualsevol la seva presència encara imposava un respecte gairebé místic.

Ja era vell i li agradava passejar pel seu passat, l’únic lloc on només ell podia arribar i on se sentia lliure. Recordava, feliç, la seva estada al monestir català de Ripoll, les visites que sovint feia a la seva biblioteca i la ciència que venia del sud.

Li venien a la memòria uns quants records i se li il·luminava el rostre; per exemple, aquell àbac que va fer ell mateix amb els nombres aràbics escrits a les fitxes, l’ús del qual va descriure amb detall; o el projecte d’una màquina per fraccionar el temps que havia de substituir la campana dels monjos: matines, laudes, prima, tèrcia...

Va obrir el llibre i, per atzar, es va trobar el projecte de la màquina que mesurava el temps; les primeres línies deien:

Dia i nit són les dues parts en què es divideix

el dia, però no són pas iguals, el primer

de desembre s’han consumit tres espelmes

durant el dia i sis durant la nit...

De cop i volta, com el fum de les espelmes després d’un cop d’aire, el camí imaginari traçat en el temps es va esborrar quan va sentir la veu del seu secretari. L’informava de la seva pròxima audiència.

Quina fracció del dia li assignaries al dia i a la nit?

Nombres racionals

831084 _ 0017-0036.qxd 10/5/07 10:09 Página 17

Comprova si aquestes fraccions són equivalents.

i → → 63 � 32 → No són equivalents.

Calcula el valor de x perquè les fraccions siguin equivalents.

→ 6 ⋅ x = 15 ⋅ 2 → → x = 5x =⋅15 2

66

15

2=x

4

7 9 634 8 32

⋅ =⋅ =

8

9

7

4

3

EXEMPLES

Prenem 4 parts de les 5 que representen la unitat.

→ 4 : 5 = 0,8

de 40 € → 32 €4 40

51605

⋅= =

4

52

45

1

EXEMPLES

Fraccions1

1.1 Fraccions equivalents

Una fracció la podem interpretar com part d’una unitat, com el quociententre dos nombres i com l’operador d’un nombre.

APLICA

Representa aquestes fraccions en un gràficcom a parts de la unitat.

a) b) c) d)

REFLEXIONA

Escriu fraccions amb aquest valor numèric:

a) 2 b) −2 c) 0,5 d) 1,5

4

63

55

74

410

3

EXERCICISPRACTICA

Calcula:

a) de 450 b) de 350

Comprova si aquestes fraccions sónequivalents:

a) i b) i1025

1260

216

72

2

37

45

1

Una fracció és una expressió en què a i b són nombres enters que

anomenem numerador, a, i denominador, b.

a

b

Dues fraccions, i , són equivalents, i ho escrivim , si es

compleix que: a ⋅ d = b ⋅ c.

a

b

c

d=

c

d

a

b

18

FIXA’T-HI

Dues fraccions equivalentsrepresenten el mateixquocient.

6 : 15 = 0,42 : 51 = 0,4

F

F

Qualsevol nombre enter el podem posar en forma de fracció:

2 = = = = ...

-3 = - = - = ...62

31

84

42

21

25

615

=

831084 _ 0017-0036.qxd 10/5/07 10:09 Página 18

19

Escriu dues fraccions equivalents a , una amb amplificació i l’altraamb simplificació.

Amplificació: Simplificació: 1535

15 535 5

37

= =::

1535

15 235 2

3070

=⋅⋅

=

15

355

EXEMPLE

Calcula la fracció irreductible de .

→ m.c.d. (45, 60) = 3 ⋅ 5 = 15 → Fracció irreductible

4560

45 1560 15

34

= =::

45 3 560 2 3 5

2

2= ⋅= ⋅ ⋅

45

606

EXEMPLE

1.2 Amplificació i simplificació de fraccions

Hi ha dos mètodes per obtenir fraccions equivalents a una fracció donada:

• Amplificar fraccions consisteix a multiplicar el nu-merador i el denominador de la fracció per un ma-teix nombre, diferent de zero.

• Simplificar fraccions consisteix a dividir el numera-dor i el denominador de la fracció entre un divisorcomú a tots dos.

Per obtenir la fracció irreductible d’una fracció donada dividim el nume-rador i el denominador entre el seu màxim comú divisor.

és la fracció irreductible de .a

b

a

b

a a b

b a b

x

y

x

y= =

: ( , )

: ( , )

m.c.d.

m.c.d.→

1.3 Fracció irreductible

Una fracció és irreductible quan no es pot

simplificar.

La fracció irreductible d’una fracció donada és una fracció equivalenten què el numerador i el denominador no tenen divisors comuns.

F

APLICA

Busca fraccions de denominador 100 que siguin

equivalents a les fraccions , i .

REFLEXIONA

La fracció és irreductible. Ho continuarà

sent si multipliquem el numerador i el denominador per 7?

a

b8

11

20

39

50

13

25

7

EXERCICISPRACTICA

Escriu dues fraccions equivalents a cadascunade les següents per amplificació i dues més persimplificació.

a) b) c)

Calcula la fracció irreductible d’aquestesfraccions.

a) b) c)4256

6075

1840

6

1228

690360

12060

5

a

b

a n

b n=

⋅⋅

a

b

a n

b n=

:

:

831084 _ 0017-0036.qxd 10/5/07 10:09 Página 19

1.4 Reducció a comú denominador

APLICA

Ordena de més petita a més gran:

REFLEXIONA

Quant ha de valer a perquè ?a

5

7

5>11

5

9

2

3

3

4

8

5

6

7, , , , .− −

10

EXERCICISPRACTICA

Ordena de més petita a més gran:

a)

b)35

34

37

49

, , ,

49

13

25

1130

, , ,

9

Reduir a comú denominador dues o més fraccions consisteix a obte-nir fraccions que en siguin equivalents que tinguin totes el mateixdenominador.

Redueix a comú denominador les fraccions .

Calculem el mínim comú múltiple dels denominadors:

→ m.c.m. (15, 18) = 2 ⋅ 32 ⋅ 5 = 90

El m.c.m. serà el denominador comú de les fraccions.

Per trobar el numerador de cada fracció, dividim el m.c.m. entre el denominador de cada fracció i en multipliquem el resultat pel numerador.

7 ⋅ 6 = 42 11 ⋅ 5 = 55 90 : 15 = 6 90 : 18 = 5FF

FFFF

15 3 518 2 32

= ⋅= ⋅

7

15

11

18i7

715

4290

1118

5590

EXEMPLE

1.5 Comparació de fraccions

Per comparar fraccions primer les reduïm a denominador comú. Lafracció més gran serà la que tingui el numerador més gran.

Ordena, de més petita a més gran, aquestes fraccions:

Reduïm les fraccions a comú denominador:

Ordenem els numeradors: 2145

2545

2745

3345

715

59

35

1115

< < < < < <→ .

m.c.m. (15, 5, 9) 45=

= =

=

→

715

2145

35

2745

1115

33345

59

2545

=

7

15

11

15

3

5

5

9, , .i8

EXEMPLE

El denominador comú de dues o més

fraccions és el m.c.m.dels denominadors.

F F

FF

20

831084 _ 0017-0036.qxd 10/5/07 10:09 Página 20

21

APLICA

Fes les operacions següents:

a) b)

REFLEXIONA

Completa amb una fracció:

a) b) =−121

37

−=14

13

+

15

− − −594

314

− + −72

94

58

14

EXERCICISPRACTICA

Calcula:

a) c)

b) d)

Multiplica:

a) b) ( )− ⋅4112

125

73

⋅

13

483

−578

+

53

43

−78

38

+

12

Operacions amb fraccions

2.1 Suma i resta de fraccions

2

Per sumar (o restar) fraccions amb el mateix denominador en sumem(o restem) els numeradors i deixem el mateix denominador.

Per sumar (o restar) fraccions amb diferent denominador primer lesreduïm a comú denominador i, després, en sumem (o restem) els nu-meradors.

Fes la suma de fraccions següent:m.c.m. (6, 3, 1) = 6

5

6

7

34+ − = + − = + − =

+ −=

−= −

56

73

41

56

146

246

5 14 246

56

566

9

EXEMPLE

2.2 Multiplicació de fraccions

El producte de dues o més fraccions és una altra fracció que té com anumerador el producte dels numeradors i, com a denominador, el pro-ducte dels denominadors.

a

b

c

d

e

f

a c e

b d f⋅ ⋅ … ⋅ =

⋅ ⋅ … ⋅⋅ ⋅ … ⋅

Calcula aquest producte de fraccions:

Fracció irreductible5

6

4

9⋅ =

⋅⋅

= =5 46 9

2054

1027

10

EXEMPLE

F

F

Simplificant

Quan operem amb fraccions

convé simplificar al màxim la fracció

que obtenim com a resultat.

F

831084 _ 0017-0036.qxd 16/4/07 11:19 Página 21

APLICA

Calcula:

a)

b)

REFLEXIONA

Completa amb una fracció perquè les igualtatssiguin certes.

a) b) :35

63

==2120

35

:

19

94

56

89

65

− +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

− ⋅ + −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

73

35

56

712

18

EXERCICISPRACTICA

Fes les divisions:

a) c)

b) d)

Calcula:

a)

b)425

82

720

− −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

59

75

415

+ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

17

( ) :−5109

811

35

:

472

:95

47

:

16

22

2.3 Divisió de fraccions

Per dividir dues fraccions, multipliquem la primera per la inversa de lasegona.

a

b

c

d

a

b

d

c

a d

b c: = ⋅ =

⋅⋅

Calcula aquesta divisió de fraccions:

2

7

6

11: = ⋅ =

⋅⋅

= =27

116

2 117 6

2242

1121

11

EXEMPLE

2.4 Jerarquia de les operacions

Per fer operacions combinades entre fraccions hem de seguir l’ordre deprioritat entre les operacions:

1r Fem les operacions que hi ha entre parèntesis i claudàtors.2n Fem les multiplicacions i les divisions en l’ordre en què apareixen,

d’esquerra a dreta.3r Fem les sumes i les restes en l’ordre en què apareixen.


a)

b)4

7

2

21

8

9

5

3+

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟:

9

8

3

5

7

4

5

6⋅ − : = − = − =

2740

4220

2740

8440

5740

12

= +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

=

1221

221

89

159

142

:

117

9126147

67

:−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = − = −

EXEMPLE

Fracció inversa

La fracció inversa de

és .ba

ab

831084 _ 0017-0036.qxd 16/4/07 11:19 Página 22

23

Nombres decimals

Els nombres decimals expressen quantitats amb unitats incompletes.

Un nombre decimal té una part entera, situada a l’esquerra de la coma, iuna part decimal, situada a la dreta.

37,0907 → Trenta-set unitats nou-cents set deumil·lèsims

3

Desenes

3

Unitats

7,

dècims

0

centèsims

9

mil·lèsims

0 7

deumil·lèsims

��PART ENTERA PART DECIMAL

Tipus de nombres decimals

• Un nombre decimal és exacte quan té un nombre finit de xifres de-cimals.

• Un nombre decimal és periòdic si té infinites xifres decimals i, amés, una o diverses d’aquestes xifres es repeteixen periòdicament. Laxifra o grup de xifres que es repeteix l’anomenem període.– Si el període comença just després de la coma, és un decimal pe-

riòdic pur.– Si no és així, és un periòdic mixt. La xifra o xifres decimals que no

es repeteixen les anomenem anteperíode.• Un nombre decimal és no exacte i no periòdic si té infinites xifres

decimals i cap d’elles es repeteix periòdicament.

→ →

→ = 1,4142135… →27

5

16

15

5

313

EXEMPLE

16 151100 1,066… →11100 11110

Decimal periòdic mixt

Decimal periòdic pur

Decimal no exacte i no periòdic

5 320 1,666… →120 1120

Decimalexacte

7 520 1,4 →10

Període

230,569�

Anteperíode

F

F

Per abreujarl’escriptura dels

decimals periòdicscol·loquem un arc sobre les xifres del període.

1,666… = 1,61,0666… = 1,06

APLICA

Completa fins a deu xifres decimals.

a) 1,347347… c) 3,2666…b) 2,7474… d) 0,253737…

REFLEXIONA

Escriu dos nombres decimals no exactes i no periòdics.

23

22

EXERCICISPRACTICA

Indica la part entera, la decimal, el període i l’anteperíode.

a) 0,333… c) 3,37888…b) 234,4562525… d) 0,012333…

Classifica aquests nombres:

a) 0,333… b) 34,45666… c) 125,6

21

20

831084 _ 0017-0036.qxd 16/4/07 11:19 Página 23

APLICA

Escriu dues fraccions que expressin:

a) Un nombre enter.

b) Un nombre decimal exacte.

c) Un nombre decimal periòdic.

REFLEXIONA

Si tenim una fracció que té un numerador que no és múltiple del denominador i el denominador té factors diferents de 2 i 5,quin tipus de nombre decimal expressa?

26

25

EXERCICISPRACTICA

Sense fer la divisió, classifica aquestesfraccions en funció de si s’expressen com un nombre enter, un de decimal exacte o un de decimal periòdic. Explica com ho fas.

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)−−

346222

176

95

−84210

111240

76

−8517

17525

53

24

Qualsevol fracció la podem expressar, si en dividim el numerador entreel denominador, mitjançant:

• Un nombre enter si el numerador és múltiple del denominador.• Un nombre decimal exacte si el denominador només té com a fac-

tors 2, 5 o tots dos nombres.• Un nombre decimal periòdic, en cas que no es doni cap de les

condicions prèvies.

Determina quin tipus de nombre expressen aquestes fraccions:

Nombre enter

− Nombre enter −

Nombre decimal exacte

Nombre decimal exacte

Simplificant

− Nombre decimal exacte −

Nombre decimal periòdic = 0,43�

Simplificant Periòdic mixt

− Nombre decimal periòdic − = 2,5�

Periòdic pur

4618

9 = 32. Factorsdiferents de 2 i 5

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→46

18= −

239

1330

30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5. Factors diferents de 2 i 5⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→13

30

6930

2 3= − ,10 = 2 ⋅ 5. Només factors 2 i 5⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→69

30= −

2310

725

0 28= ,25 = 52. Només factor 5⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→7

25

78

0 875= ,8 = 23. Només factor 2

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→7

8

84

2= −8 és múltiple de 4

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→8

4

84

2=8 és múltiple de 4

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→8

4

14

EXEMPLE

Fraccions i nombres decimals

4.1 Pas de fracció a nombre decimal

4

Hem de simplificarles fraccions

abans d’aplicar aquestes regles.

FF

FF

24

831084 _ 0017-0036.qxd 16/4/07 11:19 Página 24

25

La fracció generatriu d’un nombre decimal és la fracció irreductible enquè el resultat de dividir-ne el numerador entre el denominador ésaquest nombre decimal.

Escriu en forma de fracció els nombres decimals següents:

a) 6,39. Per expressar un nombre decimal exacte en forma de fraccióseguim aquests passos:

b) 4,65�

. Per expressar un nombre decimal periòdic pur en forma de fracció seguim aquests passos:

15

EXEMPLE

APLICA

Expressa en forma de fracció:

a) 3,9�

b) 17,9�

c) 15,9�

A què equival el període format per 9?

REFLEXIONA

Completa: a) b) 5 65

, =�5 33

533, =29

28

EXERCICISPRACTICA

Calcula la fracció generatriu d’aquests nombresdecimals:

a) 3,54 f) 0,8�

b) 9,87 g) 0,7�

c) 0,000004 h) 5,211�

d) 24,75 i) 37,117�

e) −7,002 j) −2,02�

27

4.2 Pas de nombre decimal a fracció

Anomenem N el nombre decimal. N = 6,39

Multipliquem tots dos membres per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals hi hagi.

100 ⋅ N = 100 ⋅ 6,39100N = 639

Aïllem N i obtenim la fracció que busquem.

6 39639100

, =

N =639100

F Fracciógeneratriu

Anomenem N el nombre decimal. N = 4,6565�

Multipliquem tots dos membres per la unitat seguida de tants zeros com xifres tingui el període.

100 ⋅ N = 100 ⋅ 4,65�

100N = 465,65�

Restem a aquest resultat el primer nombre.

100N = 465,65�

−0 N = 004,65�

099N = 46100,

Aïllem N i obtenim la fracció que busquem.

4 6546199

,� =

N =46199

F Fracciógeneratriu

FIXA’T-HI

6 39639100

, =

FIXA’T-HI

4 65465 4

99,� =

−

Part entera i decimal sense coma

Part entera i decimal

Tants 9 com xifres té el període

Part entera

Unitat seguidade tants zeroscom xifresdecimals hi hagi

F

F

F

F

F

�

831084 _ 0017-0036.qxd 10/5/07 10:09 Página 25

26

REFLEXIONA

Sense calcular la fracció generatriu, raona perquè són falses les igualtats.

a) c) 12,37�

b) d) 0,124�

=56495

0 023321990

, � =

=5545

0 243241999

, � =

32

EXERCICISPRACTICA

Calcula la fracció generatriu d’aquests nombres:

a) 3,24�

b) 11,87�

c) 5,925�

APLICA

Calcula. Fes servir fraccions generatrius.

a) 2,75 + 3,8 b) 5,06�

− 2,95�

31

30

Escriu en forma de fracció el nombre decimal 3,745�

.

Per expressar un decimal periòdic mixt en forma de fracció seguimaquests passos:

Calcula fent-ne servir les fraccions generatrius: 0,7777… + 2,3444…

1r Expressem com a fracció 0,7777...:

0,7�

Expressem com a fracció 2,3444...:

2,34�

2n Sumem: 0 7777 2 344479

21190

7090

21190

28190

, ,… + … = + =

= + =

=−

=234 23

9021190

=−

=7 0

979

17

16

EXEMPLES

Anomenem N el nombre decimal. N = 3,745�

Multipliquem tots dos membres per la unitatseguida de tants zeros com xifres tinguil’anteperíode.

10 ⋅ N = 10 ⋅ 3,745�

10N = 37,45�

Multipliquem tots dos membres per la unitatseguida de tants zeros com xifres tingui el període.

100 ⋅ 10N = 100 ⋅ 37,45�

1.000N = 3.745,45�

Restem a aquest resultat el primer.

1.000N = 3.745,45�

− 10N = 00.37,45�

0990N = 3.70800,

Aïllem N. N =3 708990.

Simplifiquem la fracció obtinguda.3 745

20655

, � =

N = =3 708990

20655

.

F

F

Fracció generatriu

FIXA’T-HI

3 7453 745 37

990,

.� =−

Part enterai decimal

Tants 9 com xifres té el període i tants 0

com xifres té l’anteperíode

Part entera i decimal

no periòdicaF

F

F

m.c.m. (9, 90) = 90

831084 _ 0017-0036.qxd 10/5/07 10:09 Página 26

27

Completa la taula següent amb aquests nombres. Tingues en compteque cadascun el podem col·locar en més d’una casella.

0,125 −7 14,019�

11,223344… 1 −0,75�

−4,1234567…

18

EXEMPLE

Anomenem conjunt dels nombres racionals el conjunt de tots elsnombres que podem expressar mitjançant fraccions. El representemamb �.

Nombres racionals5

En aquesta unitat hem vist que tant els nombres enters com els decimalsexactes i periòdics els podem expressar mitjançant fraccions:

Els nombres decimals no exactes i no periòdics no els podem expressar enforma de fracció i, per tant, no són racionals. Aquests nombres els anome-nem nombres irracionals.

Nombres racionals

Nombres enters

Nombres decimals

Nombres naturals: 1, 2, 3...El nombre zero: 0Enters negatius: −1, −2, −3…

Decimals exactes: 0,2; 0,34…Decimals periòdics: 0,7

�; 0,894

�…��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

Nombrenatural

1

Nombreenter

1

−7

Nombredecimalexacte

0,125

Nombredecimalperiòdic

14,019�

−0,75�

Nombre decimalno exacte

i no periòdic

11,223344…

−4,1234567…

Nombreracional

0,125; −7; 14,019�

1; −0,75�

APLICA

Escriu quatre fraccions que representinnombres racionals que siguin:

a) Més petits que 1 i més grans que −1.b) Més grans que −1 i més petits que 0.

REFLEXIONA

Escriu quatre nombres que no siguin racionals i que estiguin compresos entre:

a) −1 i 1 b) −1 i 0

35

34

EXERCICISPRACTICA

Completa aquesta taula, tenint en compte que unnombre pot estar present en més d’una casella.

−0,224466881010… −1,897897897… −24−0,67543 −3,0878787… −1,5

33

Nombrenatural

Nombre enter

Decimalexacte

Decimalperiòdic

Decimalno exacte

i noperiòdic

Nombreracional

��

��

��

831084 _ 0017-0036.qxd 16/4/07 11:19 Página 27


L’essencial

FES-HO AIXÍ

1. DETERMINACIÓ DEL TIPUS DE NOMBRE DECIMAL QUE EXPRESSA UNA FRACCIÓ

Determina el tipus de nombre decimal que expressen aquestes fraccions: a) b) c)3363

1925

147

PRIMER. Si el numerador és múltiple del denominador, l’expressió decimal de la fracció és un nombre enter.

a) Nombre enter

14 és múltiple de 7→147

TERCER. Si conté altres factors, la seva expressió decimal és un nombre decimal periòdic.

c) Nombre decimal periòdic21 = 3 ⋅ 7. Factors diferents de 2 i 5→33

631121

=

SEGON. En cas contrari, si el denominador de la fracció irreductible només té com a factors 2 o 5 o tots dos, és un nombre decimal exacte.

b) Nombre decimalexacte

25 = 52. Només factor 5→1925

Fracció

Fraccions equivalents

↔ 2 ⋅ 14 = 7 ⋅ 4

Fracció irreductible

2430

=24 : m.c.d. (24, 30)30 : m.c.d. (24, 300)

=45

27

414

=

34

Nombres naturals: 1, 2, 3…El nombre zero: 0Enters negatius: −1, −2, −3…

Decimals exactes: 0,2; 0,34…Decimals periòdics: 0,7

�; 0,894�

…NOMBRES DECIMALS

NOMBRES ENTERS

NOMBRES RACIONALS ��

��

��

Nombre decimal

17,208

Exacte: 0,03 9,1586 −12,2Periòdic pur: 0,03

�9,1586�

−12,2�

Periòdic mixt: 0,03�

9,1586�

−12,02�

No periòdic i no exacte: 1,234… 1,112233…

2. EXPRESSIÓ D’UN NOMBRE DECIMAL EXACTE EN FORMA DE FRACCIÓ

Expressa 2,309 com una fracció.

PRIMER. El denominador de la fracció serà la unitat seguida de tants zeros com xifresdecimals té el nombre.

2,309 → 3 xifres decimals →→ Denominador = 1.000

SEGON. El numerador de la fracció és la part enterai decimal del nombre, sense la coma.

2,309 → Numerador = 2.309

2 3092 3091 000

,..

=

Numerador →

Part entera

Anteperíode

Part decimal

PeríodeDenominador →

F

F

F

F

28

831084 _ 0017-0036.qxd 10/5/07 10:09 Página 28

3. EXPRESSIÓ D’UN NOMBRE DECIMALPERIÒDIC PUR EN FORMA DE FRACCIÓ

Expressa el nombre 3,14�

com una fracció.

PRIMER. Anomenem A el nombre decimal.A = 3,14�

SEGON. Multipliquem aquesta igualtat per la unitat seguida de tants zeros comxifres tingui el període.

100 ⋅ A = 100 ⋅ 3,1414…100A = 314,1414…

TERCER. Restem a aquest resultat el nombre decimal periòdic de partida i després aïllem A. La fracció que en resultaés l’expressió fraccionària del nombredecimal.

− 100A = 314,1414…− 100A = 003,1414…

− 199A = 31100…,00

A =31199

4. EXPRESSIÓ D’UN NOMBRE DECIMALPERIÒDIC MIXT EN FORMA DE FRACCIÓ

Expressa el nombre 0,2317�

com una fracció.

PRIMER. Anomenem A el nombre decimal.A = 0,2317�

SEGON. Multipliquem aquesta igualtat per la unitat seguida de tants zeros com xifres tinguin el període i l’anteperíode.

10.000A = 2.317,317317…

TERCER. Multipliquem la igualtat inicial per la unitat seguida de tants zeros com xifres tingui l’anteperíode.

10A = 2,317317…

QUART. Restem els resultats obtinguts.

− 10.000A = 2.317,317317…− 10.010A = 2.312,317317…

9.990A = 2.3150….00

A = =2 3159 990

4631 998

.

. .

Determinació del tipus de nombre decimalque expressa una fracció

1. La fracció expressa un nombre:

a) Enter c) Decimal periòdicb) Decimal exacte d) Decimal no exacte

i no periòdic



i no periòdic



i no periòdic

5025

−7

14

764

Expressió d’un nombre decimal exacte enforma de fracció

4. L’expressió en forma de fracció del nombredecimal 0,102 és:

a) b) c) d)

Expressió d’un nombre decimal periòdic puren forma de fracció

5. L’expressió en forma de fracció del nombredecimal 0,102�

és:

a) b) c) d)

Expressió d’un nombre decimal periòdic mixten forma de fracció

6. L’expressió en forma de fracció de 0,102�

és:

a) b) c) d)51

90051

45023225

2325

17150

34330

34333

3433

515 000.

51500

5150

515

I ARA... PRACTICA

29

831084 _ 0017-0036.qxd 10/5/07 10:09 Página 29

30

ActivitatsFRACCIONS

36. ● Expressa aquests enunciats amb una fracció.a) Han dividit una pizza en 8 parts i en Joan se

n’ha menjat 2.b) D’una classe de 20 alumnes, 15 han anat

d’excursió.c) D’un grup de 7 amigues, 3 són pèl-roges.d) Una de cada 5 persones té problemes

d’esquena.

37. ● Escriu la fracció que representa la part pintadade cada figura.a) c)

b) d)

38. ● Representa les fraccions següents fent servirfigures geomètriques:

a) c)

b) d)

39. ● Pinta els de la figura.

40. ● Calcula:

a) de 180 d) de 540

b) de 420 e) de 320

c) de 40 f) de 1.342−311

−25

58

56

49

12

23

49

52

76

37

42. ● Representa aquests nombres racionals:

a) b) c) d)

43. ● Quina fracció representa cada recta?

a)

b)

c)

−−

288

−75

133

29

COM ES REPRESENTEN FRACCIONS IMPRÒPIES A LA RECTA NUMÈRICA?

41. Representa a la recta numèrica la fracció .

PRIMER. Expressem la fracció com un nombre enter més una fracció pròpia.

→ →

La fracció està compresa entre 5 i 6.

SEGON. Dividim el tros de recta comprès entre 5 i 6 en tantes parts com indica eldenominador, 3, i agafem les que assenyala el numerador, 1.Per dividir el tros de recta tracem una semirecta,amb la inclinació que vulguem, amb origen a 5 i dibuixem tres segments iguals.

Unim l’extrem de l’últim segment amb el punt que representa 6 i tracem paral·leles a aquestarecta des de les altres dues divisions.

163

513

= +163

163

FES-HO AIXÍ

16 3

1 5

5 6

5 6

5 163

6

A

B

C

−3 −2 −1

1 2

6 7

831084 _ 0017-0036.qxd 16/4/07 11:19 Página 30

31

FRACCIONS EQUIVALENTS

44. ● Indica si són equivalents o no aquestesparelles de fraccions.

a) d)

b) e)

c) f)

45. ● Calcula el valor de x perquè les fraccions siguinequivalents.

a) c)

b) d)

46. ● Completa:

47. ● Agrupa les fraccions que siguin equivalents.

48. ● Troba dues fraccions equivalents a cadascunade les següents per amplificació i dues més persimplificació.

49. ●● Amplifica les fraccions següents de maneraque el denominador de la fracció amplificada siguiun nombre més gran que 300 i més petit que 400.

a) c) e)

b) d) f)

50. ● Simplifica fins a obtenir la fracció irreductibled’aquestes fraccions.

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)6

184060

818

3021

1618

2108

5511

1512

2040

−115

−337

2752

38

311

518

50472

3045

6036

8100

2040

42

12

105

24

36

, , , , ,− −

−−

23

46 30

30= = = =

��

�

1442 9

=x9 6

4x=

x12

69

=104 6

=x

2050

120450

i6

1038

i

25

820

i− −17

1430

i

− −23

45

i3

10217

i

51. ●● Digues quines d’aquestes simplificacionsestan mal fetes i per què.

a) c)

b) d)

52. ●● Escriu una fracció equivalent a i una altra

d’equivalent a , totes dues amb el mateix

denominador.

COMPARACIÓ DE FRACCIONS

53. ● Ordena de més gran a més petit:

a) d)

b) e)

c) f)25

47

835

12

, , ,38

1024

2048

, ,

− −4360

1040

810

, ,− −11

87

8,

− − −46

216

512

, ,49

78

,−

46

15

4080

40 2080 20

24

= =::

2214

2 112 7

117

=⋅⋅

=

2018

15 515 3

53

=++

=2213

11 1111 2

112

=++

=

COM OBTENIM UNA FRACCIÓ COMPRESA ENTREDUES FRACCIONS?

54. Troba i escriu una fracció compresa entre

les fraccions i .

PRIMER. Les sumem totes dues.

SEGON. Dividim entre 2 la fracció que hem obtingut.

La fracció està compresa entre i .76

49

2936

2918

22936

: =

49

76

818

2118

2918

+ = + =

76

49

FES-HO AIXÍ

55. ●● Escriu una fracció compresa entre:

a) d)

b) e)

c) f) − −59

69

i76

86

i

−16

15

i97

119

i

− −37

25

i45

78

i

831084 _ 0017-0036.qxd 16/4/07 11:19 Página 31

32

OPERACIONS AMB FRACCIONS

56. ● Calcula:

a) c)

b) d)

57. ● Fes les restes següents:

a) c)

b) d)

58. ● Calcula:

a) d)

b) e)

c) f)

59. ● Calcula:

a) d)

b) e)

c) f)

60. ● Fes les operacions:

a) d)

b) e)

c) f)

61. ●● Emplena els buits:

a) c)

b) d)

62. ● Calcula aquests productes:

a) c)

b) d) 2149

⋅5

148⋅

4810

23

65

⋅

=16

14

15

− −=46

45

−

=39

37

38

+=12

13

+

1311

113

119

+ +12

19

218

+−

+

711

112

514

+ +57

110

+−

51011

107

+ +−

+−5

162

16

− − −67

373

−+ −

25

34

1

912

58

8+ −56

53

54

+ +

715

23

16

− −32

516

38

+ −

3121

17

29

− − +1011

107

1211

+ −

11

125

13+ −

57

110

13

− +

416

76

− +257

117

27

+ −

73

12

111

− −5

101

15−

32

17

212

− −3311

1011

−

957

67

+ −72

286

+ +

52

32

92

− −34

54

14

+ +

63. ●● Calcula:

a) d)

b) e)

c) f)

64. ● Calcula:

a) c)

b) d)

65. ● Fes les divisions:

a) c)

b) d)

66. ●● Emplena els buits:

a) d)

b) e) (−5) ⋅

c) f) = −2

67. ●● Calcula:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

68. ●● Fes les operacions:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)12

65

75

43

⋅ + :83

59

65

13

: :⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

27

32135

+ :85

35

1130

: +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

25

310

718

: −45

524

49

⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

25

34

54

⋅ −76

320

815

− +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

23

34

15

37

: − ⋅35

47

34

1: : −

914

73

25

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +2

35

47

34

⋅ − :

914

73

25

− ⋅ +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

45

14

73

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

914

73

25

− ⋅ +45

14

73

− ⋅

45

:=39

37

38

⋅ ⋅

= −103

=−46

45

:

=16

14

15

: :=14

13

⋅

56

103

: −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟8

38

:

113

7:75

212

:

815

65

:−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

512

74

:

95

67

:58

32

:

94

311

113

⋅ ⋅96

37

⋅

97

65

3⋅ ⋅29

74

⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

14

36

125

36

⋅

831084 _ 0017-0036.qxd 16/4/07 11:19 Página 32

33

NOMBRES DECIMALS

69. ● Assenyala la part entera i decimal dels nombressegüents:

a) 0,75 d) 127,4555…b) 274,369 e) 2,161820…c) 1,8989… f) −7,0222…

70. ●● Expressa la part pintada de cadascuna de les figures mitjançant una fracció i un nombredecimal.

a) c)

b) d)

71. ●● Indica quins dels nombres són periòdics i quins no. Assenyala’n el període en els que ho siguin.

a) 1,333… d) 6,987654…b) 2,6565… e) 0,010101…c) 3,02333… f) 1,001002003…

72. ●● Classifica aquests nombres decimals en exactes, periòdics purs, periòdics mixtos o no exactes i no periòdics.

a) 1,052929… f) 13,12345666…b) 0,89555… g) −1.001,034034…c) −7,606162… h) 0,0000111…d) 120,8 i) −1,732e) −98,99100101… j) 0,123456777…

73. ● Raona quin tipus de nombre expressen les fraccions següents: enter, decimal exacte o periòdic.

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

74. ● Calcula la fracció generatriu:

a) 5,24 c) 3,7�

e) 5,12�

b) 1,735 d) 5,43�

f) 0,235�

1990

1521

424

21420

−3430

−4411

221−

5120

2736

75. ● Expressa en forma de fracció aquests nombres:

a) −7 d) 9,6�

g) 9,54�

b) 6,05 e) 4,07�

h) 0,315�

c) −0,00182 f) −14,413�

i) 0,0123�

76. ● Expressa les fraccions en forma decimal i els decimals en forma fraccionària.

a) f) k)

b) 7,35 g) 0,278 l) 1,0435

c) 13,7�

h) 6,16�

m) 1,274�

d) 8,91�

i) 18,57�

n) 0,315�

e) j) 2,265�

o) 0,012�

77. ●● Calcula fent servir les fraccions generatrius.

a) 0,2777… + 2,333… c) 0,44… ⋅ 2,5151…b) 3,5666… − 2,2727… d) 1,13888… : 0,9393…

78. ●● Digues quines de les afirmacions següentssón certes o falses i justifica la resposta.

a) Qualsevol nombre decimal el podem expressaren forma de fracció.

b) Un nombre enter el podem expressar com unafracció.

c) En un nombre decimal periòdic les xifresdecimals es repeteixen indefinidament desprésde la coma.

d) Si un nombre decimal té el període 0 és unnombre exacte.

PROBLEMES AMB FRACCIONS

79. ● Tenim 30 metres de tela. Calcula quants metres són:

a) de la tela b) de la tela c) de la tela

80. ● Una empresa ha ingressat aquesta setmanados cinquens de 12.300 €. Calcula quants dinersha ingressat.

56

730

35

4810

10190

911

98

30 m

831084 _ 0017-0036.qxd 16/4/07 11:19 Página 33

34

81. ● Un pare li dóna a la filla gran 30 € i al fill petit, la tercera part del que ha rebut la gran. Quant harebut el fill petit?

83. ●● Li hem regalat al meu pare, pel seu aniversari,una capsa de bombons. Ens hem menjat

les parts de la caixa. Si n’hi havia 40,

de bombons, quants en queden?

84. ●● Els tres vuitens del total d’alumnes d’un IES porten ulleres. Si en porten 129 alumnes,quants n’hi ha, en total?

85. ●● Un granger vol tancar un terreny de 2.275 m

de llargada. El primer dia fa els de la feina i,

el segon dia, els . Quants metres falten pertancar?

86. ●● Uns amics recorren 105 km en bicicleta.

El primer dia fan del camí i el segon dia,

. La resta la deixen per al tercer dia.

Quants quilòmetres fan cada dia?

4

15

1

3

2

5

3

7

3

4

87. ●● Una família es gasta dels seus ingressos

mensuals en el lloguer del pis,

en el telèfon i en transport i roba.

Com es distribueixen les despeses si tenen uns ingressos mensuals de 3.000 €?

88. ●● En un campament, dels joves són

europeus, asiàtics, i la resta, africans.

Si en total hi ha 800 joves:

a) Quants n’hi ha d’europeus?b) Si la meitat dels asiàtics són noies,

quantes noies asiàtiques hi ha?c) Quants d’aquests joves són africans?

1

5

3

8

1

8

1

60

1

15

COM RESOLEM ELS PROBLEMES EN QUÈ CONEIXEMUNA PART DEL TOTAL?

82. A la classe, les parts són nois.

Quantes noies hi ha si són 25 alumnes en total?

PRIMER. Restem la part que coneixem, , del total, 1,

per calcular la part que no coneixem.

SEGON. Calculem què representa aquesta part en el total d’alumnes, 25.

35

35

253 25

5755

de 25 15 noies= ⋅ =⋅

= =

125

55

25

35

− = − = són noies

25

2

5

FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM UNA PART D’UNA FRACCIÓ?

89. La Cristina s’ha de llegir un llibre per al col·legi.El primer dia en llegeix una quarta part, i el segondia, la meitat del que li faltava per llegir. Quinafracció representa el que ha llegit el segon dia?

PRIMER. Calculem la fracció de la qual trobarem la part.

El primer dia llegeix , i li falten: .

SEGON. Calculem la part de la fracció.

El segon dia llegeix: .

Per tant, el segon dia llegeix del llibre.38

34

238

: =

114

34

− =14

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0017-0036.qxd 16/4/07 11:19 Página 34

94. �� Uns amics fan una excursió a la muntanya.El primer dia recorren un quart del que tenienprogramat i el segon dia, un terç. La resta, quesón 25 km, ho deixen per al tercer dia. Quina fracció representen els quilòmetresrecorreguts el tercer dia? Quants quilòmetreshan fet en total?

INVESTIGA

95. �� Calcula les diferències següents:

a) Amb els resultats, fes aquesta suma.

b) En vista del resultat anterior, quin creus queserà el resultat d’aquesta suma?

96. �� Si buidem aquests dos recipients en unagerra, quina serà la proporció d’aigua i de vinagreque hi haurà?

97. �� Aquesta figura conté nou quadrats, tots de costat 1. Els punts assenyalats verifiquen:

P�Q� = Q�R� = R�S� = S�T� =

Una recta uneix Xamb un d’aquests punts i divideix la figura en dues regions amb la mateixa àrea. Quina és aquesta recta?

14

12

16

112

120

130

142

11 001 000

+ + + + + + … +. .

12

16

112

120

130

+ + + +

35

90. �� Tenim una peça de filferro de 90 m.

En venem parts a 3 €/m, de la resta

a 4 €/m i els metres que falten a 2 €/m. Quant hi hem guanyat, si havíem comprat el metrede filferro a 2 €?

91. �� Tres amics es reparteixen 90 € que hanguanyat a la travessa de la manera següent: el primer se’n queda una cinquena part; el segon,la tercera part del que rep el primer, i el tercer, lameitat del que rep el segon.

a) Quina fracció representa el que obté cadascú?

b) Quants diners es queda cada amic?c) Quants en deixen de pot?

93. �� D’un escalfador, primer se’n gasta la meitatde l’aigua i, després, la quarta part de la quequedava. Si encara en queden 12 litres, quina ésla capacitat de l’escalfador?

1

6

2

3

COM CALCULEM EL TOTAL SI EN SABEM

UNA PART?

92. Una piscina està plena fins als de la seva

capacitat. Encara fan falta 880 litres perquè quedi totalment plena. Quina capacitat té la piscina?

PRIMER. Calculem la fracció que representa la partbuida de la piscina.

SEGON. Designem amb x la capacitat total de la piscina.

Aïllem x:

La piscina té 3.960 litres de capacitat.

x = =⋅

= =88029

880 92

7 9202

3 960:.

.

29

29

880de x x= ⋅ =

179

99

79

29

− = − =

7

9

FES-HO AIXÍ

X

T S RQP

BARREJA

2 parts d’aigua

1 part de vinagre

BARREJA

3 parts d’aigua

1 part de vinagre

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

− − −

− −

2 2 3 3 4

4 5 5 6

831084 _ 0017-0036.qxd 10/5/07 10:09 Página 35

36

A la vida quotidiana98. �� Una comunitat

de veïns vol instal·lar plaques solars per abastir part de l’energia elèctrica que es consumeix a l’edifici. Ho han consultat amb una empresa instal·ladora, que els ha proporcionat les dades següents:

L’empresa instal·ladora els ha informat que certs organismes oficials concedeixensubvencions per a la instal·lació de plaquessolars.

La companyia elèctrica subministradora de la comunitat cobra a 8,6726 cèntims el quilowatt. A l’últim rebut bimensual, cadascun dels 48 veïns ha pagat 46,34 €.Quant temps trigaran a amortitzar les plaquessolars i la instal·lació, si el consum de lacomunitat es manté?

99. �� Les notícies sobre els accidents que hi ha hagut durant la Setmana Santa destaquenun important augment dels sinistres.

Completa la taula següent:

Morts

Mesures de seguretat

No duia el cinturó

No portava casc

Complia les mesures de seguretat

Edats

Menors de 35 anys

Majors de 35 anys

Menors de 25 anys

Causa principal de l’accident

Distracció

Infracció de normes de trànsit

Excés de velocitat

Cap de les circumstàncies anteriors

Segons els nostres informes, la instal·lació deplaques solars permet un estalvi de

del consum energètic actual de l’edifici.

PRESSUPOST PERA

LAIN

STAL·LACIÓ

DE PLAQUES SOLARS

Comunitat d

e veïn

s; c/ d

el Sol, 2

3

Plaques

solars

i insta

l·lació

.

Total: 22.000 €

Sinistralitat durant la Setmana Santa a la carretera

108 person

es han mor

t

en accident

s a la carr

etera

INSTITUT PER A LA DIVERSIFICACIÓI ESTALVI DE L’ENERGIA

En relació amb la subvenció sol·licitada per la seva comunitat per a la instal·lació de plaques solars a l’edifici situat al carrer del Sol, número 23, l’informem que la subvenció li ha estat atorgada, i que la quantitat ascendeix a la meitat del cost de les plaques i la instal·lació.

La meitat dels morts en turis-

mes no duien cordat el cinturó.

Una de cada tres víctimes mor-

tals en accident de motocicleta no

portava casc.

La meitat del morts tenia menys

de 35 anys, i d’aquests, un de ca-

da quatre era menor de 25 anys.

La distracció s’apunta com el

factor fonamental en dos de cada

cinc accidents, la infracció de les

normes de trànsit en un de cada

tres i l’excés de velocitat en tres de

cada deu.

VehicleMorts

Turismes91

Motocicletes17

2

7

831084 _ 0017-0036.qxd 10/5/07 10:09 Página 36

La raó irracionalEl gran Pitàgores, estudiós del món i la seva relació amb els nombres i descobridor de la bellesa racional de totes les coses, es confessava amb amargor, al final de la seva vida, en els albors del segle V aC, a un dels seus deixebles:

–Escolta –li deia a Hipàs de Metapont–: Tota la vida he buscat la veritat en els nombres; l’explicació del que és diví i el que és humà era en els nombres o les seves raons, tot era perfecte i explicable, tot era raonable...

Hipàs es mirava el seu mestre amb admiració i assentia amb el cap.

Mentrestant, Pitàgores continuava:

–Ara que he arribat al final de la vida, t’he de confessar una certesa horrible: fa temps que els vaig descobrir, n’hi ha d’altres.

–Altres? –li va preguntar Hipàs.

–Sí. Hi són, però són incommensurables: tothom pot construir un quadrat amb un costat que faci 1, però mesurar-ne la diagonal no és possible. Fins i tot la raó de la pentalfa no és com pensàvem, sinó que és un d’aquests camuflat.

Si no t’ho creus, intenta mesurar la diagonal d’aquesta habitació que fa 3 passes d’amplada i 5 de llargada.


• Reconèixer les potències de nombres racionals.

• Conèixer i aplicar les propietats de les potències.

• Identificar elsnombres reals.

• Aproximar i representar nombres reals.

• Interpretar els diferents tipusd’intervals.

PLA DE TREBALL

Nombresreals

831084 _ 0037-0056.qxd 10/5/07 10:11 Página 37

Potències de nombres racionals

1.1 Potències d’exponent positiu

1.2 Signe d’una potència d’exponent positiu

1

APLICA

Calcula (−0,8)2, (−0,8)3 i (−0,8)4. Quina és més gran?

REFLEXIONA

Expressa en forma de potència:

a) 3 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 3 b) −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅

17

17

17

3

2

EXERCICISPRACTICA

Calcula les potències següents:

a) 32 d) (−5)3 g) (4,25)4

b) 74 e) (−2,02)4 h)

c) (−9)2 f) i) (−14,32)8−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

58

5

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

13

3

1

38

Potència

Una potència d’exponent positiu és una forma abreujada d’expressaruna multiplicació en què tots els factors són iguals.

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a si n > 0n vegades

En una potència amb exponent positiu que té com a base un nombreracional:

• Si la base és un nombre positiu, la potència és sempre positiva.• Si la base és un nombre negatiu, la potència és positiva si l’expo-

nent és parell i és negativa si l’exponent és senar.

144424443

anFBase

GExponent

Calcula aquestes potències:

a) 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 c) (0,4)2 = 0,4 ⋅ 0,4 = 0,164 vegades 2 vegades

b) d)

3 vegades 4 vegades

= ⋅ ⋅ ⋅ =12

12

12

12

116

1

2

4⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟= ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅⋅ ⋅

=25

25

25

2 2 25 5 5

8125

2

5

3⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

1

EXEMPLE

14243

14243 1442443

14243


a) (−2)5 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = −32

b) (−1,2)4 = (−1,2) ⋅ (−1,2) ⋅ (−1,2) ⋅ (−1,2) = 2,0736

c) = −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

56

56

56 ⎟⎟⎟ =

− ⋅ − ⋅ −⋅ ⋅

=−

= −( ) ( ) ( )5 5 5

6 6 6125

216125216

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

56

3

2

EXEMPLECALCULADORA

Per trobar potències amb la calculadora fem servir la tecla .

Per exemple, per calcular(1,4)3 pitgem:

1 4 3

i obtenim com a resultat:

2.744

=⋅

x y

x y

F

Senar

F

Parell

F

Senar

831084 _ 0037-0056.qxd 16/4/07 11:08 Página 38

39

1.3 Potències d’exponent negatiu

1.4 Potències d’exponent 0, 1 i –1

APLICA

Contesta si és cert o és fals.

a) Una potència d’exponent negatiu és semprepositiva.

b) Un potència d’exponent 0 és sempre positiva.

REFLEXIONA

Com calcularies (0,2)−3?6

5

EXERCICISPRACTICA

Calcula aquestes potències:

a) 7−3 d) (−5)−2 g) j)

b) 71 e) (−5)0 h) k)

c) 7−1 f) (−5)−1 i) l) −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−85

185

1⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

85

085

1⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−85

585

4⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−4

Una potència d’exponent negatiu és igual que el quocient entre launitat i la potència amb l’exponent positiu.

Sigui quin sigui el valor de a (a � 0) sempre es compleix que:

CALCULADORA

Per calcular (3,4)−2

pitgem:

3 4 2

i ens apareix a la pantalla:

0.08650519

=⋅ x y

Calcula aquestes potències amb l’exponent negatiu:

a) 3−2 c)

b) (−3)−2 d) =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= = =1

23

1827

1827

2783

:23

3⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

−

=−

=13

192( )

=−

=−

= −12

18

183( )

( )− −2 3= =1

3192

3

EXEMPLE


a) 30 = 1 d) 31 = 3 g)

b) (−3)0 = 1 e) (−3)1 = −3 h)

c) f) i) =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

= = =1

43

143

143

341

:43

1⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

−4

3

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

1

=43

4

3

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

0

= 1

=−

=−

= −13

13

131( )

( )− −3 1

= =13

131

3 1−

4

EXEMPLE

aa

n

n

− =1

aa a

aa

0

1

1

1

1

==

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

−

±

831084 _ 0037-0056.qxd 16/4/07 11:08 Página 39

APLICA

Calcula: a) b)

REFLEXIONA

Quina desigualtat és certa?

a) b) [ ( )]2 112

4⋅ − <12

14

3⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ <

9

35

102

⋅ −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

( )273

5

⋅⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

8

EXERCICISPRACTICA

Calcula:

a) (8 ⋅ 4)3 d) (6 ⋅ 5)−2

b) [(−1) ⋅ (−4)]3 e) [(−3) ⋅ 5]−2

c) f) −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−53

245

3⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

7

40

Propietats de les potències

2.1 Potència d’un producte

2.2 Potència d’un quocient

2

Per elevar un producte a una potència n’elevem cada factor a aquesta potència.

Per elevar un quocient a una potència:

• Si l’exponent és positiu, elevem cada element a aquesta potència.

• Si l’exponent és negatiu, invertim els elements i els elevem a aquesta potència.

(a ⋅ b)n = an ⋅ bn

a

b

a

b

n n

n

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =

a

b

b

a

n n

n

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =

−

Expressa com un producte de potències.

(5 ⋅ 7)3 = (5 ⋅ 7) ⋅ (5 ⋅ 7) ⋅ (5 ⋅ 7) = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 53 ⋅ 73

Calcula: [(−3) ⋅ 5]3 = (−3)3 ⋅ 53 = −27 ⋅ 125 = −3.3756

5

EXEMPLES

Expressa com un quocient de potències.

a)

b)

Calcula aquests quocients de potències:

a) b) =−

= =31

811

814

4( )−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

−1

3

4

=−

=( )1

3181

4

4

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

13

4

8

=⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

145

54

54

3 3 3

3

45

3⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

−

= ⋅ ⋅ =⋅ ⋅⋅ ⋅

=7

107

107

107 7 7

10 10 107

10

3

3

7

10

3⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

7

EXEMPLES

Aquestes propietatses compleixen sempre

que a i b siguin nombresracionals, i m i n, nombres enters.

(a ·b)n= an·bn

831084 _ 0037-0056.qxd 16/4/07 11:08 Página 40

41

APLICA

Simplifica aquestes operacions amb potències.

a) (43 ⋅ 42)3 d) (711 : 75)2

b) [(−5)3 : (−5)2]2 e) (72 ⋅ 94)2

c) [(4,2)4 ⋅ (4,2)3]4 f) [(−3)5 ⋅ 45]2

REFLEXIONA

Expressa com una sola potència.

a) 25 ⋅ 43 b) (3−5 ⋅ 93)−2

12

11

EXERCICISPRACTICA


a) 54 ⋅ 56 e) (22)3

b) (−9)6 : (−9)2 f) [(−2)2]3

c) g)

d) h) −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

43

43

3 3

:35

4 2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

43

43

3 356

56

10 6⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

10

2.3 Producte de potències de la mateixa base

Per multiplicar potències de la mateixa basedeixem la base i en sumem els exponents. an ⋅ am = an+m

2.4 Quocient de potències de la mateixa base

Per dividir potències de la mateixa base deixem labase i en restem els exponents. an : am = an−m

2.5 Potència d’una potència

Per elevar una potència a una altra potència deixemla mateixa base i en multipliquem els exponents. (an)m = an⋅m


a) (−5)2 ⋅ (−5)3 = (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) = (−5)2+3 = (−5)5

b) =⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

85

85

85

885

85

85

2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

++

=⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

3 585

8

5

8

5

2 3⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

9

EXEMPLE

Expressa com una sola potència.10

EXEMPLE


(23)4 = 23 ⋅ 23 ⋅ 23 ⋅ 23 = 23+3+3+3 = 23 ⋅ 4 = 212

11

EXEMPLE

=−−

=− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

− ⋅ −( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) (

22

2 2 2 2 22

5

3 22 22 25 3 2

) ( )( ) ( )

⋅ −= − = −−( ) : ( )− −2 25 3

Les propietats an · am = an+m

an : am = an–m

les podem aplicar nomésquan les potències tenen

la mateixa base.

831084 _ 0037-0056.qxd 16/4/07 11:08 Página 41

42

APLICA

Aquests nombres no estan ben escrits en notació científica. Corregeix-los.

a) 0,247 ⋅ 108 b) 24,7 ⋅ 108 c) 0,247 ⋅ 10−8

REFLEXIONA

Els actius financers d’una entitat bancària són,aproximadament, 52 bilions d’euros. Expressaaquesta quantitat en notació científica.

16

15

EXERCICISPRACTICA

Escriu en notació científica.

a) 493.000.000 d) 12,00056b) 315.000.000.000 e) 253c) 0,0004464 f) 256,256

Escriu aquests nombres que apareixen en notació científica amb totes les xifres.

a) 2,51 ⋅ 106 b) 9,32 ⋅ 10−8 c) 3,76 ⋅ 1012

14

13

Notació científica. Operacions

3.1 Potències de base 10

3.2 Expressió de nombres molt grans i molt petits

A vegades ens podem trobar nombres molt grans i molt petits. Per escriu-re aquests nombres de manera més senzilla fem servir potències de 10.

3

• Una potència de base 10 i exponent positiu és igual a la unitat se-guida de tants zeros com indiqui l’exponent.

• Una potència de base 10 i exponent negatiu és igual a la unitat di-vidida entre aquesta potència amb exponent positiu.

La notació científica és una manera d’expressar nombres mitjançant elproducte d’un nombre més gran o igual que 1 i més petit que 10, mul-tiplicat per una potència de 10. L’exponent de la potència 10 l’anome-nem ordre de magnitud.

Calcula el valor d’aquestes potències de 10.

a) 101 = 10 c) 102 = 100 e) 103 = 1.000

b) 10−1 d) 10−2 f) 10−3 = =1

1 0000 001

.,= =

1100

0 01,= =1

100 1,

12

EXEMPLE

Escriu aquests nombres en notació científica.

a) La població mundial és, aproximadament, de 6.100.000.000 de persones.

6.100.000.000 = 6,1 ⋅ 1.000.000.000 = 6,1 ⋅ 109

b) El radi d’un àtom fa al voltant de 0,00000000031 m.

0 000000000313 1

10 000 000 0003 1

110 000

,,

. . .,

.= = ⋅

.. .,

000 0003 1 10 10= ⋅ −

13

EXEMPLE

Una potència de base 10 amb exponent negatiu és igual a un nombre

decimal.10-2 = 0,01

10-5 = 0,000012 decimals

5 decimals

123

{

831084 _ 0037-0056.qxd 16/4/07 11:08 Página 42

43

APLICA

Calcula l’element que falta en cada cas:

a) 2,5 ⋅ 106 − � = 8,4 ⋅ 105

b) 9,32 ⋅ 10−3 + � = 5,6 ⋅ 10−2

c) (2,5 ⋅ 106) ⋅ � = 8,4 ⋅ 105

d) (9,52 ⋅ 10−3) : � = 5,6 ⋅ 10−2

REFLEXIONA

Fes aquesta suma: 7,8 ⋅ 1099 + 5 ⋅ 1099.Després, torna a fer-la amb la calculadora. Què passa? Per què et sembla que passa?

19

18

EXERCICISPRACTICA

Fes aquestes operacions fent servir la notació científica:

a) 7,77 ⋅ 109 − 6,5 ⋅ 107

b) 0,05 ⋅ 102 + 1,3 ⋅ 103

c) 37,3 ⋅ 10−2 + 0,01 ⋅ 102

d) (34 ⋅ 103) ⋅ (25,2 ⋅ 10−2)e) (0,75 ⋅ 107) : (0,3 ⋅ 103)f) (8,06 ⋅ 109) ⋅ (0,65 ⋅ 107)

No t’oblidis d’expressar el resultat en notaciócientífica.

17

3.3 Suma i resta en notació científica

Per sumar i restar en notació científica, l’exponent de la potència 10 ha deser igual en tots els sumands. Quan és així, sumem o restem els nombres ideixem la mateixa potència de 10. Després, transformem el resultat si noens apareix en notació científica.


a) 3,2 ⋅ 105 + 1,64 ⋅ 104 = 3,2 ⋅ 105 + 0,164 ⋅ 105 = (3,2 + 0,164) ⋅ 105 == 3,364 ⋅ 105

Com que l’exponent de la potència de 10 ha de ser igual en tots elssumands, transformem 1,64 ⋅ 104 en 0,164 ⋅ 105.

b) 1,1 ⋅ 10−2 − 1,4 ⋅ 10−3 = 1,1 ⋅ 10−2 − 0,14 ⋅ 10−2 = (1,1 − 0,14) ⋅ 10−2 == 0,96 ⋅ 10−2 = 9,6 ⋅ 10−3

Si el resultat no apareix en notació científica l’hem de transformar.

14

EXEMPLE

3.4 Multiplicació i divisió en notació científica

Per multiplicar o dividir nombres en notació científica, multipliquem odividim, d’una banda, les potències de 10 i, d’una altra, els nombresque els precedeixen. Després, si fa falta, passem el resultat a notació cien-tífica.


a) (4,1 ⋅ 105) ⋅ (3 ⋅ 104) = (4,1 ⋅ 3) ⋅ 105 ⋅ 104 = 12,3 ⋅ 105+4 = 12,3 ⋅ 109 == 1,23 ⋅ 1010

b) (1,8 ⋅ 10−2) : (2 ⋅ 10−7) = (1,8 : 2) ⋅ (10−2 : 10−7) = 0,9 ⋅ 10−2−(−7) = 0,9 ⋅ 10−2+7 == 0,9 ⋅ 105 = 9 ⋅ 104

15

EXEMPLE

CALCULADORA

Per expressar un nombre en notació científica amb la calculadora fem servir les tecles i .

Per introduir-hi el nombre7,352 ⋅ 109 pitgem:

7 352 9

I per introduir 8,64 ⋅ 10−3

pitgem:

8 64 3

⋅

EXP ±

EXP

⋅ EXP ±

831084 _ 0037-0056.qxd 16/4/07 11:08 Página 43

APLICA

Escriu cinc nombres racionals i cincd’irracionals.

REFLEXIONA

Pots anotar un nombre irracional amb un soldígit després de la coma? I amb dos dígits?

22

21

EXERCICISPRACTICA

Classifica els nombres decimals següents en racionals i irracionals:

a) 4,325325325…b) 4,330300300030000300000…c) 1,23233233323333233333...d) 3,12359474747…

20

44

Hi ha infinitat de nombres irracionals, per exemple:

• Qualsevol arrel no exacta: • Uns quants nombres especials: �, e, �…• Determinats nombres que obtenim combinant-ne les xifres decimals,

per exemple: 0,010010001…; 0,020020002…

3 7 1 462, , .− …

Nombres reals R

Nombres reals

4.1 Nombres irracionals

4.2 Nombres reals

4

Els nombres irracionals són nombres decimals amb un nombre il·limi-tat de xifres decimals no periòdiques. A més, no es poden expressar enforma de fracció i, per tant, no són nombres racionals.

Calcula la hipotenusa d’un triangle rectangle els catets del qual fan 1 cm.

Hipotenusa =

Encara podem calcular més decimals, però no acabaríem mai, ni hi ha xifres que es repeteixin periòdicament: és un nombre irracional.2

1 2 1,414213562373…2 + = =12

16

EXEMPLE

1 cm

1 cm

Els nombres decimalspoden ser racionals

o irracionals.Tots els nombres

decimals són reals.

NOMBRES IRRACIONALS I NOMBRES RACIONALS Q

1,120120012000…

�Nombres enters Z

Nombres naturals N−1

−3

−0,1234567…

2 1.304

Els nombres reals els representem amb el símbol R, i són el conjuntformat pels nombres racionals i els irracionals.

12− 103

3

1.407

5−

4

9

7

3

831084 _ 0037-0056.qxd 10/5/07 10:11 Página 44

APLICA

Calcula l’error relatiu i absolut que s’hacomès en cadascun dels casos de l’exercici 23.

REFLEXIONA

En aproximar el pes d’un cuc de 2,1236 g hemcomès un error absolut de 0,0236 g. I quan hemaproximat el d’un bou de 824,36 kg, hem comèsun error de 4,36 kg. En quin cas ha estat mésgran l’error?

25

24

EXERCICISPRACTICA

Trunca i arrodoneix els nombres següents a les centèsimes i les mil·lèsimes.

a) 1,234564668 g)b) 2,7

)h) 3,222464

c) 4,51)

i)d) 1,43643625 j) 1,6467538e) 2,222 k) 1,1234…f) 3,127

)l) 5,5

)

3

5

23

45

Aproximació de nombres reals

Els nombres irracionals tenen infinites xifres decimals no periòdiques. Ésper això que, per poder treballar-hi, fem servir aproximacions.

5.1 Arrodoniment i truncamentPer arrodonir un nombre decimal fins a un ordre n, indiquem les xifresanteriors a aquest ordre. La xifra d’ordre n la deixem igual si la que lasegueix és inferior a 5. Si, en canvi, és superior a 5, augmentem n unaunitat.Per truncar un nombre fins a un ordre n, només hem d’escriure les xifresdel nombre fins a l’ordre n, inclòs aquest.

5.2 Error absolut i error relatiu

5

Error absolut (Ea) d’una aproximació és el valor absolut de la diferèn-cia entre el valor exacte i l’aproximat.Error relatiu (Er) d’una aproximació és el quocient entre l’error absoluti el valor exacte.

Completa la taula:17

EXEMPLE

Arrodoniment a les centèsimes

Truncament a lescentèsimes

4,64

3,58

1,73

4,63

3,57

1,73

4,635

3,57)

Quin error comentem quan aproximem 4,635 a les centèsimes?

Error absolut: Ea = 4,635 − 4,64 = 0,005

Error relatiu: Er = =0 0054 635

0 001,,

,

18

EXEMPLE

3 1,73205…=

RECORDA-TE’N

Valor absolut

3 = 3 −3 = 3

a si a > 0a =

−a si a < 0→→

831084 _ 0037-0056.qxd 10/5/07 10:11 Página 45

46

Quin és el nombre representat a la figura?

REFLEXIONA

Representa de manera exacta el nombre .Com ho fas?

1329

28

EXERCICISPRACTICA

Representa a la recta real el nombre de manera exacta. Fes-ho dibuixant un triangle rectangle els catets del qual facin 1 cm i cm.

APLICA

Representa el nombre de manera exacta i aproximada a les dècimes. Fes servir un triangle rectangle amb uns catets que facin 1 cm i 2 cm.

527

2

326

Representació de nombres reals

Ja hem estudiat com hem de representar nombres racionals. Pel que fa alsnombres irracionals, n’hi ha que els podem representar de manera exacta.Altres, en canvi, els hem de representar de forma aproximada.

6.1 Representació exacta

Aquest tipus de representació la fem servir només per a arrels. Consisteixa construir un triangle rectangle amb una hipotenusa de la mida de l’arrelquadrada que volem representar.

6.2 Representació per aproximació

Consisteix a anar agafant aproximacions decimals per excés i per defectedel nombre que volem representar.

6

Representa de manera exacta.

Construïm sobre la recta numèrica untriangle rectangle els catets del qual fan 1. Amb centre a 0 i com a radi la hipotenusa, ,tracem un arc que talli la recta en P.El punt P representa .2

2

219

EXEMPLE

Representa = 1,414… de manera aproximada.

1 < < 2

1,4 < < 1,5

1,41< <1,42…2

2

2

220

EXEMPLE

1

1 20 P

20 P

0 1

1,5

2

1,4

1,41 1,42

1,41

1,414 1,415

1,42

1,4 1,5

2

210

P

21

1

2

2

2

+

=

21

5

22

+=

5

La recta onrepresentem els nombresreals, tant els racionals

com els irracionals,l’anomenem recta real.

Representació exacta

1

1

831084 _ 0037-0056.qxd 16/4/07 11:08 Página 46

APLICA

Quins nombres pertanyen a l’interval (−1, 4]?

a) 0 b) 3,98 c) d) −0,3)

REFLEXIONA

Quants punts hi ha a l’interval [1, 2]? I a [1,1; 1,2]? I a [1,11; 1,12]?

33

2

32

EXERCICISPRACTICA

Representa els intervals següents:

a) [1, 4] b) (2, 5) c) (3, 6] d) [3, 7)

Quin és l’interval representat?31

30

−7 −1

47

Tipus d’interval

Un interval pot contenir tots dos extrems, un dels dos o cap.

• Si tots dos extrems pertanyen a l’interval,direm que és tancat.

L’interval [0, 2] conté tots els punts compresos entre 0 i 2, inclososels extrems 0 i 2.

• Si els extrems de l’interval no en formenpart, direm que és obert.

L’interval obert (0, 2) conté tots els punts compresos entre 0 i 2, sen-se incloure-hi els extrems 0 i 2.

• Si l’extrem petit pertany a l’interval i el granno, direm que és tancat per l’esquerra i obert per la dreta.

L’interval [0, 2) conté tots els punts compresos entre 0 i 2, amb el 0inclòs però el 2 exclòs.

• Si l’extrem petit no pertany a l’interval peròel gran sí, direm que és obert per l’esquer-ra i tancat per la dreta.

L’interval (0, 2] conté tots els punts compresos entre 0 i 2, amb el 2inclòs i el 0 exclòs.

Intervals7

Els nombres −0,5; −0,7)

; −0,12345… pertanyen a l’interval blau. És a dir,pertanyen a aquest interval tots els nombres reals entre −1 i 0.

21

EXEMPLE

Un interval és un conjunt de nombres reals que es correspon amb elspunts d’un segment de la recta real.

−1 0 1 2144424443Interval d’extrems −1 i 0

144424443Interval d’extrems 1 i 2

0 1 2

0 1 2

0 1 2

0 1 2

HO ESCRIUREM AIXÍ

(a, b]

OBERT

L’extrem no pertany a l’interval.

TANCAT

L’extrempertany a l’interval.

a b

GG

GG

831084 _ 0037-0056.qxd 10/5/07 10:11 Página 47

FES-HO AIXÍ

1. CÀLCUL DE PRODUCTES DE POTÈNCIES

Expressa, si es pot, aquests productes de potències com una sola potència.

a) 37 ⋅ 3−9 b) 62 ⋅ 22 c) 82 ⋅ 44

PRIMER. Estudiem si les bases o els exponentsde les potències són iguals. Si les bases i els exponents són diferents, descomponemles bases en factors primers.

a) La base de les potències és igual, 3.b) Els exponents són iguals, 2.c) Ni les bases ni els exponents són iguals.

8 = 23 4 = 22

SEGON.

• Si les bases són iguals, sumem elsexponents.

a) 37 ⋅ 3−9 = 37+(−9) = 3−2

• Si els exponents són iguals, multipliquemles bases.

b) 62 ⋅ 22 = (6 ⋅ 2)2 = 122

• Si no són iguals ni les bases ni elsexponents, treballem amb la descomposicióde les bases.

c) 82 ⋅ 44 = (23)2 ⋅ (22)4 = 26 ⋅ 28 = 26+8 = 214

2. CÀLCUL DE QUOCIENTS DE POTÈNCIES

Expressa, si es pot, aquests quocients de potències com una sola potència.

a) 37 : 3−9 b) 62 : 22 c) 82 : 44

PRIMER. Estudiem si les bases o els exponentsde les potències són iguals. Si les bases i els exponents són diferents, descomponemles bases en factors primers.

a) La base de les potències és igual, 3.b) Els exponents són iguals, 3.c) Ni les bases ni els exponents són iguals.

8 = 23 4 = 22

SEGON.

• Si les bases són iguals, restem elsexponents.

a) 37 : 3−9 = 37−(−9) = 316

• Si els exponents són iguals, dividim lesbases.

b) 62 : 22 = (6 : 2)2 = 32

• Si no són iguals ni les bases ni elsexponents, treballem amb la descomposicióde les bases.

c) 82 : 44 = (23)2 : (22)4 = 26 : 28 = 26−8 = 2−2

48


L’essencial

Potència

Potència d’exponent positiu

an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ … ⋅ a1442443n vegades

Potència d’exponent negatiu

Potència d’exponent 0, 1 i –1

a0 = 1 a1 = a

Nombres reals R

Intervals

Base F ExponentGan

NOMBRES IRRACIONALS I NOMBRES RACIONALS Q

1,120120012000…

�

Nombres enters Z

Nombres naturals N−1

−3−0,1234567…

2 1.304

(a, b]a b

ab

ab

n n

n

=

aa

nn

− =1 a

bba

n n

=

−

aa

− =1 1

12 − 103

3

1 407

5.

−497

3

831084 _ 0037-0056.qxd 10/5/07 10:11 Página 48

Càlcul de productes de potències

1. Expressa com una sola potència 116 ⋅ 114.

a) 1 b) 112 c) 1110

2. Expressa 254 ⋅ 53 com una sola potència.

a) 1257 b) 511 c) 1253

Càlcul de quocients de potències

3. Expressa 186 : 96 com una sola potència.

a) 26 b) 9 c) 2

4. Expressa 254 : 53 com una sola potència.

a) 55 b) 5 c) 53

Resolució d’operacions amb potències

5. El resultat de [92 : (−3)2]−1 és:

a) b) c) 9 d) 3

Expressió de nombres en notació científica

6. L’expressió de 2.103.000 en notació científica és:

a) 21,03 ⋅ 105 b) 2,103 ⋅ 105 c) 2,103 ⋅ 106

7. L’expressió −0,00004503 en notació científica és:

a) −0,4503 ⋅ 10−4 b) −4,503 ⋅ 10−5 c) 4,503 ⋅ 10−5

13

19

I ARA... PRACTICA

3. RESOLUCIÓ D’OPERACIONS AMB POTÈNCIES

Calcula: [(−27)2 : 93]−2.

PRIMER. Descomponem les bases en factors primers.

−27 = (−1) ⋅ 33 9 = 32

SEGON. Fem les operacions entre parèntesis.

TERCER. Si apareix alguna potència de −1, la substituïm per 1 si l’exponent és parell i per −1 si és senar.

[((−1) ⋅ 33)2 : (32)3 ]−2 =

= [(−1)2 ⋅ (33)2 : 32 ⋅ 3]−2 =

= [ 1 ⋅ 33 ⋅ 2 : 32 ⋅ 3]−2 =

= [ 36 : 36]−2 = (30)−2 = 30 = 1

49

14243Potència

d’un producte

123Potència d’una

potència

FF

4. EXPRESSIÓ DE NOMBRES EN NOTACIÓ CIENTÍFICA

Expressa en notació científica els nombres següents:

a) 20.300 b) −430,02 c) 0,000348 d) −0,000002

PRIMER. Si el nombre té part entera diferent de 0, comptem els dígits de la part entera.

a) 20.300 = 2,0300 ⋅ 105−1 = 2,03 ⋅ 104 b) −430,02 = −4,3002 ⋅ 103−1 = −4,3002 ⋅ 102

SEGON. Si el nombre no té part entera, comptem els dígits que hi ha de la coma al primer nombre no nul.

c) 0,000348 = 3,48 ⋅ 10−4 d) −0,000002 = −2 ⋅ 10−6

F123

5 dígits

F123

3 dígits

F123

4 dígits

F123

6 dígits

831084 _ 0037-0056.qxd 16/4/07 11:08 Página 49

50

ActivitatsPOTÈNCIES D’EXPONENT POSITIU

34. ● Escriu en forma de potència els productes de potències següents i calcula’n el resultat.

a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2b) (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5) ⋅ (−5)

c)

35. ● Expressa en forma de producte i calcula el resultat.

a) (−3)4 c) 56 e) (2,5)3

b) d) f) (−2,3)4

36. ●● Si es pot, escriu en forma de potènciaaquestes expressions:

a) 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9 ⋅ 9b) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3c) 4 ⋅ 4 ⋅ 4 + 4d) 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 5e) (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−2) ⋅ (−3)f) (6 + 6 + 6 + 6) ⋅ 6g) 23 + 23 + 23 + 23h) 5 + 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5

37. ● Troba el resultat de les potènciessegüents fent servir la calculadora:

a) 25 d) g) (0,7)2 j) (−2)5

b) 64 e) h) (0,04)6 k) (−6)4

c) 123 f) i) (1,32)8 l) (−12)3

38. ●● Expressa cada nombre com una potènciad’un nombre positiu.

a) 8 c) 16 e) 64 g) 49b) 27 d) 81 f) 125 h) 121

39. ●● Escriu aquests nombres com una potènciad’un nombre negatiu.

a) 16 d) −128 g) −27b) −125 e) 121 h) −216c) 49 f) 144 i) 64

310

3⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

32

4⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

14

6⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

103

2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

12

7

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

25

25

25 ⎟⎟

40. ●● Calcula les potències següents:

a) (−2)2 b) (−3)3 c) −(−82) d) −(−2)3

41. ●● Digues si són certes les igualtats.

42. ●● Escriu cada nombre com una potència d’unnombre enter.

a) −81 d) −1.000 g) −49b) −8 e) −25 h) −2.187c) −16 f) −512 i) −7.776

43. ●●● Calcula el valor de a en les igualtatssegüents:

a) 2a = 32 c) a4 = 2.401b) 3a = 729 d) a3 = 216

POTÈNCIES D’EXPONENT NEGATIU

44. ● Calcula les potències següents:

a) 2−3 d) 4−2 g) (−5,02)−3

b) (1,3)−2 e) (−3)−2 h) (−2)−4

c) f) i)

45. ● Troba el resultat de les potènciessegüents fent servir la calculadora:

a) 7−4 c) (−0,07)−4 e) (0,12)−7

b) (−4)−7 d) f)

46. ●●● Donades les potències 2−2, 2−3 i 2−5:

a) Quina és la més gran?b) Com és la potència a mesura que l’exponent

negatiu augmenta en valor absolut?c) Contesta les qüestions anteriors per a les

potències 0,7−3, 0,7−4 i 0,7−5.

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−52

332

4⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−16

2−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−3

5

312

2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−

831084 _ 0037-0056.qxd 16/4/07 11:08 Página 50

51

OPERACIONS AMB POTÈNCIES

47. ● Calcula el valor d’aquestes potències:

a) 25 ⋅ 23

b) 25 : 23

c) 37 ⋅ 32 ⋅ 34

d) (−4)9 ⋅ (−4)5 ⋅ (−4)e) (−4)9 : (−4)5 : (−4)f) (7 ⋅ 4)0

48. ● Troba el resultat de les operacions amb potències següents fent servir la calculadora:

a) (0,03)2 ⋅ (0,03)4

b) (4,1)6 ⋅ (4,1)4

c) (1,2)2 ⋅ (1,2)5 ⋅ (1,2)8

d) (0,6)2 ⋅ (0,6)4 ⋅ (0,6)12

e) (0,7)6 ⋅ (0,7)13 ⋅ (0,7)11

49. ●● Expressa el resultat com una sola potència.

a) (33 ⋅ 34 ⋅ 38) : 39

b) (−2)4 ⋅ (−2)6 ⋅ (−2)5

c) (−7)8 : (−7)4 ⋅ (−7)2

d)

e)

f) (−5)8 : [(−5)3 : (−5)3]g) [69 ⋅ 65] : [64 ⋅ 62]

50. ●● Aplica les propietats de les potències perresoldre les expressions.

a) (7 ⋅ 3)4

b) ((−5) ⋅ 3)5

c)

d) ((−8) : 5)3

e) ((0,16) : (−3))2

f)

g) (−6)2 ⋅ (−6)4 ⋅ (−6)12

h) (0,3)2 ⋅ (0,3)4

i) (−0,5)6 ⋅ (−0,5)13 ⋅ (−0,5)11

j) −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

36

36

3 2

46

73

5⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

:

43

86

3

⋅ −⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−19

19

2 3

:11

91

9

4⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

:

52

52

52

4 3⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟:

66

52. ●● Expressa el resultat de cada divisió com una sola potència.

a) 38 : 34

b) (−9)12 : (−9)4

c) (−12)15 : 123 : 125

d) 3140 : (−31)4 : (−31)e) (0,5)30 : (0,5)5 : (0,5)3

53. ●● Completa:

a) 23 ⋅ � = 25 d) (−3)12 : � = (−3)6

b) (−4)5 ⋅ � = (−4)10 e) � : 56 = 5

c) ⋅ � = f) � :

54. ●●● Esbrina el valor de a en aquestes igualtats:

a) 5a ⋅ 53 = 56 c) (−6)a : (−6)8 = (−6)0

b) (−2)5a : (−2)2a = (−2)6 d)

55. ●● Fes les operacions:

a) 24 ⋅ 2−2 ⋅ 23

b) (2−2)3 ⋅ 2−4

c) (−3)−5 : (−3)2 ⋅ (−3)4

d) [(−3)−2]−4 : (−3)5

e)

f)

g) 3−6 : 3−7 ⋅ 32

h) (−5)8 : (−5)−2 : (−5)−1

i) [(−6)3]−5 ⋅ [(−6)−5]4

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

− −

14

14

6 2

:

33

13

13

13

2 5⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

−

: ⎟⎟

−6

53

53

53

3 2⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟

a

⎟⎟

9

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

13

13

0 372

7⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

72

6⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

COM RESOLEM PRODUCTES DE POTÈNCIES AMB BASES OPOSADES?

51. Expressa com una sola potència: (−3)4 ⋅ 32.

PRIMER. Descomponem la base negativa i després apliquem la propietat de potència d’un producte.

(−3)4 ⋅ 32 = (−1 ⋅ 3)4 ⋅ 32 = (−1)4 ⋅ 34 ⋅ 32

SEGON. Fem les operacions amb potències de la mateixa base i operem.

(−1)4 ⋅ 34 ⋅ 32 = (−1)4 ⋅ 34+2 = 1 ⋅ 36 = 36

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0037-0056.qxd 16/4/07 11:08 Página 51

52

56. ●● Indica els errors d’aquestes igualtats i corregeix-los.

a) 32 + 33 + 35 = 32+3+5 = 310

b) 32 ⋅ 33 − 35 = 32+3 − 35 = 35 − 35 = 30 = 1c) 49 : 42 ⋅ 44 = 49 : 42+4 = 49 : 46 = 49−6 = 43

d) (−2)6 ⋅ (−2)3 = [(−2) ⋅ (−2)]6+3 = 49

e) −32 ⋅ 32 = (−3)2+2 = (−3)4 = 34

f) 2 ⋅ (−3)2 = [2 ⋅ (−3)]2 = (−6)2 = 62

g) 85 ⋅ 87 = (8 + 8)5+7 = 1612

h) 31 ⋅ 30 = 31 ⋅ 0 = 30 = 1

57. ●● Justifica si les igualtats són certes o no.

a) 9−1 = −9 d) (−3)−3 = (−3)−2 ⋅ 3−1

b) (−2)−4 = 24 e) 4−3 = (−4)−1 ⋅ (−4)4

c) (−3)−6 = 3−6 f) (2−5)−1 = 2−6

58. ● Expressa com una potència única.

a) (23)4 c) [−64]3 e)

b) [(−3)3]2 d) f) [−52]4

59. ●● Calcula el valor d’aquestes potències:

a) [(−3)2]2 ⋅ [(−3)3]3 b) [(5)8]2 : [(−5)4]3

60. ● Resol:

a) (−2)−4 ⋅ [(−2)2]3 e) −2−3 ⋅ (−2−4)b) 34 ⋅ [(−3)2]−2 f) (−26) ⋅ (−2−6)c) (−8)3 ⋅ 2−4 g) (−3)4 ⋅ (−34)d) (−2)−3 ⋅ 2−3 h) 4−3 ⋅ 2−2

61. ●● Completa les igualtats següents:

a) [(−5)3]� : (−5)7 = (−5)5 c) [73]5 : 7� = 1b) [�2]5 ⋅ �4 = (−3)14 d) 119 ⋅ [112]3 = 11�

13

2 4⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

35

3 5

63. ●●● Simplifica aquests productes de potències.

a) 54 ⋅ 253 e) −123 ⋅ 185

b) 84 ⋅ 162 f) (−63)5 ⋅ 212

c) 63 ⋅ 125 g) −723 ⋅ (−4)7

d) 47 ⋅ 32 h) 322 ⋅ (−24)3

64. ●●● Calcula i expressa el resultat com una solapotència.

a) (52 ⋅ 252)3 d) (63 ⋅ 362)6

b) [92 : (−27)4]4 e) [(3)12]3 ⋅ [(−27)5]2

c) [(−2)12]3 ⋅ 85 f) (162 : 643)5 ⋅ 44

65. ●●● Fes les operacions següents i simplifica’n elresultat tant com puguis.

a) 4012 : [(−4)6]−6

b) (−45)15 ⋅ [(−15)3]−6

c) (92 : 274)−4 ⋅ (6−3 ⋅ 36−2)

d)

NOTACIÓ CIENTÍFICA

66. ● Expressa com una potència de base 10 el resultatde les operacions següents:

a) 0,000000001 ⋅ 1.000.000b) 0,0000000010 ⋅ 10.000.000c) 0,00000000001 : 1.000.000.000d) 0,000001 : 1.000

67. ● Escriu en notació científica.

a) Tres bilions i mig.b) Dues-centes mil·lèsimes.c) Deu milionèsimes.d) Cent mil milions i mig.

68. ● Escriu amb totes les xifres els nombres ennotació científica següents:

a) 3,432 ⋅ 104 c) 3,124 ⋅ 10−7

b) 1,3232 ⋅ 10−3 d) 5,3732 ⋅ 107

69. ● ● Sense fer les operacions prèviament, sabriesdir quin és l’ordre de magnitud del resultatd’aquestes operacions?

a) 6,3 ⋅ 102 + 4,5 ⋅ 102

b) 7,7 ⋅ 104 − 7,2 ⋅ 104

c) (2,6 ⋅ 103) ⋅ (3,1 ⋅ 104)d) (5 ⋅ 107) : (2,5 ⋅ 106)

34

43

32

43

⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤−

: ( )⎦⎦

⎥⎥⎥

−1

COM CALCULEM PRODUCTES DE POTÈNCIESQUAN LES BASES TENEN ELS MATEIXOSFACTORS?

62. Calcula 162 ⋅ 32−2.

PRIMER. Descomponem en factors primers.162 ⋅ 32−2 = (24)2 ⋅ (25)−2

SEGON. Fem les operacions: potència de potència i producte de potències amb la mateixa base.

(24)2 ⋅ (25)−2 = 28 ⋅ 2−10 = 2(8−10) = 2−2

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0037-0056.qxd 16/4/07 11:08 Página 52

53

70. ● Fes les operacions següents i expressa el resultaten notació científica.

a) 113,5 ⋅ 10−6 + 0,0001 ⋅ 104

b) 7.693,57 ⋅ 10−2 + 0,7861 ⋅ 106

c) 3.023.500 ⋅ 10 − 0,0317 ⋅ 1012

d) 4.023 ⋅ 104 − 1.234,57 ⋅ 1011

e) (20.100 ⋅ 103) : (2,7 ⋅ 105)f) 0,35 ⋅ (1,24 ⋅ 10−8)g) (1.435 ⋅ 103) ⋅ (6,7 ⋅ 107)h) (32,130 ⋅ 10−6) : (3,7 ⋅ 107)i) (54,3 ⋅ 10−7) : (6,7 ⋅ 105)

71. ●● Calcula l’element que falta en cada cas.

a) 15 ⋅ 104 + � = 13 ⋅ 103

b) 4,6 ⋅ 1011 + � = 2,1 ⋅ 104

c) (32,15 ⋅ 104) ⋅ � = 65,53 ⋅ 104

d) (3,6 ⋅ 102) : � = 6,12 ⋅ 1012

NOMBRES REALS

72. ● Indica el conjunt numèric mínim a què pertanycada nombre o expressió.

a) 7,65444…b) −11,2c) 999d) 9,88777…e) � − ef) 1,010222…g) 300,301302…h)i)j) 1k) 6,585959…l) 1,00111…

73 ● Ordena aquests nombres de més gran a méspetit.

a)

b)

74. ● Esbrina quins dels nombres següents sónracionals i quins són irracionals.

a) 0,444444… c) 0,151155111555…b) 0,323232… d) 0,234432234432…

Quan sigui possible, determina l’expressió fraccionària del nombre.

1 1 00111109

1111 1 08999; , ; ; , ; ,… … …

− − − −375

1 7333 1 73206; ; , ; ,…

99 e169

76. ●● Representa, amb els procediments anteriors,els nombres reals següents:

a) b) c) d)

77. ● Representa aquests nombres reals amb regla i compàs.

a) b) c) d)

78. ●● Explica de manera raonada la forma de representar els nombres reals següents:

a) c)

b) d) 2 3+32

32

22

1871614026

11786

COM REPRESENTEM ARRELS EL RADICAND DE LES QUALS NO ÉS LA SUMA DE QUADRATSPERFECTES?

75. Amb la regla i el compàs, dibuixa el nombre a la recta real.

PRIMER. En descomponem el radicand en suma de quadrats fins que tots siguin quadratsperfectes.

SEGON. En ordre invers, dibuixem trianglesrectangles que expressin les relacions calculades.

La primera relació és .

TERCER. Construïm triangles rectangles, cadascun sobre la hipotenusa anterior. Després, amb centre 0 i com a radi la hipotenusa, tracem un arc que talli la recta en el punt P', que té com a abscissa l’arrel que busquem.

Fem un altre triangle que expressi la relació

.( ) ( )2 1 32 2 2

+ =

1 1 22 2 2+ = ( )

3 1 2 1 1 12 2 2 2 2 2= + = + +( ) ( )

3

FES-HO AIXÍ

1

10

P'10

1

1

3

32

P

831084 _ 0037-0056.qxd 16/4/07 11:08 Página 53

54

79. ●● Quin és el nombre representat pel punt Pen cada cas?

80. ●● El nombre 1 + :

a) És racional o irracional?b) Representa’l de manera exacta sobre la recta

real.

81. ●● Representa de manera aproximada aquestsnombres sobre la recta real.

a) 0,9)

b) 1,202202220… c)

82. ●● Escriu tres nombres irracionals. Fes servir els dígits 0 i 1 a la part decimal i raona el procésde construcció de cada nombre.

83. ●● Escriu dos nombre reals i dos d’irracionalscompresos entre:

a) 7,1 i 7,11 c) 0,63)

i 0,636633666333…

b) i 1 d) � i

APROXIMACIÓ DE NOMBRES REALS

84. ● Arrodoneix i trunca els nombres següents a les mil·lèsimes i calcula l’error absolut comès.

a) 1,2468 d) 0,67)

g)b) 5,3

)e) 3,28

)h) 9,12

)

c) 21,9673 f) i) 6,54)

85. ● Calcula l’error més gran que es pot cometrequan s’aproxima els nombres següents a lesdècimes.

a) 5,697 b) 0,28)

c)

Quin resultat has obtingut? Depèn del nombreque has aproximat?

21

17

19

1089

− 15

2

86. ●● Escriu un nombre que:

a) Quan l’arrodoneixis i el trunquis a les dècimesdoni el mateix resultat.

b) Quan l’arrodoneixis a les centèsimes doni com a resultat 5,87.

c) Quan l’arrodoneixis a les centèsimes doni com a resultat 11,56 i l’error absolut comès sigui 0,003.

d) Quan el trunquis a les dècimes doni com a resultat 0,7 i l’error absolut comès sigui 0,025.

INTERVALS

87. ● Representa els intervals següents:

a) [−2, 3] c) (−5, 1]

b) (−1, 0) d) [6, 9)

88. ● Quins són els intervals representats?

89. ● Representa sobre la recta real aquests intervalsi indica dos nombres que pertanyin als quatreintervals a la vegada.

a) [1, 5] c) (3,5; 9)

b) (4, 6] d) [0, 6)

90. ●● Fixa’t en l’exemple i expressa cada intervalfent servir les desigualtats.

(2, 5] equival a 2 < x ≤ 5

a) [−1, 2] d) (6, 7)

b) (1, 5) e) (11, 15]

c) [0, �] f) [0, 11)

91. ● Escriu dos intervals que continguin el nombre −0,8

).

92. ● Quins d’aquests intervals faries servir per expressar el conjunt dels nombres reals més grans que −3 i més petits o iguals que 5?

a) (−3, 5) c) (−3, 5]

b) [−3, 5) d) [−3, 5]

a)

b)

P

P

0 4

2

0 4

−5 1

−2 4

3

831084 _ 0037-0056.qxd 16/4/07 11:08 Página 54

55

PROBLEMES AMB POTÈNCIES I NOMBRES REALS

93. ●● Expressa en forma de potència quants avis,besavis i rebesavis tens.

94. ●● S’ha organitzatun concurs de tiramb arc. Després de seleccionar-ne els concursants,s’han format cincequips de cincmembres cadascun.Cada membre del’equip disposa de cinc fletxes perllançar a la diana.Quantes fletxes fanfalta?

95. ●● La biblioteca de l’aula té tres prestatgeries. Cadascuna té tres prestatges i cada prestatge té tres apartats on hi ha tresllibres. Quants prestatges, apartats i llibres té la biblioteca? Expressa el resultat en forma de potència.

96. ●●● La paga setmanal d’en Màrius és de 32 €. Els seus pares l’han castigat i la hi redueixen a la meitat cada setmana.

a) Expressa aquest procés en forma de potències.

b) Quantes setmanes han de passar perquè la paga quedi reduïda a 25 cèntims?

97. ●● Un pis té una superfície de 117,13 m2

i un altre té 73,65 m2. Arrodoneix i trunca lasuperfície de cada pis a metres quadrats. Indica quina aproximació és més precisa.

98. ●● La distància a l’estació de tren més pròximaés de 16,74 km. En Lluís diu que són 16 quilòmetres i la Sara, que en són 17. Qui s’hi aproxima de manera més precisa?

99. ●● Les notes que han tret els alumnes de 3r d’ESO en la primera avaluació de llenguahan estat:

El professor posa a la butlleta la nota queresulta de truncar a l’enter més pròxim.

a) Quina nota els correspondrà?b) Quina seria la nota si el professor arrodonís?

100. ●●● En una ampolla de 5 litres d’aigua mineralhi figura escrit: «5 litres ± 5 %.»

a) Què vol dir, aquesta indicació?b) Entre quins valors està compresa la capacitat

de l’ampolla?

INVESTIGA

101. ●●● Una potència d’exponent enter positiu és sempre més gran que la base? En quinscasos?

102. ●●● Una potència d’exponent enter negatiu és més gran que la base? Hi ha alguns valors dela base per als quals la potència sigui més petita?

103. ●●● Continua la sèrie:

22 = 12 + 332 = 22 + 542 = 32 + 752 = � 2 + �n2 = …

104. ●●● En el segle III aC, Arquimedes va donar

com a aproximació del nombre π la fracció .

a) Escriu tres aproximacionsper defecte i per excés de �d’aquesta fracció.

b) Arrodoneix tots dos nombres a les mil·lèsimes i compara’n els resultats.Què hi observes?

c) I si els arrodoneixes a les centèsimes?

22

7

2,56,48,66,17,693,2

4,55,23,86,49,74,3

5,89,79,36,83,78,4

2,67,24,79,11,65

831084 _ 0037-0056.qxd 16/4/07 11:08 Página 55

56

A la vida quotidiana105. �� Navegant per Internet hem arribat a la

pàgina següent:

a) Quina distància hi ha entre Mercuri i Saturn?

b) Quina distància és més gran, la de la Terra a Urà o la de Mart a Neptú?

c) Amb una nau com la que es descriu a la segona pàgina, quant es tardaria a arribara Neptú? Podríem visitar Neptú i tornar a la Terra?

106. �� En Sergi acaba d’arribar a Londres. Abansde fer el viatge va canviar al banc 200 lliures i li van donar aquest rebut.

Un euro val 0,649900 lliures, per tant, les 200 lliures que va canviar li van costar 307,74 €.En Sergi es vol comprar uns pantalons quecosten 48,5 lliures i ha de calcular-ne el cost eneuros per fer-se una idea del seu valor.

a) Creus que és correcta l’estimació que ha fet?Quin error comet?

b) Si les cinc nitsd’hotel li costen 467 lliures, quinserà el valor eneuros que calcularà en Sergi segons les sevesestimacions? I quinserà el valor real?

COMPRA DE BITLLETS ESTRANGERS I/OXECS DE VIATGE EN DIVISA I/O PAGAMENT DE XEC DE COMPTE EN DIVISA

Sr. SERGI AVELLANEDA GILDomicili AVINGUDA DE LA LLUM, S/NPoblació BARCELONAC.P. 08013 D.N.I./C.I. 978687623

Concepte: OPERACIÓ INVISIBLE

REF. 6036786

BBBBAAAANNNNCCCC

ENTITAT-OFICINA-COMPTE

2038 - 5538948273647783 EUR

DOCUMENT DIVISA IMPORT CANVI CONTRAVALOR

BITLLETS GBP 200,0 0,649900 307,74 EUR

307,74 EUR

DATA OPERACIÓ: 31/07/2007 DATA VALOR: 31/07/2007 TOTAL 307,74 EUR

Comissions i despeses

Signatura de l’interessat

BAN

CO BAN

CO

Signatura i segellBBBB AAAA NNNN CCCC

Costen uns… 60 €

Formació dels planetesEls planetes es van formar fa uns 4.500 milions d’anys, al mateix temps que el Sol.En general, els materials lleugers que no es van quedar al Sol es van allunyar més que els pesants. Al núvol

de gas i pols original, que girava en espirals, hi havia zones més denses, projectes de planetes. La gravetat i

les col·lisions van portar més matèria a aquestes zones i el moviment rotatori les va arrodonir.

Asteriodes

Vida a l’espai

Exploració

Estem sols?

Exploració

ExpoMars

Futures

exploracions

a Mart

Nous mitjans de

transport

Navegació espacial

Fins ara, gairebé totes les missions

espacials han fet servir motors

coets amb combustibles

i comburents químics. Per desgràcia,

aquests motors no són gaire eficaços;

per exemple, més de la meitat del pes

de la sonda espacial Rosetta de l’ESA

en el moment del llançament era combustible.

L’ESA estudia actualment maneres de reduir la quantitat de combustible que

transporten les naus. Una de les idees consisteix en un motor d’ions que faci

servir una pistola elèctrica per disparar gas cap a l’espai.

Tot i que la força d’empenta del motor coet elèctric d’ions és molt petita, en va

augmentant la velocitat gradualment, fins que, quan arriba el moment, permet

que la nau espacial es desplaci amb molta rapidesa.

La sonda SMART 1 ha provat amb èxit un motor d’ions en el seu viatge de la

Terra a la Lluna. Per cada quilogram de combustible consumit, aquest motor

produeix un augment de la velocitat de la nau deu vegades més gran que si fos

un motor coet ordinari.

L’ESA també estudia fer servir naus espacials que utilitzin espelmes solars en

lloc de motors coets. La llum solar bufa sobre una espelma molt gran que pot

propulsar una nau espacial cap a altres planetes. Després de molts mesos de

viatge amb el vent del Sol, una nau d’aquest tipus podria arribar a una velocitat

de 360.000 km/h.

Estacions

espacials

Exploració

Lab

Diversión

Noticias

Planetes Radi equatorial Distància al Sol (km) Llunes Període de Rotació Òrbita

Mercuri2.440 km

5,791 ⋅ 107

058,6 dies 87,97 dies

Venus6.052 km

1,082 ⋅ 108

0–243 dies 224,7 dies

Terra6.378 km

1,496 ⋅ 108

1 23,93 hores 365,256 dies

Mart3.397 km 2,2794 ⋅ 108

2 24,62 hores 686,98 dies

Júpiter71.492 km 7,7833 ⋅ 108

169,84 hores 11,86 anys

Saturn60.268 km

1,429 ⋅ 10918* 10,23 hores 29,46 anys

Urà25.559 km

2,87 ⋅ 10915

17,9 hores 84,01 anys

Neptú24.746 km

4,5 ⋅ 109

8 16,11 hores 164,8 anys *Alguns astrònoms atribueixen 23 satèl·lits al planeta Saturn.

831084 _ 0037-0056.qxd 10/5/07 10:11 Página 56

El servidor del califaMuhammad recorria, tot nerviós, les sales de la Casa de la Saviesa. Hi buscava el savi Al-Khwarizmi, que li havia ensenyat un mètode per comptar i operar amb quantitats desconegudes que el jove feia servir en la seva feina com a funcionari d’abastiment del palau del califa.

Per fi, assegut al costat d’una font, va trobar el seu mestre.

–Mestre, podem repassar els càlculs d’ahir?

–M’alegro que tinguis aquest afany de coneixement. –Al-Khwarizmi estava estranyat que Muhammad dediqués tant temps lliure a aprendre.

–La riquesa dels pobres és la bondat i el coneixement i, com tots els homes, vull ser ric. A més, aquesta riquesa no te la pot robar cap lladre –va contestarMuhammad amb un somriure.

–Molt bé, molt bé! –va dir i, mig sorprès mig divertit, el savi li va proposar uns exercicis aritmètics mentre ell estudiava el llenguatge algebraic i les equacions.

A la taula s’hi podia llegir: «Un quadrat i deu arrels són iguals a trenta-nou unitats...», que en llenguatgealgebraic modern és: x2 + 10x = 39.

Com escriuries en llenguatge algebraic: «El cub d’un nombre menys tres vegades el seu quadrat menys cinc unitats»?

En aquest unitataprendràs a...

• Reconèixer i operaramb monomis.

• Distingir polinomis,calcular-ne el grau i fer-hi operacions.

• Calcular el valornumèric d’un polinomi.

• Conèixer les igualtatsnotables i operar-hi.

• Simplificar fraccionsalgebraiques.

PLA DE TREBALL

Polinomis3831084 _ 0057-0074.qxd 13/4/07 18:15 Página 57

Monomis1

Monomis semblants

APLICA

Escriu l’oposat d’aquests monomis.

a) b) −4a2b3 c) −5x9 d) 9x11

REFLEXIONA

Escriu, si es pot, un monomi:

a) De coeficient 2 i part literal xy6.b) De coeficient −3 i semblant a −2x3.c) De grau 7 i semblant a −4x2y.d) De part literal x3y4 i oposat a −4x3y.

4

12

3 2xy z

3

EXERCICISPRACTICA

Indica el coeficient, la part literal i el graud’aquests monomis.

a) −3x3y2z4 c) x15y

b) −5b2c3 d)

Determina si els monomis són semblants o no.

a) i −5z5x2y3 c) xy3 i −xy3

b) 6x3y4 i 6x4y3 d) 7x i −x

12

2 3 5x y z

2

−23

5xy

1

58

Un monomi és una expressió algebraica formada pel producte d’unnombre, que anomenem coeficient, i una o diverses lletres elevades aun nombre natural, que formen la part literal del monomi.Les lletres de la part literal les anomenem variables.El grau d’un monomi és l’exponent de la lletra que forma la part literal,si només n’hi ha una, o la suma dels exponents, si n’hi ha més d’una.

Dos monomis són semblants si tenen la mateixa part literal. Si dos monomis semblants tenen coeficients amb signe contrari, elsanomenem oposats.

−3x2 i 5x2 → Són semblants, perquè tenen la mateixa part literal, x2.6ab2 i 2a2b → No són semblants.−3x2 i 3x2 → Són oposats, perquè són monomis semblants i els seus

coeficients, 3 i −3, són nombres oposats.

2

EXEMPLE

1

EXEMPLE

Monomi

−6x7

3x3y2

3

53a b

Coeficient

−6

3

35

Part literal

x7

x3y2

a3b

Variables

x

x, y

a, b

Grau

7

3 + 2 = 5

3 + 1 = 4

HO ESCRIUREM AIXÍ

• El signe del producte de nombres i lletres nol’acostumem a escriure.

5 ⋅ x2 ⋅ y3 = 5x2y3

• L’exponent 1 no l’escrivim.

a1b1 = ab

• Quan un monomi estàformat només per lletres,el seu coeficient és 1. x3 = 1 ⋅ x3 → coeficient 1

831084 _ 0057-0074.qxd 13/4/07 18:15 Página 58

APLICA

Simplifica les expressions següents:

a) −2x3 − x2 + 5x2 − 6x + x − 2x2 − 6xb) 5x − (x2 + 3x3) + 3x2 − x3 + 2xc) 11x7y3 + 4xy5 − 9x7y3 + xy5 − x2

REFLEXIONA

Calcula: −x2y − (−3x2 ⋅ 7y) + (16x2y3z : 4y2z).7

6

EXERCICISPRACTICA

Fes les operacions.

a) 6x2 + 2x2 − x2 + 3x2 − x2

b) 3x2y2 − 2x2y2 + 6x2y2 − x2y2

c) (−5ab) ⋅ (6abc)d) (−8x2y) ⋅ (−4xy2)e) (15xy) : (−3x)f) (2xyz) : (−2xy)

5

Operacions amb monomis

2.1 Suma i resta de monomis

2

La suma (o resta) de dos o més monomis la podem fer només si sónsemblants; si no ho són, deixem l’operació indicada.El resultat de la suma (o resta) de dos monomis semblants és un altremonomi semblant que té com a quocient la suma (o resta) dels coefi-cients.

2.2 Producte i quocient de monomis

• El producte de dos monomis és un altre monomi que té com a coefi-cient el producte dels coeficients i, com a part literal, el producte deles parts literals de tots dos monomis.

• El quocient de dos monomis té com a coeficient el quocient dels co-eficients i, com a part literal, el quocient de les parts literals de totsdos monomis.


a) 6x4 + 5x4 − 3x4 = (6 + 5 − 3)x4 = 8x4

b) 2x2y − 4x2y + 6x2y = (2 − 4 + 6)x2y = 4x2yc) 7x4 − 4x2 + 9x4 + 6x2 = (7 + 9)x4 + (−4 + 6)x2 = 16x4 + 2x2

3

EXEMPLE

Fes aquestes operacions amb monomis:

a) −4x2 ⋅ 3x = (−4 ⋅ 3) ⋅ (x2 ⋅ x) = −12x2+1 = −12x3

b) −x2y4 ⋅ 3y3 = (−1 ⋅ 3) ⋅ (x2y4 ⋅ y3) = −3x2y4+3 = −3x2y7

c) 12x5 : 4x3 = (12 : 4) ⋅ (x5 : x3) = 3x5−3 = 3x2

d) −3x2y5 : 2x = (−3 : 2) ⋅ (x2y5 : x) = −

= −−32

32

2 1 5 5x y xy

4

EXEMPLE

59

Quan facis el producte i el quocient de les parts

literals, recorda que:

xm · xn = xm+n

xm : xn = xm-n

x0 = 1

831084 _ 0057-0074.qxd 13/4/07 18:15 Página 59

60

Un polinomi és una expressió algebraica formada per la suma o la res-ta de dos o més monomis no semblants.

Polinomis3

Els polinomis els designem amb lletres majúscules i hi indiquem entreparèntesis les variables que hi intervenen.

• Anomenem terme cadascun dels monomis que formen un polinomi.El que no té part literal l’anomenem terme independent.

• El grau més gran dels termes d’un polinomi l’anomenem grau del poli-nomi.

• Un polinomi és reduït quan no té monomis semblants.

• El polinomi oposat de P(x), que designem com a −P(x), l’obtenimcanviant de signe els coeficients de tots els termes de P(x).

P(x) = 6x5 − 3x4 − x3 − 9x + 7 → Polinomi d’una variable, x.

Q(y) = y + 7 → Polinomi d’una variable, y.

P(x, y) = 2x2y − 3xy2 − 7xy − 2 → Polinomi de dues variables, x i y.

5

EXEMPLE

Termes

P(x, y) 5x2y + 7xy − 4Terme independent

Terme de grau més gran = 5x2y → Grau del polinomi = 2 + 1 = 3

6

EXEMPLE

Calcula el polinomi reduït i l’oposat de P(x) = 2x4 + 3x3 − 4x4 − 7.

P(x) = 2x4 + 3x3 − 4x4 − 7 P(x) = −2x4 + 3x3 − 7

−P(x) = 2x4 − 3x3 + 7

Reduït→

7

Oposat

→

EXEMPLE

Quan treballem amb un polinomi, convé agrupar

els monomis semblants.3x2y2 – xy + x2y2 = 4x2y2 – xyAnomenem aquesta operació

reduir un polinomi.

APLICA

Redueix aquest polinomi i calcula’n l’oposat.R(x) = x5 + 1 − 3 + 4x5 − 3x − 2x

REFLEXIONA

Escriu un polinomi de dues variables, de grau 7,que tinguin un terme de grau 3, que sigui reduït i no tingui terme independent.

10

9

EXERCICISPRACTICA

Determina el grau, les variables i el termeindependent d’aquests polinomis.

a) P(x, y) = −2x5 − x2y2 + 5x3 − 1 + 3x3 + 3b) Q(x, y) = x2 + 4x3 − x − 9 + 4x4y3

c) R(x, y) = x9 − x7y3 + y13 − 4d) S(x, y, z) = 7x2yz − 3xy2z + 8xyz 2

8

F

F

831084 _ 0057-0074.qxd 10/5/07 10:38 Página 60

61

Valor numèric d’un polinomi

El valor numèric d’un polinomi és el resultat que obtenim quan subs-tituïm les lletres o variables per nombres determinats i després fem lesoperacions.

Podem obtenir tants valors numèrics en un polinomi com nombres dife-rents assignem a la variable o les variables del polinomi.

Calcula el valor numèric per a x = 1 del polinomi:

P(x) = 2x3 − 3x2 − 2

Substituïm la variable x pel valor 1 i fem les operacions:

P(x) = 2x3 − 3x2 − 2 P(1) = 2 ⋅ 13 − 3 ⋅ 12 − 2 == 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ 1 − 2 = −3

El valor numèric de P(x) per a x = 1, P(1), és −3.

x = 1⎯⎯→

8

EXEMPLE

Calcula el valor numèric del polinomi: P(x, y) = 2x2y − 8xy − 9.

a) Per a x = −1 i y = 2. b) Per a x = 0 i y = 1.

a) Substituïm les variables x i y pels valors −1 i 2, respectivament.

P(x, y) = 2x2y − 8xy − 9 P(−1, 2) = 2 ⋅ (−1)2 ⋅ 2 − 8 ⋅ (−1) ⋅ 2 − 9 == 2 ⋅ 1 ⋅ 2 + 8 ⋅ 1 ⋅ 2 − 9 = 11

El valor numèric de P (x, y), per a x = −1 i y = 2, P(−1, 2), és 11.

b) P(x, y) = 2x2y − 8xy − 9 P(0, 1) = 2 ⋅ 02 ⋅ 1 − 8 ⋅ 0 ⋅ 1 − 9 = −9x = 0, y = 1⎯⎯⎯⎯⎯→

x = −1, y = 2⎯⎯⎯⎯⎯→

9

EXEMPLE

APLICA

Redueix els polinomis següents i calcula’n elvalor numèric per a x = 2.

a) P(x) = 4 − 3x2 + x − x2 + 1b) Q(x) = x4 − 4 − 3x2 + x − x2 + 1 − 3x4 − 3x

REFLEXIONA

Un nombre és arrel d’un polinomi quan el valornumèric del polinomi per a aquest nombre észero. Determina si els nombres −4 i 4 són arrelsd’aquest polinomi.

P(x) = x2 − 5x + 4

Sabries trobar una altra arrel del polinomi?

14

13

EXERCICISPRACTICA

Calcula el valor numèric del polinomi en cadacas.

a) P(x) = 3x6 + 2x5 − 3x4 − x2 + 7x − 2, per a x = 0.

b) P(x, y) = −x4y − x2y + 7xy − 2, per a x = 1, y = 2.

Donats els polinomis:

P(x, y) = 3x2y + xy − 7x + y − 2Q(x, y) = −xy2 + 4y2 − 3x

calcula els valors numèrics:

P(0, 0) P(1, 1) Q(0, −1) Q(0, 2)

12

11

831084 _ 0057-0074.qxd 13/4/07 18:15 Página 61

62

Operacions amb polinomis

A partir d’ara tindrem en compte només polinomis amb la variable x.

4.1 Suma i resta de polinomis

4.2 Multiplicació de polinomis

4

Per sumar (o restar) polinomis, agrupem els monomis del mateix graui en sumem (o en restem) els coeficients.

Per multiplicar dos polinomis, multipliquem cada monomi d’un delspolinomis per tots els monomis de l’altre i sumem els polinomis quehem obtingut.

Suma i resta P(x) = 2x3 − 3x2 + 4x + 1 i Q(x) = −x3 + x2.

P(x) + Q(x) = (2x3 − 3x2 + 4x + 1) + (−x3 + x2) == 2x3 − 3x2 + 4x + 1 − x3 + x2 == x3 − 2x2 + 4x + 1

P(x) − Q(x) = (2x3 − 3x2 + 4x + 1) − (−x3 + x2) == 2x3 − 3x2 + 4x + 1 + x3 − x2 == 3x3 − 4x2 + 4x + 1

10

EXEMPLE

Calcula: a) (x3 + x + 1) ⋅ 2x b) (2x3 + x + 1) ⋅ (2x2 − x)

a) x3 + x + 1 b) 2x3 + x + 1× 2x × 2x2 − x

2x4 + 2x2 + 2x − 2x4 + 2x3 − x2 − x4x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + x

4x5 − 2x4 + 2x3 + x2 − x

11

EXEMPLE

El grau del polinomiproducte és la suma

dels graus dels polinomis

que multipliquem.

APLICA

Calcula −A(x) + B(x) i −A(x) − B(x) amb elspolinomis:

A(x) = 3x4 − 5x3 + x2 − 7B(x) = −3x4 + x3 − 2x + 1

REFLEXIONA

Calcula el producte dels dos polinomis de l’exercici anterior. Fes servir la propietatdistributiva.

17

16

EXERCICISPRACTICA

Fes la suma, la resta i el producte de cada parellde polinomis.

a) R (x) = x4 − x + 1; S (x) = x2 + 1

b) R (x) = x + 1; S (x) = x2 + x − 1

c) R (x) = 5x7 − x8 + 1; S (x) = x2 + x6 − 1

d) R (x) = x5 − x4 + x3 + 2x + 1; S (x) = x3 + 2x

e) R (x) = 7x3 + 2x2 + x − 3; S (x) = x4 + x2 − 8

f) R (x) = x7 + 3; S (x) = x3 + x2 + 4x + 2

15

831084 _ 0057-0074.qxd 10/5/07 10:38 Página 62

63

4.3 Divisió de polinomis

Quan dividim dos polinomis, P(x) i Q(x), obtenim uns altres dos polino-mis, C(x) i R(x), i es compleix que:

P(x) = Q(x) ⋅ C(x) + R(x)grau de R(x) < grau de Q(x)

Els polinomis P(x), Q(x), C(x) i R(x) els denominem polinomi dividend,divisor, quocient i residu de la divisió, respectivament.

Divideix P(x) = 4x3 + 2x2 − 4x + 3 entre Q(x) = 2x2 − x + 1.12

Per comprovar que la divisió està ben feta, ens assegurem que escompleix la igualtat P (x) = Q (x) ⋅ C(x) + R(x):

4x3 + 2x2 − 4x + 3 = (2x2 − x + 1) ⋅ (2x + 2) + (−4x + 1) == 4x3 + 2x2 + 2 + (−4x + 1) == 4x3 + 2x2 − 4x + 3

EXEMPLE

APLICA

Fes les divisions següents i comprova si estanben fetes.

a) (x3 − 4x2 + 5x − 2) : (x2 − 2)b) (x4 + x2 + 3) : (x3 + 3x2 + 2x + 6)

REFLEXIONA

Calcula el residu d’aquesta divisió de polinomis.

Dividend ⎯→ P (x) = x5 + x3 − x2 + 5x − 3Divisor ⎯⎯→ Q(x) = x3 + x − 1Quocient ⎯→ C(x) = x2

20

19

EXERCICISPRACTICA

Calcula:

a) (x3 − 3x2 + 2x) : xb) (2x3 − 3x2 − 5x − 5) : (x − 2)c) (2x3 − 3x2 + 4x − 3) : (x2 + x − 1)d) (x4 + x3 − x2 + x + 1) : (x3 − 5)e) (−6x5 + x3 + 2x + 2) : (4x3 + 2x + 3)f) (x8 − 1) : (x5 + x3 + x + 2)g) (x − 1) : xh) (x2 − 1) : (x + 1)i) (x2 − 5x + 6) : (x − 2)

18

4x3 + 2x2 − 4x + 3 2x2 − x + 12x

−4x3 + 2x2 − 4x + 3 2x2 − x + 1

−4x3 + 2x2 − 2x 2x

−4x3 + 4x2 − 6x + 3

−4x3 + 2x2 − 4x + 3 2x2 − x + 1

−4x3 + 2x2 − 2x 2x + 2

−4x3 + 4x2 − 6x + 3−4x − 4x2 + 2x − 2

−4x3 − 4x2 − 4x + 1

QUOCIENT

RESIDU

Obtenim el primer terme del quocient dividint el terme de grau més gran del dividend pel de grau mésgran del divisor.

4x3 : 2x2 = 2x

Aquest terme el multipliquemper cadascun dels termes del divisor, i el resultat el restem al dividend.

Repetim el procés fins que el polinomi residu tingui un grau més petit que el divisor.

F

F

El grau del quocient és igual a la diferència dels graus de dividend

i divisor.

831084 _ 0057-0074.qxd 13/4/07 18:15 Página 63

64

Factor comú5

Extreure factor comú consisteix a transformar una expressió de sumao resta en producte.

a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ (b + c) a ⋅ b − a ⋅ c = a ⋅ (b − c)←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Propietat distributiva←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Propietat distributiva

Factor comú⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Factor comú⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

Extreu factor comú d’aquests polinomis.

a) 3x + 3yHem de trobar els factors que es repeteixen a tots els sumands del polinomi. En aquest cas, 3 és a tots dos sumands.

3x + 3y = 3 ⋅ (x + y)b) 3x − 3y

De la mateixa manera: 3x − 3y = 3 ⋅ (x − y)

c) x3 − x2 + 2xDescomponem els sumands d’aquest polinomi com a producte:

x3 − x2 + 2x = x ⋅ x2 − x ⋅ x + 2 ⋅ x → Factor comú = xx3 − x2 + 2x = x ⋅ (x2 − x + 2)

d) 6x3 + 2x2 = 2 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ x2 + 2 ⋅ x2 → Factor comú = 2x2

6x3 + 2x2 = 2x2 ⋅ (3x + 1)

e) 24x3 + 72x2 − 6xPer determinar si un nombre és factor comú trobem el m.c.d. dels coeficients de cada terme.

m.c.d. (6, 24, 72) = 6A més, en aquest cas, la x es repeteix a tots els sumands.

24x3 + 72x2 − 6x = 6x ⋅ (4x2 + 12x − 1)

f) −18y2x3 − 12yx2 + 24yxm.c.d. (12, 18, 24) = 6 → Factor comú = 6yx−18y2x3 − 12yx2 + 24yx = 6yx ⋅ (−3yx2 − 2x + 4)

13

EXEMPLE

APLICA

Extreu factor comú en aquests polinomis:

a) c)

b) x ⋅ (xy2 − y) + y2 ⋅ (4xy − 3y)

REFLEXIONA

Calcula a perquè el factor comú de ax3y + 4x4y2 − 6xay3 sigui 2x2y.

23

x x x x2 227 5−

−−x x2

2 2−

22

EXERCICISPRACTICA

Extreu factor comú en els polinomis següents:

a) 8x2 − 4xb) 18x3y2 − 12x2y3

c) 30a2b − 15ab2 + 5a2b2

d) −12ab3 + 4b2 − 6b4

e) 34a4 − 14a3b + 28ab3

f) 20a4b2c + 36a2b − 18a3b2

21

Quan el factor comú coincideix amb

qualsevol dels sumands, en el seu lloc hi queda

la unitat.a + ab + ac == a · (1 + b + c)

831084 _ 0057-0074.qxd 13/4/07 18:15 Página 64

65

Igualtats notables

Les igualtats notables són molt eficaces a l’hora d’abreujar alguns càlculsamb expressions algebraiques. Els formem a partir de certs productes debinomis.

6.1 Quadrat d’una suma

L’expressió (a + b)2 és el quadrat de la suma de dos monomis.

(a + b)2 = (a + b) ⋅ (a + b) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b == a2 + 2ab + b2

6.2 Quadrat d’una diferència

L’expressió (a − b)2 és el quadrat de la diferència de dos monomis.

(a − b)2 = (a − b) ⋅ (a − b) = a ⋅ a − a ⋅ b − b ⋅ a + b ⋅ b == a2 − 2ab + b2

6

Els polinomis de dos termes els

denominem binomis.2x + 13a2 + 5bx – 3–1 + 2x

APLICA

Desenvolupa:

a) (3x3 − a2)2 c) (2x + x3)2

b) (x2 + x3)2 d) (6ab 2 − 2y)2

REFLEXIONA

Expressa com el quadrat d’una suma o unadiferència, en funció del que convingui.

a) x2 + 6x + 9 c) x2 + 4xy + 4y2

b) 4x2 − 12xy + 9y2 d) x4 + 2x2 + 1

26

25

EXERCICISPRACTICA

Desenvolupa els quadrats següents:

a) (x + 7)2

b) (2a + 1)2

c) (6 + x)2

d) (3a2 + 2b)2

e) (x − 4)2

f) (3a − b)2

g) (5 − x)2

h) (2b 2 − 5b 3)2

24

El quadrat d’una suma és igual al quadrat del primer més el dobleproducte del primer pel segon més el quadrat del segon.

El quadrat d’una diferència és igual al quadrat del primer menys eldoble producte del primer pel segon més el quadrat del segon.

Aplica les igualtats notables i desenvolupa els quadrats següents:

a) (5x + 3)2 = (5x)2 + 2 ⋅ 5x ⋅ 3 + 32 = 25x2 + 30x + 9

a = 5x b = 3

b) (2x − 3y)2 = (2x)2 − 2 ⋅ 2x ⋅ 3y + (3y)2 = 4x2 − 12xy + 9y2

a = 2x b = 3y

14

EXEMPLE

FF

831084 _ 0057-0074.qxd 13/4/07 18:15 Página 65

6.3 Suma per diferènciaDonats els monomis a i b, en podem obtenir el producte de la suma per ladiferència.

(a + b) ⋅ (a − b) = a ⋅ a − a ⋅ b + b ⋅ a − b ⋅ b = a2 − b2

6.4 AplicacionsCom en el procediment d’extreure factor comú, aquestes igualtats servei-xen per convertir expressions de suma i resta en productes.

El producte d’una suma per la seva diferència és igual a la diferènciadels seus quadrats.

Simplifica aquests productes:

a) (2x + y) ⋅ (2x − y) = (2x)2 − y2 = 4x2 − y2

a = 2x b = y

b) (3x3 − 5x) ⋅ (3x3 + 5x) = (3x3)2 − (5x)2 = 9x6 − 25x2

a = 3x3 b = 5x

15

EXEMPLE

F

F

Estudia si podem expressar aquests polinomis com el quadrat d’unasuma o una diferència.

a) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 b) x2 + 4x + 16

2ab = 2 ⋅ 3 ⋅ x = 6x 2ab = 2 ⋅ 4 ⋅ x = 8x

Estudia si podem expressar aquests polinomis com una suma per unadiferència.

a) x2 − 9 = (x + 3) ⋅ (x − 3) b) 4x2 − 8

17

16

EXEMPLES

a = x b = 3

F

F F

F

a = x a = 2x

F F F F

b = 3

a = x b = 4

No ho podem expressarcom a quadrat

No és quadratperfecte

F

F

F

F

No s’expressa com a producte

F

F

Per poder expressarun polinomi amb una

igualtat notable, el seugrau ha de ser parell.

Expressa en forma de producte.

a) 4x2 − 4x + 1 c) 100x2 − 4z 6

b) 9a2 − 30ab + 25b2

REFLEXIONA

Fixa’t en l’exemple i calcula mentalment.

1.0002 − 9992 = (1.000 + 999) ⋅ (1.000 − 999) == 1.999 ⋅ 1 = 1.999

a) 462 − 452 b) 1202 − 1192 c) 5002 − 4992

30

29

EXERCICISPRACTICA

Calcula els productes següents:

a) (x + 7) ⋅ (x − 7)b) (7x + 4y) ⋅ (7x − 4y)

APLICA

Estudia si aquestes expressions les podemexpressar com una suma per diferència.

a) x2 − 1 b) x4 − 9 c) 16 − x2

28

27

66

831084 _ 0057-0074.qxd 13/4/07 18:15 Página 66

67

Simplificar una expressió algebraica és trobar una altra fraccióequivalent dividint el numerador i el denominador entre un factorcomú a tots dos.

Simplifica aquestes fraccions algebraiques:

a)

b)

c)

d)

e)16 1

12 3

2x

x

−−

=+ ⋅ −

⋅ −=

+( ) ( )

( )

( )4 1 4 1

3 4 1

4 13

x x

x

x

4 12 92 3

2x xx

+ ++

=++

=+ ⋅ +

+

( ) ( ) ( )2 32 3

2 3 2 3

2 3

2xx

x xx

==+

= +2 3

12 3

xx

x xx

2 22−

=⋅ −

=−x x

xx( )2

2

22

63 2

xyx y

=⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅=

3 2

3

2x y

x x y x

4

3

3x

x=

⋅ ⋅

⋅=

4

3

43

2 2x x

x

x

18

EXEMPLE

Factor comú → 3

Quadrat d’una sumaa = 2x b = 3

Qualsevol polinomi el podem posar en forma

de fracció algebraica de denominador 1.

x2 - 3 = x2 31-

APLICA

Simplifica: a) b)

REFLEXIONA

Calcula a perquè .4 4

2 32 3

2 2x ax a

xx

+ ++

= +33

xx

2 92 6

−−

x xx

2 4 42

− +−

32

EXERCICISPRACTICA

Simplifica les fraccions algebraiques.

a) c)

b) d)44

2x yxy

53

3 2x yxy

63

2

2 2

x yx y

xxy

3

31

Fraccions algebraiques

Anomenem fracció algebraica el quocient indicat de dos polinomis.

Simplificació de fraccions algebraiques

3 2

5 1

4

1

7 2

9

5 4x

x

y

x

x x y

x

+−

−+

− −( )

Per simplificar una fracció algebraica expressem el numerador i el deno-minador com productes. A vegades fem servir l’extracció de factor comúi les igualtats notables.

7

F

Suma per diferència a = 4x b = 1

F

F

Factor comú → x

F

831084 _ 0057-0074.qxd 13/4/07 18:15 Página 67

68


L’essencial

Monomi Igualtats notables

Quadrat d’una suma(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Quadrat d’una diferència(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Suma per diferència(a + b) ⋅ (a − b) = a2 − b2

Polinomi

Variable

Polinomi

Termes

Coeficient Part literal

GrauG

F

Terme independent

−4 x2

7x2 − 36xy3 + y2 − 4

FES-HO AIXÍ

1. DIVISIÓ DE POLINOMIS

Calcula (2x3 + x2 + x + 1) : (x2 − 1).

PRIMER. Trobem el quocient entre el monomi degrau més gran del dividend i el monomi de graumés gran del divisor.

2x3 : x2 = 2x 2x3 + x2 + x + 1 x2 − 12x

SEGON. Multipliquem el monomi que hemobtingut pel divisor i el restem del dividend.Baixem el terme següent del dividend i repetimel procés.

G

TERCER. Obtenim el monomi nou del quocient i continuem la divisió finsque trobem un polinomi de grau méspetit que el divisor, que serà el residude la divisió.

2x ⋅ (x2 − 1) = 2x3 − 2x−2x3 + x2 + 2x + 1 x2 − 1−2x3 + x2 + 2x − x 2x

−2x3 + x2 + 3x + 1

OposatF

Dividendnou

GG

−2x3 + x2 + 2x + 1 x2 − 1−2x3 + x2 + 2x − x 2x + 1

−2x3 + x2 + 3x + 1−2x3 −x2 + 3x + 1−2x3 + x2 + 3x + 2

Residu

G

G

G

2. EXTRACCIÓ DE FACTOR COMÚ

Extreu factor comú en el polinomi 3y2x5 − 12y2x4 − 15yx2.

PRIMER. Comprovem si hi ha lletres que es repeteixin a tots els sumands. Si n’hi ha, agafem les que tenen l’exponent més petit.

A tots els sumands es repeteixen les lletres x i y.

x amb l’exponent més petit → x2

y amb l’exponent més petit → y

SEGON. Calculem el m.c.d. dels coeficients de cada terme.

m.c.d. (3, 12, 15) = 3

TERCER. El factor comú seran les lletres i els nombres que hem obtingut.

Factor comú: 3yx2

QUART. Dividim el polinomi pel factor comú.Expressem el polinomi com a producte del factor comú pel polinomi que hem obtingutde la divisió.

3y2x5 − 12y2x4 − 15yx2 yx3 − 4yx2 − 5

Així doncs:

3y2x5 − 12y2x4 − 15yx2 = 3yx2 ⋅ (yx3 − 4yx2 − 5)

: 3yx2

F

x2 : x2 = +1

831084 _ 0057-0074.qxd 10/5/07 10:38 Página 68

69

3. EXPRESSIÓ D’UN POLINOMI COM EL QUADRAT D’UNA SUMA O UNA DIFERÈNCIA

Comprova si podem expressar aquestpolinomi com un producte notable.

25x4 + 20x2 + 4

PRIMER. Si cal, reduïm el polinomi i comprovem que només tingui tres termes.Determinem:

• El terme de grau més petit, que és b2.• El terme de grau més gran, que és a2.

Terme de grau més petit = 4 b = 2

Terme de grau més gran = 25x4 a = 5x2

SEGON. Comprovem si el terme que ens queda correspon a 2ab.

20x2 2ab = 2 ⋅ 5x2 ⋅ 2 = 20x2

TERCER. Si el signe d’aquest terme és positiu, correspon al quadrat d’una suma, (a + b)2; i si és negatiu, al d’un diferència, (a − b)2.En aquest cas, el signe és positiu:

25x4 + 20x2 + 4 = (5x2 + 2)2

a = 5x2 b = 2F

a2 = 25x4

F

b2 = 4F

4. EXPRESSIÓ D’UN POLINOMI COM EL PRODUCTE D’UNA SUMA PER DIFERÈNCIA

Comprova si podem expressar el polinomi 16x2 − 9y4 com un productenotable.

PRIMER. Si cal, reduïm el polinomi.Comprovem que només té dos termes i, a més, que un dels dos és negatiu.Determinem:

• El terme negatiu, que correspon a b2.

• El terme positiu, que correspon a a2.

Terme negatiu = 9y4

9y4 b = 3y2

Terme positiu = 16x2

16x2 a = 4x

SEGON. Expressem el polinomi com el producte d’una suma per diferència: (a + b) ⋅ (a − b).

16x2 − 9y4 = (4x + 3y2) ⋅ (4x − 3y2)14243 14243

(a + b) (a − b)

a2 = 16x2

F

b2 = 9y4

F

Divisió de polinomis

1. Quan dividim (x3 − 2x2 + 7x − 2) : (x2 + 1), el residu és:

a) 6x c) −8x + 4b) 6x − 4 d) 0

2. En la divisió (2x3 − 7x2 − 8x − 2) : (x + 1), el residu és:

a) 1 c) −20b) −3 d) 14

Extracció de factor comú

3. Al polinomi 18a3b − 12a2 − 6ab3, el factor comú és:

a) 3a c) 3a2bb) 6a d) 6ab

Expressió d’un polinomi com el quadrat d’una suma o una diferència

4. El polinomi 9x4 − 6x2 + 1 el podem expressarcom:

a) (3x2 + 1)2 c) (3x + 1)2

b) (3x2 − 1)2 d) (3x − 1)2

5. El polinomi 9x4 + 6x2 + 1 el podem expressarcom:

a) (3x2 + 1)2 c) (3x + 1)2

b) (3x2 − 1)2 d) (3x − 1)2

Expressió d’un polinomi com el producted’una suma per diferència

6. El polinomi 9x4 − 1 el podem expressar com:

a) (3x2 + 1) ⋅ (3x2 − 1) c) (9x2 + 1) ⋅ (9x2 − 1)b) (3x + 1) ⋅ (3x − 1) d) (9x + 1) ⋅ (9x − 1)

I ARA... PRACTICA

831084 _ 0057-0074.qxd 13/4/07 18:15 Página 69

70

ActivitatsMONOMIS. OPERACIONS

34. ● Indica si les expressions següents sónmonomis:

a) 2x2 + yz c) 5x5y2 e)

b) d) f) 3ab + 2a2

35. ● Digues si els monomis són semblants.

a) xz, 3xy, −6xy c) 4c 9d, c 7d, cd 4

b) ab, a 2b, 7b d) 8xy2, 7xy

36. ● Fes aquestes sumes de monomis:

a) xz + 3xz + 6xzb) a 2b + 9a 2b + 27a 2bc) 9c 9 + c 9 + c 9

d) 8xy + 7xy + 43xy + 23xy

37. ● Fes les restes de monomis següents:

a) 3xz − 6xzb) 9a 2b − 2a 2bc) 18xy − 7xy − 3xy − 3xyd) 5x9 − x9 − x9 − x9

38. ● Fes les operacions i indica el grau del monomiresultant.

a) 2x2 + 3x2 − 7x2 + 8x2 − x2

b) 5xy3 − 2xy3 + 7xy3 − 3xy3 + 12xy3

c) 3abc − 2abc + 6abc + 9abc − 4abcd) 5xz − 3xz + 15xz − 11xz + 8xz − 3xze) (2xyz) ⋅ (2x2yz 3)f) (−2abc) ⋅ (3a 2b 2c 2) ⋅ (−bc)g) 7x ⋅ (2xy) ⋅ (−3xy5) ⋅ (xy)h) (6ac3) ⋅ (−2a 2c3) ⋅ (−3ac) ⋅ (−4a 3c2)i) (21x2y3) : (7xy2)j) (9abc) : (3bc)k) (16x4y5a 3b 6) : (8x2y3a 2b 5)l) (5m3n2g 4) : (2mng)

39. ● Fes les operacions següents:

a) −xz + 6xz + xyz − 8xzb) 9a 2b − 2a 2b + 8a 2b − a 2bc) 9c 9 − c 9 − c 9 + 10c 9

d) 8xy + 7xy − xy + 3xy − xy

xyz211

2 4x y−

32

13

x y+

40. ● Fes aquestes multiplicacions:

a) xy ⋅ 3xy ⋅ (−6xy) c) 8xy2 ⋅ 7xyb) ab ⋅ a 2b ⋅ 7b ⋅ ab d) 15x9 ⋅ (−3x9)

41. ● Fes les divisions de monomis següents:

a) 9xy : 3xy d) 8xy2 : 2xy2

b) 9ab : ab e) 15x9 : 3x9

c) 15x8 : 5x8 f) 32x7 : 8x4

42. ●● Calcula i simplifica el resultat tant compuguis.

a) 2x2 − 5(−x2) + 8x2 − (2x) ⋅ (3x)b) 2x ⋅ (−y) + 7xy − yx + (−4x) ⋅ (−5y)c) 3x2 − (−x)2 + 3(−x2) + (−3) ⋅ (−x)2

d) (2xy − 3xy + 7xy) ⋅ (2ab)e) (x2 − 3x2 + 6x2 − 2x2) ⋅ (−5zx)

43. ●● Raona si les igualtats següents són certes o falses:

POLINOMIS

44. ● Indica el grau, el terme independent i el polinomi oposat dels polinomis.

a) P (x) = −x3 + x2 − 7x − 2b) Q (x) = −x2 + 2x + 6c) R (x) = x + 1 d) S (x) = 8e) T (x) = 12x − x2 + x4

f)

45. ●● Raona si és cert o és fals.

a) Un polinomi és la suma de dos monomis.b) El grau d’un polinomi és el grau més gran

dels monomis que el formen.c) Els coeficients d’un polinomi són sempre

nombres naturals.d) Tots els polinomis tenen un terme on apareix x2.

U x x x( ) = − −12

16

2

a) x · x · x = x3

b) x2 - x = xc) x3 · x4 = x7

d) x5 = 5xe) (x2)2 = x4

f) x-2 = -x2

831084 _ 0057-0074.qxd 13/4/07 18:15 Página 70

71

46. ● Redueix els polinomis següents:

a) P (x) = −x2 − x − 2 − x3 + x2 − x − 2b) Q (x) = −x2 + x2 + 6 − x + x2 − 7x − 2c) R (x) = x + 1 − x + x2

d) S (x) = 8 − x + 34 − x + 324e) T (x) = x4 + x4 − x3 + x2 − 7x − 2

f)

47. ● Calcula el valor numèric de cada polinomi per als valors de la variable.

a) A (x) = x + 1, per a x = 1

b) B (x) = x4 + 3, per a x = 2

c) C (x) = 4x5 − x2 + 3, per a x = −1 d) D (x) = −9x4 + 7x2 + 5, per a x = 1e) E (x) = x3 + x2 + x + 2, per a x = −2f) F (x) = x4 + x4 − x3 + x2 − 7x − 2, per a x = 0g) G (x) = −14, per a x = −2

48. ● Calcula els valors numèrics per al polinomi:

P (x, y) = 2x2y + xy2 − 3xy + 5x − 6y + 9a) P (0, 0) c) P (−1, 1) e) P (1, 2)b) P (1, 1) d) P (1, −1) f) P (2, 1)

12

U x x x x( ) = − − −12

16

27

2 2

50. ●● Calcula el valor de k en cada polinomi sisabem que P(1) = 6.

a) P (x) = kx7 + x3 + 3x + 1b) P (x) = kx4 + kx3 + 4c) P (x) = 9x5 + kx2 + kx − kd) P (x)= kx6 − kx3 + kx + ke) P (x) = k

OPERACIONS AMB POLINOMIS

51. ● Donats els polinomis:

P (x) = 2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6Q (x) = 3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1R (x) = 3x2 − x + 1S (x) = 2x + 3

calcula:a) P (x) + Q (x) e) P (x) + R (x)b) Q (x) + P (x) f) R (x) + S(x)c) P (x) − S(x) g) Q (x) − R (x)d) Q (x) − P (x) h) R (x) − P (x)

52. ● Suma i resta els polinomis següents:

a) P (x) = −7x + 4; Q (x) = 2x + 5b) P (x) = −3x2 + 1; Q (x) = −x2 + 2xc) P (x) = −3x2 + 1; Q (x) = −x2 + 2x + 6d) P (x) = −5x3 + x2 − 7x − 2

Q (x) = 5x3 + x2 + 4x − 2

e) P(x) = x2 − 2xy − y2; Q(x) = x2 − xy − y2

f) P(x) = x2 − 2xy − y2; Q(x) = x2 − 2xy − y2

g) P (x) = x2 − − 3; Q (x) = − x2 + x − 1

h) P (x) = x2 − 5x − 3; Q (x) = − x2 +


P (x) = 2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6Q (x) = 3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1R (x) = 3x2 − x + 1S (x) = 2x + 3

calcula:a) P (x) + Q (x) + R (x) + S (x)b) P (x) − R (x) + S (x) − Q (x)c) [P (x) + Q (x)] − [R (x) + Q (x)]d) [P (x) − Q (x)] − [R (x) − Q (x)]

54. ●● Quin és el polinomi Q(x) que hem de sumar a P(x) = x2 + 2x − 1 per obtenir com a resultatR(x).

a) R (x) = x − 1 d) R (x) = −7x2 − 3xb) R (x) = 2x2 − x − 6 e) R (x) = x3 − xc) R (x) = 5x2 − x + 1 f) R (x) = x3 − x2

13

12

13

12

x2

23

13

32

12

32

12

COM CALCULEM EL COEFICIENT D’UN POLINOMI SI EN SABEM UN DELS VALORS ABSOLUTS?

49. Calcula el valor de k en el polinomi P(x) = x2 − x + k, si P(2) = 5.

PRIMER. Substituïm al polinomi la variable pel seuvalor.

P(x)

SEGON. Aïllem k a l’equació resultant.2 + k = 5 → k = 5 − 2 = 3

P k kP

k( )( )2 2 2 22 5

2 52= − + = +

=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

+ =→x = 2F

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0057-0074.qxd 13/4/07 18:15 Página 71

72


P (x) = 2x6 − 7x4 + 2x3 − 2x2 + x − 1Q (x) = 3x5 − 2x3 + x2 − x − 1R (x) = x2 − x + 1calcula:a) P (x) ⋅ Q (x) c) P (x) ⋅ R (x)b) Q (x) ⋅ R (x) d) R (x) ⋅ R (x)

56. ●● Donats els polinomis:

P (x) = 2x5 − 3x4 + 7x3 − 2x2 + 3x − 6Q (x) = 3x4 − 2x3 + 5x2 − 7x − 1R (x) = 3x2 − x + 1 S (x) = 2x + 3calcula:a) [P (x) − Q(x)] ⋅ S(x)b) [R(x) − Q(x)] ⋅ S(x)c) [P (x) + Q(x) + R(x)] ⋅ S(x)d) [P (x) + Q (x) − R(x)] ⋅ S(x)

57. ●● Fes les operacions següents:

a)

b)

c)

d)

58. ● Divideix:

a) (4x4 + 3x3 − 5x2 + x + 7) : (x − 1)b) (4x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 5) : (x + 1)c) (7x5 + 4x4 + 3x3 − 5x2 + 2x − 1) : (x2 + x)d) (x4 − 2x3 + x2 − x + 3) : (x2 + x + 1)e) (4x4 − 2x3 + 7x2 − 2x + 3) : (x2 − x − 2)

IGUALTATS NOTABLES. FACTOR COMÚ

59. ● Desenvolupa:

a) (3x + 2)2 e) (2x + 7) ⋅ (2x − 7) b) (3x − 2)2 f) (2x2 + 3x) ⋅ (2x2 − 3x)c) (3x2 − 2x)2 g) (x4 + 3x5) ⋅ (x4 − 3x5)

d) (7x3 + 4x2)2 h)

60. ●● Desenvolupa aquests quadrats:

a) (x + 5)2 c) (−y − 8)2 e) (−x − y)2

b) (2y − 7)2 d) (xy − 6x)2 f) (x + 2xy)2

212

2

x −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

56

3 113

52

43

5 2 5 2x x x x x x x⋅ − + − − ⋅ − +⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )

25

3 112

23

2 3 2 3 2x x x x x x x⋅ − + − − ⋅ − +⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )

53

25

752

33 2 2x x x x x− + −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

12

34

54

772

92 2x x x x+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟− +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + −

443x +

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

61. ●● Completa les igualtats següents:

a) (2x + 3)2 = � + 12x + �b) (5 − 3x)2 = 25 − � + � x2

c) (9 + 7x) ⋅ (9 − 7x) = � − �d) (� + �)2 = x4 + 2x3 + x2

63. ●● Desenvolupa i simplifica les expressionssegüents:

a) 5x2 + (2x2 + 1)2 − 2x4 − (x − 1)2

b) (x − 1)2 − (x2 + x + 1)c) (5x + 5)2 − (5x − 5)2

d) (2x3 − 3x2)2 − (2x + 2) ⋅ (2x − 2)e) (x + 6)2 − (x − 6)2 − (x − 5) ⋅ (x + 5)f) (2x + 1)2 − (2x − 1)2 + (2x + 1) ⋅ (3x + 2)

64. ●● Expressa aquests polinomis com el quadratd’una suma o diferència.

a) 9x2 + 18x + 9 c) x2 + 16x + 64b) 16x2 − 16x + 4 d) 4x2 + 4x + 1

65. ●● Expressa l’àrea de cada figura mitjançant un polinomi. Simplifica’n l’expressió.

a) c)

b) d)

COM OPEREM FENT SERVIR LES IGUALTATSNOTABLES?

62. Fes l’operació següent:(2x − 3)2 − (2 + x)2

PRIMER. Desenvolupem el polinomi aplicant el resultat de les igualtats notables.(2x − 3)2 − (2 + x)2 = (4x2 − 12x + 9) − (4 + 4x + x2)

SEGON. Traiem els parèntesis. N’hem de tenir encompte els signes.

(4x2 − 12x + 9) − (4 + 4x + x2) == 4x2 − 12x + 9 − 4 − 4x − x2

TERCER. Reduïm el polinomi.4x2 − 12x + 9 − 4 − 4x − x2 = 3x2 − 16x + 5

Així doncs: (2x − 3)2 − (2 + x)2 = 3x2 − 16x + 5.

FES-HO AIXÍ

2x + 5

x − 3

x + 4

x + 4

x

x

x − 1x + 32

x + 5

x + 4

x

x

831084 _ 0057-0074.qxd 13/4/07 18:15 Página 72

73

66. �� Escriu els polinomis com un producte de dos factors.

a) x2 − 16 d) x2 − 4x + 4b) x4 − 36 e) 16x2 − 24xy + 9y2

c) 4x2 − 25 f) 16x4 + 24x2 + 9

67. �� Fixa’t en l’exemple resolt i completa.

[(x + 2) + 3] ⋅ [(x + 2) − 3] = (x + 2)2 − 9a) [(3x − y) + 4] ⋅ [(3x − y) − 4] b) [(a + b) + c] ⋅ [(a + b) − c]

68. �� Extreu factor comú en aquestes expressions:

a) 3x2 − 4x c) xy − 6xyz − 5xyztb) (x + 1) + 3(x + 1) d) 3x − 4x2 − 6x3

69. �� Simplifica aquestes expressions aplicant lesigualtats notables i extraient factor comú:

a) 7x2 − 14x + 7 e) (2x + 4) ⋅ (x − 2)b) 16x2 + 64x + 64 f) (x − 5) ⋅ (x2 + 5x)c) x3 − 2x2 + x g) (−x − 7) ⋅ (x − 7)d) 18x4 − 12x2 + 2 h) (−x2 + 5) ⋅ (−x2 − 5)

FRACCIONS ALGEBRAIQUES

71. �� Simplifica les fraccions algebraiques:

a) c)

b) d)

72. �� Simplifica les fraccions algebraiquessegüents:

a) d)

b) e)

c) f)

INVESTIGA

73. �� Si P(x) té grau 5 i Q(x) grau 2, determina, quan sigui possible, els graus dels polinomis:

a) P(x) + Q(x) b) P(x) − Q(x) c) P(x) ⋅ Q(x)d) El quocient i el residu de P(x) : Q(x).

Fes el mateix si P(x) i Q(x) tenen grau 5.

74. �� Les sumes següents són quadrats perfectes.

En vista d’aquests resultats, podries determinar a quin quadrat és igual l’expressió següent?

x2 + (x + 1)2 + x2(x + 1)2

Comprova que la teva igualtat és correcta.

75. �� Comprova amb uns quants exemples que el producte de tres nombres entersconsecutius sumat al nombre del mig és sempre un cub perfecte.Demostra-ho per a tres nombres entersconsecutius qualssevol: x − 1, x i x + 1.

76. �� Esbrina, seguint el mètode aplicat per trobarel desenvolupament de les igualtats notables, els desenvolupaments de:a) (a + b)3 c) (a + b)2 ⋅ (a − b)2

b) (a − b)3 d) (a − b)4

( )( )3 12 42 322

x xx

+ −−

18 36 189 1

4 2

2 2

x xx x− +

−( )

( )6 827 48

2

2

xx

+−

x x xx

( )( )

2 16 3216

2

2

− +−

( )3 29 4

2

2

xx

−−

x xx x

3 2 164

( )( )

−+

( )( )( )( )

x yxy x y

2 2

2

9 162 6 4− −

− +x xx x

2 2 42

( )( )

−−

y x xx x

2 2 4 42

( )( )− +

−x x

x x

2 2 11

+ ++( )

COM SIMPLIFIQUEM EXPRESSIONSALGEBRAIQUES?

70. Simplifica:

PRIMER. Descomponem el numerador i el denominador en tants factors com sigui possible.

SEGON. Dividim el numerador i el denominador pelsfactors comuns a tots dos.

y y x

x y x

y y xx

3 2

2

1 1

1

1 1⋅ − ⋅ −

⋅ ⋅ −=

− −( ) ( )

( )

( )( )

=− ⋅ −

−y y x

xy x

3 2

2

1 11

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )y y x xxy x

y y x x4 3 2

2

3 22 11

1 2 1− ⋅ − +−

=− ⋅ − +

xxy x2 1( )−=

( ) ( )

( )

y y x x

xy x

4 3 2

2

2 1

1

− − +−

⋅

FES-HO AIXÍ

S’extreu factorcomú a y3:

y4 − y3 = y3 ⋅ (y − 1)

Quadrat d’unadiferència:

x2 − 2x + 1 = (x − 1)2

F F

12 + 22 + 12 · 22 = 32

22 + 32 + 22 · 32 = 72

…

92 + 102 + 92 · 102 = 912

831084 _ 0057-0074.qxd 10/5/07 10:38 Página 73

74

A la vida quotidiana77. ●●● Una fàbrica produeix taules fetes a mà.

L’amo s’ha fixat que els costos de fabricació perunitat varien massa en funció del nombre detaules produïdes.

A més, ha arribat a la conclusió que el cost total(en euros) de la producció de x taules està donatper la fórmula:

C(x) = x3 + 5x + 16.000

Segons tot això:

a) Quin és el cost de producció de 40 taules?Quant costa produir cada unitat? I de 20 taules? Quant costa produir cada unitat en aquest cas?

b) Quina és la diferència de beneficis per al fabricant en cada cas? Quina opció li suposarà un benefici més gran?

78. ●●● EMBALATGES

CARTILLA fabrica caixes de cartró per embalar.

Tenen tres tipus de caixes i cada client pot triar el format i les dimensions en funció de les necessitats.

Totes les mides estan expressades en centímetres i, per exigències de producció i de resistència del cartró, els valors de la variabletenen algunes restriccions segons el model. A més, han de ser més grans de 10 cm i més petites de 50.

a) Expressa en forma de polinomi la quantitat decartró necessària per fabricar cada embalatge.

b) Si el preu del cartró és de 0,02 €/m2, quin serà el preu del cartró necessari per fabricar 200 caixes d’embalatge tradicional de 30 × 60 × 80 cm?

c) Quin tipus de caixes necessitem per embalar aquestes esferes?

M’han fet una comanda de 18 taules i tinc dues opcions:

• Fabricar 18 taules i vendre-les a preu de catàleg: 1.700 euroscadascuna.

• Oferir al client unaoferta de 20 taules a1.640 euros cadascuna.

EMBALATGE CÚBICEMBALATGE ALLARGAT

EMBALATGE

TRADICIONAL

x

x

x

3x

2x

2x + 20

x

x

x

831084 _ 0057-0074.qxd 13/4/07 18:15 Página 74

La fi del mónL’octubre de 1533 a la presó de Wittenberg s’hi va celebrar una reunió força curiosa: Luter hi era per visitar Michael Stifel, amic íntim seu. Stifel havia aplicat a la Bíblia càlculs numèrics i havia profetitzat que la fi del món seria el 18 d’octubre d’aquell mateix any. Luter contenia el riure i li deia:

–Michael, quantes vegades t’he dit que no barregis la fe amb la raó?

–No em tornarà a passar mai més. Quan surti d’aquí em dedicaré a ordenar els meus escrits i a publicar els meus treballs científics. Però no barrejaré mai més l’aigua amb l’oli.

Tal com va prometre, el 1544 va publicar la seva obra Arithmetica integra, en què generalitza l’ús dels signes + i − per a la suma i la resta. Hi admet, també, per primera vegada, els coeficients negatius a les equacions, tot i que no les solucions negatives.

Segons Stifel...

quina seria la solució d’aquestes equacions?


• Distingir identitats i equacions.

• Reconèixer els elements d’una equació.

• Resoldre equacionsde primer grau.

• Resoldre equacionscompletes i incompletes de segon grau.

• Fer servir el llenguatgealgebraic i les equacions per resoldre problemesde la vida quotidiana.

PLA DE TREBALL

Equacions de primer i segon grau

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 75

APLICA

Assenyala quines d’aquestes igualtats sónidentitats o equacions:

a) −6(x − 2) + 5 = −2(3x − 3) + 11b) 6(x − 1) = 4(x − 2) − 3(−x − 5)

REFLEXIONA

Escriu dues identitats i dues equacions.3

2

EXERCICISPRACTICA

Calcula el valor numèric de les expressions:

a) 2x + x2 − 3 si x = 4

b) 3x + 4y si x = y = 2

c) x3 − 2x + 2 si x = −3

d) x + x3 − x si x = −1

e) x4 + 2 si x = −1

1

Identitats i equacions

1.1 Expressions algebraiques

1.2 Igualtats algebraiques

1

76

Una expressió algebraica és un conjunt de nombres i lletres units pelssignes de les operacions aritmètiques.El valor numèric d’una expressió algebraica és el nombre obtingut ensubstituir les lletres pels seus valors corresponents i fer les operacions.

Una igualtat algebraica està formada per dues expressions algebraiquesseparades pel signe =. Les igualtats algebraiques són de dos tipus:

• Identitat: és certa per a qualsevol valor de les lletres.• Equació: no és certa per a tots els valors de les lletres.

Classifica aquestes igualtats algebraiques en identitats o equacions:

a) 5(x + 1) = 7x − 2x + 5 → Identitat, és certa per a qualsevol valor de x.

5(x + 1) = 7x − 2x + 5 5(1 + 1) = 7 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 + 5 → 10 = 10

5(x + 1) = 7x − 2x + 5 5(0 + 1) = 7 ⋅ 0 − 2 ⋅ 0 + 5 → 15 = 5

Si continuem donant valors a x, la igualtat seguirà sent sempre certa.

b) 2x − 7 = −4x + 11 → Equació, no és certa per a qualsevol valor de x.

2x − 7 = −4x + 11 2 ⋅ 3 − 7 = −4 ⋅ 3 + 11 → −1 = −1

2x − 7 = −4x + 11 2 ⋅ 0 − 7 = −4 ⋅ 0 + 11 → −7 � 11

Aquesta igualtat només és certa per a x = 3.

x = 0⎯⎯→

x = 3⎯⎯→

x = 0⎯⎯→

x = 1⎯⎯→

2

EXEMPLE

Escriu l’expressió algebraica i el seu valor numèric per a x = 3.

Enunciat verbal Expr. algebraica Valor numèric

a) El doble d’un nombre. 2x 2 ⋅ 3 = 6

b) El quadrat d’un nombre. x2 32 = 9x = 3⎯⎯→

x = 3⎯⎯→

1

EXEMPLE

Si quan substituïm les lletres per valors,obtenim una igualtat

entre nombres:7 = 7 ⎯→ La igualtat

és certa.

En cas contrari:4 =/ –3 → La igualtat

no és certa.

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 76

77

Solució. Equacions equivalents

Els valors de la incògnita que fan certa la igualtat els anomenem solu-cions. Resoldre una equació és trobar-ne la solució o solucions.

Dues equacions són equivalents quan tenen les mateixes solucions.

APLICA

Escriu dues equacions que tinguin com asolució x = 1.

REFLEXIONA

Escriu dues equacions que tinguin:

a) Dues solucions.b) Cap solució.c) Infinites solucions.

7

6

EXERCICISPRACTICA

Determina els elements d’aquestes equacions:

a) 2x − 5 = 4(x + 9)b) x2 + x − 1 = x2 − 2xc) x (x 2 − x) + 2 + x2 = x3 + x

Quin dels nombres següents és la solució de l’equació 5x − 9 = 4(x − 5)?

a) 4 b) −3 c) 14 d) −11

5

4

Elements d’una equació

Els principals elements d’una equació són:

• Membre: són cadascuna de les dues expressions algebraiques sepa-rades pel signe igual; l’expressió situada a l’esquerra l’anomenemprimer membre, i la situada a la dreta, segon membre.

• Terme: són els sumands dels membres. Si està format per un solnombre, l’anomenem terme independent.

• Incògnites: són les lletres que tenen valors desconeguts.• Grau: és l’exponent més gran de la incògnita després d’haver fet les

operacions que s’indiquen a l’equació.

2

4x5 − 3x3 = 4 + y → 3x3 − x2 = −7 → Incògnita:Grau 3

x⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Incògnites:Grau 5

x y,⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

3

EXEMPLE

1r membre 1r membre

Termes Termes Terme independent

2n membre 2n membre

x + 1 = 0 ⎯⎯→ Té una única solució, x = −1.

x + 1 = 0 −1 + 1 = 0 → 0 = 0

x2 = 4 ⎯⎯⎯→ Té dues solucions, x = 2 i x = −2.22 = 4 → 4 = 4

x2 = 4 (−2)2 = 4 → 4 = 4

x2 = −1 ⎯⎯⎯→ No té solució, ja que no existeix cap nombre real que,elevat al quadrat, doni un nombre negatiu.

x = −1⎯⎯⎯→

4

⎯⎯→x = −2

x = 2⎯⎯→

EXEMPLEUna equació

pot tenir una, diverses o cap solució.

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 77

78

Una equació de primer grau és una igualtat algebraica que podem ex-pressar de la forma ax = b, amb a i b nombres reals i a � 0.

Aquesta equació té una solució única: x =b

a

• Regla de la suma. Si sumem o restem als dos membres d’unaequació un mateix nombre o una expressió semblant a les queapareixen a l’equació, obtenim una equació equivalent a la que te-níem.

• Regla del producte. Si multipliquem o dividim els dos membresd’una equació per un mateix nombre diferent de zero, obtenim unaaltra equació equivalent.

Equacions de primer grau3

Resol l’equació 6x − 7 = 2x.

Sumem 7 a tots dos membres(regla de la suma).

Reduïm termes semblants.

Restem 2x (regla de la suma).

Reduïm termes semblants iarribem a la forma general.

Dividim entre 4 tots dos membres(regla del producte).

5 6x − 7 = 2x

6x − 7 + 7 = 2x + 7

6x = 2x + 7

6x − 2x = 2x − 2x + 7

4x = 7

= =74

74

→ x44x

EXEMPLE

APLICA

Calcula:

a) −11x = −4x + 15b) −1 − 2x = −3x − 11c) 7x − 4 = −5 − 6xd) 4x − 8 = 6x + 2

REFLEXIONA

Troba la solució d’aquesta equació:

3(x + 2) = 3x + 6

11

10

EXERCICISPRACTICA

Resol aplicant les regles de la suma i del producte:

a) x + 4 = 5 d) 8x = 24b) x − 2 = −1 e) −6x = 72c) 3 − x = 21 f) −4x = −24

Calcula:

a) 2x + 4 = 16 c) 5x − 5 = 25b) 7x + 8 = 57 d) −6x − 1 = −13

9

8

3.1 Regles de la suma i el producte

Les regles de la suma i el producte serveixen per expressar qualsevol equa-ció de primer grau en la seva forma general: ax = b.

x = 3

x + A = 3 + A

2 ⋅ x = 2 ⋅ 3

Regla del producte

Regla de la suma

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 78

APLICA

Indica si el pas és correcte o no.

a) 2x + 5x = 2x + 4 → 5x = 4b) 3x − 5 = x − 9 → 4x = −4

REFLEXIONA

Què passa quan en els dos membres d’unaequació apareix el mateix terme?

14

13

EXERCICISPRACTICA

Resol aquestes equacions:

a) 2x + 5 = 2 + 4x + 3b) 3x − 5 = 2x + 4 + x − 9c) 3x + 8 = 5x + 2d) 4x − 5 = 3x − 2 + x − 5e) 9x − 11 = 4x + 6 + 5x + 5f) 6x + 2x + 4 = 3x + 3 − 5x − 9

12

79

3.2 Transposició de termes

Per resoldre equacions podem eliminar termes per mitjà de la suma, resta,multiplicació o divisió simultània a tots dos membres. Per agilitzar aquestprocés podem fer aparèixer un terme a l’altre membre de manera inversa acom estava:

– Si el terme sumava, hi apareixerà restant, i si hi restava, hi sumarà.– Si multiplicava, hi apareixerà dividint, i si hi dividia, hi multipli-

carà.

Anomenem aquesta tècnica transposició de termes.

Resol l’equació 4x − 8 = 6 + 2x.

Per resoldre-la fem servir les tècniques de transposició de termes.

4x − 8 = 6 + 2x → → 4x = 6 + 2x + 8 → →

Passa com a +8 Passa com a −2x

→ 4x − 2x = 6 + 8 → Fem les operacions → 2 x = 14 →

Passa a dividir

→ →

Aquest últim pas, que consisteix a deixar la x sola en un membre i els nombres a l’altre, l’anomenem aïllar la incògnita.

Resol l’equació .

Agrupem les variables en un membre i els nombres a l’altre.

→ → →106

53

10 101010

1x x x= ⋅ = = =

12

123

76

12

23

76

112

76

23

1x x x x x x− = − = − + + = +→ → →

1

21

2

3

7

6x x− = −7

x = =142

7Passem 2 al2n membre

Passem +2xal 1r membre

Passem −8 al 2n membre

6

EXEMPLES

F

F F

F

F F

F

831084 _ 0075-0094.qxd 10/5/07 10:40 Página 79

80

3.3 Mètode general de resolució d’equacions de primer grau

Fins ara, per resoldre una equació hem fet servir la transposició de termes.Una manera general de resoldre equacions de primer grau és seguiraquests passos:

1r Eliminem els denominadors: calculem el m.c.m. dels denomina-dors i hi multipliquem tots dos membres.

2n Traiem els parèntesis aplicant la propietat distributiva.

3r Agrupem els termes amb x en un dels membres i els nombres, al’altre: fem servir la transposició de termes.

4t Reduïm termes semblants.

5è Aïllem la incògnita.

6è Comprovem la solució: substituïm la x per la solució a tots dosmembres i fem les operacions. El resultat ha de ser idèntic.

RECORDA-TE’N

Propietat distributiva

a(b + c) = a ⋅ b + a ⋅ ca(b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c

Si quan traiem un parèntesi el signe

que el precedeix és negatiu,canviem de signe tots els

termes de l’interior.–(a + b – c) = –a – b + c

Resol l’equació .

1r Traiem denominadors. m.c.m. (4, 3) = 12

2n Eliminem parèntesis.

3r Agrupem termes.

4t Reduïm termes.

5è Aïllem la incògnita.

6è Comprovem la solució.Per a x = 1

La solució de l’equació és x = 1.

3 2

4

2 1

3

x x x− − = +( )8

x = 1⎯⎯⎯⎯→

EXEMPLE

3(3x − (x − 2)) = 4(2x + 1)

3(3x − x + 2) = 8x + 49x − 3x + 6 = 8x + 4

9x − 3x − 8x = 4 − 6

−2x = −2

x

=⋅ +

=2 1 1

31 1→3 1 1 2

4⋅ − −( )

=−−

=22

1

= ⋅+

122 1

3x

123 2

4⋅

− −x x( )

APLICA


a)

b)

REFLEXIONA

Escriu una equació de primer grau ambparèntesis i denominadors que tingui com a solució x = −1.

18

25

63 4

87 3x

x xx+

+−

+= −

( ) ( )

4 13

2 36

5( ) ( )x x−

−−

=

17

EXERCICISPRACTICA

Resol:

a) x − 5(x − 2) = 6x b) 120 = 2x − (15 − 7x)

Calcula el valor de x:

a)

b)

c)x x4

5712

+ =

x x2

2 75

5−+

=

x x+=

+22

33

16

15

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 80

81

Si b i c són nombres diferents de zero direm que l’equació és completa.

Si un dels dos, b o c, és igual a zero, l’equació és incompleta.

4.1 Equacions de segon grau completes

El doble signe ± indica que poden existir dues solucions:

Quan una equació té dues solucions les designem com a x1 i x2 per distin-gir-les.

xb b ac

a2

2 4

2=

− − −x

b b ac

a1

2 4

2=

− + −

APLICA

Expressa de la forma ax2 + bx + c = 0 i resol:

a) x2 − x = 20 c) 3x2 − 8 = −2xb) 2x2 = 48 − 10x d) x2 + 9 = 10x

REFLEXIONA


a) 2x2 − 98 = 0 b) 5x2 + 20x = 0

21

20

EXERCICISPRACTICA

Resol:

a) x2 − 7x + 12 = 0b) x2 − 9x + 18 = 0c) 2x2 − 8x + 8 = 0d) x2 − 9x + 14 = 0e) x2 − 6x + 8 = 0f) 3x2 + 12x + 9 = 0

19

Una equació de segon grau amb una incògnita és una igualtat alge-braica que podem expressar de la forma ax2 + bx + c = 0, en què a, bi c són nombres reals i a � 0.

Per obtenir les solucions d’una equació de segon grau completa faremservir la fórmula:

xb b ac

a=

− ± −2 4

2

Equacions de segon grau4

Resol l’equació x2 − 5x + 6 = 0.

x2 − 5x + 6 = 0 → a = 1; b = −5; c = 6. Apliquem la fórmula:

x =

Aquesta equació té dues solucions: x1 = 3 i x2 = 2.

=± −

=±

==

+= =

=−

= =

⎧

⎨

⎪⎪5 25 24

25 1

2

5 12

62

3

5 12

42

2

1

2

x

x

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

− ± −=

− − ± − − ⋅ ⋅⋅

=b b ac

a

2 242

5 5 4 1 62 1

( ) ( )

9

EXEMPLE

➜

ax 2 + bx + c = 0

Incompleta

Equació de 2n grau

Completa

ax 2 = 0

ax 2 + bx = 0

ax 2 + c = 0

➜

➜

➜

➜

➜

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 81

82

Estudia el nombre de solucions de les equacions següents:

a) 2x2 + 5x + 6 = 0 → a = 2; b = 5; c = 6Δ = b2 − 4ac = 52 − 4 ⋅ 2 ⋅ 6 = 25 − 48 = −23 < 0

Com que Δ < 0, l’equació no té solució.

b) 2x2 + 5x + 1 = 0 → a = 2; b = 5; c = 1Δ = b2 − 4ac = 52 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 = 25 − 8 = 17 > 0 → Dues solucions

c) 2x2 + 4x + 2 = 0 → a = 2; b = 4; c = 2Δ = b2 − 4ac = 42 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 − 16 = 0 → Una solució

10

EXEMPLE

4.2 Estudi del nombre de solucions d’una equació de segon grau

A la fórmula per resoldre equacions de segon grau completes apareix l’ex-

pressió . Aquesta arrel quadrada només existirà quan el radi-cand sigui positiu o zero.

El nombre b2 − 4ac el denominem discriminant i el representem amb Δ.El nombre de solucions de l’equació depèn del signe de Δ:

• Δ = b2 − 4ac > 0. L’equació té dues solucions diferents.

• Δ = b2 − 4ac = 0. L’equació només té una solució, i direm que ésuna solució doble.

• Δ= b2 − 4ac <0. No existeix l’arrel quadrada i, pertant, l’equació no té solució.

b ac2 4−

xb b ac

a

b

a

b

a=

− ± −=

− ±=

−2 4

2

0

2 2

xb b ac

a2

2 4

2=

− − −x

b b ac

a1

2 4

2=

− + −

b ac2 4−

APLICA

Calcula el valor del discriminant i les solucionsen cada cas.

a) x2 − 4x + 3 = 0 c) x2 − 4x = −5

b) 2x2 − 20x = −50 d)

REFLEXIONA

Escriu una equació de segon grau:

a) Amb dues solucions.b) Amb una solució doble.c) Sense solució.

25

23

45

02x x+ =

24

EXERCICISPRACTICA

Determina el nombre de solucions de les equacions de segon grau.

a) x2 − 7x − 12 = 0b) x2 + 9x + 18 = 0c) 3x2 − x + 12 = 0

Quantes solucions tenen aquestes equacions de segon grau? Calcula’n el valor.

a) x2 − 6x + 4 = 0 d) x2 − 5x + 9 = 0b) 2x2 = 4 − 10x e) 7x2 + 1 = 6xc) 3x2 = 6x f) 8x2 = −3

23

22

No existeix l’arrel d’un nombre negatiu.

no existeix perquè no hi ha cap nombre real

que, elevat al quadrat, doniun nombre negatiu.

–4

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 82

APLICA

Calcula:

a) 900x2 = 9 c) −x2 = 3x − 10b) 5x(2x − 1) = 7x d) (x − 2)(3x + 7) = 0

REFLEXIONA

Escriu una equació de segon grau amb alguncoeficient igual a zero i dues solucions.

28

27

EXERCICISPRACTICA

Resol:

a) x2 − 9x = 0 f) x2 + 6x = 0

b) x2 − 7x = 0 g) x2 + 9x = 0

c) 4x2 − 5x = 0 h) 10x2 + 11x = 0

d) 7x2 = 6x i) 3x2 = −4x

e) 2x2 − 32 = 0 j) 3x2 − 243 = 0

26

83

Resol l’equació 3x2 − 27 = 0.

3x2 − 27 = 0 → 3x2 = 27 → x xx

x2 1

2

273

9 99 3

9 3= = = ± =

= + =

= − = −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

→

11

EXEMPLE

Resol l’equació 3x2 − 2x = 0. x ⋅ (3x − 2) = 0

Perquè un producte de dos factors valgui zero, un dels dos factors ha de ser zero. L’equació inicial és equivalent a:

x xx

x x⋅ − =

=

− = =

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )3 2 00

3 2 023

→→

→→ :Solucions x x1 2023

= =;

Factor comú = x⎯⎯⎯⎯⎯⎯→12

EXEMPLE

4.3 Equacions de segon grau incompletes

CAS 1. Si b = 0. Equacions del tipus ax2 + c = 0.

CAS 2. Si c = 0. Equacions del tipus ax2 + bx = 0.

HO ESCRIUREM AIXÍ

Per indicar que una arrel té dos resultats, un depositiu i un de negatiu, escrivim .

± = +−

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪a a

a

± a

A les equacions del tipus ax2 + c = 0:

• Si és positiu, hi ha dues solucions: x = .

• Si és negatiu, no hi ha solució.−c

a

± −c

a−

c

a

Les equacions ax2 + bx = 0 tenen dues solucions, x1 = 0 i .xb

a2 = −

CAS 3. Si b = 0 i c = 0. Equacions del tipus ax2 = 0.

Les equacions del tipus ax2 = 0 tenen una única solució, x = 0.

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 83

Resolució de problemes amb equacions

Resoldre un problema amb una equació és traduir-lo al llenguatge alge-braic i trobar-ne la solució.

En general, hem de seguir aquests passos:

1r Llegim atentament l’enunciat i identifiquem la incògnita.2n Plantegem l’equació.3r Resolem l’equació.4t Comprovem que la solució obtinguda és vàlida i interpretem la

solució en el context del problema.

5

Tenim 24 flors i n’hem de fer dos rams. Volem que un tingui el triple de flors que l’altre. Quantes flors tindrà cada ram?

1r Llegim l’enunciat i identifiquem la incògnita.

Per fer-ho, distingim entre les dades que coneixem i les que no.

Incògnita (x) → Nombre de flors del ram petit

2n Plantegem l’equació.

Flors del ram petit → xEl ram gran té el triple de flors que el petit → 3xEntre tots dos tenen 24 flors → x + 3x = 24

3r Resolem l’equació.

x + 3x = 24 → 4x = 24 →

4t Comprovem i interpretem la solució.

COMPROVACIÓ:

x + 3x = 24 6 + 3 ⋅ 6 = 24 → 6 + 18 = 24 → 24 = 24La solució de l’equació és vàlida.

INTERPRETACIÓ: El ram petit tindrà 6 flors i el gran, 3 ⋅ 6 = 18.

x = 6→

x = =244

6

13

EXEMPLE

24 flors en dos ramsUn ram amb el triple de flors que l’altre

Flors del ram petitFlors del ram gran

El que sabem... El que no sabem...

Quaranta-tres persones assisteixen a una festa. Si marxessin 3 nois, hi hauria el triple de noies que de nois. Quants nois i noies hi ha?

REFLEXIONA

La suma de dos nombres consecutius senars és 156. De quins nombres es tracta?

32

31

EXERCICISPRACTICA

La suma de dos nombres és 48. Si un és lameitat de l’altre, quins nombres són?

APLICA

La Maria té 4 tebeos menys que la Sara. Si laMaria li’n dóna dos dels seus, la Sara en tindrà el triple que ella. Quants tebeos té cadascuna?

30

29

84

831084 _ 0075-0094.qxd 10/5/07 10:40 Página 84

2x

1.800 m2x

85

A vegades, l’equació que es planteja per resoldre un problema és de segongrau.

Una parcel·la de forma rectangular té una superfície de 1.800 m2. Si fa el doble de llargada que d’amplada, quines són les dimensions de la parcel·la?

1r Llegim l’enunciat i identifiquem la incògnita.

Incògnita (x) → Mida de l’amplada

2n Plantegem l’equació.Amplada de la parcel·la ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ xLa llargada és el doble que l’amplada ⎯→ 2x

⎯⎯⎯⎯⎯→ x ⋅ 2x = 1.800

3r Resolem l’equació.

4t Comprovem i interpretem la solució.COMPROVACIÓ:

x ⋅ 2x = 1.800 30 ⋅ 2 ⋅ 30 = 1.800 → 1.800 = 1.800

(−30) ⋅ 2 ⋅ (−30) = 1.800 → 1.800 = 1.800

Tots dos valors, 30 i −30, són la solució de l’equació.INTERPRETACIÓ: La solució −30 no és vàlida en aquest problema

perquè no existeixen longituds negatives.Per tant, l’amplada de la parcel·la serà de 30 m, i la llargada, 2 ⋅ 30 = 60 m.

x = −30⎯⎯⎯→

x = 30⎯⎯⎯→

x x x x

x x

⋅ = = = =

= ± =

2 1 800 2 1 8001 800

2900

900

2 2

1

. ..→ →

=== −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

30302x

La superfície ésAmplada Llargada

1.800 m2

⋅ ==⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪1 800.

14

EXEMPLE

El producte de les edats de la Lluïsa i el seu germà, que té 5 anys menys que ella, és 176. Quants anys tenen tots dos?

Troba dos nombres consecutius que quan els multipliquem obtinguem com a resultat 380 unitats.

REFLEXIONA

Per tancar una finca rectangular de 750 m2

fem servir 110 m de tanca. Calcula lesdimensions de la tanca.

38

37

36

EXERCICISPRACTICA

El producte d’un nombre pel doble d’aquestnombre és 288. Quin nombre és? Hi ha mésd’una solució?

L’Albert té el doble d’edat que l’Anna. Si multipliquem les seves edats obtenim el nombre 512. Quina edat té cadascun?

APLICA

La suma d’un nombre i el seu quadrat és 42. De quin nombre es tracta?

35

34

33

La superfície fa 1.800 m2

La llargada és el doble que l’ampladaAmpladaLlargada


A vegades, la soluciónegativa en un problema no té sentit, ja que no

existeixen mides, preus,edats... negatius.

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 85

86


L’essencial

Igualtat algebraica

x + x = 2x → Identitatx + 1 = 2x → Equació

Equació

Equació de primer grau amb una incògnita

ax + b = 0 xba

= −Solució

F

Equació de segon grau completa amb una incògnita

ax2 + bx + c = 0

Equació de segon grau incompleta amb una incògnita

ax2 + c = 0

ax2 + bx = 0

ax2 = 0 x = 0SolucióF

x

xba

1

2

0=

= −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

SolucióF

xca

= ± −SolucióF

xb b ac

a=

− ± −2 42

SolucióF

FES-HO AIXÍ

1. RESOLUCIÓ D’EQUACIONS DE PRIMER GRAU

Resol l’equació .2 4

9

2

3

xx

x+ − = − −

PRIMER. Traiem els denominadors.m.c.m. (3, 9) = 9

SEGON. Eliminem parèntesis.

TERCER. Agrupem termes.

QUART. Reduïm termes semblants.

CINQUÈ. Aïllem x.

2x + 4 − 9x = −3(2 − x)2x + 4 − 9x = −6 + 3x

4 + 6 = 3x − 2x + 9x

10 = 10x

10 = 10x → x = =1010

1

= −−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟9

23

x9

2 49

xx

+−

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

2. RESOLUCIÓ D’EQUACIONS DE SEGON GRAU

Resol aquestes equacions: a) −x2 − 3x + 4 = 0 b) 3x2 − 48 = 0 c) 3x2 + 12x = 0

PRIMER. Identifiquem els coeficients de l’equació.a) a = −1 b = −3 c = 4b) a = 3 b = 0 c = −48c) a = 3 b = 12 c = 0

SEGON.

• Si és completa, apliquem la fórmula.• Si b = 0, aïllem x2.• Si c = 0, extraiem factor comú a x.

a)

b)

c) 3 12 0 3 12 00

123

42

1

2x x x x

x

x+ = + =

=

= − = −

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪

→ →( )

⎪⎪

3 48 0483

16 16 44

2 2 1

2x x x x

x− = = = = ± = =

= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

→ →

x xx

=− − ± − − ⋅ − ⋅

⋅ −=

±−

= = −( ) ( ) ( )( )

3 3 4 1 42 1

3 252

421

2 ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 1

3xy + 4x = 12

Termes Terme independent

Segonmembre

Primer membre

→ Incògnites:Grau:

x y,1 1 2+ =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 86

87

3. ESTUDI DEL NOMBRE DE SOLUCIONS D’UNA EQUACIÓ DE SEGON GRAU

Estudia el nombre de solucions que tenenaquestes equacions:

a) 2x2 − 7x + 3 = 0b) 2x2 + 3 = 0c) x2 − 2x + 1 = 0

PRIMER. N’identifiquem els coeficients.

a) a = 2 b = −7 c = 3b) a = 2 b = 0 c = 3c) a = 1 b = −2 c = 1

SEGON. En calculem el discriminant.

a) Δ = b2 − 4ac = (−7)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 25b) Δ = b2 − 4ac = 02 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = −24c) Δ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 0

TERCER. Estudiem el valor del discriminant.

• Si Δ < 0 → L’equació no té solució.• Si Δ = 0 → L’equació té una solució.• Si Δ > 0 → L’equació té dues

solucions.

a) Δ = 25 > 0 ⎯→ Dues solucions.b) Δ = −24 < 0 → No té solució.c) Δ = 0 ⎯⎯⎯→ Una solució.

4. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMB EQUACIONS

Un rectangle té una superfície de 725 m2.Calcula’n les dimensions si saps que fa 4 mmés de llargada que d’amplada.

PRIMER. Identifiquem la incògnita.

Incògnita (x) → Mida de l’amplada

SEGON. Plantegem l’equació.Amplada ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ xLa llargada és l’amplada més 4 m → x + 4

⎯→ x ⋅ (x + 4) = 725

TERCER. Resolem l’equació.x ⋅ (x + 4) = 725 → x2 + 4x − 725 = 0

QUART. Interpretem i comprovem la solució.x ⋅ (x + 4) = 725 725 = 725x ⋅ (x + 4) = 725 725 = 725Tots dos valors són solució.Com que no hi ha mides negatives, l’ampladaés 25 m i la llargada, 25 + 4 = 29 m.

x = −29⎯⎯⎯→

x = 25⎯⎯⎯→

x xx

=− ± +

= == −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

4 16 2 9002

2529

1

2

.

SuperfícieAmplada Llargada

m=⋅ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪

725725

2

⎪⎪

La superfície és de 725 m2

4 m més de llargada que d’ampladaAmpladaLlargada

El que sabem...El que nosabem...

Resolució d’equacions de primer grau

1. La solució de és:

a) b) c) 0 d)

Resolució d’equacions de segon grau

2. Les solucions de 3x 2 + 3x − 6 = 0 són:a) 1 i 2 b) −1 i −2 c) 1 i −2 d) −1 i 2

3. Les solucions de 5x 2 + 20 = 0 són:

a) 2 i −2 b) c) No hi ha solució.12

12

i−

185

−65

65

xx x

− −−

+−

=12

23

30

Estudi del nombre de solucions d’una equacióde segon grau

4. El nombre de solucions de x 2 − x + 1 = 0 és:

a) Cap b) Una c) Dues

Resolució de problemes amb equacions

5. L’equació que correspon al plantejament del problema «Troba tres nombres naturals consecutius la suma dels quals sigui 60» és:

a) 3x + 3 = 60 c) x + 2x + 3x = 60b) x + 3 = 60 d) 3x = 60

I ARA... PRACTICA

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 87

88

ActivitatsIDENTITATS I EQUACIONS

39. ● Determina si les igualtats algebraiques sónidentitats o equacions.

a) 2x + 3 = 5(x − 1) − 3x + 8b) 2x − 3x − 7 = 5x + 1 − xc) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 8x − 3 − 2xd) (x + 2)2 − x2 − 4x = 4

40. ● Indica els membres d’aquestes equacions:

a) 2x + 3 = 5b) 2x − 3x − 7 = 5x + x − 5xc) 4x + 6 − x − 3x = 5 + 2x − 3 − 2xd) (x + 2) − (x2 − 2) = 4

41. ● Assenyala els termes de les equacions.

a) 5x + 1 = 25b) 2x − x − 9 = x + 3x − 5xc) 4x + 6 = 76 + 12x + 3 − 2xd) 9(x + 7) − 3(x2 − 2) = 4

42. ● Indica el grau de les equacions següents:

a) x4 − 8 + x = 0 b) 2x2 + x = 0c) 3x2 + 75 = 0 d) −4x2 − 12x5 = x6

43. ● Quin d’aquests nombres és la solució de l’equació x(x − 1) = x2 + x?

a) x = 1 d) x = 2b) x = −1 e) x = −3c) x = 0 f) x = −2

44. ● El valor 4 és la solució d’alguna d’aquestesequacions?

a) x2 − 16 = 0b) x + 4 = 0c) x2 − 4 = 8d) x2 − x + 8 = x + 4e) x3 − 124 = 0f) x2 − x + 8 = x + 4 − 8

45. ●● Escriu una equació:

a) Amb dues incògnites i termes independents 5 i −3.

b) Amb una incògnita i solució 7.c) Amb incògnita z i solució −9.

EQUACIONS DE PRIMER GRAU

46. ● Esbrina quines de les equacions següentstenen com a solució x = 6.

a) 4x = 24 d) 3x = 32b) 8x = 12 e) −x = −6

c) f)

47. ● Escriu dues equacions en cada cas.

a) Que tinguin com a solució x = 3.b) Que tinguin com a solució x = −2.c) Que tinguin com a solució x = 5.d) Que tinguin com a solució x = −1.

48. ● Resol:

a) 10 − x = 3b) 9 + x = 2c) −12 − x = 3d) 16 + 3x = −12e) 4x + 5 = 11f) 3x + 7 = 14g) −5 + 20x = 95h) −9 − 11x = 2

49. ● Troba la solució d’aquestes equacions:

a) 4x + 5 = −3x + 12b) 3x + 7 = 2x + 16c) 5 + 20x = 7 + 12xd) 6x + 40 = 2x + 50e) −3x − 42 = −2x − 7f) 3x − 50 = 10 − 2xg) 9x + 8 = −7x + 16h) −5x − 13 = −2x − 4i) 9x − 8 = 8x − 9

50. ●● Corregeix els errors en la resolució de l’equació.

483

x =− =x43

5x - 3 = 71r Transposem els termes. 5x = 7 + 32n Reduïm els termes. 5x = 10

3r Aïllem la x. x = = –2105–

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 88

89

52. ● Resol:

a) 6(x + 11) = 40 + 6(x + 2)b) 2(x − 17) = x − 3(12 − 2x)c) x − 5(x − 2) = 6d) 120 = 2x − (15 − 7x)e) 5(x + 4) = 7(x − 2)f) 3(x + 7) − 6 = 2(x + 8)

53. ● Resol aquestes equacions:

a) c) e)

b) d) f)

54. ●● Escriu una equació:

a) Que tingui un parèntesi i solució −1.b) Que tingui denominador i solució 3.c) Que tingui dos parèntesis i solució 4.

55. ● Resol:

a) c)

b) d)34

1 12 3x

x− = −3 15

67

x += −

32

20 25x

x+ = +x −

=2

51

−= −

32

25x7

428

x=

36

21x

= −

93

5x

= −−

=23

4x4

203

x=

56. ● Calcula el valor de x.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

57. ● Troba la solució d’aquestes equacions:

a)

b)

c)

d)

e)

58. ●● Està ben resolta aquesta equació? Esbrina-hocomprovant-ne la solució. Corregeix els errorsque s’han comès.

1r Calculem el m.c.m. m.c.m. (7, 4) = 282n Multipliquem per 28. 4(4x − 2) = 2x − 7(x − 1)3r Eliminem els

parèntesis. 16x − 2 = 2x − 7x − 74t Transposem els termes. 16x − 2x + 7x = −7 + 25è Reduïm els termes. 15x = −5

6è Aïllem la x. x = = −3

59. ●● Resol:

a)

b)

c)2 3 5

23

4x x x− −

=−( )

x x x x6 3

4 12

5 22

− −−

=−( ) ( )

2 52

1 33

( ) ( )( )x x x+=

+ −

155−

4 27

21

4x

xx−

= −−

4 610

2 213 1

12x

xx−

+ = −+( )

37

3 2 114

−− =

+ −xx

x( )

2 55

14

20x x

x−

++

= −

− −= − +

3 35

3 4 2x

x( )

2 103

3 124

1x x−

−−

= −( )

x x x−−

−−

−=

102

204

303

5

x x x−+

−+

−=

55

82

2 102

3

x x+−

−=

82

46

2

xx x

−+

= +4

51

2

xx

+= −

23

5 46

35

726

9x x

+ = +COM RESOLEM UNA EQUACIÓ AMB PARÈNTESIS?

51. Resol 3(4 − 2x) − 2(3x − 1) = 2.

PRIMER. Eliminem els parèntesis. Hem de tenir en compte que si hi ha un signe menys davantd’un parèntesi hem de canviar tots els signes de l’interior.

3(4 − 2x) − 2(3x − 1) = 23 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2x − 2 ⋅ 3x + 2 ⋅ 1 = 2

12 − 6x − 6x + 2 = 2

SEGON. Agrupem els termes amb x en un membre i els nombres a l’altre.

12 − 6x − 6x + 2 = 2 → 12 + 2 − 2 = 6x + 6x

TERCER. Reduïm els termes semblants.12 + 2 − 2 = 6x + 6x → 12 = 12x

QUART. Aïllem la x.

12 = 12x → x = = 11212

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 89

90

EQUACIONS DE SEGON GRAU

60. ● Resol les equacions de segon grau aplicant la fórmula general.

a) x2 − 5x + 6 = 0 b) 2x2 − 4x + 13 = 0c) x2 + 8x + 16 = 0 d) 3x2 + 2x − 16 = 0e) x2 − 2x + 1 = 0f) 7x2 − 3x + 1 = 0g) −x2 − 4x + 5 = 0

61. ● Esbrina, sense resoldre-les, el nombre de solucions d’aquestes equacions:

a) x2 + 5x + 6 = 0 b) −2x2 − 6x + 8 = 0c) x2 − 8x + 16 = 0 d) −x2 + x + 1 = 0e) x2 + 8x + 16 = 0 f) 2x2 − 4x + 13 = 0g) 7x2 − 3x + 1 = 0

62. ● Determina el nombre de solucions de les equacions següents:

a) x2 − 1 = 0b) x2 + 2x = 0c) x2 − 4x + 4 = 0d) x2 + 8x + 16 = 0e) x2 − x − 2 = 0f) x2 = 7x − 12g) 2x2 − 4 + 3x = x2 + 2 + 2x

63. ● Resol aquestes equacions de segon grauincompletes:

a) x2 − 8 = 0 e) −8x2 − 24x = 0b) 2x2 + 50 = 0 f) −x2 − x = 0c) 3x2 + 75x = 0 g) x2 − 1 = 0d) x2 − 16 = 0 h) 4x2 − 2x = 0

64. ● Resol les equacions amb el mètode mésadequat.

a) 7x2 = 63 g) x2 + 1 =

b) x2 − 24 = 120 h) x2 − 36 = 100c) x2 − 25 = 0 i) 2x2 − 72 = 0d) x2 = 10.000 j) 5x2 − 3 = 42e) x2 − 3 = 22 k) 9x2 − 36 = 5x2

f) 5x2 − 720 = 0 l) 2x2 + 7x − 15 = 0

54

65. ● Resol:

a) x2 − 7x = 0 f) 3x2 − 12x = 0b) x2 + 3x = 0 g) 3x = 4x2 − 2xc) x2 − 25x = 0 h) 4x2 = 5xd) x2 − 10x = 0 i) 25x2 − 100x = 0e) 16x(x − 5) = 0 j) 6x2 − 6x = 12x

67. ●● Calcula sense aplicar la fórmula general.

a) (x + 2)(x − 2) = 0b) (x − 3)(x + 3) = 0

c) (x + 3)(2x − 5)

d) (x − 5)2 = 0e) (x − 2)2 + x = x

f)

68. ●● Resol les equacions següents:

a) (x + 1)(x − 3) + 3 = 0b) (x + 9)(x − 9) = 3(x − 27)c) x(3x − 2) = 65d) 4x − (x2 − 4) = 2x − 4e) (2x + 3)(2x − 3) = 135

f)

g)

69. ●● Escriu una equació de segon grau que tinguitots els coeficients diferents de zero i una soluciódoble.

x x2 7134

0− + =

x x2 234

18− =

xx3

445

02

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =

52

0−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =

x

COM RESOLEM LES EQUACIONS EN QUÈ UN PRODUCTE ÉS IGUAL A ZERO?

66. Resol l’equació (x − 1)(x + 2) = 0.

Perquè un producte de diversos factors valgui zero, almenys un dels factors ha de ser zero.PRIMER. Igualem a zero cadascun dels factors.

(x − 1)(x + 2) = 0 →

SEGON. Resolem les equacions que hem obtingut.

(x − 1)(x + 2) = 0 →

L’equació té dues solucions: x 1 = 1 i x 2 = −2.

x xx x

− = =+ = = −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

1 0 12 0 2

→→

xx

− =+ =

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

1 02 0

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 90

91

71. ●●● Resol les equacions següents:

a)

b)

c) (2x + 1)2 = −1d) (x − 2) + (2x − 1)(x − 3) = x(3x − 3) − 2xe) (x − 1)(x + 2) = 2 + (x + 3)(x − 4)

f)34

45

02x x+ =

( )( )x x x x− +−

+=

+2 25

14 356

52 510

( )x x−+

−=

23

14 56

116

2

PROBLEMES AMB EQUACIONS

72. ●● Troba dos nombres consecutius que sumin 51.

73. ●● Calcula un nombre el doble i el triple del qualsumin 10.

74. ●● Calcula un nombre que, quan hi sumis 4,resulti el doble del nombre menys una unitat.

75. ●● Troba dos nombres consecutius si saps que la diferència dels seus quadrats és 567.

76. ●● El preu d’un anell i el seu estoig és de 10.200 € i l’anell val 10.000 € més que l’estoig.Quin és el preu de cada article?

77. ●●Una bodega va exportar al gener la meitat dels seus barrils i, al cap de dos mesos, un terç dels que li quedaven. Quants barrils teniaal començament si ara hi ha 40.000 barrils?

COM RESOLEM EQUACIONS DE SEGON GRAU AMB PARÈNTESIS I DENOMINADORS?

70. Resol .

PRIMER. Eliminem els denominadors. Calculem elm.c.m. dels denominadors i hi multipliquem elsdos membres de l’equació.

m.c.m. (2, 4) = 4

2(x − 1)2 − (3 − 4x) = (5 + 4x)

SEGON. Traiem els parèntesis.2(x 2 − 2x + 1) − 3 + 4x = 5 + 4x

2x 2 − 4x + 2 − 3 + 4x = 5 + 4x

TERCER. Passem tots els termes al primer membre i fem les operacions.

2x 2 − 4x + 2 − 3 + 4x − 5 − 4x = 02x 2 − 4x − 6 = 0

QUART. Simplifiquem l’equació, si podem, i la resolem.

2x 2 − 4x − 6 = 0 x 2 − 2x − 3 = 0

CINQUÈ. Comprovem les solucions.

→

→ 274

14

14

14

− = =→

( ) ( ) ( )− −−

− −=

+ −1 12

3 4 14

5 4 14

2

→x = −1⎯⎯⎯→

294

174

174

174

+ = =→

( )3 12

3 4 34

5 4 34

2−−

− ⋅=

+ ⋅ →x = 3⎯⎯⎯→

x xx

=± +

=±

= == −

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

2 4 122

2 42

31

1

2

Dividim entre 2F

41

23 4

44

5 44

2( )x x x−−

−⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

+⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

( )x x x− − − = +1

2

3 4

4

5 4

4

2

FES-HO AIXÍ

COM RESOLEM ELS PROBLEMES D’EDATS AMB EQUACIONS?

78. El gos de l’Àlex té 12 anys menys que ell.D’aquí a 4 anys, l’Àlex tindrà el triple de l’edatdel seu gos. Quines edats tenen tots dos?

PRIMER. Plantejament.

D’aquí a 4 anys, l’edat de l’Àlex serà el triple que la del gos: x + 4 = 3(x − 8).

SEGON. Resolució.x + 4 = 3(x − 8) → x + 4 = 3x − 24 →

→ 28 = 2x → x = 14

TERCER. Comprovació.L’Àlex té 14 anys i el seu gos, 14 − 12 = 2 anys.En 4 anys, ell en tindrà 18 i el gos, 6; 18 = 6 ⋅ 3.

FES-HO AIXÍ

Edat de l’Àlex

xActualment

Edat del gos

x − 12

x + 4D’aquí a 4 anys x − 12 + 4 = x − 8

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 91

92

79. �� En Miquel té 4 anys més que el seu cosí Ignasii, d’aquí a 3 anys, entre tots dos sumaran 20 anys.Quants anys té cadascun?

80. �� Quina edat tinc ara si d’aquí a 12 anys tindréel triple de l’edat que tenia fa 6 anys?

81. �� La Llúcia té tres fills. El petit té la meitat d’anys que el mitjà, i aquest té sis anys menys que el gran. Calcula les edats de tots tres, si saps que la suma de les edats que tenen ara és igual que l’edat de la seva cosina Anna, que és 12 anys més gran que el germà petit.

83. �� Quants litres de llet de 0,75 €/¬ hem debarrejar amb llet de 0,85 €/¬ per aconseguir-ne 100 litres a 0,77 €/¬?

84. �� En una fàbrica de maons barregen argila de 21 € la tona amb argila de 45 € la tona.Quantes tones de cada classe hem de fer servir per aconseguir 500 tones d’argila a 39 €la tona?

85. �� En una papereria s’han venut 25 caixes depaper del tipus A i 14 caixes del tipus B per 7.700 €.Quin és el preu de la caixa de cada tipus si el preu

de la del tipus B és la del tipus A?5

6

COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE BARREGESAMB EQUACIONS?

82. Disposem de dos tipus de te: un de Tailàndia,a 5,20 €/kg, i un altre de l’Índia. a 6,20 €/kg, i volem obtenir 100 kg de te a 6 €/kg. Quants quilos hem de barrejar de cada tipus?


Preu per kg de barreja =

SEGON. Resolució.

→ 5,2x + 620 − 6,2x = 600 → 20 = xTERCER. Comprovació.Necessitem 20 kg de te de Tailàndia i 100 − x = 80 kg de te de l’Índia.

El quilo de barreja val: 6 €.5 2 20 6 2 80

100, ,⋅ + ⋅

=

5 2 6 2 100100

6, ,x x+ −

=( ) →

5 2 6 2 100100

6, ,x x+ −

=( )

FES-HO AIXÍ

Quilos

xTe tailandès

Preu

5,2x

100 − xTe indi 6,2(100 − x)

100Barreja 5,2x + 6,2(100 − x)

COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MOVIMENTAMB EQUACIONS?

86. Un camió surt d’una ciutat a una velocitat de 80 km/h i, dues hores més tard, surt un cotxe de la mateixa ciutat a 120 km/h. A quina distància de la ciutat el cotxeatraparà el camió?


x → Temps que ha passat des que surt el cotxefins que es troba amb el camió.

La distància recorreguda per tots dos vehicles quanes troben és la mateixa → 2 ⋅ 80 + 80x = 120x

SEGON. Resolució.

2 ⋅ 80 + 80x = 120x → 160 = 120x − 80x → x = 4

TERCER. Comprovació.

Es troben 4 hores després de la sortida del cotxe,és a dir, al cap de 6 hores de l’inici del viatge delcamió.

El camió, en 6 hores, recorre: 6 ⋅ 80 = 480 km.El cotxe, en 4 hores, recorre: 4 ⋅ 120 = 480 km.

FES-HO AIXÍ

Avantatge

2 ⋅ 80Distància que recorre el camió

Moment de la trobada

2 ⋅ 80 + 80x

Distància que recorre el cotxe

120x

120 km/h 80 km/h

2 ⋅ 80 km

120x

831084 _ 0075-0094.qxd 10/5/07 10:40 Página 92

93

87. ●●● L’Ester viatja de Sevilla a Barcelona amb cotxe. Surt a les 8 del matí i va a una velocitatconstant de 90 km/h. A 110 km de Barcelona, en Joan agafa a la mateixa hora un autobús que viatja a 70 km/h en la mateixa direcció quel’Ester. A quina hora es troba l’Ester amb l’autobús? Quina distància ha recorregutcadascun?

88. ●●● A les 7 del matí, en Tomàs surt de Zamoraamb direcció a Cadis, que estan a 660 km de distància, a 75 km/h. A la mateixa hora, la Natàlia surt de Cadis i es dirigeix a Zamora per la mateixa carretera que en Tomàs a unavelocitat de 60 km/h. A quina hora es creuaran? I a quina distància estaran de Cadis?

89. ●● Un terreny rectangular té una superfície de 1.739 m2 i fa 10 m més de llargada que d’amplada. Calcula’n les dimensions.

90. ●● Si un camp de futbol fa 30 m més de llargadaque d’amplada i la seva àrea és de 7.000 m2,calcula’n les dimensions.

91. ●● Troba dos nombres que es diferencien en 7 unitats si saps que el seu producte és 60.

92. ●●● En un triangle rectangle de 24 m de perímetre la longitud del catet és igual a tres quarts de la de l’altre. Troba’n les dimensions.

93. ●● Per enrajolar una sala de 8 m de llargada i 6 m d’amplada s’han fet servir 300 rajolesquadrades. Quant fa el costat de les rajoles?

94. ●● La diagonal d’un rectangle fa 10 cm. Troba’nles dimensions si un catet fa 2 cm menys quel’altre.

95. ●●● Un cine té el mateix nombre de files que de seients per fila. El propietari decideixremodelar-lo i treure una butaca per fila i tres files. Després de la remodelació, el nombre de seients és 323.

a) Quantes files tenia el cine abans de la remodelació?

b) Quants seients hi ha ara en cada fila?

INVESTIGA

96. ●●● Investigarem què passa amb les equacions de segon grau el coeficient de x2 de les quals val 1, és a dir, les equacions dela forma:

x2 + bx + c = 0Per fer-ho, seguim aquests passos:

a) Resol les quatre equacions:

b) Quines relacions observes entre les solucionsque has obtingut i els coeficients b i c?

c) Troba les solucions de x2 + bx + c = 0 i després calcula’n la suma i el producte.

d) Aplica les relacions que has trobat i busca dos nombres la suma dels quals sigui 15 i el producte, 56.

97. ●●● Desenvolupa i simplifica l’expressió:

A = (x − 1)2 + x2 + (x + 1)2

Troba tres nombres enters consecutius la sumadels quadrats dels quals sigui 30.002.

98. ●●● Resol l’equació:

4x2 − 1 + (2x + 1)(x + 3) = 0

sense fer servir la fórmula general. Per fer-ho,factoritza l’expressió del primer membre.

60 km/h75 km/h

ZAMORA

CADIS

G FG

F

8 m

6 m

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 93

94

A la vida quotidiana99. ●●● A la Mariam li falten pocs

dies per donar a llum. A la seva feina tenen el costum de fer un regal als nounats. En Robert i la Pilar, companys seus, s’han encarregat de recollir els diners.

La Mariam és molt popular a l’empresa, gairebé tothom la coneix. Per això la majoria dels seus companys han participat en el regal.

Ahir, en Robert i la Pilar van ser en uns grans magatzems i han proposat comprar el cotxet de nadó que està d’oferta, pel qual haurien de posar uns 8 €cadascun.

Com que tothom hi estava d’acord, el van anar a comprar, però va resultar que l’oferta s’havia acabat i els faltaven 4 €.

Finalment, en Robert i la Pilar m’han dit que, dels 14 companys, hi ha una persona que no haposat els diners per al regal de la Mariam.

Creus que és cert, el que diuen?

100. ●●● En Marcel·lí és ferrer i s’ha trobat ambforça problemes al llarg de la seva trajectòriaprofessional. Molt sovint li fan encàrrecs quesón difícils de portar a terme.

A vegades, no només és difícil fer la feina, sinó també interpretar què és el que vol el client.

Per això, quan algú li planteja un problema comaquest, en Marcel·lí l’ha de traduir a les tasquesque ell ha de fer a la seva ferreria.

Com haurà de doblegar la barra, en Marcel·lí?

A la terrassa, hi tinc un tros de paret que fa 1,30 m. Vull col·locar, sobre

els extrems de la paret, una barra de ferroque formi un angle recte per instal·lar-hi

un tendal que faci 1,70 m de longitud.

El que vostè necessita és una barra de ferro que faci 1,70 m.

Aquesta barra, l’hem de doblegar fins que faci un angle recte

de manera que la distància entre els extrems sigui d’1,30 m.

El que podem fer és posar-hicadascun 9 € i amb els 8 €

que sobren comprem unasamarreta per al nen.

831084 _ 0075-0094.qxd 13/4/07 18:22 Página 94

Una classe improvisadaEstar convidat a la Festa de la Primavera, que cada any se celebrava al palau del maharajà, era un honor reservatnomés als personatges més influents.

Quan pujava a l’elefant, el savi Brahmagupta i el seu jove ajudant, Serhane, van coincidir a reconèixer que el maharajà era molt generós d’enviar el seu seguici per portar-los al palau.

El jove ajudant es va passar mig camí queixant-se de les disciplines que havia d’estudiar:

–Mestre, per què he d’estudiar àlgebra? No té cap utilitat; si tinc cinc monedes són cinc monedes, no pas cinc incògnites... I que la incògnita pugui ser qualsevol cosa és antinatural.

Brahmagupta va prendre la paraula i durant l’altre meitat del camí que els faltava li va explicar al seu deixeble la utilitat de l’àlgebra:

–En aquest món tot té el seu significat: l’estel al front de l’elefant no és tan sols un estel, sinó que vol dir que pertany al maharajà, i la creu coronada per quatre cercles no és només un dibuix, és el símbol de la ciutat. En matemàtiques, el més senzill és treure-li el significat a les coses, operar amb nombres i, després, interpretar-ne el resultat.

Després d’aquestes paraules, mestre i deixeble es van quedar en silenci durant el quilòmetre que faltava per arribar a palau.

Amb l’ajuda d’una equació, calcula la distància que tots dos van recórrer dalt de l’elefant.

Sistemes d’equacions5


• Reconèixer sistemesd’equacions i classificar-los en funció de lessolucions.

• Obtenir solucionsd’un sistemamitjançant taules i a partir de la sevarepresentació gràfica.

• Calcular les solucionsd’un sistema amb els mètodes de substitució,igualació i reducció.

• Plantejar i resoldreproblemes ambsistemes d’equacionslineals.

PLA DE TREBALL

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 95

APLICA

Representa en el pla les equacions:

a) 2x + 3 = y b) y + 1 = x

REFLEXIONA

Escriu dues equacions lineals amb duesincògnites que tinguin com a solució x = 3, y = −2.

3

2

EXERCICISPRACTICA

Expressa les equacions següents de la forma ax + by = c i indica el valor dels seus coeficients:

a) y = 2x − 3 c) −3x = 1 − yb) y = x + 3 d) x = 2 − y

Fes una taula de valors per a aquestesequacions.

1

Equacions lineals1

96

Una equació de primer grau la denominem equació lineal.• Una equació lineal amb dues incògnites és una equació que po-

dem expressar de la forma ax + by = c, on x i y són les incògnites,i a, b i c són nombres coneguts.

• Una solució d’una equació lineal amb dues incògnites és una pa-rella de valors, un per a cada incògnita, que fan certa la igualtat.

• Una equació lineal amb dues incògnites té infinites solucions.

2x − y = 1 → Equació lineal amb dues incògnites, x i y.Coeficient de x ⎯⎯⎯⎯→ a = 2Coeficient de y ⎯⎯⎯⎯→ b = −1Terme independent ⎯⎯→ c = 1

La parella de valors x = 0, y = 1 fan certa la igualtat:

2x − y = 1 2 ⋅ 0 − (−1) = 1 → 1 = 1

Per tant, (0, −1) és la solució de l’equació.

Per obtenir diferents solucions d’una equació lineal, aïllem una de les incògnites: y = 2x − 1.

Si donem valors numèrics a la variable x obtenim valors de y; aquestes parelles de valors són solucions de l’equació.

Si x = −1 → y = 2 ⋅ (−1) − 1 = −3. Solució: (−1, −3).Si x = 0 ⎯→ y = 2 ⋅ 0 − 1 = −1. Solució: (0, −1).Si x = 1 ⎯→ y = 2 ⋅ 1 − 1 = 1. Solució: (1, 1).

Expressat en una taula de valors:

Si associem a cada solució el punt del pla que té com a coordenades aquestsvalors, obtenim una recta.

Aquesta recta està formada per tots els puntsque són solució de 2x − y = 1.

x = 0, y = −1⎯⎯⎯⎯⎯→

1

EXEMPLE

−1

−3

0

−1

1

1

2

3

x

y

Y

X

y= 2

x−1

(2, 3)

(1, 1)1

(0, −1)

(−1, −3)

−2

Quan representem les infinites solucionsd’una equació lineal

amb dues incògnites veiem que formen

una recta.

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 96

97

APLICA

De quin dels sistemes següents és la solució (8, 4)? I (10, 2)? I (3, 1)?

a) b)

REFLEXIONA

Escriu una equació lineal amb dues incògnites de manera que una de les solucions sigui x = 2, y = 3. Escriu un sistema amb aquesta solució.

7

2 4 103 8

x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

124

6

EXERCICISPRACTICA

Troba la solució de cada sistema a partir de les taules de valors de les equacions que el formen.

a) b)

Representa gràficament aquests sistemes i determina’n les solucions.

a) b) x yx y

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

02

x yx y

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 62 2

5

2 132

x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

53

4

Sistemes d’equacions lineals2

Dues equacions lineals per a les quals busquem una solució comuna:

formen un sistema d’equacions lineals.

Una solució del sistema és qualsevol parella de nombres que verifi-quin totes dues equacions a la vegada. Resoldre el sistema és trobar-ne la solució.

ax by ca'x b'y c'

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

Per calcular les solucions

d’una equació lineal aïllem la incògnita

que sigui més senzilla.x + 3y = 2 → x = 2 – 3y

Si aïllem y obtindrem una fracció.

Resol el sistema d’equacions lineals: .

Expressem les solucions d’aquestes equacions amb taules. Per fer-ho, aïllem y en totes dues equacions i donem valors a x.

L’única solució que es repeteix a totes dues equacions és la formada per la parella x = 1, y = 2. Així doncs, direm que la parella x = 1, y = 2 és la solució del sistema.Si representem gràficament aquests punts i els unim, obtenim les dues rectes que representen les solucions de cada equació.Aquestes rectes es tallen en el punt (1, 2), que és la solució del sistema.La representació de les rectes que determinen les solucions de les equacions l’anomenem representació gràfica del sistema.

Fx − y = −1y = x + 1

Fx + y = 3y = 3 − x

x yx y

+ =− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

31

2

EXEMPLE

−3

6

−2

5

−1

4

0

3

1

2

2

1

3

0

4

−1

…

…

x

y

−3

−2

−2

−1

−1

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

…

…

x

y

y= x+ 1

y= 3− x

Y

X

(1, 2)1

1

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 97

Nombre de solucions d’un sistema d’equacions lineals

Els sistemes d’equacions, en funció del nombre de solucions, els po-dem classificar en:

• Sistemes compatibles determinats. Tenen una única solució. Larepresentació gràfica del sistema són dues rectes que es tallen enun sol punt.

• Sistemes compatibles indeterminats. Tenen infinites solucions.La representació gràfica són dues rectes que coincideixen.

• Sistemes incompatibles. No tenen solució. La representació grà-fica del sistema són dues rectes paral·leles.

Resol els sistemes d’equacions lineals següents:

a)

Té infinites solucions. El sistema és compatible indeterminat.

b)

No hi ha solució. El sistema és incompatible.

Fx + y = 8y = 8 − x

Fx + y = 6y = 6 − x

x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

68

F2 2 1212 2

2

x y

yx

+ =

=−

Fx + y = 6y = 6 − x

x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

62 2 12

3

EXEMPLE

−1

7

0

6

1

5

2

4

x

y

−1

7

0

6

1

5

2

4

x

y

−1

7

0

6

1

5

2

4

x

y

−1

9

0

8

1

7

2

6

x

y

x + y = 6

2x + 2y = 12

x + y = 8x + y = 6

APLICA

Resol aquests sistemes i classifica’ls:

a) b)

REFLEXIONA

Posa un exemple de sistema d’equacionscompatible determinat, indeterminat i incompatible.

10

x yx y

− =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

12 2 1

x y

x y2 3

2

3 2 6

− =

− =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

9

EXERCICISPRACTICA

Resol aquests sistemes i classifica’ls en funció del nombre de solucions:

a) d)

b) e)

c) f) x yx y

− =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 23 2 6

x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 32 4 6

x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

62 2 12

x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

75

2 132

x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x yx y

+ =− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

53

8

98

Fixa’t en aquests sistemes.

La primera equació indicaque la suma de x i y és 6.La segona, que simultipliquem per 2 aquestasuma el resultat és 12.Totes dues diuen el mateix.

En aquest cas, la primeraindica que la suma de xi y és 6, però la segona diu que és 8.Hi ha una contradicció.

x + y = 6x + y = 8

2x + 2y = 62x + 2y = 12

Y

X

1

1

Y

X

1

1

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 98

99

Mètodes de resolució de sistemes

Per resoldre un sistema podem fer servir diferents tècniques, que denomi-nem mètodes de resolució de sistemes d’equacions.

3.1 Mètode de substitució

Resoldre un sistema pel mètode de substitució consisteix a aïllar unaincògnita en una de les equacions i substituir-ne el valor a l’altra.

3

Resol el sistema aplicant el mètode de substitució: .

1r Aïllem una de les incògnites en una de les equacions.És preferible aïllar una incògnita amb coeficient 1 o −1, per evitartreballar amb denominadors. En aquest cas, aïllem x a la primeraequació.

→

2n Substituïm l’expressió obtinguda a l’altra equació.Substituïm, a la segona equació, x pel valor 3 + y.

2x − 3y = 4 2(3 + y) − 3y = 4

3r Resolem l’equació d’una incògnita que resulta.

2(3 + y) − 3y = 4 → 6 + 2y − 3y = 4 → −y = 4 − 6 →→ −y = −2 → y = 2

4t Calculem el valor de l’altra incògnita substituint el valor obtingut a qualsevol de les equacions.

x − y = 3 x − 2 = 3 → x = 3 + 2 → x = 5

El sistema té com a solució x = 5, y = 2.

5è Comprovem que la solució obtinguda és la solució del sistema.

→

Obtenim dues igualtats; per tant, x = 5, y = 2 és la solució del sistema.

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 = 34 = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5 − 2 = 32 ⋅ 5 − 3 ⋅ 2 = 4

x = 5, y = 2⎯⎯⎯⎯→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − y = 32x − 3y = 4

y = 2⎯⎯→

x = 3 + y⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x = 3 + y2x − 3y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − y = 32x − 3y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − y = 32x − 3y = 4

4

EXEMPLE

REFLEXIONA

Corregeix els errors → y = 1 − 5xcomesos.

2x − 4y = 22 2x − 4(1 − 5x) = 22 →

→ 2x − 4 − 20x = 22 → −18x = 18 → x = = 1

5x − y = 1 5 ⋅ 1 − y = 1 → y = −4x = 1⎯⎯→

1818

y = 1 − 5x⎯⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5x − y = 12x − 4y = 22

13

EXERCICISPRACTICA

Resol pel mètode de substitució.

APLICA

Resol per substitució i assenyala si és compatible o incompatible.

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 8x − y = 8

12

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 5x − y = 3

11

Si haguéssim aïllat la x de la segona

equació:

→

→

hauríem de treballar amb denominadors.

x y

x y3

4 32

– =

= +

x – y = 32x – 3y = 4

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 99

100

3.2 Mètode d’igualació

Resoldre un sistema pel mètode d’igualació consisteix a aïllar la mateixaincògnita a totes dues equacions i igualar-ne els valors.

Resol el sistema aplicant el mètode d’igualació: .

1r Aïllem la mateixa incògnita a totes dues equacions.

Igual que en el mètode de substitució, convé aïllar la incògnita que sigui més senzilla.

2n Igualem les expressions obtingudes.

3r Resolem l’equació d’una incògnita que resulta.

3 + y = → 2(3 + y) = 4 + 3y → 6 + 2y = 4 + 3y →→ 6 − 4 = 3y − 2y → 2 = y → y = 2

4t Calculem el valor de l’altra incògnita substituint el valor obtingut en qualsevol de les equacions.

x − y = 3 x − 2 = 3 → x = 3 + 2 → x = 5

El sistema té com a solució x = 5, y = 2.


→


⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 = 34 = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5 − 2 = 32 ⋅ 5 − 3 ⋅ 2 = 4

x = 5, y = 2⎯⎯⎯⎯→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − y = 32x − 3y = 4

y = 2⎯⎯→

4 32

+ y

x y

xy y

y= +

=+

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

+ =+3

4 32

34 3

2→

x y

xy

= +

=+

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

34 3

2

→

→

x y

x y

− =

− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

3

2 3 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − y = 32x − 3y = 4

5

EXEMPLE

REFLEXIONA

Corregeix els errors comesos en la resoluciódel sistema pel mètode d’igualació.

y − 7 = 1 + → 3(y − 7) = 1 + y →

→ 3y − 21 = 1 + y → 3y − y = 1 + 21 →

→ 2y = 22 → y = = −11

x − y = 7 x − 11 = 7 → x = 7 + 11 = 18y = −11⎯⎯⎯→

222−

y3

x y

xy

= −

= +

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

7

13

→

→

x y

x y

− =

− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

7

3 1

16

EXERCICISPRACTICA

Resol pel mètode d’igualació aquests sistemesd’equacions:

a) b)

APLICA

Resol pel mètode d’igualació, i assenyala si són compatibles o incompatibles. Quantes solucions tenen?

a) b) ⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + y = 82x + y = 12

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 5y = 104x + 10y = 20

15

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + y = 13x − y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 5x − y = 3

14

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 100

101

3.3 Mètode de reducció

Resoldre un sistema pel mètode de reducció consisteix a buscar un altresistema, amb les mateixes solucions, en què els coeficients d’una de lesincògnites siguin iguals o de signe oposat.

Resol aquest sistema aplicant el mètode de reducció: .

1r Igualem els coeficients d’una de les incògnites mitjançant les multiplicacions apropiades.Si multipliquem la primera equació per 2, els coeficients de xqueden igualats a totes dues equacions.

2n Restem o sumem les equacions, en funció de si els coeficients tenenel mateix signe o diferent, per eliminar una incògnita.En aquest cas, com que els coeficients de x tenen el mateix signe, restem:

→

3r Resolem l’equació d’una incògnita que resulta.y = 2

4t Calculem el valor de l’altra incògnita substituint el valor obtingut a qualsevol de les equacions.

x − y = 3 x − 2 = 3 → x = 3 + 2 → x = 5El sistema té com a solució x = 5, y = 2.


→


⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3 = 34 = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5 − 2 = 32 ⋅ 5 − 3 ⋅ 2 = 4

x = 5, y = 2⎯⎯⎯⎯→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − y = 32x − 3y = 4

y = 2⎯⎯→

2x − 2y = −6+ −2x + 3y = −4

y = −2

2x − 2y = 6− 2x − 3y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x − 2y = 62x − 3y = 4

⋅ 2⎯→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − y = 32x − 3y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − y = 32x − 3y = 4

6

EXEMPLE

REFLEXIONA

Corregeix els errors comesos en la resolució del sistema.

2x + y = 0 2 ⋅ (−2) + y = 0 →→ −4 + y = 0 → y = −4

x = −2⎯⎯→

4x + 2y = 2− 3x − 2y = −4

x = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4x + 2y = 23x − 2y = −4

⋅ 2⎯→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + y = 03x − 2y = −4

19

EXERCICISPRACTICA

Resol pel mètode de reducció:

a) b)

APLICA

Resol pel mètode de reducció aquests sistemes d’equacions i assenyala si sóncompatibles o incompatibles:

a) b) ⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − y = 52x − 2y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + 2y = 02x + 4y = 6

18

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − 5y = 64x − 3y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 5x − y = 3

17

Per restar les equacionssumem a la primera equació l’oposada

de la segona:2x - 3y = 4

-2x + 3y = –4

oposada

F

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 101

102

3.4 Regles pràctiques per resoldre problemes

Cap d’aquests mètodes de resolució d’equacions és millor o pitjor que elsaltres. La rapidesa i l’eficàcia a l’hora de resoldre els sistemes depenen deltipus d’equacions que els componen.

Quan resolem un sistema d’equacions hem de tenir en compte que:

• Cal expressar les equacions en la forma general, ax + by = c.• El mètode de substitució és útil quan alguna de les incògnites té

com a coeficient 1 o −1.• El mètode de reducció és aconsellable quan els coeficients d’una de

les incògnites són iguals o un és múltiple de l’altre.• Quan els coeficients de les incògnites són diferents de 1 o −1, i no

són múltiples ni iguals, podem fer servir el mètode d’igualació i,després, eliminar els denominadors.

Resol aquest sistema: .

Expressem les equacions en la forma general, ax + by = c. Per fer-ho traiem denominadors i parèntesis.

Els coeficients de x són iguals, però de signe contrari; per tant, apliquemel mètode de reducció.

→ y = = 2

3(y − x) − 2 = 4 3(2 − x) − 2 = 4 → 6 − 3x = 4 + 2 →→ −3x = 6 − 6 → x = 0

y = 2⎯⎯→

42

3x − 2y = −2+

−3x + 3y = −62y = −4

→ →3 23 3 6

3 23 3 6

x yy x

x yx y

− = −− =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

− = −− + =

⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪

x yx

y x

x y−+ = −

− − =

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

−⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟

21

3 2 4

22

( )→ ⎟⎟⎟ + = ⋅ −

− − =

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

− + = −2 2 1

3 3 2 4

2 2x

y x

x y x( ) →33 3 4 2y x− = +

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→

x y

y x

x− +

− −

= −

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

23

1

2 4( )7

EXEMPLE

APLICA

Resol pel mètode més adequat:

REFLEXIONA

Escriu un sistema d’equacions que siguiapropiat per resoldre’l mitjançant la substituciói un altre mitjançant la reducció.

22

23

2 4

2 4

x yx y

x y

−+ − =

− =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

21

EXERCICISPRACTICA

Resol pel mètode més adequat:

a)

b)

c) ⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 2(x + 4) + 2(y − 2) = 18 − x − y

3 3 22 3

218

y x x yx y

+ = − ++

=

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

( )

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 3y = 5 + x + 2yx − 2y − 3 = 3 − 42y

20

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 102

Un hotel té, entre habitacions dobles i individuals, 120 habitacions. Si el nombre de llits és 195, quantes habitacions dobles té? I habitacions individuals?

REFLEXIONA

Si cada persona es menja 5 pastissos, en sobren 3; però si en mengen 6, en falta 1.Quantes persones i pastissos hi ha?

26

25

EXERCICISPRACTICA

La suma de les edats d’en Ferran i el seu pareés 40 anys. L’edat del pare és 7 vegades la del fill. Quina edat tenen tots dos?

APLICA

En un examen contesto deu preguntes. Per cada encert em donen 2 punts, i per cadaerror me’n treuen 1. Si he tret 8 punts, quantsencerts tinc?

24

23

103

Resolució de problemes amb sistemes

Resoldre un problema mitjançant un sistema d’equacions consisteix a tra-duir al llenguatge algebraic les condicions de l’enunciat del problema i,després, trobar-ne la solució amb la resolució del sistema.

4

Les edats d’una pare i la seva filla sumen 77 anys. D’aquí a 2 anys el paretindrà el doble d’edat que la filla. Quines edats tenen ara?

1r Identifiquem les incògnites.

Anomenem x → Edat del pare x + 2

Anomenem y → Edat de la filla y + 2

2n Plantegem el sistema.

3r Resolem el sistema.

→ →

El resolem pel mètode de reducció i restem les equacions.

→

→ y = 25

x + y = 77 x + 25 = 77 → x = 52

4t Comprovem la solució i la interpretem.COMPROVACIÓ: La solució és vàlida perquè verifica la igualtat.

→

INTERPRETACIÓ: El pare té 52 anys i la filla, 27.

77 = 7754 = 54

52 + 25 = 7752 + 02 = 2(25 + 2)

x = 52, y = 25→

x + y = 77x + 2 = 2(y + 2)

y = 25→

x + 2y = 77+ −x + 2y = −2

3y = 75

x + y = 77− x − 2y = 72

x + 0y = 77x − 2y = 2

x + y = 77x + 2 = 2y + 4

x + y = 77x + 2 = 2(y + 2)

La suma de les edats és 77 → x + y = 77D’aquí a 2 anys, el pare doblarà l’edat de la filla → x + 2 = 2(y + 2)

D’aquí a 2 anys→

D’aquí a 2 anys→

8

EXEMPLE

La suma de les edats és 77.D’aquí a 2 anys, l’edat del pare serà el doble de lade la filla.

Edat del pare.Edat de la filla.


831084 _ 0095-0112.qxd 10/5/07 10:41 Página 103

104


L’essencial

Equació lineal amb dues incògnites Sistema compatible determinat

Sistema compatibleindeterminat

Sistema incompatible

FES-HO AIXÍ

1. REPRESENTACIÓ GRÀFICA DE LES SOLUCIONS D’UNA EQUACIÓ LINEAL

Representa gràficament les solucions de l’equació 3x − y = 2.

PRIMER. Aïllem una de les incògnites.

SEGON. Donem valors a x i fem servir l’equació per construir una taula de valors.

TERCER. Si considerem cada parella de valors un punt del pla obtenim la recta de les solucions de l’equació.

y = 3x − 2

2. RESOLUCIÓ GRÀFICA D’UN SISTEMA I DETERMINACIÓ DEL NOMBRE DE SOLUCIONS

Determina el nombre de solucionsd’aquests sistemes:

a) b) c) ⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 5x + y = 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 52x + 2y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 5x − 2y = −1

PRIMER. Representem gràficament les solucions de cadascuna de les equacions del sistema.a) b) c)

SEGON.

• Si les rectes es tallen, el sistema té una única solució. → a) Té una solució: (3, 2).• Si les rectes coincideixen, el sistema té infinites solucions. → b) Té infinites solucions.• Si les rectes són paral·leles, el sistema no té solució. → c) No té solució.

−2

−8

−1

−5

0

−2

1

1

2

4

x

y

ax by c

x ya xb

+ = →

→→→

,de

IncògnitesCoeficientCooeficientTerme independent

de yc →

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

Sistema d’equacions lineals amb dues incògnites

ax by ca'x b'y c'

x ya+ =

+ =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→

→,,

Incògnitesaa' x

b b' yc

→→

CoeficientCoeficient

dede,

, cc' → Terme independent

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

y =

3x −

2 (2, 4)

Y

X

Y

X

Y

Y

Y

X

X

X

Y

X

(1, 1)

(0, −2)

(3, 2)

Y

X

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 104

105

4. RESOLUCIÓ D’UN PROBLEMA AMB UN SISTEMA

Un cotxe i un autobús mesuren junts 14 m. El doble de la longitud del cotxe supera 1 m la de l’autobús. Quant fa cadascun?

PRIMER. Identifiquem la incògnita.

Anomenem x → Longitud de l’autobúsAnomenem y → Longitud del cotxe

SEGON. Plantegem l’equació.Tots dos junts fan 14 m ⎯⎯→ x + y = 14El doble del cotxe és l’autobús més 1 →

→ 2y = x + 1

TERCER. Resolem el sistema.

→ +

→

x + y = 14 x + 5 = 14 → x = 14 − 5 = 9

QUART. Comprovem i interpretem la solució.

L’autobús fa 9 m i el cotxe, 5.

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

14 = 1410 = 10

x = 9, y = 5⎯⎯⎯⎯→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 142y = x + 1

y = 5⎯⎯→

y = =153

5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 14−x + 2y = 1

3y = 15

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 142y = x + 1

+ = 14 + = + 1

Longitud de l’autobúsLongitud del cotxe


Representació gràfica de les solucions d’una equació lineal

1. La representació gràfica de x + y = 3 és:a) b)

Resolució gràfica d’un sistema i determinaciódel nombre de solucions

2. Com és el sistema ?

a) Compatible b) Incompatible

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + 3y = 52x + 6y = 9

Resolució d’un sistema

3. La solució del sistema és:

a) x = 1, y = 2 c) x = −1, y = −2b) x = −1, y = 2 d) x = 1, y = −2

Resolució d’un problema amb un sistema

4. El sistema que expressa que la suma de dosnombres és 18 i la seva diferència 2 és:

a) c)

b) d) ⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x = 18x − y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 18x − y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 18x = 2 − y

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x = 18 + yx − y = 2

x yy

y x y

−+ =

− − =

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

31

4 6 3( )

I ARA... PRACTICA

3. RESOLUCIÓ D’UN SISTEMA

Resol el sistema: .

PRIMER. Expressem les equacions en la sevaforma general, ax + by = c.

SEGON. Elegim el mètode de resolució: • Substitució: si alguna de les incògnites té

com a coeficient 1 o −1.• Reducció: quan siguin iguals o un sigui

múltiple de l’altre.En aquest cas fem servir la reducció.

→

= 5 35 + 2y = 5 ⋅ 5 →→ 2y = −10 → y = −5

x = 35⎯⎯→x y+ 2

5

3x + 6y = 75+

−2x − 6y = −40x = 35

3x + 6y = 75−

2x + 6y = 40

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x + 6y = 752x + 6y = 40

⋅ 3⎯→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + 2y = 252x + 6y = 40

→ x yx y

+ =+ =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 252 6 40

52

55 5

2 2 40 4

x y

x y y

x+⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅

+ = −

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

→ ++ =+ + =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2 252 2 4 40

yx y y

→

x y

x y y

+ =

+ = −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

2

55

2 40 4( )

Y

X

1

1

Y

X

1

−1

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 105

106

ActivitatsEQUACIONS LINEALS

27. ● La solució d’aquestes equacions és x = 1 i y = 2?

a) 3x + 2y = 7 c) 2x − y = 0b) x + 3 = y d) x + 1 = 7

28. ● Aquesta és la taula de valors de l’equació 2x + 3y = 15:

Dóna diverses solucions de l’equació, i indica un procediment per trobar alguna solució més.

29. ● Fes una taula de solucions per a aquestes equacions. Pren com a valors de la variable x: −2, −1, 0, 1 i 2.

a) y = x + 5 c) y = 3 − xb) x + y = 4 d) x = 5 + y

30. ● Representa en el pla, per a cada equació de l’activitat anterior, les parelles de nombres que hagis obtingut i comprova que la sevarepresentació és una recta.

31. ● Forma una taula de valors per a cada equació i indica’n algunes solucions.

a) 3x + 2y = 18 d) 2x − 5y = 12b) x − 3y = 20 e) 3x + y = 24c) x − 7 = y f) y = 2x − 1

32. ● Forma una taula de valors per a cada equaciódel sistema.

Creus que hi ha cap parella de valors de x i yque surti a totes dues taules?

33. ●● Escriu una equació lineal amb duesincògnites, de manera que una de les solucionssigui la parella de valors:

a) x = 3, y = 0 c) x = 2, y = 3b) x = 0, y = −1 d) x = −1, y = −5

34. ●● Escriu dues equacions lineals amb duesincògnites la solució de les quals sigui x = 3, y = 2. Després, representa totes dues equacions.Què hi observes?

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + 2y = 5x − 2y = 2

SISTEMES D’EQUACIONS

35. ● Indica els coeficients i els termes independentsdels sistemes.

a) c)

b) d)

36. ● Quina de les parelles de valors següents és la solució del sistema?

a) (1, 5) b) (5, 1) c) (2, 3) d) (0, 0)

37. ● Donat el sistema:

esbrina si cap d’aquestes parelles de valors és la solució.

a) x = 2, y = 4 c) x = 1, y = 1

b) x = 4, y = −1 d) x = 0,

38. ●● Un sistema té com a solució x = 2, y = −1 i una de les seves equacions és 2x − y = 5. Quina és l’altra?

a) 4x − 2y = 6 c) −x + 2y = 5b) 4x − 2y = 5 d) −x + 2y = −4

39. ●● Escriu una equació lineal amb duesincògnites de manera que una de les solucionssigui x = 1, y = −2. Fes servir l’equació per determinar un sistema d’equacions amb aquesta solució.

40. ●● Troba la solució de cada sistema mitjançantles taules de valors de les equacions que elformen.

a) e)

b) f)

c) g)

d) h) ⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5x + 3y = 163x − 3y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 3y = 7x − 3y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5x − 3y = 114x + 3y = 11

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − 2y = 12x + 0y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−x + 2y = 23x − 4y = −2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + 3y = 22x − 3y = 9

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + y = 13x − y = 12

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − y = 12x − y = 4

y = −12

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x − 2y = 22x + 3y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 3y = 133x − 4y = 11

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5x − 3y = 114x + 3y = 11

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + 3y = 5x − 3y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − 2y = 12x + 2y = 7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + 2y = 5x + 2y = 6

x

y

6

1

3

3

0

5

−3

7

−6

9

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 106

107

41. ● Resol gràficament els sistemes d’equacions i indica de quin tipus són:

a) c)

b) d)

42. ●● Indica quin tipus de sistema d’equacions s’ha representat.

a) c)

b) d)

43. ● Resol gràficament aquests sistemes:

a) b)

Què en pots afirmar?

44. ● Resol gràficament aquests sistemes i classifica’ls pel nombre de solucions:

a) c)

b) d)

45. ● Quantes solucions tenen aquests sistemes?

a) b)

46. ● Esbrina si els sistemes són incompatibles o compatibles i, en aquest cas, si tenen solucióúnica.

a) b) ⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x − 2y = 56x − 2y = 8

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 3y = 254x + 6y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 3y = 252x + 3y = 35

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4x − 3y = 258x − 6y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x − 2y = 0x + 2y = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + 3y = 362x + 6y = 12

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x − 3y = 384x − 2y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x − 3y = −4−x + 3y = −3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 3y = 4x − 2y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 2x − y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + 2y = 42x + 4y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 3y = 26x + 3y = 6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + 3y = 53x − 4y = 2

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 22x − y = 1

47. ● Aquests sistemes tenen les mateixes solucions?

a) b)

48. ●● Escriu una equació lineal amb duesincògnites que formi un sistema amb l’equació 3x − 2y = 4, i que tingui:

a) Solució única.b) Infinites solucions.c) Cap solució.

49. ●● Escriu un sistema d’equacions que tinguicom a solució:

a) x = 2, y = 1 b) x = 4, y = −3

50. ●● Sense resoldre aquests sistemes, indica el nombre de solucions que tenen a partir de les seves equacions.

a) c)

b) d) ⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x + 2y = 1x − 8y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x + 4y = 86x + 8y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 10y = 4x + 5y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x − y = 5x + y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

6x + 4y = −16−6x + 9y = −42

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x + 2y = 282x − 3y = 14

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

COM ACONSEGUIM QUE UNA INCÒGNITA TINGUICOEFICIENTS IGUALS?

51. Transforma aquest sistema perquè laincògnita x tingui el mateix coeficient a totesdues equacions.

PRIMER. Trobem el m.c.m. dels coeficients de la incògnita a la qual els volem igualar.

m.c.m. (24, 18) = 72

SEGON. Dividim el m.c.m. per cada coeficient i multipliquem l’equació pel resultat. Primera equació:

3 → 3 ⋅ (24x + 13y = 80) →→ 72x + 39y = 240

Segona equació:

4 → 4 ⋅ (18x − 7y = 90) →→ 72x − 28y = 360

El sistema equivalent serà:⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

72x + 39y = 24072x − 28y = 360

m.c.m.Coeficient

= =7218

m.c.m.Coeficient

= =7224

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

24x + 13y = 8018x − 07y = 90

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 107

108

52. ●● Donat el sistema:

escriu sistemes que en siguin equivalents i que:

a) Tinguin coeficients de x iguals.b) Tinguin coeficients de y iguals.c) Tinguin termes independents iguals.

53. ●●● Escriu un altre sistema equivalent lesequacions del qual no tinguin denominadors.

54. ●●● Completa els sistemes perquè el primertingui com a solució x = 2, y = −3, i el segon, x = −3, y = 2.

a) b)

55. ●●● Completa els sistemes perquè el primersigui compatible i el segon, incompatible.

a) b)

56. ●●● Completa aquests sistemes perquè elprimer sigui compatible determinat i el segon,compatible indeterminat.

a) b)

57. ●●● Escriu tres sistemes que tinguin com asolució x = 1, y = 2, de manera que:

a) En el primer, els coeficients siguin 1 o −1.b) En el segon, els coeficients de x siguin el doble

o la meitat que els de y.c) En el tercer, els coeficients de x i y siguin

fraccions.

RESOLUCIÓ DE SISTEMES

58. ● Resol pel mètode de substitució.

a) e)

b) f)

c) g)

d) h) ⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x + 5y = 207x + 4y = 39

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5x − 3y = 014x + 0y = 11

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x + y = 102x − y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x − 3y = 55x + 0y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + y = 12−x − y = −7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

7x + 8y = 233x + 2y = 07

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4x − 3y = −3x + 3y = −4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x + 5y = 1x + 5y = 1

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + �y = 10�x − �y = 12

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

�x − 5y = �2x + �y = 6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

�x + 2y = 32x + �y = �

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x − 2y = ��x + 2y = 6

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−2x + �y = 8�x − 2y = −7

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x − 5y = ��x + 4y = 2

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

x y

x y2 5

5

23 2

1

+ =

− = −

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

7x − 2y = 04x + 3y = 17

59. ● Resol els sistemes d’equacions següents pelmètode d’igualació:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

60. ●● Resol pel mètode que consideris mésadequat:

a) c)

b) d) ⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3(x + 2) − 7(x + y) = 155(x + 1) − y = 14

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−5(y − 2) = x − 2x − 3y = −4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3(x + y) − x + 2y = 15−2x − (y + 8) = −11

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−2(x − 2) = y − 43y − 2x = 0

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x + 5y = 207x + 4y = 39

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

4x − 0y = −30x + 3y = −4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5x + 3y = 163x − 3y = 00

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x − 3y = 55x + 0y = 4

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

5x − 3y = 114x + 3y = 11

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

7x + 8y = 233x + 2y = 07

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x + y = 102x − y = 10

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

3x + 5y = 1x + 5y = 1

COM ELIMINEM ELS PARÈNTESIS I ELS DENOMINADORS EN UN SISTEMA?

61. Resol el sistema:

PRIMER. Eliminem els denominadors.Calculem el m.c.m. dels denominadors en cada equació i hi multipliquem tots dos membres.Primera equació: m.c.m. (2, 4, 2) = 4

4 2x + 3y = 2

Segona equació: m.c.m. (2, 9) = 18

18 = 18 ⋅ (−10) →

→ 9 ⋅ 3(2x − 2) − 2 ⋅ 3(y + 1) = −180

SEGON. Traiem els parèntesis.9 ⋅ 3(2x − 2) − 2 ⋅ 3(y + 1) = −180 →

→ 54x − 54 − 6y − 6 = −180

TERCER. Passem les incògnites a un membre, i els termes sense incògnita, a l’altre.

54x − 54 − 6y − 6 = −180 →→ 54x − 6y = −180 + 54 + 6 = −120

Sense parèntesis ni denominadors, el sistema és:

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 3y = −029x − 0y = −20

SimplificantF

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x + 3y = 254x − 6y = −120

3 2 22

3 19

( ) ( )x y−−

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

x y2

34

412

+⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = ⋅ →

x

x

y

y2

3 2 2

2

3

43 1

9

1

2

10

+

− −

=

+ = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪⎪

( ) ( )

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 108

109

62. ●● Resol pel mètode que consideris mésadequat:

a)

b)

63. ●●● Elimina els parèntesis i els denominadorsen els sistemes següents:

a)

b)

64. ●●● Resol pel mètode d’igualació aquestssistemes:

a)

b)

c)

65. ●●● Resol pel mètode de reducció els sistemessegüents:

a)

b)

c)x

x

y

y5

2

2

3 7

+

−

=

=

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

x

x

y

y2

2 13

22

12

26

1

−

−−

+=

+= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

( )

x

x

y

y2 3

6

2 4

+

−

=

= −

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

x

x

y

y5

2

2

3 7

+

−

=

=

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

x

x

y

y2

2 13

22

12

26

1

−

−−

+=

+= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

( )

x

x

y

y2 3

6

2 4

+

−

=

= −

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

3 13

15

12

32

5 1 7 2 16

2

( ) ( )

( ) ( )

−−

−− =

+ + −=

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪x y

x y⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

x

x

y

y2

5 17

20

2 23

2

+

+−

=

+= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

( ) ( )

x y

x y3 2

1

23 4

7

− = −

− =

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

33

24

2

3 5 1

x x

y x

− =

+ = −

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

66. ●●● Resol pel mètode més adequat:

a) b)

c)

d)

e)

PROBLEMES AMB SISTEMES

3 16

15

32

3 110

15

33

( )

( )

x xy

y

xy x

+ −− −

+=

−−

+ =+

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

2 15

5 17

3 410

25

12

82

x

x

y

y

+−

+−

−=

+ = −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪( )

⎪⎪

x

x

y

y2

3

12

0

6

+

−

−=

=

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

2x − 3y = 25x + 4y = 5

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

x + y = 02x − y = 0

COM EXPRESSEM CERTS ENUNCIATS MITJANÇANTEQUACIONS AMB DUES INCÒGNITES?

67. Expressa com a equacions de dues incògnites:a) La suma de dos nombres és 50.b) La diferència d’edat de dos germans

és 5 anys.c) Un pare té el doble d’edat que el seu fill.d) Un nombre en supera un altre

en 10 unitats.

PRIMER. Assignem una incògnita a cada dadadesconeguda.

SEGON. Relacionem les dades conegudes i les desconegudes amb una igualtat (equació).a) La suma és 50 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ x + y = 50b) La diferència és de 5 anys ⎯⎯→ x − y = 5c) El pare li dobla l’edat al fill ⎯⎯⎯→ x = 2yd) Un supera en 10 l’altre ⎯⎯⎯⎯→ x = y + 10

FES-HO AIXÍ

Dades desconegudes

Dos nombres

Edats de dos germans

Edats del pare i el fill

Dos nombres

Incògnites

x, un nombrey, l’altre nombre

x, edat del primery, edat del segon

x, edat del parey, edat del fill

x, un nombrey, l’altre nombre

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 109

110

68. �� Expressa mitjançant equacions de duesincògnites:

a) Un entrepà i un refresc valen 5 €.b) Dos entrepans i tres refrescos costen 15 €.c) Un entrepà val 1 € més que un refresc.d) He pagat un entrepà i dos refrescos amb 10 €

i me n’han tornat 3.

69. � Tria la resposta adequada:

a) Fa tres ants, l’edat d’un oncle era el triple de la del nebot, però d’aquí a 5 anys serà només el doble. Les edats de l’oncle i el nebot són:

1. Oncle: 15, nebot: 5.2. Oncle: 35, nebot: 15.3. Oncle: 27, nebot: 11.

b) En un teatre s’han venut 250 entrades entre seients de platea i de llotja. Les primerescosten 15 € cadascuna i les segones, 30. Si la recaptació va ser de 4.500 €, les entradesvenudes de cada tipus van ser:

1. Platea: 50, llotja: 250.2. Platea: 100, llotja: 150.3. Platea: 200, llotja: 50.4. Platea: 125, llotja: 125.

70. � Calcula dos nombres la suma dels quals és 10 i la diferència, 6.

71. �� Calcula les dimensions d’un rectangle si en saps que el perímetre fa 60 cm i la base és el doble de l’altura.

72. �� Dos quilos d’albercocs i tres de figues costen 13 €. Tres quilos d’albercocs i dos quilosde figues en costen 12. Quin és el preu del quilod’albercocs?

73. �� En una compra s’han fet servir monedes de 2 € i bitllets de 5 €. En total, entre monedes i bitllets són 13 i s’han pagat 33 €. Quantes monedes de 2 € s’han fet servir? I bitllets de 5 €?

74. �� En una drogueria venen 3 sabons i 2 ampolles de colònia per 12 €, i també 4 sabons i 3 ampolles de colònia per 17 €. Calcula el preu de cada producte.

75. �� Hem adquirit segells de 0,26 € i de 0,84 €. En total hem pagat 5,18 € per 11 segells. Quants són de 0,26 €? I de 0,84?

76. �� Per a un berenar s’han comprat entrepans de pernil a 2,80 € la unitat i de formatge a 2,50 €.En total, es paguen 48 € per 18 entrepans. Quants se’n compren de pernil?

77. �� En un taller hi ha 50 vehicles, entre motos i cotxes. Si el nombre total de rodes és 140,quants vehicles hi ha de cada tipus?

78. �� El perímetre d’una parcel·la rectangular és 350 m i el triple de la seva llargada és igual al quàdruple de l’amplada. Quines són les dimensions de la parcel·la?

79. �� En Josep li diu a l’Agnès: «Si et dono 10 discos en tindries tants com jo.» L’Agnès li respon: «Tens raó, només et falten 10 discosper doblar-me’n el nombre.» Quants discos técadascun?

80. �� Una empresa de lloguer de cotxes n’ofereix dos models, un de quatre places i un altre de cinc. Durant el dia,l’empresa lloga 10 cotxes en què viatgen 42 persones, i quedendues places senseocupar. Quantscotxes ha llogat decada tipus?

81. �� En Joan ha comprat una camisa i uns pantalons. Els preus d’aquestes pecessumaven 60 €, però li han fet un 10% de descompte en la camisa i un 20% en els pantalons. Per tot plegat paga 50,15 €.Quin era el preu sense rebaixar de cada peça?

831084 _ 0095-0112.qxd 10/5/07 10:41 Página 110

111

83. �� Barregem licor de 12 €/ ¬ amb licor de 15 €/ ¬,fins que tenim 50 ¬ de licor de 13 €/ ¬. Quants litresde cada licor hem barrejat?

84. �� En una fàbrica de sucs barregem dos tipusde qualitats, una de 50 cèntims el litre i una altra de 80 cèntims el litre. Quants litres de suchem de barrejar de cada tipus per obtenir-ne 120 amb un cost total de 85,50 €?

85. �� Hem barrejat 40 kg de cafè a 10 €/kg amb una altra quantitat de cafè a 14 €/kg. Quants quilos hem fet servir de cada classe si venem la barreja a 12,80 €/kg?

INVESTIGA

86. �� Si en un sistema d’equacions amb solucióúnica multipliquem tots els termes d’una equació per 3:

a) La nova solució és el triple de l’original.b) La solució és la mateixa.c) El nou sistema no pot tenir solució.d) Cap de les tres opcions és certa.

87. �� Si aïllem la mateixa incògnita en dues equacions i, un cop igualades, no podem resoldre l’equació amb una incògnita que resulta, com és el sistema,compatible o incompatible? Raona la resposta.

88. �� La suma de les dues xifres d’un nombre és ai la seva diferència també és a.

De quin tipus són els nombres que compleixenaquesta condició?

89. �� La suma de les dues xifres d’un nombre és 2a i la seva diferència és a. Quins nombrescompleixen aquesta condició?

90. �� En el triangle ABC, el costat BC fa 8 cm i l’altura AH en fa 4. Volem inscriure en aquesttriangle un rectangle, MNPQ, on els vèrtexs Pi Q estiguin al costat BC, M a AB i N a AC.Calcula les longituds de MN i MQ perquè el perímetre del rectangle MNPQ sigui 12 cm.

COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE BARREGESMITJANÇANT SISTEMES D’EQUACIONS?

82. Volem barrejar dos tipus de vi: un de 5,20 €/ ¬i un altre de 6,20 €/ ¬ per obtenir 100 ¬ de vi que tingui un preu de 6 €/ ¬. Quants litres de cada tipus fan falta?


SEGON. Resolució.

Substituïm el valor a l’altra equació:

5,2(100 − y)+6,2y = 600 → y = 80

x = 100 − y x = 20

TERCER. Comprovació.La barreja contindrà 20 ¬ del vi A i 80 ¬ del vi B. La quantitat de barreja serà 20 + 80 = 100 ¬.I el preu de la barreja és:

6 €5 2 20 6 2 80

100104 496

100, ,⋅ + ⋅

=+

=

y = 80→

x = 100 − y→

x yx y

x yx

+ =+

=

= −+

1005 2 6 2

1006

1005 2, , ,

→66 2 600, y =

FES-HO AIXÍ

Vi A

Vi B

Barreja

Equacions

Litres Preu

x

y

100

x + y = 100

5,2x

6,2y

5,2x + 6,2y

5 2 6 2100

6, ,x y+

=

A

B C

M N

Q H P

12 € 15 €

13 € 50 ¬

831084 _ 0095-0112.qxd 10/5/07 10:41 Página 111

112

A la vida quotidiana91. ●●● En Xavier va a Sevilla amb un tren

que ha sortit a les 17.00 h.

Tot i que la seva mare ha insistit que no s’oblidésres, en Xavier s’ha deixat a casa una cosa moltimportant: el carnet d’identitat.

La seva mare l’ha trobat i ha anat a l’estació de tren per informar-se, i el cap d’estació li ha dit:

Si la mare d’en Xavier arribés abans que el tren al’estació de Villarrual, el podria buscar i donar-liel carnet. El problema és que ja han passat 20 minuts des que el tren ha sortit.

Creus que la mare d’en Xavier pot arribar a temps a l’estació?

92. ●●● L’Alícia i la Maria han aconseguit una becaper estudiar durant 2 anys a París.

Quan facturaven l’equipatge han vist que l’Alíciaportava 18 kg i la Maria, 27.

Els avions de passatgers permeten un pes determinat dels equipatges; si se sobrepassa, el passatger ha d’abonar una quantitat per cada quilo de més que porti.

Perquè a la Maria li surti més barat, l’hostessa que els factura els equipatges ha tingut una idea:

Quin és el pes permès a cada passatger? Quant s’ha de pagar per quilo de sobrepès?

Vostè porta 18 kgd’equipatge,

no ha de pagarsobrepès.

Vostè en porta 27.Haurà d’abonar

42 € per sobrepès.

Com que viatgen totes dues juntes, i a la seva amiga li

falten uns quants quilosper arribar al pes

màxim, podem unir elsdos equipatges, i aixívostè només hauria

de pagar 30 €.

El tren només farà una parada, a Villarrual, a 83 quilòmetres d’aquí...El tren va a una velocitat de 70 km/h,

més o menys. D’aquí a Villarrual hi ha autovia, i vostè podria anar

a 120 km/h.

831084 _ 0095-0112.qxd 13/4/07 18:29 Página 112


• Reconèixer les relacions de proporcionalitatdirecta o inversa.

• Resoldre problemesfent servir la regla de tres simple, directao inversa.

• Aplicar els repartimentsproporcionals i la proporcionalitatcomposta en la resolució de problemes.

• Calcular interessos,capitals i temps.

• Treballar ambpercentatges i fer-losservir per resoldreproblemes de la vidareal.

PLA DE TREBALL

Un tros de la històriaFinalment, l’Alí havia aconseguit fer sortir l’Schoene de l’hotel,on feia quatre dies que s’havia reclòs sense apartar la vistad’aquell llibre, que de tant en tant feia que l’Schoenes’exclamés:

–És meravellós! Fantàstic! Ha estat perdut durant segles i l’he trobat jo!

Aquella tarda, mentre passejaven pel soc, l’Schoene no parava de parlar de la seva nova adquisició; deia que era una petita peça del puzle de la història.

–Alí, el llibre és la prova. –l’Schoene se’l mirava emocionat–. És una traducció d’un llibre de matemàtiques d’Heró d’Alexandria perdut fa molt de temps. L’original es va escriure el segle I.

–Jo prefereixo la realitat a les teories matemàtiques –va contestar l’Alí sense l’entusiasme del seu company.

–T’equivoques, Alí. Aquest llibre està ple de teories pràctiques: ensenya maneres d’aproximar arrels quadrades no exactes, mètodes per calcular les àrees de polígons, volums de cossos i, fins i tot, divisió de superfícies en parts proporcionals... Aquests coneixements eren molt útils a l’Egipte del segle I; per exemple, per calcular les mides dels terrenys que cultivaven o per repartir les herències.

Com repartiries un terreny de 1.000 m2 entre dues famílies de manera que a una n’hi corresponguin 7 parts i a l’altra, 13?

Proporcionalitatnumèrica

831084 _ 0113-0132.qxd 13/4/07 18:36 Página 113

114

APLICA

En un mapa, 14 cm representen 238 km en la realitat. Per quina longitud es representen306 km? Una longitud de 10 cm al mapa, quina longitud real representa?

REFLEXIONA

Inserir anuncis en un diari costa 10 € per 3 línies de text, i 3 € més per cada línia que hi afegim. Fes la taula que relaciona les magnituds.És de proporcionalitat numèrica?

4

3

EXERCICISPRACTICA

Completa aquestes taules perquè siguin de proporcionalitat directa.

Si el preu de 9 menús és 166,50 €, quant costaran 5 menús?

2

1

Proporcionalitat directa1

Dues magnituds són directament proporcionals quan el quocient en-tre dues quantitats corresponents de totes dues, a i b, és constant:

El nombre k és la constant o raó de proporcionalitat directa.

a

bk=

La Marta fa una feina per hores i cobra 12 € cada hora.a) Quant rebrà si treballa 2 hores? I si en treballa 3?b) Si cobra 18 €, quantes hores ha treballat?

a) La Marta cobra 12 € per 1 hora de feina. En dues hores guanyarà el doble; en 3, el triple...

Les magnituds Guany –Temps són directament proporcionals. Quan en multipliquem (o en dividim) una per un nombre, l’altra queda multiplicada (o dividida) per aquest mateix nombre.

Podem reflectir aquesta situació mitjançant una taula de valors.

b) Com que les magnituds són directament proporcionals es compleix que:

Si cobra 18 € va treballar 1,5 hores.

121

18 1 1812

15= =⋅

=x

x→ ,GUANY F

TEMPS F

RAÓG121

242

363

12= = = … =GUANY F

TEMPS F

1

EXEMPLE

NO TE N’OBLIDIS

Magnituds directamentproporcionals

k → Constant deproporcionalitat numèrica

aa

bb

cc

k' ' '

= = =

a

a'

b

b'

c

c'

Magnitud M

Magnitud M'

12

1

24

2

36

3

48

4

60

5

72

6

…

…

Guany (€)

Temps (h)

F

F

F

F

F

F

42

6 15

8 40

0,25

1,25

1 3

12

8

⋅ 2

⋅ 2

: 3

: 3

⋅ 3

⋅ 3

Quan les magnituds són directament

proporcionals, anomenem la taula de valors taula de proporcionalitat

directa.

831084 _ 0113-0132.qxd 13/4/07 18:36 Página 114

Quan les magnitudssón inversamentproporcionals, la taula de valors

l’anomenem taula deproporcionalitat inversa.

115

APLICA

Un vaixell porta menjar per a 8 tripulants i una travessa de 15 dies. Si només són 6 tripulants, per a quants dies tindran menjar?

REFLEXIONA

Classifica en proporcionalitat directa o inversa.a) El costat d’un quadrat i el seu perímetre.b) Obrers i temps per acabar una feina.

7

6

EXERCICISPRACTICA

Completa les taules perquè siguin de proporcionalitat inversa.

5

21

24 8

4 6

1510

15 6

12

25

Proporcionalitat inversa2

Dues magnituds són inversament proporcionals quan el producte dedues quantitats corresponents de totes dues, a i b, és constant:

a ⋅ b = kEl nombre k és la constant o raó de proporcionalitat inversa.

Un tren que circula a una velocitat constant de 60 km/h triga 5 hores a cobrir un trajecte.a) Quantes hores trigarà a fer aquest trajecte si va a una velocitat

de 30 km/h? I si la velocitat és de 10 km/h?b) Si triga 6 hores, a quina velocitat circula?

a) Si el tren circula a 30 km/h, que és la meitat de velocitat, trigarà el doble de temps, 10 hores. Si redueix la velocitat a una sisena part: 10 km/h, trigarà sis vegades més, 30 hores...

⋅ = 30 ⋅ 10 = 10 ⋅ 30 =… = 300

Les magnituds Velocitat – Temps són magnituds inversamentproporcionals. Quan en multipliquem (o en dividim) una per un nombre, l’altra queda multiplicada (o dividida) pel mateix nombre.

Podem reflectir aquesta situació amb una taula de valors.

b) Com que les magnituds són inversament proporcionals es compleix que:

Si triga 6 hores circula a una velocitat de 50 km/h.

60 5 660 5

650⋅ = ⋅ =

⋅=x x→

RAÓG560VELOCITAT F

2

TEMPS

FEXEMPLE

NO TE N’OBLIDIS

Magnituds inversamentproporcionals

a ⋅ a' = b ⋅ b' = c ⋅ c' = k

k → Constant deproporcionalitat inversa

a

a'

b

b'

c

c'

Magnitud M

Magnitud M'

60

5

30

10

10

30

40

7,5

…

…

Velocitat (km/h)

Temps (h)

F

F

F

F

F

F

: 2

⋅ 2

⋅ 4

: 4

: 6

⋅ 6

831084 _ 0113-0132.qxd 10/5/07 10:44 Página 115

Quan dues magnituds són proporcionals i no coneixem una de lesquatre quantitats relacionades, la podem trobar amb una regla de tressimple.

3.1 Regla de tres simple directa

Si 6 revistes d’automòbils costen 18 €, quant en costaran 9?

Esbrinem si hi ha proporcionalitat entre les dues magnituds.

• Si comprem el doble de revistes, el preu es duplica.• Si en comprem la meitat, el preu es redueix a la meitat.

Les magnituds Nombre de revistes – Preu són directament proporcionals.

Plantegem la regla de tres:Si 6 revistes 18 €

9 revistes x €

Apliquem les propietats de la proporcionalitat directa:

El preu de 9 revistes és de 27 €.

Una altra manera de calcular el preu de les revistes és calcular de primerquant en costa una:

Una revista costa 3 €.

I ho multipliquem pel nombre de revistes que volem comprar:Les 9 revistes costaran 9 ⋅ 3 = 27 €.

Aquest segon mètode l’anomenem reducció a la unitat.

186

=

69

18 9 186

27= =⋅

=x

x→

costaran⎯⎯⎯⎯→

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

costen⎯⎯⎯⎯→

3

EXEMPLE

APLICA

El preu de 15 menús en un restaurant ha estatde 120 €. Quant costa el menú? Si hi van 7 persones, quant pagaran?

REFLEXIONA

Un arbre de 2,25 m d’altura fa una ombra de 2 m.Quina altura tindrà una torre que, a la mateixahora, fa una ombra de 188,8 m?

11

10

EXERCICISPRACTICA

A la cuina d’un IES han pagat 42 € per 70 barresde pa. Quant haurien de pagar si haguessincomprat 45 barres?

Un cotxe gasta 46 cèntims d’euro de gasolina cada 4 km. Quant costarà el combustible en un viatge de 270 km si manté aquest consum?

9

8

116

En general, per resoldre una regla de tres simple

directa, aplicarem el càlcul següent.

= = c ba·b

xx→

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

→ ac

a → bc → x

La regla de tres simple directa és una tècnica que ens permet calcularel valor d’una quantitat si coneixem unes altres tres quantitats relaciona-des de dues magnituds directament proporcionals.

Regla de tres simple3

831084 _ 0113-0132.qxd 13/4/07 18:36 Página 116

117

3.2 Regla de tres simple inversa

12 obrers pinten un edifici en 15 dies. Quants dies trigaran 20 obrers a pintar el mateix edifici?

El primer pas és esbrinar si hi ha algun tipus de proporcionalitat entre les dues magnituds:

• Si treballen el doble d’obrers, trigaran la meitat de dies.• Si treballen la meitat d’obrers, el nombre de dies que trigaran

serà el doble.

Les magnituds Nombre d’obrers – Dies són inversament proporcionals.

El plantejament de la regla de tres simple inversa és similar al de la reglade tres simple directa:

Si 12 obrers 15 dies20 obrers x dies

Hem de tenir en compte, però, que en lloc de la segona fracció hem de fer servir la seva inversa.

Per tant, els 20 obrers dedicaran 9 dies a pintar l’edifici.

Una altra manera de calcular el temps que trigaran els 20 obrers és esbrinar quant en trigaria un sol obrer:

Un obrer treballant tot sol trigaria 12 ⋅ 15 = 180 dies.

I si ho dividim entre el nombre d’obrers:

20 obrers trigarien dies.

Aquest segon mètode l’anomenem reducció a la unitat.

18020

9=

1220 15

12 1520

9= =⋅=

xx→

trigaran→

triguen→

4

EXEMPLE

En general, per resoldre una regla de tres simple inversa, aplicarem el càlcul següent.

= = a bc·x

bx→

→ ac

a → bc → x

APLICA

Per una aixeta brollen 6 litres per minut i fanfalta 5 hores per omplir un dipòsit. Si hi brollés1 litre per minut, quant trigaria?

REFLEXIONA

Per construir una piscina, 10 obrers treballen 16 dies. Quants obrers hi van treballar si van tardar 40 dies?

15

14

EXERCICISPRACTICA

Si el temps que 7 treballadors han dedicat a netejar un carrer és de 7 hores, quant trigaran5 treballadors?

La Marta triga 5 minuts a anar de casa seva al col·legi en monopatí a una velocitat mitjana de 6 km/h. Quant trigarà quan hi va caminant, si va a una velocitat de 4 km/h?

13

12

La regla de tres simple inversa és una tècnica que ens permet calcularel valor d’una quantitat si coneixem unes altres tres quantitats relaciona-des de dues magnituds inversament proporcionals.

831084 _ 0113-0132.qxd 10/5/07 10:44 Página 117

118

4.1 Repartiments directament proporcionals

Un pagès vol regar amb 300 m3 d’aigua tres parcel·les de formadirectament proporcional a les superfícies que tenen, que són 2, 3 i 5 hectàrees, respectivament. Quants metres cúbics destinarà al reg de cada parcel·la?

Les quantitats d’aigua que rebrà cada parcel·la les anomenem Part 1, Part 2 i Part 3.

Quan fem un repartiment directament proporcional, la quantitat d’aiguaque rep cada parcel·la: Part 1, Part 2 i Part 3, i les dimensions de cadaparcel·la: 2, 3 i 5 hectàrees mantenen una proporció directa.

A més, també hi ha proporcionalitat entre la quantitat total d’aigua i el nombre total d’hectàrees: 2 + 3 + 5.

És a dir:

La quantitat d’aigua que es destinarà a cadascuna de les parcel·les seràde 60, 90 i 150 m3, respectivament.

3002 3 5 5

5300

2 3 5150 3

+ += = ⋅

+ +=

Part 3Part 3 m→

3002 3 5 3

3300

2 3 590 3

+ += = ⋅

+ +=

Part 2Part 2→ m

3002 3 5 2

2300

2 3 560 3

+ += = ⋅

+ +=

Part 1Part 1 m→

3002 3 5 2 3 5+ +

= = =Part 1 Part 2 Part 3

Part 1 Part 2 Part 32 3 5

= =

5

EXEMPLE

REFLEXIONA

La senyora Francesca reparteix la seves terres entre els néts en parts directament proporcionals a les edats que tenen: 8, 12 i 15 anys. Si al petit li toquen 12 hectàrees, esbrina el total d’hectàrees repartides.

18

EXERCICISPRACTICA

Reparteix 102 € en parts directamentproporcionals a 3, 2 i 1, respectivament.

APLICA

Un pare reparteix 99 € entre els seus tres fills en parts directament proporcionals a 3,

i . Quant li correspon a cadascun?11

6

2

3

17

16

Per repartir una quantitat, N, en parts directament proporcionals a a, b ic multipliquem els nombres, a, b i c, per la constant de proporcionalitat,

i així obtenim les parts.N

a b c+ +

Repartiments proporcionals4

2 ha 3 ha 5 ha

831084 _ 0113-0132.qxd 13/4/07 18:36 Página 118

APLICA

Hem repartit 300 € en parts inversament

proporcionals a , i . Quina és la part

corresponent a ?

REFLEXIONA

Si reparteixo 1.200 proporcionalment a 5 i 6 i dono 500 a 6 i 700 a 5, ha estat un repartimentinversament proporcional?

23

15

17

15

13

22

EXERCICISPRACTICA

Reparteix 70 parts inversament proporcionalsals nombres 3 i 4.

Reparteix 1.100 en parts inversamentproporcionals als nombres 5 i 6.

Vull repartir 620 € entre els meus nebots en parts inversament proporcionals a les edatsque tenen, que són 1, 3 i 7 anys. Quant he de donar a cadascun?

21

20

19

119

4.2 Repartiments inversament proporcionals

Tres cambrers es reparteixen 295 € de propines en parts inversamentproporcionals als dies que van faltar en el trimestre, que van ser 2, 5 i 7.Quant correspon a cadascun?

Quan fem el repartiment inversament proporcional, la quantitat que rep cada cambrer, que anomenem Quantitat 1, Quantitat 2 i Quantitat 3, i les del nombre de dies que van faltar: 2, 5 i 7, mantenen una proporcióinversa i els seus productes seran iguals a la constant de proporcionalitat.

2 ⋅ Quantitat 1 = 5 ⋅ Quantitat 2 = 7 ⋅ Quantitat 3 = k

2 ⋅ Quantitat 1 = k → Quantitat 1 =



A més, la suma d’aquestes tres quantitats ha de ser igual a la quantitatque s’ha de repartir:

Per tant: Quantitat 1 175 €

Quantitat 2 70 € Quantitat 3 50 €= = =k7

3507

= = =k5

3505

= = =k2

3502

→ k =+ +

= =295

12

15

17

2955970

350

k k kk

2 5 7295

12

15

17

295+ + = + +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =→ →

k7

k5

k2

6

EXEMPLE

Repartir una quantitat, N, en parts inversamentproporcionals a a, b i cequival a repartir-la

en parts directamentproporcionals a

.1 1 1a b c

, i

Si volem repartir una quantitat, N, en parts inversament proporcionals a a,

b i c dividim la constant de proporcionalitat per la quan-

titat corresponent; a, b i c, i obtenim les parts.

N

a b c

1 1 1+ +

831084 _ 0113-0132.qxd 13/4/07 18:36 Página 119

120

Quan intervenen més de dues magnituds relacionades les unes amb lesaltres proporcionalment, diem que hi ha proporcionalitat composta.

Cinc fotocopiadores triguen 6 minuts a fer 600 fotocòpies. Si posem en funcionament 7 fotocopiadores i volem fer 1.400 fotocòpies,quants minuts trigaran?

En aquest cas tenim tres magnituds proporcionals:Nombre de fotocopiadores – Nombre de fotocòpies – Nombre de minuts

Com que intervenen més de dues magnituds, diem que hi ha una proporcionalitat composta.

El primer pas és esbrinar el tipus de proporcionalitat que hi ha entre la magnitud de la incògnita (nombre de minuts) i les altres dues magnituds:

• Com més fotocopiadores, menys minuts → Proporcionalitat inversa.• Com més fotocòpies, més minuts ⎯⎯⎯⎯→ Proporcionalitat directa.

Multipliquem els quocients de les quantitats de les magnituds queconeixem (fem servir les seves inverses en els casos de proporcionalitatinversa), i igualem aquest producte al quocient de les quantitats de la incògnita:

INVERSA DIRECTA

⋅ 10 minuts

Set fotocopiadores trigaran 10 minuts a fer 1.400 fotocòpies.

= = =⋅

=6 4 200

7 0006 6 7 000

4 200x xx→ →.

..

.600

1 400.75

7

EXEMPLE

REFLEXIONA

La mestressa d’una pensió ha pressupostat 250 € per alimentar els 28 hostes que té durant 12 dies. Si el nombre d’hostes augmenta en 6 persones, per a quants dies arribarà el pressupost?

26

EXERCICISPRACTICA

En 7 dies, 8 màquines han obert una rasa de 1.400 m de llargada. Quantes màquines faranfalta per fer una rasa de 300 m en 6 dies?

APLICA

Vint treballadors han posat 400 m de cabledurant 6 dies. Hi han treballat 8 hores diàries.Quantes hores al dia hauran de treballar 24 treballadors durant 14 dies per posar 700 mde cable?

25

24

Proporcionalitat composta5

5

7

Fotocopiadores

600

1.400

Fotocòpies

6

x

Minuts

FFDirecta

Inversa

6 min

600 còpies

831084 _ 0113-0132.qxd 13/4/07 18:36 Página 120

APLICA

Una raqueta de tennis costa 180 € més un 16 %d’IVA. Quin n’és el preu final?

REFLEXIONA

La Maria compra un llibre per 15 €. En aquest preu s’hi inclou un 4 % d’IVA. Quant val el llibre sense IVA?

30

29

EXERCICISPRACTICA

Un embassament amb una capacitat de 200 hm3

es troba al 45 % de la capacitat. Quina quantitatd’aigua conté?

En un diari diuen que 80 de cada 1.500 personespractiquen esports de risc. Expressa aquestadada amb un percentatge.

28

27

121

Problemes amb percentatges

6.1 Càlcul de percentatges

6

En un institut de 200 alumnes, el 25 % dels alumnes porten ulleres. Quants porten ulleres?

Si de 100 alumnes 25 alumnesde 200 alumnes x alumnes

50 alumnes

Quin percentatge d’encerts vaig tenir si vaig fer 7 cistelles de 32 intents?

Si de 32 intents 7de 100 intents x

Vaig tenir un 21,88 % d’encerts.

n’encertaré⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= =⋅

=→ →32100

7 7 10032x

x 21,88 %en vaig encertar⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

9

100200

25= =

xx→

porten ulleres⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

porten ulleres⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

8

EXEMPLES

Un cotxe que l’any passat costava 15.000 € aquest any ha augmentat de preu un 20 %. Quin n’és el preu actual?

Si el preu inicial, el 100 %, ha augmentat un 20 %, el preu final serà el 100 + 20 = 120 % del preu inicial. Per tant, el cotxe costarà:

120 % de 15.000 18.000 €= ⋅ = ⋅ =15 000120100

15 000. . 1,2

10

EXEMPLE

Un percentatge o tant per cent expressa la quantitat d’una magnitudcorresponent a 100 unitats de l’altra. Ho escrivim amb el signe %.

6.2 Augments i disminucions percentuals

Augmentar un t % equival a calcular el (100 + t) % d’aquesta quantitat.Disminuir un t % equival a calcular el (100 − t) % d’aquesta quantitat.

Per calcular el tant per centd’una quantitat n’hi ha prou

de multiplicar aquestaquantitat pel tant per cent

dividit entre 100:

a% de C = C · a

100

831084 _ 0113-0132.qxd 13/4/07 18:36 Página 121

122

REFLEXIONA

Hi ha hagut unes quantes variacions en el preu dels tomàquets. A principis de juny, el preu mitjà d’un quilo de tomàquets era de 2,10 €. Durant aquest mes el preu va pujar un 10 %. El mes de juliol el preu del quilo de tomàquets també es va incrementar, un 17 %, i el mes d’agost va baixar un 8 %respecte al preu del mes de juliol. Quin era el preu d’un quilo de tomàquets a finals del mes d’agost?

Quin ha estat el percentatge de pujada del preudels tomàquets entre juny i agost?

33

EXERCICISPRACTICA

Un disc compacte val 12 €. El botiguer me’lrebaixa un 15 % perquè sóc bon client i quan pago em cobra un 16 % d’IVA. Quant pago pel disc? Quin percentatge suposa el preu final sobre l’inicial?

APLICA

El valor d’una acció és de 15 €. Dilluns puja un 3 %, dimarts baixa un 7 % i dimecres puja un10 %. Amb quin valor comença dijous? En quins moments el valor és superior a l’inicial?

32

31

6.3 Percentatges encadenats

Els percentatges encadenats apareixen quan apliquem augments o dismi-nucions percentuals successivament. Equivalen a aplicar un únic percen-tatge, que és el producte de tots ells.

Un televisor que costa 250 € està rebaixat un 30 %. Quan anem a pagar a caixa ens hi afegeixen un 16 % d’IVA. Quin n’és el preu final?

Si el preu inicial, el 100 %, està un 30 %rebaixat, el preu amb la rebaixa serà:

100 − 30 = 70 % del preu inicial

Quan apliquem l’IVA hi ha un augment del16 %. El preu un cop hi hem posat l’IVA és:

100 + 16 = 116 % del preu rebaixat

Per tant, un televisor de 250 € costarà:

116 % del 70 % de 250 = 0,70 ⋅ 1,16 ⋅ 250 = 0,812 ⋅ 250 = 203 €

El preu final del televisor, 203 €, és el 81,2 % del preu inicial.

11

EXEMPLE

Els percentatges encadenats, t1, t2, t3, …, tn, d’una quantitat equivalen acalcular (t1 ⋅ t2 ⋅ t3 ⋅ … ⋅ tn) % d’aquesta quantitat.

Percentatgerebaixat

Percentatgeamb IVA

Percentatgefinal

F

El 20 % de 144 = · 144 =

= 0,2 · 144

El 120 % de 144 = · 144 =

= 1,2 · 144

120100

20100

831084 _ 0113-0132.qxd 13/4/07 18:36 Página 122

123

Quin interès rebrem per una inversió de 4.500 €al 4 % anual si retirem els diners 2 mesos i 9 diesdesprés del començament de la inversió?

REFLEXIONA

Esbrina el capital que he invertit en un banc al 4,5 % durant 2 anys si en total m’han tornat 1.463 €.

37

36

EXERCICISPRACTICA

Calcula l’interès que donen 1.800 €en 9 mesos al 4 % anual.

APLICA

La Marta va deixar a en Joan 2.460 € al 3%durant 4 anys. Quants diners en total li va tornaren Joan un cop passat aquest temps?

35

34

Interès simple

Quan ingressem una certa quantitat de diners al banc, l’entitat ens dónaun benefici que anomenem interès. L’interès és directament proporcionalals diners dipositats i al temps que els tenim ingressats.

7

L’interès simple, I, és el benefici que origina una quantitat de diners de-nominada capital, C, en un temps, t, amb un rèdit anual, r %.

I = (temps en anys)

I = (temps en mesos)

I = (temps en dies)C r t⋅ ⋅36 000.

C r t⋅ ⋅1 200.

C r t⋅ ⋅100

Quan en el llenguatge quotidiàfem servir expressions com

«un 3 % d’interès», en realitatens estem referint al rèdit.

El rèdit és un percentatge, peròl’interès és un nombre.

Un pagès ha decidit invertir els beneficis de la collita, que són 8.500 €, en un dipòsit al 3 % anual durant 5 anys.a) Quin interès obtindrà quan hagin passat els 5 anys?b) I en els 6 primers mesos de la inversió?

a) Un rèdit del 3% anual significa que, en un any, per cada 100 €invertits, obtindrà 3 € d’interès. Per tant:

En 1 any ⎯→ 3 % de 8.500 = 8.500 ⋅

En 5 anys → = 1.275 €

Si apliquem la fórmula obtenim el mateix resultat:

€

Obtindrà uns interessos de 1.275 € en 5 anys.

b) 127,50 €

En 6 mesos obtindrà uns interessos de 127,50 €.

IC r t

=⋅ ⋅

=⋅ ⋅

=1 200

8 500 3 61 200.

..

I =⋅ ⋅

=8 500 3 5

1001 275

..

C = 8.500, r = 3, t = 5⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→IC r t

=⋅ ⋅100

8 5003

1005

8 500 3 5100

..

⋅⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =

⋅ ⋅

3100

12

EXEMPLE

831084 _ 0113-0132.qxd 13/4/07 18:36 Página 123

124


L’essencial

Magnituds directament proporcionals

15

210

420

630

0 2= = = = ,

Magnituds inversament proporcionals

Interès simple

I = (temps en anys)C r t⋅ ⋅

100

FES-HO AIXÍ

1. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMBREGLES DE TRES SIMPLES DIRECTES

Un cotxe consumeix, a velocitat constant, 7 litres de gasolina si recorre 100 km. Si fa 250 km a la mateixa velocitat, quants litres consumirà?

PRIMER. Identifiquem les magnituds.Distància recorreguda – Consum de gasolina

SEGON. Esbrinem si hi ha relació deproporcionalitat entre elles.

• Amb el doble de distància, doble consum.• Amb la meitat de la distància, meitat

de consum...Les magnituds Distància – Consum sóndirectament proporcionals.

TERCER. Plantegem la regla de tres.

Si en 100 km 7 litresen 250 km x litres

QUART. Resolem la regla de tres.

17,5 litres

Si manté la mateixa velocitat, consumirà 17,5 litres per recórrer 250 km.

100250

7 7 250100

= =⋅

=x

x→

Raó directa

consumirà ⎯⎯⎯⎯→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

consumeix⎯⎯⎯⎯→

2. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES AMBREGLES DE TRES SIMPLES INVERSES

En un veler on es preveu que viatjaran 18 tripulants, emmagatzemem aigua per a 10 dies. Si al final només hi van 15 tripulants, per a quants dies tindran aigua?

PRIMER. Identifiquem les magnituds.Nombre de tripulants – Dies

SEGON. Esbrinem si hi ha relació de proporcionalitat entre elles.

• Amb el doble de tripulants, la meitat de dies.

• Amb la meitat de tripulants, el doble dedies...

Nombre de tripulants – Dies són magnitudsinversament proporcionals.

TERCER. Plantegem la regla de tres.

Si 18 tripulants 10 dies15 tripulants x dies

QUART. Resolem la regla de tres.

12 dies

Tindran aigua per a 12 dies.

1815 10

18 1015

= =⋅

=x

x→

Raó inversa

beuran⎯⎯⎯→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

beuen⎯⎯⎯→

Percentatges

a % de C = C ⋅a

100

1

5

2

10

4

20

6

30

Magnitud A

Magnitud B

F

F

F

F

F

F

: 2

: 2

⋅ 2

⋅ 2

⋅ 3

⋅ 3

Constant deproporcionalitatinversa

G

1

24

2

12

4

6

6

4

Magnitud A

Magnitud B

F

F

F

F

F

F

: 2

⋅ 2

⋅ 2

: 2

⋅ 3

: 3

Constant deproporcionalitatdirecta

G 1 ⋅ 24 = 2 ⋅ 12 = 4 ⋅ 6 = 6 ⋅ 4 = 24

831084 _ 0113-0132.qxd 13/4/07 18:36 Página 124

Resolució de problemes amb regles de tres simples directes o inverses1. Si 70 barres valen 42 €, 85 barres costaran:

a) 141,10 € b) 51 € c) 34,59 €

2. Puc gastar 20 € diaris durant 7 dies. Si vull tenir diners per a 10 dies podré gastar:a) 3,50 € b) 28,57 € c) 14 €

Repartim en parts directament proporcionals3. Si reparteixo 100 en parts directament

proporcionals a 7 i 3, a 7 li corresponen:a) 30 b) 50 c) 70

Repartim en parts inversament proporcionals

4. Si reparteixo 100 en parts inversamentproporcionals a 7 i 3, a 7 li corresponen:

a) 30 b) 50 c) 70

Resolució de problemes de proporcionalitatcomposta

5. Si tres aixetes obertes durant 8 hores diàriestriguen 10 dies a omplir un dipòsit, 4 aixetesobertes 5 hores diàries trigaran:

a) 8,33 dies b) 12 dies c) 4,69 dies

I ARA... PRACTICA

125

4. REPARTIM UNA QUANTITAT EN PARTS INVERSAMENTPROPORCIONALS

Reparteix 70 en parts inversamentproporcionals a 3 i 4.

PRIMER. Dividim la quantitat que hem derepartir entre la suma dels inversos de les parts.

SEGON. Multipliquem aquest resultat per cadascun dels inversos de les parts.

A 3 li correspon: .

A 4 li correspon: .14

120 30⋅ =

13

120 40⋅ =

Na b1 1

701 3 1 4

707 12

70 127

120+

=+

= =⋅

=

3. REPARTIM UNA QUANTITAT EN PARTS DIRECTAMENTPROPORCIONALS

Reparteix 70 parts directament proporcionals a 3 i 4.

PRIMER. Dividim la quantitat que hem de repartirentre la suma de les parts.

SEGON. Multipliquem aquest resultat percadascuna de les parts.La quantitat que li correspon a 3 és: 3 ⋅ 10 = 30

La quantitat que li correspon a 4 és: 4 ⋅ 10 = 40

Na b+

=+

= =70

3 4707

10

5. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT COMPOSTA

Vint treballadors posen 400 m de cable en 6 dies de feina. Quants dies necessitaran 24 obrers per posar-ne 700 m?

PRIMER. Identifiquem les magnituds.Nombre de treballadors – Metres de cable – Dies de feina

SEGON. Esbrinem el tipus de proporcionalitat que hi ha entre la magnitud de la incògnita i la resta.

TERCER. Multipliquem els quocients de les magnituds que coneixem tenint en compte que si és inversa hem de posar els inversos, i l’igualem al quocient de les quantitats de la incògnita.

Treballadors Metres

6

x

400

700

20

24

INVERSA DIRECTA

⋅ 8,75 dies

Hauran de treballar gairebé 9 dies.

400700

6 20 700 624 400

= =⋅ ⋅

⋅=

xx→24

20

Dies

FFDirecta

Inversa

831084 _ 0113-0132.qxd 13/4/07 18:36 Página 125

126

ActivitatsMAGNITUDS PROPORCIONALS

38. ● Indica quins dels parells de magnitudssegüents són directament proporcionals.

a) La longitud del costat d’un quadrat i el seuperímetre.

b) La longitud del costat d’un quadrat i la sevaàrea.

c) El nombre de fills d’una família i el nombre dedies de vacances.

39. ● En un mercat hi ha dues parades on venenpomes, i tenen aquestes taules de preus.

En quina de les parades les magnituds preu i pessón directament proporcionals?

40. ● Completa la taula. Tingues en compte que ésuna proporcionalitat directa.

41. ● Observa la taula de proporcionalitat de les magnituds següents.

Comprova que les magnituds M i M' sóndirectament proporcionals, i calcula y i y'.

42. ● Assenyala quins dels parells de magnitudssegüents són inversament proporcionals.

a) El nombre de màquines i el temps que triguena fer una feina.

b) L’edat d’una persona i la seva velocitat quancamina.

c) La base i l’altura d’un rectangle amb una àreade 20 cm2.

d) La base i l’altura d’un rectangle de 40 cm de perímetre.

100 500 1.000 25.000

4 200

43. ● Estudia si les magnituds són directament o inversament proporcionals.

a) El radi d’una circumferència i la seva longitud.b) La velocitat d’un cotxe i el temps que tarda a fer

un recorregut determinat.c) El nombre d’entrades d’un cinema i el preu.d) La superfície d’una paret i el temps que es

tarda a pintar-la.e) La gasolina que gasta un cotxe i la distància

que recorre.

44. ● Completa les taules següents perquè siguin de proporcionalitat inversa.

a) b)

45. ● Comprova que les magnituds M i M'són inversament proporcionals, i calcula el valor de y i y'.

46. ●● En cadascuna d’aquestes taules de proporcionalitat inversa hi ha un error.Corregeix-lo i calcula la constant de proporcionalitat.

a) b)

REGLA DE TRES

47. ● Per construir una tanca de 12 metres s’han pagat 1.250 €. Quant s’haurà de pagar peruna altra tanca de 25 metres?

48. ● L’Amanda ha comprat un tros de roba de 2 mque li ha costat 32 €. Quant li hauria costat un tros de 3,2 metres?

1,2 2,4 4,8 6 7,2

50 25 12 10 8,3)

9 6 5,4 4,5 4

6 9 10 12 13

4 12 30 60

28

2 3 4 5

0,90

PARADA A

1 kg 2 kg 3 kg

0,53 € 1,06 € 1,59 €

PARADA B

1 kg 2 kg 3 kg

0,60 € 1 € 1,50 €

4

12

6

18

7

21

9

y

10

y'

Magnitud M

Magnitud M'

4

12

6

8

8

6

10

y

16

y'

Magnitud M

Magnitud M'

12 m 25 m

831084 _ 0113-0132.qxd 13/4/07 18:36 Página 126

127

49. � Un cotxe consumeix 25 litres de combustible en un viatge de 300 km si va a una velocitatdeterminada. Quant consumirà en un viatge de 550 km si va a la mateixa velocitat?

50. �� Un tren que circula a 100 km/h triga 5 hores a arribar a una ciutat. A quina velocitat circula un altre tren que triga 6 hores i un quart a fer elmateix recorregut?

51. �� Si un pintor ha pintat 75 m2 de paret amb 125 quilos de pintura:

a) Quanta pintura hauria necessitat per pintar 300 m2 de paret?

b) Amb 50 kg, quants metres quadrats pot pintar?

52. �� Quinze persones fan el muntatge d’unes plaques solars en tres setmanes.

a) Quan trigarien 35 persones a fer aquestmuntatge?

b) Si el volem fer en només 15 dies, quantespersones necessitarem?

53. �� Tres capses de bombons pesen 2,7 quilos.

a) Quant pesen 15 capses?b) Si la nostra furgoneta pot transportar 500 kg,

hi podem portar 230 capses de bombons?

54. �� Una explotació agrària té herba per alimentar 48 vaques durant 18 setmanes.

a) Per a quantes setmanes en tindria si fossin 24 vaques més?

b) Si passades 7 setmanes compren 18 vaques, fins quan hi haurà herba?

55. �� En una casa on viuen 6 persones esconsumeix, per a la higiene personal, una mitjanade 900 litres d’aigua diaris. Quant es gastarà enaquesta casa si hi entren a viure 5 persones més?

56. �� El consum d’aigua en un gimnàs on van 150 persones és de 6.000 litres diaris.

a) Quin en serà el consum si s’hi inscriuen 30 persones més?

b) Si a partir de 7.000 litres el consum té unrecàrrec, quin és el nombre màxim de clientsnous que s’hi poden inscriure sense pagaraquest recàrrec?

57. �� Per fer una minipizza de 10 centímetres de diàmetre necessitem 100 grams de mozzarella. Si volem fer una pizza de 20 centímetres de diàmetre, quina quantitat de formatge farem servir?

REPARTIMENTS PROPORCIONALS

58. � Un constructor vol repartir 1.000 € entre tresdels seus treballadors de manera directamentproporcional a l’antiguitat que tenen a l’empresa.L’Andreu fa 9 anys que és a l’empresa, mentreque en Bernat i en Carles només en fa 3. Quinapart els correspon?

59. � Un avi decideix repartir 120 caramels entre els seus quatre néts de manera directamentproporcional a les edats que tenen, que són 4, 6, 6 i 8 anys, respectivament. Quants caramels corresponen a cada nét?

60. �� Dos amics munten un negoci. Un d’ells es retira al cap de 8 mesos. L’altre soci continua fins al final d’any, i el resultat són unes pèrdues de 1.500 €. Quant ha de pagar cada amic?

831084 _ 0113-0132.qxd 10/5/07 10:44 Página 127

128

61. ●● En Vicenç i la Sílvia obren una llibretad’estalvis en un banc. En Vicenç hi posa 400 €i la Sílvia, 800. Uns anys després els tornen 1.380 €. Com els han de repartir? Quantcorrespon a cadascú?

62. ●● Decidim construir un pont que costa un milió d’euros. L’han de pagar tres localitats en parts inversament proporcionals a la distància de cadascuna del pont. Albareda és a 6 km, Bonaigua, a 8 km i Cabestrer, a 10. Calcula quant ha de pagar cada localitat.

64. ●● En Lluís, en Damià i en Carles van comprar un dècim de loteria de Nadal. En Carles hi vaposar 10 €, en Damià 6 i en Lluís 4. El dècim vaser premiat i en el repartiment a en Carles li vantocar 5.000 €. Quant els va correspondre als altresdos?

65. ●●● Un avi reparteix 10.350 € entre els seus tresnéts de manera proporcional a les edats quetenen. Si els dos petits tenen 22 i 23 anys, calcula:

a) L’edat del germà gran si saps que licorresponen 3.600 €.

b) Les quantitats dels altres germans.

67. ●● Si reparteixes una quantitat a partsinversament proporcionals a 10, 7 i 3, la quantitatque li correspon a 3 és 50. Quines quantitats corresponen a 10 i 7?

68. ●●● D’acord amb un testament, repartim 359.568 € entre tres persones en partsinversament proporcionals al seu sou mensual.Calcula quant correspondrà a cadascú

si el sou més baix és del sou mitjà, el qual és

del més alt.3

4

2

3

COM CALCULEM LA QUANTITAT REPARTIDA SI EN SABEM UNA PART DIRECTAMENTPROPORCIONAL?

63. Hem repartit una quantitat de formadirectament proporcional a les edats de tresgermans, que són 8, 4 i 3 anys. Si al germàmés gran li han correspost 800 €, quinaquantitat hem repartit?

PRIMER. Trobem la constant de proporcionalitat.

SEGON. Calculem el total.(8 + 4 + 3) ⋅100 =1.500

Hem repartit 1.500 €.

k = =8008

100

FES-HO AIXÍ

COM CALCULEM LA QUANTITAT REPARTIDA SI EN CONEIXEM UNA PART INVERSAMENTPROPORCIONAL?

66. Hem repartit una herència de formainversament proporcional a les edats de trescosins, que són 25, 20 i 16 anys. Al cosí de 25 anys li han correspost 800 €. Quina quantitat s’han repartit?

PRIMER. Calculem la constant de proporcionalitat.

k = 800 ⋅ 25 = 20.000

SEGON. Calculem el total.

Herència

3.050 €

Hem repartit 3.050 €.

20 00025

20 00020

20 00016

. . .+ + =

k k k25 20 16

+ + =

80025

=k →

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0113-0132.qxd 13/4/07 18:36 Página 128

COM COMPAREM MITJANÇANT PERCENTATGE?

82. En una cafeteria han augmentat els preus dels refrescos: la taronjada, d’1 € a 1,05 €, i els refrescos de cola, d’1,10 € a 1,15 €. Ha estat proporcional, l’augment?

PRIMER. Calculem la pujada lineal.1,05 − 1 = 0,05 1,15 − 1,10 = 0,05

Els dos refrescos pugen la mateixa quantitat.

SEGON. Calculem el percentatge que representa lapujada.

L’augment no és proporcional.

0,051,10

0,0454 4,54= → %0,05

0,051

5= → %

FES-HO AIXÍ

129

PROPORCIONALITAT COMPOSTA

69. �� Un grup de 8 amics va pagar 940 € per unaestada de 3 dies en un hotel. Quant costaval’estada d’un dia de cada amic?

70. �� Dues màquines consumeixen 1.500 kWh en un dia si funcionen 6 hores diàries. Quant consumiran 3 màquines si funcionen 8 hores al dia?

71. �� Una barra de metall de 10 m de llargada i 2 cm2 de secció pesa 8,45 kg. Quant pesarà una barra del mateix material de 5 m de llargada i 7 cm2 de secció?

72. �� Per les festes d’un barri col·loquen 1.200 fanalets que s’encenen 8 hores al dia. Això suposa una despesa de 1.440 €. Quina seria la despesa si es col·loquessin 600 fanalets més i s’encenguessin 2 hores menys?

73. �� Es creu que, per construir la piràmide de Kheops, van treballar 20.000 persones durant10 hores al dia. I van trigar 20 anys a acabar-la.

a) Quant haurien trigat si haguessin estat 10.000 persones més?

b) I si haguessin treballat 8 hores diàries?

74. �� Cent treballadors, tarden 300 dies a construirun vaixell treballant 8 hores diàries.

a) Si s’augmentés la plantilla en 20 persones,quants dies s’avançaria la construcció?

b) Si es reduís la plantilla en 20 persones, quantsdies s’endarreriria la construcció?

c) I si la plantilla es reduís en 20 persones peròs’augmentessin els torns a 9 hores diàries?

PERCENTATGES

75. � Tres de cada 5 alumnes han tingut la grip en el mes de gener. Expressa aquesta dada enforma de percentatge.

76. � Em fan un 15 % de descompte per un CD quecosta 21 €. Quants diners m’estalvio?

77. �� En un institut, 63 alumnes, que són el 15 % del total, han viatjat a l’estranger. Quantsalumnes té l’institut?

78. �� Un venedor de cotxes rep com a comissió el 0,8% de les vendes que fa.

a) Si en un mes va rebre 300 € de comissió,quines vendes va fer?

b) Si el mes següent va vendre per valor de 45.000 €, quina comissió va obtenir?

79. �� Un comerciant decideix apujar el preu d’una mercaderia, que era de 72 €, un 3 %, i la setmana següent un altre 3 % sobre l’últimpreu. Quin és el preu final de la venda?

80. �� Dues setmanes consecutives s’ha aplicat al preu d’un article augments del 2 % i el 5 %. Quin percentatge s’ha incrementat l’article sobre el preu original?

81. �� En una botiga apugen el preu d’un producte de 200 € un 10 %. La setmana següent decideixenrebaixar-lo un 10 % del preu que té en aquellmoment. Què ha passat amb el preu?

831084 _ 0113-0132.qxd 10/5/07 10:44 Página 129

130

83. �� Per Nadal, la carn de xai va pujar de preu: de 8,85 €/kg a 11,55 €/kg. També es va encarir el raïm, de 2,10 €/kg a 3,95 €/kg. Quin producte es va apujar més en proporció?

84. �� Hem escalfat una barra de metall d’1 m a 200 ºC i s’ha dilatat fins que ha fet 1,04 m.Quan hem escalfat una barra de 60 cm d’un altre metall a la mateixa temperatura, s’ha dilatatfins a arribar a mesurar 61,9 cm. Quin metall es dilata menys?

85. �� En un envàs de galetes anuncien que contéun 25 % més pel mateix preu. Els envasos anticspesaven 1 kg, i l’envàs actual, amb l’oferta, pesa1,20 kg. És certa la publicitat?

INTERÈS SIMPLE

86. � Quin interès donen 3.000 ? al 4,3 % durant 5 anys? I durant 15 mesos? I durant 150 dies?

87. �� Quin és el capital que, al 7,5 %, produeix 3.760 € en un any?

88. �� L’Emili ha decidit invertir els estalvis, que són 9.600 €, en un dipòsit financer que ofereix un interès del 3,85 % durant 4 anys.

a) Quant cobrarà d’interessos durant els 6 primersmesos?

b) I per 3 mesos i 20 dies?c) Si decidís treure els diners abans que acabés

el període d’inversió, 4 anys, el penalitzarienamb un pagament del 5 % del capital invertit.Després d’un any i dos mesos i mig, hi perdrà o hi guanyarà diners?

d) Quant temps ha de passar perquè, quancancel·li el dipòsit, no hi perdi diners?

89. �� En Mateu ha rebut una herència de 40.000 €.Els inverteix en un dipòsit amb un interès del 5 %anual durant 5 anys i mig. Quan hagi passataquest temps, els interessos que rebrà elsrepartirà entre els seus 4 fills, de manerainversament proporcional a l’edat que tenen, que són 15, 14, 12 i 10 anys.

a) Quina quantitat rebrà d’interessos quan acabi la inversió, és a dir, al cap de 5 anys i mig?

b) Quants diners correspondran a cada fill?

PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT

91. �� Mesclem 8 kg de cafè de 2,25 €/kg amb 5 kg de cafè d’1,66 €/kg. A quant haurem de vendre el quilo si volem guanyar un 10 % del preu per quilo?

92. �� Fonem un lingot de plata de 200 g de llei del 90 % (90 % de puresa) amb un altre de 300 g de 80 % de llei. Quina és la llei del lingot nou?

93. �� Tenim alcohol del 96 %. Si mesclem 1 litred’alcohol amb mig litre d’aigua, quina serà la graduació de l’alcohol que en resulta?

COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MESCLES?

90. Mesclem dos tipus de farina, A i B, amb unspreus de 0,75 €/kg i 0,50 €/kg. La proporció és de 5 kg del tipus A i 3 kg del tipus B. A quin preu surt el quilo de la mescla?

PRIMER. Calculem el preu i la quantitat total.Total de farina = 5 kg + 3 kg = 8 kgPreu total = 5 ⋅ 0,75 + 3 ⋅ 0,50 = 5,25 €

SEGON. Ho reduïm a la unitat.

Preu de la mescla = 0,66 €/kg5,25

8=

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0113-0132.qxd 10/5/07 10:44 Página 130

131

94. �� En quina proporció hem de mesclar dos tipus de cafè, A i B amb uns preus de 5 €/kg i 8 €/kg perquè en resulti un cafè de 7,25 €/kg?

95. �� Un lingot d’or i coure del 90 % de llei té un pes de 100 g. Amb quina quantitat de coure l’haurem de fondre perquè la llei baixi al 75 %?

97. �� A les 9.45 h surt de Sevilla un AVE en direcció a Madrid que circula a una velocitatmitjana de 220 km/h. A la mateixa hora surt de Madrid un tren de mercaderies que circulaper una via paral·lela a la de l’AVE i que va a una velocitat de 40 km/h. A quina hora es trobaran si la distància entre Madrid i Sevilla és de 520 km?

98. �� Un ciclista que circula a una velocitat de 15 km/h té una hora d’avantatge respecte a un cotxe que circula a 60 km/h. Quant tempstrigarà el cotxe a atrapar el ciclista?

INVESTIGA

99. �� Si una magnitud, A, és directamentproporcional a una altra magnitud, B, i aquesta és inversament proporcional a C, com són A i C?

100. �� Reparteix un nombre k en dues partsdirectament proporcionals a dos nombresqualsevol, m i n, i després fes el repartimentinversament proporcional als mateixos valors, m i n.

a) Quina relació hi ha entre les parts obtingudesen cada repartiment?

b) Passa sempre el mateix?

101. �� Si una certa quantitat la disminuïm un 10 %, quin percentatge l’hem d’incrementarper obtenir la mateixa quantitat?

102. �� Una làmina de vidreabsorbeix el 20 % de la llum vermella que li arriba, és a dir, en deixapassar el 80 %. Quanteslàmines fan falta, com amínim, una sobre l’altra,perquè passi com a mínimla meitat de la llumvermella que li arribi?

COM RESOLEM ELS PROBLEMES DE MÒBILS?

96. Un tren de passatgers va a una velocitat de 90 km/h i un de mercaderies que circulaper una via paral·lela va a 50 km/h.

a) Si surten a la mateixa hora de puntsoposats, a una distància l’un de l’altre de 350 km, i un va a trobar l’altre, quant tardaran a trobar-se?

b) Si tots dos surten del mateix punt i el trende mercaderies, que ha sortit abans, té unavantatge de 140 km, quant tardarà el trende passatgers a atrapar-lo?

PRIMER. Sumem o restem les velocitats en funcióde si van en la mateixa direcció o no.

a) VELOCITAT D’ACOSTAMENT = 90 + 50 = 140 km/hS’acosten a una velocitat de 140 km/h.

b) VELOCITAT D’ACOSTAMENT = 90 − 50 = 40 km/hEl tren de passatgers s’acosta al demercaderies amb una velocitat de 40 km/h.

SEGON. El quocient entre la distància que els separa i la velocitat a què s’acosten és el temps.

a) Temps =

Tardaran 2,5 hores a trobar-se.

b) Temps =

Tardarà 3,5 hores a atrapar-lo.

distànciavelocitat

3,5= =14040

distànciavelocitat

2,5= =350140

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0113-0132.qxd 10/5/07 10:44 Página 131

132

A la vida quotidiana103. ●●● En Norbert ha passat

les vacances de Setmana Santa a casa dels seus oncles. S’hi va endur els apunts de classe perquè havia de fer unes quantes feines que li havien manat. Quan ha tornat se’ls ha deixat, per això la seva cosina Helena els hi enviarà per missatger.

En Norbert ha trobat a casa una factura d’una empresa de missatgeria que el seu pare havia contractat feia temps.

L’Helena ha pesat et paquet amb els apunts d’en Norbert: 3,2 kg, i ha mesurat en un mapa la distància que hi ha fins a la seva ciutat: 126 km.

Quant pagarà l’Helena si envia el paquet ambaquesta empresa? I si ho fa amb el servei urgent?

104. ●●● Vilaplana i Vilapujada són dos poblesveïns. Com que acaben de construir unaautopista prop dels dos municipis, els alcaldeshan decidit variar la carretera per fer-hi unaincorporació a aquesta autovia. El problema és que no es posen d’acord sobre com esdividiran les despeses.

Després de moltes discussions han decidit el següent.

Quin percentatge del total del cost de l’obrahaurà de pagar cada municipi?

Hi estic d’acord, però hem de tenir en compte

que Vilaplana té més veïns i, per tant, hi hauria de contribuir en més mesura. Tot i això, posa

la major part de la despesa en el manteniment de la resta

de carreteres de la zona...

BAN MUNICIPAL

Es construirà una variant de la carrete-

ra entre Vilaplana i Vilapujada que con-

nectarà amb l’autovia nova.

Les despeses d’aquesta obra es dividiran

de manera proporcional al nombre de

veïns censats en cada poble, i inversament

proporcional a les despeses que cada mu-

nicipi té en el manteniment de les carre-

teres veïnals.

Habitants Despeses

Vilaplana 6.748 16.860 €

Vilapujada 1.230 2.400 €

Total22,20 €

PackExpress

CIF 455545EE07

Tel.: 902 566 300

www.packexpress.com

CLIENT: Sr. Santiago Copaló

DNI: 38135286

Domicili: C/ Romaní, 13

Servei2,00 €

Transport:

250 g a 25 km 18,75 €

7 % d’IVA1,45 €

Per servei urgent

hi haurà un increment

d’un 30 % sobre el total.

Aquestes empreses cobren una quantitatfixa per cada servei i n’hi afegeixen un altra que depèn proporcionalment del pes del paquet i de la distància

a què s’envia.

Jo crec que hauríem de dividir les despeses

de manera directament

proporcional als veïns de cada municipi.

831084 _ 0113-0132.qxd 13/4/07 18:36 Página 132

7La mascota de la princesaEl rei de Sicília, Frederic II, havia encarregat al filòsof de la cort, Joan de Palerm, que examinés Leonardo de Pisa amb problemes matemàtics difícils de resoldre.

Leonardo, més conegut com a Fibonacci, li va presentar les solucions i es va esperar que les avaluessin. A mesura que estudiaven la feina, les seves cares reflectien la sorpresa que els produïa.

Mentrestant, Fibonacci s’havia allunyat una mica i xerrava amb una nena que, asseguda a l’escala, amanyagava un conillet que tenia a la falda.

–Jo vaig tenir una parella de conills –li va dir Fibonacci.

–De quin color eren? –es va interessar la nena.

–Eren blancs i els vaig tenir a casa, amb les seves cries, durant 12 mesos. Després em vaig traslladar amb el meu pare i no me’ls vaig poder endur. En un any tenia 144 parelles!

–Això és impossible –va dir la nena mentre s’ho imaginava tot ple de conills.

–La primera parella va criar el segon mes, de cada llorigada em quedava amb una altra parella, que començava a procrear al cap de dos mesos de vida –repassava mentalment el savi.

La nena anava apuntant i, de cop i volta, ho va veure clar.

–El nombre de parelles és, cada mes, la suma dels dos mesos anteriors.

Quantes parelles tindria al cap de catorze mesos? I al cap de dos anys?

Progressions


• Reconèixer una successió de nombres.

• Reconèixer i diferenciar les progressionsaritmètiques i geomètriques.

• Calcular el termegeneral i la suma de n termes d’unaprogressió aritmètica i geomètrica.

• Calcular el nombre de termes n i la sumadels infinits termesd’una progressiógeomètrica.

• Resoldre problemesreals d’interèscompost.

PLA DE TREBALL

Mes G F M A M J J A S O N D

Parelles 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 133

134

APLICA

Fes una successió que compleixi que:

a) El primer terme és 5 i cadascun dels següentsés la suma de l’anterior més 3.

b) El primer terme és 12 i cadascun dels següents és l’anterior multiplicat per 3.

REFLEXIONA

Fes una successió amb els termes a1 = 2, a2 = 3 i a3 = 4, en què els termes següents siguinla suma dels tres anteriors.

3

2

EXERCICISPRACTICA

Digues quins són els termes a1, a3 i a6

de les successions següents.

a) 6, 7, 8, 9, 10 …b) 0, −2, −4, −6, −8 …c) 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 …d) −1, −1, −1, −1, −1 …e) −2, −4, −8, −16, −32 …f) 1, 2, 3, 5, 8 …

Determina’n la regla de formació.

1

Successions1Una successió és un conjunt ordenat de nombres reals:

a1, a2, a3, a4, a5, a6 …

Cadascun dels nombres que formen la successió l’anomenem terme dela successió.

Determina quins són els termes a2 i a5 en aquestes successions.a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 … c) 1, 5, 10, 15, 20, 25 …b) 2, 4, 6, 8, 10, 12 … d) 20, 30, 40, 50, 60, 70 …

El subíndex de cada terme indica el lloc que ocupa en la successió; així doncs, a2 és el segon terme de la successió, i a5, el cinquè.a) a2 = 2 i a5 = 5 c) a2 = 5 i a5 = 20b) a2 = 4 i a5 = 10 d) a2 = 30 i a5 = 60

1

EXEMPLE

Determina la regla de formació de les successions següents.

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11 … ⎯⎯→ Cada nombre és l’anterior més 2.b) 1, 2, 4, 8, 16, 32 … ⎯→ Cada nombre és l’anterior multiplicat per 2.c) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 … → Cada nombre és la suma dels dos anteriors.d) 1, 3, 6, 10, 15, 21 … ⎯→ Cada nombre és l’anterior més 2, més 3, més 4...e) 1, 4, 9, 16, 25, 36 … ⎯→ Cada nombre és el quadrat del lloc que ocupa.f) 2, 3, 5, 7, 11, 13 … ⎯→ Successió de nombres primers.

2

EXEMPLE

En una successió sabem quin és el primer terme,

quin és el segon...El conjunt dels nombres

decimals no és unasuccessió: no sabem quin

serà el següent a 0.

1.1 Regla de formació

Hi ha successions en què en podem determinar els termes a partir d’uncert criteri; aquest criteri l’anomenem regla de formació.

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 134

135

APLICA

Inventa’t el terme general d’una successió i calcula el valor dels termes 13, 25 i 64.

REFLEXIONA

Escriu els termes generals de les successions.

a) 2, 3, 4, 5, 6 …b) 3, 6, 9, 12, 15 …c) 5, 10, 15, 20, 25 …d) 8, 11, 14, 17, 20 …

7

6

EXERCICISPRACTICA

Escriu els quatre primers termes de la successió amb terme general:

a) an = n2 − 3n + 2 b)

Troba els quatre primers termes de cadasuccessió.

a) a1 = −1, an = n + an−1

b) a1 = 2, an = 2a2n −1 − 3n

5

ann

n =++

42 1

4

El terme general d’una successió és una expressió algebraica que enspermet calcular qualsevol terme de la successió si sabem quin lloc ocu-pa. El representem amb an.

Una successió és recurrent quan obtenim cada terme a partir delsanteriors.

Troba el terme general d’aquestes successions i calcula a10 i a100.

a) 2, 4, 6, 8, 10 … ⎯⎯→ Cada nombre és el lloc que ocupa aquest nombremultiplicat per 2.

Terme general ⎯⎯→ an = 2n, en què n és el lloc que ocupa el terme a la successió.

an = 2n a10 = 2 ⋅ 10 = 20 an = 2n a100 = 2 ⋅ 100 = 200

b) 1, 4, 9, 16, 25, 36 … ⎯→ Cada nombre és el quadrat del lloc que ocupa.

Terme general ⎯⎯→ an = n2, en què n és el lloc que ocupa el terme a la successió.

an = n2 a10 = 102 = 100 an = n2 a100 = 1002 = 10.000n = 100⎯⎯⎯→n = 10⎯⎯⎯→

n = 100⎯⎯⎯→n = 10⎯⎯⎯→

3

EXEMPLE

Troba el terme general d’aquesta successió i calcula a7 i a8.

1, 3, 5, 7, 9, 11 … ⎯⎯→ Cada nombre és l’anterior més 2.

Terme general ⎯→ an = an−1 + 2

an = an−1 + 2 a7 = a6 + 2 = 11 + 2 = 13

a8 = a7 + 2 = 13 + 2 = 15n = 8⎯⎯⎯→

n = 7⎯⎯⎯→

4

EXEMPLE

1.2 Terme general

1.3 Successions recurrents

En una successió, el terme anterior general, an, és an-1, i el posterior, an+1.

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 135

En totes les progressions aritmètiques es compleix que:a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = … = d

Determina si aquestes successions són progressions aritmètiques.

a) 5, 8, 11, 14, 17, 20 …

5, 8, 11, 14, 17, 20 …

És una progressió aritmètica amb diferència d = 3.

b) 16, 11, 6, 1, −4, −9 …

16, 11, 6, 1, −4, −9 …

És una progressió aritmètica amb diferència d = −5.

5

EXEMPLE

APLICA

En una progressió aritmètica, a1 = 4,8 i a2 = 5,6.Calcula.

a) La diferència, d. b) terme a8.

REFLEXIONA

En una progressió aritmètica, el terme a4 = 12 i la diferència d = −3. Calcula a1 i a8.

10

9

EXERCICISPRACTICA

Determina si les successions següents són progressions aritmètiques.

a) 1, 0, −1, −2 …b) 4, 5, 6, 7, 8, 9 …c) 2, 4, 7, 11, 16 …d) 1, 4, 9, 16, 25 …e) 11, 10, −1, −2 …

8

136

• La successió dels nombresnaturals: 1, 2, 3, 4, 5, ..., és una progressió aritmèticaamb d = 1.

• La successió 0, -1, -2, -3, …,és una progressió aritmèticaamb d = -1.

Una progressió aritmètica és una successió en què obtenim cada ter-me (menys el primer) a partir de l’anterior més un nombre fix, d, queanomenem diferència de la progressió.

Progressions aritmètiques2

F

F F

F F

+3

+3

+3 +3

+3

F

F F

F F

+(−5)

+(−5)

+(−5) +(−5)

+(−5)

Determina si aquestes successions són progressions aritmètiques.

a) 4, 8, 12, 16, 20 …

Com que es compleixen les igualtats, és una progressió aritmètica amb diferència d = 4.

b) 1, 4, 7, 11, 15 …

a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = a5 − a4 = … = d4 − 1 = 7 − 4 � 11 − 7 → No és una progressió aritmètica.

a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = a5 − a4 = … = d8 − 4 = 12 − 8 = 16 − 12 = 20 − 16 = … = 4

6

EXEMPLE

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 136

137

2.1 Terme general d’una progressió aritmètica

En una progressió aritmètica, cadascun dels termes és igual a l’anteriormés la diferència. És a dir:

a2 = a1 + da3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2da4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3da5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d…an = a1 + (n – 1)d

Troba el terme general d’aquesta progressió aritmètica.

3, 5, 7, 9, 11 …

• El primer terme de la progressió és a1 = 3.

• Calculem la diferència:

Per tant: an = a1 + (n − 1) ⋅ d

an = 3 + (n − 1) ⋅ 2 = 3 + 2n − 2 = 1 + 2n

El terme general de la progressió és: an = 1 + 2n.FFF

a a d d2 1

5 3 22− =

− =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=→

7

EXEMPLE

La fórmula an = a1 + (n - 1)dnomés és vàlida

si la successió és unaprogressió aritmètica.

APLICA

En una progressió aritmètica, el tercer terme és9 i la diferència, 7. Troba el primer terme i elterme general.

REFLEXIONA

En una progressió aritmètica, a6 = 17 i a9 = 23.Calcula a1 i el terme general.

14

13

EXERCICISPRACTICA

Troba el terme general d’aquestes progressionsaritmètiques.

a) … b) 25, 22, 19, 16 …

En una progressió aritmètica, el primer terme és5 i la diferència, −2. Determina an.

12

12

132

252

, , , ,

11

El terme general d’una progressió aritmètica és an = a1 + (n − 1)d,en què a1 és el primer terme i d, la diferència.

Dos termes d’una progressió aritmètica estan sempre relacionats.

Ens fixem, per exemple, en a14 i a8:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14 …

Veiem que si sumem 6 vegades (6 = 14 − 8) la diferència, d, al terme a8

obtenim a14. És a dir, a14 = a8 + 6d.

Donats dos termes, ap i aq, d’una progressió aritmètica (p < q), es com-pleix que:

aq = ap + (q − p)d

G G G G GG

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 137

REFLEXIONA

Vull col·locar 7 files de testos de manera que a la primera fila hi posaré 3 testos, i cadascuna de les files següents tindrà 3 testos més que l’anterior.

Quants testos col·locaré en total?

17

EXERCICISPRACTICA

Calcula la suma dels 10 primers termes de la progressió: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39...

APLICA

Donada la progressió aritmètica amb an = 10 −5n,troba la suma dels 25 primers termes.

16

15

138

2.2 Suma de n termes en una progressió aritmètica

En una progressió aritmètica, la suma dels termes equidistants dels extremsés igual a la suma dels extrems:

a1 + an = a2 + an−1 = a3 + an−2 = …

En la progressió aritmètica: 5, 8, 11, 14, 17, 20 ... es compleix que:

5, 8, 11, 14, 17, 20

8

EXEMPLE

La suma, Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … + an−1 + an, dels n primers ter-mes d’una progressió aritmètica és:

Sa a n

nn= + ⋅( )1

2

11 + 14 = 258 + 17 = 255 + 20 = 25

Calcula la suma dels 6 primers termes de la progressió aritmètica:5, 8, 11, 14, 17, 20 …

A l’exemple anterior hem vist que: a1 + a6 = a2 + a5 = a3 + a4 = 25.

Considerem la suma dels 6 primers termes de la progressió i en canviem l’ordre:

S6 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 S6 = a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1

Sumem totes dues expressions:

Com que els sis sumands són iguals, tenim que:

A la pràctica, per calcular la suma dels termes d’una progressió

aritmètica en general fem servir la fórmula: .Sa a n

nn=

+ ⋅( )1

2

2 66

25 20 6

2756 1 6 6

1 6S a a Sa a

= + ⋅ =+ ⋅

=+ ⋅

=( )( ) ( )→

S6 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6+2S6 = a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1

2S6 = (a1 + a6) + (a2 + a5) + (a3 + a4) + (a4 + a3) + (a5 + a2) + (a6 + a1)

9

EXEMPLE

Com que an = a1 + (n - 1)d, la fórmula per calcular la suma pot quedar així:

Sn = a1 · n + n n d( )12- ·

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 138

APLICA

Troba el terme general i el terme a6.

a) … b) …

REFLEXIONA

En una progressió geomètrica, a2 = 2 i .Calcula an i a5.

a41

2=20

3 3 3 9 9 3, , ,23

415

845

, ,

19

EXERCICISPRACTICA

Determina si són progressions geomètriques.

a) 1, 5, 25, 125, 625 …

b) 7, 14, 28, 56, 112 …

c) −1, −2, −4, −8, −16 …

d) 3, 9, 24, 33 …

e) 4, 4, 4, 4, 4 …

18

139

3.1 Terme general d’una progressió geomètrica

En una progressió geomètrica es verifica que:a2 = a1 ⋅ ra3 = a2 ⋅ r = (a1r) ⋅ r = a1r

2

a4 = a3 ⋅ r = (a1r2) ⋅ r = a1r

3 …an = a1r

n−1

Determina si la successió: 1, 2, 4, 8, 16, 32... és una progressió geomètrica.

És una progressió geomètrica de raó r = 2.

21

42

84

168

3216

2= = = = =

10

En una progressiógeomètrica, un terme ap

es relaciona amb un altreterme, aq (p < q) d’aquesta

manera: aq = ap · rq-p

Una progressió geomètrica és una successió de nombres cadascundels quals (menys el primer) l’obtenim multiplicant l’anterior per unnombre fix, r, que anomenem raó de la progressió.

El terme general d’una progressió geomètrica és an = a1 ⋅ rn−1, enquè a1 és el primer terme i r és la raó.

Progressions geomètriques3

F

F

⋅ 2

F

⋅ 2

F

⋅ 2

⋅ 2 F⋅ 2

Calcula el terme general de la progressió geomètrica: 2, −8, 32, −128 …


• Calculem la raó:

Per tant: an = a1 ⋅ rn−1 an = 2 ⋅ (−4)n−1a1 = 2, r = −4⎯⎯⎯⎯⎯→

raa

= =−

= −2

1

82

4.

11

EXEMPLE

1, 2, 4, 8, 16, 32 …

En una progressió geomètrica es compleix que: .aa

aa

aa

r2

1

3

2

4

3= = = … =

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 139

140

3.2 Suma de n termes en una progressió geomètrica

Ara busquem una fórmula general per calcular la suma de n termes enuna progressió geomètrica:

Sn = a1 + a2 + … + an−1 + an

Si multipliquem tots dos membres per la raó, r, obtenim:

Sn ⋅ r = a1 ⋅ r + a2 ⋅ r + … + an−1 ⋅ r + an ⋅ r = a2 + a3 + … + an + an ⋅ r123 123 123

a2 a3 an

Si restem les dues expressions:

Traiem factor comú Sn i aïllem:

Sn(r – 1) = −a1 + an ⋅ r = an ⋅ r − a1

Sn =a r a

r

a r r a

r

a r

rn

n n−−

=−

−=

−−

−1 1

11 1

1 1

1

1

( ) ( )

Sn ⋅ r = −a1 + a2 + a3 + … + an−1 + an + an ⋅ r− Sn = −a1 + a2 + a3 + … + an−1 + an ⋅ r

Sn ⋅ r − Sn = −a1 + a2 + a3 + … + an−1 + an + an ⋅ r

Calcula la suma dels 10 primers termes de la progressió geomètrica: −1, −2, −4, −8, −16 …

• El primer terme de la progressió és a1 = −1.

• Calculem la raó:

Per tant:

=− ⋅ −

= −( ) ( . )

.1 1 024 1

11 023

S10

101 2 12 1

=− ⋅ −

−=

( ) ( )a1 = −1, r = 2, n = 10⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→Sa r

rn

n

=−

−1 1

1( )

raa

= =−−

=2

1

21

2.

12

EXEMPLE

APLICA

Troba la suma dels 7 primers termes de la progressió.

…

REFLEXIONA

Una ameba es reprodueix per bipartició cada 5 minuts. Quantes n’hi haurà al cap de 10 hores?

23

3 3 3 9 9 3, , , ,

22

EXERCICISPRACTICA

Donada la successió:

2; 3; 4,5; 6,75; 10,125; …

a) Comprova que és una progressió geomètrica.Troba’n la raó.

b) Calcula’n el terme general.

c) Troba la suma dels 10 primers termes.

21

La suma, Sn, de n termes d’una progressió geomètrica de raó r és:

Sa r

rn

n

= −−

1 1

1

( )

Si en una calculadora teclegem: 2 3 …

pitjant la tecla obtenim nous termes

de la progressió geomètrica de r = 2 i a1 = 3.

=

===××

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 140

APLICA

Troba, si és possible, la suma dels termesinfinits d’aquestes progressions:

a) b)

REFLEXIONA

En una progressió geomètrica, S = 20 i a1 = 5,quant val la raó?

26

3 3 3 9 9 3, , , …23

415

845

, , …

25

EXERCICISPRACTICA

Calcula el terme general i la suma dels termesinfinits de les progressions geomètriquessegüents.

a) a1 = 5 i

b) a1 = 2 i r =1

10

r =12

24

141

3.3 Suma de tots els termes d’una progressió geomètricaamb r < 1

Hi ha progressions geomètriques en què la raó, r, és entre els valors −1 < r < 1. En aquest cas, podem calcular la suma dels seus temes in-finits.

Vegem què passa amb la fórmula de la suma de n termes d’una progressió

geomètrica, , quan ⏐r⏐ < 1.

Com que −1 < r < 1, a mesura que el nombre de termes, n, que agafem ala suma creix, el valor rn és més petit. Per tant:

• rn − 1 seria pràcticament igual a −1.• r − 1 seria un valor negatiu.

Així doncs, la suma dels termes infinits de la successió la podríem indicaraixí:

Sa

r

a

r

a

r=

⋅ −−

=−−

=−

1 1 11

1 1 1

( )

Sa r

rn

n

=−

−1 1

1

( )

Calcula la suma de tots els termes de la progressió geomètrica:


• Calculem la raó: .

Per tant: 1,1�

S =−

=1

1 0,1a1 = 1; r = 0,1⎯⎯⎯⎯⎯→S

ar

=−

1

1

raa

= = = = <2

1

1101

110

10,1

11

10

1

100

1

1 000

1

10 000, , ,

.,

.…

13

EXEMPLE

La suma dels termes infinits d’una progressió geomètrica amb raó −1 < r < 1, és:

Sa

r=

−1

1

0,12 = 0,010,13 = 0,0010,14 = 0,0001…0,110 = 0,0000000001Amb un exponent gran,

el nombre és pràcticament 0.

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 141

142

APLICA

Tenim una progressió geomètrica el termegeneral de la qual és an = 4 ⋅ 2n−1, calcula P6.

REFLEXIONA

Troba la raó d’una progressió geomètrica amb a1 = 1 i P5 = 1.024.

30

29

EXERCICISPRACTICA

Troba el producte dels 4 primers termes d’una progressió geomètrica amb a1 = 3 i r = 5.

En una progressió geomètrica, a4 = 12 i r = 3,troba el producte dels 10 primers termes.

28

27

3.4 Producte de n termes en una progressió geomètrica

En una progressió geomètrica, el producte dels termes equidistants delsextrems és igual al producte dels extrems. És a dir:

(a1 ⋅ an) = (a2 ⋅ an−1) = (a3 ⋅ an−2) = …

Així doncs, per calcular el producte de n termes podem fer:

Pn = a1 ⋅ a2 ⋅ … ⋅ an−1 ⋅ an

Pn = an ⋅ an−1 ⋅ … ⋅ a2 ⋅ a1

i si multipliquem les dues expressions tenim:

P2n = (a1 ⋅ an) ⋅ (a2 ⋅ an−1) ⋅ … ⋅ (an−1 ⋅ a2) ⋅ (an ⋅ a1) → P2

n = (a1 ⋅ an)n

14243 14243 123(a1 ⋅ an) (a1 ⋅ an) (a1 ⋅ an)

Calculem l’arrel quadrada i obtenim: P a an nn= ⋅( ) .1

En una progressió geomètrica: 1, 2, 4, 8, 16, 32... es compleix que:14

EXEMPLE

El producte, Pn = a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ … ⋅ an−1 ⋅ an, dels n primers termes d’unaprogressió geomètrica és:

P a an nn= ⋅( )1

4 ⋅ 8 = 322 ⋅ 16 = 321 ⋅ 32 = 32

1, 2, 4, 8, 16, 32

Troba el producte dels 10 primers termes d’una progressió geomètricade raó r = 2 el primer terme de la qual és a1 = 2.

• Trobem a10:

an = a1 ⋅ r(n−1) a10 = 2 ⋅ (2)10−1 = 2 ⋅ (2)9 = 210

• Calculem el producte:

= =2 2110 55

P1010 10 11 102 2 2= ⋅ = =( ) ( )

n = 10, a1 = 2, a10 = 210

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→P a an nn= ⋅( )1

n = 10, a1 = 2, r = 2⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

15

EXEMPLE

Una altra fórmula per calcular el producte

de n termes d’una progressiógeomètrica de raó r és:

Pn = an1 · r

n n( )12-

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 142

143

APLICA

Quin capital produiria 3.000 € en 3 anys amb uninterès compost de l’1 % mensual?

REFLEXIONA

Determina el capital que, amb un interèscompost del 10% anual, produeix 133,10 €en 3 anys.

34

33

EXERCICISPRACTICA

Calcula el capital obtingut si hem invertit 200 €al 2% anual durant 10 anys.

Calcula el capital que obtindríem si invertíssim 50 cèntims d’euro al 5 % anual durant un segle. Quin seria el capital si el rèdit fos de l’1 %?

32

31

Interès compost

Si invertim un capital durant un període de temps, t, a un rèdit r %, iquan acaba el període d’inversió no retirem els interessos, sinó que s’afe-geixen al capital, ens trobem en una situació d’interès compost.

4

Dipositem 6.000 € al 5 % d’interès compost anual. Quina quantitat de diners tindrem 3 anys després?

Quan iniciem el dipòsit disposem d’un capital inicial de 6.000 €.Capitalinicial = 6.000 €

Quan finalitzi el primer any rebrem el 5 % del capital invertit.

Capital1r any 6.300 €

Quan finalitzi el segon any rebrem un altre 5 % del que teníem al final del primer.

Capital2n any

Així doncs, quan acabi el tercer any, tindrem:

Capital3r any

És una progressió geomètrica amb a1 = Capitalinicial i raó = .1100

+

r

= +

6 000 1

5100

3

.

= + ⋅ = +

=6 300

5100

6 300 6 300 15

1006. . . .0000 1

5100

2

+

= + ⋅ = +

=6 000

5100

6 000 6 000 15

100. . .

16

EXEMPLE

El capital final, Cf, que obtenim quan invertim a un rèdit, r%, un ca-pital, C, durant un temps, t, a interès compost és:

(temps en anys)C Cr

f

t

= ⋅ +

1

100

Per aplicar aquesta fórmula en temps donat en dies o mesos només

hem de substituir rpel rèdit mensual o diari i t,

pel nombre de mesos o dies d’inversió.

Ingressem 18.000 € en un dipòsit a 5 anys amb un interès compost del 3,5 % anual. Quants diners rebrem quan acabi la inversió?

21.378 €Cf = ⋅ +

=18 000 1

3 5100

5

.,C = 18.000; r = 3,5; t = 5→C C

rf

t

= ⋅ +

1

100

17

EXEMPLE

831084 _ 0133-0152.qxd 10/5/07 10:45 Página 143

2. CÀLCUL DE LA DIFERÈNCIA D’UNA PROGRESSIÓ ARITMÈTICA

Troba la diferència de les progressionsaritmètiques següents.a) 3, 9, 15, 21 … b) a3 = 2 i a5 = 6

PRIMER. En determinem dos termes.a) a1 = 3, a2 = 9 b) a3 = 2, a5 = 6

SEGON.

• Si els termes són consecutius, la diferènciade la progressió és la seva resta.a)

• Si no ho són, apliquem: aq = ap + (q − p)d.

b) aq = ap + (q − p)d a5 = a3 + (5 − 3)d

6 2 242

2= + = =d d→

p = 3, q = 5⎯⎯⎯⎯⎯→

a a d d2 1

9 3 66− =

− =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

=→

3. CÀLCUL DE LA RAÓ D’UNAPROGRESSIÓ GEOMÈTRICA

Troba la raó de les progressionsgeomètriques següents.a) 3, 9, 27, 81 … b) a3 = 2 i a5 = 6

PRIMER. En determinem dos termes.a) a1 = 3, a2 = 9 b) a3 = 2, a5 = 6

SEGON.

• Si els termes són consecutius, la raó de la progressió és el seu quocient.

a)

• Si no ho són, apliquem la fórmula aq = ap ⋅ rq−p.

b) aq = ap ⋅ rq−p a5 = a3 ⋅ r5−3

→ r = 36 262

32 2= ⋅ = =r r→

p = 3, q = 5⎯⎯⎯⎯⎯→

aa

r2

1

93

3= =→

144


L’essencial

Successió

F

F

Interès compost

t → Temps en anys

C Cr

f

t

= ⋅ +⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟1

100

FES-HO AIXÍ

1. DETERMINACIÓ DE SI UNA PROGRESSIÓ ÉS ARITMÈTICA O GEOMÈTRICA

Determina si aquestes successions són progressions aritmètiques o geomètriques.a) 3, 9, 15, 21 … b) 3, 9, 27, 81 … c) 3, 9, 15, 27 …

PRIMER. És una progressió aritmètica si:a2 − a1 = a3 − a2 = a4 − a3 = …

a) 9 − 3 = 15 − 9 = 21 − 15 = 6. És aritmètica.

TERCER. Si no es compleix cap de les dues condicions, no és una progressió.

c) No és una progressió.

SEGON. És geomètrica si

b) . És geomètrica.93

279

8127

3= = =

aa

aa

aa

2

1

3

2

4

3

= = = …

F

F F

F

−2

−2

−2

−2

2,{a1

4,{a2

6,{a3

8,{a4

10,{a5

…,

6, 4, 2, 0, −2 … → Terme generalan = a1 + (n − 1)d

F

F F

F

⋅ (−2)

⋅ (−2)

⋅ (−2)

⋅ (−2)

2, −4, 8, −16, 32 … → Terme generalan = a1rn−1

2n{anTermes

Terme general

Progressió aritmètica

Progressió geomètrica

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 144

Determinació de si una successió és unaprogressió aritmètica o geomètrica

1. Digues si la successió 1, 1, 2, 3, 5, 8... és:

a) Una progressió aritmètica.b) Una progressió geomètrica.c) Cap de les anteriors.

Càlcul de la diferència d’una progressióaritmètica

2. La diferència de la progressió aritmètica amb a2 = 21 i a4 = 43 és:

a) d = 7 c) d = 11b) d = 9 d) d = 14

Càlcul de la raó d’una progressió geomètrica

3. La raó de la progressió 4, −16, 64, −256 … és:

a) r = 2 b) r = −2 c) r = −4 d) r = 4

Determinació del terme general d’una progressió aritmètica

4. El terme general de 3, 7, 11 … és:

a) an = n + 4 b) an = 4n + 4 c) an = 4n − 1

Determinació del terme general d’una progressió geomètrica

5. El terme general de 3, 6, 12 … és:

a) an = 3n b) an = 3 + (n − 1) c) an = 3 ⋅ 2n−1

I ARA... PRACTICA

145

4. DETERMINACIÓ DEL TERME GENERAL D’UNA PROGRESSIÓ ARITMÈTICA

Determina el terme general de les progressions aritmètiques.a) 3, 9, 15, 21 … b) a3 = 2 i a5 = 6 c) d = 4 i a4 = 5

PRIMER. Calculem d.a) d = a2 − a1 → d = 9 − 3 = 6 b) c) d = 4

SEGON. Calculem a1.a) a1 = 3 c) an = a1 + (n − 1)d 5 = a1 + 3 ⋅ 4 → a1 = −7b) an = a1 + (n − 1)d 2 = a1 + 2 ⋅ 2 → a1 = −2

TERCER. El terme general l’expressem amb an = a1 + (n − 1)d.a) an = 3 + (n − 1) ⋅ 6 = −3 + 6n c) an = −7 + (n − 1) ⋅ 4 = −11 + 4nb) an = −2 + (n − 1) ⋅ 2 = −4 + 2n

n = 3⎯⎯→

n = 4⎯⎯→

a a d d d5 3 5 3 6 2 2 2= + − = + =( ) → →

5. DETERMINACIÓ DEL TERME GENERAL D’UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA

Determina el terme general d’aquestes expressions geomètriques.a) 3, 9, 27, 81 … b) a3 = 9 i a5 = 81 c) r = 4 i a4 = 128

PRIMER. Calculem r.

a) b) c) r = 4

SEGON. Calculem a1.a) a1 = 3 b) an = a1 ⋅ rn−1 9 = a1 ⋅ 32 → a1 = 1 c) an = a1 ⋅ rn−1 128 = a1 ⋅ 43 → a1 = 2

TERCER. El terme general l’expressem amb an = a1 ⋅ rn−1.a) an = 3 ⋅ 3n−1 = 3n b) an = 1 ⋅ 3n−1 = 3n−1 c) an = 2 ⋅ 4n−1 = 2 ⋅ 22n−2 = 22n−1

n = 4⎯⎯→n = 3⎯⎯→

a a r r r5 35 3 281 9 9 3= ⋅ = ⋅ = =− → →r

aa

r= = =2

1

93

3→

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 145

146

ActivitatsSUCCESSIONS

35. ● Escriu els termes següents d’aquestessuccessions.

a) 5, 6, 7, 8, 9 …b) 30, 20, 10, 0, −10 …c) 7, 14, 21, 28, 35 …d) 1, 5, 25, 125 …

Quin criteri de formació segueix cadascuna?

36. ●● Donada la successió: 1, 8, 27, 65...

a) Quin n’és el terme sisè?b) I el criteri de formació?

37. ●● La successió 1, 4, 9, 16, 25... té com a termegeneral an = n2. Troba el terme general de les successions.

a) 2, 8, 18, 32, 50 … c) 4, 9, 16, 25 …b) 3, 6, 11, 18, 27 … d) 16, 25, 36, 49 …

38. ●● La successió 2, 4, 6, 8, 10... té com a termegeneral an = 2n. Determina el terme general de les successions.

a) −1, 1, 3, 5, 7 …b) 6, 8, 10, 12 …c) −2, −4, −6, −8 …d) 6, 12, 18, 24, 30 …

39. ● Troba els 5 primers termes de la successió el terme general de la qual és:

a) an = 2n e)b) an = (−3)n+2

f) an = n2 + 3n − 2c) an = 5 − 3nd) an = 2 + 4(n + 1) g)

40. ● Escriu els 5 primers termes de les successionssegüents.

a) El primer terme és 5 i cada terme l’obtenimsumant 2 a l’anterior.

b) El primer terme és 2 i cadascun dels següents

l’obtenim multiplicant per l’anterior.

c) El primer terme és 3, el segon, 4 i els següentssón la suma dels dos anteriors.

d) El primer terme és 8 i els següents sóncadascun la meitat de l’anterior.

12

an

nn =

+ 32

an

n

= ⋅⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

−

213

1

42. ●● La successió 1, 2, 3, 4, 5 … té com a termegeneral an = n. La successió 2, 4, 8, 16 … té com a terme general an = 2n. Troba el terme generald’aquestes successions.

a) c)

b) d)

43. ● Troba els 5 primers termes de les successionsrecurrents següents.

a) a1 = 1, a2 = 3, an = an−2 − an−1

b) b1 = 2, b2 = 4,

c) c1 = −1, c2 = 0, c3 = 1, cn = cn−1 + cn−2 + cn−3

d) d1 = 2, dn = dn−1 + n

44. ●● Troba la regla de formació d’aquestessuccessions recurrents.

a) 3, 4, 7, 11, 18, 29 … c) 1, 2, 3, 6, 11, 20 …

b) 1, 3, 3, 1, , , 1 … d) −5, 1, 6, 5, −1, −6 …13

13

bbb

nn

n

= −

−

1

2

12

34

78

1516

, , , …452

63

74

, , , …

12

14

18

116

, , , …112

13

14

, , , …

COM DETERMINEM EL TERME GENERAL D’ALGUNESSUCCESSIONS DE FRACCIONS?

41. Troba el terme general de la successiósegüent.

PRIMER. Busquem el criteri de formació delsnumeradors i en determinem el terme general.

4, 9, 16, 25 … ⎯→ El primer terme és el quadrat de 2.El segon és el quadrat de 3.El tercer, el quadrat de 4...

Terme general → (n + 1)2

SEGON. Busquem el criteri de formació delsdenominadors i en determinem el terme general.1, 3, 5, 7 … ⎯⎯→ Successió de nombres imparells.Terme general → 2n − 1

TERCER. El terme general de la successió serà el quocient entre els dos termes generals.

Terme general → ( )nn+−

12 1

2

4

1

9

3

16

5

25

7, , , …

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 146

147

PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES

45. ● Troba la diferència i el terme generald’aquestes progressions aritmètiques.

a) 10, 7, 4, 1 … c) 7, 2, −3, −8 …

b) d) 16, 8, 0, −8 …

46. ● Amb les dades de les progressionsaritmètiques següents:

a) a1 = 13 i a2 = 5, calcula d, a8 i an.b) b1 = 4,5 ib2 = 6, calcula d, b10 i bn.c) c2 = 13 i d = −5, calcula c1, c8 i cn.d) h1 = 8 i h3 = 3, calcula d, h10 i hn.

47. ● Donada la successió 2, 4, 6, 8, 10...

a) És una progressió aritmètica?b) Troba’n el terme general.c) Calcula’n el terme 30.

48. ● Donada la successió :

a) Comprova que és una progressió aritmètica.b) Troba’n el terme general.

49. ● Tenint en compte que els termes d’unaprogressió aritmètica els podem obtenir amb lacalculadora, mitjançant el sumand constant:

d a1 …

troba els 10 primers termes de les progressionsaritmètiques.

a) a1 = 8 i d = 5 c) c1 = −10 i d = 3b) b1 = 3 i d = −5 d) h1 = −12 i d = −8

50. ● En una progressió aritmètica, a10 = 32 i d = 5. Esbrina el valor del terme a25.

51. ●● En una progressió aritmètica, a3 = i a4 = .

a) Troba a1 i d.b) Determina’n el terme general.

52. ●● En una progressió aritmètica, a8 = 12 i a12 = 32. Calcula la diferència i el terme general.

53. ●●● En una progressió aritmètica, a1 = 7 i d = 6. Esbrina quin lloc hi ocupa un terme que val 79.

5

6

1

2

=====++

5

3

4

31

2

30, , , , …

2 2 2 3 2 4 2, , , …

54. ●● Troba el terme general de les progressionsaritmètiques següents.

a) 1,73; 1,77; 1,81; 1,85 … c)

b) 5, 2, −1, −4, −7 … d)

55. ●●● Troba el terme general d’una progressióaritmètica en què a4 = 13 i a2 + a11 = 41.

56. ●●● En una progressió aritmètica de 8 termes, el primer i l’últim sumen 21. El tercer terme és 6.Escriu la progressió.

58. ●● Interpola 6 termes entre 1 i 3 perquè forminuna progressió aritmètica.

59. ●● Interpola 5 termes entre els nombres

i perquè formin una progressió aritmètica.

60. ●●● Aquestes successions són progressionsaritmètiques. Completa-hi els termes que falten.

a) �, , �, , �, � c) �, , �, �, , �

b) �; 1,5; �; 2,5; � d) �, �, �, , �, 83

53

12

14

56

12

7

2

− 7

2

1 3 5 7a a a a

, , , …

12

132

2, , , …

COM INTERPOLEM TERMES QUE FORMEN UNA PROGRESSIÓ ARITMÈTICA?

57. Interpola tres termes entre 1 i 9 perquè forminuna progressió aritmètica.

PRIMER. Calculem a1 i d.La progressió que volem fer serà de la forma:

1, a2, a3, a4, 9

Per tant, a1 = 1 i a5 = 9.

Com que ha de ser una progressió aritmètica:

an = a1 + (n − 1)d 9 = 1 + (5 − 1)d

9 = 1 + 4d → d = = 2

SEGON. Trobem els termes intermitjos.a2 = 1 + (2 − 1) ⋅ 2 = 3a3 = 1 + (3 − 1) ⋅ 2 = 5a4 = 1 + (4 − 1) ⋅ 2 = 7

Els tres termes que hi hem d’interpolar seran 3, 5 i 7.

84

n = 5⎯⎯→

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 147

148

61. ● an = 4n + 1 és el terme general d’unaprogressió aritmètica. Calcula a25 i la suma dels 20 primers termes.

62. ● En una progressió aritmètica, a8 = 40 i d = 7.Troba’n el primer terme i la suma dels 10 primers.

63. ● Calcula la suma dels 10 primers termes d’una progressió aritmètica si el tercer terme és 24 i el desè és 66.

64. ● Fes la suma dels 100 primers nombres parells.

65. ●● Calcula la suma dels múltiples de 3compresos entre 200 i 301.

66. ● Troba la suma dels 15 primers termes d’una progressió aritmètica en què a1 = 7 i a4 = 40.

67. ●●● Troba la suma dels n primers nombresnaturals.

68. ●●● Quants nombres senars consecutius apartir d’1 sumen 2.916?

69. ●● Calcula la suma i l’últim terme d’unaprogressió aritmètica de diferència 4 si saps que té 12 termes i el primer val 7.

70. ●●● Calcula la suma dels termes d’unaprogressió aritmètica limitada el primer terme de la qual és 4, l’últim és 40 i la diferència és 3.

71. ●●● La suma dels 5 primers termes d’una progressió aritmètica és 2,5. La suma dels 8 primers termes és 5,2. Escriu la progressió.

1 + 3 + 5 + 7 +9

+11 +

13+

15+

17+19+21+23+

25+

27+

29+

31 + 33 + 35 +

37 +39

+41+43+45+

47+

49

+ 51 + 53…=

2.916

PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES

72. ● Calcula la diferència o la raó de lesprogressions següents i troba’n el terme general.

a) 3, 6, 12, 24 … d) 16, 8, 4, 2, 1 …b) 10, 7, 4, 1 … e) 16, 8, 0, −8 …c) 1, 1, 1, 1 … f) 3, 9, 15, 21 …

73. ● En una progressió geomètrica, a1 = 4 i a2 = 3. Troba’n el terme general i a20.

74. ● En una progressió geomètrica, a1 = 6 i a3 = 30.Troba’n a4 i el terme general.

75. ● Calcula.

a) El terme general d’una progressió geomètricaen què a1 = 3 i r = 5.

b) E terme 7.

76. ● Donada la successió

a) Comprova que és una progressió geomètrica.b) Calcula’n el terme 10.

77. ●● Troba els termes que falten als forats de lesprogressions geomètriques següents.

a) 1; 0,1; �; 0,001; �

b) �, , , �, , �

c) �, , �, , �

d) �, , �, �,

78. ● El terme general de la progressió 3, 6, 12, 24... és:

a) an = 3 + (n − 1) ⋅ 3b) an = 3 ⋅ 3n−1

c) an = 3 ⋅ 2n−1

d) No es pot calcular.

79. ● En una progressió geomètrica de termespositius, a2 = 60 i a4 = 2.400. Troba’n:

a) El 5 primers termes.b) El terme general.c) Els 10 primers termes.

80. ● En una progressió geomètrica, a2 = 10 i a5 = 10.000. Calcula r i els 10 primers termes de la progressió. Quin n’és el terme general?

814

32

112

13

154

16

12

2

3

2

9

2

27

2

81, , , …

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 148

149

81. ●● Un terme d’una progressió geomètrica val3.720.087. Si el primer terme és 7 i la raó és 3, de quin terme parlem?

82. ●●● Dos termes consecutius d’una progressiógeomètrica valen 3 i 4.

Esbrina quin lloc ocupen si a1 = .

83. ● En una progressió geomètrica, el primer termeés 5 i la raó és 3. Calcula la suma dels 8 primerstermes.

84. ● En una progressió geomètrica, el segon terme

és 2 i el quart és . Troba la suma dels 6 primerstermes.

1

2

27

16

86. ● Tenim una progressió geomètrica en què a1 = 2 i r = 0,1. Calcula.

a) La suma dels 6 primers termes.b) La suma dels termes infinits.

87. ● En una progressió geomètrica, a1 = −1 i r = 7.Calcula.

a) La suma dels 10 primers termes.b) La suma dels termes infinits.

88. ● Troba la suma dels termes infinits de la

progressió 16, 12, 9, …

89. ●● Donades les successions següents, calcula,en els casos en què sigui possible, la suma dels termes infinits.

90. ●●● La suma dels termes infinits d’una

progressió geomètrica és i la raó és .

Troba els 4 primers termes de la successió.

91. ●● El sisè terme d’una progressió geomètrica és 18 i el quart és 6.

a) Troba’n el terme general.b) Calcula el producte dels 10 primers termes.

92. ●● El vuitè terme d’una progressió geomètrica és 1.458 i la raó és 3.

a) Troba’n el terme general.b) Calcula el producte dels 8 primers termes

de la progressió.

93. ●● El cinquè terme d’una progressió geomètricaés 160 i el segon és 20.

a) Troba’n el sisè terme.b) Calcula el producte dels 7 primers termes

d’aquesta progressió.

1

5

15

4

27

4

COM CALCULEM LA SUMA DELS TERMES INFINITSD’UNA PROGRESSIÓ GEOMÈTRICA?

85. Calcula la suma dels termes infinitsd’aquestes progressions geomètriques.

a) a1 = 3 i r = 2 c) c1 = −2 i r =

b) b1 = −1 i r = 2 d) d1 = i r = −2

PRIMER. Calculem la raó de la progressió.SEGON. Analitzem els diferents casos.

• Si r > 1, la suma sempre és +� o −�.a) r = 2 > 1. La successió és:

3, 6, 12, 24, 48 …La suma de tots els termes és +�.

b) r = 2 > 1. La successió és:−1, −2, −4, −8, −16, −32, −64 …

La suma de tots els termes és −�.

• Si −1< r < 1, apliquem la fórmula S = .

c) −1 < r = < 1. Apliquem la fórmula:

S =

• Si r < −1, no ho podem calcular.

d) r = −2 < −1. La successió és:

, −1, 2, −4, 8, −16, 32 …

No podem calcular la suma dels termesinfinits.

12

cr

1

12

113

223

3−

=−

−=

−= −

13

ar

1

1−

1

2

1

3

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 149

150

PROBLEMES AMB PROGRESSIONS

94. ●● El nombre d’usuaris d’un poliesportiu els caps de setmana era, al començament, de150 persones, però va augmentar en 30 personescada cap de setmana a partir de llavors.

a) Quants usuaris va tenir el cap de setmana 12?b) I en les 10 primeres setmanes?

95. ●● La Teresa ha comprat un cavall i el vol ferrar. Per això li ha de posar 20 cargols, i el primer val 1 cèntim d’euro, i la resta valen 1 cèntim d’euro més que l’anterior. Quant paga en total per ferrar-lo?

96. ●● Quant pagaria la Teresa si el preu del primercargol fos el mateix, però cadascun delssegüents li costés el doble que l’anterior?

97. ●● En un aparcament cobren 0,25 € per laprimera hora d’estacionament i el doble quel’anterior per cadascuna de les següents. Quantpagarem per tenir-hi el vehicle aparcat 8 hores?

98. ●● Un arbre de creixement ràpid multiplica laseva altura per 1,2 cada any. Si al començamentde l’any feia 0,75 cm, quina altura tindrà al cap de 10 anys? Quant haurà crescut enaquests 10 anys?

99. ●● Deixem caure una pilota d’una altura d’1 metre i en cadascun dels bots que fa puja a una altura igual a la meitat del bot anterior. A quina altura arribarà en el cinquè bot?

100. ●● Llancem una pilota que fa bots al llarg d’un passadís, tal com veiem a la figura.

Si en el sisè bot xoca amb la paret i s’atura,quina distància haurà recorregut?

101. ●● Calcula la profunditat d’un pou si s’hanpagat 20 € per l’excavació del primer metre i, percadascun dels altres, 5 € més que l’anterior.Aconseguirà arribar al centre?

102. ●● Una granota és a la vora d’una bassa circularde 7 metres de radi i vol arribar al centre saltant.El primer salt que fa és de 3 metres i, després,avança en cadascun la meitat que en l’anterior.Aconseguirà arribar al centre?

103. ●● Durant els 4 primers mesos de vida, un nadó ha anat guanyant cada mes un 20 % de pes. Si quan va néixer pesava 2.900 grams, quin ha estat el seu pes al final del quart mes?

104. ●● Una escala té tots els esglaons iguals menysel primer, que fa 20 cm. Si pugem 100 esglaons,haurem ascendit a una altura de 1.505 m. Quinaés l’altura de cada esglaó?

105. ●●● Una biòloga estudia l’evolució d’una població de mosques.

a) Si el nombre inicial de mosques és de 50 i cada 10 dies la població de mosques es quadruplica, troba el terme general de la progressió formada pel nombre demosques cada 10 dies.

b) Quantes mosques hi haurà al cap de 50 dies?c) Si el preu de l’aliment per a mosques el

primer dia és d’1 €, i cada dia augmenta2 cèntims més, troba el terme general de la progressió.

d) Determina el valor de l’aliment el dia 20.e) Calcula el valor de l’aliment en els 40 primers

dies.

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 150

151

106. ●● Dipositem 5.000 € al 4% anual el 31 de desembre en una empresa financera. Si no en retirem els diners durant 6 anys, quincapital tindrem al final de cada any?

107. ●● Calcula el capital que, invertit a un interèscompost del 5 %, produeix en 4 anys un capitalfinal de 1.500 €.

108. ●● Si un capital de 5.000 € es converteix en 6.000 € en una situació d’interès compost al cap de 2 anys, quin és l’interès a què s’ha invertit el capital inicial?

110. ●●● La Rosa rep una gratificació al principi de cada trimestre de 1.000 €. Si els diners els diposita en una entitat bancària al 4 %d’interès compost, quants diners tindrà al finalde cada any?

111. ●●● En un examen, les preguntes estavenordenades en funció de la dificultat. La primeravalia 2 punts, i cadascuna de les següents, 3 punts més que l’anterior. Si en total compten40 punts, quantes preguntes tenia l’examen?

INVESTIGA

112. ●● El nombre 0 pot ser el primer terme d’una progressió geomètrica? I d’unaprogressió aritmètica?

113. ●●● Tenim una progressió geomètrica amb a1 � 0 i r � 0, i una progressió aritmètica amb a1 = 0. Si sumem, terme a terme, aquestesdues progressions obtenim: 1, 1, 2... Quina és la suma dels 10 primers termes?

114. ●●● La suma dels n primers termes d’una progressió aritmètica (n > 1) és 153 i la diferència és 2. Si a1 és un nombre enter,quants valors possibles hi ha per a n?

115. ●●● Expressa de forma fraccionària el nombreperiòdic 0,5

). Per fer-ho, escriu-lo de la forma:

0,5 + 0,05 + 0,005 + …i troba la suma de la progressió.

116. ●●● Calcula la fracció generatriu de 2,8)

fentservir la suma de la progressió.

117. ●●● Dividim el costat AC d’un triangle rectangle ABCen 8 parts iguals. Per fer-ho, aixequem des dels punts de divisió paral·leles al costat BC. Si BC fa 10 cm, calcula la suma de les longituds dels altres 7 segments.

COM RESOLEM UN PROBLEMA D’INTERÈSCOMPOST AMB AUGMENTS DE CAPITAL?

109. Una família fa un pla d’estalvis durant 4 anysamb un ingrés, al començament de cada any,de 3.000 € a un 5 % anual d’interès compost.Quants diners tindrà quan acabi el pla?

PRIMER. Calculem l’interès de cada aportació.– El primer any ingressa 3.000 €, que estaran

4 anys al banc. N’obté:3.000 ⋅ 1,054

€

– El segon any ingressa 3.000 €, que estaran 3 anysal banc. N’obté:

3.000 ⋅ 1,053€

– El tercer any ingressa 3.000 €, que estaran 2 anysal banc. N’obté:

3.000 ⋅ 1,052€

– El quart any ingressa 3.000 €, que estaran 1 anyal banc. N’obté:

3.000 ⋅ 1,05 €

SEGON. Sumem les quantitats obtingudes. 3.000 ⋅ 1,05 + 3.000 ⋅ 1,052 + 3.000 ⋅ 1,053 + 3.000 ⋅ 1,054

Així obtenim la suma dels termes d’una progressiógeomètrica en què:

a1 = 3.000 ⋅ 1,05 a4 = 3.000 ⋅ 1,054 r = 1,05

S =

= 13.576,90 €

a r ar

4 15

13 000 1 05 3 000 1 05

1 05 1⋅ −

−=

⋅ − ⋅−

=. , . ,

,

FES-HO AIXÍ

A

B

10 c

m

C

831084 _ 0133-0152.qxd 18/5/07 10:49 Página 151

152

A la vida quotidiana118. ●●● En Julià Gasol, el propietari d’una

gasolinera de Vilapoble, ha tingut una idea per premiar la fidelitat dels camioners quehabitualment van a la seva gasolinera.

Aquests punts es podran canviar per menús en una cafeteria o per un magnífic creuer.

En Marià té un camió de tipus mitjà amb undipòsit de 350 litres, il’omple normalment cadasetmana. Com que el litrede gasoil acostuma acostar una mica menysd’1 €, omplir el dipòsitcada setmana li costa uns 350 €.

Si segueix amb la mateixa despesa, podriaobtenir un menú gratis? I el creuer?

El seu amic Antoni, que té un camió més granque el seu, li diu que creu que no tindràproblemes per aconseguir el creuer. Si la freqüència amb què omple el dipòsit és un cop a la setmana, quants litres de gasoil necessitarà setmanalment?

119. ●●● Segons un informe d’una revistaeconòmica, el millor pla de pensions que hi ha al mercat és el Bancverd.

En aquest pla depensions es fan ingressosperiòdics de diners: mensualment,trimestralment, anualment... Els diners inicialsque s’hi ingressen i els que s’hi van afegint cada any reporten un 4,45 % anual i l’únicproblema és que, també cada any, cobren un 0,99 % de comissió de gestió.

Si tinc 40 anys i he decidit ingressar 2.000 €a l’any, quants diners rebré quan en faci 65?

A veure... Si ingresso 2.000 € a l’any tindréaquests 2.000 € més el 4,45 %, i hi he de

restar el 0,99 % del total.El segon any ingresso 2.000 € més,

que he d’afegir als diners del primer any, i em donen el 4,45 % del total, però també

hi he de restar un altre cop el 0,99 %...

PLA DE PENSIONS BANCVERD

■ Amb les comissions més baixes del mercat

0 Comissió de subscripció

0 Comissió de reemborsament

0 Comissió de dipòsit

0,99 Comissió de gestió

■ Alt potencial de rendibilitat 4,45 %

Anual assegurat

Durant aquest mes els donarem punts per cada 100 € de gasolina...

La primera vegada que vinguin els donarem 1 punt per cada 100 €; la segona, 2 punts per cada 100 €; la tercera, 3 punts per cada 100 €;

la quarta, 4 punts... i així successivament.

100 PUNTSMenú gratis

1.000 PUNTSUn creuer per a duespersones

831084 _ 0133-0152.qxd 13/4/07 18:45 Página 152


• Treballar amb el concepte de llocgeomètric.

• Determinar els punts i rectes notables d’un triangle.

• Calcular l’àrea detriangles, quadrilàtersi polígons regulars.

• Reconèixer i calcularl’àrea del cercle i deles figures circulars.

• Aplicar coneixementssobre figures planesper resoldreproblemes de la vidaquotidiana.

PLA DE TREBALL

La riquesa dels savisAquella va ser la gota que va fer vessar el got: la seva mare li retreia que, tot i ser tan savi, no fos ric. El comentari no era nou, però a Tales de Milet li va doldreespecialment. Es va tancar a casa i va començar a tramar un pla.

Els seus estudis sobre els astres li van permetre predir un any perfecte per al cultiu. Així doncs, va reunir tots els diners de què disposava i fins i tot el que, en secret, va poder demanar i va aconseguir totes les premses d’oli de Milet i la veïna Quios.

La seva predicció sobre el clima va ser encertada, i els seus veïns es fregaven les mans de pensar en els beneficis de la collita de l’oliva. Però quan van anar a premsar les olives, els somriures se’ls van convertir en ganyotes, perquè van haver de pagar el que va estipular Tales.

Quan va haver complert la seva petita venjança, que li va permetre, a més, convertir-se en ric, es va vendre les premses i les terres i es va dedicar als seus estudis de filosofia i matemàtiques. Abans, però, els va dir als seus veïns: «Preneu per a vosaltres els consellsque doneu als altres.»

Un dels postulats de Tales és que un angle inscrit en una semicircumferència és sempre un angle recte.

Com faries un triangle rectangle amb una hipotenusa de 4 cm?

Figures planes

Llocs geomètrics.

831084 _ 0153-0170.qxd 10/5/07 11:07 Página 153

Llocs geomètrics1

REFLEXIONA

Defineix les rectes vermelles com a llocgeomètric.

a)

b)

3

EXERCICISPRACTICA

Dibuixa a la llibreta el lloc geomètric dels puntsque compleixen aquestes condicions.

a) Equidisten dels extrems d’un segment de 6 cm de longitud.

b) Equidisten dels costats d’un angle de 90°.c) Són a 2 cm del punt P.

APLICA

Determina el lloc geomètric dels punts que equidisten d’una recta.

2

1

154

Anomenem lloc geomètric el conjunt de tots els punts que compleixenuna determinada propietat geomètrica.

Determina el lloc geomètric dels punts la distància dels quals als extrems d’un segment és la mateixa.

Els punts que compleixen aquestacondició formen una recta perpendicularal segment que passa pel seu punt mitjà.

És a dir, el lloc geomètric dels punts que equidisten dels extrems d’un segment és la seva mediatriu.

Calcula el lloc geomètric dels punts la distància dels quals als costatsd’un angle és la mateixa.

Els punts que compleixen aquestacondició formen una recta que divideixl’angle en dues parts iguals.

És a dir, el lloc geomètric dels punts que equidisten dels costats d’un angle és la seva bisectriu.

Determina el lloc geomètric de tots els punts la distància dels quals a un punt, P, és r.

Els punts que compleixen aquestacondició formen una circumferència amb centre P i radi r.

3

2

1

EXEMPLES

Si dos punts són a lamateixa distància d’una

recta, diem que sónequidistants a la recta.

A

A

P

r r

r

dr

r

dP

B

d2

d2

831084 _ 0153-0170.qxd 13/4/07 18:53 Página 154

155

Rectes i punts notables en el triangle

2.1 Mitjanes

2

Les mitjanes d’un triangle són les rec-tes que obtenim quan unim cadascundels vèrtexs del triangle amb el puntmitjà del costat oposat.

Les mediatrius d’un triangle són les rectes perpendiculars als seuscostats que passen pel punt mitjà.

Determina el lloc geomètric dels punts que equidisten dels tres vèrtexsd’aquest triangle.

Els vèrtexs d’un triangle els podemconsiderar els extrems dels segments que representen els seus costats.

La intersecció de les tres mediatrius delscostats és un punt que equidista delsvèrtexs, és a dir, el circumcentre.

4

EXEMPLE

Les tres mitjanes del triangle es tallen en un punt anomenat baricentre. Elbaricentre és un punt la distància del qual a cada vèrtex és el doble que laseva distància al costat oposat.

2.2 Mediatrius

Les mediatrius es tallen en un punt anome-nat circumcentre. Aquest punt és a la matei-xa distància dels tres vèrtexs del triangle.

Amb centre al circumcentre i la distància delcircumcentre a qualsevol vèrtex com a radi,podem dibuixar una circumferència que pas-sa per tres vèrtexs: la circumferència cir-cumscrita al triangle.

APLICA

Dibuixa un triangle equilàter i determina’n el baricentre i el circumcentre. Què hi observes? Passa el mateix en qualsevoltriangle equilàter?

REFLEXIONA

Defineix el baricentre com un lloc geomètric.6

5

EXERCICISPRACTICA

Dibuixa una circumferència circumscrita a aquests triangles.

a) b)

4

Un lloc geomètric també pot ser

un punt.

A

G

B

C

A

O

B

C

C

A B

A

C

B

C

B

A

O

831084 _ 0153-0170.qxd 13/4/07 18:53 Página 155

156

Determina el lloc geomètric dels punts que equidisten dels tres costatsd’aquest triangle.

Qualsevol punt de les bisectrius dels angles és equidistant dels dos costatsque determinen l’angle.

La intersecció de les tres bisectrius és un punt que equidista dels tres costats, és a dir, l’incentre.

5

EXEMPLE

APLICA

Dibuixa un triangle equilàter i determina’nl’ortocentre i l’incentre. Què hi observes? Passa el mateix en qualsevol triangle equilàter?

REFLEXIONA

Defineix la circumferència inscrita com un llocgeomètric.

9

8

EXERCICISPRACTICA

Dibuixa la circumferència inscrita d’aqueststriangles.

a) b)

7

2.3 Altures

Les altures d’un triangle són les rectesperpendiculars traçades de cada vèrtexdel triangle al costat oposat.

Les bisectrius d’un triangle són les rectes que divideixen cadascundels angles en dues parts iguals.

Les tres altures del triangle es tallen en un punt anomenat ortocentre.

L’ortocentre està situat a l’interior del triangle, en els triangles acutangles;en un dels vèrtexs, en els triangles rectangles, i a l’exterior, en els trianglesobtusangles.

2.4 Bisectrius

Les bisectrius es tallen en un punt anomenatincentre. Aquest punt és a la mateixa distàn-cia dels tres costats del triangle.

Amb centre a l’incentre i radi la distància del’incentre a qualsevol costat, podem dibui-xar una circumferència que passa pels tres cos-tats del triangle: la circumferència inscrita.

L’altura divideix un triangle en dos

triangles rectangles.

AMC i MBC sóntriangles rectangles.

C

A M B

A

HB

C

A

I

B

C

C

A B

I

C

A B

C

A

B

831084 _ 0153-0170.qxd 13/4/07 18:53 Página 156

157

Teorema de Pitàgores3

APLICA

Calcula el tercer costat d’un triangle rectangle si en sabem els altres dos costats: 28 cm i 21 cm.

REFLEXIONA

Sense fer operacions, raona per què el trianglede costats 35, 77 i 85 no pot ser rectangle.

13

12

EXERCICISPRACTICA

Calcula el valor de la hipotenusa d’un trianglerectangle amb uns catets de 32 cm i 24 cm.

Avalua si les mides següents determinen els costats d’un triangle rectangle.

a) 8 cm, 5 cm i 4 cm b) 10 cm, 8 cm i 6 cm

11

10

En un triangle rectangle, elquadrat de la hipotenusa ésigual a la suma dels quadratsdels catets.

Calcula la longitud de la hipotenusa d’un triangle rectangle si saps queels seus catets fan 20 i 21 cm, respectivament.

Apliquem el teorema de Pitàgores:

a2 = b2 + c2 a2 = 202 + 212 = 841

Aïllem: cm.

Si un catet d’un triangle rectangle i la hipotenusa fan 5 i 13 cm,respectivament, quant fa l’altre catet?

Apliquem el teorema de Pitàgores:

a2 = b2 + c2 132 = 52 + c2 → c2 = 132 − 52 = 144

Aïllem c: cm.

Comprova si els triangles següents són triangles rectangles.

Si un triangle és rectangle ha de complir el teorema de Pitàgores. La mida més gran sempre correspon a la hipotenusa.

a) Hipotenusa = 73 cm Catets = 48 cm i 55 cm

a2 = b2 + c2 732 = 482 + 552

5.329 = 2.304 + 3.025 → 5.329 = 5.329Per tant, el triangle és rectangle.

b) Hipotenusa = 6 cm Catets = 3 cm i 4 cm

a2 = b2 + c2 62 � 32 + 42 → 36 � 9 + 16Per tant, el triangle no és rectangle.

a = 6, b = 3, c = 4⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

a = 73, b = 48, c = 55⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

8

c = =144 12

a = 13, b = 5⎯⎯⎯⎯⎯→

7

a = =841 29

b = 20, c = 21⎯⎯⎯⎯⎯→

6

EXEMPLES

El triangle rectangle és l’únic triangle

que compleix el teorema de Pitàgores.

a2 = b2 + c2

a) b)

A B

C

ab

c

73 cm

48 c

m 55 cm

6 cm

3 cm 4 cm

831084 _ 0153-0170.qxd 13/4/07 18:53 Página 157

APLICA

Determina el costat d’un quadrat la diagonal del qual fa 8 cm.

REFLEXIONA

Calcula el costat d’un triangle equilàter d’altura 28 cm.

16

15

EXERCICISPRACTICA

Calcula el valor de a en aquest triangle equilàteri el quadrat.

a) b)

14

158

Aplicacions del teorema de Pitàgores

4.1 Càlcul de l’altura d’un trianglePodem calcular l’altura d’un triangle equilàter o isòsceles si en sabem lalongitud dels costats fent servir el teorema de Pitàgores.

En triangles equilàters i isòsceles, l’alturasempre talla en el punt mitjà de la base.

Els triangles AMC i MBC són rectangles enquè la hipotenusa és un dels costats i elscatets, l’altura i la meitat de la base.

Calcula l’altura d’aquest triangle isòsceles.

L’altura d’aquest triangle isòsceles és 4 cm.

5 3 5 3 16 16 42 2 2 2 2 2= + = − = = =h h h→ → cm

9

EXEMPLE

Calcula la longitud de la diagonal d’aquest rectangle.

7,21 cmLa diagonal d’aquest rectangle fa 7,21 cm, aproximadament.

d d2 2 24 6 52 52= + = = =→

10

EXEMPLE

4.2 Càlcul de la diagonal d’un rectanglePodem determinar la longitud de la diagonal d’un quadrat o un rectanglesi en sabem la mida dels costats.

Els triangles ABC i CDA són rectangles enquè la hipotenusa és la diagonal i els catets,dos dels costats.

4

En un triangle escalè,l’altura no talla en el punt

mitjà de la base.A

c/2 c/2MB

C

h

A

d

B

D C

5 cm 5 cm

6 cm

h

4 cm

6 cm

4 cm

d

a 6 cma

4 cm

6 cm

d

5 cm

3 cm

hF

F

831084 _ 0153-0170.qxd 18/5/07 10:53 Página 158

159

APLICA

Calcula l’àrea d’un rectangle de 3 cm d’altura i 5 cm de diagonal.

REFLEXIONA

Calcula l’àrea de cadascun dels tres triangles.

20

19

EXERCICISPRACTICA

Calcula l’àrea dels polígons següents.

a) Un trapezi amb bases de 12 cm i 8 cm i alturade 5 cm.

b) Un rombe amb diagonals de 12 cm i 9 cm.

Calcula l’àrea de la figura.

18

17

b

h c

c

hd

D

b

h

B

b

h

b

Determina l’àrea d’aquesta figura.

Dividim la figura en altres de més simplesl’àrea de les quals sapiguem calcular.Aquesta figura la podem descompondreen un rectangle i un triangle.

L’àrea d’aquesta figura és 12,5 cm2.

A b h

Ab h

12

22

5 2 10

25 12

2 5

= ⋅ = ⋅ =

=⋅

=⋅

=

⎫

⎬⎪⎪⎪

⎭

cm

, cm ⎪⎪⎪⎪

= + = + =→ A A A1 2210 2 5 12 5, , cm

11

EXEMPLE

Àrea de figures planes

5.1 Àrea de triangles i quadrilàters

Aquí tens les fórmules per calcular l’àrea d’aquests polígons.

5

Triangle Quadrat

Rectangle Rombe

Romboide Trapezi

Ab h

=⋅2

AD d

=⋅2

AB b h

=+ ⋅( )

2

A = b ⋅ h

A = b ⋅ h

A = c ⋅ c = c2

Podem calcular l’àrea de qualsevol polígon

si el dividim en altrespolígons dels quals podem

calcular l’àrea.1 cm

2 cm

5 cm

10 cm2 cm

6 cm

10 cm

12 cm

26 cm4 cm

831084 _ 0153-0170.qxd 13/4/07 18:53 Página 159

160

5.2 Àrea d’un polígon regular

Podem descompondre qualsevol polígon regular en tants triangles isòsce-les iguals com costats tingui.

L’àrea de cada triangle és , en què c és el costat del polígon i a és

l’apotema. Per obtenir l’àrea del polígon només hem de multiplicar pelnombre de triangles en què l’hem dividit:

en què n és el nombre de costats i P és el perímetre del polígon regular.

A n A nc a n c a P a

tTotal = ⋅ = ⋅⋅

=⋅ ⋅

=⋅

2 2 2

Ac a

t =⋅2

Calcula el costat d’aquests polígons regulars.

a) Un hexàgon regular amb una àrea de 250 cm2 i una apotema de 8,5 cm.

→

El perímetre és la suma dels costats: 58,8 = 6c → c = 9,8 cm.

b) Un octàgon regular amb una àrea de 29,8 cm2 i una apotema de 3 cm.

→

P = 8c → c 2,48 cm= =19 87

8,

P =⋅

=29 8 2

319 87

,, cm

29 83

2, =

⋅P →A = 29,8; a = 3→A

P a=

⋅2

58 826,

=

P =⋅

=250 2

8 558 82

,cm,

2508 5

2=

⋅P , →A = 250, a = 8,5→A

P a=

⋅2

12

EXEMPLE

L’àrea d’un polígon regular és igual al producte del perímetre per l’a-potema dividit entre 2.

AP a

=⋅2

3 cm

8,5 cm

APLICA

Calcula l’àrea de la figura següent. Fixa’t que l’interior és un hexàgon regular.

REFLEXIONA

Determina l’altura i el perímetre d’un triangleequilàter de 2 dm2 d’àrea.

25

24

EXERCICISPRACTICA

Calcula l’apotema d’un heptàgon regular de 6 cm de costat i 130,8 cm2 d’àrea.

Calcula l’àrea d’un quadrat de 7 cm de costataplicant la fórmula de l’àrea d’un polígonregular.

Determina l’àrea d’un hexàgon regular de 6 cmde costat.

23

22

21

Radi

Apotema

Costat

G

c

c

2 cm 2 cm

2 cm 2 cm

2 cm

L’apotema, a, és unsegment perpendiculartraçat del centre delpolígon regular al punt

mitjà d’un costat.

831084 _ 0153-0170.qxd 10/5/07 11:07 Página 160

161

5.3 Àrea de figures circulars

Cercle: superfície planacontinguda dins d’una circumferència.

r

O

α r

α r

O

B A

A = πr2

Sector circular: part d’un cercle limitat per dosradis i un arc.

Ar

=π α2

360

Segment circular: porció de cercle limitat per un arc i la seva corda.

A = ASector − ATriangle OAB

Corona circular: superfíciecontinguda entre duescircumferènciesconcèntriques.

A = π(R2 − r2)r R

APLICA

Calcula l’àrea del segment circular associat a un sector de 120° i radi 20 cm.

REFLEXIONA

Quina relació hi ha entre els radis de duescircumferències si la corona circular que generenés la meitat de l’àrea del cercle més gran?

29

28

EXERCICISPRACTICA

Calcula l’àrea d’un cercle el diàmetre del qual fa 6 cm.

Dues circumferències concèntriques tenen radis de 5 i 3 cm, respectivament. Calcula l’àrea de la corona que originen. Calcula també l’àrea dels cercles que generen.

27

26

Figures circulars Fórmula de l’àrea

Calcula l’àrea del segment circular associat a un sector circular de 120°que té 50 cm de radi.

Apliquem el teorema de Pitàgores per calcularl’altura del triangle:

→

A = AS − AT = 1.534,2 cm2A

r

A

Sector

Tr

, cm= =⋅ ⋅

=π α π2 2

2

36050 120360

2 616 7.

iiangle,

, cm=⋅

=⋅

=

b h2

50 43 32

1 082 5 2.

→

h = − =50 25 43 32 2 , cm

50502

22

2=

+ h →r = 50→r

rh2

22

2=

+

13

EXEMPLE

El perímetre d’un cercle és la longitud

de la circumferència que el conté:

L = 2πr

O

O

120°h r

r2

831084 _ 0153-0170.qxd 10/5/07 11:07 Página 161

162

L’essencial

2. ÚS DEL TEOREMA DE PITÀGORES PER CALCULAR EL COSTAT D’UN POLÍGON

Calcula el costat d’aquests polígons.

a) b) c)

PRIMER. Identifiquem el triangle rectangle i les seves mides.

SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores.


Àrea de triangles i quadrilàters Àrea d’un polígon regular

Àrea de figures circulars

Ab h

=⋅2

AB b h

=+ ⋅( )

2

AP a

=⋅2

A = πr 2 A = AS − AOAB A = π(R2 − r 2)Ar

=π α2

360

1. ÚS DEL TEOREMA DE PITÀGORES PER CALCULAR L’ALTURA D’UN POLÍGON

Calcula l’altura d’aquests polígons.

PRIMER. Identifiquem el triangle rectangle que determina l’altura i les seves mides.

SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores.a) 132 = 52 + h2 b) 62 = 32 + h2 c) 172 = 82 + h2

h2 = 132 − 52 h2 = 62 − 32 h2 = 172 − 82

h2 = 144 → h2 = 27 → h2 = 225 → h = =225 15 cmh = =27 5 2, cmh = =144 12 cm

FES-HO AIXÍ

a) 202 = 122 + b2

b2 = 202 − 122

b b2 256 256 16= = =→ cm

b) c2 = 122 + 52

c2 = 169

c = =169 13 cm

c)

→ →cc

258 75 7 66 15 3= = =, , , cm

13 10 52 2

582 22 2

= +

=, ,

c c→ 775 →

hh

b

b

B

a

rr

αr

O r

A BRα

cAD d

=⋅2

A = b ⋅ h A = c2

A = b ⋅ h

h

b

h

b

d D

c

h h h

5 cm

13 cm

6 cm 8 cm

17 cm

bc

c

12 cm10 cm

24 cm10,5 cm13

cm

20 cmG

G

G

a) b) c)

831084 _ 0153-0170.qxd 10/5/07 11:07 Página 162

163

3. ÚS DEL TEOREMA DE PITÀGORES PER CALCULAR L’APOTEMA D’UN POLÍGON REGULAR

Calcula l’apotema d’aquests polígons regulars.

PRIMER. El triangle que té com a costats el radi, l’apotema i mig costat és rectangle. N’identifiquem les mides tenint en compte que a l’hexàgon regular el radi és igual al costat.


a) 62 = 32 + a2 → a2 = 62 − 32 b) 17,52 = 62 + a2 → a2 = 17,52 − 62

a a2 270 25 270 25 16 44= = =, ,→ , cma a2 27 27 5 2= = =→ , cm

4. CÀLCUL DE L’ÀREA D’UNA FIGURA PLANA

Determina l’àrea d’aquesta figura.

PRIMER. Descomponem la figura en altres figures les àrees de les quals sapiguem calcular. FIGURA A → Triangle isòsceles amb costats iguals d’1,3 m i base de 2,4 m.FIGURES B, C, D, E, F i G → Semicercles iguals amb un diàmetre de 2,4 : 6 = 0,4 m.

ATotal = AFigura A + 6 ⋅ AFigura B

SEGON. Calculem cadascuna de les àrees.

FIGURA A → Calculem h.

FIGURA B → Calculem r → r = 0,4 : 2 = 0,2 m

TERCER. Fem les operacions per obtenir l’àrea total. ATotal = AFigura A + 6 ⋅ AFigura B = 0,6 + 6 ⋅ 0,06 = 0,96 m2

Ar

BFigura,

, m= = =⋅π π2 2

2

20 22

0 06

h h2 2 2= − = = =1,3 1,2 0,25 0,25 0,5 m→A

b hAFigura m=

⋅=

⋅=

22 4 0 5

20 6 2, ,

,

Ús del teorema de Pitàgores per calcularl’altura d’un polígon

1. L’àrea d’un triangle equilàter que té un costatque fa 10 cm és:a) 86,6 cm2 c) 50 cm2

b) 43,3 cm2 d) 100 cm2

Ús del teorema de Pitàgores per calcular el costat d’un polígon

2. El costat d’un rombe amb diagonals de 2 cm i 4 cm és:a) 5 cm c) 20 cmb) 2,24 cm d) 4,47 cm

Ús del teorema de Pitàgores per calcularl’apotema d’un polígon regular

3. L’àrea d’un hexàgon regular amb un perímetrede 24 cm és:

a) 124 cm2 c) 41,52 cm2

b) 108 cm2 d) 57,41 cm2

Càlcul de l’àrea d’una figura plana

4. L’àrea de la figura és:

a) 171,48 cm2

b) 114,96 cm2

c) 141,48 cm2

I ARA... PRACTICA

a) b)

6 cm

12 cm17,5 cm

1,3 m 1,3 m

14 cm

13 cm 12 cm

B C D E F G2,4 m

Ah

a r a

831084 _ 0153-0170.qxd 10/5/07 11:07 Página 163

164

ActivitatsLLOCS GEOMÈTRICS. ELEMENTS NOTABLES D’UN TRIANGLE

30. � Relaciona aquests elements.

a) Baricentre 1) Alturesb) Incentre 2) Mediatriusc) Circumcentre 3) Mitjanesd) Ortocentre 4) Bisectrius

31. � Dibuixa uns quants triangles rectangles i assenyala’n l’ortocentre. On està situat?

32. �� Dibuixa tres punts que no estiguin alineats i traça una circumferència que hi passi.

33. �� Dibuixa un triangle rectangle i traça’n les mediatrius. Assenyala’n el circumcentre. Què hi observes?

34. �� En un triangle rectangle i isòsceles la hipotenusa fa 10 cm. Si tracem unacircumferència circumscrita, quin n’és el radi?

35. �� En un triangle equilàter de perímetre 36 cmtracem la circumferència circumscrita. Sabem que la mitjana fa 10,39 cm. Quin és el radide la circumferència?

36. �� En un triangle rectangle, el baricentre,l’ortocentre, el circumcentre i l’incentre sónpunts situats:

a) A l’exterior del triangle.b) A l’interior del triangle.c) Sobre un costat.

37. �� Assenyala el circumcentre i l’ortocentre d’un triangle rectangle i isòsceles. El segmentque uneix aquests dos punts del triangle és:

a) Mitjana c) Alturab) Mediatriu d) Bisectriu

Es verifica en un triangle rectangle escalè, això?

38. �� En un triangle rectangle i isòsceles:

a) L’altura corresponent a la hipotenusa és mésgran que un catet?

b) La mitjana corresponent a la hipotenusa és mésgran o més petita que un catet?

TEOREMA DE PITÀGORES

39. � La hipotenusa d’un triangle rectangle fa 12 cm i un dels catets en fa 6. Calcula la longitud de l’altre catet.

40. � Calcula la longitud del costat que falta en cadatriangle rectangle (a és la hipotenusa).

a) a = 34 cm, b = 30 cmb) b = 28 cm, c = 21 cm

41. �� Calcula la longitud de la hipotenusa d’un triangle si saps que els catets es diferencien en 2 cm i que el petit fa 6 cm.

42. � Determina si els triangles següents sónrectangles. En cas afirmatiu, indica la mida de la hipotenusa i els catets.

a) Triangle amb costats de 5 cm, 12 cm i 13 cm.b) Triangle amb costats de 6 cm, 8 cm i 12 cm.

c) Triangle amb costats de 5 cm, 6 cm i cm.d) Triangle amb costats de 7 cm, 24 cm i 25 cm.

43. �� Calcula la longitud dels segments indicats.

a) b)

44. � Sabem que els costats iguals d’un triangleisòsceles fan 7 cm i l’altre, 4 cm. Calcula’nl’altura.

45. �� Calcula l’altura d’un triangle equilàter de perímetre 30 cm.

46. �� Calcula la longitud de la base d’un triangleisòsceles si els costats iguals fan 17 cm i l’altura,8 cm.

47. �� Calcula la longitud dels costats iguals d’un triangle isòsceles el costat desigual del qual fa 42 cm i l’altura, 20 cm.

48. �� Determina la longitud del costat d’un triangleequilàter amb una altura de 6 cm.

61

2 cm

4 cm

2 cm

1 cm

3 cm

2 cmA

A F

E

E?

?

DD

B B

C C

1 cm

1 cm

1 cm

831084 _ 0153-0170.qxd 10/5/07 11:07 Página 164

165

50. �� Calcula l’altura d’un triangle els costats delqual fan:

a) AB = 4 cm BC = 7 cm CA = 9 cmb) AB = 6 cm BC = 10 cm CA = 14 cmc) AB = 5 cm BC = 11 cm CA = 15 cm

51. �� Calcula la distància d’un punt, P, a un altrepunt, A, perquè es verifiqui que la longitud del segment CP és igual que la del segment DPals gràfics.

a) b)

52. � Calcula la longitud de x a les figures.

a) c)

b) d)

53. �� Fixa’t en la figura i calcula.

a) El costat del rombe.

b) La longitud del catet AB,del catet AC i de lahipotenusa BC.

54. �� Calcula el perímetre de les figures següents.

a) b)

55. �� Fixa’t en la figura següent.

Si els costats delrectangle fan 15 cm i 20 cm, quant fa el radi de lacircumferència?

56. �� Fixa’t en les set peces del tangram xinès.

Calcula l’àrea de cadascuna de les peces.

5 cm

5 cm

2,5 cm

2,5 cm

20 cm

15 cmG

COM CALCULEM L’ALTURA D’UN TRIANGLE QUALSEVOL SI EN CONEIXEM ELS COSTATS?

49. Calcula l’altura d’un triangle amb uns costatsde 5 cm, 8 cm i 10 cm.

PRIMER. Dibuixem el triangle i n’anomenemcadascun dels elements.

L’altura divideix la baseen dues parts:• AH, la longitud de

la qual anomenem x.• HB, la longitud de

la qual serà 10 − x.

SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores als dostriangles rectangles que obtenim.

A AHC: 52 = x2 + h2 → h2 = 52 − x2

A HBC: 82 = (10 − x)2 + h2 → h2 = 82 − (10 − x)2

TERCER. Igualem totes dues expressions i feml’equació.

25 − x2 = 64 − (100 + x2 − 20x)25 − x2 = 64 − 100 − x2 + 20x

20x = 61 → x = 3,05 cm

QUART. Calculem h.

h x h2 2 2 2 25 5 3 05 3 96= − = − =→ , , cm

h xh x

x x2 2 2

2 2 22 2 25

8 105 8 10= −

= − −

− = − −( )

(→ ))2

FES-HO AIXÍ

117 cm

5 cm

7 cm

4 cm

8 cm

C

A

C

A

P

D

B 6 cm

2 cm3 cm 3 cm

C

A

P

D

B

H Bx 10 − x

h

10 cmG F

4 cm

16 cm

x

x

C

12 cm

25 cm

28 cm 18 cm

12 cm

5 cm16 cm

14 cm

7 cm

28 cm

A B

5 cm

10 cm x

9 cm

8 cm

x

831084 _ 0153-0170.qxd 10/5/07 11:07 Página 165

166

ÀREA DE FIGURES PLANES

57. ● Tria la resposta correcta en cada cas.

a) L’àrea d’un rombe amb diagonals de 2 cm i 4 cm és:I) 4 cm2 III) 6 cm2

II) 2 cm2 IV) 12 cm2

b) L’àrea d’un trapezi amb bases de 10 cm i 8 cm i altura de 6 cm és:I) 240 cm2 III) 108 cm2

II) 54 cm2 IV) 60 cm2

c) L’àrea d’un triangle equilàter el costat del qualfa 10 cm és:I) 86,6 cm2 III) 43,3 cm2

II) 50 cm2 IV) 100 cm2

58. ●● L’àrea d’un triangle isòsceles és 24 m2

i el costat desigual fa 6 m. Calcula la longituddels altres costats.

59. ●● L’àrea d’un triangle rectangle és 12 cm2

i un dels costats fa 6 cm. Calcula la longitud de la hipotenusa.

60. ●● Calcula l’àrea d’un triangle equilàter de 90 cmde perímetre.

61. ●● Si l’àrea d’un triangle equilàter és 30 cm2,calcula la longitud del costat.

62. ●● Calcula l’àrea d’un triangle rectangle de 13 cmd’hipotenusa si un dels catets fa 5 cm.

63. ●● Determina l’àrea d’un quadrat si saps que ladiagonal fa 7,07 cm.

64. ●● Calcula l’àrea d’aquest rectangle.

65. ●● Calcula l’àrea d’un rectangle la base del qual

fa 10 cm i la diagonal, cm.

66. ●● Determina l’àrea d’un triangle de 7 cm de base i 24 cm de perímetre.

67. ●● Calcula l’àrea de la zona enfosquida.

116

69. ●● Calcula l’àrea d’aquests trapezis isòsceles.

a) c)

b) d)

70. ●● Determina l’àrea de:

a) Un hexàgon regular de 2 cm de costat.

b) Un octàgon regular de 48 cm de perímetre.

71. ●●● Calcula la longitud del segment vermell d’aquesta figura.

COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRAPEZI ISÒSCELESSI EN DESCONEIXEM L’ALTURA?

68. Calcula l’àrea d’aquest trapezi isòsceles.

PRIMER. Calculem la base del triangle rectangleque determina l’altura.

Com que el trapezi és isòsceles, les alturesdeterminen dos triangles rectangles iguals les bases dels quals són la meitat de la diferènciade les bases del trapezi.

SEGON. Apliquem el teorema de Pitàgores en el triangle rectangle que determina l’altura.

1,52 + h2 = 2,52

h2 = 2,52 − 1,52 = 4

TERCER. Calculem l’àrea del trapezi.

AB b h

=+ ⋅

=+ ⋅

=( ) ( )

28 5 2

213 2cm

h = =4 2 cm

AE FBAB CD

= =−

=−

=2

8 52

1,5 cm

FES-HO AIXÍ

4 cm

6 cm 7 m

16 m

24 m 14 m4 m 3 m

4 cm

6 cm

9 cm

4 cm 11 cm

8 cm

41 cm

5 cmD C

A 8 cm

2,5 cm

B

5 cmD

hh

C

A 8 cm

2,5 cm2,5 cm

1,5 1,5BE F

D

h

A

2,5 cm

1,5E

3 cm 3,5 m 4,13 m

10 cm

164 m

F

831084 _ 0153-0170.qxd 13/4/07 18:53 Página 166

72. ●● Determina l’àrea de les superfícies pintades.

73. ●● Determina l’àrea d’un cercle circumscrit a un triangle rectangle amb catets de 6 cm i 8 cm.

74. ●● Calcula l’àrea de la corona circular limitadaper les circumferències circumscrita i inscritad’un quadrat de 8 cm de costat.

75. ●● Calcula l’àrea d’un sector circular de 60°d’amplitud i una circumferència de longitud 12π cm com a radi.

76. ●● Determina l’àrea d’un cercle el diàmetre del qual és igual que el perímetre d’un quadrat de 7 cm de costat.

77. ●● En una circumferència de 5 cm de radi s’inscriu un triangle rectangle isòsceles. Calcula l’àrea compresa entre el cercle i el triangle.

78. ●● Determina l’àrea de la zona pintada si sapsque el diàmetre de la circumferència fa 10 cm.

79. ●●● Calcula l’àrea de les figures següents.

4 cm

a)

12 cm

10 cm

b)

a) c)

10 cm

10 cm

167

5 cm

4 cm 3 cm

3 cm

b)

a)

d)

c)

G

5,54 cm

80. ●●● Calcula l’àrea de les figures següents.

82. ●● Calcula l’àrea del trapezi circular generat perla corona circular de l’activitat anterior i de 120°d’amplitud.

83. ●● Calcula l’àrea d’un trapezi circular de 120 cm i 6 cm de radis i 270° d’amplitud.

84. ●● Fixa’t en la margarida i calcula l’àrea de cada pètal de la part groga, de la blanca i de l’àrea total.

COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRAPEZI CIRCULAR?

81. Calcula l’àrea d’aquesta part de corona circular limitada per dos radis (trapezi circular).

PRIMER. Calcula l’àrea dels sectors circulars.

En aquest cas tenen una amplitud de 30°, i els radis fan 20 cm i 8 cm, respectivament.

SEGON. Restem les àrees de tots dos sectors.

L’àrea del trapezi circular és 87,92 cm2,aproximadament.

A A1 22104 67 16 75 87 92− = − =, , , cm

A2

228 30

36016 75=

⋅ ⋅=

π, cm

A1

2220 30

360104 67=

⋅ ⋅=

π, cm

FES-HO AIXÍ

8 cm

20 cm

30°F

a) c)

5 cm

7 cm

5 cm2 cm

b) d)

10 cm 2,5 cm

2,5 cm4 cm

3 cm

4 m4 m

45°b)

831084 _ 0153-0170.qxd 13/4/07 18:53 Página 167

168

PROBLEMES AMB ÀREES

85. �� Fixa’t en aquesta torre i l’ombra que fa.

Quina distància hi ha des del punt més alt de la torre fins a l’extrem de l’ombra?

86. �� Una escala de 10 m de longitud està recolzada sobre una paret. El peu de l’escala dista 6 m de la paret. A quina altura arriba l’escala sobre la paret?

87. �� Als costats d’un camp rectangular s’hi hanplantat 32 arbres separats 5 m entre ells. Quina és l’àrea del camp? Quant fa el costat?

88. �� Aquest senyal de trànsit indica l’obligatorietat d’aturar-se. Calcula’n l’àrea si l’altura és 90 cm i el costat fa 37 cm.

89. �� Cadascun dels 50 pisos d’un edifici té la planta d’aquesta figura. El costat de l’hexàgonfa 30 m. Si al terra hi ha una moqueta que costa 20 €/m2, calcula el que s’ha pagat en total per la moqueta de l’edifici.

90. �� En Màrius té un jardí en forma de romboide.Un dels costats fa 45 m. A més, hi ha un camí i enconeixem les mides. Calcula el perímetre del jardíi l’àrea.

91. �� Hem col·locat una vidriera triangular. Calcula l’àrea de la part de la vidriera de color vermell si saps que la finestra és un triangle equilàter d’1 m de costat.

92. �� Llancen en una pista circular 1 kg de sorra per metre quadrat. Quin radi té la pista si hi han llançat 4.710 kg de sorra en total?

93. �� En una altra pista circular de 30 m de diàmetre hi volen llançar 30 kg de sorra per metre quadrat.

a) Quantes tones de sorra fan falta?

b) Si una carreta mecànica carrega 157 sacs de 5 kg cadascun, quants desplaçaments haurà de fer?

94. �� Volem fer un cercle amb lloses en un jardíquadrat, tal com indica la figura.

a) Quant fa l’àrea enllosada?

b) Quina àrea ha quedat amb gespa?

95. �� Un pastisser ha cobert de sucre la partsuperior de 200 rosquilles com la de la figura. Si ha fet servir 5 kg de sucre, quants grams de sucre fan falta per cobrir cada cm2 derosquilla?

96. �� Construïm la muntura d’un monocle amb 10 cm de filferro. Quina és l’àrea de la lentque s’encaixa a la muntura?

30 m

1 m

10 m

6 cm

5 cm

G

F

G

F

200 m

10 m

6 m

6 dam

4,1 dam

38 m

4,5

dam

150

m

831084 _ 0153-0170.qxd 10/5/07 11:07 Página 168

169

197. ●● Calcula l’àrea que es pot gravar (a la fotografia, de color blau) d’un disccompacte. Quin percentatge de l’àrea total del disc s’aprofita per gravar?

198. ●●● Un jardiner ha plantat una zona de gespaen forma de corona circular. La longitud del segment més gran que podem traçar-hi és de 15 m.

Quina àrea de gespa ha plantat el jardiner?

199. ●● Aquesta és la bandera del Brasil.

Mesura i calcula quin percentatge de l’àrea total suposa l’àrea de cada color.

100. ●● El telefèric de la ciutat A surt de la based’una muntanya i arriba fins al cim. Des d’aquestpunt es dirigeix a la ciutat B o a la ciutat C.

a) Quina distància recorre el telefèric de la ciutatA a la C?

b) I de A a B?

101. ●●● Un pintor decora una tanca amb unad’aquestes figures.

Si cobra el metrequadrat de tancapintada a 32 €, quant cobrarà per cadascuna?

INVESTIGA

102. ●●● Tracem les mitjanes d’un trianglequalsevol i es formen 6 triangles que tenen com a vèrtex comú el baricentre. Justifica que tots tenen la mateixa àrea. A partir d’aquestresultat, demostra que el baricentre dista de cada vèrtex el doble que del punt mitjà del costat oposat.

103. ●●● Què és més gran, l’àrea del triangle

rectangle ABC o la suma de les àrees de L1 i L2?

(Les circumferènciesque veus tenen coma diàmetre cadascundels costats deltriangle.)

104. ●●● Compara les àrees de la zona ratllada i de la zona blanca.

105. ●●● Els segments traçats en aquests quadrats són diagonals o uneixen vèrtexs del quadrat amb punts mitjos de costatsoposats. Quina fracció de l’àrea del quadrat està enfosquida?

4 m

10 m

C

A B

L1 L2

6 cm

2 cm

GF

GF

800 m

A B C1.500 m 3.200 m

831084 _ 0153-0170.qxd 13/4/07 18:53 Página 169

170

A la vida quotidiana106. ●●● Aquest és el plànol d’una parcel·la en què

es construirà un edifici d’oficines.

La parcel·la té forma de triangle equilàter de 1.300 m de costat i tres carreteres la voregen.

El contractista i l’arquitecte de l’obra hancoincidit en la ubicació de l’edifici.

Si tenim en compte que l’edifici que es construiràtindrà forma quadrada i una superfície de 484 m2, i que el metre lineal de la via de sortida costarà 1.150 €, quin serà el cost de les tres vies que s’han de construir?

107. ●●● Volem col·locar un repetidor al cim d’una muntanya per assegurar les comunicacions de quatre localitats que hi ha a la zona.

Les quatre localitats estan situades als vèrtexs d’un rectangle i les distàncies entre elles són:

Tal com pots veure al mapa, les distàncies entre la muntanya i els pobles d’Argant i Bern són fàcils de mesurar. Són les següents:

Les distàncies del pic del Bou als altres dospobles, en canvi, no es poden mesurar fàcilmentperquè hi ha un llac al mig.

Sabem, pels mesuratges que s’han fet d’altresrepetidors similars, que el senyal és acceptablefins a una distància no superior a 90 km delrepetidor.

Serà acceptable el senyal als pobles de Cabrersi Diders?

Argant - Bern 100 km

Bern - Cabrers 60 km

Argant - pic del Bou 50 km

Bern - pic del Bou 80 km

Argant Bern

Diders Cabrers

Pic del Bou

1.300 m

100 km

60 km

Jo crec que l’edificihauria de ser a la

mateixa distància de les tres carreteres... D’aquesta manera

el soroll i la contaminacióserien menors.

Hi estic d’acord... Però llavors hauràs

de fer un pressupost del cost de les tres vies de sortida que haurem

de construir.

G F

831084 _ 0153-0170.qxd 13/4/07 18:53 Página 170

El llegat d’ArquimedesA Sicília, preocupat perquè l’ideal del seu fill Marc fos l’esperit guerrer i les conquestes de Juli Cèsar, Ciceró mirava de raonar amb ell i li deia:

–Molt a prop d’aquí, a Siracusa, va viure l’enginyer bèl·lic més gran de tots els temps. Ell sol va ser capaç d’aturar l’exèrcit romà durant més de tres anys.

Marc es va interessar molt pel tema i el seu pare li va explicar la història d’Arquimedes i li va prometre que l’endemà anirien a veure’n la tomba.

L’endemà, davant de la tomba on Marc esperava veure les gestes d’Arquimedes, només hi va trobar una esfera escrita en un cilindre.

Llavors Ciceró li va dir al seu fill:

–Tot i els seus èxits en enginyeria militar, no en va deixar cap d’escrit, però sí molts de matemàtiques i mecànica. Ell pensava que el seu millor tresor era haver descobert que el volum de l’esfera és dos terços del volum del cilindre que la conté.

Aquestes figures es generen per rotació de figures planes. De quines figures es tracta? Coneixes cap altre cos que es generi així?


• Distingir elsprincipals elements i característiques dels poliedres.

• Reconèixer elspoliedres regulars.

• Diferenciar els prismes i lespiràmides, així comels seus elements i tipus.

• Aplicar el teorema dePitàgores al càlcul de longituds en l’espai.

• Calcular l’àrea i el volum de prismes,piràmides, cilindres,cons i esferes.

• Treballar ambcoordenadesgeogràfiques.

PLA DE TREBALL

Cossos geomètrics

831084 _ 0171-0190.qxd 13/4/07 19:02 Página 171

Poliedres1

APLICA

Fes el desenvolupament pla dels poliedres de l’exercici anterior. Indica els passos que segueixes.

REFLEXIONA

Dibuixa dos heptaedres que tinguin un nombre d’arestes i de vèrtexs diferent. (Fixa’t en els exemples anteriors.)

3

2

EXERCICISPRACTICA

Determina el nom dels poliedres i el nombre de cares i arestes que tenen.

a) b)

1

172

Els poliedres són cossos geomètrics tancats limitats per cares planes deforma poligonal.

Anomenem desenvolupament pla d’un poliedre la figura que obtenimquan l’estenem sobre un pla, a partir del qual podem construir el poliedre.

Cara

Cada polígon quelimita el poliedre.

Aresta

Costat de cada cara.

Diagonal

Segment que uneix dos vèrtexs

no consecutius.

Vèrtex

On concorren tres o méscares. Coincideixen ambels vèrtexs de les cares.

Els poliedres els anomenem en funciódel nombre de cares::4 cares Tetraedre5 cares Pentaedre6 cares Hexaedre7 cares Heptaedre...

F

F

F

F

Determina el nom dels poliedres següents. Quantes cares tenen? I quantes arestes?

En tots dos casos, el nombre de cares és 5; per tant, són pentaedres. Tot i això, el primer té 8 arestes i el segon, 9.

1

EXEMPLE

F

F

G

G

F

831084 _ 0171-0190.qxd 13/4/07 19:02 Página 172

APLICA

Indica el poliedre regular que es pot formar amb:

a) Triangles equilàters. b) Quadrats.Quantes cares coincideixen en cada vèrtex?

REFLEXIONA

Podries formar un poliedre regular fent servirnomés hexàgons regulars? I fent servirpolígons regulars de més de sis costats?

6

5

EXERCICISPRACTICA

Aquest poliedre és un cub truncat (cada vèrtex del cub ha estat tallat formant un triangle equilàter).

El poliedre és còncau o convex? Comprova si es compleix la fórmula d’Euler.

4

Classificació dels poliedres. Àrees

En funció de la forma, els poliedres poden ser còncaus o convexos.

En tots els poliedres convexos es compleix la relació d’Euler:

C + V = A + 2Nre. de cares Nre. de vèrtexs Nre. d’arestes

Només hi ha cinc poliedres regulars:

Tetraedre Cub Octaedre Dodecaedre Icosaedre

2

Un poliedre és regular quan totes les seves cares són polígons regularsiguals i, a més, en cada vèrtex s’uneix el mateix nombre de cares.

Classifica els poliedres i comprova si es verifica la relació d’Euler.

a) És un poliedre convex. C = 7, A = 15, V = 10 → 7 + 10 = 15 + 2b) És un poliedre còncau. C = 7, A = 15, V = 10 → 7 + 10 = 15 + 2

2

Convex

Cap cara, quan la prolonguem, talla el poliedre.

EXEMPLE

2.1 Poliedres regulars

Còncau

Alguna cara, quan la prolonguem,talla el poliedre.

173

Els principals poliedresconvexos són els poliedres

regulars, els prismes i les piràmides.

a) b)

831084 _ 0171-0190.qxd 13/4/07 19:02 Página 173

APLICA

Calcula l’àrea d’un prisma triangular, és a dir: la base és un triangle equilàter, regular de 5 cmd’aresta bàsica i 16,5 cm d’altura.

REFLEXIONA

Calcula l’àrea d’un prisma hexagonal regular de 8 cm d’aresta bàsica i 10 cm d’altura.

10

9

EXERCICISPRACTICA

Classifica aquests prismes i anomena’n els elements principals.

a) b)

Calcula l’àrea d’un cub de 9 cm d’aresta.8

7

174

2.2 Prismes

En funció de la forma de les bases, els prismes po-den ser triangulars, quadrangulars, pentagonals...

Direm que és un prisma recte quan les seves ca-res laterals són totes rectangles, és a dir, són per-pendiculars a les bases. En cas contrari, l’anome-nem oblic.

Direm que un prisma és regular quan és recte iles seves bases són polígons regulars.

Un prisma és un poliedre que té dues cares que són polígons iguals iparal·lels entre ells (bases) i la resta de les cares són paral·lelograms(cares laterals). L’altura del prisma és la distància entre les bases.

Arestabàsica

Caralateral

Alt

ura

Base

Arestalateral

Prisma pentagonal rectePrisma quadrangular oblic

Els prismes que tenen com a base un quadrilàter els anomenem paral·le-lepípedes, i si són rectes reben el nom d’ortoedres.

Àrea d’un prisma

L’àrea d’un prisma és la suma de l’àrea lateral (àrea de les cares laterals) ide l’àrea de les bases. L’àrea lateral és l’àrea d’un rectangle d’amplada, elperímetre de la base, i d’altura, l’altura del prisma.

A = ALateral + 2ABase = PBase ⋅ h + 2ABase

Calcula l’àrea de l’ortoedre que veus a l’esquerra.

A = PBase ⋅ h + 2ABase = (2 ⋅ 9 + 2 ⋅ 6) ⋅ 16 + 2 ⋅ (9 ⋅ 6) = 588 cm2

3

EXEMPLE

G

G

G

Fh hPBase

9 cm6 cm

16 cm

831084 _ 0171-0190.qxd 13/4/07 19:02 Página 174

APLICA

Calcula l’àrea total d’una piràmide hexagonalregular de 6 cm d’aresta bàsica i 12 cmd’apotema de les cares laterals.

REFLEXIONA

Amb qualsevol triangle com a base podem feruna piràmide recta. És possible fer-ho ambqualsevol quadrilàter?

13

12

EXERCICISPRACTICA

Classifica aquestes piràmides i anomena’n els elements principals.

a) b)

11

175

En funció de la forma de les bases, les pirà-mides poden ser triangulars, quadrangu-lars, pentagonals...

Direm que una piràmide és recta quan lescares laterals són totes triangles isòsceles.En cas contrari, l’anomenem obliqua.

Una piràmide és regular quan és recta i labase és un polígon regular.

2.3 Piràmides

Una piràmide és un poliedre que té com a base un polígon i les careslaterals són triangles amb un vèrtex comú, que anomenem vèrtex de lapiràmide. L’altura de la piràmide és la distància de la base a aquest vèr-tex.

Piràmide pentagonal recta

Anomenem apotema d’una piràmide regular l’altura de qualsevol de lescares laterals.

Àrea d’una piràmide

L’àrea d’una piràmide és la suma de l’àrea lateral(suma de les àrees dels triangles) i l’àrea de la base.Si n és el nombre d’arestes bàsiques:

A A A AP a= + = + ⋅

Base Lateral BaseBase

2

A nb a n b a P a

LateralBase= ⋅

⋅=

⋅ ⋅=

⋅2 2 2

( )

Calcula l’àrea d’una piràmide quadrangular regular de 6 cm d’arestabàsica i 8 cm d’apotema.

Com que la piràmide és regular, la seva àrea és:

A AP a

BB= +

⋅= +

⋅ ⋅=

26

6 4 82

1322 2( )cm

4

EXEMPLE

Arestabàsica

Vèrtex

Caralateral

Alt

ura

Base

Arestalateral

ApotemaG

F

F

F

6 cm

8 cm

b

b

bbb

b b

b

a

Aquesta fórmula per calcular l’àrea

d’una piràmide només és vàlida per a piràmides

regulars.

831084 _ 0171-0190.qxd 10/5/07 10:55 Página 175

Cossos de revolució. Àrees3

Els cossos de revolució són cossos geomètrics que obtenim quan gi-rem una figura plana al voltant d’una recta (eix de gir).

3.1 Cilindre

L’obtenim quan girem un rectangle al voltant d’un dels seus costats. El seudesenvolupament pla consta d’un rectangle i dos cercles (bases).

3.2 Con

L’obtenim quan girem un triangle rectangle al voltant d’un dels seus catets.El seu desenvolupament pla consta d’un cercle (base) i un sector circular.

L’àrea és la suma de l’àrea lateralmés l’àrea de les dues bases.

A = ALateral + 2ABase == 2πrh + 2πr2 == 2πr(h + r)

L’àrea és la suma de l’àrea lateralmés l’àrea de la base.

A = ALateral + ABase =

A =

A = πrg + πr2 = πr(g + r)

πππ

πgr

gr2 22

2⋅ + =r

gg

r

2πr

r

r

h h2πr

Calcula l’àrea del cilindre de 4 cm d’altura i 3 cm de radi de la base. I si en lloc d’un cilindre fos un con?

Si és un cilindre: A = 2πr(h + r) = 2π ⋅ 3(4 + 3) = 131,88 cm2

Si fos un con, en calculem de primer la generatriu:

cmA = πr(g + r) = π ⋅ 3(5 + 3) = 75,36 cm2

g r h= + = + =2 2 2 23 4 5

5

EXEMPLE

APLICA

Quina altura té un cilindre de 75,36 cm2 d’àrealateral i 4 cm de radi de la base?

REFLEXIONA

Un con té la mateixa base que un cilindre i laseva àrea és la meitat. Quin tindrà més altura?

16

15

EXERCICISPRACTICA

Dibuixa el desenvolupament pla i calcula l’àreadels cossos de revolució següents.

a) Un cilindre de 3 cm de radi de la base i 5 cmd’altura.

b) Un con de 4 cm de radi i 6 cm de generatriu.

14

176

F

F

RadiBase

Eix de gir

Base

h

r

Alt

ura

FG

Eix de gir FG

RadiBase

4 cm

3 cm

4 cm

3 cm

hg

r

Alt

ura

Gen

erat

riu

831084 _ 0171-0190.qxd 10/5/07 10:55 Página 176

177

3.4 Figures esfèriques

S’obtenen en tallar la superfície esfèrica amb un o més plans.

• Casquet esfèric: cadascuna de les parts quees formen a la superfície esfèrica quan la tallaun pla. La seva àrea és:

ACasquet = 2πrh

• Zona esfèrica: part de la superfície esfèrica compre-sa entre dos plans paral·lels. En calculem l’àrea ambla fórmula:

AZona = 2πrh

• Fus esfèric: part de la superfície esfèricacompresa entre dos plans secants que passenpel centre de l’esfera. La seva àrea és:

Ar

Fus =4

360

2π α

3.3 Esfera

L’obtenim quan girem un semicercle al voltant del seu diàmetre. L’esferano té un desenvolupament pla.

L’àrea la calculem amb la fórmula:A = 4πr2

Tenim una esfera de 3 cm de radi. Calcula l’àrea del casquet esfèric d’1 m d’altura i el fus esfèric de 45° d’amplitud.

ACasquet = 2πrh = 2π ⋅ 3 ⋅ 1 = 18,84 m2

Ar n

Fus 14,13 m= =⋅ ⋅

=4360

4 3 45360

2 22π π

6

EXEMPLE

REFLEXIONA

Calcula l’altura d’una zona esfèrica perquè la seva àrea sigui la mateixa que la d’un fus esfèric de 10º d’amplitud, si el radi de l’esfera associada és de 15 cm. I si el radi fos de 30 cm? El resultat depèn del radi de l’esfera?

19

EXERCICISPRACTICA

En una esfera de 20 cm de radi, calcula l’àrea del fus esfèric de 40° i un casquet esfèric de 10 cm d’altura.

APLICA

En una taronja de 15 cm de diàmetre, quina àrea de pell li correspon a cadascun dels 12 grills?

18

17

Radi

h

r

h

r

αr

3 m

1 m3 m

45°

Centre

F

F

h

15 cm

L’àrea d’una esfera és igual que l’àrea lateral del cilindre

que la conté, i s’hi ajustacompletament.

Eix de gir FG

831084 _ 0171-0190.qxd 10/5/07 10:55 Página 177

178

Volum de cossos geomètrics

El volum d’un cos geomètric és la quantitat d’espai tancada dins de la sevasuperfície.

4.1 Principi de Cavalieri

4.2 Volum del prisma i el cilindre

Ja sabem que el volum d’un ortoedre és el pro-ducte de les seves dimensions.

V = m ⋅ n ⋅ p = (m ⋅ n) ⋅ p

Si apliquem el principi de Cavalieri podem calcular el volum de qualsevolprisma i cilindre. El volum d’aquests cossos coincideix amb el de l’ortoe-dre de la mateixa àrea de la base i altura idèntica.

VPrisma = ABase ⋅ Altura = ABase ⋅ h VCilindre = ABase ⋅ Altura = πr2 ⋅ h

4

Si dos cossos tenen la mateixa altura i les seccions que es produeixenquan es tallen per plans paral·lels a la base presenten la mateixa base,llavors els dos cossos tenen el mateix volum.

mn

p

Calcula el volum d’un prisma quadrangular de 3 cm de costat de la base i 7 cm d’altura. Calcula també el volum del cilindre inscrit en el prisma.

VPrisma = ABase ⋅ h = 32 ⋅ 7 = 63 cm3

El radi del cilindre és la meitat del costat del quadrat:

r 1,5 cm → VCilindre = πr2 ⋅ h = π ⋅ 1,52 ⋅ 7 = 49,45 cm3= =32

7

EXEMPLE

REFLEXIONA

Determina la longitud de l’aresta d’un cub el volum del qual és igual al d’un ortoedre amb arestes de 3, 4 i 5 cm, respectivament.

Si els volums de dos cilindres són iguals i els radis són un el doble que l’altre, quinarelació hi ha entre les seves altures?

23

22

EXERCICISPRACTICA

Calcula el volum d’un prisma hexagonal regularl’aresta de la base del qual fa 3 cm i l’altura, 4 cm.

APLICA

Calcula el volum del cilindre circumscrit en el prisma de l’exercici anterior.

21

20

h

r

3 cm

7 cm

831084 _ 0171-0190.qxd 13/4/07 19:02 Página 178

179

4.3 Volum de la piràmide i el con

De manera experimental, podem comprovar que elvolum d’una piràmide és la tercera part del volumd’un prisma amb la mateixa àrea de base i idènticaaltura.

VPiràmide = VPrisma → VPiràmide = (ABase ⋅ h)

De manera anàloga, podem calcular l’àrea d’uncon relacionant-lo amb el volum d’un cilindreamb la mateixa base i altura.

VCon = VCilindre → VCon = (πr2 ⋅ h)1

3

1

3

1

3

1

3

Calcula el volum dels cossos geomètrics següents.

a) b)

a) És una piràmide de base quadrada.

V = (ABase ⋅ h) = (62 ⋅ 10) = 120 cm3

b) És un con. De primer en calculem l’altura.

h2 = 82 − 42 →

V = (πr2 ⋅ h) = (π ⋅ 42 ⋅ 6,93) = 116,05 cm313

13

h = − =8 4 6 932 2 , cm

13

13

8

EXEMPLE

APLICA

Calcula el volum comprès entre el cub i el con de la figura.

REFLEXIONA

Tenim un con de radi r i altura h. Com augmenta més de volum, si augmentem 1 cm el radi o si augmentem 1 cm l’altura?

26

25

EXERCICISPRACTICA

Calcula el volum de les figures següents.

a) b)

2410 cm

h

6 cm

10 c

m

4 cm

4 cm

8 cm

8 cm

h

h

h

h

h

3 cm

7 cm

4 cm

5 cm

831084 _ 0171-0190.qxd 13/4/07 19:02 Página 179

180

4.4 Volum de l’esfera

El principi de Cavalieri ens permet relacionar els volums de l’esfera, elcon i el cilindre.

Les àrees de cada secció verifiquen la relació següent.

VEsfera + VCon = VCilindre

Ja sabem que: . Si aïllem la igualtat anterior, obtenim

el volum de l’esfera.

El volum d’un cilindre de radi r i altura r és: VCilindre = πr2r = πr3.

Per tant, el volum d’una esfera de radi r és .V rEsfera = 4

33π

1

2

1

3

4

3V V V V VEsfera Cilindre Cilindre Esfera+ = =→ CCilindre

V VCon Cilindre=1

3

1

2

r

r

r r GF

Calcula el volum d’aquestes figures.

a) El radi de l’esfera és la meitat del diàmetre, per tant r = 2 cm.El volum de l’esfera serà:

b) El volum d’aquesta semiesfera és la meitat del volum de l’esfera de 2 cm de radi.

V V= = ⋅ =12

12

3Esfera 33,49 16,74 cm

V r= = ⋅ =43

43

23 3 3π π 33,49 cm

9

EXEMPLE

REFLEXIONA

Determina el volum de les esferes circumscrita i inscrita en un cilindre d’1 m d’altura i de diàmetre.

Quina és la diferència entre els radis de totes dues esferes?

29

EXERCICISPRACTICA

Calcula el volum d’una esfera el diàmetre de la qual és de 10 cm.

APLICA

Si el volum d’una esfera és 22 dm3, quin n’és el radi?

28

2710 cm

1 m

1 m

4 cm 2 cm

+ =

a) b)

GF

831084 _ 0171-0190.qxd 13/4/07 19:02 Página 180

Determina la latitud i la longitud dels punts A i B.10

EXEMPLE

L’esfera terrestre

5.1 Elements de l’esfera terrestre

5.2 Coordenades geogràfiques

La localització dels punts sobre l’esfera terrestre la fem en referència almeridià zero i a l’equador. Així:

• La latitud és la mida en graus de l’arc de meridià comprès entre l’equador i el punt corresponent. Pot fer de 0° a 90° i ser nord osud, en funció de la posició del punt respecte de l’equador.

• La longitud és la mida en graus de l’arc comprès entre el meridiàzero i el meridià que passa pel punt. Pot fer de 0° a 180° i ser est ooest, en funció de la posició del punt respecte del meridià zero.

5

Equador Equador

A

75°35°

30°50°

EG G

B

E

Meridià zero

Meridià zero

F

G

Eix terrestre

Eix imaginari de la Terraquan gira sobre ella

mateixa. Els seus extremssón el pol nord i el pol sud.

Equador

Circumferència perpendicular a l’eix terrestre que divideixl’esfera en dues parts igualsanomenades hemisferis.

Meridians

Circumferències màximesque passen pels dos pols.

Paral·lels

Circumferències paral·leles a l’equador.

REFLEXIONA

Si els punts A i B són en el mateix paral·lel,quina relació hi ha entre les seves latituds?

Tindrien cap relació si estiguessin en el mateixmeridià?

32

EXERCICISPRACTICA

Busca en un atles una ciutat que tingui latitudnord i longitud oest, i una altra que tingui latitudsud i longitud est.

APLICA

Les coordenades de la ciutat A són 20° E 30° N, , i les de la ciutat B són 50° O 25° S.Quants graus de longitud i latitud separen les ciutats A i B?

31

30

AB

181

El meridià més important és

el meridià zero, quepassa per Greenwich

(Anglaterra).

G

F

GF

Latitud: 75° NLongitud: 35° E

Latitud: 50° SLongitud: 40° O

831084 _ 0171-0190.qxd 10/5/07 10:55 Página 181

182


L’essencial

Prismes

Piràmides

Cilindres

FES-HO AIXÍ

1. APLICACIÓ DEL TEOREMA DE PITÀGORES EN COSSOS GEOMÈTRICS

Calcula la dada desconeguda en aquests cossos geomètrics.

PRIMER. Determinem el triangle rectangle que relaciona les dades conegudes i la dada desconeguda, i apliquem el teorema de Pitàgores.

a) b) c)

SEGON. Resolem l’equació que en resulta.

a) g2 = 32 + 42 b) 52 = (a')2 + 32 → (a')2 = 52 − 32 c) a2 = 32 + 42

a = + =3 4 52 2 cma' = − =5 3 42 2 cmg = + =3 4 52 2 cm

Cons

Esferes

hh

r2πr

h

r

h

PBA = PBase ⋅ h + 2ABase

V = ABase ⋅ h

A = 2πr(h + r)V = πr2h

A = πr(g + r)

V r h=13

2π

A = 4πr2

V r=43

3π

a a

a'

A AP a

V A h

= +⋅

= ⋅

BaseBase

Base

213

h

r

r

g2πr

g

r

a) b) c)

g

4 cm

3 cma'

3 cm

5 cm

a

4 cm

6 cm

g

4 cm

3 cm a'

3 cm

5 cm a

4 cm

62

3cm

cm=

G

g2 = 32 + 42 52 = (a')2 + 32 a2 = 32 + 42

831084 _ 0171-0190.qxd 13/4/07 19:02 Página 182

183

2. CÀLCUL DE L’ÀREA D’UN POLIEDRE

Calcula l’àrea d’aquest poliedre.

3. CÀLCUL DE L’ÀREA D’UN COS DE REVOLUCIÓ

Calcula l’àrea d’aquests cossos de revolució.

4. CÀLCUL DEL VOLUM D’UN COS GEOMÈTRIC

Calcula el volum d’aquests cossos geomètrics.


a) V = ABase ⋅ h = 19,28 ⋅ 4 = 77,12 cm3 b) V r h= = ⋅ ⋅ =13

13

3 4 37 682 2π π , cm3

Aplicació del teorema de Pitàgores en cossos geomètrics

1. L’altura d’un con de 5 cm de radi de la base i 12 cm de generatriu és:

a) 10,91 cm b) 13 cm c) 7 cm

Càlcul de l’àrea d’un poliedre

2. L’àrea d’un prisma triangular regular de 3 cmd’aresta bàsica i 2 cm d’aresta lateral és:

a) 18 cm2 b) 25,8 cm2 c) 22,3 cm2

Càlcul de l’àrea d’un cos de revolució

3. L’àrea d’un con de 4 cm de radi i 3 cm d’altura és:

a) 87,96 cm2 b) 113,04 cm2 c) 96,7 cm2

Càlcul del volum d’un cos geomètric

4. Quin és el volum d’un tetraedre de 2 cmd’aresta de la base i 1,63 cm d’altura?

a) 2,82 cm3 b) 0,94 cm3 c) 6,52 cm3

I ARA... PRACTICA

a

5 cm

6 cm

4 cm

3 cm

4 cm

3 cm

PRIMER. Determinem el tipus de poliedre i les dades necessàries per calcular-ne l’àrea.Piràmide quadrangular regular:

n = 4 → PBase = 4 ⋅ 6 = 24 cmEn calculem l’apotema:

a2 = 52 − 32 →ABase → Àrea d’un quadratABase = 62 = 36 cm2


A AP a

= +⋅

= +⋅

=BaseBase cm

236

24 42

84 2

a = − =5 3 42 2 cm

PRIMER. Determinem el tipus de cos derevolució i les dades per calcular-ne l’àrea.a) Cilindre: r = 3 cm h = 4 cmb) Con: r = 3 cm

En calculem la generatriu:

SEGON. Apliquem la fórmula.a) A = 2πr(h + r) = 2π ⋅ 3 ⋅ (4 + 3) =

= 131,88 cm2

b) A = πr(g + r) = π ⋅ 3 ⋅ (5 + 3) = 75,36 cm2

g g2 2 2 2 24 3 4 3 5= + = + =→ cm

PRIMER. Determinem el tipus de cos geomètric i les dades necessàries per calcular-ne el volum.a) Prisma octogonal regular:

h = 4 cm

b) Con: r = 3 cm h = 4 cm

AP a

Base,

, cm=⋅

=⋅ ⋅

=2

8 2 2 412

19 28 2( )

a) b)

4 cm

2,41 cm 2 cm4

cm

3 cmF

831084 _ 0171-0190.qxd 13/4/07 19:02 Página 183

184

ActivitatsPOLIEDRES

33. �� Dibuixa el desenvolupament d’aquestspoliedres.

34. �� Els poliedres següents són regulars? Raona la resposta.

35. �� Comprova si aquests poliedres compleixen la fórmula d’Euler.

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

Classifica’ls en còncaus i convexos.

36. � En aquesta taula hi ha representats elspoliedres regulars. Completa-la i comprova que tots compleixen la fórmula d’Euler.

37. � Dibuixa una piràmide pentagonal. Compta’n les arestes, els vèrtexs i les cares i comprova que es compleix la fórmula d’Euler.

38. � Determina el polígon que forma la base d’un prisma en cada cas.

a) Si té 10 vèrtexs.b) Si té 9 arestes.c) Si té 9 cares.

39. � Determina el polígon que forma la base d’una piràmide en cada cas.

a) Si té 10 vèrtexs.b) Si té 12 arestes.c) Si té 9 cares.

40. �� Tenim un tetraedre i un octaedre, amb la mateixa longitud d’aresta, i els enganxem per una cara per formar un altre poliedre. Compleix la fórmula d’Euler, aquest poliedre?

41. � Les tres arestes d’un ortoedre fan 5, 6 i 4 cm,respectivament. Calcula’n la diagonal.

42. �� Calcula la diagonal d’un cub l’aresta del qual fa 3 cm.

43. �� La diagonal d’un cub fa m. Quant fa l’aresta? I la diagonal d’una cara?

27

a)

b) d)

c)

a) b) c)

Cares Vèrtexs Arestes C +V −A

Tetraedre

Cub

Octaedre

Dodecaedre

Icosaedre

831084 _ 0171-0190.qxd 10/5/07 10:55 Página 184

185

44. � L’apotema d’una piràmide quadrangularregular fa 12 cm i l’aresta bàsica, 10 cm. Quant fa d’altura?

45. � L’apotema d’una piràmide hexagonal regular fa 10 cm i l’aresta bàsica, 10 cm. Quantfarà d’altura?

46. �� Calcula la longitud dels segments marcats enels cossos geomètrics següents.

a) b)

48. �� Quan tallem un con perun pla paral·lel a la base,obtenim un altre con i untronc de con. Calculal’altura del tronc del con.

49. �� Dibuixa un tronc de piràmide de basequadrada. Els costats de les bases fan 8 cm i 11 cm, i l’altura, 4 cm. Calcula l’altura de la caralateral.

50. �� Calcula l’aresta lateral, x, del tronc de piràmide i l’altura, h, de la piràmide.

ÀREES DE COSSOS GEOMÈTRICS

51. � Calcula l’àrea total d’un prisma triangular rected’altura 3 cm i la base del qual és un triangleequilàter de 2 cm de costat.

52. � Calcula l’àrea d’un ortoedre d’altura 5 cm la base del qual és un rectangle de 3 ×4 cm.

53. �� La llargada d’un ortoedre és el doble que l’amplada, i l’amplada és el doble que l’altura. Si la diagonal val

cm, calcula’n l’àrea total.

54. � Determina l’àrea total d’una piràmide triangular recta amb arestes laterals de 6 cm, i amb un triangle equilàter de 4 cm de costat com a base.

55. �� Calcula l’àrea d’una cara i l’àrea total d’un tetraedre regular l’aresta del qual fa 2 cm.

56. �� Calcula l’àrea d’una cara i l’àrea total d’un octaedre regular l’aresta del qual fa 4 cm.

57. �� Calcula l’àrea d’una cara i l’àrea total d’un icosaedre regular l’aresta del qual fa 6 cm.

58. �� Calcula l’aresta de:

a) Un tetraedre d’àrea total cm2.

b) Un icosaedre les cares del qual fan cm2.

c) Un octaedre d’àrea total cm2.18 3

3

16 3

21

6 cm8 cm

8 cm

COM CALCULEM L’ALTURA DE LA CARA LATERALD’UN TRONC DE PIRÀMIDE?

47. Calcula la longitud de l’altura de la caralateral d’aquest tronc de piràmide.

Tronc de piràmide: és un poliedre amb dues caresparal·leles, anomenades bases, i diverses careslaterals que són trapezis isòsceles. Es formen quanes talla una piràmide per un pla paral·lel a la base.

PRIMER. Definim el triangle rectangle ABC.

AB = 7 − 4 = 3 cmAC = h = 4 cm


(BC)2 = (AB)2 + (AC)2

BC = 3 4 52 2+ = cm

FES-HO AIXÍ

4 cm

4 cm7 cm

G

G

F

4 cm

4 cm

G

F

BA

C

3 cm

8 cm

5 cm

h

x

x

8 cm

2x4x

6 cm

4,8 cm

F

21 cm

831084 _ 0171-0190.qxd 10/5/07 10:55 Página 185

186

59. � Calcula l’àrea dels cossos i figures esfèriquessegüents.

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

60. � Calcula l’àrea de:

a) Un cub amb una cara la diagonal de la qual fa10 cm.

b) Un cilindre de 20 cm de diàmetre de la base i 12 cm d’altura.

c) Un con de 4 cm de radi i 6 cm d’altura.d) Una esfera de 12 cm de diàmetre.e) Un fus esfèric de 80° i radi de 20 cm.f) Un casquet esfèric de 10 cm de radi i 9 cm

d’altura.g) Una zona esfèrica de 8 cm d’altura i 12 cm

de radi.h) Una piràmide hexagonal regular de 3 cm

d’altura i 3 cm de costat de la base.

61. �� L’àrea lateral d’una piràmide recta de basequadrada i, per tant, regular, és 80 cm2

i el perímetre de la base fa 32 cm. Calculal’apotema de la piràmide.

62. �� Dos cilindres tenen la mateixa superfícielateral i els radis fan 6 m i 8 m. Calcula’n l’altura si saps que es diferencien de 3 m. Calcula també la superfície lateral i total de cadacilindre.

63. �� Un cilindre té una altura igual que el diàmetrede la base i l’àrea és de 470 cm2. Calcula el radi dela base.

64. �� Calcula l’altura d’un cilindre si l’àrea d’una de les bases és igual a la superfície lateral, i cadascuna d’elles fa 154 cm2. Calcula’n l’àreatotal.

65. �� Determina la superfície lateral d’un con l’altura del qual coincideix amb el diàmetre de la base, si la longitud de la circumferència de la base fa 18,85 cm.

67. �� Calcula l’àrea total d’aquestes figures.

a) c)

b) d)

5 cm

5 cm

4 cm

6 cm

9 cm5 cm

4 cm

6 cm

6 cm

4 cm

3 cm

3 cm 3 cm

3 cm

G

G

G

G

40°

3 cm

COM CALCULEM L’ÀREA D’UN TRONC DE PIRÀMIDE I D’UN TRONC DE CON?

66. Calcula l’àrea lateral d’aquestes figures.

a) b)

a) L’àrea lateral d’un tronc de piràmide és:

= 912 cm2

b) L’àrea lateral d’un tronc de con és:

ALateral = π(r + r' )g == π(12 + 10) ⋅ 15 == 1.036,2 cm2

=⋅ +

⋅ =4 24 14

212

( )

An c c

aLateral =⋅ +

⋅ =( )'

2

FES-HO AIXÍ

24 cm12 cm

10 cm

15 cm

14 cm 12 cm

G

G

ac'

c

2πr'

2πr

g

10 cm8 cm

8 cm

6 cm

3 cm

22 cm 9 cm

6 cm

14 cm

12 cm

10 cm

16 cm

G

G G

G

G

G

831084 _ 0171-0190.qxd 10/5/07 10:55 Página 186

187

68. ● El radi d’una esfera fa 3 cm. Calcula’n l’àreatotal.

69. ●● El cercle màxim d’una esfera té una àrea de 78,54 cm2. Determina’n el radi i l’àrea total.

70. ●● Calcula l’àrea total dels cossos geomètricssegüents.

a)

b)

c)

VOLUMS DE COSSOS GEOMÈTRICS

71. ● Calcula el volum d’una piràmide quadrangularrecta de 10 cm d’aresta i 5 cm d’altura.

72. ●● Calcula el volum d’un prisma triangular rectede 8 cm d’altura la base del qual és un triangleequilàter de 4 cm de costat.

73. ●● Calcula el volum d’una piràmide triangularrecta amb arestes laterals de 8 cm, i amb untriangle equilàter de 7 cm de costat com a base.

74. ●● Calcula el volum d’un cilindre de 12 cm de diàmetre i el triple del diàmetre d’altura.

75. ●●● Calcula el volum d’aquests cossosgeomètrics.

a) b)

77. ●● Calcula el volum d’aquestes figures.

a) b)

78. ●● A l’interior d’un cub de 12 cm d’aresta construïm una piràmide la base de la qual és una cara del cub i el vèrtex, el centre de la cara oposada. Calcula l’àrea i el volum d’aquesta piràmide.

79. ● Calcula el volum d’un con:

a) De 5 cm de radi i 8 cm d’altura.b) De 5 cm de radi i 8 cm de generatriu.

3 cm

3 cm

5 cm

6 cm

4 cm 8 cm

7 cm

6 cm

2 cm

G

COM CALCULEM EL VOLUM D’UN TRONC DE PIRÀMIDE I D’UN TRONC DE CON?

76. Calcula el volum d’aquestes figures.

a) b)

El volum d’un tronc de piràmide o d’un tronc de con el podem calcular amb la fórmula:

a) S1 = 62 = 36 cm2

S2 = 42 = 16 cm2

b) S1 = πr 2 = π ⋅ 52 = 78,5 cm2

S2 = πr' 2 = π ⋅ 32 = 28,26 cm2

461,58 cm2V = + + ⋅ =93

78 5 28 26 78 5 28 26( , , , , )

V = + + ⋅ =93

36 16 36 16 228 2( ) cm

Vh

S S S S= + + ⋅3

1 2 1 2( )

FES-HO AIXÍ

4 cm

6 cm

9 cm9 cm

3 cm

5 cm

G

G

G

S2

S1

h h

r

r'S2

S1

7 cm

12 cm

9 cm

5 cm

3 cm

4 cm

G

12 cm

5 cm

G 8 cm

d)

e)

G

831084 _ 0171-0190.qxd 13/4/07 19:02 Página 187

188

80. ●● Calcula el volum d’una esfera el diàmetre de la qual fa 20 cm.

81. ●●● Un cub i una esfera tenen una àrea de 216 cm2. Quin té més volum?

82. ●●● Calcula el volum dels cossos geomètricssegüents.

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

L’ESFERA TERRESTRE

83. ●● Observa la situació de les ciutats A i Bi contesta.

a) La ciutat B és en el mateix paral·lel que la ciutat A. Quina és la latitud de B? Quines relacions hi ha entre les latituds de A i B?

b) Les ciutats A i E són en el mateix meridià. Quina relació hi ha entre les seveslongituds?

PROBLEMES AMB COSSOSGEOMÈTRICS

84. ●● Un ascensor té les mides següents: 100 × 100 × 250 cm. S’hi pot introduir una varaque faci 288 cm?

85. ●● Volem pintar una habitació rectangular(inclòs el sostre) de 4 × 6 m i 3 m d’altura.Cadascun dels pots que farem servir té pinturaper pintar 30 m2.

a) Quants pots haurem de comprar si fem cas del que diu el fabricant?

b) Si al final hem fet servir 4 pots, per a quantsmetres quadrats hem fet servir cada pot?

86. ●● La piràmide de Kefren té les mides que es veuen a la figura.

Quina és l’altura de la piràmide?

87. ●● Calcula l’àrea total de la torre cúbica de 10 md’aresta que té una teulada en forma piramidall’altura de la qual és 12 m.

88. ●● Un cub i una esfera tenen el mateix volum, 125 cm3. Quina té l’àrea més petita?Si haguessis de construir un dipòsit cúbic o esfèric, amb quina forma faria falta menysmaterial?

89. ●● La Géode és un gegantesc cinema amb formad’esfera. Calcula’n l’àrea si saps que el seu volumés de 24.416.640 dm3.

90. ●● Calcula el volum de la piscina.

2 cm

2 cm

3 cm

4 cm

4 cm

2 cm

4 cm

G

G

7 cm

6 cm

8 cm4 cm

6 cm

5 cm

3 cm

3 cm

4 cm

4 cm

4 cm

G

179,37 m

215,25 m

G

A B

E

831084 _ 0171-0190.qxd 13/4/07 19:02 Página 188

189

91. ●●● En un dipòsit cúbic ple d’aigua que té una aresta de 3 m hi introduïm els cossossegüents.

a) Quin percentatge de la quantitat inicial d’aigua hi ha al cub després d’introduir-hi una esfera d’1,5 m de radi?

b) Quin percentatge queda de la quantitat inicial d’aigua si hi introduïm un cilindre de 3 m de diàmetre i altura?

c) I si hi introduïm un con de 3 m de diàmetre i la mateixa altura?

92. ●● Una empresa ven suc en envasos amb formad’ortoedre que tenen unes mides d’11 ×6 ×15 cm.Decideixen canviar aquests envasos per uns ambles característiques següents:

– Disminueix un 10 % l’àrea de la base.– Augmenta un 10 % l’altura.

a) El volum de l’envàs nou és més gran o més petitque el de l’antic?

b) Si es manté el mateix preu, és més rendible per al client l’envàs nou?

c) El preu del bric és 1,40 €. Quant guanyal’empresa si envasa 99.000 litres de suc al mes?I quant guanyava abans?

93. ●●● Una formiga es troba en un vèrtex d’un octoedre i decideix recórrer totes les arestes sense passar dues vegades per la mateixa aresta. Indica un camí possible.

Curiosament, la formiga no podria fer el mateixen un cub. Comprova-ho.

94. ●●● Imagina que envoltem amb una cordal’equador de la Terra.

a) Si sabem que el radi de la Terra fa 3.378 km,quina longitud tindrà la corda?

b) Amb una corda un metre més llarga fem unacircumferència. Quina és la diferència entre els radis de totes dues?

c) Fem el mateix amb una bola que té 18 mm de radi. Quina és ara la diferència entre els radis de totes dues circumferències?

INVESTIGA

95. ●●● L’any 1638 el gran matemàtic Galileu vaproposar el problema següent.

«Si enrotllem un full de paper en els dos sentits possibles, obtenim dos cilindres diferents.»

Aquests cilindres tenen el mateix volum?

96. ●●● Si tenim una esfera inscrita en un cilindre, calcula quina és la diferència entre l’esfera i el cilindre en funció del radi de l’esfera.

97. ●●● En un llibre de matemàtiques hi hem trobataquest problema:

«Si el costat d’un octaedre és c, el seu volum és: V = c3 ⋅ 0,4714».

Investiga com obtenim aquest fórmula.

3 m

3 m

3 m

r = 6.378 km

G

831084 _ 0171-0190.qxd 13/4/07 19:02 Página 189

190

A la vida quotidiana98. ●●● Christo Javacheff i la seva dona Jeanne són

dos dels artistes actuals més populars.

Les seves obres més representatives consisteixena embolicar amb roba objectes i monuments.

Les seves primeres obres es reduïen aempaquetar ampolles, llaunes i capses amb robao plàstic. A poc a poc, però, van anar augmentantla producció. El 1982 van embolicar 11 illes de la badia de Florida. Per fer-ho van fer servir603.000 m2 de roba rosa. El 1985 van empaquetar el pont Neuf sobre el riu Sena, a la ciutat de París. El 1995 van embolicar també amb robal’immens edifici del Reichstag, a Berlín.

Entre els seus futurs projectes hi ha embolicar la Puerta de Alcalá de Madrid i l’estàtua de Colom de Barcelona.

Això és un croquis de la Puerta de Alcalá amb les mides que fa.

Quants metres quadrats de roba necessitaran,aproximadament, per embolicar completamentaquest monument sense tapar les arcades?

99. ●●● El producte més venut de la fàbrica de dolços LA LLAMINERA són unes galetescirculars de 6 cm de diàmetre i una gruixària de 5 mm.

Les galetes es comercialitzen en paquets de 40 unitats, embolicades en paper de cel·lofana, i es venen en capses amb forma d’ortoedre que contenen quatre paquets en cadascuna.

Les capses van embolicades amb el mateix paperde cel·lofana que els paquets.

La producció de galetes diària s’estima en unes10.000 unitats, i el departament financer estàavaluant la conveniència que la forma de la capsasigui un ortoedre.

Creus que si la capsa tingués una altra formase’n podria aprofitar millor l’espai? Quinaquantitat de cartró s’estalviarien diàriament?

LA LLAMINERA

Quants metres quadrats de cartrónecessitem al dia?

I de paper de cel·lofana?

Jo crec que la qüestió és quin percentatge del volum de la capsaocupen les galetes.

831084 _ 0171-0190.qxd 13/4/07 19:02 Página 190

El carro del SolExplica la llegenda que a Alexandria, a l’època en què es construïa el famós Far, un grup d’homes va derrotar el Sol.

Apol·lo, qui altres anomenen Ra, va ordenar als seus serfs que li portessin els set homes més savis de tots els temps, perquè volia la saviesa del món per a ell.

Els serfs van començar la feina i van trobar els set primers. Va ser fàcil, perquè tots set eren a l’Hades i se’ls coneixia com els Set Savis.

El vuitè el van buscar entre els vius i entre els morts, a la terra i al cel, però no apareixia. Cansats de tant buscar, ho van preguntar a l’Oracle:

–El seu nom és Euclides i es troba a la biblioteca d’Alexandria.

Dalt del carro d’Apol·lo van volar fins a la biblioteca i hi van trobar un grup d’homes. El més ancià, que estudiava dos quadrats de mida diferent i n’anotava les semblances i les diferències, va ser capturat pels serfs d’Apol·lo.

–Euclides és nostre!

En aquell instant, la resta d’homes els van envoltar mentre deien:

–Jo sóc Euclides! Jo sóc Euclides!

Els enviats, davant la impossibilitat de reconèixer qui era realment Euclides, se’n van anar i van dir a Apol·lo que el vuitè savi no existia, que era un i eren tots. Després d’això, Apol·lo va alliberar els Set Savis i quan li van preguntar per què ho feia va contestar que no hi ha murs que continguin la saviesa i el coneixement.

En què s’assemblen i es diferencien dos quadrats de mida diferent?


• Conèixer lesmagnituds vectorials.

• Reconèixer si unatransformació és un moviment.

• Obtenir una figuratransformada d’una de donadamitjançant unatranslació o gir.

• Trobar la figuratransformada d’una altra per mitjàd’una simetria centralo axial.

• Reconèixerhomotècies i semblances.

• Aplicar el teorema de Tales en contextosreals, com mapes i escales.

PLA DE TREBALL

Moviments i semblances10

831084 _ 0191-0210.qxd 16/4/07 11:11 Página 191

192

APLICA

Donats el punt A(2, 4) i el vector AB� (−3, 5),determina el punt B, extrem de AB� .

REFLEXIONA

Escriu tres vectors amb mòdul 4. En pots escriure un amb mòdul −2?

3

2

EXERCICISPRACTICA

Donades les parelles de punts següents,calcula en cada cas les coordenades del vectorAB� i troba’n el mòdul.

a) A(1, 3) B(−4, 5)b) A(4, 0) B(−1, −5)c) A(−1, −3) B(5, −7)

1

VectorsHi ha magnituds en què, a més del valor numèric, n’hem de saber la di-recció i el sentit: són les magnituds vectorials.

1

Dos punts del pla, A i B, determinen un vector fix AB�, en què A és l’origen i B, l’extrem. La distància entre A i B (longitud del segmentAB) l’anomenem mòdul del vector i la recta que passa per A i B és la di-recció del vector. El sentit és el que va de A a B.

Donats els punts del pla A(a1, a2) i B(b1, b2), les coordenades del vectorAB� són AB� (b1 − a1, b2 − a2).

El mòdul del vector AB� l’escrivim ⏐AB�⏐, i el definim com a:

⏐AB�⏐ = ( ) ( )b a b a1 12

2 22− + −

Calcula el mòdul, la direcció i el sentit dels vectors AB� i BA�.

a) b)

• Mòdul AB�: 3 cm. • Mòdul BA� : 3 cm.• Direcció: la de la recta AB. • Direcció: la de la recta AB.• Sentit: de A a B. • Sentit: de B a A.

1

EXEMPLE

Troba les coordenades i el mòdul del vector AB�.

Les coordenades dels punts A i B són:A(2, 3) B(5, 4)

Per tant, les coordenades del vector són:

AB� = (5 − 2, 4 − 3) = (3, 1)

I el seu mòdul serà:

⏐AB�⏐ = 3 1 102 2+ =

2

EXEMPLE

Per expressar un vectorfem servir el seu origen

i el seu extrem, o bé una lletra:

v�, w�, a�, b�…Aquestes són les que

es fan servir més.

Coordenades d’un vector

A B

Vector AB�

A B

Vector BA�

5

3

1

1 3 5 X

BA

Y

831084 _ 0191-0210.qxd 16/4/07 11:11 Página 192

193

APLICA

Indica si les afirmacions següents són certes.

a) Una transformació és un moviment.b) Un moviment conserva sempre la forma.c) Una transformació manté la mida

de les figures.

REFLEXIONA

Dibuixa una lletra E i aplica-li diferentstransformacions geomètriques.

6

5

EXERCICISPRACTICA

Quines de les figures següents són el resultatd’aplicar un moviment a la figura?

4

Moviments en el pla2

Una transformació geomètrica en el pla ens permet obtenir un puntP', a partir d’un altre punt P per mitjà d’una regla precisa.

Un moviment és una transformació geomètrica que conserva lesdistàncies i els angles.

És a dir, si dos punts, P1 i P2 són a una distància d, els transformats P'1 iP'2 també seran a una distància d; i si dues rectes, r i s formen un angle α,les transformades r' i s' també formaran un angle α.

En una transformació, un punt l’anomenem doble quan el seu trans-format és ell mateix. Una recta és doble si la seva transformada és ellamateixa.

A sota pots veure diverses transformacions de la figura de la dreta. Determina quines són moviments.

Les figures 1, 2 i 3 les obtenim aplicant moviments a la figura original. A totes s’hi conserva la mida i la forma.La figura 4 conserva la forma, però no la mida, i no és un moviment.La figura 5 no conserva la forma ni la mida, i tampoc és el resultat d’un moviment.

3

EXEMPLE

a) c)

b) d)

Figura 1 Figura 2

Figura 4 Figura 5

Figura 3

831084 _ 0191-0210.qxd 10/5/07 10:57 Página 193

Fes una translació de vector v� al triangle ABC.4

EXEMPLE

APLICA

Un quadrat té com a vèrtexs els punts A(−1, 1),B(1, 1), C(1, −1) i D(−1, −1).

a) Determina’n el traslladat A'B'C'D' per mitjà de la translació del vector v�(4, −2).

b) Comprova gràficament que els punts A', B', C 'i D' també formen un quadrat.

REFLEXIONA

Determina la translació que transforma el punt A(−1, 4) en A'(5, 2).

9

8

EXERCICISPRACTICA

Troba la figura traslladada de la figura Fper mitjà del vector v�.

7

194

Una traslació de vector v� és un moviment que transforma qualsevolpunt P en un altre punt P', de manera que PP�' té el mateix mòdul, di-recció i sentit que v�. El representem amb tv�.

Donats un punt A(x, y) i un vector v�(v1, v2), el punt traslladat de A, A',té com a coordenades A'(x + v1, y + v2).

Translacions3

Donats el punt A(2, 1) i el vector v� = (5, 2), determina les coordenadesdel punt A', transformat de A per mitjà de la translació tv�.

A(2, 1) A'(2 + 5, 1 + 2) → A'(7, 3)translació⎯⎯⎯⎯⎯→

v�(5, 2)

5

EXEMPLE

Partint de cada vèrtex, col·loquemvectors iguals en mòdul, direcció i sentit que v�.

Direm que el triangle A'B'C' és el transformat de ABC per mitjà de la translació de vector v�. La translació conserva els angles i les distàncies i, per tant, és un moviment.

Unint els extrems dels vectors, A', B' i C', obtenim la figuratransformada de la inicial.

A

B

Y Y

X X

C

v�

A

BC

A'

B'

C'

v�

Una translació transforma una figura

en una altra figura igual.

F

Y

X

v�

A

A'

Y

X

6

4

2

2 4 6 8

v�

831084 _ 0191-0210.qxd 16/4/07 11:11 Página 194

Transforma el triangle ABC per mitjà d’un gir de centre el punt Oi angle 120°.

6

EXEMPLE

195

APLICA

Un triangle té com a vèrtexs els punts A(3, 0),B(−1, 4) i C(2, 5). Troba’n la transformada perun gir de centre (2, −1) i angle 180°.

REFLEXIONA

En quina figura es transforma el quadrat ABCDmitjançant un gir G(A; 90°)? I mitjançant un girG(A; −90°)?

12

11

EXERCICISPRACTICA

Troba la figura transformada de la figura Fmitjançant un gir de centre O i angle 90°.

10

Un gir de centre O i angle α és un moviment que associa a cada punt P unaltre punt P', situat a la mateixa distància de O que el punt P, i de manera que POP' = α. Ho expressem així: G(O; α).

Girs4

En un gir, el centre O (independentment de l’angle de gir) es transformasempre en ell mateix. És a dir, el punt O és un punt doble. Els girs conser-ven les distàncies i els angles, per tant, cada figura es transforma en unaaltra d’igual.

Els angles de gir poden ser posi-tius (quan girem en el sentit con-trari a les agulles del rellotge) inegatius (quan el gir és en el sen-tit de les agulles del rellotge).

De primer tracem rectes que uneixin els vèrtexs amb el centre de gir, O.Després dibuixem unes altres rectesque formin angles de 120°, l’angle de gir, amb les anteriors.

Amb el compàs mesurem, sobre larecta corresponent, les distàncies OA,OB i OC, i obtenim els punts A', B'i C', que són els vèrtexs del triangletransformat.

120°−45°

O

O

O

C

B

A

120°

OA

120°

A'

B'

C'B

O

F

C

G

G

(-b, a)

(b, -a)

90°

180°

270°

(a, b)

(-a, -b)

Y

X

831084 _ 0191-0210.qxd 10/5/07 10:57 Página 195

APLICA

Dibuixa un quadrat de vèrtexs:A(1, 1) B(−1, 1) C(−1, −1) D(1, −1)

i calcula’n el simètric respecte a l’origen decoordenades i respecte del punt A(1, 1).

REFLEXIONA

Ha desaparegut la meitat d’aquesta figura i sabem que és simètrica al punt O. Reconstrueix-la.

15

14

EXERCICISPRACTICA

Troba la figura transformada de la figura Fper mitjà d’una simetria central de centre O.

13

196

5.1 Simetries respecte a un punt

Fes una simetria central de centre O al triangle ABC.7

EXEMPLE

Una simetria respecte a un punt O (centre de simetria), S(O), és unmoviment que associa a cada punt P un altre punt P', de manera que:

– Els punts P, O i P' estan alineats, és a dir, pertanyen a una mateixarecta.

– El punt O és el punt mitjà del segment PP'.

Una simetria central de centre O és equivalent a un gir de centre aquest

punt O i angle 180°. S(O) = G(O; 180°)

Simetries5

En una simetria de centre O, l’únic punt doble és O.

Qualsevol recta r que passi per O es transforma enella mateixa, és a dir: si es tria un punt qualsevol der, el seu simètric serà un altre punt de r.

Per tant, totes les rectes que passen pel centre de si-metria són rectes dobles.

Unim els vèrtexs amb el centre desimetria, O. Aquest punt O, cadavèrtex i el seu transformat seran a lamateixa línia recta, ja que la simetriacentral equival a un gir de 180°.

Amb el compàs mesurem la distànciaOA, la portem sobre la rectacorresponent a l’altre costat del puntO i obtenim A'. De manera similarobtindrem els punts B' i C'.

A

180°B

O O

C

AA'

B'

C'

B

C

O

F

O

O = O'

P

P'

r

831084 _ 0191-0210.qxd 16/4/07 11:11 Página 196

APLICA

Assenyala tots els eixos de simetria que tinguinles figures següents.

REFLEXIONA

Un triangle té els vèrtexs A(2, −1), B(4, 5) i C(−3, 6). Troba’n el transformat mitjançant una simetria respecte a l’eix d’abscisses.

18

17

EXERCICISPRACTICA

Troba la figura transformada de la figura Fper mitjà d’una simetria d’eix e.

16

197

En una simetria respecte a una recta, la figura original es veu com si esti-gués reflectida en un mirall. És a dir, conserva les distàncies i els angles,però no el sentit.

Direm que és un moviment invers. Això no passa amb les translacions iels girs, que anomenem moviments directes.

Una figura és simètrica (o té un eix de sime-tria) quan la transformació d’un punt qualse-vol respecte d’aquell eix és un altre punt de lafigura. La figura de l’esquerra té dos eixos desimetria, e i e'.

5.2 Simetria respecte a una recta

Transforma el triangle ABC mitjançant una simetria respecte de e.8

EXEMPLE

Una simetria respecte a una recta r, Sr, és un moviment que associa acada punt P un altre punt P', de manera que:

– El segment PP' és perpendicular a r.– Les distàncies entre P i P' a r són iguals.

Per tant, la recta r és mediatriu del segment PP' i l’anomenem eix de si-metria.

En primer lloc, tracem rectesperpendiculars a l’eix e des decadascun dels vèrtexs.

Amb el compàs, mesurem la distànciade A a l’eix e, la portem a l’altre costatde l’eix i obtenim A'. De manerasimilar obtindrem els punts B' i C'.

e

C

B

A A'

e'

B'

C' C

e

B

A

e

eF

En una simetria respecte a una recta r, tots els puntsque pertanyen a r són dobles.

De la mateixa manera,qualsevol recta perpendicular

a la recta r és una recta doble.

Q'

Q

s

r O = O'

831084 _ 0191-0210.qxd 10/5/07 10:57 Página 197

198

Polígons semblants

Determina si les dues figures del marge són polígons semblants.

• Cada angle i el seu transformat són iguals.

• El quocient d’un costat i el seu transformat és constant.

Les dues figures són semblants, amb raó de semblança .23

ABA B

BCB C

CDC D

DAD A

k' ' ' ' ' ' ' '

= = = = =23

10

EXEMPLE

APLICA

Determina si un triangle de costats de 3, 4 i 5 cmés semblant a un altre de costats 1,5; 2 i 2,5 cm.

REFLEXIONA

Troba els punts i les rectes dobles d’una homotècia.

21

20

EXERCICISPRACTICA

Transforma aquest hexàgon per mitjà d’una homotècia de centre el vèrtex Ai raó 3.

19

Dos polígons són semblants si cada angle i el seu transformat sóniguals, i el quocient de la longitud de cada costat i el seu transformat ésconstant. Aquest nombre l’anomenem raó de semblança.

Aplica a la figura ABCDE una homotècia de centre O i raó 2.

A partir del punt O tracemrectes que passen percadascun dels vèrtexs A, B, C,D i E de la figura original.

En cadascuna d’aquestesrectes, marquem els punts A',B', C', D' i E', de manera que:

OA' = 2 ⋅ OA OC' = 2 ⋅ OC

OB' = 2 ⋅ OB OD' = 2 ⋅ OD …

Direm que la figura A'B'C'D'E' és la transformada de ABCDE per una homotècia de centre O i raó 2.

9

EXEMPLE

Una homotècia de centre O i raó k (k > 0) és la transformació que faque a cada punt P li correspongui un altre punt P', alineat amb Oi P, de manera que OP' = k ⋅ OP.

Homotècies i semblances6

B'

A'

E'

D'

D

CO

B

AE

C'

Una homotècia no és un moviment,conserva els angles

però no les distàncies.

B'

A'

D'

D

CF

BA

E

C'

DC

B

A

831084 _ 0191-0210.qxd 16/4/07 11:11 Página 198

APLICA

Si saps que

la raó ,

calcula AB i OB.

REFLEXIONA

Divideix un segment AB de 5 cm en 7 partsiguals.

24

OA

OA'= 1 6,

23

EXERCICISPRACTICA

Troba les longituds que no coneixem.22

199

Aquesta igualtat la coneixem com el teorema de Tales.

Amb el teorema de Tales podem determinar la longitud dels costats d’unpolígon semblant a un altre, del qual coneixem la mida dels costats.

Calcula la longitud del segment AC'en la figura següent.

AB = 3 cm

AB' = 5 cm

AC = 4 cm

Si observem la figura podem comprovar que es compleixen les condicions del teorema de Tales.

BB' i CC' són paral·lels i tallen AC i AC'.

A més, les figures ABB' i ACC' són semblants.

I si apliquem les distàncies del teorema de Tales:

Per tant, el segment AC' fa 6,67 cm, aproximadament.

ABAB

ACAC AC

AC AC' ' '

' '= = ⋅ = ⋅ =⋅

=→ → →35

43 5 4

5 43

6 67, cm

11

EXEMPLE

AB

A B

BC

B C

AC

A C' ' ' ' ' '= =

Teorema de Tales

Si tres rectes paral·leles a, b i c tallen dues rectes s i t, els segments que esdeterminem en aquestes rectes són proporcionals.

7

B'A'

r

sO

x

y

B

A

4,7 cm

1,5 cm

5 cm

5 cm

3 cm

2,25 cm

B'

C'

CBA

Si dos triangles són semblants:

els podem col·locar en posició de Tales.

C

A B D E

F

C

A = D B E

F

B'

A'a

b

c

s t

C

B

A

C'

831084 _ 0191-0210.qxd 10/5/07 10:57 Página 199

200

APLICA

Divideix gràficament el segment AB, de 16 cm de longitud, en parts proporcionals a dos segments de longituds 2 cm i 3 cm.

REFLEXIONA

En Raül ha de tallar un llistó de 30 cm en 7 parts iguals. Només disposa d’un tros que fa 21 cm. Com el pot dividir?

27

26

EXERCICISPRACTICA

Divideix gràficament el segment ABde 20 cm de longitud en:

a) 3 parts iguals.b) 7 parts iguals.c) 2 parts en què la segona sigui la meitat

que la primera.d) 4 parts, en què cada part sigui el doble

que l’anterior.

25

Divideix el segment AB en 3 parts iguals.12

EXEMPLES

Aplicacions del teorema de Tales

Amb el teorema de Tales podem dividir segments en parts iguals o propor-cionals.

8

Tracem una semirecta r amb origen a A i una inclinació qualsevol.Després hi dibuixem a sobre, a partir de A, 3 segments iguals.

Pel teorema de Tales, els segments en què queda dividit el segment AB són proporcionals als que hem dibuixat sobre la recta r, i per tant, són iguals entre ells.

Unim l’extrem de l’últim segment amb el punt B, i tracem paral·leles a aquesta recta des de la resta de divisions.

Divideix el segment AB de l’exemple anterior en 3 parts, de manera que l’última tingui el triple de longitud que la primera, i la segona, el doble que la primera.

13

Tracem una semirecta r i la dividim en tres segments de manera que el primer té una longitud d, el segon farà 2d i el tercer, 3d.

De la mateixa manera, pel teorema de Tales, els segments en què queda dividit el segment AB són proporcionals als que hem dibuixat sobre la recta r, i per tant, hi mantenen la mateixa proporció.

Unim l’extrem de l’últim segment amb el punt Bi tracem paral·leles.

d

d

d

BA

B

r r

r r

A

d

d

d

BA

d2d

3d

d2d

3d

BA BA

831084 _ 0191-0210.qxd 16/4/07 11:11 Página 200

201

APLICA

A quina escala s’ha dibuixat un mapa en què la distància entre dues poblacions és 4,5 cm si la distància real és de 54 km?

REFLEXIONA

Dos pobles A i B estan separats entre ells per 50 km. A quina distància es troben en un mapa a escala 1 : 800.000?

30

29

EXERCICISPRACTICA

Troba les dimensions reals d’aquest camp de futbol.

28

EscalesLes semblances es fan servir per fer plànols, mapes, maquetes, fotocò-pies... Hi reduïm, de manera proporcional, les dimensions que tenen elsobjectes a la realitat, i n’obtenim una representació igual en la forma, peròno en la mida.

9

Calcula les dimensions d’aquest pis si saps que s’ha fet a una escala d’1 : 250.

Si el plànol està fet a una escala d’1 : 250 vol dir que 1 cm en el plànol equival a 250 cm = 2,5 m en la realitat.

L’amplada d’aquest pis en el plànol és de 4 cm:4 · 250 = 1.000 cm = 10 m en la realitat

La llargada del pis en el plànol és de 5,5 cm:5,5 · 250 = 1.375 cm = 13,75 m en la realitat

El pis té una superfície real de:10 · 13,75 = 137,5 m2

Calcula la distància que hi ha entre aquestes dues poblacions.

A vegades, l’escala s’indica de forma gràfica.

En aquest cas, 1 cm (la distànciaexistent entre el 0 i el 5) equival a 5 km, o sigui: 1 : 500.000 (5 km són 500.000 cm).

Així doncs, la distància entre les dues poblacions en el pla és de 3,5 cm:3,5 · 500.000 = 1.750.000 cm = 17,5 km en la realitat

15

14

EXEMPLES

Anomenem escala la raó de la semblança entre la figura original i la se-va representació.

EscalaDistància en la representació

Distànc=

iia en la realitat

1 : 3.000

Utiel

Requena BunyolA

BLlíria

Sagunt

0 5 10 15 20 km

VALÈNCIA

A l’escala, la longitud real i la seva representació

han d’estar expressades en les mateixes unitats.

1 : 2501 cm en el plànol

són 250 cm en la realitat.

831084 _ 0191-0210.qxd 10/5/07 10:57 Página 201

2. REALITZACIÓ DE GIRS

202


L’essencial

Vectors

Homotècies

FES-HO AIXÍ

1. REALITZACIÓ DE TRANSLACIONS

Transforma aquesta figura per mitjà d’una translació tv�.

Transforma aquesta figura per mitjà d’una rotació G(O; α).

PRIMER. Ambl’escaire i el regle,tracem rectesparal·leles al vectorque passen percadascun delsvèrtexs de la figura.

SEGON. Fem servir el compàs o les coordenades del vector per calcular-neel mòdul.

TERCER. Mesurem la distància sobre les rectes que hemdibuixat fent servircom a origen elsvèrtexs de la figura.Els extrems seran elsvèrtexs de la figuranova.

PRIMER. Amb un regle, tracemrectes que uneixincada vèrtex de la figura amb el centre de gir, O.

SEGON. Fem servir el transportador per traçaraltres rectes que formin un angle α ambcadascuna de les rectes dibuixades.

TERCER. Mesurem les distàncies entre el centre, O, i cadascun dels vèrtexs de la figura, i portem aquestes distàncies sobre les rectes noves. Els extrems seran els vèrtexs de la figura nova.

Respecte a un punt S(O)

Respecte a una recta Sr

AB� = (b1 − a1, b2 − a2)

Translacions tv�

Girs G(O; α)

Simetries

AQ

αα

B

P

C O

A'

B'

C'

A

B

C

e

A'

B'

C'

O

A(a1, a2)

B(b1, b2)AB�

BC

B'

C'

v�

A

BC

O

A'

B' E

D

E'

D'

C'

A

DB

C

v�

A

DB

C

v�

A'B'

D'C'

A

DB

Cα

A'

A

DB

Cα

O

B'

D'C'

831084 _ 0191-0210.qxd 10/5/07 10:57 Página 202

Realització de translacions

1. Els punt traslladat per P(5, −6) per la translaciódel vector v�(−1, 6) és:

a) P'(4, 0) c) P'(6, 12)b) P'(6, −12) d) P'(−4, 0)

Realització de girs

2. L’angle del gir que transforma F en F' és:

a) 90°b) 180°c) 45°d) −90°

Realització de simetries respecte d’un punt

3. El simètric de A(0, 2) respecte de l’origen és:

a) (0, 0) b) (0, 1) c) (0, −1) d) (0, −2)

Realització de simetries respecte d’una recta

4. Una simetria respecte d’una recta:

a) No té punts dobles.b) Els punts dobles són els de l’eix.

Dibuix d’una figura semblant a una altra

5. La superfície d’una figura semblant a una altraamb raó 0,5 és:

a) Superior a la inicial. b) Inferior a la inicial.

I ARA... PRACTICA

203

3. REALITZACIÓ DE SIMETRIESRESPECTE D’UN PUNT

5. DIBUIX D’UNA FIGURA SEMBLANT A UNA ALTRA

Dibuixa una figura semblant a aquesta, amb raó de semblança k.

PRIMER. Fixem un punt qualsevol O, i des d’aquest punt tracemrectes que passin per cadascun dels vèrtexs de la figura.

SEGON. Amb el compàs, determinem la distància entre el punt Oi els vèrtexs de la figura.

TERCER. Multipliquem les distàncies per k, i les portem sobre les rectes dibuixades. Els extrems seran els vèrtexs nous.

Aplica a aquesta figura una simetria S(O).

PRIMER.

Tracem rectes que uneixin cadavèrtex amb el centre de simetria, O.

SEGON.

Amb el compàs,mesurem lesdistàncies entre elcentre i cadascundels vèrtexs.

TERCER. Portem aquestes distàncies sobre les rectes, a l’altre costat del punt O.

4. REALITZACIÓ DE SIMETRIESRESPECTE D’UNA RECTA

Aplica a aquesta figura una simetria, Sr.

PRIMER.

Tracem rectesperpendiculars al’eix de simetria, r,des de cadavèrtex.

SEGON.

Amb el compàs,mesurem les distànciesentre l’eix i cadavèrtex.

TERCER. Portem les distàncies sobre les rectesa l’altre costat de la recta r.

A

D

B

C

A'

O

A

D

B

C

O

B'

A

D

B

C

A' r

A

D

B

C

r

B'

D'C'

D'C'

A

B

C

A'

OB'

C'

FO

F'

831084 _ 0191-0210.qxd 16/4/07 11:11 Página 203

204

ActivitatsVECTORS

31. ● Donades les parelles de punts, calcula lescoordenades del vector AB� i el seu mòdul.

a) A(−1, 3), B(4, 5) c) A(4, −1), B(2, −6)b) A(−2, 0), B(1, −3) d) A(−3, −3), B(−1, −2)

32. ● Determina les coordenades de A en el vectorAB� i representa’l gràficament.

a) AB�(2, 3) i B (−3, 4)

b) AB�(−1, 0) i B (2, 5)

33. ● Troba les coordenades de B en el vector AB�

i representa’l.

a) AB�(2, −2) i A (−3, 3)

b) AB�(−2, −3) i A (2, −1)

c) AB�(3, 0) i A 252

, −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

35. ●● Determina les coordenades dels extrems del vector AB� i troba’n les coordenades i el mòdul.

a) b)

36. ●● Dibuixa el vector d’extrems A(−2, 2) i B(3, 0) i calcula’n les coordenades i el mòdul.

37. ●●● Escriu tres vectors amb mòdul 9. En podriesescriure més? Quants?

MOVIMENTS

38. ● Observa el dibuix i indica si les figures següents s’han obtingut per mitjà d’un moviment o no. Raona la resposta.

39. ● Dibuixa, a partir de les figures, altres figures en què es conservi:

a) La mida. c) La mida i la forma.b) La forma. d) Ni la mida ni la forma.

Figura 1 Figura 2

Figura 3 Figura 4

COM CALCULEM LES COORDENADES D’UN VECTOREN UN SISTEMA DE COORDENADES?

34. Calcula les coordenades d’aquests vectors.

Considerem el vector com la diagonal d’un rectangle i en calculem lesdimensions dels costats.

PRIMER. La primeracoordenada del vector és ladimensió de la llargada delrectangle que determina.

La considerem positiva si el desplaçament és cap a la dreta, i negativa, si és cap a l’esquerra.

a) AA' ⎯→ 3 unitats cap a la dreta ⎯⎯→ 3b) CC' → 3 unitats cap a l’esquerra → −3

SEGON. La segona és la dimensió de l’altura del rectangle. La considerem positiva si el desplaçament és cap amunt, i negativa si és cap avall.

a) A'B ⎯→ 2 unitats cap amunt → 2b) C'D → 1 unitat cap avall ⎯⎯⎯→ −1

Així doncs, les coordenades dels vectors són AB�(3, 2)i CD�(−3, −1).

FES-HO AIXÍ

A

B5

3

1

1 3 5

Y

X

5

3

1

1 3 5

Y

X

A

B

5

3

1

1 3 5

Y

X

A

BD

CC'

A'

831084 _ 0191-0210.qxd 16/4/07 11:11 Página 204

205

TRANSLACIONS

40. ● Troba la figura transformada de la figura Fper mitjà d’una translació de vector v�.

a)

b)

c)

d)

41. ●● Completa la taula següent.

42. ● Quin és el vector de la translació que porta el punt A(2, −3) al punt A'(−1, 7)?

43. ● Calcula les coordenades del punt transformatdel punt B(4, −2) mitjançant una translació

del vector v� .1

5

2

3, −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

44. ●● Determina gràficament els vectors de les translacions que transformen la figura Fen F' i F", respectivament. Troba’n també lescoordenades.

45. ●● Troba la figura F que ha donat lloc a la figura F',en aplicar-hi una translació de vector v�(−2, −3).Abans de fer-ho, determina quines seran lescoordenades dels vèrtexs de la figura F.

46. ●●● Troba la figura transformada de la figura Fmitjançant la translació de vector v�. Anomena-laF'. Després, troba la figura transformada de F'per la translació de vector w�. Anomena-la F".

a) Pots passar directament de F a F" amb unatranslació? Si creus que sí, dibuixa el vectord’aquesta translació i escriu-ne les coordenades.

b) Escriu les coordenades de v� i w� i suma’n les abscisses i ordenades. Quina relació té el resultat amb el de l’apartat a)?

47. ●● Considera el punt P(0, 5). Si fem unatranslació de vector v�(3, 4) i, seguidament, una altra de w�(−2, −1):

a) Quin és el punt que obtenim?b) Si després de fer les dues translacions

obtinguéssim el punt Q (2, −2), de quin punthauríem partit?

Punt Vector de translació Punt traslladat

A(1, 3)

B(−2, −4)

D(1, 5)

E(0, 3)

v�(1, −2)

w�(−3, −5)

t�(3, −2)

B'(0, 3)

C'(7, 2)

D'(5, 1)

F v�

F

v�

F

v�

F

Y

X

3

1

1 3 5 7 9 11

Y

X

3

1

1 3 5 7 9 11

Y

X

3

1

1 3 5 7 9 11

Y

X

3

1

1 3 5 7 9 11

v�

Fv�

w�

F'

F

F'

F"

Y

X

5

3

1

−4 −2 1 3 5 7

Y

X

3

1

−8 −6 −4 −2 1 3

Y

X

5

3

1

1 3 5 7 9 11

831084 _ 0191-0210.qxd 16/4/07 11:11 Página 205

206

GIRS

48. � Troba la figura transformada de F pel gir decentre O i l’angle indicat.

a) Angle 90°.

b) Angle 45°.

c) Angle −120° (120° en el sentit de les agulles del rellotge).

d) Angle 180°.

49. �� Troba la figura F', transformada de F per ungir de centre l’origen de coordenades i angle 90º.Quines són les coordenades dels vèrtexs de F? I les dels vèrtex transformats? Quina relacióobserves en els resultats?

F O

F

O

F

O

F

O

F

50. �� Determina el centre i el gir de l’angle que transforma F en F'.

51. �� Troba la figura F que ha donat lloc a la figura F' en aplicar-li un gir de centre l’origeni angle 90°.

52. �� Completa aquesta taula, referida a diferentsgirs amb centre l’origen de coordenades.

53. �� Troba la figura F', transformada de la figura Fmitjançant un gir de centre O i angle 90°.Després, troba la figura F", transformada de F'per un gir de centre O i angle 60°.

a) Troba la transformada de F per un gir de centre O i angle 150° (90° + 60°). Què hi observes?

b) Segons el resultat anterior, a quin movimentequivalen dos girs consecutius amb el mateixcentre?

c) I dos girs consecutius de 270°?

F

O

F F'

F'

Punts Angle Punt transformat

A(1, 0)

C(1, 2)

E(0, 3)

90°

90°

180°

180°

B'(0, 3)

D'(3, 4)

E' (−3, 0)

Y

X

5

3

1

−6 −4 −2 1 3 5

Y

X

3

1

−4 −2 1 3 5 7

831084 _ 0191-0210.qxd 10/5/07 10:57 Página 206

207

SIMETRIES

54. ● Troba la figura transformada de F per unasimetria central de centre O.

a) c)

b) d)

55. ● Determina la figura transformada de F per mitjà de:

a) Una simetria de centre l’origen.b) Una simetria d’eix l’eix d’ordenades.

Quina relació hi ha entre les coordenades delsvèrtexs de F i els dels seus transformats?

56. ●● Determina el centre de simetria quetransforma F en F' i F' en F", i l’eix de simetria que fa les mateixes transformacions.

57. ●● Completa la taula, referida a una simetria de centre l’origen de coordenades.

F F'

F"

F

58. ●● Completa la taula, referida a diferentssimetries.

60. ●● Apliquem a aquesta figura les composicionsde moviments següents.

a) Una traslació de vector v� i un gir de 180°.b) Una simetria de centre O i un gir de 90°.c) Una simetria respecte de la recta r

i una translació de vector v�.

61. ●●● Dibuixa una figura i aplica-li dues simetriescentrals consecutives del mateix centre. Quinarelació hi ha entre la figura original i l’últimafigura que obtens?

COM FEM UNA COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS?

59. Transforma el triangle ABC mitjançant un gir de centre O i angle 90º, i trasllada’n el transformat amb el vector v�.

PRIMER. Fem el primermoviment. En aquest cas, el gir de 90º.

SEGON. Sobre la figura que en resulta, A'B'C', fem el segon moviment. En aquest cas, la translació.

La figura de la composició de moviments, un gir i una translació, és el triangle A"B"C".

FES-HO AIXÍ

Punt Eix de simetria Punt traslladat

A(1, 3)

C(2, −1)

Ordenades

Ordenades

Abscisses

Abscisses

B'(0, 3)

D'(5, 0)O

F

OF

F

O

F

O

Y

X

3

1

−6 −4 −2 1 3 5

A

B

C

A'

B'

C'

A"

B"C"

O

O

C

DB

A

r

v�

v�

Punt Punt transformat

A(1, 0)

B(1, −2)

C'(3, 0)

D'(0, −2)

831084 _ 0191-0210.qxd 16/4/07 11:11 Página 207

208

HOMOTÈCIES I SEMBLANCES

62. ● Les figures T i T'són homotètiques. Troba el centre i la raó de l’homotècia.

63. ● Calcula la longitud dels costats d’un trianglesemblant a un altre els costats del qual fan 7, 11 i 13 cm, si la raó de semblança és k = 3.

64. ●● Els sis costats d’un hexàgon fan 13, 14, 15, 17,19 i 20 cm. Un costat d’un altre hexàgon semblant fa 80 cm. Si la raó de semblança és un nombre enter, quant fan la resta de costats?

65. ●● Dibuixa un rectangle de 8 × 6 cm i afegeix-li 3 cm en cada costat. Has obtingut un rectanglesemblant? Per què?

66. ●● Calcula la raó de semblança d’aquestspolígons. Quina relació tenen els perímetres?

TEOREMA DE TALES. APLICACIONS

67. ● Calcula les longituds que no coneixem.

a) b)

68. ●● A la figura següent,

la raó .

Calcula OA', AB i BC.

69. ● Divideix gràficament un segment AB, amb AB = 14 cm, en 10 parts iguals.

70. ●● Divideix gràficament un segment AB, amb AB = 10 cm, en parts proporcionals a dos segments de mides 2 cm i 6 cm. Calcula numèricament les longituds dels segments trobats i compara-les amb la solució gràfica.

OB

OB'= 0 8,

3 cm

3 cm x

4 cm

2 cm

3 cmx

2 cm

4,8 cm

2,3 cmA B

A'B'

C'

CO

2,8 cm4,5 cm

5,1 cm

1,4 cm F

T'

T

ESCALES

71. ● La longitud d’un cotxe a la realitat és de 4,2 m.Quina en serà la longitud en una maqueta a escala 1 : 200? I a escala 1 : 400?

72. ●● Si tenim una maqueta del cotxe anterior que fa 7,5 cm, a quina escala està feta?

73. ●● En un mapa apareix aquesta escala gràfica.

a) Quina n’és l’escala numèrica?b) Quina distància real separa dos punts

que en el mapa disten 8 cm?

74. ●● Fes l’escala gràfica corresponent a les escales numèriques 1 : 350 i 1 : 6.000.

75. ●● Tenim dos mapes que representen una regió. L’escala del primer és 1 : 400.000 i la del segon, 1 : 1.000.000.

a) Quin dels dos mapes és més gran?b) Si dues poblacions són a 20 km de distància en

la realitat, quina distància les separa en cadascun dels mapes?

c) En el primer mapa, dues ciutats, A i B, estan separades per 2,3 cm. A quina distància es troben realment?

d) A quina distància seran dues ciutats en el segon mapa?

76. ●●● Tenim un mapa a escala 1 : 150.000.

a) Si en fem una fotocòpia al 80 %, quina seràl’escala nova?

b) I si la fem al 120 %?c) Una distància real de 15 km, quina longitud

tindrà en cadascun dels tres mapes?

0 80 160 240 320 m

A

BC

P

Q

831084 _ 0191-0210.qxd 16/4/07 11:11 Página 208

209

PROBLEMES AMB MOVIMENTS I SEMBLANCES

77. �� Volem fer un armari en miniatura semblant a un altre que té unes dimensions de 180 × 110 × 45 cm, de manera que tingui una altura de 13,5 cm. Calcula’n l’amplada i la profunditat.

78. �� Determina les dimensions que tindrà una casa rectangular en un pla a escala 1 : 50, si en la realitat la seva base és la meitat de l’altura i l’àrea és 144 m2.

79. �� Una cèl·lula humana té un diàmetre aproximatde 3,5 milionèsimes de metre i, amb un microscopielectrònic, la veiem amb un diàmetre d’1,75 cm.Calcula quants augments té el microscopi.

80. �� Es farà una desviació en una carretera demanera que el traçat sigui una línia recta respectea dues poblacions, A i B. Calcula en quin punt de la carretera s’haurà de fer la desviació perquè el trajecte cap a totes dues poblacionssigui el mínim.

81. �� Calcula l’altura x d’una muntanya si des de l’extrem de la seva ombra podemmesurar la distància al cim, la qual és de 2.325 m, i en aquest moment un bastó d’1 m fa una ombra de 1,1 m.

82. �� Un ocell és sobre la branca d’un arbre (punt A) situat a la vora d’un riu, i vol passar a un altre arbre de la vora oposada (punt B) i aprofitar per beure aigua sense aturar el vol.Cap a quin punt del riu s’ha de dirigir per fer el recorregut més curt?

INVESTIGA

83. �� Per sumar gràficament els vectors v�i w�, col·loquem l’origen de w� a l’extrem de v�, i el vector suma té com a origen el de v�i com a extrem el de w�.

Per multiplicar un vector per un nombre positiu dibuixem un vector, de la mateixa direcció i sentit que l’original, el mòdul del qual sigui el del vector original multiplicat pel nombre.

Si el nombre és negatiu, fem el mateix procésperò canviant el sentit.

Basant-te en això i fixant-te en la figura, escriu els vectors

, , , , , , i

en funció de p�= i q�= .

84. �� Escriu el perímetre p, l’altura h i l’àrea a dels triangles petits en funció del perímetre P, l’altura H l’àrea Adel triangle gran.

�ED�EF

�OD�AC�EB�EA

�EO�FO�BC�AB

v�

w�

v�

w�

3v�

−3v�

O

E D

F C

BA

v�+

w�

3 km

6 km

12 km

831084 _ 0191-0210.qxd 10/5/07 10:57 Página 209

210

A la vida quotidiana85. �� En els aeroports es controlen els moviments

dels avions per coordinar-ne els aterratges i els enlairaments.

Aquesta feina la fan els controladors aeris, que mitjançant el radar situen la posició dels avions i n’estableixen la trajectòria, posició i velocitat amb què s’aproximen a les pistesd’aterratge.

A la pantalla d’un radar s’hi observa, en un moment determinat, la posició de quatre avions que segueixen trajectòries rectilínies.

Després d’uns minuts, la posició dels avions ha canviat i des de la torre

de control han d’informar de la nova posició,

la trajectòria i la velocitat de cadascundels avions.

Descriu latrajectòria

dels quatreavions

i compara’n les velocitats.

86. �� Al restaurant EL TIBERI el seu famós xefbarreja productes tradicionals amb un tocimaginatiu d’alta cuina. Per això està molt valoratper públic i crítics.

L’amo del restaurant, Julià Guisat, en vista de la reforma que es farà del local, ha ideat una manera de potenciar la figura del xef en el restaurant.

En el primer disseny que ha fet ha col·locatl’octàgon al centre de la sala rectangular i desprésl’ha envoltat amb diferents rajoles grogues, fins a cobrir completament la sala.

És possible fer-ho? Com ha de col·locar les corones per aconseguir-ho?

Vull cobrir el terra amb una gran rajola en forma d’octàgon

que porti el teu retrat. La resta la cobrirem amb rajoles que formin una espècie de corona

al teu voltant.

831084 _ 0191-0210.qxd 10/5/07 10:57 Página 210

L’epidèmia de grip Salamanca, 1918. Dues infermeres, una d’elles visiblementesgotada, feien el canvi de torn a l’hospital. La infermera que sortia, la Carme, li donava unes pautes a la inexperta infermera que l’havia de rellevar.

–No t’involucris personalment amb el pacient, no en vulguis saberni el nom, perquè probablement d’aquí a pocs dies serà mort. –La grip causava estralls entre la població–. Observa els símptomesi si veus que el malalt té els peus blaus... no t’hi entretinguis i resaper la seva ànima.

Tres anys després, l’Anna, que havia acabat la seva feina com avoluntària, llegia al diari local les xifres oficials de morts per gripen els últims anys.

Els ulls se li van omplir de llàgrimesquan va recordar la seva amiga Carme,que formava part de la llista de víctimescorresponent a 1918.

El nombre de morts a causa d’aquesta epidèmia es va xifrar entre 20 i 40 milions a tot el món.

L’altre diari de la ciutat, en lloc d’una taula, va presentar la informació amb una gràfica.

Series capaç de construir i interpretar aquesta gràfica? Quin tipus de gràfica faràs servir?


• Reconèixer si una relació entrevariables és o no una funció.

• Estudiar lacontinuïtat,creixement, simetries i periodicitatd’una funció.

• Determinar el domini,recorregut, punts de tall amb els eixos i màxims i mínimsd’una funció.

• Representar i analitzar funcionsextretes de situacionsde la vida quotidiana.

PLA DE TREBALL

Funcions

El DiariEl Diari

1915191619171918191919201921

6.4817.0217.479

147.114

21.235

17.8255.837

Morts anuals

per grip a Espanya

831084 _ 0211-0228.qxd 10/5/07 10:58 Página 211

El preu del metro de filferro és 0,60 €. La relació entre les variablesLongitud de filferro i Preu, és una funció?

El preu és proporcional a la longitud del filferro:

Longitud (en m) Preu (en €)

1 0,60

2 1,20

3 1,80

x 0,60 ⋅ x = y

Podem expressar aquesta relació així: y = 0,60 ⋅ x.

Si agrupem alguns parells de valors en forma de taula, tenim que:

Veiem que per a cada longitud, x, tenim un únic preu, y, perquè una quantitat de filferro no pot tenir dos preus diferents.

Així, aquesta relació sí que és una funció, en què cada variable independent,x, és la longitud del filferro i la variable dependent, y, n’és el preu.

⋅ 0,60⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

⋅ 0,60⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

⋅ 0,60⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

⋅ 0,60⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

1

EXEMPLE

Concepte de funció1

APLICA

Donats els nombres 3, 5, 7 i 9, calcula per a cadascun el nombre o nombres que elscorresponen amb les relacions següents, i indica quines són funcions.

a) El doble més 2.b) Sumar-li una unitat i dividir

el resultat entre 2.c) La quarta potència.d) L’arrel quadrada.

REFLEXIONA

Escriu dues relacions que siguin funcions i dues més que no ho siguin.

3

2

EXERCICISPRACTICA

Digues, raonant la resposta, si la relació entre els parells de magnituds següents és una funció o no.

a) El pes d’una persona i la seva altura.

b) El pes d’un barril i la quantitat de líquid que conté.

c) La longitud del costat d’un polígon regular i el seu perímetre.

d) La qualificació d’un examen i el nombred’hores dedicades a estudiar.

e) El nombre d’obrers i el temps que tarden a acabar una feina.

1

Una funció és una relació entre dues magnituds o variables numèri-ques, x i y, de manera que a cada valor de x li correspon un únic valorde y.

La variable x la denominem variable independent, i la variable y, va-riable dependent.

212

Longitud (m)

Preu (€)

0,5

0,30

1

0,60

1,5

0,90

2

1,20

2,5

1,50

Una magnitud ésqualsevol característicaque es pot mesurar i se’npot expressar el valorper mitjà d’un nombre.

831084 _ 0211-0228.qxd 13/4/07 19:17 Página 212

213

Formes d’expressar una funció

2.1 Funció definida per un enunciat.

La relació entre les variables d’una funció la podem expressar de mane-ra verbal.

– «A cada nombre li associem el seu quadrat».– «Donat un nombre, li assignem la seva meitat més 1».

2.2 Funció definida per una expressió algebraica

A vegades, les funcions vénen donades per una expressió algebraica. Aques-ta expressió y = f(x) l’anomenem equació d’una funció.

Mitjançant una equació és senzill conèixer el valor de la variable y, anome-nat imatge, corresponent a cada valor de la variable x, denominat original.N’hi ha prou de substituir el valor de x a l’expressió i operar.

2

APLICA

Donada la funció que associa a cada nombre la seva quarta part més 3:

a) Escriu-ne l’expressió algebraica.b) Calcula f (8), f (−4) i f (10).

REFLEXIONA

Pensa en una funció de la qual no puguis trobar l’expressió algebraica.

7

6

EXERCICISPRACTICA

Expressa, per mitjà d’un enunciat, les funcionssegüents.

a) y = 2x − 1 b) y = −x + 3

Troba l’expressió algebraica de la funció que associa a cada nombre:

a) El seu triple. c) El seu doble més 5.b) El seu quadrat. d) La seva meitat.

5

4

Posa diversos exemples de funcions expressades amb enunciats.

– Les ofertes d’un supermercat relacionen el pes o la quantitat d’unitatsamb un preu determinat.

– Els parquímetres d’una ciutat mostren el temps que podem estacionaren funció dels diners abonats.

2

EXEMPLE

Determina l’expressió algebraica de la funció que associa a cadanombre, x, un valor, y, igual que el seu quadrat, x2.

Expressió algebraica → y = x2

Quina és l’expressió algebraica de la funció que associa a cada nombreel seu triple menys 7? I la imatge de x = 4, f(4)?

Expressió algebraica → y = f (x) = 3x − 7

Imatge de x = 4 → y = f (4) = 3 ⋅ 4 − 7 = 12 − 7 = 5

4

3

EXEMPLES

L’expressió algebraica de la funció que associa

a cada nombre el seu triplemenys 7 la podem escriure

d’aquestes maneres.y = 3x - 7

f(x) = 3x - 7y = f(x) = 3x - 7

I el valor d’aquesta funció per a x = 4

el representem així: f(4) = 3 · 4 - 7

O així:y = f(4) = 3 · 4 - 7

831084 _ 0211-0228.qxd 10/5/07 10:58 Página 213

APLICA

Un punt pertany a una gràfica d’una funció siles seves coordenades en verifiquen l’equació.(−1, 2) i (0, −1) pertanyen a y = −2x?

REFLEXIONA

El preu d’una entrada és 15,75 €. Expressa aquesta funció amb una equació, una taula i una gràfica.

10

9

EXERCICISPRACTICA

Troba una taula de valors per a les funcionssegüents. Expressa-les amb un enunciat i fes-ne la representació gràfica.

a) y = x + 2 e) y = −3x − 1

b) y = 2x + 3 f) y = x 2 + 1

c) y = x 2 g) y = 4x − 4

d) y = x 2 + x h) y = −x

8

Els parells de valors relacionats d’una funció, (x, y), determinen puntsdel pla en un sistema d’eixos cartesians. La representació de tots aquestspunts forma una gràfica.La variable independent, x, la representem a l’eix d’abscisses i la de-pendent, y, al d’ordenades.

2.3 Funció definida per una taula de valors

Una funció també pot estar definida per una taula de valors.

2.4 Funció definida per una gràfica

Fes una taula de valors per a la funció y = 2x + 1.5

EXEMPLE

x

−2

−1

0

1

2

y = 2x + 1

2 ⋅ (−2) + 1 = −3

2 ⋅ (−1) + 1 = −1

2 ⋅ (0) + 1 = 1

2 ⋅ (1) + 1 = 3

2 ⋅ (2) + 1 = 5

x

−2

−1

0

1

2

y

−3

−1

1

3

5

Fent servir la taula de l’exemple anterior, dibuixa la gràfica de la funció y = 2x + 1.

Segons la taula, les coordenades dels punts serien (−2, −3); (−1, −1); (0, 1); (1, 3) i (2, 5).

En principi, la gràfica estaria formada nomésper aquests cinc punts. Però com que lavariable x pot agafar qualsevol valor, en quèla seva imatge sigui y = 2x + 1, podem uniraquests punts.

6

EXEMPLE

y = 2x + 14

−2

−4

−4 −2 2 4

2

Y

X

214

Abans d’unir els punts hemde reflexionar sobre

si té sentit fer-ho o no.Dependrà dels valors

que puguin agafar les variables.

F

831084 _ 0211-0228.qxd 13/4/07 19:17 Página 214

APLICA

Un venedor de mobles té un sou fix de 480 € i,per cada moble que ven cobra 10 € de comissió.Dibuixa la gràfica que expressa el guany enfunció del nombre de mobles venuts.

REFLEXIONA

Posa un exemple de funció la gràfica de la qualsigui discreta, i un altre amb una gràficaesglaonada.

13

12

EXERCICISPRACTICA

Raona com serien les variables que relacionenles gràfiques següents.

11

215

Una gràfica és discontínua quan no es pot dibuixar d’un sol traç.

Estudiarem dos tipus de gràfiques discontínues:

Les gràfiques discretes, que són gràfiques de puntsaïllats.

• La variable x és discreta i la variable y pot serdiscreta o contínua.

• En aquest tipus de funcions només repre-sentem els punts.

Les gràfiques esglaonades, formades per seg-ments horitzontals a altures diferents.

• La variable x és contínua i la variable yés discreta.

• Quan representem aquestes funcionsunim els punts amb línies horitzontals.

Un artesà fabrica rellotges que ven a 600 € cadascun. Si dedica una setmana a fabricar cada rellotge, representa les funcions Nombre de rellotges–Guany i Temps–Guany.

7

EXEMPLE

Característiques d’una funció

3.1 Discontinuïtat

3

Y

Y

X

X

X

2.400

1.800

1.200

600

Y

1Nre. de rellotges

Gu

any

(€)

2 3 4

X

2.400

1.800

1.200

600

Y

1Temps (setmanes)

Gu

any

(€)

2 3 4

Y

X

Y

X

Una variable és discretaquan els seus valors

són aïllats, i és contínuasi entre cada dos valors

sempre hi ha valorsintermitjos.

Per exemple, el nombre de peixos capturats és una variable discreta i el seu pes, contínua.

831084 _ 0211-0228.qxd 10/5/07 10:58 Página 215

216

3.2 Continuïtat

Una funció és contínua si la seva gràfica es pot dibuixar d’un sol traç,és a dir, si no té punts de discontinuïtat.

En les funcions que tenen gràfiques contínueshem de tenir en compte:

• Totes dues variables, x i y, són variablescontínues.

• Quan representem aquest tipus de funcions,unim els punts representats amb una línia.

La Maria va amb motocicleta i circula a una velocitat constant de 25 km/h.Estudia i representa la funció que relaciona el temps transcorregut amb l’espai que recorre la Maria.

En aquest cas, és una funció de proporcionalitat directa: com més tempsmés serà la distància recorreguda.

A més a més, els punts representats els unim amb una línia perquè totesdues variables (temps transcorregut i espai recorregut) són variablescontínues.

8

EXEMPLE

Temps (h)

0

1

2

3

4

Distància (km)

0

25

50

75

100

APLICA

Dibuixa les gràfiques d’aquestes funcions.

a) A cada nombre natural li fem correspondre el seu doble menys 2.

b) A cada nombre enter li fem correspondre el seu doble menys 2.

c) A cada nombre real li fem correspondre el seu doble menys 2.

REFLEXIONA

Estudia la continuïtat de la funció que a cadanombre real li fem correspondre el nombre 4.

17

16

EXERCICISPRACTICA

Estudia la continuïtat de la funció amb la gràfica següent. Indica, si els té, els punts de discontinuïtat.

Donades les funcions y = −x + 3 i y = x2:

a) Forma les taules de valors.b) Representa les funcions.c) Estudia’n la continuïtat.

15

14

X

Y

X

100

75

50

25

Y

1Temps (h)

Esp

ai (

km)

2 3 4

X

Y

4

2

−2

−4

−2 3

1

Per representar una funciódiscontínua, ens cal aixecar

el llapis del paper en cadascun dels punts

de discontinuïtat.

831084 _ 0211-0228.qxd 13/4/07 19:17 Página 216

217

3.3 Domini i recorregut

• El domini d’una funció f(x) és el conjunt de tots els valors que prenla variable independent. El representem amb Dom f.

• Anomenem recorregut d’una funció f(x) el conjunt de tots els valorsque pren la variable dependent. El representem amb Im f.

Calcula el domini i el recorregut d’aquesta funció.

El domini el calculem a l’eix Xi està format pels intervals [−6, 3] i [5, 6].Ho escrivim així:

Dom f = [−6, 3] ∪ [5, 6]

El recorregut el calculem a l’eix Yi està format per l’interval [−5, 2] i el punt 3. Ho escrivim així:

Im f = [−5, 2] ∪ {3}

Determina el domini i el recorregut de la funció y = x2.

y = x2 → Associa a cada nombre el seu quadrat.Com que existeix el domini de qualsevol nombre, el seu domini és tots els nombres reals. Ho escrivim així:

Dom f = RLa variable dependent, y, només pren valors positius, ja que el quadratd’un nombre sempre és més gran i igual que zero. Ho escrivim així:

Im f = R+

10

9

EXEMPLES

APLICA

Donada la funció que associa a cada nombrereal el seu invers més 3:

a) Escriu-ne l’expressió algebraica.

b) Troba’n el domini i el recorregut.

c) Quina és la imatge de 2?

(Recorda que no es pot dividir entre 0.)

REFLEXIONA

Representa la funció que a cada nombre real li fa correspondre −1 si el nombre és negatiu i +1 si és positiu.

a) Quina és la imatge de 2? I de −2?

b) Dibuixa’n la gràfica.

c) Determina’n el domini i el recorregut.

21

20

EXERCICISPRACTICA

Determina el domini i el recorregut de la funció.

Donada la funció que associa a cada nombrereal el seu triple menys 6, troba:

a) L’expressió algebraica.b) El domini, recorregut i gràfica.

19

18

Y

X

El domini d’una funciócontínua és el conjunt

de tots els nombres reals i ho escrivim així:

Dom f = RR

X

Y

32

−5

−6 1 3 5 6

4

2

−5

−4 −2 3 5

831084 _ 0211-0228.qxd 13/4/07 19:17 Página 217

218

3.4 Punts de tall amb els eixos

Els punts de tall amb els eixos d’una funció són els punts d’intersec-ció de la gràfica amb tots dos eixos de coordenades.

• Els punts de tall amb l’eix X tenen la forma (a, 0) i el valor de a elcalculem resolent l’equació f(x) = 0.

• El punt de tall amb l’eix Y té la forma (0, b) i el valor de b el calcu-lem obtenint f(0).

Troba els punts de tall amb els eixos de la funció y = −3x + 2.

• Punt de tall amb l’eix X.

L’ordenada és zero. Per trobar-ne l’abscissa resolem l’equació:

f (x) = −3x + 2 −3x + 2 = 0 → −3x = −2 →

El punt de tall amb l’eix X és .

• Punt de tall amb l’eix Y.

L’abscissa és 0. Per calcular-ne l’ordenada trobem f (0).

f (x) = −3x + 2 f (0) = −3 ⋅ 0 + 2 = 2El punt de tall amb l’eix Y és (0, 2).

Si representem la funció y = −3x + 2, veiem que els punts de tallcoincideixen amb els que hem determinat.

x = 0⎯⎯⎯→

23

0,⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

x =23

f (x) = 0⎯⎯⎯→

11

EXEMPLE

X

Y

2

−2

−4 −2 2 4

REFLEXIONA

Donada la funció , digues en quins puntstalla els eixos.

La funció y = 5x, en quin punt talla l’eix Y? I la funció y = 5x + 1? I la funció y = 5x − 2? Amb els resultats anteriors, en quin punt creusque tallarà l’eix Y la funció y = 5x − 7?

Quants punts de tall pot tenir una funció ambl’eix Y? I amb l’eix X?

27

26

yx

= 225

EXERCICISPRACTICA

Representa les funcions següents i troba els punts de tall amb els eixos.

a) y = 3x − 6 c) y = −2xb) y = x + 1 d) y = x 2 − 2

APLICA

La funció y = x 2 − 5x + 6, en quins punts tallaels eixos?

Representa la funció y = 3. Què hi observes? En quins punts talla els eixos?

24

23

22

x

−2

−1

0

1

2

y

8

5

2

−1

−4

Una funció només pottenir un punt de tall

amb l’eix Y.

No és una funció.

Y

X

831084 _ 0211-0228.qxd 13/4/07 19:17 Página 218

219

3.5 Creixement i decreixement

Donada una funció f(x) i els valors x = a i x = b, de manera que a < b:

• Si f(b) > f(a), la funció és creixent entre a i b.• Si f(b) < f(a), la funció és decreixent entre a i b.• Si f(b) = f(a), la funció és constant entre a i b.

Determina el creixement i el decreixement en aquesta gràfica que representa les persones (en milers) que van a un centre comercial al llarg d’un dia.

Per estudiar el creixement i el decreixement d’una funció hem de mirar-ne la gràfica d’esquerra a dreta. Si analitzem la gràfica d’aquesta manera veiem que:

– És creixent en els intervals (8, 12) i (16, 18).– És decreixent en els intervals (12, 14) i (18, 24).– És constant en l’interval (14, 16).

12

EXEMPLE

La taula següent mostra les vendes de cotxesdurant els cinc primers mesos de l’any.

Sense representar les dades, analitza’n el creixement i decreixement.

REFLEXIONA

Representa gràficament la funció ,

i analitza’n el creixement i decreixement. És constant en cap tram?

yx

= 131

30

EXERCICISPRACTICA

Observa els preus (en euros) del quilogram de patates en el període 2003-2007. Representales dades en una gràfica i analitza’n el creixement i decreixement.

APLICA

Dibuixa la gràfica d’una funció que siguicreixent en els intervals (0, 3) i (6, 8) i decreixent en (3, 6) i (8, 10).

29

28

6

5

4

3

2

1

10 12 14 16 18 20 22 24Hores

Y

8

Per

son

es (

mile

rs)

Any

Preu

2003

0,51

2004

0,65

2005

0,57

2006

0,49

2007

0,64

Mes

Vendes

G

2.000

F

1.875

M

1.690

A

1.600

M

1.540

El creixement i el decreixement d’una funció són propietats locals, és a dir,no s’estudien globalment, sinó per intervals. Per estudiar aquestes propie-tats, els valors a i b no poden ser nombres qualssevol, sinó que han d’estarprou a prop.

X

Creixent Decreixent

a b

f(b)f(a)

Y

X a b

f(a)

f(b)

Y

X

a b

f(a) = f(b)

Y

X

Constant

Això significa que a l’eix X,a l’esquerra del 8, hi ha un tros d’eix del qual

hem prescindit perquè no té gràfica.

8

Y

X

831084 _ 0211-0228.qxd 10/5/07 10:58 Página 219

220

3.6 Màxims i mínims

• Una funció té un màxim en el punt x = a quan passa de ser creixenta decreixent en aquell punt.

• Una funció té un mínim en el punt x = a quan passa de ser decrei-xent a creixent en aquell punt.

3.7 Periodicitat

Una funció és periòdica si la seva gràfica es repeteix cada cert interval,anomenat període, és a dir, f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = …, en què Tés el valor del període.

La gràfica següent mostra l’evolució de la temperatura d’un pacient al llarg de 10 hores. Troba’n els màxims i els mínims.

La funció té dos màxims alsquals s’arriba al cap de x = 3 i x = 5 hores, i un mínim quan hantranscorregut x = 9 hores.

13

EXEMPLE

APLICA

Dibuixa una funció que tingui màxims en x = −2 i x = 3 i mínims en x = 1 i x = 2.

Dibuixa una funció de període 2 i una altra de període 4.

REFLEXIONA

Dibuixa la gràfica de la funció que fa l’angle format per les agulles del rellotge des de les 00.00 hores fins a les 02.00 hores.Quins són els màxims i els mínims?

35

34

33

EXERCICISPRACTICA

Determina els màxims i mínims de la funció.

32

−4−2

−4

4

2

4 X

Y

−2

Determina si aquesta funció és periòdica i calcula’n el període.

La gràfica es repeteix en intervals de 3:f(0) = f(3) = f(6) = f(9) = …

El seu període és T = 3.

14

EXEMPLEY

X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

40

39

38

37Tem

per

atu

ra (

°C)

Hores

X

Y

3

3 6 9

YMàxim

Creix

ent

Decreixent

X

Y

Mínim

Creix

ent

Decreixent

X

831084 _ 0211-0228.qxd 10/5/07 10:58 Página 220

221

3.8 Simetries

• Funció simètrica respecte de l’eix Y.Una funció és simètrica respecte de l’eix d’ordenades, o funció pare-lla, quan f(x) = f(−x).

• Funció simètrica respecte de l’origen.Una funció és simètrica respecte de l’origen de coordenades, o fun-ció imparella, quan −f(x) = f(−x).

Representa les funcions y = x2 i i estudia’n les simetries.

• Simetria respecte de l’eix Y.

La funció és simètrica respecte de l’eix Y.

• Simetria respecte de l’origen.

. La funció no és simètrica respectede l’origen.

• Simetria respecte de l’eix Y.

La funció no és simètrica respecte de l’eix Y.

• Simetria respecte de l’origen.

. La funció és simètrica respectede l’origen.

− = −

− =−

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

=f x

x

f xx x

f x f( )

( )( ) (

1

1 1→ −−x)

f xx

f xx x

f x f x( )

( )( ) (

=

− =−

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

−

1

1 1→ � ))

− = −− = − =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

−f x xf x x x

f x f x( )( ) ( )

( ) ( )2

2 2 → �

f x xf x x x

f x f x( )( ) ( )

( ) ( )=− = − =

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= −2

2 2 →

yx

= 115

EXEMPLE

APLICA

Analitza les simetries d’aquestes funcions.

a) y = 4 b) y = x4 c) y = x3

REFLEXIONA

Pot ser simètrica respecte de l’eix X una funció?Raona la resposta.

38

37

EXERCICISPRACTICA

Representa gràficament la funció donadamitjançant aquesta taula de valors.

És una funció simètrica?

36

y = x24

2

−3 −1

−2

1 3 X

Y

2

−3 −1

1 3 X

Y

yx

=1

x

y

… −2 −1 0 1 2 …

… 7 4 3 4 7 …

−x x X

Y

Funció parella

Funció imparella

x−x

X

Y

831084 _ 0211-0228.qxd 13/4/07 19:17 Página 221

222


L’essencial

FES-HO AIXÍ

1. REPRESENTACIÓ D’UNA FUNCIÓ

Representa la funció que relaciona el temps que circula un ciclomotor a 20 km/h amb l’espai que recorre.

PRIMER. Fem una taula de valors de la funció.

SEGON. Representem els punts en uns eixos cartesians.

TERCER. Analitzem el tipus de variables de la funció.– El temps és una variable contínua (pot prendre qualsevol valor).– L’espai recorregut també és una variable contínua

(pot prendre qualsevol valor d’entre dos de donats).

Unim els punts representats amb una línia perquè totes dues variables són contínues.

Funcions

y = x2 − 1 → f (2) = 22 − 1 = 3

Equació de la funció

Variabledependent

Original Imatge

Variableindependent

2. CÀLCUL DELS PUNTS DE TALL AMB ELS EIXOS EN UNA FUNCIÓ DEFINIDA PER UNA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA

Troba els punts de tall amb els eixos de la funció y = 2x + 1.

• Amb l’eix X

PRIMER. Resolem l’equació f(x) = 0.

f(x) = 2x + 1 2x + 1 = 0 →

SEGON. Aquests punts tenen com a ordenada 0 i com a abscissa, la x que hem calculat.

Punt de tall amb l’eix X → −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

12

0,

x = −12

f (x) = 0⎯⎯⎯→

• Amb l’eix Y

PRIMER. Trobem f(0).

f(x) = 2x + 1 f(0) = 2 ⋅ 0 + 1 = 1

SEGON. Aquests punts tenen com a abscissa 0 i com a ordenada, la seva imatge, que és elresultat anterior.

Punt de tall amb l’eix Y → (0, 1)

x = 0⎯⎯⎯→

G

G

F F

y = f(x)P(x, y)

Eixd’abscisses

Eix d’ordenades

Mínim

Màxim

XO

Y

Temps (h)

Espai (km)

1

20

2

40

3

60

4

80

5

100

6

120

…

…

X

100

80

60

40

20

Y

1

Temps (h)

Esp

ai (

km)

2 3 4 5

831084 _ 0211-0228.qxd 13/4/07 19:17 Página 222

Representació d’una funció

1. Una companyia telefònica factura als clientsper minuts complets. Si cada minut val3 cèntims, com és la gràfica?

a) Contínua b) Esglaonada c) Discreta

Càlcul dels punts de tall amb els eixos

2. Els punts de tall amb l’eix X de y = x2 − 1 són:

a) (1, 0) i (−1, 0) c) (−1, 0)b) (1, 0) d) No en té.

Estudi d’una funció

3. Aquesta funció compleix una de les condicions següents.

a) Té màxims, però no té mínims.b) Té dos màxims i dos mínims.c) És periòdica i no simètrica.d) És sempre creixent.

I ARA... PRACTICA

3. ESTUDI D’UNA FUNCIÓ

Estudia aquesta gràfica que mostra la temperatura d’un pacient al llarg de dos dies,presa cada 4 hores.

PRIMER. En calculem el domini i el recorregut.A l’eix X s’agafen els valors entre 0 h i 48 h → Dom f = [0, 48]A l’eix Y s’agafen els valors entre 38° i 40° → Im f = [38, 40]

SEGON. En determinem els punts de tall.La gràfica no talla l’eix X.La gràfica talla l’eix Y en 38° → El punt de tall amb l’eix Y és (0, 38).

TERCER. Si mirem la gràfica, d’esquerra a dreta, en determinem el creixement i decreixement.És creixent en els intervals (0, 4), (8, 12), (16, 20), (24, 28), (32, 36) i (40, 44).És decreixent en els intervals (4, 8), (12, 16), (20, 24), (28, 32), (36, 40) i (44, 48).

QUART. En determinem els màxims i els mínims.Hi ha màxims en x = 4, x = 12, x = 20, x = 28, x = 36 i x = 44.Hi ha mínims en x = 8, x = 16, x = 24, x = 32 i x = 40.

CINQUÈ. Observem la gràfica per veure si n’hi ha cap part que es repeteix periòdicament.La part compresa entre 0 i 16 es repeteix periòdicament → f(16) = f(32) = f(48)La funció és periòdica, de període T = 16.

SISÈ. Analitzem la gràfica, quadrant a quadrant.• Si es repeteix en els quadrants 1r i 2n, i en el 3r i 4t, hi ha simetria respecte de l’eix Y. • Si es repeteix en els quadrants 1r i 3r, i en el 2n i 4t, hi ha simetria respecte de l’origen.En aquest cas no hi ha simetries, la gràfica només existeix en el 1r quadrant.

223

X

40

39

38

37

Y

4 Hores

Tem

per

atu

ra (

°C)

8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

X

Y

831084 _ 0211-0228.qxd 10/5/07 10:58 Página 223

224

ActivitatsCONCEPTE DE FUNCIÓ

39. ● De les relacions següents, assenyala’n les querepresenten una funció. Raona la resposta.

a) Un nombre positiu i la seva arrel quadrada.

b) Un nombre positiu i la seva arrel cúbica.

c) Un nombre positiu i el seu valor absolut.

d) El nombre de costats de la base d’una piràmidei el seu nombre total d’arestes.

40. ● Escriu tres exemples de funcions i assenyalaquina és cada variable.

42. ● Indica quines són funcions i quines no ho són.

a) c)

b) d)

EXPRESSIÓ D’UNA FUNCIÓ

43. ● Escriu l’expressió algebraica de la relació quehi ha entre les magnituds següents.

a) El radi d’una circumferència i la seva longitud.b) El radi d’una esfera i el seu volum.c) L’àrea d’un cercle i el seu radi.

44. ● Donada la funció que associa a cada nombrel’invers de la suma d’aquest nombre més 5:

a) Determina’n l’expressió algebraica.b) Existeix valor de la funció per a x = −2?

45. ●● La relació existent entre el nombre de vèrtexsd’una piràmide i el seu nombre d’arestes:

a) És una funció? Fes una taula de valors i representa’ls gràficament.

b) És possible establir una expressió algebraicaque representi la funció?

46. ●● Expressa, de totes les maneres possibles, les funcions següents.

a) y = x + 5 c) y = x 2 + x + 1

b) y = −3x + 1 d)

47. ●● Una bossa de patates fregides val 1,50 €. Expressa algebraicament la funció Nombre de bosses–Preu, fes una taula de valors i dibuixa’n la gràfica.

48. ●● Fes una taula de valors amb la llargada i l’amplada dels rectangles d’àrea 36 m2.

Expressa de forma algebraica i representa la funció Llargada–Amplada.

CARACTERÍSTIQUES DE LES FUNCIONS

49. ● Estudia la continuïtat d’aquestes funcions.Tenen punts de discontinuïtat?

a) b)

yx

=5

Y

X

COM IDENTIFIQUEM UNA FUNCIÓ PER MITJÀ DE LA SEVA REPRESENTACIÓ GRÀFICA?

41. Indica si aquestes gràfiques són funcions o no.

a) b)

PRIMER. Determinem si a algun valor de xli correspon més d’un valor de y.

a) b)

SEGON. Si és així, la gràfica no correspon a una funció. En cas contrari, sí que correspon a una funció.Per tant, b) és una funció i a) no ho és.

FES-HO AIXÍ

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y Y

X X

Y

X

Y

X

−5 −3 −1−2

2

1 3 5

2

2 4−4 −2−2

Y

X

831084 _ 0211-0228.qxd 13/4/07 19:17 Página 224

225

50. ● En Lluís està malalt i li prenen la temperatura 4 vegades al dia durant 3 dies. Obtenen els punts de la gràfica següent.

Podem unir els punts? Serà una funció contínuao discontínua?

51. ● Determina el domini i el recorregut d’aquestesfuncions.

a) b)

53. ●● Calcula el domini d’aquestes funcions.

a) y = x 2 + 1 c)

b) d)

54. ●● Estudia la continuïtat de la funció y = x 3

i troba’n el domini i el recorregut.

55. ●●● Estudia la continuïtat de la funció

i troba’n el domini i el recorregut.

56. ●●● Donada la funció .

a) Fes una taula de valors.b) Estudia’n la continuïtat.c) Dibuixa’n la gràfica.d) Determina’n el domini i recorregut.

57 ● Troba els punts de tall amb els eixos de les funcions.

a) y = 4x − 1 d) y = (x − 3)2

b) y = 5 e) y = x 3 − 8c) y = x 2 − 3 f) y = −3

58. ●● Analitza el creixement d’aquesta funció.

59. ● Observa la gràfica corresponent a aquestafunció.

a) Assenyala’n el domini i el recorregut.b) És una funció contínua?c) Estudia’n el creixement i decreixement.d) Assenyala’n els màxims i mínims, si en té.

f x x( ) = + 4

yx

=−2

1

x − 2yx

=−5

5

x + 1

4039

38

37

36

6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72

Tem

per

atu

ra (

°C)

Temps (h)

4

2 4 6 8

Y

X

Y

X

4

2

2 4 6 8

Y

X

COM CALCULEM EL DOMINI D’UNA FUNCIÓ AMB LA SEVA EXPRESSIÓ ALGEBRAICA?

52. Troba el domini de les funcions.

a) y = 2x − 3 b) c)

PRIMER. Analitzem el tipus d’expressió.a) y = 2x − 3 ⎯→ És una expressió polinòmica.

b) → És una expressió que té lavariable x en el denominador.

c) ⎯→És una expressió que té lavariable x sota una arrel.

SEGON. Calculem el domini depenent del tipus d’expressió.a) Aquestes expressions estan definides

per a tots els nombres reals: Dom f = R.b) Un quocient no està definit quan

el denominador és 0, per tant, la funció no està definida en x = 1: Dom f = R − {1}.

c) Les arrels només estan definides per a nombrespositius; per tant, la funció està definida quan xés més gran o igual que 1: Dom f = [1, +�).

y x= − 1

yx

x=

++

3 21

y x= −1yx

x= +

+3 2

1

FES-HO AIXÍ

4

3

2

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 X

Y

7654321

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X

Y

831084 _ 0211-0228.qxd 13/4/07 19:17 Página 225

226

60. ●● Completa les gràfiques següents perquèresulti una funció simètrica respecte de l’eix Y.

a) b)

61. ●●● Una funció pot ser simètrica respecte del’eix Y i respecte de l’origen? Si creus que sí,posa’n un exemple.

62. ●● Indica quines de les gràfiques següentscorresponen a funcions periòdiques.

a) c)

b) d)

63. ●● Estudia les característiques de les funcionsque relacionen:

a) La longitud del costat d’un hexàgon regularamb la seva àrea.

b) La longitud del costat d’un quadrat amb la seva diagonal.

c) Un nombre real i el seu cub.d) Un nombre real i el triple de la seva arrel

quadrada.

64. ●● Estudia les característiques de les funcionssegüents.

a) y = −3x d)

b) y = 2x − 5 e) y = (x − 1)2

c) y = x 2 + 2x + 1 f) y = x 3 − 3

65. ●●● Analitza aquestes funcions.

a) y = ⏐x⏐ (valor absolut de x)

b) y = −x si x ≤ 0x2 si x > 0

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

yx

= −2

2

67. ●● Representa una funció que:

– Dom f = R– Passa pels punts (5, 0) i (7, 0).– Té punts mínims a (0, 1) i (6, −3).– Té un màxim a (3, 5).

68. ●● Representa una funció amb aquestescaracterístiques.

– Dom f = R– Passa pels punts (−3, 0) i (0, 2).– És creixent fins a x = −2, constant en l’interval

(−2, 4) i decreixent a partir de x = 4.

69. ●● Dibuixa una funció periòdica, amb dominil’interval (−5, 5) i recorregut (−2, 2). Hi ha més d’una solució?

70. ●●● Representa la gràfica d’una funció simètrica respecte l’eix Y i que sempre siguicreixent. És possible?

X X

Y Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

COM REPRESENTEM UNA FUNCIÓ SI EN SABEM ALGUNES DE LES CARACTERÍSTIQUES?

66. Representa una funció amb aquestes dades.– Dom f = RR– Passa pels punts (−2, 0), (2, 0) i (4, 0).– Té un màxim a (3, −2).– Té un mínim a (0, 2).

PRIMER. Representem els punts per on passa la funció.

SEGON. Dibuixem elspunts en què hi hamàxims i mínims.Sobre els mínims,representem un arc amb la part còncava capa baix.

I sobre els màxims, un arc amb a part còncava capa dalt.

TERCER. Seguint les indicacions de les fletxes que assenyalen la direcció de la gràfica i els punts per on passa, representem la funció.

FES-HO AIXÍ

2

−2−2

2 4

Y

X

2

−2

−2

2 4

Y

X

831084 _ 0211-0228.qxd 13/4/07 19:17 Página 226

227

PROBLEMES AMB FUNCIONS

71. �� En un institut han mesurat la longitud del’ombra de l’edifici principal cada hora, al llargd’un dia d’hivern (a partir de les 18.00 hores erade nit) i han obtingut aquesta taula:

a) Fes la representació gràfica.b) És una funció contínua o discontínua?c) Estudia les característiques de la funció.

72. �� Un tren fa el trajecte entre dues ciutats, A i B. Surt a les 07.00 hores i es dirigeix a Ba velocitat constant. Hi arriba en 40 minuts.Després, s’atura durant 20 minuts i surt de B cap a A. Hi arriba en 50 minuts. S’atura 10 minuts i, a l’hora en punt, torna a sortir en direcció a B.

a) Representa la funció Temps–Distànciaa la ciutat A.

b) Fes un estudi complet de la funció.

73. �� En una gràfica es mostra la superfícied’edificació d’habitatges (en milions de m2)concedida en cada mes de l’any.

a) Analitza’n la continuïtat.b) En quins punts talla els eixos?c) Estudia’n el creixement.d) Assenyala’n màxims i mínims i indica si són

absoluts o relatius.e) Quins mesos es van superar els 12 milions

de metres quadrats? Entre quins dos mesos es va registrar el creixement més important?

74. �� En un entrenament per a una carrera de 5.000 mun atleta ha registrat aquests temps.

a) Representa les dades en una gràfica.b) Si continua amb la mateixa velocitat,

quant temps tardarà a recórrer 5.000 m?c) Escriu l’expressió algebraica que relaciona l’espai

recorregut amb el temps que hi ha dedicat.

75. �� Quina gràfica correspon a l’acció d’omplircada recipient?

INVESTIGA

76. �� Si una funció és contínua:

a) Quants màxims, com a mínim, haurà de tenir la funció si talla exactament 4 vegadesl’eix X?

b) Y no és constant en cap interval. Quin és elnombre més gran de vegades que pot tallarl’eix X si té 3 mínims?

77. �� Una funció parella pot valer −7 a x = 0? I una funció imparella?

78. �� D’una funció, en sabem que tots els elements del seu conjunt Imatge són positius i, a més:

f(x + y) = f(x) ⋅ f(y)

Si , quant val f(5)? I f(0)?f2

34

=

Hora

Longitud

8

23

9

18

10

14

11

10

12

4

13

2

14

6

15

10

16

16

17

21

13

12

1110

9

G F M A M J J A S O N D

X

Y

Temps (s)

Espai (m)

0

0

10

65

20

130

30

195

40

260

50

325

…

…

Alt

ura

Volum

Alt

ura

Volum

Alt

ura

VolumA

ltu

raVolum

1 2 3 4

831084 _ 0211-0228.qxd 10/5/07 10:58 Página 227

228

A la vida quotidiana79. ●●● La Marta va decidir invertir els estalvis l’any

2002. Va haver d’escollir entre dos productesfinancers: un dipòsit a termini fix o un fonsd’inversió.

El dipòsit a termini fix tenia una durada de 5 anys.Un cop passat aquest temps, el banc li havia de tornar el capital ingressat més el 15 %d’interessos. Si retirava els diners abans, el banc li oferia un interès del 3 % cada any.

D’altra banda, el fons d’inversió no tenia una rendibilitat fixa, i l’interès podia variar en funció dels índexs borsaris.

Finalment, la Marta es va decidir pel fonsd’inversió i en va comprar 1.519 participacions.

Ahir va rebre la informació sobre la rendibilitatdel seu fons en els últims 5 anys. Hi apareixiaaquesta gràfica.

En vista de la gràfica, hauria estat millor haverinvertit en el dipòsit a termini fix?

En quins moments, des de l’any 2002, el dipòsit a termini fix li hauria ofert mésrendibilitat?

80. ●●● L’Institut General de Mitjans de Comunicació (IGMC) ha fet públiques les dades recollides en la seva última enquesta feta als oients.

En aquesta gràfica apareix el nombre d’oients (en milions) de les dues emissores de ràdio ambmés audiència del país.

Aquestes són les programacions diàries de les dues cadenes.

Quines conclusions extreus de l’estudi de la gràfica i de les programacions?

Com modificaries la programació de les cadenesper augmentar-ne l’audiència?

FONSD’INVERSIÓ

PARTICIPACIÓ: 15,80 €

ALTARENDIBILITAT

DIPÒSIT

A TERMINI FIX

DURADA:

5 ANYS

RENDIBILITAT:

15%

3% ANUAL

22

21

20

19

18

17

16

15

3

2

1

99 00 01 02 03 04 05 06

4 8 12 16 20 24

Ràdio-Ràdio

Emissora-Ràdio

Any

Hores

Pre

u p

er p

arti

cip

ació

(€

)

Nre

. d’o

ien

ts (

mili

on

s)

RÀDIO – RÀDIO

0 – 4 h Cultural

4 – 7 h Música

7 – 10 h Informatius

10 – 14 h Entrevistes


15 – 16 h Esports

16 – 20 h Humor


22 – 24 h Esports

EMISSORA – RÀDIO0 – 4 h Entrevistes4 – 7 h Humor

7 – 10 h Musical10 – 12 h Informatius12 – 14 h Esports14 – 16 h Cultural16 – 19 h Esports19 – 20 h Informatius20 – 22 h Musical22 – 24 h Cine

831084 _ 0211-0228.qxd 13/4/07 19:17 Página 228

El càlcul té dos paresQuan va sentir que s’obria la porta, Leibniz va aixecarla vista del paper on escrivia i, sense ni saludar a qui havia entrat, es va començar a queixar, molt alterat:

–Tothom sap que la trajectòria de la meva vida és impecable. Com és possible que dubtin de mi? He donat proves d’honestedat i talent suficients per a això i encara per a més.

La respiració agitada de Leibniz va fer que el seuinterlocutor, Bernoulli, el calmés assegurant-li que ningú, enlloc del món, tret d’Anglaterra, dubtava d’ell.

–Jo no coneixia la feina del mestre Newton, fins i tot li vaig escriure per explicar-li els meus progressos.Però no he plagiat la feina de ningú –va assegurarLeibniz.

–He vingut a comunicar-te una bona notícia: la comissió ha acabat les investigacions i la seva conclusió és que totes dues teories han estat desenvolupades de manera independent. A més, segons la meva opinió el teu sistema és molt millor, sobretot per la notació que fas servir.

La teoria desenvolupada per Leibniz i per Newton és de capital importància per a l’estudi de moltespropietats relatives a les funcions. Leibniz va ser el primer de fer servir el terme funcióper designar la relació entre dues magnituds.

Sabries escriure la funció que relaciona cada nombre amb el seu doble menys tres unitats?


• Diferenciar funcionsafins, lineals i deproporcionalitatinversa.

• Representargràficament funcionsafins i lineals, i determinar-ne el pendent il’ordenada a l’origen.

• Relacionar el signedel pendent i el creixement d’una recta.

• Obtenir l’equació de la recta que passaper dos punts.

• Determinar si duesrectes són paral·leleso secants.

• Representargràficament funcionsde proporcionalitatinversa.

• Reconèixer i estudiarfuncions lineals a la vida quotidiana.

PLA DE TREBALL

Funcions de proporcionalitat

831084 _ 0229-0246.qxd 13/4/07 19:24 Página 229

Funció lineal1

APLICA

Troba una taula de valors i representa les funcions lineals següents:

a) y = 0,5x c) y = 4x e) y = −0,5xb) y = −2x d) y = x f) y = 10x

REFLEXIONA

Una funció de proporcionalitat directa passa pel punt P(−5, 10).

a) Calcula’n el pendent.b) Determina’n l’expressió algebraica.c) Com és la funció, creixent o decreixent?

4

3

EXERCICISPRACTICA

Indica si les funcions són lineals i, si ho són,determina’n el pendent i el creixement o decreixement.

a) y = 3x − 4 d)

b) y = 5x e)

c) f) y = x 2

Posa dos exemples de funció lineal creixent i dos més de decreixent.

2

y x=34

yx

=4

y x= +13

2

1

230

Representa gràficament aquestes funcions lineals:

a) y = 2x

b) y = −x

c) y = 3x

d) y = −3x

L’equació d’aquestes funcions és de la forma y = mx, en què els pendents són m = 2, m = −1, m = 3 i m = −3, respectivament.Totes les gràfiques són rectes que passen pel punt (0, 0).

1

EXEMPLE

Una funció lineal (o de proporcionalitat directa) la podem expressarde la forma y = m ⋅ x, en què m és un nombre.

• La seva gràfica és una línia recta que passa per l’origen, (0, 0).• El nombre m l’anomenem pendent.• La funció és creixent si m > 0 i decreixent si m < 0.

x

y

0

0

1

2

2

4

3

6

x

y

0

0

1

3

2

6

3

9

x

y

0

0

1

−1

2

−2

3

−3

x

y

0

0

1

−3

2

−6

3

−9

y=

2x

Y

X

y = −x

y=

3xy=

−3x

−4 −2 2

5

−5

4

La recta és més inclinada com més gran

és el valor absolut del pendent.

831084 _ 0229-0246.qxd 13/4/07 19:24 Página 230

231

Funció afí2

Troba una taula de valors i representa aquestes funcions afins:

a) y = 2x + 3 d) y = x + 3

b) y = −x + 4 e) y = 5x − 5

c) y = −3x + 1 f) y = 0,5x + 3

REFLEXIONA

Una recta que passa per tres quadrants és una funció lineal o afí? Raona la resposta.

8

7

EXERCICISPRACTICA

Indica si aquestes funcions són afins i determina’n el pendent i l’ordenada.

a) y = 3x − 4 c) y = x2 − 5

b) y = d) y =

APLICA

Representa la funció afí y = 2x + nper a n = 1, n = 2, n = −1 i n = 0. Com són les rectes que has dibuixat?

6

21

x+

−+

25

3x

5

Representa gràficament aquestes funcions afins:

a) y = x + 1 b) y = −2x − 3

y = x + 1 ⎯⎯→ Pendent: m = 1, ordenada a l’origen: n = 1.La recta talla l’eix Y en el punt (0, 1).

y = −2x − 3 → Pendent: m = −2, ordenada a l’origen: n = −3.La recta talla l’eix Y en el punt (0, −3).

2

EXEMPLE

x

y

0

1

1

2

2

3

3

4

x

y

−0

−3

1

−5

2

−7

3

−9

Una funció afí és de la forma y = m ⋅ x + n, en què m i n són nombres.• La seva gràfica és una línia recta.• El nombre m és el pendent.• El nombre n és l’ordenada a l’origen. La recta talla l’eix Y en

el punt (0, n).

y = x + 1

y = −2x − 3

−2

−4 −2

4

2

2 4

Y

X

Una funció lineal és una funció afí

amb n = 0.

831084 _ 0229-0246.qxd 13/4/07 19:24 Página 231

APLICA

Estudia la recta que passa per (0, 2) i (1, 2).

REFLEXIONA

Representa, en uns mateixos eixos, les funcions i explica’n les diferències.

a) y = 2x b) y = 2x − 3 c) y = 2x + 1

11

10

EXERCICISPRACTICA

Determina dos punts pels quals passin les funcions següents i representa-les.

a) y = −3x e) y = 4x − 2b) y = −6x + 7 f) y = −x + 3c) y = −2x + 4 g) y = −0,4xd) y = −4x h) y = x − 2

9

232

Equacions i gràfiques

3.1 De l’equació a la gràfica

Per representar gràficament aquest tipus de funcions en determinem dosdels punts i tracem la recta que hi passa.

3.2 De la gràfica a l’equació

3

Representa aquestes funcions:

a) y = 2x + 1 b) y = −x

3

EXEMPLE

Determina l’expressió algebraica d’aquestes funcions:

a) Passa per (0, 0) ⎯⎯→ y = mxPassa per (1, −2) ⎯→ m = −2La funció és y = −2x.

b) No passa per (0, 0) → y = mx + nPassa per (0, 1) ⎯⎯→ n = 1

Passa per (1, 2) ⎯⎯→ m + n = 2 m = 1La funció és y = x + 1.

n = 1⎯⎯→

4

EXEMPLE

Quan la gràfica d’una equació és recta:• Si la recta passa per l’origen de coordenades, és una funció lineal,

y = mx, i el seu pendent, m, és l’ordenada de x = 1.• Si no passa per l’origen, és una funció afí, y = mx + n, en què n és

l’ordenada de x = 0 i m és l’ordenada de x = 1 menys n.

x y

0 1

1 3

x y

0 0

1 −1

1

3

1

Y

X

1

a) b)

−2

Y

X

−1

1

Y

XLes funcions linealspassen pels punts

(0, 0) i (1, m).Les funcions afins passen pels punts (0, n) i (1, m + n).

y = 2x + 1y= −x

831084 _ 0229-0246.qxd 13/4/07 19:24 Página 232

233

APLICA

Troba l’equació de la recta d’aquesta gràfica:

REFLEXIONA

Calcula l’equació de la recta que té el mateix pendent que la recta que passa pels punts A(3, 5) i B(−1, 4) i que passa, a la vegada, per C(5, 0).

15

14

EXERCICISPRACTICA

Troba l’equació de la recta que passa pelspunts següents:

a) A (1, 6) i B(3, 9)b) A (−1, 0) i B(0, 4)c) A (−3, 6) i B(2, −4)d) A (2, 4) i B(3, 1)e) A (−1, −2) i B(2, 5)

Comprova si les rectes anteriors passen pel punt de coordenades (1, 1). N’hi ha cap que correspongui a una funció afí?

13

12

Equació de la recta que passa per dos punts4

Per calcular el valor de n podem fer servir el punt A: n = a2 − a1 ⋅ m, o el punt B: n = b2 − b1 ⋅ m.

Per trobar l’equació de la recta y = mx + n, que passa per dos punts decoordenades A(a1, a2) i B(b1, b2):

1r Trobem el valor del pendent: .

2n Calculem l’ordenada a l’origen substituint el valor de m a l’equa-ció de la recta i aïllant-lo.

mb a

b a=

−−

2 2

1 1

Determina la recta que passa pels punts A(1, 5) i B(−1, 1).

L’equació de la recta serà de la forma y = mx + n.

1r Calculem el valor de m:

2n Sabem que els punts A i Bpertanyen a la mateixa recta i n’han de verificar l’equació.

Si substituïm les coordenades de qualsevol dels punts i el valor de m al’equació y = mx + n, obtenim el valor de l’ordenada n.

La recta passa per A(1, 5):

y = mx + n 5 = m ⋅ 1 + n 5 = 2 ⋅ 1 + n → n = 5 − 2 = 3

L’equació de la recta és y = 2x + 3.

m = 2⎯⎯→x = 1, y = 5⎯⎯⎯⎯→

m =−

− −=

−−

=1 51 1

42

2

5

EXEMPLE

Y

X

A

B

−3 −1 1

5

3

1

−5

−3

3

Y

X

A1

1 3 4

−2B

L’equació d’una recta és sempre de la forma

y = mx + n.

831084 _ 0229-0246.qxd 13/4/07 19:24 Página 233

234

Determina la posició relativa de les rectes y = 2x i y = −x + 3.

Hem d’esbrinar si les rectes són secants o paral·leles, i si són secantsobtenir-ne el punt de tall.

→ 2 � −1. Les rectes són secants.

Ara hem de trobar el punt de tall de les dues rectes; per fer-ho, resoldremel sistema que formen les seves dues equacions.

2x = −x + 3 → 2x + x = 3 →

y = 2x y = 2 ⋅ 1 = 2

Les rectes es tallen en el punt P (1, 2).

x = 1⎯⎯→

x = =33

1y = 2x⎯⎯→⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

y = 2xy = −x + 3

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

y = 2x ⎯⎯⎯→ m = −2y = −x + 3 → m = −1

6

EXEMPLE

Rectes secants i paral·leles5

Rectes secants• Dues rectes són secants quan es tallen en un punt.• Els seus pendents són diferents.

Rectes paral·leles• Dues rectes són paral·leles quan no es tallen.• Els pendents de les rectes paral·leles coincideixen i les ordenades

a l’origen són diferents.

Per trobar el punt de tall de dues rectes, podem representar-les i determi-nar-ho gràficament, o bé podem resoldre el sistema format per les sevesequacions.

Les equacions de dues rectes formen un sistema. Si quan el resolem el sistema té una única solució, les rectes són secants; si no té solució, sónparal·leles, i si té infinites solucions, les rectes són coincidents.

APLICA

Calcula les coordenades dels vèrtexs d’un triangle que té els costats a les rectes:

r : y = −x + 5 s: y = x + 7 t : y = 2x − 9

REFLEXIONA

Escriu tres rectes secants i tres de paral·leles a les rectes següents:

a) y = −x + 4 c) y = −6x − 1b) y = 3x − 7 d) y = 4

19

18

EXERCICISPRACTICA

Determina la posició relativa d’aquests parellsde rectes:

a) y = x + 2 c) y = 2x + 3 y = −x + 2 y = 2x − 11

b) y = 6x d) y = x − 9 y = 6x − 5 y = −x + 9

Troba el punt de tall de les rectes.

a) y = x + 8 b) y = 3x + 1y = 2x y = 6x + 2

17

16

−4 −2

−4

−2

4

2

y = −x + 3 y = 2x

P(1, 2)

Y

X1 3

831084 _ 0229-0246.qxd 13/4/07 19:24 Página 234

235

Representa la funció y = 3.

És una funció constant, de tipus y = n, en què n = 3.La seva gràfica és una recta paral·lela a l’eix X que passa per (0, 3). Quan fem la taula de valors, el valor de la variable dependent, y, és sempre constant i igual a 3.

Si representem els punts de la taula, obtenim la gràfica de la funció, que és una recta paral·lela a l’eix X.

7

EXEMPLE

Les rectes paral·leles a l’eix X les anomenem funcions constants per-què la variable dependent pren sempre el mateix valor. La seva expres-sió és de la forma y = n i tallen l’eix Y en el punt (0, n).

Aquestes funcions constants són un cas particular de les funcions afins,quan m = 0. El valor de la variable y és el mateix per a qualsevol valor dela variable x.

APLICA

Determina la posició relativa de les rectes y = 3, x = −2. Calcula’n el punt de tall en el cas que siguin secants.

REFLEXIONA

Troba l’equació de la recta:

a) Paral·lela a l’eix X i que passa per P (1, 3).b) Paral·lela a l’eix Y i que passa per P (−1, 4).

23

22

EXERCICISPRACTICA

Representa les rectes següents:

a) y = −7 d) y = 2b) y = 0 e) y = −2c) y = 1 f) y = 3

Representa gràficament aquestes rectes:

a) x = −3 c) x = 4b) x = 0 d) x = −2

21

20

5.1 Rectes paral·leles a l’eix d’abscisses

Les rectes paral·leles a l’eix Y tenen com aequació x = k, en què k és un nombre. Nosón funcions, ja que associen a un valor de xmúltiples valors de y.

5.2 Rectes paral·leles a l’eix d’ordenades

−4 −2

−4

−2

4

2

y = 3

Y

X1 3

x

y

1

3

2

3

3

3

4

3

5

3

x = k

X

Y

Les rectes paral·leles a l’eix Y

no són funcions.

831084 _ 0229-0246.qxd 13/4/07 19:24 Página 235

236

Funcions de proporcionalitat inversa6

Fes la taula de valors i la representació gràfica de la funció:

• Trobem els valors següents:

• Representem els punts i els unim. La gràficaté forma d’hipèrbola i és simètrica respectede l’origen.

Observem que, a mesura que la x va prenentvalors positius cada vegada més grans,el valor de y és cada vegada més petit.

Amb els valors negatius, observem que, com més petit és el valor de x, més gran és el valor de y.

La funció és decreixent.1x

yx

= 18

EXEMPLE

REFLEXIONA

Completa la gràfica i estudia’n les propietats.

Indica quines de les funcions següents són de proporcionalitat directa, inversa o nocorresponen a cap d’elles:

a) y = 3x − 5 b) y = x ⋅ x c) yx

=5

27

26

EXERCICISPRACTICA

Representa aquestes funcions:

a) y = −1/xb) y = 2/x

APLICA

Construeix una taula de valors i representa les funcions següents:

a) x ⋅ y = 8b) x ⋅ y − 5 = 0

25

24

x

y

…

…

−3

−1/3

−2

−1/2

−1

−1

−1/2

−2

−1/3

−3

…

…

1/3

3

1/2

2

1

1

2

1/2

3

1/3

…

…

a) Funció de punts. b) Representació gràfica.

Una funció de proporcionalitat inversa també es pot expressar de la ma-nera següent: x ⋅ y = k.

Diem que una funció és de proporcionalitat inversa quan la relaciónumèrica entre les seves variables és de proporcionalitat inversa. L’ex-

pressió algebraica és , en què k és un nombre.

• La gràfica és una corba simètrica respecte de l’origen de coorde-nades que s’anomena hipèrbola.

• El nombre k és la constant de proporcionalitat.• La funció és decreixent si k > 0 i creixent si k < 0.

ykx

=

X

1

�1

Y

YY

XX

−4

−2

−2−4

2

2 4

4

−4

−2

−2−4

2

2 4

4

831084 _ 0229-0246.qxd 10/5/07 11:03 Página 236

237

Donada la funció , busca valors pròxims a x = 0 i y = 0.

Representa’ls i explica què observes.

Quan x pren valors negatius a prop del valor x = 0, la gràfica s’acosta a la recta vertical x = 0, o eix d’ordenades, sense arribar a tocar-la mai.Aquesta recta és una asímptota vertical.

Quan donem valors de x positius creixents, la gràfica s’acosta a la rectahoritzontal y = 0, o eix d’abscisses. Aquesta recta és una asímptota horitzontal.

yx

= 19

EXEMPLE

APLICA

L’àrea d’un rectangle és de 120 m2. Escriu l’expressió algebraica de la funció querelaciona les dues magnituds i representa-la.

REFLEXIONA

Una funció de proporcionalitat inversa, pot tallar l’eix d’ordenades? I l’eix d’abscisses?Pot passar per l’origen? Raona la resposta.

30

29

EXERCICISPRACTICA

Fes la representació gràfica de les funcions

següents en els

mateixos eixos de coordenades.

a) Per a valors positius de la x, quina és la funció que està per sobre de les altres?

b) I per a valors negatius?

yx

yx

yx

= = =2 4 10, ,

28

x

y

…

…

−3

−1/3

−2

−1/2

−1

−1

−1/2

−2

−1/3

−3

−1/4

−4

−1/5

−5

−1/6

−6

−1/10

−10

−1/20

−20

−1/30

−30

…

…

x

y

…

…

3

1/3

4

1/4

5

1/5

10

0,1

20

0,05

50

0,02

100

0,001

…

…

Asímptota vertical x = 0.

Asímptota horitzontal y = 0.

Altres característiques d’una funció de proporcionalitat inversa sónles següents:

• Si k és positiu, la gràfica se situa en els quadrants primer i tercer. • Si k és negatiu, està en els quadrants segon i quart. • Si |k| > 1, la paràbola s’allunya de l’origen, i si |k| < 1, s’hi acosta.

ykx

=

• El domini d’una funció de proporcionalitat inversa són tots els nom-bres reals menys el 0.

Com que no està definida la funció en x = 0, presenta una discontinuïtaten aquest punt.

Y

X

X

Y

X

Y

X

Y

yk

xk= >i 0 y

k

xk= <i 0

−2

−1

2

2 4 6

4

6

8

−2

−4

−6

−8

−4−6 1 3

831084 _ 0229-0246.qxd 10/5/07 11:03 Página 237

APLICA

La temperatura en un lloc de l’Antàrtida a les 12 h és de 5 °C, i cada hora baixa 4 °C.Expressa la funció de totes les manerespossibles.

REFLEXIONA

L’equació que ens dóna l’interès d’un dipòsit bancari és y = 3 ⋅ t. Si el capitalinvertit és 150 €, troba l’equació que relaciona el capital amb el temps, i representa-la.

33

32

EXERCICISPRACTICA

En una parada del mercat hem vist l’ofertasegüent: «Una bossa de 10 kg de tomàquets val 16 €.»

a) Si ho considerem una funció, quines variablesestem relacionant?

b) Expressa la funció de totes les formespossibles.

c) Quin tipus de funció és?

d) Quant val una bossa de 7 kg?

31

238

Aplicacions7Hi ha moltes situacions en què trobem magnituds relacionades entre si permitjà de funcions lineals o afins.

Els taxis d’una localitat cobren 1,75 € per la baixada de bandera i 0,80 € per cada quilòmetre recorregut.a) Estudia i representa la relació Preu – Distància recorreguda.b) Quants quilòmetres hem fet si el viatge ens ha costat 5,80 €?

a) El preu de recórrer x quilòmetres serà: 0,8 ⋅ x, i hi haurem d’afegir 1,75 € que ens cobren per la baixada de bandera. Per tant, el preu del taxi, y, quan recorrem x quilòmetres, serà:

y = 1,75 + 0,8x

L’equació de la funció Preu – Distància recorreguda és una funció del tipus y = mx + n, amb m = 0,8 i n = 1,75.

Per representar-la, en determinem dos dels punts:

y = 1,75 + 0,8x y = 1,75 + 0,8 ⋅ 0 = 1,75 → Punt (0; 1,75)

y = 1,75 + 0,8x y = 1,75 + 0,8 ⋅ 1 = 2,55 → Punt (1; 2,55)

b) El viatge ens ha costat 5,80 €:

y = 1,75 + 0,8x 5,80 = 1,75 + 0,8x → 0,8x = 5,80 − 1,75 →→ x = 5,06 km

La distància recorreguda ha estat de 5 km, aproximadament.

y = 5,80⎯⎯⎯→

x = 1⎯⎯→

x = 0⎯⎯→

10

EXEMPLE

5,80

5

4

3

2

1

y = 1,75 + 0,8x

1 2 3 4 5 6

Distància (km)

Co

st (

€)

Y

X

1,75 €+

0,80 €+

0,80 €

1,75 €+

0,80 €1,75 €

831084 _ 0229-0246.qxd 13/4/07 19:24 Página 238

a) Quant trigarien dues persones a repartir hotot? I deu? Fes una taula que indiqui la relacióentre el nombre de persones i els dies quetriguen a repartir els 50.000 fulls.

b) Escriu l’expressió algebraica d’aquesta funciói representa-la gràficament.

REFLEXIONA

Un tren surt de Retort amb destinació a Vilera a una velocitat de 90 km/h. En aquest moment surt un altre tren de Vilera a Retort a 100 km/h.

Si la distància entre les dues poblacions és de344 km, a quina distància de totes dues creus que es creuaran els trens?

37

EXERCICISPRACTICA

Calcula gràficament el punt de tall de les rectessegüents:

y = 2x − 3 y = −2x + 1Estudia’n també les propietats.

APLICA

Per celebrar la festa de final de curs, un grupd’amics lloga un local, i han de triar entre dos.Les ofertes que els fan són:

CAMELOT: 1.000 € i 5 € per assistent.MORGANA: 200 € i 10 € per assistent.

La capacitat màxima a tots dos locals és de 300 persones. Quin dels dos triaries?

La companyia DIRECTEACASA fa propagandarepartint fulls al carrer. El cap de personal sapque una sola persona reparteix 1.000 fulls en undia i vol repartir 50.000 fulls.

36

35

34

239

Les funcions de proporcionalitat inversa relacionen dues magnituds in-versament proporcionals.

En un laboratori s’ha fet un experiment amb un gas a temperaturaconstant. S’ha obtingut la taula de valors següent, que relaciona la pressió a què s’ha sotmès el gas amb el volum que ocupa.

Escriu l’expressió algebraica que relaciona el volum amb la pressió i representa-la gràficament.

L’expressió és x ⋅ y = 36 o , on x és la pressió i y el volum.

La representació gràfica és la següent:

Observem que, com més gran és la pressió, el volum que ocupa el gas ésmés petit.

yx

=36

11

EXEMPLE

P(atmòsferes)

V(litres)

1

36

2

18

5

7,2

10

3,6

20

1,8

30

1,2

…

…

66

12

12

18

18

24

24

30

30

36

36

XPressió

Vo

lum

Y

831084 _ 0229-0246.qxd 10/5/07 11:03 Página 239


1. REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS A PARTIR DE LA SEVA EQUACIÓ

Fes les gràfiques de les funcions següents:

PRIMER. Calculem uns quants punts de cadafunció mitjançant una taula.

SEGON. Representem aquests punts i elsunim, tot i tenint en compte que:a) És una recta.b) És una corba discontínua.

a) b)y x yx

= − + = −2

2

2. CÀLCUL DE L’EQUACIÓ A PARTIR DE LA SEVA GRÀFICA

Troba l’equació d’aquestes rectes.

PRIMER. Observem si la recta passa per l’origen de coordenades.• Si hi passa, la recta

és de la forma y = mx.• Si no hi passa, és de la forma y = mx + n.Com que r passa per l’origen → y = mxI com que s no passa per l’origen → y = mx + n

SEGON. Si la recta és de la forma y = mx + n, n és l’ordenada per a x = 0.La recta s talla l’eix Y en (0, 2) → n = 2

TERCER. Trobem l’ordenada per a x = 1.• Si y = mx, l’ordenada és m.• Si y = mx + n, l’ordenada és m + n.r passa per (1, −1) → m = −1Equació: y = −x.s passa per (1, 3) → m + n = 3 m = 1Equació: y = x + 2.

n = 2→

FES-HO AIXÍ

240

L’essencial

Funció lineal Funció afí

Funció de proporcionalitat inversa

Pendent

y = mx y = mx + n

y = kx

Pendent Ordenadaa l’origen

Constant de proporcionalitat

Variable independent

Variable dependent

y = mxm > 0

y = mxm < 0

Y

Y

X

X

y = mx + n

k

kk0−k

−k

(0, n)

Y

X

r s

2

Y

X

−2

−2 3

F

FF

x

y = −x + 2

y = −2/x

−4

6

0,5

−2

4

1

0

2

2

0

−1

4

−2

−0,5

...

...

Y

X

−5

−5

5

5

y = −x/2

y = −x + 2

831084 _ 0229-0246.qxd 10/5/07 11:03 Página 240

Representació de funcions a partir de la seva equació

1. La recta passa pel punt:

a) (0, 0) b) (1, 2) c) (2, 3) d) (−1, 0)

Càlcul de l’equació a partir de la seva gràfica

2. La recta representada té com a equació:

a) y = xb) y = x + 3

c) y =

d) y = −x + 1

−1x

y x= +12

2

Càlcul de l’equació de la recta que passa perdos punts

3. L’equació de la recta que passa pels punts A(−1, −1) i B(4, −6) és:a) y = −2 c) y = −x − 2b) y = −x + 4 d) y = 4x − 1

Determinació de la posició relativa de duesrectes

4. Calcula m perquè les rectes siguin secants:y1 = 3x − 1 y2 = mx − 1

a) m = 3 c) m = 0b) m � 3 d) Són paral·leles.

I ARA... PRACTICA

3. CÀLCUL DE L’EQUACIÓ DE LA RECTA QUE PASSA PER DOS PUNTS

Troba l’equació de la recta que passa per A(−2, 5) i B(4, 2).

PRIMER. Fem servir les coordenades dels punts per calcular el pendent de la recta, m.

SEGON. A l’equació y = mx + n substituïm m pel seu valor. Després, calculem n fent servir les coordenades d’un dels punts.

y = mx + n

Passa per (−2, 5):

L’equació de la recta que passa pels punts és .y x= − +12

4

512

2 4= − ⋅ − + =( ) n n→x = −2, y = 5→y x n= − +12

y x n= − +12

m = −12→

mb ab a

=−

−=

−− −

=−

= −2 2

1 1

2 54 2

36

12( )

4. DETERMINACIÓ DE LA POSICIÓ RELATIVA DE DUES RECTES

Determina la posició relativa de la recta y = 2x − 2 i la recta y = −x + 1.

PRIMER. Calculem la posició relativa de totes dues rectes i les comparem.

2 � −1 → Són secants

SEGON. Per determinar-ne el punt de tall, resolem el sistema format per les dues equacions.

y = 2x − 2 y = 2 ⋅ 1 − 2 = 0. Les rectes es tallen a (1, 0).x = 1→

y xy x

x x x x= −= − +

− = − + = =2 21

2 2 1 3 3 1→ → →

Si són diferents, les rectes són secants (es tallen en un punt).Si són iguals, les rectes són paral·leles.

241

2

Y

X−2 1 3

831084 _ 0229-0246.qxd 10/5/07 11:03 Página 241

242

ActivitatsFUNCIÓ LINEAL I FUNCIÓ AFÍ

38. ●● Una funció lineal passa pel punt de coordenades (2, 8). Determina’n el pendent i l’equació. És creixent o decreixent?

39. ● Aquesta és la gràfica d’una funció de proporcionalitat directa. Dibuixa’n els eixos si el punt A té d’abscissa x = 3.

a) Quina és l’ordenada del punt A?b) I l’expressió algebraica de la funció?

40. ● Classifica les funcions següents en lineals i afins. Com ho fas?

41. ● Classifica les funcions següents:

a) c)

b) y = −0,25x d) y = 1,7x

42. ● A les funcions següents, assenyala quin és el valor del pendent i de l’ordenada a l’origen.

a) y = −3x + 6 c) y = −2x − 5b) y = 10x d) y = −9x

43. ● Classifica les funcions en creixents i decreixents sense representar-les. Com ho fas?

a) y = 12x − 3 d) y = −7x − 4

b) e)

c) y = 0,25x − 3 f) y = 0,7x + 0,65

y x= −125

y x= +16

23

y x= +12

5y x= −13

44. ●● Determina el signe del pendent i el de l’ordenada a l’origen d’aquestes funcions:

45. ● Representa les funcions següents:

a) y = x + 2 b) y = 2,5x c) y = −2x − 3

46. ●● Dibuixa en uns eixos de coordenades:

a) Una funció lineal de pendent negatiu.b) Una funció afí de pendent positiu

i ordenada a l’origen negativa.c) Una funció afí de pendent negatiu i ordenada

a l’origen positiva.

47. ● Calcula les expressions algebraiques de lesfuncions representades per aquestes rectes:

48. ● Quina és la representació de ?

a) c)

b) d)

y x= − −1

21

r

st

u

Y

X

A

r

u s

Y

X

t

X

Y

d) c)

b)

a)

X

Y

1 1

1

1

1

1

11

1

1

X

Y

X

Y

X

Y

831084 _ 0229-0246.qxd 13/4/07 19:24 Página 242

243

49. ●● Digues quins punts pertanyen a la funció y = 3x −6:

A (1, 3) C(1, −9) E(−4, −6)B (−1, −9) D (11, 27) F(5, 9)

50. ●● Escriu quatre punts que pertanyin a cadascuna d’aquestes rectes:

a) y = 2x − 5 c)

b) y = −3x − 2 d) y = 0,25x − 3

51. ●● Determina si aquestes funcions són lineals o afins, i si són creixents o decreixents:

a) y + 6x = 4 c) x − 5y = 0 e) y − 3x = 0b) 5x + y = 0 d) x = 3y f) 2x − y = 5

EQUACIÓ DE LA RECTA QUE PASSAPER DOS PUNTS

52. ●● Determina l’equació i el tipus de funció a partir de la descripció.

a) La gràfica passa per l’origen i pel punt de coordenades (3, −4).

b) El pendent és m = −4 i passa per (1, 5).c) L’ordenada és n = 2 i passa per (2, 6).

53. ● Donats els punts A(0, −3) i B(3, 5):

a) Calcula el pendent i l’ordenada a l’origen de la recta que hi passa.

b) Quina és l’equació d’aquesta recta?c) Representa gràficament la funció.

54. ● Troba l’equació de la recta que passa per cada parell de punts i indica de quin tipus de funció es tracta.

a) (1, 5) i (−3, −15) d) (2, 4) i (4, 6) b) (0, 2) i (1, 4) e) (−1, 4) i (3, −12)c) (1, −1) i (−2, −6) f) (−1, 2) i (5, −2)

55. ● Determina l’equació de la recta el pendent de la qual és m = 1 i passa per l’origen.

56. ●● Troba l’equació d’una recta:

a) Que tingui pendent m = −3 i l’ordenada a l’origen sigui −1,5.

b) Que passi per A (2, 4) i tingui el mateix pendentque y = −3x − 5.

c) Que tingui el mateix pendent que 3x + 2y = 6i passi per B (−2, 3).

y x= − −12

32

57. ●● Donada la recta de l’equació 2(x −5) = 5(y −3):

a) Calcula’n el pendent.b) Determina si passa pel punt A(2, 7).

58. ● Troba l’equació de la recta que passa pel punt A(−1, 5) l’ordenada a l’origen de la qual és −4.

59. ● Calcula el pendent de la recta que passa per l’origen i pel punt B(1, 5).

60. ●● Escriu les equacions dels eixos de coordenades.

62. ●● Esbrina si els punts ,

i estan alineats.

63. ●● Donats els punts A(2, −1),

i C(6, k), calcula k perquè estiguin alineats.

64. ●● Troba la recta que passa per A(2, 3) i B(1, −3). Troba el valor de p perquè el punt C(p, −5) pertanyi a la recta.

65. ●● Els punts A(2, 3), B(3, 4) i C(5, 7), pertanyen a la mateixa recta? Determina-ho senserepresentar-los. Explica com ho fas.

B − −⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟3

2

3,

C 423

12,

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟B − −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

3

4

5

4,

A 11

12, −

⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟

COM COMPROVEM SI TRES PUNTS ESTANALINEATS?

61. Comprova si els punts A(−1, 2), B(1, 4)i C(3, 6) estan alineats.

Tres punts estan alineats si estan a la mateixarecta.

PRIMER. Trobem la recta que passa per dos punts. Triem dos punts: A(−1, 2) i B (1, 4).

y = 1 ⋅ x + n 2 = −1 + n → n = 3La recta que passa per A i B és y = x + 3.

SEGON. Comprovem si el tercer punt pertany a la recta.

y = x + 3 6 = 3 + 3Veiem que C pertany a la recta que passa per A i B.Per tant, els tres punts estan alineats.

C(3, 6)⎯⎯⎯→

A(−1, 2)⎯⎯⎯→

mb ab a

=−

−=

−− −

=2 2

1 1

4 21 1

1( )

FES-HO AIXÍ

831084 _ 0229-0246.qxd 13/4/07 19:24 Página 243

244

RECTES SECANTS I PARAL·LELES

66. � Determina, sense representar-les, si els parellsde rectes següents són secants o paral·leles:

a) y = −4x + 2 y = 4x + 1b) y = −3x y = −3x + 6c) y = 2x + 3 y = −2x − 11d) y = 1,5x y = −1,5x

67. � Troba, de forma algebraica i gràfica, el punt de tall de cada parell de rectes.

a) y = x + 2; y = −x + 1 c) y = 2x; y = −2x + 4b) y = −3x; y = 3x + 6 d) y = 3x; y = 2x − 5

68. �� Escriu una equació de tres rectes paral·leles i tres de secants a les rectes següents.

a) y = 9x − 6 c) y = −11x + 13b) y = −7x d) y = x

69. �� Determina una recta que sigui paral·lela a la recta de la figura i passi pel punt A.

70. �� Donada la recta r : 2x − 3y = 12, calcula:

a) La recta s, paral·lela a r, i que passa per B (−3, 2).b) La recta t, que tingui la mateixa ordenada a

l’origen que r i passi pel punt A(2, −7).c) La recta z, paral·lela a t, que passa per l’origen

de coordenades.

FUNCIONS DE PROPORCIONALITATINVERSA

71. �� Fes una taula de valors per a la funció i estudia les seves característiques. Representa-la en uns eixos de coordenades.

72. � La taula següent correspon a una funció deproporcionalitat inversa:

a) Completa la taula.b) Escriu l’expressió algebraica de f(x).c) Representa la funció.

yx

= 4

73. �� Representa les funcions y = 2x i

i calcula gràficament i analíticament els seus punts de tall.

PROBLEMES AMB FUNCIONS DE PROPORCIONALITAT

74. � La Pilar vol comprar patates fregides a granelper al seu aniversari. Una bossa de 200 grams li costa 2 €.

a) Estudia i representa gràficament la funció que relaciona els grams comprats i el preu.

b) Quant costarà comprar-ne mig quilo?

75. �� Una motocicleta es desplaça a una velocitatconstant de 35 km/h.

a) Escriu l’equació de la funció que relaciona el temps amb l’espai recorregut.

b) De quin tipus és? Fes-ne la gràfica.c) Quant temps tarda a recórrer 245 km?

76. �� Un poble té 20.000 m3 d’aigua per al consumdiari.

a) Expressa per mitjà d’una taula la quantitatd’aigua diària que pot gastar cada habitant si el nombre d’habitants és de 100, 200…

b) Escriu l’equació de la funció que relaciona elnombre d’habitants del poble amb l’aigua quepot gastar al dia.

c) Quin tipus de funció és?d) Representa-la gràficament.

77. �� La taula següent relaciona la pressió queexerceix l’aigua al mar i la profunditat a què enstrobem.

Estudia la funció que relaciona totes duesmagnituds i representa-la. Quina pressió exerciràl’aigua a la fossa de les Mariannes, que té unaprofunditat d’11.033 m?

yx

= 2

Profunditat (m)

Pressió (atm)

1

0,096

2

0,192

3

0,288

10

0,96

Y

A

3

1

−1−3

−2

X31

x

y

−3 −1

−1

4 7 11

831084 _ 0229-0246.qxd 10/5/07 11:03 Página 244

245

78. ●● A nivell del mar, l’aigua bull a 100 °C, però cadaincrement de 100 m a l’altitud suposa una dècimade grau menys per arribar al punt d’ebullició.

a) Calcula el punt d’ebullició al cim de l’Aneto(3.404) i de l’Everest (8.844).

b) Indica l’expressió algebraica de la funcióTemperatura d’ebullició – Altitud.

79. ●● Un corredor surt del quilòmetre 2 d’una marató amb una velocitat de 9 km/h.

a) Completa la taula.

b) Escriu l’expressió algebraica de la funcióDistància – Temps i representa-la gràficament.

80. ● La gràfica següent reflecteix la temperaturaatmosfèrica en funció de l’altitud (en km).

a) Escriu l’expressió algebraica de la funcióAltitud – Temperatura.

b) Quina n’és l’ordenada a l’origen? Quin significat té?

c) Quina temperatura hi haurà a 9 km d’altitud?

81. ●●● El cost fix a la factura mensual de l’aigua és de 10 € al mes. S’hi ha d’afegir el preu permetre cúbic, que depèn del consum.

– Consums inferiors a 80 m3: 0,90 €.– Consums entre 80 m3 i 120 m3: 1,50 €.– Consums superiors a 120 m3: 2 €.

Representa sobre els mateixos eixos les funcionsConsum – Preu per a cadascun dels tres trams de consum.

82. ●●● L’Elena ha fet la gràfica del preu final d’un article en funció del preu inicial, després d’aplicar-li un 25 % de descompte.

a) Quina de les gràfiques següents és la mésadequada per representar aquesta funció? Per què?

b) Calcula l’equació de les rectes.

INVESTIGA

83. ●●● Hem trobat l’afirmació següent:

Investiga si és certa i fes-la servir per trobar la recta que passa pels punts (3, 0) i (0, 5).

84. ●●● Completa el raonament següent:

r i s són dues rectes perpendiculars.

El pendent de r

és .

I el pendent de s és , perquè

com que s és decreixent, el seu pendent serà …

El triangle ABC és … perquè A$ és …

Com que AD és una … del triangle ABC, els triangles ABD i ADC són … i els seus costats són …

Així doncs, i m1 ⋅ m2 = …

Quina relació hi ha entre els pendents de duesrectes perpendiculars?

AD

BD

DC

AD=

− =AD

DCm2

AD

BDm= 1

Temps (hores)

Distància (km)

0

2

1

11

2 3 4

Y

X

Tem

per

atu

ra (

°C)

Altitud (km)

10

6

2

1 3 5−2

−6

Y

X6 842

2

4

6

Y

X6 842

2

4

6

1 2

Y

X

A

s

B CD

Si (a, 0) i (b, 0) són els punts de tall d’una recta amb eixos, en què a =/ 0 i b =/ 0, llavorsl’equació d’aquesta recta és:+ = 1

yb

xa

r

831084 _ 0229-0246.qxd 13/4/07 19:24 Página 245

86. �� Aquestes vacances, la Desi i la seva família han viatjat a un poble de la muntanya. En el viatge d’anada van travessar carreteres molt estretes i amb molt pendent. En una d’elles el germà de la Desi va veure aquest senyal i va preguntar què significava.

La Desi li va explicar que havia estudiat a matemàtiques que el pendent d’una recta marcava el grau d’inclinació que tenia. Llavors va deduir que 12 % devia significar que, per cada100 metres que s’avança en horitzontal, es pugen12 metres en vertical.

Com que no estava segura del que havia explicatal seu germà, quan va arribar a casa va consultar el codi de circulació. Hi va veure que,en trànsit, el pendent té un significat diferent.

Un pendent del 12 % a la carretera significa queper cada 100 metres que recorres a la carretera es pugen 12 metres en vertical.

Quin dels dos pendents, a la carretera o en matemàtiques, indica més inclinació?

Quina inclinació hauria d’indicar un senyal de trànsit que marqués un pendent matemàtic del 12 %?

246

A la vida quotidiana85. �� Per fer un experiment de química

amb els seus alumnes, el professor Potassi ha de comprar mercuri. Per això va a dos laboratoris de productes químics a informar-se dels preus, i li donen la informaciósegüent.

El professor Potassi, quan arriba a classe,comenta amb els alumnes aquesta informació i els pregunta com poden decidir quina de les dues ofertes serà la més econòmica.

Al final opten per dibuixarsobre els mateixos eixos les gràfiques querepresenten els laboratoris i fan un estudi dels costosfins a un màxim d’1 quilo de mercuri.

Quins resultats creus que han obtingut? A partir de quina quantitatinteressa un laboratori o un altre?

Cada gram de mercuri val 5 cèntims. El mercuri va

envasat en uns tubsd’assaig amb

una capacitat màxima de 100 g. El preu

de cada tub d’assaig és de 2 €.

Cada gram de mercuri val

4 cèntims. El mercuri va envasat en uns tubs

d’assaig amb una capacitat màxima

de 200 g. El preu de cada tub d’assaig

és de 5 €.

LABORATORI

SULFURÓS

LABORATORI

LITI

MATEMÀTIQUES Pendent del 12 %

CARRETERA Pendent del 12 %

G F

GF

100 m

G

F

100 m

12 m

GF

12 m

RECORDEU

831084 _ 0229-0246.qxd 10/5/07 11:03 Página 246

13Déu salvi la reina!Sidney Herbert, que ocupava el càrrec de secretarid’Estat per a la Guerra, havia pres la decisió mésarriscada de la seva carrera política en encarregar a la seva amiga Florence Nightingale l’organització del cos d’infermeres de campanya, amb l’objectiu de millorar els hospitals en la guerra de Crimea. Era l’any 1854 i el seu futur polític estava en mansd’aquella dama.

Quan es preparava per anar a la zona de conflicte, el país sencer es va estremir per l’aniquilació de la Brigada Lleugera, després d’una càrrega suïcidacontra les bateries russes. L’acció es va difondre no com un desastre, sinó com la prova del valor i l’honor dels anglesos.

Nightingale va començar a aplicar mesures higièniques, i va anar recollint dades i organitzant-lesper mitjà de gràfics per facilitar-ne la lectura.

L’informe, que es va enviar al secretari de la Guerra, sol·licitava ajuda per posar fi a les traves que trobava entre els comandaments de l’exèrcit i acabava amb una nota manuscrita que deia:

Representa les dades de la nota amb un gràfic adequat.


• Distingir els tipus de variablesestadístiques.

• Obtenir la taulaestadística associadaa un conjunt de dades.

• Representar iinterpretar gràficsestadístics.

• Calcular les mesures de centralització,posició i dispersiód’un conjunt de dades.

• Calcular algunsparàmetresestadístics mitjançantla calculadoracientífica.

• Aplicar les tècniquesestadístiques aproblemes de la vidaquotidiana.

PLA DE TREBALL

Estadística

“Al gener, de les 3.168 baixes, 2.761 es

van deure a malalties contagioses. 83 van

ser per ferides de guerra i 324, per altres

causes...

Senyor, no permeteu que l’honor d’Anglaterra

sigui enterrat en una sala d’hospital.”

Déu salvi la reina!

831084 _ 0247-0266.qxd 13/4/07 19:32 Página 247

Conceptes bàsics

L’estadística és la ciència que s’encarrega de recopilar i ordenar dades re-ferides a diversos fenòmens per analitzar-les i interpretar-les posteriorment.

1.1 Població i mostra

1

Aquest és el titular d’un diari:«EL PES MITJÀ DELS CATALANS ÉS 69 KG»

a) Com creus que s’arriba a aquesta conclusió?S’ha estudiat tota la població?

b) Quines característiques ha de tenir la mostra?Tots els individus de la mostra podrien tenir la mateixa edat? Si tots fossin dones, la mostra seria correcta?

REFLEXIONA

Pensa i escriu un exemple de població per fer un estudi estadístic. Quina mostra podríem agafar? Indica quins són els individus i la grandària de la mostra.

4

3

EXERCICISPRACTICA

Volem fer un estudi estadístic del número que calcen els alumnes de 3r d’ESO d’un institut.

a) Quina seria la població?b) Tria una mostra. Quina grandària té?

APLICA

Assenyala en quin cas és més convenientestudiar la població o una mostra.

a) La longitud dels cargols que produeix una màquina ininterrompudament.

b) L’alçada de tots els turistes en un any.c) El pes d’un grup de cinc amics.

2

1

248

Volem fer una enquesta entre els alumnes de 3r d’ESO d’una ciutat, en total, 6.578 alumnes. Com que no els podem fer l’enquesta a tots, triem els alumnes de 3r d’ESO de l’IES SalvadorEspriu, que són 63 en total.

Població Tots els alumnes de 3r d’ESO de la ciutat.

Mostra Els alumnes de 3r d’ESO de l’IES Salvador Espriu.

Individu Cada alumne de 3r d’ESO de la ciutat és un individu de la població. Cada alumne de 3r d’ESO de l’institut és un individu de la mostra.

Grandària La grandària de la població és 6.578 alumnes.La grandària de la mostra és 63 alumnes.

1

EXEMPLE

Si la mostra no es tria bé,

les conclusions de l’estudi poden

ser errònies.

• Població. Tots els elements quesón objecte d’estudi.

• Mostra. Part de la població queestudiem.

• Individu. Cada element de la po-blació o la mostra.

• Grandària. Nombre d’elements queté la població o la mostra.

POBLACIÓ

MOSTRA

831084 _ 0247-0266.qxd 13/4/07 19:32 Página 248

249

Les variables estadístiques, en funció dels possibles valors que puguin pren-dre, es classifiquen segons el quadre següent:

APLICA

Classifica aquestes variables en qualitatives o quantitatives i, en aquest cas, digues si són discretes o contínues.

a) Província de residència.b) Nombre de veïns d’un edifici.c) Professió del pare.d) Consum de gasolina per cada 100 km.

REFLEXIONA

Si una variable estadística quantitativa potprendre infinits valors, és discreta o contínua?

7

6

EXERCICISPRACTICA

Determina si les variables estadístiques són qualitatives o quantitatives.

a) Any de naixement.

b) Color dels cabells.

c) Professió d’una persona.

d) Perímetre toràcic.

e) Estat civil.

f) Perímetre de la cintura.

g) Nombre de vegades que s’ha viatjat en avió.

5

Posa uns quants exemples de variables qualitatives i quantitativesdiscretes i contínues.

Variables qualitatives: mes de naixement, carrer on es viu...

Variables quantitatives discretes: nombre de fills, nombre de cistellestriples en un partit de bàsquet, talla de pantalons...

Variables quantitatives contínues: pes, temps dedicat a fer una feina,volum...

2

EXEMPLE

1.2 Variables estadístiques

Una variable estadística és cadascuna de les propietats que podem es-tudiar d’un conjunt de dades.

Els valors d’una variable estadística

els designem: x1, x2, x3, …, xn

Els subíndexs: 1, 2, 3...estableixen l’ordre derecollida de les dades.

Tipus Propietats Exemples

QualitativesEls valors de la variable no sónnombres, sinó qualitats.

– Sexe (dona, home).– Color dels cabells

(ros, castany...).

– Pes.– Nombre de germans.

– Nombre d’amics: entre 2 i 5 només puc tenir 3 o 4 amics,però no 3,5 o 3,6.

– Altura: entre 1,70 i 1,80 m d’alçadatenim 1,71 m; 1,715 m; 1,767 m...

Quantitatives

Discretes

Els valors que pren la variablesón nombres.

En cada tram, la variable només potprendre un nombrefinit de valors.

Contínues

La variable potprendre tants valorscom vulguem, per petit que sigui el tram.

831084 _ 0247-0266.qxd 10/5/07 11:05 Página 249

250

APLICA

El color dels cabells (M = morè, R = ros, P = pèl-roig) de 30 persones és:

M R P M M M M R R P P M M M MM M P R R R P M M M M R M M M

Fes una taula de freqüències.

REFLEXIONA

Per què els intervals de les taules són tancatsper un costat i oberts per l’altre?

10

9

EXERCICISPRACTICA

Les alçades (en cm) de 28 joves són:

Forma una taula amb intervals, fes el recomptede dades i troba les marques de classe de cadainterval.

8

Freqüències i taules

2.1 Recompte de dades

Després de recopilar les dades, procedim a fer-ne el recompte per expres-sar-les de manera ordenada, generalment en forma de taules.

Si la variable és contínua, agrupem les dades en intervals o classes,normalment de la mateixa amplitud i, com a mínim, 4 intervals. Donemun mateix valor a totes les dades d’un interval, que anomenem marca declasse i és el punt mitjà de l’interval.

2

Fes una taula de valors amb els llibres llegits per 24 alumnes durantl’últim any.

Fes una taula de freqüències del pes (en kg) de 20 alumnes.66,5 59,2 60,1 64,2 70,4 50,4 41,6 47,9 42,8 5552,2 50,3 42,2 61,9 52,4 49,2 41,6 38,7 36,5 45

La variable és contínua. Com que el pes més petit és 36,5 kg i el més granés 70 kg: 70 − 36,5 = 33,5. Podem prendre 6 intervals d’amplitud 6.

4

3

EXEMPLES

Nre. de llibres Recompte

1

2

3

4

4

7

9

4

Interval Marca de classe

[36, 42)

[42, 48)

[48, 54)

[54, 60)

[60, 66)

[66, 72)

39

45

51

57

63

69

Recompte

4

4

5

2

3

2

1 3 4 2 2 32 2 1 3 3 11 2 4 4 2 33 2 3 3 3 4

Les marques de classesón els punts mitjans

de cada interval. Per a l’interval [36, 42) kg,

la marca de classe és:

= = 39782

36 422+

155 178 170 165 173 168 160166 176 169 158 170 179 161164 156 170 171 167 151 163158 164 174 176 164 154 157

831084 _ 0247-0266.qxd 13/4/07 19:32 Página 250

251

APLICA

Els resultats d’un test d’intel·ligència fet a 20 persones ha estat:

100 80 92 101 65 72 121 68 75 93101 100 102 97 89 73 121 114 113 94

Fes la taula de freqüències prenent intervalsd’amplitud 10.

REFLEXIONA

Què passa si la suma de les fi no és igual que el nombre total de dades?

13

12

EXERCICISPRACTICA

El nombre d’hores diàries que treballen ambl’ordinador 30 persones és:

a) De quin tipus és la variable estadística?b) Fes la taula de freqüències.

11

Els números que calcen els 20 alumnes d’una classe són:

43, 42, 41, 39, 41, 37, 40, 43, 44, 40 39, 39, 38, 41, 40, 39, 38, 39, 39, 40

Fes-ne la taula de freqüències.

Comptem el nombre de vegades que apareix cada valor, fi. El dividimentre N = 20 i obtenim hi. Si multipliquem la freqüència relativa per 100,calculem la columna de percentatges (%).

5

EXEMPLE

2.2 Freqüència absoluta i relativa

La freqüència absoluta d’una dada, xi, és el nombre de vegades queapareix. La representem amb fi. La suma de les freqüències absolutes ésigual al nombre total de dades, N.

La freqüència relativa d’una dada és el quocient entre la seva freqüèn-cia absoluta, fi, i el nombre total de dades, N. La representem amb hi.

hf

Ni

i=

Valors

xi

37

38

39

40

41

42

43

44

Suma 20 1 100 %

F. relatives

hf

Ni

i=

F. absolutes

fi

1

2

6

4

3

1

2

1

Percentatges

%

5 %

10 %

30 %

20%

15 %

5 %

10 %

5 %

1/20 = 0,05

2/20 = 0,10

6/20 = 0,30

4/20 = 0,20

3/20 = 0,15

1/20 = 0,05

2/20 = 0,10

1/20 = 0,05

3 4 0 5 53 4 5 0 22 5 3 2 01 2 2 1 20 3 1 2 11 2 1 4 3

La suma de totes les freqüències absolutes és igual al nombre total

de dades.f1 + f2 + … + fn = N

La suma de les freqüències relativesés igual a la unitat.

831084 _ 0247-0266.qxd 13/4/07 19:32 Página 251

252

Només podemcalcular freqüències

acumulades en variables quantitatives,

ja que les dades s’han de poder

ordenar de més petita a més gran.

Troba la taula de les freqüències acumulades dels pesos (en kg) de 20 alumnes.

Les freqüències absoluta i relativa acumulades de l’interval [45, 50) són 14 i 0,70, respectivament. Això significa que 14 alumnes, o el 70 % dels alumnes, pesen menys de 50 kg.

36,5 59,2 39,146,2 46 3841,6 47,9 42,855 52,2 50,342,2 55,9 52,449,2 36,6 38,736,5 45

6

EXEMPLE

Interval

[35, 40)

[40, 45)

[45, 50)

[50, 55)

[55, 60)

xi

37,5

42,5

47,5

52,5

57,5

fi

6

3

5

3

3

20

Fi

6

9

14

17

20

hi

0,3

0,15

0,25

0,15

0,15

1

Hi

0,3

0,45

0,70

0,85

1

⎯→+

+←⎯⎯

⎯→+←⎯⎯

⎯→+←⎯⎯

⎯→+←⎯⎯

⎯→+

+←⎯⎯

⎯→+←⎯⎯

⎯→+←⎯⎯

⎯→+←⎯⎯

F

G

F

G

L’última freqüència absolutaacumulada coincideix amb el nombre total de dades.

L’última freqüènciarelativa acumuladasempre és 1.

F F

2.3 Freqüències acumulades

La freqüència absoluta acumulada d’una dada xi és la suma de les fre-qüències absolutes dels valors que són més petits o iguals que la dada.La representem amb Fi.

Fi = f1 + f2 + f3 + … + fi

La freqüència relativa acumulada d’una dada xi és la suma de les fre-qüències relatives dels valors més petits o iguals que la dada. La repre-sentem amb Hi. Equival al quocient entre la freqüència absoluta acu-mulada de la dada i el nombre total de dades.

Hi = h1 + h2 + h3 + … + hf

N

f

N

f

N

f

N

F

Ni

i i= + + + + =1 2 3 …

APLICA

El nombre d’hores diàries d’estudi de 30 alumnes és:

3 4 3 5 5 1 1 1 1 2 3 4 5 0 20 3 2 2 1 2 1 3 2 0 1 2 1 4 3

Fes la taula de freqüències. Què signifiquen les freqüències acumulades?

REFLEXIONA

Explica com completaries una taula de freqüències en què coneixes només les freqüències absolutes acumulades.

16

15

EXERCICISPRACTICA

Els pesos (en kg) de 24 persones són:

68,5 34,2 47,5 39,2 47,3 79,246,5 58,3 62,5 58,7 80 63,458,6 50,2 60,5 70,8 30,5 42,759,4 39,3 48,6 56,8 72 60

a) Agrupa’ls en intervals d’amplitud 20 i fes la taula de freqüències.

b) Quantes persones pesen menys de 50 kg?c) Calcula el tant per cent sobre el total que

representa l’interval de més freqüènciaabsoluta.

14

831084 _ 0247-0266.qxd 13/4/07 19:32 Página 252

253

Gràfics estadístics

Les dades estadístiques les solem expressar gràficament, perquè amb un copd’ull ens podem fer una idea de la seva distribució. En funció del tipus devariable farem servir un tipus de gràfic o un altre.

3.1 Diagrama de barres

El fem servir per representar variables qualitatives o quantitatives discretes.

• A l’eix d’abscisses representem les da-des, i a l’eix d’ordenades, les fre-qüències.

• Sobre cada dada aixequem barres ver-ticals l’altura de les quals és la fre-qüència que representem.

• Si tracem una línia poligonal queuneixi els extrems de les barres obte-nim el polígon de freqüències.

3

Diagrama de barres i polígonde freqüències

Representa, en un diagrama de barres, els números quecalcen 20 persones, que mostrem en aquesta taula.

7

EXEMPLE

6

5

4

3

2

37 38 39 40 41 42 43 44

1

Y

X

20

15

10

5

37 38 39 40 41 42 43 44

Y

X

Número xi

fi

Fi

37

1

1

38

2

3

39

6

9

40

4

13

41

3

16

42

1

17

43

2

19

44

1

20

APLICA

En una aparcament públic hi ha 25 cotxesvermells, 19 de grocs, 39 de platejats, 50 deblancs, 27 de verds, 30 de blaus i 10 de negres.

a) Fes la taula de freqüències.b) Pots trobar les freqüències acumulades?c) Fes el diagrama de barres.

REFLEXIONA

Fes els gràfics de l’exercici anterior amb les freqüències relatives. Què hi observes?

19

18

EXERCICISPRACTICA

En un edifici de 16 veïns, el nombre de televisorsper habitatge és:

0 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 2 3 0 3 2

a) Fes la taula de freqüències. Quin tipus de variable és? Raona la resposta.

b) Fes el diagrama de barres i el polígon de freqüències de les dades.

c) Fes el mateix amb les freqüènciesacumulades.

17

No hi ha polígons defreqüències de variables

qualitatives.

Y

X

831084 _ 0247-0266.qxd 13/4/07 19:32 Página 253

3.2 Histograma

El fem servir per representar variables quan les dades s’agrupen en intervals.

• A l’eix d’abscisses representem les dades, i a l’eix d’ordenades, les fre-qüències.

• Dividim l’eix d’abscisses en intervals i aixequem un rectangle sobrecadascun amb una altura igual a la freqüència.

• El polígon de freqüències l’obtenim unint els punts mitjans delsextrems superiors dels rectangles, o els vèrtexs superiors de la dre-ta, en cas de freqüències acumulades.

3.3 Diagrama de sectors

Serveix per representar qualsevol tipus de variable.

• És un cercle dividit en sectors, un per a cada dada o interval.• L’amplitud de cada sector circular és proporcional a la freqüència,

i la calculem multiplicant 360° per la freqüència relativa.

Representa amb un histograma i un diagrama de sectors aquestes dades:

Calculem els angles corresponents a cada interval del diagrama de sectors.

[ , )54 60 3602

1548° °→ ⋅ =[ , )42 48 360

415

96° °→ ⋅ =

[ , )48 54 3605

15120° °→ ⋅ =[ , )36 42 360

415

96° °→ ⋅ =

8

EXEMPLE

APLICA

Representa aquestes dades: en una classe de 50 alumnes, 12 han suspès, 30 han tret un suficient, un 12% ha obtingut un notable i la resta, un excel·lent.

REFLEXIONA

Fes la taula de freqüències que correspon a aquest gràfic:

22

21

EXERCICISPRACTICA

La longitud (en cm) de 18 grills és:

1,8 1,9 2 2,4 2,6 2,81,7 1,9 2,3 1,6 2,1 32,3 2,7 2,9 1,5 1,8 2,6

a) Fes la taula de freqüències prenent intervals.

b) Representa les dades mitjançant unhistograma i un polígon de freqüències.

c) Fes un diagrama de sectors. Quin gràfic etsembla més adequat?

20

Interval

[36, 42)

[42, 48)

[48, 54)

[54, 60)

fi

4

4

5

2

Fi

4

8

13

15

[54, 60)

[48, 54)

[42, 48)

[36, 42)

Y54321

36 42 48 54 60 X

5040302010

10 20 30 40 50 60

254

No podem fer un diagrama de sectors

amb freqüènciesacumulades.

Y

X

831084 _ 0247-0266.qxd 13/4/07 19:32 Página 254

APLICA

Interpreta les mesures de centralització del nombre de suspensos de 15 alumnes.

4 1 0 4 1 4 1 2 3 0 2 4 0 3 1

REFLEXIONA

Afegeix un valor que no faci variar la mediana.

18 8 7 9 12 15 21 12

25

24

EXERCICISPRACTICA

Les altures (en cm) de 24 alumnes de 3r d’ESOsón:

158 160 168 156 166 158 160 168168 158 156 164 162 166 164 168162 158 156 166 160 168 160 160

a) Agrupa-les en intervals.b) Calcula’n la mitjana, la mediana i la moda.

23

255

Mesures de centralització4

Les mesures de centralització resumeixen la informació de la mostra.

Aqueta taula resumeix els resultats obtinguts en una enquesta feta entre 10 parelles a les quals es preguntava el nombre de fills que tenien. Calcula’n les mesures de centralització i interpreta-les.

Mitjana

Moda → Mo = 1 fill

Per calcular la mediana, primer ordenem les dades:

0 0 1 1 2 2 2 3 →

INTERPRETACIÓ

• La mitjana és 1,3. És a dir, normalment tenen entre 1 i 2 fills.• La moda assenyala que el més freqüent és tenir 1 fill.• La mediana indica que hi ha tantes parelles que tenen 1 o més fills

com parelles que en tenen 1 o menys.

Me =+

=1 1

21fill11

x =⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

=2 0 4 1 3 2 1 3

101,3 fills

9

EXEMPLE

Si la variable és contínua,en el cas de la moda

parlarem d’interval modal, i en el cas de la mediana,d’interval medià. En totsdos casos prendrem com

a valor la seva marca de classe.

Nre. de fillsFreqüènciaabsoluta fi

0

1

2

3

Total

2

4

3

1

10

• Mitjana aritmètica, x: és el quocient de la suma de tots els valors mul-tiplicats per la seva freqüència entre la suma de totes les freqüències.

Si la variable és contínua, xi és la marca de classe de l’interval.

• Moda, Mo: és el valor de la variable, o la marca de classe per a dadesen intervals, que té la freqüència més gran.

• Mediana, Me: és el valor que ocupa la posició central de les dades des-prés d’ordenar-les, o la mitjana dels dos valors centrals en el cas que elnombre de dades sigui parell.

xf x f x f x f x

Nn n=

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅1 1 2 2 3 3 …

831084 _ 0247-0266.qxd 13/4/07 19:32 Página 255

256

REFLEXIONA

S’han convocat unes oposicions en què hi ha 50 places i s’hi han presentat 200persones. Els resultats són els següents:

Amb quina nota s’aconsegueix una plaça?

28

EXERCICISPRACTICA

Calcula els quartils d’aquest conjunt de dadesque expressen els dies de baixa laboral de 10 treballadors.

0 2 3 4 2 1 1 0 0 3

APLICA

Interpreta els quartils que has calculat a l’exercici anterior.

27

26

Mesures de posició

Una mesura de posició és un valor de la variable que informa del lloc queocupa una dada en el conjunt ordenat de valors.

5.1 Els quartils

5

Per comprar sabatilles als membres d’una penya de bitlles, els hem preguntat el número de calçat que fan servir i els resultats els representem en aquesta taula. Calcula’n els quartils.

Per calcular el primer quartil, Q1, hem de calcular el 25 % del nombre total de dades, 200:

200 ⋅ 0,25 = 50Per tant Q1 té 50 dades per sota i la resta,per sobre. A la columna de freqüènciesacumulades, el primer nombre més grano igual que 50 és 77, que correspon a la dada 38:

Q1 = 38És a dir, la quarta part dels membres de la penya fan servir un número decalçat més petit o igual que 38.El segon quartil, Q2, té el 50 % de les dades per sobre i el 50 % per sota.

És a dir, coincideix amb la mediana. El primer nombre més gran o igualque 100 a les freqüències acumulades és 119, per tant:

Q2 = Me = 39Com que el 75 % de 200 és 150, repetim el procés: Q3 = 40. Això indica que el 75% fa servir un número de calçat més petit o igual que 40.

10

EXEMPLE

Númerode calçat

fi Fi

35

36

37

38

39

40

41

42

Total

7

13

20

37

42

50

23

8

∑fi = 200

7

20

40

77

119

169

192

200

Per calcular els quartilstreballem amb

les freqüències acumulades.I si la variable és contínua,

prenem com a valor la marca de classe.

Els quartils, Q1, Q2 i Q3 (primer, segon i tercer quartil, respectivament),són mesures que separen les dades en 4 parts iguals, és a dir, en cadatram hi ha el 25% de les dades recollides en l’estudi.

25 % 25 % 25 % 25 %

Q1 Q2 Q3

Notes

Opositors fi

3

6

4

25

5

34

6

42

7

50

8

27

9

13

10

3

831084 _ 0247-0266.qxd 13/4/07 19:32 Página 256

257

REFLEXIONA

Es va dur a terme una prova de matemàtiques a dos grups de 3r d’ESO i es van obtenir els resultats següents:

Si es considera apte a partir de 5, quants estansuspesos? A quin centil correspon? Si es volconsiderar aptes un mínim del 80 % delsalumnes, quina serà la nota de tall?

31

EXERCICISPRACTICA

Calcula el centil 10, el primer quartil i el centil 90 de la taula següent.

APLICA

Determina gràficament els centils i el quartilanterior i interpreta’ls.

30

29

5.2 Els centils

Els centils són mesures que separen les dades en 100 parts iguals, es a dir,en cada tram hi ha l’1 % de les dades recollides a l’estudi.

Així, per exemple, el C60 és aquell valor en què el 60 % de les dades

són més petites o iguals que el valor. El mètode de càlcul, en una

taula, és el mateix que per als quartils i la mediana.

60100

⋅⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

n

Per calcular els centils de maneragràfica, representem el diagrama debarres de freqüències acumulades itracem una recta paral·lela a l’eix OXdes dels valors que busquem: 30 %(60), 60 % (120) i 75 % (150). Desdel punt de tall amb el gràfic, tracemla vertical a l’eix OX. D’aquesta ma-nera, obtenim els centils gràficament.

Calcula els centils 30, 60 i 75 de l’exemple 10 de la pàgina anterior.

Per calcular el centil 30, hem de calcular el 30% del total de dades,

és a dir: . Per tant, el C30 té 60 dades per sota i 140 per sobre.

A la columna de freqüències acumulades, el primer nombre més gran o igual que 60 és 77, que correspon a la dada 38. Per tant, C30 = 38.

Repetim el procés, C60 té 120 dades per sobre i correspon a la dada 40.Així, C60 = 40.

C75 té el 75 % de les dades per sobre, o sigui 150 dades, i, per tant, C75 = 40.

C75 coincideix amb Q3.

30200100

60⋅ =

11

EXEMPLE

La mediana és igual al segon quartil

i al centil 50

xi

fi

10

2

20

7

30

5

40

9

50

5

60

4xi

fi

1

7

2

8

3

9

4

10

5

4

6

4

7

2

8

3

9

1

10

2

150125

10075

50

120

200175

60

025

35 37 39 41 XNúm. de calçat (xi)

Nre

. de

per

son

es (

F i)

Y

F

F

831084 _ 0247-0266.qxd 18/5/07 11:35 Página 257

258

Les notes de 5 alumnes de 3r d’ESO són 1, 1, 5, 9, 9. Calcula les mesuresde dispersió del grup.

En aquest cas, les mesures de dispersió són força grans; això indica que,tot i que la mitjana aritmètica sigui 5, aquest valor no és gairerepresentatiu de les dades.

CV = =3 578

50 716

,,

σ = =12 8 3 578, ,

σ2 2 16 1 0 2 165

12 8=⋅ + ⋅ + ⋅

= ,

12

EXEMPLE

xi

1

5

9

Total

fi

2

1

2

5

⏐xi − x⏐

4

0

4

(xi − x)2

16

00

16

Mesures de dispersió

Les mesures de dispersió permeten conèixer el grau d’agrupament de lesdades entorn de les mesures de centralització.

6

Mesura Càlcul Definició

Rang orecorregut

R R = Màx − MínÉs la diferència entre el valor mésgran i el més petit de la variable.

Desviaciómitjana

DM DMf x x

Ni i=

⋅ −∑ És la mitjana aritmètica delsvalors absoluts de lesdesviacions de cada dada.

Variància σ2 σ22

=⋅ −∑ f x x

Ni i( ) És la mitjana dels quadrats

de les desviacions.

Desviaciótípica σ σ =

⋅ −∑ f x x

Ni i( )2 És l’arrel quadrada positiva

de la variància.

Coeficientde variació CV CV

x=

σ És el quocient de la desviaciótípica i la mitjana.

APLICA

Les notes obtingudes per un alumne en cinc exàmens han estat: 3, 8, 5, 7 i 4, i les d’un altre alumne: 2, 9, 4, 5 i 7.

En quin alumne és més gran la dispersió?

REFLEXIONA

Pregunta a 5 companys l’edat i l’alçada que tenen. Compara la dispersió de les duesvariables.

34

33

EXERCICISPRACTICA

Les longituds (en mm) d’una mostra de cargolssón les següents:

Calcula’n les mesures de dispersió fent servir les marques de classe.

32

Interval

[13, 14)

[14, 15)

[15, 16)

[16, 17)

fi

8

7

2

3

Com més petites són les mesures

de dispersió, més concentrades estan les dades.

831084 _ 0247-0266.qxd 13/4/07 19:32 Página 258

259

APLICA

Calcula els mateixos paràmetres sense utilitzarla calculadora.

REFLEXIONA

Els resultats són els mateixos? Per què?37

36

EXERCICISPRACTICA

Calcula amb la calculadora la mitjana aritmèticai la desviació típica de les dades la taula:

35

Utilització de la calculadora

La majoria de les calculadores científiques poden fer càlculs estadístics. Ésimportant que aprenguis a fer servir la teva, ja que totes tenen un mode estadístic per fer operacions senzilles.

Per donar una informació útil i genèrica, utilitzarem la calculadora cientí-fica del Windows. Per això, quan seleccionis la calculadora, has d’escolliren el menú l’opció científica, tal com pots veure al marge, i desprésseleccionar el mode , que obre el quadre d’estadístiques, on es veurani es faran els diferents càlculs.

7

Calcula la mitjana aritmètica i la desviació típica de la taula de dadessegüent:

Has d’introduir les dades de la manera següent:1. Introdueix la dada 10 a la calculadora i prem la tecla dues vegades

seguides, ja que la freqüència és 2, amb la qual cosa veuràs al quadre dues vegades el 10.

2. Introdueix totes les dades seguint el mateix procés. Veuràs el quadred’estadístiques del marge.

3. Els paràmetres que podem calcular són la suma de totes les dades, la mitjana aritmètica i la desviació típica, que pots obtenir prement les tecles Sum, Ave i s.

a) →

b) →

c) →

13

EXEMPLE

xi

fi

7

6

9

2

11

9

13

4

15

3

17

6

xi

fi

10

2

20

7

30

5

40

9

50

5

60

4

Calculadora científica

Calculadora estàndard

831084 _ 0247-0266.qxd 10/5/07 11:05 Página 259

260


L’essencial

Estadística

Alumnes de l’IES → Població

Alumnes d’una classe → Mostra

Color dels ulls → Variable qualitativaNre. de germans → Variable quantitativa

discretaAlçada → Variable quantitativa

contínua

Taula de freqüències

Gràfics estadístics

Diagrama de barres Histograma Polígon de freqüències Diagrama de sectors

Interval

[35, 40)

[40, 45)

[45, 50)

[50, 55)

[55, 60)

Marca de classe

Freqüènciesacumulades

Inte

rval

o c

lass

e

xi

37,5

42,5

47,5

52,5

57,5

fi

6

3

5

3

3

20

Fi

6

9

14

17

20

hi

0,30

0,15

0,25

0,15

0,15

1

Hi

0,30

0,45

0,70

0,85

1,00

FES-HO AIXÍ

1. CONSTRUCCIÓ DE TAULES DE FREQÜÈNCIES

Fes una taula de freqüències per als pesos següents (en kg) de 20 persones.

80 45 57 66 49 54 58 69 73 81 72 63 43 61 49 57 59 68 49 69

PRIMER. Ordenem les dades i fem el recompte. El nombre de vegades que es repeteixem és lafreqüència absoluta.Si la variable és quantitativa agrupem les dades en intervals i en calculem el punt mitjà (marca de classe).

SEGON. Dividim cada freqüència absoluta entre el nombre total de dades i obtenim les freqüències relatives, que anotem en una altra columna.

TERCER. Si la variable és quantitativa calculem les freqüències acumulades sumant, per a cada interval, la seva freqüència i les dels intervals anteriors. Anotem els resultatsen dues columnes, una per a les freqüènciesabsolutes acumulades i l’altra per a lesfreqüències relatives acumulades.

Interval

[40, 50)

[50, 60)

[60, 70)

[70, 80)

[80, 90)

xi

45

55

65

75

85

fi

5

5

6

2

2

20

Fi

5

10

16

18

20

hi

0,25

0,25

0,3

0,1

0,1

1

Hi

0,25

0,5

0,8

0,9

1

F

F G

Y

Freq

üènc

ia

Variable

Freq

üènc

ia

Variable

Freq

üènc

ia

VariableX

Y

X

Y

X

831084 _ 0247-0266.qxd 10/5/07 11:05 Página 260

Construcció de taules de freqüències

1. Si la freqüència relativa acumulada d’una dadaés 0,35, això vol dir que:

a) Hi ha 35 dades més petites.b) El 35 % de les dades són més petites o iguals.c) Si no coneixem la freqüència absoluta no

podem assegurar res.d) La dada es repeteix 35 vegades.

Dibuix d’un histograma

2. Si la freqüència absoluta de [a, b) és c, l’alturadel rectangle quan el representem és:a) a b) b c) c d) a + b

Càlcul de les mesures estadístiques

3. Per a les dades 1, 2, 1, 1, 3:

a) x = 2 b) σ = 0 c) Me = 1 d) R = 8

I ARA... PRACTICA

2. DIBUIX D’UN HISTOGRAMA I EL SEU POLÍGON DE FREQÜÈNCIES

Dibuixa l’histograma i el polígon de freqüències d’aquesta taula:

PRIMER. Marquem les freqüències a l’eix vertical, i els intervals, a l’eix horitzontal.

SEGON. Dibuixem rectangles que tinguin com a base l’amplada de l’interval, i com a altura, la freqüència corresponent.

TERCER. Si les freqüències són absolutes, formem el polígon de freqüències unintels punts mitjans de la part superior dels rectangles. Si són acumulades, unim els vèrtexs superiors de la dreta de cada rectangle.

3. CÀLCUL DE LES MESURES ESTADÍSTIQUES

Amb les dades d’aquesta taula, calcula les mesures estadístiques:

PRIMER. Operem amb la marca de classe de cada interval i completem la taula amb les columnes que ens faciliten el càlcul de les mesures.

SEGON. Calculem les mesures estadístiques amb les dades que ens proporciona la taula.

Mo = 12,5 (interval [10, 15)) Me = 12,5 (interval [10, 15))

R = 15 − 0 = 15

CVx

= = =σ 3,54

0,35410

σ = =12,5 3,54σ22 500

40= ∑ −

= =f x x

Ni i( )

12,5

DMf x x

Ni i= ∑ −

= =⏐ ⏐ 12540

3,125

xf xNi i=⋅∑ = =

40040

10

261

xi

2,5

7,5

12,5

fi ⋅ xi

12,5

75

312,5

400

fi ⋅ (xi − x)2

281,25

62,5

156,25

500

fi ⋅ ⏐xi − x⏐

37,5

25

62,5

125

[0, 5)

[5, 10)

[10, 15)

Total

Notes

5

10

25

40

fi

[40, 50)

[50, 60)

[60, 70)

[70, 80)

[80, 90)

Interval

5

5

6

2

2

fi

Y6

5

4

3

2

1

40 50 60 70 80 90 X

831084 _ 0247-0266.qxd 13/4/07 19:32 Página 261

262

ActivitatsVARIABLES. TAULES DE FREQÜÈNCIES

38. ● Volem fer un estudi del nombre d’hores que els alumnes dediquen a la lectura.

a) Tria una mostra per fer l’estudi.b) Quina grandària té la nostra mostra?c) Quina és la població?

39. ● Indica el tipus de variable estadística queestudiem i digues, en cada cas, si seria millorestudiar la mostra o la població.

a) El programa preferit dels membres de la tevafamília.

b) El número de calçat dels alumnes d’un IES.c) La temperatura mitjana diària a la teva comarca.d) L’edat dels habitants d’un país.e) El sexe dels habitants del teu poble.f) Els efectes a l’ésser humà d’un medicament

nou.g) El color dels cabells dels teus companys

de classe.

40. ● De les variables següents, quines sóndiscretes?

a) Nombre de mascotes.b) Número de calçat.c) Perímetre cranial.d) Ingressos diaris en un fruiteria.e) Quilograms de carn consumits al menjador

d’un IES durant la setmana.

41. ● Quan vam preguntar a 20 persones sobre el nombre de vegades que havien anat a l’estranger, el resultat va ser:

3 5 4 4 2 3 3 3 5 2 6 1 2 3 3 6 5 4 4 3

a) Organitza les dades fent-ne el recompte.b) Fes la taula de freqüències.

GRÀFICS ESTADÍSTICS

42. ● El número que calcen 20 alumnes en una classed’educació física és:

37 40 39 37 3838 38 41 42 3743 40 38 38 3840 37 37 38 38

Representa el diagrama de barres i el polígon de freqüències per a les freqüències absolutes i per a les freqüències absolutes acumulades.

43. ● Aquestes són les alçades (en cm) de 27 joves:

155 178 170 165 173 168 160 166 176169 158 170 179 161 164 156 170 171167 151 163 158 164 174 176 164 154

a) Fes servir intervals d’amplitud 5 per formar la taula de freqüències.

b) Representa les dades en un histograma, fent servir les freqüències absolutes i les freqüències absolutes acumulades.

44. ●● Dels 30 assistents a un sopar, el 20% vamenjar vedella; el 40 %, xai, i la resta, peix. Indicala variable estadística i organitza els resultats en una taula de freqüències. Després, representales dades en un gràfic de sectors.

45. ●●● El nombre de vegades que es va llogar cada mes la pista de tenis d’un poliesportiu el representem en aquest gràfic:

a) Troba les freqüències relatives i acumulades.

b) En quin percentatge de mesos es va llogar la pista més de 80 vegades?

c) Representa el polígon de freqüències absolutesacumulades.

G F M A M J J A S O N D X

100

70

120 126

60 62 66 69

97 100

7890

140Y

100

60

20

831084 _ 0247-0266.qxd 13/4/07 19:32 Página 262

263

MESURES ESTADÍSTIQUES

46. ● Troba les mesures de centralització d’aquestasèrie de dades:

3 2 4 9 8 7 3 2 4 5 1 8 6 1 51 0 2 4 1 2 5 6 5 4 7 1 3 0 58 6 3 4 0 9 2 5 7 4 0 2 1 5 6

47. ●● Torna a fer l’activitat anterior amb intervalsd’amplitud 2. Obtens els mateixos resultats? Perquè creus que passa, això?

48. ● Determina la mediana d’aquestes dades:

a)

b)

49. ●● Troba la mitja, la mediana, la moda, elsquartils i el centil 30 de les dades d’aquesta taula:

a) Si cada valor de la taula el multipliquem per 3,quina serà la mitjana? I la mediana? I la moda?

b) Si a tots els valors de la variable els restem o els dividim entre un mateix nombre, quina serà la nova mitjana?

c) Calcula gràficament els paràmetres de posició.

50. ●●● Les dades 10, 17, a, 19, 21, b, 25 tenen demitjana, mediana i moda 19. Quant valen a i b?

51. ●●● Considera el conjunt de dades següent:23 17 19 x y 16

Si saps que la mitjana és 20 i la moda és 23, quins són els valors x i y?

52. ●●● Aquestes són les dades d’una enquestasobre el nombre de ràdios a les llars catalanes:

a) Quantes ràdios tenen la quarta part de les llars?

b) I el 75%? I el 85%?c) Quin significat té la mediana?

53. ● Resol amb la calculadora aquesta activitat.

Durant un mes, vuit dependents han venut els aparells d’aire condicionat següents.

8 11 5 14 8 11 16 11

Calcula la mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació de les dades.

54. ●● Les edats (en anys) dels 30 primersvisitants al planetari han estat:

Troba’n les mesures estadístiques.

56. ●● Les notes de l’Albert en 5 exàmens són 4, 6, 6,7 i 5, i les de l’Anna són 43, 62, 60, 50 i 55.

Quin dels dos és més regular en el rendimentacadèmic?

xi 26 28 30 32

fi 6 7 4 3

Nre. de ràdios

Nre. de llars

0

432

1

8.343

2

6.242

3

1.002

4

562

xi

fi

1

5

2

3

3

4

4

2

5

4

6

6

fi

Var. [0, 10)

1

[10, 20)

3

[20, 30)

5

[30, 40)

2

COM COMPAREM LA DISPERSIÓ DE DUESVARIABLES ESTADÍSTIQUES?

55. El pes mitjà d’una mostra de nadons és x = 2,85 kg i la desviació típica és σ = 1 kg.El pes mitjà de les mares és x = 62 kg, amb una desviació típica de σ = 15 kg. En quines de les distribucions és més gran la dispersió?

PRIMER. Calculem els coeficients de variació.

SEGON. Comparem els coeficients.0,35 > 0,24 → La dispersió és més gran en els pesos dels nadons que en els de les mares,encara que pugui semblar el contrari sin’observem les desviacions típiques: 1 < 15.

CVmares = = =1562

0 24 24, %

CVnadons = = =1

2 850 35 35

,, %

FES-HO AIXÍ

20 7 10 13 4 7 8 11 16 14 8 10 16 18 123 6 9 9 4 13 5 10 17 10 18 5 7 10 20

831084 _ 0247-0266.qxd 13/4/07 19:32 Página 263

264

57. �� Troba la mitjana, la mediana, la moda i la desviació típica de les dades següents.

58. �� Les notes que han tret 40 alumnes en músicahan estat:

6 4 1 7 3 6 6 2 5 2 4 9 5 10 8 2 6 10 5 75 3 7 8 4 6 0 5 8 7 6 9 7 2 5 6 8 7 3 6

Calcula la mitjana i la desviació típica de les dades tenint en compte primer la variablecom a discreta i, després, agrupant les dades en els intervals [0, 5), [5, 7), [7, 9), [9, 10]. Quines diferències hi veus?

59. �� Els preus del lloguer mensual del’habitatge es recullen a la taula següent.

a) Quina és la mitjana dels lloguers?

b) Digues quin és el preu més habitual.

c) Troba la mediana. Què significa?

d) Calcula la variància i la desviació típica. Per a què serveixen aquests nombres?

60. �� A partir d’aquests gràfics, determina’n la taula de freqüències i troba la mitjana, la mediana,la moda i la desviació típica de les dades.

a)

b)

62. �� Compara el rendiment de dos alumnes que fan 5 proves i obtenen els resultats següents:

Pes (kg) Nre. d’alumnes

[41, 47) 5

[47, 53) 6

[53, 59) 1

[59, 65) 4

[65, 71) 4

Preu (€) Nre. d’habitatges

240 13

270 33

300 40

330 35

360 30

390 16

420 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7654321

YY

X

X

10 11 12 13 14 15

10

8

6

4

2

Y

COM INTERPRETEM LA MITJANA I LA DESVIACIÓTÍPICA CONJUNTAMENT?

61. Un equip de bàsquet necessita un aler. S’han seleccionat dos jugadors que, en últims cinc partits, han anotat els puntssegüents. Quin d’ells triaries?

PRIMER. Calculem la mitjana i la desviació típica.

SEGON. Analitzem els resultats anteriors.Com que les mitjanes són iguals, si l’entrenador vol un jugador regular triarà el jugador A(desviació típica baixa significa dades semblants); tot i això, si vol un jugador que pugui actuar de revulsiu, triarà el B, ja que alterna partits molt bons amb altres de pitjors (desviació típica elevada indica dadesmolt diferents).

x BB

B

==

147 56σ ,

Jugadorx AA

A

==

14σ 1,09

Jugador

FES-HO AIXÍ

Jugador A

Jugador B

16

25

14

10

13

8

13

6

14

21

Joan

Anna

2

0

6

1

5

9

7

8

5

7

Aula de música

831084 _ 0247-0266.qxd 10/5/07 11:05 Página 264

265

67. �� Els diplomats en informàtica de gestió tenen un salari mitjà, en la seva primera feina, de 1.280 €, amb una desviació típica de 380 €.

D’altra banda, els diplomats en informàtica de sistemes tenen un salari mitjà de 1.160 €, amb una desviació típica de 350 €.

Si a un diplomat en informàtica de gestió li ofereixen un sou de 1.400 €, i a un diplomat eninformàtica de sistemes, un sou de 1.340 €:

a) Quins dels dos rep una oferta millor?b) Raona per què és millor una oferta que

l’altra.

INVESTIGA

68. �� Un conjunt de dades, compost de nombresenters positius i diferents entre si, té 47 com a mitjana. Si una de les dades és 97 i la suma de totes les dades és 329, quin és el nombre mésgran que pot tenir?

69. �� Donat el conjunt de dades:

14 12 26 16 x

calcula x perquè la mediana i la mitjana de lesdades siguin iguals.

70. �� Si en un conjunt de cinc dades la mitjana és 10 i la mediana és 12, quin és el valor més petitque pot prendre el recorregut?

71. �� Quan escrivim en ordre creixent la mitjana,la mediana i la moda del conjunt de dades 10, 2, 5, 2, 4, 2, x, obtenim una progressióaritmètica. Calcula tots els valors possibles de x.

72. �� Després d’ordenar un conjunt de set dades,prenem les quatre primeres i la seva mitjana és 5; però si prenem les quatre últimes, la mitjana és 8.

Si la mitjana de tots els nombres és , quina en serà la mediana?

46

7

PROBLEMES D’ESTADÍSTICA

63. � A la primera avaluació, dels alumnes d’una classe, el 10 % ho va aprovar tot, el 20 % va suspendre una assignatura, el 50 % en vasuspendre dues, i la resta en va suspendre mésde dues.

Fes una taula de freqüències amb les dades. Hi ha algun tipus de freqüència que respongui a la pregunta de quants alumnes van suspendremenys de dues assignatures? Raona la resposta.

64. �� Un corredor s’entrena de dilluns a divendresrecorrent les distàncies següents: 2, 5, 5, 7 i 3 km,respectivament. Si el dissabte també s’entrena:

a) Quants quilòmetres ha de recórrer perquè la mitjana sigui la mateixa?

b) I perquè la mediana no variï?c) I perquè la moda romangui constant?

65. �� Els resultats d’una prova de càlculmental (CM) i una de psicomotricitat (P) que hem fet als 28 alumnes d’una classe són els següents:

a) En quina prova s’han obtingut millors resultats(mitjana més alta)?

b) En quina va ser més gran la dispersió? (Fes servir el coeficient de variació.)

66. �� Dels 50 alumnes que van respondre a una prova de 12 preguntes, el 10 % va contestarcorrectament a 3; el 50 %, a 7; el 30 % a 10, i la resta, al total de la prova. Calcula la mitjana, la mediana i la moda de les dades. Troba’n també la desviació típica.

Puntuació CM P

[10, 20) 2 1

[20, 30) 8 7

[30, 40) 11 9

[40, 50) 4 5

[50, 60) 2 4

[60, 70) 1 2

1.280 € 1.160 €

831084 _ 0247-0266.qxd 10/5/07 11:05 Página 265

266

A la vida quotidiana73. �� El Departament d’Educació està valorant

el rendiment dels alumnes en matemàtiques. Per fer-ho, ha elaborat un informe en què es mostren els resultats dels alumnes de secundària en matemàtiques durant el curs passat.

Un resum de l’informe es mostra mitjançantaquests gràfics:

Per fer el diagrama de sectors han agrupat les notes més altes, NOTABLE

i EXCEL·LENT, i s’han inclòs els percentatgesd’alumnes que han obtingut cada nota.

L’informe indica que el nombre d’estudiants que han tret SUFICIENT és de 28.413. En vista dels gràfics i els percentatges, calcula el nombre total d’alumnes avaluats i quants han obtingut la qualificació d’EXCEL·LENT.

74. �� El nombre d’espectadors d’una cadena de televisió determina el cost de la publicitat que s’hi emet. Per això se’n fan públicsregularment els índexs d’audiència.

La cadenes de televisió amb més índexd’audiència han presentat els seus resultats dels quatre primers mesos de l’any. Aquests són els gràfics que apareixen en diferents mitjans de comunicació.

Totes dues cadenes han tingut un grancreixement, però els responsables de TV Miroinsisteixen que el seu creixement ha estat mésgran.

Quants espectadors ha guanyat cada cadena? Quina representació reflecteix millor la situació?

Tal com mostren els gràfics publicats en els diferents mitjans de comunicació,

hem experimentat un creixement superior al de Canal Free.

INS.

35

30

25

20

15

105

%

SUF. BÉ NOT. EXC.

INS.

SUF.

BÉ

NOT. + EXC.

15 %25 %

35 %

25 %

290

250

210Gen. Febr. Març Abr.

TV MIROMilers

400350300250200150100

500 Gen. Febr. Març Abr.

CANAL FREE

Milers

831084 _ 0247-0266.qxd 10/5/07 11:05 Página 266

Escac i mat!Des que va creuar el canal, perseguit per la intransigència política i religiosa de l’Europa continental, se’l podia trobar en aquell cafè: l’Slaufhter’s Coffee House era per a Abraham de Moivre com una segona llar.

Era un centre de reunió d’intel·lectuals, on es podiendefensar les idees sense cap més arma que la raó.

Els dos personatges que acabaven d’entrar al local, Newton i Halley, amics d’Abraham de Moivre, el van buscar amb la mirada i el van trobar en una de les taules del fons, jugant a escacs. El seu contrincant, visiblement nerviós, movia la mà d’una peça a una altra sense decidir-se a moure’n cap. De seguida que ho va haver fet, Abraham va cantar triomfal: Escac i mat!, i es va aixecar per acostar-se als seus amics.

–No n’aprendrà mai, encara pensa que en els escacs hi intervé l’atzar i que algun dia guanyarà.

–Monsieur De Moivre –va contestar Halley–, jugueu amb l’avantatge dels vostres coneixements de probabilitat i d’aquest joc apassionant. El vostre contrincant tenia set possibles moviments, però només després de dos d’ells podíeu fer escac i mat.

–Tot i això, ho ha fet i jo he guanyat –va respondre De Moivre mentre es guardava a la butxaca les monedes que havia apostat en la partida.

Quina era la probabilitat de fer escac i mat? I de no fer-ne?


• Distingir entreexperiment aleatori i determinista.

• Calcular l’espaimostral d’unexperiment aleatori.

• Fer operacions amb esdeveniments.

• Trobar la probabilitatd’un esdeveniment a partir de lesfreqüències relativeso amb la regla de Laplace.

• Aplicar les propietatsde les probabilitats perresoldre problemes.

• Utilitzar les tècniquesde les taules decontingència i delsdiagrames d’arbre perresoldre problemes deprobabilitat.

PLA DE TREBALL

Probabilitat14831084 _ 0267-0284.qxd 10/5/07 11:09 Página 267

Experiments aleatoris. Esdeveniments

1.1 Experiments aleatoris

1.2 Esdeveniments

1

APLICA

En una bossa hi ha 10 boles de 3 colorsdiferents. Escriu un experiment aleatori i un altre de determinista.

REFLEXIONA

Proposa dos experiments aleatoris.Determina’n els esdeveniments elementals i dos esdeveniments compostos.

3

2

EXERCICISPRACTICA

Classifica els experiments següents en aleatoris o deterministes:

a) Extreure una carta d’una baralla.b) Pesar un litre de mercuri.c) Preguntar als teus companys un nombre.d) Llançar tres monedes i anotar el nombre

de cares.e) Restar dos nombres coneguts.

1

268

Si un esdevenimentconté diversosesdeveniments

elementals, l’anomenemesdeveniment compost.

Els experiments, en funció dels seus resultats, poden ser:

• Aleatoris ⎯⎯⎯→ No podem predir el resultat que obtindremquan el fem, és a dir, depèn de l’atzar.

• Deterministes → En sabem amb anterioritat el resultat.

Cada possible resultat quan fem un experiment aleatori l’anomenemesdeveniment elemental, i el conjunt de tots els esdeveniments ele-mentals és l’espai mostral, E.Normalment, un esdeveniment és qualsevol subconjunt de l’espai mostral.

Classifica aquests experiments en aleatoris o deterministes:

a) Llançament d’una moneda → Experiment aleatoriPot sortir cara o creu, no sabem per endavant el resultat.

b) Suma de dos nombres coneguts → Experiment deterministaSempre obtindrem com a resultat la mateixa suma.

1

EXEMPLE

Determina l’espai mostral, els esdeveniments elementals i algunesdeveniment compost de l’experiment aleatori de llançar un dau de parxís.

Espai mostral ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Esdeveniments elementals ⎯→ {1}, {2}, {3}, {4}, {5} i {6}

Esdeveniments compostos → «Obtenir nombre parell» = {2, 4, 6}«Obtenir múltiple de 3» = {3, 6}

2

EXEMPLE

831084 _ 0267-0284.qxd 13/4/07 19:37 Página 268

269

Quan dos esdeveniments poden passar simultàniament, direm que sóncompatibles; en cas contrari, els anomenem incompatibles.

La Marta té a l’armari 2 pantalons, de color blau i verd, i 3 jerseis, de colorblanc, blau i verd. Si tria a l’atzar uns pantalons i un jersei, quin seràl’espai mostral?

Podem triar primer els pantalons i, després, elegim entre les tres opcionsde jersei. Aquest seria el diagrama d’arbre.

Cadascun dels casos de la dreta són els esdeveniments elementals i, per tant, l’espai mostral és:

E = {blau blanc, blau blau, blau verd, verd blanc, verd blau, verd verd}.

3

EXEMPLE

A l’experiment aleatori de treure una carta d’una baralla, considera els esdeveniments següents:

A = «Treure un as» B = «Treure copes» C = «Treure un rei»Determina si aquestes esdeveniments són compatibles o incompatibles.

A i B són compatibles ⎯→ L’as de copes pertany als dos esdeveniments.A i C són incompatibles → No hi ha cap carta que sigui as i rei a la vegada.B i C són compatibles ⎯→ El rei de copes pertany a tots dos esdeveniments.

4

EXEMPLE

1.3 Diagrama d’arbre

Per determinar els esdeveniments elementals i l’espai mostral associats a unexperiment aleatori, podem fer servir el diagrama d’arbre.

1.4 Esdeveniments compatibles i incompatibles Dos esdevenimentselementals són sempreincompatibles entre si.

blau blancblau blaublau verd

verd blancverd blauverd verd

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

⎯⎯⎯⎯→

APLICA

Determina dos esdeveniments compatibles i dos més d’incompatibles a l’exercici anterior.

REFLEXIONA

Hi ha cap esdeveniment incompatible amb totala resta? I compatible?

7

6

EXERCICISPRACTICA

Escriu els possibles resultats que podemobtenir en l’experiment aleatori de llançar duesmonedes a l’aire.

Llancem una moneda i un dau de sis cares.Quin és l’espai mostral? Fes servir un diagramad’arbre.

5

4

831084 _ 0267-0284.qxd 13/4/07 19:37 Página 269

270

Operacions amb esdeveniments

Les operacions més habituals per treballar amb esdeveniments són la uniói la intersecció.

2

• La unió de dos esdeveniments A i B, A ∪ B, és un altre esdevenimentformat pels esdeveniments elementals de A i B.

• La intersecció de dos esdeveniments A i B, A ∩ B, és un altre esde-veniment format pels esdeveniments elementals comuns de A i B.

• L’esdeveniment contrari o complementari d’un esdeveniment A, A,és el format per tots els esdeveniments elementals que no són a A.

A l’experiment aleatori que consisteix a llançar un dau, expressa en forma d’unions i interseccions aquests esdeveniments:a) Obtenir nombre senar o primer.b) Obtenir nombre parell i múltiple de 3.c) No obtenir nombre parell.d) Obtenir nombre primer i divisor de 6.

a) A = «Obtenir nombre senar» = {1, 3, 5}B = «Obtenir nombre primer» = {2, 3, 5}A ∪ B = «Obtenir nombre senar o primer» = {1, 2, 3, 5}

b) C = «Obtenir nombre parell» = {2, 4, 6}D = «Obtenir múltiple de 3» = {3, 6}C ∩ D = «Obtenir nombre parell i múltiple de 3» = {6}

c) F = «Obtenir nombre parell» = {2, 4, 6}F = «No obtenir nombre parell» = {1, 3, 5}

d) G = «Obtenir nombre primer» = {2, 3, 5}H = «Obtenir divisor de 6» = {1, 2, 3, 6}G ∩ H = «Obtenir nombre primer i divisor de 6» = {2, 3}

5

EXEMPLE

APLICA

Extraiem una carta de la baralla. Troba la unió i laintersecció dels parells d’esdeveniments següents:

a) A = «Treure oros» i B = «Treure copes»b) C = «Treure as» i D = «No treure as»c) F = «Treure bastons» i G = «Treure as»

REFLEXIONA

Pot coincidir la unió de dos esdeveniments amb un d’ells? Si és així, pot coincidir amb la intersecció?

11

10

EXERCICISPRACTICA

Donats els esdeveniments següents:A = {1, 2, 3} B = {1, 3, 5}

calcula’n la unió i la intersecció.

Traiem una carta de la baralla espanyola.Expressa en forma d’unions i interseccions els esdeveniments següents:a) «Que surti un nombre més petit que 5 i més

gran que 2.»b) «Que surti una figura i sigui bastons.»c) «Que no surti un as.»

9

8

Quan diem… Escrivim

Passa A o B ⎯⎯⎯⎯→ A BPassen A i B ⎯⎯⎯⎯⎯→ A BNo passa A ⎯⎯⎯⎯→ A

831084 _ 0267-0284.qxd 13/4/07 19:37 Página 270

271

• La unió d’un esdeveniment i el seu complementari és el total i la sevaintersecció és el buit.

A ∪A = E A ∩A = ∅• El complementari del complementari d’un esdeveniment coincideix

amb l’esdeveniment de partida.= A

• El complementari de la unió d’esdeveniments és la intersecció delscomplementaris.

= A ∩B

• El complementari de la intersecció de dos esdeveniments és la uniódels seus complementaris.

= A ∪BA∩B

A∪B

A

En el llançament d’un dau de parxís considerem els esdevenimentssegüents:

A = «Treure nombre parell»B = «Treure divisor de 6»

Calcula els esdeveniments següents.

a) A i B c) B ∩B e)

b) A ∪A d) f)

a) A = {2, 4, 6} → A = {1, 3, 5} B = {1, 2, 3, 6} → B = {4, 5}

b) A ∪ A = {2, 4, 6} ∪ {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = E

c) B ∩ B = {1, 2, 3, 6} ∩ {4, 5} = ∅

d) = = {2, 4, 6} = A

e) = = = {5} = A ∩ B

f) = = = {1, 3, 4, 5} = A ∪ B{2, 6}{2, 4, 6} ∩ {1, 2, 3, 6}A ∩ B

{1, 2, 3, 4, 6}{2, 4, 6} ∪ {1, 2, 3, 6}A ∪ B

{1, 3, 5}A

A ∩BA

A ∪B

6

EXEMPLE

APLICA

Considera l’experiment de llançar una moneda.Calcula l’espai mostral i tots els esdevenimentsque puguis classificant-los en elementals i compostos. Troba el complementari de cadaesdeveniment.

REFLEXIONA

Si un esdeveniment A està contingut en un altre, B, què passa amb els seuscomplementaris?

14

13

EXERCICISPRACTICA

Quan llancem un dau de 8 cares considerem els esdeveniments següents.

A = {2, 4, 5, 8} i B = {1, 2, 3, 7}

Calcula:

a) A ∪ B d) A ∪ Bb) A ∩ B e)c) f) A ∩ B

Què observes en els resultats c) i d)? I en els resultats e) i f)?

A ∩ BA ∪ B

12

Propietats de les operacions amb esdeveniments

HO ESCRIUREM AIXÍ

E → Espai mostral∅ → Conjunt buit

(no hi ha cap element)

• Qualsevol esdevenimentcompost el podem expressarcom la unió dels seusesdeveniments elementals.

• Dos esdeveniments A i Bsón incompatibles quan A B = Ø.

831084 _ 0267-0284.qxd 10/5/07 11:09 Página 271

272

Probabilitat d’un esdeveniment3

La probabilitat d’un esdeveniment és un nombre entre 0 i 1 que indi-ca la possibilitat que aquest esdeveniment succeeixi. Com més gran ésla probabilitat, més gran és la possibilitat que succeeixi.

D’aquesta manera, si un esdeveniment succeeix sempre, la seva probabilitatés 1, i diem que és un esdeveniment segur, P(E) = 1.

De la mateixa manera, si un esdeveniment no passa mai, la seva probabilitatés 0, i llavors direm que és un esdeveniment impossible, P(∅) = 0.

Tenim 2 boles iguals en una bossa, una de blava i una altra de groga. Si fiquem la mà a la bossa i n’extraiem una bola, calcula la probabilitatque surti:

a) Una bola blava o groga.b) Una bola verda.c) Una bola blava.d) Una bola groga.

a) P (bola blava o groga) = 1 → És un esdeveniment segur

b) P (bola verda) = 0 → És un esdeveniment impossible

c) i d) Com que les dues boles són idèntiques excepte pel color, la probabilitat d’extreure’n cadascuna és igual.

P (bola blava) = P (bola groga)

Per tant, té sentit repartir la probabilitat total que succeeixi, 1, entre els dos esdeveniments elementals.

P (bola blava)

P (bola amarilla) =12

=12

7

EXEMPLE

APLICA

A l’experiment de llançar una moneda:

a) Calcula l’espai mostral.b) Digues un esdeveniment segur i un

d’impossible.c) Quina probabilitat li assignaries al

esdeveniment «Sortir cara»? Raona la resposta.

REFLEXIONA

A què és igual la unió d’un esdeveniment seguri un d’impossible? I la intersecció? Calcula lesseves probabilitats.

18

17

EXERCICISPRACTICA

Llancem 2 daus i sumem els punts que surten.Determina:a) Un esdeveniment segur.b) Un esdeveniment impossible.

Quina serà la probabilitat d’aquests dosesdeveniments?

En una urna hi ha 5 boles blanques i 4 bolesvermelles. Escriu:a) Un esdeveniment impossible.b) Un esdeveniment segur.

16

15

La probabilitat és sempreun nombre entre 0 i 1.

0 ≤ P(A) ≤ 1

831084 _ 0267-0284.qxd 10/5/07 11:09 Página 272

273

Regla de Laplace

Dos esdeveniments són equiprobables quan tenen la mateixa probabilitatde succeir quan fem un experiment aleatori.

4

Quan, en fer un experiment aleatori, tots els esdeveniments elementalssón equiprobables, la probabilitat que succeeixi un esdeveniment A,P(A), la podem calcular aplicant la regla de Laplace:

P A( ) =Nombre de casos favorables a l’esdeveniiment

Nombre de casos possibles

A

A l’experiment aleatori de llançar un dau, calcula la probabilitat dels esdeveniments següents:

a) «Treure 2.»b) «Treure nombre parell.»c) «Treure nombre més petit que 4.»

L’espai mostral és: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → Casos possibles = 6Està format per 6 resultats equiprobables: la probabilitat d’obtenircadascuna de les cares és la mateixa. Podem aplicar la regla de Laplace.

a) A = «Treure 2» = {2} → Casos favorables = 1

b) B = «Treure nombre parell» = {2, 4, 6} → Casos favorables = 3

c) C = «Treure nombre més petit que 4» = {1, 2, 3} → Casos favorables = 3

P C( ) = = =Casos favorablesCasos possibles

36

12

P B( ) = = =Casos favorablesCasos possibles

36

12

P A( ) = =Casos favorablesCasos possibles

16

8

EXEMPLE

APLICA

Extraiem una carta d’una baralla espanyola.Quina és la probabilitat de treure un cavall? I una figura? I oros? I una sota que no sigui de copes?

En una capsa hi ha 5 boles grogues i 7 de vermelles. Quina és la probabilitat de treureuna bola groga? I una de vermella?

REFLEXIONA

Pensa en un experiment els esdeveniments del qual siguin equiprobables, però en què siguiimpossible aplicar la regla de Laplace.

22

21

20

EXERCICISPRACTICA

Quan llancem un dau, calcula la probabilitatd’obtenir:

a) Múltiple de 5.b) Divisor de 2.c) Nombre primer.d) Nombre 3.e) Divisor de 6.f) Parell i divisor de 4.g) Múltiple de 7.h) Més petit que 10.i) Nombre senar.

19

Per poder aplicar la regla de Laplace,

els esdeveniments han de ser equiprobables.

831084 _ 0267-0284.qxd 13/4/07 19:37 Página 273

APLICA

En una bossa hi ha boles numerades de l’1 al 5.N’extraiem 5.000 vegades una bola, anotem el resultat i la tornem a la bossa. Aquests han estat els resultats.

Calcula la probabilitat d’obtenir múltiple de 2.

Si a la bossa hi ha 100 boles, quantes són de cada classe? Justifica la resposta.

REFLEXIONA

Una màquina fabrica cargols. Com ho faries per calcular la probabilitat que, si escollim un cargol a l’atzar, sigui defectuós?

26

25

EXERCICISPRACTICA

S’ha llançat una moneda 85 vegades i s’hanobtingut 43 cares. Quina és la freqüènciarelativa de l’esdeveniment «Surt creu»?

a) c)

b) 42 d) 0,42

Es llança un dau de 4 cares i s’anoten les vegades que no surt la cara 1.

a) Fes la taula de freqüències relatives.b) Cap a quin valor tendeix?c) Quina probabilitat hi assignaries?

24

4285

4385

23

Llançaments

fi

20

7

40

11

60

15

80

18

100

27

Bola

fi

1

1.200

2

800

3

700

4

1.300

5

1.000

274

Freqüència i probabilitat

La llei dels grans nombres afirma que a mesura que augmentem el nom-bre de vegades que fem un experiment aleatori, la freqüència relativa d’unesdeveniment s’aproxima a la seva probabilitat.

Aquest és el concepte estadístic de la probabilitat i ens proporciona unaeina molt útil per calcular probabilitats en un experiment en què els esde-veniments no són equiprobables.

5

Tenim en un sac 50 kg de mongeta seca i cigrons. Troba la probabilitatque, quan treguis un llegum del sac, sigui un cigró.

No podem aplicar la regla de Laplace, perquè desconeixem el nombre totalde mongetes i cigrons del sac ni quants llegums n’hi ha de cada classe.

Extraiem llegums, d’un en un, i els tornem una altra vegada al sac.Apuntem les freqüències que van sortint de mongeta seca i cigró.Després de repetir-ho moltes vegades, les freqüències relatives dels dosesdeveniments estaran a prop del valor de la seva probabilitat.

La freqüència relativa que surti una mongeta seca s’acosta a 0,4.Prendrem aquest valor com la seva probabilitat. Així doncs:

P(cigró) = 1 − 0,4 = 0,6

9

EXEMPLE

Com en la probabilitat, la freqüència relativa és

un nombre comprèsentre 0 i 1.

Nre. de llegumsextrets

Nre. de mongetes seques (fi)

Freqüència relativa (hi)

10

100

1.000

3

37

402

0,3

0,37

0,402

831084 _ 0267-0284.qxd 10/5/07 11:09 Página 274

APLICA

Una urna té 4 boles blanques, 2 de vermelles i 5 de negres. Calcula la probabilitat de treureuna bola:a) Blanca. b) Vermella. c) Blanca o negra.

REFLEXIONA

Si en un experiment aleatori P(B) = 0,2i, a més, P(A ∪ B) = P(A), A i B sónincompatibles? I complementaris?

30

29

EXERCICISPRACTICA

Es llancen 2 daus i se sumen els punts. Troba laprobabilitat que la suma sigui:a) 3 c) 7b) Més gran que 10. d) 4 o 5

Extraiem una carta d’una baralla espanyola.Troba la probabilitat que sigui:a) Espases. c) Sota o oros.b) Espases i rei. d) Diferent d’una figura.

28

27

275

Propietats de la probabilitat6

1a Per a qualsevol esdeveniment A es compleix que 0 ≤ P(A) ≤ 1.

2a La probabilitat de l’esdeveniment segur és 1 i la probabilitat de l’es-deveniment impossible és 0.

P(E) = 1 P(∅) = 0

3a Si dos esdeveniments són incompatibles, la probabilitat de la sevaunió és: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

4a Si dos esdeveniments són compatibles, la probabilitat de la sevaunió és: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

5a Si A i A són esdeveniments contraris: P(A) = 1 − P(A)

Llancem un dau i observem la puntuació que surt. Calcula lesprobabilitats dels esdeveniments següents:

a) «Obtenir 3 o 4» b) «No obtenir ni 3 ni 4» c) «Obtenir parell omés petit que 3»

Com que els esdeveniments són equiprobables, podem aplicar la regla de Laplace.

a)

A i B són incompatibles (si surt 3 no pot sortir 4).

b) A ∪ B = «Obtenir 3 o 4» → = «No obtenir ni 3 ni 4»

P(A ∪ B) = 0,33 → P( ) = 1 − 0,33 = 0,67

c)

C i D són compatibles (2 és parell i més petit que 3) →

P C D P C P D P C D( ) ( ) ( ) ( ) ,∪ = + − ∩ = + − =36

26

16

0 67

P C D( )∩ =16

D P D= =« 3»Més petit que → ( )26

C P C= =« »Nombre parell → ( )36

A ∪ B

A ∪ B

P A B P A P B( ) ( ) ( ) ,∪ = + = + =16

16

0 33

B P B= =«Obtenir 4» → ( )16

A P A= =«Obtenir 3» → ( )16

10

EXEMPLE La suma de lesprobabilitats de tots

els esdevenimentselementals és 1.

831084 _ 0267-0284.qxd 13/4/07 19:37 Página 275

276

Experiments aleatoris compostos

Els experiments aleatoris compostos són el resultat de fer, un darrerel’altre, una sèrie d’experiments aleatoris simples.

Els esdeveniments associats a aquests tipus d’experiments reben el nomd’esdeveniments compostos.

Per fer el càlcul de probabilitats en experiments compostos, podem utilit-zar les taules de contingència o els diagrames d’arbre.

7

En el grup de 30 alumnes de 3r d’ESO hi ha 17 nois, dels quals 8 sónrossos. De les noies, 7 no són rosses. Si escollim un alumne a l’atzar,quina és la probabilitat que sigui una noia? I que sigui rossa?

Podem representar les dades del problema en una taula de contingència,amb la qual podrem calcular les probabilitats dels diferents esdeveniments.

Per completar la taula hem calculat les dades que faltaven:• Nois no rossos = 17 − 8 = 9 • Total Rossos/es = 8 + 6 = 14 • Noies = 30 − 17 = 13 • Total No rossos/es = 9 + 7 = 16• Noies rosses: 13 − 7 = 6

A partir de la taula de contingència podem calcular lesprobabilitats corresponents als esdeveniments

i

També podíem haver fet la taula de contingència deprobabilitats.

P noia rossa( ) =630

P noia( ) =1330

11

EXEMPLE

Nois Noies Total

Rossos/es 8

No Rossos/es 7

Total 17 30

Nois Noies Total

Rossos/es830

630

830

630

+

No Rossos/es930

730

930

730

+

Total 830

930

+630

730

+ 1

Nois Noies Total

Rossos/es 8 6 14

No Rossos/es 9 7 16

Total 17 13 30

Taula de contingència

Taula de contingència de probabilitats

APLICA

Completa la taula de contingència:

REFLEXIONA

Per què la suma dels totals en la taula de contingència de probabilitats és sempreigual a 1?

33

32

EXERCICISPRACTICA

El resultat d’una enquesta política a peu de carrer durant una hora, ha estat el següent:

Quina és la probabilitat que si escollim unadona, hagi votat a l’esquerra?

31

Homes Dones Total

Dreta 8

Esquerra 7

Total 17 30

A A Total

B 0,15

B 0,24

Total 0,37

831084 _ 0267-0284.qxd 10/5/07 11:09 Página 276

277

En una bossa tenim 5 boles vermelles i 3 de blanques. Quina probabilitathi ha d’extreure dues boles blanques seguides?

a) En el cas que una vegada que hem extret la primera bola la tornem a introduir a la bossa (amb devolució).

b) En el cas que no la tornem (sense devolució).

Fem els dos diagrames d’arbre i calculem les probabilitats de cada esdeveniment simple mitjançant la regla de Laplace. Calculem la probabilitat de cada experiment compost multiplicant les probabilitats de cada experiment simple.

a) Amb devolució:

b) Sense devolució:

12

EXEMPLE

Mitjançant un diagrama d’arbre, determinem la probabilitat de cada esde-veniment compost en funció dels esdeveniments simples que el componen.

38

38

964

⋅ =

38

58

1564

⋅ =

58

38

1554

⋅ =

58

58

2564

⋅ =

B → B, B

V → B, V

B → V, B

V → V, V

B

V

Resultats Probabilitat

38

27

656

⋅ =

38

57

1556

⋅ =

58

37

1556

⋅ =

58

47

2056

⋅ =

B → B, B

V → B, V

B → V, B

V → V, V

B

V

Resultats Probabilitat

Per descriure un esdeveniment compost

només hem d’indicar quins esdeveniments

elementals conté.

APLICA

Un joc amb la baralla consisteix a treure duescartes sense devolució i guanya el que tregui dues copes. Quina probabilitat hi ha de guanyar?

REFLEXIONA

En el joc anterior, és més fàcil guanyar si laprimera carta que traiem la podem tornar?

36

35

EXERCICISPRACTICA

Llancem enlaire un dau i a continuació un altre.

a) Fes un diagrama d’arbre per representar l’experiment aleatoricompost.

b) Calcula la probabilitat que surtin dosnombres imparells.

34

3/8

3/8

2/7

5/7

3/7

4/7

5/8

5/8

5/8

5/8

3/8

3/8

831084 _ 0267-0284.qxd 10/5/07 11:09 Página 277


278

L’essencial

Experiments aleatoris

Espai mostral

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Esdeveniment elemental

{5}

Esdeveniment elemental

{3}

Esdeveniment

elemental

{1}

Esdeveniments i operacions

Unió Intersecció

FES-HO AIXÍ

1. DETERMINACIÓ DE L’ESPAI MOSTRAL AMB L’AJUDA DEL DIAGRAMA D’ARBRE

Determina l’espai mostral de l’experiment que consisteix a llançar una moneda i un dau les caresoposades dels quals estan pintades del mateix color, que són blau, roig i verd.

PRIMER. Fixem la primera possibilitat d’elecció.

En aquest cas, el llançament de la moneda el resultat del qual pot ser cara o creu.

SEGON. Hi afegim la resta de possibilitats a partirde la primera.

A partir de cara o creu indiquem els possiblescolors que podem obtenir quan llancem el dau.

TERCER. Escrivim els resultats finals.

E = {CB, CR, CV, +B, +R, +V}

2. TROBALLA DE L’ESDEVENIMENT COMPLEMENTARI

A l’experiment aleatori de llançar un dau i després una moneda, calcula l’esdeveniment contrari, A, de l’esdeveniment A = «Treure un divisor de 6 al dau i cara a la moneda».

PRIMER. Calculem l’espai mostral i l’esdeveniment A.

E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+}A = «Treure un divisor de 6 al dau i cara a la moneda» = {1C, 2C, 3C, 6C}

SEGON. El contrari de A està format pels elements de l’espai mostral, E, que no són a A.

E = {1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+}A = {1C, 2C, 3C, 6C}

Per tant A = {4C, 5C, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+}.

A

A ∪ B

B

A ∩ B

A B

F

F

F

F

CB

CR

CV

+B

+R

+V

⎯⎯→

⎯⎯→

⎯⎯→

⎯⎯→

⎯⎯→

⎯⎯→

831084 _ 0267-0284.qxd 13/4/07 19:37 Página 278

3. ÚS DE LA REGLA DE LAPLACE PER CALCULAR PROBABILITATS

Calcula la probabilitat dels esdeveniments A = «Sortir nombre parell» i B = «sortir nombre més petitque 3» a l’experiment aleatori que consisteix a llançar un dau.

PRIMER. Determinem l’espai mostral i els esdeveniments de què volem calcular la probabilitat.E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {1, 2}

SEGON. Avaluem si els esdeveniments elementals són equiprobables. En aquest cas, quan llancem el dau, totes les cares tenen les mateixes probabilitats de sortir.

TERCER. Comptem el nombre d’esdeveniments elementals de cadascun i apliquem la regla de Laplace.

P BB

( ) = =Casos favorables a

Casos possibles26

== 0,33P AA

( ) = =Casos favorables a

Casos possibles36

== 0,5

4. CÀLCUL DE PROBABILITATS FENT-NE SERVIR LES PROPIETATS

La probabilitat que una persona tingui els cabells de color castany és 0,6; la probabilitat que tingui els ulls marrons és 0,7, i que sigui castany i tingui els ulls marrons, 0,42. Calcula la probabilitat que:

a) No tingui els cabells castanys. b) Tingui ulls marrons o cabells castanys.

PRIMER. Escrivim els esdeveniments que ens demanen en funció dels esdeveniments coneguts fent servir la unió, la intersecció i el complementari dels esdeveniments.

A = «Cabells castanys» a) «Cabells no castanys» = AB = «Ulls marrons» b) «Ulls marrons o cabells castanys» = A ∪ B

SEGON. Apliquem les propietats de la probabilitat per calcular les probabilitats que ens demanen.a) P (A) = 1 − P (A) = 1 − 0,6 = 0,4b) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0,6 + 0,7 − 0,42 = 0,88

279

Determinació de l’espai mostral amb l’ajudadel diagrama d’arbre

1. Quin és el nombre d’esdeveniments elementalsquan llancem una moneda i un dau?a) 6 c) 8b) 7 d) 12

Troballa de l’esdeveniment complementari

2. Quan llancem un dau, l’esdevenimentcomplementari de A = «Surt nombre parell» és:a) A = {2, 4, 6}b) A = «Sortir més petit que 3»c) A = {1, 3, 5}d) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Ús de la regla de Laplace per calcularprobabilitats

3. En una urna tenim 8 boles blanques, 2 devermelles i 10 de blaves. Quina és la probabilitatd’extreure a l’atzar una bola vermella?

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,4 d) 0,9

Càlcul de probabilitats fent-ne servir les propietats

4. Si en una sala hi ha 50 persones i 33 sónhomes, quina és la probabilitat que, si triemuna persona a l’atzar, sigui dona?

a) 0,34 c) 0,66b) 0,50 d) No es pot saber.

I ARA... PRACTICA

831084 _ 0267-0284.qxd 13/4/07 19:37 Página 279

280

ActivitatsEXPERIMENTS ALEATORIS.ESDEVENIMENTS

37. ● Classifica els experiments següents en deterministes o aleatoris.

a) Extreure una carta de la baralla espanyola.b) Mesurar la hipotenusa d’un triangle rectangle

amb catets de 3 i 4 cm.c) Llançar 3 monedes i anotar el nombre

de cares.d) Llançar una xinxeta i apuntar la posició

de caiguda.e) Pitjar un botó que encén una bombeta

en un circuit elèctric.f) Triar a l’atzar una fitxa de dòmino.g) Mesurar l’altura de la classe.h) Llançar una pedra al buit i mesurar-ne

l’acceleració.i) Esbrinar el resultat d’un partit abans que es

jugui.

38. ● Escriu dos experiments aleatoris i dos més queno ho siguin. Justifica la resposta.

39. ● Escriu l’espai mostral dels experimentsaleatoris següents.

a) Extreure una carta de la baralla espanyola.b) Llançar una xinxeta i apuntar la posició

de caiguda.c) Treure una bola d’una urna amb 5 boles

vermelles, 3 de blaves i 2 de verdes.d) Llançar dos daus i restar-ne les cares

superiors.e) Llançar dos daus i multiplicar-ne les cares

superiors.f) Agafar les espases de la baralla espanyola

i extreure una carta d’aquest grup.g) Triar a l’atzar un país de la Unió Europea.

40. ● Llancem 2 daus, un de vermell i un altre de blau. Quin és l’espai mostral d’aquest experiment?

41. ● Llancem dos daus i multipliquem el nombre de punts obtingut en cada un. Quants resultats podem obtenir? Descriu l’espai mostral i indica dos esdeveniments que no siguin elementals.

OPERACIONS AMB ESDEVENIMENTS

42. ● Triem una fitxa de dòmino a l’atzar. Determina:

a) L’espai mostral.b) A = «Triar una fitxa els nombres de la qual

sumin 6» c) B = «Triar una fitxa els nombre multiplicats de

la qual donin 12».

Els esdeveniments A i B, són compatibles o incompatibles?

43. ●● Considera el llançament de 3 monedes.Escriu els esdeveniments següents: A = «Obteniralmenys una cara» i B = «Obtenir una sola cara».Calcula:

a) A ∪ B b) A ∩ B c) A d) B

44. ●● De les 28 fitxes del dòmino, n’extraiem una a l’atzar i sumem els punts. Escriu elsesdeveniments.

a) A = «Obtenir múltiple de 5»b) B = «Obtenir nombre parell»

Calcula: A ∪ B, A ∩ B, A i B, A ∪ A, B ∩ B.

45. ●● En un bombo hi ha 15 boles numerades de l’1 al 15 i n’extraiem una. Escriu els elementsque formen els esdeveniments.

a) Múltiple de 3. d) Més gran que 3 i més petitb) Múltiple de 2. que 8.

c) Més gran que 4. e) Nombre senar.

Escriu un esdeveniment compatible i un altred’incompatible amb cadascun d’ells, i tambél’esdeveniment contrari.

46. ● Quan llancem un dau de 6 cares, A = {2, 4} i B = {1, 2, 3}. Calcula.

a) A ∩ B c) Són compatibles A i B?b) A ∪ B d) Troba el contrari dels esdeveniments

A, B, A ∩ B i A ∪ BEntre els esdeveniments anteriors, troba una parella d’esdeveniments compatibles, una d’incompatibles i una altra de contraris.

47. ●● Llancem un dau de 6 cares i considerem els esdeveniments A = {1, 3, 5, 6}, B = {1, 2, 4, 5} i C = {3, 4}. Calcula.

a) A d) A ∪ B g)b) B e) A ∩ B h) A ∩ Bc) C f) B ∪ C i) A ∪ B

A ∪ B

831084 _ 0267-0284.qxd 13/4/07 19:37 Página 280

281

PROBABILITAT D’UN ESDEVENIMENT.ESDEVENIMENTS COMPOSTOS

48. ● Traiem dues cartes d’una baralla espanyola. Un esdeveniment impossible és:

a) «Treure dos oros»b) «Treure dos cavalls de copes»c) «Treure dues cartes de pal diferent»d) «Treure dues figures iguals del mateix pal»

49. ● Ordena de més gran a més petit grau de probabilitat d’obtenir els esdevenimentssegüents quan llancem un dau.

a) «Nombre parell»b) «Nombre igual o més gran que 5»c) «Nombre més petit que 7»d) «Nombre més gran que 7»

50. ● D’una baralla de 40 cartes n’extraiem una.Calcula les probabilitats dels esdevenimentssegüents.

a) A = «Obtenir oros»b) B = «Obtenir el rei d’oros»c) C = «Obtenir espases o copes»

51. ●● Llancem un dau a l’aire i sumem els punts de totes les cares menys de la de dalt. Troba l’espai mostral i la probabilitat d’obtenir un nombre múltiple de 3.

52. ●● En el joc del parxís s’ha trucat el dau perquèla probabilitat que surti 5 sigui cinc vegades laprobabilitat que surti qualsevol altra cara. Quinaafirmació és certa?

a) P (cara 5) c) P (cara 5)

b) P (cara 5) d) P (cara 1)

53. ●● En el cas del dau anterior, la probabilitat quesurti cara senar és:

a) b) c) d)7

1076

310

12

=16

=12

=56

=23

54. ● Quan llancem una xinxeta, pot caure amb lapunta cap amunt o cap avall.

a) És un experiment aleatori o determinista?b) Quins són els esdeveniments elementals?c) Aquests esdeveniments són equiprobables?

55. ● Per comprovar si els esdeveniments elementalsde l’activitat anterior són equiprobables, fesl’experiment 100 vegades (agafa 10 xinxetes illança-les 10 vegades). La freqüència relativa del’esdeveniment «Punta cap amunt» és més gran?Compara el teu resultat amb el que han obtingutels teus companys i feu una taula ajuntant tots els resultats.

56. ●● En un bombo hi ha 10 boles numerades del 0al 9. Repetim 100 vegades l’experiment de treureuna bola i reemplaçar-la. Els resultats són:

Donats els esdeveniments següents: A = «Múltiplede 3», B = «Nombre senar» i C = «Divisor de 6»,calcula:iii

a) La freqüència relativa de A, B i C.b) La freqüència relativa de A ∪ B, A ∩ B i A ∪ C.

Quina probabilitat li assignaries a cadaesdeveniment?

57. ●● Llancem 100 vegades un dau tetraèdric i anotem el nombre de la cara oculta, i obtenim:

Troba la freqüència relativa de l’esdeveniment:

a) Múltiple de 3. c) Cara més gran que 1.b) Múltiple de 2. d) Cara més petita que 1.

Quina probabilitat assignaries a cadascun dels esdeveniments anteriors?

Bola

fi

0

7

1

13

2

11

3

12

4

8

5

10

6

12

7

6

8

10

9

11

Cara

fi

1

28

2

22

3

30

4

20

831084 _ 0267-0284.qxd 13/4/07 19:37 Página 281

282

58. ●● Llancem 4 monedes iguals.

a) Quina és la probabilitat d’obtenir 4 cares?

b) I de no obtenir-ne cap?

c) Quin esdeveniment és més probable, obtenir 2 cares o obtenir, com a mínim 3 creus?

59. ●●● Un examen tipus test consta de 5 preguntes,cadascuna de les quals té tres possiblesrespostes.

a) Calcula la probabilitat d’encertar 3 preguntes si contestes a l’atzar.

b) Si per aprovar l’examen s’han de contestar com a mínim 3 preguntes correctament, trobala probabilitat d’aprovar i de suspendre.

60. ●●● Fem un estudi amb 100 persones sobre si es consideren destres o esquerranes a l’hora d’escriure i hem obtingut la taulasegüent. Completa-la i calcula la probabilitat que si escollim un home sigui esquerrà.

61. ●●● Quants resultats són possibles en el llançament de tres daus? Fes un diagrama d’arbre i calcula la probabilitatd’obtenir al menys un sis.

62. ●●● En una urna tenim 7 boles blanques i 4 de negres, i traiem tres boles. Calcula la probabilitat que les tres siguin blanques si cada vegada es torna la bola que es treu a la urna.

63. ●●● En l’exercici anterior, calcula la probabilitatque siguin del mateix color en els dos casos: quela bola que es treu es torni a l’urna i que no es torni.

PROPIETATS DE LA PROBABILITAT

64. ● La probabilitat d’un esdeveniment és 0,2. Quina és la probabilitat de l’esdevenimentcontrari?

65. ●● Si en un dau P(1) = P(2) = P(3) = 0,14 i P(4) = P(5) = P(6) = x, quin és el valor de x?

66. ●● En una dau trucat, la probabilitat que surticadascuna de les cares és:

Si saps que P(4) = 2P(5), quant valen a i b?

67. ●● Extraiem una carta de la baralla espanyola. Troba la probabilitat de:

a) Obtenir un cavall.b) No sortir una figura.c) No sortir ni oros

ni bastons.d) Treure rei d’oros o d’espases.

68. ●● Triem a l’atzar un número de l’1 al 30. Tenimels esdeveniments A = «Obtenir un nombre parell més petit o igual que 14», B = «Obtenir un múltiple de 3 més petit o igual que 10» i C = «Obtenir un múltiple de 10». Calcula la probabilitat de:

a) A ∪ B c) A ∪ B e) B ∩ Cb) A ∪ C d) C ∪ B f) A ∩ B

69. ●● En una urna hi ha 100 boles numerades de l’1 al 100. Traiem una bola el nombre de la qualsigui n i definim els esdeveniments.

A = «n és múltiple de 5»B = «n és múltiple de 3»C = «n és divisible per 2»D = «n és divisible per 10»E = «n és divisible per 1»

a) Quants esdeveniments elementals componencada esdeveniment? Quina és la probabilitat de cadascun?

b) Hi ha dos esdeveniments incompatibles?c) Hi ha dos esdeveniments compatibles?

I contraris?d) Troba la probabilitat de A ∩ B, B ∪ C i D.

70. ●●● Considera un joc en què llances dos daus i guanyes si la suma dels punts és 11 o 7.

a) Descriu l’espai mostral d’aquest experiment.

b) Calcula la probabilitat de guanyar.

Cara

P

1

0,1

2

0,1

3

0,1

4

a

5

b

6

0,4

Homes Dones Total

Dretà 34

Esquerrà 31

Total 43

831084 _ 0267-0284.qxd 13/4/07 19:37 Página 282

283

PROBLEMES AMB PROBABILITATS

71. ●● En un dinar hi ha 28 homes i 32 dones. Hanmenjat carn 16 homes i 20 dones, i la resta, peix.Si triem una persona a l’atzar, calcula laprobabilitat d’aquests esdeveniments.

a) Que sigui home.b) Que hagi menjat peix.c) Que sigui home i hagi menjat peix.

72. ●● En una llar d’infants hi ha 20 nens i 16 nenes.La meitat dels nens i tres quartes parts de lesnenes són morens i la resta són rossos. Quina ésla probabilitat que si en triem un a l’atzar siguinen o tingui els cabells morens?

73. ●●● En una ciutat llegeixen el diari A el 30 % dels habitants, el diari B, el 20 % dels habitants i el 7 % llegeixen tots dos diaris.

a) Quina probabilitat hi ha que si triem algú al’atzar llegeixi algun dels dos diaris?

b) I que no en llegeixi cap? I que en llegeixi un?

74. ●● En Lluís i en Joan han de recollir l’habitacióque comparteixen. En Lluís posa en una bossa 3 boles vermelles, 2 de verdes i 1 de blava, i li proposa al seu germà que en tregui una. Si és vermella, recull en Joan, i si és blava, ell.

a) Quina és la probabilitat de cada bola?b) És just el que proposa en Lluís?c) En Joan no accepta el tracte i proposa

que si surt vermella, reculli ell, i si surt blava o verda, ho faci en Lluís. És just aquest tracte?Per què?

75. ●●● Si tinc 3 claus que obren els 3 panys d’una porta, però no sé quina obra cadascuna,quina és la probabilitat que encerti amb la combinació a la primera oportunitat? I si tingués 3 claus i només 2 panys? (Una de les claus no obre cap pany.)

76. ●●● La Paula va a una botiga 2 vegades per setmana, i en Robert treballa en aquestabotiga 4 dies per setmana. Si el divendres és l’únic dia que no hi va cap dels dos, quina és la probabilitat que coincideixin dosdies? (La botiga tanca el diumenge.)

INVESTIGA

77. ●●● A l’Oest, tres vaquers han de fer una accióarriscada, tallen amb longituds diferents trespalets, els tapen de manera que sembli que tenenla mateixa altura i cada vaquer en tria un. El quel’agafa més curt perd. Per què no discuteixen maiqui tria primer?

78. ●●● Nadal és millor que Federer en terra batuda i la probabilitat que té de guanyar-li un set és 3/5. Si el cansament els afecta tots dos igual, explica per què Nadal prefereix jugar al millor de 5 sets que al millor de 3 sets.

79. ●●● Tinc a la butxaca dues monedes de 20 cèntims,dues de 10 cèntims i dues de 5 cèntims. Si trec dues monedes a l’atzar, quina és la probabilitat d’obtenir una quantitat superior o igual a 20 cèntims?

80. ●●● En una classe de 23 alumnes, el tutor revisa les fitxes dels alumnes i comprova que dos d’ells fan els anys el mateix dia del mateix mes. Quan ho comenta al professor de matemàtiques, aquest li diu que això és méshabitual que el contrari, és a dir, que no hi hagicap coincidència. Comprova si el professor de matemàtiques té raó.

831084 _ 0267-0284.qxd 13/4/07 19:37 Página 283

81. ●●● Amb motiu de la setmana cultural de l’institut, s’ha celebrat un campionat de dards.Després d’unes quantes eliminatòries, hem quedat com a finalistes l’Anna, en Bernat, la Camil·la i jo.

Des de fa temps he anat apuntant les partidesque hem jugat i qui les ha guanyades.

La final consisteix en una lliga en què jugaremtots contra tots. Cada victòria atorgarà 1 punt al guanyador i 0 punts al perdedor.

Al final de la lliga guanyarà el concursant amb la puntuació més alta.

Segons les dades anotades, quina probabilitat tinc de guanyar el campionat? I de perdre’l?

284

A la vida quotidiana82. ●●● La Direcció General de Trànsit (DGT)

portarà a terme una campanya per reduir lasinistralitat a les carreteres.

Un elevat nombre d’accidents amb víctimesmortals és degut a dos factors:

• No fer servir el cinturó de seguretat.• No respectar la distància de seguretat.

Per determinar la incidència d’aquestesinfraccions, s’han fet múltiples controls de trànsit. Aquestes són les dades recollides:

Els conductors que no portaven el cinturó se’ls va sancionar amb la pèrdua de 2 punts, i els que no respectaven la distància de seguretat, amb 3 punts. En vista d’aquestesdades, la DGT planteja fer controls persuasius.Quants vehicles aproximadament s’hand’inspeccionar en cada control per nosobrepassar els 10 conductors sancionats amb la penalització màxima, és a dir, la pèrdua de 5 punts?

En cada control, els agents han inspeccionat 500 vehicles:• Una mitjana de 60 conductors no portava

el cinturó.• D’aquests 60 conductors, 40 no respectaven

la distància de seguretat.• I 410 circulaven correctament.

Partides jugades Guanyades per mi

Partides jugades Guanyades per l’Anna

Partides jugades Guanyades per en Bernat

Anna 36 22Bernat 44 35

Camil·la 31 12

Bernat 27 16

Camil·la 29 13

Camil·la 32 9

Jo contra...

L’Anna contra...

Bernat contra…

831084 _ 0267-0284.qxd 13/4/07 19:37 Página 284

285

Matemàtiques amb l’ordinadorLes pràctiques següents són un intent d’incorporar una sèrie de recursosinformàtics a l’ensenyament de l’Àrea de Matemàtiques i, en aquest cas, a la resolució d’alguns dels exercicis del llibre.

L’objectiu d’aquestes pràctiques no és que l’alumne s’adoni que l’ordinadorfa els càlculs i les operacions indicades, sinó que entengui l’operació que el programa ha fet. Amb la manipulació d’aquests recursosinformàtics, l’alumne disposa d’una eina que li permet fer o dissenyar els càlculs, per més complexos que siguin, que el programa ha de fer;s’adona que el disseny geomètric li resulta molt senzill, així com la visualització de gràfics i gràfiques, els canvis i les transformacions que s’hi fan, tant de caràcter algebraic com geomètric, etc.; d’aquestamanera, l’aprenentatge de les matemàtiques és molt més significatiu.

Els programes seleccionats per a les pràctiques són els següents:

• Derive: és un assistent matemàtic que, a més de fer tot tipusd’operacions i càlculs aritmètics de manera automàtica, a una velocitatconsiderable i amb diferents precisions, també és capaç de treballaramb expressions literals.

• Cabri: és un programa de geometria que permet fer construccionsgeomètriques planes i desenvolupar la capacitat de recerca a partird’aquestes construccions.

• Excel: és una aplicació de tractament de dades, bàsicamentestadístiques.

831084 _ 0285-0300.qxd 16/4/07 11:14 Página 285

286

Nombres racionalsPRÀCTICA DERIVE

Pràctica 1 (exercici 56 b) pàg. 32)

1. Executa el programa Derive .

2. Introdueix l’expressió mitjançant l’ordre

→

o prem la icona . L’expressió s’introdueix a la finestra d’entrada d’ex-pressions tal com apareix al marge. Observa que els botons de l’esque-rra de la finestra d’entrada d’expressions ens donen diferents possibili-tats de càlcul.

3. Prem el botó (introduir i simplificar) i obtindràs dues expressions ala finestra de treball:

La segona expressió és el resultat de l’operació.

Si prems el botó , també obtens una aproximació d’aquesta opera-ció: #3: 6.833333333. Mostra deu xifres decimals perquè és la maneraestàndard de treballar de Derive, encara que ho podem canviar perquèsurtin més de deu xifres decimals.

7

22

8

6+ +

1

Fes l’exercici 65 de la pàgina 32.

• Amb → , desa l’arxiu amb els treballs en el teu directori i anomena’lunitat_01_1.dfw.

3

EXERCICIS

De manera anàloga a com ho has feta la Pràctica 1, resol la resta d’apartats

de l’exercici 56 en aquesta mateixa finestra.

Fes els exercicis 59, 62 i 64 d’aquesta mateixapàgina.

2

1

Finestra d’entradad’expressions

Icones de la finestra d’entradad’expressions

Introduir l’expressió (tecla INTRO)

Simplificar

Introduir i simplificar

Aproximar

Introduir i aproximar

831084 _ 0285-0300.qxd 10/5/07 11:12 Página 286

287

Nombres realsPRÀCTICA DERIVE

Pràctica 1 (exercici 63 a) pàg. 52)

1. Introdueix a la finestra d’entrada l’expressió

; per fer-ho, prem la icona .

2. Per fer la simplificació, clica la icona

→ .

A la finestra de diàleg que apareix i que pots veure al marge, clica elbotó .

3. Observa la manera de representar l’operació a l’expressió #1: 1: 54 ⋅ 253

i el resultat l’expressió #2: 510.

Si haguessis clicat sobre la icona el resultat estaria expressat de ma-nera numèrica no factoritzada, o sigui: 9765625.

Pràctica 2 (exercici 66 c) pàg. 52)

1. En primer lloc, haurem de canviar el tipus de notació. Clica l’ordre→ . Canvia el paràmetre de la finestra de

diàleg i escull Notació científica, tal com es veu al marge.

2. Introdueix l’expressió i clica la icona .Obtindràs la següent expressió com a resultat #3: 10−20, que és el re-sultat en notació científica.

Observa que a l’expressió #1 hi apareix la notació en la qual es treballa;a l’expressió #2, l’operació indicada i a l’expressió #3, el resultat.

2

De manera anàloga a la Pràctica 2, resol la resta d’apartats de l’exercici 66.

• Desa l’arxiu amb tots els resultats en el teu directori utilitzant →amb el nom unitat_02_1.dfw.

6

EXERCICIS

De manera semblant a la Pràctica 1, resol la resta d’apartats de l’exercici 63 de la pàgina 52.

Resol els exercicis 64 i 65 de la mateixapàgina 52.

5

4

Finestra de diàleg

Sortida d’expressió

Notació científica

831084 _ 0285-0300.qxd 10/5/07 11:12 Página 287

288

PolinomisPRÀCTICA DERIVE

Pràctica 1 (exercici 55 a) pàg. 72 )

1. Introdueix els dos polinomis de l’exercici mitjançant i .

2. Edita l’expressió amb la icona .

3. Observa que a l’expressió #3 hi ha el producte escrit.

Fixa’t que dóna el producte de manera simbólica, és a dir, de maneraindicada. Per obtenir el producte serà necessari que triïs l’ordre expandirde la barra de menús: → i seleccionis

amb el ratolí el botó de la finestra, com veus al marge.

4. Finalment, obtindràs el resultat a l’expressió #4:

Pràctica 2 (exercici 58 c) pàg. 72 )

1. Amb → obre una nova finestra .

2. Introdueix els dos polinomis de l’exercici amb i .

3. Edita les expressions quotient (#1, #2) i remainder (#1, #2) i, amb laicona , obtindràs el quocient i el residu de la divisió d’aquests dospolinomis.

3

De manera anàloga a com s’ha fet a la pràctica 2, resol tots els apartats de l’exercici 58. Escriu els resultats a la llibreta.

• Desa l’arxiu amb tots els resultats en el teudirectori amb el nom unitat_03_2.dfw.

9

EXERCICIS

De manera anàloga a com ho has fet a la Pràctica 1, i en la mateixa finestra detreball, resol la resta d’apartats de l’exercici 55.

Resol els exercicis 56 i 57 de la mateixa pàginade manera anàloga.


8

7

Finestra de diàleg de l’ordreExpandir

831084 _ 0285-0300.qxd 18/5/07 10:57 Página 288

289

Equacions de primer i segon grauPRÀCTICA DERIVE


1. Introdueix la igualtat algebraica mitjançant i .

2. Selecciona l’expressió i prem → , o la icona ; alquadre de diàleg que apareix, tria l’opció de resoldre pel mètode alge-braic i prem .

3. Observa què apareix a la finestra:

La paraula true com a solució de l’expressió vol dir que aquesta expres-sió és una identitat i, per tant, es compleix per a qualsevol valor de x.

Pràctica 2 (exercici 52 b) pàg. 89)

1. Introdueix l’expressió amb i .

2. Selecciona l’expressió i prem → .

3. Obtindràs la solució de l’equació , com pots veure al marge.#32

5: x =

4

Resol les equacions de primer grau de l’exercici 59 de la pàgina 89.

Resol les equacions de segon grau dels exercicis 67 i 68 de la pàgina 90.


14

13

EXERCICIS

Resol la resta d’apartats de l’exercici 39 de la mateixa manera que a la Pràctica 1.

Resol la resta d’apartats de l’exercici 52 de la mateixa manera que a la Pràctica 2.

Resol les equacions dels exercicis 48 i 49 de la pàgina 88.

12

11

10

831084 _ 0285-0300.qxd 16/4/07 11:14 Página 289

290

Sistemes d’equacionsPRÀCTICA DERIVE


Derive permet resoldre els sistemes analíticament, de manera molt senzilla.

1. A la barra de menús, prem → .

2. Al quadre de diàleg que apareix (vegeu la figura del marge) introdueix-hi el nombre d’equacions, 2 en aquest cas, i prem .

3. Introdueix una equació a cada finestra:

4. Prem .

5. Observa el resultat a la finestra algebraica:

Tingues present que si el sistema és incompatible, el programa retornacom a solució un doble claudàtor buit: [ ].

5

Fes el mateix amb els problemes del 75 al 81 de la mateixa pàgina, i troba’n la solució amb Derive.


18

EXERCICIS

Resol, de manera anàloga a la Pràctica 1, la resta d’apartats de l’exercici 60.

Resol els exercicis 58 i 59 de la mateixa manera.

Anomena x el preu del sabó i y el preu de la colònia, i planteja el sistema corresponent al problema 74 de la pàgina 110; troba’n la solució de la mateixa manera.

17

16

15

831084 _ 0285-0300.qxd 10/5/07 11:12 Página 290

291

Proporcionalitat numèricaPRÀCTICA DERIVE


1. Resol la primera pregunta de l’exercici. Introdueix l’expressió I(c0, r, t):= c0*r*t/100 mitjançant la icona . Aquesta expressió s’introdueix a la finestra d’entrada d’expressions, tal com apareix al marge. Fixa’tque cal posar-hi dos punts i el signe igual.

A la finestra d’àlgebra hi apareix la fórmula de l’interès simple, amb eltemps en anys.

2. Introdueix l’expressió I(3000, 4.3, 5) i prem . Obtindràs l’interèsque, com pots veure al marge, és de 645 €.

Per resoldre les altres qüestions que es demanen al problema, hauríemd’introduir prèviament la fórmula de l’interès quan el temps es dóna enmesos: I1(c0, r, t) := c0*r*t/1200 i la fórmula de l’interès quan el tempses dóna en dies: I2(c0, r, t) := c0*r*t/36000.

Pràctica 2 (exercici 87 pàg.130)

La fórmula Cf(c0, r, t) := C0(1 + c0*r*t/100) permet obtenir el capital final en funció del capital inicial, el rèdit i el temps en anys. Aquesta fór-mula també permet aïllar les altres variables, si coneixem el capital final.

1. Introdueix l’expressió cf(c0, r, t) := c0*(1 + rt/100).

2. Mitjançant la icona , introdueix la següent expressió: Cf(c0, 7.5, 1):= 3760. Fixa’t que ara no hi són els dos punts, a la fórmula.

Prem i apareixerà la finestra d’àlgebra que veus al marge.

3. Prem la tecla i obtindràs l’expressió #6.

4. Per aïllar c0 (capital inicial), prem el botó de la barra d’ordres. A

la finestra de diàleg que sortirà , escull la varia-

ble c0 (ja surt seleccionada) i prem . Pots veure el resultat al’expressió 9.

6

Fes l’exercici 88. Aplica, en cada apartat, la fórmula pertinent.

• Desa l’arxiu amb tots els resultats en el teudirectori utilitzant →amb el nom unitat_06_1.dfw.

20

EXERCICIS

Calcula els interessos que es demanen a la segona i la tercera pregunta del problema 86, de la pàgina 130.

19

831084 _ 0285-0300.qxd 10/5/07 11:12 Página 291

292

ProgressionsPRÀCTICA DERIVE

Derive permet sumar els termes d’una progressió aritmètica o geomètrica.

Pràctica 1 (exercici 61 pàg. 148)

1. Introdueix l’expressió del terme general de l’exercici: .

2. Per a calcular el terme vint-i-cinquè (25è), introdueix l’expressió an(25)i clica la icona .

3. Observa la finestra del marge: has obtingut el terme 25è en funció delvalor n = 25. El resultat és 101.

4. A la mateixa finestra, introdueix-hi el terme an(n).

5. Amb aquesta expressió seleccionada, i a la barra de menús, clica → .

6. Al quadre de diàleg que apareix, escriu n a la finestra de la variable i ala finestra de suma definida escriu-hi els límits 1 i 25.

7. Clica o i observa el resultat a la finestra d’àlgebra.La suma dels 25 primers termes de la progressió aritmètica és 1.325.

Pràctica 2 (exercici 85 c) pàg. 149)

De manera anàloga, calcula la suma dels infinits termes d’una progressiógeomètrica (sempre que la raó sigui compresa entre −1 i +1).

1. Obre una nova finestra i introdueix l’expressió del terme general.

2. Introdueix l’ expressió #2: an(n).

3. Prem → i selecciona els límits 1 i � (cerca el símbola la barra de símbols) al quadre de diàleg. Observa el resultat #4: −3.

En el cas que no es pugui fer la suma, apareixerà � com a solució.

7

Resol l’exercici 88 de la pàgina 149 de maneraanàloga a la Pràctica 2.

Desa els arxius en el teu directori amb el nomunitat_07_1.dfw i unitat07_2.df.

22

EXERCICIS

Resol els exercicis del 62 al 68 de maneraanàloga a com ho has fet a la Pràctica 1. En alguns d’aquests exercicis has de trobar i escriure en primer lloc l’expressió del termegeneral.

21

Càlcul d’un terme i de la sumadels termes d’una progressió.

Suma dels infinits termes d’una progressió geomètrica

831084 _ 0285-0300.qxd 10/5/07 11:12 Página 292

• Amb → guarda les diferentsfigures amb els noms Unitat08_nn, en què nnés el número de la figura en el directori que tinguis assignat.

EXERCICIS

De manera anàloga a la Pràctica 1, construeixles figures que es proposen als exercicis 95 i 96de la pàgina 168.

Resol l’exercici 104 de la pàgina 169. Perconstruir la tangent, traça un radi qualsevol i després la perpendicular a aquest radi pel puntd’intersecció de la circumferència amb el radi.

24

23

293

Figures planesPRÀCTICA CABRI


1. Activa l’eina del grup Elements rectilinis i cons-trueix un quadrat.

2. Amb l’eina del grup Càlculs geomètrics cal-cula el perímetre del quadrat.

3. Amb l’eina Punter mou un vèrtex del quadrat fins que el seu períme-tre sigui de 40 cm (la qual cosa voldrà dir que el seu costat és de 10 cm).

4. Amb l’eina construeix la mediatriu de qualsevoldels costats del quadrat. A continuació, amb l’eina del grup Elements curvilinis, construeix la circumferència el centrede la qual és el centre del quadrat i el radi el punt d’intersecció de lesdues figures:

6. Amb l’eina del grup Càlculs calcula i escriu a la fi-nestra les àrees del quadrat i del cercle.

7. Activa l’eina per fer servir la calculadora i segueixels passos per calcular la diferència entre les dues àrees:

a) Amb el ratolí clica l’àrea del quadrat; observa que a la finestra de lacalculadora hi apareix la lletra a.

b) Clica el botó de la calculadora.

c) Clica amb el ratolí el nombre que marca l’àrea del cercle: apareix lalletra b a la finestra.

8. Clica el botó i obtindràs l’àrea compresa entre el quadrat i el cer-cle: 21,47 cm2.

8

831084 _ 0285-0300.qxd 10/5/07 11:12 Página 293

294

Cossos geomètricsPRÀCTICA DERIVE

Pràctica 1 (exercicis 74 pàg. 187, 79 b) i 80 pàg. 188)

Derive permet trobar el volum d’un cos a partir dels seus paràmetres.

1. Introdueix les fórmules dels volums treballats a la unitat amb o amb la icona per definir-les.

Després podràs donar valors i fer càlculs, de manera directa i indirecta.

a) Cilindre: #1: V1(r, h) := π*r^2*h; amb s’escriurà a la finestra.

b) Con: #2: V2(r, h) := π*r^2*h/3.

c) Esfera: #1: V3(r) := 4*π*r^3/3.

2. Exercici 74. Per calcular el volum del cilindre, introdueix l’expressió#4: V(6, 36): 6 cm és la longitud del radi (diàmetre 12) i l’altura és de36 cm (el triple del diàmetre).

Clica perquè la fórmula i el valor del volum s’escriguin a la finestra.

3. Escriu la fórmula #6: V2(5, 8) per resoldre l’exercici 79b) i #8: V3(20)per resoldre l’exercici 80.


Pots calcular algun dels paràmetres d’un cos geomètric a partir del seuvolum.

1. Coneixent el volum d’una esfera, podem saber quin és el radi. Intro-dueix la següent expressió: #11: V3(r) = 125.

2. Clica la icona i sortirà una finestra de diàleg; quan premisobtindràs el valor del radi de l’esfera: #12: r = 3.101.

3. Calcula l’àrea de l’esfera per a aquest valor del radi.

4. De manera anàloga, calcula l’aresta del cub que té el mateix volum icompara’n les àrees.

9

De manera anàloga a la Pràctica 2, resol el problema 89 de la pàgina 188 i el problema 91de la pàgina 189.


26

EXERCICIS

De manera anàloga a la Pràctica 1, obre unanova finestra, defineix les fórmules de les àreesde cossos geomètrics i resol els apartats del’exercici 65 de la pàgina 186.

25

Definició de les fórmules

831084 _ 0285-0300.qxd 16/4/07 11:14 Página 294

295

Moviments i semblances (1)PRÀCTICA CABRI


1. Prem ocultar/mostrar de la barra d’eines, selecciona Nous eixos i, a continuació, Definir quadrícula , del mateix grup. Observa queapareix la quadrícula amb els punts de coordenades enteres.

2. Activa la icona del grup Elements rectilinis i di-buixa el polígon de l’exercici. Omple de vermell el polígon.

3. Del mateix grup d’eines, activa i construeix el vec-tor v� de l’exercici. Anomena’l v.

4. Per obtenir la figura transformada, activa l’eina delgrup Construccions geomètriques i, després d’assenyalar el polígon i el vector, tal com veus al marge, obtindràs la transformada.


1. Obre una nova figura i dibuixa-hi els eixos i la quadrícula i construeixel polígon i el punt O de la figura.

2. Amb l’eina del grup Presentació d’objectes es-criu 90°.

3. Activa l’eina del grup Construccions i, mitjançantels tres passos que es veuen al marge, obtindràs la figura transformadaper aquest gir.

10

Tenint en compte què és una simetria i aplicantles eines Simetria i Simetria axial del grupConstruccions, fes l’exercici 54 a) i b) de la pàgina 207. La tecla d’ajuda del Cabri t’indica com fer-ho.

• Amb → guarda les diferentsfigures amb els noms Unitat10_nn, en què nn és el número de la figura en el directori que tinguis assignat.

F1

30

EXERCICIS

De manera anàloga al que has fet a les duespràctiques, obre unes noves figures i construeixles figures transformades de la resta d’apartatsdels exercicis 40 i 48.

Fes l’exercici 45 de la pàgina 205.

Fes l’exercici 49 de la pàgina 206.29

28

27

Pas 1

Pas 2

Pas 3

831084 _ 0285-0300.qxd 10/5/07 11:12 Página 295

296

Moviments i semblances (2)PRÀCTICA CABRI


1. Dibuixa un segment horitzontal AB que faci 12 cm.

2. Construeix dues rectes perpendiculars al segment anterior, pels ex-trems A i B.

3. Sobre aquestes dues rectes, construeix dos segments AC i BD que facin3 i 6 cm exactament, tal com veus a la figura del marge.

4. Mitjançant l’eina , calcula el punt simètric del punt Crespecte del punt A (clica primer en el punt C i després en el punt A.Etiqueta aquest punt amb la lletra E.

5. Uneix mitjançant un segment el punt E amb el punt D. El punt d’inter-secció d’aquest segment amb el segment AB ens dóna la solució delproblema: el punt F.

6. Amb l’eina , calcula la distància del punt A alpunt F: 4 cm. Per tant, ja podem fer la construcció de la carretera unintels punts C amb F i D amb F.


1. Dibuixa un segment horitzontal AB.

2. Als extrems del segment, construeix-hi dues rectes perpendiculars.

3. Dibuixa un punt a la recta r, de manera que el segment BC faci 1 cm.

4. Construeix un segment CD que faci exactament 1,1 cm. D és un puntde la recta que passa per A i per B.

5. Amb l’eina traça una recta paral·lela al seg-ment CD per un punt E qualsevol de la recta s. Etiqueta amb F el puntde tall d’aquesta recta amb el segment AB.

6. Mou el punt E fins que la mida del segment EF sigui exactament de23,25 cm. Després, hauràs de multiplicar per obtenir la mida real, enmetres.

7. Amb l’eina pren la mida del segment AE que, multiplicada per 100,ens donarà l’alçària de la muntanya en metres: 2.145 m.

10

Amb → guarda les diferentsfigures amb els noms Unitat10_nn, en què nn és el número de la figura en el directori que tinguis assignat.

32

EXERCICIS

De manera anàloga al que has fet a les duespràctiques, obre unes noves figures, construeixles figures dels exercicis 67 i 68 de la pàgina 208i calcula les mides dels segments que esdemanen.

31

Pràctica 1

Pràctica 2

831084 _ 0285-0300.qxd 10/5/07 11:12 Página 296

297

FuncionsPRÀCTICA EXCEL

Derive és un programa més preparat per fer representacions gràfiquesquan tenim l’expressió analítica de la funció, però en el cas de treballaramb taules, és molt més còmode i intuïtiu fer-ho amb Excel.


1. Executa el programa i situa’t al full 1 .

2. Introdueix les dades de l’exercici:

3. Selecciona amb al ratolí les cel·les A1:K2 i clica el botó assistent per agràfics , per obtenir el gràfic a partir dels quatre passos que presentala finestra de diàleg:

Pas 1: Tipus de gràfic. Selecciona Gràfic , el subtipus

i prem el botó .

Pas 2: Dades d’origen. Una altra finestra ens mostra el rang, és a dir,el conjunt de dades que serveixen per fer el gràfic: $A$1:$K$2.

Prem el botó .

Pas 3: Opcions de gràfic. Ja pots veure com quedarà el gràfic. Enaquest pas, pots fer canvis en les diferents pestanyes:

a) Pots canviar el títol del gràfic. Posa nom a l’eix d’abscisses: Hora;posa nom a l’eix d’ordenades: Longitud.

b) Canvia, si vols, l’escala dels eixos, els colors del gràfic i dels eixos, eltipus de línies, etc

Pas 4. Ubicació del gràfic. Pots triar que el gràfic surti al mateix fullen què estàs treballant o que surti en un altre full. No t’oblidis de pré-mer el botó .

4. Imprimeix el gràfic i copia’l a la llibreta.

11

Amb el gràfic de punts fet, si prems el botó dela dreta del ratolí quan tens seleccionat un puntde la sèrie, podràs agregar-hi una línia detendència, que veuràs que passa quasiexactament per tots els punts de la taula.

• Desa el llibre amb → .

EXERCICIS

Resol de manera anàloga a la Pràctica 1l’exercici 79 de la pàgina 228.

Selecciona el subtipus de gràficade punts (no de línies).Comprova que s’obté aquest tipus de gràfic.

33

Pestanya Títols

831084 _ 0285-0300.qxd 10/5/07 11:12 Página 297

298

Funcions de proporcionalitatPRÀCTICA DERIVE


1. Amb la icona introdueix les expressions: #1: f(x) := −4x + 2 i #2: g(x) := 4x + 1 prem . El signe := defineix les funcions.

2. Per representar les dues funcions, prem el botó , per passar de la fi-nestra d’àlgebra a la finestra gràfica, que conté els eixos de coordenadesdibuixats.

3. Torna a prémer el mateix botó de la barra de menús d’aquesta finestrai veuràs dibuixada la funció definida en l’expressió #1. Repeteix

l’operació seleccionant l’expressió #2, per tenir la representació gràficade les dues funcions. Pots veure-ho al marge.

4. Observa que la barra d’estat, a la part baixa, a l’esquerra, t’indica queel cursor (la creu) és a la posició (1,1). Si mous el cursor amb el ratolí iel poses en el punt de tall, tindràs una aproximació gràfica de les coor-denades del punt: (0.125, 1.5).

Posició inicial: → Aproximació: .

5. Retorna a la finestra d’àlgebra amb el botó . Per obtenir de maneraalgebraica la solució del sistema, selecciona → i a la fi-nestra que apareix, escriu-hi 2 (nombre d’equacions); a la següent fi-nestra escriu-hi les dues expressions de l’exercici. Al quadre de varia-bles hi han d’aparèixer la x i la y.

6. Prem el botó i observa’n el resultat:

12


EXERCICIS

Resol, de manera anàloga, la resta d’apartats de l’exercici 66. Copia les gràfiques i els resultats a la llibreta.

34

Solució geomètrica

831084 _ 0285-0300.qxd 10/5/07 11:12 Página 298

De manera anàloga a la Pràctica 2, fes les taules i els càlculs corresponents als exercicis 46 de la pàgina 263 i 59 a) de la pàgina 264.

• Desa el llibre mitjançant → .

36

EXERCICIS

En aquest llibre, i en fulls successius i de manera anàloga a la Pràctica 1, fes les gràfiques dels exercicis 42 i 43 de la pàgina 262.

35

299

EstadísticaPRÀCTICA DERIVE


Pots representar dades gràficament a l’ordinador. Vegem l’exemple de lataula del marge, on s’han introduït el nombre d’hores d’estudi de 30 alum-nes. Els passos que has de seguir són els següents:

1. Introdueix les dades, tal com es veu al marge.

2. Selecciona les cel·les A1:B7 i, amb el botó assistent per a gràfics ,selecciona el tipus Columnes i escriu els títols, per obtenirel diagrama de barres.

3. Pots obtenir el polígon de freqüències seleccionant el gràfic tipus XY(dispersió).


Troba la mitjana de les dades de l’exercici. Segueix els passos:

1. Obre un nou full i introdueix-hi les dades de la taula.

2. Crea una columna més, la columna C, per escriure-hi el producte decada dada (xi) per la seva freqüència (fi ). Per fer-ho, escriu la fórmula= A2*B2 a la cel·la C2.

3. Copia aquesta fórmula a la resta de cel·les amb i .

4. Per trobar les sumes de les freqüències, situa’t a la cel·la B6 i prem elbotó , que fa la suma de totes les cel·les que hi ha per sobre de lacel·la B6. Copia la fórmula a la cel·la C6.

5. Situa’t a la cel·la A8 i escriu-hi: Mitjana=. A la cel·la B8 escriu-hi la fórmula i observa el resultat.

13

Diagrama de barres

Polígon de freqüències

831084 _ 0285-0300.qxd 10/5/07 11:12 Página 299

300

ProbabilitatPRÀCTICA DERIVE


Executa Derive i segueix els passos següents:

1. Defineix l’experiment d’escollir un número de l’1 al 30 de la manera

seguent: .

Quan premis hauràs definit el conjunt dels nombres compresos en-tre 1 i 30.

2. Defineix l’esdeveniment A com veus al marge. Quan poses A := {2, 4,…, 14} defineixes els nombres que comencen en el 2 i que van de 2 en2 fins al 14.

3. De manera anàloga, defineix els esdeveniments B i C.

4. Per fer els càlculs que demana el problema, hauràs d’utilitzar els sím-bols i de la barra de símbols. També pots utilitzar algun opera-dor. Fes el següent:

a) Introdueix #5: A ∪ B i prem . (També pots utilitzar A union B). Elresultat sortirà a #6:

b) Introdueix #7: A ∪ C i obtindràs el seu desenvolupament.

c) De manera anàloga, fes la resta de càlculs de l’exercici.

Per calcular la intersecció de dos conjunts, has d’utilitzar el símbol corresponent (també pots utilitzar B intsersection C); per calcular otreballar amb els complentaris, has de posar el signe \ de la barra desímbols: . Per exemple: .

5. Copia els resultats a la llibreta.

14

• Desa el llibre mitjançant →amb amb el nom unitat_14_1.dfw.

EXERCICIS

Obre una nova finestra d’àlgebra i resoll’exercici 69 de la pàgina 282, de manera anàloga a la Pràctica 1. Defineix els esdeveniments A, B... tenint en compte que A serà: A := {5, 10, …, 100}.

37

831084 _ 0285-0300.qxd 10/5/07 11:12 Página 300

1.b 2.b 3.a 4.c 5.b 6.b

1.c 2.b 3.a 4.a 5.a 6.c 7.b

1.a 2.b 3.b 4.b 5.a 6.a

1.a 2.c 3.c 4.a 5.a

1.a 2.b 3.b 4.b

1.b 2.c 3.c 4.a 5.b

1.c 2.c 3.c 4.c 5.c

1.b 2.b 3.c 4.c

1.a 2.b 3.b 4.b

1.a 2.a 3.d 4.b 5.b

1.b 2.a 3.b

1.c 2.d 3.c 4.b

1.b 2.c 3.c

1.d 2.c 3.a 4.aUnitat 14

Unitat 13

Unitat 12

Unitat 11

Unitat 10

Unitat 9

Unitat 8

Unitat 7

Unitat 6

Unitat 5

Unitat 4

Unitat 3

Unitat 2

Unitat 1

Aquestes són les respostes de l’apartat «I ARA... PRACTICA»

de cadascuna de les unitats d’aquest llibre. Comprova si els teus

resultats són correctes!

I ara... practica

831084 _ 0301-0304.qxd 16/4/07 11:09 Página 301

831084 _ 0301-0304.qxd 16/4/07 11:09 Página 302

Direcció d’art: Josep Crespo

Projecte gràfic:Portada: CARRIÓ/SÁNCHEZ/LACASTAInteriors: M. García

Il·lustració: Grafitti s.c. i J. M. Valera

Cap de projecte: Rosa MarínCoordinació d’il·lustració: Carles AguileraCap de desenvolupament de projecte: Xavier TejedaDesenvolupament gràfic: Rosa M. Barriga, Josep Lluís García i Raül de Andrés

Direcció tècnica: Àngel García Encinar

Coordinació técnica: Fèlix Rotella i Marisa ValbuenaConfecció i muntatge: Lluís González, F. Calonge i Xavier Pulido

Correcció: Núria Cuixart i Josep LlongueresDocumentació i selecció fotogràfica: Neus Marinas

Fotografies: A. Toril; D. López; F. de Madariaga; GOYENECHEA; J. Jaime; J. M.ª Escudero; J. V. Resino; M. G. Vicente; M. Montes; ORONOZ; Prats i Camps; S. Enríquez; A. G. E. FOTOSTOCK; AGENCIA ESTUDIO SAN SIMÓN/A. Prieto; COMSTOCK; EFE/M. Hernández de León; EFE/EPA/Justin Lane, Andreu Dalmau, Wolfgang Kumm; EFE/SIPA-PRESS/Peter Stumpf; FOAT; HIGHRES PRESS STOCK; I. Preysler; JOHN FOXX IMAGES; PHOTODISC; STOCKBYTE; Airman Joe Hendricks, U.S. Navy; EL MUSEO CANARIO, LAS PALMAS DE GRAN CANARIA; FUJITSU/SIEMENS; M. Vives; MATTON-BILD; SERIDEC PHOTOIMAGENES CD; ARXIU SANTILLANA

Es prohibeix, llevat d’excepció prevista per la llei, qualsevol forma de repro-ducció, distribució, comunicació pública i transformació d’aquesta obrasense l’autorització dels titulars de la propietat intel·lectual. La infracciódels drets esmentats pot constituir delicte contra la propietat intel·lectual(articles 270 i següents del Codi Penal).

© 2007 by Grup Promotor / Santillana Educación, S. L.Frederic Mompou, 11 (Vila Olímpica) 08005 BarcelonaImprès per

ISBN: 978-84-7918-132-1CP: 831084Dipòsit legal:

831084 _ 0301-0304.qxd 16/4/07 11:09 Página 303

831084 _ 0301-0304.qxd 16/4/07 11:09 Página 304

mates 3 eso casa

Documents