MATEMÁTICA AZTECA Diego Cabrera, Pablo Miranda, Ana Laura Gallego, Silvana Cafasso e Ivana Cabo.

IMPERIO AZTECA

El Imperio Azteca fue una entidad de control territorial, político y económico que existió en la zona central de Mesoamérica antes de la llegada de los españoles en los siglos XV y XVI. Estaba integrado por el dominio de la Triple Alianza conformada por Texcoco, Tlacopan y México­Tenochtitlan. La mayor parte del territorio estaba bajo el dominio de los mexicas.

¿Cómo surge? Los aztecas fueron una tribu de nómadas que tenían la mejor tecnología.En el siglo XIV se asentaron en Tenochtitan en el centro del Valle de México donde formaron la Triple Alianza con los Texcoco(acolhuas) y Tlacopan (tepanecas) que logró desarrollar gran poderío militar.

Los aztecas establecieron su dominio sobre numerosos pueblos expandiendo su control económico adquiriendo riquezas y poder a partir de la imposición de un régimen tributario, tal es así que cuando llegaron los españoles la capital era la más importante urbe para su época. Dichos tributos se ajustaban según con la especialización económica y geográfica de los dominados, la cual era recogida por el recaudador.

La lengua dominante era náhualt y la escritura mezclaba pictogramas y signos. El territorio conquistado tenía diferentes climas, consistiendo en variados ecosistemas. Su gobierno fue una teocracia con un gobernante máximo elegido por un consejo. La organización política era el tlatoani, una especie de monarquía hereditaria. Socialmente se dividían en 20 clanes constituidos por parentesco, divisiones territoriales o religión. Cada clan contaba con tierras, un templo y un jefe. Se dividía en nobles, gente común y esclavos. El comercio de los aztecas se basaba principalmente en el trueque. Esto hizo que su sistema métrico fuera desarrollado además de contar con reguladores para controlar que las transacciones siguieran las leyes del comercio y que los productos fueran consistentes en pesos y medidas y no fueran alterados. El primer reporte colonial de un sistema de medidas lo hace Hernán Cortés en su segunda carta de relación: “todo se vende por cuenta y medida, excepto que hasta ahora no se ha visto vender cosa alguna por peso”

Hernán Cortes, Segunda Carta de Relación Cartas y documentos, Cap.XXIII

Estos registros fueron censurados por los conquistadores de manera que se evidenciara ignorancia en estas naciones.

El Imperio azteca finalizó cuando los españoles en alianza con los tlaxcaltecas y totonacas derrotaron la resistencia mexica en Tenochtitlan.

SISTEMA DE NUMERACIÓN

No usaban decimales. Su sistema de numeración era vigesimal. Los números del 1 al 19 se representan con puntos. El 5 se representa con una mano, el 20 con una bandera, el 400 con una pluma y el 8000 con una bolsa o costal, como se ve en la imágen. Para encontrar un número representado, primero se multiplica el número de figuras de un mismo tipo por el valor correspondiente a la posición que ocupan y en seguida se suman los resultados. Se escribe el símbolo de mayor a menor, según las siguientes consideraciones: ∙ Obedece al principio partitivo. ∙ Obedece al principio aditivo (los símbolos se suman) Por ejemplo el nº 1282:

SISTEMA MÉTRICO MEXICA Es un sistema de unidades basado en diferentes unidades proporcionales entre sí por múltiplos y submúltiplos,para medir distancias, áreas, volúmenes, peso. Las medidas de longitud están basadas en longitudes del cuerpo humano y para construcción de obras también tenían un patrón para guiarse. En la imágen vemos cómo se toman las unidades nahuas de medidas corporales. MEDIDAS DE LONGITUD Para medir distancias los mexicas utilizaban un grupo de unidades que guardaban una relación entre sí, entre las cuales las medidas conocidas son el cemmatl (uno mano), cemyollotli (uno corazón), cemomitl (uno hueso), cemacolli (uno brazo), cemmitl (uno flecha). Estos símbolos eran utilizados junto a la anotación de otros símbolos multiplicadores de la cantidad de veces que valía el objeto a medir, los cuales eran una línea vertical que representaba la unidad, un grupo de 5 líneas unidas la primera con la última con una línea horizontal representando 5 unidades, un círculo sólido o un estandarte (pantli) representando 20 unidades. Los perímetros de terrenos eran registrados en milcocollis (códices de perímetros). A continuación se presenta una Tabla de Medidas de longitud mexicas y sus valores:

Unidad Descripción Equivalente aproximado en el SI

yollotli corazón, 1 vara 83.59 cm

ahcolli hombro 77.5 cm

ciacatl axila 72.0 cm

tlacxitl paso 69.65 cm

molicpitl codo, media vara 41.80 cm

matzotzopaztli antebrazo 38.6 cm

omitl hueso 33.44 cm

xocpalli huella del pie 27.86 cm

macpalli palma de la mano, cuarta, un cuarto de vara

20.90 cm

Matlacicxitla medida de 10 pies 2.786 m

Tlalcuahuitl bastón de madera de medida (3 varas)

2.508 m

maitlneuitzantli 3 varas 2.508 m

niquizantli braza vertical, 2.5 varas 2.090 m

Canmiztitl jeme 18.0 cm

centlacol icxitl medio pie 13.93 cm

mapilli dedo de la mano 1.74 cm

maitl mano, braza horizontal, 2 varas

1.672 m

cenequeztzalli estatura, altura de un campesino

1.60 m

mitl Venablo de Atlátl, 1.5 varas 1.254 m

molicpitl codo, media vara 41.80 cm

niquizantli braza vertical, 2.5 varas 2.090 m

omitl hueso 33.44 cm

tlacxitl paso 69.65 cm

Tlalcuahuitl bastón de madera de medida (3 varas)

2.508 m

xocpalli huella del pie 27.86 cm MEDIDAS DE PESO Un tipo de medición con mucha certidumbre es a la carga del Tameme, donde esta era regulada de manera que fuera moderada y capaz de ser transportada con ligereza. Su peso se aproxima con su equivalente español de volumenmedia fanega o de acuerdo con reportes de Torquemada a 23 kg. Hay acepciones en cargas de mantas y de cacao, donde las mantas se medían en 20 unidades y el cacao en tres xiquipilli (24000 granos).

Las cargas podían tener también múltiplos y submúltiplos, donde "dos cargas" pueden ser iguales a una "gran carga". MEDIDAS DE VOLUMEN La medida de capacidad de líquidos, arenas, material, etc tiene una gran diversidad en muchas comunidades de México, derivada de muchos patrones o recipientes, los cuales provienen de una larga tradición de transacciones económicas. Vemos a continuación una tabla de las mismas:

Nombre en Náhuatl

Nombre en español

Descripción Equivalente aproximado en el SI

Acalli, Cencuauhacall

i

canoa Medida para áridos y líquidos Desconocido, 27 L

Centlamapictli, Centlamatzolli

un puño Medida para los áridos contados en puños

70 mL

Centlalololli/ Testal

desconocido

/Aztequismo

Porción, pelota o pella de una cosa blanda. Medida para hacer una tortilla

50 mL

Cemchiquihuitl un canasto Medida para granos, mazorcas, sal, chiles, etc (media fanega)

28 L

Cempopolli desconocido

Cantidad de líquido que puede absorber una bola de algodón del

tamaño de medio huevo[29]

20 mL

Cemixcolli, Cemacuáhuitl, Cenxumatli

Una cucharada (diferentes tipos de)

Varía en tamaño, forma y material de la cuchara

15 mL

Cuexcomatl Troje o granero

Medida para granos, mazorcas, sal, chiles, etc (2000 ­ 6000

fanegas).Utilizada ampliamente como medida tributaria y simbolizada con unidades de transporte en cajas de

madera, las cuales eran más pequeñas para poder ser

transportadas

110 m3 ­ 330 m3

Centlachipinilli Una gota de algo

El instrumento de esta medida era muy pequeño y elaborado con barro o

bronce, con una acanaladura especial, este instrumento se cree que era un

implemento médico[28]

10 mL

Veamos ahora cómo los Aztecas usaron un sistema de fracciones de unidad, lo que les permitió desarrollar la aritmética (cálculo de áreas de superficie). Usaban una unidad básica (para medir distancias y áreas como se ve en la siguiente imagen la T podemos decir que era tomada como unidad de medida, se sabe que aproximadamente la t media 2,5 metros. Esta era la unidad stándar para medir áreas la mayoría de las veces territoriales. En base a ella como lo vemos en el siguiente cuadro, se fueron introduciendo objetos también representativos de porciones de la T, como una mano, un brazo,flecha, corazón, etc., que nos muestran la el fraccionamiento de la medida T. MEDIDAS DE SUPERFICIE Las medidas de terrenos se documentan en códices Acolhua­Mexica: el códice de Vergara, los códices del Marquesano y Códice de Santa María Asunción, entre otros. Los códices consisten en ilustraciones de los terrenos que se destinaban a la agricultura y en ellos se pretendía registrar áreas, perímetros entre otras propiedades. En el registro que realizaban en dichos códices aparecían varias unidades pero la más usada era el Tlalcuahuitl cuadrado.

¿CÓMO SURGEN LOS CÓDICES? El códice vergara pintado aproximadamente entre 1543 y 1544 consiste en un censo de los habitantes de cinco ciudades, con sus atributos demográficos y relaciones de parentesco. A pedido del español Gonzalo de Salazar quien exigía tributos

desmedidos y mano de obra esclavizada. Luego de la caída del imperio azteca en el 1521 se distribuyeron las tierras entregando grandes propiedades a los soldados que habían derrotado al imperio Montezuma. La comarca pasó primero a manos de ­cortes y luego a Salazar quien buscó sacar provecho a sus nuevas posesiones explotando a los indígenas que tenía bajo su enmienda. Este pleito entre los indǵenas y Salazar atrajo la atención de la audiencia real de méxico, quien pidió al juez Pedro de Vazquez de Vergara se dirigiera a la comunidad para levantar un censo y de esta forma poder medir el número de habitantes como la calidad y cantidad de las tierras para de esta forma fijar una tasa tributaria. Fue así como los propios indígenas utilizando sus técnicas crearon un nuevo código pintando el número de habitantes, sus tierras y las relaciones entre ellos. Una de las investigaciones revela que se cree que los códices Vergara y Santa María Asunción se escribieron muy de prisa, por el litigio que sucedía. Los mismos están hechos en papeles europeos, no en amates ni en pieles como era costumbre. Esto quiere decir que seguramente copiaron sus documentos. En el texto se presentan de manera puntual los censos de población agrupados acorde a su organización tributaria, señalando a cada jefe de grupo. También se registran los terrenos asignados a cada entidad social, así como sus formas y medidas perimetrales. Otro dato importante es que esta especificado el área de cada uno de los terrenos. Cada caso del censo comienza con la cabeza del jefe mirando hacia la derecha. Su mujer tiene la cara hacia él; si ella es jefa de la casa mira hacia la derecha. Los esposos están unidos en una línea pintada en rojo, y de ésta salen otras hacia sus hijos. Cuando la mujer es viuda se representa con una lágrima en la mejilla y aparece sola; si es viudo igual. En caso de haber un bebé se representa con una cunita. Si el bebé ya sabe caminar le ponen las piernas fuera de la manta que cubre la cuna. Si la cuna corresponde a una niña se coloca debajo de la misma un huipil (camisa bordada) si es un varón no colocan nada. En caso de que la persona sea anciana se dibujan arrugas en el rostro. Además de indicar con mucha precisión las medidas de los terrenos, se identifican también con diferentes glifos los tipos de suelos para describir cada terreno.

Para medir longitudes utilizaban la varita, en cambio para medir superficies utilizaban t2 como medida métrica. algo que los españoles desconocían al llegar a américa ya que ellos no tenían una unidad cuadrada.

CÁLCULO DE ÁREAS Los Aztecas fueron los creadores de muchos de los conceptos geométricos que desarrollamos hoy en día, por ejemplo para medir áreas, fueron los creadores del sistema lado por lado cuando la superficie concordaba con un rectángulo. Si era un cuadrilátero, tomaban un par de lados opuestos y los promediaban, para posteriormente multiplicarlo por uno de los otros lados, años después se dieron cuenta que otra opción para calcular áreas de cuadriláteros, era dividir los cuadriláteros en triángulòs y aplicar la fórmula de cálculo de área de un triángulo conocida hoy por nosotros. A continuación se presenta una reseña del trabajo realizado por las investigadoras Williams, B. J., & del Carmen Jorge y Jorge, M. (2001), sobre el cómputo del área superficial de los terrenos en el antiguo México, donde se documenta la evidencia de la proto­geometría que poseían los Acolhuas­Azteca.

CÁLCULO DE ÁREA DE SUPERFICIES EN LA ANTIGUA MEXICO: Pruebas documentales de la proto­geometría de los Acolhuas­Azteca

Dos códices encontrados en el Valle de México (Códices de Santa María Asunción e el Códice Vergara) pintados 1540 dC, muestran dibujos jeroglíficos de las parcelas agrícolas. En ellos se han grabado el censo de las casas familiares y los catastros de 16 villas y aldeas pequeñas en la jurisdicción de Tepetlaoztoc. El desciframiento de estos manuscritos indígenas ha revelado información importante sobre la ciencia Mesoamericana antes de la conquista. Las pruebas documentales del Codex Vergara muestran el cómputo de las superficies y los resultados de una búsqueda de algoritmos geométricos. Por cinco siglos, el arte de los registros catastrales de los Acolhuas­Azteca da fe del desarrollo del pensamiento matemático. Resultados preliminares sugieren que en el tiempo de contacto con la cultura Europea los Acolhua practicaron su proto­geometría. Ellos aparentemente conceptualizaron los reales atributos de las formas geométricas como los rectángulos y los triángulos, y hay fuertes evidencias que ellos calculaban las áreas de las superficies usando diversos algoritmos que requieren los equivalentes funcionales a la adición, sustracción, multiplicación y división. Los datos extraídos son la primera instancia de la documentación de la evidencia empírica del cómputo matemático de las inspecciones y catastros registrados por agrimensores en el periodo de contacto con el México central.

Los agrimensores de Acolhua tenían dos sistemas de medición de la tierra. En la figura 1, en [A], las parcelas de tierra 1­4 del cabeza de familia Alonso Yhuiltemoc son dibujadas para mostrar la forma del terreno y las dimensiones lineales del perímetro. Estos tipos de registros son llamados milcocoli, usando la longitud linear estándar con unidad tlalquahuitl. Grupos de 5 líneas se leen: 5 longitudes estándar, y los puntos equivalen a 20 longitudes estándar. Los mismos terrenos del 1­4 de Alonso son mostrados en [B], pero con un diferente sistema de notación numérica usado en este catastro, llamada tlahuelmatli. Los rectángulos estilizados que representan las parcelas de tierra funcionan como marcos de información. Los valores atribuidos a los símbolos numéricos

dependen de su posición / lugar en dicho marco. Las líneas en la pestaña superior derecha (Lugar 1), como en el terreno 1, son unidades de a 1. En contraste, las líneas en el margen inferior (Lugar 2), como en el terreno 4, o en el centro, equivalen 20 unidades (1 x 20). Los puntos, que sólo se encuentra en el centro del marco (Lugar 3), equivalen a 400 unidades (20 x 20), como en el terreno 1, 2 y 3. Cuando el número es inferior a 400 unidades, como en el terreno 4, aparece un glifo de mazorca de maíz en el margen superior del marco, lo que indica efectivamente "cero" en el Lugar 3.

Con fines analíticos Se clasificó los cuadrángulos en tres grupos: (1) aquellos en los que los lados opuestos son iguales, (2) aquellos en los que sólo un par de lados opuestos es igual, y (3) aquellos en los que no hay lados opuestos iguales.

Áreas de triángulos y trapecios Los escribas dibujaron deliberadamente las parcelas de tierra en forma de triángulos y trapecios. Estos casos especiales proporcionan ejemplos de los cuales extraer una mayor comprensión de la geometría de los Acolhuas. Para los Triángulos: Se usa como hipótesis que los Acolhuas aproximaban al triángulo dado como uno isósceles. ¿Por qué isósceles? Porque si dividimos cualquier triángulo isósceles a través de la altura en dos triángulos iguales, estas piezas encajaran en un rectángulo cuyos lados son la altura y la mitad de la base del triángulo isósceles originales.

Para los terrenos en forma Trapezoidal, los topógrafos Acolhuas aparentemente visualizaron el cómputo del área como en la geometría occidental, donde el área es igual a la suma de las áreas de un rectángulo y dos triángulos residuales.

Áreas de polígonos irregulares Nuestro análisis preliminar de los polígonos de forma irregular sugiere que fueron conceptualizados como combinaciones de rectángulos y triángulos. En algunos casos, se determinó el área del rectángulo más grande, y de ella se restó la zona que se extendía más allá del límite del terreno real.

Aquí, el área puede ser calculada mediante el

cálculo del área de un rectángulo formado por la más larga longitud del terreno multiplicado por la anchura más corta (50 x 36 = 1800). Al deducir de dicho rectángulo, la zona fuera del límite del terreno real (20 x 25 = 500), y la adición de un área triangular adicional de 4 x 40/2, resulta en una superficie total de 1380 tlalquahuitl al cuadrado. Podemos ver que en

el cálculo de las áreas de estos terrenos en forma irregular, requiere la realización de las cuatro operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división. Curiosamente, al enfrentarse a terrenos grandes o irregulares, tanto los Acolhuas­Aztecas y los antiguos Sumerios parecen haber resuelto la medición de área de manera similar.

Conclusión Los topógrafos Acolhuas utilizan dos sistemas para establecer el tamaño de una parcela de campo, las medidas lineales y medidas de superficie. Que los Acolhuas emplearan el concepto de área es significativo en sí mismo. El no reconocer este logro indígena ha dado lugar a una interpretación errónea de la información numérica en los documentos catastrales

Fuentes bibliográficas

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Williams, B. J., & del Carmen Jorge y Jorge, M. (2001). Surface area computation in ancient Mexico: Documentary evidence of Acolhua­Aztec proto­geometry. Symmetry: Culture and Science, 12(1­2), 185­200.

Pdf. para descargar: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.113.5174&rep=rep1&type=pdf

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Pdf. para descargar Códice: https://dl.wdl.org/15278/service/15278.pdf

Historia de la Matemática Azteca. (2016). [video] https://www.youtube.com/watch?v=PZ_U0fvuW2Y

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De la Peña Sobarzo P. (4/2012). El Códice Vergara, matemática aplicada. Boletín

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