matematika 4 - poČetna

prvo izdanjeZagreb, 2014.

Đurđica Salamon Padjen • Boško Šego • Tihana Škrinjarić

MATEMATIKA 4 udžbenik sa zbirkom zadatakaza ekonomiste i komercijaliste

IV. razred

SADRŽAJ1. BROJEVNI SUSTAVI .................................................................................................10

1.1. Brojevni sustavi .....................................................................................................101.2. Prikaz broja u odabranom brojevnom sustavu .......................................................121.3. Pretvaranje broja iz jednog u drugi brojevni sustav ...............................................151.4. Traženje baze ..........................................................................................................16

Zadatci ....................................................................................................................19Rješenja ..................................................................................................................20

2. PRIMJENE NIZOVA I REDOVA ..............................................................................222.1. Općenito o nizovima ...............................................................................................22

2.1.1. Aritmetički niz ..............................................................................................262.1.2. Opći član aritmetičkog niza ..........................................................................282.1.3. Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza ......................................................30Riješeni zadatci za vježbu .......................................................................................32Zadatci ....................................................................................................................36Rješenja ..................................................................................................................392.1.4. Geometrijski niz ...........................................................................................41Zadatci ....................................................................................................................44Rješenja ..................................................................................................................462.1.5. Primjena geometrijskog niza na izračun kamata ..........................................472.1.5.1. Konačna vrijednost jednog iznosa .............................................................472.1.5.2. Konačna vrijednost više jednakih iznosa ...................................................51Zadatci ....................................................................................................................55Rješenja ..................................................................................................................572.1.6. Granična vrijednost niza ..............................................................................582.1.7. Redovi ...........................................................................................................642.1.7.1. Konvergentni geometrijski red i njegova suma .........................................662.1.7.2. Primjena konvergentnog geometrijskog reda ............................................68Zadatci ....................................................................................................................70Rješenja ..................................................................................................................70

3. GRANIČNA VRIJEDNOST FUNKCIJE ..................................................................723.1. Pojam i definicija granične vrijednosti ...................................................................723.1.1. Svojstva graničnih vrijednosti .............................................................................733.1.2. Granična vrijednost kvocijenta polinoma ............................................................75

Riješeni zadatci za vježbu .......................................................................................803.1.3. Asimptote krivulje ...............................................................................................83

Zadatci ....................................................................................................................87Rješenja ..................................................................................................................87

4. POJAM I DEFINICIJA DERIVACIJE REALNE FUNKCIJE ..............................904.1. Definicija derivacije .......................................................................904.2. Problem tangente ....................................................................................................924.3. Pravila deriviranja...................................................................................................93

4.3.1. Derivacija zbroja ...........................................................................................934.3.2. Derivacija razlike ..........................................................................................934.3.3. Derivacija umnoška ......................................................................................944.3.4. Derivacija kvocijenta ....................................................................................954.3.5. Derivacija nekih elementarnih funkcija ........................................................964.3.5.1. Derivacije konstante ..................................................................................964.3.5.2. Derivacija umnoška konstante i derivabilne funkcije ................................964.3.5.3. Derivacija neovisne varijable ....................................................................964.3.5.4. Derivacija potencije ...................................................................................97Zadatci ..................................................................................................................102Rješenja ................................................................................................................1024.3.5.1. Derivacija trigonometrijskih funkcija ......................................................103Zadatci ..................................................................................................................107Rješenja ................................................................................................................1074.3.5.2. Derivacija složene funkcije .....................................................................1084.3.5.3. Derivacija logaritamske funkcije .............................................................109Zadatci .................................................................................................................. 111Rješenja ................................................................................................................ 1114.3.5.4. Deriviranje inverznih funkcija ................................................................. 1124.3.5.5. Derivacija eksponencijalne funkcije ........................................................ 112Zadatci .................................................................................................................. 114Rješenja ................................................................................................................ 1144.3.5.6. Derivacije funkcije zadane u implicitnom obliku .................................... 1154.3.5.7. Derivacije višeg reda ............................................................................... 1154.3.5.8. Diferencijal funkcije ................................................................................ 118Zadatci ..................................................................................................................122Rješenja ................................................................................................................122

4.3.5.9. Jednadžba tangente i normale ..................................................................123Zadatci ..................................................................................................................126Rješenja ................................................................................................................1264.3.5.10. Proučavanje funkcija pomoću derivacija ...............................................1274.3.5.10.1. Intervali monotonosti funkcija ............................................................127Zadatci ..................................................................................................................130Rješenja ................................................................................................................1304.3.5.10.2. Uvjeti za ekstreme derivabilnih funkcija ............................................131Zadatci ..................................................................................................................134Rješenja ................................................................................................................1344.3.5.10.3. Intervali zakrivljenosti funkcija ..........................................................135Zadatci ..................................................................................................................138Rješenja ................................................................................................................1384.3.5.10.4. Točke infleksije realne funkcije ..........................................................139Zadatci ..................................................................................................................141Rješenja ................................................................................................................1414.3.5.11. Grafičko predočavanje realnih funkcija .................................................142Zadatci ..................................................................................................................151Rješenja ................................................................................................................151

5. INTEGRALNI RAČUN ............................................................................................1565.1. Primitivna i podintegralna funkcija ......................................................................1575.2. Osnovna pravila integriranja ................................................................................1585.3. Neodređeni integrali nekih jednostavnijih funkcija..............................................1595.4. Neke metode integriranja......................................................................................160

5.4.1. Direktna integracija ....................................................................................1605.4.2. Metoda supstitucije .....................................................................................1625.4.3. Metoda parcijalne integracije .....................................................................165Zadatci ..................................................................................................................168Rješenja ................................................................................................................169

5.5. Problem računanja mjernog broja površine lika ...................................................1705.5.1. Metoda ekshaustije (iscrpljivanja) ..............................................................1705.5.2. Problem površine ........................................................................................1725.5.3. Određeni integral ........................................................................................1755.5.4. Osnovna svojstva određenog integrala .......................................................1785.5.5. Izračunavanje površine ispod grafa kvadratne funkcije .............................179

Zadatci ..................................................................................................................189Rješenja ................................................................................................................191

6. PODATCI ...................................................................................................................1946.1. Srednje vrijednosti statističkih nizova ..................................................................195

6.1.1. Aritmetička sredina .....................................................................................1956.1.2. Geometrijska i harmonijska sredina ...........................................................1986.1.3. Mod i medijan .............................................................................................199Zadatci ..................................................................................................................202Rješenja ................................................................................................................203

6.2. Utjecaj dodavanja ili uklanjanja podataka na srednje vrijednosti niza ...........................................................................................205

6.2.1. Posljedice dodavanja ili uklanjanja podataka na srednje vrijednosti niza ....................................................................................2056.2.2. Ublažavanje problema utjecaja dodavanja ili uklanjanja podataka na srednje vrijednosti ......................................................209Zadatci .................................................................................................................. 211Rješenja ................................................................................................................ 211

6.3. Uspoređivanje srodnih skupova podataka ............................................................2126.3.1. Grafičko uspoređivanje srodnih skupova podatka ......................................2126.3.2. Uspoređivanje srednjih vrijednosti i mjera raspršenosti srodnih skupova podatka ..................................................................217Zadatci ..................................................................................................................225Rješenja ................................................................................................................226

GRANIČNA VRIJEDNOST FUNKCIJE

Pojam i definicija granične vrijednostiSvojstva graničnih vrijednosti

Granična vrijednost kvocijenta polinomaAsimptote krivulje

3.

72

Gra

ničn

a vr

ijedn

ost f

unkc

ije 3. GRANIČNA VRIJEDNOST FUNKCIJE

3.1. Pojam i definicija granične vrijednosti

Neka je zadana funkcija y(x) = x + 1. Razmotrimo što se događa s vrijednostima te funkcije kada se s vrijednostima neovisne varijable x približavamo broju x = 1 polazeći od broja 0.5 (tablica 1).

x 0,5 0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999 0,9999y(x) 1,5 1,7 1,8 1,9 1,95 1,99 1,999 1,9999

Tablica 1.

Dakle, kada se približavamo po osi apscisa broju x = 1 s lijeve strane (to jest pre-ko brojeva koji su manji od 1, što pišemo: x 1 – 0 ili x 1 –), onda funkcijske vrijednosti teže broju y = 2 preko brojeva koji su manji od 2. Drugim riječima, kon-vergentnom nizu vrijednosti neovisne varijable na osi apscisa odgovara jedan kon-vergentan niz vrijednosti ovisne varijable na osi ordinata. Analogno vrijedi i ako se približavamo po osi apscisa broju x = 1 s desne strane (to jest preko brojeva koji su veći od 1, što pišemo: x 1 + 0 ili x 1 +), kao što je to vidljivo iz tablice 2.

x 1,5 1,3 1,2 1,1 1,05 1,01 1,001 1,0001y(x) 2,5 2,3 2,2 2,1 2,05 2,01 2,001 2,0001

Tablica 2.

Prema tome, bez obzira da li se broju 1 približavamo s lijeva ili s desna po osi apsci-sa, odgovarajući niz funkcijskih vrijednosti približava se po osi ordinata broju 4. To znači da, ukoliko smo na osi apscisa dovoljno blizu broju 1, vrijednosti funkcije su na osi ordinata po volji blizu broju 2.

Uočimo da se neovisna varijabla x mijenja u intervalu oko 1 na način da se pritom vrijednost funkcije (ovisne varijable) sve više približava broju 2 što je x bliži 1. Da-kle, imamo 2 niza realnih brojeva: niz vrijednosti neovisne varijable x1, x2, … (riječ je o nizu brojeva na osi apscisa) koji teži broju x0 = 1 i generiranom nizu vrijednosti ovisne varijable y(x1) y1, y(x2) y2, … (riječ je o nizu brojeva na osi ordinata) koji teži broju y0 = 2. Kada x teži broju x0 = 1 bilo s lijeva bilo s desna, vrijednost funkci-je se približava broju y(x0) y0 = 2. Pišemo: ako je x – x0 0, onda y(x) – y(x0) 0 ili, u razmatranom primjeru ako je x – 1 0, onda y(x) – 2 0. Kažemo da je 2 granična vrijednost funkcije y(x) = x + 1 kada x 1, što možemo zapisati i ovako:

lim lim lim .x x x x

y x y x x→ → →( )= ( )= +( )= + =

0 1 11 1 1 2

73

Granična vrijednost funkcije

Općenito, ako postoji broj y0 takav da je to granična vrijednost niza funkcijskih vrijednosti kada x x0, onda pišemo

lim .x x

y x y→( )=

00

Ako varijabla x mijenjajući se u intervalu a, b može poprimiti bilo koju vrijednost u tom intervalu približavajući se svojoj granici x0, kažemo da je varijabla x nepre-kidna varijabla i da se približava granici x0 na neprekidan način. Ako pri procesu x x0 i niz funkcijskih vrijednosti teži broju y0, kažemo da je y0 limes ili granična vrijednost funkcije y.

Definicija 1.

Limes ili granična vrijednost funkcije y u točki x0 je svaki broj y0 kojem teži y(x) kada x teži prema x0. Pišemo:

limx x

y x y→( )=

00

i čitamo: y(x) teži broju y0 kada x teži prema x0 ili y(x) ima limes y0 kada x teži prema x0.

Definicija 2.

Ako je lim ,x x

y x y x→( )= ( )

00 onda je funkcija y neprekidna u točki x0.

Funkcija y ne mora biti definirana u točki x0 u kojoj tražimo njenu graničnu vrijed-nost. Dovoljno je da je ona definirana u točkama koje su po volji blizu točki x0, to jest za sve točke iz neke njene okoline osim možda u točki x0.

3.1.1. Svojstva graničnih vrijednosti

Prigodom računanja graničnih vrijednosti koristit ćemo svojstva graničnih vrijed-nosti, koja samo navodimo.

Neka je I interval, x0 neka točka tog intervala, f, g realne funkcije definirane na intervalu I osim eventualno u točki x0 i neka postoje

lim ( )x x

f x→ 0

i lim ( )x x

g x→ 0

.

Tada i funkcije f + g, f – g, kf (k ), fg i fg

imaju graničnu vrijednost u točki x0, te vrijedi:

(1) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x

f x g x f x g x→ → →

+[ ]= +0 0 0

,

74

Gra

ničn

a vr

ijedn

ost f

unkc

ije (2) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x


−[ ]= −0 0 0

,

(3) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x


⋅[ ]= ⋅0 0 0

,

specijalno, lim ( ) lim ( )x x x x

k f x k f x→ →

⋅[ ]= ⋅0 0

, gdje je k realna konstanta,

(4) lim ( )( )

lim ( )

lim ( )x x

x x

x x

f xg x

f x

g x→

→

→

=0

0

0

uz pretpostavku da je lim ( )x x

g x→

≠0

0 .

Napomenimo da navedena svojstva vrijede i kada x – ili x + .

Primjer 1.

Koristeći se svojstvima granične vrijednosti, pokažimo da je

limx

x x→

− +( )=2

23 2 1 9 .

Rješenje

lim lim lim lim

lim

x x x x

x

x x x x

x

→ → → →

→

− +( )= ( )− ( )+ =

=

2

2

2

2

2 2

2

2

3 2 1 3 2 1

3 −− + = ⋅ − ⋅ + =→

2 1 3 4 2 2 1 92

lim .x

x

Primjer 2.

Koristeći se svojstvima granične vrijednosti, pokažimo da je

lim ( )( ) .x

x xx→

− +−

=−0

2 3 4 75 3

215

Rješenje

lim ( )( ) lim ( )( )

lim

l

x

x

x

x xx

x x

x→

→

→

− +−

=− +[ ]

−( )=

=

0

0

0

2 3 4 75 3

2 3 4 7

5 3

iim ( ) lim ( )

lim( ) .x x

x

x x

x→ →

→

− ⋅ +

−( )==

− ⋅=−0 0

0

2 3 4 7

5 33 75

215

75


3.1.2. Granična vrijednost kvocijenta polinoma

Razmotrit ćemo sada čemu je jednaka granična vrijednost kvocijenta polinoma m-tog i n-tog stupnja kada neovisna varijabla x teži u beskonačno. Analizirat ćemo samo slučaj kada x . Analogno se analizira slučaj kada x – . Dakle, neka je

pm(x) = amxm + am–1xm–1 + … + a1x + a0 , am 0,

polinom m-tog stupnja, a

pn(x) = bnxn + bn–1x

n–1 + … + b1x + b0 , bn 0,

polinom n-tog stupnja. Trebamo izračunati

lim ( )( )

lim ...x

m

nx

mm

mm

nn

nn

p xp x

a x a x a x ab x b x→∞ →∞

−−

−

=+ + + ++

11

1 0

1−− + + +1

1 0....

b x bMoguća su tri slučaja: (1) m > n, (2) m = n i (3) m < n . U prvom slučaju (m > n) brojnik i nazivnik dijelimo s vodećom potencijom nazivnika (dakle, sa xn), pa do-bivamo

lim ( )( )

lim ...x

m

nx

mm

mm

nn

nn

p xp x


−−

−

=+ + + ++

11

1 0

1−−

→∞

−−

− −−

+ + +=

=+ + + +

+

11 0

11 1

10

...

lim...

b x b

a x a x ax

ax

bx

mm n

mm n

n n

nbb

xb

xx b

x

a ba b

nn n

m n

m n

−−+ + +

=

=+ >−∞ <

1 11

0

00

...

∞ ako je ako je

.

Naime, brojnik teži u beskonačno (+ ako su vodeći koeficijenti polinoma pn i pm istog predznaka, odnosno u – ako su vodeći koeficijenti polinoma pn i pm različi-tog predznaka), a nazivnik realnom broju bn, pa i razlomak teži u beskonačno.

Primjer 3.

Izračunajmo lim .x

x xx→∞

− +−

3 2 132 1

Rješenje

Budući da je stupanj brojnika (striktno) veći od stupnja nazivnika, dijelimo i brojnik i nazivnik vodećom potencijom nazivnika, što naznačavamo s /:x. Dakle, dobivamo

76

Gra

ničn

a vr

ijedn

ost f

unkc

ije

lim lim / :

/ :lim

x x x

x xx

x xx

xx

xx

→∞ →∞ →∞

− +−

=− +−

=− +3 3

2

2 132 1

2 132 1

2 13

22 1−

=∞

x

,

odnosno navedeni kvocijent polinoma divergira kada x teži u beskonačno.

I u drugom slučaju (m = n) brojnik i nazivnik dijelimo s vodećom potencijom na-zivnika, odnosno brojnika (dakle, s xn). No, sada dobivamo

lim ( )( )

lim ...x

n

nx

nn

nn

nn

nn

p xp x


−−

−

=+ + + ++

11

1 0

1−−

→∞

−−

−

+ + +=

=+ + + +

+ +

11 0

1 11

0

1

...

lim...

...

b x b

a ax

ax

ax

b bx

x

nn

n n

nn ++ +

=

−

bx

x bx

ab

n n

n

n11

0.

Primjer 4.

Izračunajmo lim .x

x xx x→∞

− ++ −

3

3 2

2 132 2 1

Rješenje

Budući da je stupanj brojnika jednak stupnju nazivnika, dijelimo i brojnik i naziv-nik vodećom potencijom nazivnika (ili brojnika, što je u ovom slučaju identično). Dakle, dobivamo

lim lim / :

/ :li

x x

x xx x

x xx x

xx→∞ →∞

− ++ −

=− ++ −

=3

3 2

3

3 2

3

3

2 132 2 1

2 132 2 1

mm .x

x x

x x→∞

− +

+ −=

1 2 13

2 2 112

2 3

3

Ako je m < n, brojnik i nazivnik dijelimo s vodećom potencijom brojnika:

lim ( )( )

lim ...x

m

nx

mm

mm

nn

nn

p xp x


−−

−

=+ + + ++

11

1 0

1−−

→∞

−−

−−

+ + +=

=+ + + +

+

11 0

1 11

0

1

...

lim...

b x b

a ax

ax

ax

b x b xx

mm

m m

nn m

nnn m

m mb

xx b

x− −

−+ + +=

1 11

00

...,

77


jer brojnik teži realnom broju am, a nazivnik u beskonačno. Ako brojnik i nazivnik dijelimo s vodećom potencijom nazivnika, onda će brojnik težiti nuli, a nazivnik broju bn, pa je naravno ponovo granična vrijednost kvocijenta jednaka 0.

Primjer 5.

Izračunajmo lim .x

x xx x x→∞

− + +− +

3 4 132 2 7

3

4 3

Rješenje

Budući da je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika, dijelimo i brojnik i naziv-nik vodećom potencijom brojnika, pa dobivamo

lim lim / :

/x x

x xx x x

x xx x x

x→∞ →∞

− + +− +

=− + +− +

3 4 132 2 7

3 4 132 2 7

3

4 2

3

4 2

3

::lim .

xx x

xx x

x3

2 3

3

3 4 13

2 2 7 0=− + +

− +=

→∞

Da smo brojnik i nazivnik dijelili vodećom potencijom nazivnika, imali bismo

lim lim / :/x x

x xx x x

x xx x x

x→∞ →∞

− + +− +

=− + +− +

3 4 132 2 7

3 4 132 2 7

3

4 2

3

4 2

4

::

lim .

x

x x x

x xx

4

3 4

2 4

3 4 13

2 2 702

0

=

=− + +

− += =

→∞

Sada ćemo analizirati graničnu vrijednost kvocijenta polinoma m-tog i n-tog stup-nja kada neovisna varijabla x teži realnom broju a. Dakle, računamo

lim ( )( )

.x a

m

n

p xp x→

Neka je pm(a) = A, a pn(a) = B 0. Tada je

lim ( )( )

.x a

m

n

p xp x

AB→

= ∈R

Ako je pm(a) = pn(a) = 0, onda to znači da je x = a nul-točka oba razmatrana polino-ma, što, prema osnovnom teoremu algebre, znači da se ti polinomi mogu pisati kao umnožak dva faktora pri čemu je jedan faktor x – a, to jest

pm(a) = (x – a) pm–1(x) ,

78

Gra

ničn

a vr

ijedn

ost f

unkc

ije a

pn(a) = (x – a) pn–1 (x) ,

pa imamo da je

lim ( )( )

lim ( ) ( )( ) ( )

limx a

m

nx a

m

nx a

mp xp x

x a p xx a p x

p→ →

−

−→

−=−−

=1

1

1(( )( )x

p xn−1.

Uočimo da smo problem računanja granične vrijednosti kvocijenta polinoma m-tog i n-tog stupnja, kada neovisna varijabla x teži realnom broju a, zamijenili proble-mom računanja granične vrijednosti kvocijenta polinoma (m – 1)-vog i (n – 1)-vog stupnja, kada neovisna varijabla x teži danom realnom broju a. Ovaj problem ra-čunamo na jedan od prethodno izloženih načina, ovisno o tipu problem koji smo dobili. Pojasnimo to na sljedećim primjerima.

Primjer 6.

Izračunajmo lim .x

xx→

−−1

3

2

11

Rješenje

Vrijednost i brojnika i nazivnika funkcije čiju graničnu vrijednost želimo izračunati jednaka je 0 kada x 1. To znači da je x = 1 nul-točka i brojnika i nazivnika. Do-ista, kao što znamo

x3 – 1 = (x – 1) (x2 + x + 1) , a x2 – 1 = (x – 1) (x + 1),

pa je

lim lim ( )( )( )( )

limx x x

xx

x x xx x

x xx→ → →

−−=

− + +− +

=+ +

1

3

2 1

2

1

211

1 11 1

1++

=+ ++

=1

1 1 11 1

32

.

Primjer 7.

Izračunajmo lim .x

x xx x→

+ −− +2

2

2

63 2

Rješenje

Vrijednost i brojnika i nazivnika funkcije čiju graničnu vrijednost želimo izračunati jednaka je 0 kada x 2, pa je x = 2 nul-točka i brojnika i nazivnika. Nadalje, lako se provjeri da je

x2 + x – 6 = (x – 2) (x + 3) , a x2 – 3x + 2 = (x – 2) (x – 1) ,

79


pa je

lim lim ( )( )( )( )

limx x x

x xx x

x xx x

xx→ → →

+ −− +

=− +− −

=+−2

2

2 2 2

63 2

2 32 1

311

2 32 1

5=+−= .

Bez dokaza navodimo dva veoma važna limesa koje ćemo u nastavku koristiti:

limx

x

xe

→∞+

=1 1 i lim sin

x

xx→=

01

ili, općenitije,

limA x

A x

A xe

( )→∞

( )

+( )

=1 1 i lim

sinA x

A xA x( )→

( )( )

=0

1.

80

Riješeni zadatci za vježbu

1. Izračunajmo: lim .x

x xx→−∞

− +

+

2 3 41

2

4

lim limx x

x xx

x→−∞ →−∞

− +

+=( )=

2 3 41

22

4

2dijelimo brojnik i nazivnik s−− +

+=

3 4

1 12

2

4

x x

x

, jer kada x – ,

onda 1x

xkk= − 0 za sve k , pa i za, posebno, k {1,2,4}.


x x xx x→∞

+( ) + +( )

− +

2 150 5

3 2 2

7

I u brojniku i u nazivniku imamo polinom sedmog stupnja, pa stoga trebamo dijeliti i brojnik i nazivnik s x7. Dakle, imamo

lim limx x

x x xx x

xx

x xx

→∞ →∞

+( ) + +( )

− +=

+( )⋅+ +( )

−

2 150 5

2 1

1

3 2 2

7

3

3

2 2

4

550 5

1 2 1 1 1

1 50

6 7

3

2

2

6

x x

x x x

xx

+=

=+

⋅ + +

−→∞lim

++=5 1

7x

.


xx→∞

+33 2

lim lim lim .

x x x

xx

xx x→∞ →∞ →∞

+=

+= + = =

33 3

33

33 32 2 1 2 1 1

4. Pokažite da je lim .x

xx x→∞

−( )− +

=1

2 2 212

3

3

5. Pokažite da je lim .x

x xx→∞

− +−

=∞2 5 13 777

6. Izračunajte: lim .x

x

x x x→∞

+ +

Podijelimo li i brojnik i nazivnik s x , imamo

81

lim lim .x x

x

x x xx x

→∞ →∞+ +

=

+ +

=1

1 1 11

3


x xx→

− −−1

2

2

2 11

x = 1 je nul-točka i brojnika i nazivnika, što znači da se i brojnik i nazivnik mogu prikazati kao umnožak dvaju faktora od kojih je jedan x – 1. Prema tome, imamo

lim lim limx x x

x xx

x xx x

xx→ → →

− −−

=−( ) +( )−( ) +( )

=++1

2

2 1 1

2 11

1 2 11 1

2 111

32

= .


x xx x→

− +− +3

2

2

5 68 15

x = 3 je nul-točka i brojnika i nazivnika, što znači da se i brojnik i nazivnik mogu prikazati kao umnožak dvaju faktora od kojih je jedan x – 3. Dakle, imamo

lim lim limx x x

x xx x

x xx x

x→ → →

− +− +

=−( ) −( )−( ) −( )

=−

3

2

2 3 3

5 68 15

3 23 5

2xx−

=−5

12

.


n

m

xx→

−−1

11

Vrijednost i brojnika i nazivnika za x = 1 jednaka je 0, to je x = 1 nul-točka i brojnika i nazivnika, pa se oni mogu pisati kao umnožak dvaju faktora od kojih je jedan x – 1. Lako se vidi (na primjer, koristeći se formulom za zbroj prvih n članova geometrijskog niza čiji je prvi član 1, a kvocijent x) da je

1 11

2 1+ + + + =−−

−x x x xx

nn

... ,

odnosno

x x x x xn n− = −( ) + + + + −1 1 1 2 1( ... ).

Analogno je

x x x x xm m− = −( ) + + + +( )−1 1 1 2 1... .

Dakle,

lim lim...

...x

n

m x

nxx

x x x x

x x x→ →

−−−=

−( ) + + + +( )

−( ) + + +1 1

2 1

2

11

1 1

1 1 ++( )=

+ + + ++ + + +

=− →

−

−xx x xx x x

nmm x

n

m1 1

2 1

2 1

11

lim ......

.

82


xx→−

++1

5

3

11

Ponovo je u pitanju neodređeni izraz oblika 00

, to jest brojnik i nazivnik istodobno teže prema 0,

kada x –1. Najprije ćemo se “riješiti” korijena koristeći se supstitucijom x = tk, pri čemu je k najmanji zajednički višekratnik korijena. Dakle, u ovom slučaju je k = v(3, 5) = 15, to jest koristimo se supstitucijom

x = t15.

Nakon supstitucije treba “staru” varijablu (x) zamijeniti “novom” varijablom (t). Zato valja ispitati kamo teži t kada x – 1. Zbog, t x= 15 , očito će t→ − =−1 115 . Dakle, kada x – 1, onda i t – 1, pa je

lim lim limx t t

xx

tt

t t t

t→− →− →−

++

=++=

+( ) − +( )

+( )1

5

3 1

3

5 1

211

11

1 1

1 1−− + − +( )=

=− +

− + − +=

→−

t t t t

t tt t t tt

2 3 4

1

2

2 3 4

11

35

lim .


xx→

+ −+ −0 3

1 11 1

Uvedemo li supstituciju x + 1 = t6, to jest t x= +16 , onda kada x 0, t 1, pa je

lim lim limx t t

xx

tt

t t tt t→ → →

+ −+ −

=−−=

−( ) + +( )

−( )0 3 1

3

2 1

21 11 1

11

1 11 ++( )

=+ ++

=→1

11

321

2

lim .t

t tt

12. Pokažimo da je lim .x

xx→

−−=

1

3

4

11

43

Napomena 2.

Koristimo se supstitucijom x = t12.

83


3.1.3. Asimptote krivulje

Neka je funkcija f a b: , → R realna funkcija jedne relane varijable. Pri grafič-kom prikazu funkcije f korisno je poznavanje asimptota. Asimptote mogu biti ver-tikalne (ili okomite), horizontalne (ili vodoravne) i kose.

Definicija 3.

Pravac je asimptota krivulje ako ima svojstvo da udaljenost točke na krivulji od tog pravca teži nuli, kada točka gibajući se po krivulji teži u beskonačnost (to jest kada njena udaljenost od ishodišta neograničeno raste).

Vertikalna asimptota krivulje je pravac x = x0 za kojeg vrijedi

x x x x

f x f x→ →

+∞ −∞0 0

( ) = ( ) = .lim limili

Primjer 8.

Ispitajmo ima li funkcija y x xx

( )=−+

11

vertikalne asimptote.

Rješenje

Najprije uočimo da funkcija može imati vertikalnu asimptotu samo u točkama pre-kida. Budući da te točke ne pripadaju području definicije funkcije, a u ovom pri-mjeru jedino je x0 = –1 točka prekida, to je jedino pravac x = –1 kandidat za verti-kalnu asimptotu. Doista, kako je

x x

xx

xx→− − →− +

−+

+∞−+

−∞1 0 1 0

11

= 11

=lim lim ,a

to je pravac x = –1 vertikalna asimptota (slika 1). Zašto je x

xx→− −

−+

+∞1 0

11

=lim ? Ako

x –1 s lijeva (dakle, preko brojeva koji su manji od –1), onda je za sve takve x nazivnik negativan. I brojnik je također negativan, pa je razlomak (kao kvocijent dva negativna broja) pozitivan. Analogno, ako x –1 s desna (dakle, preko bro-jeva koji su veći od –1), onda je za sve takve x nazivnik pozitivan. No, brojnik je negativan, pa je razlomak (kao kvocijent dva broja različitog predznaka) negativan.

Horizontalna asimptota krivulje je pravac y = y0 koji ima svojstvo

y f x y f xx x

0 0= ( ) = ( ).→−∞ →+∞lim limili

84

Gra

ničn

a vr

ijedn

ost f

unkc

ije Primjer 9.

Ispitajmo ima li graf funkcije y x xx

( )=−+

11

horizontalnu asimptotu.

Rješenje

Budući da je

y xx

x

xx x

0 = 11

1 1

1 11 01 0

1→−∞ →−∞

−+=

−

+=−+=lim lim ,

to se graf funkcije y x xx

( )=−+

11

asimptotski približava pravcu y = 1 (koji mu je

horizontalna asimptota) kada x –.

Analogno,

y xx

x

xx x

0 = 11

1 1

1 11 01 0

1→+∞ →+∞

−+=

−

+=−+=lim lim ,

to se graf funkcije y x xx

( )=−+

11

asimptotski približava pravcu y = 1 (koji mu je

horizontalna asimptota) kada x + .

x

x = –1

y

y = 1

1

–1

–1

1

0

Slika 1.

Dakle, pravac y = 1 je horizontalna asimptota (slika 1).

85


Kosa asimptota krivulje je pravac y k x l= 1 1+ , gdje je

k f xxx1 = ( ) ,lim

→∞

dok se pomoću te vrijednosti ako je k1 0≠ , određuje odsječak na osi ordinata l1, kao granična vrijednost

l f x k xx1 1( ) .= −[ ]→∞lim

Naravno, pravac y k x l= 2 2+ je također kosa asimptota ako postoji

k f xxx2 = ( ) ,lim

→−∞

dok se pomoću te vrijednosti ako je k2 0≠ , određuje odsječak na osi ordinata l2, kao granična vrijednost

l f x k xx2 2( ) .= −[ ]→−∞lim

Ako je k1 = 0 kada x +, onda je os apscisa (to jest pravac y = 0) horizontalna asimptota. Analogno, Ako je k2 = 0 kada x –, onda je os apscisa (to jest pravac y = 0) horizontalna asimptota.

Primjer 10.

Ispitajmo ima li kosu asimptotu graf funkcije y x xx

( ) =1

.3

2 +

Rješenje

Uočimo da je:

k

xx

xx

x xx

x x x1

3

2 3

3 2= 1 = = 1

1 11

1 01,lim lim lim

→∞ →∞ →∞

++ +

=+=

l xx

x x x xx

xxx x x1

3

2

3 3

2 211

1 1=

+− ⋅

=

− −+

=−+→∞ →∞ →∞

lim lim lim ==−+

=−→∞lim ,x

x

x

1

1 1 12

k

xx

xx

x xx

x x x2

3

2 3

3 2= 1 = = 1

1 11

1 01,lim lim lim

→−∞ →−∞ →−∞

++ +

=+=

86

Gra

ničn

a vr

ijedn

ost f

unkc

ije

l xx

x x x xx

xxx x x2

3

2

3 3

211

1=

+− ⋅

=

− −+

=−→−∞ →−∞ →−∞lim lim lim 22

21

1

1 1 1+=−

+=−

→−∞lim ,

x

x

xpa je pravac y = x –1 kosa asimptota grafa funkcije y i kada x + i kada x –.

87

Zadatci

1. Odredite (ako postoje) vertikalne asimptote grafa funkcije y xx

( )=−1

12 .

2. Odredite (ako postoje) horizontalne asimptote grafa funkcije y x xx

( )=−+

2

2

11

.

3. Odredite (ako postoje) vertikalne, horizontalne i kose asimptote grafa sljedećih funkcija:

a) y x xx

( )=+

212 ; b) y x x

x( )=

−

3

2 4; c) y x x x

x( )=

+2 22

.

Rješenja1. x = –1, x = 1.2. y = 1.3. a) Nema vertikalnih asimptota. Horizontalna je y = 0. Nema kosih asimptota. b) Vertikalne asymptote: x = –2, x = 2. Nema horizontalnih asimptota. Kosa asimptota: y = x.

c) Vertikalna asimptota: x = 0. Nema horizontalnih asimptota. Kosa asimptota: y x= +12

1.

matematika 4 - poČetna

Documents