matematicki modeli procesa - fkit e-campus v1 · uvod b. zelić: analiza i modeliranje ekoprocesa,...

Uvod

B. Zelić: Analiza i modeliranje ekoprocesa, Matematički modeli procesa

- potrebna znanja: - prirodnih znanosti (matematika, kemija, fizika, biologija, biokemija) - tehničkih znanosti

AKO NEŠTO NE ZNAŠ NAPRAVITI, NI RAČUNALO TI U TOME

NE MOŽE POMOĆI! (A. D. Noel) - karakteristike i oblik matematičkih modela procesa ovisni o:

- prostornoj ovisnosti karakterističnih veličina procesa (procesi sa raspodijeljenim i usredotočenim parametrima) - vremenskoj ovisnosti (dinamici) karakterističnih veličina procesa (stacionarni i nestacionarni procesi) - namjeni - složenosti opisa procesa

Uvod


prostorna ovisnost karakterističnih veličina procesa

procesi sa usredotočenim parametrima

procesi sa raspodijeljenim parametrima

stacionarni nestacionarni stacionarni nestacionarni

parabolične ili hiperbolične

parcijalne diferencijalne

jednadžbe

eliptične parcijalne

diferencijalne jednadžbe

diferencijalne ili algebarske

jednadžbe

nelinearne algebarske jednadžbe

X – karakteristična veličina procesa (koncentracija, gustoća, tlak, temperatura…) XS – vrijednost karakteristične veličine procesa u stacionarnom stanju t - vrijeme

Stacionarni i nestacionarni matematički modeli procesa


- stacionarni matematički modeli procesa: - protočni kotlasti reaktor

( )lim StX t X

→∞=

( ) 0 za sve SX t X t tε− < ≥

d 0dXt=

ε - dozvoljena promjena vrijednosti karakteristične veličine procesa

- nestacionarni (dinamički) matematički modeli procesa: - kotlasti reaktor, promjena vremena zadržavanja – protočno kotlasti reaktor

d 0dXt≠

Diferencijalne jednadžbe i matematički modeli procesa


ZBOG ČEGA JE POTREBNO REALNI PROCES OPISATI DIFERENCIJALNIM JEDNADŽBAMA? - cilj matematičkog modela procesa je analitička veza između karakterističnih ulaznih i izlaznih veličina procesa ZAŠTO PRI RAZVOJU MATEMATIČKOG MODELA PROCESA NE TEŽIMO POSTAVLJANJU ALGEBARSKIH VEZA IZMEĐU ULAZNIH I IZLAZNIH VELIČINA PROCESA? - neophodna temeljna znanja o procesu - složene numeričke metode rješavanja matematičkog modela procesa (diferencijalne jednadžbe)

SVRHA MODELIRANJA!!!

Diferencijalne jednadžbe i matematički modeli procesa


Primjer Praćenje tijeka procesa želimo opisati matematičkim izrazom u obliku algebarske jednadžbe koja opisuje ovisnost procesnih veličina x i y.

0 10 20 30 400

20

40

60

80

100

y

x

- iz grafičkog prikaza slijedi polinomna ovisnost procesnih veličina - statističkom metodom najmanjih kvadrata - eksperimentalni model procesa vrijedi za:

- dano područje procesnih veličina - dane procesne uvjete - dani proces - moguće interpolacije, nemoguće ekstrapolacije

- izbor tipa algebarskog modela (stupanj polinoma, članovi polinoma)? - diferencijalna jednadžba - fizička slika procesa - rješenje daje algebarsku vezu ulaznih i izlaznih veličina procesa

20,02338 2,6066 100,79y x x= ⋅ − ⋅ +

0 10 20 30 400

20

40

60

80

100

y

x

Model PolynomialAdj. R-Square 0.99923

Value Standard ErrorB Intercept 100.61971 0.89935B B1 -2.59233 0.09222B B2 0.02338 0.00206

Razine razvoja matematičkih modela procesa


- detaljnost opisa promatranog procesa (svrha modeliranja) - brojnost fizikalno-kemijskih mehanizama uključenih u opis procesa

- molekularni ili atomski - mikroskopski - makroskopski

makroskopski mikroskopski molekularni

Razine razvoja matematičkih modela procesa


Molekularni modeli - “duboka” analiza procesa - detaljna slika procesa temeljena na prirodnim zakonitostima – potvrda teorijskih spoznaja - nekorisni u procesnom inženjerstvu Makroskospki modeli - globalna slika procesa Mikroskopski modeli - proučavanje prirodnih pojava uz zanemarivanje međudjelovanja na molekularnom nivou - dinamička slika procesa u trodimenzionalnom prostoru

Matematički modeli procesa


- kombinacija mikroskopskih i makroskopskih modela - zakoni očuvanja temelj za izvođenje diferencijalnih bilančnih jednadžbi prijenosa tvari, topline i količine gibanja - pregled temeljnih i nekih posebnih diferencijalnih bilančnih jednadžbi – ishodišta pri razvoju modela (diferencijalni element volumena – u prostoru zamišljena kocka volumena ΔV (Δx, Δy, Δz) u kojoj promjena svojstava karakterističnih veličina sustava slijedi linearnu ovisnost) PRIJENOS TVARI PRIJENOS ENERGIJE PRIJENOS KOLIČINE GIBANJA

b) gustoća i difuzivnost su konstantni, nema kemijske reakcije ni gibanja (II. Fickov zakon difuzije)

Prijenos tvari


1. Temeljna jednadžba

A,A, A,AA

yx zNN Nc rt x y z

δδ δδδ δ δ δ

⎛ ⎞= − + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

AA A 0c N r

tδδ

+∇ − =uur

2 2 2A A A A A A A

AB A2 2 2 0x y zc c c c c c cv v v D rt x y z x y z

δ δ δ δδ δ δ δ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + + − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2. Posebni oblici a) gustoća i difuzivnost su konstantni

2AAB A

c D ct

δδ

= ⋅∇

NA – molarni protok komponente A DAB – koeficijent difuzivnosti v – brzina strujanja c – koncentracija t - vrijeme r – brzina reakcije

Prijenos energije


1. Temeljne jednadžbe a) preko temperature fluida (kapljevina ili plin)

( ) ( ) ( ):v x y zV

T T T T pc v v v q T v vt x y z T

δ δ δ δ δρ τ

δ δ δ δ δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ∇ − ⋅ ⋅ ∇ − ∇⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

r r r

( ) ( )2

1

12

n

i ii

U v e n gtδρ

δ =

⎛ ⎞⋅ + ⋅ = − ∇ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑r r ur

b) za višekomponentni fluid

T – temperatura; ρ - gustoća; cv – specifični toplinski kapacitet pri konstantnom volumenu; q – gustoća toplinskog toka; U – unutarnja energija; v – brzina; p – tlak; τ - tenzor površinske napetosti; n – gustoća toka tvari; g – gravitacija; e – ukupna gustoća toka energije

akumulacija specifične unutarnje i kinetičke

energije u definiranom prostornom elementu

ukupna gustoća toka energije kroz zatvoreu površinu promatranog

sustava zbog konvekcije, vođenja topline i

djelovanja viskoznih sila

energetski učinak djelovanja vanjskih gravitacijskih sila na definirani prostorni

element

Prijenos energije


2. Posebni oblici a) bilanca energije za jednokomponentni Newtonski fluid pri konstantnom tlaku i zanemarivom utjecaju viskoznih sila

b) za višekomponentni fluid (smjesa Newtonskih fluida, konstantan tlak, bez utjecaja viskoznih sila, bez kemijske reakcije)

2 2 2

A2 2 2p x y z rT T T T T T Tc v v v r Ht x y z x y z

δ δ δ δρ λ

δ δ δ δ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂ ∂ ∂

⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + + ⋅Δ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

cp – specifični toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku, λ - koeficijent toplinske vodljivosti, ΔHr – reakcijska entalpija, ΔHi – parcijalna entalpija i-te komponente

( )1

n

i ii

e T n Hλ=

≅ − − ⋅∇ + ⋅Δ∑r r

Razvoj matematičkih modela procesa na mikroskopskoj razini


Pojednostavljenja - ρ, µ, λ, DAB, cp konstantni - Newtonski fluidi - utjecaj unutarnjeg trenja na ukupnu energiju procesa zanemariv - utjecaji vanjskih sila jednaki na svaku točku promatranog procesnog prostora

Odstupanja od idealnosti

- turbulentni tokovi - kompleksni profili strujanja pri miješanju - viskozne kapljevine s nenewtonskim svojstvima

- kompleksni matematički modeli procesa ograničene primjenjivosti

Primjer 1.


Istovremeni prijenos tvari i energije pri difuziji pare kroz mirujućeg filma do hladne površine na kojoj para kondenzira. 1. Opis problema Vruća plinovita lako hlapljiva komponenta A difundira u stacionarnim uvjetima kroz mirujući film inertnog plina B do hladne površine z = 0 na kojoj kondenzira. Zadane su koncentracije i temperature na oba ruba mirujućeg filma z = 0 i z = δ.

Izračunati koncentracijski profil izražen u molnim udjelima komponente A, xA, i temperaturni profil pri istovremenom prijenosu tvari i energije.

Film

kon

denz

ata rub mirujućeg

filma

Smjer gibanja komponente A

z = 0 z = δ z

T(z)

xA(z)

T=T0, xA=xA,0 T=Tδ, xA=xA,δ

δ

Primjer 1.


2.-3. Definiranje mehanizama i skupljanje informacija o sustavu Pretpostavke: - istovremeni prijenos tvari i energije uzrokovan postojanjem koncentracijskih i temperaturnih gradijenata - prijenos tvari i energije se odvija kroz mirujući prostor – isključeni konvektivni mehanizmi prijenosa - smjesa plinova se ponaša kao idealni plin - tlak i fizikalna svojstva smjese plinova su konstantni u svim točkama promatranog prostora - prijenos topline radijacijom zanemariv Mehanizmi: - prijenos tvari: difuzija kao posljedica koncentracijskog gradijenta (tlačna, prisilna i termička difuzija zanemarive) - prijenos energije: vođenje topline

Primjer 1.


4.-5. Postavljanje modela i rješavanje modela (sustava jednadžbi) - zavisne procesne veličine, T i xA, funkcija udaljenosti z (nezavisne procesne veličine) - stacionarni proces - jednodimenzijski proces – diferencijalne jednadžbe - mikroskopske bilančne jednadžbe za prostorni bilančni element smješten u pravokutnom koordinatnom sustavu Prijenos tvari - stacionarni proces - nema kemijske reakcije - difuzija samo u smjeru osi z

AA A 0c N r

tδδ

+∇ − =uur

A 0ct

δδ

=

A 0r =

A,A

dd

zNN

z∇ =uur

Primjer 1.


AB AA,

A

d **(1 ) dzc D xNx z

⋅= − ⋅

−

( )A,

AB

A,

AB

A, A,0 A, A,01

1

z

z

Nz

c D

z Nc D

ex x x x

eδ

δ

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⋅⎝ ⎠

−= + − ⋅

−

A,d0*

dzNz

=

- Fickov zakon za binarne smjese

- Kombinacijom * i **, te integriranjem u granicama xA,z=δ = xA,δ i xA,z=0 = xA,0 uz konstantnu gustoću toka tvari, NA,z, slijedi analitičko rješenje za koncentracijski profil

xA – molni udio komponente A, c – ukupna koncentracija komponenata, DAB – binarna difuzivnost, δ debljina mirujućeg filma

Primjer 1.


Prijenos energije - bilanca energije višekomponentnog sustava - stacionarni proces - nema djelovanja vanjskih gravitacijskih sila - nema prijenosa topline konvekcijom - nema prijenosa topline radijacijom - konstantna gustoća toka energije, ez, po cijelom mirujućem filmu - gustoća toka energije za višekomponentne smjese Newtonskih fluida pri konstantnom tlaku, bez djelovanja viskoznih sila - prijenos topline samo vođenjem

d 0***dzet=

( ) ( )2

1

12

n

i ii

U v e n gtδρ

δ =

⎛ ⎞⋅ + ⋅ = − ∇ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑r r ur

( )1

n

i ii

e T n Hλ=

≅ − − ⋅∇ + ⋅Δ∑r r

- Kombinacijom *** i ****, te integriranjem u granicama Tz=δ = Tδ i Tz=0 = T0 slijedi analitičko rješenje za temperaturni profil

Primjer 1.


Prijenos energije - za binarni sustav i prijenos energije u smjeru osi z - ako inertna komponenta B miruje (NB,z = 0)

A ,A 0( )pH C T TΔ = ⋅ −

( )A, ,A 0d ****dz z pTe N C T Tz

λ= − ⋅ + ⋅ ⋅ −

( )A, A B, Bddz z zTe N H N Hz

λ= − ⋅ + ⋅Δ + ⋅Δ

( )

A, ,A

A, ,A0 01

1

z p

z p

N Cz

z N C

eT T T T

e

λ

δδ

λ

⋅⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

⋅⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

−= + − ⋅

−Cp,A – molarni toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku, ΔHA i ΔHB – standardne molarne entalpije komponenata A i B

Primjer 1.


- prijenos tvari neposredno utječe na prijenos energije pri istovremenom prijenosu tvari i energije - prijenos tvari nije ovisan o prijenosu energije (zanemarena termička difuzivnost) - bilanca tvari i energije – analitičko rješenje (nužne numeričke metode za složenije modele) - numeričke metode – približna rješenja - mikroskopski modeli – jasnija (detaljnija) slika zbivanja u procesu – bolje razumijevanje procesa - međuovisnost ključnih veličina sustava i parametara procesa (zavisnost Cp od T) - provjera modela i ocjena valjanosti modela – nužni koraci bez kojih je modeliranje procesa besmisleno - procjena parametara modela na temelju eksperimentalnih podataka - složenost modela

Primjer 1.


Uobičajene pretpostavke pri prijelazu iz mikroskopskog u makroskopski opis procesa: - osnovne jednadžbe – diferencijalne jednadžbe održanja - bilanca održanja količine gibanja se zanemaruje - stacionarni procesi - korelacijske jednadžbe (efektivni koeficijent difuzije umjesto molekularnog koeficijenta difuzije) - čepoliko strujanje -…

Makroskopski modeli procesa


Bilanca tvari i-te komponente - mikroskopska bilanca tvari

Bilanca tvari i-te komponente - makroskopska bilanca tvari

dd

ii i

m w rt= −Δ +

akumulacija i-te komponente u bilančnom prostornom elementu

prijenos tvari (i-te komponente) tokom fluida u bilančnom

prostornom elementu

brzina na(ne)stajanja i-te komponente kemijskom

reakcijom

brzina prijenosa i-te komponente kroz granicu

sustava

( ) ( )tz iii i

v cc r mt z

δδδ δ

⋅+ = +

akumulacija i-te komponente u bilančnom prostornom elementu

razlika brzina ulaza i izlaza tvari iz bilančnog prostornog elementa

brzina na(ne)stajanja i-te komponente kemijskom

reakcijom

( )tp z r

T TC v H Et z

δ δρ

δ δ⎛ ⎞⋅ ⋅ + = Δ +⎜ ⎟⎝ ⎠

Makroskopski modeli procesa


Bilanca energije - mikroskopska bilanca energije

akumulacija i tok topline s tokom fluida u bilančnom

prostornom elementu

reakcijska entalpija gubitak topline u okolinu, prijenos topline kroz granicu

sustava

Bilanca tvari i-te komponente - makroskopska bilanca tvari

( )dd

mm

E U p V K P q Q W Qt= −Δ + ⋅ + + ⋅ + − +⎡ ⎤⎣ ⎦

E – ukupna energija, U – unutarnja energija, p⋅V - energija potrebna za dovod i odvođenje fluida iz sustava, K – kinetička energija, P – potencijalna energija, qm – maseni protok, Q – tok topline kroz granicu sustava, W – rad sustava na okolinu, Qm tok topline zbog prijenosa tvari kroz granicu sustava

Primjer 2.


Mikroskopski i makroskopski model procesa Bilance tvari i energije za kemijsku reakciju koja se odvija u cijevnom reaktoru - turbulentno strujanje - stacionarni proces - sve komponentne brzine, osim brzine strujanja u smjeru osi z, vz, su jednake nuli - komponente reakcijskog sustava su nestlačivi fluidi - cilindrični koordinatni sustav

Primjer 2.


Model 1. - koeficijenti aksijalnog i radijalnog povratnog miješanja i koeficijenti aksijalnog i radijalnog prijenosa topline su ovisni o radijalnoj dimenziji, uspostavljeno vektorsko polje brzina strujanja određeno eksperimentalno (brzina strujanja u radijalnom smjeru promjenjiva) Bilanca tvari Dz = Dz(r), DR = DR(r), vz = vz(r)

( ) ( ) ( )2

2

1i i iz z R i

c c cv r D r r D r rz z r x r

δ δδδ δ δ

∂ ⎡ ⎤⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦( ) ( ) ( )

2

2

1p z z R r i

T T TC v r r r r H rz z r z r

δ δ δρ λ λ

δ δ δ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ +Δ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

,0

0,( ) 0,

,0

,00

,0

iz i z i z

i

i

i

c rv r c v r c r D r

zc L rz

c zz

c z Rz

δ

δδ

δδ

δδ

δ

⋅ = ⋅ − ⋅

=

=

=

Bilanca energije λz = λz(r), λR = λR(r), vz = vz(r)

- rubni uvjeti - rubni uvjeti ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )( )

( )

0

0,( ) 0,

,0

,00

,,

zz z

p

SR

r T rv r T v r T r

C z

T L rz

T zz

T z R U T T z Rz r

λ δ

ρ δ

δ

δδ

δδ

δ λ

⋅ = ⋅ − ⋅⋅

=

=

= −⎡ ⎤⎣ ⎦

Primjer 2.


Model 2. - koeficijenti aksijalnog i radijalnog povratnog miješanja i koeficijenti aksijalnog i radijalnog prijenosa topline su konstantni, uspostavljeno vektorsko polje brzina strujanja određeno eksperimentalno (brzina strujanja u radijalnom smjeru promjenjiva) Bilanca tvari Dz = konst., DR = konst., vz = vz(r)

( )2

2i i iR

z z ic c cDv r D r rz z r x r

δ δδδ δ δ

∂ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠( )

2

2R

p z z r iT T TC v r r H rz z r z r

λδ δ δρ λ

δ δ δ∂⎡ ⎤ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ +Δ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

,0

0,( ) 0,

,0

,00

,0

iz i z i z

i

i

i

c rv r c v r c r D

zc L rz

c zz

c z Rz

δ

δδ

δδ

δδ

δ

⋅ = ⋅ − ⋅

=

=

=

Bilanca energije λz = konst., λR = konst., vz = vz(r)

- rubni uvjeti - rubni uvjeti ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

0

0,( ) 0,

,0

,00

,,

zz z

p

SR

T rv r T v r T r

C z

T L rz

T zz

T z R U T T z Rz

δλρ δ

δ

δδ

δδ

δ λ

⋅ = ⋅ − ⋅⋅

=

=

= −⎡ ⎤⎣ ⎦

Primjer 2.


Model 3. - koeficijenti aksijalnog i radijalnog povratnog miješanja i koeficijenti aksijalnog i radijalnog prijenosa topline su konstantni, brzina strujanja konstantna Bilanca tvari Dz = DL = konst., DR = konst., vz = vz(r)

2

2i i iR

z z ic c cDv D r rz z r x r

δ δδδ δ δ

∂ ⎛ ⎞⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ +⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

2

2R

p z z r iT T TC v r H rz z r z r

λδ δ δρ λ

δ δ δ∂⎡ ⎤ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ +Δ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠

( ) ( )

( )

( )

( )

,0

0,0,

,0

,00

,0

iz i z i L

i

i

i

c rv c v c r D

zc L rz

c zz

c z Rz

δ

δδ

δδ

δδ

δ

⋅ = ⋅ − ⋅

=

=

=

Bilanca energije λz = λL = konst., λR = konst., vz = vz(r)

- rubni uvjeti - rubni uvjeti ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

0

0,0,

,0

,00

,,

Lz z

p

SR

T rv T v T r

C z

T L rz

T zz

T z R U T T z Rz

δλρ δ

δ

δδ

δδ

δ λ

⋅ = ⋅ − ⋅⋅

=

=

= −⎡ ⎤⎣ ⎦

Primjer 2.


Model 4. - zanemarivi radijalni gradijenti (temperatura i koncentracija u svakoj točki poprečnog presjeka jednake), jednodimenzionalni model – diferencijalne jednadžbe, brzina strujanja konstantna Bilanca tvari DL = konst., vz = konst.

2

2

d dd d

i iz z ic cv D rz z

⋅ = ⋅ + ( )2

2

d d 2d dp z z r i ST TC v H r U T Tz z R

ρ λ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ +Δ ⋅ + ⋅ −

( ) ( )

( )

,0

d 00

dd

0d

iz i z i L

i

cv c v c D

zc Lz

⋅ = ⋅ − ⋅

=

Bilanca energije λL = konst., vz = konst.

- rubni uvjeti - rubni uvjeti ( ) ( )

( )

0

d 00

d

d0

d

Lz z

p

Tv T v T

C z

T Lz

λρ

⋅ = ⋅ − ⋅⋅

=

Primjer 2.


Model 5. - zanemarivo povratno miješanje i prijenos topline – čepoliko strujanje fluida, najuobičajeniji model prijenosa tvari i energije u cijevnom reaktoru Bilanca tvari vz = konst.

dd

iz icv rz

⋅ = ( )d 2dp z r i STC v H r U T Tz R

ρ ⋅ ⋅ ⋅ = Δ ⋅ + ⋅ −

( ),0 0i ic c=

Bilanca energije vz = konst.

- rubni uvjeti - rubni uvjeti

( )0 0T T=

Primjer 2.


Model 6. - makroskopska bilanca tvari i energije u cijevnom reaktoru, poznata ukupna (srednja konverzija), model procesa – algebarske jednadžbe (black box model) Bilanca tvari vz = konst.

z i iv c A r⋅ ⋅ = ( )2p z r i SC v T H r V U A T T

Rρ ⋅ ⋅ ⋅ = Δ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

Bilanca energije vz = konst.

- rubnih uvjeta nema - modeli 1. – 5. – uzeti u obzir ovisnost konstantne brzine reakcije o temperaturi (Arrheniusova jednažba) – nelinearni modeli

matematicki modeli procesa - fkit e-campus v1 · uvod b. zelić: analiza i modeliranje ekoprocesa,...

Documents