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Matemática Básica
Professor conteudista: Renato Zanini
SumárioMatemática BásicaUnidade I
1 OS NÚMEROS REAIS: REPRESENTAÇÕES E OPERAÇÕES ....................................................................22 EXPRESSÕES LITERAIS E SUAS OPERAÇÕES ............................................................................................63 RESOLVENDO EQUAÇÕES ...............................................................................................................................74 RESOLVENDO INEQUAÇÕES ........................................................................................................................ 135 REGRA DE TRÊS SIMPLES: RELAÇÃO DIRETA E INVERSA ENTRE GRANDEZAS ...................... 176 PORCENTAGEM: CONCEITOS FUNDAMENTAIS .................................................................................... 19
Unidade II
7 FUNÇÕES MATEMÁTICAS E SUAS REPRESENTAÇÕES ...................................................................... 228 FUNÇÃO DO 1º GRAU .................................................................................................................................... 259 FUNÇÃO DO 2º GRAU .................................................................................................................................... 3110 SISTEMA DE EQUAÇÕES (PONTO DE INTERSEÇÃO) ......................................................................... 35
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APRESENTAÇÃO
Caro aluno,
Sua visitação por conteúdos matemáticos já estudados no Ensino Fundamental e Médio contemplará o objetivo geral da disciplina Matemática Básica que, por sua vez, deseja capacitá-lo na operação com formulações e modelos matemáticos, no desenvolvimento do raciocínio lógico, espírito de investigação e habilidade em solucionar problemas, além de fazê-lo se familiarizar com símbolos, métodos e técnicas matemáticas que ajudem a estimular, organizar o pensamento e, portanto, oferecer “ferramentas” necessárias para futuras aplicações da matemática nas diferentes áreas profissionais.
O material apresentado a seguir está dividido em duas partes. Primeiramente, estudaremos os conjuntos numéricos, suas operações e a resolução de equações e inequações, além de algumas aplicações utilizando regra de três simples e números percentuais. Em seguida, na segunda parte, abordaremos o conceito de Função e suas representações.
Os conteúdos estão apresentados de forma didática e por meio de exemplos. Sugere-se, como complemento de estudo, a utilização de outras bibliografias.
Observação: durante as aulas (estudos e provas), se for necessário, utilize apenas uma simples calculadora para facilitar os cálculos.
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1 OS NÚMEROS REAIS: REPRESENTAÇÕES E OPERAÇÕES
Representações
Os números que utilizamos diariamente em nossa vida são organizados por meio de conjuntos. Veja:
• conjunto dos números naturais: N = {0; 1; 2; 3; 4;...};
• conjunto dos números inteiros (Z): o conjunto dos números inteiros é formado por todos os elementos do conjunto dos números naturais (números inteiros positivos) e também por todos os números inteiros negativos: Z = {...; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; ...};
• conjunto dos números racionais (Q): um número racional é representado por meio de uma fração. Por exemplo: 12
34
65
43
32
51
21
81
13
79
; ; ; ; ; ; ; ; ;− − − .
Toda fração pode ser representada de outra maneira se dividirmos o seu numerador pelo seu denominador. Observe os exemplos abaixo:
12
1 2 0 5= =: ,
34
3 4 0 75= =: ,
− = − = −32
3 2 15: ,
51
5 1 5= =:
− = − = −81
8 1 8:
13
1 3 0 3333= =: , ... (dízima periódica)
79
7 9 0 7777= =: , ... (dízima periódica)
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Portanto, podemos dizer que o conjunto dos números racionais (Q) é formado pelo conjunto dos números inteiros (que podem ser representados na forma de fração) e também por números “não inteiros” que, necessariamente, são representados por meio de frações e de números decimais;
• conjunto dos números irracionais (Ir): o conjunto dos números irracionais é formado por números que não se podem expressar como quocientes de dois números inteiros, ou seja, não se podem expressar por meio de fração. Por exemplo: se a raiz quadrada de um número natural não for inteira, é irracional.
Logo, são irracionais √2, √3, √5, √7, √8, √10 e outros.
Tais números são representados por dízimas infinitas e não periódicas. Veja:
√2 = 1,4142135... √3 = 1,7320508... √5 = 2,2360679...;
• conjuntos dos números reais (R): reunindo o conjunto dos números irracionais (Ir) e o conjunto dos números racionais (Q), obtemos o conjunto dos números reais (R).
A representação dos números reais na reta numérica:
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 Reais
Observação: vale lembrar que, entre dois números reais inteiros, existem infinitos outros números reais.
Operações – relembrando através de exemplos
“Multiplicação” e “Divisão” em primeiro lugar:
2 + 5 . 7 = 2 + 35 = 37 10 – 15 : 3 = 10 – 5 = 5
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Distributiva:
3 . (4 + 6) = 3 . 4 + 3 . 6 = 12 + 18 = 30
5 . (10 – 6) = 5 . 10 + 5 . (–6) = 50 – 30 = 20
Os sinais:
– 7 – 4 = –11 – 7 + 4 = – 3 7 – 4 = 3
(– 7) . (– 4) = +28 (–7) . (+4) = –28 7 . (– 4) = –28
(– 7) : (– 4) = +1,75 (–7) : (+4) = –1,75 7 : (– 4) = –1,75
Potências:
102 = 10 . 10 = 100
2 . 102 = 2 . (10.10) = 2.100 = 200
(–10)2 = (–10) . (–10) = 100
–102 = – (10 . 10) = –100
53 = 5 . 5 . 5 = 125
(–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125
91/2 = √9 = 3
Frações e representações decimais:
23
53
73
7 3 2 333 2 3+ = = = ≅: , ... ,
12
34
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34
54
5 4 125+ = + = = =: ,
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(Obs.: a fração ½ é equivalente à fração 2/4)
23
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2 43 5
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8 15 0 5333 0 53⋅ = ⋅⋅
= = = ≅: , ... ,
12
36
12
63
66
1: = ⋅ = =
(Obs.: multiplica-se a primeira fração pela inversa da segunda)
As raízes:
√8 . √2 = √16 = 4
√8 : √2 = √4 = 2
√8 + √2 ≅ 2,83 + 1,41 ≅ 4,24 (Obs.: √8 + √2 ≠ √10)
√8 – √2 ≅ 2,83 – 1,41 ≅ 1,42 (Obs.: √8 – √2 ≠ √6)
(√8)2 = 8
√3 + √3 = 2.√3 ≅ 2 . 1,73 ≅ 3,46
Subconjuntos de R – Interpretando a simbologia:
A = {x ∈ R | x > –3} Quais são os elementos do conjunto A?
Resp.: elementos “x” pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que “x” são elementos reais maiores que –3.
B = {x ∈ R | x ≤ –2} Quais são os elementos do conjunto B?
Resp.: elementos “x” pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que “x” são elementos reais menores ou iguais a –2.
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C = {x ∈ R | –8 < x < –3} Quais são os elementos do conjunto C?
Resp.: elementos “x” pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que “x” são elementos reais maiores que –8 (pois -8 < x) e menores que –3 (pois x < –3), ou seja, elementos reais que estão entre os números –8 e –3.
2 EXPRESSÕES LITERAIS E SUAS OPERAÇÕES
Utilizamos as letras para representar ou traduzir, em linguagem matemática, as operações estudadas em aritmética. Tais representações são “ferramentas” muito úteis na resolução de problemas. Para relembrar:
• valor numérico de expressões literais:
Considere: y = x2 + 2xQual o valor de y quando x = 2?
Resp.: y = (2)2 + 2.(2) = 4 + 4 = 8
Considere: p = m3 – 4m2 + 3m + 5Qual o valor de p quando m = 3?
Resp.:
p = (3)3 – 4.(3)2 + 3.(3) + 5 = 27 – 4.(9) + 9 + 5 = 27 – 36 + 9 + 5 = 5
• operações com expressões literais:
x . x = x2
x + x = 2x
(5b + 3c – a) + (3a – 4b – 2c) = 5b + 3c – a + 3a –4b – 2c = b + c + 2a
– (6x + 12y) = – 6x – 12y
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– (–5x + 3y) = + 5x – 3y
(9x + 15y) – (6x + 12y) = 9x + 15y – 6x – 12y = 3x + 3y
(3c) . (–4c) = –12c2
2.(3x + 4y) = 6x + 8y
3c . (4c – 2c2) = 12c2 – 6c3
(2x + 3y).(5x – 3y) = 10x2 – 6xy + 15xy – 9y2 = 10x2 + 9xy – 9y2
(12x3) : (3x) = 4x2
• produtos notáveis:
(a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = (a – b).(a – b) = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2
(a + b).(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2
3 RESOLVENDO EQUAÇÕES
As equações são igualdades envolvendo expressões literais. Por meio da resolução de uma equação, pode-se encontrar um valor desconhecido. Veja:
Exemplo 1:
2y + 6 = 10 (Vamos encontrar “y”)
2y + 6 – 6 = 10 – 6
2y = 4
22
42
y =
y = 2
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Exemplo 2:
5x + 3 = 2x + 6 (Vamos encontrar “x”)
5x + 3 – 3 = 2x + 6 – 3
5x = 2x + 3
5x – 2x = 2x – 2x + 3
3x = 3
33
33
x =
x = 1
Exemplo 3:
– 2m + 3 = 4m + 6 (Vamos encontrar “m”)
– 2m + 3 – 3 = 4m + 6 – 3
– 2m = 4m + 3
– 2m – 4m = 4m – 4m + 3
– 6m = +3
−−
= +−
66
36
m
m = − = − = −36
12
0 5,
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Exemplo 4:
14 = 2p + 3 (Vamos encontrar “p”)
14 – 3 = 2p + 3 – 3
112
22
= p
112= p
5,5=p
Exemplo 5:
2.(3t + 5) = 4.(t – 3) (Vamos encontrar “t”)
6t + 10 = 4t – 12
6t + 10 – 10 = 4t – 12 – 10
6t = 4t – 22
6t – 4t = 4t – 22 – 4t
2t = – 22
22
222
t = −
t = –11
Exemplo 6:
4n + 10 = 0 (Vamos encontrar “n”)
4n + 10 – 10 = 0 – 10
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4n = –10
44
104
n = −
n = − = − = −104
52
2 5,
Exemplo 7 (Equação do 2º grau):
x2 – 6x = – 5 (Vamos encontrar “x”)
x2 – 6x + 5 = – 5 + 5 → x2 – 6x + 5 = 0
a = 1 b = –6 c = +5
∆ = b2 – 4.a.c
∆ = (–6)2 – 4.(1).(5)
∆ = 36 – 20 = 16
xb
a= − + − ∆
⋅2
x ’ =− −( ) +
⋅( ) = + = =6 16
2 16 4
2102
5
x " =− −( ) −
⋅( ) = − = =6 16
2 16 4
222
1
Exemplo 8 (Equação do 2º grau):
x2 – 9 = 0 (Vamos encontrar “x”)
a = 1 b = 0 c = – 9
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∆ = b2 – 4.a.c
∆ = (0)2 – 4.(1).(–9)
∆ = 0 + 36 = 36
xb
a’ = − + − ∆
⋅2
x ’ =−( ) +
⋅( ) = − + = =0 36
2 10 62
62
3
x " =−( ) −
⋅( ) = − − = − = −0 36
2 10 62
62
3
Exemplo 9 (Equação do 2º grau):
2x2 + x = 0 (Vamos encontrar “x”)
a = 2 b = 1 c = 0
∆ = b2 – 4.a.c
∆ = (1)2 – 4.(2).(0)
∆ = 1 – 0 = 1
xb
a’ = − + − ∆
⋅2
x ’ =−( ) +
⋅( ) = − + = =1 1
2 21 14
04
0
x " =−( ) −
⋅( ) = − − = − = −1 1
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As equações são ferramentas auxiliares na resolução de vários problemas envolvendo a matemática e o cotidiano. Por exemplo:
a) A soma de nossas idades atualmente é 45. Calcule-as, sabendo que sou 7 anos mais velho do que você.
Resolução:
Seja: x......minha idade atual e x – 7.......sua idade atual.
x + (x – 7) = 45
x + x – 7 = 45
2x – 7 = 45
2x – 7 + 7 = 45 + 7
2x = 52
2x = 52 2 2
x = 26
Portanto, a minha idade atual é 26 anos e a sua idade atual é 26 – 7 = 19 anos.
b) A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação: Q = 100 – 4p. Determinar a quantidade de produtos vendidos para p = R$ 15,00.
Resolução:
Q = 100 – 4p
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Q = 100 – 4.(15)
Q = 100 – 60 = 40 unidades do produto.
c) A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação: Q = 100 – 4p. Determinar o preço p correspondente a 50 unidades de produtos vendidos.
Q = 100 – 4p
50 = 100 – 4p
50 – 100 = 100 – 100 – 4p
–50 = –4p
–50 = –4p– 4 – 4
R$ 12,50 = p.
4 RESOLVENDO INEQUAÇÕES
As inequações são desigualdades envolvendo expressões literais. Por meio da resolução de uma inequação, podem-se encontrar infinitos valores que satisfazem a uma determinada condição matemática. Os símbolos utilizados nas desigualdades são: > (maior), < (menor), ≥ (maior ou igual), ≤ (menor ou igual).
Exemplo 1:
2y + 6 > 10
2y + 6 – 6 > 10 – 6
2y > 4
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2y > 4 2 2
y > 2 ou seja {y ∈ R | y > 2}
Solução desta inequação: elementos “y” pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que “y” são elementos reais maiores que 2.
Exemplo 2:
5x + 3 < 2x + 6
5x + 3 – 3 < 2x + 6 – 3
5x < 2x + 3
5x – 2x < 2x – 2x + 3
3x < 3
33
33
x <
x < 1 ou seja {x ∈ R | x < 1}
Solução desta inequação: elementos “x” pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que “x” são elementos reais menores que 1.
Exemplo 3:
– 2m + 3 ≥ 4m + 6 (Vamos encontrar “m”)
– 2m + 3 – 3 ≥ 4m + 6 – 3
– 2m ≥ 4m + 3
– 2m – 4m ≥ 4m – 4m + 3
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– 6m ≥ +3
Atenção: é necessário tornar “–6m” um termo positivo. Por isso, neste caso, dividem-se os dois membros da inequação por “–6”.
−−
> +−
66
36
m
Então, troca-se o sinal ≥ por ≤
m≤ −36
m≤ − = −12
0 5,
m ≤ – 0,5 ou seja {m ∈ R | m ≤ – 0,5}
Solução desta inequação: elementos “m” pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que “m” são elementos reais menores ou iguais a – 0,5.
Exemplo 4:
14 ≤ 2p + 3
14 – 3 ≤ 2p + 3 – 3
112
22
≤ p
112≤ p
5,5 ≤ p ou p ≥ 5,5
Atenção: os sinais ≥ ou ≤ são invertidos sempre que os membros são trocados.
{p ∈ R | p ≥ 5,5}
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Solução desta inequação: elementos “p” pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que “p” são elementos reais maiores ou iguais a 5,5.
Exemplo 5:
4n + 10 > 0
4n + 10 – 10 > 0 – 10
4n > –10
45
104
n > −
n> − = − = −104
52
2 5,
n> −52
n > –2,5 ou seja {n ∈ R | n > – 2,5}
Solução desta inequação: elementos “n” pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que “n” são elementos reais maiores que – 2,5.
Dica importante:
Vale observar que, por exemplo, a equação 14 = 2p + 3 pode ser escrita, também, como 2p + 3 = 14. Afinal, trata-se de uma igualdade.
Já nas desigualdades:
Exemplo: a inequação 14 > 2p + 3 não pode ser escrita como 2p + 3 > 14, mas sim como 2p + 3 < 14. Pois, por exemplo, se 1 < 2 , então 2 > 1.
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As inequações, assim como as equações, também são ferramentas auxiliares na resolução de vários problemas envolvendo a matemática e o cotidiano.
Por exemplo: a relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação: Q = 90 – 2p. Determinar os valores de p para os quais a quantidade vendida seja de, no mínimo, 40 unidades:
Resolução:
Q ≥ 40
90 – 2p ≥ 40
90 – 90 – 2p ≥ 40 – 90
–2p ≥ –50
−−
≥ −−
22
502
p
p ≤ 25
Resposta: para que a quantidade de produtos vendidos seja de, no mínimo, 40 unidades, os preços devem ser menores ou iguais a R$ 25,00.
5 REGRA DE TRÊS SIMPLES: RELAÇÃO DIRETA E INVERSA ENTRE GRANDEZAS
Exemplo 1 (situação de proporcionalidade direta)
Uma empresa acredita que, diminuindo R$ 12,00 no preço de determinado produto, as vendas aumentam cerca de 20 unidades. Suponha que a relação entre o preço do produto e a quantidade vendida seja diretamente proporcional. Neste caso,
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uma redução de R$ 18,00 no preço do produto acarretará um aumento na quantidade vendida de:
Resolução:
R$ 12,00 de redução no preço do produto 20 unidades no aumento de vendas
R$ 18,00 de redução no preço do produto ?
Espera-se que, neste caso, ao aumentarmos a redução no preço do produto, aumentem-se, também, as vendas do mesmo. Trata-se, portanto, de grandezas diretamente proporcionais. Veja:
R$ 12,00 20
R$ 18,00 x
12 . x = 18 . 20
12 . x = 360
x = =36012
30 unidades no aumento de vendas
Resposta: quando aumentamos a redução do preço do produto de R$ 12,00 para R$ 18,00, obtemos um aumento nas vendas de 20 unidades para 30 unidades.
Exemplo 2 (situação de proporcionalidade inversa)
Com 4 pedreiros trabalhando, um muro é construído em 15 dias. Em quantos dias 6 pedreiros construiriam o mesmo muro trabalhando no mesmo ritmo?
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Resolução:
4 pedreiros trabalhando 15 dias de construção
6 pedreiros trabalhando ???
Espera-se que, neste caso, ao aumentarmos o número de trabalhadores, o tempo de serviço diminua.
4 15
6 x
Atenção: para tanto, devemos manter uma razão e inverter a outra. Veja:
4 x
6 15
6 . x = 4 . 15
6 . x = 60
x = =606
10 dias de serviço
Resposta: quando aumentamos o número de trabalhadores de 4 para 6, obtemos uma diminuição no tempo de trabalho de 15 para 10 dias.
6 PORCENTAGEM: CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Exemplos:
a) 12% de 5000.
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0/20
10
0,12 . 5000 = 600
b) Salário de R$ 2.300,00 acrescido de 6% de aumento.
2300 . 0,06 + 2300 = 138 + 2300 = R$ 2.438,00
ou
2300 . 1,06 = R$ 2.438,00
c) Preço de um produto, no valor de R$ 545,00, com desconto de 10%.
545 – 545 . 0.10 = 545 – 54,5 = R$ 490,50
ou
545 . 0,90 = R$ 490,50
d) O salário de um empregado, em janeiro de 2010, era de R$ 2.500,00. Se o índice de aumento de salário, deste mesmo mês, em relação a dezembro de 2009 foi de 13%, qual o salário real desse empregado em dezembro de 2009?
x = salário do empregado
1,13 . x = 2.500
x R= =2 500113
2 212 39.,
$ . ,
e) A comissão recebida mensalmente por um vendedor é igual a 10% de seu salário-base. Em determinado mês, foram acrescidos R$ 120,00 à comissão do vendedor. Assim, o valor total da comissão passou a ser igual a 25% de seu salário-base. Determine, a partir dessas informações, o valor do salário-base do vendedor:
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MATEMÁTICA BÁSICA
Revi
são:
Ger
aldo
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amaç
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árci
o -
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10
x = salário-base do vendedor
0,10 . x + 120 = 0,25 . x
ou seja,
R$ 120,00 corresponde a 15% do salário do vendedor. Então, podemos utilizar uma regra de três simples para resolver o problema:
120 15%
x 100%
15 . x = 120 . 100
15 . x = 12.000
x R= =12 00015
800 00.
$ ,
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