uni matematica i 2012 i

1

PREGUNTA N.o 1Al multiplicar un número de cinco cifras por 101 se obtiene un nuevo número cuyas últimas cifras son 8513. Se sabe también que el número inicial tiene todas sus cifras distintas. Indique la cantidad de números que cumplen la condición descrita.

A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 8

Resolución

Tema: Cuatro operaciones

Análisis y procedimiento

Sea abcde un numeral de 5 cifras diferentes.

Entonces por dato

abcde×101=...8513

Expresemos en forma vertical.

a b c d e ×

1 0 1

a b c d e

0 0 0 0 0

a b c d e

. . . . 8 5 1 3

Observemos que• e=3; d=1• c+e=...5 y b+d=...8

2 3 7 1

Luego tenemos que

abcde=a7213

4

5

6

8

9

existen 5 valores para la cifra a.

Por lo tanto, existen 5 números que cumplen con la condición dada.

Respuesta5

Alternativa C

PREGUNTA N.o 2

En una proporción geométrica de razón 54

, la

suma de los términos es 45 y la diferencia de los consecuentes es 4. Halle el mayor de los términos de la proporción.

A) 12 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20

SolucionarioExamen de admisión UNI 2012-I

Tema PMatemática

U N I

2

MATEMÁTICA

Resolución

Tema: Proporciones


Sea la proporción

ab

cd

= = 54

razón

La proposición anterior se puede escribir como

54

54

54

mm

nn

= =

Por dato

• 5 4 5 4 45m m n n+ + + =

suma de términos

→ m+n=5 (I)

• 4 4 4m n− =

diferencia deconsecuentes

→ m – n=1 (II)

De (I) y (II) se obtiene que

m=3

n=2

Finalmente, el mayor de los términos es 5m=15.

Respuesta

15

Alternativa B

PREGUNTA N.o 3Determine los litros de agua que contiene un recipiente de 17 litros de leche adulterada con agua y que pesa 17,32 kg, si un litro de leche pura pesa 1,032 kg y un litro de agua pesa 1 kg.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Resolución

Tema: Regla de mezcla

Análisis y procedimientoPor dato tenemos

c/litro pesa 1 kg

c/litro pesa 1,032 kg

volumentotal =17 litros

agua

leche

a litrosa litros

(17 – a) litros(17 – a) litros

Luego en la mezcla tenemos a(1)+(17 – a)(1,032)=17,32 → a=7

Respuesta7

Alternativa C

PREGUNTA N.o 4Mi padre que nació en la primera mitad del siglo 20

afirma que en el año x2 cumplió x4

años. Determine

la edad que tuvo en el año 2008.

A) 83 B) 86 C) 88 D) 90 E) 92

U N I

3

MATEMÁTICA

Resolución

Tema: Potenciación

Tenga en cuenta que

año de nacimiento+edad=año actual


Sea 19ab el año de nacimiento.

Por dato tenemos lo siguiente:

• Elañodenacimientoseencuentraenlaprimeramitad del siglo 20.

→ 1900 < 19ab < 1950 (I)

• 194

2abx

x+ =

→ = −194

2ab xx

(II)

Reemplazando (II) en (I) tenemos

19004

19502< − <

∈

xx

Observe que x = 4o, entonces, el único valor de x que

verifica la desigualdad es 44.

Luego, en (II) se tiene que

19 444411

19252ab = − = (año de nacimiento)

Por lo tanto, la edad que tuvo en el 2008 es 2008 – 1925=83 años.

Respuesta83

Alternativa A

PREGUNTA N.o 5Determine cuántos de los siguientes números

racionales 157125

786625

253200

25192000

, , , pertenecen al

intervalo 503400

23; .

A) Ningún número B) Solo un número C) Solo dos números D) Solo tres números E) Todos los números

Resolución

Tema: Números racionales


Se tienen los siguientes números racionales.

•157125

=1,256 (I)

•786625

=1,2576 (II)

•253200

=1,265 (III)

•25192000

=1,2595 (IV)

Además, el intervalo es

503400

3 2;

1,2575 1,2599...

Observe que (II) y (IV) pertenecen al intervalo dado.

RespuestaSolo dos números

Alternativa C

U N I

4

MATEMÁTICA

PREGUNTA N.o 06El dueño de un concesionario automotriz desea vender todos los autos que le quedan, los cuales son de diferentes modelos, pero en el salón de exhibición entran sólo 3 autos, el dueño calcula que existen 210 maneras diferentes de ordenar la exhibición. ¿Cuántos autos le quedan por vender?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Resolución

Tema: Análisis combinatorio


Supongamos que son n autos los que quedan, pero se exhiben de 3 en 3 (interesa el orden).

n (n – 1) (n – 2) =210

7 6× ×

× ×

5

maneras de ordenar la exhibición

Dato:

Luego:

∴ n =7

Respuesta7

Alternativa D

PREGUNTA N.o 07La municipalidad de Lince busca mejorar la ornamentación de sus dos avenidas principales, de 2520 m y 2000 m, colocando murales equidistantes entre sí de tal forma que haya un mural al inicio y otro al final de cada avenida. Se sabe que para la colocación de cada mural se necesitan al menos 3 trabajadores, quienes percibirán S/.50 cada uno.

Calcule la cantidad mínima de trabajadores que debe contratar la municipalidad de Lince para este trabajo.

A) 320 B) 330 C) 345 D) 365 E) 380

Resolución

Tema: MCD - MCM


Sea d la distancia que existe entre dos murales.Gráficamente se tendría

avenida A avenida B

d d d d d d d d

2520 m 2000 m

... ...

Para colocar un muralse necesita 3 trabajadorescomo mínimo.

Como se desea la cantidad mínima de trabajadores, entonces la distancia d entre murales debe ser máxima; además, es el divisor común de 2520 y 2000.Entonces d=MCD(2520; 2000) d=40 mLuego

cantidad demurales

cantidad detrabajadores

Avenida A: 252040

+1=64 → 64×3=192

Avenida B: 200040

+1=51 → 51×3=153

Por tanto, el total de trabajadores es 192+153=345.

Respuesta345

Alternativa C

U N I

5

MATEMÁTICA

PREGUNTA N.o 08Determine la cantidad de números abc=12

o tal que

a+b+c=12.

A) 12 B) 13 C) 14 D) 16 E) 17

Resolución

Tema: Divisibilidad


Buscamos números que cumplan las condiciones

abc=12 o

∧ a+b+c=12

Entonces

abc = 4o

bc = 4o

∧ a+b+c=12 ↓ ↓↓↓ par: 0; 2; 4; 6; 8 8 4 0

∴ abc toma 17 valores

6 6 4 8 9 1 2 7 3 5 5 3 7 1 9 8 0 4 6 2 4 4 2 6 5 1 6 3 3 1 5 4 0 8 2 2

Respuesta17

Alternativa E

PREGUNTA N.o 09Dada la sucesión definida por

an

n

nn

n

n

=

−+

+

( ),

,

1

1

1

1

2

3

impar

par

Entonces podemos afirmar que

A) La sucesión no converge.

B) La sucesión converge a cero.

C) La sucesión tiene dos puntos límites.

D) La sucesión tiene tres puntos límites.

E) No podemos afirmar nada acerca de su

convergencia.

Resolución

Tema: Sucesiones numéricas reales

Recuerde que una sucesión an es convergente si

límn→∞

an existe, es único y es finito.


Como

an

n

nn

n

n( );

;

−+

+

1

1

1

1

2

3

impar

par

Entonces

• Paran impar

lím límn

nn

na

n→∞ →∞= −

+=( )1

102

U N I

6

MATEMÁTICA

• Paran par

lím límn

nn

an→∞ →∞

=+

=1

103

Por lo tanto, límn

na→∞= 0.

RespuestaLa sucesión converge a cero.

Alternativa B

PREGUNTA N.o 10Dada la matriz

Aa b cd e fg h i

=

determine la matriz P; tal que PAPa c bg i hd f e

=

A) −

−−

ab

c

1 00 11 0

B) 1 0 00 0 10 1 0

C) −

−

1 1 01 1 00 0 1

D) 0 1 00 1 01 0 1

−

E) 1 0 00 0 11 1 0

Resolución

Tema: Matrices

Recuerde qué son matrices elementales.


Se tiene la matriz Aa b cd e fg h i

=

Para obtener la matriz PAPa c bg i hd f e

=

se han realizado dos operaciones elementales (una por filas y otra por columnas)

1.a operaciónSe ha intercambiado la fila 2 y la fila 3.

F Aa b cd e fg h i

a b cg h id e f

B1

1 0 00 0 10 1 0

=

=

=

matriz elemental

2.a operaciónSe ha intercambiado la columna 2 y la columna 3.

BCa b cg h id e f

a c bg i hd f e

1

1 0 00 0 10 1 0

=

=

matriz elemental

Es decir, PAP=F1AC1

=

1 0 00 0 10 1 0

1 0 00 0 10 1 0

P P

A

Respuesta1 0 00 0 10 1 0

Alternativa B

U N I

7

MATEMÁTICA

PREGUNTA N.o 11La solución del problema de minimizarZ=5x+6y

sujeto a

2 3 1250

x yx yx y

+ ≤+ ≤

≥

,

es el punto (xº; yº). Si se añade la nueva restricción x – y ≤ 3, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son correctas?I. La solución (xº, yº) es solución del nuevo

problema.II. El nuevo problema no tiene solución.III. La nueva región admisible contiene a la anterior.

A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) I, II y III

Resolución

Tema: Programación lineal

En todo problema de programación lineal cuya región admisible es acotada y cerrada, su función objetivo siempre tiene máximo y mínimo valor.


Sea el problema inicial (P1) mín Z = 5x + 6y

sujeto a 2 3 12

50

x yx yx y

+ ≤+ ≤

≥

;

cuya gráfica de su región admisible (Ω1) es

L 2: 2x – 3y=12

L 1: x+y=5

(3; 2)

(5; 0)

(0; 4)

(0; 0)X

Y

Evaluamos los vértices en la función objetivo. Z(0; 0) = 5(0)+6(0)=0 (valor mínimo) Z(0; 4) = 5(0)+6(4)=24 Z(5; 0) = 5(5)+6(0)=25 Z(3; 2) = 5(3)+6(2)=27

Luego, la solución del problema (P1) es (0; 0)

Por otro lado, sea el problema nuevo (P2)→ mín Z = 5x + 6y

sujeto a

2 3 12530

x yx yx yx y

+ ≤+ ≤− ≤

≥

;

(nueva restricción)

La gráfica de la nueva región admisible (Ω2) es

L 3: x – y=3

L 2: 2x – 3y=12

L 1: x+y=5

(3; 2)

(3; 0)

(4; 1)

(0; 4)

(0; 0)X

Y

Evaluamos los vértices en la función objetivo. Z(0; 0) = 5(0)+6(0) = 0 (valor mínimo) Z(0; 4) = 5(0)+6(4) = 24 Z(3; 0) = 5(3)+6(0) = 15 Z(3; 2) = 5(3)+6(2) = 27 Z(4; 1) = 5(4)+6(1) = 26

La solución del problema (P2) es (0; 0).

LuegoI. Verdadera La solución (x0; y0) es solución del nuevo

problema. (x0; y0) = (0; 0) es solución de (P1) y (P2).II. Falsa El nuevo problema no tiene solución. La solución del nuevo problema (P2) es (0; 0).

U N I

8

MATEMÁTICA

del dato tenemos

c c cb a b

b c b d b c

25 3

5 34

+ + += −

C C

C C

cb a b bc d b c b

1 3

2 3

1

2

0 02 6 32 6 3

+ −

+ −−

− − +

( )

( ) cc

= − 4

C C cb a bc d b b c

2 132

0 03

34

+

− += −

( )·

C C cb ac d b b

3 13 0 00 2

+ −

−= −

( )

C C c cb ac d b

2 31 00 2

+= −

( )

Intercambiando C2 con C1, tenemos

− = −c ca bd c b

00 2

∴ =c ca bd c b

00 2

Respuesta2

Alternativa C

III. Falsa La nueva región admisible contiene a la anterior. Pues Ω2 ⊂ Ω1.

La única proposición correcta es I.

Respuestasolo I

Alternativa A

PREGUNTA N.o 12

Si c c cb a b

b c b d b c

25 3

5 34

+ + += −

Halle c ca bd c b

00

donde a, c, d ∈ ⟨0; ∞⟩ y b ∈ ⟨– ∞; 0⟩

A) – 4 B) – 2 C) 2 D) 4 E) 6

Resolución

Tema: Determinantes

Propiedades de determinantes1. Si en una matriz, a una columna cualquiera se le

suma otra columna multiplicada por un escalar, el determinante de la matriz no se altera.

2. Si en una matriz se intercambian dos columnas consecutivas, el determinante cambia de signo.


Nos piden: c ca bd c b

00

U N I

9

MATEMÁTICA

PREGUNTA N.o 13Sea la inecuación:

xx

xx

+−

≤11

2

Si S es el conjunto solución, se puede afirmar:

A) ⟨– 1; 1⟩ ⊂ S B) S \ [– 1; 4] ≠ ∅ C) S \ ⟨– 1; 1⟩=∅ D) [0; 2] ⊂ S E) ⟨– 2; 0⟩ ⊂ S

Resolución

Tema: Inecuación con valor absoluto

Recuerde que: |f(x)| ≥ g(x) ↔ f(x) ≥ g(x) ∨ f(x) ≤ – g(x)


xx

xx

+−

≤11

2

Dando sentido lógico: x>0, además x ≠ 1.Luego en la ecuación se obtiene que

xx

+−

≤11

2

|2x – 2|≥ x+1

2x – 2 ≥ x+1 ∨ 2x – 2 ≤ – x –1

x ≥ 3 ∨ x ≤13

Luego

0+∞ +∞1/3 3

→ CS=S= 013

3; ;

∪ + ∞[

RespuestaS\[–1; 4] ≠ f

Alternativa B

PREGUNTA N.o 14

Sea f(x)=|5 – logx|+|1+logx|, halle el rango de f.

A) [6; ∞⟩

B) [8; ∞⟩

C) ⟨0; ∞⟩

D) [0; ∞⟩

E) ⟨0; 6⟩ ∪ ⟨6; ∞⟩

Resolución

Tema: Valor absoluto

Desigualdad triangular

|a+b| ≤ |a|+|b|; ∀ a; b ∈ R


En el problema, f(x)=|5 – logx|+|1+logx|

Calculamos

Domf=x ∈ R / x > 0=⟨0; +∞⟩.

5 1 5 1−( )+ +( ) ≤ − + +log log log logx x x x ; ∀ x ∈ R+

6 ≤ f(x)

∴ Ranf=[6; +∞⟩

Respuesta[6; ∞⟩

Alternativa A

U N I

10

MATEMÁTICA

PREGUNTA N.o 15Halle la suma de todos los valores reales que puede tomar λ en la siguiente expresión:

1 22 1

1

2

1

2

=

x

x

x

xλ donde x1 ≠ 0 y x2 ≠ 0

A) – 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

Resolución

Tema: Matrices

Para resolver este problema vamos a transformar la ecuación matricial

1 22 1

1

2

1

2

=

x

x

x

xλ

es un sistema de ecuaciones lineales homogéneas.


1 22 1

1

2

1

2

=

x

x

x

xλ con x1x2 ≠0

→ x1+2x2=λx12x1+x2=λx2

→ (1 – λ)x1+2x2=02x1+(1 – λ)x2=0

Este sistema homogéneo tiene soluciones distintas

de la solución trivial (0; 0). Luego, tiene infinitas

soluciones, para ello debe cumplirse que 1

22

1− =

−λ

λ

→ (1 – λ)2=4 → 1 – 2λ+λ2=4

→ λ2 – 2λ – 3=0 (Nótese que T=16 > 0)

Raíces reales: λ1; λ2 → λ1+λ2=2

La suma de los valores de λ es 2.

Respuesta2

Alternativa D

PREGUNTA N.o 16

Si x1=2 y x2=– 1 son raíces de x4 – ax2+b=0, halle

a – b.

A) – 1 B) 0 C) 1

D) 2 E) 3

Resolución

Tema: Ecuaciones

Para resolver el problema usaremos y aplicaremos

el concepto de solución o raíz de una ecuación

polinomial.


Como x1=2 y x2=– 1 son raíces (o soluciones)

de la ecuación bicuadrada x4 – ax2+b=0,

entonces verifican la ecuación.

En particular, para x2=– 1 tenemos

(– 1)4 – a(– 1)2+b=0

→ 1 – a+b=0

→ a – b=1

Respuesta

1

Alternativa C

PREGUNTA N.o 17

Sea

Ei i i

i i

=+( ) − +

( )

−

+

12

262

2

22

62

22

62

Indique cuál de las siguientes proposiciones es

verdadera.

U N I

11

MATEMÁTICA

I. Re E( ) = −1 32

II. lm E( ) = +1 32

III. E ei

=−

2712

π

A) solo I B) solo II C) solo III

D) I y III E) I, II y III

Resolución

Tema: Números complejos

Recuerde que

θ

a

z=a+bi

Re

Im

z| |

z=a+bi

=|z|· eqi


Ei i i

i i=

+ − +

( )

−

+

( )·12

262

2

22

62

22

62

diferencia de cuadrados

Ei i= +( ) − −( )1 3

2 (*)

Efectuando tenemos

E i= −( )

− +

1 32

3 12

→ Re( )E = −1 32

Im( )E = − +

3 12

Expresando (*) en su forma polar.

E

e e

ee

i i

i

i= =

+ −

2 2

22

476

24

76

2π π

π

π π π·

··

∴ E ei

=−

2712·

π

RespuestaI y III

Alternativa D

PREGUNTA N.o 18Calcule

S = + + + +7

1225

14491

1728337

20736...

A) 13

B) 12

C) 711

D) 56

E) 1112

U N I

12

MATEMÁTICA

Resolución

Tema: Series numéricas reales

Recuerde que si r ∈ ⟨– 1; 1⟩, entonces

r+r2+r3+r4+...=r

r1−


S = + + + +7

1225

14491

1728337

20736...

= +

+ +

+ +

+ +

+

13

14

19

116

127

164

181

2256

...

= + + + +

+ + + + +

13

19

127

181

14

116

164

1256

... ...

=−

+−

13

113

14

114

= +1

213

= 5

6

Respuesta56

Alternativa D

PREGUNTA N.o 19Se sabe que un conjunto de n elementos tiene 2n

subconjuntos, la intersección de P y Q tiene 128 subconjuntos, la diferencia de P respecto de Q tiene 64 subconjuntos. El producto cartesiano P×Q presenta 182 pares. Luego podemos afirmar que el número de elementos de Q P es:

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Resolución

Tema: Conjuntos

Tenga en cuenta que

• A – B=A \ B=x / x ∈ A ∧ x ∉ B

• n(A×B)=n(A)×n(B)


Por dato tenemos:

• Nº subconjuntos de (P ∩ Q)=2n(P ∩ Q)=128=27

→ n(P ∩ Q)=7

• Nº subconjuntos de (P Q)=2n(P \ Q)=64=26 →

n(P \ Q)=6

• n(P×Q)=n(P) · n(Q)=182

Gráficamente

6 7

P Q

x

Del gráfico se observa que n( )=13.

Como n P n Q n Qx

( )· ( )13 7

182 14

= → ( ) =+

→ x=7

∴ n(Q \ P)=7

Respuesta7

Alternativa C

U N I

13

MATEMÁTICA

PREGUNTA N.o 20Sea f(x)=|x – 1| y g(x)=|x+1|, halle la expresión de F(x)=f(x)+g(x).

A) F(x)= 2x, x ≥ 1 1, – 1 < x < 1–2x, x ≤ – 1

B) F(x)= – 2x, x ≥ 1 2, – 1 < x < 1 2x, x ≤ – 1

C) F(x)= 2x, x ≥ 1 2, – 1 < x < 1–2x, x ≤ – 1

D) F(x)= 2x, x ≤ – 1 1, – 1 < x < 1–2x, x ≥ 1

E) F(x)= x, x ≤ – 1 2, – 1 < x < 1–x, x ≥ 1

Resolución

Tema: Álgebra de funciones

Recuerde que Dom(f+g)=Domf ∩ Domg.


f(x)=|x – 1|=

x – 1; si x ≥ 1– x+1; si x < 1

g(x)=|x+1|=

x+1; si x ≥ – 1– x – 1; si x < – 1

Piden F(x)=f(x)+g(x)

F(x)= 2x, x ≥ 1 2, – 1 < x < 1–2x, x ≤ – 1

Respuesta

F(x)= 2x, x ≥ 1 2, – 1 < x < 1–2x, x ≤ – 1

Alternativa C

uni matematica i 2012 i

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