manual matematica i

AUTOFORMATIVOMANUAL

MATEMÁTICA I

Jhonny Ruiz NúñezSaul Matias Caro

Cada autor es responsable del contenido de su propio texto.

De esta edición:

© Universidad Continental S.A.C. 2013

Jr. Junin 355, Miraflores, Lima-18

Teléfono: 213 2760

Derechos reservados

Primera Edición: Marzo 2013

Tiraje: 1000 ejemplares

Autor: Jhonny Ruiz Núñez y Saul Matias Caro

Impreso en el Perú - Printed in Perú

Fondo Editorial de la Universidad Continental

Impreso en los Talleres Gráficos:

Xprinted Solución Gráfica S.R.L.

Jr. Pomabamba 607, Lima - Breña.

Todos los derechos reservados.

Esta publicación no puede ser reproducida, en todo ni en parte, ni registrada en o trasmitida por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquier otro sin el permiso previo por escrito de la Universidad.

INTRODUCCIÓN

DIAGRAMA DE PRESENTACION DE LA ASIGNATURA

UNIDAD I: “NÚMEROS REALES”

DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

TEMA N° 1: NÚMEROS REALES 1 Propiedades de los números reales

2 Ecuaciones lineales.

3 Ecuaciones cuadráticas.

4 Aplicación de ecuaciones.

5 La recta numérica e intervalos.

6 Desigualdades lineales y aplicaciones.

6.1 Desigualdades lineales.

6.2 Aplicaciones de las desigualdades lineales

7 Desigualdades cuadráticas y polinómicas.

7.1 Desigualdades cuadráticas

7.2 Desigualdades polinómicas

8 Desigualdades fraccionarias.

9 Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

9.1 Valor absoluto

9.2 Ecuaciones con valor absoluto

9.3 Inecuaciones con valor absoluto

AUTOEvALUACIÓN N° 1

UNIDAD II: “FUNCIONES”


TEMA N° 01: FUNCIONES y GRáFICAS 1 Definición y evaluación de una función

2 Dominio y rango de una función.

3 Gráfica de funciones.

4 Gráfica de Funciones definidas por partes.

TEMA N° 02: FUNCIONES CRECIENTES y DECRECIENTES. 1 Definición y propiedades de funciones crecientes y decrecientes

2 Graficas

ÍNDICE

TEMA N° 03: TRANSFORMACIONES DE FUNCIONES. 1 Desplazamientos verticales de gráficas

2 Desplazamientos horizontales de gráficas

3 Reflexión de gráficas

4 Estiramiento y acortamiento vertical

5 Acortamiento y alargamiento horizontal de gráficas

TEMA N° 04: FUNCIONES PAR E IMPAR. 1 Definición y gráficas

TEMA N° 05: FUNCIONES CUADRáTICAS 1 Definición y propiedades de funciones cuadráticas

2 Valor máximo o mínimo de una función cuadrática

3 Modelado con funciones cuadráticas


UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES y EXPONENCIALES”


TEMA N° 01: ALGEBRA DE FUNCIONES 1 Combinación de funciones

2 Composición de funciones.

TEMA N° 02: FUNCIONES UNO A UNO 1 Propiedades de las funciones uno a uno

TEMA N° 03: FUNCIONES INvERSAS 1 Propiedad de las funciones inversas

2 Grafica de una función inversa

3 Aplicación de las funciones inversas

TEMA N° 04: FUNCIONES POLINOMIALES 1 Funciones polinomiales y sus gráficas.

2 Funciones polinomiales y sus aplicaciones.

TEMA N° 05: FUNCIONES RACIONALES 1 Funciones racionales y asíntotas

2 Gráficas básicas de una función racional

3 Dominio de una función racional

4 Definición de asíntotas verticales y horizontales

5 Teoremas de las asíntotas horizontales y oblicuas

6 Gráfica de una función racional

TEMA N° 06: FUNCIONES EXPONENCIALES 1 Propiedades de funciones exponenciales y logística.

2 Gráfica de funciones exponenciales, logística y sus aplicaciones.

3 Función exponencial natural

4 Función logística

5 Aplicaciones


UNIDAD Iv: “FUNCIONES LOGARÍTIMICAS - TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA”


TEMA N°01: FUNCIONES LOGARÍTMICAS. 1 Definición de las funciones logarítmicas

2 Propiedades de funciones logarítmicas.

3 Gráfica de funciones logarítmicas y sus aplicaciones.

TEMA N°02: MODELADO CON FUNCIONES EXPONENCIALES y LOGARÍTMICAS. 1 Ecuaciones exponenciales.

2 Ecuaciones logarítmicas.

3 Modelado con funciones exponenciales y logarítmicas.

TEMA N° 03: FUNCIONES TRIGONOMéTRICAS y TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA 1 Medida angular.

2 Trigonometría de ángulos rectos.

3 Funciones trigonométricas de ángulos.

4 Identidades trigonométricas.


ANEXO

CLAvE DE RESPUESTAS DE LAS AUTOEvALUACIONES

INTRODUCCIÓN

La asignatura de Matemática I se desarrolla

con una modalidad de educación virtual,

para eso este manual autoformativo es su

material didáctico más importante dentro de su for-

mación profesional.

La matemática como ciencia es una de las más im-

portantes y poderosas herramientas creada por el

ser humano. Es así como la asignatura de Matemá-

tica I, trata de temas básicos que permite a los estu-

diantes desarrollar sus habilidades y destrezas y lo

más importantes incursionar en el inicio del estudio

de las matemáticas en toda su universalidad.

De esta manera se ha planteado 4 unidades, las cua-

les están debidamente organizadas y sistematizadas

teniendo en cuenta los principios pedagógicos, mo-

tivo por el cual en primer lugar se presenta la teoría,

luego ejercicios resueltos, actividades de autoapren-

dizaje y finalmente la autoevaluación.

Para el estudio del manual se sugiere la siguiente

secuencia en cada unidad:

Realizar el estudio de los contenidos. Es necesario

la lectura analítica, la comprensión de los ejem-

plos y el repaso de los temas.

Desarrollar las actividades, con referencia en los

ejemplos resueltos por cada tema.

Desarrollar la auto evaluación, que es una prepara-

ción para la prueba final de la asignatura

Desarrollar las actividades programadas para cada

semana en el aula virtual, con la asesoría del Tutor.

Por tanto Ud. requiere un conocimiento directo y prac-

tico de la matemática que le permita aplicar en temas

de su carrera profesional, tomando casos de su entorno,

logrando de esta manera la adquisición de conocimien-

tos de la matemática a través de la aplicación directa

de la teoría sin dejar de lado la motivación y la aplica-

ción de nuevas metodologías para desarrollar un buen

aprendizaje

MATEMÁTICA I MANUAL AUTOFORMATIVO 9

Diagrama Objetivos Inicio

Desarrollode contenidos

Actividades Autoevaluación

Lecturasseleccionadas

Glosario Bibliografía

Recordatorio Anotaciones

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA

Identifica, define, analiza y aplica los diferentes teoremas, propiedades en los núme-ros reales, funciones y trigonometría analítica en la solución de situaciones proble-máticas demostrando interés, tolerancia y respeto a los demás.

UNIDADES DIDACTICAS

UNIDAD Nº 1 UNIDAD Nº 2 UNIDAD Nº 3 UNIDAD Nº 4

“NÚMEROS REA-LES”

“FUNCIONES” “ALGEBRA DE FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES Y EXPONENCIALES”

“FUNCIONES LO-GARÍTIMICAS - TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA

TIEMPO MINIMO DE ESTUDIO:

UNIDAD Nº 1 UNIDAD Nº 2 UNIDAD Nº 3 UNIDAD Nº 4

1ª y 2ª semana

16 horas

3ª y 4ª semana

16 horas

5ª y 6ª semana

16 horas

7ª y 8ª semana

16 horas







DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN DE LA ASIGNATURA














UNIDAD I: NUMEROS REALES








CONOCIMIENTOS PROCEDIMIENTOS ACTITUDES

Tema N° 1:

Números reales

1. Propiedades de los nú-meros reales.

2. Ecuaciones lineales.

3. Ecuaciones cuadráticas.

4. Aplicación de ecuacio-nes.

5. La recta numérica e in-tervalos

6. Desigualdades lineales y aplicaciones.

7. Desigualdades cuadráti-cas y polinómicas.

8. Desigualdades fraccio-narias.

8. Ecuaciones e inecuacio-nes con valor absoluto.

Autoevaluación N° 1

1. Define un número real.

2. Resuelve operaciones con números reales apli-cando sus propiedades.

3. Resuelve ejercicios de ecuaciones lineales

4. Resuelve ejercicios de ecuaciones cuadráticas

5. Resuelve ejercicios de aplicación de ecuaciones

6. Resuelve ejercicios y apli-caciones de desigualda-des lineales con una va-riable.

7. Resuelve ejercicios de des-igualdades cuadráticas, polinómicas, fracciona-rias y valor absoluto.

Actividad dirigida: práctica de ecuaciones lineales y cua-dráticas

Control de Lectura N° 01

1. Demuestra interés por re-lacionar las operaciones y métodos en la solución de un problema matemá-tico.

2. Demuestra sentido crí-tico en el manejo de la información relevante referida a la matemática que explora en las redes de información.

3. Demuestra interés por re-lacionar las operaciones y métodos en la solución de un problema matemá-tico.

4. Demuestra sentido crí-tico en el manejo de la información relevante referida a la matemática que explora en las redes de información.


CONTENIDO

BIBLIOGRAFÍA

EJEMPLOS

AUTOEvALUACIÓN

ACTIvIDADES

12








TEMA N°01: NUMEROS REALES

Seguramente usted ha escuchado hablar de los números reales…lo invito a empezar el estudio de un tipo de números que son muy importantes para comprender muchos temas en matemática.

Los números reales están formados por los números racionales e irracionales. Se denota con .

Los números reales comprenden los siguientes:

Números Naturales:

N = {1, 2, 3, 4, 5, …………}

Números Enteros:

Z = {………., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……….}

Números Racionales:

= {a/b, a y b ε Z, b ≠ 0} = ... ... ... ..., 3 , 1 , 76 , 46 , ... ... ... ...

2 2 100 1

Números Irracionales:

I = - Q = {... ... ... ..., √3 , √5 , 3√2 , π , ... ... ... ... }

1 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

Con estas propiedades se puede demostrar las operaciones básicas en matemática, siendo las siguientes:

A) Propiedades de la adición.

A1: Para todo a, b ε , a+b ε clausura

A2: Para todo a, b ε , a+b = b+a conmutativa

A3: Para todo a, b, c ε , (a+b)+c = a+(b+c) asociativa

A4: Existe el 0 ε / para todo a ε , a+0 = 0+a = a elemento neutro

A5: Para todo a ε , existe –a ε / a+(-a) = (-a)+a = 0 opuesto

B) Propiedades de la multiplicación.

M1: Para todo a, b ε , a.b ε clausura

M2: Para todo a, b ε , a.b = b.a conmutativa

M3: Para todo a, b, c ε , (a.b).c = a.(b.c) asociativa

M4: Existe el 1≠0 ε / para todo a ε , a.1 = 1.a = a elemento neutro

M5: Para todo a≠0 ε , existe a-1 = 1/a ε / a. a-1 = a-1.a = 0 inverso

C) Propiedades distributivas.

D1: a.(b+c) =a.b+a.c, para todo a, b, c ε por la izquierda

D2: (a+b).c = a.c+b.c, para todo a, b, c ε por la derecha

Ejemplos: Las propiedades de los números reales que se están usando son:

1. 8 + 5 = 5 + 8

Se refiere a la propiedad conmutativa de la adición.

2. 3(A + B) = 3A + 3B

Se refiere a la propiedad distributiva por la izquierda

3. (x + 3y) + 5z = x + (3y + 5z)

Se refiere a la propiedad asociativa de la adición














ACTIVIDADES:

Esta actividad puede consultarla en su aula virtual.

2 ECUACIONES LINEALES

Las ecuaciones lineales tienen la forma o son transformables a la forma general:

donde a y b son constantes, a ≠ 0, y siendo x la incógnita, por lo cual son también llamadas ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA y se resuelve de si-guiente manera.

Ejemplo 1:

Resolveremos a continuación la siguiente ecuación 8x – 5 = 2x + 7

Solución:

Iniciamos su solución de la ecuación cambiándola a una equivalente en la que to-dos los términos que tienen la variable x están en un lado y todos los términos constantes están en el otro.

8x – 5 = 2x + 7 Ecuación dada

(8x – 5) + 5 = (2x + 7) + 5 Se suma 5

8x = 2x + 12 Simplificación

8x – 2x = 2x – 2x + 12 Se resta 2x

x = 2 dividiendo 12/6

Es importante VERIFICAR LAS RESPUESTAS. En estas comprobaciones, PM quie-re decir “primer miembro “ y SM quiere decir segundo miembro” de la ecuación.

Si x = 2, reemplazamos en el:

PM: 8x – 5 = 8(2) – 5 = 11

SM: 2x + 7 = 2(2) + 7 = 11

Entonces PM = SM, es correcta la respuesta.







ACTIVIDADES:


3 ECUACIONES CUADRÁTICAS

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

donde son números reales y .


14







Ejemplos:

La condición de que en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación.

Entre los métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas, presentamos los si-guientes:

Factorización

Fórmula cuadrática

FACTORIZACIÓN: para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Factorizamos el miembro de la ecuación que no es cero. Se iguala a cero cada factor y se obtienen los valores de la variable.

Ejemplo: Para resolver la ecuación x2 + 10x = 24, por el método de factorización, realizaremos lo siguiente:

Solución: primero debemos volver a escribir la ecuación de modo que el segundo miembro sea igual a cero.

x2 + 10x – 24 = 0 Resta de 24

(x + 12)(x - 2) = 0 Factorización

x + 12 = 0 ó x - 2 = 0 Propiedad del producto nulo

x = -12 ó x = 2 Solución

Las soluciones son x = -12 y x = 2







ACTIVIDADES:


FÓRMULA CUADRÁTICA: La solución de una ecuación con está dada por la fórmula cuadrática:

La expresión: conocida como discriminante determina el tipo de solucio-nes.

La siguiente tabla nos indica el tipo de raíz de acuerdo al valor del discriminante.

VAlOR DE:TIPO DE SOlUCIóN

positivo dos soluciones realescero una solución realnegativo dos soluciones complejas









Ejemplo: Resolvamos la ecuación cuadrática x2 + 3x - 1 = 0 del siguiente modo:

Solución: primero debemos identificar los coeficientes (con el signo que le antece-de) para aplicar la fórmula.

a = 1, b = 3, c = -1 La fórmula es:

Reemplazamos en la fórmula y obtenemos:

Las soluciones son:







ACTIVIDADES:








Recuerda: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática.

4 APLICACION DE LAS ECUACIONES

Las ecuaciones permiten resolver diversos problemas. Veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Se tienen dos sacos de arroz con 174 kg. Del más pesado se extrae el 25 % de su contenido y se echa en el otro, quedando los dos con la misma cantidad. ¿Cuánto pesaba cada saco?

Solución: Asignamos la variable “x” a uno de los sacos:

S1 = x

Expresamos el otro saco en función de esta variable:

S2 = 174 – x

Expresamos mediante una ecuación las condiciones del problema, el 25 % del saco mayor es la cuarta parte de su contenido y esto adicionamos al saco menor:

Resolviendo la ecuación se tiene:

Constatamos que los resultados son correctos y respondemos a la pregunta del pro-blema:

El saco S1 pesa 116 kg y el saco S2 pesa (174 – 116) que es igual a 58 kg


16













ACTIVIDADES:


5 LA RECTA NUMÉRICA E INTERVALOS

Recta numérica.

Recta donde se establece una biyección, a cada número real le corresponde un único punto de la recta y a cada punto le corresponde un único número real.

−4.9 −4.7

−4.85

−3.1725−2.63

−5 −4 −3 −2 −1

−116

0.30 1 2 3 4 5

−√2 √2√3 4.2

4.3 4.5

4.4 4.9999√5 π

18

14 12

Intervalos

Intervalos son conjuntos de números reales y se representan mediante un segmen-to con o sin extremos.

Clases de intervalos

Dados y son números reales con ba < . A continuación presentamos los si-guientes tipos de intervalos.

NOMBRENOTACIóN

REPRESENTACIóN GRÁFICAINTERVAlO CONjUNTO

Abierto

Cerrado

Abierto – Cerrado

Cerrado – Abierto

Abierto a la izquierda

Cerrado a la izquierda

Abierto a la derecha

Cerrado a la derecha

Los signos ] y [, indican que el extremo del intervalo si está incluido.

Los signos y , indican que el extremo del intervalo no está incluido.

Operaciones. Los intervalos son conjuntos (subconjuntos de ) con ellos es posible realizar las operaciones conjuntistas: unión, intersección, complementación, diferen-cia, diferencia simétrica, etc.

6 DESIGUALDADES LINEALES Y APLICACIONES

Una desigualdad es similar a una ecuación, sólo que en lugar de tener un signo de igual hay uno de los símbolos <, > , o .









Ejemplo:

2x - 8 < 10

Resolver una desigualdad que contiene una variable quiere decir determinar todos los valores de la variable que hacen que la desigualdad sea verdadera. Al contrario que en una ecuación, una desigualdad por lo general tiene infinitas soluciones, las cuales forman un intervalo o una unión de intervalos en la recta de los números reales.

Ejemplo: resolvamos a continuación una ecuación lineal e inecuación lineal, en ambos casos despejamos la variable “x”.

Ecuación: 4x + 7 = 19 x = 3

Desigualdad: 4x + 7 < 19 x < 3

6.1 DESIGUALDADES LINEALES

Si el grado de la desigualdad es uno, se dice que la desigualdad es lineal.

Es de la forma:

.

Ejemplo: Resolveremos la desigualdad 3x < 9x + 4 y luego graficaremos el con-junto solución.

Solución

3x < 9x + 4

3x - 9x < 9x + 4 - 9x Sustraemos 9x en ambos lados

-6x < 4 Simplificamos

(-1/6)(-6x) > (-1/6)(4) Y multiplicación por —1/6

x > -2/3







La multiplicación por el número invierte la direc-ción de la desigualdad

El conjunto solución consta de todos los números mayores que -2/3. En otras

palabras, la solución de la desigualdad es el intervalo −2 ; ∞ 3

. Siendo su gráfica la siguiente:







ACTIVIDADES:


6.2 APLICACIÓN DE LAS DESIGUALDADES LINEALES

Las desigualdades permiten resolver diversos problemas de situaciones reales. Vea-mos el siguiente ejemplo.


18







Ejemplo:

La comisión mensual de un agente de ventas es de 15% de las ventas por arriba de $ 12000. Si su objetivo es lograr una comisión de al menos $1000 por mes, ¿cuál es el volumen mínimo de ventas que debe alcanzar?

Solución:

Sea x la comisión mensual del agente de ventas.

Como la comisión mensual del agente es de 15% de las ventas por arriba de $12000, planteamos la siguiente expresión matemática

15% (x-12000)

0.15(x-12000)

Además el objetivo es lograr una comisión de al menos( ) $1000, quiere decir:

0.15(x-12000) 1000

Resolveremos esta desigualdad:

0.15x – 1800 1000

0.15 x 1000 + 1800

0.15x 2800

x 18666.67

por lo tanto el volumen mínimo de ventas que debe alcanzar el agente de ventas es de $18666.67.







ACTIVIDADES:


2. Costos de manejo de un automóvil. Se estima que el costo anual de manejar un cierto automóvil nuevo se obtiene mediante la fórmula.

C = 0.35 m + 2200

donde m representa la cantidad de millas recorridas al año y C es el costo en dóla-res. Francisco compró uno de esos vehículos y decide apartar para el año próximo entre 6400 y 7100 dólares para los costos de manejo. ¿Cuál es el intervalo corres-pondiente de millas que puede recorrer con su nuevo automóvil?

7 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS y POLINÓMICAS

7.1 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

Las desigualdades cuadráticas se presentan de la forma:

Dados:

Ejemplo:









7.2 DESIGUALDADES POLINÓMICAS

Las desigualdades polinómicas se presentan de la forma:

P(x) = anxn + ... + a1x + a0 >, 0

P(x) = anxn + ... + a1x + a0 <, 0

donde a0, a1, ... an son constantes.

Ejemplo:







Para resolver las desigualdades cuadráticas y polinómicas se usa el método de los puntos críticos:

Método de los Puntos Críticos:

Sólo se utiliza cuando el discriminante es positivo. Pasos a seguir.

a) Como consecuencia del método anterior se hallan los puntos críticos y se orde-nan en la recta real en forma creciente.

b) Es indispensable que el primer coeficiente de cada factor lineal sea positivo, por ello se colocan entre los puntos críticos los signos (+) y (-) alternadamente de derecha a izquierda, comenzando del mayor punto crítico con el signo (+).

c) Si P(x)>0 o P(x) 0 el conjunto solución estará formado por los intervalos don-de aparezca el signo (+).

d) Si P(x)<0 o P(x) 0 el conjunto solución estará formado por el intervalo donde aparezca el signo (-).

Ejemplo: Para resolver la desigualdad x2 + 5x + 6 > 0, realizamos el siguiente proce-dimiento:

x2 + 5x + 6 > 0

(x+ 3)(x + 2) > 0 Factorizamos

x+3 = 0 ó x+2 = 0 Igualamos a cero cada factor

x=-3 x = -2 Hallamos los puntos críticos

Se ubica los puntos críticos en la recta numérica y se coloca los signos alternada-mente.

El conjunto solución estará formado por los intervalos donde aparezca el signo (+)

Respuesta: C.S. x ε ⟨−∞; −3⟩ ∪ ⟨−2; +∞⟩







ACTIVIDADES:


8 DESIGUALDADES FRACCIONARIAS.

Enunciaremos un método para resolver algunas inecuaciones del tipo

donde el signo “<” puede ser también “>”, “ ” o “ ”.

Algunas propiedades aplicativos a la resolución de inecuaciones fraccionarias:

Sean x e y números reales del mismo signo, luego:


− ∞ + ∞

20







a) Si: xy

< 0 ⇒ x, y < 0

b) Si: xy

≥ 0 ⇒ x, y ≥ 0 ∧ y ≠ 0

Ejemplo 01:

Resolvamos la siguiente inecuación:

x + 2x − 8

> 0

Solución:

La inecuación equivalente de acuerdo a propiedades es:

(x+2)(x-8)>0

por puntos críticos:

La respuesta es: x ∈ < −∞ ; −2 > ∪ < 8; ∞ >Diagrama Objetivos Inicio






ACTIVIDADES:


9 ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.

9.1 VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto o módulo de un número real “x” se define por:

x si x > 0 0 si x = 0−x si x < 0

|x| =

Propiedades de valor absoluto

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

9.2 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Los teoremas que permiten la solución de ecuaciones con valor absoluto son los siguientes:

1.

2.

3.

dónde: y es el universo dentro del cual se resuelve la ecuación.

|x| ≥ 0 ; ∀ x ∈ R

|x| ≥ x ; ∀ x ∈ R

|x|2 = |x2| = x2

|x| = |−x|

|x . y| = |x| |y|

| | = | | , y ≠ 0

|x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdad triangular)

xy

xy

|x| = 0 ⇔ x = 0

|x| = y ⇔ [y ≥ 0 ∧ (x = y ∨ x = −y)]

|x| = |y| ⇔ x = y ∨ x = −y









Ejemplo 01:

Para resolver la siguiente ecuación con valor absoluto |1 − 2x| = 0 realizamos lo siguiente:

Solución:

Aplicando directamente el Teorema: |x| = 0 ⇔ x = 0 , entonces del ejercicio planteado hacemos:

|1 − 2x| = 0 ⇔ 1 − 2x = 0

−2x = −1

Luego: -1-2x =

La respuesta es:

12C. S. X ∈

Ejemplo 02:

Resolvamos: |3x − 2| = 4

Solución:

Aplicando directamente el Teorema: |x| = y ⇔ [y ≥ 0 ∧ (x = y ∨ x = −y)] , en-tonces del ejercicio planteado hacemos:

luego: [(3x − 2 = 4 ∨ 3x − 2 = −4)]

⇒ (3x = 6 ∨ 3x = −2)

⇒ (x = 2 ∨ x = − )2

3

La respuesta es: C. S. X ∈ − ; 223

Ejemplo 03:

Resolvamos la siguiente ecuación con valor absoluto |1 − 3x| = |x − 2|

Solución:

Aplicando directamente el Teorema: |x| = |y| ⇔ x = y ∨ x = −y , entonces del ejercicio planteado hacemos:

|1 − 3x| = |x − 2| ⇔ 1 − 3x = x − 2 ∨ 1 − 3x = −(x − 2)

⇒ −4x = −3 ∨ −2x = 1

⇒ (x = ∨ x = − )1

234

Respuesta: C. S. X ∈ − ; 12

34







ACTIVIDADES:


9.3 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

En las inecuaciones con valor absoluto es conveniente recordar las siguientes propiedades que son una consecuencia inmediata de las propiedades de valor absoluto estudiadas anteriormente:

1)

2)

3)

Ejemplo 01:

Resolvamos: |x − 4| < 7


|x| < y ⇔ [y > 0 ∧ (−y < x < y)]

|x| > y ⇔ [y ≥ 0 ∧ (x > y ∨ x < −y)]

|x| < |y| ⇔ |x|2 < |y|2 ⇔ x2 < y2

22







Solución:

Aplicando el Teorema: |x| < y ⇔ [y > 0 ∧ (−y < x < y)], entonces del ejercicio planteado hacemos:

|x − 4| < 7 ⇔ [7 > 0 ∧ (−7 < x − 4 < 7)]

directamente: (−7 + 4 < x − 4 + 4 < 7 + 4

−3 < x < 11

Respuesta: C.S. x ∈ < -3; 11 >

Ejemplo 02:

Resolvamos: |x − 1| > 3

Solución:

Aplicando el Teorema: |x| > y ⇔ [y ≥ 0 ∧ (x > y ∨ x < −y)] entonces del ejer-cicio planteado hacemos:

|x − 1| > 3 ⇔ [3 ≥ 0 ∧ (x − 1 > 3 ∨ x − 1 < −3)]

⇔ [(x − 1 > 3 ∨ x − 1 < −3)]

(x > 4 ∨ x < −2)

Respuesta: C.S. x ∈ < −∞ ; −2 > ∪ < 4; ∞ >

Ejemplo 03:

Resolvamos: |2x − 1| < |x + 1|

Aplicando el Teorema: |x| < |y| ⇔ |x|2 < |y|2 ⇔ x2 < y2 entonces del ejercicio planteado hacemos:

|2x − 1| < |x + 1| ⇔ (2x − 1)2 < (x + 1)2

⇔ (2x − 1)2 − (x + 1)2 < 0

diferencia de cuadrados: ⇔ (2x − 1 − x − 1)(2x − 1 +x + 1) < 0

(x − 2)(3x) < 0

por puntos críticos:

Respuesta: C.S. x ∈ < 0; 2 >Diagrama Objetivos Inicio






ACTIVIDADES:
















AUTOEvALUACIÓN N° 1:

Resuelva los siguientes ejercicios y aplicaciones:

1. x – (2x+8) = 5(-x+3)

2.

3.

4.

5.

6. 9x > x2 + 14

7. (x + 1)(x – 2)(x+5) > 0

8. |x2 − x| = x − 1

9. |x+2| 2

10. Población de peces. La población de peces de un lago aumenta y disminuye según la fórmula F = 1000(30 + 17t - t2). En este caso, F es la cantidad de peces que hay en el tiempo t, donde t se mide en años desde el primero de enero de 2002, cuando la población de peces se estimó por vez primera.

¿En qué fecha la población de peces volverá a ser la misma que en el primero de enero de 2002?


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BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

1. James Stewart, Lothar Redlin, Salem Watson, Precálculo. Matemáticas para el cálcu-lo. Editorial Cengage Learning, México, 2007.

2. Hoffman, L.D.; Bradley, G.L.: Cálculo aplicado a la Administración, Economía y Cien-cias Sociales. Editorial: McGraw-Hill, 2006.

3. Sydsaeter, K.; Hammond, P.J.: Matemáticas para el análisis económico. Editorial: Pren-tice Hall, Madrid, 1996.

4. Arya, J.; Lardner, R.: Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Edi-torial: Pearson Educación, Prentice-Hall, Mexico, 2002.

5. Haeussler, E.; Paul, R.: Matemáticas para la administración y economía. Editorial: Prentice Hall, 2003.

6. Calvo, M.; Escribano,..: Problemas resueltos de matemáticas aplicadas a la economía y la empresa. Editorial: Thomson-AC, 2003.

7. Cámara, A.; Garrido, R; Tolmos, P.: Problemas de matemáticas para economía y empre-sa. Editorial: AC, 2003.

8. Muñoz, A.; Santos, J.; Fabian, G.: Problemas de matemáticas para economía, administra-ción y dirección de empresas. Editorial: Ediciones Académicas S.A., 2003.















II UNIDAD: FUNCIONES







PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD


Tema N° 01: Funciones y gráficas1. Definición y evaluación de una

función, aplicaciones.2. Dominio y rango de una función.3. Gráfica de funciones.4. Gráfica de Funciones definidas

por partes.

Tema N° 02: Funciones crecientes y decrecientes. 1. Definición y propiedades de fun-

ciones crecientes y decrecientes2. Graficas

Tema N° 03: Transformaciones de funciones. 1. Desplazamientos verticales de

gráficas2. Desplazamientos horizontales de

gráficas3. Reflexión de gráficas4. Estiramiento y acortamiento

vertical5. Acortamiento y alargamiento

horizontal de gráficas

Tema N° 04: Funciones par e impar.1. Definición gráficas

Tema N° 05: Funciones cuadráticas1. Definición y propiedades de fun-

ciones cuadráticas2. Valor máximo o mínimo de una

función cuadrática 3. Modelación con funciones cua-

dráticas


1. Define y evalúa una función

2. Reconoce las características de la gráfica de una función.

3. Resuelve ejercicios sobre funciones.

4. Identifica el domi-nio y rango de una función.

5. Grafica una fun-ción.

6. Identifica una función creciente y decreciente.

7. Construye una función a partir de funciones.

8. Identifica una fun-ción par e impar.

9. Grafica una fun-ción cuadrática.

10. Resuelve proble-mas utilizando modelación de funciones.

Actividad dirigida: Práctica sobre funcio-nes

Tarea académica N° 01

1. Demuestra interés por relacionar las operaciones y métodos en la solución de un problema matemático.

2. Demuestra sen-tido crítico en el manejo de la información re-levante referida a la matemática que explora en las redes de información.

3. Demuestra interés por relacionar las operaciones y métodos en la solución de un problema matemático.

4. Demuestra sen-tido crítico en el manejo de la información re-levante referida a la matemática que explora en las redes de información.

CONTENIDO

BIBLIOGRAFÍA

EJEMPLOS

AUTOEvALUACIÓN

ACTIvIDADES


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TEMA N° 01: FUNCIONES y GRáFICAS

1 DEFINICIÓN Y EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN

Uno de los conceptos más importantes en matemática es el de función.

En muchas situaciones encontramos que dos o más objetos o cantidades están rela-cionados por una correspondencia de dependencia, como por ejemplo:

El área de un círculo es una función de su radio.

El número de bacterias en un cultivo es una función del tiempo.

El peso de un astronauta es una función de su elevación.

El precio de un artículo es una función de la demanda de ese artículo.

El costo de enviar por correo un paquete es una función del peso.

La temperatura de ebullición del agua depende de la altura del lugar

Esto nos conduce a la definición de función.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Una función f de un conjunto A en un conjunto B, es una regla que hace corres-ponder a cada elemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado imagen de x por f, que se denota:

y=f (x)

En símbolos, se expresa f : A B, siendo el conjunto A el dominio de f, y el conjun-to B el rango.

La notación y=f (x) señala que y es una función de x. La variable x es la variable independiente, y el valor y se llama variable dependiente, y f es el nombre de la función.

Las condiciones que debe reunir una relación para ser función, pueden resumirse en estas dos:

a) Existencia: Cada elemento del dominio debe tener imagen

b) Unicidad: La imagen de cada elemento del dominio debe ser única.

Ejemplos:

a) La siguiente relación es función porque cada elemento de A está relacionado con uno y sólo uno de B.

UNIDAD II: FUNCIONES








b) La relación del diagrama no es función porque un elemento de E no tiene co-rrespondiente en F.

2 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN.

El Dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x).

El Rango de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (y).

Ejemplos.

Determinación dominios de funciones

Hallaremos el dominio de cada función

a) ƒ(x) = 2x + 1x2 - x

b) f(x) = √25 − x2 c) g(x) = t - 1√t + 3

Solución

a) La solución no está definida cuando el denominador es 0. Puesto que:

ƒ(x) = =2x + 1

x2 - x 2x + 1x(x - 1)

Se puede observar que f (x) no está definida cuando x = 0 o x = 1 . Así el domi-nio de f es:

{x/x ≠ 0, x ≠ 1

El dominio se puede escribir en notación de intervalo como:

Dom ƒ(x) = − {0, 1}

b) No se puede sacar la raíz cuadrada de una cantidad negativa, así que se debe tener 25 − x2 ≥ 0. Con la propiedad adecuada se puede resolver esta des-igualdad para hallar que: −5 ≤ x ≤ 5 . Así, el dominio de la función es:

Dom ƒ(x) = [−3, 3]

c) No se puede sacar la raíz cuadrada de un número negativo, y tampoco se puede dividir entre cero, así que se debe tener t + 3 > 0 , es decir, t > −3 . Por lo tanto, el dominio de g es:

Dom g(x) = < −3, ∞ >







ACTIVIDADES:


3 GRÁFICA DE FUNCIONES.

Las gráficas permiten obtener una representación visual de una función. Éstas en-tregan información que puede no ser tan evidente a partir de descripciones verba-les o algebraicas.

Para representar gráficamente una función y=f (x), es común utilizar un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, en las cuales, la variable independiente x se representa en el eje horizontal, y la variable dependiente y en el eje vertical.


28







Ejemplo:

Trazaremos las gráficas de las siguientes funciones:

a) ƒ(x) = x2 b) g(x) = x3 c) h(x) = √x

Solución: Primero se construye una tabla de valores. Luego se grafican los puntos expresados en la tabla y se unen mediante una curva lisa para obtener la gráfica

Luego los bosquejos de las gráficas son:

Fuente: James stewart,Lothar y Saleem Watson. Matemáticas para el cálculo

En la tabla siguiente se muestran gráficas de algunas funciones básicas:









Fuente: James stewart,Lothar y Saleem Watson. Matemáticas para el cálculoDiagrama Objetivos Inicio






ACTIVIDADES:


4 GRÁFICA DE FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES.

Graficaremos la siguiente función definida por partes:

ƒ(x) = −1 si x ≤ 2

1 si x > 2

La grafica es la siguiente:


30







TEMA N° 02: FUNCIONES CRECIENTES y DECRECIENTES.

1 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Sea f una función con dominio D.

Definiciones

Se dice que f es creciente en el intervalo I ⊂ D si, cualesquiera que sean x1, x2 ε I verificando x1 < x2 , se cumple que ƒ(x1) < ƒ(x2) ; es decir, si a medida que crece x en el intervalo I, crece ƒ(x).

Se dice que f es decreciente en el intervalo I ⊂ D si, cualesquiera que sean x1, x2 ε I verificando x1 < x2 , se cumple que ƒ(x1) > ƒ(x2); es decir, si a medida que crece x en el intervalo I, decrece ƒ(x).

2 GRAFICAS

De la siguiente gráfica:

f es creciente en:

f es decreciente en:

Ejemplo:

De la función: su gráfica es la siguiente:

Se observa lo siguiente:

Es decreciente en < −∞, 1 > : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

Es creciente en < 1, ∞ > : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)















ACTIVIDADES:


TEMA N° 3: TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES

Las transformaciones de funciones que se estudiarán son desplazamiento, reflexión y es-tiramiento. Esto nos proporciona una mejor comprensión de cómo graficar una función.

1 DESPLAZAMIENTOS VERTICALES DE GRÁFICAS

Si sumamos una constante a una función, ésta desplaza su gráfica en dirección verti-cal; el desplazamiento es hacia arriba si la constante es positiva y el desplazamiento es hacia abajo si la constante es negativa.

Suponiendo que la constante sea c y mayor que cero (c>0), entonces podemos con-cluir en lo siguiente:







Para graficar y = ƒ(x) + c, se desplaza c unidades hacia arriba la gráfica de y= ƒ(x)Para graficar y = ƒ(x) - c, se desplaza c unidades hacia abajo la gráfica de y= ƒ(x)

Veamos este tipo de desplazamiento en las gráficas siguientes.

En la primera grafica observamos que la gráfica se desplazó c unidades hacia arriba. Así mismo para la segunda gráfica se desplazó c unidades pero hacia abajo.

2 DESPLAZAMIENTOS HORIZONTALES DE GRÁFICAS

De igual manera si c es una constante y es mayor que cero (c > 0), obtenemos lo siguiente:







Para graficar y = ƒ(x-c), se desplaza la gráfica de y = ƒ(x) a la derecha c uni-dades.Para graficar y = ƒ(x+c), se desplaza gráfica de y = ƒ(x) a la izquierda c uni-dades.


32







Como se puede observar las gráficas se han desplazado horizontalmente c unida-des, a la derecha e izquierda respectivamente.

3 REFLEXION DE GRÁFICAS







Para graficar y = -ƒ(x), refleje la gráfica de y = ƒ(x) en el eje x.Para graficar y = ƒ(-x), refleje la gráfica de y = ƒ(x) en el eje y.

4 ESTIRAMIENTO Y ACORTAMIENTO VERTICAL

Para graficar y = c ƒ(x)







Si c > 1, alargue verticalmente la gráfica de y = ƒ(x) por un factor de c.Si c < 1, acorte verticalmente la gráfica de y = ƒ(x) por un factor de c.

5 ACORTAMIENTO Y ALARGAMIENTO HORIZONTAL DE GRÁFICAS

La gráfica de y = f(cx)







Si c > 1, acorte la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/cSi 0< c < 1, alargue la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c.









Ejemplo:

Bosquejaremos la gráfica de la función

Solución. Comenzamos con la gráfica y = x2, se desplaza primero a la derecha 4 unida-des para obtener la gráfica de y = (x-4)2. Luego se refleja en el eje x y se alarga por un factor de 2 para obtener la gráfica de y = -2(x-4)2. Por último, se desplaza 1 unidad hacia arriba para obtener la gráfica de ƒ(x) = 1 – 2(x-4)2 mostrada en la siguiente figura.







ACTIVIDADES:


TEMA N°04: FUNCIONES PAR E IMPAR

1 DEFINICIÓN Y GRÁFICAS

Sea f una función.







ƒ es par si ƒ(-x) = ƒ(x) para toda x en el dominio de ƒ.ƒ es impar si ƒ(-x) = - ƒ(x) para toda x en el dominio de ƒ.


34







FUNCIÓN PAR FUNCIÓN IMPAR

Ejemplo:

De las siguientes funciones determinaremos si son funciones par; impar o ni par ni impar.

1. ƒ(x) = x5 + x

Solución:

Reemplazamos x por –x en la función

2. ƒ(-x) = (-x)5 + (-x) = -x5 – x = -(x5 + x) = -ƒ(x)

La función cambió de signo, por lo tanto, f es una función impar.

g(x) = 1 – x4

Solución

g(-x) = 1 – (-x)4 = 1 – x4 = g(x)

por lo tanto g es par.

3. h(x) = 2x – x2

Solución

h(-x) = 2(-x) – (-x)2 = -2x – x2

Puesto que h(-x) ≠ h(x) y h(-x) ≠ -h(x), se concluye que h no es par ni impar.

Las gráficas de los ejemplos anteriores se muestran a continuación. La gráfica de la fun-ción f es simétrica respecto al origen, y la gráfica de g es simétrica con respecto al eje y. La gráfica de h no es simétrica respecto al eje y o al origen.:







ACTIVIDAD:



3








TEMA N°05: FUNCIONES CUADRáTICAS

1 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

Una función cuadrática es una función f de la forma:

ƒ(x) = ax2 + bx + c

donde a, b, c son números reales y a ≠ 0

Una función cuadrática se puede expresar en la forma estándar

ƒ(x) = a (x – h)2 + k

completando cuadrados. La gráfica de f es una parábola con vértice V(h, k); la parábola se abre hacia arriba si a>0 o hacia abajo si a<0.

2 VALOR MÁXIMO O MÍNIMO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

Sea f una función cuadrática con forma estándar ƒ(x) = a(x – h)2 + k. El valor máxi-mo o mínimo de f ocurre en x = h.

Si a>0, entonces el valor mínimo de f es f(h) = kSi a<0, entonces el valor máximo de f es f(h) = k

Mínimo h

k

f(x) = a(x-h)2 + k, a>0

Máximo

h

k

f(x) = a(x-h)2 + k, a<0

El valor máximo o mínimo de una función cuadrática ocurre en:

Si a>0, entonces el valor mínimo es

Si a<0, entonces el valor máximo es

Ejemplos:

Resolveremos función cuadrática ƒ(x) = -x2 + x + 2

1. Exprese la f en la forma estándar:


36







Solución:

Para expresar esta función cuadrática en la forma estándar, se completa el cua-drado.

ƒ(x) = -x2 + x + 2

= -(x2-x) + 2 Factorizamos -1 de los términos en x

= -(x2-x+1/4) + 2 – (-1)1/4 Complete el cuadrado: sume

¼ dentro del paréntesis, reste (-1)1/4 fuera.

= - ( x – ½)2 + 9/4 Factorizando y simplificando.

2. Bosqueje la gráfica y determine el valor máximo de f

Solución:

De la forma estándar se puede observar que la gráfica es una parábola que abre hacia arriba y tiene vértice (1/2, 9/4). Como ayuda para trazar la gráfica, se encuentran las intersecciones. Las intersecciones y es f(0)=2. Para hallar las in-tersecciones con x, se establece ƒ(x) = 0 y se factoriza la ecuación resultante.

-x2 + x + 2 = 0

-(x2 - x – 2) = 0

-(x - 2)(x + 1) = 0

Así las intersecciones x son x = 2 y x = −1. La gráfica es el siguiente:

Puesto que el coeficiente de x2 es negativo, f tiene un valor máximo, que es f =12

94







ACTIVIDAD:


3 MODELADO CON FUNCIONES CUADRÁTICAS

Muchos de los procesos estudiados en las ciencias físicas y sociales requieren enten-der como varía una cantidad respecto a otra. Hallar una función que describe la dependencia de una cantidad en otra se llama modelado.

Los pasos para modelar una función son las siguientes:

1. Exprese el modelo en palabras. Identifique la cantidad que quiere modelar y exprésala, en palabras, como una función de otras cantidades en el problema.

2. Elija la variable. Identifique las variables empleadas para expresar la función en el paso 1. Asigne un símbolo, como x, a una variable y exprese las otras variables en términos de ese símbolo.

3. Establezca el modelo. Exprese la función en el lenguaje del algebra al escribirla como una función de la única variable elegida en el paso 2.

4. Use el modelo. Emplee la función para contestar las preguntas planteadas en el problema.

Ejemplo:

Un fabricante elabora una lata de metal que contiene 1 L (litro) de aceite. ¿Qué radio reduce al mínimo la cantidad de metal en la lata?








Solución:

El modelo que se desea es una función que da el área de superficie de la lata.

Exprese el modelo en palabras

Se sabe que para una lata cilíndrica

Área superficial = área de la parte superior y el fondo + área de los lados

Elija la variable

Hay dos cantidades variables: radio y altura. Puesto que la función que se desea depende del radio, sea

r = radio de la lata

A continuación, se debe expresar la altura en términos del radio r. Como el volumen de una lata cilíndrica es V = πr2h y el volumen debe ser 1000 cm3, se tiene:

πr2h = 1000 El volumen de la lata es 1000 cm3

h = 1000 πr2 Despeje h

ahora se pueden expresar las áreas de la parte superior, el fondo y los lados en términos de r solamente.

En palabras En álgebra

Radio de la lata r

Altura de la lata 1000 πr2

Área de la parte superior y el fondo 2πr2

Área de los lados (2prh) 2πr2 1000 πr2

El modelo es la función S que proporciona el área de la superficie de la lata como una función del radio r.

Área de superficie = área de la parte superior y el fondo + área de los lados

S(r) = 2πr2 + 2πr

1000 πr2

S(r) = πr2 +

2000 r

Se emplea el modelo para hallar el área de la superficie mínima de la lata. Con ayuda de un graficador se realiza lo siguiente:

Por lo tanto el radio que reduce al mínimo la cantidad de metal en la lata es 5.4 cm.







ACTIVIDADES:

Esta actividad puede consultarla en su aula virtual.su ancho w.


38













AUTOEvALUACIÓN N° 02:

Resuelva los siguientes ejercicios y aplicaciones:

1. Determina si las siguientes relaciones son funciones:

a) f =

b) i =

c) g =

2. Halla el dominio y rango de las siguientes funciones

a) f(x) = 3x – 2; para x ,

b) h(x) = x2; para x ,

c)

3. Grafica las siguientes funciones en el plano cartesiano utilizando la tabla de valores:

a) f(x) = 3x – 2; para x ;

b) g(x) = ; para x ;

c) h(x) = 1 – 2x; para x

4. Se da una función cuadráticas

a) Exprese la función cuadrática en la forma estándar.

b Bosqueje su gráfica

c) Halle su valor máximo o mínimo

1.

2.

3.

4.















UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINO-MIALES, RACIONALES y EXPONENCIALES ”







DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN

CONTENIDO

BIBLIOGRAFÍA

EJEMPLOS

AUTOEvALUACIÓN

ACTIvIDADES


Tema N° 01: Algebra de funciones1. Combinación de funciones2. Composición de funciones.

Tema N° 02: Funciones uno a uno1. Propiedades de las funciones

uno a uno

Tema N° 03: Funciones Inversas1. Propiedad de las funciones in-

versas2. Gráfica de una función inversa3. Aplicación de las funciones in-

versas

Tema N° 04: Funciones Polinomiales1. Funciones polinomiales y sus grá-

ficas.2. Funciones polinomiales y sus

aplicaciones.

Tema N° 05: Funciones racionales 1. Funciones racionales y asíntotas 2. Gráfica de una función racional

Tema N° 06: Funciones Exponen-ciales 1. Propiedades de funciones expo-

nenciales y logística.2. Gráfica de funciones exponen-

ciales, logística y sus aplicacio-nes.


1. Identifica una combi-nación de funciones.

2. Resuelve problemas de combinación de funciones.

3. Identifica una función uno a uno.

4. Resuelve problemas con funciones inversas.

5. Reconoce y grafica una función polinomial.

6. Resuelve problemas con funciones polino-miales.

7. Reconoce y grafica una función racional.

8. Resuelve problemas con funciones racio-nales.

9. Reconoce y grafica una función exponencial y logística

Actividad dirigida: Práctica de algebra de funciones y funciones po-linomiales

Control de Lectura N° 02

1. Demuestra interés por relacionar las operaciones y mé-todos en la solu-ción de un proble-ma matemático.

2. Demuestra sentido crítico en el ma-nejo de la infor-mación relevante referida a la mate-mática que explo-ra en las redes de información.



UNIDAD III: “ALGEBRA DE FUNCIONES – FUNCIONES POLINOMIALES, RACIONALES y EXPONENCIALES ”

42








TEMA N° 01: ALGEBRA DE FUNCIONESAsí como dos números reales se pueden combinar mediante las operaciones de suma, resta, multiplicación y división para formar números reales, dos funciones se pueden combinar para formar nuevas funciones. Veamos a continuación las operaciones con funciones.

1 COMBINACIÓN DE FUNCIONES

Para combinar funciones se puede realizar con operaciones de suma, diferencia, producto y cociente.

Sean f y g dos funciones, se define lo siguiente:

a) SUMA DE FUNCIONES

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

b) DIFERENCIA DE FUNCIONES

(f-g)(x) = f(x) - g(x)

c) PRODUCTO DE FUNCIONES

(f.g)(x) = f(x) . g(x)

d) COCIENTE DE FUNCIONES

(f/g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0

Ejemplo:

Sean

Evaluaremos las funciones (f + g)(x), (f - g)(x), (fg)(x) y (f/g)(x)

Solución:

a) (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Reemplazamos en las funciones, se obtiene

=

b) (f - g)(x) = f(x) - g(x) =

Reemplazamos las funciones, y se obtiene

=

c) (f g)(x) = f(x).g(x)

Reemplazamos las funciones y multiplicamos,

=

d) (f/g)(x) = f(x)/ g(x)

Reemplazamos las funciones y multiplicamos extremos y medios

=














ACTIVIDADES:


2 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Otra forma de combinar funciones es la composición de una función con otra. La composición se denota como (f o g)(x) y se lee “f compuesta con g”.

Dadas dos funciones f y g, la función compuesta (f o g)(x) se define por

El dominio de (f o g)(x) es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g(x) está en el dominio de f. En otras palabras (f o g)(x) se define siempre que g(x) y f(g(x)) estén definidas. Se puede ilustrar f o g por medio de un diagrama de flechas.

Ejemplo:

Sean ƒ(x) = x3 y g(x) = x-3

Encontraremos las funciones (f o g)(x) y (g o f)(x)

Solución:

a) Por definición: (fog)(x) = ƒ(g(x))

Se reemplaza g(x) = x−3 en ƒ(g(x), y se obtiene:

= f(x-3)

Luego, se reemplaza (x−3) en ƒ(x), y se obtiene

= (x-3)3

b) De igual forma, la función (gof)(x)) por definición es

(gof)(x) = g(ƒ(x))

Se reemplaza f(x) = x3 en g(ƒ(x)), y se obtiene

= g(x3)

Luego, se reemplaza x3 en g(x), y se obtiene

= x3 – 3

Los dominios de (fog)(x) y (gof)(x) son los números reales (R).







ACTIVIDADES:



44







TEMA N° 02: FUNCIONES UNO A UNO

2 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES UNO A UNO

Veamos los siguientes diagramas de flechas:

En la función f se puede observar que f no toma el valor dos veces, mientras que en función g toma el mismo valor dos veces (tanto 2 como 3 tienen la misma ima-gen,4). La función f es uno a uno.

Fuente: James Stewart, Lothar y Saleem Watson. Matemáticas para el cálculo: Quinta edición. México:Cengage Learning, 2007.

Por lo tanto se llama función uno a uno si no hay dos elementos de A que tengan la misma imagen, es decir:

ƒ(x1) ≠ ƒ(x2) siempre que x1 ≠ x2

En forma gráfica, si una recta horizontal cruza la gráfica de f en más de un punto, entonces se puede afirmar que no es una función uno a uno.

Veamos en la siguiente gráfica, como al trazar la recta horizontal corta a la gráfica en dos puntos como se puede observar, entonces decimos que la función no es uno a uno.

Ejemplo:

Evaluaremos si las siguientes funciones son uno a uno:

1. ƒ(x) = x3 + 1

Podemos graficar esta función por traslación, empezamos de la función f(x)=x3 y lo trasladamos una unidad hacia arriba, y obtenemos su grafica. Además pode-mos observar que si trazamos una recta horizontal corta a la grafica en un punto; por lo tanto decimos que es una función uno a uno









2. ƒ(x) = x2 + 2x

Esta función no es uno a uno, porque si reemplazamos por ejemplo 0 y -2 en la función obtendremos el mismo resultado, veamos:

ƒ(0) = (0)2 + 2 (0) = 0

ƒ(-2) = (-2)2 + 2(-2) =0

Así también podemos apreciar en su gráfica que trazando la recta horizontal corta a la función en dos puntos, por lo que no es función uno a uno.







ACTIVIDADES:


TEMA N° 03: FUNCIONES INvERSAS

Como se recuerda, una función se puede determinar mediante un conjunto de pares ordenados, por ejemplo se la función f = {(1,5),(2,6),(3,8),(4,10)}, si intercambiamos la primera y segunda coordenada de cada uno de estos pares ordenados, se puede formar la función inversa de f que se denota como f-1. El cual se puede escribir como sigue:

ƒ-1(x) = {(5,1),(6,2),(8,3),(10,4)}


46







En los diagramas se puede observar la función f tiene dominio A y rango B, mientras que su función inversa ƒ-1 tiene como dominio B y rango A.

1 PROPIEDAD DE LAS FUNCIONES INVERSAS

Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa f-1 satisfa-ce las siguientes propiedades de cancelación:

ƒ-1(ƒ(x)) = x para toda x en A

ƒ(ƒ-1(x)) = x para toda x en B

A la inversa, cualquier función ƒ-1 que satisface estas ecuaciones es la inversa de f.

Ejemplo:

Demostraremos que ƒ(x) = x3 y g(x) = x1/3 son inversas entre sí.

Solución: El dominio y el rango de f y g es . Por las propiedad de las funciones inversas se tiene:

g( ƒ(x)) = g(x3) = (x3)1/3 = x

Se puede comprobar que el resultado es x, por lo que decimos que f y g son inversas entre si.

Ahora trabajamos en la segunda propiedad, pero esta vez en sentido contrario, sea:

ƒ( g(x)) = ƒ(x1/3) = (x1/3)3 = x

Del mismo modo el resultado es x. entonces queda demostrado que las dos funcio-nes son inversas entre sí.

Método para hallar la inversa de una función uno a uno

Para determinar la inversa de una función se realiza el siguiente procedimiento:

a) Reemplazar f(x) por “y”

b) Despeja “x” en términos de y (si es posible)

c) Intercambie “x” por “y”. La ecuación resultante es la función inversa f-1(x)

Ejemplo:

Encontraremos la inversa de la función ƒ(x) = 5x – 3

Solución:

Primero se reemplaza “y” por f(x), y se obtiene lo siguiente:

y = 5x – 3

Luego, se despeja x: 5x = y + 3

y + 3

5x =

Por último, se cambia x por y: x + 35

y =

Por lo tanto, la función inversa es: x + 35

ƒ−1(x) =















ACTIVIDADES:


2 GRAFICA DE UNA FUNCIÓN INVERSA

La grafica de la función inversa f-1 se obtiene al reflejar la grafica de f en la grafica de la recta y = x.

Se puede apreciar que en la primera gráfica realizando el reflejo respecto a la recta y = x se obtiene la inversa del punto, o sea (a,b)

Además en la segunda gráfica, también realizando el reflejo respecto a la recta y=x, se obtiene la gráfica de la función inversa ƒ-1.

3 APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES INVERSAS

Para conocer las aplicaciones de las funciones inversas, resolveremos el siguiente problema:

(Cuota por servicios). Por sus servicios, un investigador privado requiere una cuota de retención de S/. 500.00 más S/. 80.00 por hora. Sea x el número de horas que el investigador pasa trabajando en un caso.

a) Determine una función que modela la cuota del investigador como una función de x.

b) Encuentre ƒ-1. ¿Qué representa ƒ-1?

c) Encuentre ƒ-1 (1220). ¿Qué representa su respuesta?

Solución:

a) La función que modela la cuota del investigador es:

f(x) = 500 + 80 x

Siendo 500 soles, la cuota de retención más 80 soles por hora que cobra por su servicio. Además x que viene a ser la variable, representa el número de horas.

b) Para determinar la función inversa, realizamos lo siguiente:

ƒ(x) = 500 + 80 x

reemplazamos f(x) por y, obteniéndose lo siguiente:

y = 500 + 80x

despejamos la variable x.

x = y − 500 80

cambiamos x por y y = x − 500 80

por lo tanto, la función inversa es

ƒ-1(x) = x − 500

80


48







La función representa las horas de trabajo del investigador en función de la cuota por sus servicios.

c) Para encontrar f-1 (1220), reemplazamos 1220 en la función inversa determina-do en (b).

ƒ-1(x) = x − 500 80

ƒ-1(1200) = 1200 − 500

80

ƒ-1(1200) = 8.75

Significa, si se paga al investigador por sus servicios S/. 1200, este trabajará aproxi-madamente 8.75 ≈ 9 horas en un caso.







ACTIVIDADES:


TEMA N° 04: FUNCIONES POLINOMIALES

1 FUNCIONES POLINOMIALES Y SUS GRÁFICAS

Vamos a iniciar el estudio, definiendo sobre una función polinomial.

1.1. DEFINICIÓN

Una función polinomial de grado n, es una función de la forma.

P(x) = anxn + an-1x

n+1 + . . . + a1x + a0

Donde:

• n es un numero entero no negativo y an≠ 0

• Los números a0, a1, a2, … , an se llaman coeficientes de los polinomios

• El numero a0 es el coeficiente constante o termino constante

• El numero an, el coeficiente de la potencia más alta, es el coeficiente princi-pal, y el termino anx

n es el termino principal.

Por ejemplo, dado el polinomio ƒ(x) = 4x5 + 7x4 – 3x3 + x2 + 6x – 7. Identificaremos sus características:

Grado del polinomio : 5 grado

Termino principal : 4x5

Coeficientes : 4; 7; −3; 1; 6 y −7

Coeficiente principal : 4

Coeficiente constante : −7

1.2. GRAFICA DE POLINOMIOS

Las gráficas de polinomios de grado 0 ó 1 son rectas; así tenemos de las fun-ciones f(x)=3x y f(x)=2x+5. Mientras que las gráficas de polinomios de grado 2 como f(x)=x2+2x+5 son parábolas. Si el grado del polinomio fuera mayor que 2, la gráfica sería más complicada, sin embargo las gráficas de las funciones polino-miales es continua, significa entonces que no tiene discontinuidades, agujeros o separaciones, como se muestra en las figuras.









Fuente: James Stewart,Lothar y Saleem Watson. Matemáticas para el cálculo

Para graficar las funciones polinomiales se sigue el siguiente procedimiento:

a) Se factoriza el polinomio.

b) Los factores encontrados en la factorización se iguales a cero, y se determinan las intersecciones con el eje x.

c) Se construye una tabla de valores tomando como referencias los puntos de inter-sección encontrados en b.

d) Se ubica los puntos de la tabla de valores en el plano y se determina la grafica.

Ejemplo:

Bosquejaremos la gráfica de la función P(x) = x3 – 2x2 – 3x

Solución:

a) Se factoriza el polinomio

P(x) = x3 – 2x2 – 3x

= x( x – 3)(x+1)

b) Se iguala a cero los tres factores del polinomio

x= 0; x – 3 = 0 y x+1 = 0

Se encuentra los puntos de intersección en el eje x.

Siendo los siguientes:

x=0, x=3, x=-1

Además si igualamos a cero la variable x, encontraremos la intersección en el eje y, así tenemos:

P(0) = 03 – 2(0)2 - 3(0) = 0, quiere decir que la gráfica cruzará el eje “y” por el punto (0,0)

c) Se construye una tabla de valores, tomando como referencia las intersecciones encontrado en b.

x P(x)

-2 -10

-1 0

-0.5 0.875

0 0

1 -4

2 -6

3 0

4 20

Se sugiere que los valores para la tabla de tabulación sean números menores y cer-canos a los puntos de intersección de referencia. Por ejemplo, en el caso del punto -1, se debe poner valores menores y mayores a este punto, como se observa esos valores son -2 y -0.5.

d) Finalmente se ubica los puntos en los ejes coordenados y se obtiene la siguiente gráfica.


50













ACTIVIDADES:


1 FUNCIONES POLINOMIALES Y SUS APLICACIONES

Las funciones polinomiales tiene importantes aplicaciones, a continuación se va a resolver un problema de aplicación de las funciones polinomiales.

(Investigación de mercados) Un analista de mercado que trabaja para un fabrican-te de aparatos pequeños encuentra que si la empresa produce y vende x licuadoras anualmente, la ganancia total (en dólares) es: P(x) = 8x + 0.3x2 – 0.00113x3 – 372.

Grafique la función P utilizando un graficador adecuado, y emplee la gráfica para contestar las siguientes preguntas:

a) Cuando se fabrican sólo algunas licuadoras, la empresa pierde dinero (ganancia negativa). Por ejemplo: P(10) 0 -263.3; así que la empresa pierde $ 263.30 si pro-duce y vende sólo 10 licuadoras. ¿Cuántas licuadoras debe producir la empresa para terminar sin pérdidas?

b) ¿La ganancia se incrementa de manera indefinida cuando se producen o ven-den más licuadoras? Si no, ¿Cuál es la ganancia más grande posible que podría tener la empresa?

Solución:

Nos pide graficar la función polinomial P(x) = 8x + 0.3x2 – 0.00113x3 – 372, utiliza-remos un graficador matemático para tal propósito.









a) Para determinar la producción de la empresa y que ésta quede sin pérdidas, se debe ubicar los puntos de intersección de la función en el eje x, por tanto se tiene que los puntos de intersección son (26,0) y (286,0). Entonces para que la empresa no genere pérdidas debe producir de 26 a 286 licuadoras.

b) Se observa que la ganancia no aumenta indefinidamente, ya que se puede obser-var que hay un punto máximo. La ganancia más grande posible que puede tener la empresa se observa en el punto (189,4227). Por tanto la ganancia máxima posible es $4227.

TEMA N° 05: FUNCIONES RACIONALES

1 FUNCIONES RACIONALES Y ASINTOTAS

Definición:

Una función racional f es una función que puede expresarse en la forma:

P(x) Q(x)ƒ(x) =

donde P y Q son polinomios. El dominio de f es:

Df = {x ∈ / Q(x) ≠ 0}

El rango depende de cada función.

Ejemplos:

a). ¿La siguiente expresión es una función racional?

5x + 8 x − 2ƒ(x) =

Si corresponde a una función racional, porque es un cociente de dos polinomios

b). ¿La siguiente expresión es una función racional?

√x − 2 x − 1

ƒ(x) =

No corresponde a una función racional, porque el numerador no es polinomio.


52







1.1. GRAFICAS BÁSICAS DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

Sea la función: 1 xƒ(x) =

cuyo Dominio es: − { 0 } . Entonces, observamos que no hay intercepto en el eje y (0 no está en el dominio de f), ni en el eje x, porque 1/x siempre es dife-rente de 0.

Veamos el comportamiento de la función cuando

Note que si x crece: y → 0

Se dice que y = 0 , entonces, es asíntota horizontal de la gráfica de f.

Veamos el comportamiento de la función cuando x se aproxima a 0 por la derecha. (x → 0+)

Note que si: x → 0+

entonces, y → ∞+

Se dice que la recta x = 0 es asíntota vertical de la gráfica de f.

Además, f es función impar, porque f(-x)=f(x). (Demuéstrelo)

Por tanto, la gráfica de f es simétrica respecto al origen.

Veamos la gráfica:









En general:

a). Si:

1 xnƒ(x) =

para n entero positivo impar, la gráfica es similar a:

b). Si:

1 xnƒ(x) =

para n entero positivo par, la gráfica es similar a:

La gráfica es simétrica respecto al eje y.

1.2. DOMINIO DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

El dominio consiste de todos los números reales excepto aquellos para los cuales el denominador es cero.

Ejemplo:

Hallaremos el dominio de las siguientes funciones racionales:


54







1.3. DEFINICIÓN DE ASÍNTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES

a) La recta x = a es una asíntota vertical de la función y = f (x) si y tiende a ± ∞ cuando x tiende a a por la derecha o la izquierda.

b) la recta y = b es una asíntota horizontal de la función y=f(x) si y se aproxima a b cuando x se aproxima

Ejemplo:

Encontraremos las asíntotas verticales de la gráfica de cada función racional, si existen.

La gráfica tiene asíntotas verticales en:

La gráfica no tiene asíntotas verticales.

Dominio = − {−4,4}

Dominio = (Todos los números reales)









2

4(c) ( )12

xR xx x

+=

+ −4

( 3)( 4)x

x x+

=− +

13x

=−

La gráfica tiene una asíntota vertical en:

1.4. TEOREMA DE LAS ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y OBLICUAS

Considere la función racional siguiente:

donde el grado del numerador es n y el grado del denominador es m

Ejemplo:

Encontraremos la asíntota horizontal u oblicua de la gráfica de cada función racional

La asíntota horizontal es: y = 0

La asíntota horizontal es: y = 2/3

La asíntota oblicua es; y = x + 6

2 GRAFICA DE UNA FUNCION RACIONAL

Grafique la función racional:


56







Solución:

Factorice:

(x + 1) (x − 4) 2x(x + 2)

=

Intersecciones en x: -1 y 4, a partir de: x + 1 = 0 y x − 4 = 0

Intersecciones en y: Ninguna, porque f(0) no está definido

Asíntota Horizontal: 1 2y = , porque el grado del numerador es igual al del denomi

nador tal como se expresa en la siguiente relación:

12

= coeficiente principal del numeradorcoeficiente principal del denominador

Asíntotas Verticales: x = 0 y x = −2.

Valores adicionales (tabulación):

Grafica es:

ACTIVIDADES:

Hallar el dominio, las asíntotas, los interceptos, la simetría y dibuja la gráfica de:

1.

2.

3.

TEMA N° 06: FUNCIONES EXPONENCIALES

Hasta el momento se han estudiado las funciones polinomiales y racionales. Ahora es-tudiaremos una de las funciones más importantes en las matemáticas, la función expo-nencial. Esta función se emplea para modelar procesos naturales como el crecimiento poblacional y el decaimiento radiactivo.









1 PROPIEDADES DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGISTICA

DEFINICION

La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por:

donde:

Ejemplos de funciones exponenciales

La gráfica de la función: y = ax con a∈ , a >1 es:

Propiedades

• Dominio:

• Rango: +

• a0 = 1; a1 = a (0,1) y (1, a) Pertenecen a la grafica

• Estrictamente creciente

• Inyectiva

• Continua en todo su dominio

• Está acotada inferiormente, pero no superiormente

La gráfica de la función: y = ax con a ∈ , 0 < a < 1 es:

0<a<1


58







Propiedades

• Dominio:

• Rango: +

• a0 = 1; a1 = a (0,1) y (1, a) pertenecen a la grafica

• Estrictamente decreciente

• Inyectiva

• Continua en todo su dominio

• Está acotada inferiormente, pero no superiormente

derechalaporhorizontalasíntotaesyalim x

x00)( =⇒=

+∞→

2 GRAFICA DE FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGISTICA Y SUS APLICACIONES

Gráfica de Funciones Exponenciales

2.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

La función exponencial natural es la función exponencial de base e

El numero e es un número irracional cuyo valor es aproximadamente:

2, 7182 8182845904523536028747135266…

La gráfica de una función exponencial natural es:

El número e es un interesante número que tiene que ver con la naturaleza, la cien-cia y la tecnología. A partir de e se determina la ecuación de la curva de un puente colgante, el tiempo de enfriamiento de un cuerpo, la antigüedad de la materia orgánica por desintegración del carbono 14, el crecimiento de la población y otras.









2.2 FUNCION LOGISTICA

La función logística es una función exponencial de crecimiento limitado tiene por ecuación:

Su comportamiento inicial es similar al exponencial.

La capacidad poblacional, L, no es superada: y = L es una asíntota horizontal de esta función, la población tiende a L sin superarlo.

2.3 APLICACIONES

1. Determine la función que representa el número de bacterias que hay en una población, después de x horas, si se sabe que inicialmente había 30.000 bacterias, y que la población se cuadruplica cada una hora.

Solución:

Cantidad inicial = 30.000

Después de: 1 hora = 30 000.4 = 10 000.41 = 40 000

2 horas = 30 000.4.4 = 30 000.42 = 480 000

3 horas = 30 000.3.3.3 = 30 000.43 = 1 920 000...

Después de x horas = 30 000 . 4x

Por lo tanto, la función que representa el número de bacterias después de x horas es:

f (x) = 30 000 . 4x

2. Calcular el interés compuesto de manera continua. Calcule la cantidad des-pués de tres años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado de forma continua.

Solución

Datos del problema: P = 1000; r = 0.12 yt = 3

Se tiene la función de interés compuesto de manera continua:

A(t) = Pert

luego calculamos: A(3) = 1000e(0,12)3 = 1000e0,36 = 1433.33

Por lo tanto la cantidad después de tres años es $ 1433.33

3. Calculo del rendimiento porcentual anual. Determine el rendimiento por-centual anual para una inversión que gana interés a una tasa de 6% anual, compuesta diariamente.

Solución:

Se tiene para hallar el interés compuesto n veces por año, la siguiente fórmula:


60







rn

A = P 1 +nt

Entonces, después de un año el capital P crecerá hasta el monto

0.06365

A = P 1 + = p(1.06183) 365

La fórmula del interés simple es:

A = P(1 + r)

Haciendo la comparación, vemos que el rendimiento porcentual anual es de 6.183%







ACTIVIDAD









1. Halla las reglas de correspondencia de:

a) (f – g)(x) =

b) (g – h)(x) =

c) (f – h)(x) =

Sabiendo que: ƒ(x) = 3x – 1

g(x) = 5x – 1

h(x) = 2x2– x + 1

2. Sabiendo que:

ƒ(x) = 2x2– 4x + 2

g(x) = 2x2+ 6

h(x) = 4x – 2

Halla el valor de:

a) ƒ(g – h) (5)

b) h2 (g + 2f) (0)

c) ( )(3) + h(2)

3. Dadas , evalúe cada una de las composiciones siguientes:

a)

b)

4. Se da la gráfica de una función, determine si f es una función uno a uno









5. Determine si las siguientes funciones son uno a uno.

a) ƒ(x) = −2x + 4

b) p(x) = 2 – 2x + x2

6. Determina la función inversa de las siguientes funciones

a) ƒ(x) = 5x - 1

b) 2 − 8x5 − 3x

ƒ(x) =

c) ƒ(x) = √x + 1

d) ƒ(x) = 1 + √1 + x

7. (Función demanda). La cantidad vendida de un artículo se llama demanda del artículo. La demanda D para cierto articulo es una función del precio dada por:

D(p) = -3p + 150

a) Encuentre D-1. ¿Qué representa D-1?

b) Determine D-1(30). ¿Qué representa su respuesta?

8. Bosqueje las siguientes funciones polinomiales:

a) P(x)=x3 + 3x2 – 4x – 12

b) P(x)= x3 – x2 – x

9. (Cambio de población) Se observa que la población de conejos en una isla pequeña está dada por la función: P(t) = 120t – 0.4t4 + 1000; donde t es el tiempo (en meses) desde que comenzaron las observaciones en la isla.

a) ¿Cuánto se obtiene la máxima población, y cuál es esa población máxima?

b) ¿Cuándo desaparece la población de conejos de la isla?

10. Hallar el dominio, las asíntotas, los interceptos, la simetría y dibuja la gráfica de:

a) 4x − 8(x − 4)(x + 1)

ƒ(x) =

b) x2 − x − 6 x2 + 3x

ƒ(x) =

11. Encuentre la asíntota inclinada, las asíntotas verticales y trace la gráfica de la fun-ción:

x2 − 2x − 8 x

ƒ(x) =


62




































UNIDAD Iv: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA”







DIAGRAMA DE PRESENTACIÓN

CONTENIDO

BIBLIOGRAFÍA

EJEMPLOS

AUTOEvALUACIÓN

ACTIvIDADES


Tema N°01: Funciones logarítmicas.1. Definición de las funciones loga-

rítmicas2. Propiedades de funciones loga-

rítmicas.3. Gráfica de funciones logarítmi-

cas y sus aplicaciones.

Tema N°02: Modelado con funcio-nes exponenciales y logarítmicas.1. Ecuaciones exponenciales.2. Ecuaciones logarítmicas.3. Modelado con funciones expo-

nenciales y logarítmicas.

Tema N° 03: Funciones Trigonomé-tricas y Trigonometría Analítica1. Medida angular.2. Trigonometría de ángulos rectos.3. Funciones trigonométricas de

ángulos.4. Identidades trigonométricas.

Tema N° 05: Funciones racionales 1. Funciones racionales y asíntotas 2. Gráfica de una función racional


Evaluación final presencial

1. Reconoce y grafica una función logarítmica.

2. Resuelve ecuaciones logarítmicas.3. Resuelve problemas

utilizando una función exponencial y logarít-mica.

4. Reconoce y grafica una función trigonométrica.5. Resuelve problemas

con trigonometría.6. Resuelve ejercicios uti-

lizando identidades tri-gonométricas

Actividad dirigida: Práctica de funciones logarítmicas y exponen-ciales

Tarea académica N° 02:





UNIDAD Iv: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMéTRICAS ANALÍTICA"

64







TEMA N° 01: FUNCIONES LOGARITMICAS

1 DEFINICION DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Sea 𝒂 un número positivo con 𝒂≠1 . La función logarítmica con base 𝒂, denotada por:

se define:

Donde:

Es decir que:

Los siguientes ejemplos ilustran cómo intercambiar una ecuación de una de estas formas a la otra.

Ejemplos

Las formas logaritmo y exponencial son ecuaciones equivalentes –si una es verda-dera también lo será la otra-. Por tanto podemos pasar de una forma a la otra como en los siguientes casos:

Forma Logaritmo Forma exponencial

LOGARITMO COMÚN (en base 10)

Ejemplos

a) Porque:

b) Porque:

c) Porque:

2 PROPIEDADES DE FUNCIONES LOGARITMICAS

log𝒂es el exponente al cual debe elevarse la base 𝒂 para obtener x

y= logx si y solo si: 10y=x









Ejemplo

A continuación ilustramos las propiedades de los logaritmos cuando la base es 7.

Propiedad 1 Propiedad 2

Propiedad 3 Propiedad 4

3 GRAFICA DE FUNCIONES LOGARITMICAS Y SUS APLICACIONES

Vamos a graficar una función logaritmo trazando puntos, para lo cual tomaremos, como ejemplo el trazo de la función:

Elaboraremos una tabla de valores, escogiendo valores de x como potencias de 2 para encontrar fácilmente sus logaritmos. Luego, graficamos estos puntos y los uni-mos con una curva suave como en la figura:

A continuación se muestra las gráficas de la familia de funciones logaritmo con base 2, 3, 5 y 10. Estas gráficas se han dibujado reflejando las gráficas de y = 2 x, y = 3 x, y = 5 x y y = 10 x y en la recta y = x . También podemos graficar puntos como ayuda para trazar estas gráficas, como se ilustra en la figura:

LOGARITMO NATURAL ( base e)

El logaritmo con base e se llama logaritmo natural y se denota por ln:

La función logaritmo natural y = ln x es la función inversa de la función exponen-cial:


66







En la siguiente grafica se muestra lo descrito anteriormente:







ACTIVIDAD


TEMA N°02: MODELADO CON FUNCIONES EXPONENCIALES y LOGARÍTMICAS.

Se resolverá ecuaciones que involucran funciones exponencial o de logaritmo. Las téc-nicas a desarrollarse se utilizaran para la resolución de problemas de aplicación

1 ECUACIONES EXPONENCIALES.

En una ecuación exponencial la variable se presenta en el exponente. Por ejemplo:

La variable x presenta una dificultad porque está en el exponente. Para encarar este problema tomamos el logaritmo de ambos lados y después usamos las leyes de los logaritmos para “despejar a x” del exponente:

El método para resolver 2x=7 es típico de los métodos que usamos para resolver todas las ecuaciones exponenciales, y se puede resumir en los tres pasos siguientes:

a) Aísle la expresión exponencial de un lado de la ecuación

b) Tome logaritmo de ambos lados, y después utilice las leyes de los logaritmos para “bajar el exponente”

c) Despeje la variable.

76

TEMA N°02: MODELADO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

Se resolverá ecuaciones que involucran funciones exponencial o de logaritmo. Las técnicas a desarrollarse se utilizaran para la resolución de problemas de aplicación

1. ECUACIONES EXPONENCIALES.


La variable x presenta una dificultad porque está en el exponente. Para encarar este problema tomamos el logaritmo de ambos lados y después usamos las leyes de los logaritmos para “despejar a x” del exponente: Tome ln en ambos lados “baje” el exponente

use una calculadora El método para resolver es típico de los métodos que usamos para resolver todas las ecuaciones exponenciales, y se puede resumir en los tres pasos siguientes: a) Aísle la expresión exponencial de un lado de la ecuación b) Tome logaritmo de ambos lados, y después utilice las leyes de los logaritmos

para “bajar el exponente” c) Despeje la variable. Ejemplo: Vamos a resolver la siguiente ecuación exponencial: y lo expresaremos su respuesta a seis decimales. Tome ln en ambos lados “baje” el exponente

use una calculadora









Ejemplo:

Vamos a resolver la siguiente ecuación exponencial y lo expresaremos su respuesta a seis decimales.

Ejemplo

Ahora también resolvamos la siguiente ecuación exponencial: e3-2x=4

Puesto que la base del término exponencial es e, para resolver esta ecuación utiliza-remos logaritmos naturales

2 ECUACIONES LOGARÍTMICAS.

Una ecuación logarítmica es aquella en la cual está presente la variable logaritmo. Por ejemplo:

log_2(x+2)=5

Para despejar x escribimos la ecuación en forma exponencial:

Los procedimientos usados para resolver este problema simple son tipicos. Resumi-mos los pasos como sigue:

a) Aisle el término logaritmico en un lado de la ecuación; quiza sea necesario pri-mero combinar los términos logaritmicos.

b) Escriba la ecuación en forma exponencial (o eleve la base tomando como expo-nente cada lado de la ecuación)

c) Despeje la variable.

76

TEMA N°02: MODELADO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

Se resolverá ecuaciones que involucran funciones exponencial o de logaritmo. Las técnicas a desarrollarse se utilizaran para la resolución de problemas de aplicación

1. ECUACIONES EXPONENCIALES.


La variable x presenta una dificultad porque está en el exponente. Para encarar este problema tomamos el logaritmo de ambos lados y después usamos las leyes de los logaritmos para “despejar a x” del exponente: Tome ln en ambos lados “baje” el exponente

use una calculadora El método para resolver es típico de los métodos que usamos para resolver todas las ecuaciones exponenciales, y se puede resumir en los tres pasos siguientes: a) Aísle la expresión exponencial de un lado de la ecuación b) Tome logaritmo de ambos lados, y después utilice las leyes de los logaritmos

para “bajar el exponente” c) Despeje la variable. Ejemplo: Vamos a resolver la siguiente ecuación exponencial: y lo expresaremos su respuesta a seis decimales. Tome ln en ambos lados “baje” el exponente

use una calculadora

77

Ejemplo Ahora también resolvamos la siguiente ecuación exponencial:

Puesto que la base del término exponencial es e, para resolver esta ecuación utilizaremos logaritmos naturales Tome ln en ambos lados “baje” el exponente use una calculadora

2. ECUACIONES LOGARÍTMICAS.


Para despejar x escribimos la ecuación en forma exponencial: Forma exponencial Despeje x Los procedimientos usados para resolver este problema simple son tipicos. Resumimos los pasos como sigue: a) Aisle el término logaritmico en un lado de la ecuación; quiza sea necesario

primero combinar los términos logaritmicos. b) Escriba la ecuación en forma exponencial (o eleve la base tomando como

exponente cada lado de la ecuación) c) Despeje la variable. Ejemplo Resolvamos la siguiente ecuación: Solución.- Primero aislamos el término logarítmico. Esto nos permitirá escribir la ecuación en forma exponencial:

Reste 4 Divida entre 3 Forma exponencial

77










68







Ejemplo

Resolvamos la siguiente ecuación: 4 + 3 log(2x) = 16

Solución.- Primero aislamos el término logarítmico. Esto nos permitirá escribir la ecuación en forma exponencial:

Ejemplo

Ahora resuelva la siguiente ecuación: log(x+2)+ log(x-1) = 1

Solución.- Primero combinamos los términos lograrítmicoa usando las leyes de los logaritmos:

Verifi camos estas soluciones posibles en la ecuación original y determinamos que no es una solución (porque los logaritmos de los números negativos no están defi -nidos, sin embargo es una solución

3 MODELADO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Otros ejemplos en donde se utilizan las funciones exponenciales y logarítmicas son los siguientes:

Crecimiento Exponencial

Se recuerda que el modelo matemático que representa el crecimiento exponencial, está dado de la forma siguiente:

77









78

Ejemplo Ahora resuelva la siguiente ecuación: Solución.- Primero combinamos los términos lograrítmicoa usando las leyes de los logaritmos: por propiedad Forma exponencial Expanda el lado izquierdo Reste 10 Factorize Verificamos estas soluciones posibles en la ecuación original y determinamos que no es una solución (porque los logaritmos de los números negativos no están definidos, sin embargo es una solución

3. MODELADO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Otros ejemplos en donde se utilizan las funciones exponenciales y logarítmicas son los siguientes: Crecimiento Exponencial Se recuerda que el modelo matemático que representa el crecimiento exponencial, está dado de la forma siguiente:

crece exponencialmente si cuando es valor inicial Al considerar las gráficas vistas anteriormente, nos damos cuenta que la gráfica de la función es de la forma:

Entonces ahora resolvamos los siguientes problemas teniendo en cuenta lo descrito anteriormente:

crece exponencialmente si crece exponencialmente si

cuando cuando es valor inicial es valor inicial

UNIDAD Iv: “FUNCIONES LOGARÍTMICAS - TRIGONOMéTRICASANALÍTICA"

MATEMáTICA I MANUAL AUTOFORMATIvO 69







Al considerar las gráfi cas vistas anteriormente, nos damos cuenta que la gráfi ca de la función Q (t) = Q0 e

kt es de la forma:

Entonces ahora resolvamos los siguientes problemas teniendo en cuenta lo descrito anteriormente:

a) Proyección de la población mundial

La población del mundo en el 2006 era de 5,700 millones, y la tasa de crecimiento relativa estimada es de 2% al año. Si la población sigue creciendo a esta tasa, ¿cuán-do alcanzará 60,000 millones de personas?

Solución: Como Q(0)=5,700 millones, k=0.02 y Q(t)=60,000 millones de personas, entonces:

Luego la población llegará a los 60,000 millones de personas aproximadamente en 117 años.

b) Bacterias en un cultivo

Un cultivo se inicia con 15,000 bacterias y su número se duplica cada 50 minutos. Obtenga:

i. Una fórmula para el número de bacterias en el tiempo t.

ii. Determine el tiempo de bacterias después de 1.5 horas.

iii. ¿Después de cuántos minutos habrá 60,000 bacterias.?

iv. Trace la gráfi ca en el tiempo t.

Solución

1. Para determinar la fórmula del crecimiento de la población necesitamos ob-tener la tasa k. Para ello la fórmula con Q_0=15,000 , t=50 y Q(t)=30,000 y posteriormente se despeja k.

79


La población del mundo en el 2006 era de 5,700 millones, y la tasa de crecimiento relativa estimada es de 2% al año. Si la población sigue creciendo a esta tasa, ¿cuándo alcanzará 60,000 millones de personas?

Solución: Como millones, y millones de personas, entonces:


b) Bacterias en un cultivo Un cultivo se inicia con 15,000 bacterias y su número se duplica cada 50 minutos. Obtenga:

i. Una fórmula para el número de bacterias en el tiempo t. ii. Determine el tiempo de bacterias después de 1.5 horas. iii. ¿Después de cuántos minutos habrá 60,000 bacterias.? iv. Trace la gráfica en el tiempo t.

Solución

1. Para determinar la fórmula del crecimiento de la población necesitamos obtener

la tasa k. Para ello la fórmula con , y y posteriormente se despeja k.

Luego la fórmula del crecimiento de la población, ya que , es:

2. Utilizaremos la fórmula hallada en el inciso anterior, cuando t=90 minutos:

Por lo tanto, el número de bacterias después de 90 minutos es aproximadamente 52219.

79


La población del mundo en el 2006 era de 5,700 millones, y la tasa de crecimiento relativa estimada es de 2% al año. Si la población sigue creciendo a esta tasa, ¿cuándo alcanzará 60,000 millones de personas?

Solución: Como millones, y millones de personas, entonces:


b) Bacterias en un cultivo Un cultivo se inicia con 15,000 bacterias y su número se duplica cada 50 minutos. Obtenga:

i. Una fórmula para el número de bacterias en el tiempo t. ii. Determine el tiempo de bacterias después de 1.5 horas. iii. ¿Después de cuántos minutos habrá 60,000 bacterias.? iv. Trace la gráfica en el tiempo t.

Solución

1. Para determinar la fórmula del crecimiento de la población necesitamos obtener

la tasa k. Para ello la fórmula con , y y posteriormente se despeja k.


2. Utilizaremos la fórmula hallada en el inciso anterior, cuando t=90 minutos:



70








Q(t)=15,000.e0.01386t

| 2. Utilizaremos la fórmula hallada en el inciso anterior, cuando t=90 minutos:

Q(90)=15,000e0.01396(90)

Q(90)=52,219.19


3. En este inciso utilizaremos la fórmula, cuando Q(t)=60,000 y se despeja t:

El número de bacterias será 60,000 en aproximadamente 100 minutos.

4. En la siguiente figura se muestra la grafica de

Q(t)=15,000e0.01386t







ACTIVIDADES:


TEMA N°03: FUNCIONES TRIGONOMéTRICAS y TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA

1 MEDIDA ANGULAR

ANGULOS

Un ángulo se determina rotando un rayo (la mitad de una recta) con respecto a su extremo. La posición de inicio del rayo es el lado inicial del ángulo y posición des-pués de la rotación es el lado terminal. Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, se considera positivo al ángulo, y si la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, se considera que el ángulo es negativo.

80




ACTIVIDAD 1. Se proyecta que dentro de t años la población de cierto país será:

millones. a) ¿Cuál es la población actual? b) ¿Cuál será la población dentro de 20 años?

2. La cantidad que queda de una muestra de una sustancia radiactiva después de t

años está dada por la función después de 4500 años quedan 2,000 gramos de la sustancia. ¿Cuántos gramos había al principio?

3. Una sustancia radioactiva se desintegra exponencialmente. Si al comienzo había 600 gramos de la sustancia y 60 años después hay 500 gramos. ¿Cuántos gramos habrá después de 200 años?.

80




ACTIVIDAD 1. Se proyecta que dentro de t años la población de cierto país será:

millones. a) ¿Cuál es la población actual? b) ¿Cuál será la población dentro de 20 años?

2. La cantidad que queda de una muestra de una sustancia radiactiva después de t

años está dada por la función después de 4500 años quedan 2,000 gramos de la sustancia. ¿Cuántos gramos había al principio?

3. Una sustancia radioactiva se desintegra exponencialmente. Si al comienzo había 600 gramos de la sustancia y 60 años después hay 500 gramos. ¿Cuántos gramos habrá después de 200 años?.









MEDIDA ANGULAR

La medida angular se determina por la rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal. Una forma de medir ángulo es con radianes. Siendo un radián la medida de un ángulo central, Ѳ, que subtiende un arco, s, de igual longitud que el radio, r, de la circunferencia. Veamos la siguiente figura:

Longitud de arco es igual al radio (s=r) si Ѳ =1 radían.

La circunferencia del círculo de radio 1 es 2π, por lo tanto:

1 revolución = 2π radianes

½ revolución = π radianes

¼ revolución = π/2 radianes

1/6 revolución = π/3 radianes

Otra forma para medir ángulos es en términos de grados denotados por el símbolo °. La medida de un grado (1°) es equivalente a una rotación de 1/360 de una revo-lución completa, con respecto al vértice.

Por tanto una revolución completa (en sentido contrario a las manecillas del reloj) corresponde a 360°, la mitad 180°, un cuarto a 90°, etc.

Los grados y radianes están relacionados de la forma siguiente:

360° = 2 π rad y 180° = π rad

Dichas relaciones nos lleva a la conversión entre grados y radianes, siendo:

2. Para convertir grados a radianes, los grados se multiplica por

3. Para convertir radianes a grados, los radianes se multiplica por

Ejemplos:

Convertiremos un ángulo en grados a radianes:

81

TEMA N°03: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA

1. MEDIDA ANGULAR ANGULOS

Un ángulo se determina rotando un rayo (la mitad de una recta) con respecto a su extremo. La posición de inicio del rayo es el lado inicial del ángulo y posición después de la rotación es el lado terminal. Si la rotación es en el sentido contrario a las manecillas del reloj, se considera positivo al ángulo, y si la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj, se considera que el ángulo es negativo. MEDIDA ANGULAR

La medida angular se determina por la rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal. Una forma de medir ángulo es con radianes. Siendo un radián la medida de un ángulo central, , que subtiende un arco, s, de igual longitud que el radio, r, de la circunferencia. Veamos la siguiente figura:

Longitud de arco es igual al radio (s=r) si =1 radían. La circunferencia del círculo de radio 1 es 2, por lo tanto:

1 revolución = 2 radianes ½ revolución = radianes ¼ revolución = /2 radianes 1/6 revolución = /3 radianes

82

Otra forma para medir ángulos es en términos de grados denotados por el símbolo °. La medida de un grado (1°) es equivalente a una rotación de 1/360 de una revolución completa, con respecto al vértice. Por tanto una revolución completa (en sentido contrario a las manecillas del reloj) corresponde a 360°, la mitad 180°, un cuarto a 90°, etc. Los grados y radianes están relacionados de la forma siguiente:

360° = 2 rad y 180° = rad Dichas relaciones nos lleva a la conversión entre grados y radianes, siendo:



Ejemplos: Convertiremos un ángulo en grados a radianes: 1. Convertir 135° a radianes.

Para convertir 135° a radianes multiplicamos por , o sea:

(135°)( = radianes

Ahora convertiremos un ángulo en radianes a grados 2. Convertir

radianes a grados

Para convertir radianes a grados multiplicamos por

, o sea: (

radianes)( ) = -90°

ACTIVIDAD: 1. Convertir la medida del ángulo de grados a radianes

a) 72° b) -300° c) 15°

2. Convertir la medida del ángulo de radianes a grados a)

b)

c)

2. TRIGONOMETRÍA DE ÁNGULOS RECTOS. Ahora veremos desde la perspectiva de un triángulo rectángulo. Considere dicho triángulo rectángulo, con un ángulo agudo denotado por , los lados son la hipotenusa, el cateto opuesto (lado opuesto al ángulo ) y el cateto adyacente (lado adyacente al ángulo ). Veamos en la siguiente figura:

82







(135°)( = radianes


radianes a grados


, o sea: (



a) 72° b) -300° c) 15°


b)

c)



72







1. Convertir 135° a radianes.


radianes

Ahora convertiremos un ángulo en radianes a grados

2. Convertir radianes a grados

Para convertir radianes a grados multiplicamos por , o sea:







ACTIVIDADES:


2 TRIGONOMETRÍA DE ÁNGULOS RECTOS.

Ahora veremos desde la perspectiva de un triángulo rectángulo. Considere dicho triángulo rectángulo, con un ángulo agudo denotado por Ѳ, los lados son la hipo-tenusa, el cateto opuesto (lado opuesto al ángulo Ѳ) y el cateto adyacente (lado adyacente al ángulo Ѳ).

Veamos en la siguiente fi gura:

Empleando las longitudes de estos tres lados se defi nen las siguientes relaciones trigonométricas:

Los símbolos que se usan son abreviaturas de sus nombres completos: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

82







(135°)( = radianes


radianes a grados


, o sea: (



a) 72° b) -300° c) 15°


b)

c)


82







(135°)( = radianes


radianes a grados


, o sea: (



a) 72° b) -300° c) 15°


b)

c)


82







(135°)( = radianes


radianes a grados


, o sea: (



a) 72° b) -300° c) 15°


b)

c)


82







(135°)( = radianes


radianes a grados


, o sea: (



a) 72° b) -300° c) 15°


b)

c)


82







(135°)( = radianes


radianes a grados


, o sea: (



a) 72° b) -300° c) 15°


b)

c)


82







(135°)( = radianes


radianes a grados


, o sea: (



a) 72° b) -300° c) 15°


b)

c)


RELACIONES TRIGONOMéTRICAS

sen Ѳ = cos Ѳ = tan Ѳ =

csc Ѳ = sec Ѳ = cot Ѳ =

cateto opuesto

hipotenusa

cateto opuesto

hipotenusa

cateto adyacente

hipotenusa

cateto adyacente

hipotenusa

cateto opuesto

cateto adyacente

cateto opuesto

cateto adyacente









Ejemplo:

Usaremos el triángulo que se muestra, para determinar los valores de las seis rela-ciones trigonométricas:

Las relaciones trigonométricas son: (según el cuadro que se indicó)

sen Ѳ = csc Ѳ =

cos Ѳ = sec Ѳ =

tan Ѳ = cot Ѳ =

TRIANGULOS ESPECIALES

Ciertos triángulos rectángulos se usan con frecuencia, éstos son:

De donde se puede obtener fácilmente las relaciones trigonométricas.

Por ejemplo: El sen 30° es ½, tan 60° es Diagrama Objetivos Inicio






ACTIVIDADES:


3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS.

Las relaciones trigonométricas se definieron sólo para ángulos agudos, ahora se ampliará este estudio pero a cualquier ángulo.

Sea Ѳ un ángulo ubicado en el plano cartesiano y P(x,y) un punto sobre el lado terminal.

83

Empleando las longitudes de estos tres lados se definen las siguientes relaciones trigonométricas:

Los símbolos que se usan son abreviaturas de sus nombres completos: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Ejemplo: Usaremos el triángulo que se muestra, para determinar los valores de las seis relaciones trigonométricas: Las relaciones trigonométricas son: (según el cuadro que se indicó)

sen = csc =

cos = sec =

tan = cot = TRIANGULOS ESPECIALES Ciertos triángulos rectángulos se usan con frecuencia, éstos son:

83



sen = csc =

cos = sec =


83



sen = csc =

cos = sec =


84

De donde se puede obtener fácilmente las relaciones trigonométricas. Por ejemplo: El sen 30° es ½, tan 60° es

ACTIVIDADES: 1. Encuentre las seis relaciones trigonométricas del ángulo en los triángulos:

2. Encuentre el lado marcado con “x” (utilice el teorema de Pitágoras)


74







Si es la distancia del origen al punto P(x,y), entonces se obtiene las siguien-te funciones trigonométricas:

Es importante también conocer los signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes.

REDUCCIÓN DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE:

Para reducir ángulos al primer cuadrante utilizamos la siguiente expresión:

Donde RT : Razón trigonométrica

CO-RT: Coorazón trigonométrica

De la función “sen” su razón trigonométrica es la misma función “sen”, en cambio su coorazón trigonométrica es “cos”.

Ejemplo:

Encontraremos el valor de la siguiente función trigonométrica:

sen 150°

85

3. Evalúe la expresión

a)

b)

3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS. Las relaciones trigonométricas se definieron sólo para ángulos agudos, ahora se ampliará este estudio pero a cualquier ángulo. Sea un ángulo ubicado en el plano cartesiano y P(x,y) un punto sobre el lado terminal.

Si es la distancia del origen al punto P(x,y), entonces se obtiene las siguiente funciones trigonométricas:

Es importante también conocer los signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes.

SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMéTRICAS

Cuadrante Funciones positivas Funciones negativas

I todas ninguna

II sen,csc cos,sec,tan,cot

III tan,cot sen,csc,cos,sec

IV cos,sec sen,csc,tan,cot

sen θ =yr

csc θ = (y ≠ 0)ry

cos θ =xr

sec θ = (x ≠ 0)rx

tan θ = (x ≠ 0) yx

cot θ = (y ≠ 0)xy

( )90270

RT CO RTθ θ

± = ± −

o

o

( )180360

RT RTθ θ

± = ±

o

o

86

REDUCCIÓN DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE: Para reducir ángulos al primer cuadrante utilizamos la siguiente expresión:

90270

RT CO RT

180360

RT RT

Donde RT : Razón trigonométrica

CO-RT: Coorazón trigonométrica

De la función “sen” su razón trigonométrica es la misma función “sen”, en cambio su coorazón trigonométrica es “cos”. Ejemplo:

Encontraremos el valor de la siguiente función trigonométrica:

sen 150°

Éste ángulo se ubica en el segundo cuadrante, por lo tanto de acuerdo a los signos en los cuadrantes, se observa que el seno en el segundo cuadrante es positivo. Además si utilizamos las reglas de reducción se obtiene:

sen 150° = sen (180 – 30)

por reducción es igual al sen 30, y tiene como resultado ½.

I

II

III Iv









Éste ángulo se ubica en el segundo cuadrante, por lo tanto de acuerdo a los signos en los cuadrantes, se observa que el seno en el segundo cuadrante es positivo. Ade-más si utilizamos las reglas de reducción se obtiene:

sen 150° = sen (180 – 30)

por reducción es igual al sen 30, y tiene como resultado ½.Diagrama Objetivos Inicio






ACTIVIDADES:


4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

Las identidades trigonométricas se muestran a continuación:

Para utilizar las identidades trigonométricas, resolveremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo:

Simplificaremos la expresión trigonométrica

De acuerdo a las identidades recíprocas , reemplazamos en la expresión:

Y por la misma identidad recíproca

Reemplazando en (1), obtenemos:

87

ACTIVIDADES Determina el valor de las siguientes funciones trigonométricas: 1. sen 225° 2. cos 135° 3. sec 120° 4. sec 300° 5. sen 2/3

4. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. Las identidades trigonométricas se muestran a continuación:

Para utilizar las identidades trigonométricas, resolveremos el siguiente ejemplo: Ejemplo: Simplificaremos la expresión trigonométrica

De acuerdo a las identidades recíprocas

, reemplazamos en la expresión:

(1)

87






(1)

87






(1)

88



ACTIVIDADES: Simplifique las siguientes expresiones:

1.

2.

3.

4. tanx.cotx

5.

AUTOEVALUACIÓN N° 04

1. Grafique las funciones siguientes:

a) f(x) = ln (x+2)

b) f(x) = 1+ln (-x)

2. Resuelva la siguiente ecuación exponencial

23x+1 = 3x-2

3. Resuelva la ecuación logarítmica

Log5(x+1) – log5(x-1) = 2

4. Convertir la medida del ángulo de radianes a grados

a)

b)

c)

5. Convertir la medida del ángulo de grados a radianes

a) 345°

b) -48.27°


a) sen 30°cos60° + sen 60° cos 30° 88




1.

2.

3.

4. tanx.cotx

5.



a) f(x) = ln (x+2)

b) f(x) = 1+ln (-x)


23x+1 = 3x-2


Log5(x+1) – log5(x-1) = 2


a)

b)

c)


a) 345°

b) -48.27°


a) sen 30°cos60° + sen 60° cos 30°


76













ACTIVIDADES:




a) f(x) = ln (x+2)

b) f(x) = 1+ln (-x)


23x+1 = 3x-2


Log5(x+1) – log5(x-1) = 2


a)

b)

c)


a) 345°

b) −48.27°


a) sen 30°cos60° + sen 60° cos 30°

b) (sen π/3 cos π/4 – sen π/4 cos π/3)2

7. Determina el valor de las siguientes funciones trigonométricas

a) csc 5π/4

b) cos 570°

c) cos 7π/3

8. simplifique las siguientes expresiones:

a)

b)

c) tan x + cos(-x) + tan (-x)

88




1.

2.

3.

4. tanx.cotx

5.



a) f(x) = ln (x+2)

b) f(x) = 1+ln (-x)


23x+1 = 3x-2


Log5(x+1) – log5(x-1) = 2


a)

b)

c)


a) 345°

b) -48.27°


a) sen 30°cos60° + sen 60° cos 30°

89

b) (sen /3 cos /4 – sen /4 cos /3)2

7. Determina el valor de las siguientes funciones trigonométricas

a) csc 5/4

b) cos 570°

c) cos 7/3

8. simplifique las siguientes expresiones:

a)

b)

c) tan x + cos(-x) + tan (-x)


1. James Stewart, Lothar Redlin, Salem Watson, Precálculo. Matemáticas para el cálculo. Editorial Cengage Learning, México, 2007.

2. Hoffman, L.D.; Bradley, G.L.: Cálculo aplicado a la Administración, Economía y Ciencias Sociales. Editorial: McGraw-Hill, 2006.

3. Sydsaeter, K.; Hammond, P.J.: Matemáticas para el análisis económico. Editorial: Prentice Hall, Madrid, 1996.

4. Arya, J.; Lardner, R.: Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Editorial: Pearson Educación, Prentice-Hall, Mexico, 2002.



7. Cámara, A.; Garrido, R; Tolmos, P.: Problemas de matemáticas para economía y empresa. Editorial: AC, 2003.

9. Muñoz, A.; Santos, J.; Fabian, G.: Problemas de matemáticas para economía, administración y dirección de empresas. Editorial: Ediciones Académicas S.A., 2003.


78







ANEXO

CLAvES DE RESPUESTAS DE AUTOEvALUACIÓN 1

1. x = 23/4

2. x = 105/58

3. x = −1/3 ó x = −1

4. C.S. x ∈ < ∞, −3]

5. C.S. x ∈[−1,0>

6. C.S. x ∈<2, 7>

7. C.S. x ∈<−5, −1 > U < 2, +∞ >8. x = 2.701 ó x=3.37

9. C.S. x ∈<−∞,−4] U [0,+ ∞>

10. El 2020 en el mes de mayo.


1. a) Si es una Función

b) Si es una función

c) Si es una función

2. a) Dom: [2; ∞ > Ran: [4; ∞ >

b) Dom: < − 4;6 >

Ran: [ 0;36>

c) Dom: < −∞; 0] U [3; ∞ > Ran: [0; ∞ >

3. a)









b)

c)

4.

1)

b)

91

c)

4.

1) 53)( 2 xxxf

b)

c) Valor mínimo =

2) 12126)( 2 xxxf

a)

b)

c) Valor Mínimo= 6 3) 1282)( 2 xxxf

a)


80







c) Valor mínimo =

2)

a)

b)

c) Valor Mínimo = 6

3)

a)

b)

c) Valor máximo = −4

4)

a)

91

c)

4.

1) 53)( 2 xxxf

b)

c) Valor mínimo =

2) 12126)( 2 xxxf

a)

b)


a)

91

c)

4.

1) 53)( 2 xxxf

b)

c) Valor mínimo =

2) 12126)( 2 xxxf

a)

b)


a)

91

c)

4.

1) 53)( 2 xxxf

b)

c) Valor mínimo =

2) 12126)( 2 xxxf

a)

b)


a)

91

c)

4.

1) 53)( 2 xxxf

b)

c) Valor mínimo =

2) 12126)( 2 xxxf

a)

b)


a)

91

c)

4.

1) 53)( 2 xxxf

b)

c) Valor mínimo =

2) 12126)( 2 xxxf

a)

b)


a)

92

b)

c) Valor máximo= -4 4) 1628)( 2 xxxf

a)

b)

c) Valor Minimo =

CLAVES DE RESPUESTAS DE AUTOEVALUACION 3

1. a) b) c)

2. a) b) 100

c)

3. a) 4

b)

4. Trazando la recta horizontal o paralela al eje “x”, está la corta en un solo punto, por tanto si es Función Uno a Uno.

5. a) Si es función Uno a Uno

b) No es función Uno a Uno

92

b)


a)

b)

c) Valor Minimo =


1. a) b) c)

2. a) b) 100

c)

3. a) 4

b)












b)

c) Valor Mínimo =


1. a)

b)

c)

2. a) 2738

b) 100

c)

3. a) 4

b)




6. a)

b)

c)

d)

7. a)

b) 40

92

b)


a)

b)

c) Valor Minimo =


1. a) b) c)

2. a) b) 100

c)

3. a) 4

b)




92

b)


a)

b)

c) Valor Minimo =


1. a) b) c)

2. a) b) 100

c)

3. a) 4

b)




92

b)


a)

b)

c) Valor Minimo =


1. a) b) c)

2. a) b) 100

c)

3. a) 4

b)




92

b)


a)

b)

c) Valor Minimo =


1. a) b) c)

2. a) b) 100

c)

3. a) 4

b)




92

b)


a)

b)

c) Valor Minimo =


1. a) b) c)

2. a) b) 100

c)

3. a) 4

b)




92

b)


a)

b)

c) Valor Minimo =


1. a) b) c)

2. a) b) 100

c)

3. a) 4

b)




93

6. a)

b)

c) d)

7. a)

b) 40

8. a) b)

9. a) A los 4 meses y una población de 1403 conejos aprox.

b) a los 15 meses aprox. 10.

a)

Dominio: R - 4;-1 Intersección con x en 2 Intersección con y en 2 Asíntota vertical x=-1, x=4 Asíntota horizontal y=0

93

6. a)

b)

c) d)

7. a)

b) 40

8. a) b)



a)



82







8. a)

b)


b) a los 15 meses aprox.

10.

a)

Dominio: R − {4; −1}

Intesección con x en 2

Intersección con y en 2

Asíntota vertical x = −1, x = 4

Asíntota horizontal y = 0

93

6. a)

b)

c) d)

7. a)

b) 40

8. a) b)



a)


93

6. a)

b)

c) d)

7. a)

b) 40

8. a) b)



a)










b)

Dominio: R - {-3;0} Intersección con x en -2 y 3

Asíntota vertical x=-3, x=0

Asíntota horizontal y=1

11.

Asíntota inclinada y=x-2

Asíntota vertical x=0

CLAvES DE RESPUESTAS DE AUTOEvALUACION 4

1.

a) ƒ(x) = ln (x+2)

95

CLAVES DE RESPUESTAS DE AUTOEVALUACION 4 1.

a) f(x) = ln (x+2)

b) f(x) = 1+ln (-x)

2. x=-2.9469

3. x=13/12 4. a)

b) c)

5. a)

b) 0.27

6. a) 1

b)

94

b)

Dominio: R - -3;0 Intersección con x en -2 y 3 Asíntota vertical x=-3, x=0 Asíntota horizontal y=1

11.

Asíntota inclinada y=x-2 Asíntota vertical x=0

94

b)


11.


94

b)


11.


94

b)


11.



84







b) f(x) = 1+ln (-x)

2. x=-2.9469

3. x=13/12

4. a) -450

b) 72

c) 75

5. a)

b) 0.27 π

6. a) 1

b)

7. a) -1.4142

b) -0.8660

c) 0.5

8. a)

b)

c)

95


a) f(x) = ln (x+2)

b) f(x) = 1+ln (-x)

2. x=-2.9469

3. x=13/12 4. a)

b) c)

5. a)

b) 0.27

6. a) 1

b)

95


a) f(x) = ln (x+2)

b) f(x) = 1+ln (-x)

2. x=-2.9469

3. x=13/12 4. a)

b) c)

5. a)

b) 0.27

6. a) 1

b)

95


a) f(x) = ln (x+2)

b) f(x) = 1+ln (-x)

2. x=-2.9469

3. x=13/12 4. a)

b) c)

5. a)

b) 0.27

6. a) 1

b)

96

7. a) -1.4142

b) -0.8660

c) 0.5

8. a) b) c)


manual matematica i

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