iniciacion matematica i
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DerivadasTRANSCRIPT
DerivadaDerivada en un punto
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite ,
si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable
tiende a cero .
Ejemplos
Calcular la derivada de la función f(x) = 3x 2 en el punto x = 2.
Hallar la derivada de la función f(x) = x 2 + 4x − 5 en x = 1.
Interpretación de la derivadaInterpretación geométrica de la derivada
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces
la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por
tanto el ángulo α tiende a ser β .
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a
la derivada de la función en ese punto.
m t = f'(a)
Ejemplos
Dada f(x) = x2, calcular los puntos en los que la recta tangente es paralela
a la bisectriz del primer cuadrante.
La ecuación de la bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto su
pendiente es m= 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1 .
Dado que la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el
punto x = a.
Dada la curva de ecuación f(x) = 2x 2 − 3x − 1, halla las coordenadas de los
puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ángulo de
45°.
Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a la curva
de la función f(x) = b2x3 + bx2 + 3x + 9 en los puntos de abscisas x = 1, x = 2
sean paralelas.
Para que sean paralelas se tiene que cumplir que las derivadas en x = 1 y x
= 2 sean iguales.
f'(1) = f'(2)
f'(x) = 3b2x2 + 2bx + 3
f'(1) = 3b2 + 2b + 3
f'(2) = 12b2 + 4b + 3
3b2 + 2b + 3 = 12b2 + 4b + 3
9b2 + 2b = 0
b = 0 b = −2/9
Interpretación física de la derivada
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y
el tiempo transcurrido (Δt) .
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt
tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo .
Ejemplo
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo
en segundos es e(t) = 6t 2. Calcular:
1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].
2 La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.
Derivadas de funciones
La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a
cada número real su derivada , si existe. Se expresa por f'(x) .
Ejemplos
Determinar la función derivada de f(x) = x 2
− x + 1.
Calcular f'(−1), f'(0) y f'(1)
f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3
f'(0) = 2(0) − 1 = −1
f'(1) = 2(1) − 1 = 1
Derivada de las funciones a trozos
En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas
laterales en los puntos de separación de los distintos trozos .
Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.
Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas , la función no
es derivable en dicho punto.
Las derivada s laterales no coinciden en los picos ni en los puntos
angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.
No es derivable en x = 0.
Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado
representando su gráfica.
La función es continua en toda .
f'(−2) − = −1f'(−2) + = 1
No será derivable en: x= -2.
En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.
Hallar los puntos en que y = |x 2 − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el
resultado representando su gráfica.
La función es continua en toda .
f'(2) - = −1f'(2) + = 1
f'(3) - = −1f'(3) + = 1
Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en:
x=2 y x=3.
Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos,
por lo que la función no será derivable en ellos.
Tabla de derivadasDerivadas inmediatas
Derivada de una constante
Derivada de x
Derivada de función afín
Derivada de una potencia
Derivada de una raíz
Derivada de una raíz cuadrada
Derivada de suma
Derivada de de una constante por una función
Derivada de un producto
Derivada de constante partida por una función
Derivada de un cociente
Derivada de una constante
La derivada de una constante es cero.
Ejemplo
Derivada de x
La derivada de x es igual a 1 . Es decir, la derivada de la función identidad
es igual a la unidad.
Derivada de una potencia de base x
Derivada de una raíz de radicando x
Derivadas exponenciales y logarítmicas
Derivada de la función exponencial de exponente x
Derivada del logaritmo de x
Derivadas trigonométricasDerivada del seno de x
Derivada del coseno de x
Derivada de la tangente de x
Derivada de la cotangente de x
Derivada de la secante de x
Derivada de la cosecante de x
Derivadas trigonométricas inversasDerivada del arcoseno de x
Derivada del arcocoseno de x
Derivada del arcotangente de x
Derivada del arcocotangente de x
Derivada del arcosecante de x
Derivada del arcocosecante de x
Derivada de una potencia
La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente
por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.
Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la
base elevada al exponente menos uno.
f(x) = x k
f'(x)= k · x k−1
Ejemplos
Derivada de una raíz
La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del
radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada
a n menos uno.
Derivada de la raíz cuadrada
La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del
radicando partida por el duplo de la raíz.
Ejemplos
Derivada de una suma
La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las
derivadas de dichas funciones.
Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos
o negativos.
Ejemplos
Derivada de un producto
La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la
derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.
Derivada de una constante por una función
La derivada del producto de una constante por una función es igual al
producto de la constante por la derivada de la función.
Ejemplos
Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del
numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el
numerador, divididas por el cuadrado del denominador.
Derivada de una constante partida por una función
Ejemplos
Derivada de la función exponencial
La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el
logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.
Derivada de la función exponencial de base e
La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma
función por la derivada del exponente.
Ejemplos
Derivadas logarítmicas
La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la
función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.
Como , también se puede expresar así:
Derivada de un logaritmo neperiano
La derivada del logaritmo neperiano es igual a la derivada de la función
dividida por la función.
En algunos ejercicios es conveniente utilizar las propiedades de los
logaritmos antes de derivar, ya que simplificamos el cálculo.
Derivación logarítmica
Con determinadas funciones, especialmente para la función potencial-
exponencial , es aconsejable el empleo de la derivación logarítmica , ya que
facilitan bastante el cálculo.
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Ejemplos
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Derivada del seno
La derivada del seno de una función es igual al coseno de la función por
la derivada de la función.
Ejemplos
Derivada del coseno
La derivada del coseno de una función es igual a menos el seno de la
función por la derivada de la función.
Ejemplos
Derivada de la tangente
La derivada de la función tangente es igual al cuadrado de la secante de
la función por la derivada de la función.
Ejemplos
Derivada de la cotangente
La derivada de la función cotangente es igual a menos el cuadrado de la
cosecante de la función por la derivada de la función.
Ejemplos
Derivada de la secante
La derivada de la secante de una función es igual a la secante de la
función por la tangente de la función, y por la derivada de la función.
Ejemplos
Derivada de la cosecante
La derivada de la cosecante de una función es igual a menos la
cosecante de la función por la cotangente de la función, y por la derivada de la
función.
Ejemplo
Derivada del arcoseno
La derivada del arcoseno de una función es igual a la derivada de la
función dividida por la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de la función.
Ejemplos
Derivada del arcocoseno
La derivada del arcocoseno de una función es igual a menos la derivada
de la función dividida por la raíz cuadrada de uno menos el cuadrado de la
función.
Ejemplos
Derivada del arcotangente
La derivada del arcotangente de una función es igual a la derivada de la
función dividida por uno más el cuadrado de la función.
Ejemplos
Derivada del arcocotangente
La derivada del arcotangente de una función es igual a menos la
derivada de la función dividida por uno más el cuadrado de la función.
Derivada del arcosecante
La derivada del arcosecante de una función es igual a la derivada de la
función dividida por la función multiplicada por la raíz cuadrada del cuadrado de
la función menos 1.
Derivada del arcocosecante
La derivada del arcocosecante de una función es igual a menos la
derivada de la función dividida por la función multiplicada por la raíz cuadrada
del cuadrado de la función menos 1.
Regla de la cadena
La regla de la cadena es la fórmula resultante de la derivada de la
composición de funciones .
Ejemplos
Derivada de la función inversa
Si f y g son funciones inversas, es decir . Entonces
Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen x
Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc tg x
Derivada primera, segunda, ..., enésima
Al derivar la derivada de una función, derivada primera , obtenemos una
nueva función que se llama derivada segunda, f''(x) .
Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x) .
Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f' v
y así
sucesivamente.
Ejemplos
Derivada enésima
En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera
de las derivadas sucesivas (y para todas ellas). Esta fórmula recibe el nombre
de derivada enésima, f' n (x) .
Ejemplos
Derivación implícita
Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y .
Basta derivar miembro a miembro , utilizando las reglas de derivación y
teniendo presente que:
x'=1 .
En general y'≠1 .
Por lo que omitiremos x' y dejaremos y' .
Ejemplos
Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para
facilitar el cálculo:
Ejemplos
Diferencial de una función
Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una
función correspondiente al incremento h de la variable independiente, es el
producto f'(x) · h .
La diferencial de una función se representa por dy.
Interpretación geométrica
La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la
tangente, correspondiente a un incremento de la variable.
Ejemplos
Derivabilidad
Si una función es derivable en un punto x = a , entonces
es continua para x = a.
El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto
y que, sin embargo, no son derivables.
Ejemplos
Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:
En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.
La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.
En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.
La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.
Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 1.
f(x) = x2 en x = 0.
La función es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar la
derivabilidad.
En x = 0 la función es continua y derivable.
Dada la función:
¿Para qué valores de a es derivable?
Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:
Determinar los valores de a y b para quien la siguiente función sea
derivable en todos sus puntos:
Para qué una función derivable tiene que ser continua En este caso la
función no es continua para x = 0 cualesquiera que sean a y b, es decir, no
existen valores de a y b que hagan continua la función.
Por tanto, no existen a y b para los cuales la función sea derivable.
Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y derivable:
Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función definida por:
La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto
tampoco es derivable.
Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante las fórmulas de
derivadas trigonómetricas inmediatas.
Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.