master radd

7/29/2019 Master Radd

1/21

1

UNIVERZITET U BEOGRADU

MATEMATIKIFAKULTET

Seminarski rad iz metodike nastave matematike II

TEMA: OBRTNA TELA

Profesor: Zoran Lui Student: Slavimir Ili

Beograd, 2008.


2/21

2

Sadraj

Uvod.............................................................................................1

1 UVODNI POJMOVI.....................................................21.1 Cilindrina povr i valjak....................................................21.2 Konusna povr i kupa.........................................................41.3 Zarubljena kupa..................................................................61.4 Sfera i lopta........................................................................61.5 Delovi sfere i lopte.............................................................7

2 POVRINA OBRTNIH TELA.....................................82.1 Povrina valjka.................................................................82.2 Povrina kupe...................................................................82.3 Povrina zarubljene kupe..................................................92.4 Povrina lopte..................................................................10

3 ZAPREMINA OBRTNIH TELA...............................113.1 Zapremina valjka.............................................................113.2 Zapremina kupe...............................................................12

3.3 Zapremina zarubljene kupe..............................................12

3.4 Zapremina lopte...............................................................133.5 Lopta i obrtna tela............................................................15


3/21

3

UVOD

Matematika, to je jezikkojim

govore sve tane nauke.1

Sva matematika ostvarenja nose u sebi odreene karakteristike vremena i mesta ukojima su nastajala. Istorija matematike poklapa se vremenski sa istorijom razvitkaoveanstva, pa su istoriari matematike, na razne naine vrili podelu istorijskog razvitkamatematike na pojedine etape ili epohe, Tako se govori o matematici pre poetka istorije,matematici starog, srednjeg ili novog veka, o matematici starog Egipta, Vavilonije, Grke,Indije, o arapskoj matematici, o matematici 18, 19. ili 20. veka itd.

Prema sauvanim istorijskim zapisima prva istraivanja u geometriji, aritmetici iastronomiji, javljaju se u etvrtom veku pre nove ere. U ovom periodu a i kasnijematematikom a i matematikim problemima bavili su se Platon, Aristotel i Euklid, koji su

ostavili nesumnjivo najznaajniji uticaj na razvoj matematike. Poseban doprinos razvojugeometrije dao je grki matematiar i filozofEuklid.

Najitanije i najuticajnije delo iz geometrije napisao je Euklid u 13 knjiga pod nazivomEuklidovi elementi(pisano 300.godine pre nove ere).Ovo delo daje prvu strogo logikucelinu u konstrukciji geometrije,odnosno deduktivni pristup u izgradnji geometrije.U njemu jeizlaganje u toj meri besprekorno za svoje vreme da su u toku dve hiljade godina od pojaveElementi bili jedini udbenik za one koji su uili geometriju.Meutim, ako su Euklidovielementi u toku mnogih stolea bili uzor besprekornosti,oni ni iz daleka ne dostiu nivodananje strogosti izlaganja.itav niz definicija ili je besprekoran ili imaju neznatne,lakootklonljive nedostatke.Jedanaesta,dva naesta i trinaesta knjiga Euklidovih Elemenata govore ogeometriji prostora-stereometriji.U jedanaestoj knjizi Euklid definie pojam tela na sledeinain telo ono to ima duinu,irinu i dubinu(visinu)Takoe u ovo knjizi Euklid definiecilindar,sferu i konus ne kao prostorne figureve samo kao figure. I pored pomenutihnedostataka Euklidovi elementi pedstavljaju jedno od najvanijih dela u matematici sastanovnitva deduktivnog zasnivanja geometrije kao nauke.Na osnovu svega ovog moe sezakljuiti da je elementarna (euklidska)geometrija doivela najvei procvat u epohi raanjamatematike,a da se nadalje dograivala i usavravala.

1N.I.Lobaevski


4/21

Sl.3 Sl.4

4

1.UVODNI POJMOVI

U ovom radu upoznaemo se sa geometrijskim telima koja su ograniena krunim idrugim krivim povrima tj. sa geometrijskim telima koja nastaju obrtanjem (rotacijom)neke geometrijske figure oko ose obrtanja (rotacije).

Telo ogranieno jednom obrtnom povri, ili delom obrtne povri i ravnimanormalnim na osu rotacije, naziva se obrtno ili rotaciono telo.

1.1 CILINDRINA POVR I VALJAK

Povr obrazovana kretanjem prave po nekoj proizvoljnoj krivoj liniji,tako da jenormalna na ravan u kojoj se ta linija nalazi naziva se cilindrina povr(sl.1).

Sl.1 Sl.2Prava koja izvodi kretanje je izvodnica ili generatrisa,a kriva po kojoj se vri kretanje

je vodilja ili direktrisa cilindrine povri.Vodilja cilindrine povri moe da bude prosta ilisloena.Cilindrina povr kojoj je vodilja prosta linija i nigde ne see samu sebe nazivamoprostom u protivnom cilindrina povr je sloena.Cilindrina povr moe biti otvorena akojevodilja cilindrine povri otvorena linija u protivnom cilindrina povr jezatvorena (sl.1).

Ako se za vodilju cilindrine povri uzme krug ija je ravan normalna na izvodnicu,dobija se prava kruna cilindrina povr. Ako ta ravan nije normalna na izvodnicu dobija sekosa kruna cilindrina povr. Presek cilindrine povri i ravni normalne na izvodnicu nazivase normalan presekkoji predstavlja krunicu(sl.2).

Posmatrajmo cilindrinu povr kod koje je izvodnica normalna na ravan vodilje.Preseemo li ovu povr dvema paralelnim ravnima normalnim na ivicu, dobijamogeometrijsko telo ogranieno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrine povri,ije su izvodnice normalne na ravni tih krugova to prestavlja prav kruni valjak(sl.3).


5/21

Sl.8 Sl.9

5

Krune povri-krugovi su osnove valjka, a deo cilindrine povri izmeu osnova je omotavaljka. Du normalna na osnove, sa krajnjim takama u osnovama naziva se visina valjka.

Du koja spaja sredita osnova valjka naziva se osa valjka. Izvodnice cilindrine povrikoje pripadaju omotau valjka zovu se izvodnice valjka.

Pravi valjak moe postati rotacijom pravougaonika ABCD oko jedne stranice(sl.4).Sa

slike se jasno vidi da stranice AD i BC opisuju krugove-osnove valjka, a stranica CD opisujecilindrinu povr-omota valjka.Stranica AB je visina valjka i koja sadri osu valjka.S obzirom da je valjak rotaciono telo,postoje beskonano mnogo ravni simetrije koje seku

valjak tako da sadre njegovu osu(sl.6).Takoe postoji jedna ravan simetrije koja seeizvodnice valjka po sredini,i koja je na njih normalna(sl.5).A presek valjka i ravni kojojpripada osa valjka,naziva se osni presek valjka.(sl.7)Presek valjka sa ravni koja prolazi kroznjegovu osu je pravugaonik ije su dve stranice izvodnice valjka, a ostale dve preniciosnova.

Sl.5 Sl.6 Sl.7Presek valjka sa ravni koja je paralelna njegovoj osi je pravougaonik ije su dve straniceizvodnice,a ostale dve tetive osnova(sl.9).Preseci valjka sa ravnima normalnim na osu supodudarni krugovi.Presek valjka i ravni koja nije normalna na izvodnicu i nije paralelna saizvodnicom je kriva linija koja se naziva elipsa.(sl.8)Ravan koja je paralelna osi valjka ,ije jerastojanje od ose jednako polupreniku osnove, sadri jednu izvodnicu valjka i sacilindrinom povri nema drugih zajednikih taaka pedstavlja tangentnu ravan valjka(sl.9).


6/21

6

KONUSNA POVR I KUPA

Povr koja nastaje kretanjem prave po krivoj liniji i prolazi kroz jednu stalnu taku kojaje van ravni kojoj pripada kriva linija naziva se konusna povr(sl.10).

Sl.10 Sl.11

Stalna taka S , kroz koju prolazi prava je vrh konusne povri.Prava koja opisujecilindrinu povr je izvodnica ili generatrisa. Kriva po kojoj se vri kretanje prave je vodiljaili direktrisa. (sl.11) Konusna povr kojoj je vodilja prosta linija i nigde ne see samu sebenazivamo prostom u protivnom konusna povr je sloena.Konusna povr moe biti otvorenaako je vodilja konusne povri otvorena linija u protivnom konusna povr jezatvorena(sl.11).

Ako se za vodilju konusne povri uzme krug, a vrh jedna taka na pravoj koja je normalnana ravan kruga i prolazi kroz njegov centar, dobija se prava kruna konusna povr. Ako vrhkonusne povri ne pripada pravoj koja je normalna na ravan kruga a prolazi kroz centar,dobija se kosa kruna konusna povr. Prava koja prolazi kroz centar kruga je njena osa.

Ako se konusna povr presee jednom ravni normalnom na osu, dobija se geometrijskotelo ogranieno jednim delom krune konusne povri i krugom to predstavlja pravu krunukupu( sl. 12).

Sl.12 Sl.13

Krug je osnova kupe. Deo konusne povri je omota kupe. Vrh konusne povri je i vrh kupe.Normalna du na osnovu, ije su krajnje take vrh kupe i centar osnove naziva se visina kupe.Odseak izvodnice konusne povri od vrha S do osnove kupe naziva se izvodnica kupe(sl.13).


7/21

7

Prava kruna kupa kao obrtno telo moe postati rotacijom pravouglog trougla oko jednesvoje katete. Hipotenuza pravouglog trougla obrazuje konusnu povr tj. omota kupe.Pokretna kateta je poluprenik kupe i ona obrazuje osnovu kupe. Nepokretna kateta je visinakupe a prava kojoj pripada visina kupe je osa kupe (sl.14). Oigledno je da svaka ravan kojojpripada osa kupe istovremeno i simetrijska ravan kupe, a takvih ravni ima beskonano

mnogo.

Ravan koja sadri izvodnicu kupe, a normalna je na ravan osnog preseka u kome se nalazita izvodnica, sa konusnom povri nema drugih zajednikih taaka sem taaka te izvodnice. Taravan se naziva dodirna ili tangetna ravan kupe(sl.15).

Sl.14 Sl.15

Presek kupe i ravni koja je normalna na osu kupe je krug. Presek kupe i ravni kojojpripada osa kupe, naziva se osni presek kupe koji predstavlja trougao. Presek kupe i ravnimogu biti i druge krive(elipsa,parabola i hiperbola)(sl.16a,b,c)

a) b) c)

Sl.16


8/21

8

1.3 ZARUBLJENA KUPA

Deo kupe ogranien osnovom kupe i jednom ravni paralelnom sa osnvom kupe i

odgovarajuem delom konusne povri naziva se zarubljena kupa(sl.17).

Sl.17

Osnova pune kupe iz koje je dobijena zarubljena kupa kao i krug koji je dobijen upreseku kupe sa ravni paralelne sa osnovom te kupe nazivaju se osnove zarubljene kupe.Deokonusne povri naziva se omota zarubljene kupe.Izvodnica zarubljene kupe je deo izvodnicepune kupe izmeu osnova zarubljene kupe.Rastojanje izmeu osnova kupe je visinazarubljene kupe.Ako je prvobitna kupa bila prava i zarubljena kupa e biti prava,u protivnomkosa.S obzirom da je zarubljena kupa obrto telo,ona moe nastati rotacijom pravouglogtrapeza AOPB oko kraka OP,drugi krak AB opisuje deo konusne povri a strane trapeza AO iBP opisuju krugove- osnove.Presek zarubljene kupe i ravni kojoj pripada osa naziva se osnipresek,koji predstavlja jednakokraki trapez(sl.17).

1.4 SFERA I LOPTA

Skup svuh taaka u prostoru koje su jednako udaljene od jedne stalne takeprostoraobrazuje povr koja se naziva sfera(sl.18 a).

a) Sl.18 b)


9/21

9

Taka O je centarsfere.Du koja spaja bilo koju taku na sferi sa centrom sfere naziva sepoluprenik sfere.Du koja spaja dve take na sferi i prolazi kroz centar sfere naziva seprenik sfere.Tetiva sfere je du koja spaja bilo koje dve take na sferi.Sfera je obrtnapovr,koje moe nastati rotacijom krunice oko prenika AB(sl.18 b).

Telo ogranieno sferom je lopta.Prema tome,sfera je obrta povr a lopta obrto telo.Sferadeli prostor na dve oblasti:spoljanju i unutranju oblast sfere.Lopta se moe definisati kaoskup svih taaka unutranje oblasti sfere i svih taaka sfere.

1.5 DELOVI SFERE I LOPTE

Svaka taka ije je rastojanje do centra manje od poluprenika sfere pripada unutranjojoblasti sfere.Ravan koja sadri jednu unutranju taku sfere see tu sferu po krunoj liniji ideli je na dva dela.Ako ta ravan sadri centar sfere onda je sfera podeljena na dve

polusfere.Presek lopte i ravni je uvek krug.Ako toj ravni pripada centar lopte,preseni krug senaziva veliki krug lopte. Deo lopte koji odseca neka ravan naziva se loptin odseak.Krug pokome ravan see loptu, naziva se osnova loptinog odseka.Deo sfere, koji zajedno saosnovom loptinog odseka ograniava taj odseak naziva se kalota.Kalota, iji je graninikrug veliki krug sfere, naziva se polusfera, a loptin odseak ija je osnova veliki krug lopte, jepolulopta.Ako lopta i ravan imaju samo jednu zajedniku taku, kaemo da ravan dodirujeloptu, da je to tangentna ravan.Ako loptu preseemo sa dve paralelne ravni, deo sfere izmeudve paralelne ravni naziva se sferni pojas( zona). A deo lopte izmeu dve paralelne ravninaziva se loptin sloj. Deo lopte ogranien omotaem konusa, koji ima vrh u centru lopte ipripadnom sfernom kalotom zove se loptin iseak.Lopta je ravanski simetrino telo. Sve oneravni koje prolaze kroz centar lopte su ravni simetrije lopte i ima ih beskonano mnogo.(sl.19a,b,c)

a) b) c)

Sl.19


10/21

10

2.POVRINE OBRTNIH TELA

2.1 POVRINA VALJKA

Prizma je opisana oko valjka ako su njene osnove opisane oko osnova valjka a nekenjene bone ivice neke od izvodnica valjka(sl.1).Ako posmatamo prizmu ije su osnoveupisane u osnove valjka i ako su njene bone ivice neke od izvodnice valjka za takvu prizmureiemo da je upisana u valjak.Pretpostavimo da je u datom valjku upisana pravlna prizmasa n stranica.Tada je povrina omotaa prizme jednaka proizvodu obima njene osnove ivisine H.Pri neogranienom udvajanju broja stranica prizme,razlika izmeu obima osnovaprizme i valjka e se smanjivati i teiti svojoj granici- obimu kruga a visina ostajenepromenjena.Prema tome,granina vrednost omotaa upisane prizme je 2r H,topedstavljaipriblinu povrinu omotaa valjka koja je jednaka proizvodu obima njegove osnove i visinetj.M=2r H.Kako povrinu valjka sainjavaju zbir povrina osnova valjka i povrina omotaa(sl.2),onda povrina valjka bie: P=2B + M, P=2r2 +2r H, P=2r (r+H)

Sl.1 Sl.2

2.2.POVRINA KUPE

Za piramidu rei emo da je upisana u pravu kupu ako je njena osnova upisana u krug,tj. u osnovu kupe, a vrh se poklapa sa vrhom kupe. Piramida je opisana oko kupe ako je njenaosnova opisana oko kruga tj. osnove kupe ( sl.3). Pri neogranienom udvajanju broja stranicapiramide,razlika izmeu osnova e se smanjivati,pa e povrina omotaa piramide teitipovrini omotaa prave kupe.Na osnovu ovoga,moemo zakljuiti da je povrina omotaa

pavilne piramide sa n stranica,koja je opisana oko kupe data obrascem M1= Ons2

, gde je On

obim njene osnove a s duina apoteme, pri neogranienom broju udvajanja stranica opisanepravilne piramide, njena bona povrina tei svojoj granici-povrini omotaa kupe.Pri tomduina apoteme s koja je jednaka izvodnici,ostaje stalna a obim njene osnove O n tei obimu

kruga 2r ,pa je omota prave kupe M=1

2r s ili M= r s.S obzirom da se povrina kupe2

sastoji od povrine osnove i povrine omotaa kupe(sl.4a,b) imamo :P=B+M, P= r2

+ r sili P=r (r+s)


11/21

Sl.3 a) b)Sl.4

2.3 POVRINA ZARUBLJENE KUPE

Mrea zarubljene kupe sastoji od dve osnove i omotaa. Osnove zarubljene kupe sukrugovi razliitih poluprenika a omota zarubljene kupe predstavlja iseak krunogprstena(sl.5).

Sl.5 Sl.6

Povrina omotaa prave zarubljene kupe jeste granica kojoj tee povrine omotaapravilnih zarubljenih piramida upisanih ili opisanih oko date zarubljene kupe kada se brojosnovnih ivica tih piramida neogranieno udvaja (sl.6). Na slici je prikazana prava zarubljenakupa i pravilna zarubljena piramida, opisana oko te zarubljene kupe.

1Povrina omotaa ove zarubljene piramide je M1

2O

nO

ms gde su On i Om obimi

osnova pravilne zarubljene piramide, tj. obimi pravilnih mnogouglova opisanih oko osnovazarubljene kupe, a s je, u isto vreme, izvodnica zarubljene kupe i apotema jedne bone straneopisane zarubljene piramide.

Ako broj strana neogranieno raste, onda povrine omotaa zarubljenih piramida teesvojoj granici - omotau prave zarubljene kupe. Meutim, granice obima On i Om su obimi


12/21

krugova tj. osnova zarubljene kupe, pa je povrina omotaa M prave zarubljene kupe

M1

2 r 2 r2

s , ili M= s ( r r) , gde su r i r poluprenici osnova zarubljene kupe.

Poto se mrea zarubljene kupe sastoji od dve osnove-krugova razliitih poluprenika iomotaa to epovrina prave zarubljene kupebiti jednaka zbiru povrina osnova i omotaa

tj. P=B+B1+M, P= r2 r2 s(r r) ,

2.4 POVRINA LOPTE-SFERE I NJENIH DELOVA

Za povrinu sfere-lopte, dobijenu rotiranjem polukruga oko jednog prenika, uzima segranica kojoj tee povrine, nastale rotiranjem oko istog prenika pravilne izlomljene linijeupisane u datom polukrugu, kada broj stranica te linije neogranieno raste.Posmatrajmopolukrug u kome je upisana pravilna izlomljena linija ABCD.KL,sa n strana(sl.7).

Sl.7 Sl.8

Neka su take B1,C1,.......K1podnoja normala sputenih redom iz taaka B,C,D,...KnaAL,rn je normala sputenih iz take O na AB,BC,...,KL .Na osnovu teorema(sl.8 a,b,c)Bona povrina svakog od tri navedena tela jednaka je proizvodu visine tela i obima krugaiji je poluprenik jednak duini normale na generatrisi, povuene iz njene sredine dopresekasa osom rotacije imamo da je:SAB= 2 r

n.AB1 ,SBC=

2

rn.B1C1 ,......SKL=

2

rn.K1L ,sabiranjem

jednaina dobija se veliina obrtne povri Sn nastale rotacijom izlomljene linije ABC...KLimamo: SAB+SBC+ ...+SKL=2 rn (

AB1

B1C1... K

1L)

SAB+SBC+ ...+SKL=Sn i AB1+B1C1+...+K1L=AL=2rSn=4 rn.r,kada n beskonano raste,tada rn r,a Sn S,dakle

S=4r2

Povrina lopte jednaka je etvorostrukoj povrini njenog velikogkruga.

Kada se sfera presee jednom ravni, dobija se deo sfere koji se naziva kalota.Povrinakalote odreuje se, kako i povrina lopte, rotiranjem pravilne izlomljene linije, upisane ukrug, oko prenika tog kruga.Ako se rotira deo izlomljene linije,analogno prethodnomobjanjenju povrine lopte,dobiemo obrazac za izraunavanje povrine kalote P=2rh (sl.9)

Povrina sfernog pojasa(zone) se odreuje na na isti nain kao i povrina kalote.Povrina sfernog pojasa moe se odrediti i na osnovu obrasca za povrinu kalote ako se uzme


13/21

u obzir da je povrina zone, u stvari, jednaka razlici povrina dveju kalota, ije su visine h 1 i


14/21

h2(sl.10). Na osnovu toga je povrina sfernog pojasa P=2r (h2-h1), ili, poto je h2-h1=h, gdeje h visina zone:

P=2r h

Sl.9 Sl.10

3.ZAPREMINE OBRTNIH TELA

Jo pre nove ere grki matematiari posmatrali su valjak kao prizmu, a kupu kaopiramidu sa beskonano mnogo strana. Da bi smo odredili zapreminu tela ogranienogkrivom povri, potrebno je da posmatramo upisana i opisana poliedarska tela iju zapreminuve znamo da izraunamo. Za zapreminu datog tela treba se uzeti ona zajednika graninavrednost kojoj tei niz zapremina upisanih i niz zapremina opisanih poliedara, kada brojnjihovih strana tei beskonanosti tako da povrina svake strane tei nuli.

Veoma vanu ulogu pri izraunavanju zapremine uopte, ima Kavalijerijev princip kojiga je postavio italijanski matematiar Kavalijeri 1635 godine.Princip glasi:

Ako se dva tela mogu postaviti u takav poloaj da su preseci oba tela sa ma kojom

ravni, paralelnoj jednoj datoj ravni,figure jednakih povrina, onda su zapremine tih tela

meusobnojednake.

3.1 ZAPREMINA VALJKA

Posmatrajmo valjak u kome je upisana(opisana) prizma sa n strana(sl.1).Neka jeBnpovrina njene osnove,zapremina te prizme bie V=BnH gde je H visina prizme i valjka.

Ako se broj osnovnih ivica neoganieno udvaja,onda je granica kojoj tee povrine Bnjednaka povrini kruga r2 a zapremina granica upisanih prizmi V= r2 H.Na osnovuKavalijerijevog principa moemo tvrditi da je zapremina valjka jednaka zapremini prizme

iste visine pa jezapremina valjka proizvodu povrine njegove osnove i visine, V= r2 H.Lako se moe utvrditi odnos zapremina tela tj. utvrditi njihova jednakost(valjak ima sakvadrom jednaku osnovu i visinu)(sl.2)

Sl.1 Sl.2


15/21

3.2 ZAPREMINA KUPE

Neka je dat valjak u kome je upisana (opisana) piramida sa n strana(sl.3).Neka jeBnpovrina njene osnove,zapremina te piramide bie V=BnH gde je H visina piramide i kupe.

Ako se broj osnovnih ivica neogranieno udvaja,onda je granica kojoj tee povrine

Bn jednaka povrini kruga r2 a zapremina granica upisanih piramidi je: V=

1r2

3H.Na

osnovu Kavalijerijevog principa moemo tvrditi da je zapremina kupe jednaka zapreminipiramide iste visine,ija je povrina osnove jednaka povrini osnove kupe

zapremina kupe jednaka treini proizvoda povrine njene osnove i visine, V=r2

1r2

3

, pa je

H.

Posmatrajui na (sl.4)moe se pokazati da je zapremina kupe tri puta manja od zapreminevaljka ako imaju jednake osnove i visine.

Sl.3 Sl.4

3.3 ZAPREMINA ZARUBLJENE KUPE

Zapremina zarubljene kupe jednaka je razlici zapremina dveju kupa(sl.5).

Sl.5


16/21

2

1

Neka je OP=H ,PS=H1.Tada je zapremina zarubljene kupe jednaka razlici zapremina ovih

kupa sa visinama H i H1 : V1r

2

H3

H1

r H13

1

Iz slinosti trouglova SAO i SBP imamo da je : H H1 r ,odakle je H H r ,smenomH1 r r r

ovih vrednosti u predhodnu jednainu dobijamo daje:

V1

H r2

rr r2

3

3.4. ZAPREMINA LOPTE

Da bi izraunali zapreminu lopte potrebno je izkazati sledeu teoremu:Zapremina tela nastalog rotacijom trougla oko ose koja prolazi kroz jedno njegovo teme i

lii u ravni trougla, a ne see ga, jednaka je proizvodu povrine obrazovane rotacijom osnove

trougla i jedne treine odgovarajue visine.

a) b) c)1Zapremina nastalog tela je: V hS

AB3

,gde je h duina odgovarajue visine a SAB povrina

omotaa kupe nastale rotacijom stranice AB oko ose xy(sl.6a);povrina omotaa zarubljenekupe nastala rotacijom straniceAB oko ose xy(sl.6b);povrina omotaa valjka nastalogrotacijom stranice AB oko ose xy(sl.6c).

Zapremina lopte nastale rotacijom polukruga oko jednog prenika,jeste granica kojoj teizapremina obrtnog tela koje nastaje rotacijom oko iste ose pravilnog mnogougla upisanog udatom polukrugu kad broj stranica mnogougla n neogranieno raste.Na osnovu (sl.7) moe sezakljuiti,da je zapremina tela nastalog rotacijom pravilnog mnogougla ABC...KL jednakazbiru zapremna tela obrazovanih rotacijom trougla AOB,BOC,...KOL.Prema predhodnoj

teoremi imamo da je :1

VAOB

VBOC

rnS

AB3

1rS

3n BC

SVKOL


17/21

Vn

----

----

----

----

1

r

S

,s

a

bi

ra

nj

e

m

i

sr

e

i

v

a

nj

e

m

o

vi

h

je

d

n

a

in

ad

o

bi

ja

se

:3n

KL

1rS

3n n


18/21

1

i

Kada broj stranica pravilnog mnogougla neogranieno raste ,onda povrina koja nastajerotacijom odgovarajue pravilne izlomljene linije tei svojoj granici-povrini lopte,a visina

polupreniku lopte,pa je zapremina lopte :V1r4r

2

3

tj. V4r3

3

Takoe, zapreminu lopte moemo i na sledei nain objasniti:Posmatrajmo model lopte(sl.8)ija je sfera krunicama podeljena na manje delove.Granica ovih delova su delovikrunica na lopti.Ukoliko su delovi sfere manji , manje se razlikuju od etvorouglovaodnosno trouglova.

Povrine malih delova sfere oznaimo sa P1,P2,...Pn. Jedan takav mali deo je prikazan naslici 8. Uoimo sada jedan od tih delova povri lopte, kao osnovu piramide sa vrhom ucentru lopte i visinom jednakom polupreniku lopte (sl.9).

Sl.8 Sl.9

Zapremina V lopte je jednaka zbiru zapremina svih takvih piramida. Za svaku od ovih

piramida smatraemo da ima zapreminu1

Pr, gde je P povrina dela povri lopte koji inii3osnovu piramide. Prema ovome zapremina V lopte je:

1 1 1 1V= P

1H

3P

2H3

... PnH ,V= (

P13 3

P2 ... Pn )r, Kako je zbir povrina svih

delova sfere jednak povrini lopte,tj. P1+P2+ . . . +Pn=4r2 to je zapremina lopte V=

14r

2r

3

V=4

r3

3

Na osnovu slike 10,moemo zakljuiti da loptin iseaknastaje rotacijom krunog isekaoko ose xy na kojoj lei jedan od graninih poluprenika. U krunom iseku SAB upisan jeiseak jednog pravilnog mnougla,ijom rotacijom oko ose xy nastaje jedno obrtno telo ijaje

zapremina V =Ma

,gde je M povrina koju opisuje pravilna izlomljena linijaACDB3

rotacijom oko ose xy ,a aje apotema te linije.Zapremina loptinog iseka je granica kojoj tei zapremina V1 kad broj strana pravilnog

mnogougla neogranieno raste.Poto u tom sluaju M tei povrini kalote, a a polupreniku

lopte R,zapremina loptinog isekaje: V=2

3R

2h ,gde je h visina kalote.


19/21

Posmatrajui sliku 10,moemo zakljuiti da loptin odseaknastaje kada se lopta preseejednom ravni koja ne prolazi kroz njen centar koji je ogranien odgovarajuom kalotom i


20/21

krugom.Zapremina loptinog odseka se dobija kada se od zapremine loptinog iseka SBAB1

2oduzme zapremina kupe SBB1 :V= 3 R2

h

1r

2(R

3h) , r je poluprenik osnove

odseka.Poto iz trougla ABA1je r2

=h (2R-h),sreivanjem poslednje jednakosti bie:2

V= h (2R h)3

Kako je loptin sloj deo lopte ogranien sa dve ravni i odgovarajuim sfernimpojasom(sl.11),zapremina loptinog sloja dobija se oduzimanjem zapremina odgovarajuih

h2

odseaka: V= 2 (3R h2

h ) 2 (3R h ), gde je visina loptinog sloja h=h -h3

23

1 2 1

Sl.10 Sl.11

3.5 LOPTA I OBRTNA TELA

Za loptu reiemo da je opisana oko valjka ako su osnove valjka preseci

lopte(sl.12).Lopta je upisana u valjak ako osnove i sve izvodnice valjka dodiruju spoljaloptu(sl.13).

Sl.12 Sl.13Lopta je upisana u kupu ako osnova i sve izvodnice kupe dodiruju loptu(sl14).Lopta je

opisana oko kupe ako je osnova kupe presek lopte i ako vrh pripada sferi(sl.15)

Sl.14 Sl.15


21/21

Literatura

[1] TATOMIRANELI,Elementarna geometrija,Tehnika knjiga,Beograd,1954.

[2] DUAN ADNAEVI,DRAGOSLAV MILI,Matematika zaVIII razred osnovne kole, Zavod za udbenike i nastavna sredstvaBeograd,1988.

[3] IVAN M.BANDI,MILICA ILI-DAJOVI,Matematika za III razred gimnazije prirodno matematikog smera, Zavod za udbenikei nastavna sredstva,Beograd,1973.

[4] JOVAN D.KEKI,Matematika sa zbirkom zadataka za III razredsrednje kole,Zavod za udbenike ,Novi Sad,1992.

[5] ZORAN LUI,Ogledi iz istorije antike geometrije ,Beograd

[6] D.LOPANDI,Geometrija za III razred usmerenog obrazovanja,Nauna knjiga,Beograd,1985.

[7] MILO RADOJII,Elementarana geometrija-osnove i elementieuklidske geometrije,Nauna Knjiga,Beograd,1961.

master radd

Documents