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CALCOLO DELLE AZIONI INTERNE E DEL COLLAUDO DI UN IMPALCATO DA PONTE

Utilizzo del Metodo di Massonnet

Introduzione

L’obiettivo di qiesto lavoro è quello di calcolare i momenti flettenti e torcenti e tagli di travi e

traversi di un impalcato da ponte.

Gli effetti che la ripartizione trasversale dei carichi produce sugli elementi dell’impalcato verranno

valutati con il metodo di Massonnet. L’applicazione di tale metodologia si basa su tre ipotesi:

1) il graticcio può essere sostituito con uno a maglie infinitesimeavente le stesse rigidezze

flessionali e torsionali, ottenendo così una piastra ortotropa;

2) l’impalcato è appoggiato ai due estremi (x = 0 e x = l) e libero sugli altri due bordi (x =± b);

3) la ripartizione dei carichi fra le travi longitudinali è la stessa, a meno di differenze

trascurabili, che si avrebbe se i carichi fossero distribuiti sinusoidalmente con legge

I risultati ottenuti con il metodo di Massonnet verranno infine confrontati con i risultati delle prove

di collaudo eseguite secondo tre differenti condizioni di carico.

1.1 Geometria dell’opera

Si tratta di un ponte composto da undici travi a doppio T affiancate con ad ainterasse di 1,00 m,

collegate trassversalmente da tre traversi (due in testata e uno in mezzeria) e completate dalla

soletta superiore in C.A. L’impalcato è largo 11,50 m e si estende su una luce totale di 23,00 m di.

La soletta di completamento è spessa 20 cm, tranne ai bordi, dove, per realizzare i due marciapiedi,

si arriva a 50 cm.

Di seguito si riportano la planimetria e la sezione trasversale dell’impalcato (Figura 1) e la sezione

di una delle travi (Figura 2)

Figura 1 - Planimetria e sezione trasversale dell’impalcato e disposizione dei flessimetri

Figura 2 – Sezione trasversale di una trave

2. Momenti flettenti e torcenti in travi e traversi

2.1 Travi e traversi

Il primo passo da fare è quello di definire le caratteristiche meccaniche dei materiali che si è deciso

di impiegare per la realizzazione dell’opera:

Modulo elastico Ec = 300.000 daN/cm2

Modulo di Poisson ν = 0,2

Modulo di rigidezza tangenziale

A questo punto è necessario passare dalle sezioni effettive degli elementi dell’impalcato alle più

elementari sezioni di calcolo, le travi a doppio T sono state ricondotte ai quattro rettangoli riportati

in Figura 3. Nei calcoli si è tenuto conto anche di una parte di soletta collaborante larga 1 m

(paragrafo 5.5 del DM 1990).

Figura 3 – Schema di calcolo

Si riportano di seguito le caratteristiche dell’elemento:

Area della sezione Ap = 4.828 cm2

Posizione del baricentro yg = 74,68 cm

Momento statico Sy = 360.555 cm3

Momenti d’inerzia Iy = 11.375.171 cm4

JTp = 508.381 cm4

Rigidezza flessionale

Rigidezza torsionale (*)

Per qunato riguarda i traversi, si è fatto riferimento alla Figura 4, ad essi corrispondono le seguenti

caratteristiche geometriche:

Figura 4 – Sezione di un traverso

(*) Per il calcolo della rigidezza torsionale si è unito il contributo dei due rettangoli superiori della trave, considerando un elemento geometrico equivalente di misure 100X23,78 cm

Area della sezione Ae = 7.900 cm2

Posizione del baricentro yg = 92,84 cm

Momento statico Sy = 733.500 cm3

Momenti d’inerzia Iy = 11.599.251 cm4

JTe = 1.399.633 cm4

Rigidezza flessionale

Rigidezza torsionale

E’ ora possibile definire i parametri di rigidezza torsionale e trasversale dell’impalcato che

serviranno per l’utilizzodelle tabelle.

Parametro di rigidezza torsionale

Parametro di rigidezza trasversale

2.2 Disposizione dei carichi

Si devono considerare diverse configurazioni di carico, così da individuare le più gravose per ogni

elemento dell’impalcato. La disposizione imposta dal DM 1990 prevede una colonna di carico

costituita da un mezzo che trasmette all’impalcato 3 carichi concentrati da 20t, oltre a questo, sul

resto del ponte grava un carico distribuiti da 3,5t/m; se la larghezza dell’impalcato lo permette si

dovrà tener conto di una seconda ed eventualmente di una terza colonna di carico analoghe alla

prima, ma i cui pesi sono ridotti rispettivamente il 50% e il 35% di quelli della prima colonna. Sui

marciapiedi è previsto un carico da folla da 0,4 t/m2. I carichi sono riportati nelle figure 5 e 6.

Figura 5 – Disposizione longitudinale dei carichi (prima colonna di carico)

Figura 6 – Disposizione trasversale dei carichi

Bisogna però ricordare che il metodo di Massonnet si basa su strisce di carico sinusoidali, perciò

bisognerà ognuno dei diversi carichi distribuiti o concentrati in una forma del tipo , il

carico sollecitante l’impalcato sarà dato dalla sommatoria dei diversi Pi, per fare ciò si effettua uno

sviluppo in serie di Taylor arrestato al primo ordine.

per i carichi concentrati

per i carichi distribuiti

P1 = 0,247 t/m

P2 = 1,754 t/m

P3 = 1,794 t/m

P4 = 1,754 t/m

P5 = 0,247 t/m

Ptot = 5,796 t/m

Per quel che rguarda il marciapiede, esso è interessato da un carico Pf = 0,891 t/m.

2.3 Calcolo dei momenti

Il metodo di Massonnet consente di trovare le espressioni delle azioni interne tramite formule

contenenti i parametri Kα, µα, τα, χα, dipendenti dai parametri di rigidezza trasversale e torsionale

calcolati nel paragafo 2.1. Per ricavare i valori incogniti è possibile impiegare delle tabelle, stilate in

relazione all’eccentricità e della lama di carico e in funzione di α, si noti che le azioni interne

identificate con questo metodo sono espresse per unità di lunghezza, esse andranno quindi

moltiplicate per la distanza d’interasse tra gli elementi. Infine è importante ricordare che l’entità dei

carichi mobili deve essere amplificata di un coefficiente φ = 1,4-(L-10)/150 = 1,318

2.3.1 Momento flettente nelle travi

m0 il momento medio e Kα è il coefficiente di ripartizione. Le travi di bordo dell’impalcato non

dispongono della resistenza torsionale dovuta alla collaborazione tra travi adiacenti, quindi il

momento flettente risulta massimo per le travi più esterne.

Per essere sicuri di non sottostimare i momenti che nascono nelle travi, i risultati ottenuti con la

stesa sinusoidale devono essere confrontati con quelli ottenuti dalla normativa, considerando per i

calcoli il metodo da cui si ricaveranno le sollecitazioni maggiori.

Carico distribuito:

Carico sinusoidale:

Le sollecitazioni associate alle diverse colonne di carico sono:

P1 = Ptot = 5,796 t/m

P2 = 50%(P1) = 2,898 t/m

P3 = Pf =0,891 t/m

Quindi si ricava m0, dato dalla somma dei 3 contributi poi ripartita sulle 11 travi.

Sinusoidale Normativa

m01 291,04 324,48

m02 146,02 162,24

m03 44,89 43,51

m0=Σmi/11 43,81 t/m 48,20 t/m

Quindi sono state scelte le sollecitazioni ottenute dalle stese di carico della normativa.

A questo punto si impiegano le tabelle di Kα, esse esistono per α=1 e α=0, per valori intermedi di

α si interpola con la formula:

e/b k0 k1 kαααα -1 -1,5388 0,4157 -1,1514

-0,75 -1,035 0,4944 -0,7318

-0,5 -0,517 0,5902 -0,2975

-0,25 0,046 0,7158 0,1788

0 0,6944 0,8814 0,7315

0,25 1,4672 1,0943 1,3933

0,5 2,3904 1,3586 2,1859

0,75 3,4626 1,6715 3,1076

1 4,6376 2,0184 4,1184

Figura 7 – Linea d’influenza per la trave di bordo

Figura 8 – Configurazione per trovare il massimo momento flettente positivo

Pi ei ei/b Ka Pi.Kα

P100% 5,796 2,25 0,391 1,841 10,672

P50% 2,898 -1,25 -0,217 0,251 0,727

Pfolla 0,891 4,875 0,848 3,503 3,121

ΣP 9,59 t/m

Σ Pi.Kα 14,52 t/m

Σ Pi.Kα/Σ Pi 1,515

Quindi:

Poiché l’ampiezza di soletta collaborante è proprio 1 m, il massimo momento flettente sollecitante

le travi di bordo vale mx = 96,24 tm

Per determinare il minimo momento flettente che solleciterà le travi

Figura 9 – Configurazione per trovare il massimo momento flettente negativo


P100% 5,796 -2,25 -0,391 -0,090 -0,524

Pfolla 0,891 -4,875 -0,848 -0,896 -0,798

ΣP 6,69 t/m

Σ Pi.Kα -1,32 t/m

Σ Pi.Kα/Σ Pi -0,198

L’ampiezza di soletta collaborante è 1,00 m, il minimo momento flettente sollecitante le travi di

bordo vale mx = -12,56 tm.

2.3.2 Momento flettente nel traverso

Il procedimento da seguire è analogo a quello precedente, anche qui l’espressione che determina

l’azione interna dipende da un parametro di cui disponiamo le tabelle:

E’ evidente come il traverso maggiormente sollecitato sia quello localizzato in mezzeria,

osservando la linea d’influenza del traverso si vede come i valori µα debbano essere determinati con

carichi su y=0 e y=b per avere rispettivamente la massima e la minima azione interna.

e/b m0 m1 ma -1 -0,2131 -0,0809 -0,18690

-0,75 -0,1092 -0,052 -0,09786 -0,5 -0,0035 -0,0143 -0,00564 -0,25 0,1074 0,0442 0,09487

0 0,2272 0,1415 0,21021 0,25 0,1074 0,0442 0,09487 0,5 -0,0035 -0,0143 -0,00564 0,75 -0,1092 -0,052 -0,09786

1 -0,2131 -0,0809 -0,18690

Figura 10 – L’inea d’influenza del traverso per y=0

Figura 11 – Carico sollecitante per trovare il massimo momento flettente

Pi ei ei/b µa Pi.µα

Pfolla 5,796 0 0,000 0,210 1,218

Figura 12 – Carichi che determinano il minimo momento flettente al traverso

Pi ei ei/b µa Pi.µα

Pfolla 0,891 -4,875 -0,848 0,471 0,420

Pfolla 0,891 4,875 0,848 0,471 0,420

2.3.3 Momento torcente nelle travi

Il momento torcente attorno all’asse x vale:

dunque, a differenza di prima, le fibre più sollecitate saranno quelle alle estremità del ponte x=0 e

x=l, tuttavia prima di procedere nei calcoli si è dovuto determinare la configurazione di carico che

provoca le maggiori torsioni. Considerando le disposizioni A e B riportate nella figura seguente,

valutiamo le reazioni vincolari che si producono all’appoggio.

Figura 13 – Le disposizione A e B

Si ricava RA = 40,95 t e RB = 67,86 t, quindi proseguiremo considerando la prima disposizione,

tuttavia carichi concentrati sugli appoggi non vengono ben approssimati da una funzione seno, Per

trasformare il carico longitudinale in lama di carico sinusoidale si può valutare il rapporto tra la

reazione vincolare all’appoggio nella nuova situazione di carico e quella utilizzata finora. Tale

rapporto vale: RB/RA = 67,86/ = 1,657 e lo si utilizza per amplificare i carichi trovati prima:

P100% = 9,605 t/m

A differenza dei casi precedenti non è subito chiaro quale sia la fibra y più sollecitata, dopo aver

risolto i vari casi si è ottenuto che le torsioni maggiori si hanno su y=0.

Figura 14

Noto τα per α = 1, l’interpolazione per α generico avviene con la formula

e/b ττττ1 τττταααα -1 -0,1734 -0,0344

-0,75 -0,1543 -0,0306

-0,5 -0,1281 -0,0254

-0,25 -0,0831 -0,0165

0 0 0,0000

0,25 0,0831 0,0165

0,5 0,1281 0,0254

0,75 0,1543 0,0306

1 0,1734 0,0344

Figura 15

Pi ei ei/b τa Pi.τα

P100% 5,796 2,25 0,391 0,022 0,125

Pfolla 0,891 4,875 0,848 0,032 0,029

Data la simmetria di τα rispetto all’asse y, i momento massimo e minimo coincidono in valore

assoluto:

2.3.4 Momento torcente nei traversi

Il procedimento è del tutto analogo al precedente, l’unica differenza sta nel dover invertire nelle

formule i pedici che indicano le rigidezze di travi e traversi

2.3.5 Taglio nelle travi

L’espressione dell’azione interessata richiama le grandezze µα e Kα già viste

Dove qMx indica il taglio medio, dato dalla reazione vincolarre all’appoggio divisa sulle 11 travi

dell’impalcato.

P100% � R = 67,86 t

P50% � R= 33,93 t

Pfolla � R= 7,81 t

qMx = 109,6/11 = 9,96 t

Dal paragrafo 2.3.1 si ricorda che:


P100% 9,605 2,25 0,391 1,841 17,685

P50% 4,803 -1,25 -0,217 0,251 1,205

Pfolla 0,891 4,875 0,848 3,503 3,121

ΣP 15,30 t/m

Σ Pi.Kα 22,01 t/m

Σ Pi.Kα/Σ Pi 1,439

Figura 16 – Carichi per determinare qx massimo


P100% 9,605 -2,25 -0,391 -0,0905 -0,8688

Pfolla 0,891 -4,875 -0,848 -0,8960 -0,7984

ΣP 10,50 t/m

Σ Pi.Kα -1,67 t/m

Σ Pi.Kα/Σ Pi -0,159

Figura 17 - Carichi per determinare qx minimo

2.3.6 Taglio nei traversi

In questo caso l’azione tagliante è una funzione di tipo sinusoidale, perciò si considera la sezione

x=L/2

Per trovare le y dove si avranno il massimo e il minimo taglio bisogna sviluppare ogni singolo caso,

di seguito si riporta direttamente lo studio per y =0 e y=b/2.

y=b/2

e/b νννν0 χχχχ1 χχχχαααα -1 0,2582 0,0762 0,2221

-0,75 0,148 0,0516 0,1289

-0,5 0,0355 0,0196 0,0323

-0,25 -0,0839 -0,0305 -0,0733

0 -0,2153 -0,1142 -0,1953

0,25 -0,3624 -0,2562 -0,3413

0,5 -0,5249 -0,4946 -0,5189

0,5 0,4751 0,5054 0,4811

0,75 0,3036 0,2487 0,2927

1 0,13 0,0467 0,1135

Figura 18 – Linea d’influenza di χαααα

Pi ei ei/b χαααα p.χαααα

P100% 5,796 2,25 0,391 -0,4417 -2,560

P50% 2,898 -1,25 -0,217 -0,0892 -0,259

y=0

e/b νννν0 χχχχ1 χχχχαααα -1 0,2431 0,0419 0,2032

-0,75 0,062 -0,0334 0,0431

-0,5 -0,1209 -0,1297 -0,1226

-0,25 -0,3081 -0,273 -0,3011

0 -0,5 -0,5 -0,5

0 0,5 0,5 0,5

0,25 0,3081 0,273 0,3011

0,5 0,1209 0,1297 0,1226

0,75 -0,062 0,0334 -0,0431

1 -0,2431 -0,0419 -0,2032

Figura 19 - Linea d’influenza di χαααα

Pi ei ei/b χα p.χα

P100% 5,796 2,25 0,391 0,2002 1,160

Pfolla 0,891 -4,875 -0,848 0,1057 0,094

3. Prova di collaudo

Come già detto nel primo capitolo, i risultati ottenuti con il metodo di Massonnet verranno ora

confrontati con i dati ottenuti dalle prove di collaudo.

Nella prova di collaudo sono stati misurati i cedimenti dell’impalcato mediante sei flessimetri posti

in mezzeria (x = 11,15 m, y variabile) come mostrato in figura 18.

Figura 20 – Disposizione dei flessimetri

Flessimetri X [m] e [m] e/b 1 11,15 -5,00 -0,87 2 11,15 -3,00 -0,522 3 11,15 -1,00 -0,174 4 11,15 1,00 0,174 5 11,15 3,00 0,522 6 11,15 5,00 0,87

Il collaudo è stato effettuato impiegando quattro camion disposti a formare tre differenti

configurazioni di carico.

Come è noto l’equazione che esprime l’abbassamento di un ponte retto da un graticcio di travi è

ricordando che, introducendo il coefficiente di ripartizione trasversale del carico Kα

�

dove w0 è il cedimento causato da un carico sinusoidale uniformemente ribartito sulla larghezza 2b

dell’impalcato e che nel nostro caso vale

Quindi l’abbassamento di ogni punto è stato ottenuto moltiplicando Kα per il cedimento medio

dell’impalcato.

a b c d P1 P2 Ptot

Carro [m] [m] [m] [m] [t] [t] [t]

A 1,40 3,33 1,35 1,53 7,600 25,320 32,920

B 1,40 3,33 1,35 1,53 7,540 25,240 32,780

C 1,40 3,33 1,35 1,53 8,000 25,600 33,600

D 1,40 3,33 1,35 1,53 7,840 25,100 32,940

media 1,40 3,33 1,35 1,53 7,745 25,315 33,06

Per P1 e P2 si adottano i valori medi.

3.1 Prima condizione di carico

I carichi concentrati devono essere ricondotti a sinusoidali, perciò, detta d la distanza generica del

carico dall’appoggio, si ottiene che per ogni autocarro

Se consideriamo la disposizione trasversale, ci si riconduce a quattro lame di carico (sovrapposte

due a due) passanti per il baricentro delle file di autocarri, identifichiamo quindi due stese di carico

di eccentricità

e1= -2,70 m

e2 = 0,60 m.

Ora bisogna ricavare i coefficienti Kα dei flessimetri per ognuna delle strisce di carico applicate.

Figura 21 – Disposiziono longitudinale e trasversale della prima configurazione, in rosso il baricentro delle due file di autocarri

Striscia di carico 1

Flessimetro e e/b Kα

1 -5,00 -0,870 1,980

2 -3,00 -0,522 1,668

3 -1,00 -0,174 1,259

4 1,00 0,174 0,803

5 3,00 0,522 0,352

6 5,00 0,870 -0,080



1 -5,00 -0,870 0,597

2 -3,00 -0,522 0,882

3 -1,00 -0,174 1,080

4 1,00 0,174 1,191

5 3,00 0,522 1,181

6 5,00 0,870 1,049

Flessimetro kα.P1 kα.P2 kα.W0

1 10,272 3,097 9,04 2 8,654 4,576 8,94 3 6,532 5,603 8,20 4 4,166 6,179 6,99 5 1,826 6,127 5,38 6 -0,415 5,442 3,40

Figura 22 – Cedimenti secondo Massonnet e risultati della prima prova di carico

3.2 Seconda condizione di carico

La seconda configurazione di carichi differisce dalle prima solo per disposizioe trasversale (Figura

21).

e1= -2,70 m

e2 = 0,60 m.

Figura 23- disposizione dei carichi nella seconda prova



1 -5,00 -0,870 1,488

2 -3,00 -0,522 1,418

3 -1,00 -0,174 1,249

4 1,00 0,174 0,951

5 3,00 0,522 0,601

6 5,00 0,870 -0,241



1 -5,00 -0,870 0,241

2 -3,00 -0,522 0,601

3 -1,00 -0,174 0,952

4 1,00 0,174 1,249

5 3,00 0,522 1,418

6 5,00 0,870 1,488

Flessimetro kα.P1 kα.P2 kα.W0 Wcollaudo

1 7,720 1,250 6,06 3,32 2 7,357 3,118 7,08 4,38 3 6,480 4,939 7,72 5,28 4 4,934 6,480 7,72 5,27 5 3,118 7,357 7,08 4,44 6 -1,250 7,720 4,37 3,70

Figura 24 - Cedimenti secondo Massonnet e risultati della prima prova di carico

3.3 Terza condizione di carico

E’ simmetrica rispetto alla prima prova, perciò:

e1 = -0,60 m

e2 = 2,70 m

Figura 25 – Disposizione dei carichi nella terza prova



1 -5,00 -0,870 1,049

2 -3,00 -0,522 1,181

3 -1,00 -0,174 1,191

4 1,00 0,174 1,080

5 3,00 0,522 0,882

6 5,00 0,870 0,597



1 -5,00 -0,870 -0,080

2 -3,00 -0,522 0,352

3 -1,00 -0,174 0,803

4 1,00 0,174 1,259

5 3,00 0,522 1,668

6 5,00 0,870 1,980

Flessimetro kα.P1 kα.P2 kα.W0 Wcollaudo 1 5,442 -0,415 3,40 2,11 2 6,127 1,826 5,38 3,33 3 6,179 4,166 6,99 4,66 4 5,603 6,532 8,20 5,42 5 4,576 8,654 8,94 5,50 6 3,097 10,272 9,04 5,35

Figura 26 - Cedimenti secondo Massonnet e risultati della prima prova di carico

4. Conclusioni

Si è quindi visto come un’analisi sviluppata col metodo di Massonnet porti a sovrastimare i

cedimenti dell’impalcato, questa situazione è imputabile a diverse cause:

• non si considera il contributo dei marciapiedi e dei guardavia;

• il modulo E non è costante, ma varia nell’impalcato;

• il carico sollecitante è stato approssimato fermndosi al primo termine dello sviluppo in serie;

• la lunghezza del ponte è approssimata in quanto si considerano gli assi degli appoggi.

Si può quindi dire che questa metodologia consente di effettuare verifiche con un buon margine di

sicurezza.

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