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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Lımites y continuidad. Teoremas sobre continuidad.
Juan Ruiz1 Marcos Marva1
1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.
Matematicas (Grado en Biologıa)
Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)
IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Contenidos
1 Introduccion
2 Lımites
3 Continuidad
4 Teoremas importantes sobre continuidad
Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)
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ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Outline
1 Introduccion
2 Lımites
3 Continuidad
4 Teoremas importantes sobre continuidad
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Introduccion
¿Podemos saber que ocurrio en la que imagen que falta?
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ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
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1 Introduccion
2 Lımites
3 Continuidad
4 Teoremas importantes sobre continuidad
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ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Recordatorio sobre lımites
Definicion informal:
El lımite de f (x) cuando x tiende a c , es igual a L, significa quef (x) puede tomar valores arbitrariamente cercanos a L, siempreque x este suficientemente cerca de c (pero no sea igual a c). Estose indica como:
lımx→c
f (x) = L
o f (x)→ L cuando x → c .
Si lımx→c f (x) = L y L es un numero finito, se dice que el lımiteexiste y que f (x) converge a L. Si el lımite no existe, se dice quef (x) diverge cuando x → c .
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Recordatorio sobre lımites
Conviene aclarar que x siempre sera cercano a c pero nunca igual.Por lo tanto, no vale unicamente con sustituir x por c. De hecho elvalor de f (c) es irrelevante para calcular lımx→c f (x). Veremosejemplos en los que f (c) no esta definida.x puede aproximarse a c por la derecha o por la izquierda.Utilizaremos la notacion:
Lımite por la derecha: lımx→c+ f (x) cuando x se acerca a cpor la derecha.
Lımite por la izquierda: lımx→c− f (x) cuando x se acerca a cpor la izquierda.
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ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Ejemplos de lımites que existen
lımx→2 x2
lımx→3x2−9x−3
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Ejemplos de lımites que no existen
lımx→0|x |x
lımx→01x2
lımx→0 sin(πx
)
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Propiedades sobre lımites
Sea a una constante y supongamos que lımx→c f (x) y lımx→c g(x)existen. Se cumplen entonces las siguientes reglas:
lımx→c af (x) = a lımx→c f (x).
lımx→c [f (x) + g(x)] = lımx→c f (x) + lımx→c g(x).
lımx→c [f (x) · g(x)] = lımx→c f (x) · lımx→c g(x).
lımx→cf (x)g(x) = lımx→c f (x)
lımx→c g(x) , suponiendo que lımx→c g(x) 6= 0.
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Propiedades sobre lımites
Si f (x) es un polinomio, entonces
lımx→c
f (x) = f (c)
Si f (x) es una funcion racional, es decir:
f (x) =p(x)
q(x)
siendo p(x) y q(x) polinomios y q(c) 6= 0, entonces
lımx→c
f (x) = lımx→c
p(x)
q(x)=
p(c)
q(c)= f (c)
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Lımites infinitos
Lımites infinitos en un punto
Estos lımites estan relacionados con la presencia de una asıntotavertical en x = a.
lımx→a f (x) = ±∞lımx→a− f (x) = ±∞lımx→a+ f (x) = ±∞
Lımites infinitos en el infinito
lımx→±∞ f (x) = ±∞
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Lımites finitos
Lımites finitos en un punto
lımx→a f (x) = L
lımx→a− f (x) = L
lımx→a+ f (x) = L
Lımites finitos en el infinito
Estos lımites estan relacionados con la presencia de una asıntotahorizontal:
lımx→±∞ f (x) = b
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Ejemplos de calculo de lımites
lımx→3x2−4x+3x2+x−12
lımx→2x2−x+5x−2 (Nota: hacer lımites laterales.)
lımx→π2
tg(x)sec(x)
lımx→4
√x−2x−4
lımx→1
(1
x−1 −2
x2−1
)lımx→∞
3x4−7x+97x4−4
lımx→∞3x3−7x+9
7x4−4
lımx→−∞3x8−7x+9
7x3−4
lımx→∞ x3
lımx→∞ x−3
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2 Lımites
3 Continuidad
4 Teoremas importantes sobre continuidad
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Defnicion de continuidad
Definicion:
Se dice que una funcion es continua en x = c si
lımx→c
f (x) = f (c).
Para comprobar si una funcion es continua en x = c , es necesariocomprobar las tres condiciones siguientes:
f (x) esta definida en x = c .
Existe el lımite lımx→c f (x).
lımx→c f (x) es igual a f (c).
Si falla alguna de las tres condiciones, la funcion es discontinua enx = c .
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Continuidad por la derecha y por la izquierda
Definicion:
Se dice que una funcion es continua por la derecha en x = c si
lımx→c+
f (x) = f (c).
y continua por la izquierda en x = c si
lımx→c−
f (x) = f (c).
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Combinacion de funciones continuas
Propiedades
Sea a una constante y sean las funciones f y g continuas en x = c .Entonces las funciones siguientes son continuas en x = c:
a · ff + g
f · g .fg con tal de que g(c) 6= 0.
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Combinacion de funciones continuas
Teorema
Si g(x) es continua en x = c con g(c) = L y f (x) es continua enx = L, entonces la funcion (f ◦ g)(c) es continua en x = c . Enparticular,
lımx→0
(f ◦ g)(x) = lımx→c
f [g(x)] = f [g(c)] = f (L)
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2 Lımites
3 Continuidad
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Teorema del valor intermedio
Teorema
Sea f una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si L es unnumero real tal que f (a) < L < f (b) o f (b) < L < f (a), existe almenos un numero c en el intervalo abierto (a, b) tal que f (c) = L.
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Teorema de Bolzano
Teorema
Sea f una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b] con f (a) yf (b) no nulos y de signos opuestos. Entonces f (x) tiene algun ceroen (a,b).
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Claudia Neuhaser. Matematicas para ciencias. Ed. Pearson-Prentice Hall.
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