1. Derivadas. Teoremas2 BachilleratoPresentacin elaborada por la profesora Ana M Zapatero a partirde los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)

2. Esquema 3. Tasa de variacin media en un intervaloPara una funcin f(x) se define la tasa de variacin media de f en un intervalo [a, b],contenido en el dominio f(x), mediante el cociente:f(b) f(a) Tm f[a, b] =ba La tasa de variacin media es una medida de la variacin que experimenta unafuncin, en un intervalo, por unidad de variable independiente.Pendiente positivaPendiente negativa 4. Tasa de variacin media en un intervalo: ejemploLa evolucin en el tiempo del nmero de afiliados a la Seguridad Social en Espaaentre 1980 y 1999 ha seguido un modelo similar al que se refleja en la grfica, dondex representa el tiempo en aos, siendo x = 0 el ao 1980, y f(x) representa el nmerode afiliados expresado en millones. El incremento anual medio, o tasa de variacin, media entre 1980 y 1999 es:f(19) f(0) 19= 0,1241 Que puede interpretarse de la siguiente manera: entre 1980 y 1999 el nmero de afiliados aument por trmino medio, en unas 124000 personas por ao. 5. Tasa de variacin instantneaLa tasa de variacin instantnea TVI(x) o ti(x) , en un punto, es el lmite de las tasasde variacin media cuando los intervalos considerados se hacen cada vez mspequeos:f ( x +h) f ( x )TVI (x) = ti(x) = limh0h 6. Derivada de una funcin en un puntoDef: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente lmite. f(p+h) f(p) limh hoSi el lmite existe y es finito,la derivada de f(x) en x=p es f(p+h) f(p)f (p) = lim h ho 7. Interpretacin geomtrica de la derivadaAl hacer que h 0, ocurrir que p + h tiende (se acerca) a p Q recorre la curva acercndose a P La recta secante a la curva seconvierte en la recta tangente La inclinacin de la recta secante tiendea la inclinacin de la recta tangente f ( p + h) f ( p )lim = f ( p )h 0hSi la funcin f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin f en este punto es la derivada de f en p . 8. Ecuacin de la recta tangente Ecuacin de la recta que pasa por un punto A(a, b) y de pendiente m:y b = m (x a)t tf(a) Entonces: Pendiente de la tangente: mt = f (a) t Ecuacin de la recta tangente:t y f(a) = f (a) (x a) a 9. Ecuacin de la recta normalEcuacin de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m:y f(p) = m (x p)Como la tangente y la normal sonperpendiculares sus pendientes soninversas y cambiadas de signo.Entonces: Pendiente de la tangente: mt = f (p) Ecuacin de la recta tangente: y f(p) = f (p) (x a)Pendiente de la normal: mn = 1/f (p)Ecuacin de la normal:y f(p) = [1/f (p)] (x a) 10. Derivadas laterales La derivada por la izquierda de la funcin f(x) en el punto x = a es el lmite, si f ( x + h) f ( x )existe, dado por f (a ) = limh 0 hLa derivada por la derecha de la funcin f(x) en el punto x = a es el lmite, si existe, f ( x + h) f ( x )dado por f (a+ ) = lim* h 0+hUna funcin es derivable en un punto si y slo si es derivable por la derecha ypor la izquierda y las derivadas laterales coinciden.f (a+) = tg > 0 f (a) = tg < 0 Por ser f (a+) f (a), f(x) no es derivable en el punto a. a 11. TeoremaUna funcin derivable en un punto es continua en dicho punto. Demostracin: Queremos llegar al lmite de la funcin en el puntof ( a + h) f ( a ) f ( a + h) f ( a ) =h h f ( a + h) f ( a ) lim ( f (a + h) f (a) ) = lim h h 0 h 0 h f ( a + h) f ( a )= lim lim hf ( x) es derivable en x = a h 0 h h 0= f (a ) 0 = 0 lim f (a + h) = f (a)f ( x) es continua en x = ah 0 12. Relacin continuidad y derivabilidadHay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto. y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho puntof(a + h) f(a)h f(0+) = limh= lim h = 1 = tg h 0+ h 0+ f(a + h) f(a)h f(0) = lim h= lim h = 1= tg h 0 h 0 Puesto que las derivadas laterales en 0 son diferentes la funcin no es derivable en dicho punto. 13. Funcin derivadaSe llama funcin derivada de una funcin f(x) a la funcin f (x) que asocia acada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista. Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:f(3 + h) f(3) (3 + h)2 32 h (h + 6) f (3) = lim = lim = lim =6 hh h h0h0 h 0 Derivada de f(x) = x2 en el punto 2: f(2 + h) f(2) (2 + h)2 22 h (h + 4)f (2) = lim = lim = lim = 4hh h h0 h 0h 0Para obtener la derivada en x f(x + h) f(x) (x + h)2 x2 h (h + 2x)f (x) = lim = lim = lim= 2xhhhh 0 h0 h 0Se dice que la funcin derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f (x) = 2x 14. Consecuencias de la definicin de derivada La funcin derivada no identifica totalmente a la funcin, pues funciones quese diferencian en una constante, tienen la misma funcin derivada.Ej. f(x)= g(x) + k siendo k constante f(x) = g(x) h(x)= g(x) + k siendo k una constante h(x) = g(x)Geomtricamente, indica que las funciones f(x) y h(x) se obtienen mediante unatraslacin de vector paralelo al eje Y y mdulo k k. Por ello las tangentes a lastres funciones son paralelas. 15. Derivadas de operaciones con funcionesSean f y g dos funciones derivables en un punto x R y sea c un nmero real.Entonces las funciones cf, f + g, fg y f/g (si g(x) 0) son tambin derivables en x. Adems se tiene:(cf)(x) = cf (x)(f + g) (x) = f (x) + g(x)(f g) (x) = f (x) g(x)(fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g(x)ff( x)g ( x) f ( x)g( x) ( x) = g g 2 ( x) 16. Demostracin de la regla de derivacin del cocienteff( x)g ( x) f ( x)g( x)Enunciado: La derivada de un cociente ( x) = g g 2 ( x)ff f ( x + h) f ( x ) ( x + h) ( x )gg g ( x + h) g ( x ) f = lim = ( x) = limg h 0h h 0 h f ( x + h) g ( x ) f ( x ) g ( x + h)f ( x + h) g ( x ) f ( x)g ( x) + f ( x)g ( x) f ( x) g ( x + h)g ( x ) g ( x + h)g ( x ) g ( x + h)= lim= lim =h 0hh 0h 1 f ( x + h) g ( x) f ( x)g ( x)f ( x)g ( x) f ( x) g ( x + h) = lim lim + lim=h 0g ( x ) g ( x + h) h 0 h h 0h 1 f ( x + h) f ( x) g ( x ) g ( x + h) = lim lim g ( x) + lim f ( x)=h 0g ( x ) g ( x + h) h 0h h 0 hf( x)g ( x) f ( x)g( x)= g 2 ( x) 17. Derivada de una funcin compuesta: regla de la cadenaSe define la composicin de una funcin f con otra funcin g, y se denotapor gf a la nueva funcin dada por (gf) (x) = g(f(x)).Ejemplo:La funcin h(x) = (2x 1)2 es la composicin de dos funciones: f(x) = 2x1 y g(t) = t2f gR R Rx2x1 = tt2 = (2x1)2x(2x1)2 h(x) = g(f(x)) = g(2x1) = (2x 1)2 = (g o f)(x)Regla de la cadena: si la funcin g es derivable en el punto f(a) y la funcin f esderivable en a, entonces la funcin gf es derivable en a y su derivada es: (gf)(a) = g(f(a)) . f (a) Ejemplo: Como (gf)(x) = g(f(x)) = (2x 1)2 (gf)(x) = g(f(x)) . f (x) = 2(2x 1) . (2x 1) = 2(2x 1) . 2 18. Regla de la cadena: DemostracinEnunciado: La derivada de la composicin de funciones (fog)(x)es: f (g(x)) g(x)[ f ( g ( x))] = lim f ( g ( x + h)) f ( g ( x)) =h0h f ( g ( x + h)) f ( g ( x)) g ( x + h) g ( x) lim = h 0 g ( x + h) g ( x)h f ( g ( x + h)) f ( g ( x))g ( x + h) g ( x ) = limlim= h0 g ( x + h) g ( x )h0hf ( g ( x + h)) f ( g ( x))g ( x + h) g ( x ) = limlim= g ( x + h ) g ( x )g ( x + h) g ( x )h0hf( g ( x))g( x) 19. Derivada de la funcin inversa Se denomina funcin inversa de una funcin f a una nueva funcin,denotada por f1, cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f1(f(x)) = x. Para que esta funcin est bien definida es necesario que f cumpla:x1 x2 f(x1) f(x2) Las grficas de f y f1 son simtricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. Y(f(x), x) Sea f una funcin definida en un inter- valo abierto D en el que admite fun-cin inversa siendo f derivable. Enton- f 1(x) (x, f(x)) ces se tiene que, para todo puntox el dominio de f-1 en1 que f-1 es deri-del f(x) X vable y en el que f (f (x)) 0 la deri-1vada de f viene dada por:1 ( f 1 ) ( x) =f( f 1 ( x)) 20. Tabla de derivadas de las funciones elementales FuncinDerivadaFuncin Derivadaf(x) = c (constante) f (x) = 0 f(x) = sen xf (x) = cos xf(x) = x nf (x) = n x n 1 f(x) = cos x f (x) = sen x 1f(x) = e xf (x) = e xf(x) = tan xf (x) = Cos 2 x xx1f(x) = a (a > 0)f (x) = a ln a f(x) = arcsen x f (x) =21x 11f(x) = ln x f (x) =f(x) = arccos x f (x) = x1x 2 1 1f(x) = logax, (a > 0) f (x) =f(x) = arctan x f (x) = x ln a1+x2 21. Obtencin de la derivada de la funcin logaritmo neperianoVamos a calcular la derivada de ln( x )a partir de la funcin exponencialSean f ( x) = e x y g ( x) = ln( x).1. ( f o g )( x) = ( g o f )( x) = x.2. Derivada funcin recproca1 1(f )( x) =1f ( f ( x))1 . } g ( x) = ln xeLa derivada de ln( x)es 1 x 22. Demostracin de la derivada de la funcin senoVamos a calcular la derivada de sen( x)Usando la definicin de derivada: h h2 cos x + sen sen(x + h) sen(x) lim2 2(sen(x))= lim = h 0hh 0h h h h cos x + sen sen 2 2 = h 2 == lim limcos x + h h h h 002 2 2 Comohlim cos x + = cos( x)h 02 La derivada de sen (x) es h sen 2 =1 Cos (x)limh 0h2 23. Obtencin de la derivada de la funcin arcosenoVamos a calcular la derivada de arcsen( x)Sean f ( x) = sen( x) y g ( x) = arcsen( x).1. ( f o g )( x) = ( g o f )( x) = x.2. Derivada funcin recproca1} g ( x) = 1(f )( x) =1 . cos(arcsen( x))f ( f ( x))1 La derivada es: Como:11 x2cos(arcsen x) = 1 ( sen (arcsen x) ) = 1 x22 24. Obtencin de la derivada de la funcin arco tangenteVamos a calcular la derivada de arctg( x)Sean f ( x) = tg( x) y g ( x) = arctg( x).}1. ( f o g )( x) = ( g o f )( x) = x.2. Derivada funcin recproca1 g ( x) =11 + tg 2 (arctg( x)) 1(f )( x) =.f ( f ( x))1 La derivada es:Como:1 tg (arctg x) = x 1 + x2 25. Diferencial de una funcin El diferencial de una funcin en un punto x = a es el incremento de la tangente al pasar del punto x = a al punto x = a + h Tangente a la curva en (a, f(a)): su pendiente es mt = f (a) = tg atf(a + h)y = f(a + h) f(a) at f (a) . dx f(a)Para valores de h = x = dx pequeos x = dx y f (a) . xPor tanto: y dy = f (a) . dxh = xY para un x cualquiera: a a+h dy = f (x) . dx 26. Una aproximacin geomtrica al concepto de diferencial Supongamos un cuadrado de lado x, al que incrementamos el lado en una cierta cantidad h. Su superficie se incrementar en:f = (x + h)2 x2 = 2xh + h2 Si h es muy pequeo, h2 es mucho ms pequeo. Entonces:2xh = 2x dx es el diferencial de la funcin f(x) = x2 y se ve que f 2x dx = f (x) dx El error que se comete al aproximar elincremento por la diferencial es h2. 27. Mximos y mnimos relativosUna funcin f(x) tiene un mnimo (mximo) relativo en x = a si existe unintervalo abierto (a h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x) por Teor. de Weierstrass f tiene mximoabsoluto M y mnimo absoluto m en [a,b]. x [a,b] m f(x) M. x1 [a,b] f(x1)=M. x2 [a,b] f(x2)=m. Si m = M => x [a,b] f(x) = M (la funcin es constante) => f(x) = 0 Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde alinterior del intervalo, a (a,b), por ejemplo m= f(x2) => (a,b) se comportacomo un entorno de x2. Se cumple que x (a,b) f(x2) f(x) por loque f presenta un mnimo relativo en x2. (1) f es derivable por hiptesis. (2) De 1) y 2), por la condicin necesaria para la existencia de mnimosrelativos f(x2)=0 como queramos demostrar 31. Teorema del valor medio o de Lagrange. Interpretacin geomtrica Si una funcin y = f(x) cumple que: Es continua [a, b]. Es derivable (a, b). Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que:f (b) f ( a )f(b) f(a) = (b a) f (c).Es decir: f( c) =b a Geomtricamente: si una funcin que cumple las hiptesis anteriores va a a tener almenos un punto (c, f(c)) en el que la tangente es paralela a la secante que pasa por lospuntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Analticamente: si una funcin cumple las hiptesis anteriores, en algn punto c (a,b) larazn incremental o tasa de variacin media (f(b) f(a)) / (b a), es igual a la derivada endicho punto.f(b) f(a) Pendiente de AB:ba f(b) f(a) f (c) = f (c) = ba c y c son los puntos c cque verifican el teorema 32. Teorema del valor medio o de Lagrange: DemostracinSi una funcin y = f(x) cumple que: Es continua [a, b], y es derivable (a, b).Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal quef(b) f(a) = (b a) f (c). Definamos una funcin auxiliar g(x) = f(x) + hx, h R. g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas.g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables. Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle=> f(a) + ha = f(b) + hb => f(a) - f(b) = hb ha = h(b - a) f (a ) f (b) h==> por el teorema de Rolle, existe c (a,b) tal g(c) = 0 ba Por definicin de g(x); g(x) = f (x) +h, g(c) =f (c) +h =0 luego f (c ) = hy por tanto: f (b) f (a )f(c ) = h = ba 33. Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado Enunciado: Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un punto c (a, b) tal que:f (b) f ( a ) f(c )=si g(b) g(a) y g (c) 0g (b) g ( a ) g(c )Demostracin: Sea h(x) = f(x) + kg(x) 1. h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b]. 2. h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b). 3. Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle. f (b) f (a ) f(a)+kg(a)=f(b)+kg(b), k(g(a)-g(b))=f(b)-f(a)k= g ( a) g (b)De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle c (a,b) tal que h(c) = 0. h(x)=f(x)+kg(x)h(c)=f(c)+kg(c)=0 f(c)/g(c) = -k f (b) f ( a ) f(c ) = g (b) g ( a ) g(c ) 34. Consecuencias del teorema del valor medio (I)Expresin del valor de una funcin en el entorno de x = a Si f(x) es continua en [a h, a + h] y derivable en su interior entonces:f(a + h) = f(a) + h f (a + h) con (0, 1). Si f(x) cumple las hiptesis del teorema de Lagrange en [a, b]: f(a) = f(b) + (b a) . f (c) con c (a, b). Si b = a + h, entonces c = a + h con (0, 1).ca + ha+h 35. Consecuencias del teorema del valor medio (II)Caracterizacin de las funciones constantesSi una funcin f(x) tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, esconstante en dicho intervalo. f(x) es derivable en (a, b). f(x) tiene derivada nula en (a, b). En consecuencia: f(x) = k en (a, b). Aunque f(x) tiene derivada nula en los puntos de (a, b) en los que es derivable (en c no es derivable). No es constante en (a, b).(x) ={ 0 f0si x a , c ) (si x c ,b ) ( 36. Consecuencias del teorema del valor medio (III)Relacin entre funciones con igual derivadaSi dos funciones f(x) y g(x) tienen igual derivada en todos los puntos de un intervaloabierto, entonces difieren en una constante en ese mismo intervalo. En el intervalo (0, 2) las fi(x) son derivables y tienen igual derivada. Entonces se diferencian en una constante, lo que significa que cada una se obtiene de la otra trasladndola paralelamente al eje OY. 37. Regla de LHpital (I) 0Indeterminacin del tipo 0Supongamos que lim f(x) = lim g(x) = 0 y que g(x) 0 en un entorno de u. xuxuf ( x) f( x)Entonces, si existe limTambin existe (puede ser finito o infinito). lim x ag ( x)x a g( x)f ( x) f( x) se verifica que: limlim = xa x ag ( x) g( x)Este teorema es vlido sustituyendo u por {a, a+, a, +, }.Una aproximacin geomtrica al teorema:f(C) CA CA f (a)= =g(C) CB CB g (a) 38. Regla de LHpital (II)Indeterminacin del tipo:Supongamos que lim f(x) = lim g(x) = xuxu y que g(x)0 en un entorno de u.f ( x) f( x)Entonces, si existe limTambin existe (puede ser finito o infinito). lim x ag ( x)x a g( x)f ( x) f( x) se verifica que: limlim = xa x ag ( x) g( x) Este teorema es vlido sustituyendo u por {a, a+, a, +, } 39. Regla de LHpital (III)Salvando indeterminaciones del tipo . 0 Supongamos que hemos de calcular:lim [f (x).g(x)] x u Indeterminacin del tipo 0 Podemos convertir esa expresin en una 0/0 o en una / f ( x) g ( x) lim[ f ( x)g ( x)] = lim= lim x u x u 1 x u 1 g ( x) f ( x) 0 es es 0 Este procedimiento es vlido sustituyendo u por {a, a+, a, +, } 40. Regla de LHpital (IV) Salvando indeterminaciones del tipo 1, 0, 00 Supongamos que hemos de calcular: lim [f(x)g(x)] x u Y que este lmite es indeterminado de cualquiera de los tipos 1 0 0 0.A = lim [f(x)g(x)] Tomando neperianos: L A = L(lim [f(x)g(x)]).xuxuDe donde: L A = lim L [f (x)g(x)], por ser la funcin logaritmo continuax uY por las propiedades de los logaritmos L A =lim [g(x) . L f(x)] xuEste lmite es indeterminado 0 . y se puede calcular por LHpital. Sea M su valorTendremos: L A = M A = eM.Este procedimiento es vlido sustituyendo u por {a, a+, a, +, } 41. Clculo de lmites indeterminados. Ejemplos (I) exx1ex1ex 1 1. lim x = lim x x = lim x x= 2e + xe 2 x(e 1)e 1 + xe x 0 x 0x 0 0 0Indet LHpitalIndet LHpital 0 0 x 1 x sen cosx2 2 2 2. lim [sen . ctg x] = lim tg x = lim 1+tg2x = 12x 0x0x 020 Indet 0. Indet LHpital0 r r rerx r r2erx r23. lim 4x 2x(erx + 1) = lim 4xerx + 4x = lim 4erx + 4xrerx + 4 = 8 x0 x0x0 r>0 0 LHpital Indet Indet 0 42. Clculo de lmites indeterminados. Ejemplos (II) 1 1 1 Lx1/x4.- lim x x-1 = A= L (x LA limx1) = lim x1 = limL x = lim=1 x 1+ x1 x+ 11+ x 1+x x1+ 1Indet 1 Indet 0 LHpital 0Si LA = 1 A = e1 = e 1 x 1 x 1 x 5.- lim = A = L x lim x =LAlim=Lsen xsen sen x 0+ 0+x 0+ x Indet 0 L sen xctg xx2 2x1 + tg2x 0= lim =lim = lim tg x = lim =x 1/x 0+1/x2x 0+ x 0+ x+ 00IndetIndet LHpital LHpital 0Si LA = 0 A = e0 = 1 43. Monotona: crecimiento y decrecimiento en un intervalo Y Yf(x+h) f(x)f(x+h)f(x) h h [ ]X [] X x x+h b x x+h aabFuncin creciente en [a, b] Funcin decreciente en [a, b]f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0 f(x) > f(x+h), (x, x+h) y h >0 f (x) >0f (x) < 0 44. Derivadas y curvatura: concavidadY Y1 221[] X X [ ]a x1x2 b a x1x2b tg 1 < tg 2 f (x1) < f (x2)Las pendientes de las tangentes aumentan fes creciente su derivada que es f debe ser f(x) > 0 funcin concava 45. Derivadas y curvatura: convexidad Y Ya2a1a1 a2 []XX[ ] a x1x2 bba x1 x2tg a1 > tg a2 f (x1) > f (x2)Las pendientes de las tangentes disminuyen fes decreciente su derivada que esf " debe ser negativa f (x) < 0 funcin cnvexa 46. Puntos de inflexinSon los puntos en los que la funcin cambia de curvaturaYf" < 0 P(a, f(a))f" > 0 X f"(a) = 0