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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Lımites y continuidad. Teoremas sobre continuidad.
Juan Ruiz1 Marcos Marva1
1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.
Matematicas (Grado en Biologıa)
Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)
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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Contenidos
1 Introduccion
2 Lımites
3 Continuidad
4 Teoremas importantes sobre continuidad
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ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Outline
1 Introduccion
2 Lımites
3 Continuidad
4 Teoremas importantes sobre continuidad
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Introduccion
¿Podemos saber que ocurrio en la que imagen que falta?
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ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
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1 Introduccion
2 Lımites
3 Continuidad
4 Teoremas importantes sobre continuidad
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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Recordatorio sobre lımites
Definicion informal:
El lımite de f (x) cuando x tiende a c , es igual a L, significa quef (x) puede tomar valores arbitrariamente cercanos a L, siempreque x este suficientemente cerca de c (pero no sea igual a c). Estose indica como:
lımx→c
f (x) = L
o f (x)→ L cuando x → c .
Si lımx→c f (x) = L y L es un numero finito, se dice que el lımiteexiste y que f (x) converge a L. Si el lımite no existe, se dice quef (x) diverge cuando x → c .
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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Recordatorio sobre lımites
Conviene aclarar que x siempre sera cercano a c pero nunca igual.Por lo tanto, no vale unicamente con sustituir x por c. De hecho elvalor de f (c) es irrelevante para calcular lımx→c f (x). Veremosejemplos en los que f (c) no esta definida.x puede aproximarse a c por la derecha o por la izquierda.Utilizaremos la notacion:
Lımite por la derecha: lımx→c+ f (x) cuando x se acerca a cpor la derecha.
Lımite por la izquierda: lımx→c− f (x) cuando x se acerca a cpor la izquierda.
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ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Ejemplos de lımites que existen
lımx→2 x2
lımx→3x2−9x−3
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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Ejemplos de lımites que no existen
lımx→0|x |x
lımx→01x2
lımx→0 sin(πx
)
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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Propiedades sobre lımites
Sea a una constante y supongamos que lımx→c f (x) y lımx→c g(x)existen. Se cumplen entonces las siguientes reglas:
lımx→c af (x) = a lımx→c f (x).
lımx→c [f (x) + g(x)] = lımx→c f (x) + lımx→c g(x).
lımx→c [f (x) · g(x)] = lımx→c f (x) · lımx→c g(x).
lımx→cf (x)g(x) = lımx→c f (x)
lımx→c g(x) , suponiendo que lımx→c g(x) 6= 0.
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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Propiedades sobre lımites
Si f (x) es un polinomio, entonces
lımx→c
f (x) = f (c)
Si f (x) es una funcion racional, es decir:
f (x) =p(x)
q(x)
siendo p(x) y q(x) polinomios y q(c) 6= 0, entonces
lımx→c
f (x) = lımx→c
p(x)
q(x)=
p(c)
q(c)= f (c)
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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Lımites infinitos
Lımites infinitos en un punto
Estos lımites estan relacionados con la presencia de una asıntotavertical en x = a.
lımx→a f (x) = ±∞lımx→a− f (x) = ±∞lımx→a+ f (x) = ±∞
Lımites infinitos en el infinito
lımx→±∞ f (x) = ±∞
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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Lımites finitos
Lımites finitos en un punto
lımx→a f (x) = L
lımx→a− f (x) = L
lımx→a+ f (x) = L
Lımites finitos en el infinito
Estos lımites estan relacionados con la presencia de una asıntotahorizontal:
lımx→±∞ f (x) = b
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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Ejemplos de calculo de lımites
lımx→3x2−4x+3x2+x−12
lımx→2x2−x+5x−2 (Nota: hacer lımites laterales.)
lımx→π2
tg(x)sec(x)
lımx→4
√x−2x−4
lımx→1
(1
x−1 −2
x2−1
)lımx→∞
3x4−7x+97x4−4
lımx→∞3x3−7x+9
7x4−4
lımx→−∞3x8−7x+9
7x3−4
lımx→∞ x3
lımx→∞ x−3
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ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Outline
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2 Lımites
3 Continuidad
4 Teoremas importantes sobre continuidad
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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Defnicion de continuidad
Definicion:
Se dice que una funcion es continua en x = c si
lımx→c
f (x) = f (c).
Para comprobar si una funcion es continua en x = c , es necesariocomprobar las tres condiciones siguientes:
f (x) esta definida en x = c .
Existe el lımite lımx→c f (x).
lımx→c f (x) es igual a f (c).
Si falla alguna de las tres condiciones, la funcion es discontinua enx = c .
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ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Continuidad por la derecha y por la izquierda
Definicion:
Se dice que una funcion es continua por la derecha en x = c si
lımx→c+
f (x) = f (c).
y continua por la izquierda en x = c si
lımx→c−
f (x) = f (c).
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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Combinacion de funciones continuas
Propiedades
Sea a una constante y sean las funciones f y g continuas en x = c .Entonces las funciones siguientes son continuas en x = c:
a · ff + g
f · g .fg con tal de que g(c) 6= 0.
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ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Combinacion de funciones continuas
Teorema
Si g(x) es continua en x = c con g(c) = L y f (x) es continua enx = L, entonces la funcion (f ◦ g)(c) es continua en x = c . Enparticular,
lımx→0
(f ◦ g)(x) = lımx→c
f [g(x)] = f [g(c)] = f (L)
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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Outline
1 Introduccion
2 Lımites
3 Continuidad
4 Teoremas importantes sobre continuidad
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ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Teorema del valor intermedio
Teorema
Sea f una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b]. Si L es unnumero real tal que f (a) < L < f (b) o f (b) < L < f (a), existe almenos un numero c en el intervalo abierto (a, b) tal que f (c) = L.
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ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Teorema de Bolzano
Teorema
Sea f una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b] con f (a) yf (b) no nulos y de signos opuestos. Entonces f (x) tiene algun ceroen (a,b).
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IntroduccionLımites
ContinuidadTeoremas importantes sobre continuidad
Claudia Neuhaser. Matematicas para ciencias. Ed. Pearson-Prentice Hall.
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