limites e continuidade de funções de várias...
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Vamos comparar o comportamento das funções 𝑓 e 𝑔:
𝑓 𝑥, 𝑦 =sin 𝑥2+𝑦2
𝑥2+𝑦2 𝑔 𝑥, 𝑦 =
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
Pelos dados numéricos intui-se que:
lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
sin 𝑥2+𝑦2
𝑥2+𝑦2= 1 e lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2= ∄
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A
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Gráfico da função 𝑓 𝑥, 𝑦 =
sin 𝑥2+𝑦2
𝑥2+𝑦2
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x
z
x
z
y
z
Gráficos da função
𝑔 𝑥, 𝑦 =𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2
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Definição: Seja 𝑓 uma função de duas variáveis cujo domínio 𝐷 contém
pontos arbitrariamente próximos de (𝑎, 𝑏). Dizemos que: lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿,
se para 휀 > 0, ∃ 𝛿 > 0 correspondente, tal que, se 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷 𝑒
0 < 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 < 𝛿, então 𝑓 𝑥, 𝑦 − 𝐿 < 휀
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TESTE DOS DOIS CAMINHOS:
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Se 𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝐿1 quando (𝑥, 𝑦) → (𝑎, 𝑏) ao longo do caminho 𝐶1 e
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝐿2 quando (x, y) → (𝑎, 𝑏) ao longo do caminho 𝐶2, com
𝐿1 ≠ 𝐿2, então lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑓 𝑥, 𝑦 = ∄ .
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Avalie a existência do limite das funções a seguir:
𝑎) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2 − 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
b) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
𝑐) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑦𝑥2
𝑥4+𝑦2
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Teorema do Confronto:
Seja g(x, y) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ ℎ 𝑥, 𝑦 tal que 0 < 𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 < 𝛿 , com 𝛿 > 0.
Se lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑔 𝑥, 𝑦 = lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)ℎ 𝑥, 𝑦 = 𝐿 então lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)𝑓 𝑥, 𝑦 existe e
lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑓 𝑥, 𝑦 = L.
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Utilize o Teorema do Confronto para encontrar o limite:
𝑎) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
3𝑦𝑥2
𝑥2 + 𝑦2
b) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3
𝑥2 + 𝑦2
𝑐) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥 𝑠𝑒𝑛1
𝑥2+𝑦2
𝑑) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2𝑠𝑒𝑛2𝑦
𝑥2 + 2𝑦2
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CONTINUIDADE
Definição: Uma função 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ é dita contínua em (𝑎, 𝑏) se
1. 𝑓 for definida em (𝑎, 𝑏);
2. lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒;
3. lim(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓(𝑎, 𝑏)
• A função será contínua se for contínua em todos os pontos 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷.
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• As funções polinomiais 𝒄𝒙𝒎𝒚𝒏, com 𝑐 constante e 𝑚 e 𝑛 inteiros
não negativos são contínuas em ∀(𝑥, 𝑦) (ℝ2). Ex. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 6𝑥2𝑦3 + 5𝑥6 + 𝑥8𝑦3
• As funções racionais são contínuas em todo o seu domínio.
Ex. 𝑓 𝑥, 𝑦 =2𝑥𝑦+𝑦2
𝑥2+𝑦2, com (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
• Combinações algébricas contínuas são contínuas.
Ex. 𝑒𝑥−𝑦, cos𝑥𝑦
𝑥2+1 , ln(1 + 𝑥2 𝑦2)
• As propriedades dos limites de funções de uma variável se estendem
para funções de várias variáveis.
•
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Avalie se as funções a seguir se são contínuas ou não.
𝑎)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2−𝑦2
𝑥2+𝑦2, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0, 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 = 0,0 no ponto (0,0).
b)𝑓 𝑥, 𝑦 =
3𝑥2𝑦
𝑥2 + 𝑦2, 𝑠𝑒 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0, 𝑠𝑒 𝑥, 𝑦 = 0,0
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𝑎) lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(0,0,0)
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠: Determine o limite das funções a seguir, caso exista,
ou mostre que o limite não existe.
𝑏) lim(𝑥,𝑦,𝑧)→(3,0,1)
𝑒−𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑧
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