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Halliday & Resnick
Mecânica
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Fundamentos de Física
Volume 1
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Energia Cinética e Trabalho
Capítulo 7
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
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7-1 Energia Cinética
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
7-1 Energia Cinética
7.01 Aplicar a relação entre a energia cinética, a massa e a velocidade de uma partícula.
7.02 Saber que a energia cinética é uma grandeza escalar.
Objetivos do Aprendizado
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
7-1 Energia Cinética
Para produzir qualquer tipo de movimento, é preciso energia
Energia:
o É uma grandeza escalar atribuída a um objeto ou a um sistema de objetos
o Pode ser convertida de uma forma para outra
o É conservada em um sistema fechado, ou seja, em um sistema fechado, a quantidade total de energia não varia
Neste capítulo será discutido um tipo de energia, a energia cinética
Será discutido também um método de transferir energia, o trabalho
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
7-1 Energia Cinética
Energia cinética:
o Quanto mais depressa um objeto se move, maior a sua energia cinética
o A energia cinética é zero para um objeto em repouso
Para um objeto com uma velocidade v muito menor que a velocidade da luz,
A unidade de energia cinética é o joule (J)
Eq. (7-1)
Eq. (7-2)
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
7-1 Energia Cinética
Exemplo Energia liberada na colisão de duas locomotivas de peso conhecido, dadas a distância inicial e a aceleração a partir do repouso
o Velocidade final das locomotivas:
o
o Massa das locomotivas:
o Energia cinética:
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
7-2 Trabalho e Energia Cinética
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Fundamentos de Física – Mecânica – Vol. 1
7-2 Trabalho e Energia Cinética
7.03 Conhecer a relação entre uma força e o trabalho realizado pela força sobre uma partícula quando a partícula sofre um deslocamento.
7.04 Obter o valor do trabalho calculando o produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento.
7.05 Calcular o trabalho total realizado por várias forças sobre uma partícula.
7.06 Usar o teorema do trabalho e energia cinética para relacionar o trabalho realizado por uma força (ou pela resultante de várias forças) à variação da energia cinética de uma partícula.
Objetivos do Aprendizado
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7-2 Trabalho e Energia Cinética
Variações de energia cinética são explicadas dizendo que uma força transferiu energia do objeto ou para o objeto
Em uma transferência de energia por meio de uma força, o trabalho é
o realizado por uma força sobre um objeto
Esse não é o sentido popular da palavra “trabalho”
o Para realizar trabalho, é preciso transferir energia
o Chutando uma bola, realizamos trabalho
o Empurrando uma parede sem deslocá-la, não realizamos trabalho
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Partimos das equações da força e da velocidade:
Combinando as duas equações, obtemos
Como o lado esquerdo é a variação de energia, o trabalho é
7-2 Trabalho e Energia Cinética
Eq. (7-4)
Eq. (7-6)
Eq. (7-3)
Eq. (7-5)
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Se a força e o deslocamento fazem um ângulo φ,
A mesma equação pode ser escrita como um produto escalar:
Nessas equações,
o a força é constante
o o objeto se comporta como uma partícula
o o trabalho pode ser positivo ou negativo
7-2 Trabalho e Energia Cinética
Eq. (7-8)
Eq. (7-7)
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7-2 Trabalho e Energia Cinética
Figura 7-2
A unidade de trabalho do SI é o joule (J), a mesma da energia
No sistema inglês, a unidade é o pé-libra (ftlb)
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7-2 Trabalho e Energia Cinética
No caso de duas ou mais forças, o trabalho total é a soma dos trabalhos realizados por todas as forças
O trabalho total pode ser calculado de duas formas:
Podemos calcular os trabalhos realizados individualmente pelas forças e somar os resultados
Podemos determinar a força resultante e calcular o trabalho realizado por essa força
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De acordo com o teorema do trabalho e energia cinética,
(variação de energia cinética) = (trabalho total)
e também
(EC final) = (EC inicial) + (trabalho total)
7-2 Trabalho e Energia Cinética
Eq. (7-10)
Eq. (7-11)
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7-2 Trabalho e Energia Cinética
O teorema do trabalho e energia cinética é válido para trabalhos positivos e para trabalhos negativos
Exemplo Se a energia cinética de uma partícula for 5 J
o e a partícula receber uma energia de 2 J (trabalho positivo)
• a energia cinética final será 7 J
o e a partícula fornecer uma energia de 2 J (trabalho negativo)
• a energia cinética final será 3 J
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7-2 Trabalho e Energia Cinética
Respostas: (a) diminui (b) permanece a mesma
(c) é positivo (d) é nulo
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7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
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7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
7.07 Calcular o trabalho realizado pelo campo gravitacional quando um objeto é levantado ou abaixado.
7.08 Aplicar o teorema do trabalho e energia cinética a situações nas quais um objeto é levantado ou abaixado.
Objetivos do Aprendizado
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7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
o Calculamos o trabalho como para qualquer outra força
A equação a ser usada é
Se o objeto está subindo,
Se o objeto está descendo,
Eq. (7-12)
Eq. (7-14)
Eq. (7-13)
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7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
Trabalho para levantar e baixar um objeto, aplicando uma força para cima:
No caso de um objeto que permanece em repouso:
o A energia cinética é zero
o Temos:
Assim, o trabalho para levantar e baixar um objeto é
O trabalho não depende da trajetória
Eq. (7-15)
Eq. (7-17)
Eq. (7-16)
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7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
A Fig. 7-7 mostra o sentido das forças e o trabalho correspondente em deslocamentos para cima e para baixo na presença de um campo gravitacional
Note que os trabalhos da força aplicada e da força gravitacional são iguais apenas se a energia cinética final é igual à energia cinética inicial
Se as energias cinéticas inicial e final são diferentes, não basta conhecer o deslocamento para calcular o trabalho total; é preciso conhecer também a diferença entre a energia cinética inicial e a energia cinética final
Figura 7-7
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7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
Figura 7-8
Exemplos
o Você está sendo puxado para cima em um trenó
• A força de tração da corda realiza um trabalho positivo e a força da gravidade realiza um trabalho negativo
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7-3 Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
Exemplos
o Você está descendo de elevador
• A força de tração da corda realiza um trabalho negativo e a força da gravidade realiza um trabalho positivo
Figura 7-9
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7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica
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7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica
7.09 Aplicar a relação (lei de Hooke) entre a força que uma mola exerce sobre um objeto, o alongamento ou encurtamento da mola e a constante elástica.
7.10 Saber que a força elástica é uma força variável.
7.11 Calcular o trabalho realizado por uma força elástica integrando a força da posição inicial até a posição final do objeto.
7.12 Calcular o trabalho realizado por uma força elástica determinando a área sob a curva de um gráfico da força elástica em função da posição do objeto.
7.13 Aplicar o teorema do trabalho e energia cinética a situações nas quais o movimento do objeto é causado por uma força elástica.
Objetivos do Aprendizado
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Força elástica é a força variável exercida por uma mola
o A força elástica tem uma expressão matemática característica
o Muitas forças da natureza podem ser descritas pela mesma expressão
7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica
A figura (a) mostra a mola no estado relaxado: como a mola não está comprimida nem alongada, não exerce nenhuma força
Quando tentamos comprimir ou alongar uma mola, ela resiste à tentativa e exerce uma força restauradora que tenta fazer a mola voltar ao estado relaxado
Figura 7-10
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7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica
A força elástica é dada pela lei de Hooke:
O sinal negativo mostra que a força se opõe ao deslocamento
A constante elástica k é uma medida da rigidez da mola
A força elástica é uma força variável, já que é proporcional à deformação da mola em relação ao estado relaxado
No caso de uma mola que coincide com o eixo x, temos:
Eq. (7-20)
Eq. (7-21)
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Podemos determinar o trabalho por integração:
Substituindo Fx por kx, obtemos:
O trabalho
o pode ser positivo ou negativo
o depende da transferência total de energia
7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica
Eq. (7-23)
Eq. (7-25)
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7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica
No caso em que a posição inicial é x = 0:
No caso em que a energia cinética inicial e a energia cinética final são nulas:
Eq. (7-26)
Eq. (7-28)
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7-4 Trabalho Realizado por uma Força Elástica
Respostas: (a) positivo
(b) negativo
(c) nulo
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7-5 Trabalho Realizado por uma Força Variável
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7-5 Trabalho Realizado por uma Força Variável
7.14 Dada uma força variável em função da posição, calcular o trabalho realizado pela força integrando a função da posição inicial até a posição final do objeto.
7.15 Dada uma curva da força aplicada em função da posição, calcular o trabalho realizado pela força calculando a área sob a curva entre a posição inicial e a posição final do objeto.
7.16 Converter um gráfico da aceleração em função da posição em um gráfico da força em função da posição.
7.17 Aplicar o teorema do trabalho e energia cinética a situações nas quais o objeto é submetido a uma força variável.
Objetivos do Aprendizado
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7-5 Trabalho Realizado por uma Força Variável
Vamos trabalhar com um exemplo unidimensional
Estamos interessados em integrar o trabalho (que normalmente não varia com a posição) no caso de uma força variável
Podemos iniciar o processo aproximando a área sob a curva por uma série de retângulos
Figura 7-12
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O limite da soma das áreas para x 0 é
ou, em forma de integral,
Em três dimensões, podemos escrever, usando o princípio da superposição:
O teorema do trabalho e energia cinética continua válido!
7-5 Trabalho Realizado por uma Força Variável
Eq. (7-31)
Eq. (7-32)
Eq. (7-36)
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7-6 Potência
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7-6 Potência
7.18 Conhecer a relação entre a potência média desenvolvida por uma força, o trabalho realizado pela força e o intervalo de tempo durante o qual o trabalho foi realizado.
7.19 Calcular a potência instantânea desenvolvida por uma força a partir da variação, com o tempo, do trabalho desenvolvido pela força.
7.20 Determinar a potência instantânea calculando o produto vetorial da força pela velocidade de um objeto.
Objetivos do Aprendizado
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7-6 Potência
Potência é a taxa de variação, com o tempo, do trabalho desenvolvido por uma força
Se uma força realiza um trabalho W em um intervalo de tempo Δt, a potência média desenvolvida pela força é
A potência instantânea é dada por
A unidade de potência do SI é o watt (W): 1 W = 1 J/s
Isso significa que o trabalho e a energia podem ser calculados multiplicando a potência por um intervalo de tempo. Uma unidade de potência muito usada na prática, por exemplo, é o quilowatt-hora (kWh).
Eq. (7-42)
Eq. (7-43)
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7-6 Potência
A potência instantânea pode ser calculada a partir da definição de trabalho:
ou
Eq. (7-47)
Eq. (7-48)
Resposta: nula (P = Fv cos ɸ, e ɸ = 90°)
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7 Resumo
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Trabalho e Energia Cinética
Energia Cinética
É a energia associada ao movimento
Trabalho
Energia transferida de um objeto ou para um objeto por uma força
Pode ser positivo ou negativo
7 Resumo
Eq. (7-1)
Eq. (7-7) Eq. (7-10)
Trabalho Realizado por uma Força Constante
O trabalho total é a soma dos trabalhos individuais
Eq. (7-11) Eq. (7-8)
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Trabalho Realizado para Levantar ou Baixar um Objeto
Trabalho Realizado pela Força Gravitacional
Eq. (7-16)
Eq. (7-26)
7 Resumo
Eq. (7-12)
Força Elástica
No estado relaxado, a força é nula
A constante elástica k é uma medida da rigidez da mola
Eq. (7-20)
Força Elástica
Para uma posição inicial x = 0,
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Potência
Taxa com a qual uma força realiza trabalho
Potência média:
Potência instantânea:
Para uma força agindo em um objeto em movimento:
Trabalho Realizado por uma Força Variável
É calculado integrando a equação do trabalho
7 Resumo
Eq. (7-32)
Eq. (7-43)
Eq. (7-47)
Eq. (7-42)
Eq. (7-48)
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