derivadas das funções trigonométricas...
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Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas
1.Funções trigonométricas
2.Funções circulares inversas
3.Derivadas das funções trigonométricas inversas
4.Exemplos
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1. Funções trigonométricas
Vamos apresentar o comportamento dasfunções seno, cosseno, tangente, cotangente,secante e cossecante.
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1.1. Função seno
Chama-se função seno afunção definida de ℜ em ℜ porf(x) = sen x.
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1.1. Função seno
Para analisar o compor-tamento da função seno,imagine que a extremidade Pde um arco, partindo daorigem, percorra a circunfe-rência trigonométrica no sen-tido anti-horário.
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1.1. Função seno
Nesse suposto desloca-mento da extremidade do arco,observamos que:
• De 0 a π/2 o seno cresce de0 a 1.
• De π/2 a π o seno decrescede 1 a 0.
• De π a 3π/2 o seno decrescede 0 a -1.
• De 3π/2 a 2π o seno crescede -1 a 0.
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1.1. Função seno
Supondo que a extremidade P continue se deslocandoindefinidamente, a cada nova volta na circunferênciatrigonométrica o seno assumirá, em idênticas condições,todos os seus valores da primeira volta. Numa linguagemsimples, podemos dizer que a função f(x) = sen x repete-seperiodicamente de 2π em 2π.
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1.1. Função seno
Na linguagem matemática escrevemos:
ou ainda
sen ( 4 ) sen ( 2 ) sen ( ) sen ( 2 ) sen ( 4 )x x x x xπ π π π= − = − = = + = + =… …
, sen sen ( 2 )x e k x x k π∀ ∈ ∀ ∈ = + ⋅ℝ ℤ
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1.1. Função seno
Então dizemos que: “A função f(x) = sen (x) é umafunção periódica de período igual a 2π”. De um modo geral,uma função f é denominada periódica sempre que existe umnúmero T > 0, tal que, para todo x do domínio de f tem-se:
( ) ( )f x f x T= +
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1.1. Função seno
O menor valor (positivo) de T que satisfaz essaigualdade é chamado período da função. O gráfico de sen(x)é chamado senóide.
[ ]( )
( ) senIm( ) 1;1
D ff x x
f
== ⇒ = −
ℝ
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1.2. Função cosseno
Assim como analisamos afunção seno, vamos analisar ocomportamento de f(x) =cos(x) para x variando de 0 a2π.
• De 0 a π/2 o cosseno de-cresce de 1 a 0.
• De π/2 a π o cosseno de-cresce de 0 a -1.
• De π a 3π/2 o cosseno crescede -1 a 0.
• De 3π/2 a 2π o cossenocresce de 0 a 1.
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1.2. Função cosseno
Da segunda volta emdiante, o cosseno passa arepetir, em idênticas condi-ções, os valores da primeiravolta. Isto é,
Então dizemos que afunção f(x) = cos (x) é umafunção periódica de períodoigual a 2π.
, cos cos ( 2 )x e k x x k π∀ ∈ ∀ ∈ = + ⋅ℝ ℤ
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1.2. Função cosseno
O gráfico da função cosseno é chamado cossenóide.Note, na figura, que a cossenóide nada mais é do que asenóide deslocada de π/2 unidades, na direção horizontal,para a “esquerda”. Essa característica da cossenóide podeser traduzida assim:
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1.2. Função cosseno
, cos sen2
x x xπ ∀ ∈ = +
ℝ
[ ]( )
( ) cosIm( ) 1;1
D ff x x
f
== ⇒ = −
ℝ
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1.3. Função tangente
Chama-se função tangente a função definida por
( ) tg , ,2
f x x x k kπ π= ≠ + ∈ℤ
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1.3. Função tangente
A função tangente também é periódica. Porém,enquanto as funções seno e cosseno têm períodos iguais a2π, a função tangente tem período igual a π.
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1.3. Função tangente
Isso significa que a cada meia-volta a funçãotangente repete-se em idênticas condições. Isto é,
, tg tg ( )2
x e k x k x x kπ π π ∀ ∈ ∀ ∈ ≠ + ⇒ = +
ℝ ℤ
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1.3. Função tangente
• De 0 a π/2 a tangente cresce de 0 a +∞.
• De π/2 a π a tangente cresce de -∞ a 0.
19
1.3. Função tangente
Daí em diante, a cada meia-volta, a tangentecomporta-se exatamente como na primeira meia-volta.
20
1.3. Função tangente
( ) / ( )( ) tg 2
Im( )
D f x x k kf x x
f
π π = ∈ ≠ + ∈ = ⇒ =
ℝ ℤ
ℝ
21
1.4. Funções cotangente, se-cante e cossecante
Por serem menos importantes que as demaisfunções trigonométricas, serão apresentadas deforma resumida, enfatizando-se o domínio e oconjunto-imagem das funções cotangente, secantee cossecante.
22
1.4. Funções cotangente, se-cante e cossecante
{ }( ) / ( )( ) cotg
Im( )
D f x x k kf x x
f
π = ∈ ≠ ∈= ⇒ =
ℝ ℤ
ℝ
P = π
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1.4. Funções cotangente, se-cante e cossecante
P = 2π
{ }
( ) / ( )2( ) sec
Im( ) / 1 1
D f x x k kf x x
f y y ou y
π π = ∈ ≠ + ∈ = ⇒ = ∈ ≤ − ≥
ℝ ℤ
ℝ
24
1.4. Funções cotangente, se-cante e cossecante
P = 2π
{ }{ }
( ) / ( )( ) cossec
Im( ) / 1 1
D f x x k kf x x
f y y ou y
π = ∈ ≠ ∈= ⇒ = ∈ ≤ − ≥
ℝ ℤ
ℝ
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2. Funções circulares inversas
As funções trigonométricas inversas sãotambém conhecidas como funções arco. Nessanotação:
sen-1 x = arc sen x cos-1 x = arc cos x
tg-1 x = arc tg x cotg-1 x = arc cotg x
sec-1 x = arc sec x cossec-1 x = arc cossec x
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7.1. Função arco-seno
A função de domínio ℜ definida porf(x) = sen x não admite função inversa por não serinjetora(*).
Nota: Uma função f é chamada injetora se cada elemento de seu conjunto-imagem é imagem de um único elemento do domínio.
27
7.1. Função arco-seno
Porém, restringindo o domínio da funçãoseno ao intervalo [- π/2, π/2] é possível definir suainversa, que é chamada função arco-seno e édenotada pelo símbolo arc sen.
Por exemplo, a sentença
significa:
1arc sen
6 2π =
1 é o arco cujo seno é igual a
6 2π
28
7.1. Função arco-seno
Definição:
Para , a função arco-seno é definida pela sentença
y = arc sen x ⇔ sen y = x
[ ]1; 1 e ;2 2
x yπ π ∈ − ∈ −
29
7.1. Função arco-seno
Veja estes exemplos:
Este esquema mostra que a função arco-seno é a inversa da função seno:
1 1) arc sen , pois sen
6 2 6 2
) - arc sen( 1), pois sen 12 2
a
b
π π
π π
= =
= − − = −
30
7.1. Função arco-seno
Gráfico de f(x) = arc sen x
31
2.1. Função arco-seno
Se considerarmos a função seno restrita aointervalo [-π/2, π/2] e com contradomínio [-1, 1],isto é,
g: [-π/2, π/2] → [-1, 1]
tal que g(x) = sen x, a função g admitirá inversa eg-1 será denominada função arco-seno. Notemosque g-1 tem domínio [-1, 1], contradomínio [-π/2,π/2] e associa a cada x ∈ [-1, 1] um y ∈ [-π/2, π/2]tal que y é um arco cujo seno é x (indica-se y = arcsen x). Temos, portanto, que:
y = arc sen x ⇔ sen y = x e -π/2 ≤ y ≤ π/2
32
2.1. Função arco-seno
33
7.2. Função arco-cosseno
A exemplo da função seno, a função cossenonão admite inversa quando seu domínio é oconjunto ℜ. Assim, para definir a inversa dafunção cosseno, vamos restringir o seu domínio aointervalo [0; π].
34
7.2. Função arco-cosseno
A inversa da função cosseno é chamadafunção arco-cosseno e é denotada por arc cos.
Definição:
Para , a função arco-cosse-no é definida pela sentença
y = arc cos x ⇔ cos y = x
[ ] [ ]1; 1 e 0;x y π∈ − ∈
35
7.2. Função arco-cosseno
Veja estes exemplos:
Este esquema mostra que a função arco-cosseno é a inversa da função cosseno:
( )
3 3) arc cos , pois cos
6 2 6 2
) arc cos( 1), pois cos 1
a
b
π π
π π
= =
= − = −
36
7.2. Função arco-cosseno
Gráfico de f(x) = arc cos x
37
2.2. Função arco-cosseno
Se considerarmos a função cosseno restrita ao intervalo [0, π] e com contradomínio [-1, 1], isto
é,
g: [0, π] → [-1, 1]
tal que g(x) = cos x, a função g admitirá inversa eg-1 será denominada função arco-cosseno. Notemosque g-1 tem domínio [-1, 1], contradomínio [0, π] eassocia a cada x ∈ [-1, 1] um y ∈ [0, π] tal que y éum arco cujo cosseno é x (indica-se y = arc cos x).Temos, portanto, que:
y = arc cos x ⇔ cos y = x e 0 ≤ y ≤ π
38
2.2. Função arco-cosseno
39
7.3. Função arco-tangente
Para definir o inverso da função tangente,vamos restringir o inverso da mesma ao intervalo(-π/2, π/2). Observe o gráfico seguinte e note que,nesse intervalo, a função tangente é bijetora.
40
7.3. Função arco-tangente
A inversa da função tangente é chamadafunção arco-tangente e é denotada por arc tg.
Definição:
Para , a função arco-tan-gente é definida por
y = arc tg x ⇔ tg y = x
e ;2 2
x yπ π ∈ ∈ −
ℝ
41
7.3. Função arco-tangente
Observe estes exemplos:
( )) arc tg 1 , pois tg 14 4
) - arc tg( 3), pois tg 33 3
a
b
π π
π π
= =
= − − = −
42
7.3. Função arco-tangente
Gráfico de f(x) = arc tg x
43
2.3. Função arco-tangente
Se considerarmos a função tangenterestrita ao intervalo aberto (-π/2, π/2) e comcontradomínio ℜ, isto é,
g: (-π/2, π/2) → ℜ
tal que g(x) = tg x, a função g admitirá inversa e g-1
será denominada função arco-tangente. Notemosque g-1 tem domínio ℜ, contradomínio (-π/2, π/2) eassocia a cada x ∈ ℜ um y ∈ (-π/2, π/2) tal que y éum arco cuja tangente é x (indica-se y = arc tg x).Temos, portanto, que:
y = arc tg x ⇔ tg y = x e -π/2 ≤ y ≤ π/2
44
2.3. Função arco-tangente
45
2.4. Quadro resumo
Atenção! Nenhuma função trigonométricapossui inversa, o que fazemos aqui é a modificaçãodo domínio destas funções, criando assim novasfunções que sejam inversíveis.
46
2.4. Quadro resumo
Função trigonométrica Função trigonométrica com domínio modificado Inversa trigonométrica
y = sen xDomínio: (-∞, +∞)Imagem: [-1, 1]
y = sen xDomínio: [- π/2, π/2]Imagem: [-1, 1]
y = sen-1 x = arc sen xDomínio: [-1, 1]Imagem: [- π/2, π/2]
y = cos xDomínio: (-∞, +∞)Imagem: [-1, 1]
y = cos xDomínio: [0, π]Imagem: [-1, 1]
y = cos-1 x = arc cos xDomínio: [-1, 1]Imagem: [0, π]
y = tg xDomínio: {x ∈ ℜ/x ≠ π/2 + k π, k ∈ Z}Imagem: (-∞, +∞)
y = tg xDomínio: (- π/2, π/2)Imagem: (-∞, +∞)
y = tg-1 x = arc tg xDomínio: (-∞, +∞)Imagem: (- π/2, π/2)
y = cotg xDomínio: {x ∈ ℜ/x ≠ k π, k ∈ Z}Imagem: (-∞, +∞)
y = cotg xDomínio: (0, π)Imagem: (-∞, +∞)
y = cotg-1 x = arc cotg xDomínio: (-∞, +∞)Imagem: (0, π)
y = sec xDomínio: {x ∈ ℜ/x ≠ π/2 + k π, k ∈ Z}Imagem: (-∞, 1] U [1, + ∞)
y = sec xDomínio: [-π, -π/2) U [0, π/2)Imagem: (-∞, 1] U [1, + ∞)
y = sec-1 x = arc sec xDomínio: (-∞, 1] U [1, + ∞)Imagem: [-π, -π/2) U [0, π/2)
y = cossec xDomínio: {x ∈ ℜ/x ≠ k π, k ∈ Z}Imagem: (-∞, 1] U [1, + ∞)
y = cossec xDomínio: (-π, -π/2] U (0, π/2]Imagem: (-∞, 1] U [1, + ∞)
y = cossec-1 x = arc cossec xDomínio: (-∞, 1] U [1, + ∞)Imagem: (-π, -π/2] U (0, π/2]
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3. Derivadas das funções trigo-nométricas inversas
Aqui, usaremos a diferenciação implícitapara determinar as derivadas das funçõestrigonométricas inversas, supondo que essasfunções sejam diferenciáveis.
48
3.1. Derivada de arc sen x
Lembre-se que a função inversa da funçãoseno é dada por sen-1 x = arc sen x.
y = sen-1 x significa sen y = x e -π/2 ≤ y ≤ π/2
Diferenciando sen y = x implicitamente emrelação a x obtemos
Agora cos y ≥ 0, uma vez que -π/2 ≤ y ≤ π/2,logo:
1cos 1
cosdy dy
ydx dx y
= ⇒ =
2 2cos 1 sen 1y y x= − = −
49
3.1. Derivada de arc sen x
Portanto
2
1 1cos 1
dydx y x
= =−
( )1
2
1sen
1
dx
dx x
− =−
50
3.2. Derivada de arc cos x
Lembre-se que a função inversa da funçãocosseno é dada por cos-1 x = arc cos x.
y = cos-1 x significa cos y = x e 0 ≤ y ≤ π
Diferenciando cos y = x implicitamente emrelação a x obtemos
Agora sen y > 0, uma vez que 0< y< π, logo:
1sen 1
sendy dy
ydx dx y
− = ⇒ = −
2 2sen 1 cos 1y y x= − = −
51
3.2. Derivada de arc cos x
Portanto
2
1 1sen 1
dydx y x
= − = −−
( )1
2
1cos
1
dx
dx x
− = −−
52
3.3. Derivada de arc tg x
Lembre-se que a função inversa da funçãotangente é dada por tg-1 x = arc tg x.
y = tg-1 x significa tg y = x e -π/2 ≤ y ≤ π/2
Diferenciando tg y = x implicitamente emrelação a x obtemos
Da identidade sec2 y = 1 + tg2 y, temos
22
1sec 1
secdy dy
ydx dx y
= ⇒ =
2 2 2sec 1 tg 1y y x= + = +
53
3.3. Derivada de arc tg x
Portanto
2 2
1 1sec 1
dydx y x
= =+
( )12
1tg
1d
xdx x
− =+
54
3.4. Derivada de arc cotg x
Lembre-se que a função inversa da funçãocotangente é dada por cotg-1 x = arc cotg x.
y = cotg-1 x significa cotg y = x e 0 ≤ y ≤ π
Diferenciando cotg y = x implicitamente emrelação a x obtemos
Da identidade cossec2 y = 1 + cotg2 y, temos
22
1cossec 1
cossecdy dy
ydx dx y
− = ⇒ = −
2 2 2cossec 1 1y cotg y x= + = +
55
3.4. Derivada de arc cotg x
Portanto
2 2
1 1cossec 1
dydx y x
= − = −+
( )12
1cotg
1d
xdx x
− = −+
56
3.5. Derivada de arc sec x
Lembre-se que a função inversa da funçãosecante é dada por sec-1 x = arc sec x.
y = sec-1 x significa sec y = x e
{y ∈ ℜ/ [- π, -π/2) U [0, π/2)}
Diferenciando sec y = x implicitamente emrelação a x obtemos
Da identidade tg2 y = sec2 y - 1, temos
1sec tg 1
sec tgdy dy
y ydx dx y y
= ⇒ =
2 2tg sec 1 1y y x= − = −
57
3.5. Derivada de arc sec x
Portanto
2
1 1sec tg 1
dydx y y x x
= =−
( )1
2
1sec
1
dx
dx x x
− =−
58
3.6. Derivada de arc cossec x
Lembre-se que a função inversa da funçãocossecante é dada por cossec-1 x = arc cossec x.
y = cossec-1 x significa cossec y = x e
{y ∈ ℜ/ (-π, -π/2] U (0, π/2]}
Diferenciando cossec y = x implicitamenteem relação a x obtemos
Da identidade cotg2 y = cossec2 y - 1, temos
1cossec cotg 1
cossec cotgdy dy
y ydx dx y y
− = ⇒ = −
2 2cotg cossec 1 1y y x= − = −
59
3.6. Derivada de arc cossec x
Portanto
2
1 1cossec cotg 1
dydx y y x x
= − = −−
( )1
2
1cossec
1
dx
dx x x− = −
−
60
3.7. Resumo
Se u for uma função de x, derivável,
( )1
2
1cos
1
d duu
dx dxu− = −
−
( )1
2
1sen
1
d duu
dx dxu− =
−
( )12
1tg
1d du
udx u dx
− =+
( )12
1cotg
1d du
udx u dx
− = −+
( )1
2
1sec
1
d duu
dx dxu u− =
−
( )1
2
1cossec
1
d duu
dx dxu u− = −
−
61
4. Exemplos
Exemplo 1: Derive y = sen-1 x2.
( )
( )( )
( )
1
2
1 2
22
1 2
4
1sen
11
sen 21
2sen
1
d duu
dx dxud
x xdx x
d xx
dx x
−
−
−
=−
=−
=−
62
4. Exemplos
Exemplo 2: Derive 1 1( ) tg
1f x
x−=
+
( )( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
12 22
12 2
2 2
12 2
2
2
1
1 1 1tg
1 111
1
1 1 1tg
1 1 11
1 1
1 1 1tg
2 1 11 11
11tg
1
d duu
dx u dx xx
ddx x x x
x x
dx xdx x x
x
xddx x
−
−
−
−
= = ⋅ − + + + +
= ⋅ − + + + +
+ +
= ⋅ − + + ++ +
+
+ = + ( )2 2
12 2 1x x x
⋅ −+ + +
2
12 2x x
= − + +
63
4. Exemplos
Exemplo 3: Derive 3 1cotg3x
y x −=
2 1 32
32 1
2
2 1
1 13 cotg
3 31
9
13 cotg
93 39
93 cotg
3
dy xx x
xdx
dy x xx
xdx
dy xx
dx
−
−
−
= ⋅ + ⋅ − ⋅ +
= ⋅ − ⋅ +
= ⋅ −3
2
19 3
xx
⋅+
32 1
2
33 cotg
3 9dy x x
xdx x
−= ⋅ −+
64
4. Exemplos
Exemplo 4: Ache dy/dx se 1ln ( ) tgx
x yy
− + =
2 22 2
2
2
2 2 2
2
1 11 1 11
11
1 11
dy dy dyy x y xdy dx dx dx
xx y dx y x y yxyy
dy dy dyy x ydx dx dx
y xx y y x yy
⋅ − ⋅ + − ⋅ + = ⋅ ⇒ = ⋅ + + ++
+ − += ⋅ ⇒ =
++ + 2 2 2
dyy x
dxy x y
−⋅
+
22 2
1dy dy
y xdx dx y
x y y x
+ −= ⇒
+ + ( )2 2 2 2dyx y x xy y
dx+ + + ⋅ = + ( )
( ) ( ) ( )( )
2
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2
dyx xy
dx
dy dy dyy x x xy xy x x xy y xy x
dx dx dxx y xdy xy x dy
dx x xy y dx x xy y
− + ⋅
+ ⋅ + + ⋅ = − ⇒ + + ⋅ = −
−−= ⇒ =+ + + +
65
4. Exemplos
Exemplo 5: Derive a função ( )1( ) sec 3 xf x e−=
( )( )'
2
'
1( ) 3
3 3 1
1( )
3
x
x x
x
f x ee e
f xe
= ⋅−
=( )2
33 1
x
x
ee
⋅−
( )'
2
1( )
9 1xf x
e=
−
66
4. Exemplos
Exemplo 6: Derive a função 1 1( ) cossecf x x
x−=
' 122
2' 1
22
2
' 1
2
' 1
2
1 1 1( ) cossec
1 11
1 1( ) cossec
1
1 1( ) cossec
1
1( ) cossec
1
f x xx x
x x
xf x
x xx
x
f xx x
x
xf x
x x
−
−
−
−
= + − ⋅ −
−
− = + ⋅ − −
= + −
= +
−
67
4. Exemplos
No exemplo a seguir, um observador estáolhando um quadro colocado em uma parede. Veja afigura a seguir. Quando o observador estáafastado da parede, o ângulo segundo o qual ele vêo quadro é pequeno. À medida que o observador seaproxima da parede, o ângulo irá aumentando, atéatingir um valor máximo. Então, se o observadorcontinuar se aproximando, o ângulo diminuirá.Quando o ângulo for máximo, diremos que oobservador tem a “melhor visão” do quadro.
68
4. Exemplos
Exemplo 7: Um quadro com 1 m de altura écolocado em uma parede de tal forma que sua baseesteja 2 m acima do nível dos olhos de umobservador. Quantos metros o observador deveráse afastar da parede, para obter a melhor visão doquadro, isto é, para que o ângulo segundo o qual elevê o quadro seja o máximo?
69
4. Exemplos
Seja x m a distância do observador até aparede, θ a medida em radianos do ângulo segundoo qual o observador vê o quadro, α a medida doângulo em radianos, segundo o qual o observador vêa parte da parede acima do nível dos olhos e abaixodo quadro, e β = α + θ.
Queremos encontrar o valor de x que irátornar θ um máximo absoluto. Como x está nointervalo (0, +∞), o valor máximo absoluto de θ seráum valor máximo relativo.
70
4. Exemplos
Vemos, da figura, que:
Como
Substituindo esses valores de α e β narelação θ = β - α.
cotg cotg3 2x x
eβ α= =
0 e 02 2π πβ α< < < <
1 1cotg e cotg3 2x xβ α− −= =
-1 -1cotg cotg3 2x x= −θ
71
4. Exemplos
Derivando com relação a x, teremos:
Equacionando , iremos obter
2 2 2 2
1 13 23 2
9 41 1
3 2
ddx x xx x
θ = − + = − ++ + + +
2 2
2
2
2(9 ) 3(4 ) 0
(18 12) 0
6
2,45
x x
x
x
x
+ − + =− + − =
=≅
0ddx
θ =
2 2
2
2
2(9 ) 3(4 ) 0
(18 12) 0
6
2,45
x x
x
x
x
+ − + =− + − =
=≅
72
4. Exemplos
A solução -2,45 foi rejeitada por não estarno intervalo (0, +∞). Os resultados do teste daderivada primeira estão na tabela abaixo. Como ovalor máximo relativo de θ é um valor máximoabsoluto, concluímos que o observador deve ficar aaproximadamente 2,45 m da parede.
Conclusão
0 < x < 2,45 +
x = 2,45 0 (θ tem um valor máximo relativo)
2,45 < x < ∞∞∞∞ -