limite y continuidad

LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Definicion 1 Sean los numeros reales a y ", con " > 0.

1. Se denomina vecindad de centro a y radio " al con-junto

V"(a) = ha "; a+ "i

a - +e eaa

2. Se denomina vecindad reducida de centro a y radio "al conjunto

V 0"(a) = ha "; a+ "i fag

a - +e eaa

Definicion 2 Sean ? 6= A R y a 2 R. Diremos que a es un punto de acumulacion de A si para todo " > 0 se tiene

A \ (ha "; a+ "i fag) 6= ?

Denotamos por A 0 al conjunto de los puntos de acumulacion de A. Por lo tanto a 2 A 0 si, y solo si a es un punto deacumulacion de A.

Definicion 3 Sean ? 6= A R y a 2 R. Diremos que a es un punto aislado de A si existe un " > 0 tal que

A \ (ha "; a+ "i fag) = ?

Ejemplo 1 Consideremos subconjutos de R y algunos desus puntos de acumulacion

1: El punto a = 2 es un punto aislado del conjunto A = h3; 4i.234

2: El punto a = 3 es un punto de acumulacion de A = h3; 4i.34

3: El punto a = 3 es un punto de acumulacion de A = [3; 4].34

4: El punto a = 4 es un punto de acumulacion de A = h3; 5i.345

5: Si I es un intervalo, entonces cualquiera de sus puntos es un punto de acumulacion de I.

6: El punto a = 0 es un punto de acumulacion del conjunto A =n 1n

.n 2 N

o=n1;

1

2;1

3;1

4;1

5;

oDefinicion 4 Sean ? 6= A R, f : A ! R una funcion y a un punto de acumulacion de A. Diremos que L es ellmite de f(x) cuando x tiende hacia a, y lo denotaremos por lm

x!a f(x) = L, si para cada " > 0 existe un > 0 talque:

Si x 2 A ^ 0 < jx aj < , entonces jf(x) Lj < "Simbolicamente

lmx!a f(x) = L () 8" > 0;9 > 0

.x 2 A ^ 0 < jx aj < ! jf(x) Lj < "

En este caso diremos que el limite lmx!a f(x) existe y es igual al numero real L.

Signicado: f(x) se aproxima hacia L a medida que x se aproxima hacia a, pero f(x) no es igual a L.

Teorema 1 Si existen los siguiente limites lmx!a f(x) y lmx!a g(x), entonces existen numeros reales L y M tales que

lmx!a f(x) = L y lmx!a g(x) = M , y ademas:

1. lmx!a

C f(x)

= C

lmx!a f(x)

= CL, C : constante.

2. lmx!a

f(x) g(x) = lm

x!a f(x) lmx!a g(x) = LM .

3. lmx!a

f(x) g(x)

=lmx!a f(x)

lmx!a g(x)

= LM .

4. lmx!a

f(x)

g(x)=

lmx!a f(x)

lmx!a g(x)

=L

M, si M 6= 0.

5. lmx!a

f(x)

n=lmx!a f(x)

n, n 2 Z+.

6. lmx!a

npf(x) =

npL, si n 2 Z+, n par y L 0.

7. lmx!a

npf(x) =

npL, si n 2 Z+, n impar y L 2 R.

8. lmx!a jf(x)j =

lmx!a f(x)

.1

Teorema 2 Si existe el lmite lmx!a f(x), entonces es unico, en otras palabras, si lmx!a f(x) = L y lmx!a f(x) = M ,

entonces L = M .

Limite de funciones elementales

1. lmx!aK = K, K es una constante real.

2. lmx!ax = a, para todo a 2 R.

3. lmx!ax

n = an, n es un numero entero positivo.

4. lmx!a

px =

pa, para todo a > 0.

5. lmx!aP (x) = P (a), P (x) es cualquier polinomio concoecientes reales.

6. lmx!a

1

Q(x)=

1

Q(a), donde Q(x) es un polinomio con

coecientes reales y Q(a) 6= 0.

7. lmx!a

P (x)

Q(x)=

P (a)

Q(a), donde P (x) y Q(x) son polinomios

con coecientes reales y Q(a) 6= 0.8. lm

x!a sinx = sin a, para todo a 2 R.

9. lmx!a cosx = cos a, para todo a 2 R.

10. lmx!a tanx = tan a, para todo a 2 Dom(tan).

11. lmx!a lnx = ln a, para todo a > 0.

12. lmx!a e

x = ea, para todo a 2 R.

13. lmx!a

1

x=

1

a, para todo a 6= 0.

Definicion 5 (Lmites Laterales) Sean ? 6= A R, f : A ! R una funcion y a un punto de acumulacion de A.1. Diremos que L es el lmite de f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda, y lo denotaremos por lm

x!af(x) = L,

si para cada " > 0 existe un > 0 tal que si x 2 A ^ a < x < a, entonces jf(x) Lj < ".2. Diremos que L es el lmite de f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha, y lo denotaremos por lm

x!a+f(x) = L,

si para cada " > 0 existe un > 0 tal que si x 2 A ^ a < x < a+ , entonces jf(x) Lj < ".Simbolicamente:

lmx!a

f(x) = L () 8" > 0;9 > 0=si x 2 A ^ a < x < a ! jf(x) Lj < "

lmx!a+

f(x) = L () 8" > 0;9 > 0=si x 2 A ^ a < x < a+ ! jf(x) Lj < "

X X

Y Y

y=f x( ) y=f x( )

a a

x x

L

L

lm ( )=f x Lx a +

lm ( )=f x Lx a -

Teorema 3 .

1. El lmite lmx!a f(x) existe y es igual a L si y solo si existen los limites lmx!a

f(x) y lmx!a+

f(x) y son iguales a L.

2. Si lmx!a

f(x) = L, lmx!a+

f(x) = M y L 6= M , entonces no existe el lmite lmx!a f(x).

3. Si al menos uno de los limites laterales lmx!a

f(x) o lmx!a+

f(x) no existen, entonces no existe el lmite lmx!a f(x).

LIMITES AL INFINITO E INFINITOS

Definicion 6 Sea A un subconjunto no vaco de R.

1: El conjunto A es acotado inferiormente si esta contenido en algun intervalo [a;+1i.

2

2: El conjunto A es acotado superiormente si esta contenido en algun intervalo h1; b].3: El conjunto A es acotado si esta contenido en algun intervalo [a; b].

4: El conjunto A no es acotado inferiormente si para todo " < 0 existe un x 2 A tal que x < ".5: El conjunto A no es acotado superiormente si para todo " > 0 existe un x 2 A tal que x > ".

Definicion 7 Sean ? 6= A R y f : A ! R una funcion.1. Si A no es limitado superiormente: lm

x!+1 f(x) = L() 8" > 0;9N > 0=si x > N ! jf(x) Lj < "

2. Si A no es limitado inferiormente: lmx!1 f(x) = L() 8" > 0;9N > 0=si x < N ! jf(x) Lj < "

X X

Y Y

y=f x( ) y=f x( )L L

lm ( )=f x Lx +

lm ( )=f x Lx -

Definicion 8 Sean ? 6= A R, f : A ! R una funcion y a un punto de acumulacion de A.1. lm

x!af(x) = +1() 8M > 0;9 > 0=si x 2 A ^ a < x < a ! f(x) > M

2. lmx!a+

f(x) = +1() 8M > 0;9 > 0=si x 2 A ^ a < x < a+ ! f(x) > M

X X

Y Y

y=f x( ) y=f x( )

aax x

lm ( )=f x +x a +

lm ( )=+f x x a -

Observaciones:

1. Existen funciones para los cuales lmx!a

f(x) = +1 y lmx!a+

f(x) = +1


f(x) es nito y lmx!a+

f(x) = +1


f(x) = +1 y lmx!a+

f(x) es nito

Definicion 9 Sean ? 6= A R, f : A ! R una funcion y a un punto de acumulacion deA.1. lm

x!af(x) = 1() 8M > 0;9 > 0=si x 2 A ^ a < x < a ! f(x) < M

2. lmx!a+

f(x) = 1() 8M > 0;9 > 0=si x 2 A ^ a < x < a+ ! f(x) < M

3

X X

Y Y

aax x

lm ( )=f x -x a +

lm ( )=f x -x a -

Observaciones:


f(x) = 1 y lmx!a+

f(x) = 1


f(x) es nito y lmx!a+

f(x) = 1


f(x) = 1 y lmx!a+

f(x) es nito

Definicion 10 Sean ? 6= A R, f : A ! R una funcion.1. Si A no es limitado superiormente: lm

x!+1 f(x) = +1() 8M > 0;9N > 0=si x > N ! f(x) > M

2. Si A no es limitado inferiormente: lmx!1 f(x) = +1() 8M > 0;9N > 0=si x < N ! f(x) > M

3. Si A no es limitado superiormente: lmx!+1 f(x) = 1() 8M > 0;9N > 0=si x > N ! f(x) < M

4. Si A no es limitado inferiormente: lmx!1 f(x) = 1() 8M > 0;9N > 0=si x < N ! f(x) < M

X X

X X

Y Y Y Yy f x= ( ) y f x= ( )

y f x= ( ) y f x= ( )

Teorema 4 Sean ? 6= A R y f : A ! R una funcion.

1. Si A no es limitado superiormente lmx!+1 f(x) = 0 y f(x) > 0, lmx!+1

1

f(x)= +1.

2. Si A no es limitado superiormente lmx!+1 f(x) = 0 y f(x) < 0, lmx!+1

1

f(x)= 1

Teorema 5 Sean ? 6= A R y f : A ! R una funcion.

1. Si A no es limitado inferiormente lmx!1 f(x) = 0 y f(x) > 0, lmx!1

1

f(x)= +1.

2. Si A no es limitado inferiormente lmx!1 f(x) = 0 y f(x) < 0, lmx!1

1

f(x)= 1

Teorema 6 Sea n un entero positivo, entonces

lmx!+1

1

xn= 0 lm

x!11

xn= 0 lm

x!0+1

xn= +1 lm

x!01

xn=

1; si n es impar;+1; si n es par.

4

Teorema 7 Si n es un numero real positivo, entonces lmx!+1

1

xn= 0.

Teorema 8 Si n es un numero real negativo, entonces lmx!+1

1

xn= +1.

Teorema 9 Sean f y g funciones con \a" un punto de acumulacion del dominio de f y g.

1. Si lmx!a f(x) = 1 y lmx!a g(x) = L 2 R, entonces lmx!a

hf(x) + g(x)

i= 1 ^ lm

x!a

hf(x) g(x)

i= 1

2. Si lmx!a f(x) = +1 y lmx!a g(x) = L 2 R, entonces lmx!a

hf(x) + g(x)

i= +1 ^ lm

x!a

hf(x) g(x)

i= +1

3. Tambien es valido cuando x! a+, x! a, x! 1, x! +1.Teorema 10 Sean f y g funciones con \a" un punto de acumulacion del dominio de f y g.

1. Si lmx!a f(x) = 1 y lmx!a g(x) = L < 0, entonces lmx!a

hf(x) g(x)

i= +1 ^ lm

x!a

f(x)

g(x)

= +1

2. Si lmx!a f(x) = 1 y lmx!a g(x) = L > 0, entonces lmx!a

hf(x) g(x)

i= 1 ^ lm

x!a

f(x)

g(x)

= 1

3. Si lmx!a f(x) = +1 y lmx!a g(x) = L < 0, entonces lmx!a

hf(x) g(x)

i= 1 ^ lm

x!a

f(x)

g(x)

= 1

4. Si lmx!a f(x) = +1 y lmx!a g(x) = L > 0, entonces lmx!a

hf(x) g(x)

i= +1 ^ lm

x!a

f(x)

g(x)

= +1

5. Tambien es valido cuando x! a+, x! a, x! 1, x! +1.ALGEBRA CON LAS INDETERMINADAS: Los resultados de los teoremas anteriores y otros similares nosproporcionan una lista de propiedades con la expresion 1 y los numeros reales.(1.) Si a > 0, entonces

? (1) a = 1 ? (+1) a = +1 ? (1) + a = 1 ? (+1) + a = +1

(2.) Si a < 0, entonces

? (1) a = +1 ? (+1) a = 1 ? (1) + a = 1 ? (+1) + a = +1

(3.) ?1

1 = 0 ?

1

+1 = 0+ ?

1

0= 1 ? 1

0+= +1

(4.) ? (1) + (1) = 1 ? (+1) + (+1) = +1 ? (1) (+1) = 1 ? (+1) (1) = +1

(5.) ? (1) (1) = +1 ? (+1) (+1) = +1 ? (1) (+1) = 1 ? (+1) (1) = 1

(6.) ?(1)0

= +1 ? (1)0+

= 1 ? (+1)0

= 1 ? (+1)0+

= +1

(7.) ?0

(1) = 0+ ?

0+

(1) = 0 ?

0

(+1) = 0 ?

0+

(+1) = 0+

Formas Indeterminadas0

0

11 11 1 0 1

0 00 11

0

0

+1+1 ,

11 ,

1+1 ,

+11 (+1) (+1), (1) (1) (+1) 0, (1) 0 (1)

0, (+1)0 00 11, 1+1

Lmites Trigonometricos

lmx!0

sinx

x= 1 lm

x!0tanx

x= 1 lm

x!01 cosx

x= 0 lm

x!01 cosx

x2=

1

2

lmx!0

sin(ax)

x= a ; a 6= 0 lm

x!0tan(ax)

x= a ; a 6= 0 lm

x!01 cos(ax)

x= 0 ; a 6= 0 lm

x!01 cos(ax)

x2=

a2

2; a 6= 0

5

Teorema 11 Si f es una funcion trigonometrica y a 2 Dom(f), entonces lmx!a f(x) = f(a).

Teorema 12 Si a =

2+ 2n, n 2 Z, entonces:

? lmx!a

tanx = +1 ? lmx!a+

tanx = 1 ? lmx!a

secx = +1 ? lmx!a+

secx = 1

Teorema 13 Si a = 2n, n 2 Z, entonces:

? lmx!a

cotx = 1 ? lmx!a+

cotx = +1 ? lmx!a

cscx = 1 ? lmx!a+

cscx = +1

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

La funcion exponencial de base \a"

Definicion 11 Sea a un numero real positivo y diferente de 1. La funcion f : R ! R denida por f(x) = ax es lafuncion exponencial de base \a"

XX

Y Y

y=a ,

a

x

para 1>

y=a ,

a

x

para0 1< 0.

9. Si f es una funcion exponencial, entonces f es continua en a, para todo a 2 R.Teorema 28 Sean ? 6= A R, ? 6= M A, f : A ! R una funcion.Si la funcion f es continua en el conjunto M , entonces es continua en todo subconjunto no vaco de M .

Teorema 29 Sean ? 6= A R, ? 6= B R, f : A ! R, g : B ! R dos funciones con f(a) 2 B.Si f es continua en a y g es continua en f(a) entonces la funcion compuesta g f es continua en a.

a f a( )

f g

gof

Teorema 30 Sean ? 6= A R, ? 6= B R, f : A ! R, g : B ! R dos funciones.Si f es continua en a y existe lm

x!a g(x), entonces lmx!a fg(x)

= f

lmx!a g(x)

Funciones continuas en intervalos

Teorema 31 La funcion f : ha; b] ! R es continua sobre ha; b] si, y solo si es continua en ha; bi y f(b) = lmx!b

f(x).

Teorema 32 La funcion f : [a; bi ! R es continua sobre [a; bi si, y solo si es continua en ha; bi y f(a) = lmx!a+

f(x).

Teorema 33 La funcion f : [a; b] ! R es continua sobre [a; b] si, y solo si es continua en ha; bi, f(a) = lmx!a+

f(x)

y f(b) = lmx!b

f(x).

Teorema 34 La funcion f : h1; b] ! R es continua sobre h1; b] si, y solo si es continua en h1; bi yf(b) = lm

x!bf(x).

Teorema 35 La funcion f : [a;+1i ! R es continua sobre [a;+1i si, y solo si es continua en ha;+1i yf(a) = lm

x!a+f(x).

11

Teorema 36 Sea f : [a; b] ! R una funcion continua en [a; b], entonces1. Existe un C > 0 tal que jf(x)j C, para todo x 2 [a; b].2. Existen dos puntos x1 y x2 del intervalo [a; b] tales que f(x1) f(x) f(x2), para todo x 2 [a; b].

3. Si m = f(x1) es el valor mnimo de f en [a; b], M = f(x2) es el valor maximo de f en [a; b]es decir

m f(x) M , para todo x 2 [a; b], entonces para todo y 2 [m;M ] existe un x 2 [a; b] tal que y = f(x).

4. Si f(a) y f(b) tienen signos diferentes, entonces existe un x 2 ha; bi tal que f(x) = 0.

Definicion 21 Sean ? 6= A R, a 2 A, f : A ! R una funcion1. f tiene discontinuidad evitable o removible en a si

a) Existe lmx!a f(x) y f(a) no esta denida o

b) Cuando existen lmx!a f(x) y f(a), pero lmx!a f(x) 6= f(a).

En cualquiera de los casos denimos la funcion

f(x) =

(f(x); si x 2 A fag;lmx!a f(x); si x = a.

La nueva funcion f es continua en a y se denomina la prolongacion continua de f en el punto a.

2. f tiene discontinuidad inevitable en a si

a) Existen lmx!a+

f(x), lmx!a

f(x) pero son diferentes o

b) uno de los limites lmx!a+

f(x), lmx!a

f(x) no es nito.

Esta funcion no posee su prolongacion continua en el punto a, as no es posible redenirla de modo que se conviertaen una funcion continua.

12

limite y continuidad

Documents