limite y continuidad 1
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Funciones, Lmite yContinuidad
APUNTES Y EJERCICIOS
Universidad Tecnolgica de Chile
SEDE CALAMA
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Gua de Apuntes y Ejercicios
Funciones, lmites y continuidad Pgina 1
FUNCIONES Y SUS GRFICAS
Funciones: El significado de la palabra funcin la utilizamos frecuentemente en
nuestras vidas. Si dicen que el precio de las naranjas es de $790 el kilo, pero que
tambin las hay a $860, incluso a $1.220 el kilo, dirs: las de $1.220
probablemente sean las mejores.
Ests relacionandola calidad con el precio o que el precio dependede la calidad.
En lugar de utilizar las palabras: relacionar, depender, etc., en matemticas, en el
caso de las naranjas, diramos que el precio est en funcin (depende) de la
calidad.
El consumo de gasolina de un auto est en funcin con la velocidad que ste lleve;
a mayor velocidad, mayor consumo. El tiempo que tardes en llegar a casa cuandovas en bicicleta est en funcincon la velocidad que lleves.
En las funciones, vemos que hay dos partes: calidad-precio, distancia-velocidad,
tiempo-velocidad, etc. Es como si estuvisemos trabajando con dos incgnitas o
variables, por ejemplo,xe y. En todos los casos, comprobamos que una variable
est dependiendo de la otra, o mejor, una est funcinde la otra. En el caso de
las naranjas, el precio depende o est en funcin con la calidad. El tiempo
invertido en mi viaje en bicicleta depende,est en funcincon la velocidad quelleve, etc.
Definicin de funcin:Una funcin, denotada por f, es una correspondencia entre
los elementos de dos conjuntos de tal forma que a cada elemento de un conjuntoX
se asocia un nicoelemento de otro conjunto Y.
Variables: A la x la llamamos variable independiente. A la y la llamamos
variable dependiente; ydepende del valor de xo y
est en funcin dex.
La notacin utilizada para indicar que "fes una funcin
deXen Y " es la siguiente: .
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De un modo muy sencillo: . Estamos diciendo que y est en funcin de x.Ejemplos:
1.-Tenemos la siguiente igualdad: . Sixvale 3 cul ser el valorde y?
Solucin: Como el valor de x=3. En la igualdad, , luego y=62.-Si para x=2. Cunto vale y?Solucin: En la igualdad, luego y=43.-En el problema anterior cul es el valor de f (3)?
Solucin: Sabemos que podemos escribir f(x) como si fuera y(y es una funcin de
x) . Cuandox vale 3 podemos escribir: . Luego y=74.-En , cunto vale f (5)?Solucin: 5.-En la igualdad
Cunto vale ycuandoxes igual a 4?
Solucin: Sustituyesxpor 4 y resolviendo tenemos: Grfica en el Eje de Coordenadas Cartesianas:Para colocar un punto en un eje
de coordenadas, necesitassaber el valor de las dosvariablesx ey.
A partir de estos dos valores, trazas dos rectas paralelas a los ejes y el lugar donde
stas se corten sealar el punto que buscamos.
Ejemplo:
6.- Supongamos la igualdad: . Coloca elpunto en un eje de coordenadas cuando x = 1.
Respuesta:Cuandoxvale 1, y vale 4:
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7.-Cuandoxvale 3 calcula el valor de f(x)
en la ecuacin: y sita el punto enun eje de coordenadas. Respuesta:
Cuando x vale 3, y es igual a 2.
Solucin: .El punto (3,2) queda situado del modo
siguiente:
8.-Representar grficamente la ecuacin: y = 2x + 1.
Solucin:Podemos hacer una tabla de valores dexe yen forma de tabla horizontal
overtical.
La tabla en forma horizontal sera dando valores ax y calculando los de y:
Si a xle damos valores desde 2 hasta 2, es decir: -2, -1, 0, 1, 2.Para hallar los
valores de yvamos sustituyendo los dexen la ecuacin: y = 2x + 1y obtenemos
los resultados de la funcin: -3, -1,1, 3 y 5 que loshemos representado en la tabla horizontal.
La misma Tabla en forma vertical:
A partir de aqu, colocamos cada punto en los ejes
de coordenadas y cuando los tengamos a todos en
su lugar correspondiente, los unimos con una lnea.
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9.-Representa grficamente la ecuacin: Observacin: Procura dar valores a xde modo que el cociente entre 2 obtengas
nmeros enteros, de este modo, podrs situar los puntos de un modo ms sencillo.
Hemos dado axvalores cuyo numerador sea un nmero par que al dividirlo por 2,el cociente, o sea el valor de ysea un nmero entero. Los valores que damos a x
son: -3, -1, 1, 3, 5, , como ves, valores impares, de este modo, al dividirlos por
2 consigues nmeros enteros.
Respuesta:
DOMINIO Y RECORRIDO DE LAS FUNCIONES
Dominio: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable
independiente (x).
Recorrido: Llamado tambin imagen, codominio o rango es el conjunto de
valoresque toma la variable dependiente (y).
Cuando nos hemos referido al dominio hemos dicho: conjunto de valores que
puedetomarx por qu decimospuede? Porque no todos los valores de x son
vlidos para algunas funciones, por ejemplo, si la funcin es: , vemos que si ax le das el valor cero, queda: . El valor infinito no lo podemosrepresentar si no es con un signo o una palabra. El infinito noes un nmero, es un
concepto, una idea, luego, no nos vale como valor numrico de y.
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Otro caso sera el de la funcin: . A x no le podemos dar el valor de unnmero negativo, por ejemplo: porque los nmeros negativos no tienenraz cuadrada. (Ningn nmero multiplicado por s mismo -incluido su signo- puede
darte un valor negativo).
Como nos hemos referido a conjunto de nmeros vlidos que damos a la variable
independiente (X) como dominio y al conjunto de valores que recibe la variable
dependiente (Y)recorrido podemos representarlos para la funcin : En amarillo, el conjunto de valores dexo dominio con su
correspondiente imagen del valor de la variable
dependiente yen el conjunto Yteniendo en cuenta que la
funcin es: .
Intervalos del Dominio: Cuando calculamos dominiosnos encontramos, a veces,
con ciertas dificultades que se refieren a que no todos los valores que damos a la
variable independiente pueden ser vlidos para la funcin, por ejemplo: .No podemos decir que todos los valores que damos a x son vlidos porque la
diferencia
debe ser 0, 1, 2, 3, etc. No podemos dar a xel valor 4 porque la
diferencia sera negativa y no existen races cuadradas de nmeros negativos.
Y si le damos axvalores negativos? Seran vlidos porque si ax le damos el valor
51 podemos escribir - ( - 51) = 51.
Si a x en le doy los valores que veo en la tabla que tienes ms abajo,notars que los valores de yson vlidos:
Como puedes comprobar, los valores negativos que le damos axson vlidos para la
funcin.
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Para qu valores dexno es vlida la funcin: ? Parax = -1Solucin : Six es igual a 1 el denominador vale 0 y que como no es nmeroreal no puede ser aceptado como valor de y.
Ejemplos de dominios:
1.-Cul es el dominio de la funcin ? Respuesta: 2.- Cul es el dominio de la funcin ? Respuesta: *+ .Recuerda que hemos de evitar que el cociente sea igual a cero porque el cociente
sera .3.- Cul es el dominio de la funcin ? Respuesta: , . Elradicando debe ser mayor o igual que cero para que no sea negativo: ; pasando el 1 a la derecha de la desigualdad: , vemos que x deber sermayor o igual a 1.
4.-Cul es el dominio de la funcin ?. Respuesta: * +.El denominador es una ecuacin de 2 grado que calculando las races tenemos:
. Estos valores que hemos obtenido hacen que el
denominador sea igual a cero por lo que no hemos de tenerlos en cuenta.
5.-Calcula el dominio de . Respuesta: 6.- Cul es el dominio de ? Respuesta: *+.7.-Cul es el dominio de la funcin ? Respuesta: 8.- Cul es el dominio de la funcin
? Respuesta:
9.-Cul es el dominio de ? Respuesta: , . El radicandoha de ser igual o mayor que cero, nunca negativo. Esto quiere decir: ,pasamos - 4 al otro lado de la desigualdad: . Nos indica que el dominio esdesde 4 (incluido) y todos los que son mayores que l.
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10.- Cul es el dominio de ? Solucin: Resolvemos la ecuacinde 2 grado: . Vemos que todos los valores comprendidosentre (1,4), es decir: 2 y 3 hacen que el radicando sea negativo, en cambio, con
el resto de valores serpositivo. Si es negativo el valor de sustitucin no es vlido,porque no existe una raz de ndice par que sea negativa.
Cuanto acabamos de decir lo llevamos a un eje de abscisas y fijamos los valores:
Fjate que tenemos dos grupos de valores que son vlidos. Unimos estos dos gruposcon su smbolo correspondiente U (unin de ambos grupos vlidos). No necesitamos
indicar que los elementos de x pertenecen a un conjunto determinado porque ya
especificamos sus valores concretos. Respuesta: - , .Intervalos del Recorrido: Es el conjunto de valores que recibe la variable
dependiente y. Tambin nos referimos a f(x).
Al estudiar los dominios nos fijamos en los valores que recibe x (eje horizontal,
abscisas). En el caso del recorrido nos fijaremos en el eje vertical o eje de
ordenadasy. Lo compruebas en la siguiente figura:
El dominio est comprendido entre [-4,3] y el recorrido [-2,4].
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Ejemplo:
1.- Cual es el recorrido de ? Respuesta: . Solucin: Para cualquier valor que demos a x, yrecibir su correspondiente valor real. Resaltamos el eje y,lugarde los valores del recorrido. Su representacin grfica es como
se muestra en la figura.
Por mucho que prolonguemos la representacin grfica de la
funcin siempre tendr su valor correspondiente en el eje y.
2.- Calcula el recorrido de .Respuesta:
. Solucin: Si vamos dando
valores a x valores reales vemos que y recibe sus
correspondientes valores reales. Su representacin grfica
es:
3.- Cual es el recorrido de ? Respuesta: , -
EJERCICIOS
1) Graficar las siguientes funciones:
a) b) c) d) e)
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f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q)
2) Dada la funcin respectiva
a) ; determine: f(3), f(-2), f(0), f(a+1), f(x+1), f(2x), 2f(x), f(x+h), f(x)+f
b) ; calcule: f(1), f(-3), f(6), ./, ./, ./, , f(x-3), f(x)-f(3) ),
c) ; determine: f(-2), f(-1), f(0), f(3), f(h+1), f(2x2), f(x2-3), f(x+h),
f(x)-f(3), d) ; calcule: g(-4), ./, g(x2), g(3x2-4), g(x-h), g(x)-g(h),
e) ; determine: f(x+9), f(x2-9), f(x4-9), f(x2+6x), f(x4-6x2),
f)
; ; calcule: g(4-x), g(4-x2), g(4-x4), g(4x-x2), g(-x4-4x2),
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3) Determinar el dominio y recorrido de las siguientes funciones:
1) 2) 3)
4) 5) 6) 7) 8)
9) 10) 11) 12) 13) | |14) | |15) | |16) 17) 18) 19) 20) () 21) 22) 23) 24) 25) { 26) {
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27)
{ 28) { 29)
30) 31)
32) 33)
34)