limites y continuidad

f ( x )= x3−1x−1

f ( x )=x+3

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FILIAL JAEN FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES

ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACION ANALISIS MATEMATICO

UNIDAD II: TEORIA DE LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES1.1. INTRODUCCION:

Entre todos los conceptos e ideas fundamentales que se presentan en el ANALISIS MATEMATICO, el concepto de límite es, sin duda, el más importante, y quizás el más difícil de comprenderlo.La palabra límite se usa en el lenguaje diario, como cuando se dice “estoy acercándome al límite de mi paciencia” o cuando se quiere alcanzar la producción máxima teórica de una fábrica o una máquina en un periodo de tiempo, que en la práctica es inalcanzable, pero si es posible aproximarse arbitrariamente. Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo es muy importante en matemática, y la cual está involucrada en el concepto de límite, en el que descansa el fundamento del cálculo. Básicamente, haremos que una variable “se aproxime” a un valor particular y examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la función. Veamos:Ejemplo 1.1. Considere la función

f ( x )= x3−1x−1

Tabla (1) Fig. (1)

Aunque esta función no está definida en x = 1, veremos el comportamiento de los valores de la función cuando x se hace muy cercana a 1. Obsérvese en la tabla (1) que cuando x toma valores más y más próximos a 1, sin importar que x se aproxime por la izquierda(x < 1) o por la derecha(x > 1), los valores correspondientes de f (x) se acercan cada vez a un solo número, el 3. Esto también es claro de la gráfica de f en la figura (1).obsérvese que aunque la función no está definida en x = 1 (como se indica por un pequeño círculo vacío), los valores de la función se acerca cada vez más a 3, conforme x se acerca más y más a 1. Por lo tanto el límite existe en 1 aunque 1 no esté en el dominio de f. Para expresar esto, decimos que el límite de f (x) cuando se aproxima a 1 es 3 y escribimos

limx →1

x3−1x−1

=3

Ejemplo 1.1. Considere la funciónf ( x )=x+3

Veamos el límite de la función cuando x se aproxima a un número que está en el dominio. Examinaremos el límite de la f (x) = x + 3 cuando x tiende a 2 (x2):

limx →2

x+3

x<0 x>0x f(x) x f(x)

1.5 4.5 2.5 5.51.9 4.9 2.1 5.1

1.95 4.95 2.05 5.051.99 4.99 2.01 5.01

1.999 4.999 2.001 5.001

Lic. Mat. Javier Saldarriaga Herrera Página 1

3

x<0 x>0x f(x) x f(x)

0.8 2.44 1.2 3.640.9 2.71 1.1 3.31

0.95 2.8525 1.05 3.15250.99 2.9701 1.01 3.0301

0.995 2.985025 1.005 3.0150250.999 2.997001 1.001 3.003001

f (x)f (x)



Tabla (2) Fig. (2)Obviamente, si x se acerca a 2 (pero diferente de 2), entonces x + 3 es cercano a 5. Esto también es claro de la tabla (2) y de la gráfica (2). Por tanto

limx →2

x+3=5

Aunque x + 3 es 5, cuando x = 2, esto no tiene relación con la existencia de un límite. En general, para cualquier función f tenemos la definición siguiente de un límite.

1.2. DEFINICION:El límite de f (x) cuando x se acerca (o tiende) a a, es el número L, escrito

limx →a

f ( x )=L

Siempre que f (x) esté arbitrariamente cercana a L para todo x lo suficientemente cerca pero diferente de a.

Ejemplo 2.1. Estimación de un límite a partir de una gráfica

a) Estimar limx →1

f (x ), donde la gráfica de f está dada en la figura (3)

b) Estimar limx →1

f (x ), donde la gráfica de f está dada en la figura (4)

Solución:

Fig. (3) Fig. (4)

Solución:a) Si vemos en la gráfica los valores de x cercanos a 1, advertimos que f (x) está cercano 2. Además,

cuando x se aproxima cada vez más a 1, entonces f (x) parece estar cada vez más cercana a 2. Así , estimamos que


f (x)

f ( x )= 1

x2



b) Aunque f (1) = 3, este hecho no tiene importancia sobre el límite de f (x) cuando x tiende a 1. Vemos que cuando x se aproxima a 1, entonces f (x) parece aproximarse a 2. Por tanto, estimamos que

Ejemplo 2.2. Límites que no existen

a) Estimar limx→−2

f (x), si existe, donde la gráfica de f está dada en la figura (5)

b) Estimar limx →0

1

x2 , si existe (ver figura (6))

Solución:

a) Cuando x tiende a -2 por la izquierda (x < -2), los valores de f (x) parecen más cercanos a 1. Pero cuando x tiende a -2 por la derecha (x > -2), entonces f (x) parece más cercana a 3. Por tanto, cuando x tiende a -2, los valores de la función no se acercan a un solo número. Concluimos que:

limx→−2

f ( x ) no existe

Observe que el límite no existe aunque la función está definida en x = -2

Fig. (5)b)

Sea f ( x )= 1

x2 , la tabla de la fig.(6) da los valores de f (x)

para algunos valores de x cercanos a cero. Conforme x se acerca más a cero, los valores de f (x) se hacen más y más grandes, sin cota. También esto está claro de la gráfica. Ya que los valores de f (x) no se aproximan a un número cuando x tiende a cero.

limx→−0

1

x2no existe

Fig. (6)

1.3. PROPIEDADES DE LOS LIMITES:Para calcular límites no siempre hace falta calcular los valores de la función o hacer el esbozo de una gráfica. Existen también varias propiedades de los límites que podemos emplear. Las siguientes propiedades pueden parecerle razonables:


x f (x)1 1

0.5 40.1 1000.01 10 0000.001 1 000 000



1. Si f (x) = c, es una función constante, entonces

limx →a

f ( x )=¿ limx →a

c=c ¿

2. limx →a

xn=an, para cualquier entero positivo n

Ejemplo 3.1. Aplicación de las propiedades 1 y 2 de los límites.

a) limx →2

7=7; limx→−5

7=7

b) limx →6

x2=62=36

c) limt →−2

t 4= (−2 )4=16

Algunas otras propiedades de los límites son las siguientes:

Si limx →a

f (x ) y limx →a

g (x) existen, entonces

3. limx →a

[ f (x )± g(x )]=limx→ a

f (x )± limx →a

g (x)

Esto es, el límite de una suma o diferencia es la suma o diferencia, respectivamente, de los límites.

4. limx →a

[ f (x )∙ g(x )]=limx→ a

f (x )∙ limx→ a

g (x)

Esto es, el límite de un producto es el producto de los límites.

5. limx →a

[c ∙ f (x)]=c ∙ limx → a

f (x), donde c es una constante.

Esto es, el límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función.

Ejemplo 3.2. Aplicación de las propiedades de los límites.

a) limx →2

( x2+x )=limx→ 2

x2+limx →2

x=22+2=6

b) limq →−1

(q3−q+1 )= limq→−1

q3− limq→−1

q+ limq →−1

1=(−1 )3−(−1 )+1=1

c) limx →2

[ ( x+1 ) ∙ ( x−3 ) ]=limx →2

( x+1 ) ∙ limx→ 2

(x−3 )

¿ [ limx→ 2x+lim

x →21] ∙[ limx →2

x−limx→ 2

3 ]= (2+1 ) ∙ (2−3 )=3 (−1 )=−3

d) limx→−2

3 x3=3 limx →−2

x3=3 (−2 )3=−24




Ejemplo 3.3. Límites de una función polinomial.

Sea f ( x )=cn xn+cn−1 xn−1+..+c1 x+c0 una función polinomial. Entonces

limx →a

f ( x )=limx →a

(cn xn+cn−1 xn−1+..+c1 x+c0 )

¿cn ∙ limx →a

xn+cn−1 ∙ limx → a

xn−1+..+c1 ∙ limx→ a

x+ limx →a

c0

¿cn an+cn−1 an−1+..+c1 a+c0=f (a)

Si f es una función polinomial, entonces

limx →a

f (x )=f (a)

Podemos, encontrar

limx→−3

( x3+4 x2−7 )=(−3 )3+4 (−3 )2−7=2

Del mismo modo,

limh→ 3

[2 (h−1 ) ]=2 (3−1 )=4

Las siguientes dos propiedades de límites tratan con cocientes y raíces.

Si limx →a

f (x ) y limx →a

g (x) existen, entonces

6. limx →a

f (x)g(x )

=limx →a

f (x )

limx → a

g(x ), si lim

x →ag (x)≠ 0

Esto es, el límite de un cociente es el cociente de los límites, siempre que el denominador no tenga un

límite de cero.

7. limx →a

n√ f (x )=n√ limx→ a

f (x ), si n es par entonces limx →a

f (x ) debe ser positivo

Ejemplo 3.4. Aplicación de las propiedades 6 y 7 de los límites.

a) limx →1

2 x2+x−3

x3+4=

limx → 1

(2 x2+x−3 )

limx→ 1

( x3+4 )=2+1−3

1+4=0

5=0

b) limh → 4

√h2+1=√ limh→ 4

( h2+1 )=√17

c) limx →3

3√x2+7=3√ limx → 3

( x2+7 )=3√16=23√2

Nota:


f ( x )= (1+x )1x



- Ahora consideremos límites para los cuales nuestras propiedades de los límites no se aplican, y no pueden evaluarse por sustitución directa. Nuestra técnica consistirá en realizar operaciones algebraicas sobre f (x) de modo que obtengamos una forma en la cual nuestras propiedades de los límites puedan aplicarse.

- Cuando tanto f (x) como g (x) se aproximan a cero cuando x tiende a a. Entonces el límite

limx →a

f (x)g(x )

Se dice que tiene la forma 00

.

Ejemplo 3.5. Determinación de un límite por factorización y cancelación.

a) limx→−1

x2−1x+1

=lim

x →−1( x+1 ) ( x−1 )

x+1=lim

x →1( x−1 )=−1−1=−2; forma

00

.

b)limx→ 1

x3−1

x−1=lim

x →1

(x−1 ) ( x2+x+1 )x−1

=limx→ 1

( x2+x+1 )=1+1+1=3; forma 00

Nota:

- Un límite especial es:

limx →0

(1+ x )1x=e

x (1+x )1x x (1+x )

1x

0.5 2.2500 -0.5 4.00000.1 2.5937 -0.1 2.8688

0.01 2.7048 -0.01 2.73200.00

1 2.7169 -0.001 2.7196


1

- 1

1



Ejercicios 03: PropuestosI. Utilice la gráfica de f para estimar cada límite, si existe.

1.a¿ limx →−1

f (x )b ¿ limx → 1

f (x)c ¿ limx → 2

f (x)2.a¿ limx →−1

f (x )b¿ limx →0

f (x)c¿ limx →1

f (x)

II. Utilice su calculadora para completar la tabla, y use los resultados para estimar el límite dado.

1. limx →−2

x2−4x+2

2. limx→ 0

ex−1x

III. Encuentre los límites.

1. limx→ 3

2 x2. limt → 1/2

(3 t−5 )3. limr → 9

4 r− t11

4. limx →−6

x2+6x−6

5. limh → 0

h2−2h−4h3−3

6. limy →15

√ y+3 7. limx→−2

x2+2 xx+2

8. limt → 0

t 2+2tt 2−2t

9. limx →2

x2−4x−2

10. limx→ 0

x2−2 xx

11. limx→ 3

x4−81x2−x−6

12. limx→−4

x2+2 x−8x2+5x+4

13. limx → 6

√x−2−2x−6

14. limx →2

x4+x3−24x2−4

IV. Tratando a x como “x” como una constante. Encuentre:

limh→ 0

f (x+h )−f (x)h

1. f ( x )=2 x+32. f ( x )=x2+x+13. f ( x )=5−2 x−3 x2


- 1

x -0.1 -0.01 -0.001 0.001 0.01 0.1

f

x -2.1 -2.01 -2.001 -1.999 -1.99 -1.9f



1.4. LIMITES LATERALES:Tomemos como ejemplo la siguiente gráfica de la función f. Observe que f (x) no está definida para x = 0. Cuando x tiende a cero por la derecha, f (x) se aproxima a 2. Escribimos esto como

limx→ 0+¿ f (x )=¿ 2¿¿

¿

Por otra parte, cuando x tiende a cero por la izquierda, f (x) se aproxima a -2 y escribimos

limx→ 0−¿ f ( x )=¿−2¿ ¿

¿

Los límites como éstos se conocen como limites laterales (o unilaterales). De la sección 2.2 sabemos que el límite de una función cuando x → a es independiente de la manera como se aproxima a a. Por tanto, el límite existirá si y sólo si, ambos límites existen y son iguales. Entonces concluimos que

limx →0

f ( x ) no existe

1.5. LIMITES INFINITOS:En la sección 2.2 vimos límites de la forma 0/0; esto es, límites donde el numerador y el denominador se aproximan a cero. Ahora examinaremos límites donde el denominador se aproxima a cero pero el numerador tiende a un número diferente de cero. Por ejemplo considere

limx →0

1

x2

Aquí, cuando x tiende a 0 el numerador tiende a 1 y el denominador tiende a 0. Además cuando x es cercano a 0, x2 es positivo y también cercano a 0. Por tanto dividiendo 1 entre tal número da como resultado un número muy grande. Véase la siguiente tabla de valores y su gráfica para f

Es claro que cuando x → 0 tanto por la izquierda como por la derecha, f (x) aumenta sin cota. De aquí que no exista el límite en 0. Decimos que cuando x → 0, f (x) se vuelve infinito positivamente, y en forma simbólica expresamos este “límite infinito” escribiendo

limx →0

1

x2=∞

NOTA:El uso del signo “igual” en esta situación no significa que el límite exista. Por el contrario, el símbolo (∞) aquí es una manera de decir específicamente que no hay límite e indica por qué no existe el límite.

Ahora considere la gráfica de y = f (x) = 1/x para x ≠ 0


x f (x)1 1

0.5 40.1 1000.01 10 0000.001 1 000 000



Cuando x se aproxima a 0 por la derecha, 1/x se hace infinito positivo; cuando x se aproxima a 0 por la izquierda, 1/x tiende al infinito negativo. De modo simbólico estos límites infinitos son escritos

limx→ 0+¿ 1

x=∞ y lim

x→0−¿ 1x=−∞ ¿

¿¿

¿

Cualquiera de estos dos hechos implican que

limx →0

1x

no existe

Ejemplo 5.1. Límites infinitosEncontrar el límite (si existe)

a)lim

x→−1+¿ 2x+1

¿

¿

Solución: cuando x tiende a -1 por la derecha (piense en valores como -0,999; -0,995; 0,99; etc.), x + 1 tiende a 0 pero siempre es positivo. Como estamos dividiendo 2 entre números positivos que se aproximan a 0, los resultados, 2/(x + 1) son números positivos que se vuelven arbitrariamente grandes.

limx→−1+¿ 2

x+1=∞¿

¿

Y el límite no existe. Por un análisis similar, se puede comprobar que

limx→−1−¿ 2

x+1=−∞¿

¿

b) limx →2

x+2

x2−4

Solución: cuando x → 2, el numerador tiende a 4 y el denominador se aproxima a 0. Por tanto estamos dividiendo números cercanos a 4 entre números cercanos a cero. Los resultados son números que se vuelven arbitrariamente grandes en magnitud. En esta fase podemos escribir

limx →2

x+2

x2−4no existe

Sin embargo, veremos si es posible utilizar el símbolo ∞ o -∞ para ser más específicos acerca del “no existe”. Obsérvese que


x f (x)1 1

0.5 40.1 1000.01 10 0000.001 1 000 000



limx →2

x+2

x2−4=lim

x →2

x+2( x+2 ) ( x−2 )

=limx →2

1x−2

Como

limx→ 2+¿ 1

x−2=∞ y lim

x →2−¿ 1x−2

=−∞¿

¿¿

¿

Entonces limx →2

x+2

x2−4 no es ni ∞ ni -∞.

Ejemplo 5.2. Determinación de un límiteEncontrar el límite

limt →2

t−2

t 2−4

Solución: cuando x → 2, ambos, numerador y denominador tienden a 0 (forma 0/0). Así primero simplificamos la fracción, y luego tomamos el límite:

limt →2

t−2t 2−4

=limt →2

t−2

(t−2 ) ( t +2 )=

limt → 2

1

t+2=1

4

1.6. LIMITES AL INFINITO:Ahora examinaremos la función f (x) = 1/x cuando x se vuelve infinito, primero en sentido positivo y después en sentido negativo. De la tabla podemos ver que cuando x aumenta sin cota tomando valores positivos, los valores de f (x) se aproximan a cero. De la misma manera, cuando x disminuye sin cota tomando valores negativos, los valores de f (x) se aproximan a 0.

En la gráfica podemos ver claramente que cuando usted se mueve a la derecha sobre la curva tomando valores positivos, los correspondientes valores de y se aproximan a 0. Del mismo modo, cuando se mueve a la izquierda a lo largo de la curva por valores negativos de x, los correspondientes valores de y se aproximan a 0. En forma simbólica escribimos

limx→ ∞

1x=0 y lim

x→−∞

1x=0

Estos límites se conocen como límites al infinito.

Ejemplo 6.1. Límites infinitosEncontrar el límite (si existe)


x f (x) x f (x)1000 0,001 -1000 -0,001

10000 0,0001 -10000 -0,0001100000 0,00001 -100000 -0,00001

1000000 0,000001 -1000000 -0,000001



a) limx→ ∞

4

( x−5 )3

Solución: cuando x se vuelve muy grande también lo hace x – 5. Como el cubo de un número grande también es grande, (x - 5)3 → ∞. Al dividir 4 entre números muy grandes se tiene como resultados números cercanos a 0. Por tanto,

limx→ ∞

4

( x−5 )3=0

b) limx→ ∞

√4−x

Solución: cuando x se hace cada vez más negativa, 4 – x tiende a infinito positivo. Ya que la raíz cuadrada de números grandes son números grandes, concluimos que

limx→ ∞

√4−x=∞

NOTA:En general:

limx→ ∞

1

x p=0 y lim

x→−∞

1

x p=0 , cua ndo p>0

Ahora encontremos el límite de la función racional

f ( x )= 4 x2+52 x2+1

Vemos que cuando x → ∞, ambos, numerador y denominador de f (x), tienden a infinito. Sin embargo, la forma del cociente puede modificarse de modo que podamos sacar una conclusión de si tiene o no límite. Para hacer esto, dividimos el numerador y el denominador entre la mayor potencia de x que aparezca en el denominador. En este caso es x2. Esto da

limx→ ∞

4 x2+52 x2+1

=limx→ ∞

4 x2+5x2

2 x2+1

x2

= limx →∞

4 x2

x2 + 5x2

2 x2

x2+ 1

x2

=limx→ ∞

4+ 5x2

2+ 1x2

=limx→ ∞

4+5 limx→ ∞

1x2

limx → ∞

2+ limx → ∞

1x2

Como limx→ ∞

1

x p=0 , para p>0

limx→ ∞

4 x2+52 x2+1

=4+5 (0 )

2+0=4

2=2

NOTA:




Una manera más fácil de determinar este tipo de límites, es tomar en cuenta los términos que incluyen la potencia más grande de x en el numerador y como en el denominador. Cuando x → ∞, f (x) puede aproximarse al cociente de estos dos términos y así obtener el límite. Para nuestro ejemplo anterior se tiene que

limx→ ∞

4 x2+52 x2+1

=limx→ ∞

4 x2

2 x2 = limx→ ∞

2=2

NOTA:Si el grado del numerador de una función racional es mayor que el del denominador, entonces la función no tiene límite cuando x → -∞ o cuando x → ∞. Por ejemplo.

limx→−∞

x4−3 x5−2 x

= limx →−∞

x4

−2 x= lim

x→−∞ (−12

x3)=∞

Obsérvese en el último paso, cuando x se vuelve muy negativa, también lo hace x3, además, -1/2 por un número muy negativo resulta ser muy grande positivo. Del mismo modo.

limx→ ∞

x4−3 x5−2 x

=limx → ∞ (−1

2x3)=−∞

Ejemplo 6.2. Límites al infinito de funciones racionalesEncontrar el límite (si existe)

a) limx→ ∞

x2−17−2 x+8 x2

Solución:

limx→ ∞

x2−17−2 x+8 x2= lim

x →∞

x2

8 x2 = limx → ∞

18=1

8

b) limx→−∞

x

(3 x−1 )2

Solución:

limx→−∞

x

(3 x−1 )2= lim

x →−∞

x

9 x2−6 x+1= lim

x→−∞

x

9 x2= lim

x →−∞

19 x

=19

limx→−∞

1x=1

9(0 )=0

c) limx→ ∞

x5−x4

x4−x3+2

Solución: como el grado del numerador es mayor que el del denominador, no existe el límite. Con mayor precisión,

limx→ ∞

x5−x4

x4−x3+2=lim

x→ ∞

x5

x4 = limx → ∞

x=∞

Ejemplo 6.3. Límites al infinito para funciones polinomialesEncontrar el límite (si existe)




a) limx→−∞

( x3−x2+x−2 )= limx →−∞

x3. Cuando x se vuelve muy negativa, también lo hace x3.

Por tanto

limx→−∞

( x3−x2+x−2 )= limx →−∞

x3=−∞

b) limx→−∞

(−2 x3+9 x )= limx→−∞

−2 x3=∞; porque -2 veces un número muy negativo es un

número positivo muy grande.

Solución:

limx→ ∞

x2−17−2 x+8 x2= lim

x →∞

x2

8 x2 =limx → ∞

18=1

8

Ejemplo 6.4. Límites de una función definida por partes.

Si f ( x )={x2+1; si x≥ 13 ;si x<1

, encontrar el límite si

existe.

a) limx→ 1+¿ f ( x ) ¿

¿

b) limx→ 1+¿ f ( x ) ¿

¿

c) limx →1

f ( x )

d) limx→ ∞

f (x )

e) limx→−∞

f (x )

Ejercicios 05: Propuestos1. Para la función f dada en la gráfica, encuentre los límites siguientes. Si el límite no existe, especifique o

utilice el símbolo ∞ o -∞ donde sea apropiado.

a¿ limx→ 0−¿ f (x)b¿

limx → 0+¿ f (x)¿

¿

c ¿ limx→ 0

f (x)d ¿ limx →−∞

f (x)

e ¿ limx →∞

f (x ) f ¿ limx→ 1

f (x)

g¿ limx →2−¿ f ( x)h¿

limx→ 2+¿ f (x)¿

¿

2. Encuentre el límite. Si no existe, especifique o utilice el símbolo ∞ o ∞donde sea apropiado.


f(x)



a¿ limx→−1+¿ (1− x2 ) b¿

limx →∞

3 c¿ limx→ 0

5x−1

d¿ limt →∞

( t−1 )3

e ¿ limh→ 5−¿ √5−h f ¿

limx →0−¿21/2 g¿

limx→ 2+¿ x √x2−4 h¿

limx →−∞

√2−3 x

i ¿ limx →∞

72 x√ x

j ¿ limx → ∞

2 x−43−2 x

k ¿ limr → ∞

r3

r 2+1l¿ lim

x→−∞

2 x3 x6−x+4

m ¿ limx →−∞

2( 4 x−1 )3

n¿ limx→ ∞

7−2x−x 4

9−3x4+2x2 o¿ limx→−2+¿ 5 x

4−x2 p¿

limx→ ∞

4−3 x3

x3−1

q¿ limx→−1

3 x3−x2

2 x+1r ¿ lim

t →2

t 2+2t−82 t 2−5 t+2

s¿ limx→−∞

x3+2 x2+1x3−4

t ¿ limx →−3+¿ x

√9− x2¿

¿

u¿ limx → ∞ (x+ 1

x )v ¿ limx →1 /2

12 x−1

w ¿ limx →0 (−9

x )x ¿ limx→ 0|1

x|3. Determine los límites que se indican. Si el límite no existe, especifique o utilice el símbolo ∞ o ∞ en donde

sea apropiado.

f ( x )={x ;si x≤ 12 ;si x>1

a¿ limx→ 1+¿ f (x ) b¿

limx→ 1−¿ f ( x ) c ¿

limx →1

f ( x ) d¿ limx→ ∞

f ( x )e ¿ limx →−∞

f ( x )

g ( x )={ x2 ;si x≤ 0−x ; si x>0

a¿ limx→ 0+¿ g ( x )b¿

limx → 0−¿ g ( x ) c ¿

limx →0

g (x ) d ¿ limx →∞

g ( x ) e¿ limx→−∞

g ( x )

4. Costo promedio. Si c es el costo total en dólares para producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio por unidad para una producción de q unidades está dado por c=c /q. Así, si la ecuación de costo

total es c = 5000 + 6q, entonces c=5000q

+6

Por ejemplo, el costo total para la producción de 5 unidades es $ 5030, y el costo promedio por

unidad en este nivel de producción es $ 1006. Por medio de la determinación de limq → ∞

c , demuestre

que el costo promedio se aproxima a un nivel de estabilidad si el productor aumenta de manera continua la producción. ¿Cuál es el valor límite del costo promedio? Haga un bosquejo de la gráfica de la función costo promedio.

5. Costo promedio. Repita el problema anterior dado que el costo fijo es $ 12000 y el costo variable está dado por la función cv=7 q. (Sabemos que el costo total = costo fijo + costo variable)

1.7. INTERES COMPUESTO CONTINUAMENTE:Cuando se invierte dinero a una tasa anual dada, el interés devengado cada año depende de la frecuencia con que se capitaliza el interés. Por ejemplo, se devenga más interés si la capitalización es mensual que si fuese semestral. Podemos obtener más interés capitalizándolo cada semana, diario, cada hora y así sucesivamente. Sin embargo, hay un interés máximo que puede ser devengado, el cual examinaremos ahora.Suponga que un capital de P dólares se invierte durante t años a una tasa anual r si el interés se capitaliza k veces en un año, entonces la tasa por periodo de conversión es r / k, y hay kt periodos. El monto total S está dado por:




S=P (1+ rk )

kt

Si k → ∞, el número de periodos de conversión aumenta de manera indefinida y la longitud de cada periodo de aproxima a cero. En este caso, decimos que el interés se capitaliza (o compone) continuamente, esto es, en cada instante. El monto total es:

limk → ∞ (1+ r

k )kt

que puede escribirse como

P[ limk → ∞ (1+

rk )

k /r]rt

Haciendo x=r /k entonces cuando k → ∞, tenemos x→ 0. Así, el límite dentro de los corchetes tiene la

forma limx →0

(1+ x )1 / x, la cual, como vimos en la sección anterior, es e.

Por lo tanto, tenemos la fórmula siguiente:Monto total (compuesto) bajo interés continuoLa fórmula

S=P en

proporciona el monto acumulado S de un capital de P dólares después de t años, a una tasa de interés anual r compuesta de manera continua.

Ejemplo 7.1. Monto totalSi se invierten $ 100 a una tasa anual de 5% capitalizado continuamente, encontrar el monto total al final de:a) 1 añosb) 5 años

Solución:a) Aquí P=100 , r=0.05 y t=1 , demodo que

S=P en=100 e ( 0.05) (1) ≈ $ 105.13Podemos comparar este valor con el valor después de un año de una inversión de $100 invertidos a una tasa de 5% compuesto cada semestre, es decir, 100(1.025)2≈105.06. La diferencia no es significativa.

b) Aquí P=100 , r=0.05 y t=5 , de modoqueS=P en=100e ( 0.05) (5 )=100e0.25 ≈ $ 128.40

Podemos encontrar una expresión que dé la tasa efectiva que corresponda a una tasa anual r compuesta continuamente (la tasa efectiva es la tasa equivalente compuesta anualmente). Si i es la correspondiente tasa efectiva, entonces después de 1 año el capital P se convierte en P (1+ i ). Esto debe ser igual a la cantidad que se acumulaba bajo interés continuo, P er. Por tanto, P (1+ i )=P er , de lo cual 1+i=er, así

que i=er−1.

Tasa efectiva bajo interés compuesto continuoLa tasa efectiva que corresponde a una tasa anual r capitalizada continuamente es:

er−1Ejemplo 7.2: Tasa efectivaEncontrar la tasa efectiva que corresponda a una tasa anual de 5% capitalizada continuamente.

Solución: La tasa efectiva es:

er−1=e0.05−1 ≈ 0.0513=5.13%Si resolvemos S=P ert para P, obtenemos P=S /ert . En esta fórmula, P es el capital que debe invertirse ahora a una tasa anual r capitalizada continuamente, de modo que al final de t años el monto total sea S. Llamamos a P el valor presente de S.




Valor presente bajo interés continuoLa fórmula

P=S e−rt

Da el valor presente neto de P de S dólares que se deben pagar al final de t años a una tasa anual r capitalizada continuamente.

Ejemplo 7.3: Fondo de inversiónUn fondo de inversión se establece por medio de un solo pago, de modo que al final de 20 años se acumulen $ 25,000 en el fondo. Si el interés es capitalizado continuamente a una tasa anual de 7%, ¿cuánto dinero (aproximado al dólar más cercano) debe pagarse inicialmente al fondo?

Solución: queremos el valor presente de $25,000 pagaderos dentro de 20 años. Por tanto,

P=Se−rt=25,000e−(0.07 ) (20)=25,000 e−1.4 ≈ 6165Por tanto, deben pagarse $6165 inicialmente.


g ( x )={x , si x ≠12, si x=1



1.8. CONTINUIDAD:Muchas funciones tienen la propiedad de que no hay “cortes” en sus gráficas. Por ejemplo, compare las funciones

f ( x )=x y g ( x )={x , si x≠ 12 , si x=1

Cuando x = 1, la gráfica den f no se corta, pero la de g sí tiene un corte. Poniéndolo de otra manera. Estas situaciones pueden expresarse por medio de límites. Cuando x se aproxima a 1,

limx →1

f ( x )=1=f (1)

Mientras quelimx →1

g ( x )=1 ≠ g (1 )=2

El límite de f cuando x → 1 es igual a f(1), pero el límite de g cuando x → 1 no es igual a g(1). Por estas razones decimos que f es continua en 1 y g discontinua en 1.

2.8.1 Definición:Una función f es continua en a si y sólo si las siguientes tres condiciones se cumplen:1. f(x) está definida en x = a; esto es, a está en el dominio de f.

2. limx →a

f (x ), existe.

3. limx →a

f (x )=f (a).

Si f está definido en un intervalo abierto que contenga a a, excepto tal vez en a misma, y f no es continua en a, entonces se dice que f es discontinua en a, y a es llamada punto de discontinuidad.

Ejemplo 8.1. Aplicación de la definición de continuidada. Mostrar que f ( x )=5 es continua en 7.

Solución: debemos verificar que las tres condiciones se cumplan. f (7 )=5, de modo que f está definida en x = 7.

limx →7

f ( x )=¿ limx →7

5=5¿. Por tanto, f tiene límite cuando x→ 7.

limx →7

f ( x )=¿5=f (5 ) ¿. Por tanto, f es continua en 7.

b. Demostrar que g( x )=x2−3 es continua en -4.Solución: la función g está definida en x=−4; g (−4 )=13.Por tanto, g es continua en -4.


f ( x )=x

No hay corte en la gráfica

Corte en la gráfica

f ( x )=5g ( x )=x2−3



Nota: Decimos que una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto de ese intervalo. En esta situación, la gráfica de la función es conexa sobre el intervalo. Por ejemplo,

f ( x )=x2 es continua en el intervalo [2,5]. De hecho, una función polinomial es continua en todo punto.

Ejemplo 8.2. Continuidad de funciones polinomialesLas funciones f ( x )=7 y g ( x )=x2−9 x+3 son polinomiales. Por tanto, son continuas en 3.

2.8.2 Discontinuidad de una funciónUna función f definida en un intervalo abierto que contenga a a es discontinua en a, si1. f no tiene límite cuando x→ a, o bien2. Cuando x→ a, f tiene un límite diferente de f ( a ).

Nota: Es obvio que si f no está definida en a, no es continua allí. Sin embargo, si f no está definida en a pero sí está definida para todos los valores cercanos, entonces no sólo no es continua en a, es discontinua allí. En las siguientes gráficas podemos encontrar por inspección puntos de discontinuidad.

Ejemplo 8.3. Discontinuidadesa) Sea f ( x )=1 /x . Según la gráfica f no está definida en x=0, pero está definida para cualquier

otro valor de x cercana a cero. Así, f es discontinua en 0. Además limx→ 0+¿ f (x )=∞¿

¿ y

limx→ 0−¿ f ( x )=−∞¿

¿. Se dice que una función tiene discontinuidad infinita en a, cuando al menos uno

de los límites laterales es ∞ o −∞, cuando x→ a. De aquí que f tenga una discontinuidad infinita en x=0.

b) Sea f ( x )={ 1 , si x>0 ,0 , si x=0 ,−1 , si x<0.

f está definida en x=0, limx →0

f ( x ) no existe. Por tanto, f es

discontinua en 0.


Definida en 2 pero no tiene límite cuando x → 2

Definida en 2 y en el límite cuando x → 2, pero el

límite no es f(2)

No está definida en 2 pero está definida en todos los

valores cercanos de 2

Discontinuidades en 2

f ( x )=1x



2.8.3 Discontinuidades de una función racionalUna función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es 0, y es continua en cualquier otra parte.

Ejemplo 8.4. Localización de discontinuidades para funciones racionalesPara cada una de las siguientes funciones, encontrar todos los puntos de discontinuidad.

a) f ( x )= x2−3x2+2 x−8

Solución: Factorizando el denominador de la función racional, esto es

x2+2 x−8=( x+4 ) ( x−2 )Que es 0 cuando x=−4 o x=2. Así, f sólo es discontinua en -4 y 2.

b) h ( x )= x+4

x2+4

Solución: el denominador nunca es cero, siempre es positivo. De este modo, h no tiene discontinuidad.

Ejemplo 8.5. Localización de discontinuidades para funciones definidas por partes.Para cada una de las funciones siguientes, encontrar todos los puntos de discontinuidad.

a) f ( x )={x+6 , si x≥ 3 ,x2 , si x<3

Solución: Cuando x=3 es el único lugar en el que la gráfica de f podría no ser conexa. Sabemos que f (3 )=3+6=9. Y puesto que

limx→ 3+¿ f ( x )=¿ lim

x→ 3+ ¿ ( x+6 )=9¿¿¿¿

¿

ylim

x→ 3−¿ f ( x )=¿ limx→3−¿x2=9,¿

¿¿¿¿

Concluimos que limx→ 3−¿ f ( x )=¿ 9=f (3)¿ ¿

¿. De modo que la función es continua en 3, así como en todos

los demás valores de x.

b) f ( x )={x+2 , si x>2,x2 , si x<2.

Solución: f no está definida en x=2. Pero sí para toda x cercana, f es discontinua en 2 y continua para todas las demás x.




Ejemplo 8.6. Función del “servicio postal”.La función del “servicio postal”

c=f ( x )={34 , si 0<x ≤1 ,55 , si 1<x≤ 2 ,76 , si 2<x≤ 3 ,97 , si 3<x≤ 4.

da el costo c (en centavos) de enviar un paquete de peso x (onzas), 0<x ≤ 4, en enero de 2001. Según su gráfica f tiene discontinuidades en 1, 2 y 3, y que es constante para valores de x que están entre discontinuidades sucesivas. Tal función se conoce como función escalón a causa de la apariencia de su gráfica.

2.8.4 Otra Definición de continuidad

Si tomamos la proposición limx →a

f ( x )=f ( a ) y reemplazamos x por a+h, entonces cuando x→ a

tenemos que h → 0. Por tanto, la proposiciónlimh→ 0

f (a+h )=f (a ) ,

Define continuidad en a.

Ejercicios 06: Propuestos1. Encuentre el monto total y el interés compuesto si se invierten $4000 durante 6 años y el interés se capitaliza

continuamente a la tasa anual dadaa) 5½ %b) 9 %

2. Encuentre el valor presente de $2500 pagaderos dentro de 8 años, si el interés es compuesto continuamente a la tasa anual dadaa) 6¾ %b) 8 %

3. Encuentre la tasa efectiva de interés que corresponda a la tasa anual dada capitalizada continuamentea) 4%b) 3%

4. Inversión. Si se depositan $100 en una cuenta de ahorro que gana interés a una tasa anual de capitalizada continuamente. ¿Cuál será el valor de la cantidad al final de 2 años?




5. Redención de acciones. La mesa directiva de una compañía acuerda redimir algunas de sus acciones preferentes en 5 años. En ese tiempo se requerirán $1,000.000. Si la compañía puede invertir dinero a una tasa de interés anual de 5% capitalizable continuamente. ¿cuánto debe invertir en este momento de modo que el valor futuro sea suficientemente para redimir las acciones?

6. Fondo de inversión. Como un regalo9 para el vigésimo cumpleaños de su hija recién nacida, los Smith quieren darle una cantidad de dinero que tenga el mismo poder adquisitivo que $10,000 en la fecha de su nacimiento. Para hacer esto ellos realizan un solo pago inicial a un fondo de inversión establecido específicamente para este propósito.a) Suponga que la tasa de inflación efectiva anual es de 4%. Dentro de 20 años, ¿Cuál suma tendrá el mismo

poder adquisitivo que $10,000 actuales? Redondee su respuesta al dólar más cercano.b) ¿Cuál debe ser la cantidad de pago único inicial al fondo, si el interés se capitaliza continuamente a una

tasa anual de 6%? Redondee su respuesta al dólar más cercano.

7. Utilice la definición de continuidad para mostrar que la función dada es continua en el punto indicado.a) f ( x )=x3−5x ; x=2b) g ( x )=√2−3 x ; x=0

c) h ( x )= x−4x+4

; x=4

8. Determine si la función es continua en los puntos dados.

a) f ( x )= x+4x−2

;−2,0

b) g ( x )= x−3

x2−9;3 ,−3

c) f ( x )={x+2 , si x≥ 2x2 , si x<2

;2,0

9. Dé una razón del porqué la función es continua en todas partes.a) f ( x )=2 x2−3

b) f ( x )= x−1

x2+4

10.Encuentre todos los puntos de discontinuidad.a) f ( x )=3 x2−3

b) f ( x )= 3x+4

c) g ( x )=( x2−1 )2

5

d) f ( x )=3 x2+6 x+9x2+2 x−15

e) h ( x )= x−7

x3−x

f) p ( x )= x

x2+1

g) f ( x )={ 1 , si x ≥0−1 , si x<0

h) f ( x )={ 0 , si x ≤1x−1 , si x>1




i) f ( x )={ x2 , si x>2x−1 , si x<2

11.Inventario. Haga el bosquejo de la gráfica de

y=f ( x )={ −100 x+600 , si 0 ≤ x<5 ,−100 x+1100 , si 5≤ x<10

−100 x+1600 , si 10 ≤ x<15.

Una función como la anterior podría describir el inventario y de una compañía en el instante x. ¿f es continua en 2?, ¿es continua en 5?, ¿es continua en 10?.


limites y continuidad

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