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Límites de funciones.
1.limites por definición
El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.
Definición de límite
Antes de establecer la definición formal del límite de una función en general vamos a observar qué sucede con una función particular cuando la variable independiente tiende (se aproxima) a un valor determinado.
Ejemplo:
En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x, en el entorno de 2, y calculamos los valores correspondientes de la función f (x):
x f (x) Cuando x se aproxima a 2, tanto por la izquierda como por la derecha, tomando valores menores o mayores que 2, f (x) se aproxima, tiende, cada vez más a 3; y cuanto más cerca está x de 2, o lo que es lo mismo, cuando la diferencia en valor absoluto entre x y 2 es más pequeña asimismo la diferencia, en valor absoluto, entre f (x) y 3 se hace cada vez más pequeña. (Estas diferencias se muestran en la tabla inferior derecha). Osea, la función se acerca a un valor constante, 3, cuando la variable independiente se aproxima también a un valor constante.
1.9
1.99
1.999
1.9999
2.0001
2.001
2.01
2.1
2.61
2.9601
2.996001
2.99960001
3.00040001
3.004001
3.0401
3.41
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|x - 2| | f (x) - 3|
|1.9-2| = 0.1
|1.99-2| = 0.01
|1.999-2| = 0.001
|1.9999-2| = 0.0001
|2.0001-2| = 0.0001
|2.001-2| = 0.001
|2.01-2| = 0.01
|2.1-2| = 0.1
|2.61-3| = 0.39
|2.9601-3| = 0.0399
|2.996001-3| = 0.003999
|2.99960001-3| = 0.00039999
|3.00040001-3| = 0.00040001
|3.004001-3| = 0.004001
|3.0401-3| = 0.0401
|3.41-3| = 0.41
De lo anterior se deduce intuitivamente que el límite de la función f (x) cuando x tiende a 2, es 3.
Definición épsilon-delta
Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contenga a a. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L, y se escribe
Nota: no es necesario que f este definida en a para que el límite exista.
Ejercicios resueltos (aplicando la definición epsilón-delta)
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En los ejercicios 1 a 7, demuestre que el límite es el número indicado aplicando la definición Epsilón-delta:
S o l u c i o n e s
1. Solución:
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2. Solución:
3. Solución:
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4. Solución:
Teoremas de límites
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Para facilitar la obtención del límite de una función sin tener que recurrir cada vez a la definición Epsilón-Delta se establecen los siguientes teoremas.
2. limite de funciones por propiedades
Los teoremas se numeran consecutivamente para facilitar una futura referencia.
Teorema de límite1:
Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces
Teorema de límite 2:
Para cualquier número dado a,
Teorema de límite 3:
Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
Teorema de límite 4:
Teorema de límite 5:
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Teorema de límite 6:
Si f es un polinomio y a es un número real, entonces
Teorema de límite 7:
Si q es una función racional y a pertenece al dominio de q, entonces
Teorema de límite 8:
Procedimiento para calcular límites
Si es posible aplicar directamente las propiedades anteriores, el límite se calcula directamente. Con respecto a las propiedades, como la propiedad 6 se aplica a cualquier polinomio y las propiedades 1, 2, 3, y 4 implican funciones polinómicas es indistinto que nos refiramos a cada una de las propiedades 1 a 4 en particular que a la propiedad 6 cuando calculamos el límite de una función polinómica. Lo mismo, la propiedad 7 se aplica a una función racional y la propiedad 4 (III) también.
Cuando al sustituir la a por x en la función nos da la forma indetermidada 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula de la función de tal modo que se pueda evitar la división por cero: para lograr esto disponemos de procedimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugada, etc.
Ejercicios resueltos
Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso:
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S o l u c i o n e s
1. Solución
2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
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5. Solución:
6. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión, se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL1:
7. Solución:
No es posible aplicar directamente el TL7, pues se obtendría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de factorizar y simplificar la expresión se obtiene fácilmente el límite aplicando el TL7 o el TL4(III):
8. Solución:
Si pretendiéramos aplicar el límite directamente a partir del TL7, nos daría la forma indeterminada 0/0;
por lo que, se debe factorizar y luego simplificar la expresión antes de poder hacer uso del TL6:
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9. Solución:
No se puede aplicar el límite directamente, daría la forma indeterminada 0/0; no obstante, luego de multiplicar tanto el numerador como el denominador por la conjugada de la expresión en el numerador y luego reduciendo y simplificando, se puede aplicar el TL para hallar el límite:
10. Solución:
Luego de la transformación de la expresión se aplican los TL7 y TL8:
11. Solución:
El límite no se puede aplicar directamente, resultaría la forma indeterminada 0/0; no obstante, una vez factorizando y simplificando, la expresión queda expedita para hallar el límite mediante los TL7 y TL6:
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12. Solución:
3 limite de funciones trigonometricas
El llamado teorema de estricción, de intercalación, o del "sándwich" es importante para la demostración de otros teoremas. También se utiliza el teorema de estricción para calcular cierta clase de límites.
Teorema de estricción :
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Demostración:
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Teorema de límite10:
Teorema de límite11:
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 4 emplee el teorema de estricción para encontrar el límite. En los ejercicios 5 a 14, determine el límite, si es que existe.
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S o l u c i o n e s
1. Solución:
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2. Solución:
3. Solución:
4. Solución:
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4 .Límites unilaterales
Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido.
Ejemplo:
Límite unilateral por la derecha:
Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe
Límite unilateral por la izquierda:
Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe
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Límite bilateral:
Teorema de límite12:
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 4, trace la gráfica y determine el límite indicado si existe; si no existe, dé la razón:
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S o l u c i o n e s
1. Solución:
2. Solución:
3. Solución:
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4. Solución:
Límites unilaterales
Hay casos en que las funciones no están definidas (en los reales) a la izquierda o a la derecha de un número determinado, por lo que el límite de la función cuando x tiende a dicho número, que supone que existe un intervalo abierto que contiene al número, no tiene sentido.
Ejemplo:
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Límite unilateral por la derecha:
Sea f una función definida en todos los números del intervalo abierto (a, c). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se escribe
Límite unilateral por la izquierda:
Sea f una función definida en todos los números de (d, a). Entonces, el límite de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe
Límite bilateral:
Teorema de límite12:
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Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 4, trace la gráfica y determine el límite indicado si existe; si no existe, dé la razón:
S o l u c i o n e s
1. Solución:
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2. Solución:
3. Solución:
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4. Solución:
5.Tipos de indeterminaciones
Límites y operaciones
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Tipos de indeterminaciones teniendo en cuenta a que tiende x
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Límite de una función en un punto
Ejercicios de límites resueltos
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Ejercicios con soluciones
Soluciones
5. Asíntotas
5.1 Asíntotas verticales
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5.2 Asíntotas horizontales
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5.3 Asíntotas oblicuas
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6. Continuidad de una función en un punto
Continuidad y tipos discontinuidad de una función en un punto
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Discontinuidad evitable
Discontinuidad de salto finito
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Ejercicios de continuidad y discontinuidad
Ejercicios resueltos
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Ejercicios con soluciones
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Soluciones
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