leyes de seno y coseno

7/28/2019 Leyes de Seno y Coseno

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Introduccin:

No todos los tringulos poseen un ngulo recto (90)

Aquellos tringulos que no poseen un ngulo recto seles llama: TRINGULOS OBLICUNGULOS

Ejemplos:

Ninguno de ellos posee ngulos rectos


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Qu significa resolver tringulos?

Calcular la medida de todos sus lados y ngulos.

Utilizaremos la ley de senos y cosenos para

resolver cualquier tipo de tringulos.


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Qu establece la ley de los senos?

En cualquier tringulo oblicungulolas longitudes de sus lados son

proporcionales a los senos de susngulos opuestos

c

Csen

b

Bsen

a

Asen

Csen

c

Bsen

b

Asen

a

Esta ley se puede utilizar de esta

forma y ofrece el mismo

resultado final


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Ejemplo

Resuelve el tringulo de la derechasi el mismo posee las siguientesmedidas:

54126180

)7254(180

A

A

A

Estrategia de solucinPrimero buscamos eltercer ngulo (el que falta)

Luego los otros lados

utilizando la ley de lossenos.

Cuidado: No siempre el ngulo que falta ser igual a uno de los

que aparezca en el tringulo


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Resuelve el tringulo de laderecha si el mismo poseelas siguientes medidas:

x

xsen

sen

senxsensen

x

sen

Csen

c

Asen

a

63.17

)54(

)72(15

)54()72(157254

15

=54

Estrategia de solucinAhora calculamos losotros lados utilizando laley de los senos.

Primero la longitud dellado x


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Resuelve el tringulo de laderecha si el mismo posee lassiguientes medidas:

y

ysen

sen

senysensen

y

sen

Bsen

b

Asen

a

15

)54(

)54(15

)54()54(155454

15

=54

Ahora calculamos lalongitud el lado que faltautilizando la ley de los

senos.


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Una vez tengas todas las medidas de los lados y

ngulos el problema termin.

=54

y = 15 m


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Resuelve el tringulo de laderecha:

Ejemplo 2

24

47

)123(23

47

)123(23

)(47)123(23

123

47

23

1 sensen

sensen

sensen

sensen

sen

a

sen

b

Estrategia de solucin:

Primero buscamos elngulo con la ley de

senos

47 cm

23 cm

c


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Resuelve el tringulo de la

derecha:

ccm

csen

sen

sencsen

sen

c

sen

sen

c

sen

a

31

123

)33(47

)123()33(47

33123

47

Estrategia de solucin

Segundo, buscamos el

tercer ngulo que falta.

47 cm

23 cm

33

147180

)12324(180

180

Por ltimo,buscamosel lado que

falta por laley desenos.

c


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Ejemplo 3

Para medir la longitud de un lago, se estableci y se midi

una lnea de base AB de 125 metros. Los ngulos A y B son

41.6 y 124.3, respectivamente. Qu tan largo es el lago?

Estrategia de solucin:

Como nos dan lamedida de un lado

deberamos conocer el

ngulo en C para luegoutilizar la ley de senosy encontrar la longitud

del lado d.


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Para medir la longitud d de un lago, se estableci y se midi



1.14

9.165180

)3.1246.41(180

)(180

C

C

C

BAC

Ahora usamos la leyde senos para

encontrar la longituddel lado d

Calculamos el ngulo C


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Para medir la longitud d de un lago, se estableci y se midi



d

dsen

sen

sendsen

sen

d

sen

Asen

a

Csen

c

66.340

1.14

)6.41(125

)1.14()6.41(125

6.411.14

125

El largo del lago es aproximadamente 340.66 m.


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Qu establece la ley de los cosenos?

En todo tringulo oblicungulola longitud de cualquiera de suslados al cuadrado es igual a lasuma de los cuadrados de laslongitudes de los otros dos menos

el doble producto de laslongitudes de dichos lados por elcoseno del ngulo que estosforman

Cabbac

Baccab

Abccba

cos2

cos2

cos2

222

222

222


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Resuelve el tringulode la derecha

Ejemplo

Paso 1: Utiliza la ley de

cosenos para despejar b.

cmb

b

Baccab

Baccab

96.54.32cos)45.6)(3.10(2)45.6()3.10(

cos2

cos2

22

22

222


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Resuelve el tringulode la derecha

Paso 2: Utiliza laley de senos para

encontrar.

Puesto que el

lado c es ms

corto que el lado

a, debe ser

agudo.

44.35

96.5

)4.32(45.6

)(

)()(

1

sensen

b

sencsen

sencsenb

sen

b

sen

c


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Resuelve el tringulo de la

derecha

Paso 3: Calcular el

tercer ngulo

16.112

)44.354.32(180

)(180


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Resuelve el tringulo cona = 27.3 m, b = 17.8 m yc = 35.2 m

Ejemplo 5

Paso 1: Utiliza laley de cosenos

para encontrar el

ngulo , que est

opuesto al lado

ms largo.

49.100

)8.17)(3.27(2

)8.17()3.27()2.35(cos

cos

2

cos2

cos2

2221

222

222

222

ab

bac

abbac

abbac


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Resuelve el tringulo con

a = 27.3 m, b = 17.8 m yc = 35.2 m

Paso 2: Utilizala ley de senos

para encontrar

el ngulo o .Calculemos .

69.49

2.35

)49100(3.27

)(

)()(

1

.sensen

c

senasen

senasenc

senc

sena


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Resuelve el tringulo cona = 27.3 m, b = 17.8 m yc = 35.2 m

Paso 3: Calcular eltercer ngulo, .

82.29

)69.4949.100(180

)(180


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Resuelva cada tringulo1) = 73 = 28 c = 42 pies2) = 122 = 18 b = 12 km

3) = 112 = 19 c = 23 yds

4) = 52 = 47 a = 13 cm

5) Dos faros, A y B (con 10 millas de separacin), se colocan

en una costa para vigilar barcos ilegales que traspasen el

lmite de 3 millas. Si el faro A reporta un barco S en elngulo BAS = 37 y el faro B reporta el mismo barco en el

ngulo ABS = 20. A qu distancia est el barco del faro

A? A qu distancia est de la costa? (Suponga que la

costa est a lo largo de la lnea que une a los faros.)


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Resuelva cada tringulo

6) = 72.1 b = 5.32 yds c = 5.03 yds

7) = 120 a = 5.73 mm b = 10.2 mm

8) = 104.5 a = 17.2 pulg c = 11.7 pulg

9) = 57.2 = 112 c = 24.8 m

10) = 38.4 a = 11.5 pulg b = 14 pulg


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