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UNIDAD II

CONTENIDO TEMÁTICO

PRODUCTOS NOTABLES

I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez

ESQUEMA-

Producto de

binomios

conjugados

Clasificación de

productos

notables

-RESUMEN DE LA UNIDAD II

PRODUCTOS

NOTABLES

Definición de

Productos

Notables

Cuadrado de un

Producto de dos

binomios con

un término

Teorema del

Binomio

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RESUMEN DE LA UNIDAD II

Cuadrado de un

binomio

Producto de dos

binomios con

un término

común

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2.1 DEFINICIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES

Existen ciertas fórmulas que permiten multiplicar ciertos polinomios de forma

directa (sin realizar la multiplicación completa). Tales fórmulas se denominan

productos notables y muchas de ellas se refieren a operaciones con binomios.

Así pues, productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones

con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple

inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su

aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones

habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización, que es el tema

de la siguiente unidad. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de

cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y

recíprocamente.

Así pues, para sintetizar los conceptos:

Un producto es la cantidad que resulta de una multiplicación.

Y los productos notables , son multiplicaciones “clásicas o típicas” entre binomios

o trinomios, que dan siempre la misma estructura en su resultado, y que por ende,

pueden escribirse por simple inspección si se conoce y se ha “memorizado”, en

cierta manera, la regla que produce dicha estructura.

Comenzaremos la unidad abordando una clasificación genérica de los productos

notables, para posteriormente enfocarnos a aquellos que tendrán mayor

relevancia para el estudio de esta segunda unidad.

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2.2 CLASIFICACIÓN DE PRODUCTOS NOTABLES

Binomios Conjugados ó Suma por Diferencia

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

Ejemplo: (2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2− 25

Binomio al Cuadrado o Cuadrado de un Binomio

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Ejemplo:(3x + 4) 2 = (3x)2 + 2(3x)(4) + 42

= 9x 2 + 24x + 16

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Ejemplo: (x - 8) 2 = (x)2 − 2(x)(8) − 82

= x2 − 16x − 64

Binomio al Cubo ó Cubo de un Binomio

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

Ejemplo: (x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9 x2 + 27 x + 27

Ejemplo: (2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33=

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

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Trinomio al Cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Ejemplo: (x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1=

= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x=

= x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1

Suma de Cubos

a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2)

Ejemplo: 8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2)

Ejemplo: 8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos Binomios que tienen un Término Comú n

(x + a) (x + b) = x 2 + (a + b) x + ab

Ejemplo: (x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6

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Procedimiento General para el Desarrollo de Productos Notables

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2.3 CUADRADO DE UN BINOMIO

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se

suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Ejemplos:

simplificando:

Ilustración Gráfica del Binomio al Cuadrado.

Fuente: http://es.wikipedia.org

Regla: Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más-

menos (dependiendo del signo utilizado) el doble producto del primer término

por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b 2

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Ejemplo 1

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Ejemplo 2

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2.4 PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS

Dos binomios que sólo se diferencien en el signo de la operación se denominan

binomios conjugados . O también podrías encontrarla como Suma por

diferencia. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al

cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:

agrupando términos:

Ilustración Gráfica del Producto de Binomios Conjug ados.

Fuente: http://es.wikipedia.org

Regla: El producto de binomios conjugados, es igual a la resta de cada

monomio elevado al cuadrado.

(a + b) (a – b) = a 2 – b2

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Ejemplo 1

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Ejemplo 2

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2.5 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el

cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los

otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

Ejemplo:

agrupando términos:

luego:

Ilustración Gráfica del Producto de dos Binomios co n un Término

Común.

Fuente: http://es.wikipedia.org

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2.6 TEOREMA DEL BINOMIO.

Como ya hemos vistos, un Binomio es la expresión algebraica que está formada

exactamente por dos términos separados por + o -, como x + y o ab - cd.

El teorema del binomio nos dice que la expresión general de un binomio

cualquiera, como (x + y), elevado a la n-ésima potencia está dada por:

( ) ( ) ( )( )...

321

21

21

1 33221 +⋅⋅

−−+⋅−++=+ −−− yx

nnnyx

nnynxxyx nnnnn

( ) nnn yynxyxnn ++⋅−+ −− 1122

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El desarrollo completo contiene n + 1 términos, empezando con el término cero y

terminando con el término n-ésimo. En este ejemplo, el término cero es xn. El

coeficiente genérico del término k en la expresión anterior es:

( )( )( ) ( )1 2 3 ... 1

1 2 3 4...( )

n n n n n k

k

− − − − +⋅ ⋅ ⋅

Este teorema fue formulado en la edad media y desarrollado (alrededor de 1676)

para exponentes fraccionarios por el científico inglés sir Isaac Newton, lo que le

permitió el uso de sus recién descubiertos métodos de cálculo para resolver

muchos problemas difíciles. El teorema del binomio, también llamado binomio de

Newton, es muy útil en varias ramas de las matemáticas, en particular en la teoría

de la probabilidad.

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Ejemplos de uso del Teorema del Binomio:

Para n=2, n=3, n=4:

Y si el binomio fuera una resta, aparecería el signo negativo intercalándose entre

cada monomio a partir del segundo monomio. Esto es:

( ) 4322344464 yxyyxyxxyx +−+−=−

Ahora bien, para calcular los coeficientes binomiales de cualquier binomio como

(x + y), elevado a la n-ésima potencia, podemos usar como una alternativa

práctica, el Triángulo de Pascal. El Triángulo de Pascal es un triángulo de

números enteros, infinito, y simétrico cuyas diez primeras líneas han sido

representadas en la ilustración siguiente:

Se construye de la siguiente manera: Se empieza por el « 1 » de la cumbre. De

una línea a la siguiente se conviene escribir los números con un desfase de media

casilla. Así, las casillas (que no se dibujan) tendrán cada una dos casillas justo

n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

n = 7

n = 8

n = 9

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encima, en la línea anterior. El valor que se escribe en una casilla es la suma de

los valores de las dos casillas encima de ella. El valor cero no se escribe.

Por ejemplo, en la última línea dibujada, el cuarto valor es 84 = 28 + 56, suma del

tercer y cuarto valor de la línea anterior.

Se observa, y no es difícil demostrarlo, que la capa exterior está formada de unos,

la segunda capa de los naturales en orden creciente, que los números no hacen

más que subir de una línea a la siguiente y que existe un eje de simetría vertical

que pasa por el vértice.

Sin embargo, el interés de este triángulo no radica en estas propiedades, sino en

el vínculo que tiene con el Álgebra elemental.

En efecto, las cifras 1; 2; 1 y 1; 3; 3; 1 recuerdan las identidades:

y

pues son los coeficientes de sus monomios . Este parecido no es casual y se

generaliza a cualquier potencia del binomio a + b.

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REFERENCIAS

Autores varios (2002) “Enciclopedia Libre Universal en Español” . Consultado

en Agosto 4, 2009 en

http://enciclopedia.us.es/index.php/Coeficiente_binomial_y_tri%C3%A1ngulo_de_

Pascal

Fernández, J.C. (2008) “Vitutor.com sitio web de libre acceso, y con contenidos

gratuitos para todos sus usuarios”. Consultado en Mayo 23, 2009 en

http://www.vitutor.com/ab/p/a_1.html#

Fundación Wikimedia (2001) “Wikipedia . La Enciclopedia Libre” Consultado en

Julio 28, 2009 en http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables

FORTEC, Formación y Tecnología S.L. (2009) Consultado en Julio 28, 2009 en

http://www.deberesmatematicas.com

Micronet. Enciclopedia Junior Micronet. Enciclopedia Multimedia. Micronet.

Microsoft (2006). Microsoft Encarta (2006). Biblioteca Premium. Microsoft,

Corporation.