1

Kinematyka punktu materialnego w mechanice klasycznej ########################################################################################## Autor : R. Waligóra ; data powstania dokumentu : 2008-09-30 ; ostatnie poprawki z dnia: 2008-12-28 ########################################################################################## Wprowadzenie Mechanikę klasyczną, zwaną mechaniką Newtonowską, ( w dalszej części pod pojęciem „mechanika” , należy rozumieć właśnie mechanikę klasyczną . Oprócz mechaniki klasycznej mamy bowiem m.in. mechanikę kwantową, mechanikę relatywistyczną i mechanikę falową ) możemy podzielić ogólnie na dwa obszerne działy : kinematykę i kinetykę. Kinetykę, z kolei możemy podzielić na : statykę i dynamikę. Prezentowany tekst ma za zadanie przedstawić główne idee i metody kinematyki. Ogólnie, mechanika – jest to nauka zajmująca się ruchem i oddziaływaniem wzajemnym ciał materialnych. Pod pojęciem - „ruch”, rozumiemy w naszym przypadku „ruch mechaniczny” tj. zmianę położenia ciała lub układu ciał materialnych , w przestrzeni i czasie. Mechanika jest częścią fizyki, a fizyka jak wiadomo jest nauką empiryczną. Zgodnie z metodologią nauk empirycznych, wszelkie modele teoretyczne (modelowane matematyczne) powinny opierać się na danych uzyskanych poprzez eksperyment lub obserwację. Wszystkie wprowadzone metody i modele mają lub powinny mieć oparcie w empirii. Opisem ruchu punktu materialnego bez uwzględnienia przyczyn tego ruchu zajmuje się dział mechaniki zwany „kinematyką”. W celu lepszego zrozumienia przedstawię jeszcze jedną - obszerniejszą definicje kinematyki : Kinematyka – rozdział mechaniki poświęcony badaniu ruchu ciał materialnych (zamiast pojęcie: „ciało materialne” stosuje się również, zamiennie nazwę: „punkt materialny” – pojęcia te zdefiniuje w dalszej kolejności ) z geometrycznego punktu widzenia tj. bez uwzględnienia przyczyn wywołujących ten ruch (sił, oddziaływań). Od geometrii kinematyka różni się tym, że przy rozpatrywaniu przemieszczeń ciał (ciała) w przestrzeni bierzemy pod uwagę czas w jakim to przemieszczenie zachodzi. Dlatego też kinematykę nazywa się niekiedy „geometrią czterowymiarową”, rozumiejąc czas jako czwarty wymiar. Do głównych zadań kinematyki należy opisanie jakościowe ruchu ciała (ciał, punktu materialnego) w danym układzie odniesienia tj. ustalenie sposobów za pomocą których możemy określić ruch ciał materialnych. Jak widać, w zależności od rodzaju rozpatrywanego „obiektu”, możemy mówić o kinematyce (podobnie zresztą jak i w przypadku dynamiki ) : punktu materialnego , ciała stałego (bryły materialnej ) , ośrodka ciągłego lub płynu. Zwyczajowo w pierwszej kolejności – biorąc pod uwagę również złożoność pojęciową teorii – omawia się kinematykę punktu materialnego. Do podstawowych pojęć kinematyki należą (kolejność mniej więcej odpowiada kolejności ich omówienia ) : -przestrzeń ( przestrzeń w której zachodzi ruch, przestrzeń konfiguracyjna) -czas (chwila, odcinek czasu, zdarzenie, zegar ) -punkt materialny (ciało materialne, bryła sztywna, układ punktów materialnych, układ fizyczny) -układ odniesienia (układ laboratorium, obserwator, urządzenie pomiarowe, pomiar ) -tor, droga ( przemieszczenie ,hodograf, odległość ) -ruch (przemieszczenie , przesunięcie, ruch względny, złożony, obrotowy) -prędkość (prędkość - średnia, chwilowa, kątowa, polowa ; szybkość) -przyspieszenie (przyspieszenie styczne, dośrodkowe ) Obecnie zajmę się szczegółowym omówieniem wprowadzonych powyżej pojęć. Należy zaznaczyć, że będziemy mówić o kinematyce punktu materialnego w mechanice klasycznej, w której to w/w pojęcia posiadają sens fizyczny ( i są wielkościami mierzalnymi, obserwowalnymi) . Przykładowo, w mechanice kwantowej niektóre pojęcia np. tor, bryła sztywna są pojęciami pozbawionymi sensu. W większości w/w pojęcia są pojęciami wyprowadzonymi na podstawie doświadczeń prowadzonych z ciałami makroskopowymi tj. znanych z życia codziennego. ( charakteryzującymi się dostrzegalnymi zmysłowo wymiarami : przestrzennymi lub czasowymi – jeśli mowa o zdarzeniach ). Można powiedzieć zatem, że mają one charakter fenomenologiczny.

2

1.Podstawowe pojęcia kinematyki Głównymi pojęciami kinematyki są : czas i przestrzeń. Ruch mechaniczny zachodzi, bowiem w czasie i przestrzeni. W mechanice przyjmujemy pojęcia czasu i przestrzeni wywodzące się od Newtona. Są to: czas absolutny i przestrzeń absolutna. Istnienie i własności tych pojęć zostały przez Newtona zapostulowane. Zgodnie z przyjętą aksjomatyką są one niezależne jedno od drugiego, nie zależą one również od innych własności fizycznych takich jak np. masa, prędkość, siła itp. „Absolutny, prawdziwy matematyczny czas sam przez się i ze swojej własnej natury płynie jednostajnie bez względu na cokolwiek zewnętrznego i inaczej nazywa się trwaniem” „Absolutna przestrzeń sama w swojej istocie bez względu na cokolwiek zewnętrznego pozostaje zawsze jednakowa i nieruchomą” Takie definicje podaje Newton w swojej fundamentalnej monografii pt. : „Philosophiae naturalis principia mathematica”. (przekład własny z książki pt. „Isaak Newton „Zasady matematyczne filozofii naturalnej”. red. L.S. Polak , Moskwa „Nauka” 1989 – książka w języku rosyjskim ) Są to jak powiedziałem postulaty - jak dzisiaj wiemy nie są one spełnione w ogólności. Teoretyczna struktura szczególnej i ogólnej teorii względności jak również mechaniki kwantowej, wymagają (co potwierdza eksperyment) wprowadzenia odmiennych (krańcowo odmiennych) definicji tych pojęć. Jednak co należy podkreślić , w skali makroskopowej tj. w skali codziennego ludzkiego doświadczenia, własności czasu i przestrzeni odpowiadają (z bardzo dobrym przybliżeniem) powyższym definicją. Czas Matematycznie czas jest modelowany jako oś skierowana (odcinek osi) liczb rzeczywistych, lub ogólnie jako podzbiór zbioru R – liczb rzeczywistych. Przejmuje on zatem wszelkie własności metryczne i topologiczne tej osi, lub zbioru. (m.in. ciągłość, jednowymiarowość, odległość – metrykę, interwał ). Wato również podkreślić, że zgodnie z takim matematycznym modelem, czas rozciąga się od minus nieskończoności (nieskończonej przeszłości) , do plus nieskończoności (nieskończonej przyszłości) , nie ma więc ani początku ani końca. Ruch mechaniczny (ruch swobodny) może zatem trwać wiecznie nie ma więc sensu dociekać ( w szczególności ) jego przyczyn. Dokładniej własności czasu omówione są np. w książce : Z. Augustynek „Własność czasu” PWN 1972. Ogólne omówienie pojęcia czasu i jego roli w rozwoju cywilizacji , można znaleźć np. w książce : G. J. Whitrow “Czas w dziejach” Prószyński i S-ka 1998 Z fizycznego punktu widzenia, czas jest parametrem zmienności ruchu. Interwał czasu mierzymy za pomocą urządzenia fizycznego zwanego „zegarem”. Od zegara wymagamy periodyczności (powtarzalności), danej dla badanego zagadnienia dokładności i niezależności od czynników zewnętrznych. Z doświadczenia wiemy, że czas jest jednorodny tj. punkt zerowy , na osi czasu możemy wybrać dowolnie lub inaczej - dowolne doświadczenie mechaniczne nie zależy od wybranej chwil początkowej. Nie trywialnym pytaniem jest problem izotropowości czasu tj. niezależności od wybranego kierunku upływu czasu. (w przeszłość lub przyszłość). Jak wiadomo równania mechaniki , które są równaniami różniczkowymi zwyczajnymi (rrz) drugiego rzędu (ogólnie) są symetryczne względem odbicia (odwrócenia) czasu. Należy jednak mieć na uwadze to, że dobrze postawiony problem dotyczący rozwiązania rrz musi zawierać warunki początkowe. Zadanie konkretnych warunków początkowych i równań ruchu całkowicie określa ten ruch. W związku z takim stwierdzeniem wypowiedzieć możemy tzw. „Zasadę przyczynowości Newtona” – początkowy stan układu mechanicznego tj. zbiór wartości początkowych położenia i prędkości w danej chwili czasu określa jednoznacznie cały ruch tego układu. Inne warunki początkowe, nawet przy takich samych równaniach ruchu określają inną rodzinę rozwiązań (torów) ruchu. A jak wiadomo pomiar jest zawsze wykonywany z pewną skończoną dokładnością , nie można więc , szczególnie dla pewnej klasy układów dynamicznych ( myślę tutaj o układach „wrażliwych” na warunki początkowe) określić dokładnie dalekiej przeszłości (lub dalekiej przyszłości) takiego układu. Ogólnie jednak w mechanice przyjmujemy, że ruch mechaniczny jest symetryczny względem punktu początkowego (zerowego na osi czasu). Zgodnie z tym możemy dokonać nie tylko nieskończonej predykcji (czyli przewidywania) zachowania się ciała , ale również nieskończonej w czasie retrodykcji (czyli zbadania jak zachowywało się ciało w przeszłości). Oczywiście jak dzisiaj wiemy (z badań dotyczących stabilności ruchu i dynamiki chaotycznej ) w ogólności takie prognozy (dotyczące nieskończonej przeszłości lub przyszłości ) są zazwyczaj nie uprawnione. Proste doświadczenia mechaniczne dotyczące badania ruchu układów ciał materialnych takich jak np. ruch wahadła, ruch w polu grawitacyjnym , potwierdzają słuszność idealizacji czasu jako wielkości izotropowej.

3

Już jednak analiza prostych układów termodynamicznych pokazuje, że taka idealizacja może nie być słuszna, w związku z tym istnieje cały szereg zagadnień ujętych pod wspólnym terminem „strzałka czasu”. W układzie SI jednostką czasu jest sekunda [s]. Sekunda – jest to czas równy 9192631770 okresom promieniowania odpowiadającego przejściu między dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu podstawowego atomu cezu 133 (J. M. Massalski , J. Studnicki „Legalne jednostki miar i stałe fizyczne” PWN 1988 ) Przestrzeń Matematycznie przestrzeń mechaniki modelowana jest jako trójwymiarowa przestrzeń Euklidesa (przestrzeń o metryce euklidesowej). Jak wiadomo jest to przestrzeń płaska, dopuszczająca globalnie, możliwość wprowadzenia ortogonalnych (prostokątnych) układów współrzędnych. Zazwyczaj wprowadzamy układ kartezjański tj. układ współrzędnych prostokątnych, prostoliniowy. Przestrzeń płaska jest przestrzenią jednorodną i izotropową, znaczy to, że przebieg dowolnego doświadczenia mechanicznego nie jest zależny od wyboru punktu odniesienia (punktu w którym rozpoczynamy doświadczenie) oraz kierunku w którym zachodzi ruch. (oczywiście mowa o przestrzeni „swobodnej” – przestrzeni bez pól ) Przestrzeń taką możemy wyobrażać sobie jako pewną arenę na której rozgrywają się zjawiska. Własności tej areny nie zależą od rozgrywających się na niej zdarzeń – w szczególności możemy mówić o zupełnie pustej arenie, tj. arenie bez zjawisk. Podobnie jest w przypadku czasu – czas Newtonowski (matematyczny) upływa bez względu na to czy istnieją zjawiska czy nie. Czas jest jak gdyby czymś zewnętrznym w stosunku do zjawisk. Z operacyjnego (instrumentalistycznego) punktu widzenia jest to oczywiście bez sensu – to dopiero zjawisko periodyczne konstytuuje czas i sposób jego pomiaru. Jak wiadomo współczesna fizyka wiąże ściśle pojęcia przestrzeni , czasu i zdarzeń – oddziaływań (pól). I tak, w kolejności i w szczególności : szczególna teoria względności wprowadza pojęcie czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego , łączącej w jednolitą strukturę geometryczna pojęcie czasu i przestrzeni, ogólna teoria względności wprowadza przestrzeń zakrzywioną (czterowymiarową przestrzeń Riemanna), na której nie można globalnie rozdzielić pojęć : czasu i przestrzeni a mechanika kwantowa wprowadza nieskończenie wymiarową przestrzeń Hilberta. Omawiając pojęcia przestrzeni i czasu dokonaliśmy pewnego wyboru tzw. areny zdarzeń - jest to czasoprzestrzeń Galileusza. Teraz na tą arenę należy wprowadzić pewne szczegółowe struktury matematyczne (geometryczne i algebraiczne) – m.in są to pojęcia : układu współrzędnych lub (ogólniejsze) pojęcie rozmaitości. Należy również zdefiniować pewne podstawowe pojęcia fizyczne , takie jak – punkt materialny , układ punktów materialnych , fizyczny układ odniesienia. Warto wspomnieć, że takie podejście przypomina pod pewnymi względami system aksjomatyczny współczesnych nauk dedukcyjnych tj. wprowadzamy zbiór aksjomatów i zasad dedukcji i na tej podstawie budujemy pewną teorię (wywodząc pewne twierdzenia). (zobacz [19] str. 9 ) W układzie SI jednostką długości jest metr [m] Metr – jest to długość drogi przebytej w próżni przez światło w czasie 1/299792458 [s] Układ odniesienia i układ współrzędnych Określić ruch punktu materialnego to znaczy określić zmianę jego położenia względem wybranego układu odniesienia w dowolnej chwili czasu. Ustalenie układu odniesienia (ciała odniesienia, układu laboratorium) stanowi podstawę jakiegokolwiek opisu ruchu , jest zatem kluczowym dla całej kinematyki. Nie można mówić o jakimkolwiek ruchu bez wskazania układu odniesienia według którego taki ruch opisujemy, można zatem powiedzieć , że ruch jest pojęciem względnym tj. dotyczy co najmniej dwóch punktów materialnych – nie ma ruchu bezwzględnego, samego w sobie – jest to kluczowe stwierdzenie dla całej fizyki i stanowi podstawę dla zasad względności. Jest to naturalna konsekwencja jednorodności przestrzeni – z każdym dowolnym punktem przestrzeni możemy związać - na zasadzie równouprawnienia - pewien układ odniesienia. Układem odniesienia - nazywamy ciało materialne lub układ ciał materialnych, wyposażone w zestaw przyrządów pomiarowych (prętów pomiarowych, zegarów, źródeł sygnałów elektromagnetycznych lub podobnych - równoważnych) Układ odniesienia jest zatem pojęciem makroskopowym (ze wszystkimi tego fizycznymi konsekwencjami). Pomiar parametrów kinematycznych ruchu ciała takich jak np. czas ruchu, przesunięcie, długość musi być jednoznaczny i ograniczony jedynie przez możliwości użytych przyrządów pomiarowych. Przyrządy mikroskopowe podlegają zasadą kwantowym min. zasadzie nieoznaczoności ,zatem nie mogą być użytecznymi – przynajmniej jeśli chodzi o kinematykę Newtonowską (klasyczną), mającą do czynienia z odległościami ,

4

czasami, masami - ogólnie skalami makroskopowymi. Widać stąd również, że pojęcia ugruntowane w kinematyce makroskopowej nie mogą być bezkrytycznie przenoszone (stosowane) na inne działy fizyki – szczególnie dotyczy to mechaniki kwantowej, kwantowej teorii pola, lub pewnych zagadnień ogólnej teorii względności. Układ odniesienia w powyższym sformułowaniu jest jednak bardzo użytecznym pojęciem, i może być stosowany (z pewnymi modyfikacjami) w szczególnej i ogólnej teorii względności. Z danym układem odniesienia wiążemy prawie nierozłącznie (w wielu sytuacjach nawet utożsamiamy – czasem słusznie czasem nie słusznie – w zależności od rozpatrywanego zagadnienia fizycznego) pojęcie – układu współrzędnych. I o ile „układ współrzędnych” jest abstrakcją fizyczną (modelem), to „układ współrzędnych” jest ścisłym (definiowalnym) pojęciem matematycznym. Od razu należy dodać, że z danym układem odniesienia możemy związać nieskończenie wiele - na ogół - różnych układów współrzędnych. (sytuacja odwrotna raczej nie może mieć zastosowania). Układ odniesienia możemy sobie wyobrazić jako pewne ciało materialne (punkt materialny, zobacz rys. 1) do którego „przyczepiono” trzy nieskończenie długie, absolutnie sztywne, odpowiednio wyskalowane, ułożone prostopadle pręty odmierzające długości w przestrzeni, ciało to wyposażone jest również w zegar -odpowiednio wyskalowany, jego wskazania pokazują upływ czasu absolutnego i mogą być odczytywane z dowolnej odległości przestrzennej. To założenie równoważne jest postulatowi istnienia sygnału fizycznego o nieskończonej prędkości rozchodzenia. Równoważnie - możemy również umieścić zegar w każdym, dowolnym punkcie przestrzeni albo przemieszczać jeden zegar nieskończenie szybko do dowolnego punktu w przestrzeni Oczywiście postulujemy, że na chód takiego zegara nie zmienia się po takim przesunięciu – jest to cecha czasu absolutnego.

Rys. 1 Układ odniesienia Układem współrzędnych – nazywamy zbiór reguł które opisują (reprezentują, jednoznacznie) każdy obiekt

(punkt) p, danej przestrzeni P (obszaru) , za pomocą odpowiedniego ciągu ( x1, ... , xn ), liczb rzeczywistych lub zespolonych , nazywanych współrzędnymi lub składowymi tego obiektu. Liczbę n – nazywamy wymiarem przestrzeni P.

Jak już powiedziano przestrzenią matematyczną mechaniki jest trójwymiarowa przestrzeń Euklidesa E3. Z punktu widzenia matematyki jest to przestrzeń liniowa (wektorowa) na której zadano metrykę euklidesową. ( szczegóły matematyczne przestrzeni Euklidesa omówione są w książkach : I. M. Gelfand „Wykłady z algebry liniowej” PWN 1975, A. I. Kostrykin „Wstęp do algebry – tom 2 ,algebra liniowa” WN-PWN 2007. lub innych dotyczących algebry liniowej ) Wybierając w przestrzeni Euklidesa pewien punkt – początek układu współrzędnych otrzymamy przestrzeń afiniczną. Przestrzeń afiniczna umożliwia wprowadzenie ważnych dla kinematyki pojęć : wektorów swobodnych i zaczepionych, długości wektorów oraz kątów między wektorami. Wraz z aparatem analizy wektorowej (zwłaszcza teorii równań różniczkowych zwyczajnych) geometria afiniczna umożliwia wyprowadzenie wszystkich pojęć mechaniki. Należy podkreślić iż istnieją możliwości wyprowadzenia mechaniki bazujące na przestrzeniach innego typu ,np. przestrzeni fazowych (przestrzenie symplektyczne) lub też wykorzystujące inne metody analityczne np. rachunek wariacyjny. (zobacz np. [12] ) Możemy wprowadzić następującą, abstrakcyjna definicję : Niech { O, e1, ... , en }- będzie reperem przestrzeni afinicznej P tj. bazą {e1, ... , en } przestrzeni liniowej V

razem z punktem O ∈ P – zwanym „początkiem układu współrzędnych” .

5

Definicja. Afiniczny (lub prostoliniowy) układ współrzędnych odpowiadający reperowi { O, e1, ... , en }, jest

to zbiór funkcji :

x = ( x1, ... , xn ) , xi : P - > R zdefiniowanych następująco :

xi (p) - ei (Op→ ) , i = 1, ...n (1.1)

{e1, ... , en } – jest bazą V* dualną do bazy {e1, ... , en } przestrzeni V.

Funkcje xi nazywamy funkcjami współrzędnościowymi reperu. Dla punktu p ∈ P zbiór liczb :

x(p) = (x1(p) , ... , xn(p) ) nazywamy „współrzędnymi punktu p” w układzie współrzędnych x = (x1, ... , xn ) Zauważmy ,że (1.1) jest równoważne :

Op→ = xi(p) • ei

tj. współrzędne punktu p są to współrzędne wektora wodzącego Op→, w bazie {e1, ... , en }

We współrzędnych kartezjańskich, trójwymiarowych mamy reper o postaci : {O, i, j , k } gdzie : i, j , k – są wersorami układu współrzędnych, O – jest początkiem układu współrzędnych. Każdemu punktowi przestrzeni P, możemy przyporządkować pewien wektor wodzący tj. zdefiniować pewną wektorofunkcje. (dokładnie zobacz tekst „Podstawy geometrii różniczkowej”, który stanowi teoretyczną podstawę dla dalszej części artykułu ). Położenie punktu w przestrzeni określa wektor (wektor wodzący tego punktu ) : r = x(α)i + y(α)j + z(α)k , gdzie α - jest ustalonym parametrem (1.2)

Rys. 2 Wektor wodzący punktu (geometrycznego) w przestrzeni Euklidesa we współrzędnych kartezjańskich W kinematyce parametrem α jest czas , oznaczany zwyczajowo symbolem - „t”. Jest to więc funkcja wektorowa zmiennej skalarnej. Każdemu punktowi w przestrzeni fizycznej możemy przypisać trzy liczby (x, y, z) – o stałej wartości, dla punktu nieruchomego w danym układzie odniesienia lub będące funkcjami czasu – dla punktu poruszającego się (w danym układzie odniesienia). Taką procedurę nazywamy „arytmetyzacją przestrzeni”. Powstaje pytanie czy taka arytmetyzacja może być wykonana zawsze i bez względu na rozważane parametry fizyczne. Jak łatwo się jest domyśleć – odpowiedź jest przecząca, jednak dla celów mechaniki , zakładamy, że jest to całkowicie wykonywalne. (zobacz np. : D. I. Błohnicew „Przestrzeń i czas w mikroświecie” Moskwa, Nauka 1982 – książka w języku rosyjskim ). Poprzez arytmetyzację przestrzeni (dla danego układu współrzędnych) możemy wprowadzić odpowiedni, dla tej arytmetyzacji układ współrzędnych.

6

Punkt materialny Punktem materialnym nazywamy ciało materialne o niezerowej masie ,którego rozmiary liniowe dążą do zera lub są dużo, dużo mniejsze od rozpatrywanych odległości przestrzennych. Możemy zatem powiedzieć, że punkt materialny to punkt w sensie geometrycznym posiadający własność fizyczną zwaną - „masa”. Masa jest parametrem dynamicznym dlatego zostanie ona zdefiniowana i omówiona w rozdziale dotyczącym dynamiki. Nie ma sensu pojęcie punktu materialnego który ma zerową masę (był by to punkt geometryczny), co najwyżej masa może być pomijalnie mała w porównaniu z innymi rozpatrywanymi masami. Często w zagadnieniach fizycznych przyjmujemy masę jednostkową tj. masę równą jednej przyjętej jednostce w której ją definiujemy. Jest to oczywiście idealizacja (model matematyczno fizyczny ), jest ona uprawniona w szczególnych warunkach np. jako punkt materialny możemy traktować Ziemię , rozważając jej ruch po ekliptyce, punktem materialnym możemy również nazwać samochód , rozpatrując jego ogólny ruch po torze, nie można by przyjąć takiej idealizacji gdyby chcieć rozpatrywać aspekty aeordynamiczne jego ruchu. Przyjęta idealizacja pozwala przypisać punktowi materialnemu pewien wektor tj. układ trzech funkcji skalarnych lub po prostu trzy współrzędne , zmieniające się w czasie. Położenie punktu materialnego może być określone jednoznacznie przez podanie jednego wektora. Układ ciał materialnych lub bryła materialna do jednoznacznego określenia położenia wymaga większej liczby wektorów. Naturalnym rozszerzeniem pojęcia punktu materialnego jest układ punktów materialnych i bryła sztywna . Bryłą sztywną nazywamy taki układ punktów materialnych ,w którym przy dowolnym jego ruchu odległości między punktami nie ulegają zmianie.

Rys. 3 Punkt materialny M, układ punktów materialnych , bryła sztywna. Tor ruchu punktu materialnego Krzywą geometryczną jaką zakreśla punkt materialny podczas swojego ruchu nazywamy „torem” tego punktu. Tor bywa również nazywany „trajektorią” – termin zaczerpnięty z balistyki lub „orbitą” – termin stosowany w astronomii. Z matematycznego punktu widzenia torem nazywamy wykres wektorofunkcji r = r (t) ,zgodnie z którą porusza się punkt materialny. Należy zauważyć , że przypisując punktowi materialnemu pewien ściśle określony tor , zakładamy, że możemy dokonać pomiaru o dowolnej dokładności , jego położenia w przestrzeni. Zakładamy bowiem ,że w każdej chwili czasu t (należącej do przedziału czasu w którym ruch jest określony ) punktowi materialnemu możemy przypisać jego wektor wodzący. Jest to oczywiście idealizacja niesłuszna w mechanice kwantowej. Ponadto zakładamy , że możemy rozróżnić jednoznacznie tor obserwowanego przez nas punktu materialnego od innych torów , lub co na jedno wychodzi ,że możemy rozróżnić obserwowany punkt materialny od innych punktów materialnych obecnych w danym obszarze przestrzeni. Założenie taki również traci sens w mechanice kwantowej np. elektron jak wiemy jest cząstką nierozróżnialną. Tor może być krzywą zamkniętą , przecinającą się lub linią prostą. Zazwyczaj zakładamy, że jest on krzywą gładką (prostowalną ) - zobacz tekst dotyczący podstaw geometrycznych. W zależności od „rodzaju” postaci ( właściwie od jej postaci geometrycznej ) funkcji r (t) możemy podzielić ruch następująco : gdy funkcja | r (t) | jest ograniczona - ruch nazwiemy ograniczonym, gdy funkcja r (t) jest okresowa – ruch nazywamy „okresowym” (periodycznym). Ruch będziemy nazywali „płaskim” , gdy tor leży całkowicie w pewnej ustalonej płaszczyźnie.

7

Droga Drogą - w przedziale czasu < t0 , t1 > - punktu materialnego nazywamy długość łuku , którą punkt materialny

zakreśla w tym przedziale czasowym podczas swego ruchu. Niech tor punktu materialnego P będzie określony w kartezjańskim układzie współrzędnych przez równanie postaci : r (t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k , gdzie : t ∈ < t0 , t1 > (1.3)

Jak wiadomo równanie to jest równoważne trzem równaniom skalarnym ; x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) Drogę przebytą przez ten punkt materialny możemy obliczyć za pomocą następującego wzoru : t1

s(t) = ∫ | r’ (t)| dt ; przez | . | - oznaczam wartość bezwzględną (1.4) t0

Mamy jednak : dr /dt = (dx/dt) i + (dy/dt) j + (dz/dt)k

Rys 4 Droga jako długość krzywej Zatem : t1

s(t) = ∫ sqrt [ (dx/dt)2 + (dy/dt)2 + (dz/dt)2 ] ; przez sqrt - oznaczam pierwiastek kwadratowy (1.5) t0

Jeżeli punkt materialny porusza się po jednej prostej, jego tor będzie opisywany przez jedno równanie skalarne (przy odpowiednim wyborze układu współrzędnych )np. postaci : x = x(t) Wtedy : s(t) = | x( t1) - x( t0 ) |

Droga będzie więc równa długości odcinka o początku w punkcie x( t0) i końcu

w punkcie x( t1). Jest to oczywiście najprostszy znany wzór na drogę stosowany dla ruchu odbywającego się po

ustalonej prostej. Dla przypadku w którym ruch odbywa się na ustalonej prostej tj. tor jest linią prostą zamiast wektorofunkcji r (t) możemy rozpatrywać funkcje drogi s = s(t), lub dla przypadku kiedy tor pokrywa się np. z osią Ox , możemy rozpatrywać funkcję x = x(t) Prędkość W kinematyce możemy rozróżnić kilka rodzajów prędkości : prędkość średnia, chwilowa, kątowa, polowa. Rozpocznijmy od definicji prędkości średniej. Wektorem prędkości średniej nazywamy stosunek przyrostu wektora wodzącego w dwóch położeniach 1 i 2 ,do czasu jaki zajmuje przejście od położenia początkowego 1 ,do położenia końcowego 2.

8

Rys. 5 Interpretacja geometryczna wektora ∆r (t) vśr = ∆r (t) / ∆ t (1.7)

∆r (t) = r (t2 ) - ∆r (t1) ; przyrost (skończony) wektora wodzącego

∆t = t2 - t1 ; czas potrzebny na przejście od punktu 1 do punktu 2

Wektor prędkości średniej posiada kierunek cięciwy , a jego wartość jest wielkością fizycznie mierzalną. We wszystkich pomiarach praktycznych wyznaczamy zawsze prędkość średnią, która zależy od odległości między punktami 1 i 2. Prędkość średnia zależy nie tylko od ruchu punktu , ale i od doboru punktów obserwacyjnych 1, 2. Zależność od takiego wyboru punktów możemy usunąć definiując wektor prędkości chwilowej. Wektorem prędkości chwilowej nazywamy granicę, do której zmierza wektor prędkości średniej, gdy przyrost czasu dąży do zera. v = lim ∆r (t) / ∆t = dr (t) / dt (1.8) ∆t ->0 Definicja 1. Wektor prędkości chwilowej jest pochodną wektora wodzącego względem czasu. Jak widać pojęcie prędkości chwilowej jest pojęciem abstrakcyjnym. Nie jest zatem pojęciem w oparciu o które moglibyśmy zbudować urządzenie mierzące prędkość – takim operacyjnym pojęciem jest pojecie prędkości średniej. Jednak dla fizyki ma ono większą, od tego ostatniego wartość , ponieważ charakteryzuje ono jednoznacznie ruch w danej chwili i w danym punkcie jednoznacznie. Zgodnie z rachunkiem różniczkowym funkcji wektorowej wiemy ,że pochodna wektora wodzącego jest wektorem stycznym do toru – zatem prędkość chwilowa ma kierunek i zwrot stycznej do toru. Zwrot wektora prędkości określa kierunek ruchu

Rys. 6 Wektor prędkości chwilowej v(t) Na podstawie wzoru (1.3) możemy napisać : dr (t) / dt = (dx(t)/dt ) i + (dy(t)/dt ) j + (dz(t)/dt ) k (1.9) lub : v(t) = vx(t) + vy(t) + vz(t) ; gdzie : vx(t) = (dx(t)/dt ) i ; vy(t) = (dy(t)/dt ) j ; vz(t) = (dz(t)/dt ) k ;

Moduł prędkości tj. wielkość : v = | v(t)| = sqrt ( vx2 + vy

2 + vz2 ) – nazywamy szybkością.

Jak widać wektor prędkości możemy przedstawić w postaci : v(t) = v αααα ; gdzie αααα - jest wersorem stycznej do toru i oczywiście αααα = αααα(t) Aby dowiedzieć się więcej o tym rozkładzie wykorzystajmy aparat geometrii różniczkowej. (zobacz tekst „Podstawy geometrii różniczkowej” ) Sparametryzujmy krzywą (tor) parametrem naturalnym s –drogą. r = r (s(t)) zatem :

9

dr/dt = (dr/ds ) (ds./dt) = t (ds/dt) ; gdzie t – jest wersorem stycznej do krzywej (toru) Zauważmy , że dla ruchu na ustalonej prostej mamy : v = ds./dt tzn. prędkość (w tym przypadku skalar) jest pochodną drogi względem czasu. Zadanie 1 Dane jest równanie ruchu : r (t) = r0 ( cos (ωt) i + sin (ωt) j ) + β t k ; gdzie : r0 , ω, β - dowolne stałe.

Obliczyć wektor prędkości , szybkość , podać równanie drogi. Jak widać torem jest krzywa przestrzenna, wektor prędkości ma postać : v(t) = d r (t) /dt = r0 ω ( - sin (ωt) i + cos (ωt) j ) + βk

v = sqrt ( r02 ω2 + β2 )

t1 t1 t1 t1

s(t) = ∫ | r’ (t)| dt = ∫ | v(t)| dt = ∫ v(t) dt = sqrt ( r02 ω2 + β2 ) t |

t0 t0 t0 t0 Równaniem kinematycznym (w odróżnieniu od równań dynamicznych Newtona) nazywamy równanie różniczkowe postaci : v(t) = dr (t)/dt lub równoważne trzy równania skalarne : dx/dt = vx(t) ; dy/dt = vy(t) ; dz/dt = vz(t)

Związane są one z zagadnieniem kinetycznym – mając daną zależność wektora prędkość punktu od czasu materialnego znaleźć opisującą jego położenie w czasie. Na koniec podkreślę jeszcze raz wektorowy charakter prędkości – prędkość jest wektorem ślizgającym się tj. wektorem którego punkt zaczepienia można przesuwać po prostej wyznaczonej przez wersor tego wektora. Dla zastosowań fizycznych istotną dogodnością wektorowego charakteru prędkości jest możliwość jej geometrycznego dodawania. Przykład 1. Mamy następujące zagadnienie : Pod jakim (stałym) kątem w stosunku do nurtu rzeki należy płynąć aby dopłynąć na przeciwległy brzeg w linii prostej. Niech nurt rzeki ma stałą prędkość v, łódka niech płynie ze stałą prędkością v’ . Odpowiedź podpowiada nam prawo wektorowego dodawania prędkości. Prędkość wypadkowa łódki jest dana wzorem : vwyp = v + v’ , kąt ϕ - jest to kat jaki tworzy wektor prędkości wypadkowej z wektorem v.

Rys. 7 Wektorowe prawo dodawania prędkości Przyspieszenie Wektorem przyspieszenia średniego nazywamy stosunek przyrostu wektora prędkości do przyrostu czasu. aśr = ∆v(t) / ∆ t (1.10)

Wektorem przyspieszenia chwilowego nazywamy granicę , do której dąży wektor przyspieszenia średniego , gdy przyrost czasu dąży do zera.

a = lim ∆v(t) / ∆t = dv(t) / dt = d2v(t) / dt2 (1.11) ∆t ->0 Definicja 2. Wektor przyspieszenia chwilowego jest równy drugiej pochodnej wektora wodzącego względem czasu.

a(t) = ax(t) + ay(t) + az(t) ; gdzie : ax(t) = (d2x(t)/dt2 ) i ; ay(t) = (d2y(t)/dt2 ) j ; az(t) = (d2z(t)/dt2 ) k ;

Moduł przyspieszenia jest dany wzorem :

a = | a(t)| = sqrt ( ax2 + ay

2 + az2 )

Rozkład wektora przyspieszenia na składowe: normalną i styczną

10

Zróżniczkujmy względem czasu zależność : v(t) = t (ds/dt) , otrzymujemy :

dv(t)/dt = d/dt [ t (ds/dt) ] = (dt /dt) (ds/dt) + t (d2s/dt2 ) ale : dt /dt = (dt /ds.) (ds./dt) = v (dt /ds.) oraz ds/dt = v, zatem :

a = v2 (dt /ds.) + t (dv/dt )

Jak jednak wiemy : dt/ds. ≡ t. = k n , gdzie k- jest krzywizną , n –wersorem normalnej do toru, zatem :

a = v2k n + t (dv/dt) lub a = (v2/ ρ) n + (dv/dt) t ; gdzie ρ =1/k – jest promieniem krzywizny toru , Jak widać wektor przyspieszenia możemy rozłożyć w przestrzeni trójwymiarowej na dwie składowe : a = anormalna + astyczna .

anormalna = (v2/ ρ) n ; astyczna = (dv/dt) t

Wielkości tak zdefiniowane nazywamy odpowiednio : wektorami przyspieszenia normalnego i stycznego

a = sqrt [ (anormalna )2 + (astyczna ) ]

Rys. 8 Reper lokalny n,b,t zaczepiony na krzywej będącej torem punktu materialnego. Przyspieszenie normalne nazywamy również “przyspieszeniem dośrodkowym”. Uwaga ! wektor przyspieszenia rozkłada się w ogólności na trzy składowe : a = anormalna + astyczna + abinormanla

Zgodnie z wzorami Freneta, składowa abinormanla jest jednak w naszym przypadku równa zeru.

Ponieważ abinormanla = 0 , widać , że wektor przyspieszenia w ogólnym przypadku leży na płaszczyźnie ściśle

stycznej, po tej stronie stycznej do toru , po której znajduje się środek jego krzywizny. Przyspieszenie normalne zależy odwrotnie proporcjonalnie od promienia krzywizny toru oraz od szybkości

Jeżeli torem jest linia prosta wtedy ρ -> ∝ (k = 1/ρ -> 0 ), a zatem anormalna = (v2/ ρ) -> 0, i przyspieszenie

a = astyczna = (dv/dt) t , zależy jedynie od zmiany szybkości.

Gdy v = const. – ruch nazywamy ruchem jednostajnym . Jak widać w ruchu jednostajnym :

a = anormalna = (v2/ ρ)

Gdy v = const. i ρ = const.- ruch nazywamy ruchem jednostajnym po kole

a = anormalna = (v2/ ρ)

Gdy v = const. i k = 0 – ruch nazywamy ruchem jednostajnym prostoliniowym i oczywiście : a = 0 Gdy astyczna = const. – ruch nazywamy ruchem jednostajnie przyspieszonym.

Gdy astyczna = const. i anormalna = 0 – ruch nazywamy jednostajnie przyspieszonym prostoliniowym.

Przyspieszenie może mieć znak dodatni lub ujemny. W przypadku przyspieszenia o znaku ujemnym mówimy o „opóźnieniu”. Jeżeli kierunki wektorów v i a są jednakowe to ruch jest przyspieszony, w przeciwnym wypadku jest ruchem opóźnionym.

11

Warto również wspomnieć, że spotyka się również pojęcie „drugiego przyspieszenia”, czyli pochodnej przyspieszenia po czasie. Wektor ten zdefiniowany jest wzorem : w = da /dt

w = d/dt [ (v2/ ρ) n + (dv/dt) t ] Powyżej dokonałem omówienia najważniejszych pojęć kinematycznych. Jak widać są one pojęciami mającymi niewątpliwy związek z obrazem ruchu obiektów, rzeczywistych i występujących w przyrodzie. Należy jednak zauważyć, że ich definicje są idealizacjami (abstrakcjami fizycznymi). W mechanice klasycznej idealizacje te są w większości przypadków słuszne i doskonale sprawdzają się w modelowaniu matematycznym w oparciu o które można wykonywać obliczenia z zaskakująco małym marginesem błędów. Warto wspomnieć , że abstrahowanie i idealizacja jako metoda fizyki teoretycznej stanowi klucz do wielu wydawać by się mogło beznadziejnie trudnych problemów. Zainteresowanego odsyłam do książek : „Modele matematyczne a rzeczywistość” – R. Hooke, D. Shaffer. PWN 1969 „Matematyka a świat fizyczny” – Morris Kline. PWN 1964 „Abstrakcja w matematyce i fizyce” – M. I. Kaganow, G. Ja.Lubarski Moskwa 2004 – książka po rosyjsku Następny punkt ma charakter bardziej matematyczny , wprowadza nas on bowiem do pewnej klasy układów współrzędnych wykorzystywanych w kolejnych rozdziałach i pozwalających zdefiniować dalsze pojęcia kinematyki. 2.Układy współrzędnych stosowane w kinematyce Jak już powiedziano najczęściej stosowanym układem współrzędnych wprowadzanym na trójwymiarowej

przestrzeni Euklidesa E3, jest układ ortokartezjański. Jest to układ prostoliniowy i prostokątny. Istnieją jednak pewne zagadnienia kinematyczne (dynamiczne lub ogólniejsze) w których celowe jest stosowanie innych układów współrzędnych. Zazwyczaj wybór takiego układu związany jest z prostszą postacią równań (a co z tym związane – łatwiejszym ich rozwiązaniem) otrzymywanych w takim, konkretnym układzie współrzędnych. Spośród wielu możliwych do zdefiniowania, ortogonalnych układów współrzędnych omówię trzy : kartezjański, sferyczny, walcowy. Są to układy krzywoliniowe prostokątne. Przegląd i omówienie innych układów można znaleźć w : „Matematyka w fizyce i chemii” – H. Margenau. G. M. Murphy. PWN 1962. (Dla zaspokojenie ciekawości dodam , że możemy również wprowadzić układy : elipsoidalne, sferoidalne, stożkowe, dwubiegunowe itp. ) Rozpatrzę w tej chwili w sposób ogólny krzywoliniowe układy współrzędnych. Położenie punktu materialnego można zadać nie tylko przy pomocy współrzędnych kartezjańskich (x, y, z) ale również dowolnych innych współrzędnych q1, q2, q3 . Współrzędne kartezjańskie mogą być oczywiście

wyrażone jednoznacznie przez te współrzędne : x = x(q1, q2, q3 ) , y = y(q1, q2, q3 ) , z = z(q1, q2, q3 )

I odwrotnie – współrzędne q1, q2, q3 mogą być wyrażone (przy spełnieniu warunku różnego od zera jakobianu

przekształcenia) jako funkcje współrzędnych x, y, z : q1= q1(x, y, z) , q2 = q2(x, y, z) , q3 = q3 (x, y ,z)

Współrzędne : q1, q2, q3 lub ogólnie qi ; gdzie i = 1,2,3 - będziemy nazywali „współrzędnymi uogólnionymi”.

Współrzędne uogólnione jak zobaczymy odgrywają podstawową rolę w mechanice analitycznej. Mamy zatem : qi = qi (t)

r = r (qi )

Linie qi = const , nazywamy liniami współrzędnościowymi.

∂r /∂qi = ( ∂x/∂qi ) ei = Hi ei ;

gdzie ei – wersory bazy krzywoliniowego układu współrzędnych Hi – współczynniki Lamego.

(zobacz np. „Wstęp do analizy wektorowej” – T. Trajdos-Wróbel. PWN 1959 )

12

Rys. 9 Reper krzywoliniowego układu współrzędnych

Hi = | ∂r /∂qi | = sqrt [ (∂x/∂qi )2 + (∂y/∂qi )

2 + (∂z/∂qi )2 ]

ei = (1/ Hi )(∂r /∂qi )

Współrzędne krzywoliniowe nazywamy ortogonalnymi jeżeli : ( e1 • e2 ) = ( e2 • e3 ) =( e1 • e3 ) = 0

W dalszym ciągu będziemy rozważali tylko układy ortogonalne. Mamy następujące wzory na różniczki współrzędnych : dx = (∂x/∂q1)dq1 + (∂x/∂q2)dq2 + (∂x/∂qi)dq3

dy = (∂y/∂q1)dq1 + (∂y/∂q2)dq2 + (∂y/∂qi)dq3

dz = (∂z/∂q1)dq1 + (∂z/∂q2)dq2 + (∂z/∂qi)dq3

Wektor prędkości w układzie krzywoliniowym (q1(t), q2(t), q3(t) ) ma postać :

v = dr /dt = (∂r /∂q1)(dq1/dt ) + (∂r /∂q2)(dq2/dt ) + (∂r /∂q3)(dq3/dt ) =

= H1(dq1/dt ) e1+ H2(dq2/dt ) e2+ H3(dq1/dt ) e3.

lub w skróconym zapisie : 3

v = Σ Hi (dqi/dt ) ei

i =1 Wielkości : Hi (dqi/dt ) = vi

Możemy traktować jako uogólnione składowe wektora prędkości. Uwaga. ! Jeżeli jakaś wielkość (fizyczna, matematyczna) zależy od czasu to często pochodną tej wielkości względem czasu nazywamy prędkością – dodając do tej nazwy odpowiednie określenie. Prędkości które do tej pory rozpatrywaliśmy nazywamy – „prędkościami liniowymi”. Są one, bowiem związane z pochodną długości linii lub łuku toru względem czasu. Pochodną względem czasu dowolnej współrzędnej uogólnionej q nazywamy „prędkością uogólnioną”. Jako współrzędne uogólnione w mechanice analitycznej możemy wybrać dowolne wielkości charakteryzujące ruch danego punktu materialnego lub złożonego układu fizycznego. W szczególności może to być kąt (jak dalej zobaczymy dla np. współrzędnych sferycznych ). Wtedy pochodną tego kąta względem czasu nazywamy „prędkością kątową”. Wektor przyspieszenia w układzie krzywoliniowym (q1(t), q2(t), q3(t) ) ma postać :

a = d2r /dt2 = dv /dt ( w ogólnym przypadku jest to dosyć złożone wyrażenie ) Znajdźmy rozkład wektora przyspieszenia (przyjmując, że układ krzywoliniowy jest ortogonalny ) : 3

a = Σ ai ei

i =1 aqi = ai ei = (1/ Hi )(∂r /∂qi ) (dv /dt) = (1/ Hi ){ d/dt [ v (∂r /∂qi )] - v d/dt (∂r /∂qi )}

aqi – rzut wektora przyspieszenia na kierunek linii współrzędnej qi .

d/dt (∂r /∂qi )= (∂2r /∂qi ∂q1)(dq1/dt ) + (∂2r /∂qi ∂q2)(dq2/dt ) + (∂2r /∂qi ∂q3)(dq3/dt ).

13

a ponieważ : v = (∂r /∂q1)(dq1/dt ) + (∂r /∂q2)(dq2/dt ) + (∂r /∂q3)(dq3/dt )

to : ∂v/∂q1 = d(∂r /∂qi )/dt oraz ∂v/∂(dq1/dt) = (∂r /∂qi )

dlatego : aqi = (1/ Hi ){d/dt [ v (∂r /∂qi )] - v (∂v/∂qi )}

Wprowadźmy oznaczenie T = ½ mv2. W mechanice analitycznej wielkość ta będzie nazwana „energią kinetyczną” cząstki o masie m poruszającej się z prędkością v. Z wykorzystaniem wielkości T, mamy dalej : aqi = (1/ Hi ) { [ d/dt (∂T/∂qi ) ] - (∂T/∂qi )}; i = 1,2, 3

Kartezjański układ współrzędnych Układ kartezjański jest układem prostoliniowym i prostokątnym. Dla tego układu mamy : Hi = 1 ; i = 1,2 ,3

e1 = i , e2 = j , e1 = k .

i • i = j • j = k • k =1, i • j = j • k = k • i =0, Jak wiadomo istnieją dwa równoprawne rodzaje układów kartezjańskich : prawo i lewo skrętny. Zazwyczaj posługujemy się układem prawoskrętnym dla którego słuszna jest reguła śruby prawoskrętnej. (zobacz np. : Zarys teorii wektorów i tensorów” – E. Karaśkiewicz. PWN1976 , str. 38-40)

Rys. 10 Układy kartezjańskie Cylindryczny (walcowy) układ współrzędnych W cylindrycznym układzie współrzędnych położenie punktu M w przestrzeni określają : q1 = ρ - odległość punktu M od ustalonej prostej Oz

q2 = ϕ - kąt utworzony przez płaszczyznę przechodzącą przez oś Oz i punkt M z ustaloną płaszczyzną xOz

q1 = z – wartość zorientowanego odcinka na osi Oz

14

Rys. 11 Cylindryczny (walcowy) układ współrzędnych. Położenie punktu M zadane jest więc funkcją : M = M(ρ, ϕ, z) ; 0 ≤ ρ < + ∝ , 0 ≤ ϕ < 2π , -∝ < z < + ∝. Związki między współrzędnymi walcowymi i współrzędnymi ortokartezjańskimi są następujące : x = ρ cos (ϕ) , y = ρ sin (ϕ) z = z

ρ = sqrt (x2 + y2 + z2 ) , ϕ = arctg (y/x) = arcsin(y/ρ) , z = z Współczynniki Lamego :

H1 = sqrt [ (∂x/∂ρ)2 + (∂y/∂ρ)2 + (∂z/∂ρ)2 ] = 1

H2 = sqrt [ (∂x/∂ϕ)2 + (∂y/∂ϕ)2 + (∂z/∂ϕ)2 ] = ρ

H3 = sqrt [ (∂x/∂z)2 + (∂y/∂z)2 + (∂z/∂z)2 ] = 1

Wersory : e1 = eρ = cos (ϕ) i + sin (ϕ) j

e2 = eϕ = -sin (ϕ) i + cos (ϕ) j

e3 = k

Składowe cylindryczne wektora prędkości są równe : vρ = H1 (dρ/dt) = dρ/dt

vϕ = H2 (dϕ/dt) = ρ (dϕ/dt)

vz = H3 (dz/dt) = dz/dt

Składowe cylindryczne wektora przyspieszenia są równe :

aρ = d2ρ/dt2 - ρ (dϕ/dt)2

aϕ = ρ(d2ϕ/dt2 ) + 2 (dϕ/dt) (dρ/dt)

az = (d2z/dt2 )

Zadanie2.1 Wyrazić wektor prędkości : vk = vx i + vy j + vzk , zapisany we współrzędnych kartezjańskich we

współrzędnych walcowych. vw = vρ eρ+ vϕ eϕ + vz k

vρ = vx cos (ϕ) + vy sin (ϕ)

vϕ = - vx sin (ϕ) + vy cos (ϕ)

vz = vz

Wzory te wyrażają rzuty wektora prędkości vk na kierunki eρ, eϕ , k poprzez rzuty vx , vy , vz .Mamy również

vx = vρ cos (ϕ) - ρ vϕ sin (ϕ)

vy = vρ sin (ϕ) + ρ vϕ cos (ϕ)

vz = vz

Ostatecznie mamy więc : vw = [vx cos (ϕ) + vy sin (ϕ)] eρ + [ - vx sin (ϕ) + vy cos (ϕ)] eϕ + vz k

vk = [ vρ cos (ϕ) - ρ vϕ sin (ϕ)] i + [vρ sin (ϕ) + ρ vϕ cos (ϕ)] j + vz k

Sferyczny (biegunowy) układ współrzędnych W sferycznym układzie współrzędnych położenie punktu M w przestrzeni określają : q1 = r - odległość punktu M od ustalonego punktu O (biegun)

q2 = θ - kąt utworzony przez wektor wodzący r punktu M z ustaloną półprostą Oz (oś biegunowa)

q3 = ϕ – kat utworzony przez płaszczyznę przechodzącą przez oś Oz i punkt M , ze stałą płaszczyzną xOz

Położenie punktu M zadane jest więc funkcją : M = M(r, θ, ϕ) ; 0 ≤ r < + ∝ , 0 ≤ θ < π , 0 < ϕ < 2π. Związki między współrzędnymi walcowymi i współrzędnymi ortokartezjańskimi są następujące : x = r sin (θ) cos (ϕ) , y = r sin (θ) sin (ϕ) z = r cos (θ)

r = sqrt (x2 + y2 + z2 ) , θ = arctg {sqrt [(x2 + y2 ) / z ]} , ϕ = arctg (y/x) Współczynniki Lamego :

H1 = sqrt [ cos2 (θ) sin2(θ) + sin2(θ) sin2(θ) + cos2 (θ) ] = 1

15

H2 = sqrt [ r2 sin2(ϕ) sin2(θ) + r2 cos2 (ϕ) sin2(θ)] = r sin(θ)

H3 = sqrt [ r2 cos2(ϕ) scos2(θ) + r2 sin2 (ϕ) cos2(θ) + r2 sin2(θ)] = r

Wersory : e1 = er = cos (ϕ) sin(θ) i + sin (ϕ)sin(θ) j + cos(θ) k

e2 = eϕ = -r sin (ϕ) sin(θ) i + r cos (ϕ)sin(θ) j

e3 = eθ = r cos (ϕ) cos(θ) i + r sin (ϕ) cos(θ) j – r sin(θ) k

Jak widać wersor eϕ leży w płaszczyźnie (x, y) , a wersor er jest skierowany w dół.

Składowe sferyczne wektora prędkości są równe : vr = H1 (dr/dt) = dr/dt

vϕ = H2 (dϕ/dt) = r sin(θ) (dϕ/dt)

vθ = H3 (dθ/dt) = r (dθ/dt)

Składowe sferyczne wektora przyspieszenia są równe :

ar = d2r/dt2 – r [(dϕ/dt)2 sin2(θ) + (dθ/dt)2 ]

aϕ = 2 (dr/dt) (dϕ/dt)sin(θ) + 2 r (dϕ/dt) (dθ/dt) cos(θ) + r (d2ϕ/dt2 ) sin(θ)

aθ = r (d2θ/dt2 ) + 2 (dr/dt) (dθ/dt) – r (dϕ/dt)2 sin(θ) cos(θ)

Rys. 12 Sferyczny układ współrzędnych. Często rozpatrujemy ruch płaski wykorzystując współrzędne biegunowe. wtedy funkcja opisująca położenie punktu M ma postać : M = M(r, ϕ). Dla tego przypadku składową vr – nazywamy prędkością radialną,

składową vϕ – nazywamy prędkością transwersalną. (analogiczne nazwy mamy dla rozkładu wektora

przyspieszenia ) vbieg. = vr er + vϕ eϕ = (dr/dt ) er + (dϕ /dt) eϕ

Rys.13 Rozkład wektora prędkości w biegunowym układzie współrzędnych

16

er = cos (ϕ) i + sin (ϕ) j

eϕ = -sin (ϕ) i + cos (ϕ) j vr = dr/dt

vϕ = r (dϕ/dt)

Zatem rozpisując dla układu kartezjańskiego otrzymujemy : vkart. = (dr/dt) (cos (ϕ) i + sin (ϕ) j ) + r (dϕ/dt) (-sin (ϕ) i + cos (ϕ) j ) = [ (dr/dt) cos (ϕ) – r (dϕ/dt) sin (ϕ) ] i +

+ [ (dr/dt) sin(ϕ) + r (dϕ/dt)cos (ϕ)] j . Wzory te oczywiście są identyczne jak dla różniczkowania zależności wejściowych, postaci : x = r cos (ϕ) , y = r sin (ϕ) [10, str. 55 ] 3.Ruch po okręgu o stałym promieniu Rozpatrzymy teraz szczególny przypadek ruchu - mianowicie ruch punktu materialnego po okręgu. Zagadnienie analizy ruchu po okręgu jest istotnym z punktu widzenia fizyki i wiąże się ściśle z ruchem harmonicznym. Wzmiankowany ruch jest ruchem płaskim i okresowym, którego tor jest krzywą zamkniętą. W celu jego przeanalizowania skorzystamy z dogodności jego zapisu w biegunowym układzie współrzędnych. Oczywiście wybór takiego krzywoliniowego układu współrzędnych w sposób naturalny podyktowany jest przez symetrię osiową tego ruchu.

Rys. 13 Ruch po okręgu Niech promień okręgu wynosi r =const. lub R =const .Zatem funkcja opisująca ruch ma postać : M = M(θ) Położenie punktu M na okręgu określamy jednoznacznie podając kąt biegunowy ϕ, liczony np. od osi Ox. Mamy zatem funkcje opisująca ruch postaci : ϕ = ϕ(t) [rad ] vbieg. = vϕ eϕ = (dϕ /dt) eϕ

vkart. = r (dϕ/dt) [cos (ϕ) j – sin (ϕ) i ]

a ponieważ : eϕ = -sin (ϕ) i + cos (ϕ) j zatem : v = r (dϕ/dt) eϕ . [m/s] – jest to prędkość liniowa (3.1)

Wektor prędkości liniowej ma kierunek styczny do toru Wielkość : dϕ /dt – nazywamy „prędkością kątową” . Kąt mierzymy zwykle w radianach . Zgodnie z analizą wymiarową wymiarem prędkości kątowej jest [1/s] lub [rad/s] Prędkość kątową oznaczamy : ω = dϕ/dt [1/s] Drogę przebytą przez ten punkt możemy zapisać wzorem : s = ϕ r (co wynika z całkowania wzoru (3.1) )

a = d/dt [r (dϕ/dt) eϕ ] = r d/dt [ (dϕ/dt) eϕ ] = r [ (d2ϕ/dt2) eϕ + (dϕ/dt) (deϕ /dt) ] = rα eϕ - rω2 er . (3.2)

gdzie: α = dω/dt – jest przyspieszeniem kątowym, rω2 – jest przyspieszeniem dośrodkowym (radialnym) ponieważ ma kierunek przeciwny do wersora er , rα - jest przyspieszeniem stycznym (transwersalnym)

o kierunku wersora eϕ .

17

Rozważmy ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych : r (t) = R cos (ϕ) i + R sin (ϕ) j ; ϕ = ϕ(t) v(t) = r (t)/dt = - R (dϕ/dt) sin (ϕ) i + R (dϕ/dt) cos (ϕ) j = R (dϕ/dt) [cos (ϕ) j - sin (ϕ) i ] Jak widać zatem wersor eϕ - jest wersorem stycznym do toru , możemy zatem napisać : eϕ = t

v(t) = | r (t)/dt | = R (dϕ/dt) – szybkość (skalar) Zatem : v(t) = R (dϕ/dt) eϕ co oczywiście jest zgodne z wzorem (3.1)

Mamy oczywiście również : v(t) = (ds./dt) t = R (dϕ/dt) eϕ Ze wzorów Freneta mamy :

a = v2k n + t (dv/dt) lub a = (v2/ ρ) n + (dv/dt) t ,ale mamy również wzór (3.2) :

a = rα eϕ - rω2 er . (3.3)

Sprawdźmy czy są one tożsame. W pierwszej kolejności zauważmy , że : n = er = cos (ϕ) i + sin (ϕ) j (dla ruchu płaskiego)

Zatem : a = rα t - rω2 n . Mamy również : v = r (dϕ/dt) = rω oraz dv/dt = r (d2ϕ /dt2 ) = rα Podstawiając upewniamy się w słuszności i równoważności obu wzorów. Zastanówmy się teraz dokładniej nad prędkością kątową ω = dϕ/dt .

Jest to wielkość pseudowektorowa – tj. wektor osiowy o kierunku ϕϕϕϕ0 – prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory r i v.

Rys. 14 Kierunek wektora ω Prędkość liniową punktu materialnego możemy wyrazić jako iloczyn wektorowy wektora prędkości kątowej - ω i wektora położenia - r . v = ω × r (3.4)

18

Rys.15 Zależności definiujące wzór (3.4) Wektor przyspieszenia ma zatem postać : a = dv/dt = d/dt ( ω × r ) = (dω/dt )× r + ω × (dr /dt) = (dω/dt )× r + ω × v (3.5) a = astyczne + aradialne = (dω/dt )× r + ω × v (3.6)

Wzór (3.6) jest oczywiście tożsamy z wzorem (3.3). aby się o tym przekonać wystarczy zauważyć , że :

ω × v = ω × ( ω × v ) = ω ( ω • v ) - r ( ω • ω ) = -rω2 . (zobacz np. „Wstęp do fizyki współczesnej – tom I, podstawy teoretyczne“ – J. Kociński ,PWN 1977,str. 16-18. Rysunki 14, 15 zaczerpnięto z tej właśnie, bardzo ciekawej książki ) 4. Ruch harmoniczny Ruch harmoniczny jest ważnym przypadkiem ruchu drgającego , w którym to punkt materialny w sposób periodyczny (okresowy) zmienia swoje położenie, pozostając stale w pobliżu położenia równowagi. Mówimy ,że ciało jest w ruchu harmonicznym wokół położenia równowagi x0 = 0 , jeżeli wychylenie x z tego położenia jest

sinusoidalną funkcją czasu : x(t) = A cos (ωt + α ), A – amplituda ruchu harmonicznego (maksymalne wychylenie z położenia równowagi ) α - faza początkowa ruchu harmonicznego (przesunięcie fazowe). Ruch harmoniczny możemy sobie wyobrazić jako rzut na oś pionową lub poziomą kolejnych położeń punktu poruszającego się po okręgu , o środku w początku układu współrzędnych ze stałą prędkością kątową ω. Przykładem ruchu harmonicznego może być ruch wahadła dla małych wychyleń (wtedy zgodnie ze wzorem : x(t) = r cos (ϕ) mamy r = A. α = 0 , ω = dϕ/dt. Można również skorzystać z rzutu składowej y = y(t ), otrzymane wzory będą analogiczne ) Czas : T = 2π / ω [s] – nazywamy okresem ruchu harmonicznego, jest to czas pełnego obiegu punktu po okręgu. Częstość drgań : n = 1/T = ω / 2π [1/s] Prędkość : dx/dt = - A ω sin (ωt + α ) Przyspieszenie :

d2x/dt2 = - Aω2 cos (ωt + α ) = - ω2x.

Rys. 16 Obraz ruchu harmonicznego rzutowanego na oś y. (Zainteresowanego odsyłam do książki pt. „Pola i ruch” – W. Gorzkowski, A. Szymacha , WSiP 1983 , rozdział 1 ) 5. Prędkość polowa, przyspieszenie polowe Rozpatrzmy punkt poruszający się po pewnej krzywej. Niech w czasie ∆t zakreśli on łuk AB (zobacz rys. 17 ) W tym czasie promień wodzący r , tego punktu przemieści się o ∆r . Wielkość ½ | r × ∆r | stanowi pole trójkąta AOB. Wielkość : S = lim ½ | r × ∆r | / ∆t - nazywamy prędkością polową punktu materialnego M względem środka O. ∆t -> 0

19

Mamy oczywiście :

S = lim ½ | r × v | [ m2 / s ] Wektor prędkości polowej ma kierunek wyznaczony zgodnie z kierunkiem wektora | r × v |

Rys. 17 Definicja prędkości polowej punktu materialnego względem środka O Pochodną względem czasu , prędkości polowej S nazywamy „przyspieszeniem polowym”. A = dS/dt = ½ [ (dr /dt) × v + r × (dv/dt ) ] jednak : (dr /dt) × v = 0 , zatem : A = ½ ( r × a ) (zobacz np. [10] ,str. 56 ; [16] , str. 77 , rysunek 17 zaczerpnięto z [16] ) 6. Przykłady zagadnień kinematycznych Rozpatrzymy teraz kilka zadań charakterystycznych dla kinematyki. ZADANIE 1. Ruch punktu materialnego na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych , opisują równania :

x = a cos2 (t ) ; y = a sin2 (t ) ; z = 0 , a – stała. Znaleźć : tor punktu, zależność drogi od czasu

W pierwszej kolejności zauważmy ,że : x + y = a [cos2 (t ) + sin2 (t ) ] = a , zatem torem punktu w układzie OXY jest prosta o równaniu : y = a – x. Ze wzoru (1.2) mamy : t1 t1 t1

s(s) = ∫ | r’ (t)| dt = ∫ sqrt [ (dx/dt)2 + (dy/dt)2 ] = ∫ sqrt [ (- 2a sin(t) cos(t) )2 + (2a sin(t) cos(t)2 ] dt = t0 t0 t0

= 2√2 a sin2(t) + s0

ZADANIE 2. Równania ruchu punktu materialnego są dane : x = 2cos (3t) ; y = 2sin(3t) ; z = 2t Wyznaczyć promień krzywizny toru. Promień krzywizny toru wyznaczymy ze wzoru :

20

a = (v2/ ρ) n + (dv/dt) t ; W tym celu obliczamy :

vx = -6sin (3t) ; vy = 6cos (3t) ; vz = 2 ; v = sqrt [ (vx )2 + (vy )

2 + (vz )2 ] = 2√10 = const.

ax = -18cos (3t) ; ay = -18sin (3t) ; az = 0 ; a = sqrt [ (ax )2 + (ay )

2 + (az )2 ] = 18 = const.

Jak widać : dv/dt = 0 , zatem : a = (v2/ ρ) , więc :

18 = ( 2√10 )2 / ρ => ρ = 40/18 Z geometrii różniczkowej mamy wzór na krzywiznę krzywej w przestrzeni postaci :

k = sqrt { { [(x’ )2 + (y’ )2 + (z’ )2 ] [ (x’’ ) 2 + (y’’ )2 + (z’’ )2 ] - (x’ x’’ + y’y’’ + z’z’’) 2 }\

\ [ (x’ )2 + (y’ )2 + (z’ )2]3 } ; gdzie x’ ≡ dx/dt ; y’ ≡ dy/dt ; z’ ≡ dz/dt ; Zatem :

k = sqrt { { [(vx )2 + (vy )2 + (vz )2 ] [ ( ax )

2 + (ay )2 + (az )2 ] - ( vx ax+ vy ay + vz az )

2 }\

\ [(vx )2 + (vy )2 + (vz )2 ]3 } = sqrt {[ (vx )2 + (vy )

2 + (vz )2 ] [ ( ax )2 + (ay )2] - ( vx ax+ vy ay )

2 ] \

\ [(vx )2 + (vy )2 + (vz )2 ]3}

Po podstawieniu odpowiednich danych możemy przekonać się o tożsamości wyników – co pozostawiamy czytelnikowi. ZADANIE 3. Ruch punktu materialnego na płaszczyźnie w biegunowym układzie współrzędnych , opisują równania : r = r0 ( 1 - ct) , ϕ = ct / (1 – ct), gdzie r0 = const. , c =const.

Znaleźć : tor punktu, składowe : radialną i transwersalną wektora prędkości oraz szybkość składowe : radialną i transwersalną wektora przyspieszenia oraz jego moduł. Na początku znajdźmy postać funkcji r = r(ϕ) Po rugowaniu i podstawieniu otrzymamy : ct = ϕ / 1 + ϕ r = r0 [ 1 - ϕ / (ϕ + 1) ] = r0 / 1 + ϕ

Zatem torem punktu jest spirala hiperboliczna. Korzystając ze wzorów (patrz opis sferycznego układu współrzędnych ) : vr = dr/dt ; vϕ = r (dϕ/dt)

otrzymujemy :

vr = - cr0 ; vϕ = r [c / (1 – ct)2 ] = [ r0 ( 1 - ct) ][c / (1 – ct)2 ] = r0 c / (1 – ct)

v = sqrt ( vr2 + vϕ2 ) = [ r0c / (1 – ct) sqrt ( 2- 2ct + c2t2 ) = (r0c / r ) sqrt ( r2 + r0

2 )

Dalej dla wektora przyspieszenia mamy :

ar = d2r/dt2 – r (dϕ/dt)2 ; aϕ = 2 (dr/dt) (dϕ/dt) + r (d2ϕ/dt2 )

Zatem :

ar = - c2r04 / r3 ; aϕ = 0

a = sqrt ( ar2 + aϕ2 ) = ar .

(wykorzystano zadanie 1.14 ze zbioru „Zadania i problemy z fizyki, tom I” – A. Hennel , W. Krzyżanowski , W. Szuszkiewicz, K. Wódkiewicz. WN-PWN 1997 ) 7. Transformacja układów odniesienia. Jak już powiedziano przestrzeń mechaniki klasycznej jest jednorodna i izotropowa. Dlatego z każdym punktem w przestrzeni możemy związać początek układu współrzędnych prosto lub krzywoliniowych. Możemy również wybrać dowolnie – kierując się względami wygody i prostoty, prowadzonych rachunków – bazę tego układu współrzędnych. I wreszcie – możemy wybrać dowolnie orientacje układu współrzędnych. W mechanice klasycznej, żadne zjawisko nie narzuca jakiegoś, szczególnego konkretnego układu współrzędny.

21

Tak samo jest z wyborem układu odniesienia - układ odniesienia możemy związać z dowolnym ciałem (punktem) materialnym. Wybór układu odniesienia jest kwestią konwencji , wygody lub specyfiki danego zagadnienie fizycznego. Każdy obserwator może wybrać najdogodniejszy dla siebie układ odniesienia. W związku z powyższym naturalnym wydaje się pytanie o związki (ich postać ) matematyczne i fizyczne zachodzące między różnymi układami współrzędnych. Z matematycznego punktu widzenia pytamy o zasady transformacyjne jakim podlegają rozpatrywane obiekty geometryczne - skalary, wektory , tensory - przy dopuszczalnych przekształceniach układów współrzędnych. Takimi dopuszczalnymi rodzajami transformacji dla mechaniki klasycznej, są jak wiadomo ( zobacz rozdział III – dodatku matematycznego ) transformacje izometryczne. Są to transformacje zachowujące metrykę ( odległości i kąty ). Z rachunku wektorowego znamy postać takich wzorów. Z fizycznego punktu widzenia pytamy - znając już matematyczne zależności – o interpretacje tych przekształceń. W dalszej części zakładamy że wszyscy obserwatorzy posługują się układami prostokątnymi prostoliniowymi o jednakowej orientacji. Oczywiste jest również ( bo wynika to z całej struktury mechaniki klasycznej ), że czas dla wszystkich układów odniesienia biegnie w sposób jednakowy i niezależny od zjawisk zachodzących w tych układach a w szczególności nie zależy od prędkości względnej , masy , przyspieszenia itp. Transformacją izometryczna czasu jest transformacja postaci : t’ = kt + t0. lub t = t’ + t’0.

gdzie : t0 – jest pewną stałą , zależną od wyboru chwili początku odmierzania czasu i w szczególności możemy

przyjąć, że: t0 = 0 => t = t’

Można pokazać prostym rachunkiem , że k = ± 1 ; k = -1 odpowiada odwróceniu kierunku czasu. Izometrie czasu składają się zatem z : „translacji” czasowych i odwrócenia czasu. Pamiętać należy oczywiście, że mówimy cały czas wyłącznie o kinematyce klasycznej. a). Translacja. Najprostszą transformacją izometryczną jest transformacja polegająca na przesunięciu (translacji) początku O układu współrzędnych U o stały (niezmienny w czasie ) wektor R.

Rys. 18 Przesunięcie początku układu odniesienia bez zmiany kierunku osi o stały wektor R. Mamy zatem następującą sytuacje : Wektor wodzący punktu P w układzie odniesienia (współrzędnych) (O, x, y, z) jest dany zależnością : r = r (t). Wektor wodzący punktu P w układzie odniesienia (współrzędnych) (O’, x’, y’, z’) jest dany zależnością : r’ = r’ (t). Początek układu U’ - w stosunku do początku ,O układu U - przesunięty jest o wektor R . Oczywiście z punktu widzenia obserwatora w układzie U’ – to początek O, układu U - przesunięty jest o wektor –R. Pytanie jakie sobie stawiamy polega na znalezieniu (symetrycznych) zależności między funkcjami wektorowymi r = r (t).i r’ = r’ (t). Wykorzystując prawa algebry wektorów otrzymujemy : r’ (t) = r (t) – R lub r (t) = r’ (t) + R. Rozpisując na składowe otrzymujemy :

22

x’(t) = x(t) – rx(t)

y’(t) = y(t) – ry(t)

z’(t) = z(t) – rz(t)

Dla prędkości mamy odpowiednio następującą zależność : v = v(t) = dr /dt => v’ = d/dt ( r (t) – R ) = dr /dt = v. A zatem dla przyspieszenia otrzymamy : a’ = a Wniosek. Translacja nie zmienia prędkości i przyspieszenia b) Translacja o wektor zmienny w czasie – szczególna transformacja Galileusza. Załóżmy teraz, że wektor R jest wektorem zmiennym w czasie. W ogólnym przypadku zmieniać się może w czasie jego kierunek , zwrot i długość. Różniczkując zależność R =R(t) po czasie otrzymamy prędkość z jaką porusza się układ U’ względem układu U. V = dR(t) /dt v’ (t) = v(t) – V(t) lub v(t) = v’ (t) + V(t) I odpowiednio dla przyspieszenia : a’(t) = a(t) – A(t) lub a(t) = a’(t) + A(t) gdzie : A(t) = dV(t)/dt – jest przyspieszeniem z jakim porusza się układ U’ w stosunku do układu U. Nie tracąc ogólności założymy teraz, że osie układu U i U’ są równoległe, przyjmijmy również, że wektor R = R(t) ma stały zwrot i jest on zgodny ze zwrotem osi : Ox , O’x’. Mamy zatem jedną składową prędkości V. V = i vx.

Odpowiednio mamy : x’(t) = x(t) – rx(t) = x(t) - vxt

y’(t) = y(t) z’(t) = z(t) v’x (t) = vx(t) – Vx(t)

v’y (t) = vy(t)

v’z (t) = vz(t)

Są to dobrze znane wzory szczególnej transformacji Galileusza. W zależności od punktu widzenia – jak bowiem wiadomo obserwatorzy O i O’ są równouprawnieni – ruch punktu materialnego względem układu O nazywa się – „ruchem bezwzględnym”, ruch punktu względem układu O’ – nazywamy „ruchem względnym” ( względem układu O ! ) , a ruch układu O’ względem układu O – nazywamy ruchem unoszenia. Zgodnie z taką terminologią mamy odpowiednio – prędkość bezwzględną , prędkość względna i prędkość unoszenia. Jak widać fizyczna interpretacja translacji zmiennych w czasie nie stanowi problemu. A dzięki wektorowemu charakterowi występujących wielkości fizycznych ( ważnym jest podkreślić, że rozpatrywana przestrzenią wektorową jest płaska przestrzeń Euklidesa ) mamy jasny obraz wielkości złożonych takich jak np. prędkość względna.

23

Rys. 19 Podsumowanie dla transformacji układów współrzędnych która składa się jedynie z translacji – stałych i zmiennych w czasie. c) Obroty. Obroty wokół stałego punktu lub osi stanowią bardzo ważną w fizyce podgrupę grupy izometrii. Na początek załóżmy, że środki układów współrzędnych pokrywają się tj. O = O’, a punkt materialny spoczywa w układzie O tj. r =const. oraz R =const. Mamy zatem : r ’(t) = X(t) r Gdzie X(t) – jest pewnym operatorem zmiennym w czasie – w naszym przypadku będzie to macierz ortogonalną o parametrach zależnych od czasu. Jest to oczywiście macierz obrotu układu U’ względem układu U. W ogólnym przypadku wektor prędkości kątowej będzie wektorem o zmiennym kierunku, chociaż można założyć , że ma on stały kierunek np. osi Oz (będzie to zatem obrót do okoła osi Oz ). Ponieważ r = const. to v = 0 , a = 0 W tej chwili zastosuje pewną metodę wzorowaną na [ 18, 19] – i chociaż jest ona nie w pełni matematycznie poprawna oddaje fizyczną istotę zagadnienia. Obliczmy teraz v’ i a’. v’ = dr ’/dt = d/dt [ X(t) r ] = (dX/dt) r . Policzmy czym jest wielkość : (dx/dt) tj. pochodna operatora obrotu względem czasu. Jak wiadomo macierz X(t) możemy przedstawić w postaci iloczynu macierzy : Az = ( cos(ϕ) sin(ϕ) 0 ) Ax = ( 1 0 0 ) Ay = ( cos(ϕ) 0 sin(ϕ) )

( sin(ϕ) -cos(ϕ) 0 ) ( 0 cos(ϕ) -sin (ϕ) ) ( 0 1 0 ) ( 0 0 1 ) ( 0 sin(ϕ) cos(ϕ) ) ( -sin(ϕ) 0 cos(ϕ) ) W których w ogólnym przypadku : ϕ = ϕ (t) Zatem : X = X(ϕ(t)) => dX/dt = (dX/dϕ) (dϕ/dt), Oznaczmy : dϕ/dt = ω – prędkość kątowa. v’ = (dX/dϕ) ω r . Operator dX/dϕ – potraktujmy jako operator transformacji baz : ei -> ei’.

Widać więc , że w układzie U’ punkt ma prędkość liniową o postaci : v = ω × r.

24

a’ = dv’/dt = d/dt [(dX/dϕ) ω r ] = (d2X/dtdϕ)ω r + (dX/dϕ)(dω/dϕ) r . Oznaczmy : dω/dt = α – przyśpieszenie kątowe.

Obliczmy czemu jest równe : (d2X/dtdϕ) = d/dϕ ( dX/dt) = d/dϕ [ (dX/dϕ) (dϕ/dt)] = (d2X/dϕ2) ω Zatem :

a’ = (d2X/dϕ2) ωω r + (dX/dϕ) α r .

Jak widać gdy α = 0 mamy tylko przyspieszenie (dośrodkowe ) postaci : a’ = (d2X/dϕ2) ωω r . Wielkości te dobrze jest porównać z wzorami (3.3) – (3.6). Rozpatrzmy teraz przypadek w którym: r = r(t) tj. punkt materialny porusza się (ruchem niejednostajnym – w ogólnym przypadku) w układzie U’. r = r (t) ; v = dr (t)/dt ; a = dv(t)/dt ; R =const. r ’(t) = X(t) r (t) v’ = dr ’/dt = d/dt [ X(t) r (t) ] = (dX/dt) r (t) + X(t) dr (t)/dt = (dX(t)/dϕ) ω r (t) + X(t) v(t). a’ = d/dt [ (dX(t)/dϕ) ω r (t) + X(t) v(t) ] = d/dt [ (dX(t)/dϕ) ω r (t) ] + d/dt [ X(t) v(t) ] d/dt [ X(t) v(t) ] = (dX(t)/dϕ) ω v(t) + X(t) a(t).

d/dt [ (dX(t)/dϕ) ω r (t) ] = (d2X/dϕ2) ω ω r + (dX(t)/dϕ) d/dt [ ω(t) r (t)] = (d2X/dϕ2) ω ω r + (dX(t)/dϕ) α r + + (dX(t)/dϕ) ω v . Zatem :

a’(t) = (dX(t)/dϕ) α r (t) + (d2X/dϕ2) ω ω r (t) + (dX(t)/dϕ) ω v(t) + (dX(t)/dϕ) ω v(t) + X(t) a(t).

a’(t) = (d2X/dϕ2) ω ω r (t) + (dX(t)/dϕ) α r (t) + 2 (dX(t)/dϕ) ω v(t) + X(t) a(t). Składowa : 2 (dX(t)/dϕ) ω v(t) – nazywa się przyspieszeniem Coriolisa.

Składowa : (d2X/dϕ2) ω ω r (t) – jest to przyspieszenie dośrodkowe. Składowa : (dX(t)/dϕ) α r (t) – jest przyspieszeniem kątowym.

Jak widać (nie formalnie) - operatory : (d2X/dϕ2), (dX(t)/dϕ) , X(t) – można traktować jako „wersory” układu U’. Pozostaje nam teraz rozpatrzyć najogólniejszy przypadek w którym : r = r (t) ; v = dr (t)/dt ; a = dv(t)/dt ; R = R(t) r ’(t) = X(t) r (t) + R(t) . v’(t) = d/dt [X(t) r (t) + R(t)] = (dX(t)/dϕ) ω r (t) + X(t) v(t) + V(t).

a’ = d/dt [ (dX(t)/dϕ) ω r (t) + X(t) v(t) + V(t)] = (d2X/dϕ2) ω ω r (t) + (dX(t)/dϕ) α r (t) + 2 (dX(t)/dϕ) ω v(t) + X(t) a(t) + A(t). gdzie : V = dR(t)/dt ; A = dV(t)/dt . Przeprowadzona analiza pozwala wyrobić sobie ogólny pogląd dotyczący zagadnienia przekształceń izometrycznych układów współrzędnych – układów odniesienia. Formalne wyprowadzenie omówionego powyżej „macierzowego” sposobu transformacji można znaleźć np. [20, str. 20 ]. Wymaga on min.

wprowadzenia tensora prędkości obrotowej. Ogólnie metoda ta pokazuje, że : de’ i /dt = (dSim/dt) STmj ej .

gdzie : ej – baza układu U ; e’ i – baza układu U’ ; Sim – macierz przejścia U -> U’

ωij = (dSim/dt) STmj - jest tensorem obrotu.

Dokładne ( i formalne )wyprowadzenie wzorów transformacyjnych można znaleźć np. [1, str. 202 ; 5 str. 22 ] Wzór dla najogólniejszej transformacji ma formę : v’ = v + V + ω × r . v’ = vlin + vrot .

gdzie : vlin = v + V – jest składową prędkości liniowej ; vrot = ω × r – jest składową prędkości rotacyjnej .

a’ = a + A + acor + adośr. + αααα × r

acor = 2 ω × r - przyspieszenie Coriolisa.

adośr. = ω × ( ω × r ) – przyspieszenie dośrodkowe.

Wektor przyspieszenia Coriolisa jest prostopadły do wektorów ω i v. Wektor ten znika kiedy punkt P spoczywa w U’ lub gdy wektory ω i v są równoległe. Składowe acor i adośr. wektora a’ są wynikiem ruchu względnego układów U i U’.

Wzory te są wzorami ogólnej transformacji Galileusza.

25

Jak widać ze wzoru na ogólną postać transformacji izometrycznej R’ = XR + A – w ogólnym przypadku ma ona postać złożenia obrotu , translacji i odbicia. Omówiliśmy już translacje i obroty, Pytanie co z odbiciami ? Zwykle przyjmuje się zgodną orientacje wszystkich wprowadzonych układów współrzędnych a zatem zakłada się operator X(t) jako macierz ortogonalną o wyznaczniku równym jeden tj. macierz nie zmieniająca orientacji układu współrzędnych. W ogólnym przypadku można było by jednak dopuścić macierze o wyznaczniku równym –1. Pytanie tylko jaki miałoby to sens fizyczny ? . Przyjmuje się, że przestrzeń Euklidesa jest rozmaitością orientowalną w sposób gładki, zatem przyjęcie jednej orientacji w przestrzeni Euklidesa ma pewne uzasadnienie – jej zmiana (nie ciągła ) raczej nie jest dopuszczalna w obszarach określoności stosowanych układów współrzędnych, co ma i jeszcze jedno uzasadnienie – wektor prędkości kątowej ω jest jak wiadomo pseudowektorem , musiałby on przy zmianie orientacji układu, doznawać skokowej zmiany kierunku. Takie zagadnienia pozostawiam jednak otwartymi i być może powrócę do nich rozważając globalne własności czasoprzestrzeni. (zobacz pewne uwagi związane z tym tematem w książce pt. „Teoretyczne podstawy kosmologii” – M. Heller. PWN 1988 str. 32 ). Już, bowiem prosta analiza zachowania składowej przyspieszenia Coriolisa na powierzchni Ziemi pokazuje zmianę kierunku wektora orientacji powierzchni i potrzebę odejścia od modelu płaskiej przestrzeni (na kuli w tym konkretnie przypadku ) Ograniczając się do kinematyki klasycznej pozostańmy jednak, przy jednej ustalonej i nie zmieniającej się orientacji, wprowadzonej na nieskończonej przestrzeni Euklidesa w sposób ciągły za pomocą np. śruby prawoskrętnej. Ogólna grupa Galileusza. Ogólna grupy Galileusza - jak widać – jest złożeniem (iloczynem) wszystkich omówionych przekształceń izometrycznych czasu i przestrzeni. Jej parametrami są : trzy składowe prędkości względnej : V(t) = ( Vx(t), Vy(t), Vz (t) )

trzy składowe wektora translacji : R ( Rx , Ry , Rz )

trzy składowe prędkości kątowej : ω(t) = ( ωx(t), ωy(t), ωz (t) )

jedna składowa translacji czasowej : t = t0 Można jeszcze dodać do niej (w szczególnym przypadku ): trzy składowe obrotu początkowego : αααα = ( αx , αy , αz )

współczynniki odbić przestrzennych i czasowych : K = ± 1. Zastanówmy się teraz nad jeszcze jedną kwestią (którą to można już zakwalifikować jako zagadnienie dynamiki ), mianowicie – układy odniesienia które można przeprowadzić jedne w drugie za pomocą tylko i wyłącznie translacji są pod względem dynamicznym równoważne i stanowią ważna klasę układów odniesienia, są to oczywiście – inercjalne układy odniesienia (IUO). Jak widać ze wzorów ruch który odbywa się bez przyspieszenia tj. a = 0 i A = 0, będzie takim w każdym innym IUO tj. a’ = 0 dla wszystkich układów. W przypadku układów rotujących względem wybranego układu odniesienia U ta zasada jest już nie spełniana – pojawiają się w nich niezerowe składowe wektora a’ , zatem układy rotujące nie są układami inercjalnymi. Widać więc, że jedyną transformacją zachowująca inercjalny charakter układu odniesienia jest szczególna transformacja Galileusza.

26

Rys. 20 Podsumowanie dla transformacji układów współrzędnych która składa się z translacji i obrotów zmiennych w czasie.

27

8. Czasoprzestrzeń. Do tej pory rozważałem odwzorowanie T -> P w którym T∈ R1 (czas) ,P ∈R3(przestrzeń) obrazujące tor punktu materialnego.

Rys. 21 Odwzorowanie T -> P. Warto teraz zastanowić się czy „połączenie” przestrzeni i czasu w jednolitą matematyczną strukturę ( przestrzeń) może mieć fizyczne uzasadnienie i czy może prowadzić do nowych wyników. Obecnie wiemy – patrząc z perspektywy STW - , że pojęcie czasoprzestrzeni wprowadzone przez H. Minkowskiego było nie trywialnym i owocnym posunięciem. Pytanie jest następujące czy czasoprzestrzeń ma sens tylko dla STW ?. Na początek chciałbym zauważyć , że modele matematyczne które rozpatruje są modelami opartymi na rozmaitościach gładkich ( różniczkowych ) dla których topologię określa metryka. Pojęciem kluczowym jest więc przestrzeń metryczna – wiadomo jednak , że rozmaitość może opierać się na innym pojęciu np. rozbiciu symplicjalnym ( zobacz np. „Wprowadzenie do topologii” część II – R. Duda PWN 1986) oraz , że struktura metryczna na rozmaitości nie jest jedyną możliwą strukturą ( możemy wprowadzić np. strukturę afiniczną ) Osobiście jednak uważam , że struktura metryczna jest najbardziej oczywistą strukturą dla zastosowań fizycznych – takie pojęcia jak pomiar długości lub czasu oraz stosowane wzorce (miary) wydają się intuicyjnie przemawiać za takim wyborem ( jest to zrozumiałe zwłaszcza dla mechaniki klasycznej ). Naturalnym wydaje się więc żądanie aby wykorzystywane przestrzenie były przestrzeniami metrycznymi a co z tym związane charakteryzowały się odpowiednią grupą izometrii. Rozpatrzmy zatem pierwszą możliwość wprowadzenia pojęcia czasoprzestrzeni. Czasoprzestrzeń Arystotelesa. Rozważmy pewien wyróżniony układ odniesienia ( np. związany ze środkiem Ziemi , która w modelu kosmologicznym Arystotelesa stanowiła absolutny , nieporuszony układ odniesienia ). Wszelki ruch jest zatem związany z tym układem.

Rozważmy teraz przestrzeń R1× R3 tzn. przestrzeń będącą iloczynem kartezjańskim czasu i przestrzeni.

Przestrzenie R1i R3 mają oczywiście jedną metrykę euklidesową , można zatem pokazać , że metryka

przestrzeni R1× R3 (metryka produktowa ) również będzie euklidesowa , ma ona postać :

ρ(xi , t) = sqrt[ ( t1 – t2)2 + ( xi1 – xi2)2 ] = sqrt[ ( t1 – t2)2 + ( x1 – x2)2 + ( y1 – y2)2 + ( z1 – z2)2 ]

Jest to więc metryka o sygnaturze ( + + + + ) Jak widać :

( t1 – t2)2 + ( x1 – x2)2 + ( y1 – y2)2 + ( z1 – z2)2

---------- ---------------------------------------------- absolutne absolutne Odpowiedni grupą działającą w przestrzeni Arystotelesa jest grupa : r’ = k r + R ; k, R =const. t’ = t + t0.

R = ( Rx , Ry , Rz )

αααα = ( ωx , ωy , ωz )

Tzn. transformacje układ U, mogą polegać jedynie na translacji o stały w czasie wektor R i obrocie o stały w czasie kąt αααα (mowa oczywiście o trzech katach Eulera ). Dla tego typu transformacji mamy zawsze : v’ = v ; a’ = a .

28

W układzie Arystotelesa możemy sensownie mówić o odległości czasowej dwóch zdarzeń zachodzących w różnych w miejscach przestrzeni oraz o odległości przestrzennej dwóch zdarzeń nie równoczesnych np. odległości przestrzennej między bitwą pod Grunwaldem a miejscem narodzin Mickiewicza. (we wszystkich możliwych układach odniesienia ta odległość przestrzenna będzie taka sama ) Czasoprzestrzeń Arystotelesa jest przestrzenią metryczną i posiada pewien (ograniczony ) sens fizyczny. Czasoprzestrzeń Galileusza. Zastanówmy się teraz , jakie własności ma czasoprzestrzeń związana z mechanika Newtonowską tj. czasoprzestrzeń Galileusza. Jak wiemy, pierwsza zasada dynamiki wyróżnia nie jeden ale cała klasę układów odniesienia. Pojęcie absolutnego spoczynku traci zatem sens. Wiemy również , że grupa Galileusza pozostawia niezmienniczymi odcinki czasowe i przestrzenne tzn. możemy mówić osobno o czasie i przestrzeni absolutnej. Pytanie co z odcinkami czasoprzestrzennymi ?. Dwa zdarzenia nazywamy „równoczesnymi” ( w danym układzie odniesienia ) jeżeli ich odległość możemy wyrazić w postaci :

ρ(xi , t ) = sqrt[ ( xi1 – xi2)2 ] = sqrt[ ( x1 – x2)2 + ( y1 – y2)2 + ( z1 – z2)2 ]

tj. ich odległość w czasoprzestrzeni jest tylko „przestrzenna” Dwa zdarzenia zachodzą w jednym punkcie przestrzeni jeżeli ich odległość możemy wyrazić w postaci :

ρ(xi , t) = sqrt[ ( t1 – t2)2 ] = sqrt[ ( t1 – t2)2 ]

tj. ich odległość w czasoprzestrzeni jest „czasowa“ Grupa Galileusza działająca w czasoprzestrzeni Galileusza zachowuje równoczesność zdarzeń tzn. dwa zdarzenia równoczesne w układzie odniesienia U , będą równoczesne w każdym innym układzie U’. Inaczej mówiąc różnica czasu między dwoma zdarzeniami nie zależy od wyboru układu odniesienia. [11, str.11] Dwa zdarzenia zachodzące w jednym punkcie przestrzeni U mogą już, nie zachodzić w jednym punkcie w układzie U’. Zatem :

( t1 – t2)2 + ( x1 – x2)2 + ( y1 – y2)2 + ( z1 – z2)2

---------- ---------------------------------------------- absolutne względne W czasoprzestrzeni Galileusza, możemy mówić sensownie o odległości czasowej między dwoma zdarzeniami zachodzącymi w różnych miejscach przestrzeni (np. odległości czasowej między bitwa pod Grunwaldem narodzinami Mickiewicza ), ale nie ma sensu określenie odległości przestrzennej dla dwóch zdarzeń nie jednoczesnych ( np. nie ma sensu podawać odległości przestrzennych między wspomnianymi wydarzeniami – można bowiem wybrać taki układ współrzędnych w których ta odległość będzie inna). Dlatego też w czasoprzestrzeni Galileusza nie możemy wprowadzić metryki produktowej tj. czasoprzestrzeń

Galileusza nie jest iloczynem kartezjańskim postaci : R1× R3. Nie jest zatem przestrzenią metryczną i nie może posiadać grupy izometrii. ( możliwe jest jednak wprowadzenie innej struktury – struktury afinicznej, polecam szczególnie [15] ) ( właściwiej było by powiedzieć , że czasoprzestrzeń Galileusza jest przestrzenią metryczną, ale grupa Galileusza jej nie zachowuje tj. grupa Galileusza nie jest izometrią. Prezentowane poniżej przykłady metryk czasoprzestrzennych mają podobną własność ) Możemy pokusić się o pewne rozwinięcie tematu i wprowadzić czasoprzestrzenie (niemetryczne ) dla których :

a). ( t1 – t2)2 + ( x1 – x2)2 + ( y1 – y2)2 + ( z1 – z2)2

---------- ---------------------------------------------- względne względne W takiej czasoprzestrzeni dwa zdarzenia równoczesne w U nie były by równoczesne ( w ogólności ) w U’ , dwa zdarzenia zachodzące w jednym miejscu w U nie zachodziły by ( w ogólności ) w jednym miejscu w U’. Pojęcie czasu i przestrzeni absolutnej traciły by zupełnie sens. (może to przypominać sytuacje znaną z STW jednak jak wiadomo dla STW kluczowym jest wprowadzenie metryki pseudoeuklidesowej )

b). ( t1 – t2)2 + ( x1 – x2)2 + ( y1 – y2)2 + ( z1 – z2)2

---------- ---------------------------------------------- względne absolutne

29

W takiej czasoprzestrzeni jak widać czas traci absolutny charakter a jego upływ zależy od odległości przestrzennych. Dozwolone są „statyczne” układy odniesienia przesunięte o wektor i/lub obrócone o pewien kąt. Naturalnym jest , to że rozważając powyższe sytuacje musimy mieć na uwadze zgodność z danymi doświadczalnymi. A jak pokazują doświadczenia „najwłaściwszą” dla mechaniki klasycznej jest czasoprzestrzeń Galileusza. Zastanówmy się jeszcze nad jednym zagadnieniem , mianowicie jako dopuszczalne transformacje między układami odniesienia przyjęliśmy izometrie , wiadomo jednak , że ogólniejszą grupą są podobieństwa. Dlaczego więc nie dopuścić podobieństw ? Odpowiedź jest prosta – prowadziło by to do nieznanego z doświadczenia zjawiska w którym punkt materialny posiada niezerową prędkość w układzie U’ nawet w przypadku zerowych prędkości względnej i unoszenia. (wynika to ze zmienności przez podobieństwo K =K(t) wektora r = const. ) Zatem izometrie przestrzenne są właściwymi przekształceniami dla przestrzeni. Przekształcenie podobieństwa dla czasu prowadziło by do konstatacji , iż te same zjawiska dla różnych obserwatorów (w szczególności spoczywających względem siebie ) przebiegają szybciej lub wolniej. Zatem izometrie czasowe również są właściwymi przekształceniami dla czasu. W czasoprzestrzeni b). w szczególnym przypadku by do pojęcia wielowymiarowego czasu (co odpowiednio wprowadzało by pojęcie „obrotu czasowego” ). A to prowadziło by do tego , że zjawiska równoczesne w układzie (absolutnym) U nie były by równoczesnymi np. dla obserwatora przesuniętego o stały wektor R = const. – czego oczywiście nie obserwujemy w przyrodzie. A skoro tak to możemy również wykluczyć czasoprzestrzeń postaci a). Widać więc , że dane eksperymentalne pozwoliły sprecyzować konkretny model czasoprzestrzeni mechaniki klasycznej i wskazać jego własności (niemetryczne). Należy jednak zauważyć, że opieramy się cały czas na strukturze mechaniki klasycznej co jest, oczywiście sporym ograniczeniem. Wprowadzenie sił grawitacji oraz rozważenie zjawisk elektrodynamicznych pozwala wprowadzić kolejne struktury na rozmaitości czasoprzestrzennej. Bibliografia Literatura podstawowa Przedstawiony artykuł został napisany z wykorzystaniem następujących książek : (podano w kolejności wzrastania stopnia trudności wyłożonego materiału) 1). “Wstęp do fizyki – tom 1 „ – A. K. Wróblewski, J. A. Zakrzewski, PWN 1989 2). „Mechanika klasyczna – tom I, II” – John R. Taylor , WN-PWN 2006 3). „Mechanika teoretyczna” – Piotr Wilde, Mieczysław Wizmur ,PWN 1984 4). „Mechanika Teoretyczna” – W. Rubinowicz, W. Królikowski , WN-PWN 1998 5) „Wstęp do mechaniki klasycznej” – Krzysztof Stefański, WN-PWN 1999 6) „Mechanika ogólna” – Zbigniew Osiński , WN-PWN 2000 7) „Mechanika” – Bogdan Skalmierski , WN-PWN 1998 8) „Mechanika klasyczna” – G. Białkowski , PWN 1975 9) „Mechanika teoretyczna” – J. J. Olchowski, PWN 1978 10) „Mechanika” – S. Banach , PWN 1956 11) „Mechanika klasyczna” – R. S. Ingarden, A. Jamiołkowski, PWN 1980 12) „Metody matematyczne mechaniki klasycznej” – W. J. Arnold, PWN 1981 Literatura uzupełniająca 13) „Feynmana wykłady z fizyki” tom 1 cz. 1, WN PWN 2001 14) „Mechanika” – C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, PWN 1973 15) „Fizyka ruchu i czasoprzestrzeni” – M. Heller, WN-PWN 1993 16) „Mechanika teoretyczna” – G. K .Susłow, PWN 1960 17) „Fizyka matematyczna tom 1 – klasyczne układy dynamiczne” – W. Thirring, PWN 1985 Literatura w języku rosyjskim 18) „Mechanika klasyczna” – G. Goldstein 19) „Podstawy mechaniki teoretycznej” – W. F. Żurawliew, Moskwa Fizmatlit 2001 20) „Wykłady z mechaniki teoretycznej” – Ju. G. Pawlenko, Moskwa Fizmatlit 2002

30

21) „Mechanika teoretyczna” – A. P. Markjew, Moskwa, 1999 22) „Struktura czasoprzestrzeni” – R. Penrose Moskwa Mir 1972 ##########################################################################################