Literatura:

• Henryk Głowacki Mechanika techniczna, statyka i kinematyka

• Jan Misiak Mechanika techniczna, tom 1,2

Kinematyka

Prędkość i przyśpieszenie w układzie kartezjańskim

1. Równanie ruchu punktu materialnego ma postać: ~r = A cos(ωt)~ı+A sin(ωt)~.Jak wygląda tor punktu? Jak zależy od czasu wektor prędkości i przyśpie-szenia tego punktu?

Prędkość jest zawsze styczna do toru. Zatem przyśpieszenie styczne at torzut prostopadły wektora przyśpieszenia na kierunek wektora prędkości, aprzyśpieszenie normalne an to różnica przyśpieszenia i jego składowej stycz-nej.

Dla ruchu po okręgu mamy an = v2

r. Dla ruchu po dowolnym torze pro-

mień krzywizny może się zmieniać od punktu do punktu i można go wyzna-czyć ze wzoru t = v2

an

2. Równanie ruchu punktu materialnego ma postać: ~r = A cos(ωt)~ı+B sin(ωt)~.Jak wygląda tor punktu? Jak zależy od czasu wektor prędkości i przyśpiesze-nia tego punktu? Wyznacz promień krzywizny toru dla ωt = 0, ωt = π

2 , ωt =π4 .

3. Równanie ruchu punktu materialnego ma postać: ~r = A cos(ωt2)~ı+A sin(ωt2)~.Jak wygląda tor punktu? Jak zależy od czasu wektor prędkości i przyśpie-szenia tego punktu? Znajdź zależność od czasu przyśpieszenia stycznego inormalnego. Wyznacz promień krzywizny toru w dowolnym punkcie.

4. Równanie ruchu punktu materialnego ma postać: ~r = A cos2(ωt)~ı+B sin2(ωt)~.Jak wygląda tor punktu? Jak zależy od czasu wektor prędkości i przyśpie-szenia tego punktu?

5. Równanie ruchu punktu materialnego ma postać: ~r = v0x · t~ı+ v0yt− gt2

2 ~.Jak wygląda tor punktu? Jak zależy od czasu wektor prędkości i przyśpie-szenia tego punktu?

6. Równanie ruchu punktu materialnego ma postać: ~r = A sin(ωt)~ı+A cos(2ωt)~.Jak wygląda tor punktu? Jak zależy od czasu wektor prędkości i przyśpiesze-nia tego punktu? Wyznacz promień krzywizny toru dla ωt = 0, ωt = π

2 , ωt =π4 .

Tor w przestrzeni trójwymiarowej

7. Równanie ruchu punktu materialnego ma postać: ~r = A cos(ωt)~ı+A sin(ωt)~+vt~k. Jak wygląda tor punktu? Jak zależy od czasu wektor prędkości i przy-śpieszenia tego punktu? Znajdź zależność od czasu przyśpieszenia stycznegoi normalnego. Wyznacz krzywiznę toru w danym punkcie.

8. Równanie ruchu punktu materialnego ma postać: ~r = A sin(ωt)~ı+A sin(2ωt)~+ε cos(ωt)~k. Jak wygląda tor punktu? Jak zależy od czasu wektor prędkościi przyśpieszenia tego punktu? Wyznacz promień krzywizny toru dla ωt =0, ωt = π

2 , ωt = π4 .

1

Współrzędne biegunowe

Współrzędne biegunowe to r (odległość od środka UW) i φ kąt od osi OX dowektora wodzącego punktu. Punkt o współrzędnych biegunowych (r, φ) mawspółrzędne kartezjańskie (r cosφ, r sinφ).

Kolejne wektory jednostkowe uzyskujemy biorąc pochodne punktu po ko-lejnych współrzędnych, które następnie normujemy do jedności.

9. Znajdź bazę wektorów jednostkowych w punkcie (r, φ)

10. Ile wynosi pochodna wektora jednostkowego cosφ~ı+ sinφ~ po kącie φ ?

11. Współrzędne biegunowe punktu są znanymi funkcjami czasu. Jaki jestwzór na wektor prędkości i przyśpieszenia.

Odp. a = (r − rφ2)~er + (2rφ+ rφ)~eφ

12. Mucha idzie ruchem jednostajnym z prędkością v po średnicy płyty gra-mofonowej obracającej się z prędkością kątową ω. Jaki jest tor muchy? Jakiesiły działają na muchę?

13. Ramię robota o zmiennej długości wykonuje ruch opisany równaniami:

r(t) = r0 − A cos(ωt), φ(t)− φ0 − a sin(ωt),

Gdzie r0 = 1.5m, A = 0.5m, φ = 0.7rad, a=0.3rad, ω = 2πHz. Obliczyćprędkość końca ramienia we współrzędnych biegunowych i kartezjańskich wchwili t = 0.6s.

14. Dane są równania ruchu punktu: r(t) = vt, φ(t) = eΩt. Wyznacz składoweprędkości i przyśpieszenia.

15. Dane są równania ruchu punktu: r(t) = Reλt, φ(t) = Ωt. Wyznacz skła-dowe prędkości i przyśpieszenia.

16. Dane są równania ruchu punktu: r(t) = A1+e cosφ , φ(t) = Ωt. Wyznacz

składowe prędkości i przyśpieszenia (dla e < 1 torem jest elipsa, dla e = 1parabola, dla e > 1 hiperbola).

Współrzędne biegunowe - rozwiązywanie równań ruchu

17. Przykład z wykładu Koralik ślizga się bez tarcia na pręcie wirującymw płaszczyżnie wokół swojego końca ze stałą prędkością kątową ω. W chwilit = 0 koralik ma położenie r0 a vr(0) = v0. Znajdź zależność prędkościradialnej od wspórzędnej radialnej.

Odp. vr − v0 − ω2(r2 − r20).

18. W powyższym zadaniu wyznacz równanie na r(t) i rozseparuj w nimzmienne.

Odp. ∫ t

0dt =

∫ r

r0

dr√v2

0 − ω2r20 + ωr2

2

19. Przykład z wykładu Koralik jest nawlęczony na pręt obracający się wpłaszczyźnie wokół swojego końca ze stałą prędkością kątową. Koralik umo-cowany jest na sprężynie o stałej sprężystości k i w chwili t = 0 sprężyna niejest rozciągnięta ani ściśnięta, natomiast składowa radialna prędkości wynosiv0. Obliczyć składowe vr i vφ w funkcji r.

20. Zadanie Hugona SteinhausaW rogach kwadratowej łąki siedzą czte-ry psy. W chwili t = 0 każdy z psów zaczyna gonić swojego sąsiada po prawejstronie ze stałą prędkością v.

• Wyznacz zależność czasową współrzędnej radialnej

• Po jakim czasie psy się spotkają, jaką drogę przebiegną?

• Wyznacz zależność czasową współrzędnej transwersalnej

• Wyznacz kształt toru psa

21. Ćma porusza się tak, by widzieć światło cały czas pod tym samym kątem.To dostosowanie ewolucyjne pozwala latać po linii prostej korygując tor napodstawie światła księżyca. Co się dzieje, jeżeli źródłem światła jest lampa?

• Wyznacz równanie toru lotu ćmy

• Wyznacz zależność współrzędnej kątowej ćmy od czasu

Niech α oznacza kąt pod jakim ćma widzi źródło światła. W chwili t = 0ćma ma współrzędne r = r0, φ = 0. Prędkość ćmy jest stałą i wynosi v.

22. Wyznacz równanie toru r(φ) dla cząstki w polu grawitacyjnym masypunktowej. Wykorzystaj zasadę zachowania energii: 1

2m(r2 +(ωr)2)− GMmr

=E i zasadę zachowania momentu pędu r2ω = L = const. Dokonaj separacjizmiennych w równaniu.

Odp. ∫ ±drr2√

2EmL2

+ 2GMm2

L21r− 1

r2

= φ+ C

23. Rozwiąż powyższe równanie. W całce dokonaj podstawienia u = 1ri do-

prowadź wyrażenie w mianowniku do postaci stała minus kwadrat wyrażenialiniowego.

Odp.

r =L2

GMm2

1 +√

1 + 2Em

(L

GMm

)2sin(φ− φ0)

Jeżeli E < 0 pierwiastek jest mniejszy od 1 i ruch odbywa się po elipsie.Jeżeli E > 0 pierwiastek jest większy od 1 i ruch odbywa się po hiperboli. Wprzypadku granicznym ruch odbywa się po paraboli.

3

Ruch bryły sztywnej wokół ustalonej osi

Ruch po okręgu W ruchu po okręgu punkt zachowuje tę samą odległośćod osi obrotu, więc ruch opisany jest tylko przez zależność kąta od czasu. Wprzypadku obracającego się koła, wszystkie punkty na jego krawędzi mają tąsamą odległość od środka koła. Przy oznaczeniach:

φ = ω, ω = ε

Mamy wzory na prędkość i przyśpieszenie punktu na krawędzi koła:

v = rω, a = rε

24. Przekładnia pasowa ma promienie kół r1 i r2. Jaki jest stosunek ichprędkości kątowych?

25. W przekładni zębatej jedno koło ma 60 zębów, a drugie 40. Jaki jeststosunek prędkości kątowych obu kół?

26. Na bloczek o promieniu r nawinięta jest linka, na końcu której zawie-szony jest ciężarek. Ciężarek opada ze stałym przyśpieszeniem a. Jakie jestprzyśpieszenie kątowe bloczka? Jak zależy od czasu jego prędkość kątowa?

Rysunek 1: Rysunki do zadania 27

27. Zblocze to dwa (lub więcej) nieruchome względem siebie współosiowebloczki. Przez większe koło zblocza przerzucona jest lina. Po jednej stroniedo liny przyłożona jest pionowa siła F1, po drugiej stronie lina przechodziprzez blok obciążony siłą pionową F i wraca na drugie koło w zbloczu naktóry jest nawinięta. Oblicz:

• Zależność prędkości wiszącego bloku od prędkości wolnego końca liny

• zależność między siłą F1 a siłą F

w przypadku gdy lina nawinięta jest na koła zblocza w kierunku zgodnymiw kierunkach przeciwnych.

4

28. Załóżmy, że w samochodzie wyposażonym w mechanizm różnicowy jeżeliprędkość kątowa obu kół jest równa, to kręcą się one tak samo szybko jakwał. Udowodnij, że ω1 + ω2 = 2ω, gdzie ω1 i ω2 to prędkości kątowe kół, a ωto prędkość wału

29. Samochód pokonuje zakręt o promieniu 100 m z prędkością 36 km/h.Rozstaw kół wynosi 2 m. Oblicz różnicę prędkości kątowych obu kół.

30. Koło zamachowe wykonuje ruch obrotowy z prędkością f = 900obr/min.Koło zaczyna hamować ze stałym opóźnieniem i zatrzymuje się po 45 obro-tach. Oblicz czas hamowania i wartość przyśpieszenia kątowego.

31. Wał maszynowy osiągnął po t = 5s f = 900obr/min. Przyjmując że ruchbył jednostajnie przyśpieszony, oblicz liczbę obrotów walca w tym czasie

Ruch płaski bryły sztywnej

Twierdzenie Eulera mówi, że dowolne infintezymalnie małe przemieszcze-nie bryły sztywnej w jej płaszczyźnie ruchu może być dokonane przez obrótwokół punktu zwanego chwilowym środkiem obrotu.

Dzieląc odległość dowolne wybranego punktu bryły przez odległość od jejchwilowego środka obrotu uzyskamy chwilową prędkość kątową.

32. Końce belki mają współrzędne ~r1, ~r2 i prędkości ~v1 i ~v2. Wyznacz chwi-lowy środek obrotu belki. Wyznacz chwilową prędkość kątową:

1. ~r1 = [0,−1], ~r2 = [4,−1], ~v1 = [1,−1], ~v2 = [1, 1]

2. ~r1 = [−2, 6], ~r2 = [−2, 3], ~v1 = [6, 8], ~v2 = [0, 8]

3. ~r1 = [2, 3], ~r2 = [5,−2], ~v1 = [1, 1], ~v2 = [32 ,−

12 ]

4. ~r1 = [5, 5], ~r2 = [−2,−1], ~v1 = [1,−23 ], ~v2 = [−1, 5

3 ]

33. Dla powyższych sytuacji znaleźć wektor położenia i prędkości dla środkabelki.

34. Chwilowe położenie wierzchołków trójkąta dane jest wektorami ~r1, ~r2, ~r3.Prędkości chwilowe dwóch pierwszych wierzchołków wynoszą v1 i v2. Znaleźćprędkość chwilową trzeciego wierzchołka.

1. ~r1 = [−2, 3], ~r2 = [2, 0], ~r3 = [3, 4], ~v1 = [3, 34 ], ~v2 = [3

4 ,−94 ]

2. ~r1 = [−2, 4], ~r2 = [0, 0], ~r3 = [6, 0], ~v1 = [0,−3], ~v2 = [2,−2]

3. ~r1 = [4, 3], ~r2 = [5,−1], ~r3 = [1, 5], ~v1 = [−1, 1], ~v2 = [1, 32 ]

4. ~r1 = [−1, 4], ~r2 = [2, 0], ~r3 = [5, 6], ~v1 = [−59 ,

13 ], ~v2 = [−1, 0]

Zbiór chilowych środków obrotu tworzy krzywą zwaną centroidą

35. Belka ślizga się w płaskim narożu. Wyznacz równanie centroidy w ukła-dzie naroża i w układzie belki.

5

36. Kwadrat ślizga się w płaskim narożu. Bok kwadratu wynosi a, jest obró-cony względem naroża o kąt α a prędkość wierzchołka stycznego do pionowejściany wynosi v. Znajdź wektory chwilowych prędkości wierzchołków.

37. Tłok porusza się wzdłuż osi x. Środek tłoka połączony jest korbowodemdługości l z punktem tarczy kołowej w odległości r od jej środka. Tarczaporusza się ze stałą prędkością kątową ω.

1. Jakie jest równanie ruchu tłoka?

2. Kiedy chwilowy środek obrotu jest w nieskończoności?

3. Jakie jest równanie centroidy? (równania paramatryczne wzgl. kąta ob-rotu tarczy)

38. Koło kolejowe toczy się ze stałą prędkością po szynie bez poślizgu. Zna-leźć równania ruchu punktu:

• pomiędzy powierzchnią toczenia a środkiem koła

• na powierzchni toczenia

• na obrzeżu koła, dalej od środka niż powierzchnia toczenia

Co jest w tym przypadku centroidą?

Ruch płaski złożony

Rysunek 2: Mechanizm płaski z zadania 39

39. Mechanizm płaski składa się z trzech prętów połączonych przegubami B,C i jest przymocowany do podłoża przegubami A i D. Prędkość i przyśpie-szenie kątowe elementu AB wynosi ωA = 10rad/s, εA = 300rad/s2. Wyznacz:

• Prędkości kątowe elementów BC i DC

• Chwilowy środek obrotu (stąd alternatywnie prędkości kątowe)

• Przyśpieszenia kątowe elementów BC i DC

6

Rysunek 3: Mechanizm płaski z zadania 40

40. Mechanizm płaski składa się z dwóch ramion zamocowanych do podłożaw przegubach w odległości d. drugie ramię ma długość r i jest zakończonetrzpieniem, który porusza się w prowadnicy w ramieniu pierwszym. Odległośćtrzpienia od punktu zaczepienia ramienia pierwszego oznaczamy jako x. Kątyjakie pierwsze i drugie ramię tworzą z podłożem wynoszą odpowiednio α i β.Zakładając że znamy α, oblicz:

• x i β korzystając ze wzoru na prędkość trzpienia w ruchu względnym.

• β korzystając z twierdzenia sinusów

• wyprowadź wzór na x i zróżniczkuj go po czasie.

Odpowiedź:

x = − d sin βcos(β − α)

α = − dα

cosα ctg β + sinα

β =sin β

sinα cos(β − α)α =

α

sinα(cosα ctg β + sinα)

41. Dla sytuacji z poprzedniego zadania wyraź ctg β przez d, r oraz α.

Ruch kulisty

Rozważać będziemy przegub krzyżakowy (Cardana). Łącznik przegubu (krzy-żak) wykonuje ruch kulisty. Łącznik jest połączony parą antypodycznychsworzni do wału czynnego i drugą parą antypodycznych sworzni do wałubiernego. Pomiędzy parami sworzni jest kąt prosty.

Zakładamy, że wał czynny tworzy z wałem biernym kąt γ. Zauważmy, żesworznie każdej z par pozostają na ustalonych okręgach, utrzymywane przezwidełki swoich wałów.

42. Jakie są równania parametryczne ruchu punktu po okręgach o promieniuR:

1. o płaszczyźnie prostopadłej do wektora ~ı, w chwili zero punkt na osiOZ

2. o płaszczyźnie prostopadłej do wektora cos γ~ı + sin γ~, w chwili zeropunkt w płaszczyźnie XY .

7

Rysunek 4: Przegub krzyżakowy (Cardana)

Odp. ~r1 = [0, sinφ1, cosφ1], ~r2 = [sin γ · cosφ2,− cos γ · cosφ2, sinφ2].

43. Na ruchy z poprzedniego zadania nakładamy warunek, że kąt pomiędzypunktami na obu okręgach w danej chwili czasu jest prosty. Jaki to dajewarunek wiążący kąty obrotu obu wałów?

Odp. tg φ2 = tg φ1 · cos γ

44. Jaka jest zależność pomiędzy prędkościami kątowymi obu wałów?

Odp. ω2 = ω1 · cos γ/(1 − sin2(φ1) · sin2 γ). Jeżeli wał czynny obraca sięze stałą prędkością kątową, to ω2 = ω1 · cos γ/(1− sin2(ω1t) · sin2 γ)

45. Dwa wały połączone są przy pomocy przegubu dwukrzyżakowego (dwaprzeguby krzyżakowe połączone wałkiem pośrednim). Kąty pomiędzy wałamina obu przegubach są takie same, a ruch przegubu drugiego jest przesuniętyw fazie względem ruchu przegubu pierwszego o π/2 (czyli cztery sworzniena przegubie leżą w tej samej płaszczyźnie). Jaka jest zależność prędkościkątowych wału czynnego i biernego?

Odp. Są zawsze równe.

46. Dwa wały połączone są przy pomocy dwóch przegubów krzyżakowychpołączonych długim wałkiem pośrednim. Wał wyjściowy i wejściowy pozosta-ją równoległe, a zastosowanie wałka pośredniego zapewnia możliwość przesu-wania się względem siebie wałów. Ruch przegubu drugiego jest przesuniętyw fazie względem ruchu przegubu pierwszego o π/2 (czyli cztery sworzniena przegubie leżą w tej samej płaszczyźnie). Jaka jest zależność pomiędzyprędkościami obu wałów?

Odp. Są zawsze równe.

47. Jak zmienia się wektor chwilowej prędkości obrotowej krzyżaka w prze-gubie krzyżakowym?

Wskazówka: Chwilowa prędkość kątowa jest prostopadła do prędkości li-niowych obu sworzni, a ~r1 × ω = r1ω1.

Odp:

ω = −ω1~ı− ω1 sin γ cos γsinφ1

cos2(φ1) + cos2 γ sin2(φ1)(sin(φ1)~+ cos(φ1)~k).

Koniec wektora chwilowej prędkości kątowej zakreśla elipsę w płaszczyźnieY Z. Powierzchnia stożkowa na której leżą te wektory jest aksoidą nieruchomąkrzyżaka.

8

Precesja

Szczególnym przypadkiem ruchu kulistego jest precesja. Jest to złożenie dwóchruchów wokół ustalonej osi. Ruch wokół pierwszej osi odbywa się z prędkościąkątową ~ω1, która wiruje wokół drugiej osi z prędkością ~ω2. W każdej chwiliruch każdego punktu odbywa się z prędkością kątową ~ω1 + ~ω2.

48. Prędkość punktu ~x w ruchu kulistym z chwilową prędkością kątową ~ωwynosi ~ω × ~x. Pokaż, że dla punktu ciała w precesji:

• chwilowe przyśpieszenie kątowe wynosi ~ω1 × ~ω2.

• chwilowe przyśpieszenie liniowe wynosi (~r · ~ω)~ω − ω2~r + r × (~ω1 × ~ω2).

49. Stożek o wysokości h i o kącie α pomiędzy wysokością a tworzącą toczysię bez poślizgu po płaszczyźnie wokół swojego wierzchołka.

• Co jest aksoidą ruchomą, a co nieruchomą?

• Ile wynosi wartość chwilowej prędkości kątowej?

• Jaka jest chwilowa prędkość i przyspieszenie najwyższego punktu stoż-ka?

50. Kula o promieniu R2 toczy się jednocześnie po poziomej powierzchni iwokół walca o promieniu R1. Jakie są prędkość i przyśpieszenie najwyższegopunktu kuli?

• Co jest chwilową osią obrotu? Gdzie leży środek ruchu kulistego?

• Co jest osią obrotu własnego? Jaki jest kąt nutacji?

• Umieszczając początek UW w środku ruchu kulistego tak by środekkuli miał współrzędną y = 0, wyznacz wektory prędkości kątowych: ~ω1

(obrotu własnego) i ~ω (chwilową) przez ω2 (wartość prędkości kątowejprecesji).

• Wyznacz wektor przyśpieszenia kątowego kuli

• Wyznacz prędkość i przyśpieszenie najwyższego punktu kuli

• Wyznacz prędkość i przyśpieszenie punktu kuli: [−R1−R2,−R2,−R1]

51. Przyczepa o rozstawie kół 2m porusza się ze stałą prędkością 20km/k wzakręcie o promieniu 20m. Oba koła przyczepy są na osi stałej a ich promieńwynosi 0.5m. Ile wynosi prędkość i przyśpieszenie najwyższych punktów obukół?

9

Statyka

Rysunek 5: Drabina opartao ścianę, rysunek do zadań52 i 53

52. Drabina długości l zakończona kółeczkamistoi oparta o ścianę pod kątem α. Na wysokościh jest obciążona ciężarem Fg. Ciężar drabinypomijamy.

• Jakie rodzaje podpór występują w tej sy-tuacji

• Jakie są siły reakcji w podporach?

53. Załóżmy że drabina z poprzedniego zada-nia jest składana i że łączenie dwóch członówwystępuje w jej połowie. Jakie siły i jaki mo-ment przenosi łączenie? Rozważ przypadki gdyh < l/2 i gdy h > l/2.

Rysunek 6: Drabina po-dwójna, rysunek do zadania54

54. Drabina podwójna o długości obu ramion lpołączonych przegubowo tworzy kąt α z podło-żem i jedna jej część jest obciążona na wysoko-ści h ciężarem G (rysunek 6). Jakie są reakcjepodłoża i jakie siły przenosi łączenie?

55. Spławik ma długość l, kształt patyczka ostałym przekroju poprzecznym i jest wykonanyz balsy o gęstości 9 razy mniejszej niż woda.Spławik jest przytwierdzony do dna za pomocążyłki z ciężarkiem, a jego dolny koniec jest nagłębokości h < l pod powierzchnią (rysunek 7).Jaki kąt tworzy spławik z powierzchnią wody idla jakiego h spławik będzie stał pionowo?

Rysunek 7: Rysunek do za-dania 55

56. Skrzynia stoi na równi pochyłej o kącie na-chylenia α na czterech nóżkach w rogach pod-stawy. Jakie są reakcje podłoża działające nanóżki?

57. Dźwigar prętowy jest zamocowany wdwóch miejscach prętami do ściany a na dru-gim końcu ma bloczek przez który przerzuconajest lina. jeden koniec liny jest obciążony cięża-rem G, a drugi koniec liny jest trzymany podkątem β do pionu. Jakie są siły reakcji podpórdźwigara? Jak można regulować rozkład skła-dowej równoległej pomiędzy wkręty?

Rysunek 8: Rysunek do za-dania 57

58. Most jest podparty z dołu dwoma przęsła-mi a z góry obciążony asfaltem o ciężarze Q jakna rysunku 10 Jakie siły przenoszą poszczegól-ne pręty w kratownicy?

10

Rysunek 9: Rysunek do zadania 58

Rysunek 10: Rysunek do zadania 59

59. Most z poprzedniego zadania jest dodatkowo obciążony ciężarówką ociężarze G odległą od początku mostu o x. Jakie siły zewnętrzne działają nakratownicę?

Odp. Siły działające na górne węzły: 14Q,

12Q+ x

lG, 1

4Q+ l−xlG, siły dzia-

łające na dolne węzły: 12Q+G(1

2 −l−xl

), 12Q+G(1

2 + l−xl

).

60. Jakie siły przenoszą pręty w kratownicy w sytuacji z ciężarówką?

Kratownice 3d

61. Kratownicę w kształcie czworościanu foremnego podparto w wierzchoł-kach podstawy (w płaszczyźnie poziomej) i obciążono ciężarem G w górnymwierzchołku. Oblicz reakcję podpór i reakcje wewnętrzne w kratownicy.

62. Kratownicę z poprzedniego zadania obciążono w górnym wierzchołku siłąF o dowolnym kierunku. Wyznacz pionowe składowe sił reakcji podstawy.

63. Załóżmy, że na wierzchołku kratownicy z poprzedniego zadania umiesz-czony jest ciężarek na nitce poruszający się po okręgu. Nitka tworzy z pionemkąt α. Jak zmieniają się w czasie pionowe składowe sił reakcji podstawy?

Środek sił równoległych

64. Drut o masie m wygięto tak, że tworzy trzy boki kwadratu i jego je-den koniec zawieszono. Na drugim końcu powieszono masę M i przekątnakwadratu jest w pionie. Jaka jest wartość masy M?

65. Jaki kąt tworzy przekątna z pionem w poprzednim zadaniu, jeżeli drutnie jest obciążony dodatkową masą?

11

66. Wyznaczyć środek ciężkości trójkąta prostokątnego o o bokach a, b.

67. Wyznaczyć środek ciężkości trójkąta prostokątnego o o bokach a, b.

68. Wyznaczyć środek ciężkości kwadratu o o boku a z wyciętym otworemo promieniu r w 2/3 przekątnej.

69. Akwarium o masie m jest podparte na dwóch podporach na poziomympodłożu. W akwarium jest piasek o masie m usypany pod kątem α. Masęakwarium pomijamy. Jakie są reakcje podpór?

70. Wyznaczyć środek ciężkości jednorodnego stożka o promieniu r i wyso-kości h.

71. Wyznaczyć środek ciężkości jednorodnego walca o promieniu r i wyso-kości h.

Odp. na wysokości h/4.

72. Wyznaczyć środek ciężkości jednorodnej półkuli.

Odp. na wysokości 3/8r.

73. Figura składa się z półkuli o promieniu R na której jest stożek o pro-mieniu R i wysokości h. Figura stoi pionowo, stożkiem do góry. Jaka jestgraniczna wartość wysokości, dla której równowaga przestaje być równowagątrwałą?

74. Figura składa się z półkuli o promieniu R na której jest walec o promieniur i wysokości h. Figura stoi pionowo, walcem do góry. Dla jakich wartości ri h równowaga jest trwała?

12