kinematyka · 2015. 5. 11. · kinematyka z greckiego „kineo” – „poruszam” kinematyka...
TRANSCRIPT
Kinematyka
Kinematyka
Z greckiego „kineo” – „poruszam”
Kinematyka zajmuje się opisem ruchu ciał bez uwzględnienia ich masy
oraz bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowałyoraz bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowały
Punkt materialny – ciało obdarzone mas ą, lecz nie maj ące obj ętości, a wi ęc takie,które nie mo Ŝe się obraca ć
Rzeczywiste ciała będące w ruchu mogą się obracać lub wykonywać drgania
Układ odniesienia
Zespół ciał traktowanych jako nieruchome, względem których zachodzi
obserwacja zachowań innych ciał
Ciała wokół nas w ciągłym ruchu
Przykłady układów odniesieniaobserwacja zachowań innych ciał Przykłady układów odniesienia
RUCH WZGLĘDNY I RUCH BEZWZGLĘDNY
Ruch – zmiana połoŜenia ciała materialnego względem układu odniesienia
Ruch i spoczynek – poj ęcia wzgl ędne
Tor ruchu
Linia jak ą zakreśla poruszaj ące si ę ciało (np. smuga - samolot)
Podział ruchu
PołoŜenie i przemieszczenie ciała
Poło Ŝenie ciała (współrz ędną punktu), w jakim si ę to ciało znajduje, wyznaczamy względem pewnego punktu odniesienia – pocz ątku układu odniesienia
Kierunek dodatni
xxx −=∆
-3 -2 10-1 2 3
początek osi
Kierunek ujemny
12 xxx −=∆
Przemieszczenie – warto ść wektorowa(warto ść bezwzgl ędna + kierunek)
Prędkość średnia
12
12
tt
xx
t
xvśr −
−=∆∆=
12 ttt −∆
221 vv
vśr
+=
Przykład
stmx
stmx
0.5180
0.120
22
11
====
s
mvsr 50=
stmx
stmx
2520
0.16180
22
11
====
s
mvsr 8.17−=
Prędkość chwilowa
dt
dx
t
xv
t
=∆∆=
→∆lim
0 dttt ∆→∆ 0
Przykład
Przyspieszenie
Przyspieszenie – stosunek przyrostu pr ędkości do czasu w którym ten przyrost nast ąpił
Szybko ść zmiany pr ędkości cz ąstki w danej chwili
t
v
tt
vvasr ∆
∆=−−=
12
12
2
2
0
)()(lim
dt
txd
dt
tdv
t
va
t==
∆∆=
→∆
Przykład
Poło Ŝenie cząstki na osi x od czasu dane jest równaniem
3274 ttx +⋅−=Znajdź funkcje, opisujące zaleŜność prędkości oraz przyspieszenia od czasu
t wyraŜony jest w sx wyraŜone jest w m
Prędkość wypadkowa
Prędkość wypadkowa- suma wektorowa wszystkich prędkości z jakimi równocześnieporusza się ciało
21 vvvwyp
rrr += Prędkość wypadkowa ciała poruszającegosię z prędkościami v1 i v2
21 vvvwyp −=21 vvvwyp +=r2
21
2 vvvwyp +=
Prędkość względna
Jaś Staś Jaś Staś
Wartość prędkości mierzona przez ciało (obserwatora) który jest ró wnie Ŝ w ruchu
smvvvwzg 421 =−= smvvvwzg 2021 =+=
Wektor przyspieszenia
pokazuje o ile wydłuŜy się (lub skróci) wektor prędkości po jednej sekundzie
Spadek swobodny
Spadek swobodny to ruch ciała pod wpływem siły cięŜkości.
Zakładamy, Ŝe pole grawitacyjne jest jednorodne - w kaŜdym punkcie takie samo - ten sam kierunek, ten sam zwrot i taka sama wartość
2
2tgH
⋅=
Przyspieszenie ciała spadającego swobodnie jest stałe i wynosi
g = 9.81 m/s2
Poło Ŝenie ciała w dowolnej chwili czasu
Przemieszczenie i połoŜenie
w trzech wymiarach
Wektor poło Ŝenia
kzjyixr ˆˆˆ ++=Przemieszczenie
12 rrr −=∆
Przemieszczenie
Przykład
kmjmimr
kmjmimr
ˆ)8(ˆ)2(ˆ)9(
ˆ)5(ˆ)2(ˆ)3(
2
1
++=
++−=???=∆r
Prędkość średnia i prędkość chwilowa
JeŜeli w przedziale czasu ∆∆∆∆t cząstka doznała przemieszczenia ∆∆∆∆r to pr ędkość średnia jest równa
t
rvśr ∆
∆=r
Prędko ść średnia
tvśr ∆
=
kvjvivdt
rdv zyx
ˆˆˆ ++==r
r
Prędko ść chwilowa
Przyspieszenie średnie i chwilowe
JeŜeli w przedziale czasu ∆∆∆∆t pr ędkość cząstki zmienia si ę z v1 do v 2 , to jej przyspieszenie średniew tym przedziale
t
v
t
vvaśr ∆
∆=∆−=
rrr12
Przyspieszenie średnie
ttaśr ∆
=∆
=
kajaiadt
vda zyx
ˆˆˆ ++==r
rPrzyspieszenie chwilowe
Rzut pionowy w górę
g
vH
2
20
max =g
vtk
02=
Maksymalna wysokość rzutu
Czas trwania rzutu
−=
−=
gtvv
gttvy
y 0
2
0 2
[ ]00 ,0 vv =r
[ ]ga −= ,0r
[ ]yvv ,0=r
Rzut pionowy w dół
g
v
g
H
g
vtk
02
20 2 −+=
Czas trwania rzutu
[ ]00 ,0 vv −=r
−−=
−−=
gtvv
gttvHy
y 0
2
0 2
[ ]ga −= ,0r
[ ]yvv ,0=r
gHvvk 220 +=Wartość prędkości
końcowej
Rzut poziomy
−=+=
==
22
2200
gtH
taHy
tvtvx
y
x
==
=
g
HvtvOA
g
Ht
k
k
2
2
00
gHvvk 220 +=
Rzut ukośny
Cząstka porusza się w płaszczyźnie pionowej z pewną prędkością v0 oraz przyspieszeniem g, skierowanym zawsze w dół.
oy
ox
oyox
vv
vv
jvivv
Θ=Θ=
+=
sin
cos
00
00
0
Rzut ukośny – ruch w poziomie
Ruch w kierunku poziomym – bez przyspieszenia
x
vv
tvxx 00
=+=
xx vv 0=
Składowa pozioma prędkości pocisku nie ulega zmianie
Rzut ukośny – Ruch w pionie
Ruch ciała w pionie = ruch ciała w rzucie pionowym
Przyspieszenie jest stałe
gtvv
gttvyy
y
y
−Θ=
−+=
000
200
sin2
1
Czas trwania ruchu
200 2
1gttvyy y −+=
g
vt oy2
=
0=y
Równanie toru
tvxx x00 += 200 2
1gttvyy y −+=
( )200
2
0cos2
)(Θ
−Θ=v
gxxtgy
równanie parabolibxaxy += 2
Zasięg rzutu
Zasięgiem poziomym nazywamy odległość jaka przebyło ciało w poziomiedo chwili powrotu na wysokość początkową
tvxx x00 +=
tvxxR )cos( 000 Θ=−=2
0 2
10 gttv y −=
0
20 2sin Θ=g
vR
Rzut ukośny
( )200
2
0cos2
)(Θ
−Θ=v
gxxtgy
5.3 m nad pierwszym diabelskim młynem
v0=26.5 m/s
Ruch po okręgu
Ruch cząstki nazywamy ruchem po okręgu, jeśli porusza się ona po okręgu lub Kołowym ruchu z prędkością o stałej wartości bezwzględnej.
Wektor przyspieszenia skierowany wzdłuŜ promieniaokręgu ,ku jego środkowi okręgu ,ku jego środkowi
r
va
2
=
Przyspieszenie do środkowe
Okres
v
rT
π2=
Ruch ciała po okręgu
0→∆∆= tgdzie
t
αωR
v=ω
Prędko ść kątowa
0→∆
∆= tgdziet
ϖεR
as=ε
Przyspieszenie k ątowe