Rozdział 2

Kinematyka

Definicja 3 Kinematyka jest to dział mechaniki opisujacy ruch punktu

lub bryły, bez uwzgledniania masy i przyczyn wywołujacych zmiane ruchu.

Kinematyczne równania ruchu punktu materialnego:

x = f1 (t) , y = f2 (t) , z = f3 (t) - równania parametryczne toru punktu

lub

r = r (t) .

2.1 Predkosc

Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu ∆t = t2 − t1, w którym

punkt przebył droge ∆s = [P1P2. Dla dwóch kolejnych połozen mamy

r2 = r1 +∆r, ∆r = r2 − r1.

Jesli ∆t→ 0, to

v = lim∆t→0

∆r

∆t=

dr

dt=−→r

Predkosc punktu jest wektorem okreslonym przez pierwsza pochodna

wektora połozenia wzgledem czasu.

35

Składowe

v = xi+ yj + zk,

v jest wektorem stycznym do toru.

Niech s (t) przedstawia droge punktu P w przedziale ∆t, to

v =dr

dt=

dr

ds

ds

dt= s−→τo,

gdzie−→τo -wektor jednostkowy styczny do toru w danym punkcie.

Mozna stad wywnioskowac, ze moduł wektora predkosci, to pochodna

drogi po czasie.

2.2 Przyspieszenie

Rozpatrzmy z kolei, jak zmienia sie wektor predkosci w czasie ∆t.

Dla dwóch kolejnych połozen mamy

v2 = v1 +∆v.

Jesli ∆t→ 0, to

a = lim∆t→0

∆v

∆t=

dv

dt=−→v =

−→r .

Przyspieszeniem nazywamy wektor dany przez pierwsza pochodna wek-

tora predkosci lub druga pochodna wektora połozenia wzgledem czasu.

Składowe

a = xi+ yj + zk.

Kierunek wektora przyspieszenia jest styczny do hodografu predkosci.

Równanie hodografu

v = v (t) ,

vx = vx (t) , vy = vy (t) , vz = vz (t) .

36

Przykład 4 Dane sa równania ruchu punktu

x = b1 cos (ωt) , y = b2 sin (ωt) , z = 0.

Znalezc równanie toru, równanie hodografu predkosci oraz wartosc pred-

kosci i przyspieszenia w chwili t = t1.

2.3 Ruch punktu we współrzednych biegunowych

Równania ruchu we współrzednych biegunowych

r = f1 (t) , ϕ = f2 (t) .

Zgodnie z twierdzeniem o sumie rzutów, rzut wektora na dowolna os jest

równy sumie rzutów składowych danego wektora na ta os, rzutujemy

vx, vy na kierunek r i przyrostu ϕ (w danej chwili). Inaczej- rzutujemy

v na r i ϕ.

vr = vx cosϕ+vy sinϕ, vϕ = −vx sinϕ+vy cosϕ.

Uwzgledniajac zwiazki

x = r cosϕ, y = t sinϕ,

mamy

vx = x = r cosϕ− rϕ sinϕ, vy = y = r sinϕ+ rϕ cosϕ.

Stad

vr =dr

dt= r, vϕ = r

dϕ

dt= rϕ.

Predkosc promieniowa (radialna) jest pierwsza pochodna promienia

wodzacego wzgledem czasu. Predkosc obwodowa (transwer-

37

salna) jest iloczynem promienia wodzacego przez pierwsza pochodna

kata biegunowego wzgledem czasu.

Podobnie z przyspieszeniem

ar = ax cosϕ+ ay sinϕ, aϕ = −ax sinϕ+ ay sinϕ

ax = vx = r cosϕ− 2rϕ sinϕ− rϕ sinϕ− rϕ2 cosϕ,

ay = vy = r sinϕ+ 2rϕ cosϕ+ rϕ cosϕ− rϕ2 sinϕ.

Stad

ar = r − rϕ2 = vr −v2ϕr, (radialne)

aϕ = 2rϕ+ rϕ =1

r

d

dt(rvϕ) , (transwersalne).

Przykład 5 Zbadac ruch okreslony równaniami r = At, ϕ = Bt.

2.4 Przyspieszenie styczne i normalne

Naturalny (normalny) układ współrzednych

1. Predkosc v = vττo + vnn

o + vbbo. Poniewaz wektor predkosci jest

styczny do toru to vn = vb = 0.

2. Przyspieszenie a = aττo + ann

o + abbo. Poniewaz w układzie

lokalnym mozliwy jest rozkład przyspieszenia na styczne i nor-

malne to ab = 0.

Wektor predkosci jest funkcja czasu (zmienny co do kierunku i wartosci),

to

v = v (t) ,

v = vτo, τo- wektor jednostkowy w kierunku v w danej chwili.

v = v (t) , τo = τo (t) .

38

Stad

a =dv

dtτo + v

dτ

dt.

Przyspieszenie dvdt = aτ nazywamy przyspieszeniem stycznym.

Znajdziemy pochodna wektora jednostkowego po czasie. Skorzys-

tamy z iloczynu skalarnego

τo ◦ τo = 1.

Stadd

dt(τo ◦ τo) = dτo

dt◦ τo + τo◦

dτo

dt= 2τo ◦ dτ

o

dt= 0.

Mamy zatem, ze wektor dτo

dt jest prostopadły do τo czyli do v. Zna-

jdziemy rozkład dτo

dt .

¯∆τo

2

¯= 1 sin

∆ϕ

2≈ ∆ϕ

2dla małych katów,¯

dτo

dt

¯= lim

∆t→0

¯∆τo

∆t

¯= lim

∆t→0

∆ϕ

∆t=

dϕ

dt.

Oznaczajac wektor normalnej do v przez no mamy

dτo

dt=

dϕ

dtno,

a stad

a =dv

dt=

dv

dtτo + v

dϕ

dtno.

dv

dt= aτ , v

dϕ

dt= an, a = aττ

o + anno.

Ile teraz wynosi moduł przyspieszenia an?

an = vdϕ

dt= v

dϕ

ds

ds

dt= v2

dϕ

ds,

39

ds- rózniczka ruchu. Wiemy, ze ds = ρdϕ, (ρ− promien krzywizny).

Stad

an = v2dϕ

ρdϕ=

v2

ρ,

ρ =

¡1 + y02

¢ 32

|y00| gdy y = y(x),

ρ =

¡x2 + y2

¢ 32

|xy − xy| gdy x = x(t), y = y(t).

Przykład 6 Ruch punktu okreslono równaniami x = 40t, y = 5t2.

Obliczyc aτ , an oraz ρ dla t = 3s.

2.5 Ruch postepowy bryły

Jezeli bryła porusza sie tak, ze jej chwilowe połozenia sa równoległe

do połozenia poczatkowego, to mówimy, ze bryła porusza sie

ruchem postepowym.

Trzy stopnie swobody

A− biegun

ri = rA + ρi, (bryła sztywna: ρi = const.)

xi = xA + C1, yi = yA + C2, zi = zA +C3.

W ruchu postepowym tory wszystkich punktów sa równoległe.

Predkosc w ruchu postepowym

ri = rA + ρi, ρi = 0.

ri = rA.

Predkosci wszystkich punktów bryły poruszajacej sie ruchem

postepowym sa w danej chwili wektorami równoległymi.

40

Przyspieszenie

vi = vA,

ai = aA.

Przyspieszenia wszystkich punktów bryły w ruchu postepowym

sa w danej chwili wektorami równoległymi.

2.6 Ruch obrotowy bryły dookoła stałej osi

Jezeli dwa punkty bryły sa stałe, to bryła porusza sie ruchem

obrotowym.

Te dwa punkty wyznaczaja os obrotu.

Jeden stopien swobody

ϕ = ϕ(t)

Obieramy dwie płaszczyzny w bryle przecinajace sie wzdłuz osi obrotu l,

S- jest stała, R- ruchoma zwiazana sztywno z bryła. Chwilowe połozenia

płaszczyzny R, czyli połozenia bryły sa opisane katem obrotu ϕ.

Pierwsza pochodna ϕ jest predkoscia katowa ω.

Druga pochodna ϕ jest przyspieszeniem katowym ε.

ϕ = ω,

ϕ = ε.

Predkosc dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym

Zwiazek miedzy predkoscia liniowa punktu bryły a predkoscia ka-

towa bryły

vi = ω × ri, vi = ωhi, vi = ωri sinα.

41

Dowód. Obieramy układ z, y, z i x0, y0, z0 w ten sposób, ze pokry-

waja sie osie z i z0. Gdy bryła obraca sie zmieniaja sie kierunki wektorów

i0, j0 a k0 jest stały.−→k0 = 0. Wektory jednostkowe w układzie primowanym spełniaja zwiazki

i0 ◦ i0 = 1, j0 ◦ j0 = 1,

i0 ◦ j0 = 0,

i0 ◦ k0 = 0, j0 ◦ k0 = 0.

Rózniczkujac te równania otrzymujemy

−→i0 ◦ i0 = 0,

−→j0 ◦ j0 = 0,

−→i0 ◦ j0 +

−→j0 ◦ i0 = 0, (2.1)−→i0 ◦ k0 = 0,

−→j0 ◦ k0 = 0.

Wynika stad, ze jesli−→i0 nie jest równy zeru, to musi byc prostopadły

do i0 i k0, czyli równoległy do j0, podobnie−→j0 jest równoległy do i0.

Mozemy wiec napisac

−→i0 = λ1j

0 i−→j0 = λ2i

0,

gdzie λ1 i λ2 sa modułami wektorów−→i0 i−→j0 . Wstawiajac otrzymany

zwiazek do 2.1 mamy

λ1

³j0 ◦ j0

´+ λ2

³i0 ◦ i0

´= 0,

λ1 = −λ2.

Wprowadzmy teraz nowy wektor zwany predkoscia katowa ω = λ1k0.

Lezy on na osi obrotu bryły i jej moduł wynosi

|ω| =¯−→j0¯=

¯−→i0¯= |λ1| = |λ2| .

42

Mozna teraz przy pomocy ω przedstawic wszystkie pochodne wektorów

jednostkowych układu ruchomego

−→i0 = λ1j

0 = λ1

³k0 × i0

´= λ1

µω

λ1× i0

¶= ω × i0,

−→j0 = λ2i

0 = −λ1³j0 × k0

´= −λ1

µj0 × ω

λ1

¶= −j0 × ω = ω × j0.

Poniewaz−→k0 = 0, to ogólnie mamy

−→e = ω × e

Przejdzmy teraz do wyznaczenia vi dowolnego punktu P o współrzed-

nych x0, y0, z0.

ri = rA + ρi, rA = 0 =⇒ ri = ρi,

ρi = x0i0 + y0j0 + z0k0

Stad

vi =−→ρi = x0

−→i0 + y0

−→j0 + z0

−→k0 ,

¡x0, y0, z0

¢= const. -poniewaz bryła jest sztywna,

vi = x0ω × i0 + y0ω × j0 + z0ω × k0 = ω ׳x0 × i0 + y0 × j0 + z0 × k0

´,

vi = ω × ρi.

Predkosc liniowa dowolnego punktu bryły w ruchu obro-

towym jest równa iloczynowi wektorowemu wektora predkosci

katowej przez wektor połozenia punktu (poczatek układu na

osi obrotu).

Przyjmijmy układ współrzednych (os obrotu przechodzi przez poczatek

układu)

43

vi = vixi+ viyj + vizk,

ωi = ωixi+ ωiyj + ωizk,

ri = rixi+ riyj + rizk.

vi =

¯¯¯

i j k

ωx ωy ωz

xi yi zi

¯¯¯ .

Stad vix = ωyzi − ωzyi, viy = ωzxi − ωxzi, viz = ωxyi − ωyxi.

Poniewaz wszystkie punkty lezace na osi obrotu maja predkosc równa

zeru, stad otrzymujemy równanie osi obrotu

x

ωx=

y

ωy=

z

ωz.

Jezeli teraz os obrotu nie przechodzi przez poczatek układu, to

ri = rA + ρi,

vi = ω × ρi, ρi = ri − rA,

vi = ω × (ri − rA) .

vi =

¯¯¯

i j k

ωx ωy ωz

xi − xA yi − yA zi − zA

¯¯¯ .

vix = ωy (zi − zA)− ωz (yi − yA) ,

viy = ωz (xi − xA)− ωx (zi − zA) ,

viz = ωx (yi − yA)− ωy (xi − xA) .

44

Równanie osi obrotu w tym przypadku ma postac

x− xAωx

=y − yAωy

=z − zAωz

.

2.7 Przyspieszenie punktów bryły w ruchu obro-

towym

Korzystamy z definicji

ai =−→v i.

Zakładamy, ze os obrotu przechodzi przez poczatek układu współrzed-

nych

ai =d

dt(ω × ri) =

−→ω × ri + ω ×−→r i,

ai = ε× ri + ω × (ω × ri) .

Poniewaz

a׳b× c

´= (a ◦ c) b−

³a ◦ b

´c,

to

ai = ε× ri + ω (ω ◦ ri)| {z }=0, ω⊥ri

− ω2ri.

Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym

jest suma geometryczna przyspieszen: obrotowego aoi i doosiowego adi.

aoi = εri sin (ε, ri) = εhi,

adi = ωvi sin (ω, vi) = ω2hi.

45

Składowe przyspieszenia

aix = εyzi − εzyi + ωx (ωxxi + ωyyi + ωzzi)− ω2xi,

aiy = εzxi − εxzi + ωy (ωxxi + ωyyi + ωzzi)− ω2yi,

aiz = εxyi − εyxi + ωz (ωxxi + ωyyi + ωzzi)− ω2zi.

2.8 Ruch płaski bryły

Definicja ruchu

Ruch płaski mozemy traktowac jako chwilowy ruch obrotowy wokół

chwilowego srodka obrotu lub jako złozenie ruchu postepowego bieguna

i obrotowego wzgledem bieguna.

Równania ruchu płaskiego

xA = xA (t) , yA = yA (t) , zA = zA (t) ,

ri = rA + ρi.⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩xi = xA + ξi cosϕ− ηi sinϕ

yi = yA + ξi sinϕ+ ηi cosϕ

ϕ = ϕ (t)

2.8.1 Predkosc w ruchu płaskim

−→r i =

−→r A +

−→ρ i,

−→r i = vi,

−→r A = vA.

Wektor ρi opisuje ruch punktu wzgledem bieguna stad predkosc−→ρ i (z

ruchu obrotowego) wynosi

−→ρ i = ω × ρi.

46

Stad

vi = vA + vP/A = vA + ω × ρi.

Predkosc dowolnego punktu w ruchu płaskim jest suma geometryczna

predkosci ruchu postepowego i predkosci ruchu obrotowego dookoła

bieguna.

Zrzutujemy vP = vi na kierunek AP .

(vP )AP = (vA)AP +¡vP/A

¢AP

,

vP/A ⊥ AP ⇒¡vP/A

¢AP= 0.

Zatem

(vP )AP = (vA)AP .

Rzuty predkosci dwóch punktów na kierunek łaczacy te punkty sa sobie

równe.

vi = vA +

¯¯¯

i j k

ωx ωy ωz

xi − xA yi − yA zi − zA

¯¯¯ (ogólnie),

ale

ωx = ωy = 0, ωz = ω (ruch płaski).

Stad

vix = xA − (yi − yA)ω,

viy = yA − (xi − xA)ω.

Podobnie okreslamy predkosci w układzie ruchomym ξ, η.

Uwzgledniajac, ze ωξ = ωη = 0, ως = ω oraz ςi = ξiξo+ ηiη

o otrzymu-

47

jemy

vi = vA +

¯¯¯ξo

ηo ςo

0 ωy ω

ξi ηi 0

¯¯¯

viξ = vAξ − ηiω,

viη = vAη + ξiω.

2.9 Przyspieszenie w ruchu płaskim

Korzystamy z definicji

−→v i =

−→v A +

−→ω × ρi + ω ×−→ρ i,

ai = aA + ε× ρi + ω × (ω ×−→ρ i) ,

ai = aA + ε× ρi − ω2−→ρ i, bo ω ⊥ −→ρ i

ai = aA + aoi + adi.

Przyspieszenie w ruchu płaskim jest suma geometryczna przyspieszenia

ruchu postepowego, przyspieszenia obrotowego i przyspieszenia doosiowego.

Składowe przyspieszenia w układzie stałym

ai = aA +

¯¯¯

i j k

0 0 ε

xi − xA yi − yA 0

¯¯¯− ω2 (ri − rA) .

Stad

aix = xA − ε (yi − yA)− ω2 (xi − xA) ,

aiy = yA + ε (xi − xA)− ω2 (yi − yA) .

48

Składowe w układzie ruchomym

ai = aA +

¯¯¯ξo

ηo ςo

0 0 ε

ξi ηi 0

¯¯¯− ω2−→ρ i,

a stad

aiξ = aAξ − εη − ω2ξ2i ,

aiη = aAη − εξ − ω2η2i .

2.10 Srodek przyspieszen

Przyspieszenie dowolnego punktu B

aB = aA + aB/A,

aB/A = ε× ρB − ω2ρB.

Wartosci

aτB/A = ερAB, anB/A = ω2ρAB,

stad

aB/A =

r³aτB/A

´2+³anB/A

´2= ρAB

pε2 + ω4,

tanβ =aτB/A

anB/A=

ε

ω2nie zalezy od połozenia punktu.

Mozna wykazac, ze istnieje taki punkt S figury płaskiej, którego przyspiesze-

nie w danej chwili jest równe zeru.

Poniewaz przyspieszenie kazdego punktu wzgledem bieguna jest nachy-

lone zawsze pod tym samym katem do prostej łaczacej ten punkt z

biegunem, wiec wybierajac odpowiednia prosta nachylona pod tym

49

katem do przyspieszenia bieguna mozna znalezc punkt S, którego całkowite

przyspieszenie jest równe 0.

aS = aA + aS/A = 0,

aS/A = ρASpε2 + ω4,

stad odległosc tego punktu od bieguna, przy załozeniu, ze jego przyspiesze-

nie ma byc równe zeru

ρAS =aA√

ε2 + ω4, bo aS = aA − ρAS

pε2 + ω4.

Taka konstrukcja jest mozliwa, poniewaz za biegun mozna przyjac dowolny

punkt ciała, a srodek przyspieszen musi lezec na prostej nachylonej pod

katem β do przyspieszenia danego punktu. Z kolei kat β nie zalezy od

połozenia punktu.

Na tej drodze mozna w prosty sposób znajdowac przyspieszenia

dowolnego punktu figury, bo zakładajac, ze biegun znajduje sie w srodku

przyspieszen, mamy aA = aS = 0, a stad

aB = aB/A,

aB = aB/A = ρSBpε2 + ω4.

Srodek przyspieszen wyznacza sie przy znajomosci przyspieszen dwóch

dowolnych punktów figury.

2.11 Ruch kulisty bryły

Połozenie dowolnego punktu bryły w ruchu kulistym:

Układ 0, x, y, z- stały, A, ξ, η, ζ- ruchomy, zwiazany z bryła.

Okreslenie połozenia bryły sprowadza sie dookreslenia połozenia układu

50

ruchomego

ri = rA + ρi.

ri = xii+ yij + zik,

ρi = ξiξo+ ηiη

o + ζiζo,

rA = xAi+ yAj + zAk.

Ruch kulisty rozpatrujemy jako chwilowy ruch obrotowy dookoła chwilowej

osi obrotu.

Chwilowa predkosc katowa

ω =dϕ

dt.

Wektor ω lezy na chwilowej osi obrotu. W ruchu kulistym sa 3 stopnie

swobody- 3 równania ruchu

ϕ = ϕ (t) , ψ = ψ (t) , υ = υ (t) .

Poniewaz rA jest wektorem stałym, nic nie stoi na przeszkodzie, by

poczatki obu układów były wspólne.

ϕ- kat obrotu własnego,

ψ- kat precesji,

υ- kat nutacji.

Predkosc katowa w układzie Eulera

ω = ϕk1 + ψk2 + υk3

ω = ω1 + ω2 + ω3,

ω1- predkosc katowa obrotu własnego,

ω2- predkosc katowa precesji,

51

ω3- predkosc katowa nutacji.

Wyznaczymy teraz składowe prostokatne ω w układzie x, y, z (ω2

na podstawie ostatniego rysunku).

ω2 = [0, 0, ω2] ,

ω3 = [ω3 cosψ,ω3 sinψ, 0] .

Na podstawie ponizszego rysunku wyznaczymy ω1.

ω1 = [ω1 sinυ sinψ,−ω1 sin υ cosψ, ω1 cos υ] .

Poniewaz ω1 = ϕ, ω2 = ψ, ω3 = υ, mamy

ωx = ω1 sinυ sinψ + ω3 cosψ = ϕ sinυ sinψ + υ cosψ,

ωy = −ω1 sinυ cosψ + ω3 sinψ = −ϕ sinυ cosψ + υ sinψ,

ωz = ω1 cos υ + ω2 = ϕ cos υ + ψ,

natomiast w układzie ruchomym

ωξ = ψ sinυ sinϕ+ υ cosϕ,

ωη = ψ sinυ cosϕ− υ sinϕ,

ωζ = ϕ+ ψ cos υ.

Rozpatrzmy teraz szczególny przypadek ruchu kulistego, w którym υ =

const = υ0, ω1 = ϕ = const, ω2 = ψ = const. Poniewaz υ = 0, wiec

chwilowa predkosc katowa bedzie wynosiła

ω = ω1 + ω2.

52

Z rysunku widac, ze

ω =qω21 + ω22 + 2ω1ω2 cos υ0

oraz, ze ω ma stała wartosc i jest nachylona pod stałymi katami do osi

z i ξ. Aksoide nieruchoma jest stozek o osi z, a ruchoma stozek o osi ξ.

Ten przypadek nazywa sie precesja regularna. Jezeli kat miedzy

predkoscia katowa obrotu własnego a predkoscia katowa precesji jest

ostry, to mamy precesje prosta, a gdy rozwarty- precesje odwrotna.

Łatwo zauwazyc, ze w tym przypadku zwiazana z ciałem os ξ "wiruje"jednostajnie

wokół osi z ze stała predkoscia ω2- predkoscia precesji.

2.12 Predkosc w ruchu kulistym

Sprowadzajac poczatek układu ruchomego do poczatku układu stałego

mamy

ri = ρi.

W chwilowym ruchu obrotowym

vi = ω × ri = ω × ρi.

Składowe predkosci w układzie stałym

vix = ωyzi − ωzyi,

viy = ωzxi − ωxzi,

viz = ωxyi − ωyxi.

Poniewaz wszystkie punkty bryły posiadaja predkosc równa 0 na chwilowej

osi obrotu, stad równaie chwilowej osi obrotu w układzie stałym

x

ωx=

y

ωy=

z

ωz

53

lub

y

x=

ωyωx

= f1 (t) ,

z

x=

ωzωx

= f2 (t) .

Jezeli z tych równan wyrugujemy czas otrzymamy równanie aksoidy

stałej

F³yx,z

x

´= 0.

Składowe predkosci w układzie ruchomym

viξ = ωηζi − ωζηi,

viη = ωzξi − ωξζi,

viζ = ωξηi − ωηξi.

Równanie osi chwilowej

ξ

ωξ=

η

ωη=

ζ

ωζ

lub

η

ξ=

ωηωξ= g1 (t) ,

ζ

ξ=

ωζωξ= g2 (t) .

Równanie aksoidy ruchomej

G

µη

ξ,ζ

ξ

¶= 0.

54

2.13 Przyspieszenie w ruchu kulistym

Przyspieszenie liniowe punktu bryły

ai =−→v i =

−→ω × ri + ω ×−→r i,

ai = ε× ri + ω × (ω × ri) ,

ai = ε× ri + ω (ω ◦ ri)− ω2ri.

Składowe przyspieszenia w układzie stałym

aix = εyzi − εzyi + ωx (ωxxi + ωyyi + ωzzi)− ω2xi,

aiy = εzxi − εxzi + ωy (ωxxi + ωyyi + ωzzi)− ω2yi,

aiz = εxyi − εyxi + ωz (ωxxi + ωyyi + ωzzi)− ω2zi.

W układzie ruchomym

aiξ = εηζi − εζηi + ωξ (ωξξi + ωηηi + ωζζi)− ω2ξi,

aiη = εζξi − εξζi + ωη (ωξξi + ωηηi + ωζζi)− ω2ηi,

aiζ = εξηi − εηξi + ωζ (ωξξi + ωηηi + ωζζi)− ω2ζi.

2.13.1 Przyspieszenie katowe w przypadku precesji reg-

ularnej

Poniewaz |ω| = const., a pochodna wektora jest styczna do jego hodografu,

ponadto wektorem połozenia punktu D jest ω, stad (predkosc katowa

ω to ω2)dω

dt= ω2 × ω.

Poniewaz ω = ω1 + ω2, to

ε =dω

dt= ω2 × (ω1 + ω2) = ω2 × ω1.

55

2.14 Ruch ogólny bryły

Ruch ogólny: ruch postepowy + kulisty, 6 stopni swobody.

Równania ruchu

xA = xA (t) , yA = yA (t) , zA = zA (t) ,

ϕ = ϕ (t) , ψ = ψ (t) , υ = υ (t) .

2.14.1 Predkosc w ruchu ogólnym

ri = rA + ρi,

vi =−→r A +

−→ρ i,

vi = vA + ω × ρi.

2.14.2 Przyspieszenie w ruchu ogólnym

−→a i =−→v A +

−→ω × ρi + ω ×−→ρ i,

ai = aA + ε× ρi + ω × (ω ×−→ρ i) ,

ai = aA|{z}przysp. ruchu

postepowego

+ ε× ρi| {z }przyspieszenie

obrotowe

+ ω (ω ◦ −→ρ i)− ω2−→ρ i| {z }przyspieszenie

doosiowe

.

2.15 Ruch wzgledny

Układ x, y- nieruchomy, ξ, η- ruchomy.

Znajdziemy najpierw pochodna bezwzgledna wektora ρ wzgledem

56

czasu. W ruchomym układzie

ρ = ξξo+ ηηo + ζζ

o,

dρ

dt=

dξ

dtξo+

dη

dtηo +

dζ

dtζo+ ξ

dξo

dt+ η

dηo

dt+ ζ

dζo

dt,

dξo

dt= ω × ξ

o,

dηo

dt= ω × ηo,

dζo

dt= ω × ζ

o.

Stad

dρ

dt=

dξ

dtξo+

dη

dtηo +

dζ

dtζo+ ω ×

³ξξ

o+ ηηo + ζζ

o´,

dρ

dt=

δρ

δt|{z}poch.

wzgledna

+ ω × ρ.

Pochodna bezwzgledna wektora wzgledem czasu jest równa sumie pochod-

nej wzglednej i iloczynu wektorowego predkosci katowej przez dany wek-

tor.

2.16 Predkosc w ruchu wzglednym

ri = rA + ρi,

−→r i =

−→r A +

−→ρ i,

−→r i =

−→r A +

δρ

δt+ ω × ρi,

vb = vu + vw,

gdzie

vb =−→r i,

vu =−→r A + ω × ρi,

vw =δρ

δt.

57

W ruchu wzglednym predkosc bezwzgledna jest suma geometryczna

predkosci wzglednej i predkosci unoszenia.

2.17 Przyspieszenie w ruchu wzglednym

Predkosc

vb = vA + ω × ρi + vw,

−→v b =

−→v A + ε× ρi + ω ×−→ρ i + vw,

−→ρ =

δρ

δt+ ω × ρi = vw + ω × ρi,

−→v w =

δ

δt

µδρ

δt

¶+ ω × vw =

δvwδt

+ ω × vw.

Stad

−→v b =

−→v A + ε× ρi + ω × (ω × ρi) +

δvwδt

+ 2ω × vw,

ab =−→v b,

aw =−→v A + ε× ρi + ω × (ω × ρi) ,

ac = 2ω × vw.

Wruchu wzglednym przyspieszenie bezwzgledne jest suma geometryczna

przyspieszenia wzglednego, przyspieszenia unoszenia i przyspieszenia

Coriolisa.

58