Hassan  Hijazi    AUSSOIS  2012  

INVEX  FORMULATIONS  IN    INTEGER  PROGRAMMING  

TexPoint  fonts  used  in  EMF.    Read  the  TexPoint  manual  before  you  delete  this  box.:  AAAAAA  

09/01/2012  

Convex functions 1  

q  Convex  opHmizaHon:  " Any  staHonary  point  is  opHmal  

Invex functions 2  

-1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25

-0,25

0,25

0,5

0,75

1

Definition (Hanson 1981) 4  

Simple characterization 5  

Constrained Optimization 6  

We  need  to  look  at  the  Lagrangian  funcHon:  

¨ Modeling  disjuncHve  constraints  featuring  unbounded  variables  

¨  Invex  formulaHons  for  a  facility  locaHon  problem  

Invex formulations in Integer Programs 7  

Unbounded disjunction 8  

¨  How  to  formulate  the  constraint:  

 

¨  x  must  remain  unbounded!  

Ø  Now,  we  only  need  to  model:  

Unbounded disjunction 9  

z  

y  

The big-M formulation 10  

y  

z  

Convex hull formulation 11  

Lifting 12  

z  

y  

ϒ

A second order cone constraint 13  

Cplex 14  

CPLEX  12.2.0.0:  best  soluGon  found,  primal-‐dual  infeasible;  objecGve  3.749997256  50  barrier  iteraGons  No  basis.  x  =  3.75    

A hidden hypothesis: constraint qualification

15  

If  a  point  x*    saHsfies  a  constraint  qualificaHon  condiHon,  it  is  opHmal  if  and  only  if  it  saHsfies  the  KKT  condiHons.    q     LICQ:  the  gradients  of  the  acHve  inequality  constraints  and  the  gradients  of  the  equality  constraints  are  linearly  independent  at  x*.    q Slater  condiGons:  there  exists  a  point  x’  such  that  gi(x’)  <  0  for  all  gi  acHve  in  x*.    

A hidden hypothesis: constraint qualification

16  

Invex formulation 17  

z  

y  

ϒ

Invex formulation 18  

It  works!  19  

Using  IPOPT  open  source  solver,    Interior  point  method  

With Ipopt 20  

Total  CPU  secs  in  IPOPT  (w/o  funcGon  evaluaGons)      =            0.003  Total  CPU  secs  in  NLP  funcGon  evaluaGons                      =            0.000    EXIT:  OpGmal  SoluGon  Found.  Ipopt  3.8.3:  OpGmal  SoluGon  Found  x  =  4  gamma  =  0  y  =  0  z  =  0  

Concentrator placement in Smart Energy Grids

21  

Concentrator  

Smart  meter  

Mathematical modeling 22  

Mathematical modeling 23  

Mathematical modeling 24  

Mathematical modeling 25  

Mathematical modeling 26  

Mathematical modeling 27  

Example 28  

minimize  cost:  100*z1  +  100*z2  +  25*x11  +  35*x12  +  50*x21  +  35*x22;    subject  to  demand1:  1  -‐  x11  -‐  x12  

LP relaxation 29  

CPLEX  12.2.0.0:  opGmal  soluGon;  objecGve  172.5  4  dual  simplex  iteraGons  (0  in  phase  I)  z1  =  0.5    z2  =  0.5    x11  =  0.5    x12  =  0.5    x21  =  0.5    x22  =  0.5  

Example 30  

minimize  cost:  100*z1^2  +  100*z2^2  +  25*y11  +  35*y12  +  50*y21  +  35*y22;    subject  to  demand1:  1  -‐  x11  -‐  x12  

Invex relaxation 31  

ObjecGve...............:      168.859  Ipopt  3.8.3:  OpGmal  SoluGon  Found    z1  =  0.5    z2  =  0.559344    x11  =  1    x12  =  4.55569e-‐09    x21  =  5.02689e-‐09    x22  =  1  

Finding a feasible solution

|I|   |J|   Bonmin’s  best   Invex  

rdata1    15   250   2300   39  

rdata2    20   250   >3000   43  

rdata3    30   250   >3000   120  

rdata4    40   250   >3000   150  

rdata5   100   250   >3000   300  

32  

Bonmin  1.5  using  CBC-‐IPOPT,  Hme  limit  =  3000  sec  

33