Captulo 1

Introduccion. Interstellarcomo punto de partida adiversos conceptos

Interstellar es una pelcula dentro del genero de ciencia ficcion. Incluso antesde que llegara a los productores de Hollywood, el prestigioso fsico teorico KipThorne ya se encontraba dentro del proyecto.

Desde un principio, Thorne especifico dos directrices para la ciencia queaparecera en la pelcula:

1. Nada de lo que ocurriera poda violar las leyes de la fsica o el el cono-cimiento que se tiene acerca de nuestro universo.

2. Las especulaciones (aunque a veces grandes) de lo que todava no enten-demos de las leyes que rigen el universo provendran de la ciencia real. Esdecir, ideas que al menos algunos cientficos consideren que sean posibles.

1.1 Conceptos cientficos a lo largo de la pelcu-la.

A pesar de las exigencias del guion y las demandas del director, Thorne hizotodo lo posible para cumplir sus premisas.

La pelcula comienza en la Tierra, en un futuro semiapocalptico en el quela humanidad se enfrenta a una plaga que azota a todo el globo terrestre. Lapoblacion, fundamentalmente agraria, lucha por sobrevivir. Aunque la vida estodava tolerable, ya no se piensa en grande, como por ejemplo en viajes es-paciales. Es mas, encontramos una NASA sin fondos que trabaja como unaorganizacion secreta.De hecho, la plaga es tan letal y salta tan rapido de untipo de cosecha a otro, que la humanidad se extinguira en menos de cien anos.

Las caractersticas del funcionamiento de esta plaga fueron consultadas acuatro biologos de Caltech, entre los que se encontraban el premio nobel de

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Figura 1.1: Representacion artstica de la Tierra desde el espacio en Interstellar.Se observa la presencia de tormentas de arena alrededor de todo el globo.

fisiologa y medicina David Baltimore.

El paisaje terrestre mostrado esta basado en el fenomeno denominado DustBowl que azoto los EEUU entre 1932 y 1939. El suelo, despojado de humedad,era levantado por el viento en grandes nubes de polvo y arena, tan espesas queescondan el sol. Estos das reciban la denominacion de ((ventiscas negras)) o((viento negro)).

Figura 1.2: a) Dust Bowl aproximandose a Stratford, Texas. (Credit: NOAAPhoto Library, Historic NWS collection). b)Efectos de la tormenta de arena enla pelcula.

Nuestro protagonista es Cooper, un expiloto de la NASA ahora granjero. Suhija, Murph, piensa que su habitacion esta invadida por un fantasma puesto quecada cierto tiempo salen despedidos libros de su estantera. El por que de estemisterio sera explicado en el tercer captulo.

Cooper empieza a investigar la situacion cuando su hija observa que las

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partculas de polvo caen creando un patron en el suelo. Un codigo de barras.Cuando Cooper tira una moneda para comprobar que ocurre la moneda saledisparada hacia una de esas barras.

Figura 1.3: Cooper observando la anamola gravitacional. Se puede ver que lamoneda ha cado sobre una de las barras.

Tambien se observa otra anomala cuando el sistema GPS, que Cooper haadaptado para controlar las cosechadoras, se sale de control y todas las maqui-nas son conducidas hasta su casa.

Que es una anomala gravitacional?

Como su propio nombre indica, se trata de situaciones en las que la grave-dad no se ajusta a nuestro entendimiento de como las leyes fsicas controlan eluniverso.

Desde 1850 se ha invertido un gran esfuerzo en buscar y entender las ano-malas gravitatorias ya que, las que fueron encontradas, provocaron una revolu-cion cientfica.

Las anomalas gravitacionales encontradas a lo largo de la historia son:

La precesion de la orbita de Mercurio. Este fenomeno que no explica lafsica Newtoniana, es predicho con exactitud por el modelo de Einstein.

Las orbitas anomalas de las galaxias una alrededor de otra, que introdu-jeron el concepto de materia oscura.

El descubrimiento de la aceleracion anomala de la expansion del Universo

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abrio la puerta a la introduccion de algo que repela la materia llamadoenerga oscura.

Las anomalas que aparecen en la pelcula son pura especulacion. Thornese cubre las espaldas cuando uno de los personajes, Romily, le dice a Cooper:Se empezaron a detectar anomalas gravitacionales (en la Tierra) hace casi 50anos. Es decir, de alguna forma la gravedad en la Tierra ha sido modificadaen la era de Interstellar. En ese mismo tiempo, aparece la anomala mas signifi-cativa de todas: la aparicion de un agujero de gusano en las cercanas de Saturno.

Cooper se da cuenta que, en el codigo de polvo, se encuentran unas coorde-nadas escritas en codigo Morse. La pista le lleva hasta la NASA, donde conoceal profesor Brand.

El profesor achaca la anomala gravitatoria de la casa de Cooper y el agujerode gusano a Ellos, unos seres de cinco dimensiones que habitan en un espaciotiempo paralelo al nuestro.

El profesor tiene un plan para salvar la humanidad: enviar a un equipo deastronautas a traves del agujero de gusano en busca de una lejana galaxia deplanetas habitables para colonizar.

Existen dos planes:

PLAN A) Los astronautas encuentran un planeta habitable. Mientras tan-to, el profesor y sus colaboradores de la NASA tratan de descifrar la for-ma de sacar de la Tierra una nave con toda la humanidad en su interior.El problema radica en que, para conseguirlo, debe resolver la gravedadcuantica.

PLAN B) En caso de que el profesor no lo consiga, los astronautas llevanuna capsula repleta de embriones que mantendran la especie humana enel nuevo planeta.

Tras una charla con el profesor, Cooper queda convencido de la importanciade la mision y se une a ella. Durante el viaje en la Endurance (la nave), atraviesael agujero de gusano llegando a un sistema de tres planetas que giran alrededorde un agujero negro supermasivo y de gran spin, bautizado como Gargantua.En el largometraje, tanto en el agujero negro como en el agujero de gusano, sepuede observar el efecto de lentes gravitatorias. Fenomenos explicados en loscaptulos 2 y 3 respectivamente.

La tripulacion de la Endurance visita dos planetas. El planeta de Miller,caracterstico por una gran dilatacion del tiempo y olas de 1,2 km de altura, yel de Mann, planeta helado. Thorne considera que uno de los pocos fallos dela pelcula (cientficamente) son las nubes congeladas de este planeta ya que nopodran mantenerse en el aire.

Mientras tanto, en la Tierra, Murph empiea a trabajar en la NASA con elprofesor Brand. En su lecho de muerte, el profesor le confiesa que el ya habaconcluido hace mucho que el plan A era imposible. No obstante, haba hecho

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Figura 1.4: La nave Endurance gira constantemente para generar gravedad.

mantener la esperanza a su equipo para que llevaran a cabo el plan B. Aunas, Murph continua investigando y, finalmente, llega a la conclusion de que lapropulsion gravitatoria solo podra llegar a funcionar si tuviera suficiente in-formacion acerca de la singularidad de Gargantua, de forma que fuera posibleresolver la gravedad cuantica.

Los astronautas, tras visitar ambos planetas, carentes de combustible y conla Endurance averiada, deciden lleva a cabo una maniobra de asistencia gravita-toria utilizando el empuje de Gargantua. Cooper, junto con uno de los robots delequipo, se sacrifican lanzandose en el interior de un modulo de la Endurance alinterior de Gargantua con el fin de recoger datos acerca singularidad y, as mis-mo, darle al resto de la Endurance en la que va montada Amelia (componentedel equipo), mayor aceleracion al reducir la masa de la nave.

Dentro del agujero negro, Cooper encuentra un teseracto, un espacio de cincodimensiones. El teseracto no ha sido creado por tecnologa aliengena, sino queEllos son los humanos del futuro.

Figura 1.5: Cooper dentro del teseracto situado en la singularidad de Gargantuadesde donde observa la habitacion de su hija en diferentes tiempos.

Desde el interior del teresacto, Cooper puede ver el interior de la habitacionde Murph en diferentes momentos de su vida, siendo capaz de interactuar con

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diferentes objetos, como por ejemplo, los libros.

Despues de intentar cambiar el pasado sin resultado, transmite los datos to-mados por el robot de la singularidad por codigo Morse, manipulando el relojque le dio a su hija antes de irse.

Murph encuentra el reloj y logra resolver la ecuacion del profesor Brand.Finalmente el Plan A puede llegar a ser ejecutado.

En el captulo 3 se encuentra un breve desarrollo de la interpretacion deThorne acerca del teseracto.

En conclusion, Interstellar es una pelcula de ciencia ficcion que, tal comohan hecho algunos cientficos, (Kip Thorne, Jean-Pierre Luminet...) se puedetomar muy en serio llegando a publicar artculos en revistas como Classical andquantum gravity. Tambien es considerada un oda a la fsica teorica ya que unode sus objetivos es la motivacion a los mas jovenes para realizar una carreracientfica, o a cualquier persona para interesarse mas por la fsica teorica y larelatividad.

1.2 Dilatacion temporal:

Antes de empezar a analizar las caracterstica del agujero negro y de losplanetas, se realizara una breve explicacion de la deformacion del espacio y eltiempo.

Segun la relatividad general, observadores en diferentes sistemas de referen-cia acelerados perciben el tiempo de forma diferente.

La dilatacion temporal es la diferencia en el transcurso del tiempo entre doseventos medidos por observadores que se mueven con una velocidad relativaentre ellos (relatividad especial, descrito por las transformaciones de Lorentz) oestan situados a una distancia diferente de una masa (relatividad general, debi-do al principio de equivalencia aceleracion es lo mismo que gravedad). Es decir,que existen retrasos temporales tanto por una diferencia de la gravedad entredos puntos, o de la velocidad con la que se mueven.

Simplificando, la velocidad y la gravedad hacen al tiempo avanzar mas des-pacio conforme aumentan.

La primera prueba de este fenomeno se llevo a cabo en 1958 por Bob Poundy Gen Rebca, quienes usaron el efecto Mossbauer para comparar el ritmo delflujo del tiempo entre la base de la torre de la universidad de Harvard y su cima.

Su experimento tena una precision suficiente como para notar diferenciasde 0.0000000000016 segundos al da. Encontraron diferencias temporales muchomayores a esa precision, las cuales, estaban en perfecta concordancia con lasleyes de Einstein.

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Figura 1.6: Laboratorio de Jefferson. El experimento se realizo en la torre de laizquierda. El atico fue extendido mas adelante.

Aunque la dilatacion temporal pueda parecer una conclusion sin utilidadpractica, tiene una gran importancia el los sistemas de posicionamiento global(GPS).

Su sistema de funcionamiento se basa en las senales que envan 27 satelitessituados a una altura de 20.000 km sobre el nivel del mar. Cada senal de radioque enva un satelite le da informacion al telefono acerca de su localizacion y lahora del envo de dicha informacion. El telefono mide la hora de llegada de lasenal y de este modo, triangulando, haya su posicion.

Si la hora enviada por el satelite fuera la que mide realmente, estos disposi-tivos no funcionaran ya que a 20.000km sobre el nivel del mar el tiempo fluye40 microsegundos mas rapido cada da.

1.2.1 Spin maximo para los agujeros negros de Kerr

Como se ha comentado, los astronautas llegan a un sistema centrado en unagujero negro supermasivo en rotacion y sin carga.

Los agujeros negros se caracterizan por tres propiedades (teorema del nopelo). Su masa M, carga Q y momento angular J. Una vez conocidos estos tresparametros ya se tiene toda la informacion posible de un agujero negro.

Se conoce que la masa de Gargantua es la de 100 millones de soles. Agujerosnegros supermasivos con masas en el rango del millon a los varios billones deveces la masa del Sol, se encuentran en el centro de la mayora de las galaxias.Tal y como dice Thorne, Gargantua sera bastante parecido al agujero negroque se encuentra en el centro de la galaxia de Andromeda.

El radio de Gargantua es proporcional a su masa y es comparable a la dis-tancia entre la Tierra y el Sol.

Otra importante caracterstica de Gargantua es su enorme momento angular.Podramos preguntarnos por que Throne eligio un agujero en rotacion (regidopor la metrica de Kerr), cuando la metrica para un agujero negro de Schwarzs-child es mucho mas sencilla.

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Figura 1.7: Comparacion del tamano de Gargantua con el sistema solar

Una de las exigencias del director, Christopher Nolan, era la existencia deun retraso temporal en uno de los planetas (el planeta de Miller), de forma queuna hora en ese planeta, fuera equivalente a 7 anos en la Tierra.

Un agujero negro con un gran momento angular tiene dos ventajas, los pla-netas pueden orbitar mas cerca del horizonte de eventos sin ser tragados por elagujero. Al encontrarse mas cerca del horizonte de eventos, el retraso temporales mayor.

Otro punto importante es que un agujero negro de Kerr, a medida que gi-ra, arrastra todo el tejido del espacio-tiempo con el. Como consecuencia, Millerdebe orbitar Gargantua a una velocidad cercana a la velocidad de la luz, exac-tamente 0,55c.

Existe una region en la que cualquier elemento debe girar alrededor del agu-jero negro con su mismo sentido de rotacion. Esta region se denomina ergosferay esta determinada por el llamado lmite estatico. Mas adelante se profundi-zara en este tema.

Es habitual que los agujeros negros esten en rotacion?

En caso de que los agujeros negros existan, aquellos que roten son inevita-bles, ya que la mayora de los cuerpos celestes rotan. Como por ejemplo, lasestrellas de neutrones, que son los cuerpos mas parecidos a un agujero negro.

La metrica seguida por los agujeros negros en rotacion es la de Kerr .

Los agujeros de Kerr tienen un momento angular crtico Jmax a partir delcual el horizonte de eventos se rompe. Este lmite corresponde a que velocidad

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de rotacion del horizonte se igual a la de la luz.

Este tipo de agujeros negros se denominan extremales. En ellos, el campogravitatorio en el horizonte de eventos se cancela debido a que la gravedad secompensa con una gran fuerza centrfuga repulsiva . De esta forma, se crea unasingularidad desnuda.

Normalmente la singularidad del agujero negro se encuentra rodeada por unarea que no permite la fuga de radiacion electromagnetica (horizonte de sucesos)y por tanto, es imposible su observacion directa. Sin embargo, una singularidaddesnuda consiste en un punto del espacio donde la densidad es infinita y obser-vable desde el exterior.

Existe un mecanismo con el que la naturaleza protege a los agujeros negrosde tener un momento angular mayor que el maximo y, consecuentemente, detener una singularidad desnuda. Cuanto mas rapido gira un agujero negro, masdifcil es que capture material orbitando en el mismo sentido y que, en caso deser capturado, aumentaran su spin. Ademas, el material que orbite en sentidocontrario es facilmente tragado por el agujero, disminuyendo su velocidad derotacion.

Para asentar la idea, podemos imaginar un disco de gas que orbita en ladireccion de giro del agujero negro: un disco de acrecion. La friccion en el discohace que el gas siga una trayectoria en forma de espiral hacia el interior delagujero negro, lo que aumenta su spin. La friccion tambien calienta el gas, quecomienza a radiar fotones. La deformacion del espacio en forma de torbellinoalrededor del agujero negro agarra los fotones que viajan en la misma direccionde rotacion y los arroja lejos, por lo que no pueden entrar dentro del agujero.En cambio, el torbellino agarra fotones que viajan en sentido contrario a su giroy los absorbe dentro del agujero, disminuyendo su spin.

Figura 1.8: Gargantua y su disco de acrecion. El planeta que aparece en laimagen es el de Miller.

Finalmente, cuando el spin alcanza un 0.0998 el spin maximo, se llega a unequilibrio entre la disminucion de giro debida a la captura de fotones y el au-mento producido por el disco de acrecion.

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Segun Thorne podra existir, aunque poco probablemente, un agujero negrocon un momento angular mucho mas proximo al maximo.

Para producir el retraso temporal requerido por el guion, Gargantua tieneun momento angular cas igual al maximo. Se diferencia en 1010.

1.2.2 Metrica de Kerr.

Figura 1.9: Esquema de los componentes de un agujero negro de Kerr.

Como ya se ha comentado los agujeros negros siguen la metrica de Kerr, queen las coordenadas de Boyer-Lindquist esta dada por la expresion:

ds2 = c2d2 = (1rsr2

)c2dt22

dr22d2(r2+2+rsr

2

2sin2 ) sin2 d2+

2rsr sin2

2c dt d

(1.1)El tiempo t de la ecuacion 1.1 es el registrado en relojes muy lejanos del

centro de atraccion (agujero negro).

rs es el radio de Schwarzschild

rs =2GM

c2(1.2)

se denomina el parametro de momento angular o de Kerr.

=J

Mc(1.3)

2 = r2 + 2 cos2 (1.4)

= r2 rsr + 2 (1.5)

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Figura 1.10: Fotograma de la pelcula Interstellar. Se muestra la pizarra delprofesor Brand en la que esta escrita la metrica de Kerr y un diagrama dePenrose.

1.2.3 Radio del horizonte para la metrica de Kerr

El punto de no retorno (horizonte de sucesos) es aquel en el que el coeficiente

de dr2, dado por 2

, diverge. Es decir, cuando tiende a cero.

0 = r2H rsrh + 2 rH =rs

r2s 422

(1.6)

El radio del horizonte es el radio de Schwarzschild cuando J=0 ( = 0).

Se observa que existen dos posibles soluciones para el radio del horizonte.Cuando nos referimos al horizonte de sucesos tal y como se ha definido, se habla

de la solucion con el signo mas. rH =rs+r2s422 .

Escogiendo la ecuacion con signo menos rH =rsr2s422 encontramos un

horizonte que se encuentra dentro del anterior. Este horizonte interno es llama-do Horizonte de Cauchy. Las investigaciones teoricas muestran que el espacio-tiempo es estable, (descrito correctamente por la metrica de Kerr) inmedia-tamente dentro del horizonte exterior y en la mayor parte del camino hasta elhorizonte interno (Cauchy). Sin embargo, cerca del horizonte de Cauchy, espacio-tiempo se vuelve inestable y, por lo tanto, no puede ser descrito por la metrica

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de Kerr.

1.2.4 Expresion matematica para el spin maximo

En el anterior apartado se comentaron las razones fsicas por las cuales existeun spin maximo. Desde un punto de vista matematico el spin maximo es aquela partir del cual el radio del horizonte se convierte en un numero complejo.Lo que ocurre cuando r2s 42 < 0. Habitualmente, se utiliza la expresion delparametro de Kerr maximo.

Haciendo algunos calculos:

max r2s = 42 4G2M2

c4=

4J2

M2c2 J2 = G

2M4

c2.

Por tanto:

Jmax =GM2

c(1.7)

amax =J

Mc=GM

c2(1.8)

Para un agujero negro extremal rH =rs2 =

GMc2 . La mitad del radio de

Schwarzschild. En ellos el horizonte de Cauchy coincide con el horizonte exterior.

1.2.5 Ergosfera

Otra caracterstica de la metrica de Kerr es la presencia el llamado lmiteestatico. Corresponde al radio re para el que el coeficiente de dt

2 se hace cero.El lmite estatico debe su nombre a la prediccion de que para radio menores

que re (pero mayores que el del horizonte rH) un observador no puede permane-cer en reposo. El espacio entre el lmite estatico y el horizonte se llama ergosfera.

Dentro de la ergosfera un objeto esta inexorablemente arrastrado a lo largode la direccion de rotacion del agujero negro. Ni siquiera un cohete con veloci-dad tangencial puede permanecer con un angulo fijo.

La expresion del lmite estatico esta dada por 1 rrs2 = 0.

1.2.6 Dilatacion temporal en el planeta de Miller

En el planeta de Miller 1 hora equivale a siete anos en la Tierra. Para con-seguir un retraso tan grande el planeta debe estar tan cerca del horizonte comosea posible.

Los agujeros negros con momento angular cero (metrica de Schwarzschild)tienen su orbita mas estable a 3 veces el radio de Schwarzschild.

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Si el agujero negro esta en rotacion y es extremal (con el parametro de

Kerr es maximo =GM

c2), la orbita estable mas cercana corresponde a

un giro en el mismo sentido que el giro del agujero y es un medio del radiode Schwarzschild, es decir, en el propio horizonte de sucesos.

La orbita estable mas cercana a la singularidad cuando un objeto giraen el sentido contrario al agujero negro corresponde a 9/2 el radio deSchwarzschild. 1

El planeta de Miller se encuentra practicamente en el horizonte de suce-sos. Por tanto, dentro de la ergosfera. Por ello el planeta es arrastrado por ladeformacion del espacio en forma de torbellino alrededor del agujero negro al-canzando velocidades de 0.55c.

Para calcular el retraso temporal, podemos considerar los diferenciales delespacio igual a cero ya que el planeta no se mueve en la direccion ni r y su mo-vimiento en se debe a la propia metrica. Se consigue la expresion provenientela ecuacion 1.1:

1 (ddt

)2 =2GMr

c22(1.9)

Sustituyendo d por 1 hora y dt por 7 anos obtenemos la expresion:

1, 334 1010M3r8, 98755 1016M2r2 + J2cos2 =

3369802499

3369802500(1.10)

Igualando M a 108 masas solares=1, 991038kg, se obtiene r = 1, 481011m =rH , = pi y J = 8,80275 1057J s

J = 8,80275 1057J s = (1 1010)Jmax = (1 1010)GM2

c(1.11)

Esto implica un momento angular del agujero negro extraordinariamentecercano al maximo valor posible y una orbita circular del planeta en el planoecuatorial del agujero con un radio practicamente igual al horizonte. Aunque esteoricamente posible, es poco probable.

1.2.7 Esquema de las orbitas de los planetas alrededor deGargantua

Habiendo determinado la masa y el spin de Gargantua en la imagen 1.11podemos observar el plano ecuatorial de Gargantua visto desde el bulk. Debidoa que el spin de Gargantua es muy cercano al maximo posible, la region cercanaal horizonte se parece a un cilindro. La largura de la region cilndrica es de 2billones de kilometros.

1J. M. Bardeen, W. H. Press and S. A. Teukolsky. Rotating Black Holes: Locally nonroa-tating frames, energy extraction, and scalar synchrotron radiation. Astrophys Journal 1972,178, 347.

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Figura 1.11: Plano ecuatorial de Gargantua visto desde el Bulk.

Las orbitas estan representadas por crculos que cruzan el diagrama, pero sirestablecieramos la tercera dimension de nuestra brana, los crculos se conver-tiran en esferoides.

En la figura 1.11 estan marcadas diferentes localizaciones que aparecen enla pelcula:

En negro: Horizonte de eventos de Gargantua.

En verde: Orbita crtica desde la que Cooper y el robot caen a Gargantuaal final de la pelcula.

En amarillo: Orbita en la que aparca la Endurance cuando la tripulacionvisita el planeta de Miller. En un determinado momento Cooper comenta:As que aparcamos en una orbita paralela al planeta de Miller pero masalejada de Gargantua. De este modo, la nave se queda lo suficientementelejos de Gargantua para que el retraso temporal comparado con la Tierrasea muy modesto.

En azul: Orbita del planeta de Miller. Estando lo suficientemente cercacomo para tener un retraso temporal tan grande, el planeta debe estarmuy inmerso dentro del cilindro, de forma que si se mira hacia abajo, seve Garganua, y hacia arriba, el resto del Universo. Por tanto Gargantuadebera ocupar la mitad del cielo.

Ademas, dado que el planeta de Miller esta en la orbita estable mas cer-cana a Gargantua, todo el disco de acrecion se encuentra mas alejado deGargantua que la orbita de Miller . Por tanto, mientras la tripulacion seacerca a Gargantua debera ver un enorme disco de acrecion por encima yla sombra del agujero negro por debajo, como predicen las leyes de New-ton. Sin embargo, los productores decidieron empequenecerlo y guardarselas espectaculares imagenes de Gargantua ocupando toda la pantalla parael final.

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Figura 1.12: Gargantua desde el planeta de Miller.

En rojo: SOF= Shell of fire, caparazon de fuego. Este caparazon seforma porque la gravedad es tan fuerte cerca de Gargantua, y el espacioy tiempo esta tan deformado, que la luz (fotones) quedan atrapados enorbitas cercanas al horizonte dando varias vueltas a su alrededor antes depoder escapar.

Estas orbitas son inestables en el sentido de que los fotones, finalmente,acaban escapando de ellas (al contrario de los fotones atrapados en elinterior del horizonte). Thorne denomina a este fenomeno Shell of fire

1.3 Fuerzas de marea

1.3.1 Punto de vista Newtoniano.

Las fuerzas de marea son un efecto secundario de la gravedad. Se producenporque el campo gravitatorio no es constante en todos los puntos de un cuerpo.El punto mas cercano es atrado mas fuertemente que el mas alejado. La fuerzade marea es diferencial (no depende de la gravedad en el centro de masas delcuerpo, sino de la diferencia del campo gravitatorio entre sus diferentes puntos).

Si un cuerpo celeste su mueve en una orbita aproximadamente circular ylas fuerzas de marea son moderadas, puede ajustar su forma alargandose en ladireccion en la que actua la gravedad y estrechandose en la direccion perpendi-cular.

Existe un lmite para el cual las fuerzas de marea son tan grandes como lasque mantienen al cuerpo unido. Pasado este lmite, llamado lmite de Roche, elcuerpo se destruye.

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Figura 1.13: Deformacion del planeta de Miller debido a las fuerzas de marea.

1.3.2 Punto de vista relativista (tendex lines).

La relatividad de Einstein dicta que los cuerpos sin propulsion siguen los ca-minos mas rectos permitidos por el espacio-tiempo deformado. En nuestro casola deformacion se debe a un agujero negro.

Figura 1.14: Trayectoria seguida por un cuerpo sin propulsion cuando se en-cuentra cerca de un agujero negro.

Los caminos violeta mostrados en la figura 1.14, en un primer momento,se acercan al agujero negro paralelos. Conforme avanzan las dos trayectorias seaproximan entre s. En cambio, los caminos verdes que siguen una circunferenciaalrededor del agujero son separados por la deformacion del espacio.

El tensor de Riemann describe matematicamente la deformacion del espacio-

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tiempo. Se encontraron, inherentes a las matematicas, lneas de fuerza que com-primen unas trayectorias y separan otras. Las Tendex line. No solamente creantendex lines los agujeros negros, sino tambien las estrellas, los planetas, e inclusola luna. Es decir, las tendex lines son una vision desde la teora de la relatividaddel efecto de fuerzas de marea ya conocido anteriormente.

Figura 1.15: Los caminos verdes son separados por las tendex lines rojas. Uncuerpo celeste (en la imagen se dibuja una mujer) experimenta un estiramiento.El planteamiento para las trayectorias violetas y las lneas tendex azules es elmismo pero inverso.

1.3.3 Aproximacion Newtoniana y lmite de Roche

En astronoma, se denomina lmite de Roche a la distancia mnima a la quepuede orbitar alrededor de un cuerpo masivo un objeto que mantiene su estruc-tura unicamente por su propia gravedad, sin comenzar a desintegrarse debido alas fuerzas de marea que genera el objeto masivo principal.

Este lmite depende de la distancia a la que se encuentre el objetos del cuer-po masivo y de la densidad del propio objeto.

Figura 1.16: La imagen muestra como un planeta se desintegra al sobrepasar ellmite de Roche.

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Imaginemos una partcula sobre la superficie del planeta de Miller. La partcu-la experimenta dos fuerzas, la gravedad del planeta, que le hace mantenersesobre su superficie y la gravedad ejercida por Gargantua. Dado que el planetade Miller esta en movimiento orbital, la resultante de la gravedad ejercida porGargantua es unicamente la fuerza de marea.

El planeta se destruye cuando Fmarea > Fg. El lmite de Roche es Fmarea =Fg.

El planeta de Miller ejerce una gravedad hacia su centro dada por la ley de

Newton: gplaneta =Gm

r2. Donde m es la masa del planeta y r su radio.

Se realiza una aproximacion clasica de la gravedad ejercida por Gargantua.La diferencia de gravedad entre la superficie del planeta y su centro a una dis-

tancia R de Gargantua esta dado por : gmarea =2GMr

R3.

Se considerara que R es igual al radio del horizonte de Gargantua ya que laorbita del planeta de Miller esta a una distancia aproximadamente igual. Portanto, R = GMc2 .

La condicion dada por el lmite de Roche es que gmarea < gplaneta.

2GMr

R3