INFORME PROYECTO MÉTODOS MATEMÁTICOS III:

PLACAS DE CHLADNI

Introducción:

Estudiaremos los patrones o figuras de Chladni, cuyo fundamento básico son las ondas estacionarias.

Una onda estacionaria es aquella que tiene puntos fijos, es decir, nodos. Estas ondas se producen por la interferencia de dos ondas con la misma amplitud y frecuencia que van en sentidos opuestos.

Chladni es considerado el fundador de la acústica y es conocido por su trabajo sobre vibración y el cálculo de la velocidad del sonido en diferentes gases.

Vamos a enunciar las leyes de Chladni para placas:

1. La frecuencia de dos placas de igual superficie es inversamente proporcional a su espesor (N).

2. La frecuencia de dos placas de idéntico espesor, varía inversamente al cuadrado de su

diámetro.

La ecuación que rige el fenómeno de vibración en placas es:

Podemos observar que es una ecuación diferencial en derivadas parciales de cuarto orden. Hay un término en esta ecuación que podemos despreciar. Este término es el de 4/S, donde S es la curvatura. En nuestro caso la curvatura de la placa la tomamos como infinita por lo que se nos va a cero.

Para resolver el problema numéricamente hemos intentado varias técnicas:

a) Mediante diagonalización en Matlab:

Cuánto vale

Teniendo ya desarrolladas cuánto valen las derivadas (para la variable y sería igual) podemos hacer:

Podemos ver que es del estilo de: C·x=λ·x , es decir, un problema de autovalores.

Los puntos que están fuera de la celda nos darían problemas, ya que no están definidos. Esto junto con nuestra falta de conocimientos para resolver este problema, hizo que no continuáramos por esta vía.

b) Intentamos hacer diferencias finitas, pero teníamos problemas al definir fuera de la placa, ya que pasaría lo mismo que hemos dicho antes. Este método es muy similar al que hemos descrito antes de la diagonalización.

c) Centrándonos en nuestro curso de métodos matemáticos hemos realizado separación de variables.

Esto último sucede si cada lado del igual es una constante:

Como podemos ver (II) es un movimiento armónico simple.

En (I) x e y están acopladas, por lo que para separarlas habría que buscar un cambio de variable del estilo:

μ=x+y

ζ=x-y

Pero este cambio no es trivial y no lo hemos encontrado.

Vamos a ver si (I) está relacionado con algún operador:

(A+B)2

Buscamos algo del estilo

Hemos encontrado un operador que nos vale.

Este operador que hemos llamado L es el operador Laplaciano.

¿Qué propiedades tiene este operador?

1- Es autoadjunto:

En la parte de los puntos suspensivos hay que hacer lo que vimos en clase de las derivadas, es decir, hacer la integral por partes suponiendo condiciones de contorno de primera especie y homogéneas y ya llegaríamos a ver que es autoadjunto.

2- No es unitario:

Obviamente

3- Simetrías:

El operador unidad obviamente es simetría.

El operador traslación es una simetría ya que:

El operador proyector también es simetría:

Decir que son simetrías es decir que los operadores conmutan.

Las autofunciones no degeneradas del operador Laplaciano mantienen la simetría. Además, las autofunciones degeneradas se conectan entre sí mediante la simetría.

Algunos resultados de laboratorio:

También hemos hecho algunas simulaciones en Matlab. Simplemente habría que abrir PDETools. Esta herramienta nos permite resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Había que escoger el tipo de ecuación que teníamos (en nuestro caso hiperbólica), definir la forma de nuestra placa y poner condiciones de contorno (Libre en los bordes "Dirichlet" y fija en el centro "Neumann", intentando hacer mínima la superficie de contacto con el oscilador). Luego el programa resolvía la ecuación y nos daban los distintos autovalores que se correspondían con distintas formas, es decir, con los distintos modos.

No todos los autovalores correspondían con nuestros modos obtenidos ya que serían para frecuencias muy altas o parámetros distintos por lo que algunos tuvieron que ser despreciados.

Esto está hecho sólo para placas cuadradas ya que la simetría de la placa era difícil de definir en este programa.

Algunas simulaciones obtenidas son:

Como tratamos con ondas estacionarias, los puntos blancos en la simulación (o los que tienen arena en el experimento original) son nodos, es decir, puntos en los que la placa no vibra y por tanto se almacena la arena. Sin embargo, las partes oscuras son zonas donde la placa está vibrando.

Y nos preguntamos... ¿Cómo encontramos las figuras?

Se puede hacer variando la frecuencia hasta que se forme la figura, pero justo antes de que se empiece a formar, hay un sonido característico al empezar a entrar en resonancia que nos "avisa" de que estamos en la frecuencia apropiada. Este sonido es como un zumbido más o menos agudo dependiendo de la frecuencia en la que estuviéramos.

Vemos que la distancia entre nodos de la placa circular se corresponde con la distancia entre máximo-mínimo de la J0 de Bessel.

No se ve bien en la foto, pero las distancias son:

1º a 2º nodo: 3.98

2º a 3º nodo: 3.17

3º a 4º nodo: 2.89

Si representamos la J0 de Bessel:

1º máx-1º mín: 3.9

1º mín-2º máx: 3.1

2º máx-2º mín: 3.2

Los datos de las distancias los hemos obtenido de una tabla en el que se representan todos los valores de la J0.

Se ve que comparando las distancias, éstas se aproximan mucho. La pequeña incertidumbre que hay es debida a que al usar el Tracker dependiendo de donde se tomen los puntos las distancias pueden variar.

Conclusiones:

· A partir de la ecuación inicial hemos hecho separación de variables y hemos encontrado una ecuación de ondas y el operador Laplaciano con el que hemos podido resolver el problema.

·Hemos encontrado algunas propiedades y simetrías del operador Laplaciano.

·Se ha podido ver que los nodos de la placa circular tiene relación con la función J0 de Bessel

·Hemos realizado cálculos numéricos con Matlab para encontrar figuras de Chladni y se corresponden fielmente.

·Gracias a estos métodos es "fácil" resolver una ecuación como la que trata este problema.

·Hemos visto que las herramientas aprendidas en este curso son útiles para problemas relacionados con la física. En este informe vemos que ayudan para la ecuación de ondas, pero a lo largo del curso también hemos visto que podemos resolver ecuaciones de difusión, del calor (idéntica a la de difusión), Schrödinger, etc.

Bibliografía:

LIBROS, ARTÍCULOS:

Shopie Germain 1816 “Memoir on the Vibrations of Elastic Plates”

LevaniuK, Arkadi P; Cano Vaquero, Andrés. Universidad Autónoma de Madrid. Servicio de Publicaciones 1ª ed “Métodos matemáticas de la física: Método de Fourier”

WEB:

http://www.euskomedia.org/PDFAnlt/formula/04/04153165.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Figuras_de_Chladni

http://www.phys.unsw.edu.au/jw/chladni.html

http://www.dfists.ua.es/experiencias_de_fisica/index08.html

http://laboratorio2.fisica.edu.uy/pdetoolbox.pdf

http://bibing.us.es/proyectos/abreproy/60109/fichero/4.Vibraci%F3n+de+una+placa+cuadrada%252FVIBRACI%D3N+DE+UNA+PLACA+CUADRADA.pdf

http://rudar.ruc.dk/bitstream/1800/5190/1/Chladni%20Pattern.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_Bessel

http://www.phys.unsw.edu.au/jw/chladni.html

http://bibing.us.es/proyectos/abreproy/60109/fichero/6.Bibliograf%EDa+y+anexos%252FBibliografia+y+anexos.pdf