JMC 2018XVII Jornadas de Mecánica Computacional

Pta. Arenas Chile 5 Octubre 2018

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EL MÉTODO DEL ELEMENTO VIRTUAL: TEORÍA Y APLICACIONES USANDO LA LIBRERÍA VEMLab

Alejandro Ortiz-Bernardin, Edgardo Olate-Sanzana, Rodrigo Silva-Valenzuela

CAMLab - Departmento de Ingeniería MecánicaUniversidad de Chile

www.camlab.cl(*) Financiado por CONICYT/FONDECYT No. 1181192

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Motivación

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VEM: nueva herramienta para simulación

Gain, A.L., Talischi, C., Paulino, G.H.: On the virtual elementmethod for three-dimensional linear elasticity problems onarbitrary polyhedral meshes. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 282(0), 132–160 (2014)

Chi, H., Beirão da Veiga, L., Paulino, G.: Some basicformulations of the virtual element method (VEM) for finitedeformations. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 318, 148–192 (2017)Wriggers, P., Reddy, B.D., Rust, W., Hudobivnik, B.: Efficient virtual element formulations for compressible and incompressible finite deformations. Comput. Mech. 60(2), 253–268 (2017)Artioli, E., Beirão da Veiga, L., Lovadina, C., Sacco, E.: Arbitrary order 2D virtual elements for polygonal meshes: partII, inelastic problem. Comput. Mech. 60(4), 643-657 (2017)

Beirão da Veiga, L., Lovadina, Vacca, G.: Virtual Elements forthe Navier-Stokes Problem on Polygonal Meshes. SIAM J. Numer. Anal. 56(3), 1210-1242 (2018)

Beirão da Veiga, L., Brezzi, F., Marini, L.D., Russo, A.: The Hitchhiker’s Guide to the Virtual Element Method. Math. Models Methods Appl. Sci. 24(08), 1541–1573 (2014)Beirão da Veiga, L., Brezzi, F.,

Cangiani, A., Manzini, G., Marini, L.D., Russo, A.: Basic principles of virtual element methods. Math. Models Methods Appl. Sci. 23(1), 199–214 (2013)

Primer artículo:

Otras principales contribuciones:Beirão da Veiga, L., Brezzi, F., Marini, L.D.: Virtual elements for linear elasticity problems. SIAM J. Numer. Anal. 51(2), 794–812 (2013)

Brezzi, F., Marini, L.D.: Virtual Element Methods for plate bending problems. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 253, 455–462 (2013)

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VEM: nueva herramienta para simulación

Elemento poligonal convexo

La formulación admitepolígonos bien generales

(Chi et. al, CMAME, 2017)

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Malla compuesta por 7 elementos poligonales irregulares

Elementos poligonales bien generales…

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Método del Elemento Virtual – Elast. Lineal Estática

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Polígono de tres lados

• dos traslaciones

• una rotación

Movimientos de cuerpo rígido:

Rango de la matriz de rigidez elemental:

Forma bilineal matriz de rigidez:

Base de construcción aproximación y :

R = 6 grados de libertad – 3 movimientos de cuerpo rígido = 3

: desplazamiento (función de prueba)

: desplazamiento (función de peso)

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Método del Elemento Virtual – Elast. Lineal Estática

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Polígono de tres lados

Integración numérica con 1 punto:

es una matriz de tamaño 3x3

• R = 3 (rango completo)• Matriz de rigidez bien condicionada/estable• Matriz de rigidez integrada exactamente

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Método del Elemento Virtual – Elast. Lineal Estática

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Polígono de cuatro lados

• dos traslaciones

• una rotación

Movimientos de cuerpo rígido:

Rango de la matriz de rigidez elemental:

Forma bilineal matriz de rigidez:

Base de construcción aproximación y :

R = 8 grados de libertad – 3 movimientos de cuerpo rígido = 5

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Método del Elemento Virtual – Elast. Lineal Estática

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Polígono de cuatro lados

Integración numérica con 1 punto:

es una matriz de tamaño 3x3

• R = 3 < 5 (rango incompleto)• 2 modos espurios (energía de deformación nula)• Matriz de rigidez subintegrada (inexacta)• Monomio responsable de los modos espurios (1 c/grado de libertad)

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…y en polígonos “serendípitos” con cuadratura de 1 punto

(integración inexacta / error de cuadratura)

(integración inexacta / error de cuadratura)

(monomios orden superior) modos

(monomios orden superior) modos

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Polígono arbitrario (aproximación lineal)Base de construcción aproximación:

Sea . Entonces,

espacio de desplazamientos lineales

espacio términos de orden superior

Espacios de desplazamientos:

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Construcción del métodoA nivel elemental se exige que la proyección satisfaga la siguiente condiciónde ortogonalidad:

la que permite obtener la siguiente “descomposición del elemento virtual”:

“consistencia” “estabilidad”

Primer término puede ser calculado exactamente (términos lineales) Segundo término no está bien definido (contiene elementos )

Aproximando el segundo término por uno que pueda ser calculadoexactamente ( ), podemos escribir

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La condición de ortogonalidad se usa para obtener del siguiente sistema:

Pero como es lineal, la solución se obtiene solo hasta una constante. Para fijar esa constante, agregamos la siguiente ecuación al sistema:

donde es el número de nodos del elemento poligonal y es la coordenadadel nodo .

El proyector obtenido del sistema anterior garantiza que la forma bilineal es:• consistente (el test de la parcela se satisface) • estable (limitada por abajo y por arriba)

Consistencia + Estabilidad Convergencia

(Teorema de equivalencia de Lax)

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la consistencia se garantiza del siguiente modo:

Para implica que:

Usando la descomposición del elemento virtual, en su forma original y en su forma aproximada, respectivamente,

Por lo tanto, se cumple

,

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la estabilidad se garantiza del siguiente modo:

Usando la descomposición del elemento virtual, en su forma original y en su forma aproximada, respectivamente,

Similarmente,

Revela la importancia de usar

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Método del Elemento Virtual – Elast. Lineal Estática

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Forma explícita de las proyecciones

Discretizando componentes del desplazamiento, , obtenemos las expresiones discretas de , , , y por lo tanto de .

La proyección que satisface las condición de ortogonalidad es [Gain et al., CMAME, 2014 ]:

donde

# nodos de E, área de E,

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¿Por qué “virtual”?

Suponiendo que es lineal y continua en el contorno del elemento y que , permite los siguientes cálculos algebraicos:

No requiere evaluación de (son “virtuales”)

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Método del Elemento Virtual – Elast. Lineal Estática

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Construcción de la matriz de rigidez elemental

donde la matriz de consistencia se calcula algebraicamente como:

La matriz de estabilidad se construye mediante

y definiendo ( factor de escalamieto), se obtiene la siguiente expresión algebraica para la matriz de estabilidad:

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Librería VEMLab

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Web: http://camlab.cl/vemlab

Repositorio: https://github.com/cemcen/vemlab

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Generación de mallas poligonalesC. Talischi, G. H. Paulino, A. Pereira, I. F. M. Menezes,PolyMesher: a general-purpose mesh generator forpolygonal elements written in Matlab,Struct Multidisc Optim (2012) 45:309–328

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Función conductora de la simulación

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Función conductora de la simulación

Definición del material

Especificación archivo de malla

Elección método ('VEM2D', 'FEM2DT3', 'FEM2DQ4’)

Elección módulo ('LinearElastostatics', 'Poisson’)

Definición fuerza de cuerpo

Definición condiciones de contorno de Neumann

Definición condiciones de contorno de Dirichlet

Llamada función de ensamble

Llamada función que aplica condiciones de contorno

Llamada función que resuelve el sistema lineal

Llamada función de postproceso

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Opciones de postproceso y salidas

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Ejemplos Numéricos con VEMLab

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Llave de torque y placa perforada

• F = 35

• Material: E = 3e7, n = 0.3

• Esfuerzo plano

• F = 100

• Material: E = 3e7, n = 0.3

• Esfuerzo plano

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Ejemplos Numéricos con VEMLab

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Postproceso en MATLAB

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Ejemplos Numéricos con VEMLab

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Postproceso en GiD

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Ejemplos Numéricos con VEMLab

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Convergencia

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También disponible:

VEMLia: librería para elementos virtuales escrita en Julia

Próximamente…

Veamy: librería para elementos virtuales escrita en C++ Web: http://camlab.cl/veamy

Repositorio: https://github.com/cemcen/veamy

AGRADECIMIENTOS: CONICYT/FONDECYT (Proyecto N° 1181192)

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¡Gracias UMAG!

(12 elementos poligonales irregulares)