hidraulica geral
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ÍndiceObjectivo......................................................................................................................................2
Biografia.......................................................................................................................................3
Introdução....................................................................................................................................4
Breve Revisão a teórica................................................................................................................5
Dedução do teorema de Bernoulli...............................................................................................8
Protocolo experimental..............................................................................................................11
Folha de cálculos........................................................................................................................13
Apresentação Resultados...........................................................................................................15
Conclusão / Discussão dos Resultados.......................................................................................18
Bibliografia.................................................................................................................................19
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Objectivo
O teorema de Bernoulli traduz o principio da conservação da energia, somente
aplicado a líquidos perfeitos (compressibilidade e viscosidades nulas). Com esta
experiência pretendemos verificar a validade do teorema, verificando a relação entre a
energia piezométrica e a energia cinética de um escoamento em pressão, numa conduta
com secção transversal variável.
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Biografia
aniel Bernoulli (1700-1782), é conhecido por ser um matemático holandês
que realizou aplicações da matemática à mecânica dos fluidos e por ter sido o
primeiro a entender a pressão atmosférica em termos moleculares.DEle imaginou um cilindro vertical, fechado com um pistão no topo, o pistão tendo um
peso sobre ele, ambos o pistão e o peso sendo suportados pela pressão dentro do
cilindro. Ele descreveu o que ocorria dentro do cilindro da
seguinte forma:
"Imagine que a cavidade contenha partículas muito pequenas,
que movimentam-se freneticamente para lá e para cá, de modo
que quando estas partículas batam no pistão elas o sustentam
com repetidos impactos, formando um fluido que expande
sobre si caso o peso for retirado ou diminuído..."
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Introdução
Para aplicação do teorema de Bernoulli recorremos ao medidor de Venturi (ou
Venturímetro). É um dispositivo constituído por um tubo, geralmente transparente, com
um estreitamento convergente-divergente, na qual estão instalados vários piezómetros
que nos permite medir a pressão em cada secção do tubo.
Figura 1- Medidor de Venturi (Venturímetro)
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Breve Revisão a teórica
Caudal: é a razão entre o volume (V) e o tempo (t);
Q=Vt
Velocidade média: é a razão entre o caudal (Q) e a área em escoamento (A);
U=QA
Teorema de Bernoulli entre duas secções (1) e (2) e desprezando as perdas de carga;
P1
ρg+
U 12
2 g+Z1=
P2
ρg+
U 22
2 g+Z2
Como o escoamento no medidor de Venturi é horizontal, Z1=Z2, logo:
P1
ρg+
U 12
2 g=
P2
ρg+
U 22
2g=H
H ⟹ Energia total por unidade de peso líquido;
Pρg
⟹ Altura piezométrica e representa a energia de pressão por unidade de peso de
fluído;
Z ⟹ Cota ou altura geométrica em relação a um determinado plano de referência;
U 2
2 g⟹ Altura cinética;
Pressão (P) ¿ ρ.g.h
Então:
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Pρg
+ U 2
2 g+Z1=
ρghρg
+ U 2
2 g=H
Ou:
h=H−U 2
2 g
Assim, pode-se concluir que h (altura piezométrica numa secção qualquer) varia com o
quadrado da velocidade de escoamento.
Na realidade verifica-se a ocorrência de perdas de energia (∆ H ¿ ao longo do
escoamento devido ao atrito do fluído com as paredes das tubagens e ao atrito no
interior do próprio fluído.
Figura 2- Perdas de energia por atrito
Assim, temos que para o escoamento de um fluído real, entre as secções 1 e 2, e
considerando as perdas de carga (∆ H ¿, a equação de Bernoulli a utilizar é a seguinte:
P1
ρg+
U 12
2 g+Z1=
P2
ρg+
U 22
2g+Z2+∆ H
∆ H , Representa a perda de energia por unidade de peso de líquido ou carga, entre as
secções 1 e 2.
Se compararmos as alturas piezométricas em secções com a mesma área, isto é, com
Z1=Z2 e U 1=U 2, obtemos a perda de carga verificada entre essas secções:
P1
ρg−
P2
ρg=∆ H
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Se definirmos Taxa de Recuperação de pressão por:
R=( hs−hmin )( he−hmin )
×100
Em que:
hs - É a altura piezométrica à saída;
he- É a altura piezométrica à entrada;
hmin- É a altura piezométrica na secção mínima;
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Dedução do teorema de Bernoulli
Consideremos a seguinte imagem:
A partir do elemento cilíndrico de um fluido perfeito (sem viscosidade), contido dentro
do tubo obtemos o seguinte.
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O elemento de fluido tem um comprimento ds, uma direcção do escoamento S e as
bases têm área dA. A direcção do escoamento faz um ângulo θ com a horizontal.
As forças que actuam no elemento cilíndrico de fluido são:
- Forças de pressão: pdA e (p+dp)dA;
- Peso do elemento de fluido: dAds.
Pela 2.ª lei de newton ou lei fundamental da dinâmica iremos igualar o
somatório das forças que actuam no elemento cilíndrico, o produto da massa com a
aceleração.
ΣF=m.a
Iremos aplicar o somatório das forças a direcção do escoamento S:
ΣFs=m.a ↔
↔ pdA-(p+dp)dA- γdAds.senθ=ρdAds(dU/dt)
↔ pdA-pdA-dpdA- γdAds.senθ=ρdAds(dU/dt)
↔ (-dpdA- γdAds.senθ=ρdAds(dU/dt)
↔ -dp- γds.senθ=ρds(dU/dt)
↔ -dp- γds(dz/ds)=ρdsU(dU/ds)
↔ -dp- γdz=ρUdU
↔ [-dp- γdz-ρUdU=0]*(-1)
↔ dp+γdz+ρUdU=0 Equação de Euler
Se:
[dp+γdz+ρUdU]/ γ obtemos:
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(dp/ γ ) +dz+(UdU)/g=0 Equação de Bernoulli na forma diferencial.
Na forma diferencial pode aplicada tanto a líquidos como a gases, mas só vamos
estuda-la em líquidos.
Integrando entre dois pontos (A e B) de uma linha de corrente vem (considerando c
constante para os líquidos).
∫ab(1/ γ)dp +∫a
bdz +∫ab(U/g).dU =0
↔ (Pb-Pa)/γ +Zb-Za + (Ub2 - Ua
2)/2g =0
↔ Pb/γ +Zb + Ub2/2g = Pa/γ +Za + Ua
2/2g ou P/γ +Z + U2/2g =0
Em que:
- p/γ é a altura piezométrica;
- Z é a cota ou altura geométrica;
- U2/2g é a chamada altura cinética.
Esta equação traduziu o teorema de Bernoulli e em termos físicos temos:
- p/γ energia de pressão por unidade de peso de fluido ;
- Z energia potencial por unidade de peso);
- U2/2g energia cinética por unidade de peso de fluido.
- P/γ+Z+U2/2g =0 energia mecânica por unidade de peso de fluido ou”carga”.
Os pontos referidos anteriormente (Pb e Pa) devem ser escolhidos de forma a representar
os pontos da secção de escoamento.
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Protocolo experimental
Descrição do Material:
O dispositivo utilizado para demonstração do teorema de Bernoulli foi um medidor de
Venturi.
Este aparelho é constituído por dois troços distintos, onde a primeira secção converge e
a segunda secção diverge.
O tubo convergente-divergente dispõe de 11 piezómetros que permitem calcular a
pressão em vários pontos de escoamento.
O dispositivo tem um painel com diâmetros e áreas dos onze pontos onde se pode
determinar a pressão e a distância horizontal entre tubos piezómétricos.
O medidor de Venturi é utilizado para demonstrar que a energia de pressão varia de
acordo com a velocidade de escoamento.
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Figura 3-Banco hidráulico.
Procedimento:
1. Verificar se o dispositivo de demonstração do teorema de Bernoulli está
correctamente ligado ao banco hidráulico;
2. Ligar a bomba e regular o caudal;
Registar as alturas de água nos vários tubos piezómétricos;
3. Determinar o valor do caudal escoado, pelo método volumétrico: medir um
determinado volume e o respectivo tempo. Repetir pelo menos três vezes;
4. Repetir os passos 2 a 4 para caudais diferentes;
Material Utilizado:
Banco hidráulico
Cronómetro
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Folha de cálculos
Caudais (Q) e alturas piezométricas:
V= 5 L = 0.005 m3
Ensaio 1:
Q1= (0.005/15.4) = 3.25x10-4 m3/s
Q2= (0.005/15.8) = 3.16x10-4 m3/s
Q3= (0.005/15.8) = 3.16x10-4 m3/s
Q (médio) = (Q1+Q2+Q3) /3
Q (médio) = 3.25x10-4 + 3.16x10-4 + 3.16x10-4
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Q (médio) = 3.19x10-4 m3/s
Taxa de recuperação por pressão
R1=((hs-hmin)/(he-hmin))x100
R1=((103-10)/(127-10))x100
R1=79%
Ensaio 2:
Q1= (0.005/16.9) = 2.96x10-4 m3/s
Q2= (0.005/17.1) = 2.92x10-4 m3/s
Q3= (0.005/17.0) = 2.94x10-4 m3/s
Q (médio) = (Q1+Q2+Q3) /3
Q (médio) = 2.96x10-4 + 2.92x10-4 + 2.94x10-4
Q (médio) = 2.94x10-4 m3/s
Taxa de recuperação por pressão
R2=((hs-hmin)/(he-hmin))x100
R2=((150-68)/(170-68))x100
R2=80%
Ensaio 3:
Q1= (0.005/21.4) = 2.34x10-4 m3/s
Q2= (0.005/21.2) = 2.36x10-4 m3/s
Q3= (0.005/21.6) = 2.31x10-4 m3/s
Q (médio) = (Q1+Q2+Q3) /3
Q (médio) = 2.34x10-4 + 2.36x10-4 + 2.31x10-4
Q (médio) = 2.34x10-4 m3/s
Taxa de recuperação por pressão
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R2=((hs-hmin)/(he-hmin))x100
R2=((235-185)/(250-185))x100
R2=77%
Apresentação Resultados
Tabela 1: Áreas e distâncias horizontais dos piezómetros:
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11Área(m2 ) 10−6
(m2)530.
4 422.7 265.9 201.1 221.7 268 318.
8 375 435 500.8 530.9
∆ x 10−3 (m ) 0 20 32 45 61 76 91 106 121 136 156
Tabela 2: Caudais e alturas piezométricas:
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Ensaio Vol(l) ∆ t (s )Q
(m3/ s)Q
(m3/ s) h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8 h9 h10 h11
15 15.4 3.25x10 -4
3.19 x10 -4 127 115 70 10 15 54 75 86 94 98 1035 15.8 3.16 x10 -4
5 15.8 3.16 x10 -4
25 16.9 2.96 x10 -4
2.94 x10 -4 170 162 120 68 74 106 126 136 144 147 1505 17.1 2.92 x10 -4
5 17.0 2.94 x10 -4
35 21.4 2.34 x10 -4
2.34 x10 -4 250
244 219 185 190
207 222 228 232 234 2355 21.2 2.36 x10 -4
5 21.6 2.31 x10 -4
Agora a partir do caudal volumétrico e das áreas dos piezómetros calcula-mos as velocidades médias de escoamento:
Q=UxA ; U=Q/A
Tabela 3:Velocidades dos 3 caudais para cada um dos 11 pontos:
U (m/s)Áreas
x106 (m2)Q1 Q2 Q3
U1 530,9 0,601 0,554 0,441
U2 422,7 0,755 0,696 0,554
U3 265,9 1,200 1,106 0,880
U4 201,1 1,586 1,462 1,164
U5 221,1 1,439 1,326 1,055
U6 268,0 1,190 1,097 0,873
U7 318,8 1,000 0,922 0,734
U8 375,0 0,851 0,784 0,624
U9 435,0 0,733 0,676 0,538
16
U10 500,8 0,637 0,587 0,467
U11 530,9 0,601 0,554 0,441
h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8 h9 h10 h110
50
100
150
200
250
300
Variação das pressões com as áreas
Ensaio 1Ensaio 2Ensaio 3
Piezómetros
Alt
ura
piez
omét
rica
(mm
)
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11
Q10.60100000000000
1
0.75500000000000
1
1.2 1.586
1.439
1.19 1 0.85100000000000
1
0.73300000000000
1
0.63700000000000
1
0.60100000000000
1
Q20.55
40.69
61.10
61.46
21.32
61.09
70.92
20.78
40.67600000000000
1
0.587
0.554
Q30.44
10.55
40.88 1.16
41.05
50.87300000000000
1
0.73400000000000
1
0.62400000000000
1
0.538
0.467
0.441
0.10.30.50.70.91.11.31.51.7
Variação da velocidade com as áreas
ve
locid
ad
e (
U)
m/s
Tabela 4: Perdas de carga:
17
Q1 Q2 Q3
ΔH(m) 24 20 15
Tabela 5: Taxa de recuperação por pressão:
Q1 Q2 Q3
R (%) 79% 80% 77%
Conclusão / Discussão dos Resultados
No troço convergente a velocidade de escoamento vai aumentar (porque diminui a área
da secção recta do escoamento) até atingir o seu valor máximo no ponto de secção
mìnima (garganta). A partir deste ponto tem inicio um troço divergente, no qual a
velocidade do escoamento vai decrescendo progressivamente, como a enegia total é
constante a esta diminuição de energia cinética (velocidade) corresponde a um aumento
de energia de pressão.
Os gráficos construídos com base nos valores obtidos experimentalmente são parábolas.
Uma decresente, para valores crescentes das velocidades de escoamento e que
corresponde á secção convergente do tubo. A outra, é crescente, para valores
decrescentes da velocidade de escoamento na secção divergente.
Nesta experiência verificamos também que existem perdas de carga, estas devem se a
redução da área de escoamento e do atrito com o tubo.
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Bibliografia
Garcia, Valdemar – Mecânica dos Fluidos/ Hidráulica Geral I, Instituto
Politécnico de Bragança, 2006;
Quintela, A. C., Hidráulica, Fundação Calouste Gulbenkian, 3ª edição, Lisboa;
http://pt.wikipedia.org/wiki/Daniel_Bernoulli
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