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UNIVERSIDAD DIEGO PORTALESFACULTAD DE INGENIERIAINSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS

GUÍA N° 2 CÁLCULO I

FUNCIONES REALES

Defina el dominio de las siguientes funciones:

1.6

3)(

2

xxxf . Sol. 2,3IR .

2.sss

ssg

6)(

23

2

. Sol. 2,0,3IR

3. 82)( 2 ttth . Sol. 4[,2-]IR

4.1

)(2

w

wwwl . Sol. 1-[,0[

Verificar los dominios y recorridos de las siguientes funciones:1. 2)( xxf , IRfDom )( , [,0[)(Re fc .

2.1

1)(

xxf , 1)( IRfDom , 0-IR)(Re fc .

3. xxf 4)( , ]4,-])( fDom , [,0[)(Re fc .

Obtenga el dominio y el recorrido de las funciones siguientes.

1. xxf 2)( . Sol. IRfDom )( , IRfc )(Re .2. xxf 2)( , si 51 x . Sol. ]5,1-[)( fDom , ]10,2[)(Re fc

3. 22)( xxf . Sol. IR)( fDom , ]2,-])(Re fc

4. xxf 37)( . Sol. ]3

7,-])( fDom , [,[0)(Re fc

Determine el dominio de la función.

1. ( ) 1h t t . Sol. [,1[)( hDom

2.12

)(2

xx

xxg . Sol.

2

1[,0[)(gDom

3. xxxF 1)( . Sol. ]10,[)( FDom

4. 322)( xxxG . Sol. [,3[)( GDom

5.x

xx

)( . Sol. [0,[)( Dom

Considere las funciones f y g . Determine el dominio de f y el recorrido de g .

1.1x

3x2)x(f ,IRD:f

. Sol. [,2

3]1[-,-] D

2

2. 1x)x(g x R, [,5[:g . Sol. [2,[R

Aplicaciones.

1. Se desea construir un silo de la forma cilíndrica rematado por una bóveda semiesférica.

(a) Exprese el volumen del silo en función r y h.

(b) Exprese el área del silo en función de r y h.

(c) Si el costo de construcción por metro cuadrado es el doble en la bóveda y el suelo comparado con la parte cilíndrica y el volumen del silo es V0

metros cúbicos, exprese el costo de construcción C como función de r y encuentre su dominio.

Sol:

(a) hrrVsilo23

3

2 .

(b) 22 22 rrhrAsilo .

(c) 3 0

2

30

V

r .

2. Un equipo de jockey juega en una pista con capacidad de asientos de 15000 espectadores. Con el precio del boleto en $12, la asistencia promedio en juegos recientes ha sido de 11000 personas. Una investigación de mercado indica que por cada dólar que se reduzca el precio del boleto, la asistencia promedio se incrementará en 1000. Determine el ingreso en función del precio.

3. La orilla de una piscina forma un rectángulo de 60 pies de largo y 30 pies de ancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 4 a 9 pies en un tramo horizontal de 40 pies y después continúa al mismo nivel los restantes 20 pies, como se ilustra en la figura que muestra una sección transversal. Si la piscina se ha llenado desde fuera alcanzando un nivel h en el lado más profundo, determine el volumen V(h) del agua en función de la altura h.

Sol:

45001800

180)(

2

h

hhV

95

50

h

h.

3

Se da una función f .(a) Trace la gráfica.(b) Determine el dominio.(c) Determine el recorrido.

(d) Obtenga los intervalos en los que f crece y en los que decrece.

1. xxf 1)( .(a) Gráfica.

(b) IRfDom )( , (c) IR)(Re fc , (d) Intervalo de decrecimiento es IR.

2. xxxf 4)( 2 .

3. xxf 9)( . (a) Gráfica.

(b) 9,)( fDom , (c) [,[0)(Re fc , (d) Intervalo de decrecimiento es ,9- .

4. 4)( xxf , 41 x .

5. xxxf )( .

4

(a) Gráfica.

(b) IRfDom )( , (c) [,[0)(Re fc , (d) Intervalo de crecimiento es ,0 .

6. 22)( xxf .

7. 1

1)(

2

x

xxf .

(a) Gráfica.

(b) 1)( IRfDom , (c) 2-IR)(Re fc , (d) Intervalo de crecimiento es 1IR .

8. xxf )(

Trace la gráfica de la función definida por pedazos.

1.

2si 1

2si 0)(

x

xxf .

Sol:

5

2.

2si 1

2si 3)(

xx

xxf .

3.

0si 1

0si )(

xx

xxxf .

Sol:

4.

2 si 4

2si 3)(

x

xxxf .

5.

1 si 1

11-si

1si 1

)(

x

xx

x

xf .

Sol:

6.

2si

2si 1)(

2

xx

xxxf .

7.

casootroen todo 0

20si )()(

xxsenxf

Sol:

6

8.

1 si

1si 2)( 2 xx

xxxf .

9.

1 si 2

1 si 1)(

2

xx

xxxf

Sol:

10.

1si )1(

1si 2)(

3

2

xx

xxxxf .

11.

1si 1

10si

0si 12

)(4

2

3

xx

xxx

xxx

xf .

Sol: Es necesario usar calculadora gráfica o Maple.

7

12. Considerando solamente valores positivos de x , probar que

1 si

x

210 si 211

x

x

x

xxy , y dibujar la gráfica.

Función lineal:

1. Determine la pendiente y la intersección con el eje Y de las siguientes rectas:(a) 32 xy , (b) 754 yx .

Sol: (a) 2m y corta al eje Y en el punto )3,0(),0( n . (b) 5/4m y 5/7n .

2. Determine la pendiente y la intersección en y de la recta, y obtenga su gráfica.

(a) 3 yx , (b) 03 yx , (c) 013

1

2

1 yx , (d) 1243 yx .

3. Un fabricante de pequeños aparatos domésticos encuentra que si produce x hornos con tostador en un mes, su costo de producción está dado por la ecuación 000,36 xy( y en dólares).

a. Trace la gráfica de esta ecuación.b. ¿Qué representan la pendiente y la intersección en y de esta gráfica?

4. Se proporcionan ecuaciones (i) y (ii) para la oferta y la demanda. c. Trace la gráfica de las dos ecuaciones en un rectángulo de visualización

apropiado.d. Estime el punto de equilibrio de la gráfica.e. Estime el precio y la cantidad de la mercancía producida y vendida en el punto

de equilibrio.(i) Oferta: 445.0 py , Demanda: 2865.0 py(ii) Oferta: 455.8 py , Demanda: 3006.0 p .

Función cuadrática.

1. Trace la gráfica de la función cuadrática 32)( 2 xxf .Sol:Para esta función tenemos que 2a , 0b y 3c . Como 0a , la concavidad de la función (parábola) apunta hacia abajo. Como 3c , la función corta al eje Y, en este valor de la ordenada. El vértice de la parábola es )4/)4(,2/( 2 aacbabV =

)3,0())2(4/)3)(2(4)0((,)2(2/0( 2 VV . El gráfico es:

8

¿Cuál es el valor máximo de esta función?

2. Determine el valor máximo o mínimo de cada una de las siguientes funciones cuadráticas.a) xxxf 4)( 2 , b) 542)( 2 xxxf .

Sol:a) En este caso a = 1, b = 4 y c = 0. Por lo tanto, el vértice de la parábola es

)4/)4(,2/( 2 aacbabV = ))1(4/))0)(1(4)4((,)1(2/)4(( 2 V = )4,2( V . Es decir, como 0a , en el vértice ( 2x ) , tenemos un mínimo de valor

4)2( f .Gráfica:

b) Observe que en el vértice a

bx

2

,

a

bf

2 es el valor máximo si 0a , mientras

que, es el valor mínimo si 0a .

Para este ejemplo 2a , 4b . Luego, en a

bx

2

= 1

)2(2

)4(

, tenemos un

máximo de valor

a

bf

2 = 35)1(4)1(2)1( 2 f , ya que 0a .

Gráfica:

9

3. Trace la gráfica de la parábola dada y determine las coordenadas de su vértice y de sus intersecciones.

a) 862 xxy , b) 57202 2 xxy , c) 263 2 xxy .4. Determine el valor máximo o mínimo de la función dada.

a) 1)( 2 xxxf , b) 2749100)( tttf , c) 622

1)( 2 xxxf .

5. Si se lanza una pelota hacia arriba con una rapidez de 40 pies/s, su altura (en pies) después de t segundos está dada por 21640 tty . ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?

Sol: 25 pies.

6. Obtenga dos números cuya diferencia es 100 y cuyo producto sea lo más pequeño posible.Sol: 50 , -50.

7. Para las funciones cuadráticas 21.379.1)( 2 xxxf , 221)( xxxf (a) Determine el valor máximo o mínimo de la función dada, correcta a dos decimales

(usando Maple).(b) Determine el valor máximo o mínimo exacto de la función, y compárelo con su

respuesta del inciso (a).8. La temperatura, en la viga de 5 m de longitud, viene dada por 249)( xxxT

°C , donde 50 x m, como se muestra en la figura. Determine: a) La temperatura en el punto 2x m.

b) Los puntos de la viga, que tienen la máxima y la mínima temperatura.

10

Función exponencial. xexf )( .Gráfica de la función.

Aplicación:Una población que experimenta crecimiento exponencial aumenta de acuerdo con la fórmula

rt0 en)t(n , donde )(tn población al tiempo t , 0n tamaño inicial de la población,

r tasa relativa de crecimiento (expresada como una proporción de la población) y t tiempo.

Ejemplo: El conteo de bacterias en un cultivo es de 500. Posteriormente un biólogo hace un conteo de muestra y encuentra que la tasa relativa de crecimiento es de 40% por hora.

a) Obtenga una fórmula para el número )(tn de bacterias después de t horas.b) ¿Cuál es el conteo estimado después de 10 horas?c) Trace la gráfica de la función )(tn .

Sol:a) Utilizamos la fórmula para el crecimiento exponencial de la población con

5000 n y 4.0r para obtener tetn 4.0500)(

donde t se mide en horas.b) Utilizando la fórmula del inciso (a), determinamos que el conteo de bacterias

después de 10 horas es 300,27500500)10( 4)10(4.0 een

c) Gráfica de la función.

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Ejercicios:1. La población de zorros en una cierta región tiene una tasa de crecimiento relativo de 8%

anual. Se estima que la población en 1992 fue de 18,000.a) Determine una fórmula para la población t años después de 1992.b) Use la fórmula del inciso a) para estimar la población en el 2000.c) Trace la gráfica de la función de la población de zorros para los años 1992-2000.

2. Los médicos utilizan yodo radiactivo como trazador en el diagnóstico de ciertos desórdenes de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra de forma que la masa que queda después de t días está dada por la función

tetm 05.06)( donde )(tm está en gramos.

a) Determine la masa en el tiempo t = 0.b) ¿Cuánta masa queda después de 20 días?

3. La población de una especie de ave está limitada por el tipo de hábitat necesario para la anidación. La población está modelada por la fórmula de crecimiento logístico

tetn

044.05.275.0

600,5)(

donde t se mide en años.a) Determine la población inicial de aves.b) Trace la gráfica de la función )(tn .c) ¿A qué tamaño tiende la población conforme transcurre el tiempo?

4. Grafique la función x

ey

x

y comente acerca de las asíntotas verticales y horizontales.

5. Determine los valores máximo y mínimo locales de la función y el valor de x en el cual ocurre cada uno. Exprese cada respuesta a dos decimales.a) xxexf )( , b) xx eexf 3)( .

Sol: (a)

Del gráfico se deduce que en 1x la función es máxima y vale 0.36787944.

12

Función logaritmo natural. )ln()( xxf .Gráfica de la función.

Ejemplos:1. Determine el dominio de la función )4ln()( 2xxf .Sol:

La función dada está definida para 0x . Luego el dominio de f está definido como

04/)( 2 xIRxfDom = 4/ 2 xIRx = 2/ xIRx = [2,2] .

2. Trace la gráfica de la función )4ln( 2xxy y utilícela para determinar las asíntotas y los valores de los máximos y mínimos locales.(Se sugiere usar calculadora gráfica o Maple)

Sol:

Asíntotas verticales en 2x .Para determinar los valores extremos debemos cambiar ventana de visualización.Para el mínimo:

13

Para 15.1x tenemos un mínimo local que vale 1327.1)15.1( f , aproximadamente.Para el máximo:

Para 15.1x tenemos un máximo local que vale 1326.1)15.1( f aproximadamente.

Ejercicios:1. Obtenga la gráfica de la función en un rectángulo de visualización adecuado y utilícela

para determinar el dominio, las asíntotas y los valores máximo y mínimo locales.

(a) )ln(xxy , (b) x

xy

)ln( , (c) )ln( 2 xxy , (d) 2))(ln(xxy .

2. (a) Obteniendo la gráfica de las funciones )1ln(1)( xxf y xxg )(en un rectángulo de visualización apropiado, demuestre que incluso cuando una función logaritmo empieza más arriba que una función raíz cuadrada, finalmente será alcanzada por ésta.

b) Determine, aproximadas a dos decimales, las soluciones de la ecuación

)1ln(1 xx .

14

Función parte entera. xxf )(

Gráfica de la función.

1. Graficar la función xxxf )( .

Sol:

.1. Graficar la función 1)( xxxf .

Sol:

15

Funciones racionales. Son del tipo )(

)()(

xQ

xPxf , donde P y Q son polinomios.

Gráfica de algunas funciones racionales.

(a)x

xf1

)( .

(b)2

1)(

x

xxf .

(c) Trace la gráfica de la función 2

472)(

2

2

xx

xxxf .

Sol: La gráfica de la función dada, es:

16

El gráfico con las asíntotas:

Ejercicios:1. Determine las intersecciones y las asíntotas, y después trace la gráfica de la función

racional.

a)2

4

xy , b)

2

1

x

xy , c)

2

44

x

xy , d)

x

xy

42 , e)

2)3(

18

xy ,

f) )1)(4(

84

xx

xy , g)

)3)(1(

)2)(1(

xx

xxy , h)

12

122

2

xx

xxy ,

i) xx

xxy

3

62

2

., j) 32

632

2

xx

xy , k)

44

552

2

xx

xy .

2. La población de conejos de la granja del señor Jenkins se comporta de acuerdo con la fórmula

1

000,3)(

t

ttp

donde 0t es el tiempo (en meses) desde el principio del año.a) Trace la gráfica de la población de conejos.b) ¿Qué pasa finalmente con la población de conejos?

17

3. A un paciente se le administra una medicina y se monitorea la concentración de la misma en la corriente sanguínea. En el momento 0t (en horas desde la administración de la droga), la concentración (en mg/l) está dada por

1

5)(

2

t

ttc

Grafique la función c utilizando calculadora gráfica o Maple.a) ¿Cuál es la concentración de medicina más elevada alcanzada en la corriente sanguínea

del paciente?b) ¿Qué le ocurre a la concentración de la medicina después de un largo periodo?c) ¿Cuánto tiempo pasa para que la concentración sea menor de 0.3 mg/l?Sol:

a) La concentración de medicina más elevada alcanzada en la corriente sanguínea del paciente, es de 2.5 mg/l.b) Después de un largo tiempo la concentración de la medicina en la corriente sanguínea del paciente tiende a cero.

Para valores grandes del tiempo x (en este caso) la concentración c tiende a cero.

ÁLGEBRA DE LAS FUNCIONES

1. Supongamos que xxf )( y xxg )( .(a) Obtenga las funciones gf , gf , fg , gf / , y sus dominios.(b) Determine )4)(( gf , )9)(( gf , )2)(( fg y )25)(/( gf .

Sol:(a) El dominio de f es IR y el de g es 0/)( xIRxgdom .

)()())(( xgxfxgf = xx , 0/)( xIRxgfDom .

)()())(( xgxfxgf = xx , 0/)( xIRxgfDom .

)()())(( xgxfxfg = xx , 0/)( xIRxfgDom .

)(

)()(

xg

xfx

g

f

= x

x

x , 0/)/( xIRxgfDom .

Se excluye 0x , ya que 0)0( g , indetermina a la función gf / .

18

(b) 44)4()4()4)(( gfgf = 624 .

99)9()9()9)(( gfgf = 639 .

22)2()2()2)(( gffg .

55

25

25

25

)25(

)25()25)(/(

g

fgf .

Gráfica de las funciones f , g , gf , gf , fg y gf / .

19

Ejercicios:1. Determine gf , gf , fg , gf / , así como su dominio.

a) xxxf 2)( , 5)( xxg .

b) xxf 1)( , xxg 1)( .

c)x

xf2

)( , 4

2)(

xxg .

2. Obtenga las gráficas de f , g y gf en una pantalla común, con el fin de ilustrar la suma gráfica.

a) xxf 1)( , xxg 1)( .

b) 2)( xxf , xxg )( .

c) 2)( xxf , 3)( xxg .

d) 4 1)( xxf , 9

1)(2x

xg .

20

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

1. Para las funciones xxf 1)( , 2)( xxg , determine (a) ))(( xgf , (b) )( gfDom , (c) ))(( xfg , (d) )( fgDom

Sol:

(a) ))(( xgf = 21 x .(b) )( gfDom = ]1,1[ .

(c) ))(( xfg = xx 1)1( 2 .

(d) )( fgDom = ]1,] .

2. Utilice 53)( xxf y 22)( xxg para evaluar la expresión dada.a) ))0((gf , ))0(( fg .b) ))4(( ff , ))4((gg .c) )2)(( gf , )2)(( fg .d) ))(( xgf , ))(( xfg .

3. Determine las funciones gf , fg , ff y gg , así como su dominio.a) 32)( xxf , 14)( xxg .

b) xxxf 22)( , 23)( xxg .

c) 1)( xxf , 2)( xxg .

d)1

1)(

xxf ,

1

1)(

x

xxg .

e) 3)( xxf , xxg 1)( .

f)12

2)(

x

xxf ,

2)(

x

xxg .

g)x

xf1

)( , xxxg 4)( 2 .

4. Determine hgf .

a) 1)( xxf , xxg )( , 1)( xxh .

b) 1)( 4 xxf , 5)( xxg , xxh )( .

c) xxf )( , 1

)(

x

xxg , 3)( xxh .

5. Exprese la función en la forma gf .

a) 5)9()( xxF , b) 4

)(2

2

x

xxG , c) 31)( xxH .

6. Se deja caer una piedra en un lago, creando unas ondas circulares que se desplazan hacia el exterior a una rapidez de 60 cm/s. Exprese el área de este círculo como una función del tiempo t (en segundos). Sol: 23600)( ttA .

21

7. Un aeroplano vuela a una rapidez de 350 millas/h a una altitud de 1 milla. El aeroplano pasa directamente por encima de una estación de radar en el tiempo 0t .a) Exprese la distancia s entre el aeroplano y la estación de radar como una función de

d .b) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que ha volado el aeroplano como una

función de t (en horas).c) Utilice la composición para expresar s en función de t .Sol:

(a) 21)( ddfs , (b) ttgd 350)( , (c) 2500,1221))(( ttgfs .

FUNCIONES UNO A UNO Y SUS INVERSAS

1. Determine si la función 52)( 2 xxxf , es uno a uno.Sol:

Si 21 xx entonces 22

21 xx no es siempre cierto, ya que por ejemplo 22 no

implica que 42)2(4 22 . Luego 52)( 2 xxxf no es uno a uno.

De la otra forma, si )()( 21 xfxf entonces 5252 22

212

1 xxxx . Simplificando,

obtenemos 22

21 xx . Es decir, 21 xx . Luego, no se cumple que 21 xx . Por lo tanto

52)( 2 xxxf , no es uno a uno.

2. Determine si 1)( 3 xxf , es uno a uno.Sol:

Supongamos que )()( 21 xfxf , es decir, 11 32

31 xx . De donde se deduce que

32

31 xx . Aplicando raíz cúbica a ambos lados, obtenemos 21 xx . Por lo tanto

1)( 3 xxf , es uno a uno.

3. Si 6)3( f , 4)0( f , y 2)5( f , determine )6(1f , )4(1f y )2(1 f .Sol:

De la definición de 1f obtenemos:

3)6(1 f , ya que 6)3( f .

0)4(1 f , ya que 4)0( f .

5)2(1 f , ya que 2)5( f .

4. Demuestre que 3)( xxf y 3/1)( xxg son inversas entre sí.Sol:

Como xxxfxgf 33/13/1 )()())(( y xxxgxfg 3/133 )()())(( , se deduce que xxfgxgf ))(())(( , es decir Ifggf , la función identidad. En pocas

palabras 1 fg o 1 gf .

22

5. Determine la función inversa de xxf 53)( .Sol:

Despejamos x de yxxf 53)( . Esto es 5

3

yx , es decir,

5

3)(1

yxyf .

Luego, la función inversa es 5

3)(1 x

xf . En término de la variable independiente x .

6. Determine si la función es uno a uno.

a) 37)( xxf , b) xxg )( , c) 1)( 4 xxh , d) xxs )( .

7. Suponga que f es una función uno a uno.

a) Si 7)2( f , determine )7(1f .

b) Si 1)3(1 f , determine )1(f .

c) Si xxf 25)( , determine )3(1f .

d) Si xxxg 4)( 2 con 2x , determine )5(1g .

8. Obtenga la función inversa de f .

a) 54)( xxf . b)2

1)(

xxf , 2x . c)

x

xxf

25

31)(

.

d) xxf 52)( . e) 24)( xxf , 0x . f) 34)( xxf .

g) xxf 11)( . h) 29)( xxf , 30 x . i) 4)( xxf , 0x .

9. Para la función f , (i) 63)( xxf , (ii) 216)( xxf , 0x (iii) 1)( xxf .

(a) Trace la gráfica de f , (b) Use la gráfica de f para obtener la de 1f ,

(c) Determine 1f .

FUNCIONES DE USO PRÁCTICO

1. La gráfica proporciona la distancia a que está un vendedor de su hogar como una función del tiempo en un día determinado. Describa en palabras lo que indica la gráfica respecto de sus recorridos durante en ese día.

23

Sol: De 8 a 9AM se aleja de la casa aumentando progresivamente su rapidez. De 9 a 10AM se encuentra a la misma distancia de su casa. De 10 a 12AM se aleja nuevamente de su casa con rapidez constante. De 12AM a 1PM seguramente está almorzando. Entre 1 y 3PM se acerca a su casa y luego se aleja desde las 3 a las 5PM. En este punto descansa por una hora, para luego regresar a su casa a las 7PM.

2. Coloque cubos de hielo en un vaso, llene éste de agua fría y déjelo sobre una mesa. Trace una gráfica aproximada de la temperatura del agua como una función del tiempo transcurrido.

3. Trace una gráfica aproximada de la temperatura exterior como una función del tiempo durante un día de invierno típico.

4. En la tabla se muestra la población P (en miles) de San José, California, de 1984 a 1994. (Se dan estimaciones a mediados de año).

t P1984 6951986 7161988 7331990 7821992 8001994 817

Trace una gráfica de P como una función del tiempo t.Sol: Usando EXCEL, tenemos.

Población San José California

650

700

750

800

850

1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996

años

Po

bla

ció

n(m

iles

)

P

5. Obtenga una fórmula para la función descrita, a continuación, y diga cuál es su dominio.(a) Un rectángulo tiene un perímetro de 20 pies. Exprese el área A del rectángulo como

una función de la longitud x de uno de sus lados.Sol: Las dimensiones de los lados del rectángulo se muestran en la figura. El área del

rectángulo es xxA )10( . Su dominio, es 100 x .

24

(b) Exprese el área de un triángulo equilátero como una función de la longitud x de un lado.

Sol: 0 ,4/)3( 2 xxA .(c) Exprese el radio r de un círculo como una función de su área A.

Sol: 0 ,/ AAr .(d) Una caja rectangular abierta con un volumen de 12 pies3 tiene una base cuadrada.

Exprese el área de la superficie A de la caja como una función de la longitud x de un lado de la base.

Sol: 0 ),/48(2 xxxA .(e) Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo

sobrepuesto como se muestra en la figura. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área de la ventana como una función del ancho x de la misma.

Sol: 0 ,8/)4(15 2 xxxA .(f) Un granjero tiene 2,400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que bordea

un río recto, como se muestra en la figura. No necesita cerca a lo largo del río. Exprese el área A del campo en función del ancho x del mismo.

Sol: 12000 ,)1200(2 xxxA .(g) Dos barcos zarpan simultáneamente de un puerto. Uno navega hacia el sur a 15

millas/h y el otro hacia el este a 20 millas/h. Exprese la distancia d entre los barcos como una función de t, el tiempo (en horas) transcurrido desde su salida.

Sol: 0 ,25 ttd .

25

6. El peso de un objeto a una altura h sobre la superficie de la tierra está dado por

0

2

hR

R

donde 0 es el peso del objeto al nivel del mar y kmR 400,6 es el radio de la Tierra.

Suponga que el peso de un objeto al nivel del mar sea de 80N. Utilizando un rectángulo de visualización apropiado, obtenga la gráfica del peso del objeto en función de su altura.Sol: ¿Cuánto pesa usted si está a una altura de 6000m sobre el nivel del mar?

7. Para un pez que está nadando a una rapidez v en relación con el agua, el consumo de energía por unidad de tiempo es proporcional a 3v . Si el pez está nadando contra la corriente con una rapidez de u millas/h, donde vu , entonces el tiempo necesario para recorrer una distancia de L millas es )/( uvL y la energía total requerida para recorrer la distancia es

uv

LvvE

373.2)(

Suponga que la rapidez de la corriente es 5u millas/h. Trace la gráfica de la energía )(vE necesaria para nadar una distancia de 10 millas como una función de la rapidez v

del pez.Sol:

8. Escriba una ecuación que exprese el enunciado. (a) R varía directamente con t .

26

Sol: La ecuación que expresa el enunciado anterior es ktR , donde k es la constante de proporcionalidad que hace posible que la igualdad se cumpla.

(b) P es directamente proporcional a u .(c) v es inversamente proporcional a z .(d) w es conjuntamente proporcional a m y n .(e) y es proporcional a s e inversamente proporcional a t .(f) z es proporcional a la raíz cuadrada de y .(g) A es proporcional al cuadrado de t e inversamente proporcional al cubo de x .

9. Exprese el enunciado como una fórmula. Utilice la información dada para determinar la constante de proporcionalidad.(a) y es directamente proporcional a x . Si 4x , entonces 72y .(b) M varía directamente con x e inversamente con y . Si 2x y 6y , entonces

5M .

Sol: La ecuación que satisface el enunciado es y

xkM .

Para 2x y 6y se tiene que 5M . Reemplazamos estos valores en y

xkM ,

6

25 k , de donde obtenemos 15k . Luego, la fórmula para el enunciado dado es

y

xM 15 .

(c) W es inversamente proporcional al cuadrado de r . Si 6r , entonces 10W .

10. La ley de Hooke dice que la fuerza necesaria para mantener un resorte estirado x unidades más allá de su longitud natural es directamente proporcional a x . Aquí la constante de proporcionalidad se conoce como la constante del resorte.(a) Escriba la ley de Hooke como una ecuación.(b) Si un resorte tiene una longitud natural de 10 cm y se requiere una fuerza de 40 N

para mantener el resorte estirado a una longitud de 15 cm, determine cuál es la constante del resorte.

(c) ¿Qué fuerza se necesita para mantener estirado el resorte una distancia de 14 cm?

27

Sol: a) kxF , b) 8 , c) 32 N.

11. El costo de imprimir una revista es conjuntamente proporcional a su número de páginas y al número de revistas impresas.(a) Escriba una ecuación para esta variación conjunta si el costo de impresión es de

$60,000 para 4,000 copias de una revista de 120 páginas.(b) ¿Cuál sería el costo de impresión para 5,000 copias de una revista de 92 páginas?

Sol: a) pnC8

1 , b) $57,500.

12. La resistencia R de un alambre varía directamente con su longitud L e inversamente proporcional con el cuadrado de su diámetro d .(a) Un alambre de 1.2 m de largo y 0.005 m de diámetro tiene una resistencia de 140

ohms. Escriba una ecuación de esta variación y determine la constante de proporcionalidad.

(b) Determine la resistencia de un alambre fabricado del mismo material que tenga 3 m de largo y un diámetro de 0.008 m.

Sol: a) 2/ dkLR , 600291.02400

7k , b) 137 .