funciones reales de variable real
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Este trabajo tiene como finalidad principal de reforzar los conocimientos de nuestros estudiantes en el capitulo de funciones, lo cual puede ser demostrativo a través del WinplotTRANSCRIPT
Definición de Relación y de FunciónRelación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elemento del Recorrido o Rango.
Una relación de A en B es cualquier subconjunto de A x B. Si A x B = { (1 ; 2) , (1 ; 3) , (2 ; 2) , (2 ; 3) }Entonces:
R1= { (1 ; 2) }R = { (x ; y) / x y ; x A , y B}
R = { (2 ; 2) }R =
Una Función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido.
(Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)
Sean A y B dos conjuntos no vacíos.Una función F de A en B (f = A B) es un conjunto de pares ordenados tal que todos los elementos de A debe tener un único elemento en B.
Ejemplos:
A B f
A B f
A B f
S i es función
Si es función
No es función
NOTACIÓN:
BA:fDOIMINIO
A B
PREIM AGEN IMAG EN
RANGO
DO MINIO O CO NJU NTO D E
PARTIDA
CO NJU NTO DE LLEGADA
O RANGO
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REALSon aquellas funciones cuyo dominio y
rango es un subconjunto de R.Ejemplo:
f = 0 ; 1 Rf : R R
DOMINIO:Dom(f) = { x / (x ; y) f }RANGO:Ran(f) = { y / (x ; y) f }
REGLA DE CORRESPONDENCIAEs aquella ecuación que nos permite relacionar los elementos del dominio con los elementos del rango.Ejemplo:
1
2
3
4
A B
f
2
9
28
65
)x(fy
Variable independienteVariable dependiente
y = x3 + 1f = { (x ; y) / x A y B }
Ejemplo:
f(5) = 52
f(4) = 42
f(2) = 22
2
5
4
A B
f
16
25
4
Entonces:f(x) = x2 ; x {2 ; 4 ; 5}
Grafica de una función real en variable realLa grafica de una función “f” es la representación geométrica de los pares ordenaos que pertenecen a la función.Gra(f) = { (x ; y) R2 / y = f(x) ; x Domf }Ejemplo:
x
y
3xy F(x) = x3
Dom f = R
TEOREMA:Sea f : R RSi toda recta paralela al eje “y” corta a la grafica a lo más en un punto, dicha grafica será la representación de una función.
x
y
Recta
Es función No es función, es una RELACIÓN
x
y
Recta
NOTA: Generalmente una función estará bien definida cuando se especifique su dominio y regla de correspondencia.
FUNCIONES ESPECIALESFUNCIÓN CONSTANTE Regla de Correspondencia:
Cf )x(
x
y f
c > 0
cDom f = RRan f = {c}
xf )x(
x
y
45°
Y=x a
a
FUNCIÓN IDENTIDAD
Regla de Correspondencia:
Dom f = R
Ran f = R
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
Regla de Correspondencia:
|x|f )x(
Dom f = R ; Ran f = 0 ; +
Sea y = |x|, tabulando:3210123y
3210123x
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
y=|x|
FUNCIÓN LINEALRegla de Correspondencia:
0m;bmxf )x(
Pendiente de la rectaDom f = R ; Ran f = R
x
y
b f(x )
m>0 b>0
m>0 b<0
b<0 m<0
b>0 m<0
b
x
y
b
b
Observación:*Si la pendiente (m) es negativa, la recta se inclina hacia la izquierda. Si la pendiente (m) es positiva, la recta se inclina hacia la derecha.
FUNCIÓN CUADRÁTICA: cbxaxf 2)x( ; a 0
Completando cuadrados podemos darle la siguiente forma:
k)hx(af 2)x( ; a 0
Donde: V = (h ; k) es el vértice de la parábola.Si: a > 0 la parábola se abre hacia arriba.Si: a < 0 la parábola se abre hacia abajo.
A continuación analicemos la grafica de esta función, teniendo como referencia a su discriminante.
A. PRIMER CASO
Si A > 0, la grafica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes formas:
x
y
x 2x 1
k v
h
f
0
0a
1
x1 , x2 son las raíces reales y diferentes de f(x).Ran f = k ; +; observar que el mínimo valor de la función es kDom f = R
x
y
x 2x 1
k
h
f 0
0a
v
2
x1 , x2 son las raíces reales y diferentes.Ran f = - ; k, observar que el máximo valor de la función es k.
x
y
x 1 = x2
f 0a
x
yx 1 = x2
f 0a
Ran f = 0 ; +Dom f = R
Donde x1 ; x2 son las raíces reales e iguales.Ran f = - ; 0Dom f = R
•Segundo CasoSi + = 0, la grafica podría tener cualquiera de las siguientes formas:
x
y
k
h
f
v 0
0a
x
y
k
h
v 0
0a
Observar que la parábola no interfecta al eje real “x” por lo tanto no existen raíces realesRan f = k ; +
Ran f = - ; k
•Tercer CasoSi + < 0, la grafica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes formas:
0
1
2
3
4
5
0 5 10 15 20 25
Función Raíz Cuadrada: La función
es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue:
Su dominio es [0, ) y el recorrido es [0, ).