teoria de funciones reales de variable real

Captulo 3

Funiones reales de variable real

43

44 CAPTULO 3. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Departamento de Matemtia Apliada E.U.P. San Sebastin

3.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 45

3.1. Planteamiento del problema

Figura 3.1: Modelizain del problema

Tendremos un modelo que nos die mo se expresa una variable mediante otra, es deir,

tendremos una funin: x = f(y), y = g(x), x = h(t), t = s(x)f, g, h, s: indian qu relain existe entre el par de variables.En el tema anterior (suesiones), ya estudiamos mo se omportaba una variable a en fun-

in de otra n; por ejemplo: an =

n+1n , n 1

Esta expresin tambin podemos esribirla as:

a(n) = n+1n , n = 1, 2, 3, . . . (n es una variable natural)La diferenia es que ahora nos interesan las relaiones del tipo y = f(x) donde x R. Elproblema que nos planteamos es el mismo que para las suesiones: desarrollar un instru-

mental matemtio on el que seamos apaes de analizar las propiedades de una funin

ualquiera y = f(x).

3.2. Propiedades a estudiar de las funiones

Las propiedades que estudiamos para las suesiones tambin son interesantes ahora.

Bsiamente eran:

Figura 3.2: Estudio del reimiento

E.U.P. San Sebastin Departamento de Matemtia Apliada


Creimiento

Para una suesin an y para una funin y = f(x). (ver la gura 3.2)

Aotain

Para una suesin an y para una funin y = f(x). (ver la gura 3.3)

Figura 3.3: Aotain

Comportamiento uando la variable independiente tiende a Para una suesin an y para una funin y = f(x). (ver la gura 3.4)

Figura 3.4: Estudio de la asntota

Pero resulta que ahora hay propiedades nuevas que tambin nos interesan, por ejemplo:

Zona donde est denida ada variable

Para las suesiones xn, la variable n siempre reorre N. En ambio, para y = f(x) lavariable x no siempre puede ser ualquier valor de R: f(x) = 1x , h(x) =

1(x1)(x+2) ,

g(x) =

(x 1)(x+ 2) tiene omo dominio:f(x) : x R | x 6= 0h(x) : x R | x 6= 1,2

g(x) : (x1)(x+2) 0{

x 1 0 x+ 2 0x 1 0 x+ 2 0

{x 1x 2 x [1,){x 1x 2 x (,2]


3.2. PROPIEDADES A ESTUDIAR DE LAS FUNCIONES 47

Luego el dominio es: (,2] [1,)

Deniin 3.1 El dominio de y = f(x) es el subonjunto de R donde la variable xde la funin toma valores.

Deniin 3.2 El rango de y = f(x) es el subonjunto de R donde se enuentranesos valores de y.

Por ejemplo:

y = x2

D = (,) R = [0,)

Figura 3.5: Dominio y rango

D = (1, 3] R = (1, 9]

Figura 3.6: Dominio y rango



Comportamiento de y uando x se aera a un ierto valor x0 (on las suesiones, slopuede estudiarse mo se omporta xn uando n )Veamos otro ejemplo (ver la gura 3.8: A medida que que la x se aproxima a x0 por

Figura 3.7: Estudio del lmite

la dereha (x > x0) la variable y se hae arbitrariamente grande.A medida que que la x se aproxima a x0 por la dereha (x > x0) la variable y se

Figura 3.8: Salto

aera a c. Si x se aera a x0 por la izquierda (x < x0), y se aera a d.En el ejemplo de la gura 3.9, uando la variable x pasa por x0, se produe un ambio

Figura 3.9: Cambio de tendenia

en el modo en que la variable y vara (de parablio a lineal).

Otros parmetros denidos por una funin y = f(x):

rea de una regin plana: (ver la gura 3.10 (a))

Longitud de una urva. Centro de gravedad: (ver la gura 3.10 (b))

Volumen de revoluin. rea de revoluin: (ver la gura 3.10 ())

Valor medio de y: (ver la gura 3.10 (d))


3.3. EL CONCEPTO DE FUNCIN: DIFERENTES REPRESENTACIONES 49

Figura 3.10: (a): rea; (b): Longitud de una urva; (): Volumen de revoluin; (d): Valor

medio de y

3.3. El onepto de funin: diferentes representaiones

Figura 3.11: Representain de funiones

Ejeriio 3.1 Resolvamos el ejeriio 1 de la relain de problemas:

a) Analtia (ver la gura 3.12):

A() =H2 sen cos

2=

H2

4sen 2



Figura 3.12: Ejeriio 1-a

[0,

2

], A

[0,H2

4

]

Gra (ver la gura 3.13):

Figura 3.13: Ejeriio 1-a

Tabla:

A

0 0/8 0. 18 H2

/4 0. 25 H2

3/8 0. 18 H2

/2 0

Conjunto de R2:

{(, H

2

4 sen 2)| [0, pi2 ]}

b) Analtia (ver la gura 3.14):

H(L) =L2 + 4

L [0,), H [2,)



3.3. EL CONCEPTO DE FUNCIN: DIFERENTES REPRESENTACIONES 51

Figura 3.14: Ejerio 1-b

Figura 3.15: Ejeriio 1-b

Tabla:

L H

0 20. 3 2. 020. 7 2. 126 6. 3215 15. 1330 30. 07

Curioso, a medida que L ree, H se aera a L. Es lgio?. Viendo la gra, H = Les asntota, la gra nos india que H > L siempre.

Conjunto de R2: {(L,L2 + 4 | L [0,)}

) Analtia (ver la gura 3.16):

L(H) =H2 25

H [5,), L [0,)




Figura 3.16: Ejeriio 1-

Figura 3.17: Ejeriio 1-

Tabla:

H L

5 07. 3 5. 3212. 1 11. 0236. 8 36. 46150 149. 9

Conjunto de R2: {(H,H2 25) | H 5}

Tambin observamos que uando H tiende a , L(H) tiende a H pero ahora L(H) L() R2

2> R R > 2


3.4. FUNCIN INVERSA 55

Figura 3.22: Ejeriio 1-f

A() = L() R = 2, = 0 RA() < L() R < 2

Cul es la distania entre A() y L()? (ver la gura 3.23)

D(R) = |A(R)L(R)| =R22 R

= RR2 1

=

R(R2 1

)si R > 2

0 si R = 2

R(1 R2

)si R < 2

(0, 2], D(R) (0,)

Figura 3.23: Ejeriio 1-f

3.4. Funin inversa

Dada una funin y = f(x), a vees interesa obtener x = h(y); en este aso x pasa avariable dependiente e y a variable independiente.

Ejemplo 3.1 En el lanzamiento de una pelota haia arriba

h(t) = g t22 + v0t t [0, 2gv0

], h [0,H], H = v202g (ver la gura 3.24)

Ahora, puede interesarnos obtener, para ada h, el instante t en el que se alanza laaltura h



Figura 3.24: Lanzamiento de la pelota

t =v0

v20 2ghg

=

{t1

t2En este aso, t slo es nio si h es la altura mxima H, y en este aso t = v0/g. Pero engeneral, existen dos valores posibles de t (ver la gura 3.25).

Figura 3.25: Dominio det y rango de h

El enuniado general de esta situain es:

y = f(x), x D, y Rx D ! y R | f(x) = y luego f(x) es funin, pero: y R | x1, x2 D, x1 6= x2 | f(x1) = f(x2) = ypor lo que no existe funin inversa (para ser funin, a ada valor de la variable indepen-

diente debe orresponder un nio valor de la variable dependiente).

Una analoga:

Varios aminos para elegir. Cada uno de ellos lleva de forma nia a un destino. Pero si la

bola est en un destino (valor de la variable independiente) no s ual fu el amino elegido

para llegar (valor de la variable dependiente).

Suelto la bola en 1, 2, 3 4 (ver la gura 3.26):

Cada ele

in de punto iniial 1, 2, 3, 4 nos lleva de forma nia a A o B. Es una funin:

- Dominio: 1, 2, 3, 4- Rango: A,BPero si slo onozo el valor en el rango, no siempre puedo deir ual fu el punto de partida

(ver la gura 3.27):

Este problema (estudiar la proedenia de las bolas, sabiendo que que se enuentra en

A) se puede abordar mediante la teora matemtia que estudia el azar (Teora de la proba-



Figura 3.26: Caminos de la bola

Figura 3.27: Camino determinado e indeterminado

bilidad). En la teora que estamos estudiando (Clulo innitesimal) se estudian situaiones

en las que a ada valor de una variable independiente x le orresponde un nio valor deuna variable dependiente y. En el aso de que a ada y le orresponda un nio x, diremosque existe funin inversa, y se denota f1(y) (ver la gura 3.28).

Figura 3.28: Funin biyetiva

Ejeriio 3.2 Existirn ondiiones suientes para garantizar la existenia de funin

inversa? (ver la gura 3.29)

Disusin: Dada una funin reiente/dereiente a tramos (por ejemplo la de la pelota

lanzada haia arriba), mo onstruir una funin que s admita inversa?

Soluin: restringir el dominio de x (ver la gura 3.30).- Dominio D = [a, b]- Rango R = [d, e]



Figura 3.29: Creimiento y dereimiento

Figura 3.30: Funin original

Ejeriio 3.3 Construir diversas funiones a partir de la anterior, tal que exista inversa

(ver la gura 3.31).

Figura 3.31: Funiones extradas que tienen inversa

Inversas de algunas funiones elementales:

1. y = ex x = ln y, x (,+) y (0,) (ver la gura 3.32)

2. y = senx no existe inversa en D= R, pero s tomando, por ejemplo, x [/2, /2](ver la gura 3.33)

y [/2, /2] ! x [1, 1] tal que senx = y x = arc sen y

3. y = cos x, 6 inversa en D = R, pero s en [0, ]y [1, 1] ! x [0, ] tal que cos x = y x = arc cos y (ver la gura 3.34)



Figura 3.32: y = ex y = ln(x)

Figura 3.33: y = senx y = arc sen x

Figura 3.34: y = cos x y = arc cos x

4. y = tg x, 6 inversa en D = R, pero s en (pi2 , pi2 )

y (,) ! x (pi2 , pi2 ) tal que tg x = y x = arc tg y (ver la gura 3.35)



Figura 3.35: y = tg x y = arc tg x

3.5. Composiin de funiones

Ejemplo 3.2 Supongamos que dejamos aer una piedra en medio de un estanque en alma.

Se forman ondas irulares onntrias. Si el radio de una onda es r unto vale su rea?

A(r) = r2

Ahora bien, el valor del radio r vara on el tiempo, es deir aparee otra funin (ver lagura 3.36)

r = r(t)

Figura 3.36: Ondas

Cmo podemos esribir el valor del rea A en funin de t?. Supongamos que r(t) =0. 6t, entones

A(r) = r2 r(t) = 0. 6t A(t) = (0. 6t)2 = 0. 36t2

(ver la gura 3.37)

Por tanto, la funin A(t) est denida en dos pasos:Primeramente tomo un valor de la variable independiente t. Se obtiene un valor de la

variable dependiente r: r(t) = 0. 6t. Luego, tomo ese valor de r omo variable independiente,


3.5. COMPOSICIN DE FUNCIONES 61

Figura 3.37: Composiin

Figura 3.38: Dos pasos

y alulo el valor de la variable dependiente A(r) = r2 (ver la gura 3.38).

Esta deniin de funin A en dos pasos se llama omposiin .

r(t) = 0. 6t y A(r) = r2 A(r(t)) = (0. 6t)2

Ejemplo 3.3 Giro de la rueda de un automvil (ver la gura 3.39).

x = R, [0,

3

2

], siendo: x

[0,

3R

2

]

Supongamos que el motor proporiona una revoluin por segundo: (t) = 2t, t segun-dos.

Luego x(t) = (t)R = 2tR metros (ver la gura 3.40)

x((t)) = x(t) : omposiin (ver la gura 3.41)

0 3pi2 0 2t 3pi2 0 t 34 = 0. 75 segundos (ver la gura 3.42)



Figura 3.39: Rueda

Figura 3.40: Funin


El motor podra proporionar diferentes veloidades de giro:

(t) = 2t2, (t) = 2 et por ejemplo.

Ejeriio 3.4 Representar en estos asos x(t), determinando el dominio de la variable t.

Ejemplo 3.4 A vees una omposiin de funiones puede simpliar la expresin de una

funin.

y =x+ 3

x, siendo x [1. 3, 2. 6] el dominio de la funin.

y(1. 3) = 2. 23 e y(2. 6) = 2. 99 Rango= [2. 23, 2. 99]

Si tomamos x = z6 (ver la gura 3.43), z3 = x1/2 y tomando la raz positiva:


3.6. LMITES DE FUNCIONES 63


Figura 3.43: Ejemplo 3.4

y(z) = z3 + z2 = z2(z + 1)

61. 3 = 1. 04 y 6

2. 6 = 1. 17 z [1. 04, 1. 17]

Ejeriio 3.5 Haer el ejeriio pero tomando x1/2 = z3. Obtener y(z) y x(z)

3.6. Comportamiento de una funin y(x) en las proximidadesde x = a (lmites)

En el aso de las suesiones, no tiene sentido el estudio del omportamiento de an uandon se enuentra prximo a n0:para n N no existen valores naturales en (n 1, n) ni en (n, n+ 1).

En ambio, si la variable es real, siempre existen valores en R arbitrariamente prximos

a x = a.

De heho, existen TANTOS nmeros reales en (a, b) omo en todo R !



Figura 3.44: N es un onjunto disreto

Figura 3.45: Entorno del punto a

Ejemplo 3.5 y = x2 + 1, D = R, R = [1,) (ver la gura 3.46)Veamos omo se omporta y uando x toma valores prximos a x = 2.

Figura 3.46: y = x2 + 1

x y

1. 9 4. 611. 99 4. 96011. 999 4. 9960

A medida que x se aera a 2, y se aera a 5; pero ojo, este es el omportamiento de ysegn la x se aera a 2 on ese modo determinado que hemos estableido. Cmo podemosdemostrar que independientemente de la forma en que x se aerque a 2, la y siempre seaera a 5?

Idea: modo arbitrario de aeramiento a 2 suesin onvergente a x = 2Por ejemplo, xn = 2 +

1n y(xn) =

(2 + 1n

)2+ 1 = 5 + 4n +

1n2

luego,

lmn

(5 +

4

n+

1

n2

)= 5

Pero lo hemos omprobado en UN aso partiular

(xn = 2 +

1n

)Pero mo haerlo en general?


3.6. LMITES DE FUNCIONES 65

Sea {xn} tal que

lmnxn = 2

Se umplir la igualdad

lmn y(xn) = 5?

y(xn) = (xn)2 + 1 lm

n[(xn)

2 + 1]=(lmn

xn

)(lmn

xn

)+ lm

n1()= 2 2 + 1 = 5

() El lmite de la suma y del produto de un nmero nito de suesiones onvergentes es,respetivamente, la suma y el produto de los lmites. El lmite de una suesin onstante

es la propia onstante.

Ejemplo 3.6

y =x2 1x 1 , D = R {1}

Tomemos la suesin {xn} que tiende a 1. Cul es el lmn y(xn) ?

lmn

y(xn)()= lm

nx2n 1xn 1 = lmn

(xn + 1)(xn 1)xn 1 = lmnxn + 1 = 2

() Ojo, la suesin {xn} NO puede alanzar el valor 1.

Este ejemplo nos muestra que NO toda suesin puede utilizarse. No basta on que

lmn xn = a tambin xn debe estar en el dominio de la funin, para que tenga sentidoy(xn). En el ejemplo, a / D por lo que no existe f(a).

Por otra parte:

y =x2 1x 1 =

(x+ 1)(x 1)x 1 = x+ 1

Qu diferenia hay entre y = x21x1 e y = x+ 1? (ver la gura 3.47)

Slo podemos simpliar si x 6= 1:

y =

x2 1x 1 , D = R {1}

y = x+ 1

ambas funiones son idntias para x 6= 1.



Figura 3.47: y = x+ 1 e y = x21x1

Deniin 3.3 Independientemente del modo en que la variable x se aproxima al punto a(evidentemente, estando dentro del dominio), la variable y SIEMPRE se aproxima al mismovalor, al que llamaremos lmite.

De manera formal:

xn | lmnxn = a xn D, lmn y(xn) = l

Resumimos este onepto denotando:

lmxa

f(x) = l

Disusin: Cmo podemos demostrar que, para ierta funin y(x), no existe lmxa f(x)?

6 lmny(xn) xn, zn (xn, zn D) | lmnxn = lmn zn = a lmn y(xn) 6= lmn y(zn)

Ejemplo 3.7 y(x) =

{x2 + 1 x < 02 x x > 0 D = R {0}

lmx0 y(x) ?

Por ejemplo, xn =1n , zn =

n+1n2+1

lmnxn = lmn zn = 0

xn 6= 0 6= zn xn, zn D

lmn

y(xn) = lmn

(2 1

n

)= 2

lmn

y(zn) = lmn

(2 n+ 1

n2 + 1

)= 2


3.7. CLCULO DEL LMITE DE R(H) 67

sto NO demuestra ni que existe lmite ni que no existe.

Si tomamos la suesin: wn = 1n < 0

lmn y(wn) = lmn

(( 1n

)2+ 1

)= lm

n

(1

n2+ 1

)= 1

As pues, el valor al que tiende y depende del amino que usemos para aerarnos a x = 0(ver la gura 3.48) luego NO existe lmx0 y.

Figura 3.48: Lmite dependiente del amino

Si xnn 0, xn > 0 lmn y(xn) = 2

denotamos, lmx0+ y(xn) = 2

Si xnn 0, xn < 0 lmn y(xn) = 1

denotamos lmx0 y(xn) = 1

Ejeriio 3.6 Denir formalmente:

lmxa+

y, lmxa

y

3.7. Clulo del lmite de R(h)

El heho de que una variable y admita (lmxx0 y) nos proporiona muha informainaera del omportamiento de y en las proximidades de x0. Enseguida lo veremos. Pero eneste apartado vamos a ver mo un simple lulo de

lmh0

R(h) = T

resulta que es la BASE DE TODA la Teora de Clulo Innitesimal que sigue. Toda la

teora se sustenta en el lulo del valor haia el que se aera ierta magnitud R uando lavariable independiente h se aproxima a 0.La tnia onsiste en lo siguiente:

1. Identiamos la magnitud T que queremos alular (rea de una regin plana, longitudde una urva, pendiente de una reta tangente a una urva, un volumen, ...)

T = A,L,m, V valores a alular.



Figura 3.49: Magnitudes

2. Construimos una funin R(h) de modo que, uanto ms pequeo sea h, ms prximoest R(h) de T .

3. R(h) no estar denida en h = 0 (es deir 6 R(0)) PERO R(h) se aera a T a medidaque h se aera a 0, es deir:

T = lmh0

R(h)

Figura 3.50: Lmite por aproximain

Veremos ms adelante mo apliar esta tnia en los diferentes asos. Ahora slo adelan-

taremos un pequeo esquema de algunos:

3.7.1. Clulo de la pendiente en un punto

1. Valor que queremos alular:

m: pendiente de la reta tangente a una urva en un punto x = a (ver la gura 3.51).

2. Es fil alular la pendiente de la reta seante:

f(a+h)f(a)h (ver la gura 3.52)

Por tanto, R(h) = f(a+h)f(a)h nos da una aproximain a m. Cuanto ms pequeasea h, mejor es la aproximain; R no est denida en h = 0:

R(0) =f(a) f(a)

0=

0

0?



Figura 3.51: Tangente en un punto

Figura 3.52: Pendiente de la seante

Pero quiz si exista (ver la gura 3.53):

lmh0

R(h) = valor haia el que tienden las pendientes de las seantes

y en ese aso, el valor busado:

Figura 3.53: Lmite de la seante

m = lmh0

R(h) = lmh0

f(a+ h) f(a)h(

f(a+ h) f(a)h

m pero lmh0

f(a+ h) f(a)h

= m

)

3.7.2. Clulo del rea de un reinto plano

1. Valor que queremos alular = A = rea limitada por la urva y = f(x), el eje OXsiendo x [a, b] (ver la gura 3.54).



Figura 3.54: rea

2. Construimos la funin de aproximain R(h):Dividimos [a, b] en 4 intervalos iguales (ver la gura 3.55): h = ba4

Figura 3.55: Aproximain al rea

R(h) = hf(a)+hf(a+h)+hf(a+2h)+hf(a+3h) = h(f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h))

Si tomo ms intervalos:

h =b an

R(h) = h(f(a) + f(a+ h) + . . .+ f(a+ (n 1)h))

R(h) no est denida en h = 0 (6 h(0), porque h = 0 b = a). Pero si f(x) rene las

ondiiones suientes, uanto ms prximo est h de 0, mejor ser la aproximainA R(h), esto es:

A = lmh0

R(h)

3.7.3. Clulo de la longitud de una urva

1. L = longitud del aro de urva y = f(x) en x [a, b] (ver la gura 3.56).

2. Divido la urva en trozos; la longitud de ada trozo la aproximo mediante la longitud

del segmento seante a la urva (ver las guras 3.57 y 3.58).

De donde:

R(h) =n

k=1

h2 + [f(a+ kh) f(a+ (k 1)h)]2 n = b a

h



Figura 3.56: Longitud de una urva

Figura 3.57: Aproximain de la longitud

Figura 3.58: Elemento diferenial de longitud

3. R(h) no est denido en h = 0, pero si se dan las ondiiones suientes, a medidaque h 0 la aproximain R(h) L es mejor. Finalmente:

L = lmh0

R(h)

Estos ejemplos de apliain nos sugieren algunos problemas. T = valor exato; R(h)=aproximain de T :

Hemos hablado de que si f(x) reune las ondiiones suientes, lmh0R(h) = T .Cules son esas ondiiones?

La expresin de R(h) es ompliada en muhos asos.

* 3.7.1:

Si f(x) =

x+ 1

x cos x R(h) =

a+h+1

(a+h) cos(a+h) a+1

a cos a

h lm

h0R(h) = ??

* 3.7.2 y 3.7.3:

Observa que el nmero de sumandos tiende a uando h 0: h = ban



La respuesta a estos problemas la enontraremos en la teora del Clulo Innitesimal:

En ada aso (A,L,B,m et.) existe un teorema que espeia las ondiiones quedebe reunir f(x) para que lmh0R(h) = T .Por ejemplo, en el aso 3.7.2 (rea), podemos asegurar que

lmh0

R(h) = A

si f(x) umple lo siguiente:

- f(x) est denida en [a, b].

- f(x) es ontinua en [a, b].

En uanto a la gran omplejidad del lulo direto de lmh0R(h), tambin tenemosel orrespondiente teorema que proporiona un atajo de modo que no haya que seguir

todo ese ompliado proeso de obtenin de R(h) y el lulo direto de lmh0R(h).Rara vez tendremos que alular R(h) y lmh0R(h), todos los parmetros importan-tes (pendiente, longitud, rea, momento de ineria, ...) pueden obtenerse empleando

el atajo orrespondiente.

Para el problema 3.7.1, el atajo es la funin derivada f (x). Para los problemas 3.7.2y 3.7.3 el atajo es la integrain. Iremos estudiando los proedimientos de lulo

Figura 3.59: Esquema

direto ms importantes. Veamos ahora un ejemplo que nos india la omplejidad que

puede tener el obtener R(h) y alular lmh0R(h) = T :

Ejemplo: rea de un tringulo (ver la gura 3.60)

h =b 0n

=b

n, h 6= 0


3.8. CARACTERIZACIN DE LA EXISTENCIA DE LMITE 73

Figura 3.60: rea del tringulo

R(h) = h(y(0) + y(h) + y(2h) + + y((n 1)h)) == h

(a+ a

(1 h

b

)+ a

(1 2h

b

)+ + a

(1 (n 1)h

b

))=

= ah

(1 +

(1 h

b

)+

(1 2h

b

)+ +

(1 (n 1)h

b

))=

= ah

(n h

b(1 + 2 + + (n 1))

)= ah

(n h

b

n(n 1)2

)=

= ah

(b

h h

b

bh

(bh 1

)2

)=

ab

2+a

2h

A = lmh0

(ab

2+a

2h

)=

ab

2(ver la gura 3.61)

Figura 3.61: Lmite del rea aproximada

Nota:

1 + 2 + 3 + + (n 1) = n(n1)2 por qu?,1 + 2 + 3 + + (n 1)

(n 1) + (n 2) + (n 3) + + 1n + n + n + + n

1 + 2 + 3 + + (n 1) = n(n 1)2

3.8. Caraterizain de la existenia de lmiteEjemplo 3.1 Supongamos que tenemos una mquina alimentada por una tensin V , a tra-vs de la ual irula ierta intensidad I. Regulando el valor de V tendremos diferentesvalores de I, es deir I = I(V ).



La tensin de trabajo es V = 350 voltios; sin embargo, V tiene pequeas utuaiones,de modo que en realidad, V (350 , 350 + ) donde > 0 es un nmero pequeo ydesonoido (ver la gura 3.62).

Figura 3.62: Gro I-V

Nuestro problema es que una utuain de V onlleva una utuain de I, y eso esperjudiial para nuestro equipo. Por ejemplo, supongamos que I(350) = 12A es la intensi-dad ideal. Pero, en realidad I (12 , 12 + ) donde > 0 es un valor que depende de .Supongamos que nuestra mquina slo puede funionar bien si I se enuentra en el intervalo:

12 10% = (12 1. 2, 12 + 1. 2) = (10. 8, 13. 2) ( = 1. 2)Entones, qu osilain de V podemos admitir de modo que I est en (10. 8, 13. 2)?Es deir, da una osilain alrededor de I = 12 podemos enontrar una osilain alrededor de V = 350 tal que si V (350 , 350 + ) entones I (12 , 12 + )?. Paraun > 0 dado, existir el ?, siempre?, undo podemos estar seguros?En la gra del ejemplo (ver la gura 3.63), paree que s es posible:

Figura 3.63: Tolerania 10%

Si la mquina admite una osilain en I de = 1. 2 (I (12 1. 2, 12 + 1. 2)), entonespuedo determinar gramente, midiendo on preisin, un valor tal que si V (350 , 350 + ) entones I (12 1. 2, 12 + 1. 2). Nos vale ese CUALQUIERA MENOR,evidentemente.

Y qu ourre si la tolerania es menor, por ejemplo del 5%? (ver la gura 3.64)

12 5% = (12 0. 6, 12 + 0. 6) = (11. 4, 12. 6) ( = 0. 6)



Figura 3.64: Tolerania 5%

El valor anterior de posiblemente es demasiado grande, pero existe un nuevo que snos vale:

v (350 , 350 + ) | I / (11. 4, 12. 6)pero enuentro un nuevo apropiado:

> 0 | v (350 , 350 + ) I (11. 4, 12. 6)Podemos pensar en otras situaiones prtias on el mismo problema (ver la gura

3.65):

- T = temperatura en una aldera, regulable.- P = presin, funin de T , P = P (T ).- Presin de trabajo = 40 kg/cm2, T = 150 C.

Figura 3.65: Gra P-T

Si P puede variar dentro de un intervalo (40, 40+), podemos enontrar un intervalode T (150 , 150 + ) tal que

T (150 , 150 + ) P (40 , 40 + )?Ejeriio 3.7 Enontrar otras situaiones similares en las que se d este mismo problema.

Ejeriio 3.8 Analizar esta otra situain (ver la gura 3.66), es deir, dado > 0 estudiarsi es posible enontrar el :

lmxa+

y = l1



lmxa

y = l2 (l1 6= l2)

Figura 3.66: Lmite laterales distintos

En este aso no existe esa orrespondenia entre y : Somos apaes de enontrar unvalor pequeo de > 0 tal que todo intervalo (a , a + ) tiene puntos x uya imagen:f(x) / (l1 , l1 + ) f(x) / (l2 , l2 + ). De manera formal:

> 0 | > 0 x (a , a+ ) | f(x) / (l1 , l1 + ) f(x) / (l2 , l2 + )Una onjetura: paree que existe una relain entre la existenia de lmite y la existenia de

> 0 para ada > 0.

Teorema 3.1 Ambas propiedades son exatamente lo mismo. Es deir:

> 0 > 0 | x (a , a+ ), x 6= a f(x) (l , l + )

es equivalente a:

lmxa

f(x) = l

No hay ninguna diferenia entre ambas propiedades. Si existe esa orrespondenia ,entones estamos seguros de que f(x) admite el lmite. Y vieversa, si existe lmite, se puedeasegurar que existe la orrespondenia .

Volviendo a los dos ejemplos anteriores, vemos que (ver la gura 3.67) en los dos est

garantizado que para un > 0 ualquiera > 0 | x (a , a+ ) f(x) (l , l+ ).

Figura 3.67: Lmite en I-V y en P-T



Demostrain del teorema 3.1

Hay que entender que:

1. La demostrain debe haerse para una funin ualquiera. Si tomamos asos par-

tiulares omo y = x2 o y = ex, no estaremos demostrando nada, slo estaremosilustrando on ejemplos.

2. Como se trata de una equivalenia, hay que demostrar dos impliaiones::

lmxa f(x) = l

equivalenia ondiin

Signia que debo demostrar:

) lmxa f(x) = l ondiin

) ondiin lmxa

f(x) = l

Demostrain de por redu

in al absurdo:Supongamos que lmxa f(x) = l pero que no se umple la ondiin :

> 0 | > 0,x (a , a+ ) | f(x) / (l , l + )

La estrategia onsiste en fabriar una suesin xn tal que:

lmnxn = a pero lmn f(xn) 6= l

lo ual es un absurdo ya que existe lmite.

Tomo = 1 x1 (a , a+ ) | f(x1) / (l , l + )

Tomo = 1/2 x2 (a , a + ) | f(x2) / (l , l + )En general:

=1

n xn (a 1

n, a+

1

n) | f(xn) / (l , l + )

Por tanto: lmnxn = a

Figura 3.68: La suesin {xn} tiene lmite

Y sin embargo (ver la gura 3.69): f(xn) / (l , l + ) n N



Figura 3.69: Suesin {f(xn)}

por tanto lmn

xn 6= l. Absurdo

Demostrain de por redu

in al absurdo:Supongamos que:

> 0, > 0 | x (a , a + ) x 6= a, f(x) (l , l + )

pero que lmxa f(x) 6= l. Esta ondiin implia que:

{xn} | lmn

xn = a pero lmn

f(xn) 6= l (3.1)

Si lmn f(xn) 6= l signia que:

> 0 | k N n > k | f(xn) / (l , l + )

Por la ondiin , para ESE > 0:

> 0 | x (a , a + ), x 6= a, f(x) (l , l + ) (3.2)

Como lmn xn = a, para ESE

n0 N | n n0, xn (a , a+ )(3.2) f(xn) (l , l + )

lo ual ontradie la ondiin (3.1). Absurdo

3.9. Uniidad del lmite

Ejeriio 3.9 Demostrar que el lmite de una funin en un punto, si existe, es nio

(emplear un proedimiento similar al que empleamos para demostrar la uniidad del lmite

de suesiones).

3.10. Propiedades del lmite

Ejeriio 3.10 Enuniar las propiedades de existenia del lmite de una suma/produto/oiente

de funiones (anlogas al aso de suesiones).


3.11. LMITE INFINITO 79

3.11. Lmite innito

Si una funin admite lmite en x = a, eso nos india un omportamiento aotado, esdeir, puedo enontrar un pequeo intervalo (a , a+ ) de tal modo que f(x) siempre aedentro de otro intervalo (l , l + ).

Ya hemos visto algunas situaiones en las que aotar f(x) era importante porque si f(x)tomaba valores demasiado grandes, resultaba un perjuiio.

Aunque no exista el lmite en x = a, a vees la funin f(x) est aotada. Por ejemplo (verla gura 3.70):

lmxax

y 6= lmxa

y 6 lmxa y

Pero:

> 0 | x (a , a + ) f(x) [m,M ] f(x) aotada en (a , a+ )

Figura 3.70: Funin aotada

Sin embargo, si no existe lmxa y, no siempre podemos aotar y. Observemos el siguienteejemplo (ver la gura 3.71):

Figura 3.71: Funin no aotada por la izquierda

En este aso, lmxa+

y = l.

Podemos enontrar un intervalo (a, a+ ) donde y est aotado a DERECHA. Sin embargoel omportamiento de y por la izquierda de a es muy diferente. El valor de y supera ualquierteho M que pongamos, basta aerarse suientemente al punto x = a por la izquierda.



Ejeriio 3.11 Esribir de manera formal esa situain

Soluin:

M R > 0 | x (a, a+ ) f(x) > M

Abreviadamente:

lmxa+

f(x) =

Del mismo modo se pueden denir los otros asos. Por ejemplo:

lmxa

y = :

M R > 0 | x (a , a) f(x) < MPor muy bajo que oloque el suelo M , el valor de y queda an ms bajo que M , sin ms

Figura 3.72: Asntota vertial

que aerarnos lo bastante al punto x = a por la izquierda (ver la gura 3.72).En ambos asos, diremos que y presenta una asntota vertial x = a.

Por ejemplo, y =1

1 x en a = 1

lmx1+

y = ( para 1 x < 0)

lmx1

y = + ( para 1 x > 0)

Adems, lmx y = 0 asntota horizontal y = 0 (ver la gura 3.73).Cunto debemos aerarnos al punto x = 1 para que y > M = 1000?

1

1 x > 1000 1 x 1 103

Entones:

x (1 103, 1) y > 1000 = M


3.12. CONTINUIDAD 81

Cunto debemos aerarnos por la dereha de a = 1 para que y < M , siendo M < 0 una

ota ja ualquiera?

1

1 x < M 1 x > 1

M x < 1 1

M

Por ejemplo:

M = 5000 x (1, 1 +

1

5000

)= (1, 1 + 2 104) y < 5000 = M

3.12. Continuidad

3.12.1. Conepto de funin ontinua

En Clulo, el trmino ontinuo tiene un signiado idntio al del lenguaje otidiano.

Deir que una magnitud y vara de forma ontinua respeto a otra magnitud x en iertopunto x = a, es deir que:

La gra de y(x) no tiene hueos ni saltos ni interrupiones en las eranas dex = a.

Muhos proesos naturales estn gobernados por funiones ontinuas. Por ejemplo la

funin de la gura 3.74

Puede representar:

x = tiempo

y = veloidad de un slido al que se aplia una fuerza.

Observando la gra, en el instante x0 hemos dejado de apliar la fuerza y por esosu veloidad va disminuyendo (supongamos que existe rozamiento). Sin embargo la

variain de y es ontinua, la gra no tiene saltos.

x = tiempo

Figura 3.73: Asntotas horizontal y vertial



x_0 xx

f(x_0)

Figura 3.74: Veloidad?, presin?, t que opinas?

y = presin en el interior de una aldera

Observando la gra, en el instante x0 hemos abierto una vlvula y la presin ydisminuye, pero tambin de forma ontinua.

Sin embargo, tambin hay situaiones en las que la variable y sufre un salto ruptura

uando la variable x pasa por un punto x = a.

Como suede en dos urvas tpias (diente de sierra y uadrada) (ver la gura 3.75) que

pueden ser tensin (en mV) que apliamos a un iruito en ada instante t.

1 2 t (m s)

1 2 t (m s)

Figura 3.75: Diente de sierra y onda uadrada

O en este otro de la gura 3.76: lo que sueda en el oste de una llamada telefnia:

El primer minuto uesta 0. 5 euros (si se establee la omuniain). Despus del primer



minuto, el oste y de la llamada se inrementa de forma lineal on x. Existe un salto desdex = 1 hasta x = 1+.

1 2 x(min)

y(e)

0

0,5

1

3

Figura 3.76: Funin on salto

Casos de disontinuidad

Hay tres irunstanias en las que una variable y no es ontinua en un punto x = c:

No existe f(c). La variable f(x) no est denida uando x = c, aunque s existelmxc f(x) = l (ver la gura 3.77).

c

l

Figura 3.77: No existe f(c)

Existe f(c) pero no existe lmxc f(x) (ver la gura 3.78).

Existe f(c). Existe lmxc f(x) = l pero l 6= f(c) (ver la gura 3.79).

As pues,



c

y(c)

Figura 3.78: No existe lmite

c

y(c)

l

Figura 3.79: El lmite no oinide on f(c)

Deniin 3.4 Una funin f(x) es ontinua en el punto x = c si se umplen las ondi-

iones siguientes:

1. Existe f(c),

2. Existe lmxc f(x) = l,

3. lmxc f(x) = l = f(c).

Ejemplo 3.8 Sea la funin f(x) = x21x1 denida en D = R{1}. Es ontinua en D. (Ver

la gura 3.80).

f(x) =(x 1)(x+ 1)

x 1 = x+ 1



se umple para todo x D. f(1) no est denido, pero lmx1 f(x) = 2. Podramos evitaresta disontinuidad, (ver la gura 3.81) redeniendo la funin y del siguiente modo:

f(x) =

{x+ 1 si x 6= 12 si x = 1

1

2

Figura 3.80: Disontinuidad evitable

1

2

Figura 3.81: Disontinuidad evitada

Por qu rees que una disontinuidad as suele llamarse de tipo evitable?.

Ejemplo 3.9 Estudiar la ontinuidad de la funin f(x) en el punto x = 2.

f(x) =

{x2 1 si x < 2ax+ b si x 2 donde a, b R



2

3

2a+b

Figura 3.82: 2a+ b 6= 3

lmx2+ f(x) = 2a+ b; lmx2 f(x) = 3; f(2) = 3 (ver la gura 3.82).La funin es ontinua en el punto x = 2 2a+ b = 3.No existen valores nios de a y b; ualquier par de valores que umplan 2a + b = 3

haen ontinua a y(x).

Esta familia de funiones ontinuas puede expresarse as (ver la gura 3.83):

f(x) =

{x2 1 si x < 2ax+ 3 2a si x 2 a R

3

2

Figura 3.83: 2a+ b = 3



3.12.2. Deniin de ontinuidad

Todo lo que hemos estudiado para lmites es vlido para la ontinuidad. La ontinuidad

slo impone una exigenia adiional:

lmxc f(x) = f(c)

De este modo, mediante suesiones esribiremos as la ondiin de ontinuidad:

Deniin 3.5 f(x) es ontinua en el punto x = c (ver la gura 3.84) si:

{xn} | xn D y lmnxn = c = lmxn f(xn) = f(c)

c xn

f(c)

f(xn)

Figura 3.84: Si {xn} c {f(xn)} f(c)y mediante la ondiin :

Deniin 3.6 f(x) es ontinua en x = c (ver la gura 3.85) si:

> 0 > 0 | x (c , c + ) = f(x) (f(c) , f(c) + )

3.12.3. Continuidad en intervalos errados

Supongamos que f(x) es una funin denida en el dominio D = [a, b]. Si c es un puntointerior a D, es deir, si c (a, b) (ver la gura 3.86), entones f(x) est denida a la derehay a la izquierda de c, y por tanto tiene sentido hablar de lmite en x = c:

Ahora bien, y si c = a c = b?. No tiene sentido hablar de lmxa f(x) ni delmxb+ f(x) (ver la gura 3.87).

Entones, undo diremos que f(x) es ontinua en [a, b]?

Deniin 3.7 f(x) es ontinua en [a, b] si lo es en (a, b) y adems se umple quelmxa+ f(x) = f(a) y lmxb f(x) = f(b)



c- c-

f(c)-

f(c)+

f(c)

c

Figura 3.85: Dado > 0, enontramos > 0

ac

b

Figura 3.86: Punto c interior a [a,b

a

b

f(a)

f(b)

f(b+) no existe

f(a-) no existe

Figura 3.87: Intervalo errado

Pero, por qu habra de interesarnos estudiar la ontinuidad en un dominio de la forma

D = [a, b]?. Hay otros tipos de dominio omo D = (a, b); D = (a,); D = (a, b]. Porqu un dominio de la forma [a, b] resulta tan interesante?. Pues porque uando una funin

ontinua se asoia a un intervalo errado y aotado [a, b], apareen nuevas propiedades



interesantes !!

Ejemplo 3.10 Vamos a ver si somos apaes de intuir algunas de esas nuevas propiedades

(ver el uadro 3.1). Mira las funiones ontinuas de la dereha y ompralas on las de la

izquierda. En qu se diferenian?. Qu propiedades tienen las primeras que no tienen las

segundas?

1.a La funin es ontinua, pero su dominio es de la forma (a, b). No est aotada. Se anulaen un punto de (a, b).

1.b La funin es ontinua en [a, b], aotada en [a, b]. Alanza el mximo y el mnimo valoren [a, b].

2.a Denida en [a, b] pero no ontinua. Aotada. f(a) y f(b) son de signos opuestos. No seanula en [a, b].

2.b Continua y aotada en [a, b]. f(a) y f(b) toman signos diferentes. Se anula en [a, b].

3.a No es ontinua. Est aotada. Denida en [a, b].6 z [a, b] | f(z) = R3.b Continua y aotada [a, b]. z [a, b] | f(z) = R R [m,M ], siendo m el mnimo

valor de f(x) y M el mximo valor.

Las propiedades que hemos enontrado son:

P1 f(x) est aotada en D:

m,M R | m f(x) M x D

P2 f(x) se anula en un punto de D:

z D | f(z) = 0

P3 f(x) toma todos los valores intermedios:

m = mnxD

f(x),M = maxxD

f(x) y m R M = z D | f(z) = R

Ahora las preguntas son:

Para que una funin f(x) tenga esas tres propiedades, deba ser neesariamente f(x)

ontinua y en un dominio D = [a, b]?

Para que una funin f(x) tenga esas tres propiedades, deba ser suiente on quef(x) sea ontinua y denida en D = [a, b]?. Es suiente on slo una de las ondi-

iones?



1.a

a b( )

1.b

a b[ ]

f(a)

f(b)

2.a

f(a)

f(b)

a b

[ ]

2.b

a b

[ ]

f(a)

f(b)

3.a

f(a)

f(b)

a b[ ]

R _

3.b

a b[ ]

f(a)

f(b)

M

m

R

Cuadro 3.1: Comparain de funiones



m

M

a b

( )

Figura 3.88: Funin aotada, pero no ontinua

Observando la gura 3.88, x (a, b),m f(x) M pero no es ontinua y su dominioes D = (a, b) no de la forma [a, b]. Por tanto para que P1 se umpla, no es neesaria ningunade las dos ondiiones.

Ejeriio 3.12 Demostrar (usando ontraejemplos) que ninguna de las dos ondiiones es

neesaria para que se umpla P2 o P3.

Ya que ninguna de las dos ondiiones es neesaria, quiz alguna las dos sean suientes

para garantizar P1, P2, y P3.

En la gura 3.89 tenemos una funin denida en D = [a, b]. No es ontinua en [a, b] yno est aotada:

a b

[ ]

m

M

Figura 3.89: Dominio errado y funin no aotada

lmxa+

=, lmxb

=



M > 0, x [a, b] | f(x) > M

y

m < 0, x [a, b] | f(x) < m

Por tanto: la ondiin D = [a, b] NO garantiza que se umple la propiedad P1.

En la gura 3.90 se representa una funin denida en D = (a, b) y que es ontinua enD. Pero tampoo est aotada en D.

a b

( )

m

M

Figura 3.90: Continua en D y no aotada

Por tanto, la ondiin ontinua en D tampoo es suiente para garantizar el umpli-miento de P1.

Ejeriio 3.13 Demostrar (usando ontraejemplos) que ninguna de las dos ondiiones ga-

rantiza por s sola ninguna de las propiedades P2 y P3.

Resumiendo

Para que una funin f(x) denida en D R umpla P1, P2 P3, ni tiene que estardenida en [a, b] ni tiene que ser neesariamente ontinua. Adems, una sola ondiin(ontinua D = [a, b]) no garantiza que se umplan P1, P2 P3.

Ahora bien, uando f(x) rene las dos hiptesis (ontinua y D = [a, b]) entones SIEM-PRE se umplen P1 y P3.

Teorema 3.2 (Teorema de Weierstrass) Sea f(x) una funin ontinua en el dominioD = [a, b]. Entones, f(x) alanza su mximo y su mnimo valor en [a, b].

Es deir, si M es el mximo de f(x) en [a, b], y m es el mnimo entones existenx1, x2 [a, b] tales que f(x1) = m y f(x2) = M .



a b[ ]

f(a)

f(b)M

m

Figura 3.91: Mximo en x = b

Observemos tres asos en los siguientes gros

En la gura 3.91, tenemos f(x1) = m, x2 = b f(x2) = M siendo x1, x2 [a, b].

En la gura 3.92, x1 = a f(x1) = m, x2 = b f(x2) = M siendo x1, x2 [a, b]

ab

m

M

Figura 3.92: Mnimo y mximo en los extremos

En la gura 3.93, f(x1) = m, f(x2) = M siendo x1, x2 (a, b) [a, b].

Teorema 3.3 (Teorema de Bolzano) Sea f(x) una funin ontinua en [a, b] on f(a)y f(b) de distinto signo. Entones, f(x) se anula al menos una vez en (a, b).

De un modo ms formal, este teorema podemos enuniarlo as:

Hiptesis: Condiiones Tesis : Propiedad que se umple,

que satisfae la funin siempre que sean iertas las hiptesis

H1 f(x) denida en [a, b],H2 f(x) ontinua en [a, b], = z (a, b) | f(z) = 0H3 siendo f(a) f(b) < 0.



a b[ ]

f(a)

f(b)

m

M

x_1

x_2

Figura 3.93: Mnimo y mximo en el interior

Ejeriio 3.14 Demostrar que la tesis no tiene por qu umplirse si alguna de las tres

hiptesis no se umple. Es deir: tomar una de las hiptesis, por ejemplo H1; enontrar un

primer ejemplo de funin que no umpla H1 y s umpla H2 y H3 y la tesis. Luego, un

segundo ejemplo que no umpla H1, s umpla H2 y H3 y no umpla la tesis.

Haer lo mismo para las tres hiptesis.

Ejeriio 3.15 Supongamos que una funin f(x) umple las hiptesis del teorema de Bol-zano. Por tanto, z (a, b) | f(z) = 0. Este punto z es nio?. Qu hiptesis adiionalesdebe umplir f(x) para asegurar que slo existe un punto z (a, b) | f(z) = 0?

Algunas apliaiones del teorema de Bolzano

A vees es neesario enontrar los eros de una funin y = f(x), es deir, enontrar losvalores de x tales que f(x) = 0. Por ejemplo, y = f(x) puede representar la intensidad de

orriente que irula por un ierto iruito la veloidad de un mvil (ver la gura 3.94).

En ambos asos puede interesarnos enontrar el instante en el que la funin se anula.

t

i

Figura 3.94: I(t) y V(t)

Otras vees nos interesar enontrar los valores de x tales que dos funiones f(x) y g(x)toman valores iguales. Por ejemplo, supongamos que tenemos dos funiones f(x) y g(x) querepresentan el rendimiento de sendas mquinas bajo una ondiin de trabajo x. La variablex podra ser: Tensin de alimentain, revoluiones por minuto, tiempo que la mquina llevaen funionamiento, arga, . . . (ver la gura 3.95).



Puede interesarnos estudiar bajo qu ondiin x el rendimiento es el mismo, el rendi-miento de una de ellas duplia al de la otra, . . . .

Se trata del mismo problema: busar las raes de una funin.

f(x) = g(x) f(x) g(x) = 0.

x x1 2

f(x) g(x)E

x

Figura 3.95: x | f(x) = g(x)?

Enontrar las soluiones de una euain f(x) = 0 no siempre es tan senillo omoresolver una euain lineal de segundo grado. Sin embargo, podemos utilizar el teorema

de Bolzano para enontrar un intervaloe [a, b] donde existe una raz, luego dividirlo en dossubintervalos mediante el punto z = a+b2 y quedarnos on el subintervalo que ontiene laraz, y as suesivamente (ver la gura 3.96). Cada paso se llama iterain. Las suesivas

iteraiones denen una suesin z1, z2, z2 . . . que onvergen haia la raz z.

x

a

bz

Figura 3.96: Iteraiones

Ejeriio 3.16 Utilizar este proedimiento para enontrar una soluin aproximada al si-

guiente problema:

El par T produido por un motor de un automvil viene aproximado por el siguientemodelo:

T = 0. 808 x3 17. 974 x2 + 71. 248 x+ 110. 843

donde x [1, 5], x es la veloidad del motor en rpm. Se desea enontrar el valor de x demodo que T = 150.

3.12.4. Teorema de Darboux

Veamos un ltimo teorema relaionado on las funiones ontinuas denidas en intervalos

errados y aotados.



Teorema 3.4 (Teorema de Darboux) (Teorema de los valores intermedios)

Sea f(x) una funin ontinua denida en un intervalo [a, b]. Seam = mn{f(x) | x [a, b]} y M = max{f(x) | x [a, b]}. Entones, f toma todo valor

omprendido entre m y M al menos una vez, uando x reorre [a, b]. Esto es (ver la gura3.97):

R [m,M ] x [a, b] | f(x) = R

Ejemplo 3.11 Apagamos el horno uando se enuentra a 250, y se enfra hasta los 20.En algn momento alanzar la temperatura de 170?

250

20

170

t b

T

t0

Figura 3.97: Temperatura del horno

t0 [0, b] | T (t0) = 170?. Si la temperatura no variara de forma ontinua, omo en lagura 3.98, no podra asegurarse la armain.

250

20

170

t b

T

t0

Figura 3.98: Enfriamiento imposible

Ejemplo 3.12 El sbado a las 8 h omenzamos a subir la ladera de una montaa. Llegamosa la ima 2 h ms tarde. El domingo a las 8 h emprendemos la bajada y tardamos en bajar1. 5 h. Demuestra que a ierta hora nos enontramos en el mismo punto del amino en lasubida y en la bajada (ver las guras 3.99 y 3.100).



SBADO

DOMINGO

8 h

10 h

9:30 h

8 h


G

P

1.5 21

i(t)j(t)

Figura 3.100: Gra del ejemplo 3.12

Si S(t) el punto en el que nos enontramos en el instante t durante la subida y B(t) lomismo, pero en la bajada.

Si denimos h(t) = S(t)B(t) y c omo la ima (ver la gura 3.100); h(0) = 0 c < 0 yh(2) = c0 < 0; omo 0 [c, c], por el teorema de los valores intermedios, existe t0 [0, 2]tal que h(t0) = 0 por lo que S(t0) = B(t0) = P .

Ejeriio 3.17 Dibujar las gras en la siguiente situain: Durante la bajada, nos damos

uenta de que se nos ha olvidado apagar el fuego. Subimos de nuevo, lo apagamos, nos

aseguramos durante un rato de que est apagado y emprendemos la bajada. Tardamos en

total 2. 25 h. Sigue existiendo un instante en el que nos enontramos en el mismo lugar enambos trayetos?.

Ejeriio 3.18 Con el mismo planteamiento que en ejemplo anterior, pero despus de apa-

gar el fuego desubrimos un amino para ontinuar asendiendo. Lo seguimos un rato y luego

emprendemos la bajada. Tardamos 3 h en total. Existe todava ese instante de oinideniasubida/bajada?

Todo el razonamiento est basado en la hiptesis de ontinuidad de ambas funiones.

Si pudiramos haer desplazamientos de lugar instantneos, es deir, mediante funiones

disontinuas, entones quiz no existiera esa oinidenia en las trayetorias. Pero, mientras



estemos atados al mundo fsio, tendremos que ver el mismo suelo a ierta hora, en ambos

aminos.

Demostrain del teorema de Darboux

Sea f(x) una funin ontinua en un intervalo [a, b]. Segn el Teorema de Weierstrass,f(x) alanza su mximo M y su mnimo m, en el intervalo [a, b], es deir:

Existen z1, z2 tales que m = f(z1), z1 [a, b] y M = f(z2), z2 [a, b]. Supongamos quez1 < z2. Sea R ualquier valor m < R < M . Construimos la funin:

g(x) = f(x) R, x [z1, z2] . g es una funin ontinua en [z1, z2] porque f lo es.Adems umple las otras hiptesis del teorema de Bolzano:

g(z1) = f(z1)R = mR < 0g(z2) = f(z2)R = M R > 0

Bolzano= z (z1, z2) tal que g(z) = 0

luego

= g(z) = f(z)R = 0 = f(z) = R

m

R

x xa b

M

x 1 3 2

Figura 3.101: Demostrain del teorema de Darboux

R [m,M ] x [a, b] | f(x) = R, en el aso de la gura 3.101 tenemos tres valores,f(x1) = f(x2) = f(x3) = R

Nota

Observa la gra de la funin g que hemos onstruido para demostrar el teorema: noes mas que f trasladada R unidades.


3.13. DERIVABILIDAD. 99

R

M

m

zz1z 2

gra de la funin f(x)z (z1, z2) | f(z) = R

R

M

m

mR

MR

zz1z 2

gra de la funin g(x)z (z1, z2) | g(z) = 0

Ejeriio 3.19 Haz un resumen de lo que hemos visto hasta ahora en este tema aera del

anlisis de funiones:

Problema que estamos resolviendo.

Signiado del lmite.

Lmites / suesiones/ onepto - .

Continuidad, signiado.

Continuidad en en intervalos [a, b].

3.13. Derivabilidad.

3.13.1. Introdu

in.

Reuerda que nos hemos propuesto desarrollar un instrumental on el que analizar mo

se omporta una funin y(x). Ya hemos avanzado un buen tramo, y somos apaes deidentiar diversos tipos de omportamiento, omo los siguientes (ver la gura 3.102):

Sin embargo el instrumental que hemos desarrollado hasta el momento, no alanza para

interpretar otros aspetos del omportamiento de y(x). Observa (ver la gura 3.103):

Desde el punto de vista de la ontinuidad, no hay diferenia entre f(x) g(x). Qu signi-an ambas gras?. Cmo distinguirlas?. Si ambas representan, por ejemplo, las presta-

iones de un motor, la evoluin de las ventas, la intensidad que irula por un iruito, un

proeso qumio ontrolado, et. En qu se diferenian ambos modos de omportamiento?

(ver la gura 3.104):

De nuevo estos dos ejemplos son indistinguibles desde la ptia de la ontinuidad. Sin

embargo, y = f(x) tiene un omportamiento espeial en las eranas de z. Se da un ambiomuy repentino de y al pasar por z. Y, slo on la ontinuidad, no somos apaes de medireste ambio, ni siquiera de identiar los puntos donde ourre un omportamiento as. Como

ves, hay que seguir avanzando en la elaborain de nuestro instrumental de anlisis.



Figura 3.102: Varias funiones

Figura 3.103: Creimiento y onavidad

Figura 3.104: Cambio de dire

in

3.13.2. Veloidad de variain de y respeto a x.

La idea que vamos a explorar es la siguiente: Tengo una funin y(x), la evalo en elpunto x = a, obtengo el valor y(a). Si ahora muevo la variable x hasta (a+h), qu variainexperimenta la y(x)?



Ejemplo 3.13 Sea y = x+ 1 x 0 (ver la gura 3.105):

Figura 3.105: Variain de la funin

Variain que experimenta la y:

y = y(1 + h) y(1) = 2 + h 2 = hSi lo medimos en un punto arbitrario x = a:

y = y(a+ h) y(a) = a+ h+ 1 a 1 = hAs pues, hemos desubierto una propiedad de esta funin: Si la variable independiente

x se mueve desde x = a hasta x = (a+h), la variable y experimenta una variain de h, sinimportar el punto x = a donde hagamos el lulo.

Curioso omportamiento. Ourre lo mismo on todas las funiones?.

Ejemplo 3.14 Sea y = x2. Hagamos el mismo lulo (ver la gura 3.106):


y(a) = a2

y(a+ h) = (a+ h)2 = a2 + h2 + 2ahy = y(a+ h) y(a) = h2 + 2ah

Ya hemos enontrado una diferenia entre el omportamiento de esta funin y el de

la del ejemplo anterior: La variain que experimenta y uando x pasa de x = a hastax = (a+ h), depende NO slo de h, sino TAMBIEN del punto a.



Ejeriio 3.20 Calular algunos inrementos de y, ompletando una tabla omo la siguien-te:

a a+h y(a) y(a+h) y

Tomar un valor de h ualquiera, por ejemplo h = 2. 5. mo resulta afetado el valorde y segn el punto x = a que tomemos?. Haer el mismo estudio para la funin y = x3.Expliar la diferenia de omportamiento de las tres funiones y = x; y = x2 e y = x3.Generalizar el estudio para la funin y = xn, n N.

En general, es poo til saber el valor de y si no onoemos tambin el inremento de x,x = h. Por ejemplo:Sea y = x donde a = 1. Entones:

y = 8 y(1 + h) y(1) = 8 1 + h 1 = 8 h = 8

Es deir, para que la variable y experimente un inremento y = 8, es neesario que seah = 8. En ambio, si y = x2

y = 8 (1 + h)2 1 = 8 h2 + 2h 8 = 0 h = 2,4

Por tanto, esta segunda funin neesita un inremento de x muho menor para onseguiry = 8 (ver la gura 3.107):

Figura 3.107: Diversos inrementos



Por ello, el lulo de y se esribe en relain al inremento de la variable x:

y

x=

y(a+ h) y(a)h

Valor medio de y en el intervalo x [a, a+ h] x [a+ h, a] si h < 0

Ejemplo 3.15 Supongamos que t representa el tiempo y la variable y la posiin de unmvil (ver la gura 3.108):


La veloidad media entre t = 1 y t = 4 es la siguiente:

y

x=

y(1 + 3) y(1)3

=6 + 1

3=

7

3m/s

Veamos gramente el signiado geomtrio de

yx (ver la gura 3.109):

Figura 3.109: Pendiente en el ejemplo 3.15

As pues,

yx tiene dos signiados:

1. Valor medio de y en el intervalo x [a, a+ h].2. Pendiente de la reta seante a la urva por los puntos (a, y(a)) y (a+ h, y(a+ h)).

Euain de la reta seante:

y y(a) = m(x a) y y(1) = 73(x 1) y = 7

3x 10

3

En qu intervalos la veloidad es negativa?. Y positiva?.

v < 0 posiin dereiente t < 1, t (2, 3)



v > 0 posiin reiente t > 3, t (1, 2)

Veamos otro ejemplo:

Ejemplo 3.16 Viendo la gura 3.110:


Observa que la veloidad media de las variables z e y en el intervalo [a, a+h] es idntia.Sin embargo, ambas funiones tienen un omportamiento muy diferente en [a, a+ h].

As pues,el modo en que vara y en el intervalo [a, a+ h] no queda demasiado bien desritopor su veloidad media

yx .

Podemos pensar en reduir el tamao del inremento x, x (ver la gura 3.111):

Figura 3.111: Funin de igual veloidad media

No es buena soluin. Siempre podemos enontrar una segunda funin y(x) que tengala misma veloidad media que z(x) en [a, a+ h] pero siendo y(x) y z(x) muy diferentes.

Ejeriio 3.21 Supongamos que y(x) no es lineal, es deir, y no es de la forma y = mx+n.Supongamos que onoemos y(a), y(a + h), h y a.

Enontrar otra funin z(x) tal quez

y=

y

x.

La veloidad media de y en [a, a + h] no desribe el omportamiento de y. La diultadparee estar en que estamos midiendo una araterstia de y en un INTERVALO. Qu talsi en vez de hablar de veloidad media en [a, a + h] medimos veloidad instantnea enx = a?. Tenemos el instrumental neesario: el lmite uando h = 0. Reuerda lo que vimosen el apartado 7:



1. Identio la magnitud T a alular. En este aso T = veloidad instantnea de y(x)en x = a.

2. Construyo una funin R(h) tal que uanto ms prximo est h de 0, ms erano estR(h) de T . En este aso (ver la gura 3.112):

Figura 3.112: Coiente inremental

R(h) =y

x=

y(a+ h) y(a)h

3. R(0) = 00 R(h) no est denida en h = 0, pero quiz si exista:

lmh0

R(h) = lmh0

y(a+ h) y(a)h

Para una ierta funin y(x), en un punto x = a determinado, el lmite anterior quizexista quiz no. Pero en el aso de que exista, el valor representa la veloidad

instantnea de y(x) en x = a. Ya no se trata de una araterstia de y(x) en unintervalo, sino una araterstia de y(x) en el punto x = a.

Ejemplo 3.17 Sean y(x) = x2 y a = 2. Calulemos R(h)

R(h) =y(2 + h) y(2)

h=

(2 + h)2 22h

=h2 + 4h

h= h+ 4 lm

h0(h+ 4) = 4

En este aso, existe lmh0yx = 4 en el punto x = 2.

La veloidad instantnea de y(x) en x = 2 es igual a 4. Adems, podemos interpretargramente lmh0

yx (ver la gura 3.113):

tan = yx es la pendiente de la reta seante por (a, f(a) y (a, f(a + h)). Por tanto:

lmh0yx = tan es la pendiente de la reta tangente por el punto x = a. Si este lmite

existe, lo llamamos derivada de y en x = a, y lo denotamos y(a). Adems, podemos enon-trar el valor de y(x) para un x ualquiera. Supongamos que y = x2

y(x) = lmh0

y(x+ h) y(x)h

= lmh0

(x+ h)2 x2h

= lmh0

x2 + h2 + 2xh x2h

= lmh0

(h+2x) = 2x



Figura 3.113: Pendiente

Por tanto, y = 2x. La expresin y(x) es una funin llamada funin derivada. Las reglasde derivain nos permiten obtener las funiones derivadas de las funiones elementales:

d

dx(sen x) = cos x,

d

dx(xn) = nxn1, et.

Ejeriio 3.22 Si y = ex, demostrar que y = ex. Ayuda: emplear el desarrollo de ex:

ex =

k=0

xk

k!= 1 + x+

x2

2+x3

3!+

3.13.3. Qu ourre si y = z?

Cuando hablbamos de veloidad media de y en el intervalo [a, a+ h], nos dimos uentade que el valor

yx no era un buen indiador del omportamiento de y en el intervalo

[a, a + h]. Dos funiones y(x) y z(x) podan tener un omportamiento muy diferente en elintervalo [a, a+ h] pero tener la misma veloidad media (ver la gura 3.114):

Figura 3.114: Misma veloidad media

Si y(a) = z(a) entones y(a+ h) = z(a+ h), por tanto,

y

x=

z

x

En ambio, ahora tenemos el valor de y(x) omo una propiedad de y en ada punto x, noen un intervalo. Si tenemos dos funiones y(x) y z(x) tales que y(x) = z(x) x, puedenser y(x) y z(x) muy diferentes? (ver la gura 3.115):



Figura 3.115: y(x) = z(x)?

Es posible que y(x) = z(x) x x (a, b)?. No. Reuerda que y(x) representatambin la pendiente de la reta tangente a la urva en ada punto x. As pues, si y(x) =z(x) x, signia que las retas tangentes en ada x deben ser paralelas (ver la gura3.116):

Figura 3.116: y(x0) 6= z(x0)

En el punto x0, las retas tangentes no son paralelas. Entones, mo son dos funionesy(x) y z(x) tales que y(x) = z(x)? (ver la gura 3.117):

Figura 3.117: Las retas tangentes son paralelas

Tres funiones y(x), v(x) y z(x) tales que y(x) = v(x) = z(x) x ualquiera de ellasse obtiene trasladando vertialmente otra de ellas:

k1 | y = k1 + v k2 | y = k2 + z k3 | v = k3 + z

No son muy diferentes. Se diferenian en una simple onstante.



Ejemplo 3.18 Supongamos que y(x) = 3x2 1. Enontrar la familia de funiones y que

umplen esa ondiin. Cuntas de esas funiones pasan por el punto (0, 7)? (ver la gura3.118).

Figura 3.118: Familia de funiones

y = 3x2 1y = x3 x+ c c Ry = x(x+ 1)(x 1) + c

Si y(0) = 7 c = 7

Por tanto, slo existe una funin que pase por (0, 7); es y(x) = x3 x+ 7.

Ejeriio 3.23 Dada una ierta funin y(x), la familia I = z(x) = y(x) + k | k R re-presenta todas las funiones uya derivada es igual a y(x). Se pide:

1. Representar gramente la familia I .

2. Demostrar que existe slo una funin en I que pasa por un punto dado (x0, y0).

3.13.4. Y si no existe y(a)?

Vamos a estudiar la siguiente funin:

y(x) =

{x2 x 1x3 x > 1

Entones:{Si x < 1 y = 2x ya que y = x2Si x > 1 y = 3x2 ya que y = x3



Pero, qu ourre en x = 1?. Es un punto en el que ambia la expresin algebraia de y(x),y por eso no podemos utilizar las reglas usuales de derivain para alular y(1). Hay queapliar la deniin:

y(1) = lmh0

y(h+ 1) y(1)h

Hay que alular ambos lmites laterales porque:

Si h > 0 y(h+ 1) = (1 + h)3Si h < 0 y(h+ 1) = (1 + h)2

y(1+) = lmh0+

(1 + h)3 1h

= lmh0

(3h+ 3 + h2) = 3

y(1) = lmh0

(1 + h)2 1h

= lmh0

(2 + h) = 2

Los lmites laterales son diferentes, por tanto no existe lmite. La funin NO es derivable

en el punto x = 1. Su funin derivada ser (ver la gura 3.119):

Figura 3.119: Gra de y(x)

y(x) =

2x si x < 16 si x = 13x2 si x > 1

y(x) no est denida en x = 1. Y mo ser la gra de y(x)? (ver la gura 3.120):Existe ontinuidad en x = 1 pero se produe un ambio muy abrupto al pasar por el

punto x = 1.y(1+) = 3: las pendientes de las tangentes por la dereha tienden a 3. y(1) = 2: laspendientes de las tangentes por la izquierda de x = 1 tienden a 2. No es derivable.

Otras situaiones en las que puede no existir derivada en x = a:



Figura 3.120: Gra de y(x)

t: tiempo t: tiempo t: tiempo

: arga de un ondensador v: veloidad de un vehulo B: Beneio de la venta

de un produto

En t = t0: ortamos la En t = t0: apliamos una En t = t0: la ompetenia

orriente aelerain mayor lanza un artulo similar

a mitad de preio

3.13.5. La derivada omo aproximain: diferenial

Por su propia deniin la reta tangente a una urva y(x) est era de las proximidadesdel punto. Entones, por qu no utilizar esta reta para evaluar de forma aproximada la

funin? (ver la gura 3.121):

y: variable a aproximar.

z: variable, ordenada de la reta tangente a y por el punto x = a.

z(x) = y(a) + y(a)(x a) = z(a+ h) = y(a) + y(a)hSi h es pequeo, z(a+ h) y(a+ h). Es deir:y(a+ h) y(a) + hy(a) (ver la gura 3.122):



Figura 3.121: Inrementos

Figura 3.122: Diferenial

El valor de hy(a) se llama diferenial de y(x) en el punto x = a, y de denota:

dy(a) = h y(a)Ejemplo 3.2 Calular de forma aproximada e0.2 empleando la diferenial de y(x) = ex enel punto a = 0 (ver la gura 3.123):


y(x) = ex y(0) = 1

Expresin de la aproximain:

e(0+h) e0 + h eh 1 + h



Tomando h = 0. 2:

e0.2 1 + 0. 2 = 1. 2

Ejeriio 3.24 Tomar diversos valores de h, ada vez menores 0. 1, 0. 01 et. Evala onla aluladora eh. Comprobar que la aproximain mediante la diferenial es mejor uantoms prxima est h a 0.

En denitiva, estamos aproximando la funin y = ex mediante la funin z = 1 + x.Reuerdas el desarrollo en serie de ex?

ex =n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2+x3

3!+

Qu te paree?. La aproximain por la diferenial onsiste en tomar los dos primeros

sumandos en el desarrollo de ex.

Ejeriio 3.25 Esribir la aproximain mediante la diferenial para las funiones

y = cos x e y = senx tomando a = 0. Relaionar estas aproximaiones on los orrespon-dientes desarrollos en serie. Calular aproximadamente sen 0. 3 y cos 0. 1.

La derivada es nuestra primera piedra preiosa matemtia. Si la observamos desde dife-

rentes ptias, enontramos signiados que pareen no tener relain entre s (ver la gura

3.124):

Figura 3.124: Derivain



3.13.6. Derivada de la funin ompuesta: regla de la adena

Supongamos que deseamos subir a la azotea de un ediio una esalera de mano. La

apoyamos en el suelo, atamos una uerda al extremo superior y tiramos. Ver la gura 3.125).

Si tiramos de la uerda on veloidad 0. 2 m/s, a qu veloidad se aera p a la pared?.

Figura 3.125: Esalera

l: longitud de la esalera.Relain entre p, q y l: p2 + q2 = l2 (1).Veloidad de desplazamiento de q: 0. 2 m/s.De (1) podemos despejar p(q):

p(q) =l2 q2 q [0, l]

Ahora si alulamos p(q), tendremos la veloidad de p respeto a q (ver la gura 3.126):

Figura 3.126: Funin de funin

dp

dq= p(q) =

ql2 q2

Para que no nos aparezan ompliadas raes, podemos derivar (1) de forma implita res-peto a q:

d

dq(p2 + q2) =

d

dq(l2) = 0

Observa que p no es onstante, es funin de q:

d

dq(p2 + q2) = 0 2pdp

dq+ 2q

dq

dq= 0 pdp

dq+ q

dq

dq= 0 dp

dq=qp



Por ejemplo, si q ha asendido la mitad de l es deir, q = l2 entones:

p =

l2

(l

2

)2= l

3

2 dp

dq=

l2

l3

2

=13

Observa:

1. Esta veloidad es negativa porque p deree.

2. Esta veloidad se mide en metros de desplazamiento de p por ada metro de despla-zamiento de q.

Sin embargo, el dato del enuniado aera de la veloidad de q es respeto al tiempo.

Como

dq

dt= 0. 2m/s; ya tenemos

dp

dqpero mo alulamos

dp

dt?.

p y q son ambas funiones de t. Entones la euain (1) queda (p(t))2 + (q(t))2 = l2.Derivamos respeto a t:

d

dt

(p2 + q2

)=

d

dt

(l2)= 0 d

dt

(p2)+

d

dt

(q2)= 0

2pdpdt

+ 2qdq

dt= 0 dp

dt=q dqdtp

dpdt

dq

dt=2=

2qp

Si por ejemplo:

q =l

2 dp

dt=23m/s

Observa que hemos neesitado omponer funiones:

1. Sin emplear t.

q p(q)

2. Empleando t:.

Composiin: t q(t) p(q(t))

Y la derivada es:

dp

dt=

dp

dq dqdt

En nuestro aso:

dp

dq=qp

;dq

dt= 0. 2

Entones:

dp

dt= 0. 2 q

p



Figura 3.127: Regla de la adena

Vamos a esribir de modo general esta regla para derivar funiones ompuestas (ver la gura

3.127):

u v w

dw

du=

dw

dv

dv

du

Esta es la llamada Regla de la adena. Veamos algunos ejemplos ms:

Ejemplo 3.19

d

dx(x3) = 3x2.

Entones:

d

dt

(x3)=

d

dx

(x3) dxdt

= 3x2dx

dt

Ejemplo 3.20

p(y) = ey

y = x3

} dp

dy= ey

Entones:

dp

dx=

dp

dy dydx

= ey 3x2

Ejemplo 3.21

p(y) = cos yy(x) = ex

x(t) = t3

dpdt = dpdy dydt = dpdy dydx dxdt = sen y ex 3t2 = sen

(et

3) et3 3t2

O bien:

p = cos(y) = cos (ex) = cos(et

3)

dp

dt= sen

(et

3) et3 3t2



Ejemplo 3.22

u (v (w(t))) dudt

=du

dv dvdt

=du

dv dvdw

dwdt

Ejeriio 3.26 Resolver el problema de la esalera, pero ahora empleando un torno que gira

a veloidad 2 rad/s, es deir, si es el ngulo de giro, (t) = 2Rt. A qu veloidadesse desplazan p y q en el instante en que q = l2?.En qu instante t ourre?. Representa

gramente p(t). Calulardp

dy

dq

d.

3.13.7. Derivada de la funin inversa

Observa la tubera de se

in uadrada de la gura 3.128. Podra tratarse, por ejemplo,

de una aequia de riego. En todo momento es posible medir la altura h que alanza ellquido, y tambin podemos onoer el volumen de agua V que vertemos a la aequia. Aspues, onoemos V (t) y tambin h(t) donde t es el tiempo. Por tanto, podemos medir las

veloidades de V y h respeto de t:dV

dty

dh

dt.

Figura 3.128: Tubera

Supongamos que ambas veloidades son onstantes:

dV

dt= 35 l/s y

dh

dt= 0. 25 m/min

Ahora nos interesa alular la veloidad de V pero on respeto a h, es deir, la veloidad

on que ambia V en relain a la altura que alanza el nivel: busamos el valor de dVdh .Apliamos la regla de la adena:

dV

dh=

dV

dt

dt

dh= 35 dt

dh

Cunto vale

dtdh?. Conoemos

dhdt = 0. 25, pero no

dtdh . Del mismo modo puede interesarnos

alular

dhdV

dh

dV=

dh

dt dtdV

= 0. 25 dtdV

dt

dVes desonoido. Vamos a formular de manera general el problema:



Tenemos una funin derivable y(x) y dydx . Calulamos la inversa x(y). Se trata ahora

de alular

dxdy .

As pues, se trata de enontrar la derivada de la funin inversa x(y). Posiblemente debersrepasar lo que vimos en el apartado 4.

Vamos a resolver el problema de la esalera del apartado 3.13.6

Vimos que p2 + q2 = l2 (l= te.) (ver la gura 3.129).

Figura 3.129: Esalera

Derivamos respeto a p

2p + 2qdq

dp= 0 dq

dp=pq

Derivamos respeto a q

2pdp

dq+ 2q = 0 dp

dq=qp

Hemos obtenido algo urioso:

dp

dq=

1dqdp

dq

dp=

1dpdq

Pues bien, este resultado no slo es ierto en este aso. En general, dada una funin y(x)derivable tal que

dydx 6= 0, si existe inversa x(y), entones tambin esta inversa es derivable y

dxdy se obtiene muy filmente a partir de

dydx .

dx

dy=

1dydx

Entiendes ahora por qu se neesita

dydx 6= 0?

Ahora, el problema de la aequia tiene fil soluin:

dhdt = 0. 25 m/min dtdh = 10.25 min/mdVdt = 35 l/s dtdV = 135 s/l

Por tanto:

dVdh = 35 10.25 = 140 l/m

(dhdt 6= 0

)dhdV =

1dVdh

= 1140 m/l(dVdh 6= 0

)



Ejemplo 3.23 Calular la inversa de y = x2 y su derivada.y = x2 no admite inversa si su dominio es D = R.Dado y > 0, existen dos posibles valores de x tales que x2 = y: x = y (ver la gura3.130).


Sin embargo, s admite inversa si tomamos omo dominio R+por ejemplo (ver la gura

3.131).

Figura 3.131: x = +y

y 0 ! x 0 | x2 = y (x = +y)

Por tanto, la funin inversa es:

x(y) =y

Ahora se trata de alular

dxdy . Tenemos dos aminos:

Camino 1:

dx

dy=

d

dy(y) =

1

2y

Apliain direta de las reglas de derivain; ojo, no existe derivada si y = 0(x = 0, dxdy = 0

).

Camino 2:

dx

dy=

1dydx

=1

2x=

1

2y

Apliando lo que hemos aprendido de la derivada de la funin inversa.




Ejemplo 3.24 Misma tarea, a la funin y = tanx (ver la gura 3.132).

y(x) admite inversa si x (pi2 , pi2 ). Entones:dy

dx= 1 + tan2 x

y R ! x (2,

2) | tanx = y (x = arctan y)

Ahora:

dx

dy=

1dydx

=1

1 + tan2 x=

1

1 + y2

Es deir:

d

dy(arctan y) =

1

1 + y2

El nombre de la variable independiente puede ser ualquiera:

d

du(arctan u) =

1

1 + u2;

d

dx(arctan x) =

1

1 + x2

Ejeriio 3.27 Calular las derivadas de las funiones inversas de:

y = senx; y = cos x; y = ex

3.13.8. Derivain de urvas en oordenadas paramtrias

En el apartado anterior hemos hablado de una funin dada en forma implita. Se trata

de una funin y(x) donde no aparee despejada la variable y en funin de x; por ejemplo:

Forma implita Forma explita

xy2 + y + x = 0 y =11 4x2

2x

ey + x = 1 y = ln (1 x)uv = 2 u =

2

v

yexy + sen(x+ y) = 0 No existe



Dada una funin implita denida por una euain en x e y quiz podamos despejarx(y) o y(x) o quiz no sea posible ninguna de las dos. Pues bien, todava es posible expresaruna urva de una terera forma: en oordenadas paramtrias.

Ejemplo 3.25 Dada la irunferenia (x a)2 + (y b)2 = R2, podemos tomar:x = a+R cos ty = b+R sen t

t [0, 2] (1)

Observa que si sustituimos en la euain de la irunferenia

(x a)2 + (y b)2 = R2 (cos2 t+ sen2 t) = R2Las expresiones de x(t) e y(t) de (1) son una expresin de la irunferenia en paramtrias.

Ejeriio 3.28 Dada una urva en forma explita, probar que SIEMPRE puede esribirse

en forma paramtria.

Si nos dan x(t) e y(t), para enontrar dydx :

dy

dx=

dy

dt dtdx

=dydtdxdt

=y(t)x(t)

Ejeriio 3.29 Dada la euain de una elipse

(x a)2A2

+(y b)2B2

= 1:

1. Obtener y(x) de forma implita.

2. Enontrar una parametrizain x(t), y(t).

3. Enontrar

dydx de forma paramtria.

4. undo no existe

dydx?. Qu ourre en esos puntos?

3.13.9. Derivadas de orden superior

Ya sabes que la posiin s de un objeto en ada libre puede modelizarse mediante lafunin:

s(t) =1

2gt2 + v0 t+ s0 (1)

donde:

g = 9. 8 m/s2 : aelerain de la gravedad

t: tiempo en segundos

v0: veloidad en t = 0, en m/s

s0: Espaio que lleva reorrido en t = 0, en metros.Por ierto, reuerda que (1) es un modelo, una aproximain al fenmeno real en el que no



hemos tenido en uenta fatores omo el rozamiento o el viento. Sabemos mo alular la

veloidad del objeto:

v(t) =ds

dt=

d

dt

(1

2gt2 + v0 t+ s0

)= gt+ v0 (2)

Y ul ser la aelerain del objeto?. Como slo est sometido a la a

in de la gravedad,

ser igual a g. Pero la aelerain es la veloidad de la veloidad, de modo que tambinpodr obtenerse derivando la derivada (2).

a =d

dt

(d

dt(s(t))

)=

d

dt(gt+ v0) = g

As pues, hemos enontrado signiado para la derivada de la derivada de una funin y(x):

d

dx

(dy

dx

)=

d2y

dx2= y(x): aelerain de y respeto a x

Ejemplo 3.26 Comparar las aeleraiones de y = x2 y z = x3.

y = 2x; y = 2 aelerain onstante

z = 3x2; z = 6x

Ambas aeleraiones oiniden en x = 13 (ver la gura 3.133).


z > y en(13 ,

)z < y en

(, 13)Del mismo modo podemos pensar en la derivada terera, uarta, et.

y(x) = ddx(d2ydx2

): veloidad de la aelerain de y

yv(x) = ddx

(d3ydx3

): aelerain de la aelerain de y



Figura 3.134: Diversas propiedades

Tendrn utilidad estas derivadas de orden superior?. La tienen. En el prximo tema veremos

que nos servirn para distinguir y entender qu signian estos omportamientos (ver la

gura 3.134):

Ejeriio 3.30 Sabemos que

dx

dy=

1

dy

dx

. Entones, tambin

d2x

dy2=

1

d2y

dx2

?

Veamos mo apliar la regla de la adena para alular derivadas segundas en una ompo-

siin de funiones:

Dada z(y(t)), el esquema de la funin ompuesta es (ver la gura 3.135).


t y(t) z(y(t))Reordando la regla de la adena:

dz

dt=

dz

dy

dy

dt;

d2z

dt2=

d

dt

(dz

dy dydt

)=

d

dt

(dz

dy

)dy

dt+dz

dy

d

dt

(dy

dt

)

=d

dy

(dz

dy

)dy

dt

dy

dt+dz

dy

d2y

dt2=

d2z

dy2

(dy

dt

)2+dz

dy

d2y

dt2

(*)derivada de un produto

Ejeriio 3.31 La potenia P de salida de una batera es P (I) = V I RI2, donde latensin V y la resistenia R son onstantes. Supongamos que la intensidad I es senoidal, de50 ciclos/seg, es deir, I(t) = A sen(100t). Calular:

Aelerain de P on respeto a I.Aelerain de P on respeto a t, de dos formas: alulando primero P (t) y empleando

la regla de la adena.



3.13.10. Aspetos omputaionales

Derivain numria

En oasiones es neesario evaluar y(a) pero no se dispone de la funin derivada y(x).A vees slo disponemos de una tabla de valores de y(x), obtenidos de forma experimental.Otras vees s se dispone de la funin y(x) pero es ompliado obtener y(x). En estos asos,puede ser til el lulo aproximado de y(a) o derivain numria.

x y

1 0.841

1.1 0.891

1.2 0.993

1.3 1.000

Ya que

y(a) = lmh0

y(a+ h) y(a)h

Si h es un valor prximo a 0, se tendr

y(a) y(a+ h) y(a)h

Tres esquemas de aproximain son los siguientes:

1. Frmula de diferenia progresiva.

Para h > 0, y(a) y(a+ h) y(a)h

2. Frmula de diferenia regresiva.

Para h > 0, y(a) y(a h) y(a)h =y(a) y(a h)

h

3. Frmula de diferenia entral.

y(a) y(a+ h) y(a h)2h

(Se obtiene sumando las anteriores).

Cundo emplear ada uno de los tres esquemas?. En general, la diferenia entral propor-

iona la mejor aproximain. En todo aso, usaremos una u otra segn la informain que

tengamos de y(x).



Figura 3.136: Datos onoidos posibles

Dependiendo de los datos onoidos de y(x), (y(a), y(a + h), y(a h)) emplearemos unou otro esquema numrio (ver la gura 3.136).

Esta ideas pueden usarse para evaluar numriamente y(a), y(a), et.:

y(a) y(a+ h) y(a)

h

y(a+2h)y(a+h)h y(a+h)y(a)h

h=

y(a+ 2h) 2y(a+ h) + y(a)h2

(diferenias progresivas)

Ejeriio 3.32 Obtener las expresiones de y(a) empleando las diferenias regresivas y en-tral. Obtener y(a) empleando los tres esquemas.

Ejeriio 3.33 Comparar las aproximaiones obtenidas empleando los tres mtodos para

evaluar y(a), y(a) e y(a), siendo y(x) = xex. (Calular y(x), y(x) y y(x) para enon-trar los valores exatos, y emplear varios valores de h para evaluar las aproximaiones).

El mtodo de Newton

En el apartado 12.2 hablamos del problema de la bsqueda de raes de euaiones del

tipo f(x) = 0. Enontramos un mtodo, el mtodo de la bise

in, basado en el Teorema deBolzano, para enontrar de forma aproximada las raes de funiones ontinuas en intervalos

[a, b]. Pues bien, el mtodo de Newton es un mtodo alternativo de bsqueda de raes,basado en la derivada. Consiste en lo siguiente (ver la gura 3.137):

Figura 3.137: Mtodo de Newton

Partimos de un punto x1 prximo a la raz z. Trazamos la reta tangente por x1 y lainterseamos on el eje OX:

y y1 = y(x1)(x x1); si y = 0 x = x1 y(x1)y(x1)


3.14. LA REGLA DE L'HPITAL 125

Esta es nuestra nueva aproximain:

x2 = x1 y(x1)y(x1)

Repitiendo el proeso se obtiene la suesin {xn}:

xn+1 = xn y(xn)y(xn)

n = 1, 2, 3 . . .

Ejeriio 3.34 Empleando el mtodo de Newton, aproximar la raz positiva de x2 2 = 0,

on tres iteraiones y tomando x1 = 1.

Qu ventajas tiene este mtodo frente al de la bise

in?.

Ventajas:

Cuando la suesin generada {xn} es onvergente, lo hae ms rpidamente que el mtodode la bise

in. Eso signia que on un menor nmero de iteraiones onseguimos una mejor

aproximain.

Desventajas:

1.-y(x) debe ser derivable en un intervalo (a, b) que ontenga a la raz z, por tanto es msexigente.

2.-El metodo falla si para algn n y(xn) = 0.3.-Y lo peor: la suesin xn quiz no sea onvergente, inluso aunque tomemos omo puntode partida x1 un valor prximo a la raz z.

Ejeriio 3.35 Apliar el mtodo de Newton para enontrar una raz de la euain

3x+ senx ex = 0 prxima a 0. Redondear los lulos a ino ifras signiativas e iterarhasta que |xn xn+1| 0. 001.

3.14. La regla de L'Hpital

Se trata de un teorema que, en algunas oasiones, nos sirve para resolver indetermina-

iones del tipo

00 y

.

Ejeriio 3.36 Demuestra que

00 y

son indeterminaiones.

La regla de L'Hpital die lo siguiente:

Supongamos que:

lmxc

f(x) = lmxc

g(x) = 0 lmxc

f(x)

g(x)=

0

0INDETERMINACION

Supongamos que f(x) y g(x) son derivables en un intervalo (a, b) tal que c (a, b), aunqueen el punto x = c pueden no ser derivables. Supongamos que g(x) 6= 0 en (a, b), aunque spuede sueder que g(c) = 0. Entones:

Si l = lmxc

f (x)g(x)

lmxc

f(x)

g(x)y lm

xcf(x)

g(x)= l

Adems, el resultado tambin es vlido si la indeterminain es del tipo

.



Ejeriio 3.37 Supongamos que f(x) y g(x) tienden a on el mismo orden, es deir:

lmx

f(x)

g(x)= = l 0 < l

teoria de funciones reales de variable real

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