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FUNCIONES REALES

1º DE BACHILLERATOCURSO 2007 - 2008

Funciones Reales

Funciones reales

•Definición

•Clasificación

•Igual de funciones

•Dominio

Propiedades

•Monotonía

•Extremos relativos

•Acotación. Extremos absolutos

•Simetría

•Periodicidad

0peraciones

•Suma de Funciones

•Producto de un número real por una función

•Producto de dos funciones

•Cociente de dos funciones

•Composición

•Función inversa

•Función inyectiva

•Función opuesta

•Función recíproca

Mª de la Concepción Alonso Naves

FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN

Un función entre dos conjuntos numéricos, A conjunto inicial y B conjunto final, es una correspondencia por lacual a cada elemento de un subconjunto de A, llamado dominio de la función y denotado por Domf, lecorresponde un elemento y solo uno de un subconjunto de B, llamado imagen o recorrido de f, y denotadoIm f.

En Matemáticas , normalmente se trabaja, con funciones reales de variable real, es decir, funciones en las cualesel conjunto final es el de los números reales y el conjunto inicial también es el de los números reales . Estafunción se denota por:


FUNCIONES REALES. CLASIFICACIÓN

FUNCIONES

ALGEBRAICAS

RACIONALES

ENTERAS O POLINÓMICAS

RACIONALES

IRRACIONALES

TRASCENDENTES

TRIGONOMÉTRICAS

LOGARÍTMICAS

EXPONENCIALES


FUNCIONES REALES. DOMINIO

Funciones racionales enteras o polinómicas

Una función polinómica es una combinación lineal de funciones potencias de base real y exponente

natural.

Su dominio es el conjunto de números reales, es decir, Dom f = R

Ejemplos:



Funciones racionales fraccionarias

Son las funciones son funciones obtenidas al dividir un polinomio por otro polinomio no idénticamente nulo.

Dominio son todos los números reales menos los valores que anulan el denominador.

Dom f = R – {x ε R / Q(x) = 0

Ejemplos:



Funciones irracionales

Son aquellas en las que la variable independiente aparece bajo el signo radical o elevada a exponente racional no entero.

Dominio:

Si el índice es impar entonces el Dom f = R

Si el índice es par entonces el Dom f = {x ε R/ g(x) ≥0}, siendo f(x) =

Ejemplos:



Funciones trigonométricas

Son las funciones de un ángulo.: seno, coseno tangente etc.

Dominio:

De las funciones tipos f(x) = sen(g(x)); f(x) = cos (g(x)); es Dom f = R

De las funciones tipo f(x) = tg (g(x)) , es Dom f = { x ε R / g(x) ≠ π/2 + k π, k ε Z}

Ejemplos:



Funciones exponenciales

Son las funciones del tipo f(x) = a g(x) , siendo a >0 y a≠ 1

Domino: Dom f(x) = Dom g(x)

Ejemplos



Funciones logarítmicas

Son las funciones del tipo f(x) = log a(g(x))., con a >o y a≠ 1

Dominio: Dom f = {x ε R/ g(x) > 0 }

Ejemplos:


FUNCIONES REALES. IGUALDAD DE FUNCIONES

Igualdad de funciones

Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y las imágenes para el mismo valor de x coinciden.


FUNCIONES REALES.MONOTONÍA

Monotonía Estrictamente crecientesUna función es estrictamente creciente en un intervalo (a, b) si

Estrictamente decrecientesUna función es estrictamente decreciente en un intervalo (a, b) si


FUNCIONES REALES. EXTREMOS RELATIVOS

Extremos Relativos Máximo relativoLa función f(x) presenta un máximo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:

Mínimo relativoLa función f(x) presenta un mínimo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:


FUNCIONES RELAES.ACOTACIÓN. EXTREMOS ABSOLUTOS

Acotación. Extremos absolutos

Función acotada superiormente

Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k.

K es la cota superior

Función acotada inferiormente

Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′.

K´es la cota inferior

Una función está acotada si lo está superiormente e inferiormente a la vez

k′ ≤ f(x) ≤ k


FUNCIONES RELAES.ACOTACIÓN. EXTREMOS ABSOLUTOS

Acotación. Extremos absolutos

Máximo absoluto

Se llama extremo superior o supremo de una función acotada superiormente a la menor de las cotas superiores.

Se llama Máximo absoluto de una función acotada superiormente al extremo superior o supremo cuando es alcanzado por la función

Mínimo absoluto

Se llama extremo inferior o ínfimo de una función acotada inferiormente a la mayor de sus cotas inferiores.

Se llama Mínimo absoluto de una función acotada inferiormente al extremo inferior o ínfimo cuando es alcanzado por la función


FUNCIONES REALES. SIMETRÍA

Funciones simétricas

Simetría par o respecto al eje de ordenadas

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica:

f(−x) = f(x).

Define una simetría axial, cuyo eje es el eje de ordenadas

Simetría impar o respecto al origen de coordenadas

Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica:

f(−x) = −f(x).

Define una simetría central de centro el origen de coordenadas.


FUNCIONES REALES. PERIODICIDAD

Funciones Periódicas

Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica: f(x) = f(x + z T)

T es el periodo principal de la función, pero cualquier múltiplo de este también es periodo.


FUNCIONES REALES. OPERACIONES

Operaciones con funciones

◦ Suma de dos funciones

La suma de las funciones f y g , que representamos por f + g, de la forma (f + g) (x) = f(x) + g(x).

El Dom (f+g) = Dom f Dom g

◦ El producto de un número real por una función

La función producto de un número real t por la función f, t · f, es de la forma (t·f) (x) =t · f(x).

El Dom (t·f) = Dom f

◦ El producto de dos funciones

El producto de dos funciones f y g, que se representa por f · g, de la forma (f · g) (x) = f(x) · g(x).

El Dom (f · g) = Dom f Dom g

◦ El cociente de dos funciones

El cociente de dos funciones f y g, que representamos por f/g, de la forma (f/g) (x) = f(x) / g(x).

El Dom (f/g) = Dom f Dom g con g(x) ≠ 0


FUNCIONES REALES. COMPOSICIÓN

Composición de funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, sepuede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

Ejemplo:

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

(g o f) (1) = 6· 1 + 1 = 7

Dominio de la función composición: Dom (gof) = {x Dom f / f(x) Dom g}

No cumple la propiedad conmutativa.

La función identidad es la función i definida por i(x) = x. Se define como la función que trasforma

cualquier número real en si mismo. Es decir, i: R → R

x →i(x) = x

Tiene la propiedad: f o i = i o f = f


FUNCIONES REALES. FUNCIÓN INVERSA

Función inversaSe llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Podemos observar que:

El dominio de f−1 es el recorrido de f.

El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad. f o f -1 = f -1 o f = x

Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante


FUNCIONES REALES. OTROS TIPOS DE FUNCIONES

Función inyectiva

Una función es inyectiva si cada elemento de Im f es imagen de uno y sólo un elemento de Dom f

Función opuesta

Dada una función f definimos su función opuesta y la denotamos por –f de la siguiente manera: (-f) (x) = - f(x). El Dom –f = Dom f

Función recíproca

Dada una función f, definimos su función recíproca y la denotamos por 1/f de la siguiente manera:

(1/f) (x) = 1 / f(x). El Dom (1/f) = Dom f – { x/ f(x) = 0}

Proceso para calcular la función inversa de una dada

Calcular la inversa de la siguiente función:

1º paso: llamamos y a la función y despejamos la x

2º paso: llamamos a la x f(x) y a la y x, y la función que obtenemos es la inversa de la función dada


FUNCIONES REALES. APLICACIÓN DE LAS TIC´S

Aplicación de las TIC´S:

Cualquiera de los siguientes instrumentos o programas los podemos utilizar en el estudio de las propiedades de las funciones, así como para el cálculo de dominio e imagen de funciones.

◦ Calculadora gráfica

◦ Geogebra

◦ Derive


FUNCIONES REALES. ANEXO

Peter Gustav Lejeun Dirichlet

(1805 – 1859) fue el sucesor de Gauss en lacátedra de la Universidad de Gotinga. Expuso,junto con Riemann, la formulación más generalde función como correspondencia entre dosconjuntos de números.

En 1857 formuló la definición de función tal comola conocemos hoy día.

Lectura recomendada

El Teorema del loro

Autor: Denis Guedj


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