FUNCIONES REALES

INTEGRANTES: VALOR JOSE MANUEL

CI.21362.644SECCION:

VIRTUAL: VV

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO“SANTIAGO MARIÑO”NUCLEO BARCELONA

INGENIERIA DE SITEMAS

PROFESOR:PEDRO BELTRAN

12-06-16

En matemáticas, una función, aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el dominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del dominio f(x). Comúnmente, el término función se utiliza cuando el dominio son valores numéricos, reales o complejos.

Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se habla de función. Esto quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a su vez, relaciones matemáticas, pero que las relaciones no siempre son funciones.

A.-FUNCION

B.-RELACION En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce como  dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombre de rango o recorrido. Las relaciones matemáticas existentes entre ellos se pueden graficar en el esquema llamado plano cartesiano.

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C.-CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES•Función Inyectiva:

En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Es decir, a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. Así, por ejemplo, la función de números reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Cardinalidad e inyectividad

Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen: Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

•Función Biyectiva:

En matemática, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Formalmente,para ser más claro se dice que una función es biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función inyectiva. sumándole que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la norma que exige la función sobreyectiva

Teorema

Si es una función biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva. Ejemplo La función es biyectiva. Luego, su inversa también lo es.

• Función Sobreyectiva:

En matemática, una función es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva), si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando la imagen , o en palabras más sencillas, cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION•Dominio:

El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x;  esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales. Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:

Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la función produce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está constituido por todos los números mayores o iguales que cero

En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio de una función o de una expresión algebraica:

•No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales.

•Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión queda indeterminada.

Rango:

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.

Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que elrango está conformado por el cero y todos los números positivos.

Al graficar la función se obtiene:

Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es

Función Inversa:

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

La notación f−1 se refiere a la inversa de la función f y no al exponente −1 usado para números reales. Unicamente se usa como notación de la función inversa.

Propiedades

La inversa de un función cuando existe, es unica. La inversa de una función cualquiera no siempre existe, pero la inversa de una función biyectiva siempre existe. las gráficas de f y f−1 son simétricas respecto a la función identidad y = x.

Método para Hallar la Inversa de una Función:

Aunque existen varios métodos para hallar la inversa, los siguientes pasos ayudan a obtener la inversa de la función f (x).

Procedimiento1.Se sustituye f (x) por y es la función dada 2.Se intercambian x por y

para obtener x = f (y) 3. Se despeja la variable 4.En la solución se escribe f−1 (x) en vez de y

Ejemplo:

Determna la inversa de la siguiente función. a) f(x)= 4x + 5Sustituyendo f(x) por y y = 4 x + 5 Se intercambian x por y x = 4 y + 5

Despejando y x - 5 = 4y, x - 5/ 4 = yf-1(x)= x - 5/ 4 Finalmente se obtiene la inversa de f(x)Criterio de la Recta HorizontalGraficamente se puede verificar si una función tiene inversa aplicando

el crietrio de la recta horizontal, f(x) tiene Inversa sí y solo sí toda recta horizontal corta a la curva de f(x) en un solo punto.

OPERACIONES CON FUNCIONES:Suma de funciones

Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por                                           Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función                                            Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.                                              

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por                                           Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por:                                                (La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.) Producto de un número por una función Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por: 

Ejemplos de suma de funciones

Dadas las funciones  f  y  g , vamos a hallar (f + g):

               

Como  Dom(f) = R  y  Dom(g) = R - {1} , tenemos que:

               Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R ∩ [R - {1}] = R -{1}

Ejemplo de producto de funciones

Dadas las funciones  f  y  g , vamos a hallar (f · g):

               

Como  Dom(f) = [3 , ∞)  y  Dom(g) = R - {-2} , tenemos que:

               Dom(f · g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = [3 , ∞) ∩ R - {-2} = [3 , ∞)

Ejemplo de cociente de funciones

Dadas las funciones  f  y  g , vamos a hallar (f/g):

               

Observamos que  g(x) = 0  sólamente si  x = 5. Luego:     {x / g(x) = 0} = {5}

Como  Dom(f) = [2 , ∞)  y  Dom(g) = R - {-3} , tenemos que:

 Dom(f / g) = [Dom(f) ∩ Dom(g)] - {x / g(x) = 0} = [ [2 , ∞) ∩ R - {-3} ] - {5} = [2 , ∞) - {5}

En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta g   f: X → Z expresa que (g   f)(x) = g(f(x)) para ∘ ∘todo x perteneciente a X.

A g   f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no ∘siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

De manera formal, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g   f ): X → Z como (g  f)(x) = g (f(x)), para todos los ∘ ∘elementos de X.

COMPOSICION DE FUNCIONES:

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

Propiedades

La función compuesta cumple la propiedad asociativa: h (g f)= (h g) f∘ ∘ ∘ ∘

2. La función compuesta no es conmutativa: 

(g f) ≠ (f g)∘ ∘

3. Tiene elemento neutro que es la función identidad 

I(x)=x: (I g)=(g I)=g∘ ∘

4. La composición de una función con su inversa nos da la función identidad, es decir, existe elemento simétrico, el cual es la función inversa

5. Si realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición:

6. Si f es derivable en x y g es a su vez derivable en f(x), entonteces existe la derivada de la función compuesta y se calcula utilizando la conocida regla de la cadena:(g f)´(x)=g´(f(x))f´(x)∘