grafkom - sistem koordinat
TRANSCRIPT
Transformasi Antar Sistem Koordinat
Multiple Coordinate Systems
• Dalam “world of models” bisa tdp banyak sistem koordinat• Setiap sistem koordinat dinyatakan atas skala, titik referensi
relatif ke sistem koordinat referensi, dan orientasinya dilihat dari sistem koordinat referensi tsb
• Terdapat sistem koordinat root yang menjadi referensi dari setiap sistem koordinat secara langsung atau tidak langsung
Model’s Coordinate System
• Dalam world of models setiap model didefinisikan dalam sistem koordinatnya masingmasing
• Transformasi yang terjadi tidak mengubah data geometris model tersebut pada sistem koordinatnya
• Transformasi yang terjadi hanya mengubah informasi geometris dari sistem koordinat model relatif terhadap sistem koordinat referensinya
• Pada saat penggambaran, setiap koordinat tsb baru dikomputasi hingga berada dalam satu sistem koordinat tunggal
Relasi Antar Koordinat
• Jika sistem koordinat model dalam sistem koordinat model, maka sistem koordinat referensi dapat dipandang sebagai transformasi geometris dari sistem koordinat referensi
• Sistem koordinat model (B) hasil transformasi dari sistem koordinat referensi (A) dengan matriks transformasi MAB
Matriks Transformasi Antar Sistem Koordinat
• Suatu obyek PB yang didefinisikan dalam koordinat model (B) hendak diketahui koordinatnya dalam sistem koordinat referensi (A) menjadi PA maka berlaku:
• PA = MAB PB
• Sebaliknya model dalam SK A dapat dinyatakan dl SK B dengan MBA= (MAB)1
• PB = MBA PA = (MAB)1 PA
Contoh
• sk B dengan referensi pada sk A: – origin B pada (10, 5) sk A – rotasi 30o
• Dimanakah PB = (5, 2) di dalam sk A?
MAB = T(10, 5).R(30o),
jadi PA = MAB .PB
PA=0.87 −0.5 100.5 0.87 50 0 1 ⋅521 =13.339.23
1
• Dimanakah PA = (15, 15) di dalam sk B?
PB = MBA PA
= R(30o).T(10, 5).PB
PB=−0.87 0.5 −11 .160.5 0.87 0.670 0 1 ⋅15151 =9.336.16
1
Rantai Referensi Antar Sistem Koordinat
• Secara umum, suatu sistem koordinat model dapat menjadi sistem koordinat referensi model lainnya
• Jika MAB, MBC adalah matriksmatriks transformasi sistem koordinat
• MAB adalah sk B dengan sk referensi A
• MBC adalah sk C dengan sk referensi B
• Jika Pc adalah model yang didefinisikan di C. Maka dalam SK A model tsb memiliki koordinat PA sbb:
• PA = MAB MBC PC
Vektor Arah Sumbuy
• Jika diketahui vektor V yang menyatakan sumbuy sistem koordinat B serta posisi originnya (x0, y0)?
• Jika vektor unit arah sumbuy
• Sementara, vektor unit arah sumbux dapat diperoleh dari v karena ortonormal
v=V∣V∣
=vx , vy
u=ux,u
y=v
y,−v
x
• Matriks transformasi antar sistem koordinat (untuk menyatakan titik dalam sk B ke dalam sk A):
• Matriks transformasi antar sistem koordinat (untuk menyatakan titik dalam sk B ke dalam sk A):
MA B=T x0 , y 0 ⋅vy vx 0
−vx vy 0
0 0 1
MB A=vy −vx 0
vx vy 0
0 0 1 ⋅T −x0 ,−y 0
Contoh
• Jika arah sumbuy SK B adalah (0.5, 0.87) dan origin berada pada (10, 5) dengan SK referensi A, dimanakah titik (5,2) pada sk B jika dinyatakan dalam sk A?
• Dimana kah titik (15, 15) pada sk A jika dinyatakan dalam sk B?
PB=0.87 0.5 0−0.5 0.87 00 0 1 ⋅1 0 −10
0 1 −50 0 1 ⋅15151 =9.336.16
1
PA=1 0 100 1 50 0 1 ⋅0.87 −0.5 0
0.5 0.87 00 0 1 ⋅
521=13.339.23
1
Transformasi Sistem Koordinat 3D
• Untuk kasus 3D biasanya diketahui dua vektor V dan W, menyatakan arah sumbuy dan arah sumbuz dan koordinat titik origin (x0, y0, z0)
• Vektor unit arah sumbuy adalah
• vektor unit arah sumbuz adalah
• Maka, vektor unit arah sumbux adalah
v= V∣V∣
= vx , vy , v z
w=W∣W∣
=wx ,w y ,wz
u=ux,u
y,u
z=v×w
Transformasi Sistem Koordinat 3D
• Matriks transf untuk menyatakan titik dl sk B ke dl sk A:
• Matriks transf untuk menyatakan titik dl sk A ke dl sk B:
MA B=T x0 , y 0 , z0 ⋅ux vx wx 0
uy vy wy 0
uz vz wz 0
0 0 0 1
MB A=ux uy uz 0
vx vy vz 0
wx wy wz 0
0 0 0 1⋅T −x0 ,−y 0 ,−z0