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EVISTA

EMA 2005, V

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. 10, N 3, 353-373

COMPLEJIDAD DE LAS MATEMTICAS ESCOLARES Y DISEO DE ACTIVIDADES DE

ENSEANZA Y APRENDIZAJE CON TECNOLOGA1

Technology without curriculum is only worth the silicon it is written on.

Jim Kaput2

PEDRO GMEZ

La tecnologa electrnica puede llegar a ser un catalizador de los pro-cesos de cambio en el aula de matemticas. Sin embargo, los efectosde la utilizacin de la tecnologa para la enseanza y el aprendizaje delas matemticas dependen de cmo el profesor disee y desarrolle elcurrculo, de tal forma que la tecnologa contribuya a que los escola-res vivan experiencias matemticas que sean relevantes para su apren-dizaje. El diseo y puesta en prctica de actividades que utilicen latecnologa debe ser un procedimiento sistemtico que tenga en cuentala diversidad de signicados de los conceptos matemticos y la com-plejidad de los aspectos cognitivos y de instruccin del tema que sepretenda tratar; que se base en las potencialidades de la tecnologadentro del contexto de los problemas que se quieran abordar y de losconceptos que estos problemas involucran; y que utilice coherente-mente esta informacin.

Technology can promote change processes in the mathematics class-room. However, the impact of technology on the teaching and learningof mathematics depends on how the teacher designs and develops thecurriculum, so that students can live mathematical experiences that arerelevant to their learning. Designing and implementing learning activ-ities involving technology should be a systematic procedure. It shouldtake into account the multiple meanings of mathematical concepts, thecomplexity of the cognitive and teaching aspects of the mathematicaltopic at hand, and the possibilities offered by technology in the contextof the instructional problems to be faced and of the concepts involvedin them.

1. Esta es una versin revisada y extendida de Gmez (2004).2. Este artculo es un homenaje a Jim Kaput, quien muri trgicamente en 2005 y a quien le

escuch esta frase en una de sus charlas en la reunin anual de la NCTM en 1994.

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palabras claves:

TECNOLOGA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMTICAS

Existe la creencia de que las nuevas tecnologas electrnicas pueden llegara ser la solucin a muchos de los problemas de la enseanza y el aprendi-zaje en la escuela. En el caso de las matemticas, este mito parece estar anms difundido en los medios, entre algunos padres de familia y algunasotras instituciones (ver, por ejemplo, Penglase y Arnold, 1996). El deseo deabordar estos problemas y la creencia en este mito ha llevado a algunas ins-tituciones y gobiernos a invertir ciegamente en tecnologa. Todos hemosodo hablar de al menos una institucin en la que los computadores se cui-dan con recelo en una sala a la que cada escolar asiste una o dos veces porsemana. Muchos profesores de matemticas se han encontrado con la obli-gacin de utilizar la tecnologa en sus clases de matemticas, sin saber quhacer con ella3. Aunque la tecnologa no puede ser, por s sola, la solucin aninguno de los principales problemas de la enseanza y el aprendizaje delas matemticas, no es posible ignorar sus potencialidades en el aula. Estaimportancia se expresa en el principio de tecnologa de los estndares de laAsociacin Nacional de Profesores de Matemticas de Estados Unidos(NCTM, 2000, pp. 24-25):

Las tecnologas electrnicas, tales como calculadoras y computado-res, son herramientas esenciales para ensear, aprender y hacermatemticas Los escolares pueden aprender ms matemticas yen mayor profundidad con el uso apropiado de la tecnologa Enlos programas de enseanza de las matemticas, la tecnologa sedebe utilizar frecuente y responsablemente, con el objeto de enrique-cer el aprendizaje de las matemticas por parte de los alumnos. Laexistencia, versatilidad y poder de la tecnologa hacen posible y ne-cesario reexaminar qu matemticas deben aprender los escolares,as como tambin la mejor forma de aprenderlas. En las aulas de ma-temticas contempladas en los Principios y Estndares, cada estu-diante tiene acceso a la tecnologa con el n de facilitar suaprendizaje matemtico, guiado por un docente experimentado.

3. Mientras que durante muchos aos el acceso de los escolares a la tecnologa en la escuelafue limitado (por ejemplo, muchas instituciones tenan una nica sala de informtica), estasituacin est cambiando rpidamente (Figueras, 2005, p. 10). En los planes educativos dela Junta de Andaluca, en Espaa, se propone que haya un computador por cada dos estu-diantes. Por su parte, pases como Inglaterra y Mxico estn instalando pizarrones electr-nicos en gran cantidad de aulas.REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

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El principio de tecnologa enfatiza dos cuestiones: qu matemticas debenaprender los escolares y la mejor forma de aprenderlas. En otras pala-bras, la pregunta central de este principio se reere al papel que la tecnologapuede jugar en el diseo y el desarrollo de actividades con las que los esco-lares puedan vivir experiencias matemticas signicativas para su aprendi-zaje (Gmez, 1997).

La tecnologa no es ms que un recurso en el aula de matemticas. Susefectos en el aprendizaje de los escolares depende de muchos factores. Alnal de la cita anterior, se mencionan dos de ellos: el acceso a la tecnologay el conocimiento y experiencia del profesor. Es por esta razn que los estu-dios sobre el impacto del uso de la tecnologa en el aula de matemticas nopueden ser conclusivos (ver, por ejemplo, Kissane, 2002; Lagrange, Artigue,Laborde y Trouche, 2001; Penglase, 1996; Ruthven, 1995). Qu matemti-cas aprenden los escolares y cmo las aprenden depende de muchas varia-bles que no son posibles controlar por fuera de los entornos de investigacinde los estudios especcos. No obstante, el aprendizaje de los escolares sdepende directamente del tipo de experiencias matemticas que ellos pue-dan vivir dentro y fuera del aula. ste es un factor general que incluye a lasdems variables. Dentro de todas las experiencias matemticas que los es-colares pueden vivir, nos interesan especcamente aquellas en las que,como profesores, podemos inuir. Es decir, aquellas que surgen de las acti-vidades que nosotros les proponemos, como producto del diseo y el desa-rrollo curricular.

Las reexiones anteriores pretenden centrar la problemtica del uso dela tecnologa electrnica en el aula en los procesos de diseo y desarrollo cu-rricular. Aunque hay muchos aspectos de la relacin entre tecnologa y en-seanza de matemticas, mi inters en este artculo se focaliza en la relacinentre el diseo y desarrollo curricular y el papel que la tecnologa puede ju-gar en esos procesos. Pretendo abordar una pregunta que supongo que mu-chos profesores se hacen cuando se enfrentan al uso de la tecnologa: Siahora tengo este recurso disponible en clase, qu actividades les propongoa mis alumnos para hacer el uso ms ecaz y eciente posible del mismo?

CURRCULO Y TECNOLOGASupongamos que estamos trabajando la funcin cuadrtica con nuestrosalumnos de bachillerato. De las clases anteriores, sabemos que la mayorade ellos son capaces de resolver algunas tareas relacionadas con el recono-cimiento y la caracterizacin de esta funcin. Por ejemplo, pueden identi-car los diferentes elementos de las representaciones simblicas y grcas,evaluar una funcin, producir representaciones grcas de funciones cua-REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

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drticas especcas y dar ejemplos de funciones cuadrticas con diferentestipos de races, entre otras cosas (Lupinez, Rico, Gmez y Marn, 2005).Sin embargo, nuestra experiencia de cursos anteriores (que podra sercorroborada en la literatura) nos ha mostrado que los escolares tienen di-cultades para establecer la relacin entre las diferentes representacionessimblicas y la representacin grca de la funcin. Esto quiere decir, porejemplo, ser capaz de reconocer y de utilizar hechos como que el parmetroa representa la dilatacin de la grca, que los parmetros h y k en la expre-

sin identican las coordenadas del vrtice, o que losparmetros y en la expresin identicanlos cortes de la grca con el eje x (ver Figura N 1). En otras palabras,nuestro inters se centra en lograr que nuestros alumnos sean capaces deresolver problemas que involucran el signicado grco de los parmetros.

Figura N 1. Relacin entre elementos simblicos y grficos

Nuestro problema consiste entonces en encontrar formas de contribuir a quenuestros alumnos puedan superar estas dicultades y quisiramos utilizar latecnologa como un recurso para abordarlo y solucionarlo. Qu podemoshacer? No basta con decir que vamos a utilizar calculadoras grcas o com-putadores en clase. Cuando estemos en el aula, tendremos que proponer al-gn tipo de actividad4. Es en estas circunstancias en las que la frase voy autilizar las calculadoras grcas para trabajar en el signicado grco de losparmetros de las representaciones simblicas de la funcin cuadrtica esuna frase general que adquiere sentido nicamente cuando propongamos undiseo curricular que podamos desarrollar en el aula. Qu tipos de activi-dades podemos proponer?

4. Utilizo el trmino actividad en un sentido amplio, que puede incluir la explicacinmagistral del profesor. La actividad de los escolares en este caso consiste en escuchar y,si es el caso, tomar apuntes.

f x( ) x h( )2 k+=r1 r2 f x( ) a x r1( ) x r2( )=REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

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Una primera aproximacin podra ser mostrar esas relaciones. Podra-mos llevar un computador o una calculadora grca al aula y mostrar quecambios en el parmetro a de la expresin implicancambios en la dilatacin de la grca resultante. Inclusive podramos utilizarlas potencialidades de la calculadora para realizar una simulacin en la quese produzca la familia de funciones que resulta de variar los valores del pa-rmetro b en y podramos sacar conclusiones sobre elsignicado grco de este parmetro.

Otra posibilidad sera que diseramos unas actividades en las que nues-tros alumnos pudieran ver en sus calculadoras los efectos grcos de cam-biar los parmetros. O podramos proponerles una actividad con dos listasde objetos: una lista de representaciones simblicas y una lista de represen-taciones grcas. Les podramos pedir que, sin ayuda de la calculadora, es-tablecieran los emparejamientos correspondientes. Una vez hechos losemparejamientos, les podramos sugerir que utilizaran la calculadora paravericar sus respuestas. Tambin podramos hacer una bsqueda en la red yescoger alguna de las actividades que all se encuentran y que puedan teneralguna relacin con el tema del signicado grco de los parmetros. Lasanteriores seran algunas estrategias posibles para utilizar la tecnologa ennuestra clase. Pero, es sta una aproximacin ecaz y eciente al proble-ma? En otras palabras,

1) estamos abordando el problema que nos interesa?,2) tenemos algn grado de certidumbre de que nuestra aproximacin

va a resolver el problema? y3) estamos logrando los mejores resultados posibles con los recursos

que tenemos disponibles (i.e., las calculadoras grcas)?

EL PROBLEMA Y LA COMPLEJIDAD DE LAS MATEMTICAS ESCOLARES

Las tres preguntas son importantes. Y aunque intuitivamente tendemos apensar que las respondemos armativamente cada vez que proponemosactividades a nuestros alumnos, un anlisis ms detallado de cada una deellas puede develar la gran complejidad que existe en los procesos dediseo y desarrollo curricular, cuando estos procesos se reeren a un con-cepto matemtico concreto. Exploremos cada una de las preguntas porseparado. Cul es el problema? Todas las actividades que he mencionadotienen que ver con la problemtica del signicado grco de los parmetrosde las representaciones simblicas de la funcin cuadrtica. Pero esto no

f x( ) ax2 bx c+ +=

f x( ) 2x2 bx 2+=REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

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EDRO GMEZquiere decir que estemos necesariamente abordando el problema que nospropusimos al comienzo. Que nuestras actividades tengan como contenidoel signicado grco de los parmetros no implica necesariamente que, alrealizar esas actividades, nuestros alumnos desarrollen las capacidadesnecesarias para resolver problemas que involucren esas caractersticas de lafuncin cuadrtica y puedan superar las dicultades que tienen al respecto.La funcin cuadrtica es una estructura matemtica compleja y el tema quenos interesa es tan slo una faceta de esa complejidad. Aunque nuestro pro-blema es cognitivo (queremos que nuestros alumnos desarrollen unas cier-tas capacidades y superen unas ciertas dicultades), comprender y abordarese problema cognitivo requiere que nosotros, como profesores, conozca-mos con suciente detalle la complejidad y multiplicidad de los signica-dos del concepto funcin cuadrtica. El problema cognitivo que nosinteresa tendr signicado, desde la perspectiva del diseo de actividadesde enseanza y aprendizaje, cuando tengamos una descripcin suciente-mente detallada del concepto al que se reere. Para ello, es necesario reali-zar un anlisis de contenido de dicho concepto5.

No pretendo en este documento presentar un anlisis de contenido deta-llado de la funcin cuadrtica. En la Figura N 2 presento un mapa concep-tual en el que se identican y relacionan las principales categoras en las quese puede organizar la multiplicidad de signicados de este concepto. En ellase aprecia la identicacin de cuatro sistemas de representacin y del aspec-to fenomenolgico. Es posible desarrollar en detalle cada una de las repre-sentaciones, estableciendo sus elementos (conceptos) y las relaciones entreellos (procedimientos). Por ejemplo, se podran desarrollar en detalle cadauna de las formas simblicas y establecer los procedimientos que las rela-cionan (i.e., completacin de cuadrados para pasar de la forma simblica es-tndar a la forma cannica ,ver Figura N 4.

5. El anlisis de contenido es uno de los cuatro anlisis del anlisis didctico. El anlisisdidctico es un procedimiento cclico que describe cmo el profesor debera idealmentedisear, llevar a la prctica y evaluar actividades de enseanza y aprendizaje (Gmez,2002). Est compuesto por el anlisis de contenido, el anlisis cognitivo, el anlisis de ins-truccin y el anlisis de actuacin. El anlisis de contenido es el procedimiento en virtuddel cual el profesor identica, organiza y selecciona los signicados de un concepto mate-mtico que considera relevantes para efectos de la planicacin de la instruccin.

f x( ) ax2 bx c+ += f x( ) a x h( )2 k+=REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

COMPLEJIDAD DE LAS MATEMTICAS ESCOLARES Y DISEO DE ACTIVIDADES 359 Figura N 2. Mapa conceptual general de la funcin cuadrtica

En la Figura N 3 se aprecian algunas de estas relaciones. Observamos algu-nos de los procedimientos para transformar una forma simblica en otra yalgunas de las posibles relaciones entre fenmenos y subestructuras de lafuncin cuadrtica que les pueden servir de modelo. Y tambin observamosuna primera aproximacin a la relacin entre el sistema de representacinsimblico y el sistema de representacin grco (que se llama, en la FiguraN 3, traduccin entre sistemas de representacin). Esta relacin se estable-ce entre elementos de las diferentes formas simblicas (los parmetros) yelementos de la representacin grca (i.e., vrtice, cortes con los ejes, foco,directriz). Aunque no se representa en la gura, hay una gran variedad de co-nexiones (relaciones) entre estos elementos. Por lo tanto, desde el punto devista del anlisis de contenido, estos ejemplos dan muestra de la compleji-dad del problema que queremos abordar en clase.

Funcin cuadrtica

Diversas Representaciones

Simblica Grfica Geomtrica Numrica

Forma estndar

Forma cannica

Forma multiplicativa

Forma del foco

Elementos

Familias

En el plano En el espacioValores de la funcin

FenmenosREVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

360 PEDRO GMEZ Figura N 3. Conexiones entre elementos de un mapa conceptual parcial de la funcin cuadrtica

De hecho, podemos abordar con claridad la denicin de los aspectos cog-nitivos gracias a la descripcin que surge del anlisis de contenido del con-cepto matemtico. En otras palabras, podemos concretar las capacidadesque deseamos que los escolares desarrollen y las dicultades que ellospueden tener al abordar tareas, solamente cuando, con motivo de haberrealizado el anlisis de contenido, hemos identicado, organizado y selec-cionado los signicados relevantes del concepto matemtico en cuestin.En la Figura N 4, he retomado la funcin de la FiguraN 1 y he incluido algunos de los procedimientos simblicos y grcos quepueden estar involucrados en su anlisis. Es decir, he identicado y selec-cionado algunos de los signicados del concepto relacionados con suestructura conceptual (conceptos y procedimientos) y con algunas de susrepresentaciones. Estos son los signicados que considero relevantes den-tro del contexto del problema propuesto. He omitido el anlisis del foco yla directriz y su correspondiente forma simblica para evitar una mayor

Transfsintctica

Transfsintctica

Modelizacin

5 10 15 20 25

20

40

60

80

100

x

Funcin cuadrtica

Sistemas de representacin

Simblico

A(x)=-x2+20x A(x)=x(20-x)A(x)=-(x-10)2+100

Fenmenos

Maximizacin de reas

Grfico

Modelizacin

A(x)

Traduccin entre entre sistemas

f x( ) x 4( )2 4=REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

COMPLEJIDAD DE LAS MATEMTICAS ESCOLARES Y DISEO DE ACTIVIDADES 361complejidad en el esquema. Este anlisis ms detallado muestra que, desdeuna perspectiva cognitiva, el manejo del signicado grco de los parme-tros de la funcin cuadrtica debe involucrar, al menos, el manejo de losprocedimientos para transformar una forma simblica en otra, los procedi-mientos simblicos y grcos que establecen la relacin entre los parme-tros de la forma cannica y las transformaciones grcas a partir de laforma simblica estndar .

Figura N 4. Conexiones y procedimientos

En la Figuraa N 4 podemos observar la conexin entre la complejidad delanlisis de contenido y la complejidad del anlisis cognitivo. La capacidadmanejo del signicado grco de los parmetros implica otras capacida-des y tiene su propia estructura y complejidad. Esto signica que no pode-mos considerarla de manera aislada. La capacidad en la que nos hemosinteresado forma parte de un grupo de capacidades que tiene que ver con elmanejo de conceptos, procedimientos y representaciones relacionados conla funcin cuadrtica. Otras capacidades de este tipo pueden ser, por ejem-plo, el identicar caractersticas comunes de familias de parbolas o relacio-nar diferentes parbolas con la parbola estndar (Lupinez et al.,2005).

La nocin de capacidad es central en el anlisis cognitivo. En el contextode las matemticas escolares, utilizo este trmino para referirme a la actua-cin de un estudiante con respecto a cierto tipo tarea (por ejemplo, los pro-blemas de transformar una forma simblica de la funcin cuadrtica laestndar en otra la cannica). Armo que un individuo ha desarrolla-

h x( ) x2=

y x2=REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

362 PEDRO GMEZdo, en alguna medida, una capacidad dada cuando l puede resolver tareasque la requieren. En la Tabla N 1 he seleccionado y organizado aquellas ca-pacidades que considero ms relevantes para el problema propuesto6.

Abordar el problema que hemos propuesto implica recorrer el camino quelleve a los escolares de una situacin en que han desarrollado unas capaci-dades bsicas con respecto a la funcin cuadrtica7, a otra situacin en laque los escolares son capaces de resolver problemas que involucran el sig-nicado grco de los parmetros de las formas simblicas de la funcincuadrtica. Sin embargo, la informacin que surge del anlisis de contenidoy que da lugar a la Tabla N 1 muestra que no hay un nico camino por el

Ejecutar, comunicar y justificar los procedimientos de transformaciones simblicas

C1 Completacin de cuadrados C3 Factorizacin

C2 Expansin

Identicar, mostrar y justicar los parmetrosC4 Forma cannica (a, h, k) C6 Forma estndar (a, b, c)C5 Forma foco (p, h, k) C7 Forma multiplicativa (a, r1, r2)

Identicar, mostrar y justicar los siguientes elementos grcosC8 Coordenadas del vrtice C11 Coordenadas del foco

C9 Puntos de corte con el eje Y C12 Ubicacin de la directrizC10 Puntos de corte con el eje X C13 Ubicacin del eje de simetra

Ejecutar, comunicar y justicar los procedimientos de transformaciones grcasC14 Translacin horizontal C16 Dilatacin

C15 Translacin vertical

Tabla N 1. Capacidades relacionadas con el signicado grco de los parmetros de la funcin cuadrtica

6. Lupiez et al. (2005) han desarrollado un instrumento para, dado un listado de competen-cias, establecer en qu medida un grupo de capacidades contribuyen al desarrollo de dichascompetencias. De esta manera, es posible establecer un vnculo entre la planicacin localpara un concepto matemtico concreto (como es el caso que discuto aqu) y la planica-cin global de una asignatura o un plan de estudios.

7. Por ejemplo, proporcionar argumentos para justicar porqu una funcin es cuadrtica ono, o identicar elementos en la expresin simblica de una funcin cuadrtica: variable,exponente, coecientes principal, lineal e independiente, etc.REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

COMPLEJIDAD DE LAS MATEMTICAS ESCOLARES Y DISEO DE ACTIVIDADES 363que el aprendizaje se puede desarrollar si se quiere transformar la situacininicial en la situacin nal. Para pasar de una situacin a la otra, es necesarioque los escolares desarrollen o ya hayan desarrollado una coleccin de ca-pacidades intermedias8. Pueden haber diferentes caminos que involucran di-ferentes capacidades y diferentes tareas pueden poner en juego diferentescapacidades de los escolares (ver la Figura N 5)9.

Figura N 5. Posibles caminos de aprendizaje

En la Figura N 5 he identicado algunas capacidades (Ci) y algunos cami-nos y he diferenciado algunos vnculos con una lnea continua para indicaruna seleccin de caminos. Por ejemplo, una tarea puede requerir la determi-nacin de las coordenadas del foco de la funcin ,y, en consecuencia, puede involucrar la completacin de cuadrados (C1), laidenticacin de los parmetros de la forma del foco (C5) y la identicacinde las coordenadas del vrtice (C7). Por lo tanto, debemos determinar qucapacidades pueden llegar a ponerse en juego con motivo de la tarea quepropongamos. El anlisis de los posibles caminos de aprendizaje puede in-ducirnos a cambiar la tarea, dependiendo de los recursos que tenemos dis-ponibles (e.g., la calculadora grca) y de nuestra percepcin de cules sonlas capacidades relevantes en ese momento.

En resumen, el anlisis cognitivo de nuestro problema es una cuestincompleja. Esta complejidad est vinculada con la diversidad de signicadosde la funcin cuadrtica como concepto matemtico dentro de las matem-

8. Por otro lado, a partir de nuestra experiencia podemos identicar que, para algunas deestas capacidades, nuestros alumnos maniestan dicultades. Un alumno maniesta unadicultad en relacin con una capacidad dada, cuando incurre en errores al abordar tareasque ponen en juego dicha capacidad.

9. La idea de posibles caminos de aprendizaje es una adaptacin (para la planicacin localrealizada por el profesor) de la nocin de trayectoria hipottica de aprendizaje propuestapor Simon (1995; Simon y Tzur, 2004). La identicacin de posibles caminos de aprendi-zaje no incluye el anlisis de tareas (Gmez y Lupiez, 2005).

Puntoinicial

C3

C1 C2

C5

C6 C7C8

C9 C10 C11

C12 C13

C14 C15

C16

Puntofinal

C4

f x( ) x2 8x 12+( )=REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

364 PEDRO GMEZticas escolares. Por lo tanto, el problema que identicamos al comienzo, re-lacionado con el signicado grco de los parmetros de la funcincuadrtica, que pareca, relativamente sencillo, adquiere otra dimensin.Esta dimensin expresa la complejidad de los temas de las matemticas es-colares cuando los analizamos desde la perspectiva del anlisis didctico.Tenemos, ahora s, bases para responder a la primera pregunta. La informa-cin que surge de los anlisis de contenido y cognitivo nos permite dar sen-tido a la frase signicado grco de los parmetros de la funcincuadrtica y, de esta manera, reconocer la complejidad y la estructura delos aspectos semnticos (diversidad de signicados), cognitivos y de ins-truccin involucrados.

ANLISIS DE INSTRUCCIN Y TECNOLOGALa complejidad de las matemticas escolares que he puesto en evidencia enel apartado anterior implica que hay tambin una cierta complejidad en losprocesos de diseo y seleccin de actividades para la enseanza (el anlisisde instruccin). No podemos suponer que cualquier actividad que tenga quever con el problema que queremos abordar y que ponga en juego la tecnolo-ga de alguna manera vaya a tener xito desde el punto de vista de los objeti-vos de aprendizaje que nos hemos impuesto. Cmo disear o seleccionaractividades? Qu actividades podemos llevar al aula que aborden el pro-blema y utilicen ecaz y ecientemente la tecnologa disponible? Para res-ponder esta pregunta tenemos que analizar las potencialidades que nos ofrecela tecnologa, dentro del contexto del problema que queremos abordar.

Podramos llevar algunas transparencias con grcas parecidas a las delapartado anterior y mostrrselas a nuestros alumnos. Podramos tambinexplicarles esas relaciones. Inclusive, podramos hacer este tipo de demos-tracin con la ayuda de una calculadora grca y el retro proyector. Pero,tendremos alguna certidumbre de que este tipo de actividad, en la que losescolares son espectadores en una demostracin, les ayudar a desarrollarlas capacidades que identicamos arriba? Es muy posible que no. Para de-sarrollar esas capacidades y superar las dicultades se requiere que nuestrosalumnos puedan vivir experiencias matemticas en las que ellos pongan enjuego su conocimiento (capacidades) y puedan reconocer que los errores enlos que incurren son producto de un conocimiento parcial (dicultades) quedeben reelaborar. Por lo tanto, al menos para el tipo de problema que quere-mos abordar, las actividades que propongamos deben inducir a nuestrosalumnos a actuar. No pueden ser actividades en las que ellos jueguen el pa-pel de espectadores. Cmo nos puede ayudar la tecnologa para lograr estospropsitos?REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

COMPLEJIDAD DE LAS MATEMTICAS ESCOLARES Y DISEO DE ACTIVIDADES 365Ya hemos visto que tecnologas como la pizarra y la tiza, el retro proyec-tor de transparencias o la calculadora grca manejada exclusivamente porel profesor no son necesariamente muy ecaces para nuestro problema. De-bemos utilizar tecnologas con las que nuestros alumnos pongan en juego suconocimiento matemtico. El lpiz y el papel son esenciales. Para el temaque estamos tratando, la calculadora grca puede llegar a ser una tecnolo-ga ecaz10. Recordemos que la calculadora grca permite el manejo din-mico de mltiples sistemas de representacin. Esta es la caracterstica deesta tecnologa que corresponde directamente con el problema que quere-mos abordar. Observemos que, para este problema, no necesitamos utilizarotras potencialidades de la calculadora grca (como la posibilidad de rea-lizar cmputos complejos, o la de explorar la relacin entre la estructura ma-temtica y los fenmenos de los que puede ser un modelo matemtico). Eneste caso, nos interesa la capacidad de la calculadora grca para producir yrelacionar rpida y dinmicamente las representaciones simblica, grca ynumrica de la funcin cuadrtica. Esto implica que, dependiendo de las ac-tividades que propongamos, nuestros alumnos podrn, entre otras cosas:

producir la grca de cualquier expresin simblica de una fun-cin cuadrtica,

observar valores especcos de una funcin cuadrtica y relacio-narlos con las representaciones simblica y grca,

manipular y observar los efectos grcos de cambios en losvalores de los parmetros de una forma simblica y

producir conjeturas al respecto y vericarlas.

Aunque, como se aprecia en la lista anterior, la calculadora grca puede fa-cilitar la realizacin de algunas tareas que requieren capacidades concretas,esto no signica que cualquier actividad en la que nuestros alumnos debanhacer algo con la calculadora grca sea ecaz desde el punto de vista delproblema que nos interesa. Por ejemplo, darles una lista de expresiones sim-blicas de funciones cuadrticas y pedirles que produzcan sus grcas con-tribuira muy poco a superar sus dicultades y a desarrollar buena parte delas capacidades de la Tabla N 1. En este tipo de actividad, ellos no ponen enjuego el conocimiento del que surgen esas dicultades. Algo similar puedesuceder si les pedimos que observen simulaciones en las que se representangrcamente cambios en los parmetros de la expresin simblica. Enton-

10. Veremos ms adelante que, en trminos de la reexin del apartado anterior, una de laspotencialidades de la tecnologa es la multiplicidad de posibles caminos de aprendizajeque pueden generarse con tareas que la utilicen apropiadamente.REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

366 PEDRO GMEZces, qu tipos de actividades podemos proponer? No hay un procedimientosistemtico para ello, ms all de establecer la relacin entre la descripcindetallada de nuestro problema11 y las potencialidades de los recursos que te-nemos disponibles. En lo que sigue, analizo una de estas actividades.

EJEMPLO DE UNA ACTIVIDAD

La actividad que presento a continuacin forma parte de una serie de activi-dades desarrolladas en una empresa docente (Gmez, Mesa, Carulla,Gmez y Valero, 1996). En esta actividad presentamos algunas caractersti-cas de un objeto matemtico (funciones cuadrticas concretas) y le pedi-mos a los escolares que identiquen el objeto en cuestin y describan otrasde sus caractersticas. La actividad requiere que se rellenen los espacios enblanco de la Tabla N 2 (en las grcas, cada marca representa una unidad).En clase, se espera que el profesor organice a los escolares en grupos detres o cuatro alumnos, cada uno con una calculadora grca. Los grupostrabajan en la actividad y el profesor gua y promueve la discusin internaen los grupos. Cuando los escolares han trabajado en la actividad, el profe-sor genera una discusin en clase a partir de la presentacin de las propues-tas de los diferentes grupos.

Qu implica esta actividad? Es relevante para nuestro problema? Uti-liza ecaz y ecientemente la tecnologa? Observemos que, en esta actividad,

1) no hay un algoritmo preestablecido para resolverla y el camino para laaccin no se encuentra completamente especicado con anterioridad;

2) hay soluciones mltiples (por ejemplo en la forma simblica utilizada) yhay diversos caminos posibles para la solucin;

3) hay mltiples criterios que se pueden utilizar para tomar decisiones;4) hay cierto grado de incertidumbre;5) requiere asignar signicado a cada uno de los elementos de la estructura

matemtica en su relacin con los dems elementos y estableciendo laestructura subyacente;

6) requiere la formulacin de conjeturas y su vericacin; y7) no se puede resolver por prueba y error12.11. En trminos de los signicados del concepto matemtico, de las capacidades que conside-

ramos relevantes y de las dicultades que pueden presentar los escolares.12. La formulacin de las caractersticas de esta actividad se basan en las propiedades del pen-

samiento de alto nivel (Resnick, 1987).REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

COMPLEJIDAD DE LAS MATEMTICAS ESCOLARES Y DISEO DE ACTIVIDADES 367La actividad es relevante para nuestro problema porque implica la posibili-dad de una gran variedad de posibles caminos de aprendizaje e induce a losescolares a proponer conjeturas de solucin y vericarlas. Al hacerlo, ellosdeben poner en juego su conocimiento sobre el signicado grco de los pa-rmetros de la funcin cuadrtica y relacionar los diversos elementos de lasrepresentaciones simblica, grca y geomtrica (multiplicidad de capaci-dades). Los escolares deben al menos:1) utilizar la informacin de que disponen para encontrar una expresin

simblica de la funcin;

Expr

esi

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blic

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Tabla N 2. Actividad tipo tabla para la funcin cuadrtica

y x2= 0 0,( ) x 0= 0 14---, y 14---=

y

x

0 2,( ) 0 94---, y 74---=

x

y

y x 2( )2=

y

xREVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

368 PEDRO GMEZ2) vericar que esa expresin simblica es coherente con la informacin; y3) producir otras formas simblicas de la funcin para determinar los otros

datos que se requieren.

Por ejemplo, en el caso de la segunda la, los escolares pueden basarse enla informacin sobre el vrtice para producir una conjetura sobre la expre-sin simblica en forma cannica (capacidades C4 y C8)y producir la grca en la calculadora y vericarla con la grca propuesta(capacidades C8, C9 y C10). O pueden utilizar la informacin sobre el focoy la directriz (capacidades C11 y C12) para producir una conjetura sobre laexpresin simblica en la forma (capacidad C5) y ve-ricar esta hiptesis con la calculadora (capacidades C8, C9, C10, C11 yC12). Una vez hecho esto, pueden observar la grca para obtener una con-jetura sobre las races (capacidad C9), conjetura que pueden vericar con lacalculadora o simblicamente produciendo la expresin en forma multipli-cativa de la funcin (capacidad C7).

Qu papel juega la calculadora grca en estos procesos? En las situa-ciones hipotticas que he descrito en el prrafo anterior se aprecia el papelde esta tecnologa. La calculadora grca le permite a los escolares vericarsus conjeturas. Los escolares pueden explorar las representaciones grcasde diferentes propuestas de formas simblicas y, de esta manera, poner enjuego una variedad de capacidades. El uso de la calculadora grca libera alos escolares del proceso tedioso de produccin de grcas a partir de tablas.Adems, si observamos la sptima columna de la tabla, vemos que, graciasal uso de la calculadora grca, los escolares pueden desarrollar capacida-des para producir la grca de una funcin cuadrtica sin necesidad de pasarpor la representacin numrica (tablas) o de utilizar la tecnologa. Los esco-lares pueden utilizar la calculadora de muchas maneras imprevistas y esto esinevitable dentro del proceso de exploracin de la herramienta. Sin embar-go, si ellos buscan resolver los problemas planteados en la actividad tendrnque usarla ecaz y ecientemente.

El diseo y desarrollo de una actividad no se restringe a la produccinde una tarea, (tal y como la he presentado) y a su puesta en juego dentro delaula. Al pensar en una actividad, debemos tambin pensar en nuestra propiaactuacin en clase como profesores. Cuando proponemos la actividad anuestros alumnos y ellos la abordan, nosotros debemos saber qu hacercuando, dentro del trabajo de los grupos, surgen dudas, identicamos di-cultades, se incurre en errores, o se proponen caminos innovadores. Tambindebemos tener criterios para tomar decisiones a la hora de invitar a los gru-

y a x( h )2 k+=

y 14p------ x x0( )2 y0+=

f x( ) a x r1( ) x r2( )=REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

COMPLEJIDAD DE LAS MATEMTICAS ESCOLARES Y DISEO DE ACTIVIDADES 369pos a presentar su trabajo, de inducir una discusin entre ellos, o de resumiry sacar conclusiones sobre la discusin. Qu criterios utilizar para tomarestas decisiones? Estos criterios deben surgir de la informacin que hemosproducido al realizar los anlisis de contenido y cognitivo, al analizar las po-tencialidades de las tecnologas disponibles y al establecer las relaciones en-tre ellos.

ANLISIS DIDCTICO Y USO DE TECNOLOGAEn la Figua N 6 se representan las cuatro cuestiones que he considerado enlos apartados anteriores. A travs de un ejemplo, he descrito estas cuatrocuestiones y las relaciones entre ellas. He sugerido que el uso apropiado dela tecnologa (o cualquier otro material o recurso) es un problema de diseoy desarrollo curricular. Esto signica que la tecnologa se debe usar con unpropsito especco relacionado con las capacidades y competencias cuyodesarrollo esperamos promover en nuestros alumnos. Por lo tanto, el uso dela tecnologa requiere del anlisis cognitivo del tema que se piense tratar enclase. He mostrado, que, para realizar el anlisis cognitivo, es necesariorealizar un anlisis de contenido de la estructura matemtica en cuestin.La informacin que surge de estos dos anlisis nos debe servir de base para,por un lado, identicar y caracterizar el problema que queremos abordar enel aula y, por el otro, para decidir cmo utilizar la tecnologa. Para ello, esnecesario que conozcamos sus caractersticas y potencialidades. El diseo(o seleccin) de las actividades deber surgir de relacionar la informacinque emerge de los anlisis de contenido y cognitivo con nuestro conoci-miento de la tecnologa dentro del contexto del problema que queremosabordar. Cuando establezcamos esa relacin, podremos proponer y gestio-nar actividades que, adems de ser relevantes desde el punto de vista delaprendizaje de nuestros alumnos, utilicen ecaz y ecientemente la tecno-loga disponible.

Figura N 6. Los cuatro elementos del anlisis

Anlisisde contenido

Anlisiscognitivo

Caractersticas dela tecnologa

Diseo y desarrollodel currculoREVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

370 PEDRO GMEZSe podra armar que esta propuesta tiene sentido solamente cuando todoslos escolares tienen disponible en todo momento la tecnologa ms avanza-da. Pero el tipo de tecnologa y el acceso a ella son dos de las caractersticasque hay que tener en cuenta en el anlisis. De la misma forma, el anlisis decontenido y el anlisis cognitivo pueden sugerir que una demostracin porparte del profesor sea la manera ms ecaz y eciente de usar la tecnologa.Lo que sugiero en la Figura N 6 es que el uso que se haga de la tecnologadepende del problema concreto que se quiera abordar y de la tecnologa quese tenga disponible. En algunos casos, decidiremos que no tiene sentido uti-lizar la tecnologa. Pero lo haremos, con argumentos (basados en el anlisisdidctico y el anlisis de tecnologa) que nos permiten justicar nuestras de-cisiones. Tambin se puede argumentar que el procedimiento que he pro-puesto requiere de mucho tiempo y esfuerzo y que, por consiguiente, no esposible llevarlo a cabo dentro de las presiones de la rutina diaria del profe-sor. Este argumento es parcialmente vlido. El anlisis didctico de una es-tructura matemtica es un procedimiento complejo y dispendioso. Por lotanto, no podemos realizarlo en detalle cada vez que abordamos una nuevaestructura matemtica. En el transcurso de un curso acadmico podremostrabajar en dos o tres estructuras matemticas. No obstante, mientras quetrabajamos en esos temas, cuando nos enfrentamos a uno diferente, pode-mos siempre formularnos una serie de preguntas que es posible respondercon el conocimiento y la experiencia que ya tenemos. Estas preguntas abor-dan cada uno de los elementos de la Figura N 6.

Anlisis de contenido1) Cules son los conceptos y procedimientos que conforman la estruc-

tura matemtica?

2) De qu maneras se puede representar el tema?3) Cules son las relaciones entre los diferentes elementos de la estructura

conceptual y sus representaciones?

4) Cmo se pueden organizar los fenmenos para los que la estructuramatemtica puede servir de modelo?

Anlisis cognitivo1) Qu capacidades han desarrollado ya nuestros alumnos?2) Qu capacidades esperamos que desarrollen con motivo de las activi-

dades que van a realizar?REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

COMPLEJIDAD DE LAS MATEMTICAS ESCOLARES Y DISEO DE ACTIVIDADES 3713) Qu dicultades hemos percibido que los escolares muestran cuandoabordan el tema?

4) Cules son los posibles caminos de aprendizaje para el tema?

Tecnologa1) Qu signicados (conceptuales, procedimentales, representacionales y

fenomenolgicos) se favorecen al utilizar la tecnologa?2) Qu capacidades se facilitan o se ponen en juego cuando se usa la tec-

nologa?3) Qu posibles caminos de aprendizaje se favorecen?

Diseo y desarrollo del currculo1) Qu actividades son relevantes para las capacidades que queremos

desarrollar en nuestros alumnos y para las dicultades que esperamosque superen?

2) Qu tareas pueden aprovechar las potencialidades de la tecnologa paraponer en juego dichas capacidades?

TECNOLOGA Y DESARROLLO PROFESIONALLa tecnologa es un catalizador de los procesos de enseanza y aprendizajede las matemticas, pero el xito de su utilizacin depende de cmo el pro-fesor disee y desarrolle el currculo de tal forma que la tecnologa contri-buya a que los escolares vivan experiencias matemticas que seanrelevantes para su aprendizaje. Es en este sentido que no se puede mirar a latecnologa como la solucin al problema de la enseanza y aprendizaje delas matemticas.

Muchos de los argumentos a favor (o en contra) del uso de la tecnologaen la enseanza y el aprendizaje de las matemticas se hacen al nivel de laplanicacin global del currculo (ver, por ejemplo, la cita del NCTM al co-mienzo de este artculo y Lagrange et al., 2001). ste es el nivel que Rico(1997, p. 409) denomina planicacin para los profesores. En este artculohe resaltado la importancia y relevancia de considerar el uso de la tecnologaal nivel de la planicacin local del currculo (Gmez, 2002, p. 256). El pri-mer argumento es general: resalta las potencialidades de la tecnologa y lasrelaciona con el currculo de las matemticas escolares. El segundo argumen-to es particular: tiene en cuenta la especicidad de cada concepto matemticoen sus diversas dimensiones (de contenido, cognitivo y de instruccin) y pro-REVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

372 PEDRO GMEZmueve la necesidad de analizar la relevancia, la ecacia y la eciencia con laque un recurso concreto (e.g., la calculadora grca) puede ser puesta en jue-go en la planicacin y desarrollo de una unidad didctica.

El comportamiento del profesor en el saln de clase (en su interaccincon los escolares para la construccin del conocimiento matemtico) depen-de de su conocimiento y de sus visiones acerca de las matemticas, su apren-dizaje y su enseanza (Dossey, 1992). Este comportamiento puede cambiaren la medida en que estos conocimientos y estas visiones cambien. Para ellose requiere que el profesor pueda vivir experiencias didcticas que ponganen juego y lo induzcan a cuestionar sus conocimientos y sus visiones. La ne-cesidad de utilizar la tecnologa como nuevo agente didctico y la necesidadde disear actividades que aprovechen las potencialidades de la tecnologapueden convertirse en la oportunidad para que el profesor viva el tipo de ex-periencias que se requieren dentro del proceso de cambio. El profesor, al en-frentarse a estas nuevas situaciones, puede construir una nueva visin delcontenido matemtico, del proceso de enseanza y aprendizaje y del papelque cada uno de ellos puede jugar en la construccin del conocimiento.

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Pedro GmezUniversidad de Granada

Granada, EspaaE-mail: pgomez@valnet.esREVISTA EMA VOL. 10, N 2 Y VOL. 10 N 3, 2005

Ttulo Artculo - Complejidad de las Matemticas Escolares y Diseo de Actividades de Enseanza y...Protocolo-der - Technology without curriculum is only worth the silicon it is written on.Protocolo-der - Jim KaputAutor - Pedro GmezAbstract - La tecnologa electrnica puede llegar a ser un catalizador de los procesos de cambio ...Abst-ingls - Technology can promote change processes in the mathematics classroom. However, the ...Palab-clave - palabras claves:

Ttulo Artculo - Tecnologa y Aprendizaje de las MatemticasCita - Las tecnologas electrnicas, tales como calculadoras y computadores, son herramientas ese...1Ttulo - Currculo y Tecnologa

Figura N 1 - Figura N 1. Relacin entre elementos simblicos y grficosNum 1 - 1) estamos abordando el problema que nos interesa?,Num 1 sig - 2) tenemos algn grado de certidumbre de que nuestra aproximacin va a resolver el p...Num 1 sig - 3) estamos logrando los mejores resultados posibles con los recursos que tenemos dis...1Ttulo - El Problema y la Complejidad de las Matemticas Escolares

Figura N sig - Figura N 2. Mapa conceptual general de la funcin cuadrticaFigura N sig - Figura N 3. Conexiones entre elementos de un mapa conceptual parcial de la funci...Figura N sig - Figura N 4. Conexiones y procedimientosCellBody - Ejecutar, comunicar y justificar los procedimientos de transformaciones simblicasCellBody - C1CellBody - Completacin de cuadradosCellBody - C3CellBody - FactorizacinCellBody - C2CellBody - ExpansinCellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - Identificar, mostrar y justificar los parmetrosCellBody - C4CellBody - Forma cannica (a, h, k)CellBody - C6CellBody - Forma estndar (a, b, c)CellBody - C5CellBody - Forma foco (p, h, k)CellBody - C7CellBody - Forma multiplicativa (a, r1, r2)CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - Identificar, mostrar y justificar los siguientes elementos grficosCellBody - C8CellBody - Coordenadas del vrticeCellBody - C11CellBody - Coordenadas del focoCellBody - C9CellBody - Puntos de corte con el eje YCellBody - C12CellBody - Ubicacin de la directrizCellBody - C10CellBody - Puntos de corte con el eje XCellBody - C13CellBody - Ubicacin del eje de simetraCellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - Ejecutar, comunicar y justificar los procedimientos de transformaciones grficasCellBody - C14CellBody - Translacin horizontalCellBody - C16CellBody - DilatacinCellBody - C15CellBody - Translacin verticalCellBody - CellBody - Tabla No. 1 - Tabla N 1. Capacidades relacionadas con el significado grfico de los parmetros d...

Figura N sig - Figura N 5. Posibles caminos de aprendizaje1Ttulo - Anlisis de Instruccin y Tecnologa

Bullet - producir la grfica de cualquier expresin simblica de una funcin cuadrtica,Bullet - observar valores especficos de una funcin cuadrtica y relacionarlos con las represe...Bullet - manipular y observar los efectos grficos de cambios en los valores de los parmetros ...Bullet - producir conjeturas al respecto y verificarlas.1Ttulo - Ejemplo de una ActividadNum 1 - 1) no hay un algoritmo preestablecido para resolverla y el camino para la accin no se en...Num 1 sig - 2) hay soluciones mltiples (por ejemplo en la forma simblica utilizada) y hay diver...Num 1 sig - 3) hay mltiples criterios que se pueden utilizar para tomar decisiones;Num 1 sig - 4) hay cierto grado de incertidumbre;Num 1 sig - 5) requiere asignar significado a cada uno de los elementos de la estructura matemti...Num 1 sig - 6) requiere la formulacin de conjeturas y su verificacin; yNum 1 sig - 7) no se puede resolver por prueba y error.

CellBody - CellBody - Expresin simblicaCellBody - VrticeCellBody - Eje de simetraCellBody - FocoCellBody - DirectrizCellBody - Accin con relacin a y = x2CellBody - RacesCellBody - Corte con el eje yCellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - NingunaCellBody - 0, dobleCellBody - y = 0CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - izq - Traslacin en y de dos unidades hacia arribaCellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - Traslacin en x de una unidad hacia la derechaCellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - CellBody - Tabla No. sig - Tabla N 2. Actividad tipo tabla para la funcin cuadrticaNum 1 - 1) utilizar la informacin de que disponen para encontrar una expresin simblica de la f...Num 1 sig - 2) verificar que esa expresin simblica es coherente con la informacin; yNum 1 sig - 3) producir otras formas simblicas de la funcin para determinar los otros datos que...

1Ttulo - Anlisis Didctico y Uso de Tecnologa

CellBody - izq - Figura N sig - Figura N 6. Los cuatro elementos del anlisis2Ttulo - Anlisis de contenidoNum 1 - 1) Cules son los conceptos y procedimientos que conforman la estructura matemtica?Num 1 sig - 2) De qu maneras se puede representar el tema?Num 1 sig - 3) Cules son las relaciones entre los diferentes elementos de la estructura concept...Num 1 sig - 4) Cmo se pueden organizar los fenmenos para los que la estructura matemtica pued...

2Ttulo - Anlisis cognitivoNum 1 - 1) Qu capacidades han desarrollado ya nuestros alumnos?Num 1 sig - 2) Qu capacidades esperamos que desarrollen con motivo de las actividades que van a...Num 1 sig - 3) Qu dificultades hemos percibido que los escolares muestran cuando abordan el tema?Num 1 sig - 4) Cules son los posibles caminos de aprendizaje para el tema?

2Ttulo - TecnologaNum 1 - 1) Qu significados (conceptuales, procedimentales, representacionales y fenomenolgicos...Num 1 sig - 2) Qu capacidades se facilitan o se ponen en juego cuando se usa la tecnologa?Num 1 sig - 3) Qu posibles caminos de aprendizaje se favorecen?

2Ttulo - Diseo y desarrollo del currculoNum 1 - 1) Qu actividades son relevantes para las capacidades que queremos desarrollar en nuest...Num 1 sig - 2) Qu tareas pueden aprovechar las potencialidades de la tecnologa para poner en j...

1Ttulo - Tecnologa y Desarrollo Profesional1Ttulo - Referencias

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