G.M. - Edile A 2002/03

Il teorema dell’impulso

• Consideriamo un punto materiale in moto rettilinio sotto l’azione di una forza F costante

xO Fxo

x

• xo punto di partenza

• x punto di arrivo

Δx =x−xo Δt =t −to =t−0

spostamento Tempo impiegato

• L’accelerazione (costante)

• Le equazioni del motoax =

Fm

x =xo +vxot+12 axt

2

vx =vxo +axtmvx −mvxo =maxt ⇒ pxf −pxf =F t−0( )

⇓

Δpx =FΔt

G.M. - Edile A 2002/03

Generalizzazione del teorema dell’impulso

• Dalla seconda legge della dinamica• Dove F è la risultante delle forze agenti sulla particella

dr p dt

=r F

• Per ogni intervallo infinitesimo dt• Sommando su tutti gli intervalli infinitesimi (integrando tra zero r t)

dr p =

r F dt

dr p

0

t

∫ =r F dt

0

t

∫ ⇒ Δr p =

r F dt

0

t

∫• Se la forza F è costante (modulo, direzione e verso)

Δ

r p =

r F dt

0

t

∫ =r F Δt

• La forza F media in t

r F m =

Δr p Δt

=

r F dt

0

t

∫Δt

G.M. - Edile A 2002/03

Lavoro ed energia cinetica: introduzione

• Consideriamo un punto materiale che si muove di moto rettilineo sotto l’azione di una forza costante parallela alla traiettoria (per esempio moto di caduta di un grave)

x =xo +vxot+12 axt

2

vx =vxo +axt

xO F

r F =m

r a ⇒ F =max ax =

Fm

=costante Moto uniformemente accelerato

Eliminando il tempo:

t =vx −vxo

ax

x −xo =vxovx −vxo

ax

+12ax

vx −vxo

ax

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

x −xo =2vxovx −2vxovxo +vx

2 +vxo2 −2vxovx

2ax

=vx

2 −vxo2

2ax

vx2

2−

vxo2

2=ax x−xo( )

12

mvx2 −

12

mvxo2 =max x −xo( )

G.M. - Edile A 2002/03

Lavoro ed energia cinetica: introduzione

• Si definisce

• Energia cinetica della particella

Le dimensioni

12

mvx2 −

12

mvxo2 =max x −xo( )

12

mvx2 −

12

mvxo2 =F x−xo( )

• Lavoro effettuato dalla forza costante sul percorso tra xo e x

K =12

mvx2 =

12

mv2

W =F x −xo( )

W[ ]= F[ ] L[ ] Nel SI: Nm=kgm2s-2=J (joule)

K[ ]= M[ ] v[ ]2 Nel SI: kgm2s-2=J (joule)

G.M. - Edile A 2002/03

Generalizzazione della definizione di lavoro

• Nello studio del moto rettilineo uniformemente accelerato abbiamo ottenuto:– La variazione dell’energia cinetica dubita dal punto materiale quando

si sposta tra xo e x risulta uguale al lavoro compiuto dalla forza lungo il percorso tra xo e x

– Teorema delle forze vive.• Vediamo se è possibile generalizzare questo risultato al caso generale.

– Se la traiettoria non è rettilinea o se la forza non è parallela allo spostamento, solo la componente tangenziale della forza è responsabile della variazione del modulo della velocità:

dvdt

=at =Ft

m

Occorre fare in modo, nella definizione di lavoro di una forza, che esso dipenda solo

dalla componente tangenziale della forza.

Δr r

r F

Ft =Fcosθ

G.M. - Edile A 2002/03

Il prodotto scalare tra vettori• Dati vettori F e r, si definisce prodotto scalare

• Modulo del primo vettore per modulo del secondo vettore per il coseno dell’angolo compreso

r F ⋅Δ

r r =FΔrcosθ

Δr r

r F

r F ⋅Δ

r r =F Δrcosθ( )

– Il modulo del secondo vettore per la proiezione del primo sul secondo

r F ⋅Δ

r r =Δr F cosθ( )

Δr r

r F

F cosθ

Δrcosθ

Δr r

r F

r F ⋅Δ

r r =Δ

r r ⋅

r F Commutativo

Il risultato di un prodotto scalare è uno scalare

• Che può anche essere interpretato come

– Il modulo del primo vettore per la proiezione del secondo vettore lungo il primo

G.M. - Edile A 2002/03

Alcune proprietà del prodotto scalare

• Vettori paralleli

– Positivo Fr

• Vettori antiparalleli– Negativo - Fr

• Vettori ortogonali– Uguale a zero

Δr r

r F

Δr r

r F

Δr r

r F

r i ⋅

r i =1

r j ⋅

r j =1

r k ⋅

r k =1

r i ⋅

r j =

r i ⋅

r k =

r j ⋅

r k =0

Il prodotto scalare di un vettore per sé stesso

r a ⋅

r a =a2

r F =Fx

r i +Fy

r j +Fz

r k

Δr r =Δx

r i +Δy

r j +Δz

r k

r F ⋅Δ

r r =FxΔx +FyΔy +FzΔz

G.M. - Edile A 2002/03

Generalizzazione della definizione di lavoro

• Lavoro fatto da una forza costante su un percorso rettilineo

Δr r

r F

W =r F ⋅Δ

r r =FΔrcosθ

Il lavoro è una grandezza scalare

• Se la forza non è costante e/o il percorso non è rettilineo, possiamo sempre – dividere il percorso in tratti così piccoli (infinitesimi) da poter considerare

• il tratto rettilineo e

• la forza costante su quel tratto,

– Calcolare il lavoro su ciascuno dei tratti

– Sommare tutti i lavori calcolati sui singoli tratti

W =

r F ⋅d

r r

i ,γ

f

∫

dW=r F ⋅d

r r

i

f

G.M. - Edile A 2002/03

Generalizzazione della definizione di lavoro

• Calcolo del lavoro utilizzando le componenti cartesiane

W =

r F ⋅d

r r

i ,γ

f

∫ = Fxdx+Fydy+Fzdz( )i,γ

f

∫

r F =Fx

r i +Fy

r j +Fz

r k

dr r =dxr i +dy

r j +dz

r k

dr r =ds modulodid

r r

W =

r F ⋅d

r r

i ,γ

f

∫ = Fdscosθi,γ

f

∫

r F

i

f

• Calcolo del lavoro utilizzando i moduli della forza e dello spostamento

• I lavoro della risultante

r R =

r F i

i=1

n

∑

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

• Una donna tira, a velocità costante, una slitta carica di massa m= 75 kg su una superficie orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra i pattini e la neve è d=0.10, e l’angolo è di 42°.

• Calcolare il lavoro effettuato dalla donna per spostare la slitta di 10 m.

• Calcolare il lavoro fatto dalla risultante delle forze

La forza applicata dalla donna è uguale alla tensione T (possiamo calcolare il lavoro della tensione T).Il lavoro effettuato dalla donna sarà:

W =r T ⋅Δ

r r =TΔrcosφ

rT

Bisogna calcolare il modulo di T.

r N +

r F g +

r T +

r f k =m

r a

x : Tcosφ−fk =max =0

y : N +Tsenφ−mg=may =0

Forza costanteSpostamento rettilineo

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

Il lavoro effettuato dalla donna (dalla tensione):

x : Tcosφ−μdN =0

y : N +Tsenφ−mg=0 N =mg−TsenφTcosφ−μd(mg−Tsenφ) =0

T cosφ+μdsenφ( ) =μdmgT =

μdmgcosφ+μdsenφ

=90.8N

N =mg−Tsenφ=75kg9.81ms2 −91Nsen42° =675N

fk =μdN =0.10∗675N =67.5N

Wfk=fkΔrcosθ=67.5∗10∗ −1( ) =−675J

costante

WN =NΔrcosθ=675∗10∗0( )=0J

WT =TΔrcosφ =μdmg

cosφ+μdsenφΔrcosφ=90.8N *10m* cos42°=675J

WFg=FgΔrcosθ=735.7∗10∗ 0( ) =0J

WR =WFg+WN +WT +Wfk

=0+0+675−675≈0J

G.M. - Edile A 2002/03

Potenza

• Data un forza esegue un lavoro W in un intervallo di tempo t

• si definisce potenza media nell’intervallo t il rapporto :

Pmedia=WΔt

• La Potenza sviluppata dalla forza all’istante t (potenza istantanea), si ottiene facendo il limite per t che tende a zero:

P =dWdt

dW=r F ⋅d

r r =

r F ⋅

r v dt

P =

dWdt

=r F ⋅dr r

dt=

r F ⋅

dr r dt

=r F ⋅

r v

Le dimensioni [P] = [ML2T-2][T-1] = [ML2T-3]Nel SI si misura in watt (W)

Altre unità cavallo vapore (Cv)

Kilovattora come unità di misura del lavoro1kwattora=3.6MJ

G.M. - Edile A 2002/03

Generalizzazione del teorema delle forze vive

• Consideriamo il generico intervallo di tempo dt

– La variazione dell’energia cinetica

dK =d

12

mv2⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

12

md v2( ) =

12

mdr v ⋅

r v ( )=

r F

i

f

=

12

m dr v ⋅

r v +

r v ⋅d

r v ( ) =

12

m2r v ⋅d

r v ( ) =m

r v ⋅

r a dt=

r v dt⋅m

r a =d

r r ⋅m

r a =

=dr r ⋅m

r a =d

r r ⋅

r R =dWR

• La relazione vale per tutti gli intervalli infinitesimi: quindi anche quando si somma su tutti gli intervalli. ΔK =WR

• La variazione di energia cinetica è uguale al lavoro della risultante (la somma dei lavori fatto da tutte le forze agenti sul punto materiale)

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

• Un sollevatore di pesi solleva un manubrio di massa complessiva m=260kg per un dislivello di 2 m

• Determinare il lavoro fatto dalla forza peso durante il sollevamento• Determinare il lavoro fatto dal sollevatore di peso.• Se il sollevatore abbandona l’attrezzo mentre è in alto (h=2m) determinare

la velocità con cui arriva sul pavimento.

Osserviamo che l’energia cinetica iniziale è nulla, ma anche quella finale.La variazione di energia cinetica è nulla.Utilizzando il teorema delle forze vive:

ΔK =K f −K i =0

Per quanto riguarda l’ultima domanda: osserviamo che il moto avviene sotto l’azione della sola forza peso.Il lavoro fatto dalla forza peso in questo caso:

P

Fs

WP =r P ⋅Δ

r r =mghcos180° =260kg9.81ms−22m −1( ) =−5200J

ΔK =WR =WP +WFs=0 WFs

=−WP =5200J

WP =r P ⋅Δ

r r =mghcos0°=260kg9.81ms−22m1( )=5200J

ΔK =K f −K i =WR =WP

K f12mvf

2{ =K i

0J{ +WP

vf =2WP

m=

2mghm

= 2gh=6.26ms

G.M. - Edile A 2002/03

L’energia• È una grandezza che caratterizza il punto materiale

– Dipende dal suo stato (posizione, velocità, temperatura, etc)– Esistono varia forme di energia– Per es. l’energia cinetica dipende dallo stato di moto del corpo

• I corpi possono scambiarsi l’energia:– Il lavoro rappresenta un modo attraverso cui i corpi si scambiano energia.– Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro positivo (forza

motrice, concorde con il moto), allora l’energia cinetica del punto materiale aumenta.

• Si dice che l’ambiente esterno ha compiuto un lavoro sul punto materiale• il punto materiale ha acquisito energia cinetica dall’ambiente esterno.

– Se la risultante delle forze esterne compie un lavoro negativo (forza resistente, opposta al moto), allora la sua energia cinetica diminuisce.

• si dice che il punto materiale ha effettuato del lavoro sull’ambiente esterno• a spese della sua energia cinetica

• L’energia cinetica rappresenta la capacità di un corpo a compiere del lavoro– Trasferire cioè il movimento ad altri corpi.

• La corrente del fiume che fa muovere le macine di un mulino

G.M. - Edile A 2002/03

L’energia cinetica e i sistemi di riferimento

• Il valore dell’energia cinetica, come quella di altre grandezze dipende dal sistema di riferimento usato.

• Anche le distanze percorse dipendono dal sistema di riferimento usato

• Ma anche se i valori numerici cambiano, la eguaglianza tra il lavoro fatto dalla risultante e la variazione dell’energia cinetica risulta valida in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

y y'

x≡x'

zz

z'

O O'

rrrr'x =x'+vxO't

y =y'

z =z'vx =v'x' +vxO'

vy =v'y'

vz =v'z'

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

• Un oggetto di massa m=10 kg viene portato in un treno dalla velocità nulla alla velocità di 2 m/s percorrendo (sul treno) un tratto di 5 m. Il treno si muove con una velocità di 20 m/s rispetto al marciapiede della stazione. Verificare il teorema delle forze vive rispetto al treno e rispetto al marciapiede.

y y'

x≡x'

zz

z'

O O'

rrrr'x =x'+vxO't

y =y'

z =z'vx =v'x' +vxO'

vy =v'y'

vz =v'z'

v'f2 −v'i

2 =2a'(x'f −x' i ) a'=v'f

2 −v' i2

2(x'f −x'i )=

42∗5

=0.4ms2

R =ma'=10kg∗0.4ms2 =4.0N t =

v'f −v' ia'

=2

0.4=5s

K'f −K'i =12

mv'f2 −

12

mv' i2 =

12

10kg∗4m2

s2 =20J

W'=RΔx'=4.0N ∗5m=20J

K f −K i =12

mvf2 −

12

mvi2 =

12

m v'f +vo( )2

−12

m v' i +vo( )2

K f −K i =121022( )2 −

121020( )2 =420J

W =RΔx =R xf −xi( )=R x'f +vot−x' i( ) =R x'f −x' i +vot( )=

W =R x'f −x' i +vot( ) =4(5+20∗5) =4∗105=420J

G.M. - Edile A 2002/03

Le forze conservative

• Una forza si dice conservativa se– il lavoro eseguito dalla forza sul punto materiale P mentre si sposta dalla

posizione P1 alla posizione P2 dipende soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale

– e non dal percorso effettuato, dalla traiettoria seguita per andare da P1 a P2, ne da alcun altro parametro come la velocità, il tempo impiegato, ecc.

r F

P1

P2

• Allora– esiste una funzione U della posizione del punto

materiale P,

U(P) = U(x,y,z),– tale che il lavoro fatto dalla forza conservativa

quando il punto materiale si sposta tra due punti qualsiasi, P1 e P2, è dato dalla differenza tra i valori che la funzione U assume nel punto iniziale P1 meno quello che assume nel punto finale P2.

W =r F ⋅dr r

i ,γ

f

∫ =

=U(P1) −U(P2) =−ΔU

U= energia potenziale

G.M. - Edile A 2002/03

y

x

P2

P1

A

BLa forza peso• Verifichiamo che la forza peso è conservativa:

– Dobbiamo far vedere che per qualunque percorso il lavoro fatto dalla forza per andare da P1 a P2 è sempre lo stesso indipendente dal percorso.

– Prendiamo il percorso P1A P2.WP1AP2

=WP1A +WAP2

WAP2

=r P ⋅

r d =mgl AP2

cosπ2

=0

WP1A =r P ⋅

r d =mgl P1A cos0=mgl P1A l P1A =y1 −y2

⇓

WP1A =mgy1 −y2( ) =mgy1 −mgy2

WP1AP2=WP1A =mgy1 −mgy2

– Prendiamo ora il percorso P1B P2.

WP1BP2=WP1B +WBP2

=WBP2=WP1A =mgy1 −mgy2

G.M. - Edile A 2002/03

y

x

P2

P1

A

BLa forza peso– Prendiamo un qualsiasi percorso tra P1 e P2.

W =

r P ⋅d

r r

P1,γ

P2

∫

r P

dr r

r P =−mg

r j

dr r =dxr i +dy

r j +dz

r k

W = Pxdx+Pydy+Pzdz= −mgdy=−mg dy=P1,γ

P2

∫P1,γ

P2

∫P1,γ

P2

∫W =−mgy[ ]y1

y2 =−mgy2 +mgy1

• L’energia potenziale potrebbe essere U =mgy

W =U(P1)−U(P2) =mgy1 −mgy2

G.M. - Edile A 2002/03

La forza elastica

• Valutiamo il lavoro fatto dalla forza elastica per spostare il corpo dalla posizione x1 a x2.

– Lo spostamento è rettilineo

– ma la forza non è costante

• Utilizziamo la definizione più generale

x1 x2

W =

r F el ⋅d

r r

P1,γ

P2

∫

r F el =−kx

r i

dr r =dxr i +dy

r j +dz

r k

W = Felxdx+Felydy+Felzdz= −kxdx=−k xdx=x1,γ

x2

∫x1,γ

x2

∫x1,γ

x2

∫

W =−kx2

2

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ x1

x2

=−12

kx22 +

12

kx12

U =12

kx2

Il lavoro dipende solo dai punti iniziali e finali: la forza elastica è conservativa! La sua energia potenziale:

G.M. - Edile A 2002/03

L’energia potenziale

• E’ un’altra forma di energia, legata la posizione di un corpo

– È possibile cambiare l’energia potenziale di un corpo eseguendo del lavoro (per esempio sollevare un peso U=mgy)

• le forze conservative– Forza peso

– Forza elastica

– Forza di gravitazione universale

– Forza di Coulomb

• La funzione energia potenziale è determinata a meno di una costante arbitraria

U x,y,z( ) =−GmM

r

U(x,y,z) =12

kx2

U x,y,z( ) =mgy=mgh

U x,y,z( ) =1

4πεo

q1q2

r

U1 x,y,z( ) =U x,y,z( )+costante

h = quota

G.M. - Edile A 2002/03

Determinazione dell’energia potenziale dall’espressione della forza

• Utilizzando la definizione di energia potenziale:

WP1P2=−ΔU =U(P1)−U(P2)

WPoP =−ΔU =U(Po)−U(P)

• Che può essere riscritta, considerando i punti Po, iniziale, e P, il generico punto dello spazio:

• Da cui:

U(P ) =U(Po)−WPoP =U(Po)−

r F ⋅d

r r

Po

P

∫• Per derivare la funzione energia potenziale occorre:

– Fissare arbitrariamente un punto dello spazio Po.

– Assegnare un valore arbitrario all’energia potenziale del punto Po.

– Calcolare il lavoro effettuato dalla forza da Po al generico punto P lungo una

qualsiasi traiettoria che connetta Po con P.

Non è necessario specificare la traiettoria

Po

P

G.M. - Edile A 2002/03

L’energia potenziale• le forze conservative

– Forza peso • Il punto di riferimento Po è un punto del piano xz, con y=0 (quota nulla)

• Ai punti del piano orizzontale y=0 si assegna energia potenziale nulla

– Forza elastica• Il punto di riferimento Po è la posizione dell’estremo libero della molla in

condizioni di molla non deformata, x=0.

• Quando la molla non è deformata, x=0, si assegna energia potenziale nulla

– Forza di gravitazione universale

– Forza di Coulomb• Il punto di riferimento Po è il punto all’infinto.

• Al punto all’infinito, si assegna energia potenziale nulla

U x,y,z( ) =−GmM

r

U(x,y,z) =12

kx2

U x,y,z( ) =mgy=mgh

U x,y,z( ) =1

4πεo

q1q2

r

h = quota

G.M. - Edile A 2002/03

Il lavoro effettuato da una forza conservativa su un percorso chiuso è nullo

• Consideriamo un percorso chiuso

r F

P1

P2

W =

r F ⋅d

r r ∫ =

r F ⋅d

r r

P1,γ2

P2

∫ +r F ⋅d

r r

P2,γ1

P1

∫

dWA =r F ⋅d

r r =Fdscosθ

dWR =r F ⋅d

r r =Fdscosπ−θ( )

dWA =−dWR

r F ⋅d

r r

P1,γ1

P2

∫ =−r F ⋅d

r r

P2,γ1

P1

∫ W =

r F ⋅d

r r ∫ =

r F ⋅d

r r

P1,γ2

P2

∫ −r F ⋅d

r r

P1,γ1

P2

∫ =0

• Le forze conservative dipendono dalla posizione.

r F

P1

P2

G.M. - Edile A 2002/03

Lavoro della forza di attrito• La forza di attrito statico fa lavoro nullo:

– Nel caso di attrito statico, non c’è spostamento: quindi il lavoro è nullo

– Se il piano di appoggio si sposta rispetto al SdR utilizzato, si osservi che:

• il piano e l’oggetto poggiato su di esso subiscono lo stesso spostamento

• Le forze di attrito sono uguali ed opposte (azione e reazione)

• Il lavoro complessivo è nullo

a• La forza di attrito dinamico fa, sempre, un lavoro negativo:

– Consideriamo un oggetto che viene spostato su di un piano orizzontale scabro.

G.M. - Edile A 2002/03

Lavoro della forza di attrito dinamico• Consideriamo un punto materiale che si muove su un piano orizzontale

sulla traiettoria tra P1 e P2.

• Il modulo della forza di attrito dinamico è r F a

P1

P2

WP1P2

=r F ad⋅d

r r

P1,γ1

P2

∫ = FaddsP1,γ1

P2

∫ cosπ= −μdmgdsP1,γ1

P2

∫ =−μdmg dsP1,γ1

P2

∫ =−μdmgl P1P2

Fad =μdN =μdmg costante

• Il lavoro effettuato dalla forza di attrito dinamico

l P1P2 è la lunghezza del tratto di traiettoria percorso

• il lavoro della forza di attrito dinamico non dipende solo dal punto iniziale e da quello finale, ma anche dalla lunghezza della traiettoria scelta

• Su un percorso chiuso il lavoro è diverso da zero

• La forza di attrito dinamico non è conservativa

G.M. - Edile A 2002/03

L’energia potenziale in presenza di più forze conservative

• Il lavoro effettuato da tutte le forze conservative è dato da:

W = Wk

k=1

n

∑ = −ΔUk

k=1

n

∑ = Uki −Ukf( )k=1

n

∑ = Uki

k=1

n

∑ − Ukf

k=1

n

∑

U = Uk

k=1

n

∑

W =Ui −Uf

L’energia potenziale totale è la somma delle energia potenziali delle singole forze

G.M. - Edile A 2002/03

La conservazione dell’energia• Supponiamo di avere un punto materiale che si muove sotto l’azione di

forze conservative.

• Il teorema delle forze vive ci dice che il lavoro della risultante è uguale alla variazione dell’energia cinetica:

WR =ΔK =K f −K i

• Poiché tutte le forze sono conservative, il lavoro della risultante può essere messo in relazione con la variazione di energia potenziale

WR =−ΔU =Ui −Uf U = Uk∑• Combinando le due relazioni si ottiene:

ΔK =−ΔU ΔK +ΔU =0

ΔK +ΔU =K f −K i +U f −Ui = K f +Uf( )− K i +Ui( )=Ef −Ei =0

E =K +U energia meccanica totaleSolo forze conservative: l’energia meccanica totale si conserva!

G.M. - Edile A 2002/03

Relazione lavoro energia• Se non tutte le forze sono conservative

– Il lavoro della risultante sarà la somma del lavoro effettuato• Dalle forze conservative Wc

• Dalle forze non conservative Wnc

WR =Wc +Wnc WR =ΔK Wc =−ΔU

ΔK =−ΔU +Wnc ΔK +ΔU =Wnc

Δ K +U( ) =Wnc ΔE =Wnc

• La variazione dell’energia meccanica totale è uguale al lavoro effettuato dalle forze non conservative.

• Questa relazione contiene come caso particolare anche la conservazione dell’energia– infatti quando non ci sono forze non conservative Wnc=0

G.M. - Edile A 2002/03

L’energia meccanica totale

• In presenza di forze non conservative l’energia meccanica totale non si conserva

– La sua variazione è proprio uguale al lavoro delle forze non conservative

• In realtà non bisogna pensare che dell’energia sia andata distrutta o si sia creata dal nulla, semplicemente c’è stato uno scambio con altre forme di energia.

– Nel caso di forze dissipative, attrito dinamico, resistenza passiva, il lavoro (negativo) di queste forze è accompagnato da un aumento della temperatura dei corpi interessati

• L’energia meccanica totale diminuisce mentre aumenta l’energia interna dei corpi (aumento di temperatura)

– Nel caso in cui si ha un aumento dell’energia meccanica totale (per esempio nelle esplosioni), l’energia interna contenuta nell’esplosivo è stata trasformata in energia meccanica

• L’esplosivo ha subito una trasformazione chimica.

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

Poniamoci nel sistema di riferimento del Laboratorio (inerziale) per poter applicare le leggi di Newton.

Determiniamo le forze agenti sull’automobile

• La forza peso• La Tensione della fune

la seconda legge di Newton vale: r P +

r T =m

r a

P

T

Il diagramma del corpo libero

Preliminarmente ricordiamo che in un moto circolare antiorario:

v

v =ωr at =dvdt

=d ωr( )

dt=

dωdt

r =αr

Un corpo di massa m=1kg è appeso mediante una fune ideale di lunghezza L=3 m al soffitto del Laboratorio. Determinare il periodo del pendolo nell’ipotesi che esso venga abbandonato da fermo quando l’angolo formato dalla fune con la verticale è di 5°. Si supponga che l’ampiezza delle oscillazioni possa essere considerata piccola. Determinare inoltre il valore della tensione nella fune quando passa per la posizione verticale.

La posizione del pendolo può essere individuata specificando

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

Riscrivendo l’accelerazione tangenziale in termini di accelerazione angolare si ottiene:

Poiché az=0 è la velocità iniziale è nulla, possiamo concludere che il moto del pendolo avviene nel piano della figura.

Troviamo le tre equazioni scalari corrispondenti all’equazione vettoriale. Utilizziamo le direzioni ut ed un mostrate in figura, ed uz perpendicolare ai primi due.

N.B.Per evitare complicazioni limitiamoci a considerare la parte di moto antiorario del pendolo.

P

T

un

ut

r u nr u tr u z

T −mgcosθ=man

−mgsenθ=mat

0=maz

at =αLdove α è

l'accelerazione angolareα =

d2θdt2

Forza di richiamo, opposta a

−mgsenθ =maθ Lα =−gsenθ

⇓d2θ

dt2=−

g

Lsenθ

d2θdt2

=−gL

θse è piccolo

sen =

L’accelerazione è proporzionale all’opposto della posizione: il moto è armonico!

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

Equazione differenziale del moto armonico con pulsazione angolare p data da:

La legge oraria è del tipo:

P

T

un

ut

d2θdt2

=−gL

θ

ωp =gL

θ t( ) =Acosωpt+ϕ( )

ω(t) =dθdt

=−Aωp senωpt+ϕ( )

In cui le costanti A e vanno determinati sulla base delle condizioni inizali.Miraccomando a non confondere la velocità angolare con cui si muove il pendolo con la pulsazione angolare.Pur avendo le stesse unità di misura sono completamente diverse:

• La pulsazione angolare è una costante• La velocità angolare varia sinusoidalmente. Il pendolo si ferma, =0,

agli estremi dell’oscillazione ed è massima per =0.

ωp =gL

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

Determiniamo le costanti A e Ricordiamo le condizioni iniziali:

La scelta =0, da una soluzione positiva dell’ampiezza:La legge oraria diventa dunque:

P

T

un

ut

θ t( ) =5°* π180°

cosgL

t⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ =0.087cos

9.813

t⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ =0.087cos1.81×t( ) rad( )

ω(t) =−.157sen1.81×t( )rads

⎛ ⎝

⎞ ⎠

Abbiamo già verificato che la legge oraria del moto armonico è periodica con periodo T=

θ t=0s( )=5°

ω(t =0s) =0Quindi: 5° =A cosϕ( )

0=−Aωpsenϕ( )senϕ( ) =0

ϕ =0

ϕ =π

T =2πωp

=2×3.14

1.81=3.47s

G.M. - Edile A 2002/03

Applicazione

Per il calcolo della Tensione riprendiamo l’equazione secondo un:

Dove an è uguale a:

P

T

un

ut

Confrontiamo questa tensione con quella che si ottiene quando il pendolo è fermo in condizioni di equilibrio:

T −mgcosθ=man an =v2

L=ω2L

Per = 0 la velocità angolare è massima: pari alla sua ampiezza. Pertanto

T =mgcosθ+mω2L =perθ=01 2 3 mg+mωp

2A2L =mg+mgL

A2L =mg(1+A2)

r P +

r T =0 ⇒

r T =−

r P

In condizioni di equilibrio T=mg ed è verticale: il filo si dispone lungo la verticale (filo a piombo).Per =0 la tensione nel caso dinamico è più grande che in quello statico perché essa oltre ad equilibrare il peso deve fornire la forza centripeta necessaria per far percorrere al pendolo una traiettoria circolare!!