geogebra - m¸t cÔng cÖ thÍ nghiłm trong phÂn tÍch Đa … · hºi thhn - phòng gd&Đt...

Hội THHN - Phòng GD&ĐT Cầu Giấy Seminar Toán, THCS Cầu Giấy, 02.05.2019

GEOGEBRA - MỘT CÔNG CỤ THÍ NGHIỆMTRONG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Nguyễn Thị Hồng Hạnh ∗, Đỗ An Khánh †,

Bùi Thị Hằng Mơ‡, Tạ Duy Phượng§

Tóm tắt nội dung

Bài viết giới thiệu khả năng sử dụng phần mềm phổ dụng Geogebra trong dạy và họcchuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử.

1 Giới thiệu về Geogebra

Geogebra là phần mềm phổ dụng trợ giúp đắc lực giảng dạy, học tập và nghiên cứutoán. Geogebra có thể thực hiện được hầu hết các thao tác toán học trong chương trìnhphổ thông và đại học (số học, đại số, giải tích, hình học, toán thống kê,. . . ), do đó rấttiện dùng trong giảng dạy và học tập, đặc biệt trong giảng dạy và học tập theo chươngtrình và sách giáo khoa mới với định hướng phát triển năng lực, khuyến khích học sinhtự học, tự nghiên cứu, học gắn liền với thực tiễn,...

Những ưu điểm nổi trội của Geogebra là: phần mềm miễn phí, khả năng chuyển đổi ngônngữ, thí dụ, từ tiếng Anh sang tiếng Việt, cài đặt và thao tác đơn giản, sử dụng thuận tiện.Bạn đọc có thể lên mạng tải Geogebra, tìm hiểu cài đặt và sử dụng qua các bài viết (tiếngViệt hoặc tiếng Anh) hoặc qua các tài liệu trích dẫn ở cuối bài.

Geogebra đã được giới thiệu ở Việt Nam khoảng 10 năm trở lại đây, và đã được nhiềugiáo viên (từ lớp 6 đến lớp 12 và Đại học) sử dụng trong bài giảng, trong thực hiệncác sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, đạt hiệu quả tốt. Các giáo viên có thể sử dụngGeogebra để vẽ hình động, vẽ đồ thị, tính toán hoặc thực hiện các thao tác toán học phứctạp (phân tích một số ra thừa số nguyên tố, phân tích đa thức thành nhân tử, đơn giảnbiểu thức, tính đạo hàm, tích phân, lập bảng thống kê,. . . ) mà không mất nhiều thời gian.

Geogebra cũng đã được đưa vào sách giáo khoa Tin học Trung học Cơ sở.

∗THPT Quang Trung, Đống Đa, Hà Nội†THPT Trần Đại Nghĩa, Thanh Oai, Hà Nội‡Học viên Cao học, ĐH Khoa học, ĐH Thái Nguyên§Viện Toán học, Viện Hàn lâm KH & CN Việt Nam

66


Với Geogebra, có thể hướng dẫn học sinh làm các nghiên cứu nhỏ hoặc các trải nghiệmnhững ứng dụng toán học trong thực tế. Thí dụ, có thể sử dụng một lệnh ifactor đểnghiên cứu một số giả thuyết về số nguyên tố, hoặc sử dụng gói lệnh thống kê để khảosát trình độ học tập của học sinh một trường, độ cận thị, chiều cao, cân nặng,... của họcsinh theo khối, lớp. . . với những dữ liệu thực và bảng dữ liệu lớn, qua đó rút ra số liệuthống kê (độ cận thị, chiều cao, cân nặng tăng theo khối, theo tuổi),. . . Cũng có thể sửdụng gói lệnh thống kê để khảo sát, thí dụ, chiều cao, cân nặng,... của các cầu thủ bóngđá, của thanh niên Việt Nam,... qua các thời kì (thí dụ, 1945, 1960, 1975, 2000, 2020) đểrút ra kết luận về tăng trưởng kinh tế kéo theo tăng trưởng thể lực,...

Bài viết giới thiệu cách sử dụng Geogebra trong Phân tích đa thức thành nhân tử. Vớimục đích này, chỉ một vài thao tác cơ bản của Geogebra được giới thiệu. Bạn đọc quantâm nhiều hơn đến sử dụng Geogebra trong dạy và học có thể tham khảo thêm các tàiliệu trong bài hoặc trên mạng.

Cài đặt: Vào http://www.geogebra.org/download để tải phần mềm về máy. Sau đó chọnRun, Geogebra sẽ khởi động chương trình và hiện giao diện tiếng Anh như Hình 1.

Hình 1: Giao diện tiếng Anh

Chuyển ngôn ngữ: Đang ở tiếng Anh chuyển sang tiếng Việt: nháy vào Options trênthang công cụ (menu), chọn Language, chọn R-Z, chọn Vietnamese/Tiếng Việt. Trên mànhình sẽ là tiếng Việt như Hình 2.

Ngược lại, đang ở tiếng Việt chuyển sang tiếng Anh: nháy vào Các tùy chọn trên thangcông cụ, chọn Ngôn ngữ, chọn E-I, chọn English(US). Trên màn hình sẽ trở về tiếng Anh.Các lệnh (nếu viết đúng) sẽ được chuyển theo. Thí dụ, Factor(x8 + x4 + 1) từ tiếng Anh sẽtự động chuyển thành PhânTíchRaThừaSố(a8 + a4 + 1) và ngược lại (Hình 3 và Hình 4).Để làm việc gì, thí dụ, để phân tích một đa thức thành nhân tử, ta vào Hiển thị, vào CAS,khai báo đa thức cần phân tích, bấm enter, ngay lập tức sẽ được kết quả trên màn hình(xem Hình 3 và Hình 4).

67


Hình 2: Giao diện tiếng Việt

Hình 3: Lệnh PhânTíchRaThừaSố và lệnh Factor chuyển tự động khi chuyển đổi ngôn ngữ

Hình 4: Lệnh PhânTíchRaThừaSố và lệnh Factor chuyển tự động khi chuyển đổi ngôn ngữ

2 Sử dụng phần mềm Geogebra trong Phân tích đathức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử (ra thừa số) là: Biến đổi đa thức đó thành một tíchcủa những đơn thức, đa thức bậc thấp hơn.Mọi đa thức một biến đều có thể phân tích thành tích các đa thức bậc nhất và bậc hai.

Có nhiều phương pháp biến đổi đại số (nhóm số hạng, đặt thành nhân tử chung,thêm bớt, đặt ẩn phụ, sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ,...) để phân tích đa thức thànhnhân tử. Có thể tra trên mạng hoặc trong sách các bài viết về các phương pháp phân tíchđa thức thành nhân tử.

Để phân tích đa thức thành nhân tử nhờ Geogebra, trước tiên vào View (Hiển thị) trênthanh công cụ, vào CAS (Computer Algebra System-hệ đại số tính toán, cho phép tính

68


toán theo công thức-theo ngôn ngữ hình thức). Sau đó ta chỉ cần dùng một lệnh duy nhất:

Factor(<Polynomial>) hoặc PhânTíchRaThừaSố(<Đa thức>).Nghĩa là, sau khi khai báo lệnh Factor (PhânTíchRaThừaSố), khai báo Polynomial (Đa

thức) cần phân tích, bấm phím Enter, kết quả sẽ hiện trên màn hình.

2.1 Geogebra- Một gợi ý định hướng phân tích đa thức thànhnhân tử

Đứng trước môt bài toán phân tích đa thức thành nhân tử loại khó, ta thường loayhoay không biết bắt đầu từ đâu. Geogebra trợ giúp ta làm việc này, vì nó sẽ cho ta đáp số.

Ví dụ 1 (Thi học sinh giỏi lớp 8, huyện Gia Bình, Bắc Ninh, năm học 2012-2013)Phân tích đa thức x4 + 2008x2 + 2007x + 2008 thành nhân tử.

Như vậy, ta biết đa thức x4 + 2008x2 + 2007x + 2008 có một nhân tử là x2 + x + 1, điềunày gợi ý ta giải bằng cách thêm bớt, nhóm số hạng như sau:

x4 + 2008x2 + 2007x + 2008 = x4 + x2 + 2007x2 + 2007x + 2007 + 1

= x4 + x2 + 1 + 2007(x2 + x + 1).

Ta đã biết x4 + 2008x2 + 2007x + 2008 có một nhân tử là x2 + x + 1 nên chắc chắn x4 +x2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1. Chia (bằng tay hay bằng máy, xem Hình 5) x4 + x2 + 1 chox2 + x + 1 ta được x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1).

Hình 5: Chia đa thức cho đa thức

Vậy

x4 + 2008x2 + 2007x + 2008 = x4 + x2 + 2007x2 + 2007x + 2007 + 1

= x4 + x2 + 1 + 2007(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) + 2007(x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x2 − x + 2008).

69


Geogebra cũng có thể trợ giúp phân tích đa thức nhiều biến thành nhân tử.

Ví dụ 2 (Thi học sinh giỏi lớp 8, Bắc Giang, 2012-2013)Phân tích đa thức 2a3 + 7a2b + 7ab2 + 2b3 thành nhân tử.

Như vậy, đa thức đã cho có một nhân tử a + b. Dẫn đến cách giải (nhóm số hạng) sau:

2a3 + 7a2b + 7ab2 + 2b3 = 2(a3 + b3) + 7ab(a + b)= 2(a + b)(a2 − ab + b2) + 7ab(a + b) = (a + b)(2a2 + 2b2 + 5ab)= (a + b)(2a2 + 4ab + 2b2 + ab) = (a + b)[2a(a + 2b) + b(b + 2a)]= (a + b)(a + 2b)(2a + b).

Ví dụ này tương đối dễ, học sinh khá có thể làm được. Hai ví dụ dưới đây khó hơn.

Ví dụ 3 (Thi học sinh giỏi cấp 2 miền Bắc lần thứ 6, 1966 - 1967)Phân tích đa thức a16 + a8b8 + b16 ra thừa số.

Như vậy, không cần động não gì, ta có ngay đáp số. Để trình bày lời giải (nếu cần),ta chỉ cần chia a16 + a8b8 + b16 (bằng tay hoặc bằng máy) cho a8 − a4b4 + b8, đượca8 + a4b4 + b8. Lại chia a8 + a4b4 + b8 cho a4 − a2b2 + b4 (vì biết chắc a4 − a2b2 + b4 làmột ước), ta được a4 + a2b2 + b4. Lại chia (bằng tay hay bằng máy) a4 + a2b2 + b4 choa2− ab+ b2 (vì biết chắc a2− ab+ b2 là một ước). Cuối cùng ta được đáp số như trên máy.

Lời giải gốc như sau (thêm bớt hạng tử):

a16 + a8b8 + b16 = (a8)2 + 2a8b8 + (b8)2 − a8b8 (2.1)

= (a8 + b8)2 − (a4b4)2 = (a8 + b8 + a4b4)(a8 + b8 − a4b4). (2.2)

Tiếp tục phân tích nhân tử (a8 + b8 + a4b4) theo cách thêm bớt như trên ta có

a8 + b8 + a4b4 = (a4 + b4 + a2b2)(a4 + b4 − a2b2). (2.3)

Lại phân tích a4 + b4 + a2b2 thành nhân tử như trên ta được

a4 + b4 + a2b2 = (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 − ab). (2.4)

70


Từ (2.1)− (2.4) ta có kết quả

a16 + a8b8 + b16 = (a8 + b8 − a4b4)(a4 + b4 − a2b2)(a2 + b2 + ab)(a2 + b2 − ab).

Ví dụ 4 (Thi học sinh giỏi cấp 2 miền Bắc, lần thứ 8, 1968-1969)Phân tích đa thức bc(a + d)(b− c)− ac(b + d)(a− c) + ab(c + d)(a− b) ra thừa số.

Như vậy, ta biết có một nhân tử là d, từ đây ta dồn tất cả nhân tử chứa d vào một rọ và điđến cách giải sau:

bc(a + d)(b− c)− ac(b + d)(a− c) + ab(c + d)(a− b)= abc(b− c) + dbc(b− c)− abc(a− c)− dac(a− c) + abc(a− b) + abd(a− b)= d[bc(b− c) + ac(c− a) + ab(a− b)] + abc(b− c + c− a + a− b)= d[bc(b− c) + ac(c− a) + ab(a− b)].

Ta lại biết một nhân tử là a− b, vậy ta có thể phân tích tiếp:

bc(b− c) + ac(c− a) + ab(a− b) = b2c− c2b + ac2 − a2c + ab(a− b)= c(b2 − a2) + c2(a− b) + ab(a− b)= (a− b)(c2 + ab− ac− cb) = (a− b)[c(c− a) + b(a− c) = (a− b)(a− c)(b− c).

Cuối cùng ta được

bc(a + d)(b− c)− ac(b + d)(a− c) + ab(c + d)(a− b)= d[bc(b− c) + ac(c− a) + ab(a− b)] = d(a− b)(a− c)(b− c).

Lời giải gốc như sau:

bc(a + d)(b− c)− ac(b + d)(a− c) + ab(c + d)(a− b)= bc(ab + bd− ac− cd)− ac(ab + ad− bc− cd) + ab(ac + ad− bc− bd)= ab2c + cb2d− abc2 − bc2d− a2bc− a2cd + abc2 + ac2d + a2bc + a2bd− ab2c− ab2d= b2cd− bc2d− a2cd + ac2d + a2bd− ab2d = bcd(b− c) + a2d(b− c)− ad(b2 − c2)= bcd(b− c) + a2d(b− c)− ad(b− c)(b + c) = (b− c)[bcd + a2d− ad(b + c)]= (b− c)(bcd + a2d− abd− acd) = (b− c)[ad(a− c)− bd(b− c)]= (b− c)(a− c)(ad− bd) = (b− c)(a− c)(a− b)d.

2.2 Geogebra- Một công cụ thí nghiệm để tìm ra qui luật phântích đa thức thành nhân tử

Các bài thi học sinh giỏi về phân tích đa thức thành nhân tử thường khá đa dạng, vớimỗi bài toán, học sinh thường phải sáng tạo lời giải (bằng cách mày mò nhóm số hạng,

71


đặt thành nhân tử chung,...). Có thể coi Geogebra như một công cụ thí nghiệm để tìm raqui luật phân tích thành nhân tử cho một lớp các bài toán có vẻ rất khác nhau.

Ví dụ 5 (Thi vào Chuyên Toán, ĐHSP Hà Nội, 1992-1993, vòng 3)Phân tích đa thức x10 + x5 + 1 thành nhân tử.

Ví dụ 6 Phân tích đa thức x7 + x5 + 1 thành nhân tử.

Sau khi làm thí nghiệm, quan sát và phân tích kết quả của hai bài toán trên, ta nhận thấy:Các đa thức dạng x3m+1 + x3n+2 + 1 đều có một nhân tử là x2 + x + 1. Do đó ta đi đến cáchgiải chung là:Trừ x3m+1 cho x, trừ x3n+2 cho x2 và thêm x2 + x vào 1. Ta cóx3m+1 + x3n+2 + 1 = (x3m+1 − x) + (x3n+2 − x2) + (x2 + x + 1)Thấy rằng:x3m+1 − x = x[(x3)m − 1] chia hết cho x3 − 1, và x3 − 1 = (x2 + x + 1)(x − 1). Do đóx3m+1 − x chia hết cho x2 + x + 1.Tương tự, x3n+2 − x2 = x2[(x3)n − 1] chia hết cho x3 − 1, nên x3n+2 − x2 chia hết chox2 + x + 1.Từ đó suy ra: x3m+1 + x3n+2 + 1 = (x3m+1− x) + (x3n+2− x2) + (x2 + x + 1) chia hết chox2 + x + 1.

Áp dụng: Giải Ví dụ 5:

x10 + x5 + 1 = x10 − x + x5 − x2 + x2 + x + 1= x(x9 − 1) + x2(x3 − 1) + (x2 + x + 1)= x(x3 − 1)(x6 + x3 + 1) + x2(x3 − 1) + (x2 + x + 1)= (x2 + x + 1)[x(x6 + x3 + 1)(x− 1) + x2(x− 1) + (x2 + x + 1)= (x2 + x + 1)(x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x + 1).

Giải Ví dụ 6:

x7 + x5 + 1 = x7 − x + x5 − x2 + x2 + x + 1= x(x3 + 1)(x3 − 1) + x2(x3 − 1) + x2 + x + 1= x(x− 1)(x2 + x + 1)(x3 + 1) + x2(x2 + x + 1)(x− 1)(x2 + x + 1)

72


= (x2 + x + 1)(x5 − x4 + x3 − x + 1).

Lời bình Sau khi Tổng quát hóa, ta có thể chọn m và n tùy thích, để được vô số các bàitập phân tích đa thức thành nhân tử.

Một số đa thức khác chứa nhân tử x2 + x + 1:

Ví dụ 7 Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử.

Giải

x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 − x3 − x2 − x + x2 + x + 1

= x3(x2 + x + 1)− x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x3 − x + 1)

Ví dụ 8 Phân tích đa thức x5 + x + 1 thành nhân tử.

Giải Thêm bớt x4 + x3 + x2 để đặt nhân tử chung:

x5 + x + 1 = x5 + x + 1 + x4 + x3 + x2 − x4 − x3 − x2

= x3(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)− x2(x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x3 − x2 + 1).

3 Đa thức và một số bài toán liên quan

Phân tích đa thức thành nhân tử trợ giúp đắc lực giải các bài toán khác: rút gọn biểuthức, giải phương trình, tính giá trị của biểu thức,... Dưới đây là một số ví dụ.

Ví dụ 9 (Thi tuyển vào 10 Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, 2006-2007)Cho hai đa thức f (x) = x5 − 3x4 + 7x3 − 9x2 + 8x − 2 và g(x) = x2 − 2x + a. Tìm a đểtồn tại đa thức p(x) sao cho f (x) = g(x).p(x) với mọi x.

Cách giải 1 Phân tích đa thức f (x) = x5 − 3x4 + 7x3 − 9x2 + 8x− 2 thành nhân tử:

73


Vì với mọi a thì x3 − x2 + 3x + 1 không thể chia hết cho x2 − 2x + a nên a = 2 là giá trịduy nhất cần tìm.

Cách giải 2 Chia f (x) = x5 − 3x4 + 7x3 − 9x2 + 8x− 2 cho x2 − 2x + a ta đượcf (x) = g(x).p(x) + r(x) với p(x) = x3 − x2 + (5− a)x− a + 1và r(x) = (a2 − 7a + 10)x + a2 − a− 2.Để f (x) = g(x).p(x) với mọi x thì r(x) = (a2 − 7a + 10)x + a2 − a − 2 = 0 với mọi x.Suy ra a = 2.

Ví dụ 10 (Thi học sinh giỏi lớp 9, Thái Nguyên, 2006-2007)1) Phân tích đa thức f (x) = x5 − 5x − 4 thành một đa thức bậc hai và một đa thức bậcba với hệ số nguyên.2) Rút gọn biểu thức P = 2√

4−3 4√5+2√

5− 4√125.

Giải Phân tích đa thức f (x) = x5 − 5x− 4 thành nhân tử:

Vậy f (x) = x5 − 5x− 4 = (x + 1)2(x3 − 2x2 + 3x− 4).Đặt x = 4

√5 ta có

P = 2√4−3 4√5+2

√5− 4√125

= 2√4−3x+2x2−x3 = 2(x+1)√

4+5x−x5 =2( 4√5+1)√4+5 4√5− 4√55

= 4√

5 + 1.

Ví dụ 10 (Thi giải toán cho nữ sinh, Tạp chí Toán tuổi thơ, số 134, 4-2014)Giải phương trình (x + 1)6 + (x + 2)4 = x2 + 3x + 3.

Giải Phân tích đa thức (x + 1)6 + (x + 2)4 − (x2 + 3x + 3) thành nhân tử:

Có thể chứng minh được rằng x4 + 3x3 + 5x2 + 7x + 7 > 0 với mọi x.Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = −1 và x2 = −2.

74


4 Geogebra không thay thế tư duy và kĩ thuật giảitoán

Geogebra tuy vạn năng, nhưng nó chỉ trợ giúp chứ không thể thay thế tư duy và kĩthuật giải toán.

Ví dụ 11 (Thi học sinh giỏi toán lớp 7 toàn miền Bắc, 1966-1967, vòng 3)Phân tích đa thức a8 + x4 + 1 ra thừa số.

Với học sinh lớp 7 cũ (lớp 8 hiện nay), khi chưa học số vô tỉ thì phân tích đa thức đến đâylà đạt. Tuy nhiên, vì a4 − a2 + 1 là một đa thức trùng phương, nên có thể phân tích tiếp.Thử phân tích đa thức a4 − a2 + 1 trên Geogebra, ta được

Như vậy, Geogebra bất lực. Trong khi đó, nhờ phương pháp hệ số bất định hoặc thêm bớthạng tử, ta có thể dễ dàng phân tích a4 − a2 + 1 =

(a2 −

√3a + 1

) (a2 +

√3a + 1

).

Nhiều ví dụ ở trên cũng có hiện tượng tương tự. Thí dụ, đa thức a4 − a2b2 + b4 khôngthể phân tích ra nhân tử nhờ Factor, nhưng có thể dễ dàng phân tích được thành nhântử nhờ phương pháp hệ số bất định hoặc thêm bớt hạng tử:

a4 − a2b2 + b4 =(

a2 −√

3ab + b2) (

a2 +√

3ab + b2)

.

5 Thay lời kết

Geogebra là một phần mềm khá vạn năng trợ giúp đắc lực trong dạy và học toán.

Bài viết chỉ ra rằng, chỉ nhờ một lệnh Factor của Geogebra, có thể phân tích khá dễdàng đa thức thành nhân tử. Ở nhà, học sinh có thể sử dụng Geogebra để phân tích đathức thành nhân tử. Từ đó có thể đưa ra những lời giải khác với lời giải truyền thống.

Có thể coi máy tính điện tử như một công cụ thí nghiệm để tìm ra hoặc/và kiểm chứngnhững kết luận toán học. Cũng có thể coi sử dụng các công cụ của tin học như là mộtphương pháp giảng dạy mới.

75


Những lĩnh vực khác (phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố, vẽ và tính toánthiết diện, khảo sát và vẽ đồ thị, hình học giải tích,. . . ) cũng có thể sử dụng Geogebra đểnâng cao chất lượng bài giảng, giảm tải và tạo hứng thú học toán.

Hy vọng bài viết gợi ý các thày cô giáo và các bạn học sinh quan tâm và sử dụngGeogebra trong dạy và học.

6 Bài tập

Bài 1 Phân tích đa thức x4 − 6x3 + 12x2 − 14x + 3 thành nhân tử

Cách giải 1 Sau khi đã biết các nhân tử (nhờ Geogebra), chia x4 − 6x3 + 12x2 − 14x + 3(trên máy hoặc bằng tay) cho x2 − 2x + 3 (hoặc cho x2 − 4x + 1) ta được đáp số.

Cách giải 2 (thêm bớt):

x4 − 6x3 + 12x2 − 14x + 3 = x4 − 2x3 + 3x2 − 4x3 + 8x2 − 12x + x2 − 2x + 3

= x2(x2 − 2x + 3)− 4x(x2 − 2x + 3) + (x2 − 2x + 3)

= (x2 − 2x + 3)(x2 − 4x + 1).

Bài 2 Phân tích đa thức 3x6 − 4x5 + 2x4 − 8x3 − 4x + 3 + 2x2 thành nhân tử

Hình 6: Phân tích đa thức thành nhân tử và chia đa thức

Cách giải 1 Sau khi đã biết các nhân tử (nhờ Geogebra), chia 3x6 − 4x5 + 2x4 − 8x3 −4x + 3 + 2x2 (trên máy hoặc bằng tay) cho x2 + 1 và x2 + x + 1 ta được đáp số (Hình 6).

76


Cách giải 2 (đặt biến phụ) Vì đây là đa thức có các hệ số đối xứng nên nhóm các hạngtử, ta được

3x6 − 4x5 + 2x4 − 8x3 − 4x + 3 + 2x2 = x3(3x3 − 4x2 + 2x− 8− 4x2 +

3x3 +

2x)

= x3[3(x3 +1x3 )− 4(x2 +

1x2 ) + 2(x +

1x)− 8].

Đặt x +1x= t⇒ t2 = (x +

1x)2 = x2 + 2 +

1x2 ⇒ x2 +

1x2 = t2 − 2.

Suy ra

t3 = (x +1x)3 = x3 + 3x +

3x+

1x3 = x3 +

1x3 + 3(x +

1x)⇒ x3 +

1x3 = t3 − 3t.

Thay x +1x= t; x2 +

1x2 = t2 − 2; x3 +

1x3 = t3 − 3t vào đa thức trên ta được

x3[3(t3 − 3t)− 4(t2 − 2) + 2t− 8] = x3(3t3 − 9t− 4t2 + 8 + 2t− 8)= x3(3t3 − 4t2 − 7t) = x3t(3t2 − 4t− 7)= x3t[(3t2 − 3)− (4t + 4)] = x3t[3(t− 1)(t + 1)− 4(t + 1)]= x3t(t + 1)(3t− 3− 4) = x3t(t + 1)(3t− 7).

Thay t = x +1x

ta đi đến kết quả:

x3(x +1x)(3x +

3x− 7)(x +

1x+ 1) = x(x2 + 1)(3x2 + 3− 7x)(x +

1x+ 1)

= (x2 + 1)(3x2 − 7x + 3)(x2 + x + 1).

Bài 3 Phân tích đa thức x2(y− z) + y2(z− x) + z2(x− y) thành nhân tử.

Giảix2(y− z) + y2(z− x) + z2(x− y) = x2(y− z) + y2[(y− x) + (z− y)] + z2(x− y)= x2(y− z) + y2(y− x) + y2(z− y) + z2(x− y)= [x2(y− z)− y2(y− z)] + [y2(y− x)− z2(y− x)]= (y− z)(x2 − y2) + (y− x)(y2 − z2) = (y− z)(x + y)(x− y)− x− y)(y + z)(y− z)= (x− y)(y− z)[(x + y)− (y + z)] = (x− y)(y− z)(x + y− y− z)= (x− y)(y− z)(x− z).

Bài 4 Phân tích đa thức (x− y)3 + (y− z)3 + (z− x)3 thành nhân tử.

77


Giải P = (x− y)3 + (y− z)3 + (z− x)3.Đặt x− y = a; y− z = b; z− x = c⇒ a + b + c = 0⇒ a + b = −c⇒ (a + b)3 = −c3

⇒ a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 = 0⇒ a3 + b3 + c3 = −3ab(a + b)⇒ a3 + b3 + c3 = −3ab(−c) (vì a + b = −c)⇒ a3 + b3 + c3 = 3abchay (x− y)3 + (y− z)3 + (z− x)3 = 3(x− y)(y− z)(z− x).Vậy P = 3(x− y)(y− z)(z− x).

Điểm quan trọng nhất của bài này là phải tách được một trong ba hạng tử ban đầuthành tổng (hoặc hiệu) của hai hạng tử còn lại, rồi sau đó khéo léo biến đổi để xuất hiệncác nhân tử chung, từ đó sẽ phân tích được thành nhân tử.Tuy nhiên, chỉ bằng một lệnh Factor ta cũng có ngay đáp số mà không cần khéo léo gì.

Bài tập dưới đây minh họa khả năng phân tích đa thức thành nhân tử trên Geogebra.Bạn đọc tự giải hoặc lên mạng tìm kiếm lời giải thông thường.

Bài 5 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.Bài 5.1 (Vô địch toán vòng II, Belarussia, 1958)[

4abcd + (a2 + b2)(c2 + d2)]2 − 4

[cd(a2 + b2) + ab(c2 + d2)

]2

Bài 5.2 (Vô địch toán lớp 8, vòng I, Belarussia, 1952)

(x + y + z)3 − x3 − y3 − z3

Bài 5.3 (Vô địch toán lớp 8, vòng I, Belarussia, 1957)(x2 + y2)3

+(z2 − x2)3 −

(y2 + z2)3

Bài 5.4 (Thi vào 10 THPT Lê Hồng Phong, Thành phố Hố Chí Minh, 1988)

x3 + y3 + z3 − 3xyz

Bài 5.5 (Thi học sinh giỏi cấp tỉnh, Ninh Thuận, 2014-2015; Thi học sinh giỏi cấp tỉnh, LaiChâu, 2016-2017)

xy(x + y)− yz(y + z) + xz(x− z)

Bài 5.6 (Thi học sinh giỏi huyện Tiền Hải, Thái Bình, 2014-2015)

(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)− 24

78


Tài liệu[1] Bùi Việt Hà, Hướng dẫn sử dụng nhanh Geogebra, School@net.

[2] Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ và Tạp chí Toán Tuổi thơ.

[3] Judith Hohenwarter and Markus Hohenwarter, Introduction to Geogebra,www.geogebra.org.

[4] The official manual of GeoGebra, https://research.shu.ac.uk/geogebra

79

geogebra - m¸t cÔng cÖ thÍ nghiłm trong phÂn tÍch Đa … · hºi thhn - phòng gd&Đt...

Documents