GeoGebra pomoZvanino uputstvo 3.0

Markus Hohenwarter i Judith Preiner www.geogebra.org, avgust 2007

GeoGebra pomo 3.0Poslednja izmena: 1. avgust 2007. GeoGebra Website: www.geogebra.org Autori Markus Hohenwarter, mhohen@math.fau.edu Judith Preiner, jpreiner@math.fau.edu Prevod or e i Dragoslav Herceg, herceg@im.ns.ac.yu, hercegd@im.ns.ac.yu

Pretraivanje Online: GeoGebra Help Search PDF: Pritisnite Ctrl + Shift + F u Adobe Acrobat Reader-u

2

SadrajGeoGebra pomo ....................................................................................................... 1 GeoGebra pomo 3.0 ................................................................................................. 2 Pretraivanje............................................................................................................... 2 Sadraj ....................................................................................................................... 3 1. 2. ta je GeoGebra?................................................................................................ 6 Primeri ................................................................................................................. 7 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 3. Trougao sa uglovima.................................................................................... 7 Linearna jednaina y = m x + b .................................................................... 7 Teite tri take A, B, i C .............................................................................. 8 Podela dui AB u razmeri 7 : 3 ..................................................................... 8 Sistem linearnih jednaina sa dve nepoznate .............................................. 8 Tangenta funkcije po x ................................................................................. 9 Ispitivanje polinoma...................................................................................... 9 Integralni raun........................................................................................... 10

Geometrijski unos.............................................................................................. 11 3.1. Opte napomene........................................................................................ 11 3.1.1. Kontekstni meni................................................................................... 11 3.1.2. Prikazivanje i sakrivanje ...................................................................... 11 3.1.3. Trag..................................................................................................... 11 3.1.4. Poveanje/smanjenje .......................................................................... 12 3.1.5. Skaliranje osa...................................................................................... 12 3.1.6. Opis konstrukcije................................................................................. 12 3.1.7. Traka za korake konstrukcije............................................................... 12 3.1.8. Redefinisanje ...................................................................................... 12 3.1.9. Prozor za osobine ............................................................................... 13 3.2. Naini ......................................................................................................... 13 3.2.1. Opti naini rada ................................................................................. 13 3.2.2. Taka .................................................................................................. 15 3.2.3. Vektor.................................................................................................. 15 3.2.4. Du...................................................................................................... 16 3.2.5. Poluprava ............................................................................................ 16 3.2.6. Mnogougao ......................................................................................... 16 3.2.7. Prava................................................................................................... 16 3.2.8. Konusni presek ................................................................................... 17 3.2.9. Luk i iseak ......................................................................................... 18 3.2.10. Broj i ugao ....................................................................................... 18 3.2.11. Logike vrednosti............................................................................. 19 3.2.12. Lokus ............................................................................................... 20 3.2.13. Geometrijska preslikavanja.............................................................. 20 3.2.14. Tekst................................................................................................ 21 3.2.15. Slike................................................................................................. 21 3.2.16. Osobine slika ................................................................................... 22

4.

Algebarski unos................................................................................................. 23 3

4.1. Opte napomene........................................................................................ 23 4.1.1. Izmena vrednosti................................................................................. 23 4.1.2. Animacija............................................................................................. 23 4.2. Direktan unos ............................................................................................. 24 4.2.1. Brojevi i uglovi ..................................................................................... 24 4.2.2. Take i vektori ..................................................................................... 24 4.2.3. Prava................................................................................................... 25 4.2.4. Konusni presek ................................................................................... 25 4.2.5. Funkcija po x ....................................................................................... 25 4.2.6. Lista objekata ...................................................................................... 26 4.2.7. Aritmetike operacije........................................................................... 26 4.2.8. Logike promenljive ............................................................................ 27 4.2.9. Logike operacije ................................................................................ 28 4.3. Naredbe ..................................................................................................... 28 4.3.1. Opte naredbe .................................................................................... 28 4.3.2. Logike naredbe.................................................................................. 29 4.3.3. Broj...................................................................................................... 29 4.3.4. Ugao ................................................................................................... 31 4.3.5. Taka .................................................................................................. 31 4.3.6. Vektor.................................................................................................. 33 4.3.7. Du...................................................................................................... 33 4.3.8. Poluprava ............................................................................................ 33 4.3.9. Mnogougao ......................................................................................... 34 4.3.10. Prava ............................................................................................... 34 4.3.11. Konusni presek................................................................................ 35 4.3.12. Funkcija ........................................................................................... 36 4.3.13. Parametarske krive.......................................................................... 36 4.3.14. Luk i iseak...................................................................................... 37 4.3.15. Slika................................................................................................. 38 4.3.16. Tekst................................................................................................ 38 4.3.17. Lokus ............................................................................................... 38 4.3.18. Niz ................................................................................................... 38 4.3.19. Geometrijska preslikavanja.............................................................. 39 5. tampanje i izvoz .............................................................................................. 41 5.1. tampanje .................................................................................................. 41 5.1.1. Povrina za crtanje.............................................................................. 41 5.1.2. Opis konstrukcije................................................................................. 41 5.2. Izvoz povrine za crtanje kao slike ............................................................. 41 5.3. Povrina za crtanje u bafer......................................................................... 42 5.4. Opis konstrukcije kao web-stranica ............................................................ 42 5.5. Dinamiki crte kao web-stranica ............................................................... 43 6. Opcije ................................................................................................................ 44 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. Vezivanje take za mreu .......................................................................... 44 Ugaona mera.............................................................................................. 44 Decimalna mesta........................................................................................ 44 Neprekidnost .............................................................................................. 44 Oblik take ................................................................................................. 44 Stil pravog ugla........................................................................................... 44 Koordinate.................................................................................................. 44 Oznaavanje .............................................................................................. 45 4

6.9. Veliina slova ............................................................................................. 45 6.10. Jezik ....................................................................................................... 45 6.11. Povrina za crtanje ................................................................................. 45 6.12. Snimi podeavanje ................................................................................. 45 7. Alati i traka sa alatima ....................................................................................... 46 7.1. 7.2. 8. Korisniki definisani alati ............................................................................ 46 Podeavanje trake sa alatima .................................................................... 46

JavaScript interfejs ............................................................................................ 47

Indeks ....................................................................................................................... 48

5

1. ta je GeoGebra?GeoGebra je matematiki program koji povezuje geometriju, algebru i analizu. Razvio ga je Markus Hohenwarter na Florida Atlantic univerzitetu za uenje matematike u kolama. GeoGebra je, s jedne strane, dinamiki geometrijski sistem. Moemo da pravimo konstrukcije s takama, vektorima, duima, pravama, konusnim presecima kao i s funkcijama a zatim da ih dinamiki menjamo. Sa druge strane, jednaine i koordinate moemo unositi direktno. Na taj nain GeoGebra je u mogunosti da radi sa promenljivima koje predstavljaju brojeve, vektore i take, da trai izvode i integrale funkcija, kao i da izvrava naredbe kao to su NulaFunkcije i Ekstremum. Ova dva pristupa su obeleja programa GeoGebra: izraz u algebarskom prozoru odgovara objektu u geometrijskom prozoru i obratno.

6

2. PrimeriPogledajmo nekoliko primera kako bi stekli utisak o mogunostima programa GeoGebra.

2.1.

Trougao sa uglovima

Odaberite nain Nova taka na traci sa alatima. Kliknite na tri proizvoljna mesta na povrini za crtanje da biste kreirali tri temena trougla, A, B, i C. Mnogougao i kliknite redom na take A, B, i C. Kliknite na Zatim odaberite nain poetnu taku, A, da biste zavrili trougao poly1. U algebarskom prozoru se vidi povrina trougla. Da dobijete sve uglove trougla, izaberite nain na trougao. Ugao na traci sa alatima i kliknite

Pomeranje i pomerajte temena trougla. Ako ne elite Sada izaberite nain algebarski prozor i koordinatne ose, moete da ih iskljuite u meniju Prikaz.

2.2.

Linearna jednaina y = m x + b

Prouiemo ulogu koeficijenata m i b u linearnoj jednaini y = mx + b isprobavajui razliite vrednosti za m i b. Da bismo to postigli upisaemo sledee redove u polje za unos na dnu prozora i pritisnuti tipku Enter na kraju svakog reda. m = 1 b = 2 y = m x + b Sada moemo da menjamo m i b u polju za unos ili u algebarskom prozoru, desnim klikom mia na jedan od brojeva i odabirom stavke Redefinisanje. Isprobajte sledee vrednosti za m i b. m = 2 m = -3 b = 0 b = -1 Vrednosti m i b moemo lako da menjamo: pomou tipki sa strelicama (vidi Animacija) pomou klizaa: desnim klikom mia (MacOS: Apple + klik) na m ili b i odaberite Prikai objekat (vidi i nain Kliza)

Na slian nain moemo da ispitujemo jednaine konusnih preseka kao to su elipse: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 hiperbole: b^2 x^2 a^2 y^2 = a^2 b^2 ili krunice: (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2 7

2.3.

Teite tri take A, B, i C

Konstruisaemo teite tri take tako to emo upisati sledee redove u polje za unos i pritisnuti tipku Enter na kraju svakog reda. Naravno, ovu konstrukciju moemo izvesti i pomou mia, koristei odgovarajue naine (vidi: Naini) sa trake sa alatima. A = (-2, 1) B = (5, 0) C = (0, 5) M_a = Sredite[B, C] M_b = Sredite[A, C] s_a = Prava[A, M_a] s_b = Prava[B, M_b] S = Presek[s_a, s_b] Teite moemo da izraunamo i direktno kao S1 = (A + B + C) / 3 i da uporedimo oba rezultata pomou naredbe Odnos[S, S1]. Proveriemo da li je S = S1 tano za razliite poloaje taaka A, B, i C. U tu svrhu emo izabrati nain Pomeranje i miem pomerati take.

2.4.

Podela dui AB u razmeri 7 : 3

Budui da se u GeoGebri moe raunati sa vektorima, du se moe lako podeliti. Unesite sledee redove u polje za unos i pritisnite tipku Enter nakon svakog reda. A = (-2, 1) B = (3, 3) s = Du[A, B] T = A + 7/10 (B - A) Druga mogunost bi bila A = (-2, 1) B = (3, 3) s = Du[A, B] v = Vektor[A, B] T = A + 7/10 v U sledeem koraku bi mogli uvesti broj t, na primer, pomou naina Kliza i taku

T redefinisati kao T = A + t v (vidi: Redefinisanje). Pri promeni parametra t menja se poloaj take T na pravoj, koja se moe zadati pomou svoje parametarske jednaine (vidi: Prava): g: X = T + s v

2.5.

Sistem linearnih jednaina sa dve nepoznate

Dve linearne jednaine sa nepoznatim x i y mogu se posmatrati kao jednaine pravih. Algebarsko reenje ovog sistema je geometrijska taka preseka ove dve prave. Samo unesite sledee redove u polje za unos i pritisnite tipku Enter nakon svakog reda. 8

g: 3x + 4y = 12 h: y = 2x - 8 S = Presek[g, h] Jednaine se mogu menjati desnim klikom (MacOS: Apple + klik) na jednu od njih i izborom stavke Redefinisanje. Pomou mia, prave se mogu pomerati u nainu Pomeranje i rotirati oko take u nainu Rotacija oko take.

2.6.

Tangenta funkcije po x

GeoGebra sadri naredbu za postavljanje tangente funkcije f(x) u taki x = a. Unesite sledee redove u polje za unos i pritisnite tipku Enter nakon svakog reda. a = 3 f(x) = 2 sin(x) t = Tangenta[a, f] Animacijom broja a (vidi: Animacija) tangenta e kliziti du grafika funkcije f. Drugi nain da se dobije tangenta funkcije f u nekoj taki T je prikazan ovde. a = 3 f(x) = 2 sin(x) T = (a, f(a)) t: X = T + s (1, f'(a)) Tako dobijamo taku T na grafiku funkcije f. Tangenta t je zadata u parametarskom obliku. Tangenta na funkciju se moe konstruisati i geometrijski: Odaberite nain Nova taka i kliknite na grafik funkcije f, da biste dobili novu taku A koja lei na grafiku funkcije f. Tangente i redom kliknite na funkciju f i na taku A. Odaberite nain Sada odaberite Pomeranje i pomerajte taku A du grafika funkcije pomou mia. Tangenta se menja dinamiki.

2.7.

Ispitivanje polinoma

GeoGebra omoguava ispitivanje polinoma i odre ivanje njihovih nula, lokalnih ekstremuma i prevojnih taaka. Unesite sledee redove u polje za unos i pritisnite tipku Enter nakon svakog reda. f(x) = x^3 - 3 x^2 + 1 R = NulaFunkcije[f] E = Ekstremum[f] I = PrevojnaTaka[f] U nainu Pomeranje moemo pomerati funkciju f pomou mia. U vezi sa tim su interesantni i prvi i drugi izvod funkcije f. Moete ih dobiti tako to unesete sledee redove u polje za unos i pritisnete tipku Enter nakon svakog reda. Derivative[f] Derivative[f, 2] 9

2.8.

Integralni raun

Kako bismo se upoznali sa integralima GeoGebra nudi mogunost vizualizacije donje i gornje sume funkcije pomou pravougaonika. Unesite sledee redove u polje za unos i pritisnite tipku Enter nakon svakog reda. f(x) = x^2/4 + 2 a = 0 b = 2 n = 5 L = DonjaSuma[f, a, b, n] U = GornjaSuma[f, a, b, n] Menjajui a, b, ili n (vidi: Animacija; vidi: nain Kliza) moemo da posmatramo uticaj ovih parametara na gornju i donju sumu. Korak za n potrebno je pri tome postaviti na 1, desnim klikom (MacOS: Apple + klik) na broj n i izborom stavke Osobine. Odre eni integral se prikazuje naredbom Integral[f, a, b], a neodre eni integral F naredbom F = Integral[f].

10

3. Geometrijski unosU ovoj glavi se objanjava upotreba mia za kreiranje i izmenu objekata u GeoGebri.

3.1.

Opte napomene

U geometrijskom prozoru (desno) crtaju se take, vektori, dui, mnogouglovi, grafici funkcija, poluprave, prave i konusni preseci. Uvek kada miem pre emo preko nekog objekta pojavljuje se njegov opis, a objekat se istakne. Napomena: Geometrijski prozor nazivamo i Povrina za crtanje. Postoji nekoliko naina na koje GeoGebra reaguje na akcije mia u geometrijskom prozoru (vidi: Naini). Na primer, klik miem na povrinu za crtanje moe da napravi novu taku (vidi: nain Nova taka), presek objekata (vidi: nain Presek dva objekta), ili krunicu (vidi: naini Krunica). Napomena: Dvostruki klik na objekat u algebarskom prozoru omoguava izmenu njegove definicije.

3.1.1.

Kontekstni meni

Desnim klikom mia na objekat otvara se kontekstni meni u kojem se, izme u ostalog, moe izabrati algebarski zapis (polarne ili dekartove koordinate, implicitna ili Preimenovanje, eksplicitna jednaina, ...) Tu se mogu nai i naredbe kao to su Redefinisanje ili Brisanje .

Stavka Osobine u kontekstnom meniju prikazuje prozor u kojem se menjaju, izme u ostalog, boja, veliina, debljina linije, vrsta linije, i popuna objekata.

3.1.2.

Prikazivanje i sakrivanje

Geometrijski objekti mogu biti vidljivi (prikai) ili nevidljivi (sakrij). Ovo se menja u nainu Prikai / sakrij objekat ili iz Kontekstnog menija. Ikona sa leve strane objekta u algebarskom prozoru nam govori o stanju vidljivosti svakog objekta ( prikazan ili sakriven). Napomena: Da biste kontrolisali vidljivost jednog ili vie objekata, koristite nain Polje za potvrdu za prikazivanje i skrivanje objekata.

3.1.3.

Trag

Geometrijski objekti mogu da ostavljaju trag na ekranu kada se pomeraju. Ovaj trag se moe ukljuiti ili iskljuiti preko Kontekstnog menija. Napomena: Nredba Osvei u meniju Prikaz brie sve tragove. 11

3.1.4.

Poveanje/smanjenje

Kliknete li desnim tasterom mia (MacOS: Apple + klik) na povrinu za crtanje, kontekstni meni vam daje mogunost poveanja (vidi: nain Poveanje) ili smanjenja (vidi: nain Smanjenje). Napomena: Desnim tasterom mia (MacOS: Apple + klik) moete da oznaite pravougaoni deo crtea koji elite da uveate.

3.1.5.

Skaliranje osa

Desnim klikom (MacOS: Apple + klik) na povrinu za crtanje i izborom stavke Osobine dobijate kontekstni meni u kojem moete da promenite odnos izme u x ose i y ose prikaete ili sakrijete svaku koordinatnu osu posebno izmenite izgled osa (npr. oznake, boju i izgled linije)

3.1.6.

Opis konstrukcije

Interaktivni opis konstrukcije (meni Prikaz, Opis konstrukcije) je tabela koja prikazuje sve korake konstrukcije. Pomou nje moete da ponovite konstrukciju korak po korak, koristei traku za korake konstrukcije u dnu prozora. ak je mogue naknadno ubaciti korake konstrukcije ili menjati njihov redosled. Sa detaljima se moete upoznati u meniju za pomo opisa konstrukcije. Napomena: Pomou kolone Kontrolna taka u meniju Prikaz moete da odredite neke korake konstrukcije kao kontrolne take, to vam omoguava da grupiete objekte. Prilikom kretanja kroz korake konstrukcije pomou trake za korake konstrukcije, grupe objekata se prikazuju istovremeno.

3.1.7.

Traka za korake konstrukcije

GeoGebra ima traku za korake konstrukcije pomou koje se moete kretati kroz pojedinane korake konstrukcije gotovog crtea. Odaberite stavku Traka za korake konstrukcije u meniju Prikaz da biste prikazali traku za korake konstrukcije na dnu geometrijskog prozora.

3.1.8.

Redefinisanje

Objekat se moe redefinisati pomou Kontekstnog menija. Na taj nain moete naknadno da menjate svoju konstrukciju. Moete tako e otvoriti Redefinisanje u nainu Pomeranje dvostrukim klikom na zavisni objekat u algebarskom prozoru. Primeri: Da biste slobodnu taku A postavili na pravu h, odaberite Redefinisanje za taku A i unesite Taka[h] u polje a unos u prozoru koji se pojavi. Ako elite da uklonite taku sa prave tako da ponovo bude slobodna, redefiniite je tako da ima neke slobodne koordinate.

12

Drugi primer je pretvaranje prave h kroz dve take A i B u du. Izaberite Redefinisanje i unesite Du[A, B] u polje za unos u prozoru koji se pojavi. Ovo se moe izvesti i u suprotnom smeru. Redefinisanje objekata prua razne mogunosti za izmenu konstrukcije. Primetimo da se na ovaj nain moe menjati redosled koraka konstrukcije u Opisu konstrukcije.

3.1.9.

Prozor za osobine

Prozor za osobine slui za izmenu osobina objekata (npr. boje i vrste linije). Ovaj prozor se otvara desnim klikom (MacOS: Apple + klik) na objekat i izborom stavke Osobine, ili stavkom Osobine u meniju Ure ivanje. U prozoru za osobine objekti su grupisani po vrsti (npr. take, prave, krunice), to olakava upravljanje velikim brojem objekata. Osobine odabranih objekata se menjaju na karticama sa desne strane. Zatvorite prozor za osobine kada zavrite eljene izmene.

3.2.

Naini

Ovde opisani naini rade se aktiviraju pomou trake sa alatima ili iz menija za geometriju. Kliknite na malu strelicu u donjem desnom uglu ikone da biste pristupili meniju sa ostalim nainima. Napomena: U svim konstrukcijskim nainima moete lako da napravite nove take klikom na povrinu za crtanje. Oznaavanje objekta Pod pojmom oznaavanje objekta (izbor objekta) podrazumevamo klik miem na objekat. Brzo preimenovanje objekata Da biste preimenovali odabrani ili novonapravljeni objekat, jednostavno ponite da kucate i pojavie se njegov prozor Preimenovanje.

3.2.1.

Opti naini rada

Pomeranje U ovom nainu se slobodni objekti pomeraju klikom i povlaenjem mia. Ako oznaite objekat klikom na njega u nainu Pomeranje, moete da ga obriete tipkom Del da ga pomerate pomou tipki sa strelicama (vidi: Animacija) Napomena: Nain Pomeranje se moe aktivirati i tipkom Esc. Ako drimo pritisnut taster Ctrl, moemo da odaberemo vie objekata zajedno, klikom mia na svaki od njih.

13

Drugi nain za oznaavanje vie objekata je da, dok drimo levi taster mia, oznaimo pravougaoni deo crtea (pravougaonik za izbor) unutar koga e svi objekti biti odabrani. Svi oznaeni objekti se tada mogu istovremeno pomerati miem. Pomou pravougaonika za izbor moemo da odredimo deo grafikog prozora koji e se tampati, izvesti kao slika ili kao dinamiki crte. (vidi: tampanje i izvoz). Rotacija oko take Prvo odaberite taku koja e biti centar rotacije. Nakon toga moete da rotirate nezavisne objekte oko te take povlaei ih miem. Odnos izme u objekata Oznaite dva objekta i dobiete informaciju o njihovom odnosu (tako e vidi naredbu Odnos). Pomeranje povrine za crtanje Klikom na povrinu za crtanje i pomeranjem mia menja se poloaj koordinatnog poetka. Napomena: Povrinu za crtanje moete da pomerate miem ako istovremeno pritisnete tipku Shift (PC: tako e i tipku Ctrl). U ovom nainu moete da menjate razmere koordinatnih osa ako ih prevlaite miem. Napomena: Menjanje razmere osa je mogue i u svim drugim nainima ako pritisnete tipku Shift (PC: tako e i tipku Ctrl) dok miem povlaite ose. Poveanje Klikom na proizvoljno mesto na povrini za crtanje prikaz se poveava (videti i Poveanje/smanjenje) Smanjenje Klikom na proizvoljno mesto na povrini za crtanje prikaz se smanjuje (videti i Poveanje/smanjenje) Prikai / sakrij objekat Kliknite na objekat da biste ga sakrili ili ponovo prikazali. Napomena: Svi objekti koji treba da se sakriju su istaknuti. Sve promene vidljivosti e biti primenjene im izaberete neki drugi nain sa trake sa alatima. Prikai / sakrij oznaku Klikom na objekat se njegova oznaka prikazuje ili sakriva.

14

Prenos izgleda U ovom nainu moete da prenesete osobine jednog objekta (npr. boju, veliinu, izgled linije) na vie drugih objekata. Prvo odaberite objekat ije osobine elite da prenesete. Nakon toga kliknite na sve druge objekte kojima elite da prenesete osobine prvog objekta. Brisanje objekta Kliknite na objekat koji elite da obriete.

3.2.2.

Taka

Nova taka Nova taka se pravi klikom na povrinu za crtanje. Napomena: Koordinate take se zadaju prilikom otputanja tastera mia. Klikom na du, pravu, poligon, konusni presek, funkciju ili krivu kreiramo taku na tom objektu (vidi tako e naredbu Taka). Klikom na presek dva objekta dobijamo presenu taku (vidi tako e naredbu Presek). Presek dva objekta Presene take dva objekta mogu se dobiti na dva naina: Oznaavanjem oba objekta: tada e se napraviti sve presene take ta dva objekta (ako je to mogue). Klikom na jedan presek dva objekta: tada e se napraviti samo jedna presena taka. Za dui, poluprave i lukove se moe odrediti da li elimo da dozvolimo presek u produetku (vidi: Prozor za Osobine). Tako se omoguava prikazivanje presenih taaka koje lee na produecima objekata. Na primer, produetak dui ili poluprave je prava. Sredite ili centar Klikom na ... dve take dobija se sredite dui odre ene tim dvema takama. du dobija se sredite te dui. konusni presek dobija se njegov centar.

3.2.3.

Vektor

Vektor odre en dvema takama Odabirom poetne i krajnje take dobija se vektor.

15

Vektor iz take Odabirom take A i vektora v dobija se taka B = A + v i vektor ija je poetna taka A, a krajnja B.

3.2.4.

Du

Du izme u dve take Odabirom dve take, A i B, dobija se du AB. U algebarskom prozoru se prikazuje duina te dui. Du zadate duine iz take Kliknite na taku A, poetnu taku dui. Pojavie se prozor u koji unosite eljenu duinu a dui. Napomena: Ovaj nain krera du duine a, ija se krajnja taka B moe rotirati u nainu Pomeranje oko poetne take A.

3.2.5.

Poluprava

Poluprava kroz dve take Odabirom dve take, A i B, dobija se poluprava sa poetnom takom A, kroz taku B. U algebarskom prozoru e se pojaviti jednaina odgovarajue prave.

3.2.6.

Mnogougao

Mnogougao Odaberite redom najmanje tri take i kliknite ponovo na prvu taku. U algebarskom prozoru e se pojaviti povrina dobijenog mnogougla. Pravilan mnogougao Oznaite dve take A i B i unesite broj n u polje za unos. Pojavie se pravilan mnogougao sa n temena (ukljuujui i take A i B).

3.2.7.

Prava

Prava kroz dve take Odabirom taaka A i B dobija se prava odre ena njima. Ova prava ima vektor pravca (B - A).

16

Paralela Odabirom prave g i take A dobija se prava paralelna sa g kroz taku A. Nova prava ima isti pravac kao i g. Normala Odabirom prave g i take A dobija se normala na pravu g kroz taku A. Pravac nove prave odgovara vektoru normale (vidi tako e naredbu NormalniVektor) prave g. Simetrala dui Odabirom dui s ili taaka A i B dobija se simetrala dui. Pravac simetrale odgovara vektoru normale na du s ili AB. (vidi tako e naredbu NormalniVektor). Simetrala ugla Simetrale uglova se mogu dobiti na dva naina. Odabirom tri take, A, B, C dobija se simetrala ugla odre enog njima. Pri tome je B teme ugla. Odabirom dve prave dobijaju se obe simetrale uglova koje ove prave odre uju. Napomena: Vektori pravca svih simetrala ugla imaju duinu 1. Tangente Tangente konusnog preseka se mogu dobiti na dva naina. Odabirom take A i konusnog preseka c. Tada se dobijaju sve tangente konusnog preseka c kroz taku A. Odabirom prave g i konusnog preseka c. Tada se dobijaju sve tangente konusnog preseka c, koje su paralelne sa g. Odabirom take A i neke funkcije f dobija se tangenta na f u taki x = x(A). Polara ili konjugovani poluprenik Ovaj nain daje polaru ili konjugovani poluprenik konusnog preseka. Polara se dobija odabirom jedne take i jednog konusnog preseka. Odabirom prave ili vektora i konusnog preseka dobija se konjugovana prava koja sadri konjugovani prenik prave, odnosno vektora.

3.2.8.

Konusni presek

Krunica odre ena centrom i jednom takom Odabirom take M i take P dobija se krunica sa centrom u M, kojoj pripada taka P. Ova krunica ima poluprenik jednak duini dui MP.

17

Krunica odre ena centrom i poluprenikom Nakon odabira centra krunice M pojavie se prozor za unos njenog poluprenika. Krunica kroz tri take Krunica kroz tri take se dobija odabirom tri take A, B, i C kolinearne, krunica se degenerie.

Ako su te take

Konusni presek kroz 5 taaka Odabirom pet taaka se dobija konusni presek, koji prolazi kroz njih. Napomena: Ako nikoje etiri od tih taaka nisu kolinearne, konusni presek je (jednoznano) definisan.

3.2.9.

Luk i iseak

Napomena: Mera luka je njegova duina, a vrednost iseka je njegova povrina. Polukrunica Odabirom taaka A i B dobija se polukrunica iji je prenik du AB. Kruni luk odre en centrom i dvema takama Odabirom tri take, M, A, i B, dobija se kruni luk sa centrom M, poetnom takom A i krajnjom takom B. Napomena: Taka B ne mora da lei na luku. Iseak kruga odre en centrom i dvema takama Odabirom tri take, M, A, i B dobija se iseak kruga sa centrom M, poetnom takom A i krajnjom takom B. Napomena: Taka B ne mora da lei na iseku kruga. Luk odre en trima takama Odabirom tri take dobija se kruni luk odre en njima. Iseak kruga odre en trima takama Odabirom tri take dobija se iseak kruga kroz te tri take.

3.2.10. Broj i ugaoRastojanje ili duina Ovaj nain daje rastojanje izme dve take, dve prave ili take i prave. Tako e, on moe da da duinu dui ili obim kruga. 18

Povrina Ovaj nain prikazuje povrinu mnogougla, kruga ili elipse kao dinamiki tekst u geometrijskom prozoru. Nagib Ovaj nain prikazuje nagib prave kao dinamiki tekst u geometrijskom prozoru. Kliza Napomena: GeoGebra koristi kliza kao grafiku reprezentaciju nezavisnog broja ili ugla. Kliknite na prazno mesto na povrini za crtanje da biste napravili kliza za broj ili ugao. Pojavie se prozor u kojem moete da zadate ime, interval [min, max] broja ili ugla, kao i poloaj i veliinu klizaa (u pikselima). Napomena: Od svakog postojeeg nezavisnog broja ili ugla se lako moe dobiti Prikai / sakrij kliza tako to se on prikae (vidi: Kontekstni meni; vidi: nain objekat). Poloaj klizaa moe biti apsolutan na ekranu ili relativan u odnosu na koordinatni sistem (vidi: Osobine odgovarajueg broja ili ugla). Ugao Ovaj nain daje ugao odre en trima takama ugao odre en dvema duima ugao odre en dvema pravama ugao odre en sa dva vektora sve unutranje uglove mnogougla Svi uglovi dobijeni na ovaj nain su ogranieni na interval od 0 do 180. Ako elite da dozvolite ispupene uglove, podesite odgovarajuu opciju u prozoru za Osobine. Ugao zadate veliine Kada oznaite dve take, A i B, pojavie se prozor za unos veliine ugla. Kao rezultat dobijaju se taka C i ugao , pri emu je ugao ABC.

3.2.11. Logike vrednostiPolje za potvrdu za prikazivanje i skrivanje objekata Klikom na povrinu za crtanje se dobija polje za potvrdu (logiku vrednost) koja kontrolie prikazivanje i skrivanje jednog ili vie objekata. Nakon toga se pojavljuje prozor za izbor objekata na koje polje za potvrdu utie. 19

3.2.12. LokusLokus Oznaite taku B (zavisnu od druge take, A) iji lokus treba da se nacrta. Zatim kliknite na taku A. Napomena: Taka B mora da lei na nekom objektu (npr. pravoj, dui, krunici). Primer: Unesite f(x) = x^2 2 x 1 u polje za unos. Postavite novu taku A na x osu (vidi: nain Nova taka; vidi: naredbu Taka). Unesite taku B = (x(A), f(x(A))) koja zavisi od take A. Odaberite nain Lokus i zatim kliknite na taku B i na taku A. Pomerajte taku A du x ose i videete kako se taka B pomera po lokusu.

3.2.13. Geometrijska preslikavanjaSledea geometrijska preslikavanja se odnose na take, prave, konusne preseke, mnogouglove i slike. Centralna simetrija Odaberite objekat ija se simetrina slika trai. Zatim kliknite na taku, koja e biti centar simetrije. Osna simetrija Odaberite objekat ija se simetrina slika trai. Zatim kliknite na pravu koja e biti osa simetrije. Rotacija oko take za ugao Odaberite objekat koji se rotira. Zatim izaberite taku koja e biti centar rotacije. Pojavie se prozor u kojem moete da unesete veliinu ugla rotacije. Translacija za vektor Oznaite objekat koji se pomera. Zatim izaberite vektor, za koji e objekat biti transliran. Homotetija sa centrom i koeficijentom Oznaite objekat na koji se primenjuje homotetija. Zatim izaberite taku koja e biti centar homotetije. Pojavie se prozor u kojem se zadaje koeficijent homotetije.

20

3.2.14. TekstTekst U ovom nainu se postavljaju statine i dinamike tekstualne oznake ili LaTeX formule. Klikom na povrinu za crtanje se postavlja novi tekst. Klikom na taku se postavlja novi tekst ija je pozicija relativna u odnosu na tu taku. Nakon toga se pojavljuje prozor u koji se unosi tekst. Napomena: Vrednosti objekata mogu da se koriste kako bi se dobio dinamiki tekst. Unos Ovo je tekst Taka A = + A a = + a + cm Opis obian tekst (statian) dinamiki tekst koji koristi vrednost take A dinamiki tekst koji koristi vrednost dui a

Pozicija teksta moe biti apsolutna na ekranu ili relativna u odnosu na koordinatni sistem (vidi: Osobine za tekst). LaTeX formule U tekst se mogu unositi i LaTeX formule, ako se ukljui opcija LaTeX formula u prozoru za nain Tekst. Tada se tekst unosi u LaTeX sintaksi. Ovde su prikazane neke vane LaTeX naredbe. Za vie informacija pogledajte dokumentaciju za LaTeX. LaTeX unos a \cdot b \frac{a}{b} \sqrt{x} \sqrt[n]{x} \vec{v} \overline{AB} x^{2} a_{1} \sin\alpha + \cos\beta \int_{a}^{b} x dx \sum_{i=1}^{n} i^2 Rezultat a b a b xn

x

v AB x2 a1 sin + cos

xdx ia

b

n

2

i =1

3.2.15. SlikeUbacivanje slike U ovom nainu se u konstrukciju ubacuju slike. 21

Klikom na povrinu za crtanje se postavlja donji levi ugao slike. Klikom na taku se ta taka odre uje kao donji levi ugao slike. Nakon toga se pojavljuje prozor za otvaranje datoteke, u kojem se bira slika koja se ubacuje.

3.2.16. Osobine slikaPozicija Pozicija slike se moe da bude apsolutna na ekranu ili relativna u odnosu na koordinatni sistem (vidi: Osobine za sliku), to se postie zadavanjem do tri oka slike. Time se slike mogu veoma fleksibilno poveavati, smanjivati, okretati, pa ak i deformisati. 1. oak (odre uje poziciju donjeg levog ugla slike) 2. oak (odre uje poziciju donjeg desnog ugla slike) Napomena: Ovaj oak se moe postaviti samo nakon prvog oka. On odre uje irinu slike. 4. oak (pozicija gornjeg levog ugla slike) Napomena: Ovaj oak se moe postaviti samo nakon prvog oka. On odre uje visinu slike. Napomena: Vidi tako e naredbu oak Primeri: Napraviemo tri take, A, B, i C, da bismo isprobali uticaj okova na sliku. Postavite taku A kao prvi, a taku B kao drugi oak slike. Pomeranjem taaka A i B u nainu Pomeranje se vrlo lako uoava njihov uticaj. Postavite taku A kao prvi, a taku C kao etvrti oak i posmatrajte kako njihovo pomeranje sada utie na sliku. Naposletku, postavite sva tri oka i posmatrajte kako njihovim pomeranjem moete da iskrivite sliku. Ve ste videli kako se moe podeavati pozicija i veliina slike. Ako elite da veete sliku za taku A i da joj postavite irinu na 3 i visinu na 4 jedinice, treba da uradite sledee: 1. oak: A 2.oak: A + (3, 0) 4.oak: A + (0, 4) Napomena: Ako sada pomerate taku A u nainu Pomeranje, slika zadrava zadatu veliinu. Pozadinska slika Slika se moe postaviti kao pozadinska slika (vidi: Osobine za sliku). Tada e se ona pojaviti iza koordinatnih osa i vie se ne moe odabrati pomou mia. Napomena: Ako elite ponovo da odaberete pozadinsku sliku, odaberite njene Osobine iz menija Ure ivanje. Providnost Slika moe da bude providna, kako bi se kroz nju videli objekti ili ose koji lee ispod nje. Providnost se podeava osobinom Popuna, sa vrednostima iz intervala od 0% do 100% (vidi: Osobine za sliku). 22

4. Algebarski unosU ovom delu se objanjava kako se objekti u GeoGebri mogu unositi i menjati preko tastature.

4.1.

Opte napomene

Vrednosti, koordinate i jednaine nezavisnih i zavisnih objekata se prikazuju u algebarskom prozoru (sa leve strane). Nezavisni objekti ne zavise od drugih objekata i mogu se direktno menjati. U dnu ekrana GeoGebre je polje za unos pomou kojega se kreiraju i menjaju objekti (vidi: Direktan unos; vidi: Naredbe). Napomena: Uvek pritisnite tipku Enter nakon unoenja definicije objekta u polje za unos.

4.1.1.

Izmena vrednosti

Nezavisni objekti mogu direktno da se menjaju, a zavisni ne. Ako elite da promenite vrednost nezavisnog objekta, jednostavno je ponovo unesite u polje za unos (vidi: Direktan unos). Primer: Ako elite da izmenite postojei broj a = 3, unesite a = 5 u polje za unos i pritisnite tipku Enter. Napomena: Ovo se moe izvesti u algebarskom prozoru, stavkom Redefinisanje iz Kontekstnog menija ili dvostrukim klikom na objekat u nainu Pomeranje u geometrijskom prozoru.

4.1.2.

Animacija

Ako elite da kontinualno menjate broj ili ugao, to se moe uraditi u nainu Pomeranje. Kliknite na broj ili ugao i pritiskajte tipke + ili - za promenu vrednosti. Ako drite jednu od tih tipki stalno pritisnutu, dobiete animaciju. Primer: Ako koordinate take zavise od broja k kao u P = (2 k, k), tada e se taka pomerati du prave kada se k kontinualno menja. Svi nezavisni objekti mogu da se pomeraju pomou tipki sa strelicama u nainu Pomeranje (vidi: Animacija; vidi: nain Pomeranje). Napomena: Korak moete da podesite u prozoru Osobine za eljeni objekat. Preice: Ctrl + strelice daje korak od 10 jedinica Alt + strelice daje korak od 100 jedinica

23

Napomena: Taka na pravoj se moe pomerati du nje koristei tipke +ili (vidi: Animacija).

4.2.

Direktan unos

GeoGebra radi sa brojevima, uglovima, takama, vektorima, duima, pravama, konusnim presecima, funkcijama i parametarskim krivama. Ovde se objanjava kako se ti objekti zadaju pomou koordinata ili jednaina u polju za unos. Napomena: U imenima objekata se mogu upotrebljavati i indeksi, na primer A1 ili SAB se unose kao A_1 ili s_{AB}.

4.2.1.

Brojevi i uglovi

Brojevi i uglovi se zadaju sa takom . kao decimalnim separatorom. Primer: Broj r se zadaje unosom r = 5.32. Napomena: Konstanta i Ojlerova konstanta e se mogu koristiti u izrazima i raunanju tako to se odaberu u padajuoj listi pored polja za unos. Uglovi se zadaju u stepenima () ili radijanima (rad). Konstanta je korisna za vrednosti u radijanima, a moe se uneti i kao pi. Primer: Ugao se moe zadati u stepenima ( = 60) ili u radijanima ( = pi/3). Napomena: GeoGebra interno uvek rauna u radijanima. Simbol je samo oznaka za konstantu /180 koja konvertuje stepene u radijane. Klizai i tipke sa strelicama Nezavisni brojevi i uglovi mogu da se prikau kao klizai u geometrijskom prozoru (vidi: nain Kliza). Tipkama sa strelicama se brojevi i uglovi menjaju i u algebarskom prozoru (vidi: Animacija). Ogranienje vrednosti na interval Nezavisni brojevi i uglovi mogu da se ogranie na interval [min, max] (vidi: prozor za Osobine). Na isti nain se ograniava i Kliza. Za sve zavisne uglove se moe zadati da li moe da postane ispupen ili ne (vidi: prozor za Osobine).

4.2.2.

Take i vektori

Take i vektori se zadaju u Dekartovim ili polarnim koordinatama (vidi: Brojevi i uglovi). Napomena: Velika slova oznaavaju take, a mala slova vektore.

24

Primeri: Unesite taku P ili vektor v u Dekartovim koordinatama kao P = (1, 0) ili v = (0, 5). Za polarne koordinate, unesite P = (1; 0) ili v = (5; 90).

4.2.3.

Prava

Prave se predstavljaju pomou jednaina po x i y ili u parametarskom obliku. U oba sluaja se mogu upotrebiti prethodno definisane vrednosti (npr. brojevi, take, vektori). Napomena: Ime prave se moe zadati na poetku unosa, praeno dvotakom. Primeri: Unesite g : 3x + 4y = 2 da dobijete pravu g kao linearnu jednainu. Definiite parametar t (t = 3), a zatim zadajte pravu g u parametarskom obliku kao g: X = (-5, 5) + t (4, -3). Prvo definiite parametre m = 2 i b = -1. Tada moete da unesete jednainu g: y = m x + b da dobijete pravu g kao linearnu funkciju. xOsa i yOsa Dve koordinatne ose se mogu koristiti u naredbama preko imena xOsa i yOsa. Primer: Naredba Normala[A, xOsa] konstruie pravu normalnu na x osu kroz taku A.

4.2.4.

Konusni presek

Konusni preseci se zadaju kvadratnom jednainom po x i y. Pri tome se mogu upotrebiti ranije definisane promenljive (npr. brojevi, take, vektori). Konusnom preseku se dodeljuje ime tako to se unese na poetku, praeno dvotakom. Primeri: Elipsa el: Hiperbola hip: Parabola par: Krunica k1: Krunica k2:

el: 9 x^2 + 16 y^2 = 144 hip: 9 x^2 16 y^2 = 144 par: y^2 = 4 x k1: x^2 + y^2 = 25 k2: (x 5)^2 + (y + 2)^2 = 25

Napomena: Ako definiete dva parametra a = 4 i b = 3, moete da zadate elipsu kao ell: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2.

4.2.5.

Funkcija po x

Prilikom definisanja funkcija moete da koristite ve definisane promenljive (npr. brojeve, take, vektore) i druge funkcije. Primeri: Funkcija f: f(x) = 3 x^3 x^2 Funkcija g: g(x) = tan(f(x)) Funkcija bez imena sin(3 x) + tan(x) 25

Sve ugra ene funkcije (npr. sin, cos, tan) su opisane u delu o aritmetikim operacijama (vidi: Aritmetike operacije). U GeoGebri tako e postoje naredbe za Integral i Izvod funkcije. Izvod ranije definisane funkcije f(x) se moe dobiti i naredbama f(x) ili f(x). Primer: Prvo definiite funkciju f kao f(x) = 3 x^3 x^2. Tada moete da unesete g(x) = cos(f(x + 2)) da biste dobili funkciju g. Pored toga, funkcije se mogu translirati za vektor (vidi: naredba Translacija) a Pomeranje). nezavisne funkcije se mogu pomerati miem (vidi: nain Funkcija zadata na intervalu Naredbom Funkcija (vidi: naredba Funkcija) se zadaje funkcija na intervalu [a, b].

4.2.6.

Lista objekata

Liste objekata (npr. taaka, dui, krunica) se zadaju pomou vitiastih zagrada. Primeri: L = {A, B, C} daje listu koja sadri tri ranije definisane take A, B i C. L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} daje listu koja se sastoji od bezimenih taaka.

4.2.7.

Aritmetike operacije

Pri unosu brojeva, koordinata taaka ili jednaina (vidi: Direktan unos) mogu da se upotrebljavaju aritmetiki izrazi sa zagradama. Tada su dozvoljene sledee operacije: Operacija sabiranje oduzimanje mnoenje skalarni proizvod deljenje stepenovanje faktorijel gama funkcija zagrade x koordinata y koordinata apsolutna vrednost signum kvadratni koren kubni koren sluajan broj izme u 0 i 1 eksponencijalna funkcija Unos + * ili razmak * ili razmak / ^ ili 2 ! gamma( ) ( ) x( ) y( ) abs( ) sgn( ) sqrt( ) cbrt( ) random( ) exp( ) ilix

26

Operacija logaritam (prirodni, baza e) logaritam sa bazom 2 logaritam sa bazom 10 kosinus sinus tangens arkus kosinus arkus sinus arkus tangens kosinus hiperbolini sinus hiperbolini tangens hiperbolini arkus kosinus hiperbolini arkus sinus hiperbolini arkus tangens hiperbolini najvei ceo broj manji od najmanji ceo broj vei od zaokruivanje

Unos ln( ) ili log( ) ld( ) lg( ) cos( ) sin( ) tan( ) acos( ) asin( ) atan( ) cosh( ) sinh( ) tanh( ) acosh( ) asinh( ) atanh( ) floor( ) ceil( ) round( )

Primeri: Sredite dve take A i B, taka M, moe se zadati kao M = (A + B) / 2. Duina vektora v moe se odrediti pomou l = sqrt(v * v). Napomena: GeoGebra moe, osim sa brojevima, da rauna i sa takama i sa vektorima.

4.2.8.

Logike promenljive

Logike vrednosti true and false se mogu koristiti u programu GeoGebra. Primer: Unesite a = true ili b = false u polje za unos i pritisnite tipku Enter. Polje za potvrdu i tipke sa strelicama Nezavisne logike promenljive se mogu prikazati na povrini za crtanje u obliku polja Polje za potvrdu za prikazivanje i skrivanje objekata). za potvrdu (vidi: nain Vrednosti logikih promenljivih u algebarskom prozoru mogu da se menjaju i pomou tipki sa strelicama (vidi: Animacija).

27

4.2.9.

Logike operacije

GeoGebra poznaje sledee logike operacije: Operacija jednako nejednako manje vee manje ili jednako vee ili jednako i ili ne paralelno normalno ili == ili != < > ili = ili ! Primer a b ili a == b a b ili a != b a < b a > b a b ili a = b a b a b a ili !a a b a b Tipovi brojevi, take, prave, konusni preseci a, b brojevi, take, prave, konusni preseci a, b brojevi a, b brojevi a, b brojevi a, b brojevi a, b logike vrednosti a, b logike vrednosti a, b logike vrednosti a prave a, b prave a, b

4.3.

Naredbe

Naredbama se kreiraju novi objekti i menjaju postojei. Rezultat komande se imenuje tako to se unese ime iza kojeg sledi =. U sledeim primerima je nova taka nazvana S. Primer: Da bismo dobili presenu taku pravih g i h uneemo naredbu S = Presek[g, h] (vidi: naredba Presek). Napomena: U imenima objekata mogu da se koriste indeksi: A1 ili SAB se unosi kao A_1 ili s_{AB}.

4.3.1.

Opte naredbe

Odnos Odnos[objekat a, objekat b]: pokazuje prozor sa informacijama o odnosu objekata a i b. Napomena: Ovom naredbom ispitujemo da li su dva objekta jednaka, da li taka lei na pravoj ili konusnom preseku, ili kakav je presek prave i konusnog preseka (seica, tangenta, prava bez zajednikih taaka, ...). Izbrii Izbrii[objekat a]: brie objekat i sve objekte koji zavise od njega.

28

Element Element[lista L, broj n]: n-ti element liste L

4.3.2.

Logike naredbe

If[uslov, a, b]: daje kopiju objekta a if uslov ima vrednost true, a kopiju objekta b ako uslov ima vrednost false. If[uslov, a]: daje kopiju objekta a ako uslov ima vrednost true, a nedefinisani objekat ako uslov ima vrednost false.

4.3.3.

Broj

Duina Duina[vektor v]: duina vektora v Duina[taka A]: duina vektora poloaja take A Duina[funkcija f, broj x1, broj x2]: duina grafika funkcije f izme u brojeva x1 i x2 Duina[funkcija f, taka A, taka B]: duina grafika funkcije f izme u taaka A i B na grafiku Duina[kriva c, broj t1, broj t2]: duina krive c izme u brojeva t1 i t2 Duina[kriva c, taka A, taka B]: duina krive c izme u dve take A i B na krivoj Duina[lista L]: duina liste L (broj elemenata liste) Povrina Povrina[taka A, taka B, taka C, ...]: Povrina mnogougla definisanog datim takama A, B, i C Povrina [konusni presek c]: Povrina konusnog preseka c (krunice ili elipse) Rastojanje Rastojanje[taka A, taka B]: Rastojanje taaka A i B Rastojanje[taka A, prava g]: Najkrae rastojanje take A od prave g Rastojanje[prava g, prava h]: Najkrae rastojanje pravih g i h. Napomena: Prave koje se seku imaju rastojanje 0. Ova funkcija je oigledno zanimljiva samo za paralelne prave. Ostatak deljenja Mod[broj a, broj b]: Ostatak deljenja broja a brojem b. Celobrojno deljenje Div[broj a, broj b]: Celobrojni kolinik pri deljenju broja a brojem b. Nagib Nagib[prava g]: Nagib prave g. Napomena: Ova naredba crta trougao koji prikazuje nagib prave i promenljive je veliine (vidi: prozor za Osobine).

29

Krivina Krivina[taka A, funkcija f]: Krivina funkcije f u taki A Krivina [taka A, kriva c]: Krivina krive c u taki A Poluprenik Poluprenik[krunica c]: Poluprenik krunice c ObimKrive ObimKrive[konusni presek c]: Vraa obim konusnog preseka c (krunice ili elipse) Obim Obim[mnogougao poly]: Obim mnogougla poly Parametar Parametar[parabola p]: Parametar parabole p (rastojanje izme u direktrise i ie) DuinaGlavnePoluose DuinaGlavnePoluose[konusni konusnog preseka c DuinaSporednePoluose DuinaSporednePoluose[konusni konusnog preseka c

presek

c]:

Duina

glavne

poluose

presek

c]: Duuna sporedne poluose

Ekscentricitet Ekscentricitet[konusni presek c]: Ekscentricitet konusnog preseka c Integral Integral[funkcija f, broj a, broj b]: Odre eni integral funkcije f(x) od a do b. Napomena: Ova naredba tako e iscrtava povrinu izme u grafika funkcije f i x ose. Integral[funkcija f, funkcija g, broj a, broj b]: Odre eni integral funkcije f(x) - g(x) od a do b. Napomena: Ova naredba tako e iscrtava povrinu izme u grafika funkcija f i g. Napomena: Vidi: Neodre eni integral DonjaSuma DonjaSuma[funkcija f, broj a, broj b, broj n]: Donja suma funkcije f na intervalu [a, b] sa n pravougaonika. Napomena: Ova komanda tako e iscrtava pravougaonike za donju sumu. GornjaSuma GornjaSuma[funkcija f, broj a, broj b, broj n]: ]: Gornja suma funkcije f na intervalu [a, b] sa n pravougaonika. Napomena: Ova komanda tako e iscrtava pravougaonike za gornju sumu.

30

Iteracija Iteracija[funkcija f, broj x0, broj n]: Primenjuje funkciju f n puta na poetnu vrednost x0. Primer: Nakon definisanja f(x) = x^2 naredba Iteracija[f, 3, 2] daje rezultat (32)2 = 81 Minimum i maksimum Min[broj a, broj b]: Manji od brojeva a i b Max[broj a, broj b]: Vei od brojeva a i b Koeficijent afinosti KoeficijentAfinosti[taka A, taka B, taka C]: Vraa koeficijent afinosti tri kolinearne take A, B, i C, gde je C = A + * AB Dvorazmera Dvorazmera[taka A, taka B, taka C, taka D]: Dvorazmera etiri kolinearne take A, B, C, i D, gde je = KoeficijentAfinosti[B, C, D] / KoeficijentAfinosti[A, C, D]

4.3.4.

Ugao

Ugao Ugao[vektor v1, vektor v2]: Ugao izme u vektora v1 i v2 (izme u 0 i 360) Ugao[prava g, prava h]: Ugao izme u vektora pravca pravih g i h (izme u 0 i 360) Ugao[taka A, taka B, taka C]: Ugao zahvaen duima BA i BC (izme u 0 i 360). Taka B je teme. Ugao[taka A, taka B, ugao alfa]: Ugao veliine nacrtan iz take A kroz teme B. Napomena: Kreira se i taka Rotacija[A, alfa, B]. Ugao[konusni presek c]: Ugao koji glavna osa konusnog preseka c zaklapa sa x osom (vidi: naredba Ose) Ugao[vektor v]: Ugao izme u x ose i vektora v Ugao[taka A]: Ugao izme u x ose i vektora poloaja take A Ugao[broj n]: Pretvara stepene u radijane (rezultat izme u 0 i 2pi) Ugao[mnogougao poly]: Svi unutranji uglovi mnogougla poly

4.3.5.

Taka

Taka Taka[prava g]: Taka na pravoj g Taka[konusni presek c]: Taka na konusnom preseku c (npr. krunici, elipsi, hiperboli) Taka[funkcija f]: Taka na funkciji f Taka[mnogougao poly]: Taka na mnogouglu poly Taka[vector v]: Taka na vektoru v Taka[taka P, vector v]: Taka P + v

31

Sredite i centar Sredite[taka A, taka B]: Sredite taaka A i B Sredite[du s]: Sredite dui s Centar[konusni presek c]: Centar konusnog preseka c (npr. krunice, elipse, hiperbole) ia ia[konusni presek c]: (Sve) ie konusnog preseka c Teme Teme[konusni presek c]: (Sva) temena konusnog preseka c Teite Teite[mnogougao poly]: Teite mnogougla poly Presek Presek[prava g, prava h]: Presena taka pravih g i h Presek[prava g, konusni presek c]: Sve presene take prave g i konusnog preseka c (najvie dve) Presek[prava g, konusni presek c, broj n]: n-ta presena taka prave g i konusnog preseka c Presek[konusni presek c1, konusni presek c2]: Sve presene take konusnih preseka c1 i c2 (najvie etiri) Presek[konusni presek c1, konusni presek c2, broj n]: n-ta presena taka konusnih preseka c1 i c2 Presek[polynomial f1, polynomial f2]: Sve presene take polinoma f1 i f2 Presek[polynomial f1, polynomial f2, broj n]: n-ta presena taka polinoma f1 i f2 Presek[polynomial f, prava g]: Sve presene take polinoma f i prave g Presek[polynomial f, prava g, broj n]: n-ta presena taka polinoma f i prave g Presek[funkcija f, funkcija g, taka A]: Presena taka funkcija f i g sa poetnom takom A (za Njutnov metod) Presek[funkcija f, prava g, taka A]: Presena taka funkcije f i prave g sa poetnom takom A (za Njutnov metod) Napomena: Vidi tako e: nain Presek dva objekta

NulaFunkcije NulaFunkcije[polinom f]: Sve nule polinoma f (kao take) NulaFunkcije[funkcija f, broj a]: Nula funkcije f sa poetnom vrednosti a (Njutnov metod) NulaFunkcije[funkcija f, broj a, broj b]: Jedna nula funkcije f u intervalu [a, b] (regula falsi) Ekstremum Ekstremum[polinom f]: Svi ekstremumi polinoma f (kao take) 32

PrevojnaTaka PrevojnaTaka[polinom f]: Sve prevojne take polinoma f

4.3.6.

Vektor

Vektor Vektor[taka A, taka B]: Vektor od A do B Vektor[taka A]: Vektor poloaja za taku A Pravac Pravac[prava g]: Vektor pravca prave g. Napomena: Prava ax + by = c ima vektor pravca (b, - a). JedininiVektor JedininiVektor[prava g]: Vektor pravca prave g, duine 1 JedininiVektor[vektor v]: Vektor duine 1, istog pravca i orijentacije kao dati vektor v NormalniVektor NormalniVektor[prava g]: Normalni vektor prave g. Napomena: Prava ax + by = c ima normalni vektor (a, b). NormalniVektor[vektor v]: Normalni vektor datog vektora v. Napomena: Vektor (a, b) ima normalni vektor (- b, a). JedininiNormalniVektor JedininiNormalniVektor[prava g]: Normalni vektor prave g, duine 1 JedininiNormalniVektor[vektor v]: Normalni vektor datog vektora v, duine 1 Vektor krivine VektorKricine[taka A, funkcija f]: Vektor krivine funkcije f u taki A VektorKrivine[taka A, kriva c]: Vektor krivine krive c u taki A

4.3.7.

Du

Du Du[taka A, taka B]: Du izme u taaka A i B Du[taka A, broj a]: Du duine a sa poetnom takom A. Napomena: Pri tome se proizvodi i krajnja taka dui.

4.3.8.

Poluprava

Poluprava Poluprava[taka A, taka B]: Poluprava (zrak) sa poetnom takom A kroz taku B

33

Poluprava[taka A, vektor v]: Poluprava (zrak) sa poetnom takom A i pravcem v

4.3.9.

Mnogougao

Mnogougao Mnogougao[taka A, taka B, taka C,...]: Mnogougao sa datim temenima A, B, C, Mnogougao[taka A, taka B, broj n]: Pravilan mnogougao sa n temena (ukljuujui take A i B)

4.3.10. PravaPrava Prava[taka A, taka B]: Prava kroz take A i B Prava[taka A, prava g]: Prava kroz taku A paralelna sa g Prava[taka A, vektor v]: Prava kroz taku A sa pravcem v Normala Normala[taka A, prava g]: Prava kroz taku A normalna na g Normala[taka A, vektor v]: Prava kroz taku A normalna na vektor v SimetralaDui SimetralaDui[taka A, taka B]: Simetrala dui AB SimetralaDui[du s]: Simetrala dui s SimetralaUgla SimetralaUgla[taka A, taka B, taka C]: Simetrala ugla zadatog takama A, B, i C. Napomena: Taka B je teme ugla. SimetralaUgla[prava g, prava h]: Obe simetrale ugla pravih g i h. Tangenta Tangenta[taka A, konusni presek c]: (Sve) tangente kroz taku A na c Tangenta[prava g, konusni presek c]: (Sve) tangente paralelne sa g na c Tangenta[broj a, funkcija f]: Tangenta na f(x) u taki x = a Tangenta[taka A, funkcija f]: Tangenta na f(x) u taki x = x(A) Tangenta[taka A, kriva c]: Tangenta na krivu c u taki A Asimptota Asimptota[hiperbola h]: Obe asimptote hiperbole h Direktrisa Direktrisa[parabola p]: Direktrisa parabole p Ose Ose[konusni presek c]: Glavna i sporedna osa konusnog preseka c

34

GlavnaOsa GlavnaOsa[konusni presek c]: Glavna osa konusnog preseka c SporednaOsa SporednaOsa[konusni presek c]: Sporedna osa konusnog preseka c Polara Polara[taka A, konusni presek c]: Polara take A u odnosu na konusni presek c Prenik Prenik[prava g, konusni presek c]: Prenik konusnog preseka c konjugovan sa g Prenik[vector v, konusni presek c]: Prenik konusnog preseka c konjugovan sa v

4.3.11. Konusni presekKrunica Krunica[taka Krunica[taka Duina[s] Krunica[taka Krunica[taka M, broj r]: Krunica sa centrom M i poluprenikom r M, du s]: Krunica sa centrom M i poluprenikom duine M, taka A]: Krunica sa centrom M kroz taku A A, taka B, taka C]: Krunica kroz tri take A, B i C

OskulatornaKrunica OskulatornaKrunica[taka A, funkcija f]: Oskulatorna krunica funkcije f u taki A OskulatornaKrunica[taka A, kriva c]: Oskulatorna krunica krive c u taki A Elipsa Elipsa[taka F, taka G, broj a]: Elipsa sa iama F i G i glavnom osom duine a. Napomena: Mora da vai uslov: 2a > Rastojanje[F, G] Elipsa[taka F, taka G, du s]: Elipsa sa iama F i G i glavnom osom duine a (a = Duina[s]). Hiperbola Hiperbola[taka F, taka G, broj a]: Hiperbola sa iama F i G i glavnom osom duine a. Napomena: Mora da vai uslov: 0 < 2a < Rastojanje[F, G] Hiperbola[taka F, taka G, du s]: Hiperbola sa iama F i G i glavnom osom duine a (a = Duina[s]) Parabola Parabola[taka F, prava g]: Parabola sa iom F i direktrisom g

35

KonusniPresek KonusniPresek[taka A, taka B, taka C, taka D, taka E]: Konusni presek kroz pet taaka A, B, C, D, i E. Napomena: Nikoje etiri take nisu kolinearne.

4.3.12. FunkcijaIzvod Izvod[funkcija f]: Izvod funkcije f(x) Izvod[funkcija f, broj n]: n-ti izvod funkcije f(x) Napomena: Moe se koristiti f(x) umesto Izvod[f] i f(x) umesto Izvod[f, 2]. Integral Integral[funkcija f]: Neodre eni integral funkcije f(x) Napomena: Vidi: Odre eni integral Polinom Polinom[funkcija f]: Razvijena polinomna funkcija f. Example: Polinom[(x - 3)^2] daje x2 - 6x + 9 TejlorovPolinom TejlorovPolinom[funkcija f, broj a, broj n]: Tejlorov razvoj funkcije f u okolini take x = a reda n Funkcija Funkcija[funkcija f, broj a, broj b]: Funkcija f definisana na intervalu [a, b] i nedefinisana izvan njega Uslovna funkcija Moete da koristite logiku funkciju If (vidi: naredba If) da biste dobili uslovnu funkciju. Napomena: Izvodi i integrali takvih funkcija mogu da se koriste i presecaju kao i normalne funkcije. Example: f(x) = If[x < 3, sin(x), x^2] daje funkciju koja se svodi na sin(x) za x < 3 i x2 za x 3.

4.3.13. Parametarske kriveKriva[izraz e1, izraz e2, parametar t, broj a, broj b]: Parametarska kriva zadata ure enim parom x-izraz e1 i y-izraz e2 (zavisnim od parametra t) u intervalu [a, b] Primer: c = Kriva[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi] 36

Izvod[kriva c]: Izvod krive c Napomena: Parametarske krive se u aritmetikim izrazima mogu koristiti kao funkcije. Primer: Unos c(3) vraa taku za vrednost parametra 3 na krivoj c. Napomena: Taku moete postaviti na krivu i pomou mia u nainu Nova taka (vidi nain Nova taka; vidi tako e naredbu Taka). Poto su parametri a i b dinamiki, na njihovom mestu se mogu upotrebiti promenljive kontrolisane klizaima (vidi: nain Kliza).

4.3.14. Luk i iseakNapomena: Algebarska vrednost luka je njegova duina, a za iseak je to njegova povrina. Polukrunica Polukrunica[taka A, taka B]: Polukrunica nad dui AB. KruniLuk KruniLuk[taka M, taka A, taka B]: Kruni luk sa sa centrom M izme u taaka A i B. Napomena: Taka B ne mora da lei na luku. LukKrozTake LukKrozTake[taka A, taka B, taka C]: Kruni luk kroz tri take, A, B, i C Luk Luk[konusni presek c, taka A, taka B]: Luk konusnog preseka izme u dve take, A i B, na konusnom preseku c (krunici ili elipsi) Luk[konusni presek c, broj t1, broj t2]: Luk konusnog preseka za vrednosti parametra izme u t1 i t2 na konusnom preseku c. Parametar ima sledei oblik: o Krunica: (r cos(t), r sin(t)) gde je r poluprenik krunice o Elipsa: (a cos(t), b sin(t)) gde su a i b duine glavne i sporedne ose IseakKruga IseakKruga[taka M, taka A, taka B]: Iseak kruga sa centrom M izme u taaka A i B. Napomena: taka B ne mora da lei na krunici. IseakOpisanogKruga IseakOpisanogKruga[taka A, taka B, taka C]: Iseak kruga odre en trima takama Iseak Iseak[konusni presek c, taka A, taka B]: Iseak konusnog preseka izme u taaka A i B na konusnom preseku c (krunici ili elipsi)

37

Iseak[konusni presek c, broj t1, broj t2]: Iseak konusnog za vrednosti parametra izme u t1 i t2 na konusnom preseku c. Parametar ima sledei oblik: o Krunica: (r cos(t), r sin(t)) gde je r poluprenik krunice o Elipsa: (a cos(t), b sin(t)) gde su a i b duine glavne i sporedne ose

4.3.15. Slikaoak oak[slika sl, broj n]: n-ti oak slike sl sa najvie 4 oka

4.3.16. TekstIme Ime[objekat]: Tekst koji prikazuje ime zadatog objekta. Napomena: Ovu naredbu treba upotrebljavati u dinamikim tekstovima za objekte ije ime e biti menjano.

4.3.17. LokusLokus Lokus[taka Q, taka P]: Daje lokus take Q u zavisnosti od take P. Napomena: Taka P mora da bude na nekom objektu (npr. pravoj, dui, krunici).

4.3.18. NizNiz Niz[izraz e, promenljiva i, broj a, broj b]: Lista objekata kreiranih izraunavanjem izraza e za vrednosti indeksa i u intervalu od a do b. Primer: L = Niz[(2, i), i, 1, 5] daje listu taaka ije y koordinate idu od 1 do 5 Niz[izraz e, promenljiva i, broj a, broj b, broj s]: Lista objekata kreiranih izraunavanjem izraza e za vrednosti indeksa i u intervalu od a do b sa korakom s. Primer: L = Niz[(2, i), i, 1, 5, 0.5] daje listu taaka ije y koordinate idu od 1 to 5 sa korakom 0.5. Napomena: Parametri a i b su dinamiki, pa se mogu zadati preko promenljivih koje zavise od klizaa. Ostale komande za rad sa nizovima Element[lista L, broj n]: n-ti element liste L Duina[lista L]: Duina liste L Min[lista L]: Minimalni element liste L Max[lista L]: Maksimalni element liste L 38

Iteracija IteracijaLista[funkcija f, broj x0, broj n]: Lista L duine n+1 iji elementi se dobijaju uzastopnom primenom funkcije f na poetnu vrednost x0. Example: Nakon definisanja funkcije f(x) = x^2 naredba L = IteracijaLista[f, 3, 2] daje za rezultat listu L = {3, 32, (32)2} = {3, 9, 27}

4.3.19. Geometrijska preslikavanjaKada se rezultat neke od sledeih naredbi dodeli promenljivoj, dobija se kopija preslikanog objekta. Napomena: Naredba Ogledanje[A, g] pomera taku A osnom simetrijom u odnosu na pravu g na poziciju njene slike. Naredbom B = Mirror[A, g] dobija se nova taka B a taka A ostaje nepromenjena. Translacija Translacija[taka A, vector v]: Pomera taku A za vektor v Translacija[prava g, vector v]: Pomera pravu g za vektor v Translacija[konusni presek c, vector v]: Pomera konusni presek c za vektor v Translacija[funkcija c, vector v]: Pomera funkciju f za vektor v Translacija[mnogougao poly, vector v]: Pomera poligon poly za vektor v. Napomena: Pri tome se prave nova temena i stranice. Translacija[slika sl, vektor v]: Pomera sliku sl za vektor v Translacija[vektor v, taka P]: Pomera poetnu taku vektora v u taku P Napomena: Vidi tako e i nain Translacija za vektor

Rotacija Rotacija[taka A, ugao phi]: Rotira taku A za ugao oko koordinatnog poetka Rotacija[vektor v, ugao phi]: Rotira vektor v za ugao Rotacija[prava g, ugao phi]: Rotira pravu g za ugao oko koordinatnog poetka Rotacija[konusni presek c, ugao phi]: Rotira konusni presek c za ugao oko koordinatnog poetka Rotacija[mnogougao poly, ugao phi]: Rotira mnogougao poly za ugao oko koordinatnog poetka. Napomena: Pri tome se prave nova temena i stranice. Rotacija[image sl, ugao phi]: Rotira sliku sl za ugao oko koordinatnog poetka Rotacija[taka A, ugao phi, taka B]: Rotira taku A za ugao oko take B Rotacija[prava g, ugao phi, taka B]: Rotira pravu g za ugao oko take B Rotacija[konusni presek c, ugao phi, taka B]: Rotira konusni presek c za ugao oko take B Rotacija[mnogougao poly, ugao phi, taka B]: Rotira mnogougao poly za ugao oko take B. Napomena: Pri tome se prave nova temena i stranice. 39

Rotacija[image sl, ugao phi, taka B]: Rotira sliku sl za ugao oko take B Napomena: Vidi tako e i nain Rotacija oko take za ugao

Ogledanje Ogledanje[taka A, taka B]: Centralna simetrija take A sa centrom u B Ogledanje[prava g, taka B]: Centralna simetrija prave g sa centrom u B Ogledanje[konusni presek c, taka B]: Centralna simetrija konusnog preseka c sa centrom u B Ogledanje[mnogougao poly, taka B]: Centralna simetrija mnogougla poly sa centrom u B. Napomena: Pri tome se prave nova temena i stranice. Ogledanje[image sl, taka B]: Centralna simetrija slike sl sa centrom u B Ogledanje[taka A, prava h]: Osna simetrija take A u odnosu na pravu h Ogledanje[prava g, prava h]: Osna simetrija prave g u odnosu na pravu h Ogledanje[konusni presek c, prava h]: Osna simetrija konusnog preseka c u odnosu na pravu h Ogledanje[mnogougao poly, prava h]: Osna simetrija mnogougla poly u odnosu na pravu h. Napomena: Pri tome se prave nova temena i stranice. Ogledanje[image sl, prava h]: Osna simetrija slike sl u odnosu na pravu h Napomena: Vidi tako e i nain Centralna simetrija; mode Osna simetrija

Homotetija Homotetija[taka A, broj f, taka S]: Homotetino pomeranje take A sa centrom S i koeficijentom f Homotetija[prava h, broj f, taka S]: Homotetino pomeranje prave h sa centrom S i koeficijentom f Homotetija[konusni presek c, broj f, taka S]: Homotetino pomeranje konusnog preseka c sa centrom S i koeficijentom f Homotetija[mnogougao poly, broj f, taka S]: Homotetino pomeranje mnogougla poly sa centrom S i koeficijentom f. Napomena: Pri tome se prave nova temena i stranice. Homotetija[slika sl, broj f, taka S]: Homotetino pomeranje slike sl sa centrom S i koeficijentom f Napomena: Vidi tako e i nain Homotetija sa centrom i koeficijentom

40

5. tampanje i izvoz5.1.5.1.1.

tampanjePovrina za crtanje

U meniju Datoteka, Pregled pre tampanja, nalazi se opcija Povrina za crtanje. Kada se ona odabere, pojavljuje se prozor u kojem moete da zadate naslov, autora, datum, kao i razmeru odtampanog crtea (u cm). Napomena: Pritisnite tipku Enter nakon svake izmene da osveite pregled pre tampanja.

5.1.2.

Opis konstrukcije

Opis konstrukcije se prikazuje stavkom Opis konstrukcije iz menija Prikaz. Pojavie se prozor sa opisom konstrukcije, u kojem se iz menija Datoteka moe prikazati Prikaz pre tampanja. Napomena: Kolone Ime, Definicija, naredba, Algebra i Kontrolna taka mogu da se prikau ili sakriju u meniju Prikaz opisa konstrukcije. U prozoru za pregled pre tampanja opisa konstrukcije moete da unesete naslov, autora i datum pre tampanja crtea. Na dnu prozora za opis konstrukcije se nalazi traka za korake konstrukcije. Ona omoguava reprodukciju konstrukcije korak po korak (vidi: Traka za korake konstrukcije). Napomena: Kolona Kontrolna taka (u meniju Prikaz) omoguava da se odre eni koraci konstrukcije oznae kao kontrolne take, ime se postie grupisanje koraka konstrukcije. Upotrebom trake za korake konstrukcije se grupisani koraci konstrukcije prikazuju odjednom kao celina.

5.2.

Izvoz povrine za crtanje kao slike

U meniju Datoteka, Izvoz nalazi se opcija Povrina za crtanje kao slika. Njenim izborom prikazuje se prozor u kojem se bira razmera (u cm) i rezolucija (u dpi) izvezene slike. Pri tome se u dnu prozora prikazuje prava veliina slike u cm i dimenzije u pikselima. Prilikom izvoza povrine za crtanje moete da birate izme u sledeih formata: PNG Portable Network Graphics Ovo je rasterski grafiki format. Vea rezolucija (u dpi), znai bolji kvalitet slike (300dpi je dovoljno za uobiajene primene). PNG slikama ne treba naknadno menjati veliinu, jer se time sniava njihov kvalitet. 41

Slike u formatu PNG su pogodne za upotrebu u web stranicama (html) i u programu Microsoft Word. Napomena: Prilikom ubacivanja PNG slike u Word dokument (meni Insert, Image from file) postarajte se da veliina slike bude podeena na 100%. U suprotnom, veliina slike (u cm) e biti promenjena. EPS Encapsulated Postscript Ovo je vektorski grafiki format. EPS slikama se veliina moe menjati bez gubitka kvaliteta. EPS slike su pogodne za upotrebu u programima za vektorsko crtanje kao to je Corel Draw i za profesionalnu pripremu teksta u sistemima kao to je LaTeX. Rezolucija EPS slike je uvek 72dpi. Ova vrednost se koristi samo za izraunavanje prave veliine slike u cm i nema uticaja na kvalitet slike. Napomena: EPS format ne podrava mnogouglova i konusnih preseka. SVG Scaleable Vector Graphic (vidi: EPS format iznad) EMF Enhanced Meta Format (vidi: EPS format iznad) PSTricks za LaTeX efekat providnosti kod popunjenih

5.3.

Povrina za crtanje u bafer

U meniju Datoteka, Izvoz, nalazi se opcija Povrina za crtanje u bafer. Ona smeta sliku povrine za crtanje u bafer u PNF formatu (vidi: PNG format). Ta slika se zatim moe naredbom Paste prebaciti u druge programe (npr. Microsoft Word). Napomena: Ako elite da prebacite svoj crte sa tano odre enim dimenzijama (u cm), koristite stavku Povrina za crtanje kao slika iz menija Datoteka, Izvoz (vidi: Povrina za crtanje kao slika).

5.4.

Opis konstrukcije kao web-stranica

Da biste otvorili prozor Izvoz opisa konstrukcije, prvo treba da otvorite Opis konstrukcije iz menija Prikaz. U njegovom meniju Datoteka se nalazi stavka Izvoz kao web-stranica (html). Napomena: Pre izvoza opisa konstrukcije moete da prikaete ili sakrijete neke od kolona, pomou menija Prikaz u opisu konstrukcije. U prozoru za izvoz opisa konstrukcije moete da unesete naslov, autora i datum, kao i da izaberete da li elite da izvezete sliku povrine za crtanje i algebarskog prozora zajedno sa opisom konstrukcije. 42

Napomena: Izvezena HTML datoteka se moe prikazati u bilo kojem web itau (npr. Mozilla, Internet Explorer) i obra ivati u mnogim programima za obradu teksta (npr. FrontPage, Word).

5.5.

Dinamiki crte kao web-stranica

U meniju Datoteka, Izvoz, nalazi se opcija Dinamiki crte kao web-stranica (html). U gornjem delu prozora za izvoz moete da unesete naslov, autora i datum za va dinamiki crte. Na kartici Opte moete da unesete tekst koji e se pojaviti iznad i ispod dinamikog crtea (npr. opis konstrukcije i neke zadatke). Sam crte moe da bude ugra en direktno na web stranicu ili da se otvara klikom na dugme. Kartica Napredno sadri opcije koje utiu na funkcionalnost dinamikog crtea (npr. ikona za vraanje crtea u poetno stanje, da li se crte otvara u programu dvostrukim klikom na povrinu za crtanje) kao i opcije za izgled korisnikog interfejsa (npr. vidljivost trake sa alatima, irina i visina crtea). Napomena: Nemojte unositi prevelike vrednosti za irinu i visinu crtea kako bi on bio u celosti vidljiv u web itau. Prilikom izvoza dinamikog crtea se kreira nekoliko datoteka: html datotema (npr. krunica.html) ova datoteka u sebi sadri crte i tekst GGB datoteka (npr. krunica_worksheet.ggb) ova datoteka sadri konstrukciju u GeoGebri geogebra.jar (nekoliko datoteka) ove datoteke sadre program GeoGebra i ine va crte interaktivnim Sve datoteke (npr. krunica.html, krunica_worksheet.ggb i datoteke geogebra.jar) moraju da budu u istom folderu (direktorijumu) da bi dinamiki crte radio. Naravno, sve ove datoteke se mogu premestiti u neki drugi folder. Napomena: Izvezena HTML datoteka (npr. krunica.html) se moe prikazati u bilo kojem web itau (npr. Mozilla, Internet Explorer, Safari). Me utim, Java mora biti instalirana na raunar da bi dinamiki crte radio. Java se moe besplatno preuzeti na http://www.java.com. Ako elite da koristite svoje dinamike crtee na kolskim raunarima, zamolite administratora da instalira Javu na sve raunare. Napomena: Tekst u dinamikom crteu se moe menjati u mnogim programima za obradu teksta (npr. FrontPage, Word) otvaranjem izvezene HTML datoteke.

43

6. OpcijeGlobalne opcije se podeavaju u meniju Opcije. Za podeavanje pojedinanih objekata koristite Kontekstni meni.

6.1.

Vezivanje take za mreu

Odre uje da li se take postavljaju slobodno na povrini za crtanje ili se postavljaju na mesto najblieg preseka linija unapred zadate koordinatne mree.

6.2.

Ugaona mera

Odre uje da li se uglovi prikazuju u stepenima () ili radijanima (rad). Napomena: Unos je uvek mogu na oba naina (u stepenima i radijanima).

6.3.

Decimalna mesta

Omoguava podeavanje prikaza decimalnih mesta od 0 do 5.

6.4.

Neprekidnost

GeoGebra omoguava ukljuivanje / iskljuivanje heuristike za neprekidnost u meniju Opcije. Program koristi skoro heuristiki pristup da zadri presene take koje se pomeraju blizu njihovih starih pozicija da bi izbegao "skokovite" take preseka. Napomena: Ova heuristika je standardno iskljuena. Ona je tako e uvek iskljuena za korisniki definisane alate (vidi: Korisniki definisani alati).

6.5.

Oblik take

Odre uje da li e take biti prikazane kao kruii ili krstii.

6.6.

Stil pravog ugla

Odre uje da li se pravi uglovi oznaavaju pravougaonicima, takama ili kao i svi ostali uglovi.

6.7.

Koordinate44

Odre uje da li se koordinate prikazuju kao A = (x, y) ili A(x | y).

6.8.

Oznaavanje

Moete da odredite da li e se novim objektima automatski dodeljivati oznaka ili ne. Napomena: Vrednost Automatsko prikazuje oznake ako se objekti kreiraju dok je algebarski prozor prikazan.

6.9.

Veliina slova

Odre uje veliinu slova za oznake i tekst u tamparskim takama (pt).

6.10. JezikGeoGebra je viejezina. Ovde moete da promenite tekui jezik. To utie na sve unose, ukljuujui i nazive naredbi, kao i na sve rezultate.

6.11. Povrina za crtanjeOtvara prozor u kojem se podeavaju osobine povrine za crtanje (npr. koordinatna mrea i ose, boja pozadine).

6.12. Snimi podeavanjeGeoGebra pamti vaa podeavanja (podeavanja u meniju Opcije, tekui izgled trake sa alatima i povrine za crtanje) ako izaberete Snimi podeavanje iz menija Opcije.

45

7. Alati i traka sa alatima7.1. Korisniki definisani alati

GeoGebra omoguava da napravite alate koji su zasnovani na delovima crtea. Prvo je potrebno da pripremite konstrukciju za alat, a zatim da kliknete na Napravi novi alat u meniju Alati. Pojavie se prozor u kojem treba da odaberete ulazne objekte i rezultat alata, a nakon toga ime alata, odgovarajue naredbe i ikonu koja e ga predstavljati na traci sa alatima. Primer: Alat za kvadrat Konstruiite kvadrat poevi sa temenima A i B. Spojite temena u nainu Pravilan mnogougao i u prozoru za broj stranica mnogougla unesite broj 4, da dobijete kvadrat poly1. Odaberite stavku Napravi novi alat u meniju Alati. Odaberite kvadrat poly1 na kartici Izlazni objekti, tako to ete ga odabrati iz padajue liste ili klikom na njega na povrini za crtanje. Odaberite Ulazne objekte: GeoGebra automatski bira ulazne objekte (u ovom sluaju: take A i B). Ulazne objekte moete odabrati i iz padajue liste ili klikom na objekte na povrini za crtanje. Unesite ime alata i naziv naredbe za va novi alat. Alat e se pojaviti u traci sa alatima, a naredba se moe koristiti ravnopravno sa ostalim naredbama u polju za unos. Moete da izaberete proizvoljnu sliku kao ikonu za va novi alat. GeoGebra e automatski smanjiti sliku tako da stane u dugme za alat na traci sa alatima. Napomena: Korisniki definisan alat se moe koristiti i pomou mia i kao naredba u polju za unos. Svi alati se automatski snimaju zajedno sa konstrukcijom u "GGB" datotekama. U prozoru Upravljanje alatima (u meniju Alati) moete da obriete alat ili da mu izmenite naziv i ikonu. Pored toga, moete da snimite odabrane alate u datoteku za GeoGebra alate (GeoGebra Tools File - GGT). Ove datoteke se mogu posle otvoriti iz menija Datoteka, naredbom Otvori, ime se snimljeni alati mogu uneti u druge konstrukcije. Napomena: Otvaranje GGT datoteke ne menja trenutnu konstrukciju, dok je otvaranje GGB datoteke menja.

7.2.

Podeavanje trake sa alatima

Izgled trake sa alatima se moe promeniti Podesi traku sa alatima iz menija Alati. Ova mogunost je korisna kada se prave dinamiki crtei kod kojih elimo da uklonimo nepotrebne alate sa trake sa alatima. Napomena: Izgled trake sa alatima se snima zajedno sa konstrukcijom u GGB datoteku.

46

8. JavaScript interfejsNapomena: GeoGebrin JavaScript interfejs je interesantan korisnicima koji imaju iskustva u pisanju HTML koda. GeoGebra apleti poseduju interfejs ka JavaScript jeziku, to omoguava interakciju dinamikih crtea sa kontrolama na web stranicama. Na primer, mogue je kreirati dugme koje na sluajan nain generie odre ene elemente dinamike konstrukcije. Pogledajte dokument GeoGebra Applets and JavaScript za primere i informacije u vezi sa korienjem JavaScript jezika sa GeoGebra apletima.

47

IndeksAalati korisniki definisani, 46 upravljanje, 46 animacija, 23 apsolutna vrednost, 26 aritmetike operacije, 26 asimptota naredba, 34

Eekscentricitet naredba, 30 eksponencijalna funkcija, 26 ekstremum naredba, 32 element naredba, 29 elipsa naredba, 35

Bboja, 11 brisanje, 11 objekat, nain, 15 broj, 24 ogranienje vrednosti, 24

Ffaktorijel, 26 format prenos izgleda, nain, 15 formula, 21 funkcija, 25 eksponencijalna, 26 naredba, 36 zadata na intervalu, 26

Ccelobrojno deljenje naredba, 29 centralna simetrija, 20 oak naredba, 38

Ggama funkcija, 26 geometrijska preslikavanja, 39 geometrijski prozor, 11 glavna osa duina, naredba, 30 naredba, 35 gornja suma naredba, 30

Ddecimalna mesta opcije, 44 Dekartove koordinate, 24 deljenje, 26 dinamiki crte izvoz, 43 direktrisa naredba, 34 donja suma naredba, 30 du izme u dve take, nain, 16 naredba, 33 pretvaranje u pravu redefinisanje, 13 zadate duine iz take, nain, 16 duina naredba, 29 dvorazmera naredba, 31

Hhiperbola naredba, 35 homotetija naredba, 40 sa centrom i koeficijentom, nain, 20

Iif naredba, 36 ime naredba, 38 indeks, 24, 28 integral naredba, 30, 36 neodre eni, 36

48

odre eni, 30 iseak, 37 naredba, 37 iseak kruga naredba, 37 odre en centrom i dvema takama, nain, 18 odre en trima takama, nain, 18 iseak opisanog kruga naredba, 37 iteracija, 39 naredba, 31 izbrii naredba, 28 izgled prenos, 15 izvod naredba, 36 izvoz, 42 dinamiki crte, 43 opis konstrukcije, 42 opis konstrukcije kao web-stranica, 42 povrina za crtanje, 41 povrina za crtanje u bafer, 42

vektor, naredba, 33 kruni luk naredba, 37 odre en centrom i dvema takama, nain, 18 krunica kroz tri take, nain, 18 naredba, 35 odre ena centrom i jednom takom, nain, 17 odre ena centrom i poluprenikom, nain, 18 kubni koren, 26 kvadratni koren, 26

LLaTeX formula, 21 linija debljina, 11 vrsta, 11 lista, 26 logaritam, 27 logike naredbe, 29 operacije, 28 promenljive, 27 lokus, 20 nain, 20 naredba, 38 luk naredba, 37 odre en trima takama, nain, 18 luk kroz take naredba, 37

JJavaScript, 47 jedinini normalni vektor naredba, 33 jedinini vektor naredba, 33 jezik opcije, 45

Kkliza nain, 19 koeficijent afinosti naredba, 31 kontekstni meni, 11 kontrolna taka, 12, 41 konusni presek, 25 kroz 5 taaka, nain, 18 naredba, 36 koordinate, 24 Dekartove, 24 opcije, 44 polarne, 24 x koordinata, 26 y koordinata, 26 korisniki definisani alati, 46 kosinus, 27 kriva, 36 krivina naredba, 30

Mmaksimum naredba, 31 minimum naredba, 31 mnogougao nain, 16 naredba, 34 pravilan, nain, 16 mnoenje, 26

Nnaini, 13 opti naini, 13 nagib nain, 19 naredba, 29 najmanje celo, 27

49

najvee celo, 27 naredbe, 28 neprekidnost opcije, 44 niz, 38 ostale naredbe, 38 normala naredba, 34 prava, nain, 17 vektor, naredba, 33 nova taka nain, 15 nula funkcije naredba, 32

xOsa, yOsa, 25 oskulatorna krunica naredba, 35 osna simetrija, 20 osobine, 13 prozor, 13 ostatak, 29 ostatak deljenja naredba, 29 oznaavanje opcije, 45

Pparabola naredba, 35 paralela nain, 17 parametar naredba, 30 parametarska kriva, 36 podeavanje trake sa alatima, 46 pojednostavljen polinom, 36 polara naredba, 35 polara ili konjugovani poluprenik nain, 17 polarne koordinate, 24 polinom naredba, 36 polje za potvrdu za prikazivanje i skrivanje objekata, 19 polje za unos, 24 polukrunica nain, 18 naredba, 37 poluprava kroz dve take, nain, 16 naredba, 33 poluprenik naredba, 30 pomeranje, 39 nain, 13 povrina za crtanje, nain, 14 popuna, 11 poveanje, nain, 14 Poveanje/smanjenje, 12 povrina izme u dve funkcije, 29 nain, 19 naredba, 29 odre eni integral, 29 povrina za crtanje, 11 izvoz, 41

Oobim naredba, 30 obim krive naredba, 30 oblik take opcije, 44 odnos nain, 14 naredba, 28 oduzimanje, 26 ogledanje naredba, 40 ogranienje funkcije na interval, 26 vrednosti broja, 24 vrednosti ugla, 24 opcije, 44 decimalna mesta, 44 jezik, 45 koordinate, 44 neprekidnost, 44 oblik take, 44 oznaavanje, 45 povrina za crtanje, 45 snimi podeavanje, 45 stil pravog ugla, 44 ugaona mera, 44 veliina slova, 45 vezivanje take za mreu, 44 opis, 12 opis konstrukcije, 12 izvoz, 42 kao web-stranica, izvoz, 42 tampanje, 41 opti naini nain, 13 ose naredba, 34 skaliranje, 12

50

opcije, 45 tampanje, 41 u bafer, izvoz, 42 pozadinska slika, 22 prava, 25 kroz dve take, nain, 16 naredba, 34 pretvaranje u du, redefinisanje, 12 simetrala, nain, 17 simetrala, naredba, 34 pravac naredba, 33 pravilan mnogougao nain, 16 pravougaonik za izbor, 14 prenik naredba, 35 preimenovanje, 11 prenos izgleda nain, 15 presek dva objekta, nain, 15 naredba, 32 preslikavanja geometrijska, 39 prevojna taka naredba, 33 prikai / sakrij oznaka, nain, 14 prikai / sakrij objekat, nain, 14 prikazivanje, 11 providnost slika, 22

centralna, nain, 20 simetrija osna, nain, 20 sinus, 27 skalarni proizvod, 26 slika, 21 oak, 38 pozadinska, 22 pozicija, 22 providnost, 22 ubacivanje, 21 sluajan broj, 26 smanjenje, nain, 14 snimi podeavanje opcije, 45 sporedna osa duina, naredba, 30 naredba, 35 sredite nain, 15 naredba, 32 tampanje, 41 opis konstrukcije, 41 povrina za crtanje, 41 stepenovanje, 26 stil pravog ugla opcije, 44

Ttaka, 24 naredba, 31 postavljanje na pravu, redefinisanje, 12 uklanjanje sa prave, redefinisanje, 12 vezivanje za mreu, opcije, 44 tangens, 27 tangenta nain, 17 naredba, 34 Tejlorov polinom naredba, 36 tekst, 21 nain, 21 teme naredba, 32 teite naredba, 32 trag, 11 traka sa alatima podeavanje, 46 traka za korake konstrukcije, 12, 41 translacija naredba, 39 za vektor, nain, 20 trigonometrijska funkcija arkus kosinus, 27

Rrastojanje nain, 18 naredba, 29 razvoj polinom, 36 redefinisanje, 11, 12 rotacija naredba, 39 oko take za ugao, nain, 20 oko take, nain, 14

Ssabiranje, 26 sakrivanje, 11 signum, 26 simetrala ugla nain, 17 naredba, 34 simetrija

51

arkus kosinus hiperbolini, 27 arkus sinus, 27 arkus sinus hiperbolini, 27 arkus tangens, 27 arkus tangens hiperbolini, 27 kosinus, 27 kosinus hiperbolini, 27 sinus, 27 sinus hiperbolini, 27 tangens, 27 tangens hiperbolini, 27 trigonometrijska funkcija, 26

Vvektor, 24 iz take, nain, 16 naredba, 33 odre en dvema takama, nain, 15 veliina, 11 veliina slova opcije, 45 vrednosti izmena, 23

Xx koordinata, 26 xOsa, 25

Uubacivanje slika, nain, 21 tekst, 21 ugao, 24 ispupen, 24 nain, 19 naredba, 31 ogranienje vrednosti, 24 zadate veliine, nain, 19 ugaona mera opcije, 44 upravljanje alatima, 46 uslovna funkcija naredba, 36

Yy koordinata, 26 yOsa, 25

Zzagrade, 26 zaorkuivanje, 27 ia naredba, 32

52