FUNGSI TURUNAN (DERIVATIF)

Definisi

Contoh:

Contoh :

Turunan Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat

Sifat-Sifat Turunan

Jika ksuatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsifungsi dalam x sehingga u = f(x) dan v =g(x) maka berlaku:

Contoh:

Contoh Diferensial Perkalian Fungsi

f(x) = (3x2

– 6x) (x + 2)

Cara 1:

Misal : U = 3x2

– 6x

U1

= 6x – 6

V = x + 2

V1

= 1

Sehingga:

f1(x) = (6x – 6)(x+2)+(3x

2+6x).1

f1(x) = 6x

2+12x – 6x – 12+3x

2 – 6x

f1(x) = 9x

2 – 12

Contoh :

Contoh Diferensial Pembagian Fungsi

4 V 1 -4x V

3 U 23x U

:Misal1-4x

23x f(x)

1

1

===

+=

+=

21

2

111

1)(4x

2)4(3x1)3(4x(x)f

V

UV -VU(x)f

:Maka

−

+−−=

=

18x16x

11(x)f

18x16x

812x312x(x)f

21

21

+−

−=

+−

−−−=

Diferensial Fungsi Komposit

Tentukan turunan dari fungsi f(x) = (5x2

– 1)2

Jawab :

f1(x) = 2(5x

2– 1) (10x)

f1(x) = 20x (5x

2– 1)

f1(x) = 100x

3– 20x

Turunan Fungsi Trigonometrik

• jika f(x) = cos x, maka f ’(x) = – sin x

• jika f(x) = sin x, maka f ’(x) = cos x

• jika f(x) = tg x, maka f ’(x) = sec2 x

• jika f(x) = ctg x, maka f ’(x) = – cosec2 x

• jika f(x) = sec x, maka f ’(x) = sec x tg x

• jika f(x) = cosec x, maka f ’(x) = – cosec x ctg x

Contoh:

• Tentukan turunan fungsi y = 5 cos (x2 – 1)

Jawab:

y’ = -5 sin u (2x) = -10 sin (x2 – 1)

Tentukan turunan fungsi y = sin ln x

Jawab:

y’ = (cos ln x) 1/x = 1/x cos ln x

Turunan Fungsi Siklometri• Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri

• Mencari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus)

Turunan Fungsi Logaritma

Jika y = alogx, makaaxdx

dy

ln

1=

5ln2

1

ln

1,2log

:

5 ===axdx

dyy

contoh

Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik

Jika y = alog u, dimana u = g(x), maka:

)6(

log5

)2)(3(

log5

)2(

5

2

3

log

log

)2(

5

)2(

)3()2(

)2(

)3(:misalkan

2

3log :contoh

log

22

22

−−=

+−=

+•

+

−=

•=

+=

+

−−+=

+

−=

+

−=

•=

xx

e

xx

e

x

x

x

e

dx

du

u

edx

dy

xx

xx

dx

du

x

xu

x

xy

dx

du

u

edx

dy

a

a

Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik-berpangkat

Jika y = (alogu)n, dimana u = g(x) dan n adalah konstanta, maka :

exxx

exx

xx

ex

dx

dy

xdx

duxu

xy

dx

du

u

e

du

dy

dx

dy a

log)5(log6

5

log)5(log30

)10(5

log)5(log3

105misalkan

)5(log :contoh

log

22

2

22

2

22

2

32

==

=

=→=

=

••=

Diferensiasi fungsi logaritmik-Napier

Jika y = ln x, maka dy/dx = 1/x

Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5

Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier

)6(

5

)2(

5

)3(

)2(1

)2(

5

)2(

)3( :misalkan

2

3ln :contoh

1

22

2

−−=

+•

−

+=•=

+=

+

−=

+

−=

•=

xxxx

x

dx

du

udx

dy

xdx

du

x

xu

x

xy

dx

du

udx

dy

Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier-berpangkat

Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n : konstanta

Maka :

22

2

22

2

32

)5(ln6

)10(5

1)5(ln3

105misalkan

)5(ln :contoh

1

xx

xx

xdx

dy

xdx

duxu

xy

dx

du

udu

dy

dx

dy

=

=

=→=

=

••=

Turunan Fungsi Eksponensial

Contoh:

• Tentukan turunan fungsi dari y = 5x

• Jawab :

1ln sebab

juga, maka, hal Dalam

5ln5ln

=

==

==

e

edx

dyey

aadx

dy

xx

xx

Diferensasi fungsi komposit - eksponensial

• Jika y = au dimana u = g(x), maka :

dx

due

dx

dyey

xxdx

duaa

dx

dy

xdx

duxuy

dx

duaa

dx

dy

uu

xxu

x

u

==

===

=→−==

=

−−

−

maka, hal dalam : Khusus Kasus

9ln9)6()6)(9(ln9ln

643misalkan 9:Contoh

ln

4343

243

22

2

Diferensiasi fungsi kompleks

Jika y = uv, dimana u =g(x) dan v =h(x)

Maka :

)4ln34(4

4ln1216

)3(4ln4)4(4)(

ln

3/

4/4 :misalkan ,4 :contoh

ln

23

33

33

3

22

213

1

23

1

xx

xxx

xxxxx

dx

dvuu

dx

duvu

dx

dy

xdxdvxv

dxduxuxy

dx

dvuu

dx

duvu

dx

dy

x

xx

xx

vv

x

vv

+=

+=

+=

••+•=

=→=

=→==

••+•=

+

++

−

−

−

Diferensiasi fungsi balikan

Jika y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang saling berbalikan(inverse functions)

Maka :

3

3

1

)(3

1

3

1

/

1

,

:

/

1

3/2

3/223/12

3/13

−

=

====

==

=

y

dy

dx

yyxdxdydy

dx

yxinversnyaxy

contoh

dxdydy

dx

Soal:

... 3x4x f(x) 2) 2 =+=

...=−= 62 4x)(3x21f(x) 3)

243)()1 24 −+−= xxxxf

xxxf

4

2

1)()4

2+=

)2)(3()()5 12 −+−= xxxxf

42

44)()6

2

−

++=

x

xxxf

)32

2log()()7

−

+=

x

xxf

32 )7log()()8 −= xxf

)2

22ln()()9

−

+=

x

xxf

xxf

2sin)()10 =

Diferensiasi Implisit

• Jika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak mungkindieksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh dengan mendiferensiasikansuku demi suku, dengan menganggap y sebagai fungsi dari x

( )

14

2

28

42

4228

02248

tentukan ,024

:

22

2

2

22

+

−=

+

−=

−=+

=+−+

=+−

xy

yx

xy

yx

dx

dy

yxdx

dyxy

dx

dyxy

dx

dyxy

dx

dyyxxy

contoh

Diferensiasi Implisit

Contoh:

• Tentukan turunan implisit dari 2x – 2y + sin (xy) = 5

Contoh:

Contoh:

Contoh:

Contoh:

Contoh:

Contoh:

Turunan Tingkat Tinggi

Turunan Fungsi Parameter

• Apabila disajikan persamaan berbentuk:

x = f(t)

y = g(t)

• maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dengan cara sebagai berikut.

• Dari x = f(t) dibentuk t = h(x) dengan h fungsi invers dari f. Nampak bahwa y = g(t) merupakan bentuk fungsi komposisi

y = g(t)

= g(h(x))

Contoh:

Contoh:

Soal:

• Tentukan turunan fungsi implisit dari 2x3 y – 7y – x2 + 1 = 0

• Tentukan turunan fungsi implisit dari

• Tentukan turunan kedua dari fungsi parameter :

• x = t + t3

• Y = 3t – 2t2