FUNCIÓN SENOFUNCIÓN SENO(1º BACHILLERATO CIENCIAS DE LA

NATURALEZA Y DE LA SALUD/TECNOLOGÍA)

• Definición. Dominio y Conjunto Imagen.• Periodicidad.• Acotación. Continuidad. • Intervalos crecimiento/decrecimiento. • Máximos y mínimos.• Gráfica.• Ejercicios.

DEFINICIÓNLa FUNCIÓN SENO es la aplicación que hace corresponder a cada número real x, el seno del ángulo que mide x radianesf(x) = sen xDOMINIO

Teniendo en cuenta que sen x = y que r 0 , se verifica que sen xR xR.

rbx

CONJUNTO IMAGEN

O r

La ordenada del punto P , bx, debe verificar -r bx rMultiplicando por todos los miembros de la desigualdad obtenemos

1sen1

xr

r

r

b

r

r xr

1

Por tanto

Por tanto Dom f = R

Imf = [-1, 1] INICIO

P(ax,bx)

x

PERIODICIDAD

Se verifica bx = bx+2

Entonces

sen x = = = sen(x+2) xR

r

bxrbx 2

la función seno es periódica de periodo 2

Este resultado nos permite hacer el estudio de la función en el intervalo [0, 2] y generalizar las conclusiones obtenidas a todos los intervalos de amplitud 2

Por tanto

INICIO

Q(ax+2,bx+2)

x+2

P(ax,bx)

x

O r

Los ángulos “x” y “x + 2” tienen sus lados sobre las mismas semirrectas.

ACOTACIÓNACOTACIÓN

la función seno está acotada inferior y

superiormente

CONTINUIDADsen xo R , xo R

oxx

xxxxx

r

b

r

blimxlim o

oo

sensen

la función seno es continua en R

O r

xo

P(axo, bxo

)Q(ax,bx)

x

Hemos visto anteriormente que -1 sen x 1

Por tanto

Por tanto

INICIO

INTERVALOS DE CRECIMIENTO/DECRECIMIENTO

O r

y

Q(ay, by)x < y bx < by sen x < sen y r

b

r

b yx

La función es creciente en el intervalo [0,/2]

O r

x < y bx > by sen x > sen y r

b

r

b yx

La función es decreciente en el intervalo [/2, ]

yQ(ay,by)

P(ax,bx)

x

x

P(ax,bx)

En el primer cuadrante:

En el segundo cuadrante:

x < y bx > by sen x > sen y r

b

r

b yx

x < y bx < by

sen x < sen y

r

b

r

b yx

La función es creciente en el intervalo [3/2, 2]

INICIO

O ry

Q(ay,by)

x

P(ax,bx)

O ryQ(ay,by)

x

P(ax,bx)

En el tercer cuadrante:

En el cuarto cuadrante:

La función es decreciente en el intervalo [,3/2]

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

• Por ser la función seno creciente en [ 0, ],

decreciente en [ , ] y continua en , la

función seno alcanza un máximo en el punto x =

en el que toma el valor 1

2

2

2

2

•Por ser la función seno decreciente en [ , ],

creciente en

[ , 2 ] y continua en , la función seno

alcanza un mínimo en el punto x = en el que

toma el valor -1

2

3

2

3

2

3 2

3

la función seno presenta un máximo en el punto (/2,1) y un mínimo en el punto (3/2,-1)

Por tanto,

INICIO

GRÁFICATeniendo en cuenta el estudio realizado en el intervalo [0, 2], y calculando algún valor auxiliar:

02

2

32

1

-1

2

2

3

x sen x

0 0

1

0

-1

2 0

Habíamos visto que la función seno es periódica, de periodo 2, por tanto, no tenemos más que repetir la gráfica anterior en intervalos de amplitud 2

INICIO

-2 - 0 23 4

2

2

3

2

52

72

2

3

1

-1

EJERCICIOS

INICIO

4) q(x) = sen x Si quieres ver la solución

pincha aquí: SOLUCIÓN

A partir de la gráfica de la función SENO representar gráficamente las funciones:

SOLUCIÓN

1) g(x) = sen x + 1Si quieres ver la solución

pincha aquí:

SOLUCIÓN

2) h(x) = sen (x+1)Si quieres ver la solución

pincha aquí:

SOLUCIÓN

3) p(x) = sen x Si quieres ver la solución

pincha aquí:

Teniendo en cuenta que para cada valor de “x” la función “g” toma como valor una unidad más que la función SENO, la gráfica quedará “desplazada hacia arriba” una unidad

EJERCICIO 1

0 32--2

2

1

-1

Teniendo en cuenta que para cada valor de “x-1” la función “h” toma el mismo valor que la función SENO en “x”, la gráfica quedará “desplazada hacia la izquierda” una unidad

EJERCICIO 2

1

-1

0 -1

12

-1 2 -1

| |

Teniendo en cuenta que p(x) =|sen x|=

para los valores de “x” en los que la función SENO toma valores positivos, su gráfica coincide con la de “p”; Para los valores de “x” en que la función SENO toma valores negativos, la gráfica de “p” es simétrica de ella respecto del eje OX

sen xsi sen x 0 -sen xsi sen x < 0

EJERCICIO 3

1

0

2 3 4- -22

2

32

| |

Teniendo en cuenta que q(x) = sen|x|=

para valores positivos de “x” la función SENO toma los mismos valores que la función “q”, por tanto sus gráficas coinciden en estos puntos; para valores negativos de “x” las dos funciones toman valores opuestos.

sen x si x 0 sen(-x) = - sen x si x < 0

EJERCICIO 4

0 23 4--2

1

-1

2

2

2

3