memorias descifrar a la función seno - uagro

Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, Octubre 2017

4°r. Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT Acapulco, Guerrero 4, 5 y 6 de octubre 2017

Memorias Descifrar a la función Seno

Jesús Eduardo González López (Becario)

[email protected] Unidad Académica Preparatoria No. 11, Universidad Autónoma de Guerrero.

María Esther Magali Méndez Guevara (Asesor)

[email protected] Facultad de Matemáticas – Acapulco Universidad Autónoma de Guerrero.

Marcela Ferrari Escolá (Co-Asesor)

[email protected] Facultad de Matemáticas – Acapulco Universidad Autónoma de Guerrero.

Introducción

Este documento reporta una experiencia de investigación, en tanto que se participó en un

proyecto exprofeso para el verano de Investigación Científica “Asómate a la Ciencia este Verano”.

El objetivo de la experiencia fue desarrollar argumentos matemáticos a partir de Situaciones de

Modelación y Covariación y así, en el proceso, ser partícipes del diseño y análisis de situaciones

de aprendizaje vivenciadas en esta experiencia de investigación.

El desarrollo de las actividades estuvo coordinado por dos investigadoras de la Facultad de

Matemáticas, la Dra. María Esther Magali Méndez Guevara y la Dra. Marcela Ferrari Escolá.

Además se contó con un grupo de estudiantes de la Licenciatura de Matemáticas, cuyo perfil es de

Matemáticos Educativos, quienes estuvieron apoyando en la realización de las actividades, algunos

de ellos tesistas.

Los diseños de aprendizaje que se desarrollaron durante este verano de investigación se

sustentan en la Teoría Socioepistemológica, la cual sostiene que las construcciones de

conocimiento son una producción social que cambia y transforma la naturaleza y la sociedad; que

los conocimientos tienen un origen y una función social asociada a un conjunto de prácticas, de

Tlamati Sabiduría Volumen 8 Número Especial 2, 2017

modo que existe una relación entre la naturaleza del conocimiento y las actividades mediante las

cuales y en razón de las cuales dichos conocimientos son producidos (Cantoral, 2013).

Desde esta postura teórica, las actividades que se desarrollaron trataron conceptos del

cálculo mediante la modelación y covariación que desarrollan saberes matemáticos, que adquieren

significado, ante la situación de aprendizaje. Los temas tratados fueron: función, función

polinómica, función exponencial, función logarítmica y función seno, y en los resultados se dieron

evidencia del cómo se construyen argumentos matemáticos por los participantes a pesar de que no

hay un trabajo previo escolar.

Existen diversas acepciones sobre modelación, y sobre su rol en la enseñanza de las

matemáticas, una visión generalizada es concebirla como un proceso establecido que conviene

enseñar o implementar, porque ayuda a aplicar conocimientos matemáticos (Blum & Borromeo,

2009); o bien es empleada como método para enseñar matemáticas mediante la resolución de

problemas (Gómez-Chacón & Maestre, 2008). Ante estas posturas la modelación se muestra ajena

de quiénes la desarrollan, y se olvida que ésta es, en sí misma, un proceso de construcción de

conocimiento matemático (Cordero, 2006). En nuestros trabajos postulamos que en este proceso

existen elementos y prácticas esenciales y con esto se formula una categoría para la modelación

escolar que propicia el desarrollo de redes de usos de conocimiento matemático ante situaciones

específicas (Méndez, 2013; Méndez & Cordero, 2014; Tocto & Méndez, 2015; Cen, Zaldívar,

Briceño, Méndez, & Cordero, 2014).

En cuanto a covariación, argumento que entrelazamos al de modelación, nos obliga a

percibir, de manera simultánea, dos cantidades variando de manera particular, es decir, reconocer

la yuxtaposición de dos patrones de crecimiento. Si en un fenómeno podemos reconocer que las

variables involucradas cambian con una diferencia constante (en la primera, segunda, etc,

diferencia) estamos en presencia de curvas polinomiales lo que nos permite reflexionar sobre una

covariación de tipo lineal. Si en cambio el fenómeno involucra un crecimiento lineal con otro

exponencial, estamos en presencia de una covariación logarítmica (Ferrari, Martínez, Méndez,

2016) que nos permite estudiar a la función exponencial y a la función logarítmica. A

investigadores como Carlson, Jacobs, Coe, Larsen & Hsu (2002); Hitt, & González-Martín (2015);

Johnson (2015); Oehrtman, Carlson, & Thompson (2008) entre otros, les interesa estudiar el

desarrollo del razonamiento covariacional es decir, estudiar las actividades cognitivas donde se

involucra la coordinación de la variación de dos cantidades mientras se atiende la forma en que

Memorias del 4° Encuentro de Jóvenes en la Investigación de Bachillerato-CONACYT

Acapulco, Guerrero 4, 5 y 6 de octubre 2017

cada una cambia en relación con la otra (Carlson, Jacobs, Coe, Larsen & Hsu, 2002, p.354). En

nuestras investigaciones nos interesa también analizar los argumentos que surgen en la discusión

de los participantes ante situaciones específicas, donde la modelación está presente (Ferrari &

Farfán, 2010) siendo la argumentación la que involucra resignificados, procedimientos, procesos y

objetos cristalizándose en cada situación (Cordero, 2007)

Objetivo y metódología general

El objetivo planteado para este verano fue el desarrollar argumentos matemáticos a partir

de situaciones de covariación y modelación. En dicho proceso los alumnos serían partícipes del

diseño y analizarían las situaciones de aprendizaje mismo que los hizo vivir una experiencia de

investigación.

Se trabajó con 6 estudiantes de nivel medio superior de los cuales 5 provienen de distintas

preparatorias pertenecientes a la UAGro (Región Costa Chica, Costa Grande y Región Montaña)

quienes se inscribieron al Programa Verano de Investigación Científica “Asómate a la Ciencia este

Verano” UAGro. 2017, el sexto participante pertenece al Colegio de Bachilleres Plantel 2 en

Acapulco y estuvo participando de manera voluntaria.

Para lograr nuestro objetivo general se desarrollaron los siguientes diseños:

• I. Estudio del Movimiento Rectilíneo Uniforme. En este diseño de aprendizaje se

trabajó la modelación del movimiento mediante las gráficas de funciones a trozo, el

comportamiento de las funciones tratadas fueron afines y constantes.

• II. Caracterización de Funciones Polinómicas. El objetivo de este diseño de

aprendizaje se trabajó en estudio de las variaciones globales y locales para la caracterización

de funciones polinómicas.

• III. Estudio de la función exponencial. Las actividades de este diseño promovió la

caracterización de la función exponencial mediante la covariación de dos progresiones,

aritmética y geométrica invitando a la generación de una red de modelos.

• IV. Estudio de la función logarítmica. Las actividades de este diseño promovió la

caracterización de la función logarítmica mediante la covariación de dos progresiones,

geométrica y aritmética así como el tránsito entre la función y su derivada.


• V. Estudio de la función Seno. Las actividades de este diseño promovió la

caracterización de la función senoidal mediante el estudio de la covariación de fenónemos

periódicos .

• VI. Análisis de comportamientos numéricos. Esta actividad consistió en plantear a

los jóvenes una serie de tablas numéricas en donde debían identificar los comportamientos

tendenciales y plantear una situación para esos datos. Se esperaba que ahí se reflejará lo

aprendido en las sesiones anteriores.

La organización del trabajo fue la siguiente:

• Se formaron 2 equipos de 3 integrantes que se fueron rotando a consideración del

coordinador de los diseños de aprendizaje.

• Se contó con un equipo de investigación que estuvo formado por estudiantes de la

Licenciatura en Matemáticas y el Doctorado en Matemática Educativa, quienes desarrollaron

actividades de coordinación académica y recolección de datos. En cada sesión hubo 2

camarógrafos encargados de grabar a detalle el desarrollo de las actividades y 2

coordinadores encargados del diseño y gestión de la actividad matemática.

• Para la recolección de datos se emplearon dos cámaras móviles y una cámara de

video fija para tener un panorama general, se realizó la grabación del audio, grabación de

pantalla (en los casos donde se usó la computadora), se emplearon sensores de movimiento

y calculadoras graficadoras.

• Las sesiones de trabajo diario fueron de aproximadamente 5 hrs. incluyendo un

receso para la comida de 30 o 45 minutos.

Para fines del presente trabajo sólo reportaremos una síntesis de lo acontecido durante las

actividades desarrolladas para caracterizar la función seno.

Objetivo y Gestión del Diseño

El objetivo planteado para las dos sesiones que reportamos en este trabajo fue caracterizar

a la función senoidal iniciando la discusión al solicitar que describieran el movimiento de un

mosquito parado en el aspa de un ventilador que gira. Esperábamos en esta actividad que realizaran

gráficas cartesianas donde distinguieran las variables involucradas “tiempo-posición” mostrando

su percepción de un movimiento periódico. La segunda actividad fue diseñada en GeoGebra para



que construyeran puntos de las posiciones del mosquito utilizando como variables “el camino que

recorrió vrs. distancia a un sensor que se mueve horizontalmente siguiendo al mosquito”.

Figura: Imágenes tomadas de [1] [2]

Los estudiantes trabajaron en equipos de tres integrantes, en particular reportamos las

discusiones logradas en el equipo conformado por Jesús, Juan y Byron con el uso de GeoGebra

para caracterizar el movimiento periódico. Se analizaron los videos y las producciones escritas,

transcribiendo algunos episodios que consideramos dan evidencia del desarrollo de argumentos

alrededor de la función senoidal.

Resultados

Después de hacer nuestra hipótesis sobre la representación en la gráfica de la animación del

movimiento del mosquito que observamos, y compartirlo con el otro equipo, trabajamos con la

construcción geométrica en GeoGebra. Se nos proporcionó un recetario para elaborarlo en el cual

se solicitaba que se colocara un punto sobre una circunferencia unitaria (ver figura 1), medir el arco

de circunferencia que produce con el punto “B”, valor que nos indicaba la abscisa del punto de la

curva en tanto que la altura del mismo, trazar una recta horizontal que pasa por el punto, nos

indiciaba la ordenada del mismo. Repetimos este procedimiento varias veces para lograr visualizar

la curva involucrada.

Figura 1: Imagen donde se observa a lo que llegamos.


2π

Al finalizar la construcción nos detuvimos a pensar ¿Cómo podríamos construir más

puntos?, si seguíamos construyendo con el mismo método que nos proporcionaron no sería posible

construirlos, sólo se llega al primer periodo.

Figura 2: Primer periodo.

Episodio 1: Más puntos después del primer periodo.

(Transcripción del video. Tiempo (2:35 a 6:15))

Marithe: Se acuerdan que de aquí a aquí es π y de aquí a acá es π. Y si se va a poner otro acá ¿Cuánto tiene que

valer?

Byron: ¡π!

Marithe: Ahora lo que propone Vicente es que cuando tu pongas (en la entrada) [x=2π] que es la vuelta, más

lo que mide esté (refiriéndose al arco), por ejemplo tú quieres escoger esté y lo colocas [x=2π+b]. A ver

inténtenle como dice Vicente.

Jesús: ¡oh sí!

Byron coloca en la entrada [x=2π+b] y aparece una línea más adelante del primer periodo.

Hacen una paralela, del punto (z) que está colocada en la circunferencia al eje de las y, y en la

intersección de las nuevas dos líneas colocan el punto A. Movieron el punto Z en el perímetro de

la circunferencia observan que el punto A también se movía en la curva imaginaria, dibujaba el

segundo periodo que lo unía con el primero. El equipo se dio cuenta de que sí funcionó el método,

y comprobaron que con este método sí podrían graficar los periodos que necesitaran.

Figura 3: Un punto después del primer periodo.



Episodio 2: Puntos hacia la izquierda.


Marithe: Y si construyen puntos hacia atrás. ¿Se acuerdan de que función es está?

Juan: si

Marithe: Y si lo ponemos aquí. (Ella se refiere en la entrada de Geogebra). ¿Cómo se llama la función?

Juan: seno

Marithe coloca en la entrada [sen(x)] y se dibujó la función.

Figura 4: Representación gráfica de la función “sen(x)”.

Marithe: Y si se dan cuenta bueno de cómo se va para adelante y como va para atrás.

Jesús: oh, sería restar entonces. Poner un punto, el valor de su arco restarle -2π.

Marithe: Y ahora aquí si le quieren ocultar más elementos, porque ya tenemos más elementos (se refiere a que

con muchos puntos y rectas uno se puede confundir).

Byron crea un nuevo punto llamado N, el valor del arco (q1) y coloca en la entrada [x=-

2π+q1]. Se nos dificultó un poco pero se logró poner puntos hacia la izquierda. Y se logró hacer

más periodos hacia la izquierda.

Figura 5: Descubrimiento del primer punto hacia la izquierda.

Luego de construir puntos a la derecha e izquierda, nos desafiaron a cambiar el radio de la

circunferencia.


Episodio 3: La expresión algebraica.


En esté capitulo discutimos ¿qué pasaría si cambiamos el radio de la circunferencia

moviendo el punto B a dos unidades?

Marithe: Si nos fijamos ya no es, ya no es está expresión. Ahora ¿qué expresión va a ser para unir los nuevos

puntos? Inténtenle.

Jesús: Seno de 2 x

Marithe: A ver.

Byron: ¡No! Probemos con otro.

Figura 6: Buscando la adaptación de la curva.

Juan: sen(4x)

Byron: ¡No!

Marithe: Tú que dijiste Byron.

Byron: ½

Figura 7: Primer hallazgo.

Sen(4x)

Sen(2x)

Sen(x)

Sen[(1/2)*x]



Byron reflexionó sobre que si x se multiplicaba por un número mayor que 1, mientas el

número sea más grande el periodo se reduce y si a x se multiplica por un número menor a 1, pero

mayor que 0 (en fracciones) el periodo aumenta.

Ahora que su periodo coincidía con los nuevos puntos, tenían que encontrar que la curva

coincidiera con la amplitud de los nuevos puntos cuando el radio de la circunferencia es 2.

En el video no hubo una discusión sobre cómo se encontró, solo fueron experimentando

con la fórmula encontrada.

Juan colocó 2*Sen(x) y obtuvo una curva con una amplitud a la que querían. Solo

reflexionaron un poquito para decir que la fórmula correcta es 2*Sen[(1/2)*x]. Y así fue como

demostraron que podían encontrar la expresión si modificaban el radio.

Figura 8: Segundo hallazgo.

Figura 9: Fusión de las formulas, representación gráfica actualizada.

2*Sen(x)

Sen[(1/2)*x]

2*Sen[(1/2)*x]


4π

Episodio 4: Nuestro análisis.


Dra. Marcela: Ahora ya tenemos la idea. Ahora la pregunta es ¿Por qué funciona?

Marithe: ¿Y si mi radio es de 8345? (la pregunta se refiere a ¿cuál sería el valor de la amplitud?

Juan: ¡Seria 8345!

Marithe: ¡Muy bien Juan eres un genio!

Comprendimos que si tenemos el radio de una circunferencia sabremos la amplitud que

tomara la curva, que es un dato importante para la nueva fórmula.


Jesús: El perímetro, si medimos el perímetro de cualquier circunferencia que creemos, el valor será de aquí

hasta aquí (se refiere al primer periodo, el valor del primer perímetro de la circunferencia es igual a desde el

punto de la circunferencia a donde termina el primer periodo)

Episodio 5: Explicación del análisis.

La instructura en el episodio anterior nos planteó la pregunta de ¿porque funcionaba?,

colocar en Geogebra la fórmula que nosotros habíamos descubierto, ¿cuál era el propósito de

colocar los números que cambiaban cada vez que nuestra circunferencia era más grande o más

pequeño? Mi respuesta sería lo que explico en este ejemplo.

Ejemplo: Lo que está en color verde y azul son las cantidades que serán

modificadas cuando el radio de la circunferencia aumenta o disminuye.

F(x)=A*sen(x); en esta expresión el elemento A es la que nos establece la amplitud.

F(x)=sen(Bx); en esta expresión el elemento B es la que nos establece el periodo.

Figura 10: Amplitud y periodo.

2*Sen[(1/2)*x]

2



Analizando el periodo y la amplitud de la construcción gráfica en el plano cartesiano,

podemos afirmar que el tiempo, que es constante, que tarda el mosquito en dar una vuelta es

representada por el primer periodo que se observa en la gráfica (figura 10), y la posición del

mosquito es representada por la amplitud. Mostrando la percepción de un movimiento periódico

que sufre el mosquito.

Ahora, lo que trató de decir la instructora en el video (5:50 hasta terminar el video) fue que

la medida del radio (R), la medida del ángulo (α) y la medida del arco, que se forman al trazar un

punto por donde pasa la función seno, son muy importantes para comprender los radianes, lo cual

nosotros aún no lo identificábamos.

Analizaremos la función seno con un radio de 1.

Nosotros para calcular en próximo punto por donde pasará la curva de la función seno,

primero colocábamos un punto en la circunferencia “C”, luego con una herramienta Geogebra nos

medía el valor de la longitud del arco que se formaba “d”, para después colocar en la entrada [x=d]

y nos traza una línea paralela al eje de la “y”, más adelante trazar una paralela de punto “C” al eje

de las “x” la intersección entre esas dos rectas es el nuevo punto (A_1). Al trabajarlo de esta

manera, el ángulo no lo tomamos en cuenta, sólo la medida del arco, pero es importante saber por

qué con el ángulo podemos calcular la medida del arco en radianes.

Observemos el siguiente ejemplo:

Figura 11: Observemos de cerca.

α


El ángulo α=60°, el radio de la circunferencia es R=1 y el arco (H a C), explica la

instructora, son muy importantes estos datos ya que podremos saber el valor del arco en radianes

con la siguiente definición:

La medida de ángulo en grados (60°) es igual a la medida del arco (H a C) entre la medida

del radio (R=1) y nos da como resultado la medida del ángulo en radianes.

α= HC/R 60°=(1.5/1)=1.5 rad ó π/3

En conclusión, encontramos la medida del arco en radianes a través del ángulo, eso explica

también que la medida de toda la circunferencia es igual a 2π y de ahí explicamos el valor del

primer periodo.

Figura 12: Representación gráfica a lo que llegamos.

La definición que mencione anteriormente será muy útil, si se quiere encontrar el valor del

arco en radianes, funcionara con distintas medidas de los tres datos.

Otro análisis en la construcción de la función seno, si comparamos la función seno con

distintas medidas, una de radio (r=1) y otro de radio (R=2), conservando la medida del ángulo,

observamos que los triángulos rectángulos que se forman son semejantes.

Como aprendimos en la explicación de nuestra instructora, la razón trigonométrica del seno:

es razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.

1° Circulo r=1

2° Circulo R=2

Sen=0.87/1=0.87 Sen=1.73/2=0.865

2π



Figura 13: Triángulos semejantes.

En la tabla de senos de los ángulos nos muestra que el seno de 60° es igual a 0.866 y en

radianes es π/3. Esta es la explicación de que la función seno ya está establecida en radianes, aunque

cambien los valores de las medidas del radio. El cambio que identifique entre las dos fue la

amplitud y el periodo.

Figura 14: Distintas medidas del radio.

Conclusiones

Cada uno de mis compañeros logró identificar la función senoidal, la construcción gráfica,

sus características al ser representado en el plano cartesiano y los cambios que sufre al tener valores

distintos a la función estándar. Al inicio teníamos escasos conocimientos acerca del tema, aun así,

con lo que hemos aprendido en la escuela y con las actividades que nos proporcionaron

comprendimos perfectamente cómo funciona, en consecuencia, se llegó al objetivo que teníamos,

2°

1°

R=1

1°

R=21°

2°


realizar gráficas cartesianas donde distinguiéramos las variables involucradas “tiempo-posición” y

utilizar GeoGebra para construir puntos de las posiciones del mosquito utilizando como variables

“el camino que recorrió vrs. distancia a un sensor que se mueve horizontalmente siguiendo al

mosquito”.

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