ボード線図のしくみ - 名古屋大学asai/resources/bode.pdf内容 1...

ボード線図のしくみ

浅井　徹　（名古屋大学）

2019/7/24

浅井　徹　（名古屋大学）ボード線図のしくみ

内容

1 制御系設計の実際2 ボード線図のからくり3 ボード線図上での「部品」の足し算


周波数伝達関数で見たフィードバック制御系

P(s) � y�� K (s) ��r

−

制御系設計 ≈ コントローラの周波数伝達関数を決める


典型的な K (jω)

10-5

100

105

1010

-40

0

40

80

120

160

Gain

10-5

100

105

1010

-90

0

90

180

Phase

目標に迅速に追従するように，低い周波数でゲインを大きくノイズなどに反応しないように，高い周波数でゲインを小さく安定になるように中間の周波数で位相を進ませる


周波数伝達関数で見たフィードバック制御系

P(s) � y�� K (s) ��r

−

制御系設計 ≈ コントローラの周波数伝達関数を決めるただし，実現できるのは伝達関数

K (s) =7.59× 107(s + 3)(s2 + 0.6s + 1)

s (s + 8240)(s + 170)(s + 85.0)

極，零点，定数倍ゲインの個数・値を決める


制御系の特性を決めるのは一巡伝達関数

P(s) � y�� K (s) ��r

−



P(s) �� K (s) �



P(s) �� K (s) �e y



P(s) �� K (s) �e y

e から y までの周波数伝達関数

Y (s) = P(s)K (s)E (s)

実際の設計

P(s) に極・零点を追加，定数ゲインを変更追加した極・零点や定数ゲインを集めて K (s) とする


設計操作の例：P(s) = s+1s(s+2)

極（−p）の追加：

P(s)→ s + 1

s(s + 2)(s + p)= P(s) · 1

s + p



極（−p）の追加： 1s+pをかける

P(s)→ s + 1

s(s + 2)(s + p)= P(s) · 1

s + p




P(s)→ s + 1

s(s + 2)(s + p)= P(s) · 1

s + p

零点（−z）の追加：

P(s)→ (s + 1)(s + z)

s(s + 2)= P(s) · (s + z)




P(s)→ s + 1

s(s + 2)(s + p)= P(s) · 1

s + p

零点（−z）の追加：s + z をかける

P(s)→ (s + 1)(s + z)

s(s + 2)= P(s) · (s + z)


制御系設計の自由度

P(s)→ P(s) · 1

s + p, P(s) · (s + z)

P(jω)K (jω) のゲイン，位相は好き勝手には変えられない

極・零点という単位でしか変えられないゲインと位相が連動して変わる

追加する極・零点と結果の P(jω)K (jω) の関係がひと目でわかるようにしたい図を活用する関係をつかめる図を考える


内容



周波数応答の図ベクトル軌跡ボード線図

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−90

−45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

主に理論的な解析に用いられる

主に実際的な解析・設計で用いられる

グラフと −1との関係が重要

グラフが示す量の大小が重要



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−90

−45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)





設計変数との関係がわかりやすい



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−90

−45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)





設計変数との関係がわかりやすい

理論的な結果 −→ 応用浅井　徹　（名古屋大学）ボード線図のしくみ

基本的なアイデア

極・零点の追加

P(s) · 1

s + p, P(s) · (s + z)

関数のかけ算の結果をイメージするのは難しい

f (x) g(x)，(x2 + x − 1) (x3 − 3x + 1)

足し算で考えたいf (x) + g(x)，(x2 + x − 1) + (x3 − 3x + 1)


かけ算から足し算へ：対数を考える

logP(s) · (s + z) = logP(s) + log(s + z)

logP(s) · 1

s + p= logP(s) + log

1

s + p

かけ算が足し算になる




logP(s) · 1


1

s + p

= logP(s)− log(s + p)

かけ算が足し算になる極と零点では加減が逆になる




logP(s) · 1


1

s + p

= logP(s)− log(s + p)

logP(s) · (s + z)

(s + p1)(s + p2)

= logP(s) + log(s + z) + log1

s + p1+ log

1

s + p2

かけ算が足し算になる極と零点では加減が逆になる

複数の極，零点のかけ算は個別の足し算の総和になる


log をとった後のものを図示

P(s) に K (s) をかけた場合

logP(s)K (s) = logP(s) + logK (s)

周波数伝達関数の場合も

logP(jω)K (jω) = logP(jω) + logK (jω)

足し算を図で考えたいが logP(jω)K (jω) は複素数

例： P(s)K (s) =1

s + 1⇒ P(jω)K (jω) =

1

jω + 1

まずは一般の複素数 Z に対して logZ の図示を考える実部，虚部に分けてみる


log Z の実部と虚部

複素数 Z を極形式で表現すると

Z = |Z | e j∠Z

このとき

logZ = log(|Z |e j∠Z) = log |Z |+ log e j∠Z

= log |Z |+ j∠Z

log Z の実部は log |Z |log Z の虚部は ∠Z


logG (jω) の実部と虚部

Z = G (jω) とすると

logG (jω) = log |G (jω)|+ j∠G (jω)

実部は log |G (jω)|：ゲインの対数虚部は ∠G (jω)：位相


G (jω) のボード線図

本質的には…

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−90

−45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

← log |G (jω)|logG (jω) の実部

← ∠G (jω)logG (jω) の虚部



本質的には…

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−90

−45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

← log |G (jω)|logG (jω) の実部

← ∠G (jω)logG (jω) の虚部

理論的な意味は上記の通り

でも，実際のボード線図は微妙に違う


でも，微妙に違う

∠G (jω)：ボード線図ではラジアンではなく「度」習慣的に使われている単位にあわせた




log |G (jω)|：ボード線図では対数の底は e ではなく 10

係数に 20 がついている






習慣的に使われている単位（dB）にあわせた







dB（デシベル）は B（ベル）の 110

dL と同じ d， 110の意味

cm の c は 1100，mm の m（ミリ）は 1

1000







dB（デシベル）は B（ベル）の 110

dL と同じ d， 110の意味

cm の c は 1100，mm の m（ミリ）は 1

1000

B（ベル）って何？


パワー（電力）の比の単位

AlexanderGraham Bell

パワーの比の常用対数 log10P2

P1

単位はベル（B），底は 10





P1

単位はベル（B），底は 10単位が若干大きい

P2

P1= 2 のとき log10 2 ≈ 0.3 [B]

整数のレベルの値にしたい（cmを使うのと同じ）





P1


P2

P1= 2 のとき log10 2 ≈ 0.3 [B]


B の 110の dB がよく使われる

log10P2

P1[B] は 10 log10

P2

P1[dB]

P2

P1= 2 は約 3 dB ≈ 10 log10 2





P1


P2

P1= 2 のとき log10 2 ≈ 0.3 [B]


B の 110の dB がよく使われる

log10P2

P1[B] は 10 log10

P2

P1[dB]

P2

P1= 2 は約 3 dB ≈ 10 log10 2

騒音の dB は基準音圧（20μPa）と騒音の音圧との比の対数人間の音の大きさの感じ方に近いと言われている


パワーは電圧の 2 乗に比例：P = V 2

R



R

dB を電圧比で計算すると

10 log10P2

P1=



R


10 log10P2

P1= 10 log10

V 22

V 21

= 10 log10

(V2

V1

)2

= 20 log10V2

V1

振幅比の dB は log10 の 20 倍になる



R


10 log10P2

P1= 10 log10

V 22

V 21

= 10 log10

(V2

V1

)2

= 20 log10V2

V1

振幅比の dB は log10 の 20 倍になる

底の変換：20 log10V2

V1= 20

log V2

V1

log 10=

20

log 10log

V2

V1

dB は log を 20log 10

倍したもの

本質的には log と同じ，単位を換算しただけ



結局は…

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−90

−45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

←20 log10 |G (jω)|logG (jω) の実部の単位を dB に換算したもの

←∠G (jω) [deg]logG (jω) の虚部の単位を deg に換算したもの



結局は…

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−2

10−1

100

101

102

−90

−45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

←20 log10 |G (jω)|logG (jω) の実部の単位を dB に換算したもの

←∠G (jω) [deg]logG (jω) の虚部の単位を deg に換算したもの

ゲインの対数をとる理由はこれまでに説明した通り横軸はなぜ対数？


例：G (s) = 1s+1，横軸 ω そのものの場合

0 20 40 60 80 100-40

-20

0

20

Gain

0 20 40 60 80 100-135

-90

-45

0

45

Phase

低周波数の振舞いが見えないグラフの形の特徴をつかみにくい


例：G (s) = 1s+1，横軸 ω そのものの場合， 10

s+10

0 20 40 60 80 100-40

-20

0

20

Gain

0 20 40 60 80 100-135

-90

-45

0

45

Phase

低周波数の振舞いが見えないグラフの形の特徴をつかみにくい係数が変わったときのグラフを予想しにくい


G (s) = 1s+1：対数軸の場合

10-2

10-1

100

101

102

-40

-20

0

20

Gain

10-2

10-1

100

101

102

-135

-90

-45

0

45

Phase


G (s) = 1s+1：対数軸の場合

10-2

10-1

100

101

102

-40

-20

0

20

Gain

10-2

10-1

100

101

102

-135

-90

-45

0

45

Phase

ゲインは二直線の組み合わせで近似できる

位相はゲインほどではないが，３つの直線を組み合わせればおおよそ近似できる


G (s) = 1s+1：対数軸の場合， 0.1

s+0.1= 1

10s+1

10-2

10-1

100

101

102

-40

-20

0

20

Gain

10-2

10-1

100

101

102

-135

-90

-45

0

45

Phase

ゲインは二直線の組み合わせで近似できる

位相はゲインほどではないが，３つの直線を組み合わせればおおよそ近似できる係数が変化すると横にシフトする，概形は変わらない


なぜグラフが直線的になる？

例：G (s) = 1s+1

M(ω) = 20 log10 |1

jω + 1| = 20 log10

1

|jω + 1|= −20 log10 |jω + 1|



例：G (s) = 1s+1

M(ω) = 20 log10 |1

jω + 1| = 20 log10

1

|jω + 1|= −20 log10 |jω + 1|

ω � 1 のとき M(ω) ≈ 20 log10 1 = 0

ω � 1 のとき M(ω) ≈ −20 log10 |jω| = −20 log10 ωどちらも log10 ω に関する直線



例：G (s) = 1s+1

M(ω) = 20 log10 |1

jω + 1| = 20 log10

1

|jω + 1|= −20 log10 |jω + 1|

ω � 1 のとき M(ω) ≈ 20 log10 1 = 0

ω � 1 のとき M(ω) ≈ −20 log10 |jω| = −20 log10 ωどちらも log10 ω に関する直線

例：G (s) = as+aの場合

M(ω) = 20 log10 a − 20 log10 |jω + a|ω � a で M(ω) ≈ 0

ω � a で M(ω) ≈ 20 log10 a − 20 log10 ω浅井　徹　（名古屋大学）ボード線図のしくみ

対数軸と音の高さ

対数軸の導入は数学的な理由によるかもしれないが，結果的には広く受け入れられている人の感覚にあっている


対数軸と音の高さ

対数軸の導入は数学的な理由によるかもしれないが，結果的には広く受け入れられている人の感覚にあっている

例：ピアノの鍵盤は対数軸

� ω̂ = log ω

１オクターブ = 周波数２倍周波数が 2, 4, 8 倍になると鍵盤上の距離は 1, 2, 3

人間は周波数の対数で音の高さを感じる


−25

−20

−15

−10

−5

0

Mag

nitu

de (

dB)

10−1

100

101

−90

−45

0

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

� � � � � � �


ボード線図（制御理論）の汎用性

ボード線図人間の聴覚と（なぜか）相性がいい機械・電気などの制御にも使える




どれも動的システム音（空気中の波）機械（力学的）振動で放出（声帯，スピーカ）・補足（鼓膜，マイク）電気信号に変換（神経細胞の興奮，電磁誘導，圧電効果）電子回路・情報処理で加工（フィルタ，イコライザ）




どれも動的システム音（空気中の波）機械（力学的）振動で放出（声帯，スピーカ）・補足（鼓膜，マイク）電気信号に変換（神経細胞の興奮，電磁誘導，圧電効果）電子回路・情報処理で加工（フィルタ，イコライザ）

ボード線図（制御理論）は動的システムに共通する性質を捉えているので，どの分野にも幅広く適用できる


内容



制御系設計

K (s) に極・零点を追加していくことで，P(jω)K (jω)の特性を整形していく極・零点は制御系設計の「部品」s + z， 1

s+pを追加したときの変化を理解しておくこと

が重要


s+zz ，

ps+p のボード線図

z = 10，p = 10 の場合

10-1

100

101

102

103

-40

-20

0

20

40

Gain

10-1

100

101

102

103

-135

-90

-45

0

45

90

135

Phase

ω = p，ω = z 周辺で変化する極を追加するとゲインが小さくなり位相が遅れる零点を追加するとゲインが大きくなり位相が進む


制御系設計上の制約

10-1

100

101

102

103

-40

-20

0

20

40

Gain

10-1

100

101

102

103

-135

-90

-45

0

45

90

135

Phase

安定性のためには位相が進むと同時にゲインが小さくなると望ましいが，そのような部品は無いゲインは傾き（20dB/dec）を直線的に変化させるのみ位相は 90°単位でしか変えられない


ボード線図上での極・零点の追加

P(s) = 1s2+0.6s+1

10-2

100

102

104

-120-100-80-60-40-20020

Gain

10-2

100

102

104

-270-225-180-135-90-45045

Phase



P(s) = 1s2+0.6s+1

10-2

100

102

104

-120-100-80-60-40-20020

Gain

10-2

100

102

104

-270-225-180-135-90-45045

Phase

極 10s+10

を追加した場合



P(s) = 1s2+0.6s+1

10-2

100

102

104

-120-100-80-60-40-20020

Gain

10-2

100

102

104

-270-225-180-135-90-45045

Phase

極 10s+10

を追加した場合零点 s+10

10を追加した場合浅井　徹　（名古屋大学）ボード線図のしくみ

典型的な設計例

P(s) = 1s2+0.6s+1

，K (s) = 7.59×107(s+3)(s2+0.6s+1)s (s+8240)(s+170)(s+85.0)

K (s)

10-5

100

105

1010

-40

0

40

80

120

160Gain

10-5

100

105

1010

-90

0

90

180

Phase


典型的な設計例

P(s) = 1s2+0.6s+1

，K (s) = 7.59×107(s+3)(s2+0.6s+1)s (s+8240)(s+170)(s+85.0)

P(s)，P(s)K (s)

10-2

100

102

104

-120-100-80-60-40-200204060

Gain

10-2

100

102

104

-270-225-180-135-90-45045

Phase


まとめ

ボード線図は制御系設計（実際は負帰還アンプ）を容易にするために考え出されたもの本質的には周波数伝達関数の対数の実部・虚部音の感じ方と相性がよいが，それだけでなく，線形動的システム一般に有効


ボード線図のしくみ - 名古屋大学asai/resources/bode.pdf内容 1...

Documents