第 6章：　周波数応答：周波数伝達関数とボード線図

周波数伝達関数

ボード線図

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今週の授業の目的

今週の大きな目的

　　周波数伝達関数，ボード線図について学ぶ．周波数伝達関数から正弦波入力を与えたときの定常状態での出力を求めることができる．ボード線図は制御系を設計する際に利用する．今週の授業内容は，制御系の応答を確認する際や制御系を設計する際に重要なものである．

周波数伝達関数を学ぶ

ボード線図の概念を学ぶ

積分要素のボード線図を学ぶ

微分要素のボード線図を学ぶ

１次遅れ要素のボード線図を学ぶ

２次遅れ要素のボード線図を学ぶ

むだ時間要素のボード線図を学ぶ

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周波数伝達関数（１）

伝達関数 G(s) で表される安定なシステムに，周波数 0 の正弦波入力 ttu 0sin)( を加えると，十分長い時間がたった後，すなわち，定常状態において出力は，

)(sin)()( 000 jGtjGty

となる．このように，出力は入力と同じ周波数 0 をもつ正弦波になる．ただし，その振幅は |G(j0)| 倍され，位相は∠G(j0) だけ遅れる． |G(j0)| を周波数 0 におけるゲイン，∠ G(j0) を位相角と呼ぶ．

0 をさまざまな値に変化させたときの入力 u(t) と，出力 y(t)の伝達関数 G(s) (0<<∞) を周波数伝達関数，あるいは周波数応答と呼ぶ．これは伝達関数 G(s) において s=jとおいて得られるものである． |G(j)| をゲイン特性，∠ G(j) を位相特性と呼ぶ． TUT, System & Control laboratory

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周波数伝達関数（２）例１：周波数 1Hz の正弦波入力で，ゲインは 0.5 ，位相角は 0deg の出力波形

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ttu 2sin)( tty 2sin5.0)(

例２：周波数 1Hz の正弦波入力で，ゲインは１，位相角は 180deg の出力波形

ttu 2sin)( tty 2sin)(

0 0.5 1 1.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5

-1

0

1

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u(t)y(t)

u(t)y(t)

t t

位相角0[deg]

位相角180[deg]

ゲイン：１

ゲイン： 0.5

例１ 例２

周波数伝達関数（３）

ここで入力 u(t) から出力 y(t) を導出しておく．入力 u(t) ，出力y(t) のラプラス変換をそれぞれ U(s) ， Y(s) とおく．定常状態を考えると，

0

2

0

12

02

0)()()()(

js

Kjs

Ks

sGsUsGsY

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j

jGs

sGjsK

jjG

ssGjsK

js

js

2)()(

2)()(

02

02

002

02

02

001

0

0

が得られる．ただし，

である．

周波数伝達関数（４）

G(j0) と G(-j0) が，互いに共役な複素数であることに注意すれば，

)(Im)(Re12

)()(2

)()(1

)()(2

)(

00020

2

000002

02

0

0

0

0

0

2

0

1

jGsjGs

jGjGjsjGjGs

jsjG

jsjGj

jsK

jsKsY

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となる．

周波数伝達関数（５）

逆ラプラス変換すれば，

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)(Im)(Re1)( 00020

2

jGsjG

ssY

tjGtjGty 0000 cos)(Imsin)(Re)(

ここで下記の公式を用いると，出力 y(t) が得られる．

/tansincossin 122

ただし，以下の関係を用いる．

)(Re)(Imtan)(

)(Im)(Re)(

0

010

20

200

jGjGjG

jGjGjG

周波数伝達関数（６）例： 1+s

s=jと代入したとき，実部と虚部は， Re[G(j)]=1 ， Im[G(j)]=となる．このとき，先の公式から，

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1

0

20

tan)(

1)(

jG

jG

の関係を得る．

deg57.001.0tan)(

101.01)(

10

20

jG

jG=0.01 のとき

deg451tan)(

4.111)(

10

0

jG

jG=1 のとき

deg3.8410tan)(

10101)(

10

20

jG

jG=10 のとき

定常状態の出力は，このように明らかにできる．また，これらの関係をグラフで表わしたものをボード線図と呼び，続けて説明する． TUT, System & Control laboratory

ボード線図

周波数伝達関数 G(j) のゲイン特性 |G(j)| と位相特性∠ G(j)を，周波数の関数として別々のグラフに図示したものをボード線図という．横軸に角周波数を対数目盛でとり，縦軸にゲインの対数量 g()=20log10|G(j)| dB で表わしたものをゲイン曲線，また，別のグラフに縦軸に位相角を ()=∠G(j) deg として表わしたものを位相曲線と呼ぶ．ボード線図は，広い範囲で詳細な特性を表わすことができることから，フィードバック制御系の解析や設計において広く用いられている．

積分要素，微分要素，１次遅れ要素，２次遅れ要素，むだ時間要素のゲイン特性と位相特性の式，ボード線図を説明する．また，次回予定でボード線図の折線近似，１次遅れ要素，２次遅れ要素のパラメータによるボード線図の違いや応答の違いを紹介する．

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ボード線図（積分要素）積分要素 G(s)=1/s に対して s=jとおくことで，周波数伝達関数は，

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deg90tan0/1tan)()(

log201log20)(log20)(

11

101010

jG

jGg

11)( j

jjG

となる．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる．

10-2 10-1 100 101 102-40-20

02040

ゲイ

ン[d

B]

10-2 10-1 100 101 102-90

-45

0

角周波数[rad/s]

位相

[deg

]

-20dB/dec

-90[deg]

つまり，ゲインは =1 のとき 0 であり，が 10 倍されるとき 20dBだけ減少する．通常，ゲイン特性の直線の傾きを表わすために，[dB/dec] という単位を用いる．よって，積分要素のゲイン特性の傾きは -20dB/dec である．一方，位相は全体にわたって -90deg である．

ボード線図（微分要素）積分要素 G(s)=s に対して s=jとおくことで，周波数伝達関数は，

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deg90tan0/1tan)()(

log20)(log20)(

11

1010

jG

jGg

jjG )(

となる．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる．

10-2 10-1 100 101 102-40-20

02040

ゲイ

ン[d

B]

10-2 10-1 100 101 1020

45

90

角周波数[rad/s]

位相

[deg

]

20dB/dec

90[deg]

つまり，ゲインは =1 のとき 0 であり，傾きは 20dB/dec である．また，位相は全体にわたって 90degである．

ボード線図（１次遅れ要素）１次遅れ要素 G(s)=1/(1+Ts) に対する周波数伝達関数は，

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T

TT

g

1

210210

tan)(

1log201

1log20)(

211

11)(

TTj

TjjG

となる． T を時定数と呼ぶ．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる．

T<<1 のときは，ゲインは 0 であり，に関係なく一定値となる．逆に T>>1 のときには， g()=-20log10(T) となり，傾きは -20dB/dec である．また，位相角は→ 0のとき 0deg となり， →∞のとき -90deg である． T =1 のとき -45deg となる．

10-2 10-1 100 101 102-40-30-20-10

0

ゲイ

ン[d

B]

10-2 10-1 100 101 102-90

-45

0

角周波数[rad/s]

位相

[deg

]

T =1

-20dB/dec

ボード線図（２次遅れ要素）（１）

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2

1

22210

/1/2tan)(

/2/1log20)(

n

n

nng

となる． n を固有角周波数，を減衰係数と呼ぶ．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる．

nnnn

n

jjjG

/2/11

2)( 222

2

２次遅れ要素 G(s)=n2/(s2+2n+n

2) に対する周波数伝達関数は，

10-2 10-1 100 101 102-80-60-40-20

0

ゲイ

ン[d

B]

10-2 10-1 100 101 102-180

-90

0

角周波数[rad/s]

位相

[deg

]

n =1, =1

周周周周周周周周周周周周周ゲイン曲線は 0dB の直線から -40dB/dec の傾きに，位相曲線は 0deg から -180deg に変化する．

-40dB/dec

ボード線図（２次遅れ要素）（２）

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減衰係数の変化に対するボード線図を下記に示す．減衰係数が小さいとき固有角周波数のゲインにピークが現れる． 10-2 10-1 100 101 102-80

-400

40

ゲイ

ン[d

B]

=0.01=0.1=0.5=1=2

10-2 10-1 100 101 102-180

-90

0

角周波数[rad/s]

位相

[deg

]

=0.01=0.1=0.5=1=2

-40dB/dec

自動車が走行する道路として，①細かいでこぼこ道と②ゆっくりとしたでこぼこ道を考える．でこぼこ道から受ける力は外乱 f=sint と考えることができ，①はが大きいことに，②はが小さいことに対応する．が小さく， f(t) に =n の成分が含まれると，その成分の振動が増幅されるため，乗り心地が悪くなってしまう．そこで，自動車の振動をやわらげるためには，車体重量に合わせて，バネ，ダンパ係数を調整して，ゲイン特性に現れるピークを抑える必要がある．方法としては，望ましいバネ，ダンパ係数を持つアブソーバを使う方法（パッシブ制御）のほか，路面の状況に合わせて，バネ，ダンパ係数を油圧や空気圧の力によって変化させる方法（アクティブ制御）などがある．

２次遅れ要素の例として，自動車のショックアブソーバがある（２回目，３回目資料参照）．分子の係数は異なるがゲイン曲線の形状は同じであることに注意する．

ボード線図（むだ時間要素）むだ時間 L のむだ時間要素 G(s)=e-sL にする周波数伝達関数は，

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deg)/180(cossintan)(

db0sincoslog20)(

1

2210

LLL

LLg

となる．このとき，ゲイン特性と位相特性は以下のように求まる．

LjLejG Lj sincos)(

L=1 とした場合のボード線図を示す．ゲインは常に 0dB であり，位相はに比例して遅れる．10-2 10-1 100 101 102-20

-100

1020

ゲイ

ン[d

B]

10-2 10-1 100 101 102-180

-90

0

角周波数[rad/s]

位相

[deg

]

L =1

課題

下記のシステムに u(t) =asint の入力を加えたときの時間応答y(t) を求めよ．

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ssG

511)(