failure theoriespioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103320 des mach element/c… · failure...
TRANSCRIPT
Failure Theories
2103320 Des Mach Elem Mech. Eng. Department
Chulalongkorn University
• Review stress transformation
• Failure theories for ductile
materials
•Maximum-Shear-Stress Theory
• Distortion-Energy Theory
• Coulomb-Mohr Theory
• Failure theories for brittle materials
•Maximum-Normal-Stress Theory
•Modifications of the Mohr Theory
Stress transformation
• จุดๆ หนึ่งบนวตัถุ จะมคีา่ State of stress (σx, σy, τxy) อยา่งหนึ่ง
• เมือ่ใชร้ะบบพกิดัแตกต่างกนั จะอ่านคา่ σx, σy, τxy ได้
ต่างกนั คอืได ้σ′x, σ′y, τ′xy แต่ State of stress คงเดมิ เพราะพจิารณาจุดเดมิ
• เมือ่ใชร้ะบบพกิดัทีเ่หมาะสมอนัหนึ่ง จะทาํให ้τ′xy = 0 คอื
มแีต่ σ1, σ2 เรยีกทศินัน้วา่ Principal direction
xσxyτ
yσ
Torque Bending moment
P x
y x′ y′
xσ ′xyτ ′yσ ′
State of stress เหมือนกนั
Stress, shear ต่างกนัท่ีมมุ
ต่างๆ
1σ2σ
θτθσσσσ
σ 2sin2cos2
)(2
)(xy
yxyxx +
−+
+=′
θτθσσσσ
σ 2sin2cos2
)(2
)(xy
yxyxy −
−−
+=′
θτθσσ
τ 2cos2sin2
)(xy
xyxy +
−=′
θ
Mohr’s circle
2/1
22
21 22)(
,
+
−±
+= xy
yxyx τσσσσ
σσPrincipal stress
Maximum shear stress 2
21max
σστ −=
กรณี 2 มิติ กรณี 3 มิติ
Principal stress 321 ,, σσσ 321 σσσ ≥≥
Maximum shear stress 2
31max
σστ −=
xσxyτ
yσ
Failure Theories
• การทดสอบวสัดุจะทาํเพยีงกรณพีืน้ฐาน เชน่ Tension test, Compression test กรณทีีม่ภีาระหลายๆ ชนดิกระทาํ
จงึตอ้งมทีฤษฎทีีบ่อกวา่ความเสยีหายจะเกดิเมือ่ใด
• ไมม่ทีฤษฎคีวามเสยีหายไหนใชไ้ดก้บัวสัดุทุกชนิด
• โดยปกตจิะคดิแยกระหวา่งวสัดุเหนียว (Ductile) กบัวสัดุเปราะ (Brittle)
• ขอ้มลูจะอา้งองิจากผลการทดสอบพืน้ฐาน เชน่ Tension-test, Compression test
Ductile Materials
05.0≥fε (Elongation ≥ 5%)
• Maximum shear stress theory (MSS)
• Distortion energy theory (DE)
• Ductile Coulomb-Mohr (DCM)
Brittle Materials
05.0<fε (Elongation < 5%)
• Maximum normal stress theory (MNS)
• Brittle Coulomb-Mohr (BCM)
• Modifier Mohr (MM)
Maximum shear stress theory (1)
• ทฤษฎี ความเค้นเฉือนสงูสดุ ทาํนายว่า การครากจะเร่ิมเกิดเมื่อ ค่าความเค้นเฉือนสงูสดุของจดุใดๆ
เท่ากบัหรือมากกว่า ค่าความเค้นเฉือนสงูสดุท่ีได้จาก Tension-test specimen ของวสัดชุนิดเดียวกบั
วสัดท่ีุกาํลงัพิจารณา
• อาจเรียกว่า Tresca หรือ Guest theory
State of stress ของจดุใดๆ การทดสอบ Tension-test
xσxyτ
yσ
231
maxσστ −
=22max
yS==
στ
AP
=σ
yS== 1σσ
2max yS=τ
2231
maxyS
≥−
=σστYield เมื่อ yS≥− 31 σσหรอื และจะได ้ ysy SS 5.0=
nS y
2231
max ≥−
=σστกรณีมี S.F. nSy≥− 31 σσหรอื
Maximum shear stress theory (2)
กรณี 2D - Plane stress
σA σB σ1 σ3 Yield condition
+ + σA 0
+ - σA σB
- - 0 σB
• พจิารณาที ่Principal direction
• กาํหนดให ้
• เนื่องจากไมม่คีวามเคน้ที ่Plane ตัง้ฉาก
ดงันัน้ Principal stress อกีตวั = 0
BA σσ ≥
yA S≥σ
yBA S≥−σσ
yB S−≤σ
จะ Yield เมื่อความเค้นอยู่นอกขอบเขต
หกเหล่ียมสีชมพ ู
Distortion-Energy theory (1)
• ทฤษฎี Distortion energy ทาํนายว่าการครากจะเร่ิมเกิดเมื่อ distortion strain energy per unit volume
ของจดุใดๆ มีค่าเท่ากบัหรือมากกว่า distortion strain energy per unit volume ท่ีได้จากการทดสอบ
Tension-test หรือ Compression-test ของวสัดชุนิดเดียวกบัวสัดท่ีุกาํลงัพิจารณาขณะเกิดการคราก
• อาจเรียกทฤษฎีน้ีว่าว่า The von Mises หรือ von Mises-Hencky theory หรือ the octahedral-shear-
stress theory
Angular distortion element
พจิารณาที ่Principal direction
Pure volume change Pure angular distortion
3321 σσσσ ++
=av
Strain energy per
unit volume
Strain energy for
producing only
volume change
Distortion energy = +
Distortion-Energy theory (2)
Strain energy per unit volume
F
F
s
L
graph S-Funder Area work =⋅= ∫ dsF
graph -under Area work εσσ =⋅=⋅= ∫∫ dεLds
AF
V
F
s
Work
(σ)
(ε)
กรณ ีsimple tension:
strain energy per unit volume εσσ21 =⋅= ∫ dεu
[ ]33221121 σεσεσε ++=u
[ ])(1zyxx E
σσνσε +−=
[ ])(1xzyy E
σσνσε +−=
[ ])(1yxzz E
σσνσε +−=
Hooke’s law
[ ])(221
13322123
22
21 σσσσσσνσσσ ++−++=
Eu
Distortion-Energy theory (3)
[ ])(221
13322123
22
21 σσσσσσνσσσ ++−++=
Eu
)21(2
3 2
νσ−=
Eu av
v
)222(2
21133221
23
22
21 σσσσσσσσσν
+++++−
=E
uv
strain energy per unit volume
strain energy per unit volume
Distortion energy
−+−+−+=−=
2)()()(
31 2
132
322
21 σσσσσσνE
uuu vd
Distortion-Energy theory (4)
• ทฤษฎี Distortion energy ทาํนายว่าการครากจะเร่ิมเกิดเมื่อ distortion strain energy per unit volume
ของจดุใดๆ มีค่าเท่ากบัหรือมากกว่า distortion strain energy per unit volume ท่ีได้จากการทดสอบ
Tension-test หรือ Compression-test ของวสัดชุนิดเดียวกบัวสัดท่ีุกาํลงัพิจารณาขณะเกิดการคราก
Distortion strain energy ของจดุใดๆ การทดสอบ Tension-test
−+−+−+=
2)()()(
31 2
132
322
21 σσσσσσνE
ud
ทีจุ่ด Yield yS=1σ 032 ==σσ
2
31
yd SE
u ν+=
Yield เมื่อ
yS≥
−+−+−2/12
132
322
21
2)()()( σσσσσσ
22
132
322
21
31
2)()()(
31
ySEEνσσσσσσν +
≥
−+−+−+
Von Mises stress
Distortion-Energy theory (5)
2/1213
232
221
2)()()(
−+−+−=′
σσσσσσσVon Mises stress
กรณพีกิดั xyz (ไมใ่ช ่principal direction)
[ ] 2/1222222 )(6)()()(2
1zxyzxyxzzyyx τττσσσσσσσ +++−+−+−=′
Yield เมื่อ Von Mises stress σ′ ≥ Yield strength Sy
กรณคีดิ Factor of Safety nS y≥′σ
Distortion-Energy theory (6)
2/122 )( BBAA σσσσσ +−=′
กรณี 2D - Plane stress
• พจิารณาที ่Principal direction
• กาํหนดให ้
• เนื่องจากไมม่คีวามเคน้ที ่Plane ตัง้ฉาก
ดงันัน้ Principal stress อกีตวั = 0
BA σσ ≥
จะ Yield เมื่อความเค้นอยู่นอกขอบเขตวงรีสีชมพ ู
Von Mises stress
• เมือ่เทยีบกบั Maximum shear stress theory แลว้จะพบวา่ ขอบเขต
Nonyield ของทฤษฎ ีDistortion-Energy จะกวา้งกวา่
• ผลจาก Distortion-energy สอดคลอ้งกบัผลการทดลองในกรณขีองวสัดุเหนียว
จงึเป็นทีน่ิยมใชก้นัอยา่งกวา้งขวาง
Distortion-Energy theory (7)
กรณี 2D - Plane stress + pure shear
0== yx σσxyτ
[ ] 2/1222222 )(6)()()(2
1zxyzxyxzzyyx τττσσσσσσσ +++−+−+−=′จากสมการ von Mises stress
2/12 )3( xyτσ =′
Yield เมื่อ yxy S≥=′ 2/12 )3( τσ
yy
xy SS
577.03=≥τ ysy SS 577.0=
Shear yield strength
Example
วสัดุชนิดหน่ึงม ีyield strength Syc = Syt = 100 Mpa และมคีา่ εf = 0.55 ใหห้า factor of safety ในกรณตี่อไปน้ี
(Mpa) σx σy τxy
a 70 70 0
b 60 40 -15
c 0 40 45
d -40 -60 15
e 30 30 30
Coulomb-Mohr Theory (Ductile Materials) (1)
• ใช้กบัวสัดท่ีุ strength ด้านดึงไม่เท่ากบัด้านกด
• ใช้ข้อมูลการทดสอบ Tension test และ
Compression test เขียน Mohr’s circle
• ลากเส้นตรงสมัผสัวงกลมทัง้สอง และกาํหนดให้
เป็น Failure line
• ถ้า stress และ shear เกินกว่าขอบเขตน้ี จะเกิด
ความเสียหาย
31
1133
21
1122
CCCBCB
CCCBCB −
=−
จากสามเหลีย่มคลา้ย
211 tSCB =
2)( 3122 σσ −=CB
233 cSCB =
2)( -origin 312 σσ +=C
2 -origin 1 tSC =
2 -origin 3 cSC =
131 =−ct SS
σσ
Yield เมื่อ 131 ≥−ct SS
σσ
คิด S.F.
Yield เมื่อ nSS ct
131 ≥−σσ
Coulomb-Mohr Theory (Ductile Materials) (2)
กรณี 2D - Plane stress
σA σB σ1 σ3 Yield condition
+ + σA 0
+ - σA σB
- - 0 σB
• พจิารณาที ่Principal direction
• กาํหนดให ้
• เนื่องจากไมม่คีวามเคน้ที ่Plane ตัง้ฉาก
ดงันัน้ Principal stress อกีตวั = 0
BA σσ ≥
tA S≥σ
1≥−c
B
t
A
SSσσ
cB S−≤σ
จะ Yield เมื่อความเค้นอยู่นอกขอบเขต
หกเหล่ียมสีชมพ ู
Maximum-Normal-Stress Theory (Brittle)
• ทฤษฎี Maximum-Normal-Stress ทาํนายว่าความเสียหายจะเกิดเมื่อ ค่า Principal stress ตวัใดตวัหน่ึง
มีค่าเท่ากบัหรือมากกว่า ค่า Strength
321 σσσ ≥≥Principal stress
Yield เมื่อ utS≥1σ ucS−≤3σหรอื
คิด S.F.
Yield เมื่อ nSut≥1σ n
Suc−≤3σหรอื
Note
Brittle materials ไมมี่ค่า yield strength ท่ีชดัเจน จึงมกัใช้ค่า
ultimate tensile หรือ ultimate compressive stress แทน
Modifications of the Mohr Theory (Brittle)
Brittle-Coulomb-Mohr
พจิารณากรณ ีplane stress และคดิ Safety factor
σA σB σ1 σ3 Yield condition
+ + σA 0
+ - σA σB
- - 0 σB
nSutA ≥σ
nSS uc
B
ut
A 1≥−
σσ
nSucB −≤σ
Modified Mohr
พจิารณากรณ ีplane stress และคดิ Safety factor
σA σB σ1 σ3 Yield condition
+ + σA 0
+ -
σA σB
+ -
σA σB
- - 0 σB
nSutA ≥σ
nSSSSS
uc
B
utuc
Autuc 1)(≥−
− σσ
nSucB −≤σ
1≤AB σσ
1>AB σσ
nSutA ≥σ