Škola: Gymnázium Václava Hlavatého, Louny, Poděbradova 661, příspěvková organizaceČíslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0616

Název projektu: Inovace výukyČíslo a název šablony klíčové

aktivity:EU-8 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol

Tematická oblast: Volitelný předmět matematika (matematický seminář)

EU-8-51 – DERIVACE FUNKCE VII(derivace inverzní funkce, derivace cyklometrických funkcí)

AnotaceZopakování pojmu inverzní funkce k elementárním funkcím, odvození vztahu mezi derivací funkce f v bodě x0 a derivací k ní inverzní funkce f-1 v bodě y0 = f(x0). Použití vztahu k odvození derivací cyklometrických funkcí.

Autor PaedDr. Milan Rieger

Jazyk Čeština

Očekávaný výstupŽák chápe pojem inverzní funkce a myšlenku obecného odvození derivace inverzní funkce pomocí znalosti derivace dané funkce. Žák chápe odvození derivace cyklometrických funkcí, odvozené vzorce dovede používat při řešení úloh. Intuitivně chápe pojem nevlastní derivace na základě animací.

Klíčová slova Inverzní funkce a její derivace, derivace cyklometrických funkcí.

Druh učebního materiálu Pracovní list / Animace / Obrázky / Testy

Druh interaktivity Aktivita / Výklad / Test / Kombinace

Cílová skupina Žák

Stupeň a typ vzdělávání Střední vzdělávání

Typická věková skupina 17 – 19 let

Datum vytvoření 3. 1. 2013

PŘIPOMENUTÍ POJMU INVERZNÍ FUNKCE

21

21:

12:

12:

12:

1

1

1

xyf

xyf

yxf

xyf

Osová souměrnost podle osy prvního a třetího kvadrantu (y = x) nabízí rozšíření elementárních funkcí o funkce tzv. inverzní. Pokud je funkce f prostá (rostoucí, klesající) v D(f), existuje k ní inverzní funkce f -1.Platí: D(f -1) = H(f), H(f -1) = D(f); [x; y] f [y; x] f -1; y = f(x) x = f -1(y).

PŘÍKLAD 1: Napište rovnici inverzní funkce k funkci f: y = 2 x + 1.

abx

ayf

bxayf

bayxf

baxyf

1:

:

:

:

1

1

1

PŘÍKLAD 2: Inverzní funkce k lineární lomené funkci.

312:

123123132132

213:

213:

1

1

xxyf

xxyxyyxyxyxyyx

yyxf

xxyf

PŘÍKLAD 3: Funkce y = arcsin x je inverzní funkce k funkci y = sin x.

yxxyyx

yxxyyx

sinarcsin;2

;2

;1;1

sinsin;2

;2

;1;1 1

PŘÍKLAD 4: Funkce y = arccos x je inverzní funkce k funkci y = cos x.

yxxyyx

yxxsyyx

cosarccos;;0;1;1

cosco;;0;1;1 1

PŘÍKLAD 5: Funkce y = arctg x je inverzní funkce k funkci y = tg x.

tgyxarctgxyyRx

tgyxxtgyyRx

;2

;2

;

;2

;2

; 1

PŘÍKLAD 6: Funkce y = arccotg x je inverzní funkce k funkci y = cotg x.

gyxgxarcyyRx

gyxxgyyRx

cotcot;;0;

cotcot;;0; 1

PŘÍKLAD 7: Derivace inverzní funkce. Derivace elementárních funkcí rozšíříme o derivace cyklometrických funkcí (y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x), exponenciálních a logaritmických funkcí. Pro usnadnění odvození derivací těchto funkcí se pokusíme „objevit“ vztah mezi derivací funkce y = f(x) a funkce k ní inverzní. Podívejte se na následující obrázek. Víme, že f ' (x0) = tg (f -1) ' (y0) = tg (90°- Jaký je vztah mezi těmito derivacemi?

)(11

cossin1

sincos

90sinsincos90cos90cossincos90sin

90cos90sin

90

0

10

xftg

tgf y

01

01)(

yfxf

PŘÍKLAD 8: Derivace funkce y = arcsin x.

2

002

0 11

sin11

cos1

sin

1arcsin0

0xyyy

xyy

xx

21

1arcsin;1;1x

xx

OTÁZKY: 1. Podívejte se na uvedenou animaci. Umíte určit derivaci

funkce y = arcsin x v bodě 1 zleva? 2. Podívejte se na uvedenou animaci. Umíte určit

derivaci funkce y = arcsin x v bodě - 1 zprava?

yxxyyxxy sinarcsin;2;2

);1;1(;arcsin

PŘÍKLAD 9: Derivace funkce y = arccos x.

OTÁZKY: 1. Podívejte se na uvedenou animaci. Umíte určit derivaci

funkce y = arccos x v bodě 1 zleva? 2. Podívejte se na uvedenou animaci. Umíte určit

derivaci funkce y = arccos x v bodě - 1 zprava?

yxxyyxxy cosarccos;;0);1;1(;arccos

2

002

0 11

cos11

sin1

cos

1arccos0

0xyyy

xyy

xx

21

1arccos;1;1x

xx

PŘÍKLAD 10: Derivace funkce y = arctg x.

tgyxarctgxyyRxarctgxy

;

2;2

;;

200

22

0

0

02

02

02

02

02

02

02

11

11

cossin1

1

cossincos1

sincoscoscos1

0

0

xytg

yy

yyy

yyyy

tgyarctgx

yy

xx

211;x

arctgxRx

PŘÍKLAD 11: Derivace funkce y = arccotg x.

gyxgxarcyyRxgxarcy cotcot;;0;;cot

2

022

0

0

02

02

02

02

02

02

02

02

02

11

cot11

sincos1

1

sincos1

1sincos

sin

sincossinsin

cot

1cot0

0

x

yg

yy

yyyy

y

yyyy

gygxarc

yy

xx

211cot;x

gxarcRx

SHRNUTÍ

21

1arcsin;1;1x

xx

21

1arccos;1;1x

xx

211cot;x

gxarcRx

211;x

arctgxRx

SHRNUTÍ

PŘÍKLAD 12Napište rovnici tečny a normály k funkci f: y = arcsin x v bodě T [ 0,5; ? ].

6;21

621arcsin T

332

32

231

431

411

1

1

1

212

y

xy

032634:21

332

6:

yxtxyt

03321236:21

323

6:

yxnxyn

AUTOTEST

1. Napište rovnici tečny a normály k funkci f: y = arccos x v bodě T [ – 0,5; ? ].

2. Napište rovnici tečny a normály k funkci f: y = arctg x v bodě T [ 1 ; ? ].

3. Napište rovnici tečny a normály k funkci f: y = arccotg x v bodě T [ – 1 ; ? ].

4. Derivujte funkce:a) f: y = arcsin x + arccos xb) f: y = arctg x + arccotg x

Řešení úlohy 1:

32;

21

32

21cos

21 Tarf

332

32

411

1

1

121

2

y

xy

0432634:21

332

32:

yxtxyt

03381236:21

23

32:

yxnxyn

Řešení úlohy 2:

4;1

4)1()1( Tarctgf

21)1(

11

2

yx

y

0242:121

4: yxtxyt

0848:124

: yxnxyn

Řešení úlohy 3:

43;1

43)1(cot)1( Tgarcf

21)1(

11

2

yx

y

03242:121

43:

yxtxyt

08348:1243: yxnxyn

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

Řešení úlohy 4a:

011

11

22

xxy

Řešení úlohy 4b:

011

11

22

xx

y